空间向量及其运算专题

空间向量及其运算专题（精选9篇）

1.空间向量及其运算专题 篇一

教学准备

1.教学目标

（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法

（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法

（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

2.教学重点/难点

【教学重点】：空间向量的概念和加减运算 【教学难点】：空间向量的应用

3.教学用具

多媒体

4.标签

3.1.1空间向量及其加减运算

教学过程

课堂小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算

课后习题

2.空间向量及其运算专题 篇二

1.1教材分析

本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书 ·数学 (选修2-1)》(苏教版)第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其线性运算”.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角,本课作为章节的起始课,是学生学习了平面向量的基础之后展开的,经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程,既复习巩固了平面向量的有关内容,又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫,起到承前启后的作用.教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索,得出相应的法则和性质,引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法,提高数学素养.

1.2学情分析

本节课授课班级为四星级重点高中加强班,该班学生积极要求上进,数学基础较好,思维活跃,有较强的自主学习能力,有一定的抽象概括和推理论证能力.新课之前,让学生预习教材,同时复习平面向量的有关知识.

1.3任务分析

教学目标(1)运用类比的方法,经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程;

(2)了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算及其性质;

(3)理解空间向量共线(平行)的充要条件及共线向量定理.

教学重点空间向量的线性运算及其性质.

教学难点空间向量及其线性运算法则的运算.

教学方法自主学习、合作探究.

2教学过程

2.1问题情境

师:湖面上有3个景点O,A,B,一游艇将 游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B(图1).

师:游客的实际位移是什么?可以用什么数学概念来表示?

师:如果游客还要到景点B下100米深处的海底世界D处游玩 (图2),游客实际发生的位移是什么?还是向量吗?它与上面的位移向量相同吗?为什么?

生2:OD,是向量,不同,因为O,A,B,D不在同一个平面内.

师:这就是我 们今天要 学习研究 的内容———空间向量.(点题并板书)

设计意图通过学生熟悉的生活情境引入,引导学生回忆熟悉的平面向量,同时感受到与平面向量的差异,进而激发学生的求知欲.

2.2新课讲解

师:还记得我们什么时候学习过向量的内容?

生:高一的时候学过平面向量.

师:前一段时间我们刚研究过立体几何,当时研究立体几何时用了什么方法?经常用哪一部分内容与之比较呢?

生2:用类比的方法,用平面几何类比研究立体几何.

师:后来在处理立体几何的问题时我们有一个重要的法宝是?

生2:立体几何转化为平面几何来处理,就是立几问题平面化.

设计意图从研究立体几何的 手段出发,引导学生用类比的方法来研究空间向量.

师:同学们已经提前预习了课本内容,我们今天能不能用这样的方法来研究空间向量呢?你用类比方法了吗?

生:可以,用了.

师:什么是空间向量?

生3:在空间,既有大小又有方向的量,叫做空间向量.

师:与平面向量的定义有什么区别吗?

生3:一个在平面内,一个在空间内.

师:不错,那么向量平移之后会发生改变吗?

生4:不会.

师:那么空间任意两个向量是否都可以平移到同一个平面内?为什么?(学生都迟疑了一会)(教师PPT展示问题)(学生4人一组进行分组讨论,意见很快统一)

生5:可以平移到同一个平面内.

师:这样的平面惟一吗?这些平面有什么关系吗?

生6:不惟一,相互平行的平面.

师:很好,那么有没有什么需要我们简单的小结一下?(学生分组讨论,教师引导)

得到结论:空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一个平面内的两个向量.(老师PPT动画演示)

设计意图学生进行分组讨论,让学生与自己对话、与同伴对话,在对话中提升,在提升中提炼,在提炼中小结.

师:既然任意两个向量都可以平移到同一个平面内,那么空间向量与平面向量有什么样的关系呢?

生7:平面向量是空间向量的特殊情况.

师:很好,也就是说平面向量是特殊的空间向量.(教师PPT展示)

师:那么我们以后在处理空间向量的时候可以怎么处理呢?

生8:可以将空间向量转化为平面向量.

师:那么平面向量中的有关结论在这里适用吗?

生8:如果是两个向量之间的应该适用吧.

师:因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 关结论仍 适用于它 们.(教师PPT展示)

师:我们来看空间向量的基本概念.(板书,教师用PPT给出表格1)

(通过实物投影仪投影两位学生的预习成果并点评)

设计意图展示学生的预习成果,有利于激发学生自主学习的源动力.

师:填表完成之后你有没有什么需要总结反思的呢?

生9:他们的基本概念是一致的.

设计意图及时的总结有利于学生获得“再发现”的体验、激发学生的探索欲.

师:请同学来完成练习1.

(教师PPT展示练习1)

练习1给出以下命题:

1两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同;

2若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;

3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有

4若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;

5空间中任意两个单位向量必相等.

其中不正确命题的是 ____.

(由学生来回答解释,教师小结)

设计意图通过练习1,进一步加强学生对空间向量概念内涵的理解,有利于学生形成空间向量的概念域、概念系.

师:在平面向量就不正确的命题,在空间向量里仍然是不正确的.

师:研究完空间向量的基本概念之后,类比平面向量,我们还要研究它的线性运算.

(板书这节课完整课题———空间向量及其线性运算)

师:它与平面向 量的意义 是一样的 吗?(用PPT给出表格2)

师:请同学们完成表格2的第1个框框.

生:一样的,加法用三角形法则或平行四边形法则,减法用三角形法则.

(用实物投影仪展示学生填表的结果)

师:你能做一些简单的说明,为什么适合吗?

生10:空间两个向量之间的线性运算问题其实就是平面向量的线性运算问题,所以很自然就可以把平面向量的线性运算法则推广到这里了.

师:那么运算律也应该完全适用吧?

生10:是的.

师:结合律涉及到3个向量,那结合律还适用吗?你能做简单的说明吗?

(让学生在下面讨论,并用实物投影仪展示学生的说明过程如图3,4)

师:我们发现线性运算的法则和运算律完全与平面向量是一致的.(用实物投影仪展示学生填表的成果见表3)

设计意图通过类比的手段得到空间向量的线性运算法则和运算律,类比是本节课的主要思想方法.

师:我们把平面向量的基本概念和线性运算完全推广到了空间向量,那么以后我们处理空间向量的线性运算问题的时候,怎么做呢?

生:用与平面向量线性运算一样的方法来处理.

师:这节课到目前为止,我们学了那些新知识吗?

生11:我感觉好像没有,好像就是在复习平面向量一样.

师:不过我们这个时候已经由平面推广到了空间.同学们还记得平面向量中有一类特殊的向量———共线(平行)向量吗?能否推广到空间向量?共线向量的定理能否推广到这里?

(学生回答共线 (平行)向量的定 义、记法、一个规定、共线向量的定理)

(学生自己 运算,找学生报 出结果k=-8)

师:平面向量中处理过类似的问题吗?

生12:有过,这是多点共线问题,在空间向量中,共线向量也可以处理多点共线问题.

设计意图通过练习2加强学生对共线向量定理的运用,通过在空间向量中的应用,也回忆和复习了它在平面向量中的运用,有利于学生将知识体系进行有机整合.

师:再看共线向量定理.请同学思考两个问题:

(1)当实数λ=0时,表示什么意思?

(2)充要条件中,为什么规定a≠0?

生13:当实数λ=0时,b只能为0,说明0与任意一向量共线.

师:问题(2)怎么解释?

生14:如果a=0,若b=0,则λ取任何常数都成立;若b≠0,λ取任何数都不对.所以规定a≠0.

师:很好,我再补充一下,如果b=0,若a=0,λ是取任何常数都成立(注意:这样λ就不惟一了);若a≠0,λ就只能取0了(此时λ惟一哦).所以我们对a有要求,而对b没有要求.

2.3数学运用

例1如图5,在三棱柱ABC-A′B′C′中,M是BB′的中点,化简下列各式,并在图中 标出化简得到的向量:

设计意图例1让学生自主解答,教师适当规范.通过变题,引导学生多个向量加减运算时注意运用“首尾相连,连首尾”原则.

例2如图6,在长方体OADB-CA′D′B′中,OA=3,OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1,点E,F分别是DB,D′B′的中点.设,试用向量i,j,k表示

变题(1)点F为D′B′的3等分点(靠近B′点),表示?

(2)点F为D′B′的4等分点 (靠近B′点),表示?

(3)点F为D′B′的n等分点 (靠近B′点),表示?

思路1利用三角形法则,空间向量问题平面化.

思路2首尾连接,连首尾.

设计意图例2及变题让学生自主解答并交流不同的解题思路,注意一题多解,也为后续学习空间向量的正交分解做铺垫.

练习3如图7,在立方体AC′中,E是面A′C′的中心,求下列各式中的x,y.

设计意图练习3让学生自己解答并上报结果,让学生体会到逆向思维及转化思想是解决数学问题常用的方法.

2.4小结

学生小结,教师补充,主要围绕以下几方面进行总结:

1)知识:概念、运算法则、运算律等;

2)思想方法:类比、归纳、推广、数 形结合、化归等思想方法.

2.5课后作业(略)

3教学后记

3.1教学设计思路

由于本节课是空间向量的起始课,同时又是平面向量的一个推广,是一节承上启下的课.而向量又是学生比较害怕的一个章节,所以课前让学生做充分的预习工作是很必要的.本课从学生熟悉的平面向量入手,引导学生用研究立体几何的方法———类比来探究空间向量的有关知识.在类比中生成空间向量的有关概念、运算律、运算法则等,在生成中把向量由二维平面推广到了三维空间,渗透数学转化的思想方法,提升学生的数学素养.本课设计的意图是将一节新授课转变为一节复习课,让学生在轻松的氛围中获得空间向量的有关知识.

3.2教学反思

3.2.1探究、合作的学习方式能够促进学生增长智慧

探究学习比较开放,它更重视学生的学习动机和独立思考意识,更强调过程,在积累直接经验、培养学生创新精神和实践能力方面有其独到之处.学生的探究能力是学生综合素质的一个重要方面,在学生的数学学习中发挥着越来越重要的作用.本节课利用教师对学情的准确把握,有针对性的让学生做好预习工作,同时课堂上进行自主探究,有效的提高了课堂效率.教学中,通过几个预设的教学环节,鼓励和引导学生自主地解决了一个又一个有层次、有挑战性的问题.这样的问题串,能够不断地激发学生的求知欲望,促进合作交流.在探究的过程中,学生有疑问、有猜想、有思考、有收获,有经历探索的刺激,有茅塞顿开的喜悦,有获得知识的成就感.

合作学习是当代学生学习数学的又一种重要方式.课堂上学生的合作学习,不仅仅是为了完成学习任务,更重要的是培养学生的合作意识和习惯.针对本课作为这一章的起始课这一特点,为了冲淡知识难点,有意识的让学生进行合作学习.从学生的最近发展区平面向量的知识引入,让学生在回顾复习旧知识的同时,新知识很自然的流淌出来,通过学生间相互的倾听,相互的交 流,相互的合作,让学生轻松地将新知识融入到自己的知识体系里.学生不会感到空间向量很难,不会再有太大的学习压力.在这样的课堂里,学生充分经历了探究与合作的过程,体验了数学的发现和创造的历程,知识与技能、过程与方法都会转化为学生永恒的能力和智慧,让他们受益终身.

3.2.2类比、转化的数学思想能够培养学生的思维

3.第10讲 平面向量及其线性运算 篇三

平面向量既是高中数学的基础知识，也是工具性知识.平面向量的基本概念是整个向量知识的基础，它的线性运算又是向量运算系统中最基本、最简单的运算.从考查内容来看，平面向量的概念题以考查向量的模与方向、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量为主，常与向量的运算考查相结合.平面向量的线性运算主要有三种考查方式：一是坐标形式的线性运算，二是几何形式的线性运算，三是用向量语言或向量的线性运算语言表示三角函数、立体几何、解析几何等问题.

命题特点

平面向量的基本概念及其线性运算在近几年高考命题中有以下特点.该部分的命题主要围绕三个点展开，第一个点是围绕向量的概念展开，考查基本概念的理解水平，以选择题或填空题为主，属容易题；第二个点是围绕线性运算展开，考查平面向量的线性运算，以选择题或填空题为主，属容易题；第三个点是围绕共线向量定理展开，考查向量的平行关系的应用，以选择题或填空题为主，属容易题或中档题.

纵观近几年的湖北高考卷中的平面向量的基本概念以及平面向量的线性运算题，题型常规，具有基础性和一定的综合性.在设问上“力求新颖，不偏不难”.在立意上突出对概念本质理解和运算能力的考查. 预计2015年对本部分的考查仍然会以基础、综合考查为主，继续考查平面向量的核心概念、向量的线性运算及其几何意义，考查向量共线充要条件的应用等.

1. 基本概念重基础

注重对核心概念（向量的模与方向、平行向量）的考查，考查对概念本质的理解水平.

例1 设[a]，[b]都是非零向量，下列四个条件中，使[aa=bb]成立的充分不必要条件是 （ ）

A. [a=-b] B. [a∥b]

C. [a=2b] D. [a∥b]且[a=b]

解析 A项可以推得[aa=-bb]，为既不充分也不必要条件；B项可以推得[aa=bb]或[aa=-bb]，为必要不充分条件；C项为充分不必要条件；D项同B项.

答案 C

点拨 本题实质上寻找两个非零向量同向的条件，平行有同向和反向两种情况. 两个非零向量的关系是高考中的一个重点，它们有相等、相反、平行、共线、同向、反向、等模等关系，在复习中一定要真正理解这些关系的本质，以及这些关系之间的区别和联系.

2. 线性运算重基础、重应用

平面向量的线性运算注重对运算法则及几何意义的考查，注重对线性运算应用的考查.

例2 已知[D，E，F]分别是[△ABC]的边[BC，CA，AB]的中点，且[BC=a]，[CA=b]，[AB=c]，则下列等式不正确的个数为 （ ）

①[EF=12c-12b]； ②[BE=a+12b]；

③[CF=-12a+12b]； ④[AD+BE+CF][=0].

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 如图，由向量加法、减法与数乘的运算法则可得，

[EF=AF-AE=12AB-12AC=12c-12b].

[BE=BC+CE=BC+12CA=a+12b].

[CF=CA+AF=CA+12AB=b+12c].

[AD=AB+BD=AB+12BC=c+12a]. [AD+BE+CF=（c+12a）+（a+12b）+（b+12c）]

[=32（a+b+c）=32（BC+CA+AB）=0].

所以只有③是错误的.

答案 A

点拨 本题充分考查了向量加法、减法、实数与向量的积的运算法则及其几何意义，要求借助几何图形的直观性，灵活选择合理简捷的运算途径.平面向量的三种线性运算的结果都是向量，不是数量，所以要注意零向量与零的写法区别.向量加法的法则有平行四边形法则和三角形法则，平行四边形法则只适用于不共线的两个向量的和；当多个非零向量相加时，三角形法则可推广到多边形法则，即各个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是和向量.向量减法的法则是三角形法则，注意差向量的方向是减向量的终点指向被减向量的终点.实数与向量的积是向量加法的推广，结果向量的方向与原向量的方向的关系，由实数的正负确定.注意实数与零向量的积、零与向量的积结果都是零向量.

3. 向量共线重应用、重新颖

向量共线的充要条件注重考查其应用，近几年高考题屡考屡新，常与平面向量基本定理、平面几何相结合进行考查.

例3 设向量[a]，[b]不共线.

（1）如果[AB=a-b]，[BC=3a+2b]，[CD=8a+2b]，求证：[A]，[C]，[D]三点共线；

（2）如果[AB=a+b]，[BC=2a-3b]，[CD=-2a+kb]，是否存在实数[k]，使[A]，[C]，[D]三点共线？若存在，求出[k]值；若不存在，请说明理由.

解析 由向量[a]，[b]不共线得，[CD]是非零向量

由[AB=a-b]，[BC=3a+2b]得，[AC=4a+b].

又[CD=8a+2b]，所以[CD=2AC]，所以[A]，[C]，[D]三点共线.

（2）假设存在实数[k]，使[A]，[C]，[D]三点共线，即存在实数[λ]，使得[CD=λAC].

因为[AB=a+b]，[BC=2a-3b]，[CD=-2a+kb]，

所以[3a-2b=λ（-2a+kb）].

又因为[a]，[b]不共线，

所以[3=-2λ]且[-2=λk]，解得，[λ=-32]，[k=43].

故存在实数[k]，使[A]，[C]，[D]三点共线，且[k=43].

nlc202309032057

例4 如图所示，[A]，[B]，[C]是⊙[O]上三点，线段[CO]的延长线与线段[BA]的延长线交于[D]点，若[OC=mOA][+nOB（m，n∈R）]，则[m+n]的取值范围是________.

解析 因为[O]，[C]，[D]三点共线，且[D]在[CO]的延长线上，

所以存在实数[t]，使[OC=tOD]且[-1

从而[tOD=mOA+nOB].

又因为[A]，[B]，[D]三点共线，所以[m+n=t]，故[m+n]的取值范围是[（-1，0）].

答案 [（-1，0）]

点拨 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的应用.证明三点共线，可用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.由共线向量的充要条件可得：（1）若[a]与[b]不共线且[λa=μb]，则[λ=μ=0]；（2）若[OA=λOB+μOC]（[λ]，[μ]为实数）且[A]，[B]，[C]三点共线，则[λ+μ=1].

备考指南

1. 要掌握好基础知识.首先掌握好向量的大小、方向及其表示，相等向量、平行向量、共线向量的含义，注意单位向量、零向量的特性；其次理解向量的加法、减法及实数与向量的积的运算法则、运算律及其几何意义，理解向量共线的充要条件. 注意向量与实数、向量与有向线段、向量共线与点共线、向量平行与直线平行的区别与联系.

2. 重点掌握向量、向量加法与减法运算的几何意义、实数与向量的积的几何意义、熟练掌握向量加法、减法及实数与向量的积运算律，熟练掌握向量共线的充要条件，掌握数形结合思想、方程思想、转化与化归思想.

3. 向量本身具有数与形的双重身份，因而许多向量问题可以转化几何问题，在解决与几何有关的向量问题时，可结合几何图形的性质和向量知识来解题.

限时训练

1. 若数列[an]的前n项和为[sn=n2+1]，则向量[m=（a1，a4）]的模为 （ ）

A. [53] B. [50]

C. [53] D. [2]

2. 设[P]是[△ABC]所在平面内的一点，[BC+BA=2BP，]则 （ ）

A. [PA+PB=0] B. [PC+PA=0]

C. [PB+PC=0] D. [PA+PB+PC=0]

3. 给出下列命题，其中错误命题的个数为 （ ）

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③[λa=O]（[λ]为实数），则[λ]必为零；

④[λ，u]为实数，若[λa=ub]，则[a]与[b]共线.

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

4. 在[△ABC]，已知[D]是[AB]边上一点，若[AD=2DB]，[CD=13CA+λCB]，则[λ]等于（ ）

A. [23] B. [13]

C. [-13] D. [-23]

5. 设[D，E，F]分别是[△ABC]的三边[BC，CA，AB]上的点，且[DC=2BD，CE=2EA，AF=2FB]，则[AD+BE+CF]与[BC] （ ）

A. 反向平行 B. 同向平行

C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直

6. 如果[a，b]是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 （ ）

A. [a=b] B. [a?b=1]

C. [a=-b] D. [|a|=|b|]

7. [△ABC]中，点[D在边AB]上，且[∠BCD=∠ACD]，若[CA=a]，[CB=b]，且[|a|=1，|b|=3]，则[CD]= （ ）

A. [14b+54a] B. [14b+34a]

C. [34b+14a] D. [14（a+b）]

8. 设[a，b]都是非零向量，下列四个条件中，使[aa=-bb]成立的充分条件是 （ ）

A. [a=-2b] B. [a//b]

C. [a=2b] D. [a//b]且[|a|=|b|]

9. 点[P]是[△ABC]所在平面内点，若[CB=λPA+PB]（[λ∈R]），则点[P]一定在 （ ）

A. [△ABC]的内部

B. [AC]边所在的直线上

C. [AB]边所在的直线上

D. [BC]边所在的直线上

10. 若[A，B，C]三点共线，[O]是这条直线外的一点，满足[mOA-2OB+OC=O]，则[m]的值为 （ ）

A. 1 B. 2

C. -3 D. -4

11. 在边长为1的等边[△ABC]中，设[BC=2BD，][CA=3CE]，用向量[AB，AC]作为基底表示向量[BE]，则[BE]= .

12. 若点[O]是[△ABC]所在平面内的一点，且满足[OB-OC=OB+OC-2OA]，则[△ABC]的形状为 .

13. [O]为[△ABC]所在平面内一点，且满足[OA+2OB][+3OC=0]，则[△AOC与△BOC]的面积的比值为 .

14. 已知两个不共线向量[OA]，[OB]的夹角为[θ]，且[OA=3]，若点[M]在直线[OB]上，且[OA+OM]的最小值为[32]，则[θ]的值是 .

15. 在[△ABC]中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线[AB，AC]于不同两点[M，N]，若[AB=mAM，][AC=nAN]，求[mn]的最大值.

16. [A，B，P]是直线[l]上不同的三点，点[O]在直线[l]外，若[OP=mAP+][（2m-3）OB（m∈R）]，求[PBPA]的值.

17. 如图，已知在[△OAB]中，点[C是以A]为中心的点[B]的对称，[D]是将[OB]分成2[∶]1的一个内分点，[DC和OA]交于点[E]，设[OA=a，OB=b].

（1）用[a和b]表示向量[OC，DC]；

（2）若[OE=λOA]，求实数[λ]的值.

18. 在[ΔABC]中，[AB=c，AC=b]，对于平面[ABC]上任意一点[O]，动点[P]满足[OP=OA+λc+μb]（[λ>0，μ>0]）.

（1）若[λ=bsinC，μ=csinB]，则动点[P]的轨迹是什么？说明理由.

（2）若[λ=b，μ=c]，情况又如何？

4.空间向量及其运算专题 篇四

一、教学分析

向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.二、教学目标：

1、知识与技能：

了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。

2、过程与方法：

通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。

3、情感态度与价值观：

通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。

三、重点难点

教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.四、学法指导

减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结

合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。

五、教学设想

（一）导入新课

思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.（二）推进新课、新知探究、提出问题

①向量是否有减法？

②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？ ③如何理解向量的减法？

④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？

活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则

图1 如图1,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.图2(2)三角形法则

如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义

a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题

①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么? ②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢? 讨论结果:①AB=b-a.②略.（三）应用示例

如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.图3

活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平

移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.变式训练

(2006上海高考)在ABCD中,下列结论中错误的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA=0正确.答案:C

例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?

图4

活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b, 同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.变式训练

1.(2005高考模拟)已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

图5 解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c, 结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？ ②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 ？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？

图6 解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为: ①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)

点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量, 此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练

已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作AB=a,BC=b,则由假设CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA与AC是一对相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,则AC=a+b,又由条件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式两边同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.（四）课堂小结

5.空间向量及其运算专题 篇五

教材版本：人民教育出版社A版，普通高中课程标准实验教材，数学必修4

教学内容：高中数学必修4，第二章《平面向量》第二节向量的加法运算及其几何意义第1课时

一、教学目标

知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则 作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．

能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为 数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发 学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．

二、重点与难点

重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量． 难点：理解向量的加法法则及其几何意义．

三、教法学法

教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”． 学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．

四、教学过程

新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了下面几个教学环节

一、复习回顾

1、向量、平行向量、相等向量的含义是什么？

2、用有向线段表示向量，向量的大小和方向是怎样反映的？什么叫零向量和单位向量？

二、合作探究

【问题1】如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？

学生活动：学生讨论，集体回答

点评：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以进行加法运算。

2、向量加法的定义

B如图，已知非零向量a、b，在平面内

abAC取一点A，作ABa，BCb，则AC叫作a与b的和。两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量。一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

点评：加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征．

3、向量加法的运算法则

【问题2】上面整个计算过程中我们作了一个什么图形？你能不能结合图形给这种运算法则起个名字？

学生活动：学生讨论，集体回答

（1）三角形法则：定义中求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则

位移的合成可以看成向量加法三角形法则的物理模型。（2）平行四边形法则

【问题3】图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿GE方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？ 学生活动：集体回答

【问题4】通过刚才这个过程你发现对向量进行加法运算还可以怎样进行？ 学生活动：学生讨论，集体回答

点评：以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。

三、例题精解

例

1、已知向量a、b，分别用向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则 作出向量a+b

教学活动：师板演作图过程，生集体回答注意事项 小试牛刀

学生活动：学生自主解答，生代表展示讲解做题过程 点评：使学生熟练掌握向量加法的两个运算法则

四、模的关系探究 【问题4】想一想

ab（1）若两向量互为相反向量,则它们的和是什么?（2）零向量和任一向量a的和是什么?（3）ab，|a+b|和

ab的大小关系如何？何时能取到等号呢？

学生活动：学生讨论，代表回答

设计意图：通过三角形三边关系，让学生找出向量的模与他们和的模之间的大小关系。

五、类比联想，探究性质

1、你能说出实数相加有哪些运算律吗？类比实数加法的运算律，向量是否也有运算律？

2、作图验证

（1）b+a的结果与a+b是否相同？（2）(a+b)+c的结果与a+(b+c)的结果呢？

学生活动：学生讨论，代表展示验证过程

设计意图：通过作图验证，加深学生对向量加法运算律的理解。

3、练一练 根据图示填空:

EefDdCg(1)ab=________(2)cd=________(3)abd=______(4)cde=______ cAb

Ba设计意图：在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到 n 个向量相加的形式．

六、实际应用

例

2、长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).变式训练

船在静水 的速度是6Km/s,水流的速度是3Km/s,则要使船到对岸的路程最短，它应该朝那个方向前进？船的实际速度是多少？

设计意图：加强学生对向量加法运算的实际应用能力。

六、小结（这节课我学会了什么？）本环节有课堂小结和作业布置两部分内容： 课堂小结：

【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？

作业布置：

1、化简

(1)ABCDBC________(2)MABNACCB________(3)ABBDCADC________

6.空间向量及其运算专题 篇六

教学目标

1．理解平面向量的坐标表示方法，包括起点是坐标原点的向量坐标表示法，起点不是坐标原点的向量坐标表示法、相等向量的坐标表示法．

2．掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示法．

教学重点和难点

重点：平面向量的坐标表示法，特别是起点不是坐标原点的向量坐标表示法．平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标运算．

难点：起点不是坐标原点的向量的坐标表示．

教学过程设计

(一)复习近平面向量的基本定理：

如果一向量、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任

＝λ

1，有且只有一对实数λ

1、λ2，使、λ

2．这里、表示这一平面内的一组基底．平面向量的基本定理说明：同一平面内任一向量都可沿两个不共线的基底进行分解．

(二)导入新课

1．平面向量的坐标表示

在直角坐标平面内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，由平面向量基本定理，对平面内任一向量对实数x，y，使

＝、，有且只有一

x＋y．我们把(x，y)叫向量

在y轴上的坐标．的(直角)坐标．其中x叫在x轴上的坐标．y叫 ＝(x，y)叫向量的坐标表示．

(1)目前我们已掌握了向量的三种表示方法：

表示法是向量的代数表示法，它有利于向量的运算．

(2)根据向量可以平移的观点，平面内与向量相等的向量的坐标也为(x，y)．

(3)显然： ＝(1，0)，＝(0，1)，＝(0，0)．

(4)在坐标平面内设＝x＋y，向量的坐标为(x，y)，这就是点A的坐标，反过来点A的坐标(x，y)就是向量的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示．

(5)设A点的坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)

2．平面向量的坐标运算

(Ⅰ)向量的加法：已知向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．两向量的和：

＋＝(x1＋y1)＋(x2＋y2)

＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)．

(Ⅱ)向量的减法：已知向量差：

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．两向量的 －＝(x1＋y1)－(x2＋y2)

＝(x1－x2)＋(y1－y2)．

＝(x，y)和实数λ．

(Ⅲ)实数与向量的积：已知向量

λ＝λ(x＋y)＝λx，λy．

(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

(2)根据向量差的坐标运算，我们可以得到起点不是原点的向量的坐标表示．

设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)．

求向量的坐标．

作向量、． ＝－．即＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．

由此得到：一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．

(三)学生课堂练习(黑板板演，加课堂练习)

1．课本练习3．已知A、B两点的坐标，求、的坐标．

(1)＝(3，4)，＝(－3，－4)．(2)＝(9，－1)，＝(－9，1)．

(3)5，0)．

2．课本练习1

(1)+＝(3，6)，－=(7，－5)

－

=(－7，2)．(2)

+

=(1，11)，＝(0，2)，＝(0，－2)．(4)

＝(5，0)，＝(－

(3)+＝(0，0)，－＝(3，－4)．

3．课本练习2 －

24．课本练习4

∴ AB∥CD．

+

4＝(4，6)．(4)+=(3，4)，－

＝(－6，－8)，4+3＝(12，5)．

＝

．

＝(1，－1)，＝(1，－1)，(四)教师讲解例题，巩固提高

例1 已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，求顶点D的坐标．

分析：平行四边形ABCD中，＝

．由此来确定D点的坐标．

解：设D点坐标为(x，y)．

＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．

由＝．(1,2)＝(3－x，4－y)．

∴D点坐标为(2，2)．

例2 已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，以为一组基底来表示

分析：向量＋＋＝λ

＋

1、＋＋+λ

2＋． 的坐标可求出，、的坐标可求出．设

．可求出λ

1、λ2．

＝(－4，2)，＝(－5，1)．

解： ＋ ＝(－3，5)，＋

＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．

＝(2，4)． ＝(1，3)，＋＋＝λ

1＋λ

2，(－12，8)＝λ1(1，3)＋λ2(2，4)＝(λ1＋2λ2，3λ1＋4λ2)．

∴ ＋

＋

＝

32－22

．

(五)小结：教师总结重点内容

1．向量的坐标表示

＝(x，y)．

2．起点不是原点的向量的坐标求法，A(xA，yA)，B(xB，yB)，(xB－xA，yB－yA)．

＝

一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．

3．向量的坐标运算

＋

＝(x1，y1)，－

＝(x2，y2)．

＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(λx1，λy1)．

(x1－x2，y1－y2)．

λ·

7.空间向量及其运算专题 篇七

[ ] 1. 底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.如图所示，在平行六面体[ABCD-][A1B1C1D1]中，[M]为[AC]与[BD]的交点，[N]为[BB1]的靠近[B]的三等分点，若[A1B1=a，A1D1=b，A1A=c]，则向量[MN]等于（ ）

[A. -12a+12b+13c] [B. 12a-12b-13c]

[C. 12a+12b-13c] [D. -12a-12b+23c]

2. 设[α，β]为两个不同的平面，[m，n]为两条不同的直线，且[m?α，n?β]，有命题[p：]若[m∥n]，则[α∥β]；命题[q：]若[m⊥β]，则[α⊥β].那么（ ）

A. “[p]或[q]”是假命题

B. “[p]且[q]”是真命题

C. “非[p]或[q]”是假命题

D. “非[p]且[q]”是真命题

[ ]3. 如图所示，矩形[O′A′B′C′]是水平放置的一个平面图形的直观图，其中[O′A′=6cm，O′C′=2cm，]则原图形是（ ）

A. 正方形 B. 矩形

C. 菱形 D. 一般的平行四边形

4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

[ ][俯视图] [4][侧视图][正视图] [ ]

A. [16+4π3] B. [16+32π]

C. [32+8π3] D. [32+8π]

5. 设[m，n，l]是三条不同的直线，[α，β]是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若[m?α，l?α=A，A?m]，则[l]与[m]不共面；②若[m]，[l]是异面直线，[l∥α，m∥α]，且[n⊥l，n⊥m]，则[n⊥α]；③若[m]，[n]是相交直线，[m?α，m∥β，n?α，n∥β]，则[α∥β]；④若[l∥α，m∥β，α∥β]，则[l∥m]. 其中真命题有（ ）

A. [4]个 B. [3]个 C. [2]个 D. [1]个

6. 在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB=1]，若二面角[C-AB-C1]的大小为[60°]，则点[C]到平面[C1AB]的距离为（ ）

A. [32] B. [64] C. [94] D. [34]

[ ]7. 如图，四棱锥[P-ABCD]的底面[ABCD]为正方形，且[PD]垂直于底面[ABCD]，[PN=13PB]，则三棱锥[P-ANC]与四棱锥[P-ABCD]的体积之比为（ ）

A. [1∶2] B. [1∶3] C. [1∶6] D. [1∶8]

8. 已知矩形[ABCD]的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线[AC]把[ΔACD]折起，则三棱锥[D-ABC]的外接球的表面积等于（ ）

A. [4π] B. [8π] C. [12π] D. [16π]

9. [PA，PB，PC]是从点[P]出发的三条射线，每两条射线的夹角均为[60°]，那么直线[PC]与平面[PAB]所成角的余弦值是（ ）

A. [12] B. [22] C. [33] D. [63]

[ ]10. 如图，直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，侧棱长为2，[AC=BC=1，∠ACB=90°]，[D]是[A1B1]的中点，[F]是[V-ABCD]上的动点，[AB1，DF]交于点[E].要使[AB1⊥平面C1DF]，则线段[B1F]的长为（ ）

A.[12] B. [1] C. [32] D. [2]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知点[A1，2，-1]，点[B]与点[A]关于平面[xOy]对称，点[C]与点[A]关于[x]轴对称，则[BC=] .

12. 设[M，N]是直角梯形[ABCD]两腰的中点，[DE⊥AB]于[E]（如图所示），现将[ΔADE]沿[DE]折起，使二面角[A-DE-B]的大小为[45°]，此时点[A]在平面[BCDE]内的射影恰为点[B]，则[M，N]的连线与[AE]所成的角的大小等于 .

13. 在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，点[P，Q]分别在棱[BB′，CC′]上，且[BP=2PB′，CQ=3QC]，若三棱柱的体积为[V]，则四棱锥[A-BPQC]的体积是 .

[ ]14. 如图，已知球[O]是棱长为1的正方体[ABCD-A1B1C1D1]的内切球，则以[B1]为顶点，以平面[ACD1]被球[O]所截得的圆为底面的圆锥的全面积为 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 如图，在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[AD=AA1=1]，[AB=2]，点[E]在棱[AB]上移动.

（1）求证：[D1E⊥A1D]；

（2）当[E]点为[AB]的中点时，求点[E]到平面[ACD1]的距离；

（3）[AE]为何值时，二面角[D1-EC-D]的大小为[π4]？

[ ]

16. 如图1，在直角梯形[ABCD]中，[∠ADC=90°]，[CD∥AB]，[AB=4]，[AD=CD=2]，[M]为线段[AB]的中点. 将[ΔADC]沿[AC]折起，使平面[ADC⊥]平面[ABC]，得到几何体[D-ABC]，如图2所示.

[图1][图2]

（1）求证：[BC⊥]平面[ACD]；

（2）求二面角[A-CD-M]的余弦值.

17. 如图，在四棱锥[S-ABCD]中，底面[ABCD]是直角梯形，侧棱[SA⊥]底面[ABCD]，[AB]垂直于[AD]和[BC]，[SA=AB=BC=2]，[AD=1]. [M]是棱[SB]的中点.

（1）求证：[AM∥]平面[SCD]；

（2）求平面[SCD]与平面[SAB]所成二面角的余弦值；

（3）设点[N]是直线[CD]上的动点，[MN]与平面[SAB] [ ]所成的角为[θ]，求[sinθ]的最大值.

18. 如图，[AB]为圆[O]的直径，点[E]，[F]在圆[O]上，[AB∥EF]，矩形[ABCD]所在的平面与圆[O]所在的平面互相垂直. 已知[AB=2]，[EF=1].

（1）求证：平面[DAF⊥]平面[CBF]；

（2）求直线[AB]与平面[CBF]所成角的大小；

（3）当[AD]的长为何值时，平面[DFC]与平面[FCB]所成的锐二面角的大小为[60°]？ [ ]

8.空间向量及其运算专题 篇八

专题复习：空间中直线、平面平行的判定及其性质（修改前教案）环节二：典例精析：

讲解例1（此例题的目的是让学生初步学会在要证明平行的平面内讲解例2（此例题的目的是让学生初步学会利用线面平行的性质定理证明线线平行的方法，处理方法同例1）

学习目标：

1.理解线面平行、面面平行的判定及性质定理，并会灵活

应用。

2.会进行空间线面平行位置关系的转化。

3.培养学生逻辑推理能力，并能规范的书写论证步骤。

教学过程：

环节一：内容回顾：由教师向学生就下面六个问题向学生提问： 直线与平面有哪几种位置关系：

平面与平面有哪几种位置关系：

直线与平面平行的判定定理的内容：

面面平行的判定定理的内容:

直线与平面平行的性质定理的内容：

面面平行的性质定理的内容：/ 2

找到与平面外的直线平行的直线的方法：即构造三角形，找中位线法，处理方法以教师讲解为主，启发学生自主探究为辅。）例１:（２０１３全国文改编）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点。证明：BC1//平面ACD11；

A1

C 1

A

D

环节三：巩固练习与拓展应用

让学生做下面两个练习题巩固所学，处理方法是选两个学生上黑板做，其余学生在学案上做，然后教师启发学生用别的方法做，比如构造平行四边形找平行线及用面面平行证线线平行。练习１：(2012年辽宁文改编)如图，直三棱柱

ABCA/B/C/中，点M，N分别为A/B和B/C/的中点。证明：MN∥平面A/

ACC/

;

:/ 2

练习２

环节四：知识梳理与课堂小结：

9.空间向量及其运算专题 篇九

一．【课标要求】

（1）平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；

（2）向量的线性运算

①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件

二．【命题走向】

本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。

预测2010年高考：

（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；

（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三．【要点精讲】

1．向量的概念

①向量

既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法axiyj(x,y)。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小

②零向量

长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0｜a｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）③单位向量

模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量｜a0｜＝1。

④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相

反的向量，称为平行向量，记作a∥b。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的

⑤相等向量

长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab。大小相等，方向相同

xx2。(x1,y1)(x2,y2)1y1y22．向量的运算（1）向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC。规定：

（1）0aa0a；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

ABBCCD。PQQRAR，但这时必须“首尾相连”（2）向量的减法

①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

记作a,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：

（i）(a)=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0。

②向量减法

向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：aba(b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法

③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。（3）实数与向量的积

①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa；

（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相

反；当0时，a0，方向是任意的。

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 3．两个向量共线定理：

向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。

4．平面向量的基本定理

如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

5．平面向量的坐标表示

（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，axiyj，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

规定：

（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；

（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。

（2）平面向量的坐标运算：

①若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2； ②若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1； ③若a=(x,y)，则a=(x, y)；

④若ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10。6．向量的数量积

（1）两个非零向量的夹角

已知非零向量a与a，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角； 说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向； （3）当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b； 2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。

（2）数量积的概念

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积）。规定0a0；

向量的投影：︱b︱cos=为射影；

（3）数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积（4）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：aaa2|a|2。②乘法公式成立

ab∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称|a|abababaaba2abba222222b； 2abb；

222③平面向量数量积的运算律 交换律成立：abba；

R；

分配律成立：abcacbccab。对实数的结合律成立：ababab④向量的夹角：cos=cosa,babab=

x1x2y1y2x1y1x2y22222。

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

（5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2。（6）垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b。

两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20，平面向量数量积的性质。

（7）平面内两点间的距离公式

设a(x,y)，则|a|2x2y2或|a|x2y2。

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式)

2．向量的应用

（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。

五．【思维总结】

数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点

（1）向量的加法与减法是互逆运算；

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；