函数的极限1

函数的极限1（精选10篇）

1.函数的极限1 篇一

函数、极限、连续

典型例题

题型一复合函数

2x2,|x|10,x0例

1、设f(x), g(x)，试求f[g(x)],g[f(x)].1,x0|x|2,|x|1

例

2、已知f(x1)的定义域为[0,1],，求f(2x3)的定义域.1例

3、设f(x)和g(x)互为反函数，则f[g(3x)]的反函数为(B)

211x1(A)g[f(3x)](B)f[2g(x)](C)g[2f()](D)2g[f(x)] 233

3111解：yf[g(3x)]，则g(3x)g(y)，即g(3x)2g(y)，于是3xf(2g(y))，即xf(2g(y))223

11故yf[g(3x)]的反函数为yf[g(3x)].22

题型二函数性态

例

1、定义于R上的下列函数为奇函数的是(C)

exexx2011tanx21(C)lnx(A)[x](B)(x1)(D)cosx2011

2例

2、当x时，变量xcosx是(D)（注意函数的局部性质）

(A)无穷小(B)无穷大(C)有界量(D)无界量

例

3、设limf(x)A，下列结论成立的是(C)xx0

(A)存在,当xU(x0,)时，f(x)A(B)则存在,当xU(x0,)时，f(x)A

(C)若A0,则存在,当xU(x0,)时，f(x)0

(D)若当xU(x0,)时,f(x)0,那么A0.

注1：若limf(x)A，则对0，存在,当xU(x0,)时，总有Af(x)A（局部有界）.xx0

注2：若limf(x)A，当xU(x0,)时,f(x)0,那么A0（局部保号）.xx0

x1在下列区间中有界的是(A)2x

1(A)(,1)(B)(,1)(C)(1,)(D)(1,)

注：若f(x)在(a,b)内连续，且f(a)A,f(b)B,则f(x)在(a,b)内有界.0题型三 未定式计算（限于，0，1，另三种，0,00以后讲）0

例

1、求极限：

(2x1)4(x1)65x(x8x)（1）lim；（2）

；（3）； 10x0xx(x2)cot3x2xcsc2xlim(arctanx)lim(cosx)（4）limx2(xx)；（5）lim；（6）；（7）xxx0xcot5x0注：等价无穷小代换可在,0中对较复杂的“0”进行等价代换，一般只能用在乘、除关系，因局部等价能保证0例

4、y

整体也等价，而不能直接用于加、减关系，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项后看能否拆开 注：limu(x)

v(x)1elimv(x)lnu(x)lnu(x)u(x)1limv(x)[u(x)1]ea.题型四 极限存在题型

例

1、判断下列极限存在吗？

arctanxx

1(a1)lime；；（3）（4）lim

xax1x1x1xx0tan3x11x22n

2;（7）lim（5）（6）lim 

6662n1x2nx0nn2nnnnn

1n(n1)(2n1)122n2n(n1)(2n1)

提示：（6）因，则原式 

36n6n2n6nn62nn6n26n6n

（1）x)；（2）lim

x1

sinx2x4sin

1x,x1

1x

（7）lim1,x1

n1x2n

0,x1

注1： x时，xx，ax，arctanx，arccotx的极限不存在，先研究x,x

x时，sinx，cosx的极限不存在，只需注意其为有界量，arctanx，arccotx也可考虑有界量性质 注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论 注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理

注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则

注5：极限函数f(x)limF(x,n)的求法，要注意对x取值范围的讨论，如xn,anx,arctannx等.n

nnam,其中ai0(i1,2,,m)。例

2、求lima1na

2n

nn

ammana 提示：令maxaia，则aana1na2

1im

limm1，则原式=amaxai（本题的结论是一个常用结论）.n

1im

例

3、设xnznyn，且lim(ynxn)0,则limzn（C）

n

n

(A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零(C)不一定存在(D)一定不存在提示：若limxnlimyna0，由夹逼定理可得limzna0，故不选A与D.n

n

n

取xn(1)n,yn(1)n,zn(1)n，则xnznyn，且lim(ynxn)0，但limzn 不存在，B选项不正确．

n

n

例

4、设函数f(x)在(,)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（B）

(A)若xn收敛，则f(xn)收敛(B)若xn单调，则f(xn)收敛(C)若f(xn)收敛，则xn收敛(D)若f(xn)单调，则xn收敛

n1n

提示：由于f(x)单调有界，则当xn单调时，数列f(xn)单调有界，从而f(xn) 收敛，故选（B）

例

5、设0x13,xn1xn(3xn)(n1,2,)，证明：数列{xn}极限存在并求此极限.证：由0x13，xn1xn(3xn)知，0xn3，132

2从而有xn1]，则xn上有界，22

xn(3xn)xnxn(32xn)

而xn1xnxn(3xn)xn=0，则xn单调增，xn(3xn)xnxn(3xn)xn

11知xn递增 由单调有界准则，知limxn存在，不妨设 limxna

或者由

n

n

xn

1xn

31xn

33或a0（舍去），则 limxn.n22

注：对数列{xn}，若有递推表达式，则一般使用单调有界准则证明数列{xn}的收敛性.将xn1

xn(3xn)两端取极限得aa(3a)，由此解得a

题型五 极限应用题型（先讲无穷小比较、渐近线确定、间断点类型，以后再研究可导性判断）例

1、已知当x1时,(2x)x2与a(x1)b(x1)2是等价无穷小,求a,b的值.(x1)ln2xlnx(2x)x2ex(ln2lnx)ln2

1解： lim2lim, 2lim

x1(x1)(abxb)x1a(x1)b(x1)2x1a(x1)b(x1)

2xlnxln2

2(1ln2)1,则a2(1ln2),显然bR.2lim

x1abxba

x21

例

2、求曲线y的渐近线方程.x

1解：limyx1为其铅直渐近线

x1

又lim

x

y1x1,lim(yx)lim1  yx1为其斜渐近线.xxx1x

注：记忆各类渐近线的确定方法：

①若x(或x,或x)，yb，称yb为yf(x)一条水平渐近线，一个函数至多有两条不同的水

平渐近线；

②若xa(或xa,或xa)，y，称xa为yf(x)的一条铅直渐近线； ③若lim

xx()x

y

k0，lim[ykx]b，称ykxb为yf(x)的一条斜渐近线.xx

(x)x

例

3、试确定y

xtanx的间断点，并判断其类型.解：其间断点为xk,k



（kz）

y0xklim

xk

2xk



为其可去间断点；

又 limy，此时k0， xk（k0）为其第二类间断点

y1,limy1 x0为其跳跃间断点.而lim

x0

x0

x

1x0e1

例

4、ysin3x试确定该函数的渐近线，并判断其间断点类型。

x0

x

解：limy x1 为其铅直渐近线，且x1为其第二类间断点；

x

1x

limy1 y1为其水平渐近线；又limy0 y0为其水平渐近线；

x

而f(0)e,f(0)3，故x0为其第一类中的跳跃间断点.g(x)在xx0连续，例

5、求证：设f(x)在xx0间断，则f(x)g(x)在xx0间断。并举例说明f(x)g(x),f2(x),f(x)

在xx0可能连续.提示：设f(x)

0



1x0

g(x)sinx，g(x)在x0连续，f(x)g(x)f(x)sinx0在x0，则f(x)在x0间断，x0

x01

连续；若设f(x)，f(x)在x0间断，但f2(x)f(x)1在x0均连续.1x0

注：“f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件.三、课后练习

1、f(x)x1，f[g(x)]x，则g(x)(x1)3．



cosx，0x4

5

2、当0x2时，max{sinx,cosx}sinx，x．

44

5

cosx，x24

32x，x2

23、min{32x,x2

2x}x2x，2x2



32x，x2

4、与f(x)sgnx相同的函数为(B)

(A)(sgnx)2(B)sgn(sgnx)(C)sgnx(D)sgn(x)

0,x0

0,x0,

5、已知H(x)则H(x)H(x1) 1,0x1．

1,x0,0,x

1

2x6、设g(x)

x

27、设f(x)e

arcsinx

x0x

2，f(x)x0x2x2，则g[f(x)]x02x

x0

x0

． x0，又f[g(x)]x1，则g(x)的定义域为[1e

n

n





,1e2]．

n

8、设an，bn，cn均为非负数列，且liman0，limbn1，limcn，则必有（D）(A)anbn对任意n成立(B)bncn对任意n成立(C)limancn不存在(D)limbncn不存在n

n

9、设xnayn,且lim(ynxn)0,则{xn}与{yn}(A)

n

(A)都收敛于a(B)都收敛，但不一定收敛于a(C)可能收敛，也可能发散(D)都发散

10、当x0时，1

1sin是(D)

xx

2n

(A)无穷小(B)无穷大(C)有界但非无穷小(D)无界但非无穷大

11、设数列xn与yn满足limxnyn0，则下列断言正确的是（D）(A)若xn发散，则yn必发散(B)若xn无界，则yn必有界(C)若xn有界，则yn必为无穷小(D)若

12、f(x)

为无穷小，则yn必为无穷小 xn

xsin(x2)

x(x1)(x2)

2(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)

n

在下列哪个区间内有界（A）

13、当x0时，(1cosx)ln(1x)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比(ex1)高阶无穷小，则正整数n等于(B)

(A)1(B)2(C)3(D)4

14、对函数f(x)

n

212

11x

1x，点x0是（B）

(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)第二类间断点(D)连续点

15、设f(x)

x，则该函数图象具有（B）x

e

1(A)一条水平渐近线，一个可去间断点(B)一条水平渐近线，一个跳跃间断点(C)一条铅直渐近线，一个可去间断点(D)一条铅直渐近线，一个跳跃间断点

x

在(,)内连续，且limf(x)0，则（D）bxxae

(A)a0,b0(B)a0,b0(C)a0,b0(D)a0,b017、设f(x)和(x)在(,)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则（D）

(x)

(A)[f(x)]有间断点(B)[(x)]2有间断点(C)f[(x)]有间断点(D)有间断点

f(x)

16、设f(x)

18、求下列极限或判断极限的存在性：

axarctanxx3； lim(a1)（1）lim；（2）；（3）(/)(/)limxx)

xx0(1cosx)ln(x1x)2axx

x

3sinxx2cos

23lncosx21xx

ln（4）lim（5）；（6）2 ；； x0lncosxx0x0432xsinx3ln(1x4)n

1；（7）lim（8）limln(12)ln(1)3ln2；（9）lim8；

xxsinxnx0n1cos(1cosx)

n

111n22xexe2xenx12)x(nz)e2；（10）lim(12)e；（11）lim(sincos)e；（12）lim（nxx0nnxxn

1112cosxx1222

（13）lim3(（14）limx(aa)(a0)lna（15）lim(secx)xe；)1；

x0x0xx361

5xxx

（16）lim(n；（17）lim(123)3；（18）1；

xnn2sin2xe2ax1x0在(,)上连续，则a2．

19、若f(x)x

ax0

(n1)x20、设f(x)lim，则f(x)的间断点为x0．

nnx2

13(xn1)

21、x10，且xn1，证明limxn存在，并求limxnn

nxn

322、设0x13,xn1xn（n1,2,）证明limxn存在,并求limxn．

3n

n

23、若lim

ln2ln(1f(x)sin5x)

limf(x)1，则 ． x0x052x

1sin2x2enxcosx24、设 f(x)lim，则limf(x) 2．

x0nxenx

x2n1ax2bx25、设f(x)lim处处连续,求a,b的值.a0,b1 2nnx

1u

x1ux)，其中(x1)(u1)0，求f(x)的连续区间，并指出其间断点类型.26、设f(x)lim（uxu

1提示：f(x)e

xx1，f(x)的连续区间为(,1)(1,)，x1为第二类间断点.27、设f(x)在(,)上有定义，f(x)在x0处连续，且对一切实数x1,x2，有

f(x1x2)f(x1)f(x2),求证f(x)在(,)上处处连续.提示：对一切实数x,求证lim[f(xh)f(x)]0.h0

2.函数的极限1 篇二

高等数学是理工学生和数学专业必修的课程之一,在高等数学中,函数极限知识是微积分知识核心部分. 如果学生的函数知识不牢固,这样必然会影响到整个数学学习过程. 而且,极限函数不同于文史类知识,它们没有生动的语言,没有灵活的想象平台,而是枯燥的函数极限知识,这直接影响学生对该类知识的学习,随着时间的推移,学生无法提起学习兴趣,从而影响到教学效果.

二、造成学生函数极限学习障碍和解决方法

( 一) 教学环境影响

高中数学是主科,在课程设置中一般都安排得比较密集,时常会出现一天都有数学课. 面对应试,数学课程的学习时间是比较长的,教学力度也是相对大的. 这样的课程安排会使得学生倍感压力. 很多学生一天下来都是在数学的海洋中,各种知识的纠结,各种解题方法的求解. 学生学习数学不是因为兴趣爱好,而是为了应试,这样的函数极限学习效率会低下. 而进入大学,高数学习环境轻松,课程时间安排不太紧密.

( 二) 教学方法问题

很多教师在进行极限函数教学时,一般都是在课程之间时间讲解概念含义,引入例子,再根据例子解答,然后课程布置学生几道相关的题,让学生尝试解答,最后教师再讲解. 这样的教学方法,教师占据的课程时间比较多,教师是课堂的主体,学生缺少思考的空间. 有的学生基础知识比较差,对于教师的讲解理解难度大,教师没有针对性地教学,没有给学生思考的空间,没有因材施教,必然会影响教学效果.

( 三) 解决高校学生函数极限学习障碍的对策

第一,教学方式上遵循教学规律. 任何新知识的学习都要遵循循序渐进的过程,对大一新生来讲,极限与微积分知识的学习,教师可采用渐进式教学,不求一步到位. 用“动”来代替“静”,也即用动态来定义极限的概念,用作图的方式来理解“无限趋近”. 教学尽量用多媒体课件展示动态,使学生在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立统一,这样才能更好地培养学生学习能力,才能帮助学生养成良好的数学学习习惯,学生在今后的学习中可以使用辩证思考的思维解答习题. 第二,教学方式直观简明化. 函数极限学习理当坚持多学多练之原则,在练习过程中学生加强对数学概念的理解以及对知识的掌握. 对于教师而言,应该精讲多练,应该降低理论讲解、抽象讲解. 理当拿出实例来证明极限. 学生也可以尝试作图,使用作图去辅助解答习题,从观察函数的左右近似值去判断极限是否存在. 这样的教学方法能够锻炼学生的归纳能力以及学生的推算能力. 教师充分地考虑了学生接受能力,而且能够兼顾教学需求,掌握该教学原则,从而帮助学生喜爱上数学学习. 第三,教学中增加应用实践因素. 教学理论使用于实践基础上,让理论在实践中得以发挥出来,这样的学习方式才会显得比较有意义. 学生的学习积极性和主动性才会跳动起来. 一般而言,函数极限知识在生活中都能运用到,教师在进行教学时,涉及的内容应该通俗易懂. 可以将生活中常见的机械极限、运动极限以及生理极限引入课程中,使用故事的方式作为开头进行讲解,这样才能激发学生学习兴趣. 同时,在进行课程学习之前,进行预习和课外知识的拓展都是非常有必要的. 学生课前预习,能够对于所学的知识及时地进入到了解的状态,这也是进行学生兴趣培养之关键.

三、高数中函数极限求解方法

( 一) 利用极限的描述性定义

在进行教学中,教师将极限的描述定义如下: 如果自变量的绝对值| x |无限增大,那么在条件不变的情况下,函数值f( x) 也会有和常数A无限地接近,这个时候就可以称当x值逐渐趋向无穷函数时,x以A为函数极限. 或者是x缩小到A,这样就可以记录为“x - A( x→∞ ) ”. 经过上述的描述方式进行函数期限数值求值时,该方法比较简单. 不同类型基础的等级函数可以进行描述性定义. 另外,还可以和图像结合,这样就可以得出参数值. 想要进行复杂函数求值,需要在掌握基本初级函数求值基础知识. 但是在求值过程中,比较容易被混淆,因此,要多加注意.

( 二) 用两个重要极限求解

重要极限中,sinx和x是两个类型完全不同的X数,但是却可以通过该极限促使三角函数和一次函数之间建立起函数关系,将两者进行比值就可以求解. 而且极限使用范围非常广泛,可以解决一些现实的问题. 在很多高等数学中,极限求值问题可以将其化为极限求值,但是当学生在借助重要极限进行函数极限求值时,这个使用需要充分掌握极限的形式以及特点,只有这样才可以将极限求值进行化解,使得极限形式一致. 例如:

( 三) 利用极限的等价定理

这里讲解到的等价定理,主要是单侧极限以及双侧极限之间的关系定理,这种求值方法比较特别,在进行求解时,一般比较合适使用于分段函数中. 利用极限的存在性定理. 极限的存在定理,主要有两个定理,而且是比较常用的两个. 第一是夹逼定理,第二是单调有界数定理. 这两个定理是使用于数列极限以及函数存在性证明的,有的时候也可以将其使用于极限求值中,尤其是数列极限问题求值.例如:

这样就可以轻松的求出函数值.

四、高数教学方法

( 一) 主体式教学方法

主体式教学方法来源于美国头脑风暴教学法,这种学习方式相对于简单的个人学习,获得学习效果会更加明显.具体做法是,教师要选择出合适的教学素材,选择合适的学习伙伴,学习伙伴针对当前教学问题提出异议,提出自己的观点. 教师根据学生的观点再进行总结. 极限函数数学教学中,主体式教学方式需要教师合理利用,这样获得的教学效果会更加明显. 这种教学方式能够激发学生学习兴趣,使得学生学习获得创造性思维. 首先,教师应该做好材料选择工作,然后再进行分组讨论,这样可以获得良好的教学效果.需要注意的是,主体式教学方法应该需要获得一个平等和民主课堂教学氛围,作为初中数学教师,需要学生在课堂中充分地表达自己的观点,教师要尊重学生的观点,使得学生在思维上获得更大思维空间. 教师要充分利用学生思维见解不同之处,基于无错原则进行评价学生发言.

( 二) 培养学生参与意识

学生参与课堂教学,使得课堂变得活跃,教师教学积极性也提高,学生学习积极性也得到激发. 在教师暗示或者提示下,学生自己去发现问题寻找出问题所在. 找到问题根源之后,需要选择出应对方法. 一般而言个人发现的问题和小组发现的问题都不相同. 不论怎样需要明确这些问题重要性,通过课程教学解决问题. 另外,学生应该明确自身的学习任务,该课程传输的知识,在课程学习中自己学到了哪些知识,这些知识对自己有何用处. 当获得了课程知识之后,需要分享知识,倾听其他同学的学习心得,最后汇聚成结论.

( 三) 概念教学方法

极限函数数学概念可以识别一类数字的共性,对此作出不同的感性,这一学习过程就是概念学习过程. 概念学习最明显的特点是要抽取出一类对象,这些对象有着共同的特性,进行辨别学习过程中,就是识别一类对象不同特性之过程. 这两者是有区别可言的. 但是,进行极限函数数学概念学习时,共性抽象是需要在一定的区分范围内的,因此要求学生要有区分能力. 这也是学习概念前提. 众所周知,数学研究对象,这是实现数量关系以及空间形式最有效的方式. 数学概念可以清晰地反映出这个对象的本质和属性,可以将数学概念学习表示为一种思维形式. 数学概念具有抽象和具体的双重性. 数学概念可以反映出事物数量关系以及空间形态之间的本质属性,它属于思维形式. 极限函数数学概念的使用,可以抽象地将事物内在的联系表现出来. 一般而言,这些抽象的具体事物一般都会离开物质内容,附于数学概念基础上进行多层次的抽象升级.

结束语

另外,还可以使用四则运算方法,不过四则运算方法是最为基础的方法. 该方法的使用和结构良性知识比较相近,在实际使用过程中可以直接求解. 总而言之,数学函数极限,地位非常高,在进行函数极限学习时,理当基于把握教学方法基础上开展教学.

摘要：高等数学教学中,函数极限求值方法教学是难点,同时也是重点.而且,数学函数极限知识内容比较枯燥,会导致很多学生不愿意学习极限函数.文章分析了极限函数教学障碍,以及如何改进教学方法,提高教学质量.

3.关于求函数极限方法的讨论 篇三

关键词：函数极限；恒等

中图分类号：O171 文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2011) 03-0000-01

Discussion on Limit of Function Methods

Jiang Yan

(Chongqing Vocational College of Architecture Engineering,Chongqing 400039,China)

Abstract:The function of higher mathematics made to limit summarized in more detail.Eight methods described in five points,and explains the difference and contact between each method.

Keywords:Functional limit;Identity

極限的思想贯穿于整个微积分的课程之中，掌握好求极限的方法是十分必要的。由于极限的求法众多，且灵活性强，不是每一种方法都适用于求任意函数的极限，或者某个函数的极限可以用多种方法求出，那么就可以选择比较简单的方法求之。因此有必要对极限的求法加以归纳总结。

一、利用极限的四则运算法则和函数的连续性求极限

一般情况下，可以利用函数连续性求解极限的函数，就可以用极限的四则运算法则来求解，而通过以下对比，可发现，利用函数的连续性求解会方便很多。

（一）极限的四则运算法则

若 ，

则：

法则本身比较简单，要注意两点：1、函数的个数有限，且每个函数的极限要存在；2、作为除数的函数极限不为零。因此大多数函数求极限往往不能直接利用法则，需要进行恒等变形，常用的方法有分子分母因式分解、分式的通分或约分、分子分母有理化、三角函数的恒等变形、或者先求其倒数的极限等等。

例1

解：

例2

解：原式

由例2可总结以下结论

（二）利用函数的连续性求极限

若函数 在 处连续，则 ，而初等函数在其定义区间内都是连续的，所以求初等函数在其定义区间内任意一点处的函数极限值，只需求函数在该点处的函数值，可以直接代入计算。如果是求定义区间以外点处的极限，则可以通过恒等变形将函数化为在该点处连续的函数，再代值计算。这里的恒等变形和四则运算里面的变形用方法是类似的，并且有时候使用函数的连续性求极限比利用函数的四则运算简洁许多。例如前面的例1可求解为：

例3

解：因为 在其定义域以内，所以函数在 处连续

二、利用两个重要极限、无穷小量的性质和等价无穷小代换求极限

重要极限中的弧弦之比其实也说明了一个等价的问题，而利用等价无穷小量代换求解会方便很多。

（一）利用重要极限求函数的极限

两个重要极限的标准形式为： （弧弦之比）， 或 。一个是利用三角公式找到原函数和 的关系，另一则主要用在形如 的函数极限的求解（后面会提到形如 的函数极限的求解）。它们的扩展形式为： ， 或 （ ）利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的恒等变形，将所求极限的函数变形为重要极限或者重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则或函数的连续性求解。

例4

解：原式

例5

解：原式

例6

解：原式

（二）利用无穷小的性质求函数的极限

无穷小量的极限为零且无穷小量有以下性质：

（1）有限个无穷小量的代数和为无穷小量；

（2）有界函数（常量）与无穷小量之积为无穷小量：

（3）有限个无穷小量之积为无穷小量。

在关于函数极限的求解中使用最多的是性质（2）。

例7 求

解： 原式 。

（三）利用等价无穷小代换求函数的极限

等价无穷小量的定义为：若 是同一极限过程的无穷小量，即 ， ，且 ，则称 是等价无穷小量，记作 。等价无穷小量在求极限中的应用的相关定理为：设 使同一极限过程的无穷小量，且 存在，则有 。而重要极限中的 ，就说明了 ，除此以外，常用的等价无穷小量有： ， ， 。由此，例4和例5可另解为： 及 。

在使用时要注意的一点是：相乘（除）的无穷小量都可以用各自的等价无穷小量来代换，但是相加（减）的无穷小量的项是不但能作等价代换的。

三、利用夹逼准则求极限

函数极限的夹逼准则为：设有三个函数 ， ， 在点 的某去心邻域内有定义，且满足条件：（1） ；（2） ；则极限 存在，且等于 。

例8 求极限

解：

四、利用导数的定义求极限

若函数 在 处可导，则有 ，除此以外还有另外两种形式（1） ；（2）

利用这个定义，若所求极限的函数具有函数导数的定义式或者可以化为导数的定义式，则可利用导数的定义来求极限。

例9 若 存在，求 。

解：

原式

五、利用罗比达法则求函数的极限

罗比达法则为：如果函数 和 满足：

（1） （取相同的极限过程且极限相等）；

（2） 都可导，且 ；

（3） ，

则 。

（一）“ ”型和“ ”型

罗比达法则主要用来求解“ ”型和“ ”型这两种未定式的极限。利用罗比达法则求极限，由于分类明确，规律性强，而且可以连续进行运算，可以简化一些复杂的函数求极限的过程，但运用时需要注意条件。

例10求

解：

注意：遇到 不存在也不是 时，并不能说明原式 不存在，此时应另找他法，如 ，属于“ ”型，使用罗比达法则以后变为求 ，显然不存在。可先变形，再利用前面提到的有界函数和无穷小量另解为

（二）“ ”型

对于函数 属于“ ”型未定式，可做适当变型化为“ ”型或“ ”型，即： 或 ，再使用罗比达法则。至于究竟化为哪一种应视情况而定，看哪一种化法更容易求解，简单来说，就是看变型以后的分子分母分别求导相对简单一些。

例11 求

分析： 显然变形为“ ”型再利用罗比达简单一些：即方便分子分母分别求导数。

解：原式

（三）“ 型”

一般情况下，为分式相减的，先通分；为根式相减的，先根式有理化：最终仍是化为 或 ，再使用罗比达法则求解。

例12 求

解：原式

（四） 型

这三种形式均为幂指函数求极限，即： ，因为 ，可先求出 ，而 ，从而化为求 函数的极限，接着用前面的介绍的方法求解。使用关键在于要注意变型的恒等，也就是很多人计算时往往把所求极限函数的对数的极限计算以后就结束了，实际上此时的极限和只是原式变型以后指数的极限。

例13 求

解：

例 14

解：

原式

“ ”在可化为“ ”时还可以直接利用重要极限中的 （ ）。

（五）罗比达法则与等价无穷小代换的综合使用

有时候罗比达法则和等价无穷小代换综合使用效果更好。

例14求

分析：此题为两对数乘积，且为 型，若直接变型使用罗比达会有麻烦，此时可先利用无穷小量等价代换化为熟悉的问题。

解：原式

例15求

解：

原式

六、结论

总之，以上各种求极限的方法要根据不同的情况来选择，记住一些结论或标准的形式对于求解和选择恰当的方法帮助会很大。各个方法之间其实不是孤立的，有时求解一道题可以使用多种方法，而各个方法的使用中几乎都提到了恒等变形，这是很重要的一个原则。

参考文献:

[1]龙辉.高职数学[M].电子科技大学出版社.2007

[2]龙辉.高职数学辅导与练习[M].电子科技大学出版社,2008

4.二元函数的极限 篇四

(一)教学目的：

掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．

(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．

基本要求：

(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．

(三)教学建议：

(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极

限的方法．

(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．

一二元函数的极限

先回忆一下一元函数的极限： limf(x)A 的“” 定义(c31)：

xx0

0设函数f(x)在x0的某一空心邻域U(x0,1)内由定义，如果对

0,当 xU(x0,)，即 |xx0| 时，都有 |f(x)A|，0,1，则称xx0时，函数f(x)的极限是 A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：

设二元函数f(x,y)为定义在DR2上的二元函数，在点P0(x0,y0)为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对 0,0，使得当 P(x,y)U(P0,)D 时，0都有 |f(P)A|，则称f在D上当 PP0时，以A为极限。记作

PP0PDlimf(P)A

也可简写为limf(P)A或

PP0(x,y)(x0,y0)

2limf(x,y)A 例1用定义验证

2lim(x,y)(2,1)2(xxyy)7 222证明:|xxyy7||xx6xyxy1|

|x3||x2||xy1||y1|

限制在（2，1）的邻域 {(x,y)||x2|1,|y1|1}

|x3|6,|xy1|6

取 min{1,/6}，则有

|xxyy|

由二元函数极限定义lim

(x,y)(2,1)

(xxyy)7

xy,(x,y)(0,0)xy22

例2 f(x,y)xy，0,(x,y)(0,0)

证明lim

(x,y)(0,0)

f(x,y)0

xyxy

证|f(x,y)||xy

所以

lim

(x,y)(0,0)

||xy|

lim

(x,y)(0,0)

|f(x,y)|lim

(x,y)(0,0)

|xy|0

|f(x,y)|0

对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：

PP0

limf(P)A 是指： P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任

何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。

对于一元函数，x 仅需沿X轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，P趋于P0的路线有无穷多条，只要有两条路线，P趋于P0时，函数f(x,y)的值趋于不同的常数，二元函数在P0点极限就不存在。

1,0yx2

例1 二元函数f(x,y)

0,rest

请看图像（x62），尽管P(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当P(x,y)沿抛物线 ykx,0k1时，f(x,y)的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。

(考虑沿直线ykx的方向极限).x2y,

例2设函数f(x,y)x2y2

0,

(x.,y)(0,0)(x,y)(0,0)

求证limf(x,y)0

x0

y0

证明因为|f(x,y)0|

x|y|xy



x|y|x

|y|

所以，当(x,y)(0,0)时，f(x,y)0。

请看它的图像，不管P(x,y)沿任何方向趋于原点，f(x,y)的值都趋于零。

通常为证明极限limf(P)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两

PP0

个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关.但应注意 ,沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在.例3

设函数

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)

xy,22

f(x,y)xy

0,

证明函数 f(x,y)在原点处极限不 存在。

证明尽管 P(x,y)沿 ｘ轴和ｙ轴

趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零，但沿直线ymx 趋于原点时

xmxx(mx)

f(x,y)

mx

(1m)x



m1m

沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例１沿任何路线趋于原点时，极

限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。

例4

非正常极限极限

lim

(x,y)(x0,y0)

判别函数f(x,y)

xy11xy

在原点是否存在极限.f(x,y)的定义:

12x3y

例1设函数f(x,y)证明limf(x,y)

x0y0

证|

12x3y

||

13(xy)

|

只要取

16M

|x0|,|y0|时，都有

|

12x3y16

||

13(xy)

|

M

12x3y

请看它的图象，因此是无穷大量。

例2求下列极限: i)

lim

xyxy

;ii)

(x,y)(0,0)(x,y)(3,0)

lim

sinxyy

;

iii)

(x,y)(0,0)

lim

xy11xy

;iV)

(x,y)(0,0)

lim

ln(1xy)

xy

.二.累次极限: 累次极限

前面讲了P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时 f(x,y)的极限，称为累次极限。对于二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)的累次极限由两个

limlimf(x,y)和limlimf(x,y)

yy0xx0

xx0yy0

例1

f(x,y)

xyxyxyxy

222, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.22

例2 f(x,y), 求在点(0 , 0)的两个累次极限.例3 f(x,y)xsin

1y

ysin

1x, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.二重极限与累次极限的关系:

（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。

例函数 f(x,y)

xyxy

xy

22的两个累次极限是 yyyxxx

limlim

xyxy

xyxyxy

xy

y0x0

lim

y0

lim(y1)1

y0

lim(x1)1

x0

limlim

x0y0

lim

x0

（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 例f(x,y)

xyxy

xyxy，两个累次极限都存在limlim

y0x0

0,limlim

xyxy

x0y0

0

但二重极限却不存在，事实上若点P(x,)沿直线 ykx趋于原点时，kx

f(x,y)

x(kx)



k1k

二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)xsin

1yysin

1x

由|f(x,y)|  |x||y|0 ,(x ,y)(0,0).可见二重极限存在 ,但

1x

limsin

x0

和limsin

y0

1y

不存在，从而两个累次极限不存在。

（4）二重极限极限lim

(x,y)(x0,y0)

f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存

xx0yy0

在 , 则必相等.(证)

（5）累次极限与二重极限的关系

5.函数的极限1 篇五

第一节函数的极限和函数的连续性

考点梳理

一、函数及其性质

1、初等函数

幂函数：yxa(aR)

指数函数yax(a1且a1)

对数函数：ylogax(a0且a1)

三角函数：sin x , cos x , tan x , cot x

反三角函数：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x2、性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、有界性）

【注】奇偶性、单调性相对考察的可能性打，但一般不会单独出题，常与其他知识点结合起来考察（比如与积分、导数结合）

二、函数极限

1． 数列极限

定义（略）

收敛性质：极限的唯一性、极限的有界性、极限的保号性。

·类比数列极限，函数极限有唯一性、局部有界性、局部保号性。

单侧极限（左极限、右极限）

【注】函数极限为每年的必考内容，常见于客观题中。一般为2~3题。

2． 两个重要极限

（1）limsinx1 x0x

x类似得到：x→0时，x～ln(x+1)～arcsin x～arctan x～tan x（2）lim(1x)e x0

类似得到：lim(1)elim(1)xx1xx

1xx1 e

·此处，需提及无穷大，无穷小的概念，希望读者进行自学。

三、函数的连续性

1． 概念：函数f(x)在x0处的连续（f(x)在x0点左连续、f(x)在x0点右连续）函数f(x)在开区间（a,b）上的连续

函数f(x)在闭区间[a,b]上的连续

2． 函数的间断点分类

● 跳跃式间断点：函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等。

● 函数在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值（或函数值在该

点无定义）

● 振荡间断点：f(x)在点x0的左右极限至少有一个不存在。

3． 连续函数的和、积、商，初等函数的连续性

● 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。

● 有限个再某点连续的函数的积是一个在该点连续的函数。

● 两个在某点连续的函数的商事一个在该点连续的函数（分母在该点不为零）● 一切基本初等函数在定义域（或定义区间）上是连续的。

4． 闭区间上的连续函数的性质

●（最大、最小定理）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

●（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

●（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)<0），那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点。

● 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点处取不同的函

数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)

内至少有一点ξ，使得f(b)=C(a<ξ

【注】函数的连续性，一般在客观题目中出现，分值不大，一般1~2题。

典型例题分析

【例1】（2010年真题）（工程类）计算极限limxsinx x0xsinx

A.1B.-1C.0D.2sinx1这一重要极限。如此，我们不难解x0x

sinxsinx11limxsinxx00。出该极限为0.即limlimx0xsinxx011limx0xx

xcx)e6,则常数c=_________。【例2】（2010年真题）（工程类）设lim(xxc

1x1【解析】解决此类题目，我们要灵活运用lim(1)。xxe【解析】：解决此类题目，我们要深刻掌握lim

2cxxcx2cx

2ccxclim()lim(1)limexxcxxxc2c1ce2ce6。则c=-3。

1xsin,x0【例3】（2009年真题）（工程类）设f(x)若f(x)在点x=0处连续，则αx0,x0的取值范围是

A．(-∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)

【解析】函数f(x)为一个分段函数，要使其在点x=0处连续，只需limxsinx010，不难x

发现x→0时，sin x 为有界的，我们只需满足limx0即可。易得，α>0。但α不能等于x0

0，否则limsinx010。x

提高训练

1、求下列函数的定义域

（1）y

（2）y1 2x2x

（3）y=lg(3x+1)

(4)y1 1x22、判断一下函数的奇偶性

axax

(1)y = tan x(2)ya(3)y 2x3、求下列函数的极限

1x34x2(1)lim(3x1)(2)lim3(3)limxsinx3x0x0xxx

sin3x15sin2x(4)lim(5)lim(6)lim(1)x0xx01cosxxx

1ex,x0

4、讨论f(x)0,x0在x=0点的连续性。

x05、证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间。

【答案】

1、（1）[-1,1](2)(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)(3)(-1/3,+∞)

(4)[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)

2、（1）奇（2）非奇非偶（3）偶

3、（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）

14、连续

6.函数与数列极限的定义区别 篇六

最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义

设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质 收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性；（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；

（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；

（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；

（5）保序性，即若，且AN1时an

（1）自变量趋于有限值时函数的极限：-

[论文网 ]函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作

上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为

1对：任意以两直线为边界的带形区域；

2总：总存在（以点x0位中心的）半径；

3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；

4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作

并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质（1）极限唯一性；（2）局部有界性

若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；

（3）局部保号性

若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得时f(x)

利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形：

（1）给定任意小正数ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：

（1）给定任意大正数G；（2）解不等式；（3）取定；（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的（或N）.极限存在准则1．夹逼准则（1）数列极限的夹逼准则

如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件：

1存在N，n>N时，bn≤an≤cn；

则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则

（以x→x0和x→∞为例）如果

1（或|x|>M）时，有

2（或），则（或）

（3）一个重要不等式

时，2．单调有界数列必有极限

3．柯西（Cauchy）极限存在准则

数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。

数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。

计算极限的常用方法1.利用洛必达法则

三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：

注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限

„„

3.利用泰勒公式

4.利用迫敛性

5.利用定积分求和式极限

6.利用数列的递推关系计算极限

7.利用级数的收敛性计算极限

8.利用积分中值定理计算极限

计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出-

[论文网 ]发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义

设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。大全，函数。大全，函数。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质

收敛数列有如下性质：

（1）极限唯一性；

（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；

（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；

（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；

（5）保序性，即若，且AN1时an

（1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在xx0时的极限，记作 上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为 1对：任意以两直线为边界的带形区域； 2总：

总存在（以点x0位中心的）半径；

3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；

4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作

并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质

（1）极限唯一性；

（2）局部有界性

若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；

（3）局部保号性

若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得时f(x)

利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形：

（1）给定任意小正数ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：

（1）给定任意大正数G；

（2）解不等式；

（3）取定δ；

（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.极限存在准则1．夹逼准则

（1）-

[论文网 ]数列极限的夹逼准则

如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件： 1存在N，n>N时，bn≤an≤cn； 2 则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则

（以x→x0和x→∞为例）如果

1（或|x|>M）时，有

2（或），则（或）

（3）一个重要不等式

时，2．单调有界数列必有极限

3．柯西（Cauchy）极限存在准则

数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。大全，函数。

数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。

计算极限的常用方法1.利用洛必达法则

三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：

注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限

„„

3.利用泰勒公式

4.利用迫敛性

5.利用定积分求和式极限

6.利用数列的递推关系计算极限

7.利用级数的收敛性计算极限

8.利用积分中值定理计算极限

7.一元函数极限的常用求解技巧 篇七

函数极限的求解方法大致可以分为以下几种:

一、代入法 (四则运算法则的应用)

求解技巧: (1) 只有在各项极限均存在 (除式还需要分母极限不为零) 才能适用. (2) 若所求极限不能直接运用运算法则, 可先对原式进行恒等变形 (约分、通分、有理化、分子分母同除以x的最高次幂等) , 然后再求极限. (3) 四则运算法则的一个重要推论lim[f (x) ]n=[limf (x) ]n. (4) 复合函数求极限法则limg[f (x) ]=g[limf (x) ] (这里极限号lim下方未标明x的变化过程, 表示对极限的任何一个变化过程都成立, 下同) .

二、重要极限法

在函数极限部分, 我们来看两个经常用到的极限, 它们的具体形式为:

求解技巧: (1) 把扩展为其中必须保持当x→a时f (x) 以0为极限, 且分子、分母中的f (x) 必须完全一样. (2) 把扩展为其中必须保持当x→a时g (x) 以0为极限, 且要在形式上对应. (3) 利用四则运算法则及推论.

三、无穷小量替代法

求解技巧: (1) 等价代换是对分子或分母的整体替换 (或对分子、分母的因式进行替换) , 而对分子或分母中的“+”、“-”号连接的各部分不能作替换 (2) 而对分子或分母中的“+”、“-”号连接部分可先作恒等变形成乘积形式再替换

四、性质法 (迫敛性和连续性)

求解技巧: (1) 构造左右两边具有同一极限的双向夹逼不等式, 适当放大或缩小. (2) 一切基本初等函数都是其定义域是上的连续函数. (3) 任何初等函数都是在其定义域区间上的连续函数.

五、洛比达法则

以上归纳和总结了五种求解一元函数极限的常用方法和技巧, 在解决具体问题时, 还需要根据实际情况灵活应用求解技巧, 只有熟练掌握这部分内容, 才能进一步理解函数极限的概念, 同时也是学好高等数学的关键.

摘要：根据笔者在教学中积累的资料, 从不同角度概括出求一元函数极限的五种常用的求解技巧.

关键词：数学分析,函数极限,求解技巧

参考文献

[1]邝荣雨.微积分学讲义 (第一册) [M].北京:北京师范大学出版社, 2005:70.

[2]侯风波, 蔡谋全.经济数学[M].沈阳:辽宁大学出版社, 2006:23-27, 75.

[3]课程教材研究所数学课程教材研究开发中心.高等数学基础 (上册) [M].北京:人民教育出版社, 2003:109.

8.浅谈多元函数求极限 篇八

【关键词】: 多元函数 多元函数极限 邻域

中图分类号:F0174 文献标识码:A 文章编号:1003-8809(2010)06-0113-01

在《数学分析》中,我们讨论了函数的极限。通过对极限的学习。我们应该有一种基本的观念就是“极限是研究变量的变化趋势的”或说:“极限是研究变量的变化过程,并通过变化的过程来把握变化的结果。

研究一元函数的思想方法是研究多元函数的基础。研究多元函数的思想方法又是研究多元函数的基础。本文介绍关于多元函数极限求法的几个定理及例子。

假定函数f(x1,...,xn)是在具有聚点M0(a1,a2,...,an)的某一点集Μ内定义的。

仿照一元函数的极限的定义,常说函数f(x1,...,xn)当变量x1,...,xn依次各趋于a1,a2,...,an时以数A为极限,如果对于任一数ε>0能找出这种δ>0,只要

x1-a1<δ,...,xn-an<δ,

就能使

f(x1,...,xn)-A<ε.

在这时,假定点(x1,...,xn)是取自Μ而且异于(a1,a2,...,an)。因此,对于集Μ中位于M0点的充分小邻域

(a1-δ,a1+δ;...;an-δ,an+δ)

之内但除去这点本身的一切点,这个关于函数f的不等式应当成立。

函数的极限记成:A=limx1→a1......xn→anf(x1,...,xn).

把点(x1,...,xn)及(a1,a2,...,an)记成M及M0,则刚才引入的定义可以用几何的言语重述成:数A称为函数f(M)当点M趋于M0时的极限,如果对于任一数ε>0有着种数r>0存在,只要距离M0M

f(M)-A<ε.

和上面一样,须假定M取自Μ但异于M0。这样,对于集Μ中位于M0的充分小得球形邻域内但除去这点本身的一切点,这个关于函数f的不等式应当成立。

多元函数的极限在高等数学中是非常重要的,但多元函数的自变量太多计算起来太过复杂,而一元函数的极限看起来就相对容易些,因此我们现在把多元函数极限转化为一元函数的极限来求解,现在我们可以以三元函数为例得到如下的定理:

定理1设f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某去心邻域内有定义,cosα,cosβ,cosγ是向量(x-x0,y-y0,z-z0)的方向余弦,若

limk→0f(x0+kcosα,y0+kcosβ,z0+kcosγ)=A则

(1) 当A是与α,β,γ的取值无关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)=A。

(2) 当A是与α,β,γ的取值有关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)不存在。

推论(1)设f(x,y,z)在点(0,0,0)的某去心邻域内有定义,cosα,cosβ,cosγ是向量(x,y,z)的方向余弦,若limk→0f(kcosα,kcosβ,kcosγ)=A则

(1) 当A是与α,β,γ的取值无关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)=A。

(2) 当A是与α,β,γ的取值有关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)不存在。

定理2设f(x,y)在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义, cosα,sinα是向量(x-x0,y-y0)的方向余弦(此时cosβ=sinα) , 若一元函数极限limk→0f(x0+kcosα,y0+ksinα)=A.则

(1) A为与α取值无关的常数时, limx1→x0y→y0f(x,y)=A.

(2) A与α取值有关时, limx1→x0y→y0f(x,y)=A不存在.

推论(2)设f(x,y)在点(0,0)的某去心邻域内有定义, cosα,sinα是向量(x,y)的方向余弦(此时cosβ=sinα) , 若一元函数极限limk→0f(kcosα,ksinα)=A.则

(1) A为与α取值无关的常数时, limx→0y→0f(x,y)=A.

(2) A与α取值有关时, limx1→0y→0f(x,y)=A不存在.

参考文献:

[1]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程第一卷(第八版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3]丁殿坤,吕端良,李淑英.多元函数极限的一种求法[J].山东:山东科技大学公共科部,2004.

[4]旷伟平,孙勇.多元函数极限的一类求法[J].湖南:怀化学院数学系,2007.

[5]任宪林.多元函数求极限[J].邯郸职工大学,2001.

[6]陈明华.关于多元函数极限的一种求法的注记[J].皖西学院计算机科学与技术系,2007.

[7]刘素芳.求二元函数极限的几种方法[J].中山医科大学,1999.

[8]宋志平.二元函数极限的求法[J].内蒙古科技大学理学院,2004.

9.函数极限 篇九

1.按定义证明下列极限:

(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2x

x251;(4)lim(3)lim2xx1x2

(5)limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf(x)≠ A.xx0

3.设limf(x)= A.,证明limf(x0+h)= A.xx0h0

4.证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.

7.设 limf(x)= A,证明limf(xxx01)= A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1． 求下列极限：

x21（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3)lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5)limm(n,m 为正整数)；（6）lim

x1xx41

（7）lim

x0

2x3x2

70；

a2xa3x68x5.（a>0）;(8)lim

xx5x190

2． 利用敛性求极限：(1)lim

x

xcosxxsinx

;(2)lim2

x0xx4

xx0

3． 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：

xx0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

（3）lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时)g(x)B

4． 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5． 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A，其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.xx0

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)< g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？

（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)> g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）：(1)lim 

x0

x

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3)lim;(4)lim

x0x0x1

x1

x

(5)lim

x

x(提示：参照例1)

x

x0

x0

x0

9．（1）证明：若limf(x3)存在，则limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，试问是否成立limf(x)=limf(x2)?

x0

x0

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.n

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在n

[a,+)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.n

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff(x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x0x0sinx2x

(3)lim

x

cosxx



tanxsinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

xxaxxa

;(4)lim

x0

tanx

;x

cosx2

(9)lim;(10)lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1)lim(1);(2)lim1axx(a为给定实数);

nx0x

x

(3)lim1tanx

x0

cotx

;(4)lim

1x

;

x01x

(5)lim（x

3x22x1);(6)lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsin

n



x0n





x2

xxcos1 2n22



n

;(2)

习题

1． 证明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

+

(3)x1o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 应用定理3.12求下列极限：

x21x(1)lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3． 证明定理3.13

4． 求下列函数所表示曲线的渐近线：

13x34

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx2x

5． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：

(1)

x2x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r

时的无穷大量。

9． 设 f(x)~g(x)(x→x0)，证明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

总 练习题

1． 求下列极限：

1

(x[x])lim([x]1)(1)lim;(2)

x3

x1

(3)lim（x

axbxaxbx)

xxa

(4)lim

x

(5)lim

xxa

x

(6)lim

xxxx

x0

(7)lim

nm,m,n 为正整数 nx11xm1x

2． 分别求出满足下述条件的常数a与b：

x21

(1)limaxb0 xx1

x(3)limx

(2)lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3． 试分别举出符合下列要求的函数f：

(1)limf(x)f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的xx0

局部保号性有矛盾吗？

5． 设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6． 设f(x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：

(1)limanr1

n

(2)lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

n2

n2

8． 利用上题（1）的结论求极限：

(1)lim1

n

11(2)lim1

nnn

9． 设liman，证明

n

(1)lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：

(1)limn!(2)lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)A，则有

n

f(x0－0)=

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明：f(x)f(1)，x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

10.函数与极限(上) 篇十

第一节 映射与函数

A.集合的表达方式：很基础，要求快速准确地写出。

注：*表数集内排除0；+表示数集内排除0和负数；真子集符号。

B.集合运算：这些在概率里会有应用，但部分含义是有区别的。（具体内容见概率部分）注：差集的表示AB；集合运算的四个定律，尤其是对偶律。

C.映射：这些内容的理解直接影响着对函数概念的深入理解。

注：构成映射的三个要素与判断函数是否相同的两个要素；逆映射和复合映射与反函数和复合函数的联系。

D.函数：概念，参照上面C。

E.函数的几种特性：这些应该很Easy了，但不要马虎。

注：有界既有上界也有下界；单调性是对包含在定义域内的某个区间而言的；奇偶性的前提是函数定义域要关于原点对称；周期性的前提是函数定义域是无穷集。

F.反函数和复合函数：参照C。

注：复合函数经常考查的知识点，比如求解定义域，书写表达式等，这些从它的定义出发去求解是个很好的方法，详见后面例题。

G.基本初等函数和初等函数：要对5类基本初等函数的各方面性质十分熟悉，能画草图。

例题

【课后习题】

P21第5题，考查函数二要素：定义域和对应法则。（3）是同一函数，其他的定义域均不同。推荐做一下6题（画草图）、16题（复合函数）、17题（写函数表达式一定不要遗忘定义域）。

【相关真题】

90年：设函数f(x)1,x

10,x1,则f[f(x)]=________。

分析：复合函数f·g的定义要求中间函数g的值域要在“外”函数f的定义域内，所以从g的值域入手，按定义求解，这里的g即f(x)。

解： “内”函数f(x)当|x|≤1时，其值为1，此时1属于“外”函数定义区间 |x|≤1，所以复合后的值为“外”函数|x|≤1时的值，即等于1；

“内”函数f(x)当|x|>1时，其值为0，此时0属于“外”函数定义区间 |x|≤1，所以复合后的值为“外”函数|x|≤1时的值，同样等于1。

综上，此题结果f[f(x)]=1。

注：这一节的题目大多会作为其他题目的一个解题环节，很基础，但一定要掌握扎实。

第二节 数列的极限

A.概念：任意给定正数ε，总存在正整数N,对于n>N的一切xn均满足极限不等式。

注：1.极限等于无穷只是一种极限不存在的特殊情况的描述，并非极限存在2.对极限定义任意方式的描述，必须满足以上三点红色字体内容。（即可以等价过来）

B.收敛(极限存在)数列的性质：唯一性(多用于反证)、有界性、保号性、任一子数列同收敛 注：此处的数列极限有界性和保号性与函数极限相应性质的区别（见后）

第三节 函数的极限

A.概念：对于自变量趋于有限值的情况，描述中重点是邻域，且可以是去心邻域，也就是某点有无定义不影响此点是否有极限；自变量趋于无穷时，表达类似于数列极限。注：双侧极限，即左右极限，尤其在分段点处。

B.函数极限的性质：唯一性、有界性(局部)、保号性(局部)及其两个推论、与数列极限的关系

注：1.函数的有界性和保号性都是局部性质，都是指在极限存在的前提下，会存在自变量的某个去心邻域满足有界性和保号性，且此去心邻域包含在满足极限存在的去心邻域中。2.函数极限与数列极限关系的三个前提条件：自变量趋于某个有限值时函数极限存在、数列为函数定义域内收敛于那个有限值的数列、数列元素不包含那个有限值。

例题

【课后习题】

P37、38第1、2、3题，建议做一下，考查函数极限定义，很基本，别马虎

P39第12题，函数极限局部有界性的定义扩展。实质是当函数极限存在时，都可以找到两个参数来描述有界：1.x趋于有限值的两个参数：某个去心邻域，某个界定函数值M，当x在此邻域内函数满足有界性。2.x趋于无穷时的两个参数：某个大X，某个界定函数值M，当|x|>X时函数满足有界性。

【相关真题】

此部分相关知识点的考查，大多为其他题目的一个解题环节，比如局部有界性和局部保号性（后面章节会提及），还有双侧极限的考查频率很高，但大多注意分段点及某些特殊点处求解左右极限即可，难度一般不大。92年：当x趋于1时，求解函数

x1x

1e

x1的极限。（原题是选择题）

分析：显然x=1是此函数的特殊点，需要分双侧极限讨论。

lim

x1x1x1x1

2解：

x1

ex1lim(x1)ex1(此时

x1

1x11

)

x1

limex1lim(x1)ex10(此时

x1

x1

)

所以极限不存在，也不是无穷。

第四节 无穷小与无穷大

A.概念：无穷小与去穷大即指函数在自变量的某个趋向下其极限值是0或无穷。B.性质：1.函数极限存在函数等于极限值+无穷小（多用去证明中去掉极限符号）2.同一趋近下的无穷小与无穷大的倒数关系，注意何时要求f(x)≠0

C.渐近线：水平y=a(x趋于无穷时函数的极限值为a)、垂直x=a(x趋于有限值a函数极限值为无穷)、斜渐近线y=kx+b(x趋于无穷,分式

例题

【课后习题】

P42第5、6、7题，建议做一下,熟练掌握极限定义，区分无界与极限为无穷以及极限不存在的区别与联系。

第五节 极限的运算法则

A.定理：注意描述中的有限，如有限个无穷小的和与积也是无穷小，当无限时情况不定；有界函数与无穷的乘积为无穷小（应用频率很高）、极限的四则运算的前提（如必须每个参与运算的函数其极限必须存在、再如极限的商以及数列的极限运算）B.不等关系：极限保号性的应用

C.复合函数的极限：1.满足复合函数的存在前提；2.内函数的极限值以及内函数的函数值满足使外函数在此值处极限存在的前提。此处求解时多用变量代换。

f(x)x的极限为k，算式f(x)kx的极限为b)

例题

【课后习题】

P49第4、5题，对定理的理解考查，注意定理成立的各个前提条件。【相关真题】

P49第4题本就是2003的一道选择题。分析：（1）和（2）描述本质一致，所以排除；（3）为0* ，结果未定，故排除；选（4）解：极限不等式成立的条件，对于数列是“存在一个N，当n>N时，一切…”，所以不是对于任意n成立，故（1）（2）、错。同一趋近下无穷小与无穷大的乘积结果未定，如an0,cnn，此时满足假设，二者乘积显然为0，故极限为0；若an

1n,cnn，也满足假设，但二者

乘积为n，此时极限为不存在，所以（3）错。（4）可用反证法，若存在，则

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