高考理科数学不等式

高考理科数学不等式（精选8篇）

1.高考理科数学不等式 篇一

不等式的证明(二)

【知识点精讲】

1.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

2.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。

用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略

3.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B

4.构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。

【例题选讲】

(一).复习:不等式证明三种主要方法,然后讲P89例1例2 例1

(P89)

1设实数x.y 满足y+x=0,0

2xy例2.已知a.b.cR,且a+b+c=1,求证(1+a)(1+b)(1+c)8(1-a)(1-b)(1-c)

1。2(二)其它方法: 2例

3、已知f(x)xpxq，求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于【分析】由于题目的结论是：三个函数值中“至少有一个不小于

1”，情况较复杂，会出现多个异向不等式组成2的不等式组，一一证明十分繁冗，而结论的反面构成三个同向不等式，结构简单，故采用反证法为宜。【证明】（反证法）假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于

1，则 2|f(1)|2|f(2)||f(3)|2，而 |f(1)|2|f(2)||f(3)||f(1)f(3)2f(2)|

|(1pq)(93pq)(84p2q)|2，相互矛盾

∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于

1。2[思维点拔] 用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。例

4、（1）设x,yR，且x2y21，求证：|x22xyy2|2 ； 322（2）设a,b,cR，且abc1，求证：abc【证明】（1）设xrsin,yrcos,且|r|1 则|x22xyy2|r2|cos22sincossin2|，=r|cos2sin2|（2）设a22r2|sin(24)|2。

111,b,c，333∵abc1，∴0。于是abc

[思维点拔]（1）本题运用了三角换元法。三角代换是最常见的变量代换，凡条件为 222121()(222)。333xyr或222xyr222x2y2或221等均可三角换元。（2）换元法是不等式证明中的重要变形ab73方法，常用的换元手段除三角换元法外，还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换。例

5、.已知xyz5，x2y2z29求证：x,y,z都属于[1,]。【证明】由已知得：z5xy，代入x2y2z29中得：

x2(y5)xy25y80

∵xR，∴△≥0，即(y5)24(y25y8)0

7777，即y∈ [1,]。同理可证x∈ [1,]，z∈ [1,]。33331222变式：设abc1,abc1，且abc，求证：c0

3解得1y因为ab1c,所以a2b22ab1c22c，而ab1c 所以abcc，所以a，b为方程x2(1c)xc2c0（1）的二实根 而abc，故方程（1）有均大于c的二不等实根。记f(x)x2(1c)xc2c，则 22220,1c1c0。解得c,32f(c)0[思维点拔] 在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制。【课堂小结】

3.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

4.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题 中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。

用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略

3.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B

4.构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。

【作业布置】

2.高考理科数学不等式 篇二

2010年江苏数学试卷在结构、题量与题型保持基本稳定的前提下，有难度有创新。重点考查高中数学的主体内容，适当考查新课标的新增内容，体现了新课程改革的理念。试卷在考查基础知识、基本技能和基本能力的基础上，突出了对考生数学思维能力、应用意识和创新意识的考查。

试卷的知识覆盖面广，命题稳中有变，富有创新。试卷难、中、易比例略有变化。试卷具有较高的区分度。对基础、能力、素质、潜能的考查要求较高。总体来说，整套试卷难度大，比2009年难。“送分送到手”的容易题较少，思维量适中，运算量偏大，给人一种沉稳不流畅的感觉，考生心理压力大。

二、知识点分布

对照《考试说明》中所列17块必做内容与10块附加题内容，将所考题数和分值统计如下。

三、试题特点

1. 试题稳中有变，富有创新。

在题目的排列顺序上，2010年延续了一贯的由易到难的排列原则，体现了高考的人文关怀精神。这种良好的出发点有利于考生稳定情绪，顺利作答。但是送分送到手的容易题较少，题型呈现的面孔、考查方向熟悉中隐藏陌生，对数学本质的考查更深刻，更有新意。这些特点使得整张试卷难度较2009年大，感觉凝重，从而增大了试题的区分度。

例如第(2)、(5)、(8)、(10)、(11)、(12)、(13)、(14)、(17)、(18)、(19)、(20)、(23)题都比较有新意。特别是第(2)题、(5)题在简单题解法设计上隐藏新巧、第(10)、(11)、(13)题在困难题的认识及解法上暗藏玄机，第(10)、(11)、(13)、(14)题在情境设置上有创意，第(12)、(19 (2))、(20)、(23)题在问题呈现上别出心裁。将三角与向量分离考查，抛弃向量与三角、向量与解几，甚至向量与函数等有形无质的交汇形式，使得试卷清新明了，实现试题的平稳过渡。

2. 思维量适中，运算量偏大。

整套试卷中第(1)—(9)题、第(15)、(16)、(21A、B、C)等各题都立足基本知识基本概念，考查通性通法，避免偏题、怪题，很好地控制了运算量和思维量。只要想到恰当的知识与合理的解法很快就能解决问题。第(9)—(14)题思维量与运算量增加，特别是(13)、(14)两题用一般方法去解决，其运算量与思维量远远超过了第(15)、(16)两题。但填空题的思维量、运算量和难度还是在意料之中。解答题第(17)、(18)、(20)、(21D)、(23)运算量大，对字母式的化简、整理要求都比较高，推理过程也不轻省。这些解答题与填空题第(10)、(12)、(13)、(14)题共同形成了试卷的凝重感，似乎与新课程强调数学思维避免繁杂运算的理念稍微有些偏差。总体感觉许多题都是会做的，但攻之不克，弃之不舍。欲罢不能的感觉体现了本试卷“思维量适中，运算量偏大”的特点，证明了试卷难度偏高。

3. 注重基础知识，突出课改理念。

试题覆盖了高中数学中的主要知识点，突出了对主干知识的考查力度。正卷解答题则沿袭了前两年的做法，分别涉及函数、数列、三角(应用题)、立几、解几和平面向量等内容，体现了平稳过渡的精神。在对题目的选配上，突出了对考生数学思维能力、数学思想方法的应用意识和创新意识的考查。同时试卷中渗入了新课改元素。如第(4)、(17)、(22)题应用题情境设置贴近生活、贴近时代，清新公平，体现了关注实际，注重应用的新课改理念。第(16 (2))、(17 (2))、(18 (3))、(19 (2))、(20)、(21C)、(22)、(23)都为学生提供了足够的自主探究空间，也为今后的教学提供了研究平台，这正是新课标理念的突出体现。附加题第(21)题为四选二，对学生来说可以取长补短，以达到让不同层次的学生得到不同程度的发展的目的。整套试卷多处突出了数学形式上的特点，如第(2)、(5)、(12)、(13)、(14)、(17)、(19)、(20)、(21D)、(23)题在认识与解决上都要关注形式、形状或结构特征，这是2010年试卷的一大特色。

4. 注重考查数学的各种思想和能力。

(1)数形结合的思想。

数形结合的思想是借助于形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。利用这种数学思想往往能简化解题过程，在今年的高考试题中如第(9)、(10)、(11)、(20)题都涉及数形结合，第(4)、(7)、(16)、(17、(18)题都与图表信息有关。

(2)分类讨论的思想。

分类讨论思想是一种重要的数学思想，这种思想能够使我们思路清晰，处理问题井井有条，真正做到不重不漏，养成严谨慎密的思维习惯。在2010年的数学理科试题中第(19)、(20)、(21D)题体现了这一思想。这种思想应该在中学数学的教学中得到充分的重视。

(3)函数与方程的思想。

体现函数与方程思想的如第(10)、(13)、(14)、(15)、(18)、(19)、(20)、(21C)题。

(4)转化与化归思想。

转化与化归思想的考查在整套试题中处处可见，主要体现化繁为简的转化;文字语言、图形语言、数学语言互译转化;数学形式之间的转化;知识与方法的迁移等。特别是第(2)、(5)、(6)、(9)、(10)、(12)、(13)、(14) (16)、(17)、(19)、(20) (21C)等题更为明显。

(5)充分体现、挖掘考生的各项数学能力。

《考试说明》指出数学能力主要包括空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据处理能力，以及应用意识和创新意识。在2010年的江苏卷中，这些能力都得到了充分的体现。如涉及运算求解能力的有第(2)、(9)、(14)、(18)、(21A)、(21C)、(22)题。涉及数据处理能力的有第(4)、(7)、(17)题，涉及空间想象能力的有第(16)题，涉及抽象概括能力的有第(5)、(9)、(11)、(20)、(23)题，涉及推理论证能力的有第(7)、(12)、(16)、(18)、(19)、(20)、(21A、C)、(23)题，涉及应用意识和创新意识的有第(2)、(4)、(5)、(10)、(19)、(20)题等。

5. 注重数学适度的形式化特点。

《高中数学新课程标准》强调“注重适度的形式化特点”，这成为2010年江苏卷的一大亮点。如第(2)题注重两个复数积的模等于模的积|z1z2|=|z1||z2|，第(5)题注重“R上的两个奇函数的积为偶函数”，第(12)题两边都是正数的不等式相乘前的凑形，第(13)题数学轮换性，第(14)题S (x)与第(17)题tan(α-β)的表达式结构，第(19)题等差数列，第(20)题函数具有性质P (a)，第(21D)题与第(23)题证明等都非常突出地体现了数学形式上的结构上的特点。

四、对今后高三复习的启示

2011年是我省进入新课改后的第三次高考，应该说我省的高考命题已趋成熟。2011年高考为今后的课程改革和高考改革提供哪些重要的信息必将成为人们关注的焦点。高考命题的导向在很大程度上决定着中学推行新课改的力度和发展新课改的深度，影响着高三复习的方向。通过研究2010年的高考试题，我认为今后高三复习应该做好以下几个方面。

1. 夯实基础，落实基本知识和基本技能的学习。

从2010年的试卷中不难看出，函数、数列、不等式、三角、立几、解几和向量仍然是考查的主要内容，从本文的知识点统计中更是一目了然。

试题的框架主体仍是考查数学的基础知识和通性通法。如函数的图像与性质;数列的基本运算及应用;不等式的求解与证明;三角函数图像与性质;空间图形的识别及线面的位置关系(包括体积和距离);直线与圆，圆锥曲线的基本概念、性质及应用等在今后的高三复习中仍然是重中之重，数形结合、分类讨论、等价转化、函数与方程、换元法、配凑法、变量分离等思想方法应该成为数学能力的核心，只有具备这些基础知识和基本能力，才能从容应对高考。不能因为高考难了，平时教学就上难度。

2. 坚定新课程改革方向，研究《考试说明》。

教育随着社会的发展而更新，这是很正常的规律。因此新时期的高中数学有新的教材和新的考法，纠缠不休的新旧对比只能说明我们自己走不出自己的心理。随着时间的推移将会逐渐淡化新增内容的说法。从2008—2009—2010三年的高考来看，执行和推广新课标是大势所趋，所以新课标中新增加的教学内容会与传统的主干知识一起成为高考的重要内容，会不断地出现在今后的高考试题中，今后在教学中应一视同仁。特别是高三复习时要立足教材，研究《考试说明》，充分相信《考试说明》所列举的三大方面的考查：(1)突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查;(2)重视数学基本能力和综合能力的考查;(3)注重数学应用意识和创新意识的考查。研究考试内容及要求，对各知识点是了解、理解还是掌握，是A级、B级还是C级做到心中有数。2010年《考试说明》中的8个C级要求除“圆的标准方程与一般方程”外都考到了。(这可能和2008、2009两年都考圆有关，但2010年第(9)题、第(21A)、第(21C)均和圆有关。)

3. 通法为主，变法为辅，培养能力。

重视高中数学的通性通法，倡导举一反三、一题多解和多题一解，努力培养学生的“五种能力、两个意识”，即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，以及应用意识和创新意识。能力的分类和要求必然要反映在命题中。特别应注意新增加的“数据处理能力”和“应用意识和创新意识”。另外，“推理论证能力”有别于先前四大能力之一的“逻辑思维能力”，逻辑思维能力注重是演绎推理，“合情推理”也应引起我们的重视，它可以有效地培养学生的创新意识，这正是新课改大力倡导的。

2010年的试题中在“数据处理能力”方面体现得很明显，其中包括对数学形式化特征的认识，这方面的考查表面上增加了试卷的难度，本质上反映出考生能力的欠缺，所以我们要加以重视。

4. 注意命题动向。

2010年试题中立体几何题目变化较大。一是填空题没有设置立几题，二是附加题没有设置空间向量题。立几的考查减少了题量，降低了难度，也回归了立体几何的核心———培养学生的空间想象能力和推理论证能力。所以在教学中不能完全依赖向量工具，也要注重培养学生的空间想象能力和推理论证能力，也就是要重视学生用综合法解立体几何题的训练。向量的出现既专业又简洁，就考向量，不拖泥带水，将三角与向量分离考查，抛弃向量与三角、向量与解几、甚至向量与函数等有形无质的交汇形式，实现试题的平稳过渡，使得试卷清新明了。这样的处理像二次函数一样，也许是想降低向量知识性的考查，体现向量的工具性的应用。不等式的地位有所提高，试卷中出现了解不等式(第(7)、(9)、(11) (23)题)、基本不等式的应用(第(17)题)、不等式的性质(第(12)、不等式的证明(第(21D)、函数与不等式的交汇(第(11)、(20)题)，甚至数列与不等式的交汇(第19题)。命题的冷热度有所变化，如数列与不等式的交汇虽然简单，不像其他省份炒得那么热，挖得那么深，但毕竟也出现了。炒得火热的绝对值有所降温，凉在一边的直线与圆锥曲线上了台面。

由此可见，高三复习时关注命题动向，捕捉高考信息固然重要，但吃透教材，研究《考试说明》，掌握“三基”方能以不变应万变。有了教材，高考就有了立足之本;有了《考试说明》，高考就有了可依之据;掌握了“三基”，就具备了应对高考的能力。高考有规律可循但不拘泥死板。

参考文献

[1]2010年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 (江苏卷) .2010.6.

[2]江苏省考试院.普通高等学校招生全国统一考试2010 (江苏卷) 说明, 2009.10.

3.高考理科数学不等式 篇三

第一部分 选择题（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 关于全称命题与特称命题下列说法中不正确的一个为（）

A． 全称命题，对于取值集合中的每一个元素，命题都成立或都不成立

B． 特称命题，对于取值集合中至少有一个元素使命题成立或不成立

C．“全称命题”的否定一定是“特称命题”

D．“特称命题”的否定一定不是“全称命题”

2． 若纯虚数z满足（2-i）z=4-bi，（i是虚数单位，b是实数），则b=（）

A． -2B． 2C． -8D． 8

3． 设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则=（）

A．B．

C．D．

4． 任给x的值，计算函数y=1，（x＜1）2，（x=1）3，（x＞1）中y值的程序框图，如右图， 其中①②③分别是（）

A． x＜1、x＞1、y=3

B． x=1、x＞1、y=3

C． x＜1、x=1、y=3

D． x＜1、x＞1、y=3

5． 已知=1，=2，，的夹角为60°，设=3+，=-，若⊥，则的值为（）

A．B． －

C． － D．

6． 若不等式组x-y≥0，2x+y≤2，y≥0，x+y≤a表示的平面区域不能构成三角形，则a的范围是（）

Ａ． 1＜a＜Ｂ． 1＜a≤

Ｃ． 1≤a≤ Ｄ． 1≤a＜

7． 已知c是双曲线-=1（a，b＞0）的半焦距，则的取值范围是（）

A． （-1，） B． （-２，-１）

C． （-，-1）D． （-1，0）

8． 定义在R上的函数f（x）满足xf ′（x）≤0，且y=f（x）为偶函数，当x1＜x2时，有（）

A． f（x1） ＞ f（x2）B． f（x1） = f（x2）

C． f（x1） ＜ f（x2）D． f（x2） ＞ f（x1）

第二部分 非选择题（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题，13～15题是选做题．每小题5分，共30分．

9． 设A是平面上形如（k，k3）（k=-1，0，1，2，3）的点构成的集合，三点P，M，N是集合A中的元素，则以P，M，N为顶点，共可构成三角形的个数为 .（用数字作答）

10． 一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分10个小组，组号分别为1，2，…，10，现采用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组中随机取得的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数与m+k的个位数相同，若m=8，则在第6组中抽取的号码为 .

11． 三角形的一个性质为：设△SAB的两边SA、SB互相垂直，点S在AC边上的射影为H，则SB2=BH·AB. 结论推广到三棱锥，设三棱锥S-ABC的三个侧面SAB、SBC、SAC两两相互垂直，点S在平面ABC上的射影为H，则有 .

12． 设an是（＋3）n的展开式中x的一次项的系数，则（++…+）的值为．

13. （坐标系与参数方程选做题）过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+，y=t-（t为参数）相交于A、B两点，则线段AB的长为．

14.（不等式选讲选做题）（a-b）2的最大值为.

15.（几何证明选讲选做题）设PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）在△ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三条边，＜C＜且=.

（1）判断△ABC的形状；

（2）若+=2，求·的取值范围．

17．（本小题满分13分）已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d２的等差数列（d≠0）.

（1）若a20=40，求d；

（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；

（3）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

18．（本小题满分14分）两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知，是方程 x2－5x+a=0的根，若两人各射击5次，甲的方差是．

（1）求 p1，p2的值；

（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？

（3）甲、乙两人轮流射击，各射击3次，中靶一次就终止射击，求终止射击时两人射击的次数之和ξ的期望？

19．（本小题满分14分）在下图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝，EF＝EC＝1，

（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；

（2）求二面角A－BF－E的余弦值.

20．（本小题满分14分）已知f（x）＝1nx，g（x）=x2+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图像都相切，且与函数f（x）的图像的切点的横坐标为1．

（1）求直线l的方程及m的值；

（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；

（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜．

21．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆C的右准线上的点P（2，），满足线段PF1的中垂线过点F2．直线l：y=kx+m为动直线，且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若在椭圆C上存在点Q，满足+=（O为坐标原点），求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当取何值时，△ABO的面积最大，并求出这个最大值．

参考答案及解析

一、选择题

1． D．“特称命题”的否定一定是“全称命题”，故D不正确．

2． C． 设z=ai（a∈R），由（2-i）z=4-bi，得（2-i）·ai=4-bi2a=-b，a=4b=-8．

3． A． ==．

4． D．首先注意到“是”时，“y=1”则①应该是“x＜1”；再看②，由于“否”时，y=2，会想到②应该是“x＞1”；当“x＞1”时，“y=3” ．

5． D． 由（3+）（-）=3（）2+（-3）·-（）2=3+（-3）-4=0，得=．

6． A．如图，直线x+y=0从原点向右移动时，移动到B（1，0）时，再往右移时不等式组所表示的区域就不能构成三角形了；又从点A（，）向右移动时，不等式组所表示的区域又为三角形．

7． D． 由==-e=-，由于e＞1，且函数-在（1，+∞）上是增函数，那么的取值范围是（-1，0）．

8． D． 由xf ′（x）≤0x≤0，f ′（x）≥0或x≥0，f ′（x）≥0，得函数f（x）在区间（-∞，0]上为增函数，在区间［0，-∞）上为减函数；又y=f（x）为偶函数，得函数f（x）的图像关于直线y对称．由x1＜x2f（x1）＞f（x2），由于f（x2）=f（x2），即得结论．

二、填空题

9． 五个点（-1，-1），（0，0），（1，1），（2，8），（3，27）中有三点（-1，-1），（0，0），（1，1）共线，那么可构成三角形的个数为C35-C33=9．

10． 54． 由于m+k=8+6=14，即第6组中抽取的号码的个位数为4，由于第6组中号码的十位数均为5，于是得结论．

11． S2△SBC=S2△BCH·S△ABC.经过四面体的棱SA与点H作平面，与棱BC交于点D. 易知，棱BC⊥平面SAD. 在Rt△SAD中，有SD2=HD·AD.

又 ∵ △SBC、△HBC、△ABC有公共边BC，∴ （BC·SD）2=（BC·HD）·（BC·AD），即S2△SBC=S△BCH·S△ABC .

12． ∵x的一次项是由两个括号中取与其它n－2个括号取常数相乘得到的，∴ an＝C2n·3n-2，于是＝＝18（-），所以（++…+）=×18[（1-）+（-）+…+（-）］＝18．

13． 直线的参数方程为x=-3+s，y=s（s为参数），曲线x=t+，y=t-（t为参数），可以化为x2-y2=4 ．将直线的参数方程代入上式，得s2-6S+10=0．设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴ s1+s2=6，s1s2=10，AB＝s1-s2==2．

14． 由（a-b）2=（a-b）2==≤=2.

15． ∵ PA切⊙O于点A，B为PO中点，∴ AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，在△POD中由余弦定理得PD2=PO2+DO2-2PO·DOcos POD=4+1-4×（-）=7，∴ PD=．

三、解答题

16． （1）对=应用正弦定理，变形，有sinB=sin2C，所以B=2C或B+2C=．

若B=2C，且＜C＜，所以＜B＜ ，B+C＞（舍去），于是有B+2C=，得A=C，所以△ABC为等 腰三角形．

（2）∵｜+｜ =2，∴a2+c2+2ac·cosB=4，∴cosB=（∵a=c），而cosB=-cos2C，∴＜cosB＜1，∴1＜a2＜.由于·=2-a2，所以·∈（，１）．

17． （1）易得a10= 10， ∴a20 =10+10d=40 ，∴d=3.

（2）a30=a20 +10d2=10（1+d+d2）（d≠0），a30 =10［（d+）2+］．

当d∈（-∞，0）∪（0，+∞） 时，a30 ∈［7.5，+∞）.

（3）所给数列可推广为无穷数列｛an｝ ，其中a1 ，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当 n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为dn的等差数列.

研究的问题可以是：试写出a10（n+1） 关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围.

研究的结论可以是：由a40=a30 +10d3=10(1+d+d2+d3)，

依次类推可得a10（n+1）=10（1+d+…dn）=

10×，d≠1，10(n+1)，d=1.当d＞0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）.

18． （1）由题意可知 甲 ~ B（5， p1），∴D甲 = 5p1（1－p1 ）= p21－p1 += 0p1 =．又 + = 5，∴ p2 =．

（2）两类情况：共击中3次概率：

C 22（）2 （）0×C 12（）1 （）1 +C 12（）1（）1×C 2 2 （）2（）0 = ；

共击中4次概率：C22×（）2（）0×C 2 2 （）2（）0 = ，所求概率为： + = ．

（3） P（ξ=1)=, P（ξ=2)=（1-）×=, P（ξ=3)=（1-）××=, P（ξ=4)=（1-）2××=,P（ξ=5)=（1-）2×（）2×=,

P（ξ=6)=（1-）3×（）2×1=, ξ的分布列为：

∴Eξ=1×+（2+3）×+（4＋5＋6）×＝．

19． （1）证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴ EC⊥平面ABCD.

连接BD交AC于点O，连接FO.

∵正方形ABCD的边长为，∴ AC＝BD＝2.

在直角梯形ACEF中，∵EF=EC=1，O为AC中点，

∴ FO∥EC，且FO=1.易求得DF=BF=，DE=BE=.

由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角.

由BF=DF=，BD=2可知∠BFD=90，∴平面BEF⊥平面DEF.

⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，∵ AB=BF=AF=，∴ AM⊥BF.

又∵ MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角.

易求得AM=AB=，MN=EF=.取BC中点P，连接NP，则NP∥EC，∴ NP⊥平面ABCD，连接AP，在Rt△APN中，可求得AN2=AP 2+NP2=，∴在△AMN中，由余弦定理求得cos ∠AMN=-， 即二面角A－BF－E的余弦值为 -．

解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD.

建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，，1），∴ =（，，0），=（0，-，1），=（-，0，1）．

设平面BEF、平面DEF的法向量分别为=（x1，y1，1），=(x2，y2，1)，则

·=x1+y1=0…①

·=-y1+1=0…②

·=x2+y2=0…③

·=-x2+1=0…④

由①③③④，解得x1=-，y1=；x2=，y2=-，

∴ =（-，，1） =（，-，1），

∴ ·=--+1=0，∴⊥，故平面BEF⊥平面DEF.

⑵设平面ABF的法向量为=（x3，y3，1），∵=（，-，1） ，=（，0，0），

∴ ·=x3-y3+1=0，·=x3=0，解得x3=0，y3=，∴ =（0，，1），∴cos＜，＞===.

由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故二面角A－BF－E的余弦值为-．

20． （1）依题意知：直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f ′（1）==1，所以直线l的方程为y=x-1．

因为直线l与g（x）的图像相切，所以由

y=x-1，y=x2+mx+x2+（m-1）x+=0，得△=（m-1）2-9=0m=-2（m=4不合题意，舍去）．

（2）因为h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），所以h′（x）=-1=．

当-1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．

因此，h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．

因此，当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2．

（3）当0＜b＜a时，-1＜＜0．

由（2）知，当-1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x．

因此，有f（a+b）-f（2a）=ln=ln（1+）＜．

21．（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），半焦距为C，依题意有=2，（2c）2-（2-c）2=3，解得c=1，a=，∴ b=1，∴所求椭圆方程为+y2=1．

（2）由y=kx+m，x2+2y2=2，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则

x1+x2 = ，x1x2=， y1+y2=k（x1+x2．）+2m=.

{1}当m=0时，点A、B关于原点对称，则=0．

{2}当m≠0时，点A、B、不关于原点对称，则≠0，由+=，得xQ =（x1+x2），yQ =（y1+y2）， 即xQ =，yQ =.

∵点Q在椭圆上，∴［］2+2［］2=2，化简得4m2（1+2k2）=2（1+2k2）2．∵1+2k2≠0，∴有4m2=2（1+2k2）………①

又∵△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（1+2k2-m2），

∴由△＞0，得1+2k2＞m2……………………②

由①②两式，得4m2＞2m2．

∵ m≠0，∴ 2＜4，则-2＜＜2且≠0．

综合（1）（2）两种情况，得实数的取值范围是-2＜＜2.

（3）∵｜AB｜=｜x1-x2｜，点O到直线AB的距离d=，∴△AOB的面积S=｜m｜｜x1-x2｜=｜m｜=．

由①有1+2k2=，代入上式并化简，得S=.∵≤2，∴ S≤．

当且仅当2=4-2，即=±时，等号成立，∴当=±时，△ABO的面积最大，最大值为．

（本试题由许少华老师拟制）

4.高考理科数学答题技巧 篇四

举例：等差数列{An｝前n项和为Sn，且a1大于0，若存在自然数m≥3，使Sm=Am，当n大于m时，Sn与An的大小关系为：

A、SnAn D、Sn≥An

极值代入：

假设m=3，n=4，a1+a2+a3 =s3 = a3,那么就有a1+a2= 0,也就是互为相反数，并且a1>0,这个再来一个特殊值，a1=1，那么公差就等于 -1，那么这个数列就是1，-1，-3……

2、逻辑分析，有些题不用算

举例说明：此处省略一大堆文字介绍 ，K的值是?

A. -33 B. 33 C. 15 D.71

九成概率选B，想知道为什么?

以下是3秒中脑海中闪过的：有33正负两种，那出题者肯定考察这方面的运算错误，所以CD选项就是充数的，若是-33是正确答案，那至少要同时正负出现错误、数值出错才可能选D。一般情况下，出题人会给每个错误一个“错下去的理由”，如果多于一个，肯定不是。所以选B。

3、平面几何求长度，用尺子量

有些出卷老师相当认真，出的几何题就怕不准，电脑算过了，定成试卷还要用尺子量。

5.高考数学理科模拟试卷及答案 篇五

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.设全集，集合,则

A.{2,4}B.{2,4，6}C.{0，2,4}D.{0，2,4，6}

2.若复数是纯虚数，则实数()

A.±1B.C.0D.1

3.已知为等比数列，若，则()

A.10B.20C.60D.100

4.设点是线段BC的中点，点A在直线BC外，,则()

A.2B.4C.6D.8

5.右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是()

A.0B.2C.4D.6

6.给出命题p：直线

互相平行的充要条件是;

命题q：若平面内不共线的三点到平面的距离相等，则∥。

对以上两个命题，下列结论中正确的是()

A.命题“p且q”为真B.命题“p或q”为假

C.命题“p且┓q”为假D.命题“p且┓q”为真

7.若关于的不等式组表示的区域为三角形，则实数的取值范围是()

A.(-∞，1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(1，+∞)

8.把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法有()

A.36种B.45种C.54种D.84种

9.设偶函数的

部分图像如图所示，为等腰直角三角形，

∠=90°，||=1，则的值为()

A.B.C.D.

10.已知点,动圆C与直线切于点B，过与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()

A.B.

C.D.

11.函数有且只有两个不同的零点，则b的值为()

A.B.C.D.不确定

12.已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为()

A.5B.10C.20D.30

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.设二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若B=4A，则。

14.已知函数，其中实数随机选自区间[-2,1]，则对，都有恒成立的概率是。

15.若某几何体的三视图(单位：㎝)如图所示，

则此几何体的体积等于㎝3。

16.定义函数，其中表示不超过的

整数，当时，设函数的值域

为集合A，记A中的元素个数为，

则的最小值为。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若函数，求函数在区间上的值域。

18.(本小题满分12分)

如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于

直线AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=。

(I)求证：AC⊥BF

(II)求二面角F-BD-A的大小

19.(本小题满分12分)

第12届全运会将于8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位：㎝)，若身高在175㎝以上(包括175㎝)定义为“高个子”，身高在175㎝以下(不包括175㎝)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.

(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率?

(II)若从所有“高个子”中选出3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.

20.(本小题满分12分)

在直角坐标系xoy上取两个定点，再取两个动点且=3.

(Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程;

(II)已知，设直线：与(I)中的轨迹交于、两点，直线、的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标

21.(本小题满分12分)

函数.

(Ⅰ)当x>0时，求证：;

(II)在区间(1，e)上恒成立，求实数的范围;

(Ⅲ)当时，求证：…()

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22.略

23.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)试分别将曲线Cl的极坐标方程和曲线C2的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程和普通方程：

6.高考理科数学不等式 篇六

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一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）

A．12

B．

C．

D． 3

2显示解析2．以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）

A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2-x=0 D．x2+y2-2x=0

显示解析3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，则当Sn取最小值时，n等于（）

A．6 B．7 C．8 D．9

显示解析4．函数f(x)= x2+2x-3，x≤0

-2+lnx，x＞0的零点个数为（）

A．3 B．2 C．1 D．0

显示解析5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）

A．2 B．3 C．4 D．

5显示解析6．如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）

A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台

显示解析7．若点O和点F（-2，0）分别是双曲线x2

a2

-y2=1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则

OP

FP的取值范围为（）

A．[3-2 3，+∞)B．[3+2 3，+∞)C．[-7，+∞)D．[7，+∞)

显示解析8．设不等式组 x≥1

x-2y+3≥0

y≥x

所表示的平面区域是Ω1，平面区域是Ω2与Ω1关于直线3x-4y-9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于（）

A．28

B．4 C．12

D．2

显示解析9．对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当 a=1

b2=1

c2=b

时，b+c+d等于（）

A．1 B．-1 C．0 D．i

显示解析10．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，存在相应的x0∈D使得当x∈D且x＞x0时，总有 0＜f(x)-h(x)＜m

0＜h(x)-g(x)＜m，则称直线l：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进性”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：

①f（x）=x2，g（x）= x

②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3

x

③f（x）=x2+1

x，g（x）=xlnx+1

lnx

④f（x）=2x2

x+1，g（x）=2（x-1-e-x）

其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（）

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④

显示解析

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

11．在等比数列{an}中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式an=4n-1

． 显示解析12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于6+2

3．显示解析13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于0.128

． 显示解析14．已知函数f(x)=3sin(ωx-π

6)(ω＞0)和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，π

]，则f（x）的取值范围是

[-3，3]

． 显示解析15．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：

（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；

（2）当x∈（1，2]时f（x）=2-x给出结论如下：

①任意m∈Z，有f（2m）=0；

②函数f（x）的值域为[0，+∞）；

③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；

④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k-1）．

其中所有正确结论的序号是

①②④ 显示解析

三、解答题（共6小题，满分80分）

16．将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出的点数．（Ⅰ）若点P（a，b）落在不等式组 x＞0

y＞0

x+y≤

4表示的平面域的事件记为A，求事件A的概率；

（Ⅱ）若点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，求m的值及最大概率． 显示解析17．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 显示解析18．如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．

（1）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；

（2）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p．当点C在圆周上运动时，记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当p取最大值时，求cosθ的值． 显示解析19．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 显示解析20．已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则S1S2

为定值． 显示解析21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）已知矩阵M= 1 a

b

1，N= c 2

0 d，且MN= 2 0

-2 0，（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 x=3-

2t

y= 5

t

（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2 5

sinθ．

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，5)，求|PA|+|PB|．

（3）已知函数f（x）=|x-a|．

（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；

7.高考理科数学不等式 篇七

一、原题再现

已知椭圆C: 9x2+ y2= m2 ( m > 0) , 直线l不过原点O且不平行于坐标轴, l与C有两个交点A、B, 线段AB的中点为M.

( Ⅰ) 证明: 直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

(Ⅱ) 若l过点 (m/3, m) , 延长线段OM与C交于点P, 四边形OAPB能否为平行四边形?若能, 求此时l的斜率;若不能, 说明理由.

二、解法探究

设直线l:y=kx+n (k≠0, n≠0) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , M (x0, y0) .将y=kx+n代入C:9x2+y2=m2得 (k2+9) x2+2knx+n2-m2=0, 故, 于是直线OM的斜率为, 即kOM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

三、问题推广

从以上的解法探究过程可以发现这个定值-9似乎与椭圆的标准方程有一定的联系, 将椭圆方程C:9x2+y2=m2 (m>0) 变形为标准形式, 可以发现这是焦点在y轴上的椭圆, 其中a2=m2, b2=m2/9, 那么结论中的定值-9恰好等于-a2/b2, 这仅仅是一种巧合?还是具有一般性的规律?

推广1:已知椭圆C:y2/a2+x2/b2=1 (a>b>0) , 直线l不过原点O且不平行于坐标轴, l与C有两个交点A、B, 线段AB的中点为M.则有:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值-a2/b2.

证明:设直线l:y=kx+n (k≠0, n≠0) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , M (x0, y0) .将y=kx+n代入C:得 (b2k2+a2) x2+2b2knx+b2n2-a2b=0, 故, 于是直线OM的斜率为, 即.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

看来这个规律具有一般性, 那么焦点在x轴上的椭圆中直线OM的斜率与l的斜率的乘积得到的定值依旧是-a2/b2呢?还是变为-b2/a2?

推广2:已知椭圆C:, 直线l不过原点O且不平行于坐标轴, l与C有两个交点A、B, 线段AB的中点为M.则有:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

证明:设直线:l:y=kx+n (k≠0, n≠0) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , M (x0, y0) .将y=kx+n代入x2/a2+y2/b2=1得 (b2+a2k2) x2+2a2knx+a2n2-a2b2=0, 故, 于是直线OM的斜率为, 即.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

从以上证明过程可以看出, 两个推广的结论不同的原因主要是x和y所对应的数值有所不同, 除此之外的证明过程是完全一样的, 结论的最终形式为-L/H, 其中H为x所对应的数值, L为y所对应的数值, 于是将推广1和推广2合并后可以有如下进一步的推广.

推广3:已知椭圆C:, 直线l不过原点O且不平行于坐标轴, l与C有两个交点A、B, 线段AB的中点为M.则有:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.证明过程同上.

摘要：高考题是对学生综合能力的考查, 2015年全国Ⅱ卷理科数学高考第20题以直线和圆锥曲线的位置关系为切入点, 对学生的探究能力和运算能力进行了全面的考查, 其中第一问涉及定值问题, 考查了学生的探究精神和预测能力.对该题解法本质的探究可以促成几个一般性的命题, 进而对高考试题的涉及面进行推广, 从中挖掘出圆锥曲线中一些比较重要的结论, 体现了高考题的层次性和探究性, 让学生在掌握知识结论的同时, 了解知识的发生、发展过程.

关键词：高考题,解法探究,问题推广

参考文献

[1]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略.数学[M].北京:知识出版社, 2015.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 (实验) [S].北京:人民教育出版社, 2003.

8.高考理科数学不等式 篇八

★★★难度较高

★★ 1. 如图1所示，已知函数f（x）=2sinxcos（x-φ）0<φ

<在区间[0，π]上的图象的最高点为A，最低点为B，其中点A的纵坐标为.

（1） 求φ；

（2） 求证：∠AOB<（其中O为原点）.

★★ 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1） 求证： acosB+bcosA=c；

（2） 已知△ABC的面积为S，求a2sin2B+b2sin2A.

★★★ 3. 设函数f（x）=3x+sinxcosx-5sinx.

（1） 讨论f（x）在区间（0，2π）上的单调性；

（2） 将f（x）在区间（0，+∞）上所有的极小值点从小到大依次记作x1，x2，…，xn，求证：所

有点Pn（xn， f（xn））（n∈N*）都在同一直线上.

★★ 4. 甲、乙、丙、丁、戊五名奥运志愿者被随机分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

（1） 求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（2） 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.

★★ 5. 空气质量指数PM2.5（单位： μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重. PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

从甲城市2013年11月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图2所示.

（1） 试估计甲城市在2013年11月份30天的空气质量类别为优或良的天数；

（2） 在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望.

★★ 6. 6名参加演讲比赛的同学通过抽签决定出场顺序（序号为1，2，3，4，5，6）.

（1） 求甲、乙两人都没有抽中6号签的概率；

（2） 设在甲、乙两人之间出场的人数为ξ，写出随机变量ξ的分布列，并求Eξ.

★★ 7. 设数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，且

是一个首项为2、公差为1的等差数列.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 设数列{an}满足++…+=（4n-1），n∈N*，求{bn}的通项公式.

★★★ 8. 数列{an}（n∈N*）各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-[an][2]=1.

（1） 求证： 数列{[Sn][2]}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（2） 设bn=， 求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn>（m2-3m）对所有的n∈N*都成立的最大正整数m.

★★ 9. 如图3所示，ABCD为正方形，PDCE为直角梯形，∠PDC=90°，平面ABCD⊥平面PDCE，且PD=AD=2EC=2.

（1） 若PE和DC延长交于点F，求证：BF∥平面PAC；

（2） 若Q为EC边上的动点，求直线BQ与平面PDB所成角正弦值的最小值.

★★★ 10. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于一点O，∠A=60°，将△BDC沿着BD折起得△BDC′，如图4所示.

（1） 求证： 平面AOC′⊥平面ABD；

（2） 求使二面角C′-AB-D的正切值为2+2时的BC′与底面ABD所成的角.

★★ 11. 已知椭圆C的方程为+=1 （a>b>0），其离心率为，且椭圆过点

，.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如图5所示，直线l：x=与x轴交于G点.设椭圆的左顶点为A，过椭圆右焦点F的直线交椭圆于B，C两点，AB与AC的延长线分别交直线l于D，E两点，记△ABC的面积为S1，△ADE的面积为S2，求的最大值.

★★ 12. 已知M（-，0），N（，0）是平面上的两个定点，动点P满足PM+PN=2.

（1） 求动点P的轨迹方程；

（2） 已知圆方程为x2+y2=2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点.设Q为AB的中点，求OQ长度的取值范围.

★★★ 13. 已知椭圆C：+=1 （a>b>0）的长轴长为4，点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，PA，PB的斜率之积为-.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如果点A是椭圆短轴下方的端点，过点0

，的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合）.证明：以MN为直径的圆必过A点.当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程.

★★ 14. 设函数f（x）=x2-2x+1+alnx （a>0）.

（1） 试讨论f（x）在定义域上的单调性；

（2） 若f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，证明： f（x1）+f（x2）>.

★★★ 15. 设函数f（x）=x2+alnx+3x （a∈R）.

（1） 若曲线y=f′（x）上的点A到点B（0，3）的距离的最小值为2，求a的值；

（2） 曲线y=f（x）在点M1

，处的切线斜率为2，设g（x）=f（x）-2x-，h（x）=bx-2，若对任意的x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≥h（x2），求实数b的取值范围.

★★★ 16. 已知函数f（x）=.

（1） 如果常数k>0，求函数f（x）在区间（0，k]上的最大值并判断2e与e2的大小；

（2） 对于a>0，如果函数g（x）=x2-2axf（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，求a的值.

★★ 难度中等

★★★难度较高

★★ 1. 如图1所示，已知函数f（x）=2sinxcos（x-φ）0<φ

<在区间[0，π]上的图象的最高点为A，最低点为B，其中点A的纵坐标为.

（1） 求φ；

（2） 求证：∠AOB<（其中O为原点）.

★★ 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1） 求证： acosB+bcosA=c；

（2） 已知△ABC的面积为S，求a2sin2B+b2sin2A.

★★★ 3. 设函数f（x）=3x+sinxcosx-5sinx.

（1） 讨论f（x）在区间（0，2π）上的单调性；

（2） 将f（x）在区间（0，+∞）上所有的极小值点从小到大依次记作x1，x2，…，xn，求证：所

有点Pn（xn， f（xn））（n∈N*）都在同一直线上.

★★ 4. 甲、乙、丙、丁、戊五名奥运志愿者被随机分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

（1） 求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（2） 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.

★★ 5. 空气质量指数PM2.5（单位： μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重. PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

从甲城市2013年11月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图2所示.

（1） 试估计甲城市在2013年11月份30天的空气质量类别为优或良的天数；

（2） 在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望.

★★ 6. 6名参加演讲比赛的同学通过抽签决定出场顺序（序号为1，2，3，4，5，6）.

（1） 求甲、乙两人都没有抽中6号签的概率；

（2） 设在甲、乙两人之间出场的人数为ξ，写出随机变量ξ的分布列，并求Eξ.

★★ 7. 设数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，且

是一个首项为2、公差为1的等差数列.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 设数列{an}满足++…+=（4n-1），n∈N*，求{bn}的通项公式.

★★★ 8. 数列{an}（n∈N*）各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-[an][2]=1.

（1） 求证： 数列{[Sn][2]}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（2） 设bn=， 求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn>（m2-3m）对所有的n∈N*都成立的最大正整数m.

★★ 9. 如图3所示，ABCD为正方形，PDCE为直角梯形，∠PDC=90°，平面ABCD⊥平面PDCE，且PD=AD=2EC=2.

（1） 若PE和DC延长交于点F，求证：BF∥平面PAC；

（2） 若Q为EC边上的动点，求直线BQ与平面PDB所成角正弦值的最小值.

★★★ 10. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于一点O，∠A=60°，将△BDC沿着BD折起得△BDC′，如图4所示.

（1） 求证： 平面AOC′⊥平面ABD；

（2） 求使二面角C′-AB-D的正切值为2+2时的BC′与底面ABD所成的角.

★★ 11. 已知椭圆C的方程为+=1 （a>b>0），其离心率为，且椭圆过点

，.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如图5所示，直线l：x=与x轴交于G点.设椭圆的左顶点为A，过椭圆右焦点F的直线交椭圆于B，C两点，AB与AC的延长线分别交直线l于D，E两点，记△ABC的面积为S1，△ADE的面积为S2，求的最大值.

★★ 12. 已知M（-，0），N（，0）是平面上的两个定点，动点P满足PM+PN=2.

（1） 求动点P的轨迹方程；

（2） 已知圆方程为x2+y2=2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点.设Q为AB的中点，求OQ长度的取值范围.

★★★ 13. 已知椭圆C：+=1 （a>b>0）的长轴长为4，点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，PA，PB的斜率之积为-.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如果点A是椭圆短轴下方的端点，过点0

，的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合）.证明：以MN为直径的圆必过A点.当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程.

★★ 14. 设函数f（x）=x2-2x+1+alnx （a>0）.

（1） 试讨论f（x）在定义域上的单调性；

（2） 若f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，证明： f（x1）+f（x2）>.

★★★ 15. 设函数f（x）=x2+alnx+3x （a∈R）.

（1） 若曲线y=f′（x）上的点A到点B（0，3）的距离的最小值为2，求a的值；

（2） 曲线y=f（x）在点M1

，处的切线斜率为2，设g（x）=f（x）-2x-，h（x）=bx-2，若对任意的x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≥h（x2），求实数b的取值范围.

★★★ 16. 已知函数f（x）=.

（1） 如果常数k>0，求函数f（x）在区间（0，k]上的最大值并判断2e与e2的大小；

（2） 对于a>0，如果函数g（x）=x2-2axf（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，求a的值.

★★ 难度中等

★★★难度较高

★★ 1. 如图1所示，已知函数f（x）=2sinxcos（x-φ）0<φ

<在区间[0，π]上的图象的最高点为A，最低点为B，其中点A的纵坐标为.

（1） 求φ；

（2） 求证：∠AOB<（其中O为原点）.

★★ 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1） 求证： acosB+bcosA=c；

（2） 已知△ABC的面积为S，求a2sin2B+b2sin2A.

★★★ 3. 设函数f（x）=3x+sinxcosx-5sinx.

（1） 讨论f（x）在区间（0，2π）上的单调性；

（2） 将f（x）在区间（0，+∞）上所有的极小值点从小到大依次记作x1，x2，…，xn，求证：所

有点Pn（xn， f（xn））（n∈N*）都在同一直线上.

★★ 4. 甲、乙、丙、丁、戊五名奥运志愿者被随机分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

（1） 求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（2） 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.

★★ 5. 空气质量指数PM2.5（单位： μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重. PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

从甲城市2013年11月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图2所示.

（1） 试估计甲城市在2013年11月份30天的空气质量类别为优或良的天数；

（2） 在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望.

★★ 6. 6名参加演讲比赛的同学通过抽签决定出场顺序（序号为1，2，3，4，5，6）.

（1） 求甲、乙两人都没有抽中6号签的概率；

（2） 设在甲、乙两人之间出场的人数为ξ，写出随机变量ξ的分布列，并求Eξ.

★★ 7. 设数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，且

是一个首项为2、公差为1的等差数列.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 设数列{an}满足++…+=（4n-1），n∈N*，求{bn}的通项公式.

★★★ 8. 数列{an}（n∈N*）各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-[an][2]=1.

（1） 求证： 数列{[Sn][2]}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（2） 设bn=， 求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn>（m2-3m）对所有的n∈N*都成立的最大正整数m.

★★ 9. 如图3所示，ABCD为正方形，PDCE为直角梯形，∠PDC=90°，平面ABCD⊥平面PDCE，且PD=AD=2EC=2.

（1） 若PE和DC延长交于点F，求证：BF∥平面PAC；

（2） 若Q为EC边上的动点，求直线BQ与平面PDB所成角正弦值的最小值.

★★★ 10. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于一点O，∠A=60°，将△BDC沿着BD折起得△BDC′，如图4所示.

（1） 求证： 平面AOC′⊥平面ABD；

（2） 求使二面角C′-AB-D的正切值为2+2时的BC′与底面ABD所成的角.

★★ 11. 已知椭圆C的方程为+=1 （a>b>0），其离心率为，且椭圆过点

，.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如图5所示，直线l：x=与x轴交于G点.设椭圆的左顶点为A，过椭圆右焦点F的直线交椭圆于B，C两点，AB与AC的延长线分别交直线l于D，E两点，记△ABC的面积为S1，△ADE的面积为S2，求的最大值.

★★ 12. 已知M（-，0），N（，0）是平面上的两个定点，动点P满足PM+PN=2.

（1） 求动点P的轨迹方程；

（2） 已知圆方程为x2+y2=2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点.设Q为AB的中点，求OQ长度的取值范围.

★★★ 13. 已知椭圆C：+=1 （a>b>0）的长轴长为4，点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，PA，PB的斜率之积为-.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如果点A是椭圆短轴下方的端点，过点0

，的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合）.证明：以MN为直径的圆必过A点.当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程.

★★ 14. 设函数f（x）=x2-2x+1+alnx （a>0）.

（1） 试讨论f（x）在定义域上的单调性；

（2） 若f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，证明： f（x1）+f（x2）>.

★★★ 15. 设函数f（x）=x2+alnx+3x （a∈R）.

（1） 若曲线y=f′（x）上的点A到点B（0，3）的距离的最小值为2，求a的值；

（2） 曲线y=f（x）在点M1

，处的切线斜率为2，设g（x）=f（x）-2x-，h（x）=bx-2，若对任意的x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≥h（x2），求实数b的取值范围.

★★★ 16. 已知函数f（x）=.

（1） 如果常数k>0，求函数f（x）在区间（0，k]上的最大值并判断2e与e2的大小；