求函数极限方法的若干方法

求函数极限方法的若干方法（共5篇）（共5篇）

1.求函数极限方法的若干方法 篇一

求极限的方法小结 要了解极限首先看看的定义哦 A.某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，但在该点周围(数列除外）的必 某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，某点处的极限与该点处有无定义和连续无关 但在该点周围(数列除外）须连续 B.了解左右极限的定义 了解左右极限的定义 C.极限的四则和乘方运算 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 E.注意自变量在趋近值的微小范围内 注意自变量在趋近值的微小范围内，E.注意自变量在趋近值的微小范围内，可以利用它同 B 一起去绝对值

1、代入法——在极限点处利用函数的连续性求极限 ——在极限点处利用函数的连续性求极限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.约分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)约分法—— ——分解因式 这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）（这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）3.利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。——反比例函数 Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1-∞)、limarctanx=π/2(x->∞)、4 2 4 3 Lim(4x +x +1)/(x +x +1)=(4+1/x 2 +1/x 4)/(1+1/x+1/x4)=4(x->∞)

4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因为（因为（a n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求

5、极限与导数 —— 利用导数的定义 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用导数的定义、极限与导数——（）6.有界函数与无穷小的积仍为无穷小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等价无穷小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用无穷小时注意它不是充分必要的即应用无穷小转化后若极限不存 不能得到原极限不存在）在，不能得到原极限不存在）8.利用重要极限 利用重要极限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要极限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解释 sin2x/x2)=e(中间的配凑略 中间的配凑略)解释 中间的配凑略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是无穷小 都是无穷小)都是无穷小 ∞(1 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的 取对数法是幂指 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的.取对数法是幂指 函数的通法，时上述方法就显得更简单了恩）函数的通法，当看见 1∞时上述方法就显得更简单了恩）9.利用洛比达法则 可转化

为 0/0, ∞/∞型)利用洛比达法则(可转化为 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比达法则 型 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。（对于未定式都可用 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。同时它同 7 一样都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在极限中很少用，但可以解决一些特殊的高数上有哈）在极限中很少用，在极限中很少用 但可以解决一些特殊的高数上有哈）11.极限与积分 ___就是利用积分的定义 极限与积分 就是利用积分的定义 _______

解:

=

12.利用柯西准则来求！12.利用柯西准则来求！利用柯西准则来求 柯西准则： 要使{xn} {xn}有极限的充要条件使任给 ε>0,存在自然数 柯西准则 ： 要使 {xn} 有极限的充要条件使任给 ε>0, 存在自然数 N，使 得当 n>N 时，对于 |xn任意的自然数 m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用单调有界必有极限来求 14.利用单调有界必有极限来求 证明： x1＝。。。）存在极限 存在极限，证明：数列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在极限，并求出极限值 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由归纳法 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有极限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 两边取极限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夹逼准则求极限 15.利用夹逼准则求极限 16.求数列极限时 可以先算出其极限值，然后再证明。求数列极限时，16.求数列极限时，可以先算出其极限值，然后再证明。17.利用级数收敛的必要条件求极限 17.利用级数收敛的必要条件求极限 18.利用幂级数的和函数求极限 18.利用幂级数的和函数求极限

2.求函数极限方法的若干方法 篇二

一、利用函数极限的运算法则来求极限

定理1若极限 和 x 都存在,则函数f( x) ±g( x) ,f( x) ·g( x) 当x→x0时也存在,且

在函数极限的求法中,必须是每项或者每个因子的极限都存在,才能运用此种方法对极限进行求解. 如果函数中所给的变量不满足条件,在运用法则求解的过程中,要先对函数中的变量进行变形,消去函数中的部分量零因子,从而达到利用法则进行函数极限计算的要求.

例如,以下就是利用极限运算的法则来求解函数的极限的.

二、利用两个重要的极限来求函数的极限

重要的极限一:

重要的极限二:

在运用这两个重要的极限求解函数的极限时,我们不仅要会运用这两个重要的极限本身进行解题,还要能熟练地运用它们的变形形式来进行解题,这样才能取得更好的效果.

例如,以下就是利用重要的极限来求解函数的极限的.

三、利用等价无穷小来求函数的极限

定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小( 即极限是0) .

定理3当x→0时,下列函数都是无穷小( 即极限是0) ,且相互等价,有:

x ~ sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( 1 + x) ~ ex- 1.

在利用等价无穷小来求函数的极限时,将定理中函数的自变量x换成g( x) 时( g( x) →0) ,上面的定理仍然是成立的.

例如,以下就是利用等价无穷小来求解函数的极限的.

四、利用连续性来求函数的极限

定理4利用函数的连续性求极限包括: 如函数f( x) 在x0点连续,则 及若 且f( u) 在点a连续,则x

例11 求 的极限.

解由于 及函数f( u) = e4在u =1/4处连续,故

例12

解因为x0= 2是函数 的一个连续点,所以,

五、利用洛比达法则求函数的极限

定理5若函数f( x) 和函数g( x) 满足:

条件1:

条件2: 在点x0的某空心邻域u0( x0) 内两者都可导,且g'( x) ≠0;

条件3: ,( A可为实数,也可为±∞或∞ ) ,

则

在利用洛比达法则求函数的极限时,一定要满足上述的三个条件. 三个条件中有之一不满足者,洛比达法则就不能应用.

六、结束语

3.求极限方法的研究 篇三

【关键词】极限；洛必达法则；夹逼准则；连续性质；泰勒公式；无穷小

极限是在实践中产生的，例如我国古代在求圆的面积时，应用割圆术来求圆的面积，从而产生了极限的思想。而极限是微积分中的一个重要概念，微积分的思想就是极限的思想。因此极限对于微积分来说就显得尤为重要。下面我就从五个方面来研究求极限的方法。

一、按定义证明

利用极限的定义来论证某个数A是函数的极限时，重要的是对于任意的正数ε，要能够指出定义中所说的这种δ确实存在。

例如证明

证明由于

为了使 ，只要

所以， ，可取 ，则当 适合不等式 时，对应的函数值 就满足不等式

从而

二、按运算法则计算

1.利用无穷小法则

两个无穷小的和的极限是无穷小，有界函数与无穷小的和是无穷小，常数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的乘积是无穷小。

例如 =0 这是有界函数与无穷小的和是无穷小的例题

，而 是有界函数

2.利用四则运算法则

如果 ， ，那么lim[f（x）±g（x）]=A±B

lim[f（x）·g（x）]=A·B

例如

3.利用复合运算法则

设函数y=f[g（x）]是由函数 与函数 复合而成，f[g（x）]在点 的某去心邻域内有定义，若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则

例如 ， 是由 与 复合而成

三、按洛必达法则计算

当极限是未定式时，就可以用洛必达法则计算。

例如

四、按夹逼准则计算

如果（1） 时，

（2）

。那么

例如计算

又

五、按无穷小等价代换定理计算

设 ～ ， ～ 且 存在，则

例如计算

解：当 时， ～ ， ～ ，所以

六、按连续性质计算

设函数 在 的某邻域内连续，那么

例如计算

七、按泰勒公式计算

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，可求某一些未定式的极限

例如计算

八、重要极限

例如计算

极限是变量变化的一种趋势，求极限的方法的研究，其实就是研究变量的一种基本的方法。在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，本文通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

参考文献：

[1]同济大学数学系 高等数学 第七版上下[M].北京： 高等教育出版社，2014.

[2]方桂英.高等数学[M].北京： 科学出版社，2009.

作者简介：

4.求函数值域的几种常用方法 篇四

求函數值域是一个比较复杂的问题，不同的函数解析式要用不同的方法，下面举例说明几种常见的求函数值域的方法。

一、配方法

例1求函数y=2x2-6x+3的值域

解：y=2（x-3）2-

函数 的值域为【 ，

二、判别式法

对于某些有理数分式函数，y=f（x）（分子或分母最高次数为2），可把函数的解析式化为关于x的一元二次方程，再根据判别式 得到一个关于y的不等式。解此不等式就可求得函数的值域。

例2求 的值域

解：原方程可化为（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0

当 y 时，

解得

当y=1时，x=0属于定义域

函数的值域为

三、非负数法

当函数的解析式中出现绝对值，偶次方幂，算数根和指数幂时，常根据他们的非负数这一性质确定函数的值域。

例3. 求函数 的值域

解：原方程可化为

视为关于x的方程化为

所以函数的值域为

四、分部分式法

当函数的解析式y=f（x）是分式且分子的次数大于或等于分母的次数时，可分部分式求函数的值域。

例4.求函数 的值域

解：

因为

所以

故该函数的值域为[

五、换元法

对于某些特殊的函数y=f（x），可利用设辅助未知数的方法求得其值域。

例5. 求函数 的值域

解：令

所以 （当且仅当t=1时取等号）

故原函数的值域为

六、函数的单调性法

对于某些单调函数可根据函数的单调性求函数的值域。

例6.求函数 的值域

解：设

因为

当 时，t有最小值

又因为 是增函数

所以当

故原函数的值域为

七、反函数法

因为原函数的值域正好是它的定义域，所以要求原函数的域可以转换为先求其反函数再求其定义域，即得原函数的。

例7. 求函数 的值域

解：求得 的反函数为 ，

其定义域为

故所求函数的值域为

八、数形结合法

例8.求函数 的值域

解：原函数化为

将此函数化为分段函数的形式

通过图像可知

故所求函数的值域为

5.求函数极限方法的若干方法 篇五

定理17.7 若 fxy (x,y) 和fyx(x,y) 都在点(x0,y0)连续,则fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0)

现将该定理的条件做变动:若fxy (x,y) 在[a ,b]上连续,则fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0)

知识储备:1 若二元函数在点(x0,y0)处连续,则在x=x0 ,y=y0处连续。

2 若二元连续函数存在重极限和累次极限,则它们必定相等。

3 fxy(x0,y0)=

fyx(x0,y0 )=

證:不妨设(x0,y0)为(a, b)上的任意一点,令

F(△x, △y)=f(x0+△x ,y0+△y)- f(x0+△x ,y0)- f(x0 ,y0+△y)+f(x0+y0)

Φ(x)=f(x, y0+△y ) - f(x, y0)

于是F(△x, △y)=φ(x0+△x)-φ(x0) (1)

由于函数f存在关于x的偏导数,所以函数可导。应用一元函数的拉格朗日中值定理有

φ(x0+△x)-φ(x0)=φ’(x0+θ1 △x) △x=[fx(x0+θ1△x, y0+△y)-fx(x0+θ1△x,y0)] △x (0<1 <1)

又由函数存在关于y的偏导数,故对以y自变量的函数fx(x0+θ1△x,y)应用一元函数的拉格朗日中值定理,又使上式化为

φ(x0+△x)- φ(x0)= fxy (x0+θ1△x,y0+θ2△x)△x△y(0<1 , 2 <1)

由(1)则有 F(△x, △y)= fxy (x0+θ1△x,y0+θ2△x)△x△y(2)

将△x,△y除到左边, 可得

(3)式的左边= fxy(x0,y0)

因为fxy (x,y) 在任意点(x0,y0)处连续,则fxy (x,y)在分别在x=x0, y=y0 处连续

由fxy (x,y)在x=x0处连续,可知

lim△x→0 fxy(x0+θ1△x,y0+θ2△x)= fxy (x0,y0+θ2△x)

fxy (x0,y0+θ2△x)在y=y0 连续

lim△y→0 fxy(x0,y0+θ2△x)= fxy(x0,y0) 即有

lim△y→0 lim△x→0 fxy(x0+θ1△x,y0+θ2△x)= fxy(x0,y0)即

lim△x→0 lim△y→0 fxy(x0,y0+θ2△x)=fxy(x0,y0)(4)

同理可知,对于(3)式,令△y 0,△x0,可得

(3)式的左边= fyx(x0,y0) ,右边= fxy(x0,y0) (5)

由(4),(5)两个式子可知,有fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0),命题得证。

说明: 1 在目前的数学分析习题当中,如果不加说明,通常认为混合偏导数在区间上连续,从而混合偏导数与求导顺序无关。

2 有关多元函数的相关证明,通常将其和一元函数建立联系,从而利用一元函数的性质来证明多元函数。例如本题当中就很好的利用了一元函数中值定理及连续性的性质。

多叉树方法来解决多元复合函数求偏导数问题

例题1 设Z=f(x,x/y),求Zx, Zxy

解 这里z是以x和y为自变量的符合函数,它也可改写成如下形式:z=f(u,v),u=x,v=x/y

反馈:多元函数求偏导数,通常的做法是用链式法则进行相关求解,然而在多数计算情况下,我们经常是漏掉某个项,或缺少“交叉项”,往往是因为某个小处而造成计算结果的错误。现给大家推荐一种通俗、直观的方法,即图论中的二叉树法,来进行多元复合函数求微分或偏导数。

解:仍旧以上面的例题为例

利用换元的结果,其二叉树分布如下

对于上述例题,用换元的方法即可进行求解,多叉树法的优点也不是多明显,接下来的一道例题,如果用换元法,很有可能会遗漏某个环节或交叉项,而如果将其和多叉树结合起来,计算过程相对会更顺利一些。

例题3:Z=z(f1(f2(x,y),f3(xy,x+y)),g1(g2(x,6y),g3(x,2y)),h1(h2(x2+y,y),h3(8x,y))),求Zx,Zy

分析:令a= f1(f2(x,y),f3(xy,x+y)),b= g1(g2(x,6y),g3(x,2y))c= h1(h2(x2+y,y),h3(8x,y)),d= f2(x,y),e= f3(xy,x+y),

f= g2(x,6y),g= g3(x,2y),h= h2(x2+y,y),i= h3(8x,y)),j= xy,k= x+y,l= x2+y,则对应的多叉树为

由多叉树图可知,对x的一阶偏导数共有7个路径,分别是zadx,zaejx,zaekx,zbfx,zbgx,zchlx,zcix.

对y的一阶偏导数共有8个路径,分别是zady,zaejy,zaeky,zbfy,zbgy,zchly,zchy,zciy.

运用多叉树方法求解偏导数的一般步骤:

1 运用换元的方法,有外至内依次进行换元,直至换到所要求的自变量。

2画出由多个变元构成的多叉树。

3依据问题,从左至右依次找出所求变量的路径。

4 按照复合函数的链式法则求偏导数。多数情况下,在涉及二阶以上的偏导数时,会涉及到乘积求偏导数问题,要按照乘积求导法则进行求导。

多元函数运用多叉树法,为求解多元函数微分及偏导数提供了一个很好的途径,不仅有助于学生对于多元函数求偏导数有更加清楚的认识和理解,而且大大提高了学生求解多元函数偏导数的速度和质量,不失为一种好的方法。

数学的学习,不单纯只是接受的过程,更重要的是一个思考的过程,正是在这样的过程中,我们才会真正体会到数学所蕴藏的乐趣,望大家勤于思考,刻苦钻研,最终定能够收获丰硕的果实。

参考文献:

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社.2001.

[2] 许绍浦.数学分析教程[M].南京大学出版社.

[3] 陈纪修.数学分析[M].高等教育出版社.