怎么解方程

怎么解方程（17篇）

1.怎么解方程 篇一

列方程解下列应用题。

1、小红身高152厘米，比小明矮5厘米。小明身高多少厘米？

2、某水库的水位达14.14米，超过警戒水位0.64米。这个水库的警戒水位是多少米？

3、学校食堂运来60袋大米，比运来的面粉多15袋。运来面粉多少袋？

4、一只大象的体重是6吨，正好是一头牛的15倍。一头牛的体重是多少吨？

5、军军跑步后每分钟心跳130下，比跑步前多55下。跑步前每分钟心跳多少下？

6、张庄今年植树节栽杨树420棵，比栽柏树少330棵，栽柏树多少棵？

7、今天卖出《小数报》86份，比昨天多18份，昨天卖出多少份？

8、汽车每小时行80千米，比火车每小时少行30千米。火车每小时行多少千米？

9、爷爷今年65岁，是小明年龄的5倍，小明今年多少岁？

二、列方程解应用题。

1、学校买来20米长的布，准备做16件儿童表演服。每件儿童表演服用布多少米？

2、王老师买奖品，其中有42棵练习本，是日记本的3倍。日记本有多少本？

3、一分钟过去了，地球上大约又增加了300个婴儿，全球平均每秒有大约多少个婴儿出生？

4、五（6）中队用水桶在一个滴水的龙头下接水，3小时一共接了1.8千克。这个水龙头每分钟浪费多少克水？

5、一瓶雪碧，平均分给5个小朋友，每人正好分得400毫升。这瓶雪碧一共有多少毫升？

6、小军家去年的总收入是10.8万元，比今年少2.4万元，今年收入多少？

7、地球上海洋的面积有3.6亿平方千米，大约是陆地面积的1.5倍。陆地面积大约是多少亿平方千米？

8、一块小麦地占地600平方米，已知长是30米，求宽是多少米？

9、红山动物园有102只天鹅。其中白天鹅有68只，其余都是黑天鹅。黑天鹅有多少只？

2.怎么解方程 篇二

一、忽视分母为零分式没有意义

例1 解方程undefined

错解:去分母原方程转化为:x2-x-2=0,

∴ (x-2) (x+1) =0.

∴x-2=0或x+1=0.

∴x1=2, x2=-1.

∴x1=2, x2-1是原方程的解。

诊断:通过去分母把原方程化为整式方程时, 方程两边同乘以 (x+1) (x-1) ;所得的整式方程与原方程不一定同解, 所求得的根会使原方程的分母为零而无意义;因此解分式方程必须验根。

正解:去分母原方程化为:x2-x-2=0,

∴ (x-2) (x+1) =0.

∴x-2=0或x+1=0.

∴x1=2, x2=-1.

经检验x=2是原方程的根,

∴x=2是原方程的解。

二、不该约分时约分

例2 解方程:undefined

错解:方程两边通分得:

undefined

方程两边约去-x+5得:

undefined,

去分母得:x2-7x+12=x2-3x+2.

解上方程得:x=2.5.

经检验x=2.5是原方程的解。

诊断:本题受方程两边同乘或除以同一个不为零的整式和数使方程的值不变的影响;两边约去了-x+5缩小了未知数的取值范围引起失根。

正解:方程两边通分得:

undefined

移项提取公因式得:

undefined

∴x-5=0或undefined

解上方程得:x=5或x=2.5.

经检验x=5, x=2.5是原方程的解。

三、不能正确用完全平方公式

由于同学们对 (a±b) 2=a2±2ab+b2中的2ab这一项不加以重视, 误认为a2+b2= (a±b) 2而出现解题中的错误。

例3 解方程:undefined

分析:本题如果我们用常规方法来解会出现高次方程, 把问题复杂化, 因此要解决这个问题只有用换元法来解。

错解:设undefined, 则undefined

∴原方程转化为y2+y=0.

∴y (y+1) =0.

∴y1=0, y2=-1.

当y1=0时, undefined

∴去分母后转化为x2+1=0,

∴x2=-1.

∴此方程无解。

当y2=-1时, undefined

∴去分母后转化为x2+x+1=0.

∵△=-3<0,

∴此方程无解。

诊断:在换元中将“undefined”误用而错。

正解:设undefined, 则undefined

∴原方程化为:y2+y-2=0.

∴y+2=0或y-1=0.

∴y1=-2, y2=1.

当y1=-2时, undefined

∴去分母后转化为x2+2x+1=0.

∴ (x+1) 2=0.

∴x1=x2=-1.

当y2=1时, undefined

∴去分母后转化为:x2-x+1=0.

∵△=-3<0,

∴此方程无解。

经检验x1=x2=-1是原方程的解。

四、忽视题设条件

例4 已知x为实数, 且undefined, 那么x2+3x的值是多少?

错解:设x2+3x=y, 则原方程可化为undefined,

即y2+2y-3=0,

∴y1=-3, y2=1.

∴x2+3x=-3或x2+3x=1.

诊断:本题如果用常规方法来解会出现高次方程, 因此可用换元法来解之, 但若忽视“实数”这个题设条件, 求得的值若不加检验直接写出, 则前功尽弃。

正解:设x2+3x=y, 则原方程可化为undefined,

即y2+2y-3=0,

∴y1=-3, y2=1.

∴x2+3x=-3或x2+3x=1,

3.多种方法解方程 篇三

我用上一期学会的方法来做。

这是一个减法算式，x在等式中是减数，根据“减数=被减数-差”，方程可以这样解。

20-x=9

解： x=20-9

x=11

我有不同的解法。我根据“等式两边加上相同的式子，左右两边仍然相等”这一等式的性质来解方程。

20-x=9

解：20-x+x=9+x

20=9+x

将20=9+x左右换位得到9+x=20，再用一次等式的性质，左右两边减去9，即9+x-9=20-9，最终算得x=11。

如果是除法的题目，你会做吗？请看题：2.1÷x=3。

2.1÷x=3

解： 2.1÷x×x=3×x （等式两边乘以相同的式子，左右两边仍然相等）

2.1=3×x

3×x=2.1 （左右换位，将含x的式子放到等号左边）

3×x÷3=2.1÷3 （等式两边除以相同的数3，左右两边仍然相等）

x=0.7

你学会了吗？来挑战下面的题目吧！

一、解方程。

43-x=38 6.3÷x=7

3÷x=1.5 15-x=2

二、用方程表示下面的等量关系，并求出方程的解。

1. 8除以x等于5。

2. x加上35等于91。

3. x的3倍等于57。

三、挑战巅峰。

解方程：9x+25=7x+60

（答案在本期找）

4.解方程_教案 篇四

【教学目标】

1．通过操作、演示，进一步理解等式的性式，并能用等式的性质解简单的方程，在解方程的过程中，初步理解方程的解与解方程。

2．通过创设情境，经历从具体抽象为代数问题的过程，渗透代数化思想，并通过验算，促进良好学习习惯的养成。

3．在观察、猜想、验证等数学活动中，发展学生的数学素养。

【教学重难点】

1．会用等式的性质解方程。

2．理解算理。

【教学过程】

一、创设情境，生成问题

同学们，还记得上节课我们一起玩过的天平游戏吗？谁来说说你从中获得了什么知识？（引导学生回忆等式的性质即天平平衡原理）。同学们在游戏中的收获可真不少，还想不想玩游戏？（想）好，现在我们就一起玩个猜球游戏：

师出示一个不透明的乒乓球盒，让学生猜里面有几个球？（学生可以任意猜）

师：盒子里面有几个球，1个？2个？„„你能准确说出盒子里有几个吗？

生：不能！

师引导学生可以用字母X来表示球的个数。

师：要想准确知道有几个球，再给同学们一些信息。（师课件出示天平左边一个不透明盒子和3个球，右边透明盒子里有9个球，天平平衡）

设问：能用一个方程来表示吗？（板书X+3=9）

师：现在你知道X的值是多少吗？

（设计意图：先通过回味上节课的天平游戏旨在对等式的性质即天平平衡原理作必要的知识回顾，同时自然而然的引出猜球游戏，并在游戏中生疑，层层设问，步步为营，为下面的学习创设良好的问题情境，使学生兴趣盎然的投入到学习活动中去。）

二、探索交流，解决问题。

1．独立思考：盒子里有几个球？也就是X所表示的数值是多少？（由于数据较小，学生/ 4

能够独立思考出结果）

2．小组内交流；你是怎样想的？

（这里给与学生一定的思考和交流的时间，重点让学生说说自己的思考过程）。

3．全班交流：X的值是多少？你是怎样想的？

学生可能有以下几种想法：

（1）利用加减法的关系：9-3=6．

（2）想6+3=9，所以X=6．

（3）把9分成6+3，想X+3=6+3，所以X=6．

（4）在方程两边同时减去一个3，就得到X=6

师：同学们的想法真不少。我们看前三个同学都是利用加减法的关系或数的分成想出了答案。第四个同学的想法有什么不同？他的想法对吗？我们可以来验证一下。

4．操作验证：师拿出课件演示中的天平实物（天平左边一个不透明盒子和3个球，右边透明盒子里有9个球，天平平衡。注意两个盒子的质量相等）

师问：现在谁来试一试？想想左右两边同时拿去三个乒乓球天平会怎么样？（学生拭目以待，跃跃欲试）

学生操作演示，天平平衡。

（设计意图：通过操作演示使学生进一步理解等式的性质，初步体会到可以用等式的性质解方程）

师：通过操作我们发现他的想法是对的！以后我们就用等式的性质来求方程中未知数的值。这个演算过程如何书写呢？

让学生先同桌交流发表自己的看法，然后师边示范边强调：首先在方程的第二行起写一个“解”字，利用等式的性质两边同时减去一个3，为了美观注意每步等号要对齐。

师板书如下：

X+3=9

解：x+3-3=9-3 x=6

重点问：左右两边同时减去的为什么是3，而不是其它数呢？

学生纷纷说出想法。

师结：方程两边减去3以后，左边刚好剩下一个x，这样，右边就刚好是x的值。因此，解方程说得实际一点就是通过等式的变换，如何使方程的一边只剩下一个x即可。

师：我们要想知道算的对不对，不能每次都用天平来验证吧，尤其是遇到较大的数。（学/ 4

生点头认同）

师：那怎麽办呢？

生：可以验算!师：怎么验算？

学生可以交流，根据学生的回答老师板书验算方法：

验算：方程的左边=X+3 =6+3 =9

=方程的右边

所以，X=6是方程的解。

师：像上面X=6这样使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。而求方程的解的过程叫做解方程。

同时课件出示两个概念，让学生说说两个概念有什么不同？

师明确：方程的解是一个具体的数值，而解方程是一个过程，解方程的目的就是求方程的解。

（设计意图：这里根据学生已有的知识衔接，将教材稍作处理先教学方程的解法，再揭示方程的解和解方程两个概念，使整个教学流程顺畅自然，水到渠成，更易于学生对知识的理解和掌握。）

师：同学们已掌握了解方程的方法，看这个方程你会解吗？

课件出示信息图，让学生看图列出方程3X=18，师抛出问题：这个方程如何解呢？要根据方程的哪个性质来解？

师：谁愿意来板演？（其他学生练习本上做）

教师针对学生做题情况，重点强调：根据“方程的两边同时除以一个不等于0的数，左右两边仍然相等”来解方程。

（设计意图：本环节老师抛出问题后就放手给学生做，给学生提供独立探索的机会，体验独立解方程的全过程，充分体现让学生自主学习这一教学理念。）

三、巩固应用，内化提高。

1．慧眼识珠

从后面括号中找哪个是x的值是方程的解？

(1)x+32=76

(x=44，x=108)(2)12-x=4

(x=16，x=8)2．看图列方程并解答（做一做）/ 4

3．我是解题小冠军

（设计意图：本环节我努力将原本枯燥的数学练习变的形式多样、新颖有趣，努力从评价语言评价方式等方面激发学生的学习兴趣，使学生始终处于兴趣浓、情绪高、思维活、反应快的最佳学习状态。）

四、回顾整理，反思提升。今天你有哪些收获？你学会了什么？

【板书设计】

解方程

例1

X+3=9

例2

3x=18 解：x+3-3=9-3

解：3x÷3=18÷3

x=6

x=6 验算：方程的左边=X+3

验算：方程的左边=3x =6+3

=3×6

=9

=18

=方程的右边

=方程的右边

所以，X=6是方程的解。

所以，X=18是方程的解。

【教学反思】

5.《解方程》教学反思 篇五

教材是利用等式的性质来解方程。通过天平游戏，探索等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边都乘一个数（或除以一个不为0的数），等式仍然成立的性质。利用探索发现的等式的性质，解简单的方程。如求出y+8=10中的未知数y。教材呈现了两种思路。一种是学生直接想“？+8=10”，从而得出答案。另一种是利用等式的性质解方程，即“方程的两边都减8”的方法。y+8－8=10－8，y=2。这样解方程，刚开始时，为了学生理解方便，等号左边的“+8－8”都要写出来，会比较麻烦，也容易出错。《数学课程标准》提倡算法多样化的新理念，激发了我对解方程这课从不同的角度来进行解读和探讨，因此，在学生理解了用等式的性质解方程后，我又留给学生一定的时间和空间，让学生独立思考，发挥各自的聪明才智，自主探索，找出不同的解题方法。

学生经历了独立思考，掌握的知识才更深刻、更透彻。久而久之，将促使学生养成独立思考的习惯，培养了学生解决问题的能力。将学生的方法整理后，我又适时给学生提供了另外两种解方程的方法，利用加、减、乘、除法各部分之间的关系来解方程和通过移项来解方程。

6.四年级解方程 篇六

解方程单元练习一 填空：

1.小华的邮票张数是小军的3倍，如果小军有邮票X张，那么小华有邮票（）张；如果小华有邮票X张，那么小军有邮票（）张。

2.一本故事书的价钱是χ元，一本字典的价钱是一本故事书的2.5倍。一本字典()元，一本故事书比一本字典少（）元，3本故事书和1本字典一共是()元。3.如果3χ＋5＝9.5，那么4－2χ＝()。

4.一个三角形的面积是S平方厘米，高是4厘米，则它的底是（）厘米。

5.修一条水渠，己经修了a米，剩下的比已修的多40米，这条水渠全长()米，如果ɑ＝100米，这条水渠全长()。

6.甲乙两数相差19.8，甲的小数点向右移动两位就等于乙数,则甲数是().7.爸爸的年龄是小明的3.2倍,妈妈的年龄是小明的2.6倍,已知爸爸比妈妈大9岁,小明()岁。

8.水果店的苹果比梨的3倍还多16千克，假如梨有X千克，那么苹果有（）千克，当X=35时，苹果有（）千克，苹果和梨一共有（）千克。

9.食堂面粉的吨数是大米的2.4倍，大米有a吨，面粉有（）吨，面粉和大米一共有（）吨，面粉比大米多（）吨。

10.一个三角形的底是2.8厘米，高是X厘米,它的面积是()平方厘米。二：应用题

1、爱达小学图书室购买的文艺书比科技书多156本，文艺书的本数比科技书的3倍还多12本，文艺书和科技书各买了多少本?

2、甲有书的本数是乙有书的本数的3倍，甲、乙两人平均每人有82本书，求甲、乙两人各有书多少本。

3、一只两层书架，上层放的书是下层的3倍，如果把上层的书搬60本到下层，那么两层的书一样多，求上、下层原来各有书多少本．

4、有甲、乙两缸金鱼，甲缸的金鱼条数是乙缸的一半，如从乙缸里取出9条金鱼放人甲缸，这样两缸鱼的条数相等，求甲缸原有金鱼多少条．

5、汽车从甲地到乙地，去时每小时行60千米，比计划时间早到1小时；返回时，每小时行40千米，比计划时间迟到1小时．求甲乙两地的距离．

6、新河口小学的同学去种向日葵，五年级种的棵数比四年级种的3倍少10棵，五年级比四年级多种62棵，两个年级各种多少棵?

7、熊猫电视机厂生产一批电视机，如果每天生产40台，要比原计划多生产6天，如果每天生产60台，可以比原计划提前4天完成，求原计划生产时间和这批电视机的总台数．

8、甲仓存粮32吨，乙仓存粮57吨，以后甲仓每天存人4吨，乙仓每天存人9吨．几天后，乙仓存粮是甲仓的2倍?

9、一把直尺和一把小刀共1．9元，4把直尺和6把小刀共9元，每把直尺和每把小刀各多少元?

10、甲、乙两个粮仓存粮数相等，从甲仓运出130吨、从乙仓运出230吨后，甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍，原来每个粮仓各存粮多少吨?

11、甲、乙两堆煤共100吨，如从甲堆运出10吨给乙堆，这时甲堆煤的质量正好是乙堆煤质量的1．5倍，求甲、乙两堆煤原来各有多少吨?

12、甲仓存粮32吨，乙仓存粮57吨，以后甲仓每天存人4吨，乙仓每天存人9吨，几天后乙仓存粮是甲仓的2倍?

13、两根电线同样长短，将第一根剪去2米后，第二根长是第一根的1．8倍，原来两根电线各长多少米?

14、一批香蕉，卖掉140千克后，原来香蕉的质量正好是剩下香蕉的5倍，这批香蕉共有多少千克?

15、小明去爬山，上山花了45分钟，原路下山花了30分钟，上山每分钟比下山每分钟少走9米，求下山速度．

16、甲、乙分别从相距18千米的A、B两地同时同向而行，乙在前甲在后．当甲追上乙时行了1．5小时．乙车每小时行48千米，求甲车速度．

17、甲、乙两车同时由A地到B地，甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，乙车先出发2小时后甲车才出发，两车同时到达B地．求A、B两地的距离．

18、师徒俩加工同一种零件，徒弟每小时加工12个，工作了3小时后，师傅开始工作，6小时后，两人加工的零件同样多，师傅每小时加工多少个零件．

19、有甲、乙两桶油，甲桶油再注入15升后，两桶油质量相等；如乙桶油再注人145升，则乙桶油的质量是甲桶油的3倍，求原来两桶油各有多少升．

20、甲、乙、丙三条铁路共长1191千米、甲铁路长比乙铁路的2倍少189千米，乙铁路长比丙铁路少8千米，求甲铁路的长．

21、一个工程队由6个粗木工和1个细木工组成．完成某项任务后，粗木工每人得200元，细木工每人工资比全队的平均工资多30元．求细木工每人得多少元．

22、小明期中考试语文、数学、地理三科平均分为96分，常识分数比语文、数学、地理、常识四科平均分少3分．求常识分数．

23、电视机厂装配一批电视机，计划25天完成，如每天多装35台，24天能超额完成60台．求原计划每天装配多少台．

24、师徒俩要加工同样多的零件，师傅每小时加工50个，比徒弟每小时多加工10个．工作中师傅停工5小时，因此徒弟比师傅提前1小时完成任务．求两人各加工多少个零件．

25、买2．5千克苹果和2千克橘子共用去13．6元，已知每千克苹果比每千克橘子贵2．2元，这两种水果的‘单价各是每千克多少元?

26、买4支钢笔和9支圆珠笔共付24元，已知买2支钢笔的钱可买3支圆珠笔，两种笔的价钱各是多少元?

27、一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的新两位数比原两位数大36．求原两位数．

28、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上的数字与个位上的数字的和是这个两位数的0．2倍．求这个两位数．

7.怎么解方程 篇七

高中阶段会遇到一些简单的指数方程和对数方程, 教材对这类方程的解法并不展开, 问题主要设置在这类简单的超越方程的解的个数、解的近似值以及已知解的情况求参数的取值范围等方面.这类问题的解决往往可以把方程、函数、曲线三者非常密切的联系到一起, 其中蕴涵着丰富的数学思想、方法和数学美学价值, 同时这类问题的解决过程也易于用计算机或图形计算器加以演示, 运用恰当的方法进行求解, 不仅可以扩大学生知识视野, 丰富学生的数学解题思想和方法, 而且有助于培养学生数学知识的应用意识.本文就简单的指数方程和对数方程的根的相关问题的解法做以探究.

一、运用函数思想, 将方程问题转化为函数问题, 利用函数图象的交点和函数的相关性质 (定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等) 加以解决, 解题过程中主要运用数形结合思想和分类讨论思想.

1.图像法

例1 关于x的方程ax+1=-x2+2x+2a (a>0, a≠1) 的解的个数为 ( )

(A) 1个 (B) 2个

(C) 1个或2个 (D) 3个

思路分析:将已知方程转化为方程组:

$\{\begin{array}{l}y=a{}^x\\ y=-x{}^2+2x+2a-1\end{array}$

的解的问题, 通过对参数a的分类讨论, 分别作出函数y=ax与y=- (x-1) 2+2a的图像, 如图1所示:

因为x=1时, y1=a, y2=2a, a<2a.所以选 (B) .

例2 k为何值时, 关于x的方程|3x-1|=k无解, 一解, 二解?

思路分析:作出函数y=|3x-1|的图像如图2所示, 结合图像可知, 当k∈ (-∞, 0) 时, 方程|3x-1|=k无解;当k∈[1, +∞) 或 k=0时, 方程|3x-1|=k恰有一解;当k∈ (0, 1) 时, 方程|3x-1|=k恰有二解.

用图象法求解方程解的个数问题较多, 一般解法是将方程转化为两个基本初等函数, 从而将方程根的问题转化为方程组的解的问题, 进而通过两条曲线的交点情况作出结论.其中确定两个基本函数是解题的关键, 一般情况下是使两个函数均为基本初等函数或与基本初等函数有关.如方程2|x|+x=2可化为两个函数y=2|x|和y=2-x, 若直接设则难以求解.

例3 已知方程2x-1+2x2-a=0有两解, 则a的取值范围是__.

思路分析:将方程有两解转化为曲线y=2x-1和y=-2x2+a有两个交点, 由图3可知, 前者经过$(0‚\frac{1}{2})$, 而后者经过 (0, a) , 曲线有两个交点应满足$a\in (\frac{1}{2},+\infty ).$

类似地, 以下方程①sinx=lg|x|;$②a{}^x=\log {}_{\frac{1}{a}}x(a>0$且a≠1) ;$③\log {}_2(x+2)=\sqrt{-x}$;④a-x=logax (a>0且a≠1) ;⑤2x=x2等解的个数问题也适宜用图像法求解 (解的个数分别为六解、一解、一解、一解、三解) .

2.单调性法

将方程转化为左边为一个单调函数, 右边为一个常数的形式, 通过利用函数的单调性确定函数的值域, 进而确定方程的解的个数.

例4 方程3x+4x=5x的解为 ( )

(A) 有且只有2

(B) 有2还有其他解

(C) 有2和一正根

(D) 有2和一负根

思路分析:由于5x>0, 则原方程可化为$(\frac{3}{5}){}^x+(\frac{4}{5}){}^x=1$, 易知函数$f(x)=(\frac{3}{5}){}^x+(\frac{4}{5}){}^x$在R上是减函数, 而且y∈ (0, +∞) , 由于函数$f(x)=(\frac{3}{5})+(\frac{4}{5}){}^x$为单调函数, 因而y=1时, 相应的x有唯一解, 故选 (A) , 如图4所示.

又如方程x2+lnx=a解的情况, 可知x∈ (0, +∞) , 此时函数y=x2+lnx为单调增函数, 且其值域为R, 无论a取任何值, 原方程均有唯一正数解, 当然此方程也适合用方法一求解.

3.导数法

例5 ax=logax (a>1) 的解的个数为 ( )

(A) 0 (B) 2

(C) 0或2 (D) 0或1或2

思路分析:方程有两解和无解的情况学生易于理解, 但多数对一解的情形持怀疑态度, 我们不妨利用导数求出曲线y=ax与y=logax (a>1) 相切时交点的坐标.

设两曲线的交点为M (x0, y0) , 由于两函数互为反函数, 可知x0=y0, 又函数y=ax在M点的导数y'|x=x0=ax0lna, 函数y=logax在点M的导数$y\text{'}|{}_{x=x{}_0}=\frac{1}{x{}_0\text{l}\text{n}a}$, 二曲线相切时, 有$a{}^{x{}_0}\ln a=\frac{1}{x{}_0\text{l}\text{n}a}=1$, 则得$x{}_0=\log {}_a\frac{1}{\text{l}\text{n}a}=\frac{1}{\text{l}\text{n}a}$, 从而$\log {}_{a}e=e,a=\text{e}{}^{\frac{1}{e}}$.所以x0=e, 交点M (e, e) , 此时两函数分别为$y=\text{e}{}^{\frac{x}{e}}$和y=elnx, 如图5所示.

即当$a=\text{e}{}^{\frac{1}{e}}$时, y=ax与y=logax有唯一交点M (e, e) , 此时方程ax=logax (a>1) 有唯一解, 结合函数图像可知, 当$a\in (1,\text{e}{}^{\frac{1}{e}})$时方程有两解, 当$a\in (\text{e}{}^{\frac{1}{e}},+\infty )$时方程无解, 故选 (D) .

利用导数的几何意义, 结合函数图象的变化趋势, 以方程有唯一解为界限, 确定方程无解及多解的条件.运用导数知识求解, 可以使学生不仅从直观图象认识方程的解的情况, 更重要的是使学生增强理性认识, 提高学生运用知识解决问题的能力, 培养应用意识.

4.反函数法

利用互为反函数的图象关于直线y=x的对称关系, 求解指数方程和对数方程的相关问题.

例6 已知α是方程x+lgx=3的根, β是方程x+10x=3的根, 则α+β=__.

思想分析:构造三个函数y=lgx、y=10x、y=3-x, 分别作出它们的图像如图6, 知点M (α, 3-α) 为曲线y=lgx与y=3-x的交点, 点M' (β, 3-β) 为曲线y=10x与y=3-x的交点, 由y=lgx与y=10x互为反函数, 二者图像关于直线y=x对称, 又直线y=3-x与y=x互相垂直, 因此点M (α, 3-α) 与M' (β, 3-β) 关于直线y=x对称, 故3-α=β, 即α+β=3.

二、运用化归思想, 通过换元将指数方程和对数方程转化有理方程的相关问题加以解决.

例7 若关于x的方程lg2x+ (lg2+lg3) lgx+lg2lg3=0的两根x1, x2, 则x1x2的值为__.

思路分析:令lgx=t, 则原方程化为t2+ (lg2+lg3) t+lg2lg3=0, 解得t1=-lg2, t2=-lg3, 进而求出$x{}_1=\frac{1}{2},x{}_2=\frac{1}{3}$ (或t1+t2=-lg6=lg (x1x2) ) , 因而得:$x{}_{1}x{}_2=\frac{1}{6}.$

换元法适合于出现关于ax或logax 二次三项式或可化为此形式的指数方程或对数方程, 但须注意检验有理方程的根是否使ax或logax有意义.

又如解方程:lg9x+logx23=1化简得, $\frac{1}{2}\log {}_{3}x+\frac{1}{2}\lg {}_{x}3=1$, 令lg3x=t, 则$\lg {}_{x}3=\frac{1}{t}$, 原方程化为:$\frac{1}{2}t+\frac{1}{2t}=1$, 解得t=1, 则x=3.

三、利用计算机及图形计算器演示含参数的函数图象或用二分法求方程的近似解

借助计算机和图形计算器可以求得各种方程的近似解, 同时新课程标准中增加了二分法求方程的近似根, 此外, 函数、方程、曲线三者的关系, 极易在计算机或计算器上反映出来, 大量观察函数库、图象库、方程库里的藏品, 可以扩大学生视野, 培养数学美学素养, 在此不作赘述.

8.方程思想巧解直线问题 篇八

未知量和已知量的联系隐含在一定的问题情境中，通过分析题意，利用已有知识，力求用等式（或不等式）来刻画这种联系，是利用方程思想解题的关键.这就类似于同学们在初中所学的列方程解应用题.

利用方程思想解题的步骤：首先，确定问题可以用方程（组）来解；其次，确定问题中未知数的个数（基本量）；再次，在问题中寻找相应的等量（或不等量）关系；最后，求解方程（或方程组）.

例1若三点A（3，1），B（-2，b），C(8,11)在同一条直线上，求实数b的值.

分析我们知道两点确定一条直线，一般情况下三点是不在一条直线上的.既然三点在一条直线上，那么必定存在一种关系（等量关系）约束.至于如何寻找等量关系，取决于对“三点共线”的理解.

理解1:直线AB与直线AC的斜率相等；

理解2:点B在直线AC上；

理解3:向量AB与向量AC共线.(向量的知识在教材必修4中)

解（用理解1）因为A(3,1)，B(-2,b)，C(8,11)在同一直线上，所以kAB=kAC.

由斜率公式得b-1-2-3=11-18-3，解得b=-9.

（有兴趣的同学不妨用第2、第3种理解来解解看，然后再比较一下三种解法的优劣.本题还可以利用三角形的面积公式来列方程，当然，这需要同学们知道用顶点坐标表示的三角形面积公式：S=12|x1y2+x2y3+x3y1-x2y1-x3y2-x1y3|.）

例2已知直线l过点P(0,1)，并与直线l1：x-y-1=0和l2：3x+2y+2=0分别交于点A,B，若线段AB被点P平分，求直线l的方程.

分析求直线l的方程，实质上是求直线l上的两点的坐标或直线l上一点的坐标及直线l的斜率.

理解1：直线l上的一点已经确定，只需求出直线l的斜率，等量关系为“线段AB被点P平分”（中点坐标公式），为了将此等量关系用直线l的斜率表示，还需求出A,B两点的坐标（用l的斜率表示）；

理解2：直线l上的一点已经确定，只需求出直线l上另一点A的坐标，等量关系为“点B在直线l上”，还需利用中点坐标公式，根据A的坐标求出B的坐标；

理解3：假如能求出直线l上A,B两点的坐标，也能求出直线l的方程，等量关系为“线段AB被点P平分”，“点A在直线l上”，“点B在直线l上”.

解（用理解3）设A为(a,b)，B为(m,n)，

因为点A在直线l1上，点B在直线l2上，

所以a-b-1=0①，3m+2n+2=0②，

又因为线段AB被点P平分，

所以a+m2=0③，b+n2=1④，

解由①②③④组成的方程组，

得a=85,b=35,m=-85,n=75.

故A,B两点的坐标分别为85,35，-85,75,

所以直线l的方程为x+4y-4=0.

（同学们不妨用第1、第2种理解来解解看，然后再比较一下优劣.本题还可以充分利用平面几何知识，直接求直线l的方程.）

例3已知点A(1,4)，B(6,2)，试问在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得△ABC的面积等于19？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.

分析存在不存在点C，取决于关于点C的坐标的方程（组）有没有解，其等量关系为“点C在直线x-3y+3=0上”，“△ABC的面积等于19”.

解假设在直线x-3y+3=0上存在点C，使得△ABC的面积等于19，

设点C的坐标为(a,b),则a-3b+3=0①，

由题意知，AB=(1-6)2+(4-2)2=29，直线AB的方程为2x+5y-22=0,

所以12•29•|2a+5b-22|29=19②，

解由①②组成的方程组，得a=15,b=6或a=-6311，b=-1011,

故在直线x-3y+3=0上存在点C，使得△ABC的面积等于19.且点C的坐标为(15,6)或-6311,-1011.

例4过点P(1,3)作直线l，若l经过点A(a,0)和B(0,b)，且a,b∈N*，则可作出的直线l共有几条？

分析粗看上去，只知道直线l过点P，这样的直线应该有无数条，但由于直线l与x轴，y轴交点的横坐标、纵坐标a,b∈N*，这在很大程度上限制了直线，因此符合条件的直线就有可能仅有有限条了.可以抓住关系“直线过点P”和“a和b∈N*”求解.

解由于P,A,B三点共线，则kPA=kPB，即0-3a-1=b-30-1，即b=3+3a-1.

因为a,b∈N*，所以a-1=1或a-1=3，即a=2或a=4，此时b=6或b=4.

故存在两条满足题意的直线l，它们的方程为3x+y-6=0和x+y-4=0.

例5直线l经过两条直线l1：2x-5y+8=0和l2：2x+3y-12=0的交点，且将这两条直线与x轴围成的三角形分成面积比为3∶2的两部分，求直线l的一般式方程.

分析已知直线l经过一个点（交点），只需求出直线l的斜率k或直线l与x轴的交点即可.未知数“斜率”或“与x轴的交点的横坐标”可由条件“直线l将直线l1，l2与x轴围成的三角形分成面积比为3∶2的两部分”来约束.

解（选择直线l的斜率k为未知数）设直线l的斜率为k，l1与l2的交点为P，直线l1与x轴交于点A，直线l2与x轴交于点B，直线l与x轴交于点C.

解方程组2x-5y+8=0,2x+3y-12=0,得x=94，y=52,所以点P的坐标为94,52.

设直线l的方程为y-52=kx-94，令y=0，得点C为-52k+94,0.

而点A的坐标为(-4,0)，点B的坐标为(6,0)，

图1

如图1，因为直线l将直线l1，l2与x轴围成的三角形分成面积比为3∶2的两部分，

而△PAC，△PBC是等高的，

所以AC=25AB或AC=35AB，即-52k+94-(-4)=25×10或-52k+94-(-4)=35×10，

解得k=109或k=10，

所以直线l的方程为10x-9y=0或10x-y-20=0.

（其实一旦作出图形，就会发现，若选择l与x轴的交点的横坐标为未知数，则解题计算量会大为减少.）

例6已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为2x+y-1=0，两个顶点为A(1,2)，B(-1,-1)，求第三个顶点C的坐标.

分析本题有两个未知量，即C点的坐标，等量关系也是明显的，一是点C在直线2x+y-1=0上，二是直线2x+y-1=0是∠ACB的平分线（此条件用点C的坐标表示有点困难）.

解过点A且与直线2x+y-1=0垂直的直线的方程为x-2y+3=0，

解方程组2x+y-1=0,x-2y+3=0,得x=-15，y=75，

所以点A关于直线2x+y-1=0的对称点A′的坐标为2×(-15)-1,2×75-2,即-75,45，

所以直线BC（即BA′）的方程为9x+2y+11=0.

解方程组2x+y-1=0,9x+2y+11=0,得x=-135，

y=315，

所以点C的坐标为-135,315.

例7已知三点A(0,0)，B(4,0)，C(1,5)，若垂直于x轴的直线l将△ABC的面积平分，求直线l的方程.

分析本题仅有一个未知量，即所求直线与x轴交点的横坐标，等量关系也是明显的，该直线将△ABC的面积平分（即两部分的面积相等）.

图2

解设直线l的方程为x=a.如图2,设点P为(1,0),显然S△ACP＜12S△ABC,所以可设l与x轴，线段BC的交点分别为D,E，

而直线BC的方程为5x+3y-20=0，令x=a，解得y=20-5a3，

由S△EDB=12S△ABC,得12×(4-a)×20-5a3=12×12×4×5，解得a=4-6或a=4+6（舍去）.

故直线l的方程为x=4-6.

思想决定行动，自觉地以数学思想方法来指导数学学习，可以收到更好的效果.另外，从更为基本的意义上说，数学学习不仅是指具体的数学知识的学习，而且也是指数学方法的学习.即使大多数同学将来未必会用到任何超出中学范围的数学知识，但数学方法,特别是数学的思想方法对同学们仍有着十分广泛的指导意义，掌握一点数学思想方法会终身受益.

巩 固 练 习

1. 已知两点A（-1，3），B（3，1），点C在坐标轴上，若∠ACB=π2，则这样的点C有个.

2. 过点P(-1,2)的直线l与x轴和y轴分别交于A,B两点，若P为线段AB的一个三等分点（靠近点A），则直线l的斜率为.

3. 过点P(1,1)作直线l，与两坐标轴相交，所围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.

4. 已知平行四边形的两条邻边所在直线的方程分别为3x+4y-2=0，2x+y+2=0，它的中心为(0,3)，求平行四边形的另外两条边所在直线的方程及平行四边形的面积.

5. 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).

（1） 若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

（2） 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.

6. 在直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0(x≥0)，OB：3x+y=0(x≥0)，过点P75,0的直线分别交射线OA，OB于A,B两点，若AB的中点在直线y=12x上，求直线AB的方程.

参 考 答 案

1. 3

2. 1

3. x2+y2=1或x-2+22+y-2-22=1

或x-2-22+y-2+22=1.

4. 3x+4y-22=0,2x+y-8=0,40.

5. (1) x+y+2=0或3x+y=0;

(2) a≤-1.

9.《解方程》教学反思 篇九

在上课时，我是先按照书上例子展开教学。然后我说明，列方程解决问题就是把实际情况最直接地表示出来，比如天平左边是杯子和水，水的质量是x克，就写100+x，右边是砝码250克，左右平衡，用等号连接，列成的方程就是100+x=250。

接着教学怎么解方程，求出方程的解。我让学生自己来求x等于多少，学生都能解决。书上介绍的方法是两边同时减去同一个数，左右两边仍然相等。但是学生的方法都是根据加法算式中各数的关系来求的。即使有些学生说不清自己是用什么方法，我也能看得出来是用这种方法。我肯定了学生的方法，再从天平的原理出发介绍了书上的方法，然后问学生：你们喜欢哪种方法？学生几乎异口同声地肯定了自己的方法。因此，我说，那我们就用自己用得好的方法来求方程中的未知数。同时，介绍了使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，求出方程的解的过程叫解方程。认识了概念后，要及时加以巩固。我出了两道题帮助学生巩固概念。

二是让学生来解方程。学生很快能算出来，我告诉学生解方程的写法跟我们以前的计算写法不同，它有特定的格式，我一边讲解格式一边板书。要求学生读一读解方程的过程，看是否理解，再在自己的本子上写出过程。然后重新做了一道加以巩固。接下来的难点是验算。我先讲解怎么验算，再请学生来说验算过程，然后把验算过程也按照特定格式写下来。

学生作业反馈时，有几个问题：

一、用方程表示题目中的数量关系很多都用老方法；

二、解方程的格式写法容易出错；

三、方程的解的验算过程不是很理解，经常出错。

作业讲评时我们一起纠正了错误，概括了错误类型，要求学生避免这些错误，然而一些学生依然在重复原来的错误。这是数学教学中常有的现象，有些题目第一次用了错误的方法，往往纠正很多次还是着惯用错误的方法。

我反思了自己的教学，也有几点想法：

一、用方程来表示数量关系学生出现困难，是通过我的帮助列出方程，我并没有及时让学生巩固方法。

二、解方程、验算的过程和格式的教学以我的讲解为主，而那时我没有想办法很好的提高学生的注意力，因此学生练着时丢三落四较多。

三、我的讲解过多，学生自己的思考过少，类似于灌输，学生学着较被动，到最后模仿解法和格式为主，却没有理解为什么这样写，因此学生有时正确，有时出错，没有掌握好。

10.解一元一次方程“八不要” 篇十

1. 移项不要忘记变号

例1 解方程2x+3=4x-6.

错解：移项，得2x+4x=-6+3.

合并，得6x=-3.

解之，得x=-.

[分析：]错在移项时没有变号.

正解： 移项，得2x-4x=-6-3.

合并，得-2x=-9.

解之，得x=.

2. 去括号不要忘记变号

例2 解方程-2（3x-2）+5=-（x+2）.

错解：去括号，得-6x-4+5=-x+2.

移项后合并，得-5x=1.

解之，得x=-.

[分析：]括号前是负号，去括号时括号里面的项没有全部变号.

正解： 去括号，得-6x+4+5=-x-2.

移项后合并，得-5x=-11.

解之，得x=.

3. 去括号时不要漏乘

例3 解方程-4（2x-1）=2（x+2）.

错解：去括号，得-8x-1=2x+2.

移项后合并，得-10x=3.

解之，得x=-.

[分析：]运用乘法分配律时，括号前的因数漏乘括号内的第二项.

正解： 去括号，得-8x+4=2x+4.

移项后合并，得-10x=0.

解之，得x=0.

4. 解方程的过程不要写成连等

例4解方程5x+2=2x+8.

错解：5x+2=2x+8=3x=6=x=2.

[分析：]方程进行变形时，方程的解虽然不变，但方程变形后两边的值与原方程两边的值不一定相同，所以不能写成连等形式.

正解： 移项后合并，得3x=6.

解之，得x=2.

5. 去分母时不要漏乘不含分母的项

例5 解方程x-7=.

错解：去分母，得3x-7=9x-2.

移项后合并，得-6x=5.

解之，得x=-.

[分析：]去分母时发生错误，各分母的最小公倍数漏乘不含分母的项，原方程中的-7没有乘以6.

正解： 去分母，得3x-42=9x-2.

移项后合并，得-6x=40.

解之，得x=-.

6. 去分母时不要忽视分数线的括号作用

例6 解方程=1-.

错解：去分母，得3x+1=5-x+3.

移项后合并，得4x=7.

解之，得x=.

[分析：]去分母时，x+3没有用括号括起来，忽视了分数线的括号作用.

正解： 去分母，得3x+1=5-（x+3）.

移项后合并，得4x=1.

解之，得x=.

7. 系数化为1时，除数与被除数不要颠倒位置

例7 解方程4x+3=6.

错解：移项后合并，得4x=3.

解之，得x=.

[分析：]除数与被除数的位置颠倒了.

正解： 移项后合并，得4x=3.

解之，得x=.

8. 分数的性质与等式的性质不要混淆

例8 解方程-=0.3.

错解：原方程可化为-=3.

去分母，得5（x-2）-2（10x+1）=30.

移项后合并，得-15x=42.

解之，得x=-.

[分析：]在将小数化为整数时，运用了分数的基本性质，没有涉及等式的性质，方程右边的0.3不能乘以10.实际上=，=.

正解： 原方程可化为-=0.3.

去分母，得5（x-2）-2（10x+1）=3.

移项后合并，得-15x=15.

解之，得x=-1.

【责任编辑：穆林彬】

11.解一元一次方程的技巧 篇十一

一、巧约公因数

例1解方程:40×25%= (40-x) ×20%.

解两边约去20%, 得50=40-x, ∴x=-10.

二、巧去括号

分析按常规运算顺序, 应先去掉分母再去中括号, 注意到互为倒数, 因此先去中括号比较简便.

三、巧去分母

分析此题按常规应先利用分数的基本性质将方程中的小数化为整数, 然后按步骤求解, 但我们发现, 巧妙地去掉分母, 从而简化解题过程.

解原方程可化为:

四、巧凑整

分析方程各项未知数的系数和常数项中, 注意到把各项拆开移项凑整, 比直接去分母简便.

五、巧用整体观点移项

分析题目中有两个 (x+1) 和 (x-1) , 可把它们看做整体, 先移项合并, 这样可化难为易.

即3 (x+1) =2 (x-1) , ∴x=-5.

六、巧用整体思想换元

例6解方程:3{2x-1-[3 (2x-1) +3]}=5.

分析把 (2x-1) 看做一个整体用y表示, 则可简化解题过程.

解设2x-1=y,

则原方程可化为3[y- (3y+3) ]=5,

七、巧用公式、法则、定律

例7解方程:2 (3x+1) -3 (6x+2) =- (21x+7) .

分析先去括号, 计算量较大, 仔细观察原方程可发现方程各项都有因式 (3x+1) , 故可逆用乘法分配律来简捷求解.

解原方程可化为:

合并, 得3 (3x+1) =0, 解得

八、巧组合

分析按常规解法方程两边同乘以72化去分母, 运算较复杂, 注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3, 左边的第二项和右边的第一项中的分母有公约数4, 移项局部通分化简.

化简, 得, 去分母, 得8x-144=9x-99, ∴x=-45.

总之, 解系数比较复杂的一元一次方程, 不要盲目地去分母和括号, 要认真观察系数之间的特殊关系, 找到最简捷的解决办法.

12.《解方程》教学设计 篇十二

龙江中心小学

杜华仁2014、12、3 教学内容：

五年级数学（人教版）上册第57、58页的内容。教学目标： 知识与技能：

（1）使学生初步理解“方程的解”、“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。

（2）能用等式的性质解简易方程，并掌握检验的方法。过程与方法：

结合生活中的实例和学生已有的知识，采用多媒体，通过学生探索、讨论、交流等活动，让学生初步理解解方程及方程的解的概念，并掌握解方程及检验的方法。情感态度与价值观：

感受简易方程与现实生活的密切联系；培养学生的数学语言表达能力，让学生养成良好的学习习惯。

教学重、难点：（1）“方程的解”和“解方程”的含义。（2）理解并掌握解方程的方法。教学准备： 多媒体课件 教学过程：

一、复习铺垫

1、同学们我们已经学了方程的意义，你还记得什么叫方程吗？

2、你能判断下面哪些是方程吗？说说你的判断理由。(1)x＋24=73(2)4x＜36+17(3)72=x-16(4)x+85

二、探究新知

（一）理解方程的解和解方程

1、看图写方程

（1）请同学们观察这幅图（课件出示天平图）从图中你知道了什么？（2）你能根据这幅图列出方程吗？

学生思考后回答：100+X=250（课件显示：100+X=250）

师：这个方程怎么解呢？就是我们今天要学习的内容--解方程。（板书课题：解方程）

2、求方程中的未知数

方程中的x等于多少呢？请同学们同桌交流，说说你是怎么想的？（交流后汇报教师随着学生的回答演示课件）

3、引出方程的解和解方程两个概念

（1）利用课件帮助学生理解。

（2）“方程的解”和“解方程”这两个概念相同吗？

教师小结：“解方程”是指求未知数的过程，它是一个计算过程。“方程的解”是指未知数的值，这个值必须使这个方程左右两边相等。

（3）练习：下面括号中，哪个是方程的解？（同桌讨论）X+8=15(x=2 x=7)

（二）教学例1

1、课件出示书本第58页的例1（1）图上画的是什么？你能列出方程吗？（X+3=9）

（2）X+3=9这个方程怎么解？我们可以利用天平保持平衡的道理帮助理解。

2、引导学生思考怎样解方程。

（1）我们解方程的目的是求X，怎样才能使天平左边只剩x呢？

（根据学生回答后，演示课件：天平左右两边同时拿走3个球，使天平左边只剩X，天平保持平衡。）

（2）为什么同时减3而不是减其它数呢？（3）这时X的值是多少？

3、检验方程的解.问：我们怎么验证X=6是这个方程的解呢？

（将X=6代入原方程，看方程的左边是否等于方程的右边。）引导学生对方程进行检验，教会学生检验的方法。

4、强调解方程的格式步骤

（1）先写“解”，等号要对齐。（2）做完后要注意检验。

三、实践应用

1、下面的方程你打算怎样算。①X＋0.3=1.8 ②X+5=32

2、引导学生小结解方程的步骤。

四、课堂小结 拓展延伸

1、通过今天的学习，同学们都知道了哪些知识？

13.解方程教学设计 篇十三

1、通过操作、演示，进一步理解等式的性式，并能用等式的性质解简单的方程，在解方程的过程中，进一步理解方程的解与解方程。

2、会根据等式不变的规律解形如X±a=b的方程，掌握解方程的格式和写法。

3、会检验一个具体的值是不是方程的解，掌握检验的格式。

3、通过创设情境，经历从具体抽象为代数问题的过程，渗透代数化思想，并通过验算，促进良好学习习惯的养成。

4、在观察、猜想、验证等数学活动中，发展学生的数学素养。教学重点：会解形如X±a=b的方程，并检验。

教学难点：理解形如X±a=b的方程原理，掌握正确的解方程格式及检验方法。教学过程：

一、激趣复习感悟

（一）导入：秋天是一个瓜果飘香的季节，在这个季节里我们可以吃到各种各样的水果对不对？你知道吗？这些水果除了好吃以外还能做许多有趣的事想不想和老师一起去看看？

（二）观察理解,复习感悟

（1）课件出示天平，一个苹果等于几个草莓？。

你看到了什么？能用语言来描述吗？这个时候天平是怎么样的？能回答这个问题吗？要告诉大家你是怎么知道的？

能说一说为什么要减去两个草莓吗？

（2）课件出示第二个天平，原来一袋海棠果等于几个海棠果的重量。从这个天平的状态中你知道了什么？仔细观察你发现了什么，我们现在怎样做能一下子找到这个问题的答案。为什么要加上两个海棠果呢？

二、自主探究算理

（一）情境引入列出方程 老师这还有一个苹果，你能不能表示出它的重量呢？可以用一个字母X来表示。我用天平称了一下这个苹果结果有了一个新发现。你知道了什么信息？ 谁能根据天平称得的重量来列一个方程。X+20=130

（二）合作交流得出方法 X是多少天平两边能相等呢？

看你的意见和其它同学的意见一样吗？一会要和大家说说你是怎么想的，是怎样算出来的？ 预设：

（1）130-20=110利用加减法之间的关系（2）（110）+20=130利用自己的计算经验

（3）利用天平平衡原理（等式的性质）：由于数目简单有可能出现不了。出现不了教师引导：还有没有其它方法。根据让天平两边平衡我们来想一种方法。

（三）小结方法板书课题

以上同学们说的方法都正确。我们这节课就来看看利用天平平衡原理来解方程的这种方法。（板书解方程）因为这种方法是我们今天刚遇到的而且它对我们今后的学习很有帮助，所以我们就来研究一下它。

（四）加深理解规范书写

谁能向大家再来介绍一下这种方法。在天平上我们会操作可是在怎么用算式把它记录下来呢。学生说教师引导学生进行正确书写。

这里大家都有明白吗？有问题吗？老师想问一下这里为什么要减20呢？而且两边都要减？所以在我们刚开始学习解方程时等式两边同时减的数我们一定要写，请大家注意这里的X=110是一个数值，所以我们不写单位名称。

我们计算的结果对不对呢X=110能不能让方程的左右两边相等是不是方程的解呢？你认为我们应该怎么做？ 指导验算方法。

引导学生观察解题过程并编出儿歌进行记忆：首先要把解字写，两边的计算要同时进行，所有等号要对齐，X一步都不能少，检验的习惯要牢记，这样才会不出错。

这样的书写规范、整齐、清楚就像一件艺术品一样值得人们去欣赏，老师希望同学们今后解题的过程中都能这样去做。能做到吗？

（五）巩固迁移研究方法（1）练习巩固 X+3.2=4.6 X-2=15 先在练习本上试试看，有勇气的同学可以到前边来试试。有困难的同学可以找老师或找小伙伴帮助。

订证答案让我们一起来看。他完成的怎么样？你对他的解题过程有什么意见要提吗？（2）利用方法迁移自主学习

再来一起看X-2=15这一道题你是怎么想的，为什么要加上2呢。

（六）巩固练习加深理解（1）基本练习

老师这还有两个问题要靠大家积极动脑来完成。我们一起来看一看。请大家根据图意列出方程再解方程。你是怎样列的算式，怎样解答的，（2）拓展提高

生活中有许多问题需要我们用解方程的方法来解决，我们一起来看看这几道题。

四、课堂总结深化认识

解方程是一个过程，这个过程就像我们用天平上操作。让我们一起来回想一下，在这个过程中我们都做了什么？

秋天是收获的季节，能和大家在这个收获的季节一起学习老师很高兴，希望大家在这节课上也能收获累累硕果！

14.对小学数学解方程教学的思考 篇十四

一、适当调整教材的编排方式

新教材在“解方程”这部分内容安排上, 主要就是没有继承旧教材成功之处, 没有研究学生, 即没有弄清要学习新知识, 必需先学会哪些知识, 建立哪些经验。把“解方程”集中安排在第九册, 学生学习就失去了“知识”和“经验”的双重根基。所以用“等量关系”解方程老师难教、学生难学。在解方程内容的具体编排上, 我们还是应把用算术思路解方程作为一条主线, 而把等式基本性质及运用它来解方程作为附庸。可以采用类似于“你知道吗”这样的阅读材料, 让学生了解到解这个方程还有其它的思路。材料中, 可以有天平图, 天平图上可以有“等式左右两边同时发生变化”的过程, 还有如“你能把这样的变化过程表示出来吗”这样的思考要求。我们先来看看《数学课程标准》在小学阶段关于这一方面的唯一要求:理解等式的性质, 会用等式的性质解简单的方程 (如3x+2=5, 2x-x=3) 。这句话是否可以这么理解:如果不会用等式的性质解简单的方程, 是否说明你没完成这阶段的教学目标呢?在课堂教学中, 我采用教师提供素材——学生尝试解决——学生合作交流——师生共同归纳小结这一教学模式。教师没有过多地花时间去讲解, 而是适时地启发、引导。学生通过观察、思考、尝试解题、互相研讨、共同小结, 参与获得知识的全过程, 真正成为了学习的主人。

二、引导学生掌握简易方程的解法

小学阶段所学的简易方程包括ax±b=c和ax±bx=c这两类方程。小学阶段解这类方程是以四则运算中各部分之间的关系来解答的, 要与中学解一元一次方程的方法区别开来。教学中要认真复习四则运算中各部分之间的关系, 由易到难地进一步掌握简易方程的解法。如果出现形如ax±b=c的方程, 启发学生把原方程变形为ax=c的形式, 再通过乘除运算法则求解。教学时可以先给出“过渡题”再引出问题, 启迪学生“拾级而上”。例如, 过渡题:10+ () =50例题:10+2x=50学生不难从过渡题获得启发, 得到2x相当于 () , 那么把2x看作一个数, 就可以先求出来, 然后再求x等于多少。对于其解答稍有困难, 此时教师提问:“按照运算顺序解这道方程应先算什么?” (6×3) “把2x看作什么?” (未知数) “2x在整个方程中处于什么位置?” (2x是减数) 接着教师启发引导学生把方程解完, 根据条件引导学生列出方程, 然后让学生自己解方程。对形如ax±bx=c的方程可借助形象具体的实例, 使学生从直观上理解它的含义, 进而掌握解法。出示课本中的例五, 引导学生观察图。教师讲述:要求一天共运土多少吨, 必须知道上午运的吨数和下午运的吨数。但题目没有直接告诉, 只告诉每车运x吨, 上午运了四车, 下午运了三车。“如何用含有字母x的式子表示上午运的吨数和下午运的吨数呢?” (4x和3x) “又如何表示一天运的吨数?” (4x+3x) 。4x表示四个x, 3x表示3个x;4x+3x表示四个x加三个x。提问:“四个x加三个x等于多少个x?” (七个) 。教师板书4x+3x=7x。出示课本中例六, 引导学生观察并思考如何解方程, 根据学生思考后的回答, 教师可作启发性的提问:“7x加9x等于80, 表示几个x等于80?” (16个x等于80) 。教师讲述, 这是一道含有两个相同未知数的方程, 在以后学习列方程解应用题时, 还会出现类似的方程, 解这种类型的方程时一般是通过加或减的计算, 先把它变成只含有一个未知数的方程, 即ax=c再往下解。现在, 学生就会很容易地解形如ax±bx=c的方程了。

三、在练习的设计上

我先让学生复习了化简的方法和解已学过的简易方程, 为后面学习新知识作好了准备, 让学生通过知识的迁移, 用学过的本领来解决新的问题。当学生学会了新本领后用相似的题目来加以巩固, 选择题则能更好地让学生体会到解方程后检验的重要性。由于新教材不学等式的性质, 只运用四则运算中各数之间的关系来解方程, 所以学生在解等号两边都有未知数的方程时比较容易出错, 学生的解题速度也有待继续提高。数学是一门严谨的科学, 中小学数学课程是一个有机的整体, 教材反映的是各部分知识之间的联系与综合。因此, 教师把握教材、驾驭教材的能力对教学至关重要。我们不能停留于用算术思维方法教代数知识, 而应站在一个较高层次上用现代数学观念去整体地审视和处理教材, 着眼于学生的后续学习, 帮助学生提高学习效能, 优化认知结构, 系统获取数学知识。

参考文献

[1].《全日制义务教育数学课程标准 (实验稿) 》

[2].《义务教育课程标准实验教科书数学第九册》人民教育出版社出版.课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心2005.6.1

15.例谈解简易方程的教学技巧 篇十五

[关键词]解方程 等式的性质 消元 检验

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）05-015

“简易方程”是义务教育小学数学教材第二学段（4～6年级）的教学内容。《数学课程标准》（2011版）指出“要使学生了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程”，这就给我们教学“简易方程”指明了方向。然而，第二学段（4～6年级）的学生年龄尚小，数学知识和经验有限，对于在解简易方程中的各类变化难以掌握，若教师引导不当，往往容易错解方程。为了提高学生解方程的正确率，有些教师甚至抛开等式的性质，仍采用课改前四则运算各部分之间的关系来教学生解方程。这样教学与课改理念背道而驰，既不利于与第三学段（7～9年级）知识的相互联系、沟通，又不利于学生构建合理、科学的数学知识体系。

经过多年的教学实践和研究，我总结了一些解简易方程的教学技巧，现与大家共同分享和交流。

一、夯实理论基础，为解方程做好准备

著名的物理学家路德维希·波尔兹曼曾经说过：“理论是思考的根本，也就是说，是实践的精髓。”要顺利地解方程，首先必须深入理解方程的有关概念，明白方程就是含有未知数的等式，它的左右两边是相等的，就像天平保持平衡时左右两边完全相等一样。解方程就是要求出这个使方程左右两边相等的未知数的值，这个未知数的值就叫做方程的解。如x+5=12，只有当x=7时，方程的左右两边才相等，所以x=7是方程x+5=12的解。明确了目标之后，接下来要让学生掌握达到这个目标的途径——等式的性质。要使学生深入地理解等式的性质，教师在教学中必须借助天平做实验，并放手让学生探究，使学生明白：在天平保持平衡的状态下，无论天平的一边如何变化，另一边也必须跟着同样变化，这样才能使天平继续保持平衡。如当天平的一边增加或减少一个物体时，天平的另一边必须同样增加或减少一个相同重量的物体，这样天平才能继续保持平衡；当天平一边的物体变为它的2倍、3倍、4倍……时，天平另一边的物体同样也要变为它的2倍、3倍、4倍……这样天平才能继续保持平衡。这样教学，引导学生经历将具体形象的天平上升到等式的性质这个理论知识的过程，使学生初步构建数学模型，为解方程打下扎实的基础。

二、针对方程的不同特点，选择最恰当的解法

小学生解简易方程容易出错的主要原因是不明白未知数在不同运算的方程中，它的解法是不尽相同的，所以不能针对各类方程的不同特点选择最恰当的解法。因此，教师在教学中要特别注重引导学生掌握各类方程的不同特点，懂得选择最恰当、最容易的方法解方程。课堂教学中，我放手让学生自由探究。学生在解方程过程中，通过对解各类方程的观察、分析、比较，找到了针对不同特点的方程的有效解法。为了便于学生记忆，我引导学生编一首解简易方程的儿歌。如下：

解方程要逆消元，左右两边同时变；

加法乘法消数字，减法除法消后面；

两级混合算二级，同级混合逐消元。

1.解方程要逆消元，左右两边同时变

用等式的性质解方程时，一般采用的是消元法。那么，解方程时怎样消元呢？通过学习探究，学生明白：要消元，必须用逆运算，即加法用减法来消元，减法用加法来消元，乘法用除法来消元，除法用乘法来消元。在消元过程中，必须根据等式的性质进行，即方程左右两边必须同时加上、减去、乘或除以一个相同的数（0除外），使方程的左右两边始终保持相等，这样求出的方程的解才是正确的解。如x+26=72，要解这个方程，必须消去26。由于方程的左边是x+26，是加法运算，要消去26，就必须用减法，即减去26；同样，方程右边的72也要减去26。即：

x+26=72

解：x+26-26=72-26

x=46

2.加法乘法消数字，减法除法消后面

心理学研究表明：小学生的思维正处于具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，抽象逻辑思维尚不成熟。在用消元法解简易方程的过程中，有时要消去的是一个数，有时要消去的是一个式，而学生往往习惯消去数字，造成误解方程的现象时有发生。因此，在课堂教学中，我放手让学生探究，并引导他们归纳得出结论：无论方程中的运算是加法还是乘法，都可以用逆运算直接消去数字进行解方程。如下：

86+x=126 8x=8

解：86+x-86=126-86 解：8x÷8=8÷8

x=40 x=1

当方程中的运算是减法和除法时，无论未知数在运算符号的前面，还是在运算符号的后面，解方程时都必须先消去运算符号后面的数（或式）。特别是未知数在运算符号的后面时，必须先消去未知数，而不能消去数字。也就是说，在方程的左右两边同时加上（或乘）这个含有未知数的式子，这样减法（或除法）运算的方程就演变成加法（或乘法）运算的方程，再继续求解。如下：

x-62=37 85÷x=17

解：x-62+62=37+62 解：85÷x×x=17×x

x=99 17x=85

17x÷17=85÷17

x=5

3.两级混合算二级，同级混合逐步消元

有些方程有两步以上的运算，对于方程中的两个数字该不该先算？如何算？学生对此充满了疑惑，稍有不慎，便会错解方程。因此，课堂教学中，教师要引导学生根据不同的情况采取不同的处理方式，使自己在解方程的过程中少犯错，提高解方程的正确率。学生通过探究，最后归纳得出结论：如果方程中含有两级运算，特别是两个数字之间是第二级运算的，应当先计算出这个第二级运算的结果，再进一步解方程。如方程x-8×6=32，这个方程含有减法和乘法两级运算，在解方程时应先算出8×6的值，再进一步解方程。如下：

x-8×6=32

解： x-48=32

x-48+48=32+48

x=80

在两步运算的方程中，当运算都是同一级运算时，先计算两个数字的值往往容易出错，应当采用逐步消元的方法来解方程，这样更容易得到正确的解。如方程x-75+25=19，方程中有两步运算，且都是第一级运算，如果采用先算两个数字的值的方法来解方程，学生容易将这一方程错误地演变为x-100=19，接着就得到了方程错误的解。对此，教师应当引导学生采用逐步消元的方法来解这个方程。如下：

x-75+25=19

解： x-75+25+75=19+75

x+25-25=94-25

x=69

又如，方程x÷10×2=100，学生也容易将这个方程错误地演变为x÷20=100。正确解法如下：

x÷10×2=100

解： x÷10×2×10=100×10

x×2=1000

x×2÷2=1000÷2

x=500

用逐步消元的方法解都是同一级运算的方程，可以有效避免运算过程中出现的失误，提高解方程的正确率。

三、及时检验，确保方程的解正确无误

《数学课程标准》（2011版）指出：“数学教学要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。”检验是数学学习中非常重要的方法之一。所以，教师要培养学生形成检验的意识，养成检验方程的好习惯，从而确保方程的解正确。学生在解方程过程中，由于方法不当或计算失误等原因，造成方程的解是错误的。这时，教师要引导学生每次求出方程的解后都要及时进行检验，即将未知数x的值代入方程中，看看方程的左右两边是否相等，如果相等，说明方程的解是正确的；如果不相等，说明方程的解是错误的。然后就要及时查找错误的原因，并重新解方程，直到求出能使方程左右两边相等的解为止。如方程x-75+25=19，学生容易将这一方程错误地演变为x-100=19后，就会得到下面的解。如下：

x-75+25=19

解： x-100=19

x-100+100=19+100

x=119

把x=119代入原方程，就会发现方程左边=x-75+25

=119-75+25

=69

≠方程右边

所以，x=119不是方程的解。

此时，教师应当引导学生认真观察，分析每一步计算的理论依据，查找错误的原因，并重新解方程。在学生得到方程的解x=69后，再代入方程中检验，看看是否正确。如下：

把x=69代入原方程，就会发现方程左边=x-75+25

=69-75+25

=19

=方程右边

所以，x=69是方程的解。

总之，培养学生具有较强的计算能力是小学数学教学的一个重要任务。《数学课程标准》（2011版）指出：“数学教学要使学生初步养成乐于思考、勇于质疑、言必有据等良好品质。”因此，在解简易方程教学中，教师要注重培养学生良好的数学学习品质，为学生在今后的学习中进一步解更复杂的方程打下坚实的基础，构建合理、科学的数学知识体系。

16.解方程教学设计 篇十六

教学内容：教科书第57-58页 教学目标：

1、根据等式的性质，使学生初步掌握解方程及检验的方法，并理解解方程和方程的解的概念。

2、培养学生的分析能力及应用所学知识解决实际问题的能力。

3、帮助学生养成自觉检验的良好习惯。

教学重点难点：利用天平平衡的道理理解并掌握解方程的方法及检验方法。理解方程的解和解方程的概念。教学用具：多媒体课件 教学过程：

一、复习导入：

1、出示复习题，指生进行判断下面各式是不是方程？

(1)5x＋1=11

(2)8－3=5

(3)6－x

(4)3x＋15<45(5)2＋3b=4

(6)18x=36

2、提问：什么是方程？方程和等式有什么关系？

二、教学新课

1、教学方程的解和解方程的概念。师：（出示课件）老师在天平的左边放了一杯水，杯重100克，水重X克，一杯水重多少？ 生：（100+X）克

师：在天平的右边放了多少砝码，天平保持平衡呢？（教师边讲边操作100克、200克、250克）

师：请你根据图意列一个方程。

生：100+X=250（课件显示：100+X=250）

师：这个方程怎么解呢？就是我们今天要学习的内容——解方程。（板书课题：解方程）师：（出示课件）那你猜一猜这个方程X的值是多少？并说出理由。生1:我有办法,可以用250－100=150,所以X=150.生2:我有办法,因为100+150=250,所以X=150 生3: 老师我也有办法,我是这样想的，假如方程的两边同时减去100,就能得出X=150 师：XXX同学的想法太棒了！我们一起探索验证一下。请看屏幕,怎样操作才使天平左边只剩X克水，而天平保持平衡。

生：我在天平的左边拿走一个重100克空杯子，在天平的右边拿走100克的砝码，天平保持平衡。（教师随着学生的回答演示课件）师：你能根据操作过程说出等式吗? 生：100+X－100=250－100（课件显示：100+X－100=250－100）师:这时天平表示未知数X的值是多少？ 生:X=150（课件显示：X=150）

师：是的，XXX同学的想法是正确的，方程左右两边同时减100，就能得出X=150。我们表扬他。

师：根据刚才的实验，我们来认识两个新的概念———“方程的解”和“解方程”。师:（课件显示X=150的下画线）指着方程100+X=250说：“X=150是这个方程的解。（课件显示：方程的解）师：（课件显示：方框）100+X=250 100+X－100=250－100 指着方框说：“这是求方程的解的过程，叫解方程。（课件显示：方框的左边的箭头与解方程。）师：在解方程的开头写上“解：”，表示解方程的全过程。（课件显示：解：）师：同时还要注意“=”对齐。

师：都认识了吗？请打开课本第57页将概念读一次，并标上重点字、词。师：你们怎么理解这两个概念的？（学生独立思考，再在小组内交流。）师：谁来说说你想法？ 生1：“解方程”是指演算过程 生2：“方程的解”是指未知数的值，这个值有一个前提条件必须使这个方程左右两边相等。师：“方程的解”和“解方程”的两个解有什么不同？ 生：“方程的解”的解，它是一个数值。“解方程”的解，它是一个演变过程。师：下面我们就来做几道练习题，考一考大家。（出示课件）

（一）、判断题

（1）等式就是方程。

（）（2）含有未知数的式子叫做方程。

（）（3）方程一定是等式，等式不一定是方程。（）（4）方程的解和解方程的意义相同。

（）（5）X=3是方程5X=15的解。

（）

（二）、完成填空。

(1)使方程左右两边相等的（）叫做方程的解。(2)求方程的解的过程叫做（）。

(3)比x多5的数是10。列方程为（）(4)8与x的和是56。方程为（）(5)比x少1.06的数是21.5。列方程为（）。（2）教学例1。

师：要是老师出一个方程，你会求这个方程的解吗？ 生：会。

师：请自学第58页的例1的有关内容。

师：四人小组讨论方程左右两边为什么同时减3？ [学生独立思考，再在小组内交流。] 师：（出示例1）左边有X个，右边有3个，一共用9个。根据图意列一个方程。生：X+3=9（板书：X+3=9）

师：X+3=9这个方程怎么解？我们可以利用天平保持平衡的道理帮助理解，请看屏幕。师：怎样操作才使天平的左边只剩X，而天平保持平衡。

生：天平左右两边同时拿走3个球，使天平左边只剩X，天平保持平衡。（教师随着学生的回答演示课件）

师：根据操作过程说出等式？

生：X+3-3=9-3（板书：X+3-3=9-3）师：这时天平表示X的值是多少？ 生：X=6（板书：X=6）

师：方程左右两边为什么同时减3？ 生1：使方程左右两边只剩X。

生2：方程左右两边同时减3，使方程左边只剩X，方程左右两边相等。师：“方程左右两边同时减3，使方程左边只剩X，方程左右两边相等。”就是解这个方程的方法。

师：这个方程会解。我们怎么知道X=6一定是这个方程的解呢？ 生：验算。

师：对了，验算方法是什么？

生：将X=6代入原方程，看方程的左边是否等于方程的右边。（板书：

验算：方程的左边=6+3=9

方程的右边=9

方程的左边=方程的右边

所以，X=6是方程的解。）

师：以后解方程时，要求检验的，要写出检验过程；没有要求检验的，要进行口头检验，要养成口头检验的习惯。力求计算准确。

3、教学例2（1）出示例2天平图

提问：怎样才能使天平左边只剩下X，而天平仍然平衡？

（2）学生思考后回答：方程两边同时除以3，左右两边仍然相等。教师演示过程。

（3）学生口述解方程过程，教师板书： 3X=18 解：3X÷3=18÷3 X=6（4）学生口述检验过程。

（5）如果方程两边同时加上或乘以同一个数（不为0），左右两边还相等吗？

4、小结：你会解方程了吗？解方程时需注意什么？ 生述师演示解方程的步骤： a)先写“解：”。

b)方程左右两边同时加是一个相同的数，或减去一个相同的数，使方程左边只剩X，或乘上一个相同的数（0除外），方程左右两边相等。

或除以一个相同的数（0除外）c)求出X的值。d)注意“=”对齐。e)验算。

三、练习

师：现在老师看看同学们对于解方程掌握得怎么样。（出示课件）你会解下列方程吗？

X+3.2=4.6

x-108=4

x-2=15

1.6x=6.4

x÷7=0.3

x÷3=2.1（个别同学板演，集体订正）

四、全课小结，评价深化

通过今天的学习，同学们有哪些收获？ ? [板书设计]

?

解方程

例1：书本图

X+3=9

验算：

3X=18 解：X+3－3 =9－3

方程左边= 6+3=9

解：

3X÷3=18÷3 X=6

方程右边= 9

X=6

方程左边=方程右边

17.解简易方程(一) 篇十七

3．教学例1

例1．解方程 －8＝16

（1）教师提问：解方程先写什么？根据什么计算？

（2）教师板书：

解：根据被减数等于减数加差

（3）怎样检查解方程是否正确？

检验：把 代入原方程，

左边 ，右边

左边=右边

所以 是原方程的解．

4．讨论：“方程的解”和“解方程”有什么区别？

三、课堂小结

今天你学到了哪些知识？什么叫方程？方程的解和解方程有什么区别？

四、巩固练习

（一）填空

1．含有未知数的（    ）叫做方程．

2．使方程左右两边相等的（    ），叫做方程的解．

3．求方程的解的（    ）叫解方程．

4．下面的式了中是等式的有（                  ）；

是方程的有（                   ）．

（二）判断，对的在括号里打√，错的打×．

1．等式都是方程．（    ）

2．方程都是等式．（    ）

3． 是方程 的解．（    ）

4． 也是方程．（    ）

（三）选择正确答案填在括号内．

1． 的解是（    ）

①     ②

2． 的解是（    ）

①     ②

3． 这个式子是（    ）

①是方程     ②是等式    ③既是方程又是等式

4． 是方程（    ）的解

①     ②

五、课后作业

（一）解下列方程．（第一行两小题要写出检验过程．）

（二）用方程表示下面的等量关系，并求出方程的解．

1． 加上35等于91．

2． 的3倍等于57．

3． 减3的差是6．

4．7.8除以 等于1.3．