初中数学竞赛专题辅导(精选11篇)
1.初中数学竞赛专题辅导 篇一
.cn
初中数学竞赛专题选讲(初三.3)
配方法
一、内容提要
1.配方:这里指的是在代数式恒等变形中,把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式
(a±b)2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种:
①由a2+b2配上2ab,②由2 ab配上a2+b2,③由a2±2ab配上b2.2.运用配方法解题,初中阶段主要有:
① 用完全平方式来因式分解
例如:把x4+4 因式分解.原式=x4+4+4x2-4x2=(x2+2)2-4x2=„„
这是由a2+b2配上2ab.② 二次根式化简常用公式:aa,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如:化简526.我们把5-26写成 2-223+3 =(2)2-223+()2 =(2-3)2.这是由2 ab配上a2+b2.③ 求代数式的最大或最小值,方法之一是运用实数的平方是非负数,零就是最小值.即∵a2≥0,∴当a=0时,a2的值为0是最小值.例如:求代数式a2+2a-2 的最值.∵a2+2a-2= a2+2a+1-3=(a+1)2-
3当a=-1时,a2+2a-2有最小值-3.这是由a2±2ab配上b
2④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零,则每一个非负数都是零,有时就需
要配方.例如::求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y.2
解:方程x2+y2+2x-4y+1+4=0.配方的可化为(x+1)2+(y-2)2=0.要使等式成立,必须且只需
x10
.y20
x
1解得
y2
此外在解二次方程中应用根的判别式,或在证明等式、不等式时,也常要有配方的知识和技巧.二、例题 例1.因式分解:a2b2-a2+4ab-b2+1.解:a2b2-a2+4ab-b2+1=a2b2+2ab+1+(-a2+2ab-b2)(折项,分组)
=(ab+1)2-(a-b)
2(配方)
=(ab+1+a-b)(ab+1-a+b)(用平方差公式分解)
本题的关鍵是用折项,分组,树立配方的思想.例2.化简下列二次根式:
①74;②23;③104322.解:化简的关键是把被开方数配方
①743=4223=(23)
=23=2+3.2423(1)2
②23=2==
222
=
622(1)
=.22
③4322=4(21)
=42+1)
=642=42222=(2
2)2
=2-2.例3.求下列代数式的最大或最小值:
① x2+5x+1;② -2x2-6x+1.552
5解:①x+5x+1=x+2×x+-+
14`22
=(x+
∵(x+
5221)-.2
452)≥0,其中0是最小值.2521
即当x=时,x2+5x+1有最小值-.24
②-2x2-6x+1 =-2(x2+3x-)
3991
=-2(x2+2×x+-)
2442311
=-2(x+)2+
∵-2(x+)2≤0,其中0是最大值,2311
∴当x=-时,-2x2-6x+1有最大值.22
例4.解下列方程:
①x4-x2+2xy+y2+1=0 ;②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解:①(x4-2x2+1)+(x2+2xy+y2)=0.(折项,分组)(x2-1)2+(x+y)2=0.(配方)
根据“几个非负数的和等于零,则每一个非负数都应等于零”.x10
得
xy0
∴
x1,或
y1x1
y1
②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2-2y+1=0.(折项,分组)(x+y)2+6(x+y)+9+y2-2y+1=0.(x+y+3)2+(y-1)2=0.(配方)∴
xy30x4
∴
y10y1
例5.已知:a, b, c, d 都是整数且m=a2+b2,n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整数的平方和,试写出其形式.解:mn=(a2+b2)(c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2
= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c2-2abcd(分组,添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
例6.求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解
解:x2-4x+16+y2+10y+25=25(添项)(x-4)2+(y+5)2=25(配方)
∵25折成两个整数的平方和,只能是0和25;9和16.2222
(x4)0(x4)25(x4)9(x4)16
或或或∴ 2222
(y5)25(y5)0(y5)16(y5)9
由
x40x4
得
y55y0
x4x9
y10y-5
x1
„„
y5
同理,共有12个解
三、练习1.因式分解:
①x4+x2y2+y4 ;
②x2-2xy+y2-6x+6y+9 ;③x4+x2-2ax-a2+1.2.化简下列二次根式:
①4x212x94x220x25(-
35<x<);22
x24x33x2
②(1 4x2 ③2;④3 5; ⑤4423;⑥335; ⑦(14+65)÷(3+5);⑧(3x)2+x8x16.3求下列代数式的最大或最小值: ①2x2+10x+1 ;②- x+x-1.2 4.已知:a2+b2-4a-2b+5.求: ab322的值.5.已知:a2+b2+c2=111,ab+bc+ca=29.求:a+b+c的值.6.已知:实数a, b, c 满足等式a+b+c=0,abc=8.试判断代数式 值的正负.abc x46x32x216x23 7.已知:x=83,求:.x28x15 参考答案 1.②(x-y-3)2 2.①8,②0.5x,③3-22,④ ⑦3+,⑧7-2x(x≤3)3.①当x=- 2,⑤2+3,⑥ 2 5231时,有最小值-②x=1时,有最大值- 222 4.a=2, b=1 代数式值是3+22 5.±136.负数。由(a+b+c)2=0 得出ab+ac+bc<0 4.值为5。先化简已知为4-3,代入分母值为2,可知x2-8x+13=0 分子可化为(x2+2x+1)(x2-8x+13)+10 =10 5.配方(a-b)2+(b-c)2=0 6.① x1,1x2x6 ②③ y1,1y1y3 x1x1x1x1 ②(x-3)2+(y+5)2=9 „„ y1y2y3y2 7.① 一、创设竞赛辅导情境, 充分发挥学生的主体作用 选拔出来参赛的学生, 思维素质、实验动手操作能力一般都是较好的。辅导训练能否有效, 关键在于更新他们的思维方法, 也就是说要为他们准备思想武器——化学方法。为此我们创设了不同的竞赛辅导情境, 充分发挥学生的主体作用, 使学生觉得化学竞赛其乐无穷, 竞赛没有增加他们的学习负担, 反而活跃了他们的思维。 1.利用现代化教学媒体, 促使学生主体思维发展 现代化教学媒体的应用, 给教学带来强有力的视觉冲击力。特别是竞赛辅导, 还可提高辅导效率, 丰富学生的思维能力。如辅导“燃烧、自然、缓慢氧化、爆炸”这一内容, 我们用投影仪打出题目:1993年10月2日, 南京炼油厂310号油罐汽油泄露。一拖拉机行驶至附近, 随着轰的一声巨响, 瞬间油罐起火爆炸。后经及时扑救, 火于20个小时后基本扑灭, 可十几支消防水龙头仍对油罐继续喷水6小时。10月24日, 市环保部门对炼油厂和市区上空大气进行监测, 测知其污染指标均没超过国家有关标准。试依据学过的化学知识回答: (1) 310号油罐起火的原因? (2) 火灭后为何要继续对油罐喷水? (3) 市环保部门要监测大气中哪些有害气体? (4) 用烧碱溶液可吸收其中一种气体, 在烧煤时也能放出该气体, 写出有关的化学方程式。 本题设置是可燃性气体与空气充分混合遇火时发生爆炸。解析: (1) 由于油罐汽油泄露, 使油罐附近的空气中含有大量的汽油气体, 当拖拉机行使至附近时, 发电机产生的火花或火星将空气中的汽油引燃, 从而致使油罐起火爆炸。 (2) 火灭后还要继续对油罐喷水的原因是为了进一步降低油罐的温度, 使其低于汽油的着火点, 防止汽油重新燃烧, 发生爆炸。 (3) 市环保部门要监测大气中的有害气体是SO2、CO、NO2等。 (4) SO2+2NaOH=Na2SO3+H2O。 通过分析解答后, 学生的思维被调动起来, 学生的主体思维在这里得到了充分的发挥。通过这样的辅导, 对一些化学知识联系生活实际的竞赛题, 学生均能自行解答。 2.实践出真知, 学生主体得展现 初中化学竞赛中的物质推断题涉及面广, 关系较复杂, 隐蔽条件多, 能有效地考察学生的分析能力、逻辑推理能力和灵活应用知识的能力, 因而物质推断题往往是竞赛中单列的重要试题。辅导时我们可展现给学生由简到难的推断题: (1) 混合物中, 可能含有碳酸钠、氯化钙、氯化钡、硫酸钠、硫酸铜中的几种物质, 根据下列事实, 推断原混合物中肯定有______, 肯定没有______, 可能有______。 ①取固体混合物溶于水得无色透明溶液和白色沉淀; ②加入过量硝酸, 沉淀全部溶解且产生无色无味气体; ③再加入少量硫酸钠溶液, 又产生白色沉淀。 [ (2) …… (5) 略] 在解答物质推断题时, 应仔细阅读, 认真审题, 抓准题眼, 进行突破, 运用规律, 逻辑推理, 作出推断, 再行验证。参加竞赛的学生有能力解出此题, 我们的问题是要学生从中找出解此类题的方法, 并给予学生足够的时间归纳总结。这时学生的智慧从实践中迸发出来, 他们很快归纳出推断题的解法:顺推法、逆推法、讨论筛选法、分步推断法、定性定量结合法。这样, 实践出真知, 学生主体得以充分展现。 二、设计实验课题, 突出学生主体地位 教师应根据学生的实际水平和初中化学竞赛主要是实验应用能力的考核这一特点, 将学生已有知识和实际应用结合在一起, 设计合理的实验课题, 并准备好已有的实验装置, 以学生实验为主, 让学生多动脑、动手、动口, 从而突出竞赛辅导中学生的主体地位。 1.精心设计, 突出重点 辅导前我们应精心挑选实验, 给足实验所需的仪器, 做到一个实验既是重点, 又能激发学生钻研问题, 贯通新旧知识, 达到培养学生主体思维的目的。例如, 在没有现成CO2气体发生器的情况下, 可选用下列部分仪器装配成一个简易的且能随开随用、随关随停的CO2气体发生装置:铜丝、铁架台、底部有破损的圆底烧瓶、酒精灯、烧杯、带导管的单空橡皮塞、弹簧夹。学生在面对这些仪器时先提出:我应先拿弹簧夹, 用它夹橡皮导管, 再考虑制二氧化碳, 应固、液分开等等。这样, 仪器准备充分, 题目精心设计, 很好地突出了学生实验的主体地位。 2.先预测现象, 再探索科学结论 科学大都是遇到问题时再探索解决的办法而发展的, 在一种理论解释不通时, 再寻求新的方法解决。在竞赛辅导中尤其要培养学生肯钻研、勇于探索的精神, 激发学生去探求新知、解决问题。平时应让学生自发地去看书、分析, 发表不同的见解, 教师集中他们的意见, 然后引导学生开展探究活动并寻求正确的科学结论。例如, 辅导信息给予题、新的反应判断单质的活动性等, 先让学生判断, 教师再用实验来判断学生的误判, 然后加以引导, 得出正确结论。这样学生要查资料, 运用知识去解决问题, 在探索中学生会不断思考, 不断归纳总结, 这样加强了学生的动脑、动手能力及主体思维能力。 3.开动脑筋, 设计实验 近几年来化学竞赛中出现了实验设计题, 它要求学生需具备较高的实验综合能力。实验设计题必须遵循三“性”:一是科学性。实验设计的对象为制取某种物质或进行物质性质的实验, 首先要了解各实验的原理, 这是设计必须遵循的科学性。二是可行性。设计时要注意仪器的性能和多种物质共存时的种种相互关系, 这就是要注意实验的可行性。三是规律性。实验设计的主要内容有:仪器的装配, 操作步骤的设计。仪器装配的程序为先下后上, 先左后右。初中以制气装置为重点, 它包括制气、净化、收集、尾气处理四部分。净化装置的构成原则是先除杂后干燥, 气体通过除杂剂的顺序一般是先“液”后“固”。收集气体的方法取决于气体的溶解性、密度和化学性质, 而掌握制气的操作程序为:装配装置, 检查装置的气密性, 添加试剂, 制气, 收集。 第一讲 因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数; (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数; (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例1 分解因式: (1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7. 解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2) 2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2. (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz). (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 =(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下: 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6). 分析 我们已经知道公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性,现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b). 这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导. 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca). 说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc 显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立. 如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有 等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论. 例3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1. 分析 这个多项式的特点是:有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解. 解 因为 x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),所以 说明 在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用. 2.拆项、添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解. 例4 分解因式:x3-9x+8. 分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧. 解法1 将常数项8拆成-1+9. 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8). 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x. 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8). 解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3. 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8). 解法4 添加两项-x2+x2. 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8). 说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种. 例5 分解因式: (1)x9+x6+x3-3; (2)(m2-1)(n2-1)+4mn; (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4; (4)a3b-ab3+a2+b2+1. 解(1)将-3拆成-1-1-1. 原式=x9+x6+x3-1-1-1 =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3). (2)将4mn拆成2mn+2mn. 原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2 =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1). (3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2. 原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4 =[(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)=[(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3). (4)添加两项+ab-ab. 原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1). 说明(4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验. 3.换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰. 例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12. 分析 将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了. 解 设x2+x=y,则 原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5). 说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试. 例7 分解因式: (x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90. 分析 先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合. 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90. 令y=2x2+5x+2,则 原式=y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1). 说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础. 例8 分解因式: (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2. 解 设x2+4x+8=y,则 原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2+5x+8). 说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式. 例9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6. 解法1 原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2 =6[(x4-2x2+1)+2x2]+7x(x2-1)-36x 2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2 =6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2 =[2(x2-1)-3x][3(x2-1)+8x] =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3). 说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体. 解法2 原式=x2[6(t2+2)+7t-36] =x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8) =x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8] =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3). 例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2). 分析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式. 解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=u,xy=v,则 原式=(u2-v)2-4v(u2-2v) =u4-6u2v+9v2 =(u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2. 练习一 1.分解因式: (2)x10+x5-2; (4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5. 2.分解因式: (1)x3+3x2-4; (2)x4-11x2y2+y2; (3)x3+9x2+26x+24; (4)x4-12x+323. 3.分解因式: (1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1; (2)x4+7x3+14x2+7x+1; (3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1; (4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20. 第一讲 因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数; (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数; (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例1 分解因式: (1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7. 解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2) 2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2. (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz). (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 =(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下: 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6). 分析 我们已经知道公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性,现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b). 这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导. 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca). 说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc 显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立. 如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有 等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论. 例3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1. 分析 这个多项式的特点是:有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解. 解 因为 x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),所以 说明 在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用. 2.拆项、添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解. 例4 分解因式:x3-9x+8. 分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧. 解法1 将常数项8拆成-1+9. 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8). 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x. 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8). 解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3. 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8). 解法4 添加两项-x2+x2. 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8). 说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种. 例5 分解因式: (1)x9+x6+x3-3; (2)(m2-1)(n2-1)+4mn; (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4; (4)a3b-ab3+a2+b2+1. 解(1)将-3拆成-1-1-1. 原式=x9+x6+x3-1-1-1 =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3). (2)将4mn拆成2mn+2mn. 原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2 =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1). (3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2. 原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4 =[(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)=[(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3). (4)添加两项+ab-ab. 原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1). 说明(4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验. 3.换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰. 例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12. 分析 将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了. 解 设x2+x=y,则 原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5). 说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试. 例7 分解因式: (x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90. 分析 先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合. 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90. 令y=2x2+5x+2,则 原式=y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1). 说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础. 例8 分解因式: (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2. 解 设x2+4x+8=y,则 原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2+5x+8). 说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式. 例9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6. 解法1 原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2 =6[(x4-2x2+1)+2x2]+7x(x2-1)-36x2 =6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2 =6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2 =[2(x2-1)-3x][3(x2-1)+8x] =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3). 说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体. 解法2 原式=x2[6(t2+2)+7t-36] =x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8) =x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8] =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3). 例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2). 分析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式. 解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=u,xy=v,则 原式=(u2-v)2-4v(u2-2v) =u4-6u2v+9v2 =(u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2. 练习一 1.分解因式: (2)x10+x5-2; (4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5. 2.分解因式: (1)x3+3x2-4; (2)x4-11x2y2+y2; (3)x3+9x2+26x+24; (4)x4-12x+323. 3.分解因式: (1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1; (2)x4+7x3+14x2+7x+1; (3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1; 第十六讲 相似三角形(二) 上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明,本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用. 例1 如图2-76所示.△ABC中,AD是∠BAC的平分线.求证:AB∶AC=BD∶DC. 分析 设法通过添辅助线构造相似三角形,这里应注意利用角平分线产生等角的条件. 证 过B引BE∥AC,且与AD的延长线交于E.因为AD平分∠BAC,所以∠1=∠2.又因为BE∥AC,所以 ∠2=∠3. 从而∠1=∠3,AB=BE.显然 △BDE∽△CDA,所以 BE∶AC=BD∶DC,所以 AB∶AC=BD∶DC. 说明 这个例题在解决相似三角形有关问题中,常起重要作用,可当作一个定理使用.类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题,这个命题将在练习中出现,请同学们自己试证. 在构造相似三角形的方法中,利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等),将等角“转移”到合适的位置,形成相似三角形是一种常用的方法. 例2 如图 2-77所示.在△ABC中,AM是BC边上的中线,AE平分∠BAC,BD⊥AE的延长线于D,且交AM延长线于F.求证:EF∥AB. 分析 利用角平分线分三角形中线段成比例的性质,构造三角形,设法证明△MEF∽△MAB,从而EF∥AB. 证 过B引BG∥AC交AE的延长线于G,交AM的延长线于H.因为AE是∠BAC的平分线,所以 ∠BAE=∠CAE. 因为BG∥AC,所以 ∠CAE=∠G,∠BAE=∠G,所以 BA=BG. 又BD⊥AG,所以△ABG是等腰三角形,所以 ∠ABF=∠HBF,从而 AB∶BH=AF∶FH. 又M是BC边的中点,且BH∥AC,易知ABHC是平行四边形,从而 BH=AC,所以 AB∶AC=AF∶FH. 因为AE是△ABC中∠BAC的平分线,所以 AB∶AC=BE∶EC,所以 AF∶FH=BE∶EC,即 (AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形,所以AM=MH及BM=MC.).由合分比定理,上式变为 AM∶MB=FM∶ME. 在△MEF与△MAB中,∠EMF=∠AMB,所以 △MEF∽△MAB (两个三角形两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.).所以 ∠ABM=∠FEM,所以 EF∥AB. 例3 如图2-78所示.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4. 即可,为此若能设法利用长度分别为AB,BC,CA及l=AB+AC这4条线段,构造一对相似三角形,问题可能解决. 注意到,原△ABC中,已含上述4条线段中的三条,因此,不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线,构造一个三角形,使它与△ABC相似,期望能解决问题. 证 延长AB至D,使BD=AC(此时,AD=AB+AC),又延长BC至E,使AE=AC,连结ED.下面证明,△ADE∽△ABC. 设∠A=α,∠B=2α,∠C=4α,则 ∠A+∠B+∠C=7α=180°. 由作图知,∠ACB是等腰三角形ACE的外角,所以 ∠ACE=180°-4α=3α,所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α. 从而 ∠EAB=2α=∠EBA,AE=BE. 又由作图 AE=AC,AE=BD,所以 BE=BD,△BDE是等腰三角形,所以 ∠D=∠BED=α=∠CAB,所以 △ABC∽△DAE,所以 例4 如图2-79所示.P,Q分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且BP=BQ,BH⊥PC于H.求证:QH⊥DH.分析 要证QH⊥DH,只要证明∠BHQ=∠CHD.由于△PBC是直角三角形,且BH⊥PC,熟知∠PBH=∠PCB,从而∠HBQ=∠HCD,因而△BHQ与△DHC应该相似. 证 在Rt△PBC中,因为BH⊥PC,所以 ∠PBC=∠PHB=90°,从而 ∠PBH=∠PCB. 显然,Rt△PBC∽Rt△BHC,所以 由已知,BP=BQ,BC=DC,所以 因为∠ABC=∠BCD=90°,所以 ∠HBQ=∠HCD,所以 △HBQ∽△HCD,∠BHQ=∠DHC,∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC. 又因为 ∠BHQ+∠QHC=90°,所以 ∠QHD=∠QHC+DHC=90°,即 DH⊥HQ. 例5 如图2-80所示.P,Q分别是Rt△ABC两直角边AB,AC上两点,M为斜边BC的中点,且PM⊥QM.求证: PB2+QC2=PM2+QM2. 分析与证明 若作MD⊥AB于D,ME⊥AC于E,并连接PQ,则 PM2+QM2=PQ2=AP2+AQ2. 于是求证式等价于 PB2+QC2=PA2+QA2,① 等价于 PB2-PA2=QA2-QC2. ② 因为M是BC中点,且MD∥AC,ME∥AB,所以D,E分别是AB,AC的中点,即有 AD=BD,AE=CE,②等价于 (AD+PD)2-(AD-PD)2 =(AE+EQ)2-(AE-EQ)2,③ ③等价于 AD·PD=AE·EQ. ④ 因为ADME是矩形,所以 AD=ME,AE=MD,故④等价于 ME·PD=MD·EQ. ⑤ 为此,只要证明△MPD∽△MEQ即可. 下面我们来证明这一点. 事实上,这两个三角形都是直角三角形,因此,只要再证明有一对锐角相等即可.由于ADME为矩形,所以 ∠DME=90°=∠PMQ(已知). ⑥ 在⑥的两边都减去一个公共角∠PME,所得差角相等,即 ∠PMD=∠QME. ⑦ 由⑥,⑦,所以 △MPD∽△MEQ. 由此⑤成立,自⑤逆上,步步均可逆推,从而①成立,则原命题获证. 例6 如图2-81所示.△ABC中,E,D是BC边上的两个三等分点,AF=2CF,BF=12厘米.求:FM,MN,BN的长. 解 取AF的中点G,连接DF,EG.由平行线等分线段定理的逆定理知DF∥EG∥BA,所以 △CFD∽△CAB,△MFD∽△MBA. 所以MB=3MF,从而BF=4FM=12,所以 FM=3(厘米). 又在△BDF中,E是BD的中点,且EH∥DF,所以 因为EH∥AB,所以△NEH∽△NAB,从而 显然,H是BF的中点,所以 故所求的三条线段长分别为 练习十六 1.如图2-82所示.在△ABC中,AD是∠BAC的外角∠CAE的平分线.求证:AB∶AC=BD∶DC. 2.如图2-83所示.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠CAB,CF平分∠BCD.求证:EF∥BC. 3.如图2-84所示.在△ABC内有一点P,满足∠APB=∠BPC=∠CPA.若2∠B=∠A+∠C,求证: PB2=PA·PC. (提示:设法证明△PAB∽△PBC.) 4.如图2-85所示.D是等腰直角三角形ABC的直角边BC的中点,E在斜边AB上,且AE∶EB=2∶1.求证:CE⊥AD. 5.如图2-86所示.Rt△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于D,P为AD的中点,延长BP交AC于E,过E作EF⊥BC于F.求证:EF2=AE·EC. 第五十讲 生活中的数学(三)——镜子中的世界 在日常生活中,人们为了观察自己的服装仪表是否整洁漂亮,常常要照镜子.如果镜面是很平的,那么在镜子中,人或物体与其像是完全一样的.而且我们都有这样的经验:当人走近镜面,人在镜中的像也走进镜面;当人远离镜面,人在镜中的像也远离镜面.如果你留心的话,就可以发现:人和像与镜面的距离保持相等(图2-155),这种现象叫作面对称.如果我们只取一个侧面,那么镜面就可用一条直线来表示,人和人在镜中的像可用一个平面图形来表示,这样,人、像与镜就成了轴对称,也叫直线对称(图2-155). 如果实物是△ABC,那么它在镜中的像就成了图形△A′B′C′.直线l表示镜,这时称l为△ABC和△A′B′C′的对称轴(图2-156).图中,A与A′,B与B′,C与C′是对称点.以对称点为端点所连结的线段AA′,BB′,CC′被对称轴l垂直平分,因此,如果以直线l为折痕,把△ABC翻折过来,它必与△A′B′C′重合,所以成轴对称的两个图形必全等. 例1 设图形ABCDEF是半个蝴蝶形(图2-157(a)),试以直线l为对称轴,画出整个蝴蝶来.! 解 为了画出整个蝴蝶,只需要画出图形ABCDEF关于直线l的轴对称图形就可以了.因为A点、F点在直线l上,所以它们的对称点分别和A,F是同一点,这样,只要画出B,C,D,E关于l的对称点就行了.为此,先分别过B,C,D,E向l作垂线,设垂足分别为M,N,P,Q,然后在BM,CN,DP,EQ的延长线上取B′,C′,D′和E′点,使得B′M=MB,C′N=NC,D′P=PD,E′Q=QE,最后连结AB′,B′C′,C′D′,D′E′,E′F,于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE′D′C′B′了(图 2-157(b)). 例2 设直线l1和直线l2平行,且l1和l2间的距离为a.如果线段AB在l1的右侧,并设AB关于l1的对称图形是A′B′,而A′B′关于l2的对称图形是A″B″(图2-158),那么,线段AB和A″B″有什么关系? 解 因为l1平行于l2,并且AA′A″垂直于l1,当然也垂直于l2,同理BB′B″也垂直于l1和l2.我们知道:“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,所以 AA′A″∥BB′B″. ① 另一方面,因为AP=PA′,A′P′=P′A″,所以 AA′A″=2PP′=2a,同理BB′B″=2a,所以 AA′A″=BB′B″. ② 通过例2,我们可知,如果在平面上两条直线互相平行,有一个图形以这两条直线为对称轴,连续作了两次轴对称移动,那么相当于这个图形作了一次平行移动,平行移动的距离刚好是这两个对称轴间距离的2倍. 如果我们反复利用例2的原理,就可以做成带形的花边图案.例如,我们把一张等宽的长纸条像图2-159那样折叠起来,并在上面用小刀刻出一个三角形的洞,然后再展开这张纸条,就会得到如图2-160那样的带形图案.! 如果我们把图2-160中的m2,m1,m0,m-1,m-2,m-3看成镜子,A0看作实物,那么A1,A2和A-1,A-2就是A0在镜子中的像了.其实,图中的A1是A0以m0为对称轴作对称移动的对称图形,也可以把A1看作是A-1作一次平行移到所得到的图形.由此,怎样看待A1和A2的关系以及A2和A0的关系呢?请同学们自己作出回答. 有了上面的知识,同学们不仅可以自己设计一些带形花边图案,还可以了解某些广告上画的花边图案的原理了.下面的图2-161和图2-162是两个带形图案,你能看出它们是怎样设计的吗? 如果我们把前面图2-160中的m2,m1,m0,m-1,m-2等看作平行的镜子,A0看作一个人,如果这个人在镜子中m0和m-1之间反复映照,那么就会看到图2-163的情况. 可以想象,在镜子m0中的像A1,A2,A3,…,以及在镜子m1中的像A-1,A-2,A-3,…是无限多的.还可以知道:A0在镜m0中的像是A1,A1在镜m-1中的像是A-2,A-2在镜m0中的像是A3,…如此等等.因为A0和A1,A1和A2是轴对称移动,所以A0到A2是平行移动.! 例3 设直线l1和直线l2相交,交点为O,其夹角为α.如果线段AB关于l1的轴对称图形是A′B′,而A′B′关于l2的轴对称图形是A″B″.试问AB和A″B″间有什么关系?(见图2-164) 解 因为已知AB关于l1的对称图形是A′B′,A′B′关于l2的对称图形是A″B″,所以AB=A′B′,A′B′=A″B″,所以 AB=A″B″,① 由于∠AOP=∠A′OP,∠A′OP′=∠A″OP′,所以 ∠AOA″=2∠POP′=2α. 同理∠BOB″=2∠POP′=2α,所以 ∠AOA″=∠BOB″=2α. ② 由①,②可知:在平面上,如果两条直线相交,一个图形以这两条直线为对称轴,连续作两次对称移动,那么相当于这个图形以这两条直线的交点为旋转中心,以这两条直线的交角的2倍为旋转角,作了一个旋转移动,在旋转移动下,图形的大小不变. 例4 同学们小时候常常玩万花筒,它是由三块等宽、等长的玻璃片围成的.为什么在万花筒中会出现美丽奇特的图案呢?试用前边的知识揭开万花筒的秘密. 解 万花筒中所以能呈现千变万化、美丽而奇特的图案,主要是利用了图形的对称和旋转原理.为具体说明,给出的图2-165为万花筒中的一个图案,它是用一个小圆、一个平行四边形和一段短线在万花筒中连续反射而成的图形. 为了清楚地说明上图形成的原理,我们取出图形中的一部分(图2-166)加以分析.! 正△ABO以OB为对称轴作轴对称移动,就得到△CBO;△CBO以OC为对称轴作轴对称移动,就得到△CDO.经过这样两个轴对称移动,实际上相当于△ABO以O为中心,以120°为旋转角,作了一个旋转移动.这样: 点A→点C,边AO→边CO,点B→点D,边AB→边CD,点O→点O,边BO→边DO. 在这样旋转移动下,△ABO中的平行四边形、小圆和曲线也跟着旋转了120°.经多次反复,就形成了图2-165的绮丽景色.如果同学们有兴趣,可以自己在纸上再现万花筒中的世界! 练习二十九 1.设l1和l2是两面平行相对的镜子,如果把一个小球放在l1和l2之间(图2-167),试问: (1)小球A在镜l1中的像A′在什么位置?! (2)小球A在镜l1中的像A′在镜l2中的像A″又在什么位置?分别画在图上; (3)小球A和像A″之间的距离与l1和l2之间的距离有什么关系? 2.图2-168是万花筒中的一个图案,其中菱形FJKG变成菱形FDAC,如果看成经过以F点为旋转中心、旋转角为x的旋转移动得到的,那么x等于多少度?请从下面的四个答案中选出一个正确的答案来. (A)60°; (B)120°; (C)180°; (D)以上答案都不对. 3.图2-169是游乐园中的大型旋转车的简图,游人坐在旋转车的车斗中,任凭旋转车不停地旋转,但总是头朝上,绝不会掉下来.试问车斗所作的移动是什么移动?请在下面答案中选一个正确的答案. (A)旋转;(B)对称; (C)平移;(D)以上答案都不对. 姓名_______ 评分________ 一、填空。(每空1分,27分) 1、():20=1.6:()=八折=()% 2、比30千米多20%是()千米; 20吨比()吨少60% ; 30千克比50千克少()% ;()米比20米多30%。 3、一个圆柱的底面直径是4厘米,高是5厘米,这个圆柱的侧面积是()平方厘米,体积是()立方厘米 4一双运动鞋按原价八五折销售是340元,这双运动鞋原价是()元。 5、一根长4米,横截面半径为2分米的圆柱形木料截成同样长的4段,表面积比原来增加()平方分米。 6、一个圆柱和一个圆锥等底等高,如果它们的体积相差24立方分米,那么圆锥的体积是()立方分米,圆柱的体积是()立方分米。 7、把一个底面直径6分米的圆锥形木料沿底面直径竖直剖开,表面积增加30平方分米,圆锥体的高是()分米。 8、自来水管的内直径是2厘米,水管内水的流速是每秒8厘米。一位同学去洗手,走时忘记关掉水龙头,5分钟浪费()升水。 a59、当4a=5b时,a与b成()比例;时,a与b成()比例。 4b110、在一幅比例尺是的地图上量得AB两地距离是2.5厘米,则AB两地的实际距离1000000是()千米。BC两地的距离是150千米,地图上画的长度是()厘米。 11、把棱长为3分米的正方体木块,削成一个最大的圆锥,圆锥的体积是()立方分米。 12、一个圆锥的底面半径是一个圆柱底面半径的2倍,圆柱的高与圆锥高的比是 4:5,那么圆锥的体积是圆柱体积的()。 13、一块长方形菜地,画在比例尺是1:200的地图上,长是2.5厘米,宽是1.5厘米,那么这块长方形采地实际长是()米,宽是()米,面积是()平方米。 A14、若C,A一定时,B与C成()比例;B一定时,A与C成()比例;C一B定时,A与B成()比例。 二、判断(6分)1、1吨石油用去0.8吨,还剩下它的20%。 () 2、圆柱体的底面半径和高都扩大3倍, 它的体积扩大9倍。 () 3、长方形的长一定,面积和宽成反比例。 () 4、订阅《中国少年报》份数和钱数不成比例。 () 5、一个圆锥的底面大小不变,高增加了20%,体积就是原来的120%。() 16、把一个圆柱削成一个最大的圆锥,则圆锥的体积是削去体积的。() 2三、选择(14分) 1、一种彩票的中奖率是1%,买100张这种彩票,就()中奖。 A、一定 B、一定不会 C、有可能 D、不可能 2、一件工作原计划6天完成,实际5天就完工,工作效率提高了()。 A、1 5B、116 C、1D、以上都不是 3、15个圆锥可熔铸成()个和圆锥等底等高的圆柱。 A、5 B、15 C、30 D、45 4、如果正方体、圆柱和圆锥底面积相等,高也相等。下面哪句话是正确的?() A、圆柱的体积比正方体的体积小一些。 B、圆锥的体积是正方体的13。 C、圆柱体积与圆锥体积相等。 D、圆柱的体积和正方体的体积相等。 5、下列形体,截面形状不可能是长方形的是()。 A、长方体 B、圆锥体 C、圆柱体 6、一个圆柱体杯中盛满15升水,把水倒入一个与它等底等高的铁圆锥中,杯中还有(水。 A、5升 B、7.5升 C、10升 D、9升 7、如果4.5x4y,那么x和y() 。A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 四、解方程(每题3分,9分) x-20%x=40 x+60%x= 53X+90%×4=9.6 五、看图计算。(9分) 1、(1)求圆柱的表面积(单位:厘米) (2)求圆锥的体积(单位:分米) 2、求空心机器零件的体积。(单位:厘米)) 六、解决问题。(每题5分,共35分) 1、发电厂四月份用煤800吨,比三月份节约20%,三月份用煤多少吨?(3分) 2、瑞星2007版杀毒软件打七五折销售后,现价是24元,比原价便宜多少元?(3分) 3、一堆黄砂堆成圆锥体的形状,底面直径是4米,高0.5米。如果每立方米的黄砂重2.4吨,这堆黄砂重多少吨?(4分) 4、(6分) 5、西湖广场要砌一个圆柱形游泳池,从池内量得底面直径是20米,深2米。(1)在池的内壁与底面抹上水泥,抹水泥的面积有多大?(3分) (2)要往水底安装一个底面半径为0.5米的圆锥形水质清洁器,水面大约上升了1毫米,这个清洁器的体积是多少立方米?(3分) 6、一个长方体木块,长60厘米,宽40厘米,高30厘米,将其加工成一个最大的圆锥形木块,圆锥形木块的体积是多少立方厘米?(3分) 7、一列火车8小时行驶2000千米,照这样的速度,5小时行驶多少千米?(用比例知识解)(3分) 8、在比例尺是1:200的地图上,量得一块三角形菜地的底是2.5厘米,高是底的4,求这块三角形菜地5的实际面积是多少平方米?(4分) 学校班级姓名得分 一、口算 0.81÷0.03= 5112 +5=1-+=0.55×101= 南康区横市小学2013-2014学第二学期 六年级数学计算专题训练(第十周) 学校班级姓名得分 一、口算 4.8÷0.12=0.23= 2251×0÷=+= 5 161679-14=8 9÷924 =25×32=10-8715-15= 二、能简便计算的简便计算或解方程 1.25×3.2×2.544.4×36+22.2×2836÷[(1+2)×14 3] 9.9 ×345.12+3+3.88+413 13—2.25—73 413X12×23=4X:0.4=1 2:0.3X-0.8X-6=16三、一张长方形薄铁板,面积是141.3平方分米,沿着宽卷成一个圆柱形 铁桶,它的直径是15厘米,这个铁桶的高应该是多少分米? 252563 5.4×5=0.99÷1.1=0.3-25%=(5 -16 4)= 二、能简便计算的简便计算或解方程18×35+800÷253×715+815×34(1-42074 9)÷3+8 (12.5 ×8-40)÷60%125×8.81× 713+13 ÷71 :X= :99X-3.2×0.5=5.63X-180=30三、一个圆柱体,如果它的侧面展开图正好是一个周长为2512厘米的正方形,那么这个圆柱体的表面积是多少平方分米? 一.竞赛目的数学是一门取之于生活又能用之于生活的学科,让学生从游戏竞赛中发现生活中蕴含的数学知识,运用所学的数学知识、思维、技能去解决问题。在活动竞赛中,不仅能锻炼学生的手眼协调能力和意志力,而且能锻炼数学思维能力,也能提高耐性和自测力,最重要的是能增进游戏合作者的友谊和情感。 二.活动项目 三.活动时间 全程时间:40分钟(一节课) 各项竞赛时间:20分钟 四.场地:8间课室 五.参与竞赛人员:初一级各班学生,各班派出32人。 六.学生工作人员: 四巧板 1.704.004.50 记忆棋 迷宫10.80 数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣,吸引他们去进行积极的探索,不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。为了使全国数学竞赛活动持久、健康地开展,中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《初中数学竞赛大纲》,这份大纲的制定对全国初中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导作用,使我国初中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。 新的课程标准的实施在一定程度上改变了初中数学课程的体系、内容和要求。同时,随着国内外数学竞赛活动的发展,对竞赛活动所涉及的知识内容、思想和方法等方面也有了一些新的要求。为了使新的《初中数学竞赛大纲》能够更好地适应初中数学教育形势的发展和要求, 经过广泛征求意见和多次讨论, 中国数学会普及工作委员会组织了对《初中数学竞赛大纲》的修订。 本大纲是在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的精神和基础上制定的。在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中提到:“„„要激发学生的学习潜能,鼓励学生大胆创新与实践;„„要关注学生的个体差异,有效地实施有差异的教学,使每个学生都得到充分的发展;„„” 由于各种不同的因素,学生在数学知识、技能、能力方面和志趣上存在差异,教学中要承认这种差异,区别对待,因材施教,因势利导。应根据基本要求和通过选学内容,适应学生的各种不同需要;对学有余力的学生,要通过讲授选学内容和组织课外活动等多种形式,满足他们的学习愿望,发展他们的数学才能;鼓励学生积极参加形式多样的课外实践活动。 学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程,不应只限于接受、记忆、模仿和练习,还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导,引导学生主动地从事数学活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法,获得广泛的数学活动经验。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的基本要求。在竞赛中对同样的知识内容,在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求。“课堂教学为主,课外活动为辅”也是应遵循的原则。因此,本大纲所列的课程标准外的内容充分考虑到学生的实际情况,分阶段、分层次让学生逐步地去掌握,重在培养学生的学习兴趣、学习习惯和学习方法,使不同程度的学生在数学上都得到相应的发展,并且要贯彻”少而精”的原则,处理好普及与提高的关系。 1.数 整数及进位制表示法,整除性及其判定。 素数和合数,最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数,奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 ?? ??瑟瑟寒风徜徉在天际,仿佛是上帝传来的笑声,在鲜艳的五星红旗下,在庄严凝重的国歌声中,在辛勤的园丁、莘莘学子的注视里,我代表全体初四数学竟赛成员向大家宣布一个好消息:在刚刚结束的全省初中数学竞赛中,我校取得了骄人的成绩:我校成绩名列我市第一!全市竞赛个人前七名均出自我校!我们也得到了这次来之不易的升旗机会,亲手将鲜艳的五星红旗冉冉升起,这一切让我们感到无比骄傲与自豪! ?? ??没有人随随便便就成功。在成绩的背后,凝结了同学们的努力,更有老师们的辛勤教诲。在这闪亮的成绩背后,是全体辅导老师,苦口婆心的督促、劝导;是全体辅导老师,循循善诱的巧妙指导;是全体辅导老师,深夜中专心解题、细心备课的明灯;是全体辅导老师,牺牲了的无数的休息时间…… ?? ??在参加数学竞赛的同学中,不乏天资聪颖,思维敏捷,但这骄人成绩的取得,岂是一朝一夕所能成就?看似“谈笑间樯撸灰飞烟灭”般简短的考场上的两个小时,却融入了“宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来”似的毅力,凝结了势撼山河般的汗水,淘尽了师生情,洋溢着成竹在胸的自信, ?? ??过去的努力,换来了今天的`成绩。我们的成绩,证明了我们的实力,证明了我们的学校、我们的老师、我们的教育水平无懈可击! ?? 一、指导思想 1.培养学生学习数学的兴趣,增强学生的数学应用能力。 2.增强学生学习数学的信心,并能取得更好的成绩。 3.培养数学拔尖人才,组织参加各级各类数学竞赛。 二、辅导对象 本班前15名的学生 三、辅导时间 周二、周四下午课外活动课 四、辅导内容 完全平方数和完全平方式、不等式、一次函数、三角形全等、分式 五、辅导方法 1.按计划设计专题训练题,学生合作探讨完成训练题,其中存在的的问题应及时进行个别辅导。 【初中数学竞赛专题辅导】推荐阅读: 初中数学竞赛专题选讲 配方法(含答案)01-15 初中数学竞赛的目的11-19 初中数学几何专题复习08-25 初中数学概率专题总结11-08 初中数学分类讨论专题12-10 初中生数学竞赛流程11-25 初中数学培优辅导资料07-23 福建省初中数学竞赛试08-17 北师大版初中数学专题12-05 初中物理竞赛辅导记录06-302.初中数学竞赛专题辅导 篇二
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6.2018六年级下册数学竞赛辅导 篇六
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8.初中数学竞赛活动方案 篇八
9.2014年初中数学竞赛大纲 篇九
10.初中数学竞赛获奖的获奖感言 篇十
11.八年级数学竞赛辅导计划 篇十一