平方差公式学案

平方差公式学案（精选8篇）

1.平方差公式学案 篇一

云南省建水县建民中学七年级数学上册《平方差公式》导学案 北师

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一、教材分析：

（一）学习目标：

1.经历发现平方差公式的过程，会运用平方差公式进行计算.2.培养概括能力，发展符号感.（二）学习重点和难点：

1.重点：运用平方差公式进行计算.2.难点：先交换项的位置，再运用平方差公式.二、自学提纲：阅读P151—153页（练习完）回答下列问题：

1.仔细研读151页中探究并填空，（1）用文字和符号叙述平方差公式.（2）公式中的字母a、b可以是（数字、单项式、多

项式等）.2、说明平方差公式的特征是（左边是两个乘式都是二项式，它们分别是两个数的和与这两

个数的差；右边的积是乘式中两个数的平方差）。其使用条件是。

2.152页中“思考”说明：________________=____________________

3.细心研读152页例1,运用公式:_________________.在分析中,把每个题中相应的项看

做a和b,其中(2)题中_____看做a,____ 看做b.(3)题中_____看做a, ____ 看做b,你认为哪个题易出现错误_______________

4.例2中,(1)102=______,98=_______这样写目的是用_______________,你举2个例子(并

计算)

(2)小纸鉴说明:________________________________________

5.完成153页中的练习.三、强化训练：.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.2222(1)(a-b)(a+b)=a-b；（）(2)(b+a)(a-b)=a-b；（）

2222(3)(b+a)(-b+a)=a-b;（）(4)(b-a)(a+b)=a-b；（）

22(5)(a-b)(a-b)=a-b.（）

2.可以用平方差公式计算的是（）A(2a-3b)(-2a+3b)B(-3a+4b)(-4b-3a)C(a-b)(b-a)D(a-b-c)(-a+b+c)

3.用平方差公式计算：

(1)(a+3b)(a-3b)(2)(3m-4n)(4n+3m)(3)(3b+a)(a-3b)(4)(7-2a)(-7-2a)

(5)2001×1999(6)998×100222（7）(y+3)(y-3)-(y-4)(y+5)（8）（a-b）（a+b）（a+b）

224.a-b=20,且a+b=-5, 则a-b=。

5.对于任意的整数n，能整除(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是.四、谈本节课收获和体会：

五、作业：（1）156页 1.（2）资料

2.平方差公式学案 篇二

例1 计算

undefined;

(2) (x+y-z) (x+y+z) .

解: (1) 原式undefined;

(2) 原式=[ (x+y) -z][ (x+y) +z]

= (x+y) 2-z2

=x2+xy+xy+y2-z2

=x2+2xy+y2-z2.

注: (2) 题中利用整体思想, 把x+y看作一个整体再利用平方差公式计算, 则此题中相同项是 (x+y) , 相反项是z和-z.

例2 计算 (-xy+1) (xy+1) (x2y2+1)

解:原式= (1-xy) (1+xy) (x2y2+1)

= (1-x2y2) (1+x2y2)

=1-x4y4.

注:计算中要对因式适当变形, 使式子符合公式的结构特征。

例3 计算 (a+4b-3c) (a-4b-3c) .

分析:注意到本题中两个多项式因式中, a与a、-3c与-3c都是相同的项, 4b与-4b是互为相反数的项, 把相同的项分为一类, 互为相反数的项分为一类, 分组后便符合平方差公式左边的特征了。

解:原式=[ (a-3c) +4b][ (a-3c) -4b]

= (a-3c) 2- (4b) 2

= (a-3c) (a-3c) -16b2

=a2-3ac-3ac+9c2-16b2

=a2-6ac+9c2-16b2.

注: (a-3c) 2根据乘方的意义写成 (a-3c) (a-3c) , 用多项式乘法法则计算。

例4 计算

(1) 498×502;undefined

分析:题 (1) 中的498可改写为 (500-2) , 520可改写为 (500+2) , 这样就可以用平方差公式进行简便运算;同样, 题 (2) 中的undefined可改写成undefined可改写成undefined后再进行简便运算。

解: (1) 498×502

= (500-2) (500+2)

=5002-22

=250000-4

=249996;

undefined

注:这种简便方法必须写成 (a+b) (a-b) 的形式时才行。

例5 计算:

(3x+2y-4) (3x+2y+4) - (3x+2y+4) (3x-2y-4) .

解:原式=[ (3x+2y) -4][ (3x+2y) +4]-[3x+ (2y+4) ][3x- (2y+4) ]

=[ (3x+2y) 2-16]-[ (3x) 2- (2y+4) 2]

=12xy+8y2+16y

3.平方差公式应用 篇三

例1 计算:(1)(2a+3b)(3b-2a); (2)(2a+2b)(■a-■b); (3)(a+b+c)(a-b-c);

分析:(1)注意本题中“3b”位置上的特点,可以先调整其位置,再应用公式计算。

(2a+3b)(3b-2a)=(3b+2a)(3b-2a)=(3b)2-(2a)2=9b2-4a2

(2)注意本题的系数特点,可以先变化系数再计算。

(2a+2b)(■a-■b)=2(a+b)×■(a-b)=(a+b)(a-b)=a2-b2

(3)题目中的项比较多,不妨先观察各项符号的变化规律,把符号相同的项结合,符号相反的项结合,再计算。

(a+b+c)(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-b2-2bc-c2

在一些数字计算中,也可用平方差公式。

例2 计算:(1)1999×2001; (2)20073-2006×2007×2008; (3)1002-992+982-972+…+22-12。

解:(1)1999×2001

=(2000-1)×(2000+1)

=20002-1

=3999999

(2)20073-2006×2007×2008

=20073-2007×(2007-1)×(2007+1)

=20073-2007×(20072-1)

=20073-20073+2007=2007

(3)1002-992+982-972+…+22-12

=(100+99)(100-99)+(98+97)·(98-97)+…+(2+1)(2-1)

=100+99+98+97+…+2+1

=■=5050

例3 设m,n为自然数,且满足:n2=m2+12+22+92+92,求m,n的值。

分析:本题看上去似乎与平方差公式没有联系。但是将m2移到等式的左边,就出现了平方差的形式。

解:由条件可知n2-m2=12+22+92+92,即(n+m)(n-m)=167。

而167是质数,只能分解成167×1,又因为m,n为自然数,

所以n+m=167n-m=1解得m=83,n=84

例4 如图,2005个正方形由小到大套在一起,从外向里相间画上阴影,最外面一层画阴影,最里面一层画阴影,最外面的正方形的边长为2005cm,向里依次为2004cm,2003cm,…,1cm,那么在这个图形中,所有画阴影部分的面积和是多少?

■

分析:每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差。而正方形的面积是其边长的平方,这样就可以逆用平方差公式计算了。(计算方法可参考例2第(3)题)

解:S阴影=(20052-20042)+(20032-20022)+…+(32-22)+1

=2005+2004+2003+2002+…+3+2+1

=2011015(cm2)

4.平方差公式 篇四

(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；

(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．

四、作业

1．运用平方差公式计算：

(l)(x+2y)(x-2y)； (2)(2a-3b)(3b+2a)；

(3)(-1+3x)(-1-3x)； (4)(-2b-5)(2b-5)；

(5)(2x3+15)(2x3-15)； (6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；

2．计算：

(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)； (2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；

(3)x(x-3)-(x+7)(x-7)； (4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4)．

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5.《平方差公式》教案 篇五

1、使学生理解和掌握平方差公式，并会用公式进行计算；

2、注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力。

教学重点和难点

重点：平方差公式的应用。

难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式。

教学过程设计

一、师生共同研究平方差公式

我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子。

让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解。教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：

两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？

（当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式。这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。而它们的积等于乘式中这两个数的平方差）

继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算。以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式。

在此基础上，让学生用语言叙述公式。

二、运用举例变式练习

例1计算(1+2x)(1-2x)。

解：(1+2x)(1-2x)

=12-(2x)2

=1-4x2.

教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么。

例2计算(b2+2a3)(2a3-b2)。

解：(b2+2a3)(2a3-b2)

=(2a3+b2)(2a3-b2)

=(2a3)2-(b2)2

=4a6-b4.

教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算。

6.平方差公式教案1 篇六

【课标解读】

课程标准要求学生能从特殊的多项式乘以多项式的运算中发现规律，并归纳出公式，然后能利用公式进行计算并解决相关的数学问题。最后给出平方差公式的几何解释，要求学生能了解它的几何背景。整节课要让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的观察能力，探索能力，推理能力、归纳能力，培养符号感。同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.数学课程的设计要符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；要重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。【教材分析】

《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平

方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.【教学目标】

1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。

2、会推导平方差公式，并掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算和推理。

3、能根据几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法。【教学重点与难点】

教学重点:

1、经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算。

2、能根据几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法。

教学难点：掌握平方差公式的结构特征，能灵活运用公式进行计算和推理。

【学情分析】

学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习习近平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解． 【评价设计】

1、通过问题情景、探索新知、总结归纳实现目标一的评价；

2、通过剖析公式、巩固运用、拓展深化实现目标二的评价；

3、通过数形结合，几何说理实现目标三的评价； 【教学过程】

一、审读课题，认识“平方差”，为学习新知识做准备。

1、这节课我们一起来学习“平方差公式”，请大家谈谈你对“平方差”的认识,可以举例说明。

2、请大家判断下列各式是哪两个式子的平方差。

（1）16a2-25b2;(2)a4-b2;(3)a2b2-1;(4)(a+b)2-0.0009。

【设计意图】:

（一）、培养学生主动审读课题的习惯，使学生每学习一个新的内容首先对题目进行一定的研究，比如联想到一些学过的知识，或对题目进行初步的分析、判断等，引发研究兴趣。

（二）、在学习代数式时学生对平方差有了一定的认识，但没做深入的研究，本节课要用到这个知识，所以先给学生做个铺垫。【预期目标】：学生能通过举例说明他对“平方差”的认识，通过相互启发，让学生理解可以使两个数的平方差，两个单项式的平方差，也可以是两个多项式的平方差，加大学生的理解宽度。

4二、创设情境，探索新知。

１、知识预备：请大家回忆多项式乘以多项式的运算法则，师友交流。

2、运用法则计算下列各题：（1）（3x+2）（x-2）= ；（2）（3m+1）（3m-2）= ；

（3）（7x+y）（7x-y）= ；（4）（x+5y）(x-5y)=;（5）（1-3a）(1+3a)=.3、观察以上算式的运算结果，为什么有的是三项，有的是两项？（由运算过程可知，互为相反数的两项和为零。）

4、什么样的两个多项式相乘的结果是两项呢？请大家仔细观察，组内交流你的发现。

5、组长做总结发言，师概括。（两个数的和与两个数的差相乘。）

6、再请大家观察右边的两项又有什么特点呢？用哪个词概括最合适？（平方差）

7、综合看等式的左右两边，你能用语言概括一下吗？（两个数和与两个数差的积，等于这两个数的平方差。）

8、师友之间每人再举两例验证你的发现。（找两对师友板书。如有问题及时发现并纠正。）

9、若要把这个规律用公式表示，你会怎么写呢？

(ab)(ab)a2b2

10、请大家再用多项式乘以多项式的方法验证一下这个公式的正确性。此处让学生自己选择验证方法，比如数的验证，字母的验证。

【设计意图】根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,从一般情况中发现特殊情况，并其进行研究，通过观察，谈论，归纳出其中的规律，探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理．让学生感受从一般到特殊的认识规律.【预期目标】：在复习了多项式乘以多项式的运算法则后，老师给出一组练习题，让学生从结果的特殊性中去发现问题，引起思考，通过小组谈论，归纳出其中的规律，并用语言表达。在学生给出字母表达式后，要进一步用多项式乘以多项式的的方法加以验证。这样的设计让学生理解“平方差公式”是多项式乘以多项式运算中的一种特殊情况，它的适用是要有一定的条件的。

三、数形结合，几何说理

下面我们用几何的方法说明平方差公式的合理性。

1、分析公式：结合实例解释代数式a2的意义。b2呢？(ab)(ab)呢？

（肯定会有学生想到边长为a 的正方形的面积。老师顺势把b2，(ab)(ab)都用面积进行解释。）

2、活动探究:每人准备一个边长为a的正方形，在它的一角剪去一个边长为b的正方形。你能把它拼成一个边长为(ab),(ab)的长方形吗？试一试。（参考课件）

3、结合拼图过程，你能利用面积相等验证平方差公式吗？小组交流。

4、如果把边长为b的正方形的位置挪动一下结论还成立吗？课后再试一试。

【设计意图】通过独立操作，小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．

【预期目标】：通过分析代数式的实际意义，希望学生能理解这种验证方法，明白动手操作的目的。前面已经有用几何的方法学习多项式乘以多项式的经验，相信学生能自己验证平方差公式的正确性。

四、巩固运用，内化新知

1．在下列括号中填上合适的多项式：

（此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，锻炼了学生逆向思维能力。）

2、判断下列算式能否运用平方差公式计算。（1）（2x+3a）（2x–3b）；（2）（3）（－m+n）（m－n）；（4）（5）

．

；

（第4小题要把其变形为（-3x-2p）(-3x+2p),使其形式上符合公式的模式。第5小题要把a+b看成一个整体，培养学生的整体意识。）

3、如果第4小题中不改变位置，你能根据公式中“a”,”b”的符号特点进行判断吗？

（引导学生重新认识公式，探索其符号特点。左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即

；）

4、判断下列计算是否正确：

（1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2（）

（2）（x+2）（x – 2）=x2－2（）（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4（）（4）

5、计算：

（1）（2x+3）（3x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）解：（1）（2x+ 3）（2x–3）=（2x）2－32 = 4x 2－9

（）

（2）（b+2a）（2a－b）=（2a）2－b2 =4a2－b2

（解决操作层面问题．可提议用不同方法计算，以体现学生的创造性．）

6、练习

【设计意图】通过练习掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．同时结合第4小题，提出问题，经过思考、讨论、交流，认清公式的结构特征，抓住概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．

【预期目标】：

1、通过练习题引导学生剖析公式的符号特点，培养学生灵活应用的能力。

2、进一步加深对公式的理解，加速知识的内化。

五、拓展深化，发展思维：

1、用平方差公式进行计算：

（1）98×102；（2）118×122。

（题目要求很清楚，相信学生有能力解决，先小组完成，然后由学生讲解。）

【设计意图】把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，体现了转化的思想和数式通性。

（九）总结概括，自我评价

问题10：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？

【设计意图】从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识．

（十）课后作业

选做题：1．，则A的末位数是_______．

2．计算：（1）（2）（3）

；

；

；

【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．

五、目标检测设计

一、选择题：

1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）

A

(-a-b)(a+b).B.(-a-b)(a-b).C.(a+b-c)(-a-b+c)

D.(-a+b)(a-b).二、填空题：

2．计算：(1+3a)(1-3a)= ； 3．计算：(-2y-3x)(3x-2y)= ； 4．(_____－4b)(_____+4b)=9a2－16b2．

三、计算： 5.（st-1）(st+1)6．(-2y-3x)(3x-2y)； 7．53×47.四、解答题：

7.活用平方差公式巧解数字计算题 篇七

一、直接运用公式

例1 计算:undefined

分析:式中的252与248在250之间, 将两数分拆, 得如下巧解。

undefined

例2 计算:5652×24-4352×24

分析:此题若直接计算, 则数据庞大, 观察式子, 运用结合律, 则可用平方差公式求解。

二、巧添因数, 逆用公式

例3 计算:3×5×17×125+1

分析:注意到乘积中每个因数都是2的若干次幂与1的和, 将原式变形后, 反复使用平方差公式可得如下巧解。

例4 计算:undefined

分析:此题若把各因式计算后再乘, 很繁杂, 逆用平方差公式, 则十分简捷。

undefined

三、拆项组合, 活用公式

例5 计算:20022-2001×2003

分析:式中2001与2003相差2, 一个加2, 一个减2, 便得平方差公式。

例6 计算:undefined

分析:此题看似繁杂, 难以求解, 但仔细观察式中分母, 将“-2”分拆, 便可利用平方差公式求解。

8.逆用完全平方公式解题 篇八

一、求值问题

例1若x2+y2-4x+6y+13=0，则yx=。

解析一个等式含有两个未知字母的求值问题，常常要把已知等式变形为两个代数式的平方和为0的形式，然后再求出字母的值。

已知等式化为(x2-4x+4)+(y2+6y+9)=0，

所以(x-2)2+(y+3)2=0。

因为(x-2)2≥0，(y+3)2≥0，

所以(x-2)2=0，(y+3)2=0。

所以x=2，y=-3，yx=9。

说明为方便逆用完全平方公式，x2-4x必须加上一次项系数一半的平方，即加上4；y2+6y必须加上一次项系数一半的平方，即加上9。加上的这两个数，正好等于13。在解题过程中，我们只需把13拆成4与9之和就可。

例2如果a、b、c满足a2-6b=-15，b2-8c=-19，c2-4a=5，则a+b+c＝。

解析将这三个等式联立成方程组求a、b、c的值，这是不可能求出的。若将它们左、右两边分别一起相加，合并成一个等式，则可绝处逢生。

解析将三个等式相加，得

(a2-6b)+(b2-8c)+(c2-4a)=-29，

所以(a2-4a+4)+(b2-6b+9)+(c2-8c+16)=0。

所以(a-2)2＋(b-3)2＋(c-4)2=0。

因为(a-2)2≥0，(b-3)2≥0，(c-4)2≥0，

所以a-2＝0，b-3＝0，c-4＝0。

所以a＝2，b＝3，c＝4，a+b+c＝9。

说明三个等式的条件比较分散，将它们相加变形后，比较集中，而且容易找到它们之间的内在联系。这种化零为整的思想方法值得我们在解题中尝试！

二、比较大小问题

例3如果a、b满足等式x=a2+b2+２０, y=4(2b-a)，则x、y的大小关系是（）。

A. x≤yB. x≥yC. x＜y D. x＞y。

解析要比较 x、y的大小关系，直接比较困难，不妨考虑从这两个数的差值入手。x-y＝(a2+b2+２０)-4(2b-a)

＝(a2+4a+4)+(b2-8b+16)

＝(a+2)2+(b-4)2，

因为(a+2)2≥0，(b-4)2≥0，

所以x-y≥0，x≥y。应选B。

说明在用差值方法比较两个数或代数式的大小时，要注意：若差值大于0，前者必大于后者；若差值等于0，前者必等于后者；若差值小于0,前者必小于后者。

三、最值或取值问题

例4多项式x2+y2-6x+8y+7的最小值为。

解析要求一个多项式的最大值或最小值，常常要逆用完全平方公式，将这个多项式中含字母的部分变形为完全平方和的代数式。

原式=(x2-6x+9)+(y2+8y+16)-18

＝(x-3)2+(y+4)2-18。

因为(x-3)2≥0，(y+4)2≥0，

所以原式大于或等于-18。

当且仅当(x-3)2＝0，(y+4)2＝0即x＝3，y＝-4时，上式等号成立。

所以原式的最小值为-18。

说明将原式变形后可以发现，原式的值大于或等于-18。要确定原式的最小值，只需看和的值能否使(x-3)2＋(y+4)2=0成立。若能使其成立，则这个最小值为-18。若不能使其成立，则还需确定(x-3)2＋(y+4)2的最小值。

例5已知a、b、c为实数，x=a2-2b+，y=b2-2c+，z=c2-2a+，则x、y、z中至少有一个值为（）。

A.大于０B.等于０C.小于０ D.不大于０

解析与三个数有关的至少或至多问题，应从这三个数的和或积入手。就本题而言，应考虑和。不难发现，

x+y+z=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+(π-3)

=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)。

因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，

所以x+y+z＞0，x、y、z中至少有一个值大于０，应选A。