初中九年级二次函数知识点总结

初中九年级二次函数知识点总结（14篇）

1.初中九年级二次函数知识点总结 篇一

我们把函数y=ax?+bx+c(a，b，c为常数，且a不等于0)叫做二次函数

12 函数y=ax?(a不等于0)的图像和性质

用表里各组对应值作为点的坐标，进行描点，然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来，就得到函数y=x?的图象这个图象叫做抛物线函数y=x?的图像，以后简称为抛物线y=x?这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x?的对称轴对称轴和抛物线的焦点，叫做抛物线的顶点

13 函数y=ax?+bx+c(a不等于0)的图像和性质

抛物线y=ax?+bx+c的顶点坐标是(-b/2a，4ac-b?/4a)，对称轴方程是x=-b/2a，当a〉0时，抛物线的开口向上，并且向上无限延伸;当a〈0时，抛物线的开口向下，并且向下无限延伸

当a〉0时，二次函数y=ax?+bx+c在x〈-b/2a时是递减的，在x〉-b/2a时是递增的;在x=-b/2a处取得y最小=4ac-b?/4a当a〈0时，二次函数y=ax?+bx+c在x〈-b/2a时是递减的;在x=-不/2a处取得y=4ac-b?/4a

2 根据已知条件求二次函数

21 根据已知条件确定二次函数

22 二次函数的值或最小值

23 一元二次方程的图像解法

2.初中数学“二次函数”教学设计 篇二

1.知识目标

学生能够依据实际问题，寻找变量之间的关系，列出函数关系式，求出自变量的取值范围。

2.能力目标

培养学生数形结合的数学思想，能利用数形结合的数学思维方法思考数学问题，培养学生用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标

体验数学来源于生活，应用于生活。理论联系实际，培养学生良好的学习习惯。

二、教学重点和难点

1.重点

列二次函数关系式，求自变量的取值范围。

2.难点

学生数形思想的培养，解决实际问题的能力培养。

三、教学手段

多媒体技术，激发学习兴趣;小组合作交流，学生主动参与。

四、教学步骤

1.复习前面方程的知识，引入二次函数概念，完成由方程到函数的转变

初中数学中二次函数概念至关重要，教师在日常教学中要渗透二次函数的概念。如教师提出问题：设圆的面积为S，半径为R，写出圆的面积函数表达式。教师利用具体的实例，阐述二次函数的概念，y=ax2+bx+c（a≠0）叫做二次函数，学生依据具体实例理解二次函数的概念，并对二次函数的定义域做出明确的解释，弄清y随x的变化而变化，y是x的二次函数。教师明确：这个等式不单是一个方程式，也是两个量的一种变化关系，一个未知数的变化必然引起另一个未知数的变化，第一个未知数叫自变量，第二个未知数就是第一个未知数的函数，两个量之间存在函数关系。完成由方程式向函数概念的转变。

2.創设生活情境，分小组合作，把函数知识应用于生活实际

例如，某超市经营的一种商品，成本价格是每件20元，若按每件25元销售，一个月能售出300件，销售价每涨1元，月销售量就减少50件，当销售价为每件28元时，计算销售量和月利润。教师提出问题让学生分组讨论，（1）商品的月利润与进价、售价、销售量之间存在怎样的关系？（2）如果不改变售价，每件商品利润是多少？一个月的利润是多少？（3）如果每件商品涨x元，每件商品的利润是多少？一个月的利润是多少？在学生对问题初步了解的基础上，分小组合作探究，通过讨论，找到解决实际问题的方法，激发探究问题的主动性。

3.用多媒体展示商品月利润随销售价格变化的图象，渗透数形结合思想

用多媒体课件展示二次函数的图象，形象直观，学生从多维度来体验知识的形成过程，活跃学生的思维，为学生提供动手的机会，学生由知识的接受者变为知识的主动探索者。

教师利用学生的生活经验，将数形结合的实例运用到数学教学中，在课堂上渗透数形结合思想，提高学生用数形结合思想解决实际问题的能力，抽象的函数概念，只有在具体的应用中才能理解深刻，通过用函数性质比较大小等活动，深化函数概念。

4.二次函数概念的形成

教师引导学生观察二次函数关系式，提出问题，学生思考后回答：（1）函数关系式的变量有几个？（2）关系式是几次多项式？学生讨论交流后，教师归纳总结：自变量是何值时，函数值最大。明确二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做x的二次函数，a、b分别是二次函数、一次项的系数，c是常数项。

5.课堂训练

下列函数中属于二次函数的是哪些？（1）y=2x+3，（2）y=3x2+1，（3）y=4x3-x2，（4）y=2x4-2x+5，学生思考后回答。

6.课堂小结

（1）让学生复述二次函数的定义。

（2）让学生联系生活实际，自编二次函数的应用题，列出函数关系式。

7.布置作业

寻找生活中与二次函数有关的实例，将课堂知识延伸到课外。

五、教学反思

1.渗透数形结合的数学思想，培养学生的创新思维

数形结合是根据题设和结论之间的联系，把数学问题数量关系和几何图形结合起来，分析数学问题的数量关系和几何意义，形成探求解决数学问题的思路方法，联系学生的生活实际，将数形结合的实例运用到数学教学中，在课堂上渗透数形结合思想，提高学生用数形结合思想解决实际问题的能力，收到良好的教学效果。

2.运用现代教育技术，锻炼学生判断推理能力

初中阶段是逻辑思维能力形成的重要时期，初中数学函数教学是教学的重点，但函数知识比较抽象，函数概念难以理解。教学中单靠教师的口头讲解，学生容易产生厌倦情绪，引入多媒体教学，可以增强学生学习的兴趣，增加课堂的容量，培养学生的观察力和判断推理能力，收到良好的教学效果。

参考文献：

[1]马旭军.初中数学函数知识教学模式探析.中学教学参考，2010（3）.

[2]董爱国.浅析初中数学函数教学中思维能力的培养.新课程，2009（4）.

3.九年级数学二次函数教学反思 篇三

2、小组合作学习，发现其中的规律。鼓励学生相互交流自己的想法，并说明理由。如在画出图象后，提问学生“我们可以从图中观察到什么”。渗透了数形结合的思想，培养了学生观察、综合分析的能力，增加了学习的自信心和学习的能力。在合作学习中，也培养了他们善于与人交流，合作，肯于负责任的良好个性品质。

3、教师适时地总结、深化，提高认识水平。教师在不断地总结中渗透数学思想方法，抓住时机培养学生思维的深刻性。如这几个基本函数的学习上一节课经历了从实例抽象概括出函数概念，本节课由函数的解析式画出函数的图象，总结出函数的性质，再利用所学知识解决有关问题。在师生的共同讨论中，深化所学知识，培养学生具备反省思维的能力。

4、课堂教学中充分体现了教师和学生的“双主作用”，其中“问题导学”的教学模式起了重要作用。只有教师创造性的教，学生才能创造性地学，一旦学生的学习活动充满创造性的时候，学习过程便充满美的魅力，成为学生积极进取、自我完善的过程。

4.初中九年级二次函数知识点总结 篇四

（加强基础知识练习，祝你数学学习进步）

1、形如y=（其中a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。

自变量的取值范围是。

2、二次函数y=ax(a≠0)的图象是，它关于对称，顶点是。当a＞0时，抛物线的向上，顶点是抛物线上的；当a＜0时，抛物线的开口，顶点是抛物线上的。

函数y=(ax+m)(a≠0)的图象可以由函数y=ax(a≠0)的图象向（当m＜0）或向（当m＞0）平移个单位得到。

函数y=(ax+m)+k(a≠0)的图象可以由函数y=ax(a≠0)的图象先向右（当m＜0）或向左（当m＞0）平移个单位，再向上（k＞0）或向下（当k＜0）平移个单位得到，顶点是，对称轴是直线。

3、二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是一条，它的对称轴是直线，顶点坐标是。当a＞0时，抛物线的开口，顶点是抛物线上的；当a＜0时，抛物线的开口，顶点是抛物线上的。

对于二次函数y=ax+bx+c(a≠0)，若a＞0，则当x≥时，y随x的增大而增大，当x ≤时，1 2222222

y随x的增大而，当x=时，y最小值=；若a＜0，则当x≤时，y随x的增大而，当x≥时，y随x的增大而减小，b当x=时，y最大值=。2a4a4、主要方法和和技能

（1）用描点法画二次函数的图象。

（2）利用图象求一元二次方程的解。

（3）求二次函数的最大值或最小值。

5.初中九年级数学知识点总结 篇五

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：△y/△x=k (△为任意不为零的实数)，即函数图像的斜率。

2.一次函数的表达式：y=kx+b

3.性质：当k>0时，y随x的增大而增大;

当k<0时，y随x的增大而减小。

当b>0时，该函数与y轴交于正半轴;

当b<0时，该函数与y轴交于负半轴

当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

4.一次函数定义域x∈R,值域f(x)∈R

5.一次函数在x∈R上的单调性：

若f(x)=kx+b,k>0，则该函数在x∈R上单调递增。

若f(x)=kx+b,k<0，则该函数在x∈r上单调递减。

2 函数性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b(k≠0) (k不等于0，且k，b为常数)

2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).

当y=0时，该函数图像在x轴上的交点坐标为(-b/k，0)

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)

形、取、象、交、减。

4.当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.

5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行;

当k不同，且b相等，图像相交;

当k互为负倒数时，两直线垂直;

当k，b都相同时，两条直线重合。

3 图像性质

1.作法与图形：通过如下3个步

(1)列表

(2)描点：一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理;

(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b)

2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像都是过原点。

3.函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4.k，b与函数图像所在象限：

y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图像是是一条经过原点的直线)

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当b>0时，直线必通过一、三象限;

当b<0时，直线必通过二、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值(即一次项系数)相等.

6.初中九年级二次函数知识点总结 篇六

关键词：初中数学 二次函数 教学策略

函数教学是初中数学教学中相当重要的内容，其不仅仅是一个重要的数学概念，还是一种主要的教学思维方式。二次函数是数学教学中的重点也是难点，但是在教学的过程中，很多教师不能有效地将教学内容传授给学生，主要原因是二次函数的理解相当困难，因此教师在教学的过程中，应该掌握适当的方法，完成对二次函数这一难点的教学。

一、初中数学二次函数教学中应该注意的事项

（一）教师课堂教学方法的多样性

数学的教学过程实际上是一个对未知领域的探索的过程，通过不断提出问题、验证问题、改正探究方法、解决问题以及发展问题，完成对初中学生在概括能力、推断能力以及选择判断能力的培养，从而培养学生的数学探索能力。在进行数学探索的过程中，选择正确的方法是相当重要的。例如，给定了一些特定的条件，完成对函数的解析，通常选用的方法是y=mx2+nx+c，顶点式y=a（x-m）2+n这两种不同类型的解析式来探索问题的方法，通过利用不同的教学方法，在具体的教学探索中不断的应用，促使学生充分发散思维，从而更好地了解函数中的数学思维。

（二）教学中应该有效地把二次函数与其他内容区分开来

数学教学应该给学生探索问题标出明确的方向，然后帮助学生完成对数学基础知识、技能思维方式以及运算能力的教学要求，这样方便学生在对知识的学习过程中，将抽象的数学问题具体化。在实际的数学教学内容中，二次函数题目中不仅包含了二次函数的因素，还包含一元二次方程式、一次函数、反比例函数以及其他数学因素。所以教师在教学的过程中，应该通过各种不同类型的二次函数试题进行讲解，帮助学生快速有效地将二次函数题目中混淆视听的因素都排除出去，在实践中帮助学生总结归纳出相应的数学常识。

（三）在教学的过程中应该充分激发学生的学习积极性

如果在教学的过程中，教师的教学课堂氛围沉闷无聊，学生学习的情绪也就不高，很有可能影响学生的学习兴趣，甚至出现厌学的状况。厌学的问题在许多的初中教学中都普遍存在，尤其是在初中数学教学中，因为数学本身难学，而且二次函数又是数学教学中的难点，学生在遇到问题的时候，也没有兴趣去解决，很大程度上影响了其学习成绩。所以，教师在教学的过程中，应该采取多媒体教学的手段，为学生的数学学习创造良好的学习氛围，充分调动学生学习数学的兴趣，以此来提高数学学习效率。

二、提高初中数学中二次函数教学水平的方法

（一）强化学生对二次函数的了解

数学作为一门灵活的教学科目，最忌讳的就是在学习过程中死记硬背。因此在教学的过程中，教师应该结合学生日常生活中的常见现象，创建合理的二次函数模型。例如，在某商店中某种商品的平均售价是59元，每个星期平均能够卖出去250件，根据市场调查结果显示：如果每件商品的价格上调1元，那么每星期则会少卖出去18件，如果价格降低1元，那么，每星期都可以多卖出去19件，已知的条件是每件商品的进价是39元，计算如何分配价格才能使商店的利润最大化？分析的思路应该是商店总利润=卖出的商品数量×商品的单价-成本，因此列出的二次函数公式为涨价后y=（59+x-39）（250-18x），降价后y=（59-x-39）（250+19x），这样的情况分析，能够使得学生一目了然，很大程度地帮助学生提高分析题目的能力，培养学生的思维能力，加快其对题目的理解。

（二）将数学函数式与图形进行合理的结合

在数学学习中，图像是掌握好数学公式的一种有效的方法，看见数学公式的时候就想到相应的数学图形，看到图形的时候想到相应的数学公式，这样能够帮助学生更好的理解数学。首先通过描点，将二次函数y=x2、y=x2+1、y=x2-1等图像描绘出来，以此来表现y=ax2与y=ax2+k图像之间的关系与区别。同理，通过观察y=a（x-h）2与y=（x-h）2+k图像的形状与位置，描述出二次函数的公式与图形之间的联系。如果两个二次函数的二次项系数是一样的话，那么他们的抛物线图像的线性曲线就是一样的，也就是说抛物线y=a（x-h）2+k的图像是由y=ax2的图像经过平移得到的。通过将这些熟悉的图像进行讲解，然后经过学生的细心观察，总结出抛物线的特点，在此基础上，进一步研究二次函数的递增、递减性以及最值的问题。在此过程中，通过抛物线的形状，判断二次函数的系数a、b、c的值以及△等与其相关的代数符号的意义，也就是说，当看到图像的时候就能大致说出其解析式，看到解析式的时候能够想象出图像的大致形状。

（三）改变教学观念

教学观念能够直接影响课堂教学的质量，如果观念没有调整好，即使再好的教学材料，学生的学習成绩也上不去。在传统的教学中，教学观念是教师讲，学生听，学生一直处于被动的状态，学习兴趣不高，因此在新课改的背景下，数学课堂应该建立全新的教学观念，全新的教学观念应该尽量做到五个转变以及四种教学观念。五个转变是：将单纯的应试教育转变为全面的素质教育；将填鸭式的教学方法转变成启发式的教学方法；将只局限于课堂的封闭式教学转变为复合式的开放式教学；将单纯传授知识的教学方式转变成既传授知识，又发展能力的教学方式；将传统的“一刀切”教学思想转变成因材施教、因人施教。四种教学观念是指在对二次函数的学习过程中，应该确立四种观念：整体观念；重学观念；发展观念；愉快观念。

三、总结

总而言之，在教学的过程中，教师应该对学生的创造性思维进行培养，在教学过程中充分发挥学生的潜在能力，提高学生学习的积极性，促使学生数学学习成绩的提高。

参考文献：

[1]刘聚奎.浅谈初中数学的函数教学[J].读写算：素质教育论坛，2013（16）：13.

[2]郭爱莲，张少美，唐兴军.初中函数教学的几点浅见[J].中国校外教育，2012（5）：123-124.

[3]代怀峰.浅析初中教学二次函数的教学[J].读与写，2013（15）：188-189.

7.九年级数学二次函数随堂练习题 篇七

数学是一个要求大家严谨对待的科目，有时一不小心一个小小的小数点都会影响最后的结果。下文就为二次函数随堂练习，希望大家认真对待。

一、选择题

1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有 (??? )

① a + b + c>0 ② a - b + c<0? ③ abc< 0? ④ b =2a? ⑤ b >0

A. 5个? B. 4个? C .3个? D. 2个

2.抛物线y=x2-ax+a-2与坐标轴的交点个数有(?? )

A.3个 B.2个? C.1个?? D.0个

3.下列过原点的抛物线是 (???? )

A.y=2x2-1?? B. y=2x2+1??? C. y=2(x+1)2?? D. y=2x2+x

4.已知抛物线过A(-1, 0)和B (3, 0)两点，与y轴交于点C，且BC= ，则这条抛物线的解析式为(??? )

A.y=-x2+2x+3?? B. y=x2-2x-3??? C. y=x2+2x-3 或y= -x2+2x+3?? D. y= -x2+2x+3或y= x2-2x-3

5.二次函数y= a (x+m)2-m (a≠0) 无论m为什么实数，图象的顶点必在 (??? )

A.直线y=-x上???? B. 直线y=x上 C.y轴上 D.x轴上

6.如图，在直角三角形AOB中，ABOB，且OB=AB=3，设直线 ，

截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为 (?? )

7. 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：

① 当c=0时，函数的图象经过原点;

② 当c>0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根;

③ 函数图象最高点的纵坐标是 ;

④ 当b=0时，函数的图象关于y轴对称.其中正确的命题的个数有 (??? )

A. 1个??? B. 2个???? C. 3个 D. 4个

8. 若一抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2, y =1, y =2 围成的正方形有公共点，则a的取值范围是 (?? )

二、填空题

9.抛物线y=-2(x+1)2+1的顶点坐标是 .

10.将y=2x2的函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到二次函数解析式为?? .

11.抛物线y=(1-k)x2-2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 .

12.已知二次函数y=x2+kx-12的图象向右平移4个单位后，经过原点，则k的值是

13.写出一个二次函数的.解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数解析式可写为??? .

14.二次函数 y=ax2+c(a,c为已知常数)，当x取值x1,x2时(x1≠x2)，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为??? .

三、解答题

15.根据下列不同条件，求二次函数的解析式：

(l)二次函数的图象经过A (1, l)，B(l, 7), C(2,4)三点;

(2)已知当x=2时，y有最小值3,且经过点(l,5 );

(3)图象经过(-3,0),(l,0), (-l，4)三点.

16.画出函数y=x2-2x-3象，利用图象回答下列问题：

(l)x取何值时，y随x的增大而减小?

(2)当x取何值时， y=0， y>O, y<0?

(3)若x1>x2>x3>1 时，比较yl, y2, y3的大小

17.已知二次函数y=-2x2，怎样平移这个函数图象，才能使它经过(0,0)和(1，6 )两点?

18.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形-边长为x(m) ，面积为S(m2).

(l)求出S与t之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围;

(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.

19.某跳水运动员进行IOm跳台跳水的训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为己知条件).在跳某个规定动作时，正确情况下，该运动员在空中的最高处距水面 m，入水处与池边的距离为4m, 同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.

(l)求这条抛物线的解析式;

(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 ，问：此次跳水会不会失误?通过计算说明理由.

2. 把y= -x2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n的形式是(? )

8.初中九年级二次函数知识点总结 篇八

一、希腊城邦

希腊最早的文明产生于爱琴海地区(海洋文明)。

爱琴文明包括克里特文明和迈锡尼文明。

迈锡尼文明中断后，希腊经历了荷马时代和城邦时期。

公元前8世纪希腊出现几百个城邦，突出特点是“小国寡民”。

居民分为公民和非公民。是统治与被统治的关系。

公民：成年男性公民有参与统治的权利，能占有土地，参军打仗是公民的义务，城邦的各种活动都是以公民为主。

非公民：包括外邦人和奴隶，没有政治权利，不能占有土地。

二、雅典的民主政治

公元前5世纪中后期，伯里克利统治时期，雅典达到全盛，民主政治发展到了高峰。

民主政治的表现：

1、公职人员几乎都是在从全体公民中抽签产生。

2、代表各地的10个主席团轮流主持城邦日常事务，召集公民大会。主席台主席也经抽签产生。

3、为了保证公民参政议政，还建立了津贴制度。

公民大会是最高权利机构，具有立法司法等多种职能。

外邦人、奴隶、妇女没有任何政治权利。

三、亚历山大帝国

公元前4世纪，希腊北部的马其顿帝国发展称为军事强国。

公元前334年马其顿国王亚历山大开始进攻波斯帝国，公元前330年波斯帝国灭亡。

亚历山大帝国范围：西起希腊，东到印度河，北抵中亚，南达埃及，地跨欧亚非三洲。

亚历山大东征的影响：

弊：具有侵略性，给东方人带来巨大灾难，也掠夺了东方世界的无数财富。

9.初中九年级二次函数知识点总结 篇九

【关键词】初中数学；二次函数；策略

引言

函数绝非只是数学中的一个章节或是定义，更是学习数学道路上的一把钥匙。然而，在实际的教学期间，很多教师并不能深入浅出，无法将较为抽象的函数概念变得具体化，使得部分学生难以理解，进展缓慢。因此，老师更要创新教学策略，不仅要使学生掌握“二次函数”的知识，更能从深度上对其进行扩展。

1.初中数学教学“二次函数”中存在的问题

一方面，教师教学手段单一、重复，教师并未应用生活化的教学，对抽象知识概念无法转换成具体化，沿用“填鸭式教学法”，无创新性教学。须知，“二次函数”倘若不结合实际展开教学，通常会使学生难以理解，认为“二次函数”是空洞的概念，不切合实际。部分“二次函数”涉及许多实际问题，如球类运动轨迹、拱桥、跳水等，学生在理解上无法创设合理的平面直角坐标系。

另一方面，教师不会充分应用函数图像对“二次函数”教学的帮助，函数图像是能够直接反映函数内容的一种重要形式，部分学生能够利用函数图像来加强对函数内容的理解。然而，相当数量的老师在教授学生函数时，通常只会机械化告知其函数图像的存在，并未让学生认知到函数图像的作用。

2.提高初中数学教学“二次函数”质量的可行性路径

2.1让学生明白“二次函数”的本质

二次函数y=ax2+bx+c（其中a≠0，a、b、c为常数），含两个变量x、y，只要能够先行明确其中一变量，便能够通过二次函数解析式得到另一变量（解）：一组解是一个点的坐标，二次函数图像则是通过无数点所构成的图像。如：点（-1，0）、（3，5）、（2，-3），提问学生哪些点在图像y=x2-2x-3中？教师在测试学生有无掌握概念时，也可令学生对自己的理解通过语言来阐述说明，而并非单一的背诵书中定义。教师在教学期间可借助部分具体问题展开概念辨析，如此一来，不仅能够启发学生产生积极思考问题的良好习惯，还能够深化学生对二次函数概念的本质理解，落实主体对客体的组建。

一切新概念都是基于熟知旧概念的背景下发现的，而所有数学概念都有与其息息相关的邻近概念。因而，在教学期间更需从学生已掌握的概念视域出发，进一步帮助学生引导发现新概念和旧概念间的区别，明白新概念的本质。学生只有主观上理解“二次函数”的本质，采能够明白概念间的相互联系，提高自整体上掌握数学理论的能力。

2.2发挥多媒体教学优势

为激发学生的学习兴趣，发挥主观能动性，教师有必要开展趣味性“二次函数”的教师。具体来说，教师可通过发达的信息网络条件，借助视频、图片、影像、FLASH等多媒体，提升“二次函数”的教学趣味性。通过FLASH动画向学生解释公式在不同变化下所产生的各异形态，让学生可以更为直观地掌握“二次函数”的图像变化。教师根据“二次函数”教材内容针对性设计PPT，使学生可以更为直观的感知知识点，引发深入思考。

2.3应用函数图像教学

有别于其他函数，“二次函数”的图像变化更加复杂，以公式为标准，不同变量变化会生成不通的图像。如：如教师在教授“二次函数”的基础公式教学过程中，教师可先行列出公式：“y=x2，y=x2+1，y=x2-1”的公式图像，并且让学生分析图像变化特点，在学生画出该图像后，再让其列出公式：“y=-12x2，y=-12（x+1）2，y=-12（x-1）2”图像，以此让学生思考二次函数图像变化的规律。函数图像结合函数公式可纠正学生缺乏抽象思维的问题，加深学生对“二次函数”的理解。又如利用描点，画“y=ax2，y=ax2+k，y=a（x+h）2”的函数图像，并观察图像位置与形象，掌握基本特征，可以按照抛物线的特点来快速判断出解析式。

2.4让学生学会在阅读中思考

数学阅读涉及到思维活动，属于系统的心理活动，其涵盖了感知和认读语言符号、同化和顺应新概念、理解和记忆阅读材料等，是持续利用假设、想象、证明、推理等自主性的活动认知所汲取新信息的阶段。因此，教师要告诉学生在进行阅读时要学会边思考，将“二次函数”题目中的一些关键字词尝试和自己所知的概念知识进行串联，在阅读中提高自身理解力。

3.结束语

综上所述，“二次函数”教学是初中教学任务中的重要内容，为保证教学的有效性，教师可根据“二次函数”的特性与学生理解力科学地安排课堂内容，通过增设图像教学加深学生对概念的记忆。教师要学会因地制宜、因材施教，激发学生学习兴趣，并对学生易混淆的环节进行及时的纠正，多将“二次函数”问题与实际生活中的案例相关联，以提升学生的学习效果。

【参考文献】

[1]华小青.初中数学中“二次函数”的教学策略管窥[J].数理化解题研究，2015.17（13）：23

10.九年级数学二次根式知识点 篇十

① 二次根式的概念：

一般地，形如 √a (a≥0)的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a 称为被开方数。

例如，√2 ，√(x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。

② 二次根式的性质：

当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。

③ 最简二次根式：

1、被开方数中不含有分母 ;2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。

④ 积的算术平方根的性质：

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

⑤ 商的算术平方根的性质：

商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。

⑥ 分母有理化：

化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)化去分母中的根号。

⑦ 化成最简二次根式的一般方法：

1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方;

2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式;

3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。

判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：

(1)被开方数中不含分母;

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;

(3)若被开方数是和(或差)的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积(或一个数)的形式，则为最简二次根式 。

⑧ 二次根式的加减：

(1)先把每个二次根式都化成最简二次根式;

(2)把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并

初三数学重要知识点归纳

(1)圆的对称性

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

(2)基本函数的概念及性质

1.函数y=-8x是一次函数。

2.函数y=4x+1是正比例函数。

3.函数是反比例函数。

4.抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下。

5.抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.

6.抛物线的顶点坐标是(1,2)。

7.反比例函数的图象在第一、三象限。

初中数学有理数知识点

1.1正数和负数

①把0以外的数分为正数和负数。0是正数与负数的分界。

②负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数

1.2有理数

1.2.1有理数

①正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

②所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合。正整数，0，负整数统称整数。

1.2.2数轴

①具有原点，正方向，单位长度的直线叫数轴。

1.2.3相反数

①只有符号不同的数叫相反数。

②0的相反数是0 正数的相反数是负数 负数的相反数是正数

1.2.4绝对值

①绝对值 |a|

②性质：正数的绝对值是它的本身

负数的绝对值的它的相反数

0的绝对值的0

1.2.5数的大小比较

①数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

②正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个负数，绝对值大的反而小。

1.3有理数的加减法

1.3.1有理数的加法

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。

③一个数同0相加，仍得这个数。

④加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a

⑤加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=(a+c)+b

1.3.2有理数的减法

①减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b)

1.4有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法

①两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。

②任何数同0相乘，都得0。

③乘积是1的两个数互为倒数。

④几个不是0的数相乘，负因数的个数的偶数时，积是正数;负因数的个数是奇数时，积是负数。

⑤乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba

⑥乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab)c=(ac)b

⑦乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac

1.4.2有理数的除法

①除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0

③乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

④有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

1.5有理数的乘方

1.5.1乘方

①求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。a叫做底数，n 叫做指数。

②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

③正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

④做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减;

2.同级运算，从左到右进行;

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

1.5.2科学记数法。

①把一个大于10的数表示成的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，使用的是科学记数法。

1.5.3近似数

①一个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数。

②近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。

11.初中函数知识点总结 篇十一

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)

（一）平面直角坐标系

1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系

2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；

3、坐标轴上点的坐标特征：

x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。

4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y轴的对称点坐标是(-m,n)纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横，纵坐标都反号

5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

7、点P（x,y）的几何意义： 点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。点P（x,y）到坐标原点的距离为

8、两点之间的距离：

X轴上两点为A(x1,0)、B(x2,0)|AB||x2x1|

x2y2 Y轴上两点为C(0,y1)、D(0,y2)|CD|已知A(x1,y1)、B(x2,y2)AB|=

|y2y1|

(x2x1)2(y2y1)

29、中点坐标公式：已知A(x1,y1)、B(x2,y2)M为AB的中点

则：M=(x2x1yy1 , 2)2210、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）； 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

（二）函数的基本知识： 基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（三）正比例函数和一次函数

1、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx(k不为零)① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零 当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

2、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b(k不为零)① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-

b，0）两点的一条直线，我们称它为直k线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)（2）必过点：（0，b）和（-

b，0）k（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

k0k0直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限 b0b0k0k0直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 b0b0注：y＝kx+b中的k，b的作用：

1、k决定着直线的变化趋势

① k>0 直线从左向右是向上的 ② k<0 直线从左向右是向下的

2、b决定着直线与y轴的交点位置

① b>0 直线与y轴的正半轴相交 ② b<0 直线与y轴的负半轴相交

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.3、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.注：对于y＝kx+b 而言，图象共有以下四种情况：

1、k>0，b>0

2、k>0，b<0

3、k<0，b<0

4、k<0，b>0

4、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．

(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；

(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为

5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

与 y轴交点坐标为(0，b)．

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6、两条直线交点坐标的求法：

方法：联立方程组求x、y 例题：已知两直线y＝x+6 与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？

7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作

.特别地，轴记作直线

8、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.9、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.10、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.11、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=acx的bb图象相同.（2）二元一次方程组a1xb1yc1ac的解可以看作是两个一次函数y=1x1和

b1b1a2xb2yc2y=a2cx2的图象交点.b2b212、函数应用问题（理论应用 实际应用）

（1）利用图象解题 通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题.（2）经营决策问题 函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知题.(四)反比例函数

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

取值范围： ① k ≠ 0;②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数;③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

反比例函数的性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0和 x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0和x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2=|K| 5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴

y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2 +4k·m≥（不小于）0。（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.(第5点的同义不同表述)

10.反比例上一点m向x、y轴分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|

11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

（五）二次函数

二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般式(已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.)

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2/4a)；

顶点式(已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.)

y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）或（h,k）对称轴为x=-m或x=h，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

交点式(已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式)

y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；

抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 顶点

抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b^2/4a)，当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。开口

二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。决定对称轴位置的因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。（左同右异）

c的大小决定抛物线当①时，∴抛物线,与与

轴交点的位置.与

轴有且只有一个交点（0，）： ,与

轴交于负半轴.，抛物线经过原点;②轴交于正半轴；③直线与抛物线的交点（1）（2）与(,轴与抛物线轴平行的直线).得交点为(0,).与抛物线

有且只有一个交点（3）抛物线与轴的交点 二次函数程根的判别式判定：

①有两个交点

抛物线与轴相交；

抛物线与轴相切； 的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的 ②有一个交点（顶点在轴上）③没有交点

抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交的两点，由方程组

①方程组有两组不同的解时一个交点；③方程组无解时的解的数目来确定： 与与

有两个交点;②方程组只有一组解时没有交点.与

只有（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线，由于、是方程

与轴两交点为的两个根，故

12.初中九年级二次函数知识点总结 篇十二

关键词：二次函数；实际教学；有利建议

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）17-321-01

数学是如今教学过程中令很多学生非常头疼的一门科目，其包含的内容和思路非常广阔，逻辑思维更是需要十分强大。特别是二次函数的教学，是许多初中生甚至高中生都非常难以理解的一项学术。在生活中，二次函数的作用非常大，起着十分关键的作用。二次函数主要接触于初中的数学课本，它是一元二次方程、一元二次不等式有着密不可分的关系。因此，要想在高中学好数学就必须要在初中的二次函数学习中打好基础，从而实现层层梯进的原则，一旦在初中二次函数教学的过程中出现问题，不仅仅是会影响到数学，甚至包括其他的一些科目都是会有很大影响。

一、初中二次函数的教学理念

1、二次函数的概念及函数的转变方式

二次函数的教学尤为重要，学习中，老师要重点学习二次函数，在平时的教学中融入二次函数的理念。例如：在一道题中，设一个圆的半径为R， 面积为S，根据要求写出函数表达式。在教学过程中，数学老师可以从实例中去讲解“如y = ax2 + bx + c（a≠0）的函数叫作二次函数”这个概念，在学习的过程中，让学生去理解二次函数的理念，在此同时，老师在一旁指导，及时更正错误，学生才能更深入的了解y 是x 的二次函数。最重要的还要让学生能够理解这种等式同时还是两个未知数之间的一个变化的关系，就是用两个未知数之间是变化的关系，前面的未知数是自变量，后面的是因变量，存在一种函数关系。让学生在学习中了解从方程到函数的转变。

2、提高学生的观察和判断能力

函数图像对于函数的学习起到了辅助作用，也是学习函数的主要方法之一，图像可以让学生直接看出函数的变化过程，让学生更好地理解函数，二次函数的教学中，合理利用图像，发挥图像的作用，让学生慢慢提高观察能力。长此以往，让学生看到函数等式就能大概画出图像，然后再观察其图像和位置。比如在学习这样一个y = ax2 + bx = c（a≠0）函数时，画出图像，让学生看出图像的开口、顶点、坐标、和对称轴等就可以一目了然，才可以自如的解答出问题。利用图像解题，可以培养学生的观察能力，让学生抓住学习重点，学会不同角度观察问题，来最终解决问题。

3、锻炼学生的判断推理能力

初中数学学习的好坏对学生以后的发展起到非常关键的作用，这得到心理学和生理学的研究结果确认而来，这是因为在学习数学函数中，思维逻辑法运用的最多，而人们生活中思维逻辑也是最常用。但是由于函数的知识比较抽象，老师无法用语言全面表达出来，学生也无法全面理解，长此以往，学生就会产生不耐烦的情绪。多媒体的教学方法对学生的学习是很有帮助的，可以激发学生的兴趣，多媒体在教学中的作用和效果是十分显著的，不仅增加了学习的分量，还可以提高学习效率，制作ppt能达到很好的效果，和传统教学方法有所区别，把单一的教学方式变为了有趣的教学方式，对数学教学很有帮助。

二、二次函数要注意的事项

1、教学方法的多样性

探索能力在数学学习中是很重要的，探索能力也就是创造性思维能力，它结合了各种基础能力，在学习中的探索过程其实也是一个假设过程，学会在学习中做出假设，再进行验证，从而得出结论。例如，一个特定条件下的函数解析式，学生就可以通过一般解析式y = ax2 + bx = c、顶点式y = a（ x +m）2 + n 和带根式y = a（ x - x1 ） （ x - x2 ）等这些解析式来寻找解题的方法，让学生从不同的角度进行解答，进而加强巩固学生的解答能力。让学生的发散思维得到更好的发挥，更深入理解数学的理念，以来达到数学的创造性思维能力。

2、注意函数与其他内容的不同

运算能力、思维能力、基本知识、空间想象能力等能力，可以在数学的学习中慢慢提高，最终是希望学生可以学会提出问题，互相交流自己的意见，让数学问题融入到实际问题中去。在学习中，还要让学生注意区分学习的内容，以免学生思想混淆，因为数学的教学内容之间是有联系的。例如：辨别二次函数和一元二次方程式，二次函数与一次函数、反比例函数的不同和联系，要将每种问题都给学生讲解，让学生明白函数之间的不同，次数的不同决定了函数的名称。才能让学生对二次函数更加了解，理解其本质的变化，才能解答的更加流畅。

3、兴趣是学习的关键

兴趣对学习是很重要的，在学习中，兴趣是最好的老师。但是在如今社会，大多数学生学习过程中普遍存在着厌学这一现象，感觉是为别人而学，自己不够的重视。特别是在数学教学中，中国学生这一现象更为突出，学生对数学的兴趣普遍偏低，这就给数学的教学带来不好的影响，对老师的教学工作带来了很大的困扰。因此老师要注意激发学生对学习的兴趣，学生没有兴趣就无法对学习认真，要想提高学习效率，兴趣是最关键的。而且在学习过程中，带有兴趣的去学习和带着敷衍态度去学习是完全不一样的，不仅多花了时间和精力，更重要的是没能带来任何帮助。兴趣在学习中的作用是非常大的。

综上所述，初中的数学教学中，老师起到了很大的作用，老师可运用多种方法来传授二次函数的教学，多利用多媒体的教学手段以及数形结合的方法，以便学生更能深刻的理解二次函数的理念，在课堂上，多和学生互动，培养学生的兴趣，让图像深入学生的思想来解决更难的问题，作业上，要注意难度的力度，尽量让学生在轻松的氛围里学习，学习的效果会更好，学生才能学习的更加出色。

参考文献：

[1] 吴亚敏.初中数学函数教学存在的困难及其教学对策研究[D].杭州师范大学，2010.

[2] 郭利平.初中数学函数教学研究[D].内蒙古师范大学，2011.

13.初中九年级政治知识点 篇十三

(1)面对当下的校园学习生活，我们要正确面对可能出现的困难和压力，调整心态，完成学习任务。

(2)九年级对我们的学习方法、学习能力和学习品质提出了更高的要求。在这个阶段，我们还要迎接升学、就业的挑战。这时，有一些学习压力，感到担心、紧张、焦虑，是一种正常心理现象，我们要坦然面对。

(3)学习对青少年来说既是权利，也是责任和义务，更是适应未来社会需要所必备的一种能力。因此，学习应该成为我们的一种生活方式 。

2.青少年如何在实践中学习?

(1)我们不仅要重视书本知识的学习，而且要坚持在实践中学习。 实践出真知。 在实践中，我们锤炼自己，丰富人生经历，完善自我，提升自身素质。

(2)学习是一个长期的过程，学校学习只是其中的一个阶段，我们始终不能停止学习的步伐，要在生活和工作中学习，主动服务社会。

(3)我们要重视实践，积极参加社会调查、志愿服务、科学实验等各类社会实践活动，增强问题意识，培养研究能力，努力做到知行合一。

(4)我们生活实践中的问题层出不穷，必须树立终身学习的理念，养成主动学习、不断探索的习惯，增强自我更新、学以致用的能力。

3.我们应该怎样做好职业准备，规划自己的职业生涯?

(1)丰富多彩的职业是社会分工的要求，也是个人为社会作贡献、实现人生价值的基本路径。在走向未来的征程中，我们应该做好职业准备，规划好自己的职业生涯。

(2)做好职业准备，进行职业选择，要考虑自己的兴趣爱好，要把握自己的个性特长，要结合自己的能力和经验，当经验、能力与职业的要求差距较大时，要加强学习，提高自身素质，适应工作岗位的要求，满足国家与社会发展的需要。

(3)在经济全球化时代，科学技术突飞猛进，人们的职业选择越来越丰富，发展空间越来越广阔，给我们带来更多的就业机会和挑战。

(4)国家鼓励劳动者自主创业和自谋职业，促进创业带动就业，我们要顺应时代的变化，抓住机遇，做好多方面的准备，努力提升自身素质，迎接未来世界的挑战。

4.我们为什么要培养敬业精神?

(1)选择职业，走上工作岗位，就要担负相应的工作责任。每种职业都要承担一定的社会责任，每个工作岗位都有相应的岗位职责要求。国家对职业行为有法律规范要求，社会对职业行为有道德要求。

(2)劳动创造价值，只有热爱本职工作，脚踏实地、勤勤恳恳、刻苦钻研、精益求精、不断创新，才能成就一番事业，实现自己人生的价值。

(3)能够找到一份自己感兴趣的工作是幸运的、快乐的，没有找到也不必泄气。 在未来的工作中要处理好职业与兴趣的关系，在工作中培养兴趣，履行好工作职责，爱岗敬业。

14.初中九年级二次函数知识点总结 篇十四

教案（湘教版）

【知识与技能】

.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.【过程与方法】

经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.【情感态度】

体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.【教学重点】

二次函数的概念.【教学难点】

在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.一、情境导入，初步认识

.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S的关系式是S=-2x2+100x,；电脑价格y（元）与平均降价率x的关系式是y=6000x2-1XXx+6000,.它们有什么共同点?一般形式是y=ax2+bx+c这样的函数可以叫做什么函数?二次函数.2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有.二、思考探究，获取新知

二次函数的概念及一般形式