代数式的数学教案

2024-08-22

代数式的数学教案（精选12篇）

1.代数式的数学教案篇一

代数式的值

教学目标：

知识与技能：理解代数式的值的概念，会求代数式的值，会利用求代数式的值解决较简单的实际问题。

过程与方法：通过求代数式的值的过程，感受代数式中的字母表示数的意义，体会由一般到特殊的方法。

情感、态度与价值观：通过用数值代替代数式中的字母求代数式的值得过程，让学生积极主动参与到课堂中来，培养学生分析问题、解决问题的能力。教学重难点：重点：求代数式的值。

难点：求代数式的值的过程中，还原运算符号、正确的运算顺序、确保代数式有意义以及如何解决实际应用。教学过程：

（一）激情引入

同学们，今天这节课我们先来玩一个游戏。游戏规则：

老师任意报一个数，第一个同学把这个数乘以2然后传给他后面的同学，第二个同学再把听到的数加上3然后后传给后面同学，第三个同学把听到的数平方之后告诉老师结果。让老师看一看哪一组最快最准。让同学们在游戏中发现，代数式中的字母可以用数字代替求出固定的结果，初步体会从一般到特殊的过程。

师：谁能告诉我我们刚刚这个游戏中的代数式应该怎样表示？生：(2a3)

设计意图：以游戏的形式引入，激发学生的学习兴趣，为后面的内容作铺垫。

（二）自主学习

认真预习P63页的内容，然后思考： 1，什么是代数式的值？

2，我们刚刚所玩的游戏哪几位同学的结果是2(2a3)2的值？

3，求代数式的值得方法以及求代数式的值得过程中应该注意哪些方面？

设计意图：充分体现学生的主体作用，使学生围绕自学指导自主学习。

（三）小试牛刀

例：据下面给出的x的值，你能求出代数式-2x+9的值吗？

（1）当x=0.5；（2）当x=-2；

师：请两位同学上黑板演练，其余同学独立完成。教师巡视收集错误。优先让学生发现问题并更正，教师补充强调。

设计意图：对自学成果的一个诊断，最大限度暴露出学生的问题，然后加以补充和更真。

（四）合作交流

师：你能从上面的运算过程说一说代数式的值在计算时需要注意哪些问题吗？

以小组为单位相互交流，每一组派代表发言：

交流得：注意：①代入数值后“乘号”要填上；②要按数的运算法则进行运算③如果字母的值是负数、分数，代入时应加上括号④解题格式，由于代数式的值是由代数式中的字母所取的值确定的，所以代入数值前应先指明字母的取值，把“当„„时”写出来。

设计意图：活跃学习气氛，由学生自己总结出来，不仅可以提高学生的概括能力，还能使求代数式的值得过程中应该注意的问题更深入脑海。

（五）当堂训练

1，当a=-1，b=-2，c= 时，计算下列代数式的值；

（1）-2a+9（2）3b-4（3）-5c-7（4）2a-6b-5c

a2b32，据给出的值，计算代数式

ab 的值

1（1）当a=-4，b=3时；（2）当a=，b=-3时

2设计意图：进一步对学生进行诊断。习题的设计具有一定的层次性。

（五）实际应用

1．移动通信公司开展“全球通”业务，联通公司开展“神州行”业务：“全球通”使用者每月交月租费30元，然后每分钟再交话费0.25元；“神州行”使用者不缴纳月租费，每分钟交话费0.40元，用x表示一月内通话的时间（以分钟计），试用代数式表示两种方式的费用。“全球通”的费用：30+ 0.25x “神州行”的费用： 0.40x 若我每月估计通话时间为300分钟，应选择何种交费方式？当x=300时，30+ 0.25x=30+0.25×300=105 当x=300时，0.40x=0.40×300=120 若我每月估计通话时间为180分钟，应选择何种交费方式？若我每月估计通话时间为200分钟，应选择何种交费方式？

设计意图：为本节课的难点之一，引导学生分析得出两种业务的费用（代数式），通话时间不同，相当于代数式中字母取值不同。提高学生分析问题解决问题的能力。

（六）归纳小结: 师：本节课学习了哪些内容？（1）什么叫代数式的值？

（2）求代数式的值的步骤：先代入，后计算.运算时既要分清运算种类，又要注意运算顺序.(3)注意的几个问题：

1，解题格式，由于代数式的值是由代数式中的字母所取的值确定的，所以代入数值前应先指明字母的取值，把“当„„时”写出来。, 2，如果字母的值是负数、分数，代入时应加上括号； 3，代数式中省略了乘号时，代入数值以后必须添上乘号。

4，代数式里的字母可取不同的值,但是所取的数值不能使代数式或它表示的实际问题失去意义。

（七）作业布置：必做：P65 A组2、3、4:；选做;P65 B组5、6.

2.代数式的数学教案篇二

下面, 结合高等代数这门课程的特点, 分别从发展问题解决技能, 发展表征技能和发展推理技能这三个方面研究高等代数对发展数学思维工具的功能, 从而体现高等代数教育的思维价值。

1 发展问题解决技能

在数学背景下, 问题解决技能主要体现于会使用问题解决策略和探索多种解决方法两个方面, 有问题解决策略工具包 (例如, 猜测和检查、列清单、逆向工作、利用模型、解决简单一点的问题, 等等) 的学生遇到问题时更容易入手处理问题, 并发现如何解决。此外, 留给学生用多样的方法去探索数学问题的机会, 或设计有多种解法的数学问题, 可使学生发展更好的问题解决技能。

高等代数课程概念多, 符号多, 定理多, 运算规律多, 内容相互纵横交错, 知识前后紧密联系, 其中渗透着丰富的数学思想, 诸如, 转换变换思想、归纳演绎思想、函数映射思想、集合与对应思想、公量化与结构思想、符号模型思想、数学审美思想等, 对于丰富学生的问题解决策略工具包具有良好的帮助。在具体教学中, 可通过结合有关内容使学生学会如何从客观实际中或数学本身的发展中抽象出概念, 学会如何提出数学问题, 如何对所提出的问题进行探索, 如何对初步形成的想法 (猜测) 进行论证等, 来发展学生的问题解决技能。

例如, 在讲授阶行列式的定义时, 可从分析二阶、三阶行列式展开中的项数、项的结构、项的符号入手, 与列指标构成的排列的奇偶性关系, 提出如何推广二阶和三阶的结果到任意阶的问题, 通过引导学生探索项的符号与列指标构成的排列的奇偶性关系, 提出需给出元排列、奇、偶排列的问题, 最后得到阶行列式的定义。

例如, 在讲授复系数与实系数一元多项式一节时, 可从复习提问一般数域上一元多项式的主要研究问题入手, 进而提出本节新课要研究的主要问题:在复数域C和实数域R上怎样的多项式是不可约的?n次多项式f (x) 的标准分解式是怎样的?n次多项式f (x) 有多少个根?等问题, 通过引导学生探索, 总结出本节课的主要结论。

再如, 在讲完行列式这章后可提出问题:如何对一般的线性方程组直接从它的系数和常数项判断方程组有无解、有多少解?通过引导学生观察高斯消元法的过程, 发现很自然地要引入矩阵及其运算, 向量及其相关理论。

另外, 在高等代数中不乏可用多种方法去探索与解决的数学问题, 教学中善于挖掘并充分应用好它们, 也可使学生的问题解决技能得到更好的发展。比如, 文献[2]分别借助矩阵代数、线性空间、线性变换和矩阵等四套相关理论, 用五种方法分别解答了一道几乎涉及高等代数所有主要内容的习题:令P为一数域。证明, 若, 则与在上相似 (即, 存在上的可逆矩阵C, 使得。

总之, 在高等代数教学中有意识渗透对问题解决策略的使用, 挖掘或设地有多种解法的数学问题, 可大大提高学生对课程的兴趣, 同时培养学生的问题意识以及举一反三、触类旁通的能力, 提高学生学习的主动性以及分析问题解决问题的能力, 从而发展问题解决技能。

2 发展表征技能

数学知识表征是记载和表达数学知识的方式, 即数学知识或信息在学习者头脑中是如何表示的, 表征的形式也可以称为表征的编码。通常一个好的数学探索应包括多种表征, 因为每个形式都对理解呈现的思想有所贡献。创造、解释和翻译不同表征的能力可以带给学生有力的数学思维工具。

高等代数中的矩阵表示贯穿了各个章节, 通过矩阵表示, 许多高等代数问题都可归结于矩阵问题, 有意识总结、挖掘、利用好它们, 可发展学生的表征技能。例如, 线性方程组可用它的增广矩阵表示。在线性空间中, 取定一个基后, 向量可由它的坐标组成的行矩阵或列矩阵表示;向量组可由各个向量的坐标组成的矩阵表示;两个基之间的关系可由它们的过渡矩阵表示, 线性空间的线性映射、线性变换、线性函数、双线性函数等都可用矩阵表示。在欧氏空间里, 取定一个标准正交基后, 正交变换可用正交矩阵表示, 对称变换可用对称矩阵表示等等, 所以许多人说线性代数实质上是矩阵代数。

高等代数中的有些概念可以从不同的角度予以等价的描述, 善于挖掘并充分应用好它们, 可使学生的表征技能得到更好的发展。例如:矩阵= () ×为对称矩阵, 既可用= (, =1, 2, 3…) 来定义, 也可用=来定义。前者着眼于元素, 它清楚地反映了矩阵元素在相关位置上的特点, 后者从整体上揭示了矩阵的特征, 反对称矩阵也有类似的情况。它们的表征形式不同, 使得在不同情况下使用的方便程度大不一样。

3 发展推理技能

众所周知, 推理主要有归纳推理和演绎推理。演绎推理是从一般规律出发, 运用逻辑证明或数学运算, 得出特殊事实应遵循的规律, 即从一般到特殊。归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论, 即从特殊到一般。

在高等代数中, 由于大量存在性、唯一性和结构与表述复杂的命题、法则的存在, 使探索发现过程的归纳推理及论证过程的演绎推理, 变得异常复杂;许多的推理过程, 还往往需要辨证地思考。因此, 通过高等代数的学习, 可以大大促进各种推理能力的提高和思维的发展, 从而发展推理技能。

总之, 在高等代数教学中注意发展数学思维工具, 按照代数的思维方式进行教学, 可使学生在学习高等代数知识的过程中, 受到代数思维方式的熏陶, 从而使他们今后不论从事何种工作, 都会应用这些科学的思维方式进行严密的分析, 抓住主要矛盾, 减少失误, 把工作做得更加有条有理, 开创新的工作局面, 从而终身受益。

摘要：高等代数是高师数学专业的主干专业基础课之一, 蕴涵着丰富的数学思想和方法, 历来以严密性、抽象性、逻辑性著称。结合这门课程的特点, 本文从发展问题解决技能、表征技能和推理技能这三个方面研究它对发展数学思维工具的功能。

关键词：高等代数,数学思维工具,功能,技能

参考文献

[1]曹一鸣, 王竹婷.数学“核心思想”代数思维教学研究[J].数学教育学报, 2007.16 (1) :8-11.

3.代数学名称的由来篇三

花拉子米，阿拉伯人，生于公元783年左右，死于850年左右.他学识渊博，研究范围包括数学、天文学、历史学和地理学等领域，写了很多重要的科学著作.

在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作，一部叫做《代数学》，另一部叫做《印度的计算术》.

花拉子米的《代数学》大约写于公元820年，书名《代数学》的原文是ilmal-jabr wal muqabalah，按字面意思直译，就是《还原与对消的科学》.其中，“还原”是指将方程中的负项移到方程的另一边，变成正项，“还原”了.“对消”是指方程的两端可以消去相同的项，或者合并同类项.

这个长长的阿拉伯文名称，后来在拉丁文里被简单地叫做algebra，就是“代数学”，一般认为是从花拉子米书名中的阿拉伯文单词al-jabr演变而来的，原意是还原.

19世纪，清代的数学家李善兰（1811-1882）在上海认识了英国传教士伟烈·亚力山大（Alexander Wylie，1815-1887），后来两人合译了《代数学》十三卷、《代微积拾级》十八卷等数学著作和其他科学著作，首次制订了许多英文数学名词的中文译名.在《代数学》的中译本里没有附译名对照表，但是后来的《代微积拾级》（就是《微积分》）中列出了三百多个英文数学名词和中文译名的对照表，其中明确记载着英文algebra的译名为“代数学”.

李善兰创造的中文名词“代数”，让人联想到这门学科的一大特征是用字母表示数，既形象又简洁.英文数学名词algebra和中文数学名词“代数学”或“代数”一直使用至今.

4.代数式的数学教案篇四

2．了解代数式的概念，使学生能说出一个代数式所表示的数量关系；

3．通过对用字母表示数的讲解，初步培养学生观察和抽象思维的能力；

4．通过本节课的教学，使学生深刻体会从特殊到一般的的数学思想方法。教学建议

1．知识结构：本小节先回顾了小学学过的字母表示的两种实例，一是运算律，二是公式，从中看出字母表示数的优越性，进而引出代数式的概念。

2．教学重点分析：教科书，介绍了小学用字母表示数的实例，一个是运算律，一个是常用公式，上述两种例子应用广泛，且能很好地体现用字母表示数所具有的简明、普遍的优越性，用字母表示是数学从算术到代数的一大进步，是代数的显著特点。运用算术的方法解决问题，是小学学生的思维方法，现在，从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了抽象概括的思维方法，在认识上是一个质的飞跃。对代数式的概念课文没有直接给出，而是用实例形象地说明了代数式的概念。对代数式的概念可以从三个方面去理解：

（1）从具体的数到用字母表示数,是抽象思维的开始,体现了特殊与一般的辨证关系,用字母表示数具有简明、普遍的优越性.（2）代数式中并不要求数和表示数的字母同时出现，单独的一个数和字母也是代数式．如：2，都是代数式．

（3）代数式是用基本的运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子,一定要弄清一个代数式有几种运算和运算顺序。代数式不含表示关系的符号，如等号、不等号．如，等都是代数式，而，，等都不是代数式．

3．教学难点分析：能正确说出一个代数式的数量关系，即用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序。用语言表达代数式的意义，具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点。

如：说出代数式7（a－3）的意义。

分析 7（a－3）读成7乘a减3，这样就产生歧义，究竟是7a－3呢？还是7（a－3）呢？有模棱两可之感。代数式7（a－3）的最后运算是积，应把a－3作为一个整体。所以，7（a－3）的意义是7与（a－3）的积。

4．书写代数式的注意事项：

（1）代数式中数字与字母或者字母与字母相乘时，通常把乘号简写作“·”或省略不写，同时要求数字应写在字母前面．如，应写作或写作，应写作或写作．带分数与字母相乘，应把带分数化成假分数，如应写成．数字与数字相乘一般仍用“×”号.（2）代数式中有除法运算时，一般按照分数的写法来写．如：应写作

（3）含有加减运算的代数式需注明单位时，一定要把整个式子括起来．

5．对本节例题的分析：

例1是用代数式表示几个比较简单的数量关系，这些小学都学过.比较复杂一些的数量关系的代数式表示,课文安排在下一节中专门介绍.例2是说出一些比较简单的代数式的意义.因为代数式中用字母表示数,所以把字母也看成数,一种特殊的数,就可以像看待原来比较熟悉的数式一样,说出一个代数式所表示的数量关系,只是另外还要考虑乘号可能省略等新规定而已.6．教法建议

（1）因为这一章知识大部分在小学学习过，讲授新课之前要先复习小学学过的运算律，在学生原有的认知结构上，提出新的问题。这样即复习了旧知识，又引出了新知识，能激发学生的学习兴趣。在教学中，一定要注意发挥本章承上启下的作用，搞好小学数学与初中代数的衔接，使学生有一个良好的开端。

（2）在本节的学习过程中,要使学生理解代数式的概念,首先要给学生多举例子（学生比较熟悉、贴近现实生活的例子），使学生从感性上认识什么是代数式,理清代数式中的运算和运算顺序,才能正确说出一个代数式所表示的数量关系,从而认识字母表示数的意义——普遍性、简明性，也为列代数式做准备。

（3）条件比较好的学校，老师可选用一些多媒体课件，激发学生的学习兴趣，增强学生自主学习的能力。

（4）老师在讲解第一节之前，一定要对全章内容和课时安排有一个了解，注意前后知识的衔接，只有这样，我们老师才能教给学生系统的而不是一些零散的知识，久而久之，学生头脑中自然会形成一个完整的知识体系。

（5）因为是新学期代数的第一节课，老师一定要给学生一个好印象，好的开端等于成功了一半。那么，怎么才能给学生留下好印象呢？首先，你要尽量在学生面前展示自己的才华。比如，英语口语好的老师，可以用英语做一个自我介绍，然后为学生说一段祝福语。第二，上课时尽量使用多种语言与学生交流，其中包括情感语言（眉目语言、手势语言等），让学生感受到老师对他的关心。

7．教学重点、难点：

重点：用字母表示数的意义

5.《代数式》教案设计篇五

目标1.让学生领会代数式值的概念;

2.了解求代数式值的解题过程及格式

3.初步领悟代数式的值随字母的取值变化而变化的情况

教学

重点培养学生的探索精神和探索能力。教学

难点通过学习使学生了解求代数式的值在日常生活中的应用;

教学

方法启发式教学

教学

用具

教学过程集体备课稿个案补充

新课引入

7月13日，莫斯科时间17：08国际奥委会主席萨马兰奇宣布北京获得第29届夏季奥运会的主办权。此时此刻举国欢腾，激情飞扬(多媒体展示当时的欢庆场面)。多媒体展示钟表：北京时间莫斯科时间

提出问题：你能根据图示得出北京时间和莫斯科时间的时差为多少?

如果用表示莫斯科时间，那么同一时刻的北京时间是多少?

学生回答：+5

进一步提出：国际奥委会主席萨马兰奇宣布北京获得20第29届夏季奥运会的主办权的北京时间是多少?

学生回答：+5=17+5=22时，即北京时间为22：08。

一、新课过程

代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值;例如22是代数式+5在=17时的值。

做一做：右图表示同一时刻的东京时间与北京时间：东京时间北京时间

⑴、你能根据右图知道北京与东京的时差吗?

⑵、设东京时间为，怎样用关于东京时间的代数式表示同一时刻的北京时间。

⑶、世界杯足球赛于6月30日在日本横滨举行，开幕式开始的东京时间为20：00问开幕式开始的北京时间是几时?

二、课内练习

1、当分别取下列值时，求代数式的值：⑴⑵

2、当时，求下列代数式的值：⑴⑵

3、当时，。

三、典例分析

例1当n分别取下列值时，求代数式n(n-1)/2的值：

(1)n=-1(2)n=4(3)n=0.6

解(1)当n=-1时，n(n-1)/2=(-1)X(-1-1)/2=1

(2)当n=4时，n(n-1)/2=4X(4-1)/2=6

(3)当n=0.6时，n(n-1)/2=0.6X(0.6-1)/2=-0.12

注意：负数代入求值时要括号，分数的乘方也要添上括号。

四、课堂练习1

1、当x分别取下列值时，求代数式20(1+x%)的值：

(1)x=40(2)x=25

2、当x=-2，y=-1/3时，求下列代数式的值：

(1)3y-x(2)|3y+x|

3、当x分别取下列值时，求代数式4-3x的值：

(1)x=1(2)x4/3(3)x=-5/6

4、当a=3，b=-2/3时，求下列代数式的值：

(1)2ab(2)a2+2ab+b2

五、典例分析

例2

小结、布置作业

6.代数式的数学教案篇六

一、学习目标: 1.在具体情景中，进一步理解字母表示数的意义

2.能理解一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感。3.在具体情景中，能求出代数式的值，并理解它的实际意义４、初步培养学生观察、分析及抽象思维的能力；

二、创设情境，导入新课 : 一个旅游团有成人x人，学生y人，那么该旅游团应付门票费，若该旅游团有成人37人，学生15人，那么该旅游团应付门票费。

三、自主学习:

（一）、从学生原有的认知结构提出问题

1、在小学我们曾学过几种运算律?都是什么?如可用字母表示它们?(通过启发、归纳最后师生共同得出用字母表示数的五种运算律)(1)加法交换律。(2)乘法交换律。(3)加法结合律。(4)乘法结合律。(5)乘法分配律。

指出：(1)“×”也可以写成，或者省略不写，但数与数之间相乘，一般仍用。(2)上面各种运算律中，所用到的字母a，b，c都是表示数的字母，它代表我们过去学过的。

2、从甲地到乙地的路程是15千米，步行要3小时，骑车要1小时，乘汽车要0.25小时，试问步行、骑车、乘汽车的速度分别是。

3、若用s表示路程，t表示时间，ν表示速度，用s与t表示ν=。

4、一个正方形的边长是a厘米，则这个正方形的周长是，面积是。(用i厘米表示周长，则i=4a厘米；用s平方厘米表示面积，则s=平方厘米)



四、合作交流 :

1、代数式

单独的一个或单独的一个以及用的式子叫代数式

学习代数，首先要学习用代数式表示数量关系，明确代数上的意义

例题解析

例1 填空：

(1)每包书有12册，n包书有__________册；(2)温度由t℃下降到2℃后是_________℃；

(3)棱长是a厘米的正方体的体积是_____立方厘米；(4)产量由m千克增长10%，就达到_______千克

例2、说出下列代数式的意义：

(1)2a+3(2)2(a+3)；(3)(4)a-(5)a2+b2(6)(a+b)2 解：

例3、用代数式表示：(1)m与n的和除以10的商；(2)m与5n的差的平方；(3)x的2倍与y的和；

(4)ν的立方与t的3倍的积 解：

五、当堂训练:

1、填空：(投影)(1)n箱苹果重p千克，每箱重_____千克；

(2)甲身高a厘米，乙比甲矮b厘米，那么乙的身高为_____厘米；(3)底为a，高为h的三角形面积是______；

(4)全校学生人数是x，其中女生占48%，则女生人数是____，男生人数是____

2、说出下列代数式的意义：(投影)(1)2a-3c；(2)；(3)ab+1；(4)a2-b2

3、用代数式表示：(投影)(1)x与y的和；(2)x的平方与y的立方的差；

(3)a的60%与b的2倍的和；(4)a除以2的商与b除3的商的和 归纳总结:

1、本节课学习的内容为。

2.用字母表示数的意义是。

3、代数式是。

六、达标检测: 1.填空题（1）、一个三角形的三条边的长分别的a，b，c，这个三角形的周长。

（2）、张强比王华大3岁，当张强a岁时，王华的年龄是。（3）、a千克大米的售价是6元，1千克大米售元。（4）、圆的半径是r厘米，它的面积是多少? 2.飞机的速度是汽车的40倍，自行车的速度是汽车的，若汽车的速度是ν千米/时，那么，飞机与自行车的速度各是多少?

3.用代数式表示：

(1)长为a，宽为b米的长方形的周长；

7.代数式的数学教案篇七

关键词：高等代数,数学建模思想,问题,策略

前言

高等代数作为高等院校数学专业的一门重要基础课程之一, 是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充, 引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量, 比如最基本的有集合、向量和向量空间等。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称, 它包括许多分支, 现阶段大学里开设的高等代数, 一般包括两部分:线性代数初步、多项式代数。高等代数具有非常强的抽象性、逻辑性, 传统教学过程中忽视了课程广泛实用性的重要作用, 对学生进行进一步研究和学习形成了严重的阻碍, 导致很多学生在学习过程中出现了厌学现象, 学生学习积极性、主动性差, 高等代数课堂教学质量和效率难以提高, 数学专业高等代数课堂教学目标难以实现。

一、高等代数学习与数学建模思想渗透的重要性

根据实践教学经验发现, 大部分学生在学习向量空间、特征值、线性变换以及谱理论代数内容会感到困难, 而且难以将学习到的高等代数知识运用到实践中, 高等代数教学目标难以真正得到实现。将高等代数与数学建模思想进行渗透, 可以使学生更加清晰看出高等代数研究题型的问题, 找到解题思路, 从而增强学生学习高等代数的兴趣。数学建模指的是对于现实世界某一特定研究对象针对某个目的做简化假设, 采用适当的教学工具, 建立相应的数学模型, 通过对模型的认识解决数学问题。通过这种方式可以引导学生掌握分析问题、应用数学知识解决实际问题的有效学习方法。另一方面, 高等代数课程学习具有一定的抽象性, 如果让学生根据题目直接解答, 可能会造成很大的障碍, 学生解答不出来这些问题, 也会对学生的积极性与热情形成一定的伤害。如果采用数学建模的形式展开学习, 让学生根据直观模型分析问题, 观察问题的特点, 并应用高等代数相关知识解决问题, 就能有效提高学生学习高等带式的兴趣, 充分调动学生学习的积极性和主动性, 从而真正实现高等代数学习的重要意义。

二、高等代数学习存在的问题

高等代数学习课程一般开设在大学一年级, 学生刚才应试教育模式走出来, 深受固定思维模式的影响, 缺乏创新和探索精神, 难以真正学好高等代数。而大一高等代数课程的特点是课程内容多、课时少, 教师在课堂教学过程中依然采用传统教学模式, 忽略了对教学方法和教学模式的更新, 在教学过程中没有合理应用计算机多媒体等教学辅助工具, 教师以完成教学任务为目标进行教学, 学生被动接受知识, 机械的进行高等代数学习, 学生并没有真正了解高等代数的内涵和重要意义, 这使得很多学生对高等代数学习产生了严重的厌学心理, 不愿意花费更多时间去研究高等代数更加有意义的题目, 无法用数学语言解决身边实际问题, 对数学建模思想缺乏正确的认识, 课堂教学质量和效率难以提高, 学生学习的积极性和主动性不强。

三、高等代数学习中数学建模的应用实例

例如:某人购房, 需要贷款, 有利用等额本金还款法。贷款40年, 还款期10年, 分别求:

1.月供金额。2.总的支付利息。

(一) 分析问题

等额本金还款法:每期还给银行相等的本金, 但客户每月的利息负担就会不同.利息负担应该是随本金逐期递减。借款人在开始还贷时, 每月负担比等额本息要重。但随着时间推移, 还款负担便会减轻, 等额本金还款法适合目前收入较高的人群。

(二) 假设问题

1.假设该人每月能够按时支付房屋贷款所需的还款金额。2.假设贷款年利率确定, 无论还款期为多少年, 在还款期间均为6%保持不变。3.假设银行贷给该人的本金是在某个月的1号一次到位的, 在本金到位后的下个月1号开始还钱。

(三) 建立数学模型

等额本金还款法 (递减法) :每期还给银行相等的本金, 但客户每月的利息负担就会不同.利息负担应该是随本金逐期递减.因此, 客户每月除付给银行每期应付的本金外, 还要付给银行没还的本金的利息.

1.假设贷款期在1年以上。等额本金还款法:每期还给银行相等的本金, 但客户每月的利息负担不同。利息负担随本金的偿还逐期递减。所以客户每期应付金额中包含固定本金和一定利息。

设客户第i期应付的金额为 (i=1, 2…, n) (单位:元)

因此, 客户第一期应付的金额为:

第二期应付的金额为:

如果选择等额本金还款法, 那么, 在第53期, 应该还银行4450.00元, 在第53期, 应该还银行4433.33元, 与等额本息每月4440.82元相当.而在第120期 (若年利率不变) , 应该还银行3333.33元, 即最后一次只还本金。可以看出, 等额本金还款法的还款金额是逐级递减的。而且对于每月4440元的收入, 等额本息还款法还款会更合适.

2.1年期的贷款, 银行都要求客户实行到期一次还本付息, 利随本清。因此, 1年期的还款总额为:13898.41, 而利息负担总和为:13898.41

结束语

综上所述, 高等代数学习与数学建模思想融合具有非常重要的意义, 可以使高等代数变得更加具体化, 对调动学生学习积极性和主动性具有非常重要的作用。因此, 高等院校高等代数要提高教学质量, 完成教育教学目的, 必须融入数学建模思想。

参考文献

[1]杨刘.在《高等代数》课程教学中融入数学建模思想研究[J].教育教学论坛, 2013, (13) :236-236, 237.

[2]王美娜.高等代数学习与数学建模思想的相互渗透[J].考试周刊, 2011, (68) :57-58.

8.代数式的数学教案篇八

关键词：教学改革线性代数数学思想数学素养

一、引言

数学是现代科技的基础和基本工具，尤其对于理工科科技从业人员。那么在高校的学生培养和数学教学中，如何强化数学思想的传递，从而加深学生对数学知识的理解，提高学生的数学素养和数学兴趣就很重要了。

文章依据作者多年的线性代数教学实践，总结了本课程中引入数学思想的切入口和结合点，以期抛砖引玉，供同行进一步探讨与提高。

1. 什么是数学思想

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识[1]。数学思想是数学观点、方法的总结与提升，是数学知识中更深刻更凝练更本质的知识。对于学习者而言，数学思想既有纲领式的指导意义，也有总括式的归纳总结意义。而对于创造者而言，它则更具有启发性。在学习中应予以充分的重视。

2.理工科数学教学中向学生传递数学思想的重要性

对于理工科专业人才的培养，在全国乃至全世界数学课程都是公共必修基础课，都是学习专业知识的基础和基本工具，可见其必要性和重要性。对于学习者而言，必要的数学知识更是其创新技术，作出原创性成果的必备基础和坚强后盾。

目前各高校都在进行教育教学改革，教学方面理论学时被压缩，数学课程也不可幸免。线性代数从最初的64学时压缩到48学时再到如今的32学时。再加上课程考试、国庆等假期的影响，实际授课学时往往只有28学时左右，有效授课时间捉襟见肘。另一方面，大学数学的教学内容都是最基本的高等数学知识，在量上很难舍弃。又由于数学知识的前后连贯性强，更不可断章取义，这就导致课程内容几无压缩空间。再一方面学生刚刚从中学进入大学学习，其对专业知识满怀期待但又缺乏认知，尚不能意识到数学知识的必要性和重要性。再加上数学本身不那么简单易学，这就使学生容易厌学数学，对数学重视程度不够。

鉴于以上诸多因素，应加强数学思想在教学中的引入，强化数学思想的传递，加深学生对数学知识的理解和认识，提高学生的数学素养和数学兴趣。古人云，授人以鱼不如授人以渔。渔是什么？渔就是思想方法。在教学中引入数学思想，一方面是现代数学教育的要求，是“提纲挈领”理解掌握数学知识的需要；另一方面是解决教学实际中学时少内容多这一矛盾的关键。将数学思想作为引导，学生更容易从整体把握所学内容。这不仅提高了学生的数学素养，也提高了其学习兴趣，事半功倍。

3. 加强数学思想的教学对教师提出更高要求

在课堂中潜移默化地强化数学思想的传递，对教师自身的数学修养、教学技术等都提出更高要求。一方面，教师需要学习更多更现代的数学知识，进而浓缩提炼出思想方法，另一方面，需要找到这些思想性的知识与现行理工科本科教学内容的衔接点和切入口。并且需要寻找较“低等”的数学语言来传授高等的抽象的现代的思想方法。这些都对教师自身修养提出更高的要求。

二、以学科知识为载体，传递数学思想，提高数学素养

在目前的教学内容、学时安排和学生接受能力等主客观条件的约束下，可以将以下几个方面的内容和方法融汇于课堂教学中，突出其纲领脉络的地位，启发和引导学生在掌握知识的同时，学习体会数学思想精髓，加深对于概念定理的理解，从感性认识上升到理性认识，并推动扩大对于代数乃至整个数学学科的理解和领悟，提高学生的数学素养。

1.等价关系

课程中涉及到等价关系的知识点很多，并且等价的思想贯穿课程的始终。集合上的一种等价关系，必然等效于集合上的一个划分，并因此产生等价类，产生商集。在同一个等价类中，有相应的等价不变量以及完全等价不变量。等价不变量是等价类中各对象的共性，具有重要的意义，在数学研究中，相当部分的工作都与分类有关。因此，等价关系、等价类、等价不变量的思想对于学生进一步学习数学具有很好的启蒙作用。

行列式可按一行（列）展开，那是否能按多行（列）展开呢？有了从具体到一般的推广思想，那么由一行展开公式必然诱导人们去思考按多行展开的问题。这样就产生了行列式按多行（列）展开的Laplace展式。显然Laplace展式的应用更广更有效。例如对于含零较多的行列式，Laplace展式应用起来更快捷。

5. 空间和同构

线性代数中涉及到数学中的一些重要概念。这些概念本身就具有一般性。

空间是数学中涉及最广的概念之一，在大学的公共基础课线性代数中首次详尽阐述。当给一个集合赋予特定的结构时，就构成一个空间，即“集合+结构”就是空间。如线性空间、度量空间、Banach空间等。空间构成数学研究的基本范围和对象。这样的概念当然很重要了。

同构是线性代数中涉及的另一个类似的概念。两个空间之间如果可以建立双射，并且该双射对于空间的结构也是保持的，那么这两个空间就同构。例如一般的线性空间与通常向量空间的同构、度量空间的等距同构等。两个同构的空间具有相同的结构，可以将其中研究的较成熟的一个空间的相应结论直接应用到另一个新的抽象的空间中去。这样不仅减少很多工作量，也加深了对数学及自然界的认识。

6. 算法

另一个需要提及的问题就是“算法思想”。线性代数只是最初级的基础课。对于理工科学生而言，后续的矩阵论、计算方法等都是将来工程计算的必备工具。在后续课程中将重点研究如何更快捷更实际可行地计算复杂的工程问题。但线性代数中已涉及到类似的思想。在求解线性方程组时若其系数矩阵是可逆矩阵，则可以用Cramer法则求解也可以用Gauss消元法求解。似乎Cramer法则有一般的公式，更通用易行，而Gauss消元法由于主元选择的主观性，似乎无固定方法，通用性差。实则不然，工程中涉及几百、几千未知量的线性方程组是司空见惯的事，若要用Cramer法则计算，其运算量相当庞大，即使用现今最先进的计算机，也超出了工程时限要求而不可行。相反，Gauss消元法不仅可以通过固定的步骤完成，而且资源占用少，只需少许时间就可完成计算，具有工程实用性和可行性。

三、教学实践与小结

在教学实践中，由于学时限制，可以将课程中简单易学的部分，尤其是许多程式化的运算，下放给学生自学，而对于难的抽象的部分由教师系统讲解。在教学中融入数学思想的启发与熏陶，不仅加深了学生对课程内容的理解，强化了对知识的融会贯通，也提高了学生对于数学学习的兴趣，达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]滕燕. 论数学思想和数学方法.青海师专学报，2004，5：44-45.

[2]丘维声.高等代数（上册、下册）.北京：高等教育出版社，1996.

[3]蓝以中.高等代数简明教程（上册）. 第二版，北京：北京大学出版社，2007.

[4]吴赣昌.线性代数（理工类）第四版.北京：中国人民大学出版社，2011.

[5]屠伯埙. 线性代数方法引导.上海：复旦大学出版社，1986.

9.代数学的发展篇九

初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。

高等代数发展简史

代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。

人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。

在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。

在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。

三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。

到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。

后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。

伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于

整函数的„„。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。”

伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。

随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。高等代数的基本内容

代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。

多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。

多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。

行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。

因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。

高等代数与其他学科的关系

代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？

首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。

其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很

大的不同了。

高等代数发展简史

代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。

在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。

伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的„„。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。”

高等代数的基本内容

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又

发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。

高等代数与其他学科的关系

10.代数式的数学教案篇十

教学目标：

1、在现实情境中理解字母表示数的意义；

2、能用字母和代数式表示以前学过的公式、定律；

3、体会字母表示数的意义，这一转变，使数学由算术进入代数；

4、初步体会数学中的抽象概括的思维方法，使学生认识事物是从特殊到一般，再由一般到特殊的过程。

教材分析：

用字母表示数，使学生的思维实现由数到式的飞跃，它是有理数的概括与抽象，是由算术进入代数的开始，是整式乘除和代数式运算的基础。在知识的呈现上体现由特殊到一般的思维过程，充分展示了知识的发生发展过程，知识的呈现过程与学生的已有生活经验密切联系，发展学生运用数学的意识和能力，用字母表示数的思想，对学生学好代数知识起关键作用，为后续的代数学习奠定基础。

重点：

体会字母表示数的意义，掌握用字母表示数的方法。难点：

引导学生抽象概括过程。教学设计理念：

教师在整节课的活动中，扮演的是学生学习的参与者、合作者、指导者的角色。注重学生获得的结论，更注重获得结论的过程。如参与意识、探究方法、表达能力及合作交流的意识，等等。学生情况分析：

初一学生对身边有趣的现象充满好奇，对一些具有规律性的问题充满了探究的欲望。他们非常乐于动手操作，有很强的好胜心和表现欲；同时学生也具备了一定的归纳总结、表达的能力，基本上能在教师的引导下就某一主题展开讨论。教具准备：

多媒体课件、棋子。教学设计：

一、创设情境，导入新课

导语：字母在我们的日常生活中运用非常广泛，谁能举出一些用到字母的实例？如：（1）简谱中的字母表示音调；（2）飞机从A地到B地，字母表示地点；（3）饮料瓶上标出500ml，字母ml表示体积单位毫升；（4）车牌号前字母E表示某地区„„看来生活中用字母的例子真不少，那么数学中用到字母的例子也很多，也可以用字母表示数。请大家做个抢答游戏（展示课件）。

活动1：算24点。利用给出的四张扑克牌里的数字信息，在较短的时间内摆一道四则运算式子，结果必须是24点，摆好即举手发言。利用摆出的式子，如：K32524，1 问K代表什么？还有J、Q、A呢？

点拨：这里的字母表示的是一个具体数，那么数学中字母还可以表示其它的数吗？怎样用字母表示数？用字母表示数有哪些好处呢？今天我们就专门研究“用字母表示数”这一节。

板书课题：第二章、走近代数 §2.1用字母表示数

二、合作交流，解读探究

活动2：唱儿歌（展示课件）

要求学生齐声朗读儿歌，当声音不齐时，问明原因，怎么解决？（要算眼数、腿数，速度不一致，有快有慢，所以声音不齐。）有计算规律吗？（嘴数=只数，眼数=只数×2，腿数=只数×4）。

问：任意只青蛙时怎么唱？（文字语言很别扭，用符号语言，用字母n表示只数）齐读：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛，4n条腿。

点拨：这里的n表示3、5、6„„很多很多数，代表一个变化的数，那么这样表示的好处是什么？简单、明确，高度概括。

注意：书写要求。

那么，过去你用字母表示过数吗？

活动3、4：用字母表示学过的运算律和计算公式（学生回答）。问：数字表示和字母表示的运算律或公式意义有什么不同？

（数字表示只说明一个特例，而字母表示代表一般性的规律，更简单明确，便于应用。）

活动5：探索规律（展示课件（1）、（2）、（3））。

通过观看屏幕图形变化过程，研究其边数与正方形个数的关系，由简单到复杂，由具体的正方形与边数关系，得出一般性规律性结论，并用字母表示出来。

（给学生充分的时间思考、交流、实验，从中体会如何用字母代替数分析出数量间的关系，从而列出表达式（代数式和关系式。）

三、巩固应用

展示课件。注意书写要求并板书，全部让学生回答，初步学会用字母表示数量关系式（列代数式）。

四、小结

本节课学习了用字母表示数，请大家说说字母可表示哪些数？有什么好处？（1）字母可表示一个具体的或变化的数；（2）字母可表示公式、运算律；

（3）字母可表示有趣的数学规律，它更简单明确，便于应用；（4）有了这些，本章将带你走进代数世界。

五、作业

六、思考题：（课后解决，激发学生的探究兴趣，调动学生学习本章的积极性。）

下面是按某种规律排出的一列数：

11.代数式的数学教案篇十一

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）08A-0029-03

小学数学教材主要包括四个板块：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合实践与运用。本文主要研究有关数学史融入小学数学教学中的运用问题。尽管数学史融入小学数学课堂教学已受到了很多教育学者的重视，并且它的存在也极具意义，但还是没有得到众多一线教育工作者的高度重视，尤其是在农村小学。本文的研究主要目的是为了揭示目前我国农村小学数学教育教学中运用数学史的现状、原因及策略，并给出一些实际例子作为说明，希望能引起一些教育者对数学史融入到小学数学教学中的重视。

一、增强教师运用数学史的意识

小学数学教育是基础教育的基础，应受到教育工作者的高度重视。要使更多的教师把数学史运用到小学数学课程中，最重要的一步就是加强教师对数学史教育价值的认识与理解，以及增强在教学中运用数学史的意识。那么，要如何做到这一点呢？笔者认为可以采取“以大促小”的方法。只有国家、社会各界和学校足够重视数学史，并有强烈的运用意识和实际行动，才能促使教师不断地提高运用数学史的意识。

首先，学校要做好对数学史的宣传工作，包括数学史的价值、意义。如播放一些使用数学史来教学并取得很好教学效果的教学实例，同时，要定期抽查教师在教学中对数学史的运用情况。再次，学校要做好监督作用，学校领导要重视数学史的教育价值，并大力倡导在教学中实践。最后，在“耳濡目染”、多人使用的情况下，相信很多教师一定会有意识地将数学史融入小学数学课堂。

数学史并不仅仅是数学的历史，它蕴含着很多数学家们在研究数学史时的奇闻轶事、思想方法、思路等，所以在教学中重现数学史是极具教育价值的，通过在教学上融入历史上发生的小故事、科学家的传记、趣题等，有助于提高学生的学习兴趣。如教学数字“0”，由于一年级学生具有“好动、没有主动学习的意识、对新鲜事物极感兴趣”等特点，而“0”对于他们而言比较抽象，因而在教学中融入有关“0”的演变过程能有效地激发学生探索知识的兴趣，并增强学生对“0”抽象概念的理解。以下是有关于教学数字“0”的一个教学片段：

起初，阿拉伯数字中是没有“0”这个数字的，它的出现比阿拉伯数字的产生要晚许多。在没有“0”这个数字时，为了表示某一位上一个计数单位也没有，就“不写”或“空写”。后来，印度人在数字中间加上一个小“.”表示空位，又经过了很长时间，就改成了“0”。我国古代用算筹记数，也采取空位表示“0”。由于古书中缺字常用“口”表示，因而数字里的空位也用“口”表示，以后还改用了不同的方式表示“0”，最后演变成现在使用的数字“0”，如图1所示。“0”的演变是由于人们生产、生活的需要而一步步演变过来的，它是一个数字，表示一个单位也没有，如“教室里一个人也没有”可以说成“教室里有‘0人”，再请同学们利用平时观察到的一些现象，举一些有关“0”的例子。

这样的教学方式能使学生明白数字“0”源于生活，也用于生活，进而增强学生对数字“0”的理解。

二、加深教师对数学史的认识

数学教材是经过千锤百炼的，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过教育专家的反复研究编写的，是将历史上众多的数学教材按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编撰的知识体系。这样就自然而然地舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种原因，所以，仅仅靠数学教材的学习难以获取数学的原貌和全景，与此同时也忽视了那些被历史淘汰掉的但对学生的学习或许有用的数学材料与方法。在很多人看来，数学是一门枯燥无味的学科，因而很多学生有“望而生畏”之感。从某种程度上说，是由于我们的数学教科书教授的往往是一些一成不变的、僵化的数学内容造成的。这就要求教师加深对数学背景知识的认识，以便更好地将它融于教学中。

第一，作为一名数学教师一定要知道数学内容产生的历史背景。在“数与代数”教学中，可以利用一系列的数学史料来体现现代数学所经历的由繁到简、由美到丑、优胜劣汰的过程，如小数、分数、负数的产生与表示方法的发展史，计算工具、数字和数的发明发展史，运算符号的出现史等，这样有助于教师更好地挖掘教材。新课标中倡导教师将数学史与数学教育整合在一起，充分了解数学内容的背景知识，对数学史知识有一个清晰而又系统的认识。为了加强教师对数学史的认识，笔者认为教材的编写应更加全面，以利于教师学习和运用。由于“数与代数”内容中，主要在概念、公式、定理和解题方法思路上会用到数学史，所以在编写教材时，所融入的数学史应注重介绍内容演变的历史发展过程及思路，并且，不能只局限于现在公认的一些史实，可以适当地引进一些不被人们接受的思想方法，使学生能在学习中真实地感受到数学的发展过程，有助于学生理解知识，起到“触类旁通”的作用。同时，也便于教师对数学史知识进行筛选，并加深认识。第二，国家和社会要提供教师学习数学史的机会，加强教师对数学史知识的培训，鼓励教师自学，定期举办数学史知识竞赛。有条件的学校可以派教师到大学进修数学史的知识，再带动其他教师。第三，学校可以成立一个数学史学习小组，定期开展有关数学史知识的讨论，对数学史知识进行系统收集和整理。

三、加强教师运用数学史的能力

将数学的历史形态转变为具有教育意义并适用于教学的教学形态，应成为教育界着重关注的焦点。我们都知道数学教育要解决的最主要的问题是“教什么”和“怎么教”，那么，在教学中融入数学史时同样也存在着“教什么”和“怎么教”的问题。“教什么”解决的是所融入数学史内容的问题，而“怎么教”就是融入数学史的手段、方法和途径，要根据所教内容和学生的年龄及心理特点选取合适的方法。这就考验了教师把数学史运用到数学教学中的能力。

第一，由于课堂上时间有限，在利用数学史进行教学时，可以采用各种各样的形式，不一定要局限于课堂。如可以采取让学生课后自主讨论、利用现有资源查阅资料、举办有关数学史的知识竞赛、读书报等方式。这样的教学可以促进学生学习，有利于培养学生学会学习的能力，为学生的终身学习打下基础。同时，通过师生共享数学史资源，缩短了教师查阅资料的时间，加深了教师对数学史的认识。

第二，数学教学离不开数学史，却又不能把数学史简单地叠加到数学教学中，所以在教学时要对数学史进行加工，要根据学生的实际情况，以一种学生能接受、可以理解的方式呈现出来，使之发挥最大的教育价值。因此，教师要学会在教材中“重构”数学史，“活”用数学史，在一个较高的水平上恰当使用教学方法，自然而然地融入数学史。那么，如何对数学史进行“重构”呢？即把筛选出来的历史知识进行加工，形成适合自己的教学风格，并结合学生的实际情况，重构出易于学生了解、接受的知识。下面笔者将展示把“重构”的数学史融于数学教学的一个过程（如图2），即选中一个主题内容，寻找相关史料，分析教材内容，筛选并确定数学历史发展过程中的关键步骤与环节，对数学历史知识进行重构，使其适合学生的认知和教学，并设计一系列由易到难、环环相扣的问题。

第三，教师要明白，在学习过程中学生只有亲身经历和数学家相似的困惑，才能真正理解数学家创造的精髓所在，并产生思想上的共鸣，进而帮助自己克服思想和学习上的困难，培养创新精神和解决问题的能力。如教学五年级上册第五单元《用字母表示数》时，可以引入法国数学家韦达创立这个概念的历程。

在教授新授课《用字母表示数》的内容后，就可以马上延伸到“认识代数学之父——韦达”这个数学史了，这样可以激发学生勇于探索与实践的精神，提高学生的学习兴趣和增强学生对数学的理解。如“今天我们自己探讨了用字母表示数量，你有什么体会？你喜欢用字母表示数吗？为什么？那谁先发明了用字母表示数呢？我们一起来听一段故事《数学家——韦达》。咱们经过讨论之后同样也发现了用字母表示数的简便性，只不过韦达比我们早发现了四百多年而已，但21世纪的今天同样有很多复杂的问题尚未解决，相信只要我们勤于思考，善于探索，同样可以为社会做贡献的”。

第四，教师要明白数学史知识是穿插在授课内容中的，不能“喧宾夺主”。在授课过程中，要自然而然地引出，不应过分渲染，否则会起到相反的作用。让数学史进入课堂，终极目标就是促进教学目标的达成。数学历史知识的应用体现在数学课堂教学中，所以要有用来评价目标是否达到。只注重过程不注意结果，是舍本求末；只注重结果不注重过程，从长远的角度看将不利于学生的发展。

四、加强教师运用数学史的兴趣

目前，将数学史运用到小学数学教学的实践研究较少，这种情况不利于数学教育水平的提高。每一个领域都需要很多专业人员不断地去研究、探索，只有这样才能发现存在的问题，寻找解决办法，提出优化方案。数学教学更是如此，需要更多的人去探索数学史运用到数学教学的方法，给教师提供培训与参考。

数学是人类文化的结晶，所以需要花费更多的精力去研究它。“数学教育”包括数学知识、数学的历史知识、学生的心理特征和科学的教学方法，所以这里的“教育工作者”不仅仅包括数学家、数学教师，还应包括数学史家、心理学家、教育家和科学家等。只有这样才能对数学教育进行全面研究，进而得出符合教师、学生的“教学”。

为了加强教师在数学教学中运用数学史的兴趣，国家教育部门要高度重视数学史的教育价值，成立研究小组，积极组织教育工作者进行研究交流。有句话说得好“实践出真理”，一线教师与学生交流密切，有多年的教学经验，实践机会较多，所以可以在研究时利用真实的教学课堂实践出真实有效、适合学生的教学方法。

此外，学校和教育行政部门应该制定相应的法规和政策去激发教师在数学课堂中运用数学史的研究兴趣。如教育行政部门对在研究这方面做出突出贡献的教师给予精神和物质上的奖励，学校积极倡导和组织教师申报这方面的课题等。

12.代数式的数学教案篇十二

关键词：数学建模,线性代数,专业课

线性代数是工科数学的主干课程之一, 它研究的对象是向量、向量空间 ( 或线性空间) 、线性变换和有限维的线性代数方程组。在计算机得到广泛应用的今天, 线性代数在很多领域有着重要的应用, 例如, 信号处理、图论、有限元等领域中的很多问题最后都可以抽象为一个求解线性代数方程组的问题。而且线性代数课程是很多后续数学课和专业课的必不可少的工具, 可见, 掌握好线性代数知识, 会给后续课程的学习奠定基础。所以学会、学好线性代数课程无论对于以后其他后续课程的学习还是个人自身的发展都是很有益处的。

一、教学中出现的问题

首先, 线性代数课程与学生之前所学的初等数学截然不同, 对初学者来说完全是一个全新的、未知的领域。目前高校中的线性代数课程主要以讲解定义、定理以及其证明为主, 枯燥无味、难以理解, 学生通常认为这门课程十分抽象、特别晦涩、难以理解。例如, 课程中所讲的n维向量空间, 向量的线性相关、线性无关等概念都超出了学生的直观想象。所以常常是老师一堂课讲下来口干舌燥, 身后满黑板的定义、定理和证明过程, 累得精疲力尽; 讲台下同学们听得一头雾水, 使得这门本就十分难以理解的课程变成了很多同学眼中的“天书”。

其次, 高校中通常认为工科数学中线性代数的重要程度不如高等数学, 所以很多学校对这门课安排的课时很少, 换言之, 重视程度上的折扣某种程度上增加了这门课程的难度。

第三, 由于课时紧张, 在有限的时间内要完成正常的教学任务, 老师只好寻找捷径, 课堂上很少讲解一些带有应用背景的实例。帮助理解的东西较少加大了理解的难度。

第四, 很多同学对这门功课的用途知之甚少, 他们不知道除了考研外学习这门课程还有什么用途, 学习热情不高, 缺乏学习积极性。

如何解决上述问题, 如何激发学生学习的积极性, 在教学中使学生更快、更好地接受这些抽象、晦涩的概念, 更好地理解教学重点, 最好的办法就是在线性代数教学中融入数学建模的思想。

二、在教学中融入数学建模的思想

数学建模就是应用数学方法解决某一实际问题。它可以训练学生认知事物的能力、抽象思维能力、逻辑推理能力和更新数学知识的能力等等。姜启源说: “建立数学模型来解决实际问题, 是学生在走上工作岗位后常常要做的工作。做这样的事情, 所需要的远不止是数学知识和解决数学题的能力, 而需要多方面的综合知识和能力。社会对具有这种能力的人的需求, 比对数学专门人才的需求要多得多。”

1. 在教学中采用一些简单的有实际背景的题目。

线性代数课程本身就是在实际问题中抽象得到的, 在教学中有意识地、适当地回归到实际问题中, 既可以增强学生学习这门课的兴趣, 又可以加深对定义、定理的理解。

我们可以考虑在引例中选用一些有实际背景的题目, 引出定义、定理, 告诉学生数学家为什么要定义这些抽象的数学描述以及学习这些数学知识的用途。例如, 在讲解逆矩阵这个概念之前, 可以引入密码加密问题。发送方将密码加密后传给接收方, 接收方在收到数据后再将密文还原成原始信息。假设A是原始信息矩阵, 对它进行加密相当于左乘一个矩阵C, 那么密文矩阵

然后, 接收方解密时相当于已知B求A。对上式左右两端同时左乘一个矩阵D,

如果DC = I, 那么A = DB, 完成了解密过程。这样就引入了逆矩阵这一概念。

我们还可以选取一些有实际背景的习题, 供学生课后练习。这样既锻炼了学生的抽象和逻辑思维能力, 又对已学的知识进行了巩固, 并可以激发起学生主动学习的热情。例如, 在讲解完相似对角化可以让学生分析以下问题:

决定金鱼草开花颜色的基因有两个: A和B, AA型开红花, AB型开粉花, BB型开白花。如果一个亲体的基因为AB, 另一个亲体的基因为AA, 那么后代便可从AA型中得到基因A, 从另一亲体中得到A或B, 而且获得各种基因的概率相同。问: 研究所中现有三种金鱼草, 它们的基因型分别为AA、AB和BB。现在计划用AA型植物和每种基因型植物相结合的方案培育后代, 若干年后, 这种植物的三种基因分布的情况。

根据后代从双亲中获得基因是等可能的这一事实, 给出下列概率分布情况表:

用an, bn, cn分别表示第n代植物基因型为AA、AB和BB的植物百分率, X ( n) 表示第n代植物的基因分布, 即X ( n) = ( an, bn, cn) T。那么第n代与第n -1代之间的关系是

这样就可以得到递推公式X ( n) = MnX ( 0) 。

如果我们要直接计算X ( n) , 就需要计算Mn, 当n很大时, 十分麻烦。为了简化计算, 可以考虑将M对角化, 即找到一个可逆矩阵P, 使得P- 1MP = ∧

其中∧为对角阵, 其对角线上的元素为M的特征值, P为特征值对应的特征向量构成的矩阵。

类似这样的问题, 能使学生在解决问题的过程中, 激发出自我探索、积极学习的热情, 树立学好线性代数的信心。兴趣是学习的动力, 是产生自信的基础, 解决了学生学习的积极性就解决了学好这门课的百分之八十的问题。对于一些问题较多、相对比较复杂的题目, 也可以鼓励学生几人一组, 进行团队合作, 培养团队精神。除此之外, 这种方法还会使在学生看来杂乱无章的知识系统化, 帮助他们理顺各个知识点之间的关系, 加深对线性代数课程整体的认识。

2. 在教学中适当地采用一些与专业相关的题目。

线性代数是几乎所有专业的基础课, 即各个专业后续所开专业课的基础, 它的重要性不言而喻。我们在教学中适当采用一些带有专业背景的例题, 可以促进线性代数与专业知识的融合, 也对学生以后学习专业课打下一个良好的基础。例如, 对于电气专业的学生, 上课时可以列举一些与电路相关的例子, 同时鼓励学生在解决问题的时候应用一些数学软件 ( 如Matlab) ; 这样当后期学生学习“Matlab与仿真”这门课的时候, 学生就会联系前面所学的知识, 有序地衔接, 更快速地接受、入门。

三、渗透数学建模思想的教学中应注意的问题

1. 由简到繁, 由容易到复杂。学生第一次接触的新知识, 在还没有完全吃透它的情况下, 如果老师再讲解一些深奥的实际例子, 不仅不会增加学生的学习兴趣, 可能还会让学生觉得更加晦涩、高深, 产生完全相反的效果。

2. 实际例子的选择要贴切, 不要生搬硬套地把一些数学建模问题放到线性代数课程来讲解。线性代数的课程还是应该以讲解知识为主, 在讲述中融入一些数学建模的例子, 是为了让学生能更好地理解和接受新的知识, 不应喧宾夺主。

3. 在教学中融入数学建模思想的主要目的还是让学生理解和掌握线性代数的理论知识, 不应该过多地讲解一些建模的方法。

四、结论

在线性代数教学中融入数学建模思想, 是学生学好线性代数的催化剂, 是把数学知识与专业知识连接起来的桥梁;它可以增强学生学习的积极性, 训练学生的抽象思维和逻辑思考能力, 培养学生自主获取新知识的能力, 提高学生的综合素质。这种方式的教学还可以使学生初步接受科学研究方法的思想和训练, 使他们逐步养成发现问题、分析问题、解决问题的能力。因此, 在教学中融入数学建模的思想是十分必要的。

参考文献

[1]陈东彦, 李冬梅, 王树忠.数学建模[M].北京:科学出版社, 2007.

[2]杨庆.线性代数在数学建模中的一些应用[J].科技资讯, 2012, (8) :199-200.

[3]岳晓鹏, 孟晓然.在线性代数教学改革中融入数学建模思想的研究[J].高师理科学刊, 2011, 31 (4) :77-79.

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