函数奇偶性应用教案

函数奇偶性应用教案（精选15篇）

1.函数奇偶性应用教案 篇一

§1.3.2函数的奇偶性

教学目标

1．知识与技能：

理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；

2．过程与方法：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．

3．情态与价值：

通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．

教学重点和难点

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法

教学过程：

一：引入课题

观察并思考函数

以及y=|x|的图像有哪些共同特征？这些特征在函数值对应表是如何体现的？（学生自主讨论）根据学生讨论的结果推出偶函数的定义。

偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（学生活动）

依照偶函数的定义给出奇函数的定义．

奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

1．具有奇偶性的函数的图像的特征：

偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．

2．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 二：例题讲解

例1．判断下列函数是不是具有奇偶性．（1）f(x)2x3x[1,2]

2（2）f(x)xxx1

例2．判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)x4

（2）f(x)x5

（3）f(x)x总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，则f(x)是奇函数．

三：课堂练习

课本P36习题1

利用函数的奇偶性补全函数的图象（教材P41思考题）

规律：偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

1x

（4）f(x)1x2

四：归纳小结，强化思想

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

五：作业布置

1．作业：判断下列函数的奇偶性： f(x)○2x2xx122f(x)；

○

x(1x)x0,x(1x)x0.f(x)x32x ；

○4 f(x)a

（xR）○

思考题：若函数f(x)＝(x+1)(x-a)为偶函数，求a的值.

2.函数奇偶性应用教案 篇二

一、对函数的奇偶性定理的探究

定义:(1)一般地,如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)叫做偶函数。

(2)如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数y=f(x)就叫做奇函数。

对定义的理解:

1.由等式f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)可知,f(x)在x与-x处都有意义,所以,函数的奇偶性存在的前提条件是定义域必须是一个对称空间。

例1:判断函数的奇偶性。

所以是偶函数。

错解的原因是忽略了函数的定义域。

正解:因为函数的定义域是

而函数在处有意义,显然定义域不对称。

所以此函数是非奇非偶函数。

2.由定理中相关的等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)变形得

在处理具体问题时,有时候运用(*)式子判断函数的奇偶性比较容易。

例2:已知函数判断该函数的奇偶性。

解:函数的定义域是-∞,+∞,

所以该函数是奇函数。

在处理该问题若运用f(-x)=-f(x)来判断结论:

学生不易想到分子有理化。

3.图象特征

(1)奇函数的图象关于原点对称,奇函数在其对称区间上单调性相同。

特别地:若奇函数在x=0处有意义,则有f(0)=0。

(2)偶函数的图像关于y轴对称,偶函数在其对称区间上的单调性相反。

例3:已知函数是R上的奇函数,求a的值。

又因为f(x)是R上的奇函数,

所以f(0)=0,即,即2a2=1,

综合(1)、(2)可得。

二、函数的奇偶性综合应用探究

在函数中往往是把函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性联系起来解决实际问题。

例4:设f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=＿＿＿＿＿＿。

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

解:因为f(x)是R上的奇函数,

所以点(0,0)是其对称中心。

又因为f(x+2)=-f(x)=f(-x),

即f(1+x)=f(1-x),

所以直线x=1是y=f(x)的对称轴。

故y=f(x)是周期为2的周期函数,

所以f(7.5)=f[8+(-0.5)]=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5

故答案为B。

例5:已知函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)。

(1)判断f(x)的奇偶性。

(2)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围。

解:(1)令x1=x2=-x,

得f(x2)=f(-x)+f(-x),

所以f(-x)=f(x),故该函数为偶函数。

(2)因为f(4)=1,

所以f(16)=f(4)+f(4)=2,

f(64)=f(16)+f(4)=3,

因为f(3x+1)+f(2x-6)≤3,

所以f(3x+1)+f(2x-6)≤f(64),

又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数且f(x)是D上的偶函数,

解得或3<x≤5,

所以x的取值范围是

对于奇偶函数,不仅要在形式上记住f(-x)=f(x)及f(-x)=-f(x),还要理解概念的前提:一是定义域的对称性,二是值域的对称性。正是这两个对称性,构成了奇偶函数图象的对称性。因此,对函数奇偶性的认识还应结合函数的图象来理解,同时,通过对函数奇偶性这一重要性质的理解还可以加深对函数的进一步认识。

数学是一门演绎性很强的学科,而教材中很多概念、公式、定理的展示过程往往没有详细完整地给出,只给出完美的结论,这就要求教师在课前深入钻研教材,精心设计,在课堂中渗透教学思想和方法,克服学生思维的被动性。

3.《函数的奇偶性》课堂实录 篇三

（展示图片：见附件）

师：（问题一）同学们能将下列图像进行分类吗？ （同学们开始讨论）

生：一类图像关于y轴成轴对称，另一类图像关于原点成中心对称

师：在数学中我们把图像关于y轴对称的函数叫偶函数；图像关于原点对称的函数叫奇

函数（从而自然的引入本节的课题-----函数的奇偶性。教师板书课题）

师：（问题二）有没有既不关于y轴对称也不关于原点对称的函数图像？（学生思考）

（教师进一步提示） 我们已经学过了哪些函数？

（在教师的启发下，学生开始活跃起来，纷纷讨论起来）

师：同学们能列举出几个这样的函数吗

生：一次函数f（x）=x+4，二次函数f（x）=（x-2）2+2既不关于y轴对称又不关于原点对称

（教师在黑板上作出函数的图像让同学们观察）

师：这些函数是奇函数还是偶函数？

生：它们既不是奇函数也不是偶函数

师：（问题三）同学们能判断下列函数的奇偶性吗？。

（黑板上书写函数（1）f（x）=x4+2， （2） f（x）=x5+x3）

（学生经过一段时间的思考、讨论后再一次陷入了沉思，学生的心里充满困惑：这

两个函数的图像很难画出来，甚至根本画不出来，如果画不出函数的图像该怎么

判断？部分学生想到能不能不画出函数的图像，而判断出一个函数的奇偶性？）

师：，我们从函数的图像无法入手，为了解决这些问題，能不能从代数解析式的角度去

研究什么是奇函数、什么是偶函数？

（通过问题的设置，让学生明白究奇函数和偶函数定义的必要性，有效的激发了

学生探求新知的欲望，充分调动了学生参与思考的积极性和主动性）

师：结合偶函数f（x）=x2的解析式，怎样从“数”上观察特征。

（在教师的启发下学生通过列举自变量x的取值：-3、-2、-1、0、1、2、3，计算

得到f（x）的函数值9、4、1、0、1、4、9。发现规律：f（x）=f（-x），由此，学生进一

步猜想：对任意的自变量x是否都有f（x）=f（-x）成立？）

师：（问题四）如果函数y=f（x）的图像关于y轴对称，我们就说这个函数是偶函数。那

么如何从代数的角度定义偶函数呢？

（有了前面的铺垫，学生很容易地归纳得到了偶函数的定义：）

如果对于函数y=f（x）的定义域的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么称函数y=（x）

是偶函数。

师：图五和图六有什么相同和不同呢？它们都是偶函数吗？

生：解析式相同，定义域不同，图像不同。图六是偶函数，图五不是偶函数。

师：（问题五）相同的函数一个是偶函数，一个不是偶函数，这是为什么呢？

生：因为定义域不同，不是关于不对称的，所以图像不是关于y轴对称的。

师：这个回答只是从图像观察得到，我们能不能从函数的定义中找到定义域为什么必须

关于原点对称。（学生又被难住了，不知怎样回答，让学生讨论）

生：在定义中要计算f（x）和f（-x），所以x和-x都必须在定义域内，即定义域必须关于原

点对称。

师：通过以上的分析，同学们知道判断函数偶性的前提条件是什么吗？

（学生齐声回答）

生：定义域关于原点对称。

师：二次函数f（x）=（x-2）2+2的定义域关于原点对称，为什么不是偶函数呢？

生：因为不满足f（-x）=f（x），所以不是偶函数。

师：同学们能总结出判断一个函数是不是偶函数的步骤呢？（让学生讨论）

生：第一步，看定义域是否关于原点对称。

若定义域不是关于原点对称的，则f（x）不是偶函数；

若是关于原点对称的，则进行第二步。

第二步，检验f（-x）与f（x）的关系。

若f（-x）=f（x），则函数f（x）是偶函数；

若f（-x）≠f（x），则函数f（x）不是偶函数。

师：同学们总结了判断函数是偶函数的步骤，下面我们看一个具体的例题。

（教师在黑板上展示例题：判断函数f（x）=x4+2在定义域为[-4，4]的区间上的奇偶性。）

（在教师和学生的共同讨论下，教师在黑板上展示判断过程。）

师：（问题六）同学们能用研究偶函数的方法类比研究下面两个问题吗？

1.奇函数的定义；2判断判断一个函数是奇函数的步骤。

（经过学生讨论，得到以下结论）

奇函数定义：如果对于函数y=f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），

那么称函数y=（x）是奇函数。

判断一个函数是奇函数的步骤：

第一步，看定义域是否关于原点对称。

若定义域不是关于原点对称的，则f（x）不是奇函数；

若是关于原点对称的，则进行第二步。

第二步，检验f（-x）与f（x）的关系。

若f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数；

若f（-x）≠f（x），则函数f（x）不是奇函数。

师：（问题七）通过前面的学习我们知道：函数有奇函数、偶函数、非奇非偶函数。

有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？（同学们又陷入沉思）

这个问题留给同学们课外思考好不好？ （学生齐声回答：好！）

师：本节课在同学们的积极参与下，我们通过讨论得出了奇函数、偶函数的定义以及判

4.函数单调性与奇偶性教案 篇四

教学目标

1。了解函数的单调性和奇偶性的概念，把握有关证实和判定的基本方法。

(1)了解并区分增函数，减函数，单调性，单调区间，奇函数，偶函数等概念。

(2)能从数和形两个角度熟悉单调性和奇偶性。

(3)能借助图象判定一些函数的单调性，能利用定义证实某些函数的单调性;能用定义判定某些函数的奇偶性，并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程。

2。通过函数单调性的证实，提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察，归纳，抽象的能力，同时渗透数形结合，从非凡到一般的数学思想。

3。通过对函数单调性和奇偶性的理论研究，增学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学，严谨的研究态度。

教学建议

一、知识结构

(1)函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系。

(2)函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像。

二、重点难点分析

(1)本节教学的重点是函数的单调性，奇偶性概念的形成与熟悉。教学的.难点是领悟函数单调性， 奇偶性的本质，把握单调性的证实。

(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。单调性的证实是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证实，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证实自然就是教学中的难点。

三、教法建议

(1)函数单调性概念引入时，可以先从学生熟悉的一次函数，，二次函数。反比例函数图象出发，回忆图象的增减性，从这点感性熟悉出发，通过问题逐步向抽象的定义靠拢。如可以设计这样的问题：图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度，也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释，引导学生发现自变量与函数值的的变化规律，再把这种规律用数学语言表示出来。在这个过程中对一些关键的词语(某个区间，任意，都有)的理解与必要性的熟悉就可以融入其中，将概念的形成与熟悉结合起来。

(2)函数单调性证实的步骤是严格规定的，要让学生按照步骤去做，就必须让他们明确每一步的必要性，每一步的目的，非凡是在第三步变形时，让学生明确变换的目标，到什么程度就可以断号，在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准，以便帮助学生总结规律。

5.函数奇偶性应用教案 篇五

【预习要点及要求】 1.函数奇偶性的概念；

2.由函数图象研究函数的奇偶性； 3.函数奇偶性的判断；

4.能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性； 5.理解函数的奇偶性。【知识再现】

1.轴对称图形：

2中心对称图形： 【概念探究】

1、画出函数f(x)x，与g(x)x的图像；并观察两个函数图像的对称性。

2、求出x3，x2，x

结论：f(x)f(x)，g(x)g(x)。

3、奇函数：___________________________________________________

4、偶函数：______________________________________________________ 【概念深化】（1）、强调定义中“任意”二字，奇偶性是函数在定义域上的整体性质。（2）、奇函数偶函数的定义域关于原点对称。

5、奇函数与偶函数图像的对称性：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的__________。反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是___________。

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的__________。反之，如果一个函数的图像是关于y轴对称，则这个函数是___________。

6.根据函数的奇偶性，函数可以分为____________________________________.【例题解析】

例1．已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x2x，求当x0时f(x)的表达式

例2．设为实数，函数f(x)x|xa|1,xR，讨论f(x)的奇偶性

参考答案：

例1．解：设x0,则x0，f(x)(x)2(x)x2x，又因为f(x)为奇函数，2222321时的函数值，写出f(x)，g(x)。2 f(x)f(x)，f(x)(x2x)x2x

当x0时f(x)x2x

评析：在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间上，然后要利用已知区间的解析式进行代入，利用f(x)的奇偶性，把f(x)写成f(x)或f(x)，从而解出f(x)

例2．解：当a0时，f(x)(x)|x|1x|x|1f(x)，所以f(x)为偶函数

当a0时，f(a)a1,f(a)a2|a|

1此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

评析：对于参数的不同取值函数的奇偶性不同，因而需对参数进行讨论 达标练习：

一、选择题

1、函数f(x)x22222222x的奇偶性是（）

A．奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

2、函数yf(x)是奇函数，图象上有一点为(a,f(a))，则图象必过点（）

A．(a,f(a))B.(a,f(a))C.(a,f(a))D.(a,二、填空题：

1)f(a)

3、f(x)为R上的偶函数，且当x(,0)时，f(x)x(x1)，则当x(0,)时，f(x)___________.4、函数f(x)为偶函数，那么f(x)与f(|x|)的大小关系为 __.三、解答题：

5、已知函数f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a,bR，都有f(ab)af(b)bf(a)

（1）、求f(0),f(1)的值；

（2）、判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明。= 参考答案：

1、C；

2、C；

3、x(x+1)；

6.函数奇偶性教学反思 篇六

本节课的教学模式是采用循序渐进，由简单的问题引入，然后在教师的引导下，探索结论，最后，在教师的指导下，对所学的实际结论进行学生的实际应用。

一、这种教学模式的教学程序是：

(一)实际练习引入课题，并能去发现生活中的相关信息，引起学生的兴趣。

(二)看图，具体引入函数进行观察探索，包括图像观察，自变量的变化，函数值的变化规律。

(三)明确这是函数的一种性质，明确定义，并强调定义中的注意事项，怎样理解定义中的规定。

(四)教师具体以例题进行示范，学生们领会对函数奇偶性的`认识，并怎样进行判断

(五)同学们在领会的基础上，进行实际训练，达到对知识的理解和应用。

二、这种教学模式的优势是：循序渐进，学生能够实际参与，在教学中体现和谐，教师的导和学生的练保证教学的效果。

这种教学模式的缺点与解决方法是：

7.函数奇偶性应用教案 篇七

一、巧借函数的奇偶性, 探究函数的对称性

以上各结论均是借助构造函数, 利用函数的奇偶性, 研究函数f (x) 本身的对称性, 在教学中可以发挥小组的团队作用, 通过小组的合作交流, 大多数问题都是可以自行解决的.

二、借助函数对称性的结论, 继续探究函数的周期性

8.函数的周期性与奇偶性 篇八

一、函数的周期性

一般地说，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使取定义域内的每一个x值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。理解周期性要注意以下几点：1.定义适合定义域中的每一个x值。2.并不是所有周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)=c，所有的正数都是它的周期，但没有最小值，故常数函数没有最小正周期。3.周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(?资∈?篆+)也是周期。4.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或无下界。5.设a为非零常数，若对于f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f（x+a）=-f (x) ②f（x+a）= ③f（x+a）=- ④ f（x+a）=⑤ f（x+a）=⑥ f（x+a）=f（x-a），则函数y=f（x）是周期函数。

二、函数的奇偶性

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数y=f（x）就叫做奇函数；如果对于函数（x）定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数y=f（x）为偶函数。理解奇偶性要注意以下几点：1.定义域必定关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。2.奇偶性是研究函数在整个定义域内的函数值的对称问题。3.若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，反过来不一定成立，如：f（x）=0（-1

三、周期性与奇偶性的结合

周期性解决的问题是自变量相差常数（周期的倍数）时，对应的函数值相等；奇偶性解决的问题是自变量互为相反数时，函数值的关系。当求某一函数值时，可以先考虑一方面进行变化，如得不到结果，再从另一方面进行变化，从而解答相关问题。现举例如下：

例1：已知f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，且当 x∈（0，1）时，f（x）=2x-1 ，则f（log212）的值为 。

解析：∵3

∴f（log212） =f（log212-4）=f（4-log212）=24-log212-1=

评析：函数的周期为2，则自变量相差2的整数倍的函数值相等，但只给了（0,1）时的解析式，所以再利用偶函数性质，互为相反数的两个自变量对应的函数值相等，得出所要求的函数值。

例2：（2010?安徽卷）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）＝2 ，则f（3）-f（4）= （ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析：由周期性得f（3）=f（-2），再由奇函数得 f（-2）＝-f（2） ∴f（3）=-f（2） 同理f（4）＝-f（1）∴f（3）-f（4）=f（1）-f（2）=1

评析：函数是奇函数可求互为相反数的两个自变量所对应的函数值，周期可得自变量相差5的倍数的函数值相等。只有两个性质灵活运用才能顺利解决问题。

练习：已知f（x）是定义在R上的以4为周期的偶函数，若当x∈（0，2）时，f（x）=lg（x+1）， 则有（ ）。A.f（-）>f（1）>f（） B.f（-）>f（）>f（1） C.f（1）>f（-）>f（）

D.f（）>f（1）>（-）B. （答案A）

例3：已知定義在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n，则n可能为（ ）A.0 B.1 C.3 D.5

解析：∵f （x）为奇函数且周期为T，∴f(0)=0 ∴ f(T)=f(-T)=0 又∵ f(-)=f(-+T)=f()=-f(∴f()=0, f(-)=0 ∴f(x) 在 [-T,T]上至少有5个根。(答案D)

评析：1.奇函数定义域包含0，则f(0)=0。2.奇函数得出 f(-)=-f(),周期性得出 f(-)=-f() ∴f()=0。此题通过两个性质的巧妙结合可以培养学生分析问题和解决问题的能力。

练习：若f(x)是R上周期为3的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内的解至少有（ ）。 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 (答案D )

例4：已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，并且x∈(0,1]时，f(x)=x2+1，则f(462)的值为（ ）。A.2 B.0 C.1 D.-1

解析：由奇函数得f(x)=-f(x)，由图象关于直线x=1对称得 f(-x)=f(2+x)∴f(2+x)=-f(x)∴T=4 ∴f(462)=f(2)=f(0)=0

评析：函数既有奇偶性，又关于直线x=a(a≠0)对称，则函数必为周期函数，又奇函数f(0)=0，结合关于x=1对称，∴f(2)=f(0)=0 ∴f(462)=0

练习:已知函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x+1)+f(x)=3，当 x∈[0,1]时f(x)=2-x，则f(2011.5)= 。（答案1.5）

函数的周期性和奇偶性的结合自然巧妙，旨在考查学生理解定义和灵活运用所学知识的能力，是培养学生分析问题、解决问题的很好的题型。以上是我对函数周期性和奇偶性的一点认识，愿与各位同仁共同探讨。

9.函数奇偶性教学设计解读 篇九

一、教材分析 1.教材的地位和作用

内容选自人教版《高中课程标准试验教科书》A版必修1第一章第三节;函数是中学数学的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。研究函数的奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究为后面学习幂函数,三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

2.学情分析

已经学习了函数的单调性,对于研究函数性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称,对图像的特殊对称性早已有一定的感性认识;在研究函数的单调性方面,学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识;高一学生具备一定的观察能力,但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高。二.教学目标 知识与技能: 1.从数与形两个方面进行引导,使学生深刻理解函数奇偶性的概念。2.能利用定义判断函数的奇偶性。

过程与方法;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力,渗透数形结合的数学思想。

情感态度与价值观: 1.对数学研究的科学方法有进一步的感受;2.体验数学研究严谨性,感受数学对称美。三.教学重点和难点

教学重点:函数的奇偶性概念的形成及函数奇偶性的判断。教学难点:函数奇偶性概念的探究与理解。教法、学法

教法:借助多媒体以引导发现法为主,直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式。

学法:根据自主性和差异性原则,以促进学生发展为出发点,着眼于知识的形成和发展,着眼于学生的学习体验。

过程分析

(一情景导航、引入新课 问题提出: 我们从函数图像的升降变化引发了函数的单调性,从函数图像的最高点最低点引发了函数的最值,如果从函数图像的对称性出发又能得到函数的什么性质?(二构建概念,突破难点

考察下列两个函数: 2(1(x x f-=x x f=(2(思考1:这两个函数的图像有何共同特征? 思考2:对于上述两个函数,1(f与1(-f , 2(f与2(-f，(a f与(a f-有 什么关系? 思考3:一般地,若函数(x f y= 的图像关于y轴对称,则(x f 与(x f-有

什么关系?反之成立吗?思考4:怎样定义偶函数? 思考5:函数([]2,1 ,2-

∈ =x x x f是偶函数吗?偶函数的定义域有何特征?(三合作探究,类比发现

仿照讨论偶函数的过程,回答下列问题: 共同完成探究(x x f=(x x f 1 = 思考1:这两个函数的图像有何共同特征? 思考2:对于上述两个函数,1(f与1(-f , 2(f与2(-f,(a f与(a f-有 什么关系? 思考3:一般地,若函数(x f y= 的图像关于原点轴对称,则(x f 与(x f-有什么关系?反之成立吗?

思考4:怎样定义奇函数? 思考5:函数([]2,1,-∈=x x x f 是奇函数吗?奇函数的定义域有何特征?(四 强化定义,深化内涵 对奇函数,偶函数定义的说明: 1.函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是什么? 练习1:奇函数定义域为[a,a+3],则a=______.2.有没有既是奇函数又是偶函数的函数? 3.有没有既不是奇函数也不是偶函数的函数? 总结:根据奇偶性,函数可划分为:奇函数,偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数。4.函数的奇偶性与函数的单调性有何不同? 5.奇函数和偶函数的图像有哪些性质?(五 讲练结合,巩固新知

例1:利用定义判断下列函数的奇偶性 x x x f 2(1(3-= 2 432(2(x x x f += x x x f-+-=11(3(R x x f ∈=,2(4(小结:用定义判断函数奇偶性的步骤 练习2:用定义判断下列函数的奇偶性((111-++=x x x f((x x x f 12+=

((2 13x x x f += []3,2,(4(2-∈=x x x f(六 拓展迁移,能力提高 例2.利用定义判断下列函数的奇偶性 221(1(2-+-=x x x f 0,1(0,1({(1(<->+=x x x x x x x f(七 课时小结,知识建构 1.偶函数和奇函数的定义: 2.函数奇偶性的判定:(八 布置作业,回归拓展 练习册P63 板书设计

1.3.2 函数的奇偶性

10.对数函数的单调性、奇偶性的运用 篇十

张军丽

一、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.1.比较下列各组数中的两个值大小：

(1)log23.4，log28.5

(2)log0.31.8，log0.32.7

(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)

思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4

解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4

解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4

(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；

(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1

当0loga5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则

所以，b1

所以，b1>b2，即举一反三：

【变式1】（2011 天津理 7）已知

A．

解析：另

B．，C．，则（）

D．，令b2=loga5.9，则

.当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9

当0

又∵为单调递增函数，∴

2.证明函数

故选C.上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设

举一反三：

【变式1】已知f(logax)=的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1

则

又∵y=log2x在即f(x1)

上是增函数.上是增函数

∴函数f(x)=log2(x2+1)在∵ 01，∴ f(t1)

解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=≤4，∴ y≥

=-2，即函数的值域为[-2，+∞.(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即

再由：函数y=-1

二、函数的奇偶性

4.判断下列函数的奇偶性.(1)

(2)

.t(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由

所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

又

所以函数

是奇函数；

总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由

以函数的定义域为R关于原点对称

即f(-x)=-f(x)；所以函数

所

又

.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、对数函数性质的综合应用

5．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现： 使u能取遍一切正数的条件是

.的解集为R，解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；

当a≠0时，有∴ a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数

a>1.a=0或

0≤a≤1，∴ a的取值范围为0≤a≤1.6．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；

(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8))(a>1)，∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕

∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).，又函数y=log2x

由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+在(0，+∞)上是增函数，∴ 0<2log2(1+)<2log2，即0(1+)-(1+)=16(+8a2>0，)=16·+8a1>0，a1-a2<0，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0，∴ 1<1+

<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)

11.函数奇偶性应用教案 篇十一

“新课改”提出:在“减轻学生负担”的同时要注重“提高学生素质”, 其核心就是减负和增效, 其重要的途径就是提高课堂教学效率, 在有限的时间里获取最大的效果.作为教学工作者理应在这一精神指导下进行教与学的理念、方法的探索.我们的追求是让学生在“摆脱题海战术”的同时“提高数学素养”.

本文是在我市实施“有效课堂”提高年的活动中, 我对高效课堂模式的实践研究中所作的尝试, 期待我对课堂教学模式的解读能给同行们带来有益的启示.

2 概念教学的阶段目标管理

数学的源是概念, 数学教学的开场戏是概念教学.概念教学的核心是概括抽象.在教学中我明确地将“阶段目标管理”理念引入概念教学, 并把情景导入艺术化、基本知识条理化、基础习题熟练化、基本方法系统化作为概念教学和训练的4个阶段性目标.具体说来, 重视基础有助于学生今后的发展, 它有以下的教育内涵:①记忆通向理解;②速度赢得效率;③严谨形成理性;④重复需要变式.在此基础上, 通过反思形成感悟, 经过独立思考加以内化, 最终升华、迁移形成创意.[1]

2.1 情景导入艺术化

情景导入是概念学习的认识准备阶段, 典型丰富的现实事例 (属性的分析、比较、综合) , 利用“铺垫搭桥”、“比较剖析”、“模拟操作”等手段, 实现知识迁移.一个好的“导入”设计, 往往会成为一堂课成败的关键.[2]创设自然合理的“情景导入”应符合维果斯基提出的最近发展区的理论.情景导入要激其情、奋其志、启其疑、引其思.

2.2 基本知识条理化

由情景导入引出思考力度更大的概括活动.由外到内, 由表及里, 实现知识建构, 提升抽象思维.让学生通过直观感知、实验操作、观察发现、归纳类比等非逻辑思维过程, 实现概括抽象, 并用准确的数学语言描述概念, 用符号语言来下定义, 语言的准确性与感染力影响教学效果.数学定义就是语言的符号化和形式化.然后以实例 (正例、反例、特例) 为载体分析关键词的含义, 区别有关概念之间的类似点与不同点, 这个过程是交错形成的, 螺旋式上升的.因此, 我们确立了概念教学的学习标准:学习概念要在巩固正例的基础上注重特例、反例、代数形式、图形表达全面把握, 而不能只局限于正例的把握;明确概念相互转化的条件.客观的检测标准就是能准确说出概念之间的关系, 形象地说就是“如教师一般熟悉教材”.……

2.3 基础习题熟练化

概念学习的巩固阶段是用概念来求解具体习题, 以问题链的方式进行, 从感性走向理性, 从浅显走向深刻, 从零碎走向规范.发扬变式教学的优点, 提高学生运用知识的能力及解题的自我监控能力.

概念的一般运用, 体现在基础习题之中, 基础习题会做仅仅是开始, 更重要的是熟练.简单习题熟练了, 复杂题目才会变简单.基础习题不熟练, 面对综合运用多个知识的问题就会一筹莫展.因此, 提高基础习题熟练化为高级数学思维留下更大的时间和空间.大数学家华罗庚有诗吟:“妙算还从拙中来, 愚公智叟两分开, 积久方显愚公智, 发白始知智叟呆, 埋头苦干是第一, 熟能生出百巧来, 勤能补拙是良训, 一份辛劳一份才.”[3]

2.4 基本方法系统化

概念学习的升华阶段是建立相关概念的联系, 从整理知识提升到强化方法, 由课内巩固延伸到课外思考, 在教学反思中提高概念教学的时效性, 这是思维深刻性和批判性的发展要求, 也是实现思想方法的升华要求.

基本方法系统化有两个客观标准:第一, 能结合一个题目说出该题的解题原理、过程, 解题方法的适用范围;第二, 就一类题目, 能说出题目之间的联系, 归纳出这一类题的解题方法, 说得出和表面上与其相近题目类型的区别, 能用简洁的语言把这些方法表达出来.[4]

3概念教学“函数的奇偶性”的教学设计案例

3.1 情景导入

在我们的日常生活中, 可以观察到许多对称现象:美丽的蝴蝶, 盛开的花朵, 六角形的雪花晶体, 建筑物和它水中的倒影…… (利用多媒体手段演示)

问题1 对称体现出数学之美.在初中我们已经学过哪两种对称?

设计意图 初高中知识的衔接学习, 在学生思维的最近发展区生成.感受数学之美, 感悟自然之美.

问题2 观察函数y=x2和$y=\frac{1}{x}(x\ne 0)$的图像, 从对称的角度你发现了什么?

设计意图 激发学生探究的热情.问题1是生活中常见的对称例子, 问题2是数学中常见的对称函数, 两者达到了从生活实例到数学内部的例子的链接作用.

3.2 实践操作 (也可借助计算机演示)

取一张纸, 在其上画出平面直角坐标系, 并在第一象限任画一可作为函数图像的图形, 然后按如下操作:以y轴为折痕将纸对折, 并在纸的背面 (即第二象限) 画出第一象限内图形的痕迹, 然后将纸展开, 观察坐标系中的图形.

问题3 将第一象限和第二象限的图形看成一个整体, 则这个图形可否作为某个函数y=f (x) 的图像, 若能请说出该图像具有什么特殊的性质?函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系?

设计意图 这是问题2的提升和具体的表现, 培养学生的动手能力并加深对函数本质的认识, 引导学生关注函数图像的对称性与函数奇偶性的关系, 凸显函数奇偶性的代数特征.

3.3 形成概念

问题4 怎样用数量关系来刻画上述函数图像的这种对称性?

设计意图 问题4是以上问题的归纳, 为形成概念服务, 在学习数学和运用数学解决问题时, 不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比等非逻辑思维过程, 这些过程是数学思维能力的具体体现.通过研究生活实例、数学内部的例子、实践操作后进行理性思考, 这里还原了数学发现的过程, 激发学生探究的兴趣.以上渐进型提问吻合学生思维发展的进程, 在教学中以实际问题、实际情境作为学生思考问题的背景, 使得问题更加直观、形象生动, 充分调动学生的非形式化思维, 有助于问题的解决.

学生活动 学生自主探讨、研读教材.而且在讨论中相互补充纠正, 经教师引导, 得到偶函数、奇函数的概念.

教师追问该定义中的关键词是什么?用式子如何表示?

设计意图 我们在指导学生学习数学时, 要与学生思维发展的进程相吻合, 充分考虑学生思维发展的阶段、水平, 防止出现对他们学习要求难度过大或过于抽象的内容, 避免造成“消化不良”和学习负担过重现象.

问题5 函数f (x) =x2+1是偶函数吗?

设计意图 初步运用定义直接判断.

问题6 你能举出一些函数是偶函数、奇函数吗?

设计意图 问题5的开放性自主巩固, 回归定义, 巩固常例, 形成感知, 展示形成概念.

教师点评 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质.

教师追问 具有奇偶性的函数的图像的特征是怎样的?

设计意图 概念的形成是从“形”到“数”的深化, 在这里, 再由“数”到“形”的设问, 进一步实现数学思维从具体到抽象, 从抽象到形象的飞跃, 这里包含了一系列“感性—理性 (逻辑) —感性”的思维过程.因此, 其结果虽然仍以直观的形式表现出来, 但在实际上它已在头脑中进行了逻辑程序的高度简缩, 并超越了“理性阶段”.直观思维既是一种重要的创造性思维, 也是一种跃进式思维.

3.4 训练提升

训练1 判定下列函数是否为偶函数或奇函数:

(1) f (x) =x2-1; (2) f (x) =2x;

(3) f (x) =2│x│; (4) f (x) = (x-1) 2.

设计意图 重点巩固对概念中表达式的认识, 不要急于谈论具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称, 这样处理吻合学生的认知过程, 形成对数学概念的初步理解.强调概念的符号化、形式化.

教师点评 训练1也可借助函数图像帮助判断函数的奇偶性, 涉及函数既不是奇函数也不是偶函数的判断通常利用特殊值说理.

问题7 对于定义在R上的函数f (x) , 若f (-1) =f (1) , 则函数f (x) 是偶函数, 对吗?

问题8 对于定义在R上的函数f (x) , 若f (-1) =f (1) , 则函数f (x) 不是奇函数, 对吗?

设计意图 问题7—8深化对概念的认识, 进一步阐明特殊与任意的关系, 通过由正例的认识向反例、特例的认识过渡, 实现概念的精致.引导学生画示意图, 渗透数形结合思想.

训练2 (1) 判断函数f (x) =x3+5x是否具有奇偶性.

(2) 函数f (x) =x3+5x, x∈[-1, 1) 是奇函数吗?

设计意图 强调解题的规范性, 实现基本知识条理化的初步目标, 为讨论具有奇偶性函数的定义域的对称性提供对比案例.

问题9 具有奇偶性的函数, 其定义域具有怎样的特点?

设计意图 问题9是对问题1—3中物的对称, 图像的对称延伸到数域的对称, 对正例的内涵的深层理解向反例的自然过渡.突出“定义域优先”思想.

问题10 (变式提高) 函数g (x) =x3和h (x) =5x是奇函数, 从而函数f (x) =x3+5x也是奇函数, 你能举出类似的例子吗?并由此推测一般结论.

设计意图 问题10是一个由特殊到一般的归纳猜测, 初步尝试数学研究的过程, 体验创造的激情, 建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯, 培养学生发现、提出、解决数学问题的能力;有助于发展学生的创新意识和实践能力.同时利用题组训练1和训练2及其变式, 实现基础习题熟练化的阶段目标, 为夯实基础提供可能.

训练3 已知函数f (x) =x2+ax+b为偶函数, 求实数a的值.

设计意图 通过训练3实现基本方法系统化的阶段目标, 由题组训练1—3对函数奇偶性定义的正用、逆用的双向运用提供对比, 有利于全面、深入地把握函数奇偶性的概念.

师生合作分析

第一步做什么?得什么?函数f (x) =x2+ax+b为偶函数, 得f (-x) =f (x) 对于一切实数x恒成立.

第二步做什么?得什么?化简, 得x2-ax+b=x2+ax+b对于一切实数x恒成立.

第三步做什么?得什么?由此可知-a=a.所以a=0.

由学生自己整理成解题过程. (注意表述的规范性)

教师点评 已知奇偶性求待定系数时, 常将等式整理成方程形式, 通过方程有无数组解得各项系数为0而得.也可从“形”的角度加以分析, 偶函数的图像关于y轴对称, 故a=0.让学生从多种解题方法中上升到数学思想层面。突出函数奇偶性的代数形式, 同时从图形特征的角度加以分析、反思, 分阶段实现基本知识条理化、基础习题熟练化、基本方法系统化的目标, 学生对函数奇偶性的认识过程是“直觉思维”与“逻辑思维”之间的不断转化, 是循序渐进的, 反复交错的, 螺旋上升的, 最后达成感性认识到理性认识的质的飞跃.

3.5 回顾反思 (师生互动解决)

问题11 判断函数奇偶性的步骤?

问题12 根据实践操作中的方法你能作出函数y=x2-2│x│的图像吗?

设计意图 通过师生互动, 检查学生是否达成基本方法系统化的阶段目标.

4 教后反思

对于大多数学生而言, 函数奇偶性的学习, 应根据思维的最近发展区理论, 在学生已有的知识经验中寻找新知识的“生长点”, 以“问题链”为主线组织学习活动, 如何引导学生解决问题是教学成败的关键.因此, 教师应充分考虑创设的问题情境是否具有启发性和本源性, 能否触及数学本质, 在学习活动中起统帅作用的问题能否驱动、激活学生的思维, 使得数学概念、方法和符号都合情合理.不应让学生记住概念就练习考题, 异化了数学的教育教学功能.[5]同时教师要真正转变对学生提问的态度, 提高引导水平, 关注学生学习的结果, 更应关注学生学习的过程;关注学生数学学习的水平, 更应关注学生在数学活动中表现出来的情感、态度与价值观.

对函数奇偶性的研究要突出从“形”、“数”两个方面, 由“形”得“数”, 由“数”思“形”, 体现“发现和探究”的理念.讨论概念的各种特殊情况, 用变式的方法突出概念的本质属性.通过精心设计的问题, 引出矛盾, 催生新问题, 层层深入强化函数奇偶性概念的认识.在情景导入阶段, 我们还可提出这样一些问题:从函数图像中你“看到了什么?发现了什么?有什么联想?”等等.当然, 我们也有注意几何直观的局限性, 避免用几何直观代替逻辑证明的错误做法.

在挖掘函数奇偶性概念的本质属性的过程中, 充分发挥了学生的主动性而不是急于告知学生答案, 通过学生相互之间的讨论、相互纠正达成问题的解决.[6]课堂上有分歧, 有争辩, 看似浪费了时间, 却使学生亲身经历了数学活动的过程, 获得对函数奇偶性的准确、全面的认识, 我想这些更有价值.

课堂教学中实施阶段目标管理, 有利于教学效果的有效监控, “问题链”的设计要具有指向性, 方向明确了, 学生的学习热情调动起来了, 课堂效益的提高也是水到渠成的事.

参考文献

[1]张奠宙.建设中国特色的数学教育理论[J].数学通报, 2010 (1) :13.

[2]张奠宙.建设中国特色的数学教育理论[J].数学通报, 2010 (1) :10.

[3]华罗庚.从孙子的“神机妙算”谈起[M].北京:科学出版社, 1963.

[4]徐国明, 窦东友.易思学习法——如何开发学习潜能[M].北京:世界图书出版公司, 2009.

[5]房元霞, 连茂廷, 宋宝和.高中生对导数概念理解情况的调查研究[J].数学通报, 2010 (2) :36.

12.函数奇偶性应用教案 篇十二

ax11ax

xf(x)，所以f(x)为奇函数。（1）f(x)xa1a1

ax1(ax1)221（2）f(x)x，a1ax1ax1

因为a0，所以a11，所以0

所以f(x)的值域为(1,1).（3）任取x1,x2R，且x1x2，则 xx22，ax1

ax11ax2122f(x1)f(x2)x1x2x2x1 a1a1a1a1

2(ax11)2(ax21)2(ax1ax2) x1(ax11)(ax21)(a1)(ax21)

xx因为a1，x1x2，所以a1a2，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

13.函数奇偶性应用教案 篇十三

http://

高中数学难点解析 难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场

2(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式［flog2(x+5x+4)］≥0.

●案例探究

［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤5},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由0x6得23x336x3x3

32且x≠0,故03－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2f(0)对所有θ∈［0,的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m), 即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.京翰教育http:///

12)2－

134知：g(x)

2］都成立？若存在，求出符合条件

高中数学辅导网

http:// 设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t－mt+2m－2=(t－1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当m22

m2)－

2m42+2m－2在［0，<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；

m2当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－

m42+2m－2>0 4－221,即m>2时，g(1)=m－1>0m>1.∴m>2 综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－22.●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于（）A.0.5

B.－0.5

C.1.5

D.－1.5 2.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围是（）A.(22，3)C.(22，4)

二、填空题

3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(1323

B.(3，10)D.(－2，3)),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题

5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)=(1)求a的值；

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a2112xx(a∈R)是R上的奇函数，高中数学辅导网

http://(2)求f(x)的反函数f(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg

1xk－

1.747.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(12m－任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)=有最小值2，其中b∈N且f(1)<

52ax2+cos2x)对

1bxc(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)

.(1)试求函数f(x)的解析式；

(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案

难点磁场

解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0 ∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2

或log2(x+5x+4)≤－2 由①得x2+5x+4≥4 ∴x≤－5或x≥0 由②得0＜x+5x+4≤2

252

① ② ③ ④

52

14得≤x＜－4或－1＜x≤由③④得原不等式的解集为 {x|x≤－5或5210≤x≤－4或－1＜x≤

5210或x≥0} 歼灭难点训练

一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B 2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).1a31∴1a29

1∴a∈(22,3).2a3a9答案：A

二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0x0x0 或f(x)0f(x)0x0x0x0x0  或 或f(x)f(3)f(x)f(3)x3x3京翰教育http:///

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http:// ∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)为R上的奇函数 ∴f(－23131323231)=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>

3>－1.∴f(－13)>f(－1323)>f(－1),∴f(2313)＜f（23)＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1)

三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以 f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)=2121xx(x∈R)f－-1(x)=log21x(－1＜x＜1).1x(3)由log21x1x>log2

1xklog2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1};当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1}.msinx4m4sinx727.解：12mcosx4 即74m12msin472msinx12mcosx42xsinx1，对x∈R恒成立, m331

m或m22∴m∈［

32,3］∪{

12}.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即

ax2ax21bxc1ax21bxcbxcbxc

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=

1bxabxbx2≥2

ab2，当且仅当x=

1a时等号成立，于是2ab2=2,∴a=b,由f(1)＜2

521x得

a1b＜

52即

b1b＜

52,∴2b2－5b+2＜0,解得

12＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)

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http:// x021y0x0图象上，则

2(2x0)1y02x0消去y0得x0－2x0－1=0,x0=1±2.∴y=f(x)图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称.2

14.函数的单调性教案二 篇十四

函数的单调性（教案）二

（三）例题讲解 例1  图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？ （用投影幻灯给出图象．） 生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间． 生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？ 师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，b]上单调（增或减），且[ ， ] [a，b]，则f（x）在[ ， ]（增或减）．反之不然． 例2  证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数． 师：从函数图象上观察函数的单调性是最直观的，但如果每次都要画出函数图像就太麻烦了，而且有些函数不容易画出它的图像，一次我们必须学会根据解析式和定义来证明。 师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程． （教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较 和 的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．） 师：对于 和 我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a―b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的`符号来决定两个数的大小关系． 生：（板演）设 ， 是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当 时， ， 所以f（x）是增函数． 师：他的证明思路是清楚的．一开始设 ， 是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设 （边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看 ，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么 ＜0，没有用到开始的假设“ ”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以 ，从而 ＜0，即 ．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）． 这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可 小．   调函数吗？并用定义证明你的结论．     师：你的结论是什么呢？   上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数． 生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞）， 显然成立，而 ， ，显然有 ，而不是 ，因此它不是定义域内的减函数．   生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．   域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．     上是减函数． （教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示： （1）分式问题化简方法一般是通分． （2）要说明三个代数式的符号：k， ， ． （3）如果用作商的方法，要注意说清 与1的关系，还要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变。  （四）课堂练习  课本38页练习1、2、3. （五）课堂小结 师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？ （请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．） 生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．   （六）布置作业 课本P45练习第1，2，3，4题．  

15.《函数的奇偶性》说课稿 篇十五

(一)教材特点、教材的地位与作用

本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。

函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。

(二)重点、难点

1、本课时的教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。

2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。

(三)教学目标

1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法;

2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念;能运用函数奇偶性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中，使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

二、教法、学法分析

1、教学方法：启发引导式

结合本章实际，教材简单易懂，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用“引导发现法”进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，在解决问题的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。使用多媒体辅助教学，突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性。

2、学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习。

三、教辅手段

以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方式进行教学

四、教学过程

为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了五个主要的教学程序：设疑导入，观图激趣。指导观察，形成概念。学生探索、发展思维。知识应用，巩固提高。归纳小结，布置作业。

(一)设疑导入，观图激趣

让学生感受生活中的美：展示图片蝴蝶，雪花。

学生举例生活中的对称现象

折纸：取一张纸，在其上画出直角坐标系，并在第一象限任画一函数的图象，以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形。

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点。

以y轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面(即第三象限)画出第二象限内图象的.痕迹，然后将纸展开。观察坐标喜之中的图形：

问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点

(二)指导观察，形成概念

这节课我们首先从两类对称：轴对称和中心对称展开研究。

思考：请同学们作出函数y=x2的图象，并观察这两个函数图象的对称性如何

给出图象，然后问学生初中是怎样判断图象关于 轴对称呢此时提出研究方向：今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律。

借助课件演示，学生会回答自变量互为相反数，函数值相等。接着再让学生分别计算f(1)，f(-1)，f(2)，f(-2)，学生很快会得到f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)，进而提出在定义域内是否对所有的x,都有类似的情况借助课件演示，学生会得出结论，f(-x)=f(x)，从而引导学生先把它们具体化，再用数学符号表示。

思考：由于对任一x,必须有一-x与之对应，因此函数的定义域有什么特征。

引导学生发现函数的定义域一定关于原点对称。根据以上特点，请学生用完整的语言叙述定义，同时给出板书：

(1)函数f(x)的定义域为A,且关于原点对称，如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

提出新问题：函数图象关于原点对称，它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢 。

学生可类比刚才的方法，很快得出结论，再让学生给出奇函数的定义：

(2)函数f(x)的定义域为A,且关于原点对称，如果有f(-x)=f(x)， 则称f(x)为奇函数

强调注意点：“定义域关于原点对称”的条件必不可少。

接着再探究函数奇偶性的判断方法，根据前面所授知识，归纳步骤：

(1)求出函数的定义域，并判断是否关于原点对称。

(2)验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x) 3)得出结论。

给出例题，加深理解：

例1,利用定义，判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)= x2+1

(2)f(x)=x3-x

(3)f(x)=x4-3x2-1

(4)f(x)=1/x3+1

提出新问题：在例1中的函数中有奇函数，也有偶函数，但象(4)这样的是什么函数呢?

得到注意点：既不是奇函数也不是偶函数的称为非奇非偶函数。

接着进行课堂巩固，强调非奇非偶函数的原因有两种，一是定义域不关于原点对称，二是定义域虽关于原点对称，但不满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)

然后根据前面引入知识中，继续探究函数奇偶性的第二种判断方法：图象法：

函数f(x)是奇函数=图象关于原点对称

函数f(x)是偶函数=图象关于y轴对称

给出例2:书P63例3,再进行当堂巩固，

1。书P65ex2

2。说出下列函数的奇偶性：

Y=x4 ; Y=x-1 ;Y=x ;Y=x-2 ;Y=x5 ;Y=x-3

归纳：对形如：y=xn的函数，若n为偶数则它为偶函数，若n为奇数，则它为奇函数

(三)学生探索，发展思维。

思考：1,函数y=2是什么函数

2,函数y=0有是什么函数

(四)布置作业： 课本P39习题1、3(A组) 第6题， B组第3