线性代数期末复习题

线性代数期末复习题（精选9篇）

1.线性代数期末复习题 篇一

2013—2014

线性代数考试要点说明

第一章

1．利用行列式的性质计算行列式、余子式、代数余子式的概念及计算；

2．行列式的计算（含有参数的行列式的计算）。

第二章

1．方阵行列式的性质及计算；

2．矩阵的运算（加法、减法、乘法、乘幂、伴随矩阵、逆）；

3．矩阵秩的概念，矩阵的秩的性质、应用。

4.对称矩阵的概念及判定。

5.关于具体矩阵和抽象矩阵求逆矩阵问题

第三章

1．向量组线性相关性的证明（用定义）；

2．齐次线性方程组的基础解系的概念、性质、求法；

3．求向量组的极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示；

4．非齐次线性方程组是否有解的讨论，求方程组的通解；

5．向量组秩的定义，求法，已知向量组的秩求参数。

第四章

向量空间的基底定义；

第五章

1．会求方阵A的特征值和特征向量，2方阵特征值的性质---特征值之和为方阵的迹，特征值之积为方阵的行列式，3．掌握方阵对角化的方法、步骤；

4．已知方阵A的特征值，会求kA、Am、A

1、g(A)的特征值。

5.相似矩阵的性质。

第六章

1．二次型的秩的定义，已知二次型，会求二次型的矩阵；

2．理解用正交变换化二次型为标准形的问题，包括求其中的参数，正交矩阵，标准型等

3．已知二次型为正定二次型，求待定参数。

4.会判断二次型为正定二次型，会判断矩阵为正定矩阵。

说明: 1内容要求包含A卷和B卷

2.全校除机电学院外，卷面成绩为70分，一、二章比例相对小。

3.机电学院，卷面成绩为80分，其中10分均为一、二章内容。

2.线性代数期末复习题 篇二

高中阶段线性规划内容是新课标实施后新增加的内容, 近年来成为高考中的热点问题, 其试题已从简单的求线性目标函数的最值、平面区域的面积, 转变为求非线性目标函数的最值、参数的范围, 现在更是出现了与向量、概率、不等式、函数相结合的新题型。下面通过高考试题分析解读体会如何学习、复习该部分知识。

一考题回顾

高考试题对线性规划内容的考查主要体现在以下三个方面:

第一, 注重对基本题型的考查。 (1) 已知线性约束条件, 求目标函数的最值问题。如2012年, 山东理第5题。 (2) 线性规划应用题。如2012年, 四川理第9题。

第二, 体现对线性规划与其他知识相结合问题的考查。 (1) 含有参数的线性规划问题。如2012年, 福建理第9题。 (2) 与向量、不等式、概率等知识相结合的线性规划问题。如2011年, 湖北理第8题;2009年, 山东理第12题;2012年, 北京理第2题。

第三, 凸显对线性规划体现的“数学规划”思想方法的考查。典型试题: (2012年, 江苏14) 已知正数a, b, c满足:5c-3a≤b≤4c-a, clnb≥a+clnc, 则b/a的取值范围是_______。

二分析解读

1. 关于线性规划基本题型

已知线性约束条件求目标函数的最值问题, 线性规划应用题, 属于线性规划的最基本问题, 是线性规划的简单应用, 要求学生能够熟练掌握可行域的画法, 并能根据目标函数的变化情况, 在可行域内找到相应的最优解及最值。对于应用性问题还要求学生能够根据题意, 通过设置恰当的未知数将实际问题转化为线性规划的问题求解。旨在考查学生对线性规划基本知识、基本问题的掌握, 属于容易题。

2. 关于对线性规划与其他知识相结合的题型

它体现了线性规划的灵活应用, 突出了对学生能力的考查, 有一定的综合性, 其本质还是线性规划问题, 解决方法仍然同基本问题的方法类似。含参数的线性规划可在作可行域时先将约束条件中的不含参数的不等式所表示的平面区域作出, 然后再考虑含参数的不等式, 可以利用尝试的方法去研究。与向量、不等式、概率等知识相结合的问题, 从题目中容易看出其中包含的线性规划的“轮廓”还是比较清晰的, 结合相关知识的内容转化成线性规划的基本题型不困难。

3. 关于用“数学规划”思想求解问题的题型

这类问题从形式上可能看不出线性规划的“影子”, 其约束条件隐蔽, 需要进行适当的数学变形, 变形后约束条件可能不是线性的, 其目标函数也未必是线性的, 我们可以称之为“异化”的线性规划问题。此类问题有一个共同特征:具备某些不等 (或相等) 关系的限制条件, 求某个变量的范围或最值。从下面的解答过程可见一斑。

解析:条件5c-3a≤b≤4c-a, clnb≥a+clnc可化为:

设 则题目转化为:已知x, y满足:

作出 (x, y) 所在平面区域 (如右图) 。求出y≥ex的切线的斜率e, 设过切点P (x0, y0) 的切线为y=ex+m (m≥0) , 则 , 要使它最小, 须m=0。

∴y/x的最小值在P (x0, y0) 处, 为e。此时, 点P (x0, y0) 在y=ex上A, B之间。

∴y/x的最大值在C处, 为7。

∴y/x的取值范围为[e, 7], 即b/a的取值范围是[e, 7]。

三学习启示

高考对线性规划的要求越来越灵活, 以考查线性目标函数的最值为重点, 兼顾考查代数式的几何意义 (如斜率、距离、面积等) 。多以选择题、填空题出现, 含参数的线性规划问题也是高考的热点。在知识交汇处命制试题更是高考试题的一个重要特点, 鉴于此, 在学习与复习中要紧紧抓住以下环节:

1. 牢固掌握可行域的画法

若要正确画出可行域, 首先是正确画出每个二元一次不等式所表示的平面区域, 这有两种常用的方法:一是先画出相应二元一次方程所表示的直线, 再选取一个特殊点 (如果直线不过原点则常选取原点) 代入二元一次方程, 计算其值的正负再结合二元一次不等式的要求, 若符合, 则该点所在的区域就是所求的一元二次不等式所表示的平面区域, 否则该点所不在的区域为所求的区域, 我们可以用一个成语形象地总结:窥一斑而知全豹。二是将一元二次不等式化为y>kx+b (或y>kx+b) 的形式, 若是y>kx+b形式, 则所表示的平面区域一定在直线y=kx+b的上方, 反之在下方。其次是用阴影表示出几个一元二次不等式所表示的平面区域的公共部分。若边界不等式所对应的方程是特殊形式, 则容易画出其所表示的区域, 若二元一次不等式中含有等号则用实线表示, 否则用虚线。

2. 灵活求目标函数最值

正确画出可行域后, 将目标函数z=ax+by (b≠0) 化为 形式, 通过斜率为 的直线平移求出 的最值, 这个过程中需注意:一是所求可行域的边界与直线 倾斜程度之间的关系;二是z的系数 的正负对z取最值的影响, 当 时, 取得最大 (小) 值时, 对应的z也会取得最大 (小) 值, 当 时, 则恰好相反。

3. 熟悉简单数学建模问题

应用数学解决各类实际问题时, 建立数学模型是十分关键的一步, 同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程, 是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过阅读、分析、处理数据资料, 观察和研究实际对象的固有特征和内在规律, 抓住问题的主要矛盾, 建立起反映实际问题的数量关系。数学建模需要较深厚扎实的数学基础, 敏锐的洞察力和想象力。

4. 深刻领悟数学规划思想

3.例谈数与代数的复习 篇三

数与式

吃透“数与式”的概念 《课标》中指出“注重学习对基础知识、基本技能的理解和掌握”，这是因为“知识与技能”既是学生发展的基础目标，又是落实“数学思考”“解决问题”“情感与态度”目标的载体。基础的、简单的试题在每一份试卷中占有比较大的比例，而“数与式”的问题大都是基础的、简单的试题。利用好基础题是教学中不能忽视的，能够为逐步提高学生的解题能力和思维品质定坚实的基础。

掌握“数与式”的解题方法 吃透“数与式”的概念还是落实在解题上，落实对基础知识的掌握，落实对基础概念的理解，落实对基本方法的掌握，落实对基本思想的领悟，落实对数学能力的提高。“数与式”的试题难度虽不大，题型却不少，需要掌握较多的解题方法。

提高“数与式”的综合运用能力 数与式”的综合运用能力包括运算能力等。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力，培养运算能力还有助于学生理解运算的算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。能力的培养是一个综合的过程，主要培养学生准确的计算能力、初步的空间观念、简单的逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力。

二方程与不等式

整理知识，构建体系 由于《数学课程标准》下的数学知识的教学是螺旋式上升的，因而知识相对分散，学生对所学知识的系统性掌握不够。这就需要加强对数学知识的整理，建立较为系统的知识体系，使学生做到知识的正迁移。

立足常规，夯实基础 任何考试，基础知识都是考查的重点，是构成试卷的重要部分。所以，在复习中，首先就要抓紧基础知识的复习，立足常规问题的解决，保证得到基础知识的分数。

关注生活，加强应用剖析 用数学知识解决现实问题是数学学习的根本目的，同时也是新课程大力提倡的一个重点。因此，在复习时，应加强学生对应用问题解决能力训练，使学生会分析应用问题的数量关系，提炼数学关系，从而找到解决问题的突破口。

综合应用，体会知识间的联系 方程（组）与不等式（组）既是重要的知识，也是重要的工具，在解决其它问题时经常会用到。这就需要在复习时，有意识地将其与其它知识联系起来，加强这部分知识用于解决其它问题的训练。

函数

函数部分的考查是关注对函数意义的理解和函数关系的表示与确定，重视函数概念和性质的应用，强化函数思想方法及其在实际问题中的应用，加强函数与方程、不等式的横向联系，突出函数与几何知识的交会，因此，在复习中应从理清网络，整体把握知识的结构与设立专题，抓好核心内容的教学方面入手。复习中应抓好函数的基本知识的教学，重视“三基”与应用，使学生学到的知识形成系统，并构建合理的知识网络结构，提高综合应用知识的能力和迁移能力。

函数的基本知识专题 函数的概念、表示、性质、思想方法及函数与方程、不等式的横向联系等内容，在选择题、填空题、解答题中均会出现考查函数基本知识的试题，考查全面且大都属于基础题。首先，应重视对基础知识的理解，注意进行归纳概括，横向比较，使学生全面理解函数的意义、各种类函数的特征与性质及函数与方程、不等式的横向联系，做到不缺不漏，从知识结构的整体出发去把握和解决问题；其次，要重视通性、通法训练，夯实“三基”，熟练应用；第三，要加强函数思想方法的形成和掌握数形结合的思想是很有帮助的；第四，此类试题呈现形式命题趋势，要重视图表、图象、图形等信息题的教学。

函数在实际问题中的应用专题 “应用问题”仍然是教与学中的难点，学生运用所学的数学知识去分析和解决问题的能力是需要教师慢慢培养、日积月累才能形成的，而非一朝一日之功。平时应多联系社会生活实际和学生的实际，选择的教学材料应具有时代性和地方特色，注意采用“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的模式展开教学；教学中多安排一些让学生走向社会的“做数学”的活动，鼓励学生用数学眼光发现和提出问题，有意识地用所学的数学知识解决所遇到的问题，提高用数学的意识和能力；重视对教材上有代表性的题目进行分析与变式，注意选择能反映《数学课程标准》所倡导的数学活动方式的问题（如观察、实验、猜测、验证、推理等），让学生感受和体会数学建模的能力；

函数与几何知识的交会专题 函数与几何知识有着密切的联系，应有意识地把可以用到数形结合、分类讨论等思想的地方指出来，以启发、提升学生的思维，并引导学生领会数形结合、分类讨论等思想的实质和妙用，学会使用它们来探索、解决一些简单的问题，发展学生的数学素养和数学能力。函数与几何知识交会的问题综合性强，常常作为压轴题。

函数是中学教学的核心内容，其蕴含着丰富的数学思想方法，并渗透在数学的各个领域。它是中考的重点内容，也是高中数学学习的基础。在复习中，要注重有机综合，形成知识网络，注重联系实际，增强应用意识，注重能力培养，引导自主探索。

4.线性代数习题答案 篇四

综合练习一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er2,s5,t8或r5,s8,t2或r8,s2,t5.01Fi2,j1.01G12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序数为k2;当k为偶数时,排列为偶排列,当k为奇数时,排列为奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)(aa1222a13a1411a22a33a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x18.01Nf(x)g(x)s(x).01O1.f(x)g(x)s(x)02AB、D.02B3.02C6.02Dx0,1,2.02E(1)n1(n1)xn.02F(12131)n!.02G(1)n(n1)2nn1(n1)n.2.02H(1)n1(nax)xn1.02I(1)n[(1)nn].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa0,b0.4403G1,3.03Habii03If(x)2x23x1.i1i1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1aa2)(1a)3.04Bn1.04Cx1x2...xn1(1a1x1a2x2...anxn).04Dx1x2...xn[1a(1x1...1.1x2xn)]04E(x1)n..49.04F1(1)a1(1)2a2an1...(1)anan1...a2a1n04G(n1)当a,n1n1当a.05A0.05B1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H9,18.06An!(n1)!(n2)!...2!1!.06B(cos).4ij1icosj07A(1x)2(10x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E2.08Fa0且bb/4.08Gf(x)2x23x1.08H甲、乙、丙三种化肥各需3千克,5千克,15千克.综合练习二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a2n).01N(AB)(AB).01S(2)A249(A2E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(1)n1n1k2(n1)!.(2)(1)n1n!(k1,2,,n).01V两年后在岗职工668人,培训人员334人.01W即晴天概率为146256,阴天的概率为6248256,下雨天的概率为256.xnx426001X1y023/21/200xn.yn1nyzn101/40zn4236z224012102A4982242.02B2n102420121.02C2220242222.1nn(n1)2.4n14n0002D201n.02En1n142.400001002nn.2n1.0002n.50.10002FA20061.由于A5A.1100003A(1)(1)n11(2)1200n!A.0230.0034(3)A6E.(4)12(EB).(5)B(E2A)1.10103BB510E.03D1211.03C(2)A2A5(A2E).03EA11(A3E).(A4E)11106(AE).03FB1114(5A23AE).03G(EABA)1B(EAB)1B1.03HB1110(A23A4E).03I(EAB)1EA(EBA)1B.10001/21/20003NA1003O1122212.1/21/61/391/85/241/121/422100201003403P000123310005200003Q(A1A2A41A3)1A11A2(A4A3A11A2)1A111(A4A3(A1A2A4A3)4A3A11A2)1.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)1/3;(6)576;(7)3.04B10804F521220101.04GA0A(bTA1),05AD.05C2.05D当a1且b2,r(A)4;当a1且b2时,r(A)2;.51.当a1,b2或a1,b2时,r(A)3.05E当c1,并且a1或b0时,r(A)1;当c1,a1且b0时,r(A)3;当c1,但a1或b0时,r(A)3;当c1,a1且b0时,r(A)2.05F当ab0时,r(A)0;当ab0时,r(A)1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n.05G11n.05Hr[(A*)*]n,如果r(A)n,0,如果r(A)n.1111101005K111105L01041111.11110010.00022400110005M220005N12200022.00120233.003405OA.0211106A1321.06B202.03052231106C43206D22.319/213/2.21112300106E020.06F21001.121012103006G003300..52.综合训练三01AC.01BB.01CB.01Dt1.01Ea2b.01F(1)当t5时,1,2,3线性相关;(2)当t5时,1,2,3线性无关;(3)3122.01G(1)当a1时,1,2,3线性相关;(2)当b2且a1时,可由i唯一的表出:122;当b2且a1时,可由i线性表出:(2t1)1(t2)2t3,其中t是任意常数.02AB.02BC.02C B.02D D.02E t5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)当a2时,不能用1,2,3线性表出;(2)当a2且a1时,有唯一的表达式:a11(a1a2a2)212a23;当a1时,(1kl)1k2l3,k,l.02J(1)若0且3,可由1,2,3唯一线性表示;(2)若0,可由1,2,3线性表示,但不唯一;(3)若3,不能由1,2,3线性表示.02K(1)当b2时,不能由1,2,3线性表出;(2)当b2,a1时,可唯一表示为122;当b2,a1时,可表示为(2k1)1(k2)2k3()k为任意常数.02L(1)当a1,b0时,不能表示成1,2,3,4的线性组合;(2)当a1时,有唯一表示式:2ba1ab1b1a12a130.402M(1)当a4时,可由1,2,3唯一线性表出..53.(2)当a4时,不能由1,2,3线性表示.(3)当a4且3bc1时,可由1,2,3线性表出,但不唯一:t1(2tb1)2(2b1)3(t为任意常数).02N不等价.03AD.03B1.03Cn.03D(1)R(1,2,3,4)2;向量组的一个极大无关组为2,4;12(24),3234;(2)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,3,5;2135,4135;(3)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,2,3;4123,5120.3.03ER(1,2,3,4,5)3.03Fa15,b5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct1.x1y1104D4.04E矩阵xy221的秩小于3.xnyn111422204F(1)C3,(CR);(2)k170k012,(k1,k2R);201523/23/4(3)C13/2C217/40,(C1,C2R).0104G(1)无解;(2)(1/2,2,1/2,0)Tk(1/2,0,1/2,1)T,其中k为任意常数;(3)(514,3314,0,7)Tk(1,1,2,0)T.(k为任意常数);.54.(4)C131(7,177,1,0,0)TC(101911127,7,0,1,0)TC3(7,7,0,0,1)T(2,3,0,0,0)T,(C1,C2,C3R).04H(1)1,2,3是所给方程组的基础解系.(2)1,2,3不是所给方程组的基础解系.104I当1时,有解,解为1k12,其中k为任意常数.0104J(1)当1且45时,方程组有唯一解;1当1时,其通解为1k01,其中k0为任意实数;1当45时,原方程组无解;(2)当2且1时,方程组唯一解;当2时,方程组无解;当1时,方程组有无穷多组解.全部解为21k110k012001,其中k1,k2是任意常数.04K(1)当a0时,方程组无解;x12/a,当a0,b3时,方程组有唯一解:x21,x30;x12/a,当a0,b3时,方程组有无穷多解:x213t,(tR).2x3t.(2)当a0或a0时b4,方程组无解;方程组不可能有唯一解;当a0且b4时,方程组有无穷多解.通解是.55.(6,4,0,0,0)Tk1(2,1,1,0,0)Tk2(2,1,0,1,0)Tk3(6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意实数.(3)当a1,b36时,方程组无解;当a1,a6时,方程组有唯一解,x(b36)a1,x12(a4)(b36)162a1,xb36230,x4a1;当a1,b36时,方程组有无穷多解,通解为(6,12,0,0)Tk(2,5,0,1)T.k为任意常数;当a6时,方程组有无穷多解,通解是(1(1142b),1(122b),0,1(bT77736))k(2,1,1,0)T.04L(1)当ab,bc,ca时,方程组仅有零解x1x2x30.(2)当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k1(1,1,0)T(k1为任意常数).当acb时,方程组有无穷多组解,全部解为k2(1,0,1)T(k2为任意常数).当bca时,方程组有无穷多组解,全部解为k3(0,1,1)T(k3为任意常数).当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k4(1,1,0)Tk5(1,0,1)T(k4,k5为任意常数).2104M(1)方程组有无穷多组解,通解为41k(k为任意常数502).1(2)当m2,n4,t6时,方程组(I),(II)同解.04Na2,t4.04O非零公共解为t(1,1,1,1)T.(t为任意常数)04P原来至少要有3121个桃子,最后还剩下1020个桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G1.05H1..56.05I(1,2,3,4)Tk(1,1,1,1)T,其中k是任意实数.05J(3,2,0)Tk(1,1,1)T.(k为任意常数)05K通解为(9,1,2,11)Tk1(10,6,11,11)Tk2(8,4,11,11)T05L3m2n.05M2.1/2005N通解为1/21k,其中k为任意常数.011105O(1)1可由2,3,4线性表出.(2)4不能用1,2,3线性表出.x1k2t,06A(2)通解是x2k2,其中t是任意实数.x3t,06B通解是(a8,4,2,1)T12a24a3,a22a3,a3,0)Tk(,其中k是任意实数.06E方程组的唯一解为(ATA)1ATb.06L(II)的通解为c1(a11,a12,...,a1,2n)Tc2(a21,a22,...,a2,2n)T...cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn为任意常数.综合练习四1/21/61/(23)01A45.01B11/221/6;31/(23).0;02/601/(23)3/202A(1)10,22,33,1/2k10对应特征向量为11/2,1.57.1122对应特征向量为k2,013对应特征向量为k331.1(2)18,231,218对应特向量为k11,其中k1为任意非零常数.21231对应特征向量为k201k32,其中k2,k3是不全为10零的实数.(3)101232全部特征向量为k12k20,(k1,k2不全为零).0102BA的特征值是1,2,2a1,a221对应的特征向量依次是k13,k22,k31.(k1,k2,k3全不为0).01a102CA的特征值2(二重)及0,2对应特征向量为k1(0,1,0)Tk2(1,0,1)T.0对应特征向量为k3(1,0,1)T.02D(1)当b0时,A的特征值为12na,则任一非零向量均为其特征向量.(2)当b0时,A的特征值为12n1ab,na(n1)b当1n1ab对应特征向量为1111k1000k21kn100,01.58.1a(n1)b对应特征向量为k1nn,(kn0).102Ea2,b3,c2,01.2n21102F112n212n23n1.112n202GA与B特征值相同但不相似.02Ha7,b2,P15112202I1102.0.101302Ja1,b8,c10.02K(1)|EA|4a34a23a2a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k(2)2i(i1,2,,n);i(i1,2,,n);(3)kii(i1,2,,n);(4)i(i1,2,,n);(5)1(i1,2,,n);(6)|A|1,2,,n);i(ii(7)f(i),(i1,2,,n).03E|A|21.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全为零.0对应特征向量为k11k11...kn1n1(k1,k2,...,k3不全为零的任意常数).03L3,2,2.03M(1)P1AP全部特征值是1,12,,n.Pi是P1AP的属于i的特征向量..59.(2)(P1AP)T全部特征值是11,2,,n.PTi是(PAP)T的属于i的特征向量.03P1(n1重),3,1对应特征向量为k1(y2,y1,0,,0)Tk2(y3,0,y1,,0)Tkn1(yn,0,0,,y1)T,k1,k2,,kn1不全为0,3对应特征向量为kn(x1,x2,,xn)T,kn0.04AD.04B546333.76804C(1)a3,b0,1.(2)A不能相似于对角阵.404D当a1时,A1116114.442当a111410222时,A301055.22519132504E(1)3k(1,0,1)T(2)A162102.(k);为任意非零常数521301104F1/201/200004G.1011/201/2.11011104H111.04IAPP1P(2E)P12E.1115404J6333.76804OA的特征值是2与1(n1重)..60.X1(1,1,,1)T是A属于2的特征向量,X2(1,1,0,,0)T,X3(1,0,1,,0)T,,Xn(1,0,0,,1)TA属于1的特征向量.11112n2n2nA111112n2n2n.12n112n12n05A0.05BA能对角化.05CA能对角化.1105D(1)12(2);1;(3)311;21(4)1(5)A2.;不能对角化;(6)20405E令P212100,则11.011021005F(1)T12403212,T1AT010122002.111263(2)T111133263,TAT.01166311123605GP120036,P1AP1.1114236.61.221535305HQ1425353,QTAQ22.705235305Ia1,b3.A能对角化.05J01,a3,b0.A不能相似于对角阵.1105Kxy0.05L111111.05MA~1111.0905N105PA~B.0.00105Q(1)x0,y2;(2)P210.11106An!.06B6.06C(2n3)！.06Dk(k2)2.06FO.06EE.3n13n106G(1)(2)6n13123n123n1;93;(3)10013n123n13n.13n223n23n06Hx10051001.06Ix51003210013.n06Ja1n563,nliman5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是综合练习五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.00101F010.01Gy21y22y23.10001H(1)fz21z22,相应的线性变换为zPy(P1112P1)x.P1010,P1002013,001001x1(2)z2z22111/2z112z3.相应的线性变换x2x3112z2.001/2z3100(3)f12y2222y3相应的线性变换x1101/21/21y,x101Ix1212y1201Jc3,4y219y22.3122y2x3221y311126301Ka2,b3.xCy,C111263,2106301Lf(x)x2221,x2,x312x2x32x1x22x2x34x1x3.切平面方程为2x1x2x31.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)2;(2)1.1012241102I0,P01002NB1314111.114.022.63.综合练习六01A(1)V1是向量空间.(2)V2是向量空间.01B(1)W1不是子空间.(2)W2是子空间.dimW22.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一组基.(3)W3是子空间,dimW32.(1,1,0),(2,0,1)是W3的一组基.(4)W4不是子空间.(5)W5不是子空间.01CW1W2是V的子空间,W1W2不一定是V的子空间.T02B5114,14,4,4.02C坐标变换公式为x1111x1x1212x1x2102x2或x32001x2x010x3x3111x3在所给定的两组基下具有相同坐标的全部向量为k32,k3为任意实数.T02D(1)(3,4,4)T;(2)112,5,132.02E(5/21/21,2)(1,2,3)3/23/2.5/25/202F(1,2,2)T时,坐标乘积的极大值是18.002G(1)A110011000110.1011(2)所求非零向量010203k4k4(k为非零任意常数).02H(1)111011;(2)0011(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T;(3)A11.02I(1,1,,1).3.64.a11a1203Aa21a22a11a12a31a32a2203C(1)a12a32a21a11a31a23a13;a33a12a22a12a32a13a23a13.a3301103B020.210a11a21(2)ka31ka12a22ka32a13a23;ka33a11a21a11a12a21a22(3)a21a31a21a22a31a32aa31a3231a11a12a13a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31a32a33.65.

5.线性代数复习——选择题 篇五

a11a12a132a112a122a131.如果a21a22a23= M，则2a212a222a23 =（）

a31a32a332a312a322a33A.8M

B.2 M

C.M

D.6 M

2.若A，B都是方阵，且|A|=2，|B|=-1，则|A-1B|=（）

A.-B.2 C.1/2

D.–1/2

373.已知可逆方阵A112 则A（）

27273737A.13

B.13

C.12

D.12

4.如果n阶方阵A的行列式|A| 0 则下列正确的是（）

A.AO B.r(A)> 0

C.r(A)< n

D.r(A)0 5.设A B均为n阶矩阵 AO 且AB O  则下列结论必成立的是（）

A.BA O B.B O

C.(AB)(AB)A2B2

D.(AB)2A2BAB2 6.下列各向量组线性相关的是（）

A.1(1 0 0) 2(0 1 0) 3(0 0 1)B.1(1 2 3) 2(4 5 6) 3(2 1 0)C.1(1 2 3) 2(2 4 5)

D.1(1 2 2) 2(2 1 2) 3(2 2 1)

7.设AXb是一非齐次线性方程组 1 2是其任意2个解 则下列结论错误 的是（）

A.1+2是AXO的一个解 B.1112是AXb的一个解

22C.12是AXO的一个解

D.212是AXb的一个解

8.设A为3阶方阵 A的特征值为1

2

3则3A的特征值为（）

A.1/6 1/3 1/2

B.3 6 9

C.1 2 D.1 1/2 1/3 9.设A是n阶方阵 且|A|2 A*是A的伴随矩阵 则|A*|（）

11A.B.2n C.n

1D.2n1 221y210.若xz3正定 则x y z的关系为（）

001A.x+yz

B.xyz

C.zxy D.zx+y

参考答案:1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.D 10.C

1.设30，则取值为（）

21A.λ=0或λ=-1/3

B.λ=3

C.λ≠0且λ≠-3

D.λ≠0 2.若A是3阶方阵，且|A|=2，A*是A的伴随矩阵，则|AA*|=（）A.-8

B.2 C.8

D.1/2 3.在下列矩阵中 可逆的是（）

000110A.010 B.220

C.001001110100011

D.111 1211014.设n阶矩阵A满足A22A+3EO 则A1（）A.E

B.1a5.设Aaa1(2EA)

C.2A3E

D.A 3a1aaaa1aaa, 若r(A)1, 则a（）a1A.1 B.3 C.2

D.4 xxx0,1236.若齐次线性方程组x1x2x30,有非零解 则常数（）

x1x2x30A.1 B.4 C.2

D.1 7.设A B均为n阶矩阵 则下列结论正确的是（）

A.BA AB B.(AB)2A2BA AB B2 C.(AB)(AB)A2B2

D.(AB)2A22 AB B2 8.已知1(1 0 0) 2(2 0 0) 3(0 0 3) 则下列向量中可以由1 2

3线性表示的是（）

A.(1 2 3)

B.(1 2 0)

C.(0 2 3)

D.(3 0 5)9.n阶方阵A可对角化的充分条件是（）

A.A有n个不同的特征值

B.A的不同特征值的个数小于n C.A有n个不同的特征向量

D.A有n个线性相关的特征向量

22210.设二次型的标准形为fy1，则二次型的正惯性指标为（）y23y3A.2 B.-1 C.1

D.3

参考答案: 1.A 2.C 3.D 4.B 5.A 6.A 7.B 8.D 9.A 10.A

1.设A是4阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=（）

A.16

B.-C.-32

D.32 3462.行列式k57中元素k的余子式和代数余子式值分别为（）

128A.20，-20 B.20，20

C.-20，20

D.-20，-20 273.已知可逆方阵A 则A1（）1327 B.27

C.37

D.37 A.131212134.如果n阶方阵A的行列式|A| 0 则下列正确的是（）

A.AO

B.r(A)> 0

C.r(A)< n

D.r(A)0 5.设A B均为n阶矩阵 则下列结论中正确的是（）

A.(AB)(AB)A2B2 B.(AB)kAkBk C.|kAB|k|A||B|

D.|(AB)k||A|k|B|k 6.设矩阵A nn的秩r(A)n 则非齐次线性方程组AXb（）

A.无解 B.可能有解

C.有唯一解

D.有无穷多个解 7.设A为n阶方阵 A的秩 r(A)rn 那么在A的n个列向量中（）A.必有r个列向量线性无关

B.任意r个列向量线性无关

C.任意r个列向量都构成最大线性无关组

D.任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出 8.已知矩阵A44的四个特征值为4，2，3，1，则A=（）

A.2 B.3 C.4

D.24 9.n阶方阵A可对角化的充分必要条件是（）

A.A有n个不同的特征值

B.A为实对称矩阵

C.A有n个不同的特征向量

D.A有n个线性无关的特征向量 10.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是（）A.A的秩为n

B.|A|0 C.A的特征值都不等于零 D.A的特征值都大于零

参考答案: 1.D 2.A 3.D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D

3461.行列式257中元素y的余子式和代数余子式值分别为（）

yx8A.2，-2

B.–2，2

C.2，2

D.-2，-2 2.设A B均为n(n2)阶方阵 则下列成立是（）A.|A+B||A|+|B| B.ABBA

C.|AB||BA|

D.(A+B)1B1+A1 3.设n阶矩阵A满足A22A E  则(A-2E)1（）

A.A B.2 A

C.A+2E

D.A-2E 11114.矩阵A2222的秩为（）

3333A.1 B.3 C.2

D.4 5.设n元齐次线性方程组AXO的系数矩阵A的秩为r 则方程组AX0的基 础解系中向量个数为（）

A.r

B.n-r

C.n

D.不确定 6.若线性方程组x1x22x31无解 则 等于（）xxx2231A.2 B.1 C.0

D.1

7.n阶实方阵A的n个行向量构成一组标准正交向量组，则A是（）A.对称矩阵

B.正交矩阵 C.反对称矩阵

D.|A|=n

8.n阶矩阵A是可逆矩阵的充要条件是（）

A.A的秩小于n B.A的特征值至少有一个等于零 C.A的特征值都等于零

D.A的特征值都不等于零

9.设1 2是非齐次线性方程组Ax=b的任意2个解 则下列结论错误的是（）A.1+2是Ax=0的一个解 B.11η1η2是Ax=b的一个解 22C.12是Ax=0的一个解

D.212是Ax=b的一个解

2210.设二次型的标准形为fy12y2，则二次型的秩为（）3y3A.2 B.-1 C.1 D.3

参考答案: 1.D 2.C 3.A 4.A

5.B 6.A 7.B 8.D 9.A 10.D

ab01.设Dba00，则a，b取值为（）

101A.a=0，b≠0

B.a=b=0

C.a≠0，b=0

D.a≠0，b≠0 2.若A、B为n阶方阵 且AB= O  则下列正确的是（）A.BAO

B.|B|0或|A|0 C.B O 或A O

D.(AB)2A2B2 3.设A是3阶方阵，且|A|2，则|A1|等于（）A.2 B.

C.2

D.224.设矩阵A B C满足ABAC 则BC成立的一个充分条件是（）

A.A为方阵 B.A为非零矩阵

C.A为可逆方阵

D.A为对角阵 5.如果n阶方阵AO 且行列式|A| 0 则下列正确的是（）

A.0

C.r(A)= n

D.r(A)0 7x18x29x306.若方程组x22x30存在非零解 则常数b（）

2xbx032A.2 B.4 C.-2

D.-4 7.设A为n阶方阵 且|A|0 则（）A.A中必有两行(列)的元素对应成比例

B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合

C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合D.A中至少有一行(列)的元素全为零

8.设A为3阶方阵 A的特征值为1

2

3则3A的特征值为（）

A.1/6 1/3 1/B.3 6 9

C.1 2

3D.1 1/2 1/3 9.如果3阶矩阵A的特征值为-1,1,2，则下列命题正确的是（）A.A不能对角化

B.A0

C.A的特征向量线性相关

D.A可对角化

22210.设二次型的标准形为fy1，则二次型的正惯性指标为（）y23y3A.2 B.-1 C.1

D.3

参考答案: 1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D 10.C

a111.如果a21a12a22a32a13a23a33a314a11=M，则4a214a31a11a12a21a22a31a32a13a23=（）a33A.-4M

B.0

C.-2 M

D.M

2.设Aij是n阶行列式D|aij|中元素aij的代数余子式 则下列各式中正确的是（）

A.aijAij0

i1n B.aijAij0

C.aijAijD

j1j1nn

D.ai1Ai2D

i1n2001003.已知A010，B221，则|AB|=（）

333301A.18 B.12 C.6

D.36 4.方阵A可逆的充要条件是（）

A.AO

B.|A|0

C.A*O

D.|A|1 5.若A、B为n阶方阵 A为可逆矩阵 且AB O  则（）

A.B O  但r(B)n B.B O  但r(A)n, r(B)n C.B O

D.B O  但r(A)n, r(B)n

6.设1 2是非齐次线性方程组AXb的两个解 则下列向量中仍为方程组 解的是（）

3β12β2A.1+2 B.12

C.1(β12β2)

D.257.n维向量组1 2   s线性无关 为一n维向量 则（）

A.1 2   s 线性相关

B.一定能被1 2   s线性表出

C.一定不能被1 2   s线性表出 D.当sn时 一定能被1 2   s线性表出 8.设A为三阶矩阵 A的特征值为2 1 2 则A2E 的特征值为（）A.2 1 2

B.-4-1 0

C.1 2 4

D.4 1-4 9.若向量α=（1，-2，1）与β=（2，3，t）正交，则t=（）

A.-2 B.0 C.2

D.4 1y210.若xz3正定 则x y z的关系为（）001A.x+yz

B.xyz C.zxy

D.zx+y

参考答案: 1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.C

3461.行列式257中元素x的余子式和代数余子式值分别为（）

yx8A.–9，-9

B.–9，9

C.9，-9

D.9，9

122.341333143415=（）34A.2 B.4 C.0

D.1 3.设A为4阶矩阵 |A|3 则其伴随矩阵A*的行列式|A*|（）A.3 B.81 C.27

D.9 4.设A B均为n阶可逆矩阵 则下列各式中不正确的是（）A.(A+B)TAT+BT

B.(A+B)1A1+B1 C.(AB)1B1A1

D.(AB)TBTAT 5.设n阶矩阵A满足A2+A+EO 则(A+E)1（）

A.A

B.-(A+E)

C.–A

D.-(A2+A)6.设n阶方阵A B  则下列不正确的是（）

A.r(AB)r(A)

B.r(AB)r(B)C.r(AB)min{ r(A)，r(B)}

D.r(AB)>r(A)

7.已知方程组AXb对应的齐次方程组为AXO，则下列命题正确的是（）

A.若AXO只有零解 则AXb有无穷多个解

B.若AXO有非零解 则AXb一定有无穷多个解

C.若AXb有无穷解 则AXO一定有非零解

D.若AXb有无穷解 则AXO一定只有零解 1018.已知矩阵A020的一个特征值是0 则x（）

10xA.1 B.2 C.0

D.3 1009.与A021相似的对角阵是（）

0121111A.Λ1 B.Λ2

C.Λ1 D.Λ1

333410.设A为3阶方阵 A的特征值为1

0

3则A是（）

A.正定 B.半正定 C.负定

D.半负定

参考答案: 1.C 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B

1.设A B都是n阶方阵 k是一个数 则下列（）是正确的。

A.若|A|0 则A O

B.|kA||k||A|

C.|AB||A||B|

D.|AB||A||B|

142.设A152332011141 则4A41+3A42+2A43+A44（）26A.0 B.1 C.2

D.3 3.若n阶方阵A的行列式为a 则A的伴随阵的行列式|A*|（）

D.an1 a4.设A B C 都是n阶方阵 且C可逆 则下列命题中（）是错误的。A.若ABC 则A与B都可逆

B.若ACBC 则AB

C.若ABCO 则A O或B O

D.若ACB 则A与B有相同的秩 5.设n阶矩阵A满足A3-A2+A-EO 则A1（）

A.A2-A +E B.-(A+E)

C.A2-A

D.-(A2-A +E)A.a

B.an

C.10106.矩阵A1204的秩为（）

2214A.1 B.3 C.2

D.4 7.设AXb是一非齐次线性方程组 1 2是其任意2个解 则下列结论错误 的是（）

11η1η2是AXb的一个解 22C.12是AXO的一个解

D.212是AXb的一个解 8.设A为3阶方阵 A的特征值为1

2

3则A 1的特征值为（）

A.2 1 3 B.1/2 1/4 1/6

C.1 1/2 1/3

D.2 1 6 9.n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是（）

A.A的不同特征值的个数小于n

B.A的线性无关特征向量个数小于n C.A有n个线性无关的特征向量

D.上述命题都不对 A.1+2是AXO的一个解

B.2210.设二次型的标准形为fy1，则二次型的秩为（）

y2A.2 B.-1 C.1

D.3

6.考研数学线性代数复习指南 篇六

考研学子备战考研的压力都比较大，在寒假期间都没有放弃学习的时间。数学作为考研考试中比较重点和难点的科目，很多考生都比较发愁，考研辅导专家为使20考研的学生能在寒假有目标、有方向的进行复习，特意作此文章，以供参考。

考研数学中高等数学内容庞杂，几天里根本完不成什么，概率统计内容是依赖与高等数学的，线性代数内容较少，而且多数内容不依赖于高等数学。因此从看、线性代数开始复习是比较好的选择。

一、复习依据

数学公式、数学考试大纲、数学复习参考书、十年考研真题解析。

二、复习重点

基本概念、基本理论、基本方法。

三、复习方法

1.针对考试大纲获悉线性代数的考试重点

历年考试大纲都会对考研数学的考试重点、难点做出指示，这是考生在复习之前必须做好的准备，有了他，就有了复习的.方向。

2.集中复习线性代数公式和原理

针对大纲中出现的重点和难点，考研学子可以回归复习教材，把基础公式、原理等相关知识进行系统的复习，重点大好基础。

3.适当做数学练习题

7.浅谈小学语文期末复习 篇七

1. 从目标计划上着手。

小学语文复习必须依据《语文课程标准》中本年段所要掌握的知识目标, 结合各年级学生对知识掌握的情况, 来确定复习目标。要求不降低, 也不要随意拔高。复习前就要制定好一个切实可行的计划, 计划内必须有实事求是的学情分析, 明确清晰的复习目的, 复习进程的时间安排, 具体详细的复习内容, 实用有效的复习方法。这个计划应该是体现“精、活、新、实”, 突出了重点和难点的。由于复习的时间较短, 复习不可能面面俱到触及每个知识点, 有些知识点平时新授课上就已经学得很扎实了, 就可以放一放。在制定复习计划时, 要求语文教师要掌握本班学生的实际情况, 学生懂了的, 掌握了的就一笔带过, 把力气用在那些对知识掌握的薄弱点上, 甚至盲点上。

2. 从方式方法上着手。

小学语文复习一般有两种方式。一种是以单元整体知识为内容的复习方式;一种是以所学的教材知识进行归类的复习方式。以单元整体知识为内容的复习, 就是一个单元一个单元进行复习, 把本单元所学的字、词、句、段、篇、点的知识梳理整合进行复习。以所学的教材知识进行归类复习, 就是把知识归类。如:低年级可按照拼音、识字写字、词语、句子 (理解句意, 说话、写话) 来复习。中高年级可以按照基础知识、阅读理解、口语习作来复习。不管教师用哪种复习方式, 复习方法要跟上去。例如:中高年级的习作复习, 要根据教材中单元写作目标任务, 重在教给学生写作的方法。如何记事, 如何写人, 如何写景状物, 如何写应用文等。还可以根据单元习作要求, 搜集与单元习作要求相符的优秀作文数篇在班上展示出来, 同一个作文题目展示多篇, 教师写好作文评语, 让学生对比, 学习写作方法。使学生从中受到启发和帮助。也可以把学生自己的习作公示出来, 让全班学生评价, 写出评语, 促使学生共同提高写作水平。又比如:中高年级的阅读理解的复习, 可以教给学生一些方法, 怎样理解词语的意思, 怎样理解含意深刻的句子的意思, 怎样归纳文章的主要意思, 怎样划分段落并写好段意, 怎样概括中心思想等等。再利用课文后的独立阅读课文以及搜集一些阅读理解的文章进行练习, 练后进行评价, 看谁运用的方法好, 理解得透。还有中高年级的词语复习, 可把一册的成语集中起来复习, 采用一节课一网打尽的办法来复习。再如低年级的识字写字的复习, 可集中抓住那些难记难写易忘的字来复习, 把这些字展示出来, 让学生自己交流识记的方法, 做到同伴互助, 巩固知识。复习的方法是多种多样的, 只要教师们不断创新方法, 复习就一定会有显著的成效。

3. 从时间安排上着手。

只有把握好了复习时间, 才能按时完成复习任务。以四年级语文下册为例, 有8个单元, 复习的时间一般为2~3周, 按单元复习方式算, 每个单元也只有2~3节课。这就要求教师加大课堂复习容量, 根据教材知识抓准重点难点, 切忌平均使用力气。不仅如此, 教师要在复习课前对复习的内容进行精心的选择, 提前做好复习课的准备。有条件的学校教师可运用多媒体进行复习教学, 发挥多媒体教学容量大, 节奏快的优势, 节约课堂教学时间, 用最少的时间复习更多的内容。没有多媒体的学校, 教师事先要把复习的内容用小黑板或白纸写出来, 做好准备, 加大复习的量, 更好地完成复习任务。

4. 从居高临下着手。

复习要居高临下, 这就是除了复习本年级所学知识, 还要关注以下年级的所学知识的复习。如六年级是毕业班, 不仅要把本年级教材的知识复习好, 还要兼顾1—5年级教材中的知识, 使毕业班全面掌握小学阶段所学的知识。

5. 从自主开放上着手。

复习课要改变过去那种教师“一言堂”的现象, 把更多的时间和空间还给学生, 要实施开放式教学, 即让学生自主选择复习的内容和形式, 自己总结复习的方法。教师的任务在于“宏观调控”, 把握复习的方向和进度, 进行适时的引导和点拨等。复习时, 要留出一段时间, 把复习的主动权还给学生, 如复习生字:“你认为哪些字比较难记, 难写, 应重点复习哪些字;你愿意怎么复习就怎么复习, 可以反复练, 可以同桌合作听写, 也可以出一份自测题。”复习阅读部分:“自己从课外读物中找一篇文章, 想想能提出哪些问题, 这些问题该怎样回答, 然后在小组内交流。”复习完整册教材后, 让学生每人出一份测试题, 在班内互相检测。这样的开放式复习, 学生自身受益, 全班其他同学也受益, 教师也了解到更多的学情信息, 使指导更具针对性, 更有实效。

6. 从讲练结合上着手。

在复习阶段, 教师的讲要适当地淡化, 不能像平时那样讲得那么扎实, 要注重讲练结合。在讲的方面重在指导学生练, 重在教给学生方法, 不练是考不出好成绩的。训练题要避免过多过滥, 打疲劳战, 训练题要突出“精、活、实”。学生练习后要及时检查讲评, 要充分发挥小组、同桌相互学习的作用, 让他们互评互改, 自查自纠。教师要对差生给予极大的关注, 要成立班级学科帮扶小组, 几个成绩好的学生帮助一个成绩差的学生, 努力缩小差生面, 提高班级学生的整体成绩。

7. 从应试能力上着手。

提高学生的应试能力和学业成绩是复习教学的追求。素质教育和学生考高分不矛盾, 素质教育更需要学生考高分。学生的应试能力也是一种基本素质, 考高分更是学生的基本素质的具体体现。学习是应该有所收获的劳动, 学习需要付出艰辛的努力甚至是汗水, 学习更需要良好甚至是优秀的学业成绩。没有学业成绩的学习是无效劳动, 学生较好的学业成绩也是学校办学效益的体现之一。复习是为了更好地、充分有效地提高学生学业成绩, 它能缩短同一集体、单位内学生之间的差距, 使学生整体学业成绩更趋于平衡, 达到—个新的高度。

现阶段小学的试卷的命题一般分两大段, 一是低段 (1—2年级) 。按照拼音、字、词、句来命题, 试卷后一题一般都会出现看图写话的考题。二是中高段 (3—6年级) 。按照基础知识 (拼音、字、词、句、段、点) 、阅读理解、习作来命题。每年试卷中的试题的题型都会有所变化。教师可以根据上级教研部门有关复习的指导性意见的信息, 以及往年试卷命题的情况, 把握新学期期末试卷的命题趋势。复习中, 根据试卷的命题结构, 选择一些新的题型提前让学生接触, 特别是低年级的学生在考场上对新题型的题意一时难以弄懂, 本来是可以做对的, 结果答错了。因此掌握新信息, 让学生熟悉试卷命题结构和一些新题型, 对学生把握考试要点, 训练学生的审题能力是很有必要的。对提高学生的应试能力很有帮助。

8. 从营造氛围上着手。

复习这个阶段要在师生间努力营造轻松愉悦浓厚的学习氛围。不要给学生太大的压力, 要给学生适量的学习任务。有的教师为了使学生考出好成绩, 就加大了训练任务, 搞题海战术。甚至与同班其他学科教师争课上。争学生的课余时间, 语文教师布置了复习训练作业, 数学等学科的教师也进入了复习阶段, 也布置了复习作业, 语文教师要学生听他的, 数学等学科的教师又要学生听他们的, 搞得学生无所适从, 教师之间的关系不够和谐。这就要求同年级教师要协调好, 因为大家都进入了复习阶段, 在复习期间, 学生练习的时间都要统筹安排, 要不然就显得很乱, 学生也喘不过气来。在这个时候, 语文教师更要胸怀全局, 和其他学科的教师一道共同做好复习工作。复习时要激发学生的兴趣, 紧松有度, 太抓紧了, 练习题不断加码, 学生受不了;太松了, 任务又完不成, 要抓重点, 抓难点, 这样复习才有效。

9. 从自身心态上着手。

复习阶段教师自身要有一个良好的精神状态。让复习课堂天天有教师的好心情。每个人都有烦心事, 有来自家庭的, 有来自社会上的。教师有了烦恼也要调整心态, 再进入复习课堂。用教师的宽容、开朗、乐观、向上的心态去面对自己的学生。决不能把自己的烦恼转嫁给课堂上复习的孩子们。

8.《四边形性质探索》期末复习题 篇八

1. 国旗上每个五角星（）.

A． 是中心对称图形而不是轴对称图形

B． 是轴对称图形而不是中心对称图形

C． 既是中心对称图形又是轴对称图形

D． 既不是中心对称图形又不是轴对称图形

2. 如图1，ABCD中，∠A的平分线AE交CD于点E，AB=5，BC=3，则EC的长为（）.

A. 1B. 1.5C. 2D. 3

3. 如图2，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若AE=9，AF=12，且ABCD的周长为56，则ABCD的面积为（）.

A． 100 B． 160 C． 120 D． 144

4. 当一个多边形的边数增加1时，它的外角和增加（）.

A. 180° B. 0° C. 720°D. 360°

5. 等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与长底的夹角为（）.

A. 120° B. 60° C. 45° D. 135°

6. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前.如图3所示，红丝带重叠部分形成的图形是（）.

A.正方形B. 等腰梯形C. 菱形D. 矩形

7. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某学习小组的4位同学各自拟定的方案，其中正确的是（）.

A． 测量门框对角线是否互相平分

B． 测量门框两组对边是否分别相等

C． 测量门框一组对角是否都为直角

D． 测量门框中的三个角是否都为直角

8. 剪掉多边形的一个角，则所成的新多边形的内角和（）.

A. 减少180° B. 增加180°

C. 减少所剪掉的角的度数 D. 增加180°，或减少180°，或不变

二、填空题（每小题5分，共40分）

9. 在ABCD中，AB=AC，∠B=70°，则∠ACD=.

10. 梯形的高为5 cm，中位线为14 cm，则此梯形的面积为.

11. 如图4，四边形ABCD中，AB＝CD，请你添加一个适当的条件：，使四边形ABCD为平行四边形.

12. 从n边形（n＞3）的一个顶点出发可以画条对角线，这些对角线把n边形分成个三角形.

13. 菱形的边长为5 cm，相邻两内角度数之比为2∶1，则此菱形较短的对角线的长为.

14. 如果一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，那么这个多边形是边形.

15. 如图5，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为.

16. 如图6，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为.

三、解答题

17.（10分）若把一个多边形的边数减少一半后，它的内角和是1 080°，求原来多边形的内角和.

18. （10分）如图7，点E、F是ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.

试说明：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥FD.

19. （14分）如图8，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE⊥BC于点E，AE=BE，BF⊥AE于点F.请你判断线段BF与图中的哪条线段相等.先写出你的猜想，再说明理由.

（1）猜想：BF=.

（2）说明理由.

20. （14分）如图9，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的补角的平分线CF于点F，交∠BCA的平分线CE于点E.

（1）求证：OE=OF.

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由.

9.线性代数二次型习题及答案 篇九

二次型

B1与合同.AB22

证：因为A1与B1合同，所以存在可逆矩C1，使B1C1TAC11，1．设方阵A1与B1合同，A2与B2合同，证明T

因为A2与B2合同，所以存在可逆矩C2，使B2C2A2C2.A

1令

CC1，则C可逆，于是有 C2T1C1B1C1TACA1C11

TBC2A2CAC2222A1B1即

与合同.AB22

2．设A对称，B与A合同，则B对称

证：由A对称，故AA.因B与A合同，所以存在可逆矩阵C，使BCAC，于是

TTAT1CC2CA2BT(CTAC)TCTATCCTACB

即B为对称矩阵.3．设A是n阶正定矩阵，B为n阶实对称矩阵，证明：存在n阶可逆矩阵P，使PTAP与PTBP均为对角阵.证：因为A是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M，使

MTAME

记B1MBM，则显然B1是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q，使 TQTB1QDdiag(1,,n)

其中1,,n为B1MTBM的特征值.令P=MQ，则有

PTAPE,PTBPD

A,B同时合同对角阵.4．设二次型f(ai1mi11令A(aij)mn，则二次型f的秩等于r(A).xainxn)2，证：方法一

将二次型f写成如下形式：

f(ai1x1aijxjainxn)2

i1m设Ai=(ai1,,aij,,ain)

(i1,,m)

·107· a11a1ja1nA1则

Aai1aijainAi

am1amjamjAmA1mTTTT于是

AA(A1,,Ai,,Am)AiAiTAi

i1Amai1mm22故

f(ai1x1aijxjainxn)=[(x1,xj,xn)aij]

i1i1ainai1x1x1mmT

=[(x1,xj,xn)aij(ai1,aij,ain)xj]=(x1,xj,xn)(AiAi)xj

i1i1axxinnn

=X(AA)X

因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然TTTTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．

T方法二

设yiai1x1ainxn,i1,,n.记Y(y1,,ym)，于是

YAX，其中X(x1,,xn)T，则

2fyi2y12ymYTYXT(ATA)X.i1m

因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然TTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．

T

5．设A为实对称可逆阵，fxAx为实二次型，则A为正交阵可用正交变换将f化成规范形.证：设i是A的任意的特征值，因为A是实对称可逆矩阵，所以i是实数，且i0,i1,,n.因为A是实对称矩阵，故存在正交矩阵P，在正交变换XPY下，f化为标准形，· ·108即

fXTAXYT(PTAP)YYTDYYTdiag(1,,i,,n)Y

21y1

（*）iyi2nyn

因为A是正交矩阵，显然DPTAPdiag(1,,i,,n)也是正交矩阵，由D为对角实矩阵，故i21即知i只能是1或1，这表明（*）恰为规范形.因为A为实对称可逆矩阵，故二次型f的秩为n.设在正交变换XQY下二次型f化成规范形，于是

22YDY

fXTAXY(QTAQ)Yy1yr2yr21ynT其中r为f的正惯性指数，Ddiag(1,,1,1,,1).TT

显然D是正交矩阵，由DQAQ，故AQDQ，且有AAAAE，故ATT是正交矩阵.6．设A为实对称阵，|A|0，则存在非零列向量ξ，使ξTAξ0.证：方法一

因为A为实对称阵，所以可逆矩阵P，使

PTAPDdiag(1,,i,,n)

其中i(i1,,n)是A的特征值，由|A|0，故至少存在一个特征值k，使k0，0取ξP1，则有

0100TT1k0 ，1,0,0)k

ξAξ(0,,1,,0)PAP1(00n0

方法二（反证法）

T

若X0，都有XAX0，由A为实对称阵，则A为半正定矩阵，故|A|0与|A|0矛盾.222

7．设n元实二次型fXAX，证明f在条件x1x2xn1下的最大值恰T为方阵A的最大特征值．

解：设1,2,,n是f的特征值，则存在正交变换XPY，使 fXTAXYT(PTAP)Y1y122y2nyn设k是1,2,,n中最大者，当XXx1x2xn1时，有

·109·

T22222XTXYTPTPYYTYy12y2yn1

因此

2222f1y122y2nyn k(y12y2yn)k

222这说明在x1=1的条件下f的最大值不超过k． x2xn

设

Y0(y1,,yk,,yn)T(0,,0,1,0,.0)T 则

Y0TY01

222f1y122y2kyknynk

令X0PY0，则

TX0X0Y0TY1

并且

Tf(X0)X0AX0Y0T(PTAP)Y0k

222这说明f在X0达到k，即f在x1x2xn1条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值．

8．设A正定，P可逆，则PAP正定.证：因为A正定，所以存在可逆矩阵Q，使AQTQ，于是

PAPPQQP(QP)QP，显然QP为可逆矩阵，且 TTTTT(PTAP)T(QP)TQPPTAP，即PTAP是实对称阵，故PTAP正定.9．设A为实对称矩阵，则A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使AB+BA正定．

证：先证必要性

取BA，因为A为实对称矩阵，则 1TABBTAE(A1)TA2E

当然ABBA是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．

若A不是可逆阵，则r（A）

因为A是实对称矩阵，B是实矩阵，于是有

TTTX0(ABBTA)X0(AX0)TBX0X0B(AX0)0

这与ABABBA是正定矩阵矛盾．

10．设A为正定阵，则AA3A仍为正定阵.证：因为A是正定阵，故A为实对称阵，且A的特征值全大于零，易见A,A,A2*1AA3A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故A,A,A全是正定矩阵，2*T2*12*11为实对称阵.对X0，有

XT(A2A*3A1)XXTA2XXTA*XXTA1X0

· ·110

即

AA3A的正定矩阵.11．设A正定，B为半正定，则AB正定.T

证：显然A,B为实对称阵，故AB为实对称阵.对X0，XAX0，2*1XTBX0，因XT(AB)X0，故AB为正定矩阵.12．设n阶实对称阵A,B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，则AB正定.证：设A,B的特征值分别为i,i(i1,,n).由题设知i0,i0,i1,,n.PTAPdiag(1,,i,,n)

为PiA的特征向量，i1,,n.因为A是实对称矩阵，所以存在正交矩阵P(P1,,Pi,,Pn)，使 即

AP,iiiP

由已知条件Pi也是B的特征向量，故

BPiiPii1,i,,n

因此

ABPiAiPi(ii)Pi，这说明ii是AB的特征值，且ii0，i1,,n.又因为

ABPPdiag(11,,ii,,nn),PTP1.故

ABPdiag(11,,ii,,nn)P，显然AB为实对称阵，因此AB为正定矩阵.13．设A(aij)nn为正定矩阵，b1,b2,,bn为非零实数，记

B(aijbbij)nn

则方阵B为正定矩阵．

证：方法一

因为A是正定矩阵，故A为对称矩阵，即aijaji，所以aijbibjajibjbi，这说明B是对称矩阵，显然

a11b21abb1anbb1221n1b10a11a1nb102abbababb2121222n2n2

B= 0baa0bnn1nnnabbabbabbnnnnn1n1n2n1

对任给的n维向量X(x1,,xn)0，因b1,b2,,bn为非零实数，所以

T(b1x1,,bnxn)T0，又因为A是正定矩阵，因此有

b10a11a1nb10TT

XBXXX

0baa0bnn1nnna11a1nb1x1

=(b1x1,,bnxn)0

aabxnnnnn1即B是正定矩阵．

·111·

方法二

记

a11b12a12b1b2a1nb1bnabbab2abb2n2n B2121222abbabbabbnnnnn1n1n2n1则因为A是实对称矩阵，显然B是实对称矩阵，b10

B的k阶顺序主子阵Bk可由A的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵而

0bn得到，即

b10a11a1kb10Bk

0baa0bkk1kkk计算Bk的行列式，有

Bkbi2Ak0

i1n故由正定矩阵的等价命题知结论正确．

14．设A为正定矩阵，B为实反对称矩阵，则AB0.证：因为M是n阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n阶实矩阵M，如果对任意非零列向量X，均有

XTMX0

可推出M的特征值(或者其实部)大于零． 由于M的行列式等于它的特征值之积，故必有M0 ．

因为A是正定矩阵，B是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X，均有

XT(AB)X0,而A+B显然是实矩阵，故AB0.T

15．设A是n阶正定矩阵，B为nm矩阵，则r(BAB)=r(B)．

T

证：考虑线性方程组BX0与BABX0，显然线性方程组BX0 的解一定是BTABX0的解．

TT

考虑线性方程组BABX0，若X0是线性方程组BABX0的任一解，因此有BTABX00．

上式两端左乘X0有 T(BX0)TA(BX0)0

· ·112

T

因为A是正定矩阵，因此必有BX00，故线性方程组BX0与 BABX0是同解方程组，所以必有r(BAB)= r(B).16．设A为实对称阵，则存在实数k，使|AkE|0.证：因为A为实对称阵，则存在正交矩阵P，使 TP1APdiag(1,,i,,i).其中i为A的特征值，且为实数，i1,,2.于是

APdiag(1,,i,,n)P1

1k

|AkE||P|ik|P|(ik)

1i1nnk取kmax{|i|1}，则1in|(k)0，故

|AkEii1n0.17．设A为n阶正定阵，则对任意实数k0，均有|AkE|kn.证：因为A为正定矩阵，故A为实对称阵，且A的特征值i0,i1,,n.则存在正交矩阵P，使

11,PAPin于是对任意k0，有

1k|P|

|AkE|1P1 APinikP|1|(ik)kkn.i1i1nnnk

18．设A为半正定阵，则对任意实数k0，均有|AkE|0.证：因为A为半正定矩阵，故A为实对称矩阵，且A的特征值i0，i1,,n.则存在正交矩阵P，使

PAPdiag1(,于是对任意k0，有

|AkE|P||dia1g(k,ik, 1i,,n,，A)Pdiag(1,,i,,n)P1

n,k,P1|(|ik)kn0.)i1n·113·

19．A为n阶实矩阵，为正实数，记BEAA，则B正定.T

证：BT(EATA)TEAAB，故B是实对称矩阵.T

对X0，有(X,X)0,(AX,AX)0，因此有

AX(X,X)AX(AX,)0

XTBXXT(EATA)XXTXXTAT故

BEAA为正定矩阵.20．A是mn实矩阵，若AA是正定矩阵的充分必要条件为A是列满秩矩阵．

证：先证必要性

方法一

设AA 是正定矩阵，故X00，有

TX0(ATA)X0(AX0)T(AX0)0

由此AX00，即线性方程组AX0仅有零解，所以r(A)=n，即A是列满秩矩阵． TTT方法二

因为AA 是正定矩阵，故r(AA)=n，由于 TTnr(ATA)r(A)n

所以r(A)=n． 即A是列满秩矩阵．

再证充分性：因A是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，X0，X为实向量，有AX0．因此

XT(ATA)X(AX)T(AX)(AX,AX)0

显然AA 是实对称矩阵，所以AA 是正定矩阵．

21．设A为n阶实对称阵，且满足A6A4E0，则A为正定阵.证：设为A的任意特征值，ξ为A的属于特征值的特征向量，故ξ0，则

2TTAξξ,2A2ξ2ξ

由

A6A4E0

有

Aξ6Aξ4ξ0

2(264)ξ0 2由

ξ0，故

640.350.因为A为实对称矩阵，故A为正定阵.22．设三阶实对称阵A的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为ξ1(1,0,0)T,ξ2(0,1,1)T，求一正交变换XPY，将二次型fXTAX化成标准形.解：设ξ3(x1,x2,x3)T为A的属于特征值3的特征向量，由于A是实对称矩阵，故ξ1,ξ2,ξ3满足正交条件

1x10x20x30 0x1x1x0231

解之可取ξ3(0,1,1)，将其单位化有

· ·11

411T11T,),P3(0，)222210011

令

P(P1,P2,P3)0.2211022则在正交变换XPY下，将f化成标准形为 P1(1,0,0)T,P2(0,22 fXTAXYT(PTAP)Yy122y23y

323．设

122A24a

2a42二次型fXTAX经正交变换XPY化成标准形f9y3，求所作的正交变换.2解：由f的标准形为f9y3，故A的特征值为120,39.1故

|EA|22a2(9)

422214a2

令0，则

2解之

a4.4a0 2a4122由此

A244

244

对于120有

122122

0EA244000

244000可得A的两个正交的特征向量

22ξ12,ξ21

12

·115·

1对于39，可得A的特征向量为2

2将特征向量单位化得

221111P12,P21,P32

3331222211则P(P1,P2,P3)212为正交矩阵，31222211正交变换XPY为X212Y.3122

注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P不惟一.222

24．已知二次型fx12x2(1k)x32kx1x22x1x3正定，求k.解：二次型的表示矩阵

11kAk20

101k1k20k20由A正定，应有A的各阶顺序主子式全大于0.故 k2，即.2|A|0k(kk2)0解之

1k0.222

25．试问：三元方程3x13x23x32x1x22x1x32x2x3x1x2x30，在三维空间中代表何种几何曲面.222

解：记f3x13x23x32x1x22x1x32x2x3x1x2x3

311x1x1则

f(x1,x2,x3)131x2(1,1,1)x2

113xx33311

设

A131.1132则|EA|(2)(5).故A的特征值为122,35.· ·116

对于122，求得特征向量为

1ξ11,0由Schmidt正交化得

1ξ20.11β11,0121β2.211对于35得特征向量ξ31，标准化得

1111632111P1,P,P23 26321063111263111

令

P(P1,P2,P3)

63221063则在正交变换XPY下

22f2y122y25y33y3

于是f0为

22y122y25(y3323) 102022为椭球面.26．求出二次型f(2x1x2x3)(x12x2x3)(x1x22x3)的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有

·117·

222222

f4x1x2x34x1x24x1x32x2x3x124x2x34x1x22x1x34 2x3x222

x1x24x32x1x24x1x34x2x3

22222

6x16x26x36x1x26x1x36x2x36(x12x2x3x1x2x1x3x2x3)

1132323119x2x3)2x2x3x2x3]6(x1x2x3)2(x2x3)2 2244222211yxx11222x3

令

y2x2x3

yx33111y122x111即

y20x2 y001x33

6[(x1则可逆变换为

1x1x20x03在此可逆线性变换下f的标准形为

112y111y2 01y392y2.2f6y12

27．用初等变换和配方法分别将二次型

222

（1）f1x13x22x44x1x24x1x42x2x4

（2）f22x1x26x2x32x1x3

化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换.解：先用配方法求解

（1）f1(x14x1x24x1x4)3x22x42x2x4

(x12x22x4)x26x46x2x4(x12x22x4)(x23x4)3x4 222222222y1x12x22x4yx3x224

令



即

yx33y4x4x1y12y24y4xy3y224 xy33x4y4 · ·118

12040103

令

P00100001

则二次型f经可逆线性变换xPy化成标准形 f1y12y23y4y1z1z1y1yzzy2222

若再令 

即 y3z3 zy33y3zz3y4444311

令

Q133222则原二次型f1经可逆线性变换xPQz化成规范形f1y1.y2y4x1y1y2

（2）先线性变换x2y1y2

xy33原二次型化成

2222

f22(y1y2)6y1y36y2y32y1y32y2y32y12y24y1y38y2y3

222

2(y1y3)22y2 2(y1y3)22(y22y3)26y38y2y32y3z1y1y3y1z1z3110101

令z2y22y3，即y2z22z3.令P1110，P2012

zyyz0010013333则原二次型f2经可逆线性变换xP1P2z化成标准形 f22z122z26z3z1w12z1

若再令w22z2

即 z2w6z33z3

2w122w2 26w36·119·

222

令

Q

266则原二次型f2经可逆线性变换xP1P2Qw化成规范形

22.f2w12w2w3

用初等变换法求解

1223

（1）设A00211223

(AE4)00210201

0002***02010002000***0010r22r100c22c1021010r43r20c43c20001000100 01033030103010002100***000***1000 0100 0110r4(2)r101

c4(2)c1000310101r3300

1c3300120200001T4330001010021002100

令

P1，P20010

001034304313033222则原二次型f1经过可逆线性变换xP1y化成标准形f1y1y23y3.二次型经过可逆线性变换xP2z化成规范形f1z1z2z4.· ·120

222T011

（2）设A103

1301100010r3(1)r203010c3(1)c21

(AE3)113000101003360010 0111001

r33r1c33c101010010001021r1r2c1c210000063110063200110

r12(2)r1111c1002(2)c12220 00631110011201

2r121,2c112r2,2c010162220 6r23,6c300162666611T0110T

令 P112210，P11202222311662666则原二次型f2经过可逆线性变换xP1y化成标准形

f2y2122212y26y3

二次型经过可逆线性变换xP2z化成规范形

f2222z1z2z3

28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）f22212x13x24x2x33x3

（2）f22222x1x2x3x42x1x22x1x42x2x32x3x4

解：先用配方法求解

001011 121· · 42522x2x3)3x32x123(x2x3)2x3 333y1x1x1y122

令 y2x2x3

即 x2y2y3

33y3x3x3y31002

令

P01

3001

（1）f12x13(x222则二次型f1经可逆线性变换xPy化成标准形

2f12y123y252y3 32z1y12z12y13z2

若再令 z23y2

即 y2315z15y33yz3335223

令

Q

3155原二次型f1经可逆线性变换xPQz化成规范形

22.f1z12z2z3

（2）f2(x12x1x22x1x4)x2x3x42x2x32x3x4

(x1x2x4)2x32x2x32x3x42x2x4 2

(x1x2x4)2(x3x2x4)2(x22x4)23x4 2222y1x1x2x4yx2x224

令



即

y3x2x3x4y4x4 · ·122

x1y1y2y4xy2y224 x3y2y3y4x4y411010102

令

P0111

0001则二次型f2经可逆线性变换xPy化成标准形

f2y223y22y12y34 z1y1y1z1

若再令 z2y2

即 y2z2zy 3y

33z3z43y4y433z411

令

Q1 33

原二次型fPQz化成规范形f22222经可逆线性变换x2z1z2z3z4.用初等变换法求解

20

（1）设A0032

02320010200100

(AE03)032010r(233)r2c(203001030230013)c25200303110010012

12r112c10100103r1 23c21535r1535c3215150010155 123· · 101

令 P1020300,1TP212000132151500 15522T则原二次型f1经过可逆线性变换xP1y化成标准形f12y13y2222可逆线性变换xP2z化成规范形f1z1.z2z352y3.二次型经过311011110

（2）设A011110111011000111100100

(AE4) 011100101011000110011000100010011110000111r2(1)r1r4r1

c2(1)c101110010c4c101110111100010110110001000100010011110000011r3r2r3r4

c3c201121110c3c400320012010010120110001000100010001110002010r3(2)r2r2r4

c3(2)c200302111c2c400302010010010100110001000020001011r4()r22

00302111 1c4()c2211110000222 · ·124

000100

010001000100

111001000101

1110011011r2c222

110r3c3332r42c40***01233220033000101120

令 P12333

33312202212222fy2y3yy4.f2可则原二次型f2可经可逆线性变换xP化成标准形y212312经可逆线性变换xP2z化成规范形

222 f2z12z2z3z41T0000101

P22311131102220123 32200102T用正交变换法求解

200

（1）f1的矩阵为A032，023200由

|EA|知A的特征值为1,2,5.00322(1)(2)(5)，3100x10x100对11，解022x20，得x2k1，取T11，单位化

1022x0x1330000x10x1112P0xk0P1，对22，解012x，得，取220，220x002013x322

·125· 0x1030对35解022x20，得022x03x100xk1T 取321，单位化得1x13P30022，令 P22222210002，则P为正交阵，经正交变换XPY，222222原二次型f化为fXTAXy1.2y25y311011110

（2）f2的矩阵为

A0111101111011110由

|EA|(1)(3)(1)2

01111011知A的特征值为1,3,1,1.x12101x1011xx12100122, 得

k，取T1对11，解1x3011121x301x1x1012044122112单位化得P1对23，解，01211210210x1010x2021x3012x401, 得 x11x2k1.x311x4 · ·126

121

取

T1122

1单位化得 P21.1212

对341，解

0101x1x1101001x0x0202,得

01011010x3x0xk1k1 312040x4011

取

T300,T41，1001202

再令

P023,P2240 22021122220112

令 P2202112，则P为正交阵，经正交变换XPY，02221122022原二次型f化为

fXTAXy222213y2y3y4.29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）f22212x26x24x32x1x22x1x3

127· ·

解：二次型f1的矩阵为

121A160

104A的各阶顺序全子式

20,21162110,111160380.04所以二次型f1是负定二次型.2222

（2）f2x13x29x319x42x1x24x1x32x1x46x2x412x3x4

解：二次型f2的矩阵为

11211303 A209613619A的各阶顺序主子式

112111211130310,20，13060，240

13209620913619所以二次型f2是正定二次型.2222

（3）f3x1x214x37x46x1x34x1x44x2x3

解：二次型f3的矩阵为

103012A3214200A的各阶顺序主子式

20 0720330.0710,1031001210，01210，0132143214200103所以二次型f3是不定二次型.222

30．求一可逆线性变换XCY，把二次型f12x15x24x32x1x24x1x3化成 · ·128规范形fy22y211y23，同时也把二次型 f322x222x213x232x1x32x1x34x2x3 化成标准形f2222k1y1k2y2k3y3.解：记f1XTAX，其中

A212150204

200212150091rA2043r1r1r12012E10022 c3c1c12c11112010001201000120000911000r11022162001025r2039r29r2331c23669c21110r34c112229212c2230c301343690010304125266取 P02136，则PTAPE 004记

fT2XBX，其中

129· ·

3012B032

12210021253120266则 BT22032211PBP063 01223651336640043111220212526634422

25242021132636444 1112300341212242312

141321B2 2224其中

B3122132 222显然B都是实对称矩阵，它们的特征值为11,B24倍的关系，特征向量相同.3120(33)12(4)

|EB2|1321(3)2(42)22202(4)4则B2的特征值为0,234，故B1的特征值为0,1,1.以下求B2的特征向量.·130 ·

0112211

对于10，求得α1，单位化后122 1122

对于1α234，求得α21,300

1

由Schmidt标准正交化后得

121212132,

0212111222

令

Q(111,2,3)2122.11202

则Q为正交矩阵，且有

0QTB(PTBP)Q11QQT

112511266121222

令 CPQ121023161222312213004102242于是

QTPTAPQQTEQE

27362131620342131· · 即

CACE

T0CTBC1

1在可逆线性变换XCY下 f1y12y2y322.f2y2y3（注：经验算本题所得C是正确的，需要注意的是C并不惟一）

31．求一可逆线性变换XPY，将二次型f化成二次型g.22f2x129x23x38x1x24x1x310x2x3

22g2y123y26y34y1y24y1y38y2y3

42222295，gYTBY，B234

解：fXTAX，A4253246 将A,B分别作合同变换如下：

24220020049501101022r1011rr000A253rr3r132

c22c1 c3c2E100c3c1121121010010011001001001

在可逆线性变换XC1Z下 f2z12z2121C1011

0012204012r1026rr3r12c10cc3c111010001

其中

2223B24E10010022在可逆线性变换YC2Z下g2z1z2.· ·132

02204r3r201c3c210001010110000 121111其中

C2012

0011由

ZC2Y得

1XC1ZC1C2Y

12111113611012003令

PC1C201

00100100122在可逆线性变换XPY下fg2z1.z2

32．A是正定矩阵，AB是实对称矩阵，则AB是正定矩阵的充分必要条件是B的特征值全大于零．

证：先证必要性．

设 为B的任一特征值，对应的特征向量为X,则X0, 且有

1BXX

用XA左乘上式有 TXT(AB)XXTAX

因为AB，A都是正定矩阵，故

XT(AB)X0,于是0，即B的特征值全大于零．

再证充分性．

XTAX0

因为A是正定矩阵，所以A合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P，使

PTAPE

（1）

由AB是对称矩阵，知P(AB)P也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q，使 TQT[PT(AB)P]QDdiag(1,,i,,n)

（2）

即有

(QPA)B(PQ)Ddiag(1,,i,,n)

（3）

其中1,,i,,n是P(AB)P的特征值．

在（1）的两端左乘Q，右乘Q有 TTTTQT(PTAP)QE即(QTPTA)(PQ)E

TT这说明(QPA)与(PQ)互逆，也就是说

(QTPTA)(PQ)1

将上式代入（3），说明矩阵B与对角阵D相似，故它们的特征值相等；由条件知B的特征值全大于零，因此对角阵D的特征值也全大于零． 由（2）知AB与D合同，因此AB的特征值全大于零．

·133·

T

33．设A,B为n阶实正定阵，证明：存在可逆阵P，使PAPE且PTBPdiag(1,2,,n)，其中12n0为|AB|0的n个实根.证：因A正定，故存在可逆矩阵P1，使

TP1AP1E

因B正定，故存在可逆矩阵P2，使

BP2TP2

于是

TTTTP1BP1P1P2P2P1(P2P1)(P2P1)

易见P1BP1为正定矩阵，不妨设它的特征值为 T12n0.TTTT则

|EPBP||PAPPBP||P|111111|AB||P1|

T故

|EP1BP1|0|AB|0 即

12n0为|AB|0的几个实根.由

P1BP1为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使

TQT(P1BP1)Qdiag(1,2,,n)T

令

PP，则 1Q

PTAPE,PTBPdiag(1,2,,n)

34．设A为n阶实正定阵，B为n阶实半正定阵，则|AB||A|.证：因为A是n阶正定矩阵，所以存在n阶可逆矩阵C，使得

CTACE.T

因为B是n阶半正定阵，则CBC仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q，使得

Q1(CTBC)QQT(CTBC)QDdiag(1,,i,,n)

其中 i0,i1,n,为CTBC的特征值，且有

QT(CTAC)QE

令PCQ，则P为可逆矩阵，于是

PTAPE,PTBPD

PT(AB)PPTAPPTBPED

上式两端取行列式，得

|P||AB||P||ED|(1i)1|PT||A||P| Ti1n因

|P||P|0，故

|AB||A|.35．设A,B均为实正定阵，证明：方程|AB|0的根全大于0.证：由33题知|EP1BP1|0|AB|0.其中P1BP1为正交矩阵，它的特征值i0，i1,,n，故|AB|0的根全大于0.· ·134TTT

36．设A为n阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B，使AB．

证：因为A是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P，使

212P-1APPTAPD

n其中1,2,,n

令i为A的n个特征值，它们全大于零．

i(i1,2,,n), 则

2111122222D 2nnnn1122TPT

而

APDPPnn1122PTPPT

Pnn12T

令

B=PP

n2显然B为正定矩阵，且AB．

37．设A为n阶可逆实方阵，证明：A可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．

T

证：因为A是n阶可逆实方阵，故AA是正定矩阵，所以存在n阶正定矩阵B，使

ATAB2.于是有

(AB1)T(AB1)(B1)TATAB1(B1)TB2B1E

这说明AB是正交阵.令

ABQ

则

AQB，其中Q是正交矩阵，B是正定矩阵.38．A、B 为n阶正定矩阵，则AB也为n阶正定矩阵的充分必要条件是： AB=BA，即A与B可交换．

·135· 11证：方法一

先证必要性．

由于A、B、AB都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有

ATA,BTB,(AB)TAB

于是

AB(AB)TBTATBA

即A与B可交换．

再证充分性．

由条件AB=BA得

(AB)T(BA)TATBTAB

因此AB是对称矩阵．

因为A,B是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P、Q，使

APTP,BQTQ

于是

ABPTPQTQ

上式左乘Q，右乘Q1得

Q(AB)Q1QPTPQT(PQT)T(PQT)

这说明AB与对称矩阵(PQT)T(PQT)相似；因为PQT是可逆矩阵，故矩阵(PQT)T(PQT)是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．

综合上述知AB正定．

方法二

必要性同方法一，以下证明充分性．

由条件AB=BA得

(AB)T(BA)TATBTAB

因此AB是对称矩阵．

由于A正定，所以存在可逆矩阵Q，使

A=QQ 于是

TTTT EABEQQBEQQBQ(Q)

T

QTE(QT)1QT(QBQT)(QT)1QTEQBQT(QT)1EQBQTT

EAB0EQBQT0

这说明AB与QBQ有相同的特征值．

因为B是正定矩阵，易见QBQ也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．

· ·136

T综合上述知AB正定．

39．设A、B为实对称矩阵，且A为正定矩阵，证明：AB的特征值全是实数．

证：因为A是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q，使AQTQ，于是有

EABEQTQBEQT(QBQT)(QT)1QEQBQ(Q)即|EAB|0|EQBQT|0.TTTT1EQBQT

因为B是实对称矩阵，所以QBQ也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB的特征值也都是实数．

40．设A是正定矩阵，B是实反对称矩阵，则AB的特征值的实部为零．

证：因为A是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q，使AQTQ

EABEQTQBEQT(QBQT)(QT)1QEQBQ(Q)AB的特征值实部也为零．

TTT1EQBQT

因为B是实反对称矩阵，所以QBQT也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故

41．设A是正定矩阵，B是半正定的实对称矩阵，则AB的特征值是非负的实数．

证：由于A是正定的，所以A也是正定的，于是存在可逆矩阵P，使得A因此

11PTP，EABAA1BAPTPBAPTE(PT)1BP1P APTPE(PT)1BP1AA1E(PT)1BP1E(PT)1BP1E(P1)TBP1

1T1即EAB0E(P)BP0.由于B是半正定的实对称矩阵，故(P)BP1T1是半正定的实对称矩阵，因此E(P1)TBP10的根是非负实数．于是EAB0的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．

42．求证实二次型f(x1,,xn)

证：二次型的矩阵为

(krsrs)xx的秩和符号差与k无关．

rsr1s1nn2k33k4k22k34k46k56k59k6A3k4nk(n1)2nk(n2)3nk(n3)

nk(n1)2nk(n2)3nk(n3)

2nk2n·137·

对矩阵A作合同变换，即把A的第1行的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n行上；同时把A的第1列的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n列上，得到与矩阵A合同的矩阵B为

2(n1)0000

00k2,2,(n1)倍依次加到第1，3，对矩阵B作合同变换，即把B的第2行的2k2,2,(n1)倍依次加到第1，3，4，…，n4，…，n行上；同时把B的第2列的2列上，得到与矩阵B合同的矩阵C为 k21B2(n1)100001C0010000000000

0由合同变换的传递性，故A与C合同，于是原二次型可经可逆线性变换化简成

f(x1,,xn)2y1y2

y1z1z2再作可逆线性变换

y2z1z2yzii于是二次型f化成规范形

(i3,,n)2 f(x1,,xn)2z122z

2显然二次型f(x1,,xn)的秩为2，符号差为0，它们的值均与k无关．

43．设二次型fa时，二次型f正定．

证：二次型 f的矩阵A的各阶顺序主子式的值与它的阶数n的奇偶性有关：

（1）当n=2m+1时，二次型f的矩阵为 xi1n2ibini1xxinni1，其中a、b为实数，问a、b满足什么条件

baabAa

baba · ·138它的各阶顺序主子式为

a,,am1,am(a2b2),am1(a2b2)2,,a(a2b2)m

（2）当n=2m时，二次型f的矩阵为

baab Ababa它的各阶顺序主子式为

a,,am,am1(a2b2),am2(a2b2)2,,(a2b2)m

综合（1），（2）可知：当a0且a2b2时，二次型f是正定的．

44．设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n,Aij是A(aij)nn中元素aij的代数余子式

nnAijxixj(i,j1,2,,n)，二次型f(x1,x2,,xn)i1j1A1

（1）记X(x1,x2,,xn)T，把f(x1,x2,,xn)写成矩阵形式，并证明二次型f（X）的矩阵为A．

（2）二次型g(X)XAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由．

证：方法一

（1）因为A是实对称矩阵，故AijTAji．由r(A)=n, 故A可逆，且

A11*A A二次型f(x1,x2,,xn)的矩阵形式为

A11A21An1x11AAAn2x2f(X)(x1,x2,,xn)1222

AAAAxnnn1n2n111TT11从而(A)(A)A.故A也是实对称矩阵，因此二次型f(X)的矩阵为A．

11T1T11

（2）因为(A)AA(A)EA，所以A与A合同，于是二次型g(X)XTAX与f(X)有相同的规范形．

方法二

（1）同证法１

（2）对二次型g(X)XAX作可逆线性变换，XAY, 其中

T1Y(y1,y2,,yn)T,则

T1T1T11TT11

g(X)XAX(AY)A(AY)=Y(A)AAY=Y(A)AAY=YAY

T1由此可知A与A合同，二次型g(X)XAX与f(X)有相同的规范形．

·139· 1T

45．试说明二次型

f(x1,x2,x3)(x1x2x3)2[ax1(ad1)x2(a2d1)x3]2

+n[(ad)xii22 (a2d)x(a3d)x]1i2i3当d10时，无论n为何值，f(x1,x2,x3)的秩均为2．

解：fXT(ATA)X，其中

1aAad2adn1ad1a2d2a2dn1a2d1a3d2

a3dn1110d12d1行对矩阵A作行的初等变换，可得A000.000

所以当d10时，A的秩为2，这与n的取值无关，因此二次型f的秩为2．

46．已知A是n阶正定矩阵，令二次型f(x1,x2,,xn)XTAXxn的矩阵为B，求证：（1）B是正定矩阵；（2）BA．

证：（1）设

a11aA21an1a11a21则

Ban1a12a1na22a2n，aijaji an2anna12a1na22a2n

an2ann1

显然B为实对称矩阵，且B与A的前n-1阶顺序主子式完全相同，由于A是正定矩阵，故它的各阶顺序主子式全大于零，因此B的前n-1阶顺序主子式也全大于零． 现考虑B的第n阶顺序主子式即它的行列式，有

a11a

B21an1可见B是正定矩阵．

· ·140a12a1na11a1n1a22a2n+

an11an1n1an2annan1ann10=AAn10

（*）01

（2）由（*）即知BA．

47．设n元实二次型fXTAX，1,2,,n 是A的特征值，且12n． 证明：对于任一实维列向量X有1XTXXTAXnXTX.证：设1,2,,n是f的特征值，则存在正交变换X=PY，使 fXTAXYT(PTAP)Y1y122y2nyn

由已知条件12n，有

1YTYfXTAXnYTY

（1）

又因为P是正交矩阵，于是有

XTXYTPTPYYTY

将此结果代入（1）即为

1XTXXTAXnXTX

48．证明：若二次型ai1i1nnijxixjXTAX是正定二次型，则

a11a21f(y1,y2,,yn)an1y1是负定二次型．

a12a22an2y2a1na2nannyny1y2 yn0

证：因为f 是正定二次型，故它的表示矩阵A是正定矩阵，因此A是可逆矩阵，作可逆线性变换Y=AZ．对上述行列式的列作消法变换，将第j列的-zj(j1,2,,n)倍加入第n+1列，其中Z(z1,z2,,zn)T,则

a11a21

f(y1,y2,,yn)an1y1a12a22an2y2a1na2nannyny1a11y2a21ynan10y1a12a22an2y2a1n0a2n0 ann0yn(y1z1y2z2ynzn)TTTT

A(y1z1y2z2ynzn)=AYZ=AZAZ=AZAZ 因为A是正定矩阵，所以A<0，可见f(y1,y2,,yn)是负定二次型．

49．设A是正定矩阵，则

（1）AannAn1，其中An1是A的n-1阶顺序主子式；

（2）Aa11a22ann．

解：（1）因为A是正定矩阵，故

·141·

a11a12a1n1a21a22a2n1An1

aaan1n1n11n12也是正定矩阵，于是由48题知

a11a1n1y1 fn1(y1,y2,,yn1)=

an11an1n1yn1y1yn10是负定二次型，因此由行列式的加法运算有

a11a1n1a1na11a1n1Aan11an1n1an1nan11an1n1an1ann10an1ann1其中An1为A的顺序主子式．

0fn1(a1n,a2n,,an1n)annAn1 0ann当a1n,a2n,,an1n中至少有一个不为零时，fn1(a1n,a2n,,an1n)<0

A

50．设P(pij)nn是n阶可逆矩阵，求证：P222(p12jp2jpnj).j1np11p21pn1pppp1222n2p

证：PTPppp2nnnpn1nTpp211pn11pnpn22p2nn12n2pi1i112*pi1n2i*2

n2pini1

因为P是可逆矩阵，故PP是正定矩阵，由49题的结论（2），有