线面平行证明方法

线面平行证明方法（精选12篇）

1.线面平行证明方法 篇一

线面平行证明题

1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）.A.异面B.相交C.平行D.不能确定

2．若直线a、b均平行于平面α，则a与b的关系是（）.A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面

3．已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（）.A.D1B1∥lB.BD//平面AD1B

1C.l∥平面A1D1B1D.l⊥B1 C1

4．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）.A.α、β都平行于直线l

B.α内存在不共线的三点到β的距离相等

C.l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β

D.l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

5．下列说法正确的是（）.A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行

C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行

D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行

6．下列说法正确的是（）.A.直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行

B.经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行

C.经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行

D.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行

7．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是.8．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为

AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC

9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D.DA

10．如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG.B

D11．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC（1）求证：MN//平面PAD；

（2）若E在PC上，CECP，过ADE做一平面与PB交与F点，是确定F点位置。

12.已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.13.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为 侧棱PC上一点且PA//面BDE，求

14.在正方体AC1中，PEPC的值。

C

A

AEAA1



13,过ED1和B作出正方体的截面

A1

′

E

2.线面平行证明方法 篇二

关键词：线面平行,证明方法,应用

题目:如图1所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD.

分析:线面平行的证明用几何法和向量法都可以去证,本题也不例外,题目虽很简单,但其证明方法却包罗了线面平行的主要的证法.

证法1:(用线面平行的判定定理来证)连结B1C,根据正方体的性质知,B1C∥A1D,因为M、N分别是C1C、B1C1的中点,所以MN∥B1C,所以MN∥A1D.又因为MN平面A1BD,A1D平面A1BD.所以MN∥平面A1BD.

证法2:(用面面平行的性质定理来证)取C1D1的中点G,连结NG、MG,则根据正方体的性质得,MN∥B1C,B1C∥A1D.所以MN∥A1D.同理可得,MG∥A1B.所以平面A1DB∥平面NMG.又因为MN平面NMG.所以MN∥平面A1BD.

3.关于线面平行问题的探讨 篇三

【例１】 如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,

求证：(1) 四点E,F,G,H共面；

(2) BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH．

分析 (1) 要证明E,F,G,H四点共面,可以根据公理3的第3个推论,证明这四点所在的两条直线EH和FG平行,或者直线EF和HG平行；

(2) 易得,BD∥FG,AC∥EF,从而根据线面平行的判定定理证明。

解 (1) ∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.

同理HG∥AC,从而EF∥HG,

∴直线EF和直线HG可以确定一个平面α,

∵E∈直线EF,直线EFα,∴E∈α.

同理,F,G,H∈α.

故E,F,G,H四点共面.

(2) 由(1)知,EF∥AC,又∵EF面EFGH,AC面EFGH,∴AC∥面EFGH.

同理,BD∥面EFGH.

点拨 本题是苏教版数学必修2第36页习题第3题,第(2)问主要考查线面平行的判定定理,比较简单。

【探究一】 将上例改为：E,F,G分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD的中点,试在边DA上找一点H,使得四点E,F,G,H共面,并讨论当BD和AC满足什么关系时,四边形EFGH为菱形、正方形？

分析 本题可以利用线面平行的性质定理,将HG看成是平面EFGH与平面ACD的交线,从而EF∥HG,从而易知四边形EFGH为平行四边形,再根据边的关系进一步探讨平行四边形ABCD的形状。

解 ∵E,F分别为边AB,BC的中点,

∴EF∥AC.

又∵EF面ACD,AC平面ACD,

∴EF∥面ACD.

∵E,F,G,H四点共面,即平面EFGH∩平面ACD=HG,

从而,EF∥HG,故HG∥AC,

∴H为边DA的中点.

易得EF

瘙 綊 12AC,GH

瘙 綊 12AC,∴EF

瘙 綊 GH,

故四边形EFGH为平行四边形.

当EF=FG,即12AC=12BD,也即AC=BD时,四边形EFGH为菱形；

当AC⊥BD时,有EF⊥FG,从而,当AC=BD且AC⊥BD时,四边形EFGH为正方形.

【探究二】 如果将例1中的E,F,G,H是各边中点弱化,改为：在空间四面体ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且满足AEEB=AHHD,CFFB=CGGD,结论还成立吗？

分析 要证明四点共线以及线面平行,只要找到线线平行就可以了。例1中,遇到中点经常联系到中位线得到平行,其实,得到平行的方法还有很多,思维不能定势,在做立体几何题目的时候要注意思维的灵活性,抓住线面平行判定的常用方法,找准线线平行就可以了。

点拨 证明线面平行的方法一般有三种：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质。而在高考中,常见的是运用判定定理来证明,这就需要在平面内找一条直线与已知直线平行。上面这几个题目找平行线都不难,下面我们再分析一下,一般情况下如何找平行线。

【例2】 如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是B1C,BD的中点,求证：MN∥平面AA1B1B．

分析 只要在平面AA1B1B中找到一条直线与MN平行即可。一种方法,因为M,N分别是B1C,BD的中点,容易联想到中位线,连接AB1和AC,易得MN∥AB1；其次,可以将点C看成投影中心,MN在平面AA1B1B的投影正好是AB1,故MN∥AB1。除了用判定定理之外,本题还可以取BC的中点G,通过证明平面MNG∥平面AA1B1B得到MN∥平面AA1B1B。

解 连接AB1和AC,因为M,N分别是B1C,AC的中点,故MN∥AB1,又MN平面AA1B1B,AB1平面AA1B1B,所以,MN∥平面AA1B1B.

【探究一】 将原题改为：正方体ABCDA1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证：MN∥平面AA1B1B.

分析 将中点弱化为线段上的点,并没有改变由线线平行得到线面平行的本质,只是在找平行线时遇到了困难。用中心投影的方法,本题非常简单,但是不用这个方法,怎么找出交线呢？显然,CN必和AB相交,设交点为E,CM∩A1B1=B1,从而,B1E可看做是过MN的平面CMN与平面AA1B1B的交线,若结论MN∥平面AA1B1B成立,根据线面平行的性质定理,必有MN∥B1E,也就是说,只要我们能够证明MN∥B1E,就可以证明最终的结论了。而要证明MN∥B1E,根据已知条件,结合正方体的特点,证明并不难。

证明 如图,延长CN交直线AB于点E,连接B1E.∵CM=DN,∴CMMB1=DNNB,而DNNB=CNNE,从而CMMB1=CNNE,即有MN∥B1E,又MN平面AA1B1B,B1E平面AA1B1B,所以MN∥平面AA1B1B.

点拨 本题是将线面平行的问题放在正方体这个背景中,但是,实际解决问题时,我们完全可以仅仅将这个问题放在四棱锥B1ABCD中,适当改变相应的条件。

【探究二】 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使得PA∥平面MQB.

分析 如图,MN是过PA的平面PAC与平面MQB的交线,若PA∥平面MQB,则有PA∥MN,从而t=PMPC=ANAC=ANAN+NC=AQAQ+BC=13。

解 连接AC交BQ于点N,则过PA的平面PAC与平面MQB的交线为MN,若PA∥平面MQB,由线面平行的性质定理,知PA∥MN.从而,t=PMPC=ANAC,

又在菱形ABCD中,有ANNC=AQBC=12,所以ANAC=ANAN+NC=11+2=13,即t=13.

点拨 解决这类探究性的命题,其基本方法就是将结论当作已知条件。立体几何中这类题型往往不是很难,只要能够抓住条件,如本题,充分运用线面平行的判定、性质定理,化难为易。

总结:本文通过两个例题,对高考中常见的线面平行这一类重要证明题型做了简单的分析,并根据例题进一步展开,探讨一般情况下如何找线线平行,进而根据判定定理来证明线面平行,当然,线面平行大体上有三种证法,由于篇幅限制,本文主要对判定定理进行了拓展,希望对同学们在复习这部分内容时有所帮助。

牛刀小试

1. (2011•北京卷改)如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点．

(1) 求证：DE∥平面BCP；

(2) 求证：四边形DEFG为矩形.

2. 如图,平面内两个正方形ABCD与ABEF,点M,N分别在对角线AC,FB上,且AM∶MC=FN∶NB,沿AB折成直二面角.

(1) 证明：折叠后MN∥平面CBE；

(2) 若AM∶MC=2∶3,在线段AB上是否存在一点G,使平面MGN∥平面CBE？若存在,试确定点G的位置.

【参考答案】

1. (1) 证明：∵D,E分别为AP,AC的中点,

∴DE∥PC.

又DE平面BCP,PC平面BCP,

∴DE∥平面BCP;

(2) ∵点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点．

∴DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,

∴四边形DEFG为平行四边形．

又∵PC⊥AB,∴DE⊥DG,

从而平行四边形DEFG为矩形．

2. (1) 延长AN交BE于点H,则由AF∥BE知,ANNH=FNNB,而FNNB=AMMC,所以AMMC=ANNH,从而MN∥CH.

又因为MN平面CBE,CH平面CBE,所以MN∥平面CBE；

(2) 若平面MGN∥平面CBE,由平面ABC∩平面MNG=MG,平面ABC∩平面CBE=CB知MG∥BC,从而AGGB=AMMC=23.

4.用向量证明线面平行（共） 篇四

比如单位法向量是(0,1,0)，难道m=0吗? 只能是a≠0是可以这样。

面面平行：可以证明两个平面的法向量平行。

不过不一定是单位法向量，单位法向量是模等于1的法向量，其实只需证明两平面的法向量垂直就可以了。

当然你要证明分别平行于两平面的直线平行，或平行一平面的直线与另一平面的法向量垂直也未尝不可。2 三维空间上一平面上一活动点钟(x,y, z)而(m,n,p)是在原点与平面的垂线的交点, 我们得 [(x,y,z)-(m,n,p)] *(m,n,p)= 0 m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0 mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2 所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原点与平面的垂直距离 x+y+z=1是一个面它垂直和相交(1,1,1)这支向量 [1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0] 所以两直线的方向向量不平行 即两直线不平行

但是书后的答案说两直线是平行的。。你确定题没有写错吗? 其实直线很简单

[x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3] 表示通过点[4,-3,2]，沿着方向[1,8,-3]延伸 而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一样，两直线不平行平行向量

平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点(三角形法则)数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

5.线面平行判定习题 篇五

注意：证明线面平行的方法可分为三类：①直接法，②找中点（或作中点），③通过连接平行四边形的对角线，找中点（平行四边形的对角线互相平分）。题型一：直接法

1、如图是正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：BC1∥平面AB1D

1题型二：找中点（或作中点）

2、如图是四棱锥，已知BC∥AD且BC

AD，E为中点，2求证：CE∥平面PAB

题型三：通过连接平行四边形的对角线，找中点

3、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，F为PC的中点，求证：PA∥平面FBD.D

变式训练：

6.关于线面平行问题的探讨 篇六

刘玉扬中市第二高级中学 中学二级教师

摘要:本文重要通过几个例题，对高考中常见的线面平行问题做一些简单的探讨，主要讨论如何运用判定定理来证明线面平行问题。

关键词: 高考 线面平行 立体几何

正文

直线和平面平行是立体几何初步中的一类重要题

型，如何判断并证明线面平行，也是历年高考中的常见

题型。本文拟从几个经典的线面平行例题出发，结合往

年高考题对线面平行做进一步的探讨。

【例1】如图，E，F，G，H分别是空间四边

形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

（1）四点E,F,G,H共面；（2）BD//平面EFGH，AC//平面EFGH。

分析：（1）要证明E,F,G,H四点共面，可以根据公理3的第3个推论，证明这四点所在的两条直线EH和FG平行，或者直线EF和HG平行；

（2）易得，BD//FG，AC//EF，从而根据线面平行的判定定理证明。解：（1）E,F分别为AB，BC的中点，EF//AC

同理HG//AC，从而EF//HG

所以，直线EF和直线HG可以确定一个平面，E直线EF，直线EF，E。同理，F,G,H

故E,F,G,H四点共面。

（2）由（1）知，EF//AC，又EF面EFGH，AC面EFGH，AC//面EFGH。同理，BD

//面EFGH

点拨：本题是苏教版数学必修2第36页习题第3题，第（2）问主要考查线面平行的判定定理，比较简单。

【探究一】将上例改为：E，F，G，分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，的中点，试在边DA上找一点H，使得四点E,F,G,H共面，并讨论当BD和AC满足什么关系时，四边形EFGH为菱形、正方形？

分析：本题可以利用线面平行的性质定理，将HG看成是平面EFGH与平面ACD的交线，从而EF//HG，从而易知四边形EFGH为平行四边形，再根据边的关系进一步探讨平行四边形ABCD的形状。

解：E,F分别为边AB，BC的中点，EF//AC

又EF面ACD，AC平面ACD

EF//面ACD

E,F,G,H四点共面，即平面EFGH平面ACDHG

从而，EF//HG，故HG//AC，所以，H为边DA的中点。11AC，GH//AC，所以EFGH，故四边形EFGH为平行四2

211边形。当EFFG，即ACBD，也即ACBD时，四边形EFGH为菱形；22

当ACBD时，有EFFG，从而，当ACBD且ACBD时，四边形EFGH易得，EF//为正方形。

【探究二】如果将例1中的E,F,G,H是各边中点弱化，改为：在空间四面体ABCD

G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，中，且满足E，F，AEAHCFCG，EBHDFBGD

结论还成立吗？

分析：要证明四点共线以及线面平行，只要找到线线平行就可

以了。例1中，遇到中点经常联系到中位线得到平行，其实，得到

平行的方法还有很多，思维不能定势，在做立体几何题目的时候要

注意思维的灵活性，抓住线面平行判定的常用方法，找准线线平行

就可以了。

牛刀小试：[2011·北京卷改]如图，在四面体PABC中，PCAB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

(1)求证：DE//平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

解：(1)证明：D，E分别为AP，AC的中点，DE//PC

又DE平面BCP，PC平面BCP



DE//平面BCP

(2)点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

DE//PC//FG，DG//AB//EF

四边形DEFG为平行四边形．

又PCAB，DEDG，从而平行四边形DEFG为矩形．

点评：证明线面平行的方法一般有三种：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质。而在高考中，常见的是运用判定定理来证明，这就需要在平面内找一条直线与已知直线平行。上面这几个题目找平行线都不难，下面我们再分析一下，一般情况下如何找平行线。

【例2】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是B1C，BD的中点，求证：MN//平面AA1B1B。

分析：只要在平面AA1B1B中找到一条直线与MN平行即可。一种方法，因为M，N分别是B1C，BD的中点，容易联想到中位线，连结AB1和AC，易得MN//AB1；其次，可以将点C看成投影中心，MN在平面AA1，故MN//AB1B1B的投影正好是AB1。除了用判定定理之外，本题还可以取BC的中点G，通过证明平面MNG//平面AA1B1B得到MN//平面AA1B1B。

解：连结AB1和AC，因为M，N分别是B1C，BD的中点，故MN//AB1，又MN平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

【探究一】将原题改为：正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN//平面AA1B1B。

分析：将中点弱化为线段上的点，并没有改变由线线平行得到线面平行的本质，只是在找平行线时遇到了困难。用中心投影的方法，本题非常简单，但是不用这个方法，怎么找出交线呢？显然，CN必和AB相交，设交点为E，CMA1B1B1，从而，B1E可看做是

MN//平面AA过MN的平面CMN与平面AA1B1B成立，根据线面平1B1B的交线，若结论

行的性质定理，必有MN//B1E，也就是说，只要我们能够证明MN//B1E，就可以证明最终的结论了。而要证明MN//B1E，根据已知条件，结合正方体的特点，证明并不难。

证明：如图，延长CN交直线AB于点E，连结B1E。CMDN，

而CMDN，MB1NBDNCNCMCN，从而，即有MN//B1E，又MN平面AA1B1B，NBNEMB1NE

B1E平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

点评：本题是将线面平行的问题放在正方体这个背景中，但是，实际解决问题时，我们完全可以仅仅将这个问题放在四棱锥B1ABCD中，适当改变

相应的条件。

【探究二】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD

为

菱形，BAD60，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PMtPC，试确定实数t的值，使得PA//平面MQB。

分析：如图，MN是过PA的平面PAC与平面MQB的交线，若PA//平面MQB，PMANANAQ1PCACANNCAQBC3。则有PA//MN，从而

解：连结AC交BQ于点N，则过PA的平面PAC与平面MQB的交线为MN，若

PMAN，PA//平面MQB，由线面平行的性质定理，知PA//MN。从而，tPCAC

ANAQ1ANAN11，所以，即又在菱形ABCD中，有NCBC2ACANNC12

31t。3t

点评：解决这类探究性的命题，其基本方法就是将结论当作已知条件。立体几何中这类题型往往不是很难，只要能够抓住条件，如本题，充分运用线面平行的判定、性质定理，化难为易。

牛刀小试：如图，平面内两个正方形ABCD与ABEF，点M,N分别在对角线AC,FB上，且AM:MCFN:NB，沿AB折成直二面角。（1）证明：折叠后MN//平面CBE；

（2）若AM:MC2:3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE？若存在，试确定点G的位置。

分析：这是一类创新的题型——折叠问题，要能够把握折叠前后的不变量，问题就可以

迎刃而解。解决第二问时，只要根据面面平行的判定定理，由第一问的结论，再在面ABCD内过M点作AB的垂线，垂足即为点G。对于第一问，既可以通过面面平行来证，也可以在平面CBE内找一条直线与MN平行即可，还是可以利用线面平行的性质定理，延长AN交BE于点H，则直线CH为过MN的平面AMN与平面CBE的交线，则只要证明MN//CH即可，与例2的“探究二”类似。

解：（1）延长AN交BE于点H，则由AF//BE知，所以ANFNFNAM，而，NHNBNBMCAMAN，从而MN//CH。又因为MN平面CBE，CN平面CBE，所以，MCNH

MN//平面CBE；

（2）若平面MGN//平面CBE，由平面ABC平面MNGMG，AGAM2。平面ABC平面CBECB知MG//BC，从而，GBMC3

【小结】本文通过两个例题，对高考中常见的线面平行这一类重要证明题型做了简单的分析，并根据例题进一步展开，探讨一般情况下如何找线线平行，进而根据判定定理来证明线面平行，当然，线面平行大体上有三种证法，由于篇幅限制，本文主要对判定定理进行了

拓展，希望对同学们在复习这部分内容时有所帮助。

参考文献：

[1]鲍启静.线面平行之常见题型[N].中学生数理化.2008（2）

[2]崔君强.好记好用得“光照法”证明线面平行[N].中学生数学.2011-6月上（419）

7.线面平行证明方法 篇七

例

1、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（）（A）2（B）1（C）2 31（D）

3例

2、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）

（A）372（B）360（C）292（D）280

例

3、如图1，△ ABC为正三角形，AA//BB //CC , CC ⊥平面ABC且3AA=

（）

例

4、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.2

B.4

3BB=CC=AB,则多面体△ABC-ABC的正视图（也称主视图）是

2C.2

练习

D.4 3

3正(主)视

侧(左)视图

俯视图

1.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图2所示，则这个几何体的体积为 A．

234B．2C．D．

433

2.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边 长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何 体的体积为 ．．



B． 42

C．D．

2A．

侧视图

3.一个几何体的三视图如图2所示,那么这个几何体的表面积为

.．．．

2正视图

2侧视图

正视图

侧视图

俯视图

俯视图

4.已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为

A.C.空间点、直线、平面之间的位置关系 1平面

判定直线在平面内：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这两条直线在此平面内。

确定一个平面：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 推论1：一个直线外的点与一条直线确定一个平面 推论2：两条相交直线确定一个平面 推论3：两条平行直线确定一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

空间中直线与直线的位置关系

判断直线与直线平行：平行于同一条直线的两直线互相平行（平行的传递性）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。异面直线垂直：如果两条异面直线所成角是直角，那么这两条线互相垂直。·异面直线所成角不大于90度!空间中直线与平面之间的位置关系

·直线与平面的位置关系：在平面内,与平面相交,与平面平行。平面与平面之间的位置关系

·平面与平面的位置关系有且只有两种：相交于平行 2 直线、平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定

定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

定理2：若两个平面平行，则其中一个面的任意一条直线与另一个面平行。平面与平面平行的判定

定理1：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 定理2,：若两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，则这两个平面平行直线与平面平行的性质

定理1：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与此平面平行。

（·作用：证明线线平行 ·做法：经已知直线做一个平面与已知平面相交）平面与平面平行的性质

定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。

补充：证明线线平行的方法： 1.平行的传递性

2.线面平行的性质定理（·关键：寻找面面的交线）3.证明为第三个平面与两个平行平面的交线

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是()A.b∥αB.b

α

C.b与α相交D.以上都有可能

3． 直线a，b,c及平面，，使a//b成立的条件是（）

A．a//,bB．a//,b//C．a//c,b//cD．a//,b 4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与m异面B．内不存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行D．内的直线与m都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（）

① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；

A．4B．3C．2D．1 6．在空间中，下列命题正确的是()． A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a⊂α，则a∥β．β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定∥β，的是（）

A．，β都平行于直线a，b

B．内有三个不共线点到β的距离相等 C．a，b是内两条直线，且a∥β，b∥β

D．a，b是两条异面直线且a∥，b∥，a∥β，b∥β

8．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()． A．平行C．异面

B．相交 D．平行或异面

9．设a,b表示直线，,表示平面，P是空间一点，下面命题中正确的是（）A．a，则a//B．a//，b，则a//bC．//,a,b，则a//bD．Pa,P,a//,//，则a 10．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）

A.异面B.相交C.平行D.不能确定 11.下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A．①③B．①②C．②③D．③④ 12．在下列命题中，假命题的是A.若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥βB.若两个平面没有公共点，则两个平面平行

C.若平面α∥平面β，任取直线aα，则必有a∥β

D.若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等，则两条直线平行

二、填空题

13．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

14．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是．

15．a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ不在平面内，给出六个命题：

a∥ca∥∥c①a∥b;②a∥b;③∥;b∥cb∥∥c④

为三个不重合的平面，直线均

∥c

∥∥

a∥;⑤∥⑥a∥a∥c∥a∥

其中正确的命题是________________.16.如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面

8.线面平行证明方法 篇八

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

平行转化：线线平行 线面平行 面面平行；

类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）

（1）方法一：中位线法以锥体为载体

例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：PB∥平面AEC；

变式1：若点M是PC的中点，求证：PA||平面BDM；

变式2：若点M是PA 的中点，求证：PC||平面BDM。EAB变式3如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，(2)以柱体为载体

例2在直三棱柱ABCA1B1C1,D 为BC的中点，求证：AC1||平面AB1D

变式1 在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式2在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式 3如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=，AC=BC=2，∠C=90°，点D是A1C1的中点.求证：BC1//平面AB1D；

方法2：构造平行四边形法

例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，E、F

分别为AB,SC的中点．证明○1EF∥平面SAD○2BF∥平面SDE S

A

变式1：若E、F分别为AD,SB的中点．证明EF∥平面SCD

变式2若E、F分别为SD,AB的中点．证明EF∥平面SCB

例2如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC

1E1E

F

E

B

C

AD1

B1

方法3：面面平行法（略）

举一反三

1如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点.(1)求证：AF//平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；

E

A

C

F

2如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；

(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB中点．

9.线面平行证明方法 篇九

课题：垂直关系

教学分析

垂直关系是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是平行关系的转化手段，可以说垂直关系是立体几何的核心内容之一，也是高考热点内容。

垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用。在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论垂直的性质定理及其应用时，要注意是立体几何最难的定理，往往是一个复杂问题的开端，先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题。

三维目标

1.探究垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力。

2.掌握垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3.探究垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力。

4.垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力。

5.通过垂直的性质定理的学习，培养学生的转化思想。

重点难点

教学重点:(1)垂直关系的判定定理及其应用(2)垂直的性质定理

教学难点:(1)应用判定定理解决问题(2）性质定理的应用

课时安排：1课时.教学手段：多媒体.教学过程：

一、知识回顾

1、线面垂直的判定方法

(1)定义——如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。

(2)判定定理——如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。



lbalbabAla

2线面垂直的性质

(1)如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线。

(2)性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。

3、面面垂直的判定方法

（1)定义-----如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。

（2)判定定理-----如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直α⊥β，α∩β＝l⇒m⊥β.用符号表示为mα，m⊥l

4面面垂直的性质

如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

二、课堂演练

1．在三棱锥V－ABC中，VA＝VC，AB＝BC，则下列结论一定成立的是()

A．VA⊥BCB．AB⊥VC

C．VB⊥ACD．VA⊥VB

2．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．关于直线m、n与平面α、β，有以下四个命题：

①若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；

③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；

④若m∥α，n∥β且α⊥β，则m∥n；

其中真命题的序号是()

A．①②

C．①④B．③④ D．②③第4题图

4．△ABC，∠ABC＝90°，PA⊥平面 ABC，则图中直角三角形的个数是________．

三、典例精析

例1如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面。求证：（1）BC⊥面PAC（2)若AH⊥PC,则AH⊥面PBC

C B 例2如图，已知PA┴ 矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点 求证：（1）MN┴CD(2）若PDA

P 45，求证：MN面PCD

四、小结：三种垂直关系的转化

M D C

五、作业：课时作业

10.平行证明题 篇十

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E、F分别是棱AD、PB的中点，求证：直线EF∥平面PCD

P

D

F

C

E

A

B

2.如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是AA1、AD、B1C1、的中点。求证：平面EFG∥平面ACB1

C1

D1

1G

B1

D

F

A

B

3.如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，E是PD的中点.求证：PB∥平面AEC

E

A B D

4．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为A1C1的中点。求证：

（1）BC1∥平面AB1D;

（2）若D1为AC的中点,求证平面B1DA∥平面BC1D1.AB1

11.平行与垂直的证明 篇十一

1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点． 求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

ADBC

1D

B

C

2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

3．如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF

A

E

B

C

AD2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

4．如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AB8，AC6，BC10，D是BC边的中点.（Ⅰ）求证：

5．如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比．

6．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE

上确定一点N，使得MN∥平面DAE.7．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中:（1）求异面直线BC1与AA1所成的角的大小；（2）求三棱锥B

1A1C

1B的体积。（3）求证：B1D

平面A1C1B

ABA1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

8． 如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是

SA,BD上的点，且

AMBN

=，求证：MN//平面SBC SMND

P

9． 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．

E

A

B

D C

10．在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，平面CDE是等边三角形，棱EF//BC且EF=

BC．

2（I）证明：FO∥平面CDE；

（II）设BC=CD,证明EO⊥平面CDF．

11． 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD．

12．如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点．

（1）求证：CDAE；（2）求证：PD面ABE．

13.如图在三棱锥PABC中，PA平面ABC，C E

C

P

B

A

DB

_P

ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C

都在球O的球面上。

（1）证明：平面PAB平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

14.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB2，SBSD ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

_A_C

_M

_B

D

C

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD；（II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面 BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

1． 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直 角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.2

（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若 存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.5.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB

2，SBSD底面ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

D

C

【课后记】 1．设计思路（1）两课时；

（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系；（3）掌握探寻几何证明的思路和方法；（4）强调书写的规范性 2．实际效果：

（1）用时两节半课；

12.线面平行证明方法 篇十二

临高中学数学组王碧芳2013/12/10

1.线线平行学生理解不透彻,应明确利用线面平行的性质来得到线线平行.2.线线平行和线面平行的转化理解不太清楚,线线平行推出线面平行是判定定理(3个条件4个字:平行,内,外);线面平行推出线线平行是性质(3个条件4个字:平行,内,交).虽然都是三个条件,但本质上是完全不同的,两者是相反的.问题:如何把他们之间的联系和转化解理透彻