线性代数二次型例题

线性代数二次型例题（精选3篇）

1.线性代数二次型例题 篇一

热带气旋频数的二次型预测模型

使用1951-20北半球500 hPa高度场格点资料、1949-年海温场(SST)格点资料,计算与后期热带气旋发生频数的相关系数,分析两个相关场显著相关区的统计特征,进一步分析其天气气候学意义和物理意义.选取若干相关系数高的格点,构成组合因子,建立二次型曲线预测方程,进行西北太平洋、南海及登陆我国、登陆广东的热带气旋年月频数的`预测.预测试验和检验表明,二次型预测模型有较高的拟合能力,在业务应用中有较好的效果.

作 者：梁健 林永堂 谢定升 Liang Jian Lin Yongtang Xie Dingsheng 作者单位：广州中心气象台,广州,510080刊 名：应用气象学报 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF APPLIED METEOROLOGICAL SCIENCE年，卷(期)：18(1)分类号：P4关键词：大气环流 海温 热带气旋频数 二次型预测模型

2.线性代数二次型例题 篇二

关键词：振动控制,LQR,最优控制

0 引言

振动控制是振动研究领域内一个重要分支,是振动研究的出发点和落脚点。振动控制包括两个方面的内容:一是振动的利用,即充分利用有利的振动如各类振动机器;另一内容是振动的抑制,尽量减小有害的振动,因为振动加速机械设备的磨损,缩短产品与结构的寿命,使人易于疲劳,使仪器易于失灵与损坏。此处所讨论的振动控制只是振动的抑制。振动控制的任务就是通过一定的手段使受控对象的振动水平满足人们的预定要求。振动主动控制是主动控制技术在振动领域中的一项重要应用,是当前振动工程领域内的高技术,是动力学、自动控制、计算机、电气及材料科学等诸多学科的综合。和振动被动控制相比,由于它具有振动控制效果好、适应性强等优越性,目前已成为国内外振动工程领域的研究热点,并在船舶海洋工程、航空航天、车辆工程及土木建筑领域得到了初步应用。一个振动系统主要由受控对象、作动器、控制器、测量系统、输入能源、附加子系统等几个环节组成。其中控制器(控制律)的设计是中心环节,作动器的设计是关键。

区别于被动控制,振动主动控制主要是需要独立的控制体系从外界获得控制所必需的控制能量,按某种控制规则提供给受控对象以控制力,改变整个系统的动态特性,有效地减少受控结构体的振动幅度以及改变振动体的振动加速度,从而达到减振的目的。因此线性二次型最优控制属于主动控制中的一种。

结构主动控制主要是需要实时测量结构反应和环境干扰,采用现代控制理论的主动控制算法,在结构模型的基础之上运算和决策最优控制力,最后作动器在很大外部能量输入下实现最优控制。[1]本文主要介绍了二次型最优控制算法的原理,选取研究对象,采用数值计算和数学仿真,对其振动控制的效果进行了检验,对其性能进行了评价。

1 振动系统数学方程

N个自由度刚体结构在外力F(t)的作用下的运动方程表达式为:

式(1)中,X(t)∈Rn是结构的位移向量;M、C和K∈Rn×n分别是振动结构的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵;Ds∈Rn×r是外力作用的位置矩阵;X(t)、X'(t)∈Rn分别是结构的初始位移向量和初始速度向量。

2 主动控制的流程

运用结构主动控制对振动结构体进行减振,需要实时测量结构反应或者外部环境的干扰,采用了控制理论的主动控制在精确的结构模型基础上计算,得到最优控制力,其大小根据系统反馈(和外部干扰力有关)时的变化[2],如图一所示。

3 利用线性二次型最优控制法计算控制力

振动系统方程表达式如下:

为了控制结构的振动,在振动结构体上安装q个控制装置,如图二所示。设作动器在结构体施加的作动力为U(t)∈Rq,相应的作用位置矩阵为Rs∈Rn×q,于是受控振动系统方程表达式就变为:

式(3),中动态系统的位移X(t)和速度X'(t)都是独立向量。设:

于是受控振动可以描述为下面的状态方程:

式(4)中:

输出方程:

式(5)中,Y(t)∈Rm输出向量;C0∈Rn×2n为输出矩阵;B0∈Rm×r,D0∈Rm×q为传递矩阵。

式(6)中,Q∈Rn×n为半正定矩阵,R∈Rq×q为正定矩阵。

第一项T1代表振动系统振动所具有的能量,第二项T2代表系统趋于振动稳定状态所要消耗的控制输入能量。当Q相对R较大时,表示指标J的性能更重于控制能量的消耗。当R=0时,二次最优控制问题称为最短响应时间问题,例如防空导弹的控制问题。

反之,当Q相对R较小时,则表示指标J的性能更重于节约控制能量的损耗。当Q=0时,二次最优控制问题称为最少“燃料消耗”问题,比如远距离航天飞行器的控制问题。

系统控制的任务是,当系统由于外部干扰力的作用而偏离平衡状态时,作动器立即开始作用,施加控制输入,使振动结构体趋于平衡状态。系统最优控制问题就是在时间区域[t,∞)寻找最合适的U(t),使振动体由状态Z0趋近于平衡状态,并且使性能泛函J取得极小值,则该问题就演变成条件变分问题。即:

用拉格朗日乘子法构造新的泛函:

由条件变分求极值,具体见参考文献[3],可以得到控制力U(t)的大小为:

其中称G(t)是最优状态反馈增益矩阵。

P(t)是对称矩阵,其是Riccati矩阵代数方程PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0的解。

当t→∞时,即所谓的无限时间最优控制,有P'(t)=0,因而P(t)=P,所以P是常矩阵。

所以Z'(t)=(A-BR-1BTP)Z(t)+DF(t)

权矩阵是通过试算的方法给出的,到目前为止还没有一个通用的算法准确地算出,这给最优控制力的计算带来不便,增加了计算的工作量。但是线性二次型最优控制设计时,权矩阵Q、R对控制的效果和控制力有显著影响,因此选取权矩阵比较关键;一般来说,Q越大,受控结构的反应越小,控制效果越好;R越大,则控制输入越小,控制效果越差。这为我们选取Q和R提供了一定依据,可以减小工作量。一般取,R=αIn,其中α、β为常系数。

4 算例结果及其分析

对于图示三层振动系统:

它是一个振动系统的简化图[4],已知质量m1=m2=m3=5×105Kg,k1=k2=k3=2×108N/m,c1=1.278×106N·s/m,c2=1.244×106N·s/m,c3=0.088×106N·s/m,环境干扰力F(t)=[1000sin(t)0 0]T,振动的计算数据为:

由函数LQR得到控制力状态反馈增益矩阵,即:

则最优控制力:U=-GZ

结构状态方程:Z'(t)=(A-BG)Z(t)+DF(t)

输出状态方程:y0(t)=C0Z(t)

C0、D0是观测输出矩阵。对于LQR最优振动控制算法而言,y0与z是相同的,此时C0取单位矩阵。LQR最优控制是全状态反馈,因此D0取零矩阵,t是外力作用的时间向量,y0是输出向量。

无控时第一层振动结构体的位移为:

无控时第三层振动结构体的位移为:

从图四至图九的仿真计算结果可以看出:振动结构体在线性最优二次型主动控制作用下,结构的振动位移和振动加速度都得到有效的降低。第一层结构体在受控作用下最大振动幅度降为原来无控时的14.33%,受控时的加速度降低为原来无控时的69.05%。在振动的整个过程中,由于线性二次型最优控制需要实时测量结构反应和环境干扰,主动控制算法在结构模型基础上运算得到最优控制力,在作动器能量输入作用下实现最优控制,这样一来可以避免发生共振。

5 结束语

从上文仿真计算结果可以看出,线性最优二次型控制方法,对于振动结构体振动幅度及加速度控制是行之有效的,其对振动结构体可以进行时时控制,振动体的振动幅度及加速度降低了,其自身的所包含的能量也就减小了,结构振动辐射噪声也会随之降低。因此,线性二次型最优控制对结构振动控制的效果是显著的,同时也可有效地控制振动噪声。

参考文献

[1]王滨庆.基于机械作动器的振动主动控制研究[J].哈尔滨工程大学学报,2005.

[2]孙国春,史文库.振动主动控制技术的研究和发展[M].北京:北京工业出版社,1995.

[3]欧进萍.结构振动控制[M].北京:科学出版社,2003.

3.线性代数二次型例题 篇三

例1 设A为n阶方阵，若存在正整数k和向量，使Ak0，且Ak10.证明：向量组,A,,Ak1线性无关.证明：（利用线性无关定义证明）假设有常数1,2,,k，使得

k1AA0（1）12k将（1）两边左乘Ak1，可得

1Ak12AkkA2k20

由已知条件A0，可知上式从第二项全等于零，所以1A又由条件Ak1kk10，0，所以10.类似地，将（1）两边左乘Ak2，可得20；

k1类似地可证得34k0，所以向量组,A,,A线性无关.例2 设向量组1,2,3线性相关，向量组2,3,4线性无关，问：

（1）1能否由2,3线性表示？证明你的结论;（2）4能否由1,2,3线性表示？证明你的结论.解：（1）1能由2,3线性表示.证明：由于向量组2,3,4线性无关，那么其部分组2,3也线性无关。又由已知条件有1,2,3线性相关，故1能由2,3线性表示.(2)4不能由1,2,3线性表示.证明:假设4能由1,2,3线性表示,即存在不全为零的常数1,2,3,使得

4112233

由(1)的结论,我们可以设1k22k33,代入上式,可得

4(21k2)2(31k3)3

即4可由2,3线性表示,从而2,3,4线性相关,与已知条件矛盾.因此假设不成立, 4不能由1,2,3线性表示.例3 设两向量组

(1)11,2,3,23,0,1,39,6,7(2)10,1,1,2a,2,1,3b,1,0 TTTTTT已知两向量组的秩相等,且3能由1,2,3线性表示,求a,b.解:令A(1,2,3),B(1,2,3)

由于矩阵A已知，可以先对A进行初等变换求秩.1391391392r1r250612A2060612rr3233rr3171301020000因此r(A)2,且1,2为(1)的一个极大无关组.由已知条件两向量组的秩相等,所以r(B)2,从而B0,即

0B11所以aa21b1ab0 03b.又由条件能由,,线性表示而1,2为(1)的一

123个极大无关组.所以3能由1,2线性表示,则1230,即

13b2b100123201,解得 310b5,所以有ab5.例4 求向量组11,1,1,3,21,3,5,1,TTTT32,6,10,a,44,1,6,10, 53,2,1,c的秩和一个极大无关组.解:对以1,2,3,4,5为列构成的矩阵A,做初等变换

T11A131102000012351240a2610a3112061010c04313107708c1104126412002412240432431a62a20314c9 31B1c3当a=2且c=3时, r(B)3,B中第1、2、4列线性无关，此时向量组的秩为3，1,2,4是一个极大无关组；

当a2时，r(B)4，B中第1、2、3、4列线性无关，此时向量组的秩为4，1,2,3,4是一个极大无关组；

当c3，r(B)4，B中第1、2、4、5列线性无关此时向量组的秩为4，1,2,4,5是一个极大无关组.例5设向量组（1）1,2,3,4的秩为3；向量组（2）1,2,3,5的秩为4，证明:向量组1,2,3,54的秩为4.证明：（要证明1,2,3,54的秩为4，可通过证明1,2,3,54线性无关来得到想要的结论）

由向量组（2）的秩为4，可知1,2,3线性无关，又由向量组（1）1,2,3,4的秩为

3，可知1,2,3,4线性相关，从而4可由1,2,3线性表示，即存在不全为零的常数l1,l2,l3，使得4l11l22l33，不妨设k11k22k33k4(54)0，将4代入，可得

(k1k4l1)1(k2k4l2)2(k3k4l3)3k450

由于1,2,3,5线性无关，所以

k1k4l10kkl0242k1k2k3k40 k3k4l30k40故1,2,3,54线性无关，从而该向量组的秩为4.例6 设向量组1,2,,m(m1)的秩为1,2,,m的秩为r

r，123m，213m，，m12m1，证明向量组

证明:(由推论等价的向量组有相同的秩，此题只需证明两个向量组等价即可)由已知1,2,,m可由1,2,,m线性表示，且有下式成立

12m(m1)(12m)