解三角形总

解三角形总（共10篇）（共10篇）

1.解三角形总 篇一

第一章 解三角形

章节总体设计

（一）课标要求

本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色

1．数学思想方法的重要性

数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系

加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”

3．重视加强意识和数学实践能力

学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。

（三）教学内容及课时安排建议

1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）

1.2应用举例（约4课时）

1.3实习作业（约1课时）

（四）评价建议

1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。

2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。

2.解三角形总 篇二

学生在已有知识的基础上, 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理、余弦定理, 能解决一些简单的三角形度量问题;, 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.可以看出, 教学分三个目标:探索、掌握和应用.

二、教学过程及策略

1. 在具体教学过程中教师要深入理解、研究和挖掘教材中的信息资源, 通过改变、补充、重组教材内容, 合理开发应用教材.从学生熟知的生活情景出发, 选择学生身边感兴趣的事物, 使学生初步感受数学与日常生活的密切关系, 形成问题情境, 实现课题引入, 既体现课题方向又体现了知识的实用价值问题情境是这样设置的:如果我们只有测角仪和卷尺, 如何解决下面的问题?

如图1, 设A、B两点在河的两岸, 要测量两点之间的距离, 测量者在A的同侧, 在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是55 m, ∠BAC=51°, ∠ACB=75°.求A、B两点的距离 (精确到0.1 m) .

这样的问题学生既有新鲜感而背景材料又熟悉, 一定会引发学生的求知欲, 让学生尝试解题后, 就会引起学生的兴趣.

2. 在已有知识的基础上, 就是掌握相关的知识, 知识是有关联的, 任何新知识的学习都是建立在已有知识的基础上.为了让学生顺理成章地接受新知识, 就要预习相关知识, 做好新旧知识的衔接.解三角形要用到以下知识: (1) 三角形的性质; (2) 三角形内角和定理; (3) 锐角三角函数定义; (4) 诱导公式; (5) 两角和差公式; (6) 向量加减法的几何意义; (7) 向量的数量积; (8) 三角形面积公式; (9) 直角三角形射影定理等.

3. 注重提高学生的数学思维能力是新课标的基本理念, 新教材注重学生在观察发现、归纳类比、演绎证明等思维活动过程中, 掌握新知识、新方法.从教学内容上可以看出:正弦定理的推出, 是从直角三角形切入, 延伸到斜三角形, 再化归为直角三角形, 从而证明对任意的三角形成立.这种特殊到一般, 一般到特殊的探究, 就是数学的研究方法, 符合认知规律, 有助于学生对数学问题的思考和探究, 教学中要给予重要的关注.

4. 正弦定理和余弦定理的学习为研究三角形的性质、边角关系提供了边角关系的准确量化.完成教材上的证明方法后, 可以引导学生构造向量, 用向量法证明正弦定理.

过点A作单位向量, 由向量的加法可得, 则, 所以, 即, 所以csin A=asin C, 即.同理, 过点C作, 可得, 从而.

这种延伸非常有利于学生发散思维, 由于三角形涉及到边和角, 正好吻合向量的两个基本量.向量法证明要搞清一个问题, 为什么过点A作单位向量j⊥AAAC?一个技巧, 先构造一个等量关系AAAB=AAAC+CAAB, 再两端同乘j, 通过向量的运算得到恒等式.

5. 数学教学的根本目的是在学习知识的同时, 提高分析问题和解决问题的能力.例题中所渗透的数学思想是实现这一目标的主要途径.正弦定理、余弦定理给出了三角形中的边长与角度之间的数量关系, 要引导学生探究定理的结构形式和特点及P3例1、例2;P7例3、例4的条件及求解的方法, 适时提出正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题?余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题?然后让学生总结归纳出:

正弦定理能解决的解三角形问题: (1) 已知两角和任一边, 求其他边或角; (2) 已知两边和一边的对角, 求其他边或角.

余弦定理能解决的解三角形问题: (1) 已知两边及夹角求第三边和其它两角; (2) 已知三边, 求各角.

引导学生研究例题、习题, 不但可以掌握知识的内涵和外延, 还能掌握知识的重、难点, 进行题型归类, 使学生做到心中有数.

6. 教材在探究与发现中, 对解三角形作了进一步的讨论, 研究了已知三角形的两边和一边的对角求其他边和角的解的个数问题.教材首先通过P8的一个例题, 引发学生思考:是正弦定理有误?还是计算出错?这时让学生按所给的条件画三角形, 就可知这样的三角形是不存在的.因此用正弦定理解出一个矛盾的结果也就不奇怪了.这就是说已知两边和一边的对角解三角形可能无解.那么会不会有两个解呢?让学生画图实验并思考, (也可用几何画板演示) .不难得出以下结论:

(1) 在直角三角形和钝角三角形中, 根据大角对大边的性质, 如果有解就只有一解.

(2) 在锐角三角形中, 如图2所示, 三条线段 (BC、DC、AC) 的长度决定了解的个数:

BCAC一解.

三、“解三角形”旨在解决实际应用问题中的距离和角度问题

习题的主要作用是为了巩固基本知识, 掌握基本技能, 提高解决问题的能力, 学生通过“做数学”来真正领会知识的内涵, 明确概念的外延, 这是培养解题能力、抽象概括能力的重要手段.仔细研究习题, 不难发现, 教材要求学生必须具备三个基本能力:

1. 会根据边角条件解三角形、判断解的个数;

2. 会用正、余弦定理判断三角形的形状;

3. 会用经纬仪、卷尺等测量角和距离的工具, 结合实际问题搜集数据进行测量, 体会数学的应用价值.

应该让学生认真研读教材中的这一段话:“同学们在学习时可以考虑, 题中问什么要给出这些已知条件, 而不是其他条件?应该注意到, 例题及习题中的一组已知条件, 常隐含着对于这类测量问题在某一种特定情境和条件限制下的一个测量方案.在这种情境与条件限制下, 别的方案中的量可能无法测量出来, 因而不能实施别的测量方案.”让学生明白, 在实际测量中合理收集数据的重要性, 使知识得到再一次升华.

3.漫谈“解三角形” 篇三

1.关于新课程“解三角形”一章的解读

新课程设置“解三角形”这一章的基本理念是发展学生的数学应用意识，教材的编写具有几个鲜明的特色：其一，突出了基础性、选择性与时代性.尽管三角形边角之间的数量关系有很多，但教材突出地介绍了正弦定理、余弦定理极其应用，因为正弦定理、余弦定理深刻地反映了三角形的度量本质，是解三角形的主要工具.时代性体现在两个方面：一是对于正弦定理、余弦定理的证明，改变了传统的证法，巧妙地运用向量的数量积证明了正弦定理与余弦定理.以此将向量引入解三角形，并作为推证正、余弦定理的主要工具；二是在教材中例题与习题的选择上呈现出时代气息，并突出了正弦定理、余弦定理的运用，努力为学生体验数学解决问题中的作用，感受数学与日常生活的其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力创造条件.回避了繁琐的恒等变换.

初中对解三角形的研究，着重从空间形式定性地讨论了三角形中线段与角之间的位置关系，而高中则是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系，从而更清晰地解决了三角形的确定性问题.教材中将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何背景，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础.具体解三角形时，教材突出了函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系.

其二，教材突出了数学思想方法的渗透.如函数的思想，化归的思想，以及类比、归纳等合情推理的数学方法等.对于正弦定理和余弦定理的研究都是从对于初中数学中对于三角形的定性研究进一步深化为定量研究的角度去展开的，突出了函数和量化的数学思想.为了探索任意三角形中的边角关系，首先让学生从分析特殊的直角三角形的边角关系入手，让我们去猜想这一关系是否也适用于一般的三角形，进而发现了正弦定理.这里渗透了由特殊到一般的数学归纳的思想.从某种角度上来说也是类比思想方法的体现.

其三，教材突出了数学探究能力的培养.例如，对于正弦定理的证明，不是直接给出它的证明过程，而是设计了一个探究的情景，让学生不断地去探究，去发现新的数学结论.传统的教材中一般对定理的证明只给出一种证法，而新教材中不仅提供了两种不同的证法，还设计了思考题让学生尝试用其他方法去证明正弦定理，让学生主动地去建构知识，从而达到数学探究能力培养的目的.

其四，教材突出了数学应用意识的培养.解三角形的内容具有丰富的现实背景，来源于测量等实践活动.教材选择了大量有鲜活的现实情景的例题与习题，将知识返朴归真，体现了强烈的数学应用意识.涉及到的问题有，测量山高、电视塔高、河宽等，判断轮船的航向测量卸货车有关部位的距离与角度，炮兵炮击的目标距离与炮击方向，在探究与拓展中介绍了海伦公式和我国古代数学家秦九韶的贡献等等.特别地，在教材的最后有提供了一个实习作业，让学生运用本章所学的知识，通过实地测量，来体验数学在解决实际问题中的作用和价值.

1.学好“解三角形”的几点建议

（1）宏观把握

首先，要通过阅读大致了解“解三角形”到底研究的什么问题，研究的重点是什么，难点在哪里，采用什么样的方法来研究的，常见的题型有哪些,应当注意什么问题，等等.

事实上，“解三角形”就是研究三角形中三条边与三个角这六个元素之间的相互关系，研究可以转化为用解三角形的方法去解决的实际应用问题.本章重点研究了正弦定理与余弦定理这两个定理及其应用，主要解决了如何解一般三角形的问题.

下表表示正、余弦定理的适用情况：

正弦定理余弦定理

已知两角与任一边，求其他两边和一角

已知三条边，求三个角

已知两边与其中一边的对角，求其他一边和两角

已知两边和它们的夹角，求其他一边和两角

一般地，利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：一是已知两角与任一边，求其他两边和一角；二是已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角并进而求出其他的边与角.利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：一是已知三边，求三个角；二是已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

应当注意的是，在利用正弦定理求角时，可能会出现两解的情形，要学会取舍.

（2）重点强化

运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题才是本章的重点，而不必在恒等变形上进行过于烦琐的训练.因此，学习中应重点加强对上述四类基本的解三角形问题的训练，在解决实际问题的过程中体会如何确定问题该采用的最合适的定理，从而选择有效的解题策略.通过学习要去体验解三角形在解决实际问题中的作用，感受数学与日常生活的其他学科的联系.

（3）挖掘联系

本章是在已有知识的基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，进而解决简单的三角形度量问题.这就要求我们在学习过程中，要突出几何的作用，善于挖掘知识之间的内在联系，将三角形全等定理、解直角三角形、三角函数、向量等“旧”知识与解斜三角形这一新知识、方法进行融会贯通.

（4）难点突破

本章的的难点是如何灵活地运用正弦定理、余弦定理去解决实际应用问题，突破这个难点的策略是：首先，把实际问题转化为抽象的数学问题（即数学建模），然后，看这个数学模型是否为三角形，若是，则进一步考察这个三角形是怎样的三角形，边与角之间存在着怎样的关系，已知量与未知量之间存在着怎样的关系，欲求未知量用哪个定理比较合适.下面举例说明.

例题某气象观察站C在城A的南偏西20°方向，由城A出发有一条公路，公路走向是南偏东40°方向.在C处测得距离C为31千米的B处，有一人正沿公路向城A走去，

图1

走了20千米后到达D处，此时CD间相距21千米.此人还要走多少千米才能到达城A？

分析这个问题表面上看与解三角形无关，是行程类的问题.但事实上，根据题意,我们可以构造出一个三角形模型，如图1所示.题中的已知条件反映在图形上，可得∠CAB＝60°，CB＝31，BD＝20，CD＝21.欲求此人还要走多少千米才能到达城A，即求AD的长.

可以分三步来完成：

观察△ACD，已知CD和∠CAB＝60°，若知道sin∠ACD的值，利用正弦定理即可求出AD.

欲求sin∠ACD的值，因为在△BCD中三边已知，所以利用余弦定理可求出cos∠BDC的值.

因为∠BDC是△ACD的外角，所以，在△ACD中，∠ACD＝∠BDC－∠CAD＝∠BDC－60°，从而sin∠ACD＝sin（∠BDC－60°）＝sin∠BDCcos60°－cos∠BDCsin60°.

在△BCD中，可求出cos∠BDC=-17.

进而可求出sin∠ACD＝5314.

在△ACD中，可得AD＝CDsin∠CADsin60°=15（千米）.

故此人还要走15千米才能到达A城.

2.“解三角形”在高考中的考查动向

综观近年高考的数学试题，不难发现，每一年都离不开对“解三角形”的考查，命题方向的变化改变了三角函数的考试模式，给解三角形问题赋予了实际背景，既简单，又体现数学应用的价值，很好地体现了课程标准的理念.所涉及到的内容不仅限于三角学的范畴，往往还将对解三角形的考查与三角函数的变换、向量、立体几何、解析几何以及实际应用问题的内容结合起来.应用最多的是在立体几何中，这是因为在立体几何的求解过程中，最终都要把问题转化为最基本的图形，即“三角形”去求解，即立体几何度量问题的“归宿”正是解三角形的问题.

让我们来欣赏两道题.

首先，欣赏2008年江苏卷的第17题：如图2，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形

图2

ABCD的区域内（含边界），且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm.

（Ⅰ）分别按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；

②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式.

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.

解法欣赏：

（Ⅰ）①延长PO与AB交于Q.由条件知PQ垂直平分AB，又∠BAO=θ(rad)，

则OA=AQcosθ=

10cosθ,故OB=10cosθ，

又OP＝10－10tanθ，

所以y=OA+OB+OP=10cosθ+10cosθ+10-10tanθ，即所求函数关系式为y=20-10sinθcosθ+10

0<θ<π4.

②若OP=x(km)，则OQ＝10－x，所以OA=OB=(10-x)2+102=x2-20x+200,

故所求函数关系式为y=x+2x2-20x+200(0

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中得到的函数关系，求函数y的最小值，方法很多，最简捷的方法是利用导数，由于同学们尚未学过导数，这里从略.

点评本题以实际问题为背景素材，综合应用函数与导数以及三角函数的知识去解三角形，同时也考查了数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.

选择函数模型①，

y′=-10cosθcosθ-(20-10sinθ)(-sinθ)cos2θ=10(2sinθ-1)cos2θ

令y′=0得sinθ=12，因为0<θ<π4，所以θ=π6，

当θ∈0,π6时，y′<0,y是θ的减函数；

当θ∈π6,π4时，y′>0，y是θ的增函数，所以当θ=π6时，ymin=10+103.这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边1033km处.

其次，欣赏2008全国Ⅰ理科卷的一道题：四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=2，AB=AC.

（Ⅰ）证明：AD⊥CE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角CADE的大小.

图3

图4

解法欣赏：

（Ⅰ）取BC中点F，连结DF交CE于点O，

因为AB=AC，所以AF⊥BC，

又面ABC⊥面BCDE，所以AF⊥面BCDE，所以AF⊥CE.

于是tan∠CED=tan∠FDC=22，

故∠OED+∠ODE=90°,所以∠DOE=90°，即CE⊥DF，

所以CE⊥面ADF，所以CE⊥AD.

（Ⅱ）在面ACD内过点C作AD的垂线，垂足为G.

因为CG⊥AD,CE⊥AD，所以AD⊥面CEG，

所以EG⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角.

由CG=AC•CDAD=233，DG=63，EG=DE2-DG2=303，

CE=6，可得cos∠CGE=CG2+GE2-CE22CG•GE=

-1010.

点评本题是一道立体几何题，但是，最终还是要把它转化为解三角形的问题去解决，即立体几何题中渗透着解三角形的问题.

小链接

“解三角形”的由来

人类本能地喜欢探索宇宙的奥秘，对世界上的一切事物都具有一颗好奇的心，例如，我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在埃及如何计算金字塔的高度及表面积呢？等等.要解决这些问题，就需要将这些实际问题抽象概括为数学模型，这个数学模型就是“三角形”，然后通过对这些三角形的研究从而得出实际问题的答案，这个解决问题的过程就是“解三角形”，在历史上，它是伴随着天文、测量等实际需要产生和发展的.

“解三角形”不是一门独立的学科它是“三角学”的一部分，“三角学”的产生与发展是源于“解三角形”的需要，而“解三角形”又是解决实际问题的需要，是人类生存的需要.

早期三角学是依附于天文学的，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．例如，古希腊门纳劳斯（公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，另一个古希腊学者托勒密著《天文学大成》，初步发展了三角学．公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（Ｊ•Ｒｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，1436～1476）.

雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》.这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作，是欧洲传播三角学的源泉.三角学一词的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，来自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ.最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯，他在1595年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词.其构成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和测量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）两字凑合而成.要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的.

文艺复兴后期，法国数学家韦达成为三角公式的集大成者.他的著作《应用于三角形的数学定律》（1579）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一.发现了一些新的公式.如正切定律、和差化积公式等等.1591年韦达又得到多倍角关系式，1593年又用三角方法推导出余弦定理.

近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的.他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母ａ,ｂ,ｃ表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ,Ｂ,Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式.使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科.形成了现代的三角函数符号和三角学的系统理论.

中国古代最早的平面三角学著作是清代数学家梅文鼎的《平三角举要》.这部著作的核心内容是以大地测量与天文测量为背景的各类三角形的解法.梅文鼎在明末传教士编译的《大测》、《测量全义》等书的基础上，对涉及三角形的几何方法导出了定义、公式和定理.

以上就是三角学的产生与发展的简要过程，当你了解到三角学的发展史时，该懂得了学习“解三角形”的必要性与重要性吗？

小发现

三角形中的一个三角恒等关系

正、余弦定理都反映了任意三角形的边角关系，利用它们可以解决许多与三角形有关

的问题.余弦定理是解斜三角形时用到的主要定理，若将正弦定理代入，则可得到关系式：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.（*）

这是只含有三角形三个内角的一个关系式，利用这一关系式解题，简捷明快.下面通过具体例子介绍它在解题中的应用.

应用一：求三角形的内角

例1在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝3sinAsinC，求B的度数.

解由正、余弦定理，得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，

所以－2sinAsinCcosB＝3sinAsinC.

因为sinAsinC≠0,

所以cosΒ＝－32,所以B＝150°.

点评由于题目中的条件等式通过变形符合关系式（*）的结构特点，从而避免将边化角用余弦定理去解.

应用二：判定三角形的形状

例2在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，

试判定△ABC的形状.

解在原等式两边同乘以sinA，得2cosBsinAsinC＝sin2A，

由正、余弦定理，得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A，

所以sin2C＝sin2B，所以B＝C.

故△ABC是等腰三角形.

点评判断三角形的形状，可以通过用正弦定理、余弦定理进行边与角的转化这一通法去进行.本题的上述解法有一定的技巧性.

应用三：构造三角形，求三角函数式的值

例3求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值.

解原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°.

在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，A＝120°，则有sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°,

故sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝34.

点评本题从关系式（*）中的角出发，通过赋值，构造出三角形三个内角，从而直接用关系式（*）去解.

诚然，我们学习数学时，应注重问题的通解通法的掌握，不应过分强调技巧；但是从应试角度看，掌握一些常用解题技巧对我们还是有益的.

4.解三角形应用举例教学设计 篇四

教材：普通高中课程标准实验教科书·人教B版·必修5·1.2

一、教学目标 1 知识与技能目标

初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题． 2 过程与方法目标

（1）．通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法；

（2）．进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解

决实际问题的能力． 情感、态度与价值观目标

（1）．通过学生亲自实施对“测量” 问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；

（2）．发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展。

二、教学重点、难点 重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决． 分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．

三、教学方法与手段 教学方法：运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法． 学习方法：在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识。教学手段：实际模拟、合作学习、多媒体（投影仪）

四、教学过程

【教学环节一：复习回顾】 教学内容： 完成下列两个小题：

① 在△ABC中，已知A=30, B=30, c =

0

0，则a =_______，c =_______。

② 如图，为了测量某障碍物两侧A、B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（），最好不要选用数据（）

(A)

(B)

(C)

(D)

师生互动：学生独立完成上面两个小题，并作出回答，回答时阐明作答依据。

设计意图：（1）复习：①正、余弦定理；②解斜三角形的方法。

（2）为本节课重点知识的学习做一些知识准备。

【教学环节二：问题一的提出与解决】

教学内容：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？

<问题一> 我校科技楼顶矗立着一座天文观测台，如何通过测量，求得天文台顶距地面的高度？

师生互动：分析、探究、讨论、归纳。

① 教师带领学生一起分析题目背景――天文台顶到地面的距离指天文台顶（记为点A）到它在地面上的正射影（记为点B）这两点间的距离，而在这里显然B点无法到达，故不能

直接测量。

② 发动学生分组讨论解决方案：既然不能直接测量A、B两点的距离，我们是否可以考虑利用可测量的其它数据得出所需数据？

③ 讨论过程1：可在适当的地方（能看到顶点A的可到达的一点）选取一点C，对AB进行测量，如图1－A，设CC1表示测量仪器的高，在△AB1C1中只能测得∠AC1B1（即在C1点测的点A的仰角，记为）。要求得AB，须再选取另一点D。设测得CD = a，∠B1C1D1＝，∠C1D1B1＝,则在本题中可抽象出两个空间关系的三角形，其中△AB1C1是直角三角形。在△B1C1D1中，由、a根据正弦定理可求得B1C1，在Rt△AB1C1中，由

问题得解。即：

和B1C1可求得AB1，在△B1C1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝B1C1·tan，于是，天文台顶距地面的高度为AB=AB1＋CC1.④ 实施方案：学生用自制的仪器对天文台实施测量（可在课下进行），得数据如下：

测点距地面1.5m。

在满足精确度为0.1m的前提下，请同学们计算所求距离。

过程：易解得

所以

因此天文台顶距地面的高度约为

⑤ 反思完善：

米。

提问：下面请同学们回顾刚刚我们的实际操作过程，有无问题存在？

学生经过讨论，（一般会）发现有两个问题，一是在测量过程中的B点或B1点不可到达，实际操作时是大体估计的位置，准确度差；二是学生会觉得还有更简方法。

<发动学生讨论改善方法> 学生分组讨论，然后发表讨论结果。

<讨论过程2> 如图1－B，由于B点或B1点不可到达，所以不考虑图1－A中的∠B1C1D1和∠C1D1B1，而点A是可见的，于是我们可以准确测量出∠AC1D1＝，∠AD1C1＝, CD = a，这样，在△AC1D1中，由、a根据正弦定理可求得AC1，在Rt△AB1C1中，由AC1可求得AB1，问题得解。即：

和在△AC1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝AC1·sin

，于是，天文台顶距地面的高度为AB=AB1＋CC1

评：这个方法应该是完全可行的，只是计算还有些麻烦。具体的测量和计算由学生课

下完成，写成实践报告。

<讨论过程3> 我们可以做如下测量，在可到达的地方取C、D, 使这两点与点A在地面上的垂线在同一平面内（这样可以保证B、C、D三点共线），如图2，设CC1表示测量仪器的高，在C1点和D1点分别测得A点仰角为，C1D1＝a，于是，在△AC1D1中，我们可以利用正弦定理求

求出AB1，最后求出AB=AB1＋B1B.得AC1，再在Rt△AB1C1中，利用

评：此法比较容易操作，但C、D两点的选取多少需要些技巧。

⑥归纳总结：学生对照问题及三种解决方案总结解决该问题的方法及注意事项，并建议学生阅读教材问题一及处理方法，加深对上述方法的认识。

设计意图：从获取数据开始，使学生亲身经历并体验如何将实际问题转化为数学问题，从而得到解决。在讨论过程中，引导学生利用所学知识分三步层层发掘，探寻解决问题的最佳方案，感受数学的应用价值、人文价值、美学价值。在这一环节的教学中，采用认知建构教学理论和合作学习，在学生获取解决问题的方法的同时，注意了学生多元智能的发展。

【教学环节三：问题二的提出与解决】

教学内容：怎样测量平面上两个不能到达的地方之间的距离？ <问题二> 设A、B是两个海岛，如何在岸边测量它们之间的距离？

师生互动：

①合作探究：学生分组讨论，探寻解决问题的方案。以下是讨论内容与过程：与问题一类似，如果只选一个观测点C，在△ABC中只能测得∠ACB的大小，问题不能得到解决。因此需要再选择一个测点D，构造出一个能测出其一条边长的△BCD。要求出AB，还应先求

出AC和BC，为此应先解△ACD和△BCD。

②演练方案：按照上面讨论的方案，各组同学进行模拟演练：如图3，在岸边适当选取点C、D，使A、B、C、D共面（即保持在同一水平面上），测得

在△BCD中，由正弦定理，可以得到:，同理，在△ACD中也可以得到在△ABC中，由余弦定理，得

.，从而求得AB。

设计意图：深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，加强学生的合作意识，培养学生探寻解决问题的方法的思路与策略，提高学生应用所学知识解决问题的能力。【教学环节四：课堂练习】

练习内容：教材第16页，练习A，1

师生互动： ① 学生独立完成练习

② 教师展示答案：先利用投影仪把有代表性的几个学生的解答过程展示在大屏幕上，由学生自由讲评，教师总结。

设计意图：

通过反馈矫正，初步了解学生对本节教学内容的掌握情况，并及时给予调整。

【教学环节五：教学评价】

1、让学生先进行分组总结，思考三个问题：

① 本节课我们研究了什么？提出了什么问题？问题解决了吗？

② 本节课你学到了哪些方法？掌握了哪些技能？

③ 你认为自己对本节课内容掌握的好不好？课后打算怎样进一步巩固？

2、学生代表发表讨论的课堂总结，互相补充。

3、教师进行总结，要点如下：

① 两个问题：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？

怎样测量平面上两个不能到达的地方之间的距离？

② 运用数学知识解决实际问题的基本思路：首先要在理解题意的基础上将实际问题数学化，然后再利用有关定理、性质、公式解决之。步骤如下：

③ 提高实践能力（如测量的精确度）。

【课后作业】

1、教材P16，练习A，2； 教材P16，练习B，1、2

2、各小组利用自制的仪器，在我们周围选一较高建筑物用本节学习的方法测量其高度。

写出测量报告。附：教学设计说明

一、教学内容的特点及处理

根据教学内容的特点，这一课时的教学重点是解决两个与测量有关的问题。在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位。对每一个问题的解决，从问题的分析、方案的讨论、数据的获取、信息的分析、结论的得出、方法的总结，无一不是由学生亲自参与，合作完成的，而教师很好的充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的生态化课堂。

二、教学目标的确定

根据本节课教学内容的实践性强的特点，在确定教学目标时注重了三方面的要求：一是初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题这一知识与技能的要求；二是强调了学生从实践过程中发现积累知识这一认知建构主义教学模式；三是明确提出了学生要从经历问题解决的全过程中学习这一体验性目标。

三、教学方法的选择

根据上述分析，本节课就特别适用建构主义教学模式下的分析实践、自主探究、合作学习这一十分有利于学生多元智能发展的教学方法。

四、教学过程的说明

高中新课程标准强调教师要在教学中帮助学生形成积极主动的学习态度，要将学习过程变为学生学会学习、学会合作、学会生存、学会做人的过程。

5.解三角形总 篇五

一、基础知识

在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，pabc为半周长。2abc1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。sinAsinBsinC111推论1：△ABC的面积为S△ABC=absinCbcsinAcasinB.222推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足

ab，则a=A.sinasin(a)证推论3，由正弦定理

absiansin(a)，所以，即sinAsinBsiAnsin(A)1[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= 2sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于1[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，2-a+A<.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。b2c2a22．余弦定理：a=b+c-2bccosAcosA，2bc2

22下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则b2pc2qAD=pq.（1）

pq2【证明】 因为c=AB=AD+BD-2AD·BDcosADB，222所以c=AD+p-2AD·pcosADB.①

222同理b=AD+q-2AD·qcosADC，② 因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得 2

b2pc2qqc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=pq.pq222

2注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式AD（2）海伦公式：因为SABC22b22c2a2.212221221222

bcsinA=bc(1-cosA)= bc 444

(b2c2a2)2122 22[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).1224bc16这里pabc.2所以S△ABC=p(pa)(pb)(pc).二、方法与例题

1．面积法。

例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足POQ,QOR，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是

sinsinsin()uvw.2．正弦定理的应用。

例2 △ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

例3 △ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。

3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.222例4 在△ABC中，求证：a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。

+例5 设a, b, c∈R，且abc+a+c=b，试求P223的最大值。a21b21c21

3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：AMP(Pa)，此处P1(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。204．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=90，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E

0和F分别在AB和CD上，求证：AFB=90的充要条件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

222227．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a+b+c+d=8R，试问对此四边形有何要求？

8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则

6.《解直角三角形》教学反思 篇六

(2)让学生深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义实际上分别给出了a、b、c三个量的关系，a、b、c用不同方式来决定的.三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

7.问诊解三角形中的错解 篇七

1.忽视三角形三内角关系

例1在△ABC中, 已知

(1) 求sinB的值;

(2) 求sin (2B+30°) 的值.

所以A为钝角B为锐角

解因为△ABC为锐角三角形,

2.忽视三角形角之间的内在制约

例2在△ABC中, c=4, C=60°, 求△ABC周长的最大值.

错解因为C=60°, 所以

在利用三角函数的有界性求最值时, 一般尽可能转化为一个角的三角函数, 然后利用三角函数的有界性求解.

正解因为C=60°, 所以

所以△ABC周长的最大值为12.

由正弦定理可知

3.忽视对解的个数的判断

分析错在忽视了对三角形解的个数的判断, 因为已知两边长与其中一边的对角解三角形可能出现两解、一解、无解三种情况, 因此在利用正弦定理解三角形时要根据解的个数进行判断以避免出现错误.

4.忽视三边关系定理

例4已知2a+1, a, 2a-1是钝角三角形的三边长度, 求a的取值范围.

错解因为2a+1, a, 2a-1是钝角三角形的三边长度,

所以2a+1是三边长的最大值,

设其所对的角为θ, 则

正解因为2a+1, a, 2a-1是钝角三角形的三边长度,

所以2a+1是三边长的最大值,

设其所对的角为θ, 则

要使2a+1, a, 2a-1能够构成三角形, 还需满

即a>2.

变式已知锐角三角形的三边长分别为1, 3, a, 求a的取值范围.

因为三角形为锐角三角形所以

5.忽视三角形的内角范围

例5在△ABC中, 已知sin2A=sin2B, 试判断此三角形的形状.

错解因为sin2A=sin2B,

所以2A=2B,

即A=B

故△ABC为等腰三角形.

分析由“sin2A=sin2B”到“2A=2B”不是等价转化, 未考虑三角形中角的范围而致错.

正解因为A, B∈ (0, π) , , (, )

所以2A, 2B∈ (0, 2π) .

因为sin2A=sin2B

所以2A=2B或2A+2B=π

故△ABC是等腰三角形或直角三角形.

解由正弦定理

(R为△ABC外接圆的半径) , 得

所以sin2A=sin2B

所以2A=2B或2A+2B=π,

8.解三角形的学问 篇八

解三角形的原理与公式

●正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）.这组公式表明同一个三角形的各边长与其对角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.这组公式精确量化了两边夹角是如何决定第三边的.

●其他三角公式：各组三角变换公式以及三角形三个内角和A+B+C=π、三边关系a+b>c等.

解三角形的注意事项

●合理运用正弦定理、余弦定理

例1 为了测量敌方两个阵地A，B之间的距离，在我方一侧选取C，D两点（A，B，C，D四点位于同一平面内），测得CD=a，∠ACB=75°，∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，求AB.

解析：例1中的四边形问题可通过化为几个三角形中的问题来求解.含有AB边的三角形可选择△ADB，在该三角形中目前只知道∠ADB为45°，无法直接求出AB，但是可以先分别在△BCD，△ACD中用正弦定理求得AD，BD，然后再在△ADB中用余弦定理求出AB.

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如图1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

a.

点评：一般来说，已知条件中，“角多”则优先选择用正弦定理，“边多”则用余弦定理.当然，具体进行哪种选择还是应根据题目的情况先“预算”一下，许多题目需二者兼用.

●将正、余弦定理与三角变换相结合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

解析：在△ABC中，B=180°-（A+C），所以cosB=-cos（A+C），代入题中第一个等式，再通过用两角和与差的三角公式，可得到sinAsinC的值，再运用正弦定理将b2=ac转化为角的正弦的关系即可得解.

由cos（A-C）+cosB=可得cos（A-C）-cos（A+C）=，展开整理得sinAsinC=. 依据正弦定理，由b2=ac得sin2B=sinAsinC=，故sinB=（sinB>0）. 若B>，则cosB<0，与cos（A-C）+cosB=>1矛盾，所以B=.

点评：正、余弦定理反映的是同一三角形的三边与三角之间的“最纯粹”关系，其中不涉及角的和、差及倍数，一旦题目中出现角的和、差及倍数这类情形，就应考虑通过三角公式加以转化.

●将解三角形方法与代数、几何、向量方法等相结合

例3 在圆内接四边形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

解析：由几何知识可得B+D=π;但是，单独解△ABC，△ADC，则条件似乎既不足又过剩，“不足”是因为在每个三角形中，已知两边却不知夹角;“过剩”是因为条件B+D=π未能使用.要解决这种几个所求的量相互依存的题目，可考虑运用代数中的方程思想.

如图2所示，设AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

点评： 解三角形问题是数学问题的一种，只要问题的情景适合某种数学思想方法，就应当突破思维的局限性，大胆运用包括代数、几何、向量、坐标法等各种方法.

综合应用

例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1） 当p=，b=1时，求a，c的值.

（2） 若角B为锐角，求p的取值范围.

解析： （1） 由正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb，再与ac=b2结合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2） 因为a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

点评： 求解例4（2）的基本思路就是通过余弦值的范围来确定角的范围.运用余弦定理需要知道边与边的关系，而用正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb就使得所有条件均表达为边的关系.

再则，相当多的同学只用a2+c2>b2来确定cosB==2p2-3的范围，进而求出p的取值范围，但是忽视题中参数p的任意性可能导致cosB=2p2-3的值大于1，从而少了p<这个范围. 建议：时刻注意隐含条件，求解范围应进行等价变形;有“小于”就再想想有没有“大于”，必要时“前门后门都上锁”.

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=，则sin∠BAC= .

解析： 如图3所示，不妨设AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，则tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

点评： 求解例5运用了代数方法，根据已知条件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用两直角三角形的角度差（α-β）来表示∠BAM，这是如何想到的？

首先，图形中没有任何一个三角形单独可解，边角之间又相互关联，所以可运用方程思想.

其次，解直角三角形最容易，在直角三角形中只需要求得边与边的比值就可以得到正弦，故想到设AC=1，BM=MC=m，如此也可以让“M是BC的中点”这个条件“搭便车”用上.

第三，选择正切就不必用根式表达斜边，如果我们懂得“知弦即知切”的道理，就会自然而灵活地由条件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1） 求角C的大小.

（2） 若sinA=，求△ABC的面积.

解析：（1） 已知条件cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB的右边可简化为二倍角的正弦形式，左边可降幂加倍：-=sin2A-sin2B，整理得：cos2A-sin2A=cos2B-sin2B，即cos2A+=cos2B+，两角的余弦值相等，有以下两种情形：

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），则A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中内角和不大于π，所以这种情况不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），则A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-满足要求，故C=.

（2） 现有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面积，可先算出sinB.因为a<c，故A是锐角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

点评： 作为高考的第一道解答题，完整解答得满分是必须的.求解例6有两处关键：首先是三角变换，其次就是分类讨论.要做到解答完整无误，除了熟练掌握必备的知识而外，细节的观察和处理也至关重要.

解三角形就是在一个三角形的边、角及面积中，已知其中若干量去求解其他的量;解三角形的学问，就是合理运用正、余弦定理并与三角恒等变换相结合的学问.在各地的高考试题中，解三角形的题目往往作为第一道解答题，用以检测同学们的运算能力以及分析问题、解决问题的能力.

解三角形的原理与公式

●正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）.这组公式表明同一个三角形的各边长与其对角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.这组公式精确量化了两边夹角是如何决定第三边的.

●其他三角公式：各组三角变换公式以及三角形三个内角和A+B+C=π、三边关系a+b>c等.

解三角形的注意事项

●合理运用正弦定理、余弦定理

例1 为了测量敌方两个阵地A，B之间的距离，在我方一侧选取C，D两点（A，B，C，D四点位于同一平面内），测得CD=a，∠ACB=75°，∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，求AB.

解析：例1中的四边形问题可通过化为几个三角形中的问题来求解.含有AB边的三角形可选择△ADB，在该三角形中目前只知道∠ADB为45°，无法直接求出AB，但是可以先分别在△BCD，△ACD中用正弦定理求得AD，BD，然后再在△ADB中用余弦定理求出AB.

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如图1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

a.

点评：一般来说，已知条件中，“角多”则优先选择用正弦定理，“边多”则用余弦定理.当然，具体进行哪种选择还是应根据题目的情况先“预算”一下，许多题目需二者兼用.

●将正、余弦定理与三角变换相结合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

解析：在△ABC中，B=180°-（A+C），所以cosB=-cos（A+C），代入题中第一个等式，再通过用两角和与差的三角公式，可得到sinAsinC的值，再运用正弦定理将b2=ac转化为角的正弦的关系即可得解.

由cos（A-C）+cosB=可得cos（A-C）-cos（A+C）=，展开整理得sinAsinC=. 依据正弦定理，由b2=ac得sin2B=sinAsinC=，故sinB=（sinB>0）. 若B>，则cosB<0，与cos（A-C）+cosB=>1矛盾，所以B=.

点评：正、余弦定理反映的是同一三角形的三边与三角之间的“最纯粹”关系，其中不涉及角的和、差及倍数，一旦题目中出现角的和、差及倍数这类情形，就应考虑通过三角公式加以转化.

●将解三角形方法与代数、几何、向量方法等相结合

例3 在圆内接四边形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

解析：由几何知识可得B+D=π;但是，单独解△ABC，△ADC，则条件似乎既不足又过剩，“不足”是因为在每个三角形中，已知两边却不知夹角;“过剩”是因为条件B+D=π未能使用.要解决这种几个所求的量相互依存的题目，可考虑运用代数中的方程思想.

如图2所示，设AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

点评： 解三角形问题是数学问题的一种，只要问题的情景适合某种数学思想方法，就应当突破思维的局限性，大胆运用包括代数、几何、向量、坐标法等各种方法.

综合应用

例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1） 当p=，b=1时，求a，c的值.

（2） 若角B为锐角，求p的取值范围.

解析： （1） 由正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb，再与ac=b2结合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2） 因为a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

点评： 求解例4（2）的基本思路就是通过余弦值的范围来确定角的范围.运用余弦定理需要知道边与边的关系，而用正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb就使得所有条件均表达为边的关系.

再则，相当多的同学只用a2+c2>b2来确定cosB==2p2-3的范围，进而求出p的取值范围，但是忽视题中参数p的任意性可能导致cosB=2p2-3的值大于1，从而少了p<这个范围. 建议：时刻注意隐含条件，求解范围应进行等价变形;有“小于”就再想想有没有“大于”，必要时“前门后门都上锁”.

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=，则sin∠BAC= .

解析： 如图3所示，不妨设AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，则tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

点评： 求解例5运用了代数方法，根据已知条件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用两直角三角形的角度差（α-β）来表示∠BAM，这是如何想到的？

首先，图形中没有任何一个三角形单独可解，边角之间又相互关联，所以可运用方程思想.

其次，解直角三角形最容易，在直角三角形中只需要求得边与边的比值就可以得到正弦，故想到设AC=1，BM=MC=m，如此也可以让“M是BC的中点”这个条件“搭便车”用上.

第三，选择正切就不必用根式表达斜边，如果我们懂得“知弦即知切”的道理，就会自然而灵活地由条件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1） 求角C的大小.

（2） 若sinA=，求△ABC的面积.

解析：（1） 已知条件cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB的右边可简化为二倍角的正弦形式，左边可降幂加倍：-=sin2A-sin2B，整理得：cos2A-sin2A=cos2B-sin2B，即cos2A+=cos2B+，两角的余弦值相等，有以下两种情形：

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），则A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中内角和不大于π，所以这种情况不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），则A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-满足要求，故C=.

（2） 现有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面积，可先算出sinB.因为a<c，故A是锐角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

点评： 作为高考的第一道解答题，完整解答得满分是必须的.求解例6有两处关键：首先是三角变换，其次就是分类讨论.要做到解答完整无误，除了熟练掌握必备的知识而外，细节的观察和处理也至关重要.

解三角形就是在一个三角形的边、角及面积中，已知其中若干量去求解其他的量;解三角形的学问，就是合理运用正、余弦定理并与三角恒等变换相结合的学问.在各地的高考试题中，解三角形的题目往往作为第一道解答题，用以检测同学们的运算能力以及分析问题、解决问题的能力.

解三角形的原理与公式

●正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）.这组公式表明同一个三角形的各边长与其对角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.这组公式精确量化了两边夹角是如何决定第三边的.

●其他三角公式：各组三角变换公式以及三角形三个内角和A+B+C=π、三边关系a+b>c等.

解三角形的注意事项

●合理运用正弦定理、余弦定理

例1 为了测量敌方两个阵地A，B之间的距离，在我方一侧选取C，D两点（A，B，C，D四点位于同一平面内），测得CD=a，∠ACB=75°，∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，求AB.

解析：例1中的四边形问题可通过化为几个三角形中的问题来求解.含有AB边的三角形可选择△ADB，在该三角形中目前只知道∠ADB为45°，无法直接求出AB，但是可以先分别在△BCD，△ACD中用正弦定理求得AD，BD，然后再在△ADB中用余弦定理求出AB.

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如图1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

a.

点评：一般来说，已知条件中，“角多”则优先选择用正弦定理，“边多”则用余弦定理.当然，具体进行哪种选择还是应根据题目的情况先“预算”一下，许多题目需二者兼用.

●将正、余弦定理与三角变换相结合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

解析：在△ABC中，B=180°-（A+C），所以cosB=-cos（A+C），代入题中第一个等式，再通过用两角和与差的三角公式，可得到sinAsinC的值，再运用正弦定理将b2=ac转化为角的正弦的关系即可得解.

由cos（A-C）+cosB=可得cos（A-C）-cos（A+C）=，展开整理得sinAsinC=. 依据正弦定理，由b2=ac得sin2B=sinAsinC=，故sinB=（sinB>0）. 若B>，则cosB<0，与cos（A-C）+cosB=>1矛盾，所以B=.

点评：正、余弦定理反映的是同一三角形的三边与三角之间的“最纯粹”关系，其中不涉及角的和、差及倍数，一旦题目中出现角的和、差及倍数这类情形，就应考虑通过三角公式加以转化.

●将解三角形方法与代数、几何、向量方法等相结合

例3 在圆内接四边形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

解析：由几何知识可得B+D=π;但是，单独解△ABC，△ADC，则条件似乎既不足又过剩，“不足”是因为在每个三角形中，已知两边却不知夹角;“过剩”是因为条件B+D=π未能使用.要解决这种几个所求的量相互依存的题目，可考虑运用代数中的方程思想.

如图2所示，设AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

点评： 解三角形问题是数学问题的一种，只要问题的情景适合某种数学思想方法，就应当突破思维的局限性，大胆运用包括代数、几何、向量、坐标法等各种方法.

综合应用

例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1） 当p=，b=1时，求a，c的值.

（2） 若角B为锐角，求p的取值范围.

解析： （1） 由正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb，再与ac=b2结合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2） 因为a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

点评： 求解例4（2）的基本思路就是通过余弦值的范围来确定角的范围.运用余弦定理需要知道边与边的关系，而用正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb就使得所有条件均表达为边的关系.

再则，相当多的同学只用a2+c2>b2来确定cosB==2p2-3的范围，进而求出p的取值范围，但是忽视题中参数p的任意性可能导致cosB=2p2-3的值大于1，从而少了p<这个范围. 建议：时刻注意隐含条件，求解范围应进行等价变形;有“小于”就再想想有没有“大于”，必要时“前门后门都上锁”.

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=，则sin∠BAC= .

解析： 如图3所示，不妨设AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，则tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

点评： 求解例5运用了代数方法，根据已知条件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用两直角三角形的角度差（α-β）来表示∠BAM，这是如何想到的？

首先，图形中没有任何一个三角形单独可解，边角之间又相互关联，所以可运用方程思想.

其次，解直角三角形最容易，在直角三角形中只需要求得边与边的比值就可以得到正弦，故想到设AC=1，BM=MC=m，如此也可以让“M是BC的中点”这个条件“搭便车”用上.

第三，选择正切就不必用根式表达斜边，如果我们懂得“知弦即知切”的道理，就会自然而灵活地由条件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1） 求角C的大小.

（2） 若sinA=，求△ABC的面积.

解析：（1） 已知条件cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB的右边可简化为二倍角的正弦形式，左边可降幂加倍：-=sin2A-sin2B，整理得：cos2A-sin2A=cos2B-sin2B，即cos2A+=cos2B+，两角的余弦值相等，有以下两种情形：

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），则A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中内角和不大于π，所以这种情况不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），则A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-满足要求，故C=.

（2） 现有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面积，可先算出sinB.因为a<c，故A是锐角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

点评： 作为高考的第一道解答题，完整解答得满分是必须的.求解例6有两处关键：首先是三角变换，其次就是分类讨论.要做到解答完整无误，除了熟练掌握必备的知识而外，细节的观察和处理也至关重要.

9.解直角三角形说课稿 篇九

各位老师下午好！

今天我说课的内容是九年级数学《锐角三角函数》中《解直角三角形及其应用》第一节课。下面分四个部分来说说我对这节课的教学设计：

1、教材分析

《锐角三角函数》的第二节解直角三角形是本章的重要内容。一个直角三角形有三个角、三条边这六个元素，解直角三角形就是由已知元素求出未知元素的过程。除了一个直角外，知道两个元素（其中至少有一条边），就能求出其他元素。这样的情况一般有五种，而解直角三角形的方法是本章内容的重点，因为，本章的学习目的主要就是使学生能够熟练地解直角三角形。而且也只有掌握了直角三角形的解法，才能够去解决与直角三角形有关的应用问题。在解直角三角形的应用这一节中，更充分地把“解直角三角形”运用到实际问题中去。通过一系列实际问题的解决，训练了学生分析与解决实际问题的能力，培养学生把实际问题转化为教学问题的能力。

由于实际问题的内容是多种多样的，要把这些问题转化为解直角三角形的教学问题，对分析问题能力的要求比较高，这使得学生感到困难。所以它也是本章学习内容中的一个难点。

我认为，《解直角三角形的应用》第一节课，起着承上启下的作用，既要让学生了解在解直角三角形的应用中常见的问题，又要能够正确理解实际问题的题意，看懂题中给出的示意图，学会能够在示意图中找出或者添加必要的辅助线，构成合适的直角三角形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，进而解决问题。因此在教学中，引导学生，审清题意，并根据题意画出示意图。结合图形，求得结论。

2．教学目的的确定

基于以上教材分析，按照《教学大纲》要求，本节课制定了如下的教学目标：

⑴、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

⑵、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

⑶、渗透数形结合的数学思想，把实际问题转化为数学问题，促进数学思维的发展；培养学生良好的学习习惯。

3．教学方法与教学手段的选择

根据上述的教材分析与教学目的，以及《教学大纲》的要求，本节课采用了启发讨论法，作为主要的教学方法。也就是采取教师引导为主，参与到学生之中，以形成师生之间、学生之间广泛研讨的形式。让学生做到完全投入，广泛交流，从而深刻认识所学知道的效果。在教学手段的选择上，除了在黑板上板书例题的解题过程，让学生的思维随着版书展开外，还利用实物投影仪以此帮助学生思考，让学生学习这种探求知识的观点和方法。

4．教学过程的设计 ⑴、上节课的知识回顾

首先引导学生复习上节课所讲的解直角三角形的意义及直角三角形中的边角关系。（为下面的新课作准备）

⑵、新知识的探究

讲授新知识这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

⑶、解直角三角形的应用实例

为了能培养学生数形结合的审题意识，安排了例

1、例2，完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”

先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。

在实际应用练习：将平时实际生活中的问题抽象成解直角三角形的问题，进而解决实际问题，强调解直角三角形的应用非常广泛，应牢牢掌握。

[4]、本节课小结

10.28.2 解直角三角形 教案5 篇十

28.2解直角三角形

一、教学目标

1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．

3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．

二、教学重点、难点

重点：解决有关坡度的实际问题． 难点：理解坡度的有关术语．

三、教学过程

（一）复习引入

1．讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评． 2．创设情境，导入新课．

例

同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．

（二）教学互动

通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义． 1． 坡度与坡角

结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常i=1：m的形式如i=1:2.5 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？

答：i＝hl＝tan

这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．

练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角______度．

为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：

(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．

答：(1)

如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，因为 tan＝ABBC，AB不变，tan随BC增大而减小

（2）与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα

AB 也随之增大，因为tan=BC不变时，tan随AB的增大而增大 2．讲授新课

引导学生回头分析引题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．

以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．

坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．

解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴AE=3BE=3×23=69(m)． FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．

∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．

因为斜坡AB的坡度i＝tan＝α≈18°26′

13≈0.3333，答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

其实这是旧人教版的一个例题，由于新版里这样的内容和题目并不少，但是对于题目里用的术语新版少提，基于学生的接受情况应插讲这一内容。

（三）巩固再现

1、习题

2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：

①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；

②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．