初中数学分类讨论专题

初中数学分类讨论专题（精选8篇）

1.初中数学分类讨论专题 篇一

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分类讨论思想在初中数学中的几点应用 作者：杨欣

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第06期

分类讨论是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.数学中有许多问题由于已知条件笼统，所以需要对可能的情形进行分类讨论，因此，我们在思考问题的解法时，需要认真审题，全面考虑，分类要做到不重不漏，从而获得完整的答案.以下是分类讨论思想在初中数学中的几点应用，一、在实数中的应用

【例6】 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形的面积是24，求常数k的值.分析：与坐标轴的围法分两种情形：所围三角形在第一象限或在第二象限.解：如图2，图像与纵坐标交于点（0，6）.设与横坐标交于（a，0）.（1）若与坐标轴围成的三角形在第一象限，则有12a×6=24，得a=8.将（8，0）代入一次函数y=kx+6，此时k的值为-34.（2）若与坐标轴围成的三角形在第二象限，同理可得k的值为34.综上，k的值为-34或34.（责任编辑 金 铃）

2.初中数学分类讨论专题 篇二

关键词：分类讨论思想,初中数学,解题

一、分类讨论思想概述

分类讨论思想, 指的就是在解决一个问题的过程中, 采取单一的某种方法是无法解决的, 而是需要把问题加以划分, 形成若干个可以用不同方式去处理的小问题, 在逐个将小问题解决之后, 最终实现解决问题的目的[1]. 分类讨论思想是一种极为关键的数学解题思路, 同时也是一种不可或缺的解题对策, 利用这种“化整为零、积零为整”的方式, 能够最大限度的提升学生的归纳总结水平, 且进一步强化学生思维的条理性与概括性. 学生在采取分类讨论思想对初中数学题进行解答时, 必须严格遵守以下四大基本原则, 分别是统一性原则、互斥性原则、相称性原则以及层次性原则等[2].

二、初中数学解题中分类讨论思想的具体运用

1. 分类讨论思想在实数、有理数中的运用

例1若|x| =4, |y| =5, 且xy <0, 那么x - y =.

分析: 一般xy <0可以分成两种情况进行讨论, 即x <0, y > 0亦或者是x > 0, y < 0.

解: 因为|x| =4, 所以x = ±4, 因为|y| =5, 所以y = ±5. 因为xy <0, 当所以x =4时, y = -5, 所以x - y =9; 当x = -4时, y = 5, x - y = - 9.

所以, 本题的答案为±9.

例2在 -1, 0, 0. 2, 3中, 正数共有______个.

分析: 一般可以将有理数分成两种, 其一为正有理数、负有理数、0; 二为分数、整数.

解: 由题可知, 正数共有2个, 分别是0. 2, 3.

2. 分类讨论思想在应用题中的运用

例2某家具厂生产桌子和椅子, 桌子每张定价200元, 椅子每张定价40元. 在对桌椅进行促销的过程中, 厂家为广大消费者提供两种购买方案. 方案一: 买一张桌子送一张椅子; 方案二: 桌子和椅子均按定价的90% 付款 ( 两种优惠方案不能同时使用) . 某家具店老板打算购买20张桌子和椅子若干 ( 超过20张) , 请你帮该老板选择一种比较划算的购买方案.

分析: 由于已知条件中并没有给出具体椅子购买数量, 因此比较划算的购买方案还无法明确, 而是由椅子的购买数量来决定的.

解: 设老板需要购买的椅子为x张, 则

方案一: 200×20 + ( x -20) ×40 =3200 +40x ( 元)

方案二: ( 200×20 +40x) ×90% =3600 +36x ( 元)

设 y = ( 3200 +40x) - ( 3600 +36x) =4x -400 ( 元)

当y >0时, 4x - 400 > 0, x > 100, 两种购买方案中, 第二种方案比较划算;

当y =0时, 4x -400 =0, x =100, 两种购买方案一样划算;

当y <0时, 4x - 400 < 0, 20 < x < 100, 两种购买方案中, 第一种方案比较划算;

由此可见, 当所要购买的椅子在20张以上, 但少于100张时, 方案一比较划算, 当购买的椅子数量为100张时, 两种购买方案一样划算, 当购买的椅子数量在100张以上时, 那么方案二比较划算.

3. 分类讨论思想在函数中的应用

例3已知函数y = ( m -1) x2+ ( m - 2) x - 1, 其中m为实数. 倘若函数的图象与x轴仅有一个交点, 求m的值.

分析: 上述该题应当从函数分类的方向来探讨, 分成两种情况, 即m -1≠0与m -1 =0, 以此来求出m的值.

解: 当m -1 =0时, 该函数为y = - 1 - x, 其和x轴仅有一个交点, 即该交点为 ( -1, 0) . 当m -1≠0时, 该函数则是一个二次函数, 由Δ = ( m -2) 2+ 4 ( m - 1) = 0, m = 0.

因此, 抛物线y = - x2- 2x - 1的顶点为 ( - 1, 0) , 位于x轴上.

4. 分类讨论思想在圆中的应用

数学中有关圆的题目, 极易出现漏解的情况, 之所以会出现这种情况主要是由于学生没有考虑到要对题目进行分类讨论[3].

例4假使半径分别为6与4的两圆相切, 那么两圆之间的圆心距为 ()

( A) 10 ( B) 2 ( C) 5 或 1 ( D) 10 或 2

分析: 两圆相切一般分为两种情况, 即外切、内切.

解: 如果两圆为外切, 那么两圆之间的圆心距是10; 如果两圆为内切, 那么两圆之间的圆心距是2. 因此, 本题的答案为 ( D) .

总之, 通过分类讨论思想在实数、应用题以及函数等中的具体应用, 能够了解到通过对分类讨论思想的准确应用, 对各种问题展开分类探讨, 使一个个大问题化整为零, 进而逐个突破, 然后在进行积零为整, 最终让一个复杂的问题获得全面的、严谨的解答.

参考文献

[1]黄国金.分类讨论思想在初中数学解题中的运用及教学渗透[D].浙江师范大学, 2010.

[2]史志亚.分类讨论思想在初中数学解题中应用分析[J].数学大世界 (教学导向) , 2012, (11) :64-65.

3.“分类讨论”在初中数学中的应用 篇三

一、直线型中的分类讨论

若∠AC'B为钝角，∵AC=AC' ，

∴∠AC'C=∠ACC'=60°，∴∠AC'B=120°.

例2：操作：如下图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．

探究：（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论；

（2）当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？

解析：第一问：如下图（1），另一条直角边与AD交于点E，则△PDE∽△BCP，證明：在△PDE和△BCP中，∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1=∠2，又∠PDE=∠BCP=90°，∴△PDE∽△BCP；或如下图（2）若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证△PCE∽△BCP或△BPE∽△BCP；

第二问和第一问也要分两种情况，如下页左上图（3）、（4）.

例3：如下图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM=_______时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.

三、圆中的分类讨论

例6：矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是______________.

解析：本题首先要确定圆C的半径范围是5＜Rc＜12，然后要明确圆A与圆C可以内切，也可以外切，而AC=13，当圆A 与圆C外切时圆A的半径范围是1＜Ra＜8；圆A 与圆C内切时圆A的半径范围是18＜Ra＜25；因此圆A 的半径范围是1＜Ra＜8或18＜Ra＜25.

例7：如下图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0）、 A（0，2）、B（2，0）的圆上一个动点，（P与O、B不重合），则∠OAB=_____，∠OPB=_______ .

解析：本题源于课本，但是又高于课本，人教版几何第三册习题7.2里第六题是求一条弦所对的圆周角的度数，如果对这个题理解深刻的话，可以用同样的方法解决这个问题.∠OAB=45°，当点P在优弧OAB上运动时，∠OPB=45°；当P在弧OB上运动时，∠OPB=135°，所以∠OPB=45°或135°；

分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做到既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案.

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4.分类讨论思想在解数学题中的应用 篇四

------分类讨论思想的应用

【摘要】解数学问题往往可以有众多的思想方法，如转化化归，数形结合，分类讨论，数学建模等等，而在这些思想方法中分类讨论是一种重要的数学思想，学习数学的过程经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类等等，在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，本文从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想，分类的原则，分类讨论的应用，从而体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。

【关键词】分类讨论的思想分类的原则分类讨论的应用

数学课程标准明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效的进行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题。在新课程中，分类思想在教材中的体现是丰富多彩的，在整个初中阶段很多问题都用了分类的思想，将不同的事物分为不同的种类，寻找它们各自的共同点及内在的规律性。

一． 分类讨论的思想

所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它:揭示着数学事物之间的内在规律，学会分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。

我们在运用分类讨论的思想解决问题时，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素，进行讨论时要确定分类的标准，每一次分类只能按照一个标准来分，不能重复也不能遗漏，另外还要逐一认真解答。我们平时在解决问题时还经常碰到这样的情况，当问题解答到某一步骤后，需要按一定的标准来分为若干个子问题进行讨论，这样常常可以使问题化繁为简，更清楚地暴露事物的属性。

案例1：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？

分析：因为已知条件中未明确购买领带的数量，因而较省钱的购买方案也是不确定的，而是由不同的领带购买数量决定的解：设店老板需购买领带x条

方案一购买需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200（元）

方案二购买需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600（元）

假设 y＝(40x＋3200)－(36x＋3600)＝ 4x－400（元）

（1）当y＜0时,即20＜x＜100,方案一比方案二省钱

（2）当y＝0时,即x＝100,方案一和方案二同样省钱

（3）当y＞0时,即x＞100,方案二比方案一省钱

答：当购买领带超过20条而不到100条时，方案一省钱，当购买领带等于100条时，两种方案一样省钱，当购买领带超过100条时，方案二省钱

二． 分类的原则

分类讨论必须遵循一定的原则进行，在初中阶段我们经常用到以下几个原则

1.同一性原则

分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的现象，例如有些同学认为三角形可以分为等腰三角形，等边三角形，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，这样的分类是错误的，不但以边来分类而且以角来分类，等腰三角形可以是锐角三角形，钝角三角形或直角三角形，这样的分类犯了标准不同的错误

2.互斥性原则

分类后的每一个子类应该具备互不相容的原则，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会，规定每个学生只能参加一项比赛，初一六班的6名同学报名参加100和200米的赛跑，其中有4人参加100米比赛，3人参加200米比赛，那么就有1人既参加100米又参加200米比赛，这道题目分类的互斥性原则

3.完整性原则

分类后的每一个子类合并起来应该等于总类，否则会出现遗漏的现象。例如某人把实数分为正实数和负实数，这样的分类是不完整的，因为零也是实数，但是零既不是正实数也不是负实数。

4.多层性原则

分类后的子类还可以继续再进一步分类，直到不能再分为止。例如实数可以分为有理数和无理数，有理数可以分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数

三． 分类讨论的应用

我们用分类讨论的思想解决问题的一般步骤是：

（1）先明确需讨论的事物及讨论事物的取值范围

（2）正确选择分类的标准，进行合理的分类

（3）逐类讨论解决

（4）归纳并作出结论

下面浅谈一下分类讨论在初中阶段的一些简单的应用：

1.分类讨论在应用题中的应用

案例2：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，经总务部门同意，初一五班的同学准备在自己教室后的空地上建一个一面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请你设计一下，使花圃的长比宽多3米，求出花圃的面积是多少？

分析：因为已知条件中并没有明确长和宽的位置,所以需要对长和宽的位置进行讨论 解：(1)假设平行于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

x＋2(x－3)=24

解方程得x＝10

经检验，符合题意

长为10米，宽为7米，面积为70平方米

（2）假设垂直于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

2x＋(x－3)=24

解方程得x＝9

经检验，符合题意

长为9米，宽为6米，面积为54平方米

答：当平行于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是70平方米，当垂直于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是54平方米。

学生在解此类题的错误往往是因为不认真审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况

而急于解题所造成，只有审清了题意，全面系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况，解答此类问题就不会造成漏解

2.分类讨论在绝对值方程中的应用

关于绝对值的问题，往往要将绝对值符号内的代数式看成一个整体，将这个整体分为正数，负数，零三种，再分别进行讨论。

案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳＝ 5的解

分析：本题应该对于代数式 ︳x﹢2︳应分为x＝﹣2,x﹥﹣2,x﹤﹣2，对于︳3﹣x︳应分为x＝3,x﹥3,x﹤3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分以下三种情况分别讨论

解：①当x≦﹣2时，原方程变为﹣﹙x﹣2﹚﹢3﹣x＝5，解得x＝0与x≦﹣2产生矛盾，故在x﹤﹣2时原方程无解

②当﹣2﹤x≦3时，原方程为x﹢2﹢3﹣x＝5恒成立，故满足2﹤x≦3的一切实数x都是此方程的解

③当x﹥3时，原方程为x﹢2﹣﹙3﹣x﹚＝5，解得x＝3这与x﹥3产生了矛盾，故在x﹥3时原方程无解

综上所述，原方程的解是满足2﹤x≦3的一切实数。

3．分类讨论在解含有参数问题中的应用

所有含有参数的问题都要进行分类讨论，而且要对参数的不同取值范围分类讨论，不能有重复和遗漏。

案例4：若关于x的分式方程xa31无解，求a的值 x1x

解：方程两边同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚＝x﹙x﹣1﹚

整理得﹙a﹢2﹚x＝3

①当a﹢2＝0即 a＝﹣2时，方程无解，则原方程也无解

②当x＝1时方程无解，此时a﹢2＝3，得a＝1

③当x＝0时方程无解，此时﹙a﹢2﹚×0＝3无解

综上所述，a的值为1或﹣2

4．分类讨论在解几何题中的应用

分类讨论思想在几何题中有广泛的应用，在有关点与线的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，等腰三角形等的题目中都需要进行分类讨论。案例5：等腰三角形中，有一个角是另一个角的4倍，求等腰三角形的一个底角的度数？ 分析：本题应该分为底角是顶角的4倍和顶角是底角的4倍两种情况进行讨论

解：（1）当一个底角的度数为x度，顶角是4x度时

依题意列方程x﹢x﹢4x＝180解得x＝30，底角等于30度

（2）当一个底角的度数为4x度，顶角是x度时

依题意列方程4x﹢4x﹢x＝180解得x＝20，底角等于80度

综上所述，等腰三角形的底角为30度或者80度。

5．分类讨论在解概率题中的应用

在求简单事件的概率时，我们通常会用“列表”或者是“画树状图”的方法来列举所有机会均等的结果，然后找出该事件所包含的结果，从而求出该事件发生的概率。事实上“列表”或者是“画树状图”的方法就是分类讨论的思想方法最直接的体现。

案例6：同时抛掷3枚普通的硬币一次，问得到“两正一反”的概率是多少

分析：每一个硬币都有正面和反面，我们可以用画树状图的方法分析先抛第一枚，再抛第二

枚，最后抛第三枚，可知共有8种机会均等的结果它们是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中两正一反的结果有3种，可以求得概率是八分之三。

6．分类讨论在解函数题中的应用

分类讨论的思想方法贯穿于初中阶段学过的所有的函数中，一次函数y＝kx﹢b﹙k≠0﹚要对k，b取值范围进行分类讨论，反比例y=

2k﹙k≠0﹚函数要对k的取值范围进行分类讨论，x二次函数y＝ax﹢bx﹢c﹙a≠0﹚要对a的取值范围进行分类讨论

案例7：求二次函数y＝ax﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标

解：①当a＝0时，此函数为一次函数y＝3x﹢1与x轴只有一个交点，交点坐标是（－21，0）3

2②当a≠0时，此函数是二次函数，因二次函数与x轴只能有一个交点则判别式为零﹙3﹣a）﹣4a ＝ 0

解得a＝1或a＝9

当a＝1时,与x轴的交点坐标是（﹣1，0）

当a＝9时,与x轴的交点坐标是（【结语】分类讨论思想的应用非常广泛，涉及到初中的全部知识点，这里不能一一列举出来，分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

参考文献：

（1）2011年版义务教育数学课程标准

（2）任百花：初中数学思想方法教学研究

（3）江国安：初中数学综合题的教学探索

（4）赵峰：浅谈分类讨论思想在解题中的应用

5.初中数学分类讨论专题 篇五

【摘要】课堂讨论是指师生在课堂上围绕一定的问题，相互交流、相互启发、相互学习，以实现教学目标的一种教学方法。课堂讨论组织实施的好坏，直接影响着课堂教学的有效性。本文就自己针对课堂讨论的问题设计、组织展开及课后反思方面，结合教学的实际谈谈如何有效实施初中数学课堂讨论。

【关键词】数学学生课堂讨论有效

课堂讨论是指师生在课堂上围绕一定的问题，相互交流、相互启发、相互学习，以实现教学目标的一种教学方法。新课程倡导“自主、合作、探究”的教学理念，这种教学理念在课堂教学中主要是通过课堂讨论来实现的。课堂讨论组织实施的好坏，直接影响着课堂教学的有效性。那么在初中数学课堂教学过程中，如何组织学生进行实施讨论呢?下面就个人的实践，谈一些粗浅的体会和做法。

一课堂讨论的问题设计

每个数学教师对课程的理解不一样，对课堂的关注点不一样。就算同一堂课，所设计的讨论问题肯定也不一样。

1.主题紧扣

课堂讨论问题的设计应紧扣教学目标，根据学生学习的实际情况，提出具体明确的研究任务，使讨论有方向，有价值，切忌讨论问题太大、太空、太简单。

叶圣陶先生说过，揣摩何处为学生所不易领会，即于其处提出问题。抓住那些“牵一发而动全身”的关键点，使学生通过思考、讨论，掌握重点，弄清难点，达成对新知识的认识和理解。

例如，一轮船在港口A测得小岛S在北偏东75°方向，向正东航行至灯塔B，在B处发现小岛S在东北方向，若港口A距离小岛S为200海里，求港口A与灯塔B的距离。

在教学这道例题时，问题一出，学生纷纷根据方向角画图，画完图，却不知该如何解问题，此题的解决方法由于有悖于以前常用的方法，学生感到有难度，此时笔者抓住时机出了下面4个小问题让他们讨论，再全班学生进一步交流：

(1)图中出现了一个怎样的三角形?

(2)解斜三角形的通法是什么?

(3)在这个斜三角形中总共可作几条高?

(4)作哪条高构造的直角三角形可顺利准确地求出AB的长?

一出现上面四个问题，学生兴奋异常，思维活跃，画的画，算的算，议的议，几乎所有的学生都参加了讨论、交流，教师作为参与者，也主动地加入到学生的讨论中，对学生的认识不断地起促进和调节作用，最后学生终于惊喜地发现：过点B向AS作高和过点S向AB所在的直线作高，都因为无法准确地求解而宣告失败，只有过点A向SB所在的直线作高才能顺利求解，达到了很好的课堂效果。

2.难易适当

苏联心理学家维果茨基“最近发展区”理论告诉我们，当教学内容处于学生之两区(最近发展区和现有发展水平)以外时，教学难以有效进行;当教学之内容处于学生的现有发展水平(区)之内时，教学是没有效益的;当且仅当内容处于其“最近发展区”时，教学不仅可行而且有效。因而教学的起点应当是学生群体的“最近发展区”，也就是所提出的问题必须是学生群体在教师启发或合作的氛围里能解决的，是在学生群体能思考的最近发展区域内。问题太难，学生会望而生畏、无从下手，会挫伤学生的积极性;问题太易，三言两语就可解决，便失去了讨论价值，也难以激发学生的兴趣。课堂讨论的问题应注意难易适中，采取“跳一跳摘得到”的原则，这既有助于唤起学生讨论的欲望，也有助于鼓励学生奇思妙想，促使学生不断地将“最近发展区”转换为“现有发展水平”，不断地创造新的更高水准的“最近发展区”。

3.取材新颖

新颖的内容能激起学生的浓厚兴趣，学生会产生钻研的动力。有意义的课堂讨论必须把学生要学习的`内容巧妙地转化为新颖的问题情景，以激发学生认识的冲动性和思维的活跃性，学生也只有意识到问题的存在，才能着手探索问题和解决问题，从而实现课堂讨论的有效性。

教师要善于选择教学材料，创设新颖的问题情景，激发学生课堂讨论合作探究的欲望，引导学生寻求新的发现，获得新的认识。

二课堂讨论的组织展开

1.组织讨论的形式

合理的组织形式是课堂讨论成功的前提。

(1)形式要构建搭配合理。讨论小组的建立要合理。以往的讨论一般按原先的座位同桌讨论，或者是前后排的学生讨论，这样可能导致有的小组学习力量强，有的小组学习力量弱的局面，针对这种情况，我们应根据学生的学习成绩、学习习惯、性格、兴趣、需要等因素加以分组，分组时不仅要重视学生智力因素的发展，而且要重视学生非智力因素的培养。每组各个层面的学生都应兼顾，这样才能取长补短，使每个学生生动活泼的、主动的参与。

课堂讨论主要有集体讨论和小组讨论两种形式。集体讨论比较适合于围绕教材的重点、难点或争议较大的问题的讨论。它具有人多面广的特点，有利于集思广益，并使教师及时了解学生对问题的看法和意见。小组讨论要根据所讨论的实际情况，有时集体讨论与小组讨论交替进行。但无论采用哪一种形式，都应该考虑是否能实现师生之间、生生之间的多向思维互动;是否有利于学生的自主学习、合作学习和探究学习，是否能通过讨论促进学生增长知识、提高能力、培养良好的情感态度和价值观。

(2)任务要分工落实明确。教育心理学研究表明，受教育者一旦对学习有了较明确的目标，就会产生浓厚的兴趣和持久的注意力，教学效果也会明显提高。据此，我们在组织讨论前应给学生以明确的分工，给每个小组下发课堂讨论记录表，由组长负责记录，其中组长是由组员轮换负责。然后由各小组组长组织组员清楚的表达自己的想法和见解，其他的同学认真倾听，在此基础上自由讨论，攻克难点，组长要认真倾听，清楚地记录每位组

内成员的观点，并最终整合形成解决问题的方案。

在讨论前除了有明确的分工外，还必须落实相应的讨论要求。如要求学生在思考的基础上积极参与发言，并善于做一个虚心的倾听者，在倾听中认真思考、分析他人的长处与不足。良好的讨论参与者不仅要积极发言，而且必须虚心倾听他人的意见，善于接纳他人的正确意见，宽容对待他人的不同意见。

(3)关系要调节处理融洽。“亲其师，信其道”，师生关系融洽了，学生自然会积极配合教师开展课堂讨论。伟大的教育家罗杰斯是这样给教师定位的：“教师是可供学生合理利用的灵活的学习资源，一位真诚善良的帮助者，一位潜能开发的促进者，一位学生作出独立思索和自主决策的咨询者。”只有这样，才能使课堂讨论气氛活跃起来，使学生在宽松和谐的课堂讨论中体会学习的乐趣，增强学习的信心。

2.掌握讨论的时机

能否把握好课堂讨论的时机，直接影响着讨论的质量和效果。

(1)控制讨论的时间和次数。课堂讨论是思维相互碰撞的行为。各种思想、观点和看法相互碰撞，才能实行“能量转换”，迸发出更多的新思想、新观点和新看法。而足够的讨论时间是学生思维充分展开的保证。

进行课堂讨论不能只留于形式，追求讨论的次数，而应该给学生充足的时间去分析、讨论、说说思考的过程和依据，还要让学生质疑、问难，各抒己见，真正起到课堂讨论应有的突破重点、难点，开拓学生思维，培养创新能力的作用，所以课堂讨论一般以每节课2～3次，5分钟左右为宜。有些教师没有给予学生较为充分的讨论时间，学生言犹未尽，便草草“鸣金收兵”，效果可想而知。

例如，在执教《有理数的加法》这一内容时，学生必须掌握一些有理数加法的简便运算方法，教师如果教条式地将方法搬给学生，学生当时记住了，以后却不能灵活应用。如何引导学生明确解决问题的方法呢?

教师：计算①31+(-28)+28+69。

教师：如何解决这道题，能发现什么简便的方法吗?请大家小组交流，总结有怎样的规律。

学生1：将28与-28先相加和为0;31和69相加和为100。

学生2：谁与谁相加和为1。

通过讨论，相互描述解题方法之后，在教师的引导下总结出了一些规律。在进行有理数加法的运算时，可以将具备以下条件的数结合在一起相加比较简便。

学生3：①相加得0的数;②几个数相加得整数;③同分母或容易化为同分母的分数;④符号相同的数。

通过讨论、交流、举例、再讨论，在教师的引导下，学生经历了获取知识的全过程，进而得出结论。学生在今后的计算中，能够灵活地使用这些自己探讨出来的简便方法，提高了运算的效率;同时也使学生主动探索、自主学习的精神得到了很好地培养。 (2)选择讨论的切入点。把握好课堂讨论引入的最佳时机，把好钢用在刀刃上。讨论的时机应选择：①突出重点、突破难点时。围绕教学重点组织讨论，往往能使学生形成深刻的体会，使学生的思维步步深入，认识更深刻;②扩展深化时。某些教学内容可以根据学生已有知识和接受能力予以扩展和深化，拓宽视野，发展思维;③巩固总结时。若对课堂讲授内容及时展开讨论，让学生一起回顾总结，互相交流体会，则可有效地使知识变成学生思维的产物;④教师的提问出现“卡壳”时。由于智力、非智力因素的制约和影响，常出现学生对教师的提问一时难以回答的情况，这时教师不应立即解答，可组织学生展开讨论，运用集体智慧、理清思路，解决问题。

3.恰当讨论的总结

在教师的角色中，教师的总结者角色是其重要角色之一。教师对课堂讨论的总结，有助于学生科学判断标准的形成，有利于学生学习兴趣的提升。

(1)适度引导。课堂讨论是一个复杂的动态过程。教师应及时了解课堂讨论的进展情况，要适度参与和引导，离开了教师的调控与引导，课堂讨论将会变得杂乱无序，教师应当处于课堂教学活动中的平等中的首席。做一位课堂讨论的顾问和参谋，把握好课堂讨论的走向。

例如：梯形面积等分

问题1：如何作一条线段将△ABC的面积一分为二?(适当过渡)

生1：作中线!

师：对!根据三角形的面积公式，△CAD和△CDB等底同高，所以面积相等，这样的线段有三条。

问题2：如何作一条线段将梯形ABCD的面积一分为二?学生画图，独立思考，然后交流讨论，形成方案。

生1：只需要作出梯形上、下底中点的连线即可(此为方案一)。

师：为什么呢?

生2(补充)：分成的两个梯形等底同高。

生3：我还有一个方法，取DC的中点G，连接AG并延长，交BC的延长线于点E，则S梯形ABCD=S△ABE。取BE的中点H，AH即为所求(此为方案二)。

师：好!这名同学运用梯形的常见辅助线，把梯形的面积平分问题转化为三角形的面积平分问题，体现了数学的转化思想。生4：我发现在方案一中取EF的中点H，过点H任作一条直线与AD、BC相交即可(此为方案三)。

师：很好!你是怎么想到的?

生4(补充)：以前做过的证明题中有这样的辅助线作法，可以得到△MHE和△NHF全等。

生5：我发现点H就是梯形ABCD的中点四边形的对称中心，方案一和方案二都是方案三的特殊情况。

师：你的发现很好，看到了此问题的本质。课后同学们可以再深入研究，看看还有没有新的发现。

在讲解梯形面积等分问题中，组织学生讨论，使学生能集思广益，方法多样。

(2)及时评价。有效的课堂讨论需要评价手段的支持。教师要及时评价学生的课堂讨论，总结、反馈讨论的内容，使他们从教师的反馈中获取信息、反思自己的学习状况。教师的反馈要准确到位，要对学生参与活动的情况给予评价，使他们在以后的讨论中能减少错误、提高效率。同时，要区别对待学生所犯的错误，在强调准确性的环节可以适当多纠错，一般情况下让学生多开口、少纠错。此外，教师在进行反馈、评价时，不仅要关注讨论的结果，更要关注评价的过程，尤其关注学生在活动过程中的表现。

三课堂讨论的课后反思

美国学者波斯诺认为，没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能形成肤浅的知识，只有经过反思，教师的经验方能上升到一定的高度，并对后继行为产生影响，他提出了教师成长的公式：教师的成长——经验+反思。

1.课堂讨论记录表

课堂讨论记录表是课堂讨论的最真实反映。所以教师通过在课后对这份表格的观察，能够看到学生在课堂上的具体表现如何。不仅可以做出对学生在课堂讨论的一个中肯评价，还能够让老师反思课堂讨论的问题设计及组织展开。帮助教师纠偏补过，在以后的工作中减少盲目性，增强有效性，使教学相长。

2.课后作业

课后作业的布置要针对课堂教学目标以及重点难点，这也恰恰是课堂讨论的核心内容。作业反馈的好与坏，就可以直观地反映出课堂讨论的效果如何。

反思，通过信息反馈得到思考，以上两种反思都能比较客观地说明教学中存在的问题，从而不断使课堂教学走向有效。

总之，课堂讨论是学生参与教学并实现自我教育的好方法。组织学生开展课堂讨论是体现新课程标准中提出的改变以往单纯地依赖模仿记忆的学习方式为动手实践、自主探索、合作交流的学习方式的最有效的手段。因此，在教学中教师要不断探索课堂讨论的新思路。正如苏霍姆林斯基说过：应该让我们的学生在每一节课上“享受热烈的，沸腾的，多彩多姿的精神生活”。

参考文献

[1]〔苏〕维果茨基.维果茨基教育论著选[M].北京：人民教育出版社，1994

[2]黄翔.数学教育的价值[M].北京：高等教育出版社，

[3]崔允漷.有效教学的理念与框架[J].中小学教材教学，(2)

[4]俞正强.教学应该发生在恰当的地方[J].人民教育，(11)

6.初中数学专题培优练习 篇六

1.在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b=

11，根据这个规则方程 ab1 2x※（x1）=0的解为（）．

A．1 B．0 C．无解 D．2.学生有m个，若每n个人分配1间宿舍，则还有一人没有地方住，问宿舍的间数为（）．

m1mm1m B． C． D． nn1nn1ab223.已知ab6ab且ab0,则的值为（）

abA． A、2 B、2 C、2 D、2

1a0.7b4.不改变分式的值，把分式2的分子与分母的各项系数化为整数为： ．

0.3ab5.已知112x14xy2y3,则代数式的值为 xyx2xyy2a2b26．已知a0，ab，x1是方程axbx100的一个解，那么代数式的值是

2a2b____________．

1a4a21_____________． 7.已知：a5，则2aa8.为增强市民节水意识，某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m，则每立方米收费1．5元；若每户每月用水超过5m，则超过部分每立方米收取较高的定额费用．2月份，小王家用水量是小李家用水量的333

2，小王家当月水费是17．5元，•小李家当月水费3是27．5元，求超过5m的部分每立方米收费多少元？

9.某工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作20天完成．

（1）求乙工程队单独做需要多少天完成？

（2）将工程分两部分，甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天，其中x、y均为正整数，且x<15，y<70，求x、y．

10．（1）A、B两地相距20 km，甲骑车自A地出发向B地方向行进1小时后，乙骑车自B地出发，以每小时比甲快2倍的速度向A地驶去，两车在距B地12 km的C地相遇，求甲、乙两人的车速.（2）在抗震救灾活动中,某厂接到一份订单,要求生产7200顶帐篷支援四川灾区,后来由于情况紧急, 接收到上级指示,要求生产总量比原计划增加20%,且必须提前4天完成生产任务,该厂迅速加派人员组织生产,实际每天比原计划每天多生产720顶,请问该厂实际每天生产多少顶帐篷?

11.骑自行车翻越一个坡地，上坡1千米，下坡1千米，如果上坡的速度是25千米/时，那么下坡要保持什么速度才能使全程的平均速度是30千米/时?

12.（2012•珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的

5倍，购进数量比第一次少了30支． 4（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？

（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？

13.（2011•来宾）某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个．（1）求第一次每个书包的进价是多少元？

（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的书包全部按同一标准一次性打折销售，但 要求这次的利润不少于480元，问最低可打几折？

14.（2012•桂林）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度（单位：米/分）是多少？（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？

15.（2011•葫芦岛）某开发商要建一批住房，经调查了解，若甲、乙两队分别单独完成，则乙队完成的天数是甲队的1.5倍；若甲、乙两队合作，则需120天完成．（1）甲、乙两队单独完成各需多少天？

（2）施工过程中，开发商派两名工程师全程监督，需支付每人每天食宿费150元．已知乙队单独施工，开发商每天需支付施工费为10 000元．现从甲、乙两队中选一队单独施工，若要使开发商选甲队支付的总费用不超过选乙队的，则甲队每天的施工费最多为多少元？总费用=施工费+工程师食宿费．

16.（2010•大田县）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．

（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价-进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．

18.（2008•桂林）某校在教学楼前铺设小广场地面，其图案设计如图所示．矩形地面的长50米，宽32米，中心建一直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个长20米，宽5米的小矩形花坛，图中阴影处铺设广场地砖．（1）求阴影部分的面积S（π取3）；

（2）某人承包铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，问原计划每天铺多少平方米？

1.若xyz，且3x+2y－z=14,求x,y,z的值。23

7.初中数学分类讨论专题 篇七

一、初中数学中分类讨论思想的应用应该遵循的原则

1.互斥性与多层性原则

互斥性原则其实就是指在分类之后,各子项应相互排斥,不能够促使其中的部分事物同属于一个子项。用一个简单例子来说明:譬如,一个班学生参加快跑与篮球比赛的学生一共有8个人,其中参加快跑比赛有5人,而篮球比赛有5人,这些都是由于两人两项比赛都有参加,若将着8人分类为参加快跑与篮球比赛两类,其主要存在逻辑性错误。除此之外,在进行初中数学解题的过程中,分类讨论又一次与多次分类讨论之分,所以将讨论的对象分作两个层次性的相互矛盾的概念,以便于更好的将枯燥无味的数学知识展示给学生,从而将数学知识逐层。

2.同一性与相称性原则

要想把分类讨论思想有效的运用到初中数学解题当中,教师应该做到以下几步:第一步,要确定分类讨论的对象,从而进行分类,并且分类的过程中一定要做到,主次清晰,不叠加,不遗漏。譬如,在对三角形进行分类的过程中,教师可以将三角形分成等腰三角形、锐角、直角三角形以及钝角三角形等等。值的注意的一点就是分类要相称,换句话说其实就是在分类之后,分类子项的并集要与母项的子集相称。

二、探讨分类讨论思想在初中数学教学中的应用

1.分类讨论思想在应用题中的运用

譬如,某家具厂主要生产桌子和椅子,桌子的市场定价大概为每张200元,而椅子的市场定价为40元,厂家为了能够提升这月的销售额,给广大消费者提供了两种购买方案,其一方案:买一张桌子送一张椅子。其二方案:桌子和椅子均按照定位的90%付款,但是两种优惠方案不能同时使用。如果某家具店老板打算购买20张桌子和椅子若把,请给家具店老板制定出一个非常划算的购买方案。

分析:由于题中没有直接的给出家具店老板要购买椅子的数量,所以,在制定方案时难免会有些麻烦。解题方式如下:

解:设家具店老板需要购买的椅子为x张,则有两种方案分别是:第一种方案,200×20+x-20)x40=3200+40x(元),第二种方案,(200x20+40x)x90%=3600+36x(元)设y=(3200+40x)-(3600+36x)=4x-400(元)而当y>0时,4x-400>0,x>100,由此可看,两种购买方案中,第二种方案比较适合。如果当y=0时,4x-400=0,x=100则两种购买方案均可以使用。而如果当y<0时,4x-400<0,20<x<100,则第一种方案相对比较划算。从上述解题可知,如果家具老板购买的椅子在20张一张,但少于100张时,第一种购买方案比较划算,而如果购买的椅子张数是在100张以内,则两种购买方案均划算,同时,如果购买的椅子张数是在100张以上,则方案二比较划算。

2.分类讨论思想在三角形问题中的应用

众所周知,初中数学教学中的三角形问题中,经常运用到分类讨论的思想,因可以让学生更好的掌握数学知识,以便于更好的提升数学课堂教学效率。譬如,在已知两边长且图形为等腰三角形,求该三角形面积为周长。在此条件下,并不明确已知条件下,不知道那条底为边长,那条为腰,这时就需要进行分类讨论,方可尽快找到答案,抓住题中的关键因素,如例题:已知3cm与4cm分别为直角三角形的两边长,求直角三角形的第三边长。解此题,需要把分类讨论思想有效的应用在教学中,把分为4cm为斜边长或者一直角边长这两种情况,从而分别求出第三边长为7cm,或5cm。

3.分类讨论思想在函数问题中的实际应用

譬如,已知关于x的函数y=ax2+x+1(a为常数)若函数的图像与x轴恰好有一个交点,求a的值是多少?

分析:当此函数为一次函数时,a=0,求得与x轴交点为(-1,0)而如果当此函数为二次函数时,a不能等于0,即a=0.25时,有一个交点为(-2,0)

综合以上分类,a=0,或者a=0.25。在面对此题时,教师一定要让学生知道考核点是根据一次函数与二次函数的变换而确定存在的分类讨论必要。因由于函数中x2前的变量a不定,换句话就是a有可能就是任何一个数字,因此,要首先对a的取值进行分类讨论,其实就是a=0时的讨论方案与a不能等于0时的讨论方案。然后,要引导学生要找准a的取值范围后,继而让学生快速进入到函数的变换中,由此可以得出,当a=0时,函数为一次函数,当a不等于0时,函数即为二次函数。从上述解题可以看出,将分类讨论思想有效的应用在函数解题当中,其不仅可以让解题内容更加简单,也可以促使学生能够更快的熟悉一次函数与二次函数的区别,最终在脑中有一个简单的架构,从中得出相应的解题方案。

4.分类讨论思想在不等式问题中的实际应用

就目前的发展趋势来看,分类讨论思想在初中数学教学中得到了广泛的应用,其在不等式问题中应用最为广泛。譬如,在八年级一例题中,解不等式(h-1)x>h2-1,若不加区分,得出x>h+1就错了。因为k-1的值可以是h-1>0,h-1=0,由此可以得出,分类情况不同时,讨论的结果也就不相同。解题过程如下:

解析:当h-1>0,即为h>1时,则x>h+1.如果当h-1=0时就是h=1时,则原不等式无解。而如果当h-1<0时,其h<1时,由此可以推断出x<h+1.综上所述,当h>1时,x<h+1,而如果当h=1时,不等式无解,当h<1时,x<h+1.从上述题可以看出,对于解不等式的问题,将分类讨论思想有效的应用在不定式问题中得到了广泛的支持与应用,其主要原因有以下两点:第一,不等式存在严重的不定性,给学生的解题带来了很大的困难。第二:不等式存在的变量非常多。因此,在进行数学教学的过程中,教师一定要引导学生具有分类讨论的思路,这样不仅可以帮助学生更好的解题,还可以促使解题结果鞥更加准确,从而减少错误率,提高学生的学习效率,进而提升我国初中数学数学教学效率。

5.分类讨论思想在圆中的应用

圆是初中数学教学最重要的教学内容,其主要包括圆的对称性,圆与直线,等等。而在圆的对称性及位置关系的解题过程中,分类讨论思想成为了主要的解题思想。其不仅可以让学生更加明白题目中的变量及图形与图形之间的距离,而且还可以让学生在解题的过程中更加清楚知道应该采取何种解题方法进行解题,更可以促使解题结果更加准确。譬如假设半径分别为6和4的两圆相切,求两圆之间的圆心距是多少?从题中可以分析出:如果两圆为外切,则两圆之间的圆心距就是10,而如果两圆为内切,则两圆之间的圆心距就是2。所以,两圆之间的圆心距为10和2.从上述解题可以看出,分类讨论思想确实应该在教学中得到广泛的应用,以便于更好的提高学生的学习效率。

三、结束语

综上所述,将分类讨论思想应用在初中数学教学中即是新课程理念的要求,也是学生发展的需要。所以,在进行数学教学的过程中,教师一定要根据实际的教学内容有效的将分类讨论思想应用在不等式、圆以及函数的解题中,以便于让学生更好的进行解题,从而提高学生的学习效率,促进初中数学教学效率得以提升。总地来说,分类讨论思想不仅是一种深化的数学思维方式,也是一种对数学的认知能力。

参考文献

[1]刘江华.分类讨论思想在高一数学教学中逐步渗透的实践探究[D].河北师范大学,2013.

[2]李学.分类讨论思想在初中数学教学中的应用与实践[J].散文百家,2015,(05):64+85.

8.初中数学分类讨论专题 篇八

关键词：初中数学；教学；解题；分类讨论 在初中数学中，一般逻辑性明显、综合性和探索性强的问题都是需要借助分类讨论思想去解决的。这类题可以使学生逻辑思维得到锻炼，帮助学生培养出一个条理清晰的解题思路和扎实的概括性思维能力，但是普遍存在于中学生当中的一个问题就是：一方面学生在分类讨论思想的掌握上还存在一定的问题，另一方面是学生不够重视,所以针对这种情况，教师一定要深入探究，加大对这部分知识的训练强度,认识到解决分类讨论问题的关键——增加题设条件，将整体问题部分化，抽象问题形象化，最终达到解决问题的目的。具体来说，就是根据不同研究对象把需要解决的问题分类讨论，将可能出现的结果全部列举出来，列举时必须全面思考，做到不漏掉任何可能,不重复任何可能，力求精准，列举完后再逐一解决。

一、分类讨论思想及具体解题步骤

在教学过程中，有很多教学目的是无法通过口述达到的，尤其在开放性题型、数式变形中需要的附加条件、几何图形的形状和位置关系等方面都是必须借助分类讨论思想的。那么，为什么要分呢？举个很简答的例子：一盒弹珠被不小心洒落满地，我们必须将它们如数收回，可是，这是第一次打开盒子，我们并不知道其中包含多少颗弹珠，如果漫无目的的四处寻找肯定是可以找回一些的，但这种方法并不科学，而且费时费力，更重要的是你也无法确定自己是否如数寻回了所有弹珠。这时其实正确的做法是将地板分成若干个部分，以自己一眼就能发现这块地板上是否存在弹珠为划分标准，有序的将每块地板上搜寻过，这样一来，不就避免遗漏了吗？通常在解决初中数学中几何图形类问题时，我们必须根据情况选择一种合理的分类方式，才能保证全面考虑，不遗漏不重复，使所数出图形的数量准确无误。最常见的分类讨论思想可以概括为三种：①用并列的复句表示出分类讨论后产生的结果的并列形式。②对分类讨论后的每一种可能性结果做并集后所产生并集形式。③对讨论结果求交集的交集形式。另外，教师要在学生掌握了分类讨论思想的基础上引导学生正确实践解题思路，具体从四个方面去做:①认真读题，明白考察知识点。②分类讨论对象，列举可能结果，不漏不重。③讨论列举出的所有问题的结论④归纳总结，从做过的题中总结规律和解题思路。数学研究各种属性的对象，所以研究结果也自然的产生差异，对不同的对象需要采用不同的研究思想，或者研究过程中出现了不同的状况，这时就需要采用分类研究思想，其实分类讨论思想的本质就是逻计划分思想，如果学生可以将分类讨论思想和具体解题步骤融会贯通，那么他们一定可以争取在再次遇到这类题的时候，在更短的时间里，以更快的速度求得答案。

二、培养学生分类讨论思想的策略

1.逐渐深入分类讨论思想教师在教学的过程中一定要注重循序渐进的引导学生体会分类讨论的思想，比如学生刚上初一，会学习到负数，这时就需要分类有理数，告诉学生有理数可分为正数、负数、零或整数和分数，借此告诉学生不同分类标准下必然会产生不同的分类结果。例如提问学生，一个带着负号的未知数一定是负数吗？学生一般很难明白其中究竟是怎么一回事，这时我们就需要借助分类讨论思想，启发学生在思考“-x”的正负时先确定“x”的正负,分x>0,x=0和x<0三种情况思考，还或者请学生求出方程kx2-2x+3=0的实数根，通常情况下，学生都会忽视掉k对方程性质产生的影响，所以教师在解析题，注意点拨学生k决定着方程的次数，但k要分情况讨论，即k=0,k0，在k0时，再对分情况讨论，即>0，=0和<0三种情况，由浅入深得帮助学生掌握分类思想的运用法则。另外，在初中数学中，常常会要求学生对几何图形的形状和位置进行分类讨论，圆周角定理的证明是课本首次借助分类讨论思想解析的几何证明题，那么，为什么证明要通过圆心相对圆周角会有三种不同的位置情况去解决呢？在讲这部分知识时，请学生认真作图，观察，分析并讨论，形成对问题的一个整体认识；在问题解决之前教师决不能给出分类思路和题目答案，要让学生通过亲身实践，学习到将复杂问题简单化、特殊问题一般化的解题能力。另外就是去绝对值负号类型的题，学生不清楚什么时候去掉符号是本身，什么时候去掉是它的相反数。学生知道有时候是需要讨论的，但却不知道讨论的内容是什么，用什么方式去讨论，这时候就需要我们数学教师在教学过程中教会学生正确合理的运用分类讨论思想解决问题。

2.启发学生分类讨论思维分类讨论思想虽然重要，但它却得不到学生重视，导致无法区分哪些问题需要分类讨论，怎样分类讨论，所以教师必须以教材为教学根本，举出一些易于学生理解的例子，鼓励学生分类讨论，启发学生揭开分类讨论思想的本质原则。例如：二次函数y=a(x+1)2+n的图像过那几个象限？要解决此类问题必然需要探讨图像的开口方向，对称轴和顶点位置，而字母a和n的分类通过学生之间的讨论断定结果。再比如解析2013年郴州市中考題选择第二题：函数y=中自变量x的取值范围是().这道题要引导学生从三个方面去考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不为零；③当函数表达式是二次根式时，被开方数非负。这样学生就能全面考虑问题，准确解题思路了。这类题其实是初中数学教学中的重要组成部分，教师在引导过程中应注意给学生输入分类讨论思想，借助实际案例让学生体会分类方法、本质和作用。

分类讨论思想是数学解题过程中的一项重要解题思维，所以在初中的数学教学时，教师一定要注重培养学生的分类讨论思维，在此类数学题上多探索研究，结合学生在生活实际中对各种分类问题的体验，在遇到分类问题时巧妙的联系引导，使学生认清楚每个分类问题都有它们各自的分类方法，以不同的标准分类就会产生不同的分类结果，在做题时一定要坚守不重复无遗漏的分类结果“互斥”原则；多鼓励学生独立思考，善于用新目光发现新问题，提出新思路，拓展思维的新领域；解决学生思维不灵活的问题，加强对学生的思维训练强度，力求学生用立体的视角看问题；锻炼学生逻辑思维、理性思维和思维速度，让学生带着一个良好的思维能力学习数学，达到分类讨论思想在数学解题和生活实际等多方面的有效应用，提升教学质量。参考文献：

［1］杨继梓.初中数学教学中的分类讨论思想［J］. 陕西教育(教学版) 2011年05期

［2］丁守方.例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用［J］. 新课程学习(基础教育) 2010年10期

［3］陈德前.分类讨论思想的应用［J］. 初中生 2012年06期