二次函数练习题及答案（精选10篇）
1.二次函数练习题及答案 篇一
二次函数单元测评
(试时间：60分钟，满分：100分)
一、选择题(每题3分，共30分)
1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()
A.B.C.D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是（）A.(1，-4)
B.(-1，2)
C.(1，2)
D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在（）A.第一象限
B.第二象限
C.x轴上
D.y轴上
4.抛物线的对称轴是（）A.x=-
2B.x=2
C.x=-
4D.x=4
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A.ab>0，c>0
B.ab>0，c<0
C.ab<0，c>0 D.ab<0，c<0
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点
在第___象限()
A.一
B.二
C.三
D.四
7.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()
A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
8.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是（）1
9.已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线 上的点，且-1 A.y1 3B.y2 2D.y2 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是() A.C.B.D.二、填空题(每题4分，共32分) 11.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.12.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.13.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.16.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足： (其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.17.试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18.已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.三、解答下列各题（19、20每题9分，21、22每题10分，共38分) 19.若二次函数的图象的对称轴方程是0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称轴 对称的点A′的坐标；，并且图象过A(0，-4)和B(4，(2)求此二次函数的解析式； 20.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式； (2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB的面积S△MCB.22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.答案与解析： 一、选择题 1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3.考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4.考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，5 在第四象限，答案选D.7.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9.考点：一次函数、二次函数概念图象及性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1 11.考点：二次函数性质.解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程答案x=1.12.的图象，再向上平移3个单位得到 .考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13.考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求二次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，及△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16.考点：二次函数的性质，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.17.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：二次函数的概念性质，求值.答案： 三、解答题 19.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4) .(2)由题设知： ∴y=x2-3x-4为所求 (3) 20.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根 又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x1x2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9) .21.解：(1)依题意： (2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1 ∴B(5，0) 由，得M(2，9) 作ME⊥y轴于点E，则可得S△MCB=15.9 类型之一:二次函数与一次函数的综合应用 【例1】 如图1, 已知P (m, a) 是抛物线y=ax2上的点, 且点P在第一象限. (1) 求m的值; (2) 直线y=kx+b过点P, 交x轴的正半轴于点A, 交抛物线于另一点M.①当b=2a时, ∠OPA=90°是否成立?如果成立, 请证明;如果不成立, 举出一个反例说明.②当b=4时, 记△MOA的面积为S, 求 分析:因为m为点P的横坐标, 故将其代入y=ax2, 再结合点P所在象限, 便可确定出m的值, 判断∠OPA=90°是否成立, 也就是判断△OPA是否是直角三角形.对于第 (2) 题, 直接探究不易办到, 可通过作PD⊥OA来创造新的条件. 点评:二次函数与一次函数是初中阶段两个非常重要的学习内容, 同时也是各类考试的考查热点, 综合考查两者的应用性问题就是其中的一类, 应用的时候要建立一次函数、二次函数的模型, 求出函数的表达式, 利用函数表达式解决实际问题. 类型之二:二次函数在几何图形中的应用 【例2】 如图2所示, 在⊙M中, 弧AB所对的圆心角为120°, 已知圆的半经为2 cm, 并建立如图1所示的直角坐标系. (1) 求圆心M的坐标; (2) 求经过A、B、C三点的抛物线的解析式; (3) 点D是弦AB所对的优弧上一动点, 求四边形ACBD的最大面积; 解: (1) M (0, 1) . (2) 由A、B、C三点的特殊性和对称性, 经过A, B, C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c.易知 (3) S四边形ABCD=SABC+SABD, 又SABC与AB均为定值, 当ABD边AB上的高最大时, SABD最大, 此时点D为⊙M与y轴的交点, ∴S四边形ABCD=SABC+SABD=12AB·OD+12AB·CD=4 3 (cm2) . 点评:二次函数在几何图形中的应用实际上是利用数形结合的思想, 将代数与几何融为一体, 充分运用几何知识求出表达式中的待定系数, 进而达到目的. 类型之三:二次函数与最大面积问题 【例3】 如图3, 已知Rt△AFE, ∠A=90°, AE=60 m, FA=80 m, 在直角三角形AEF的内部作一个长方形ABCD, 其中AB和AD分别在两直角边上.设长方形的一边AB=x m, 长方形的面积为ym2, 当x取何值时, y的值最大?最大值是多少? 解:因为BC//AE, 所以△FCB∽△FEA, 所以 所以 当x=40时, y最大=1200. 故当C, B, D分别为EF, FA, AE各边中点时, 长方形ABCD面积最大为1200 m2, 此时AB长为40 m. 点评:二次函数是描述现实世界变量的重要数学模型, 利用二次函数的图象与性质可以解决几何图形中面积的最值问题. 类型之四:二次函数与商品销售利润问题 【例4】 数学兴趣小组的几名同学到某商场调查发现, 一种纯牛奶进价为每箱40元, 厂家要求售价在40-70元之间, 若以每箱50元销售, 平均每天销售90箱, 价格每降低1元平均每天可多销售3箱, 每升高1元平均每天少销售3箱, 老师要求根据以上资料, 解答下列问题: (1) 写出平均每天的销售量y (箱) 与每箱售价x (元) 之间的函数关系式; (2) 写出平均每天的销售利润W (元) 与每箱售价x (元) 之间的函数关系式; (3) 求出 (2) 中二次函数的图象的顶点坐标及当x=40、70时的W的值; (4) 每箱售价为多少元时, 平均每天销售利润最大?最大利润是多少? 解: (1) 根据题意, 得y=90+3 (50-x) =-3x+240; (2) 根据题意, 得W= (x-40) y= (x-40) (-3x+240) =-3x2+360x-9600; (3) W=-3x2+360x-9600=-3 (x-60) 2+1200, 所以二次函数的图象的顶点坐标为 (60, 1200) .当x=40时, W的值为0;当x=70时, W的值为900. (4) 由 (3) 得W=-3 (x-60) 2+1200, 所以当x=60时, W有最大值, W最大值=1200.所以每箱售价为60元时, 平均每天销售利润最大, 最大利润是1200元. 点评:商品销售利润问题是近几年中考命题的热点之一, 解答这类问题的最常用的方法之一是建立二次函数模型, 利用函数的最值解之. 类型之五:二次函数与一元二次方程 【例5】 如图4, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, BC>AC, 以斜边AB所在的直线为x轴, 以斜边AB上的高所在直线为y轴, 建立直角坐标系, 若OA2+OB2=17, 且线段OA, OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2 (m-3) =0的两根. (1) 求C点的坐标; (2) 以斜边AB为直径作圆与y轴交与另一点E, 求过A、B、E三点的抛物线的表达式; (3) 在抛物线上是否存在点P, 使△ABP与△ABC全等?若存在, 求出符合条件的P点的坐标;若不存在, 说明理由. 解: (1) 由题意得 又因为OA2+OB2=17, 所以 (OA+OB) 2-2OA·OB=17.③ 把①、②代入③中, 得m2-4 (m-3) =17, 即m2-4m-5=0, 解得m=-1或m=5. 又因为OA+OB=m>0, 所以m=5.当m=5时, 得方程:x2-5x+4=0, 解得x=1或x=4. 因为BC>AC, 所以OB>OA, 所以OA=1, OB=4. 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CO⊥AB, 所以OC2=OA·OB=1×4=4, 所以OC=2, 故点C的坐标为 (0, 2) . (2) 因为OA=1, OB=4, C, E两点关于x轴对称, 所以A、B、E三点的坐标分别为 (-1, 0) , (4, 0) , (0, -2) .设经过A, B, E三点的抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 则, 解得 (3) 存在.因为△ABC≌△ABE, 所以E (0, -2) 符合条件.因为圆心 点评:此题综合考查了一元二次方程和二次函数的知识, 借助二次函数的图象和一元二次方程来解决问题, 从而沟通了“数”与“形”的联系. 类型之六:二次函数与体育运动 【例6】 一身高1.8 m的篮球运动员在距篮板4 m外跳起投篮, 球在运动员头顶上方0.25 m处出手.按如图5所示的直角坐标系, 球在空中运行的路线可以用y=-0.2x2+3.5来描述, 那么: (1) 球能到的最大高度是多少? (2) 球出手时, 运动员跳离地面的高度是多少? 解: 则球能到的最大高度是3.5 m. (2) 把y=3.05代入y=-0.2x2+3.5. 得x1=1.5, x2=-1.5 (舍去) , 又因为篮球运动员在距篮板4 m, 故当x=-2.5时, y=2.25, 则运动员跳离地面的高度是2.25- (1.8+0.25) =0.2 ( m) . 中考压轴题希望遏制“题海战术”，注重试题公平性与原创性，注重试题的过程立意与能力立意。福建省莆田市2011年中考数学试卷第24题，是经过命题者精心编制的以二次函数为背景的压轴题，具有典型性、示范性、拓展性、研究性并有多种不同的解法。只有教师认真钻研，学会拓展延伸、类比迁移，才能让自己从一个单纯的执行者转变为开发者，从而能够更好地训练学生思维的创造性，教学也必将更加有效。现分析如下； 一、试题展示 已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与轴交于点A、B两点，与轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3） （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A） ①如图1，当△PBC的面积和△ABC面积相等时，求点P的坐标； ②如图2，当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式（图略） 二、试题功能分析 本题作为试卷的压轴题之一，试题以二次函数为载体，条件简洁、内涵丰富；在代数与几何的核心知识交汇，融几何性质与代数运算为一体。试题通过面积相等与角度相等两个条件，通过点的运动带来的面积变化以及图形变化，考查的知识代数中有函数的解析式、图象与性质等，几何中有相似、全等、面积等内容。突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、化归转化、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题重视方法，思维的考查，重视一题多解、重视用运动的观点来分析问题，解决问题的能力考查。试题呈现科学性、思想性和导向性。本题结论开放、方法开放、思路开放，因而能有效地反映高层次思维，能给予优秀学生充分施展才能的空间。同时该试题的考核也与过程性的目标相一致，体现出一定的数学思考和解决问题能力方面的要求，因而能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，培养学生的创造意识与创新能力。 三、试题解法荟萃（例试解法略） 四、试题解答情况 1、得分情况 本题难度0.16、区分度0.38，各个分数段分布如下： （图略）因统计含缺考等所以零分的人较多，若不考虑零分，显然试题能让不同水平的学生充分展示自己不同的探究深度， 较好地考查了学生运用数学思想方法探索规律、获取新知以及运用知识解决问题的能力。试题在注意控制难度的同时，又有恰当的区分度，不仅有利于高一级学校选拔合格的新生，而且对初中数学教学和减轻学生的课业负担有良好的导向作用。 2、典型错误： （1）设y=a（x-2）2-3错把a（x-h）2+k与函数上点（10，3）等同起来 （2） ①学生直接利用面积相等，计算量很大，不能正确运算或只求出 P1 （2，1） ，漏掉P2、P3。对同底等高的三角形面积相等性质不清，在方法上还不够灵活，思维不够全面。 ②中学生直接解答由∠PCB=∠BCA △ABC≌△PBC，然后得出点P的坐标。 连接PB认为PB与AD分别为△ABC和△PBC的高，因为S△ABC=S△PBC所以AD=PB，忽视了PB是否是 △PBC的高，即PB是否一定垂直于CB。主要原因：学生对知识理解存在错误认识，思维存在偏差。评卷中发现学生大都只想求出点P的坐标，未能把握知识和方法的迁移与应用、等价与转化，从而没有思路或思维单一，无法入手。 五、试题教学启示 研究以二次函数为背景的解答题，可以发现试题的设计大都由简单到复杂的两到三个问题组成，由浅入深，逐层递进，涵盖了图形与坐标、图形与变换、函数图像与性质等核心知识，突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、转化化归、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题一般不会以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动，使几何图形发生变化，从而让函数与几何有机结合起来。试题所运用的知识类型主要有两种。一是以建立函数模型为主的代数综合性问题、二是代数与几何有机结合的综合性问题。其中运动型问题居多，常见的有：（1）设置动点。通过点的运动对图形产生的影响，探求有关图形形状问题、最值问题、存在性问题等。（2）设置图形的平移、翻折与旋转。在图形的运动变化过程中，寻找规律，用函数研究变化的图形中的数量关系。 二次函数是中考的重点与热点，复习二次函数应掌握二次函数的基本概念、图像与性质的相互联系和相互转化，掌握二次函数与方程、不等式等知识的交汇与综合。注重教材的内涵、注重过程和联系、注重构建二次函数有关的知识网络。利用数形结合法，抓住图象特征掌握二次函数的性质是解决问题的主要方法。复习中应强化数形结合意识，掌握函数的基本技能和方法，注意观察、归纳、分析、比较，总结基本的方法、规律。其中常见的有：利用函数图像比较函数值的大小；利用函数图像求方程的近似解；利用函数图像求实际问题中的最大值与最小值等。要求学生会观察图像，利用数形结合的思想解决一些实际问题。 复习目标 1．二次函数的定义：形如〔a≠0，a，b，c为常数〕的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质： 〔1〕二次函数的图象是一条抛物线．顶点为〔－，〕，对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增大而增大，x＜－，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－，y随x的增大而减小，x＜－，y随x的增大而增大． 〔2〕当a＞0时，当x=－时，函数有最小值；当a＜0时，当x =－时，函数有最大值 3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0〕的图象进行平移，可得到y=a(x－h)2＋k的图象． 将y=ax2的图象向左〔h<0〕或向右(h＞0〕平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是〔h，k〕，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同． 4.二次函数的图象与系数的关系： (1) a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，那么a＞0；物线开口向下，那么a＜0． 〔2〕b的符号出的符号由对称轴决定，假设对称轴是y轴，那么b=0；假设对称轴在y轴左侧，那么－＜0即＞0，那么a、b为同号；假设对称轴在y轴右侧，那么－＞0，即＜0．那么a、b异号．即“左同右异〞． 〔3〕c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．假设抛物线交y轴于正半轴，那么 c＞0，抛物线交y轴于负半轴．那么c＜0；假设抛物线过原点，那么c=0． 〔4〕△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．假设抛物线与x轴只有一个交点，那么△=0；有两个交点，那么△＞0；没有交点，那么△＜0 ． 5．二次函数表达式的求法： ⑴假设抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得； ⑵假设抛物线的顶点坐标或对称轴方程，那么可采用顶点式：其中顶点为(h，k)对称轴为直线x=h； ⑶假设抛物线与x轴的交点坐标，那么可采用交点式：,其中与x轴的交点坐标为〔x1，0〕，〔x2，0〕 6．二次函数与一元二次方程的关系： 〔1〕一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况． 〔2〕二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根． 〔3〕当二次函数的图象与 x轴有两个交点时，那么一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，那么一元二次方程没有实数根． 典例精析 【例1】(1) 抛物线的局部图象如图，那么 再次与x轴相交时的坐标是〔 〕 A．〔5，0〕 B。〔6，0〕 C．〔7，0〕 D。〔8，0〕 〔2〕二次函数的图象如下图，那么a、b、c满足〔 〕 A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0 【分析】〔1〕由，可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1，0)，那么与x轴的另一交点为(7，0)。 〔2〕由抛物线开口向下可知a＜0；与y轴交于正半轴可知c＞0；抛物线的对称轴在y轴左侧，可知－ ＜0．那么b＜0．应选A． 【解答】〔1〕C 〔2〕A 【例2】〔2006宁波〕如图，抛物线与x轴相交于B〔1，0〕、C〔-3，0〕，且过点A〔3，6〕。 （1） 求a，b，c的值。 （2） 设抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，连结CP、PB、BQ。试求四边形PBQC的面积。 【分析】此题第〔1〕小题考察用待定系数法求抛物线的解析式，结合条件可以考虑用交点式。第〔2〕小题关键是求出Q点的坐标，因为它是对称轴与线段AC的交点，所以要先求出直线AC的解析式。 【解答】〔1〕由题意可设：，把点A〔3，6〕坐标代入可得 所以，即 所以 （2） 顶点P的坐标为〔-1，-2〕，对称轴是直线 而直线AC的解析式为 所以对称轴与线段AC的交点Q的坐标为〔-1，2〕 设对称轴与x轴相交于点D，那么可得：DP=DB=DQ=DC=2 所以四边形PBQC的面积为8。 【例3】，≠0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是〔－2，0〕，求原抛物线的解析式。 【分析】①由可知：原抛物线的图像经过点〔1，0〕；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。 【解答】可设新抛物线的解析式为，那么原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点〔1，0〕 ∴，解得 ∴原抛物线的解析式为： 【例4】如图是抛物线型的拱桥，水位在AB位置时，水面宽米，水位上升3米就到达警戒水位线CD，这时水面宽米，假设洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？ 【分析】此题关键是建立适宜的直角坐标系。 【解答】以AB所在直线为轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系，那么抛物线的顶点M在轴上，且A〔，0〕，B〔，0〕，C〔，3〕，D〔，3〕，设抛物线的解析式为，代入D点得，顶点M〔0，6〕，所以〔小时〕 【例5】已抛物线〔为实数〕。 〔1〕为何值时，抛物线与轴有两个交点？ 〔2〕如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。 【分析】抛物线与轴有两个交点，那么对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。 【解答】〔1〕由有，解得且 〔2〕由得C〔0，－1〕 又∵ ∴ ∴或 ∴或 课内稳固 1.〔2006临安〕抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是〔 〕 A．〔1，1〕 B．〔-1，1〕 C．〔-1，-1〕 D．〔1，-1〕 2．直线y=x与二次函数y=ax2 －2x－1的图象的一个交点 M的横标为1，那么a的值为〔 〕 A、2 B、1 C、3 D、4 3．二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，那么与分别等于〔 〕 A、6、4 B、－8、14 C、4、6 D、－8、－14 4．〔2006湖州〕二次函数y=x2－bx+1〔－1≤b≤1〕，当b从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。以下关于抛物线的移动方向的描述中，正确的选项是〔 〕 A、先往左上方移动，再往左下方移动; B、先往左下方移动，再往左上方移动; C、先往右上方移动，再往右下方移动; D、先往右下方移动，再往右上方移动 5．〔2006诸暨〕抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一局部如下图，那么该抛 物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是 （） A．〔，0〕； B．〔1，0〕； C．〔2，0〕； D．〔3，0〕 6．函数的图象如下图，给出以下关于系数a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b ＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为___________。 7．二次函数的图象如下图： 〔1〕这个二次函数的解析式是y=__________． 〔2〕当x=_______时，y=3； 〔3〕根据图象答复：当x______时，y＞0． 8．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象〔局部〕刻画了该公司年初以来累积利润S〔万元〕与销售时间〔月〕之间的关系〔即前个月的利润总和S与之间的关系〕。根据图象提供的信息，解答以下问题： 〔1〕由图象上的三点坐标，求累积利润S〔万元〕与时间〔月〕之间的函数关系式； 〔2〕求截止到几月末公司累积利润可到达30万元； 〔3〕求第8个月公司所获利润是多少万元？ 9．四边形DEFH为△ABC的内接矩形，AM为BC边上的高且长为8厘米，BC长为12厘米，DE长为x，矩形的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并判断它是不是关于x的二次函数.课外拓展 A组 1.〔2006舟山〕二次函数y=x2+10x-5的最小值为〔 〕． A．-35 B．-30 C．-5 D．20 2.〔2006绍兴〕小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=的一局部(如图)，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的距离是（） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 3.函数y= x2－4的图象与y 轴的交点坐标是〔 〕 A.〔2，0〕 B.〔－2，0〕 C.〔0，4〕D.〔0，－4〕 4.〔2006苏州〕抛物线y＝2x2+4x+5的对称轴是x=_________ ． 5.〔2006浙江〕如图，二次函数的图象开口向上,图像经过点〔-1，2〕和〔1，0〕且与y轴交于负半轴． 〔1〕给出四个结论：①＞0；②＞0；③＞0； ④a+b+c=0 其中正确的结论的序号是 ． 〔２〕给出四个结论：①abc＜0；②2a+＞0；③a+c=1； ④a＞1．其中正确的结论的序号是。 6.二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式：_______________.7.假设抛物线的最低点在轴上，那么的值为。 8.抛物线过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l〕． 〔1〕求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； 〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； 〔3〕这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？ 9．(2006盐城)：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P． (1)求A、B、P三点坐标； (2) 在如图的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零； (3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.10.〔2005枣庄〕抛物线的图象的一局部如下图，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A(0，-7)和点B.(1)求a的取值范围； (2)假设OA=2OB，求抛物线的解析式． B组 11．〔2005常州〕抛物线的局部图象如图,那么抛物线的对称轴为直线x=,满足y＜0时的x的取值范围是,将抛物线 向 平移 个单位,那么得到抛物线.12．〔2006大连〕如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围______________。 13．阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为〔m，2m－1〕，即当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得y=2x—1⑤．可见，不管m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x－1。答复以下问题：〔1〕在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；〔2〕根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标与横坐标x之间的关系式_________.14．〔2006台州〕如图，抛物线y=ax2+4ax+t〔a＞0〕交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点B的坐标为〔－1，0〕.〔1〕求此抛物线的对称轴及点A的坐标； 〔2〕过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？请证明你的结论； x y 〔3〕连结AC，BP，假设AC⊥BP，试求此抛物线的解析式.15．〔2006大连〕如图，抛物线E：y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点。 〔1〕求F的解析式； 〔2〕在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形。假设存在，求点N的坐标；假设不存在，请说明理由； 〔3〕假设将抛物线E的解析式改为y＝ax2＋bx＋c，试探索问题〔2〕。 16．〔2006嘉兴〕某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚〔点C〕的水平线为x轴、过山顶〔点A〕的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图〔单位：百米〕．AB所在抛物线的解析式为y＝－x2＋8，BC所在抛物线的解析式为y＝(x－8)2，且B〔m，4〕． 〔1〕设P〔x，y〕是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标； 〔2〕从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上〔见图〕． ①分别求出前三级台阶的长度〔精确到厘米〕； ②这种台阶不能一起铺到山脚，为什么？ 〔3〕在山坡上的700米高度〔点D〕处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道站的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE＝1600〔米〕．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y＝(x－16)2．试求索道的最大悬空高度． 反思纠错 1．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙〔墙的最大可利用长度a为10米〕围成中间隔一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为米，面积为平方米。 （1） 求与的函数关系式； （2） 如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？ （3） 能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。 解：〔1〕花圃宽米，长为米，那么它的面积与的函数关系式为。 〔2〕 当时，所以，当AB长为3米或5米时花圃的面积为45平方米。 〔3〕 所以，能围成面积比45平方米更大的花圃，它的最大面积为48平方米。 1、当x=1时，二次函数y=3x2-x+c的值是4，则C=_________ 2、二次函数y=x2+c经过点（2，0），则当x=-2时，y=____________ 3、抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线____________，它必定经过_____________和_____________ 4、一个正方形的面积为16cm2，当把边长增加x cm时，正方形面积为y cm2，则y关于x的函数为____________。 5、如果抛物线y=1 2x2-mx+5m2与x轴有交点，则m___________ B、2 C、3 D、4 6、下列变量之间是二次函数关系的有（）个．A、17、函数y=2x2-x+3经过的象限是（） A、一、二、三象限B、一、二象限C、三、四象限D、一、二、四象限 8、函数y=-x2+4x+1图象顶点坐标是（） A、（2，3）B、（-2，3）C、（2，1）D、（2，5） 9、已知二次函数y=(k2-1)x2+2kx-4与x轴的一个交点A(-2,0)，则k值为（） A、2 B、-1 C、2或-1 D、任何实数) 10、已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过（Ａ、一二三象限 B、一二四象限 C、一三四象限 D、一三四象限 11、已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0，△ <0，画出函数的大致图象。 12、已知y=x2+(m2+4)x-2m2-12，求证，不论m取何实数图象总与x轴有两个交点。 13、甲乙两船航行于海上，甲船的位置在乙船北方125km，以15km/h的速度向东行驶，乙船以20km/h的速度向北行驶，则多久两船相距最近？最近距离多少？ 数学是一个要求大家严谨对待的科目，有时一不小心一个小小的小数点都会影响最后的结果。下文就为二次函数随堂练习，希望大家认真对待。 一、选择题 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有 (??? ) ① a + b + c>0 ② a - b + c<0? ③ abc< 0? ④ b =2a? ⑤ b >0 A. 5个? B. 4个? C .3个? D. 2个 2.抛物线y=x2-ax+a-2与坐标轴的交点个数有(?? ) A.3个 B.2个? C.1个?? D.0个 3.下列过原点的抛物线是 (???? ) A.y=2x2-1?? B. y=2x2+1??? C. y=2(x+1)2?? D. y=2x2+x 4.已知抛物线过A(-1, 0)和B (3, 0)两点，与y轴交于点C，且BC= ，则这条抛物线的解析式为(??? ) A.y=-x2+2x+3?? B. y=x2-2x-3??? C. y=x2+2x-3 或y= -x2+2x+3?? D. y= -x2+2x+3或y= x2-2x-3 5.二次函数y= a (x+m)2-m (a≠0) 无论m为什么实数，图象的顶点必在 (??? ) A.直线y=-x上???? B. 直线y=x上 C.y轴上 D.x轴上 6.如图，在直角三角形AOB中，ABOB，且OB=AB=3，设直线 ， 截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为 (?? ) 7. 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题： ① 当c=0时，函数的图象经过原点; ② 当c>0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根; ③ 函数图象最高点的纵坐标是 ; ④ 当b=0时，函数的图象关于y轴对称.其中正确的命题的个数有 (??? ) A. 1个??? B. 2个???? C. 3个 D. 4个 8. 若一抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2, y =1, y =2 围成的正方形有公共点，则a的取值范围是 (?? ) 二、填空题 9.抛物线y=-2(x+1)2+1的顶点坐标是 . 10.将y=2x2的函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到二次函数解析式为?? . 11.抛物线y=(1-k)x2-2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 . 12.已知二次函数y=x2+kx-12的图象向右平移4个单位后，经过原点，则k的值是 13.写出一个二次函数的.解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数解析式可写为??? . 14.二次函数 y=ax2+c(a,c为已知常数)，当x取值x1,x2时(x1≠x2)，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为??? . 三、解答题 15.根据下列不同条件，求二次函数的解析式： (l)二次函数的图象经过A (1, l)，B(l, 7), C(2,4)三点; (2)已知当x=2时，y有最小值3,且经过点(l,5 ); (3)图象经过(-3,0),(l,0), (-l，4)三点. 16.画出函数y=x2-2x-3象，利用图象回答下列问题： (l)x取何值时，y随x的增大而减小? (2)当x取何值时， y=0， y>O, y<0? (3)若x1>x2>x3>1 时，比较yl, y2, y3的大小 17.已知二次函数y=-2x2，怎样平移这个函数图象，才能使它经过(0,0)和(1，6 )两点? 18.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形-边长为x(m) ，面积为S(m2). (l)求出S与t之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围; (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 19.某跳水运动员进行IOm跳台跳水的训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为己知条件).在跳某个规定动作时，正确情况下，该运动员在空中的最高处距水面 m，入水处与池边的距离为4m, 同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. (l)求这条抛物线的解析式; (2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 ，问：此次跳水会不会失误?通过计算说明理由. 2. 把y= -x2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n的形式是(? ) 例1 (2015·南京) 某企业生产并销售某种产品, 假设销售量与产量相等.如图1中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1 (单位:元) 、销售价y2 (单位:元) 与产量x (单位:kg) 之间的函数关系. (1) 请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义; (2) 求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式; (3) 当该产品产量为多少时, 获得的利润最大?最大利润是多少? 【分析】 (1) 点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130 kg时, 该产品每千克生产成本与销售价相等, 都为42元; (2) 根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可; (3) 利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数, 求得最值即可. 解: (1) 点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130 kg时, 该产品每千克生产成本与销售价相等, 都为42元. (2) 设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1, ∵y=k1x+b1的图像过点 (0, 60) 与 (90, 42) , ∴这个一次函数的表达式为:y=-0.2x+60 (0≤x≤90) . (3) 设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2, ∵y =k2x +b2的图像经过点 (0, 120) 与 (130, 42) , ∴这个一次函数的表达式为y2=-0.6x+120 (0≤x≤130) . 设产量为x kg时, 获得的利润为W元, 当0≤x≤90时, W=x[ (-0.6x+120) - (-0.2x+60) ]=-0.4 (x-75) 2+2 250, ∴当x=75时, W的值最大, 最大值为2 250; 当90≤x≤130时, W=x[ (-0.6x+120) -42]=-0.6 (x-65) 2+2 535, ∴当x=90时, W=-0.6 (90-65) 2+2 535=2 160, 由-0.6<0知, 当x>65时, W随x的增大而减小, ∴当90≤x≤130时, W≤2 160. 因此当该产品产量为75 kg时, 获得的利润最大, 最大值为2 250. 【点评】此题考查了二次函数的应用, 解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型, 在自变量不同取值范围内, 求出每段的最大值, 最后进行比较, 得出结论. 例2 (2015·济宁) 如图2, ⊙E的圆心E (3, 0) , 半径为5, ⊙E与y轴相交于A、B两点 (点A在点B的上方) , 与x轴的正半轴交于点C, 直线l的解析式为, 与x轴相交于点D, 以点C为顶点的抛物线过点B. (1) 求抛物线的解析式; (2) 判断直线l与⊙E的位置关系, 并说明理由; (3) 动点P在抛物线上, 当点P到直线l的距离最小时, 求出点P的坐标及最小距离. 【分析】 (1) 连接AE, 由已知得:AE=CE=5, OE=3, 利用勾股定理求出OA的长, 结合垂径定理求出OC的长, 从而得到C点坐标, 进而得到抛物线的解析式; (2) 求出点D的坐标为, 根据△AOE∽△DOA, 求出∠DAE=90°, 判断出直线l与⊙E相切于A. (3) 过点P作直线l的垂线段PQ, 垂足为Q, 过点P作直线PM垂直于x轴, 交直线l于点M. 设, 得到, 根据△PQM的三个内角固定不变, 得到, 从而得到最小距离. 解: (1) 如图3, 连接AE, 由已知得: AE =CE =5, OE=3, 在Rt △AOE中, 由勾股定理得, ∵OC⊥AB, ∴由垂径定理得, OB=OA=4, OC=OE+CE=3+5=8, ∴A (0, 4) , B (0, -4) , C (8, 0) , ∵抛物线的顶点为C, ∴设抛物线的解析式为y=a (x-8) 2, 将点B的坐标代入上解析的式, 得64a=-4, 故 ∴抛物线的解析式为 (2) 在直线l的解析式中, 令y=0, 得, 解得 ∴点D的坐标为 当x=0时, y=4, ∴点A在直线l上, 在Rt△AOE和Rt△DOA中, ∵∠AOE=∠DOA=90°, ∴△AOE∽△DOA, ∴∠AEO=∠DAO, ∵∠AEO+∠EAO=90°, ∴∠DAO+∠EAO=90°, 即∠DAE=90°, 因此, 直线l与⊙E相切于A. (3) 如图4, 过点P作直线l的垂线段PQ, 垂足为Q, 过点P作直线PM垂直于x轴, 交直线l于点M. 当m=2时, PM取得最小值为31/4, 此时, P点坐标为 ∵PM⊥x轴, ∴∠QMP=∠DAO=∠AEO, 又∠PQM=90°, ∴△PQM的三个内角固定不变, ∴在动点P运动的过程中, △PQM的三边的比例关系不变, ∴当PM取得最小值时, PQ也取得最小值, ∴当抛物线上的动点P的坐标为时, 点P到直线l的距离最小, 其最小距离为31/5. 【点评】此题是二次函数综合题, 涉及勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、切线的判定和性质、二次函数的最值等知识, 在解答 (3) 时要注意点P、点M坐标的设法, 以便利用二次函数的最值求解. 例3 (2015·东莞) 如图5, 在同一平面上, 两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt △ADC拼在一起, 使斜边AC完全重合, 且顶点B, D分别在AC的两旁, ∠ABC=∠ADC=90°, ∠CAD=30°, AB=BC=4 cm. (1) 填空:AD =_______ (cm) , DC =_______ (cm) ; (2) 点M, N分别从A点, C点同时以每秒1 cm的速度等速出发, 且分别在AD, CB上沿A→D, C→B方向运动, 求当M, N点运动了x秒时, 点N到AD的距离 (用含x的式子表示) ; (3) 在 (2) 的条件下, 取DC中点P, 连接MP, NP, 设△PMN的面积为y (cm2) , 在整个运动过程中, △PMN的面积y存在最大值, 请求出y的最大值. 【分析】 (1) 由勾股定理求出AC, 由∠CAD=30°, 得出, 由三角函数求出AD即可; (2) 过N作NE⊥AD于E, 作NF⊥DC, 交DC的延长线于F, 则NE=DF, 求出∠NCF=75°, ∠FNC=15°, 由三角函数求出FC, 得, 即可得出结果; (3) 由三角函数求出FN, 得出PF, 由△PMN的面积=梯形MDFN的面积-△PMD的面积-△PNF的面积, 得出y关于x的二次函数, 即可得出y的最大值. 解: (1) ∵∠ABC=90°, AB=BC=4 cm, 故答案为: (2) 过点N作NE⊥AD于E, 作NF⊥DC, 交DC的延长线于F, 如图6所示: 则NE=DF, ∵∠ABC=∠ADC=90° , AB=BC, ∠CAD=30°, ∴∠ACB=45°, ∠ACD=60°, ∴∠NCF=180°-45°-60°=75°, ∠FNC=15°, ∵sin∠FNC=FC/NC, NC=x, ∴点N到AD的距离为 (3) ∵sin∠NCF=FN/NC, ∵P为DC的中点, ∴ ∵△PMN的面积=梯形MDFN的面积-△PMD的面积-△PNF的面积, 由此可知y是x的二次函数, 1. 抛物线y=（x-1）2-3的对称轴是（ ）. A. y轴 B. 直线x=-1 C. 直线x=1 D. 直线x=-3 2. 把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）. A. y=x2+2 B. y=x2-2 C. y=（x+2）2+2 D. y=（x+2）2-2 3. 已知二次函数的图像过（1，0），（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）. A. y=x2-3x+2 B. y=x2+3x+2 C. y=x2-2x+3 D. y=2x2+x+2 4. 已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2014的值为（ ）. A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015 5. 二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图像一定过点（ ）. A. （-1，-1） B. （1，1） C. （1，-1） D. （-1，1） 6. 若函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图像与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）. A. 0 B. 0或2 C. 2或-2 D. 0，2或-2 7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图像如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）. A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线x= C. 当x< 时，y随x的增大而减小 D. 当-1 8. 如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图像中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）. 二、 填空题 9. 若函数y=（m-3）xm2+2m-13是二次函数，则m=_______. 10. 抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是_______. 11. 二次函数y=（k+1）x2的图像如图所示，则k的取值范围为_______. 12. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=________. 13. 对称轴平行于y轴的抛物线经过（1，-5），（3，-5）两点，则它的对称轴为直线________. 14. 已知二次函数y=x2+2kx+k2+k-2的图像的顶点在x轴上，则该函数的顶点坐标是________. 15. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a-2b+c的值为________. 16. 已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： 则当y<5时，x的取值范围是________. 17. 如图，某省大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高度为_______ m.（精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计） 18. 在平面直角坐标系中，函数y=x2-2x（x≥0）的图像为C1，C1关于原点对称的图像为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有_______________个. 三、 解答题 19. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-2）.求该抛物线的表达式，并写出其对称轴. 20. 如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）. （1） 求m的值和抛物线的关系式； （2） 求不等式x2+bx+c>x+m的解集（直接写出答案）. 21. 已知抛物线的解析式为y=x2-（2m-1）x+m2-m. （1） 求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2） 若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值. 22. 如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0， ），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点. （1） 求A，B，C三点的坐标； （2） 求过A，B，C三点的抛物线的解析式； （3） 若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？ 23. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天可销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.设销售价为x（元/箱）. （1） 平均每天销售量是多少箱？（用含x的代数式表示） （2） 求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式. （3） 当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 24. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一个点）的路线是抛物线y=- x2+3x+1的一部分，如图所示. （1） 求演员弹跳离地面的最大高度； （2） 已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由. 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点. （1） 求二次函数解析式； （2） 连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C.是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； 1．将120o化为弧度为（） A． B． C． D． 2．代数式的值为（） A.B.C.D.3．（） A． B． C． D． 4．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于（） A.B.C． D．－ 5．已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为() (A)2cm (B)4cm (C)6cm (D)8cm 6．若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 （） A．500 cm2 B．60 cm2 C．225 cm2 D．30 cm2 7．已知，则的值为（） A． B．－ C． D． － 8．已知，且，则（） A、B、C、D、9．若角的终边过点，则_______.10．已知点P(tanα，cosα)在第二象限，则角α的终边在第________象限． 11．若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限． 12．已知，则的值为 ． 13．已知，则_____________.14．已知，则_________.15．已知tan=3，则 .16．(14分)已知tanα＝，求证： (1)=－； (2)sin2α＋sinαcosα＝． 17．已知 （1）求的值； （2）求的值； （3）若是第三象限角，求的值.18．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值． 参考答案 1．B 【解析】 试题分析：，故.考点：弧度制与角度的相互转化.2．A.【解析】 试题分析：由诱导公式以可得，sin120°cos210°=sin60°×(-cos30°)=-×=,选A.考点：诱导公式的应用． 3．C 【解析】 试题分析：本题主要考查三角诱导公式及特殊角的三角函数值.由，选C.考点：诱导公式.4．A 【解析】 试题分析：，.故选A.考点：三角函数的定义 5．C 【解析】设扇形的半径为R,则R2θ=2,∴R2=1R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm).6．C 【解析】设扇形的圆心角为,弧长为cm,由题意知，∴ ∴当时，扇形的面积最大；这个最大值为.应选C.7．A 【解析】 试题分析：，=====.考点：诱导公式.8． 【解析】 试题分析：.又因为，所以为三象限的角，.选B.考点：三角函数的基本计算.9． 【解析】 试题分析：点即，该点到原点的距离为，依题意，根据任意角的三角函数的定义可知.考点：任意角的三角函数.10．四 【解析】由题意，得tanα＜0且cosα＞0，所以角α的终边在第四象限． 11．四 【解析】由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限． 12．-3 【解析】 13．【解析】 试题分析：因为α是锐角 所以sin(π－α)＝sinα＝ 考点：同角三角函数关系，诱导公式.14． 【解析】 试题分析：，又，则原式=.考点：三角函数的诱导公式.15．45 【解析】 试题分析：已知条件为正切值，所求分式为弦的齐次式，所以运用弦化切，即将分子分母同除以得.考点：弦化切 16．证明： (1) ＝－．(2)sin2α＋sinαcosα＝． 【解析】(1)原式可以分子分母同除以cosx,达到弦化切的目的.然后将tanx=2代入求值即可.（2）把”1”用替换后，然后分母也除以一个”1”，再分子分母同除以,达到弦化切的目的.证明：由已知tanα＝．(1) ＝＝＝－． (2)sin2α＋sinαcosα＝＝＝＝． 17．（1）;（2）;（3）.【解析】 试题分析：（1）因为已知分子分母为齐次式，所以可以直接同除以转化为只含的式子即可求得；（2）用诱导公式将已知化简即可求得；（3）有，得，再利用同角关系，又因为是第三象限角，所以； 试题解析：⑴ 2分 ． 3分 ⑵ 9分 ． 10分 ⑶解法1：由，得，又，故，即，12分 因为是第三象限角，所以． 14分 解法2：，12分 因为是第三象限角，所以． 14分 考点：1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系.18． 【解析】∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴sinα＝－2cosα，且cosα≠0.∴原式＝ 三角函数的诱导公式1 一、选择题 1．如果|cosx|=cos（x+π），则x的取值集合是（） A．－+2kπ≤x≤+2kπ B．－+2kπ≤x≤+2kπ C． +2kπ≤x≤+2kπ D．（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（以上k∈Z） 2．sin（－）的值是（） A． B．－ C． D．－ 3．下列三角函数： ①sin（nπ+）；②cos（2nπ+）；③sin（2nπ+）；④cos［（2n+1）π－］； ⑤sin［（2n+1）π－］（n∈Z）． 其中函数值与sin的值相同的是（） A．①② B．①③④ C．②③⑤ D．①③⑤ 4．若cos（π+α）=－，且α∈（－，0），则tan（+α）的值为（） A．－ B． C．－ D． 5．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（） A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=sinC C．tan（A+B）=tanC D．sin=sin 6．函数f（x）=cos（x∈Z）的值域为（） A．{－1，－，0，1} B．{－1，－，1} C．{－1，－，0，1} D．{－1，－，1} 二、填空题 7．若α是第三象限角，则=_________． 8．sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________． 三、解答题 9．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）． 10．证明：． 11．已知cosα=，cos（α+β）=1，求证：cos（2α+β）=． 12．化简：． 13、求证：=tanθ． 14．求证：（1）sin（－α）=－cosα； （2）cos（+α）=sinα． 参考答案1 一、选择题 1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题 7．－sinα－cosα 8．三、解答题 9．+1． 10．证明：左边= =－，右边=，左边=右边，∴原等式成立． 11．证明：∵cos（α+β）=1，∴α+β=2kπ． ∴cos（2α+β）=cos（α+α+β）=cos（α+2kπ）=cosα=． 12．解： = = = ==－1． 13．证明：左边==tanθ=右边，∴原等式成立． 14证明：（1）sin（－α）=sin［π+（－α）］=－sin（－α）=－cosα． （2）cos（+α）=cos［π+（+α）］=－cos（+α）=sinα． 三角函数的诱导公式2 一、选择题： 1．已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（） A.B.— C.D.— 2．cos(+α)= —，<α<,sin(-α) 值为（） A.B.C.D.— 3．化简：得（） A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D.± (cos2-sin2) 4．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是（） A.sinα=sinβ B.sin(α-) =sinβ C.cosα=cosβ D.cos(-α) =-cosβ 5．设tanθ=-2,<θ<0，那么sinθ+cos(θ-)的值等于（），A.（4+） B.（4-） C.（4±） D.（-4） 二、填空题： 6．cos(-x)=，x∈（-，），则x的值为 ． 7．tanα=m，则 ． 8．|sinα|=sin（-+α），则α的取值范围是 ． 三、解答题： 9．． 10．已知：sin（x+）=，求sin（+cos2（-x）的值． 11．求下列三角函数值： （1）sin；（2）cos；（3）tan（－）； 12．求下列三角函数值： （1）sin·cos·tan； （2）sin［（2n+1）π－］.13．设f（θ）=，求f（）的值.参考答案2 1．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．± 7．8．[(2k-1),2k] 9．原式=== sinα 10．11．解：（1）sin=sin（2π+）=sin=.（2）cos=cos（4π+）=cos=.（3）tan（－）=cos（－4π+）=cos=.（4）sin（－765°）=sin［360°×（－2）－45°］=sin（－45°）=－sin45°=－.注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sin·cos·tan=sin（π+）·cos（4π+）·tan（π+） =（－sin）·cos·tan=（－）··1=－.（2）sin［（2n+1）π－］=sin（π－）=sin=.13．解：f（θ）= = = = = = ＝cosθ－1，∴f（）=cos－1=－1=－.三角函数公式 1．同角三角函数基本关系式 sin2α＋cos2α=1 =tanα tanαcotα=1 2．诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限) （一）sin(π－α)＝sinα sin(π+α)＝-sinα cos(π－α)＝-cosα cos(π+α)＝-cosα tan(π－α)＝-tanα tan(π+α)＝tanα sin(2π－α)＝-sinα sin(2π+α)＝sinα cos(2π－α)＝cosα cos(2π+α)＝cosα tan(2π－α)＝-tanα tan(2π+α)＝tanα （二）sin(－α)＝cosα sin(+α)＝cosα cos(－α)＝sinα cos(+α)＝- sinα tan(－α)＝cotα tan(+α)＝-cotα sin(－α)＝-cosα sin(+α)＝-cosα cos(－α)＝-sinα cos(+α)＝sinα tan(－α)＝cotα tan(+α)＝-cotα sin(－α)＝－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα 3．两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ sin (α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβ sin (α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ tan(α+β)= tan(α－β)= 4．二倍角公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α－sin2α＝2 cos2α－1＝1－2 sin2α tan2α= 5．公式的变形 （1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α 1—cos2α＝2sin2α （2） 降幂公式：cos2α＝ sin2α＝ （3） 正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ） tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ) （4） 万能公式（用tanα表示其他三角函数值） sin2α＝ cos2α＝ tan2α＝ 6．插入辅助角公式 asinx＋bcosx=sin(x+φ) (tanφ=) 特殊地：sinx±cosx＝sin(x±) 7．熟悉形式的变形（如何变形） 1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 若A、B是锐角，A+B＝，则（1＋tanA）(1+tanB)=2 8．在三角形中的结论 若：A＋B＋C=π,=则有 tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC （二次函数与线段、面积最值综合题型） 一． 突破与提升策略： 1．面积最大值 （1）三角形有一条边在坐标轴上： 以在坐标轴上的边为底边，过不在坐标轴上的顶点作垂线； （2）三角形的三边都不在坐标轴上： 过其中一个顶点作平行于坐标轴的直线(应用最多)； （3）四边形有两边在坐标轴上： 过不在坐标轴上的顶点作坐标轴的垂线.2.面积倍数关系：先求出其中一个图形的面积，再用含未知数的式子表示所求图形(另一个图形)的面积，根据两图形间的面积关系，列方程求解；或用含相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程求解． 二．典型题提升练习 1.如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为A(1,4)，与坐标轴交于B，C，D三点，且B点的坐标为(－1,0)，(1)求二次函数的解析式； (2)在二次函数的图象位于x轴上方部分有两个动点M，N，且点N在点M的左侧，过点M，N作x轴的垂线交x轴于点G，H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值； 2.如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是多少？ 3.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1,0)，B(3,0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC.求线段PM的最大值； 4.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值； 5.在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，已知A(1,4)，B(3,0)． (1)求抛物线的解析式； (2)探究：如图①，连接OA，过点D作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由； (3)应用：如图②，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m＋n＝－1，连接PA，PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标． 提示：若点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为.6.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横 坐标为m． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ 7.如图，抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，－3）．点P、Q是抛物线上的动 点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值． （3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标． 8.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0,3）． （1）求b，c的值； （2）直线l与x轴交于点P． ①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线x＝1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值； ②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式． 9.如图①，抛物线y＝－x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将 直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D． （1）求直线AD的函数解析式； （2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点 ①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； ②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值． 10.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC.(1) 求抛物线的解析式； (2) 点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为； (3) 点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE,求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； (4) 若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.11.如图所示，抛物线过点A（－1，0），点C（0，3），且 OB=OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边 形ACDE的周长的最小值，（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5 两部分，求点P的坐标． 12.如图,已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(－5,0),B(－4,－3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.(1)求该抛物线的表达式; (2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC＝∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图，已知抛物线经过点（-1,0）、（5,0）.（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标； （2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积 （3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示） 14.如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）当点在直线l上方的抛物线上时，过点作轴交直线l于点，作轴交直线l于点，求的最大值； 【二次函数练习题及答案】推荐阅读： 一元二次函数练习题07-08 二次函数基础课时练习题(精选,类型)06-21 求二次函数解析式的题06-25 二次函数易错点剖析07-02 数学教案－二次函数教学设计07-06 指数函数性质及应用08-28 重力练习题及答案07-31 木兰诗练习题及答案06-15 绿色蝈蝈练习题及答案06-25 《说勤》阅读练习题及答案07-022.二次函数练习题及答案 篇二
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