线性代数知识点（精选10篇）
1.线性代数知识点 篇一
2020考研考研线性代数知识点归类
01特点与难点
1、特点
前面是基础，后面是应用。
这句话有三层意思
⑴、前面的内容学好，后面内容才看得懂。
⑵、前面内容不会单独考，70%会结合后面内容考查，所以题目综合性强。
⑶、前面内容需要记忆，类似于泰勒公式，类似于求导公式，但是不同于泰勒公式的是，可以通过理解记忆。
2、难点
⑴、没有一本好的辅导书。
①刚刚说过，前面的内容可以通过理解记忆，但是辅导书不讲深层原因，而是直接罗列出来。
比如：行列式性质
②大部分考研难度的题目都具有一定综合性，编者不好编辑例题。
比如：行列式内容中，抽象行列式涉及矩阵内容(此时矩阵还没有学习)
矩阵内容中秩的相关概念需要用向量和方程组的知识理解(此时向量还没有学习)
⑵、网课老师深浅把握不好
张宇：线性代数讲得深!他可以把深层次原因讲出来，但是作为新手，你会质疑老师的能力!
李永乐：讲的细致，风格恰好与张宇相反。
杨超：同李永乐
⑶、某些概念理解有困难
这部分原因是两部分造成的：
①没有理解前面某些概念。
②由于题目综合性强，练的题目少。
把这三个难点联系在一起，你们有没有发现?
线性代数复习进入了一个死循环
前期复习没有涉及后面的知识点→做题少、不能够通过做题加深概念→后面知识点理解困难→做题少、不能够通过做题加深概念。
所以，堂主下面写的内容对你们有三个帮助
帮助1：知道哪些习题是综合性题目，哪些知识点是为后面做铺垫。
帮助2：让你们对线性代数有一个系统的了解。
帮助3：帮助你们梳理知识点，避免盲目的学习!
02各章知识点总结
【行列式】
1、行列式本质——就是一个数
2、行列式概念、逆序数
考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。
3、二阶、三阶行列式具体性计算
考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。
4、余子式和代数余子式
考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。
5、行列式展开定理
考研：核心知识点，必考!
行列式的计算只掌握3和5，7属于处理方法(题型)。
6、行列式性质
考研：核心知识点，必考!小题为主。
7、行列式计算的几个题型
①、划三角(正三角、倒三角)
②、各项均加到第一列(行)
③、逐项相加
④、分块矩阵
⑤、找公因
这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。
考研：经常运用在找特征值中。
⑥数学归纳法
⑦范德蒙行列式
⑧代数余子式求和
⑨构造新的代数余子式
考研：这9个小知识点，除⑤外，只涉及第一章的考点。
如果出大题，最多是一道大题的第一问!绝不可能单独命题!
8、抽象型行列式(矩阵行列式)
①转置
②K倍
③可逆
③伴随
④题型 丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型
(这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容)
考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察
【矩阵】
1、矩阵性质
考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。
2、数字型n阶矩阵运算
①方法一：秩是1
②方法二：含对角线上下三角为0的矩阵
③方法三：利用二项式定理，拆写成E+B型
④方法四：利用分块矩阵
⑤方法五：P-1AP=B;P-1APP-1AP=B2
方法五涉及相似对角化知识。
方法三涉及高中知识。
考研：常见在大题出现，是大题的第一问!看到数字型n阶矩阵运算，一定出自这5个方法。
(如果本题不会做，你的问题出在只掌握这五种方法的某几种，所以你是失败在归纳总结上了)
3、伴随矩阵
考研：伴随矩阵常与其他知识考察，与行列式、转置、K倍、可逆、伴随的伴随结合考察。
4、二阶矩阵的伴随矩阵
法则：主对角线互换、副对角线填负号。
考研：如果让求某个二阶矩阵的可逆矩阵，难点转化成如何计算它的伴随矩阵。
5、可逆矩阵两种求法
考研：可逆矩阵可与行列式、转置、K倍、伴随矩阵、可逆的可逆结合考察。
6、分块矩阵
考研：以小题出现
7、初等矩阵
考研：小题出现
8、正交矩阵、对称矩阵、反对称矩阵
考研：第二章先知道张什么模样，这部分内容在二次型、相似对角化考察。
9、秩(十个公式)
考研：我把秩比作答题的第二种方法，在解决向量、方程组等相关知识点，可以用传统方法(解题速度慢)，也可用秩，解题速度是传统方法的5倍!但是难懂。
这部分内容建议听：李永乐+杨超+汤家凤的所有网课内容!强化记忆!是线性代数的难点!!!
(但不是重要考点)
【向量】
1、几组定义(向量内积、向量的长度、单位化、正交)
考研：考单位化，但是如果想理解线性代数本质，向量内积、向量的长度要懂。
2、线性相关、无关的三大判别方法
⑴、利用行列式
⑵、向量个数>维度，必相关
⑶、利用秩
考研：小题出现，很少结合其他章节知识点。
3、线性相关无关证明题三种思路
⑴、利用定义法
⑵、用秩
⑶、反证法
考研：大题考点，这部分内容可以与线性方程组结合，也可以与特征值特征向量结合，也可以与秩结合。至于如何结合，怎么结合，请自己归纳总结。
4、线性表出四大判别方法
⑴、利用行列式
⑵、利用秩
⑶、利用定义
⑷、利用方程组
考研：可小题、可大题，但是通是大题的某一问。
5、克拉默法则
考研：服务线性表出。
6、线性表出计算题三大思路
⑴、利用克拉默法则
⑵、构建方程组，抓0思想
⑶、与向量组结合考等价。
考研：大题考点!涉及部分方程组知识和初等行变换知识。
这部分内容涉及重要的数学思想：分类讨论!!!(大题爱考)
7、线性表出证明题四个理论
考研：大题小题都有，但是近几年小题居多。
8、极大线性无关组
考研：核心考点内容和2、3知识点一样，换汤不换药
9、等价向量组
考研：小题居多，很少与其它章节知识点结合。
【线性方程组】
1、基础解系
(不懂就背下来，我当时考研到10月份才茅塞顿开。)
2、齐次线性方程组与非齐次线性方程组
⑴、常规求解
⑵、解含参数的方程组
(这部分内容最难在于化简，矩阵基础要牢固!!)
⑶、利用解的三个性质
⑷、通过矩阵运算，构造方程组再求解
考研：大题核心考点，历年考题向量和方程组会出其中一道，而方程组的出题概率高于向量!原因如下
①、解题方法多。
②、能与矩阵相关知识联系结合。
3、公共解、同解两种题型
考研：重要考点题!
【特征值与特征向量】
1、特征值相关概念与计算
考研：必考题，这里面难点不在于特征值相关知识，而在于求解行列式相关知识。
2、特殊特征值
⑴、上三角矩阵、下三角矩阵。
⑵、秩为1的矩阵
⑶、某个矩阵拆分后，利用⑴和⑵结合。
3、相似矩阵概念及性质
考研：不会单独出，但一定会结合其他题目
4、相似矩阵两种考题
如果P-1AP=B
⑴若Aλ=λa →B(P-1a)=λ(P-1a)
⑵若Ba=λa →A(Pa)= λ(Pa)
考研：这部分内容是内容5的基础，但是如果单独出考题，不太可能。
5、对角矩阵的相似问题
核心内容：“搭桥”桥是Λ。
考研：核心重点考点!
本内容需要分类讨论、需要基础解系相关知识、又可以联系特征值、特征向量，性质方面也可全面考察。
6、反对称矩阵
考研：小题
7、实对称矩阵以及正交矩阵
考研：也是重要考点，大部分知识和前面一样，唯一不同之处在于多一个史密斯正交化。
【二次型】
1、二次型相关概念
内容和微分方程有异曲同工之妙，记忆的内容比较多，但比较简单。
考研：出小题，比如填写一个负惯性指数。
2、矩阵的等价、相似、合同
考研：出小题，一定不可能出大题的。
3、化二次型为标准型、正定问题
考研：核心重点考点，内容本身没什么难度，只是把前面所有的知识综合起来。
这里不用细说，如果前面的相关内容复习的非常好，这部分内容学习起来会轻松很多。
03总结
1、线性代数一个月之内完成!堂主预计是20天左右
2、如何归纳总结，堂主已经把“坑”挖好了，填坑的工作交给你们了。
对这种类型的题关注到何种程度，也已告知。
3、线性代数最难的不是特征值、二次型，而是向量和线性方程组。
4、现在看不懂没关系，建议你们打印下来这篇文章，在复习中体会，以及各位可以把我的“坑”再次细分。
5、线性代数一轮结束，可以抽2天听张宇基础班内容，讲的是线性代数的本质内容。
经验告诉你们，张宇线性代数基础班比强化班还要抽象。
对于有基础的你们，属于锦上添花。
考研心比天高，调剂命比纸薄
►选择很重要
对于学校的选择，一定要慎重(血的教训)，可以晚点选择学校，差不多暑假或暑假前把学校选好，但是一定要查清楚目标院校的基本信息，包括：
1、该校历年录取人数
如果本科为双非学校，特别要弄清目标院校历年录取人数中统招生的名额!!!我选第一志愿今年统招生好像只要五六个。
2、该校历年考试书目
查清楚目标院校历年初试书目，比较稳定的应该不会有变动，因为有的学校会在十月份左右换书。或者就选择大部分学校初试都会考的书，这样即使你的目标院校临时换书或者加书了，你也可以换学校。
比如我本科是思想政治教育专业，所以很多学校的初试书多为马原、毛中特、思修、近代史之类的书。我第一志愿学校初试考的是马克思主义发展史和思想政治教育原理与方法，幸亏没换书
3、该校历年录取分数线
千万不要只盯着上一年的分数，比如看见上一年350多也进去了就觉得很好考，这完全是错误的，要看看历年的分数，多比较比较，从自身实际出发，不要盲目选择。
4、该校历年英语分数线
一定要关注目标院校历年英语分数线，根据自己的英语水平去选择合适的学校，以防最后英语卡线的现象出现。当然，也不排除英语水平在考研期间突飞猛进的情况，这个因人而异吧。
►在最后关头要坚持
我在这上面吃了大亏。我其实不是太赞成把占线拉的特别长，后期容易“没油”。考研分三个时期：新鲜期――充满干劲，缓冲期――继续坚持，冲刺期――重中之重。我认为冲刺期最重要，前期都是为了这个做准备，这个时期极易产生自我怀疑等负面情绪，要调整好状态，坚持住。
我在后期特别不想学习，然后复习不到位，没看到的刚好出题了，所以要想不输就不能存在侥幸心理，觉得这个题应该不会出就不看了。
►合理规划时间，劳逸结合
学习要有方法，特别羡慕宿舍一妹子，背书不出声，属于理解记忆那种类型，我背书必须得读出声，要不然记不住，而且效率还不高。计划表是一定要做的，详细一点更好。可以以周为单位，一周结束后看一下自己完成的情况，会有满满的成就感。最好把奖惩政策也制定一下，适时地奖励自己一下，学习会更有干劲。
►对各科目的时间分配要合理
虽然都说前期侧重英语，专业课可以往后拖，但是真心建议不要把专业课拖的太晚了，因为专业课是一个把书读薄又读厚的过程，确定好学校后可以在学习英语的空闲适当地看看专业课的书。政治可以不用开始这么早，但是可以下载几个新闻软件或者关注人民日报等，有意识地多关注新闻。
►手机
如果自制力不强，出门学习可以不带手机，或者怕有人联系就换个老年机。
►不要轻言放弃
初试专业课题型今年突然大变，一下子就懵了，耽误了一段时间，导致一门专业课分数极低，上午一考完就感觉砸了，但是下午还是去考试了，要不真的是调剂都没办法了真的是什么时候都不要轻言放弃。
2.线性代数知识点 篇二
一、线性规划与与函数交汇
例1设实数x、y满足不等式组
(1)求点(x,y)所在的平面区域;
(2)设a>-1,在(1)所求的区域内,求函数f(x,y)=y-ax的最值.
分析:必须使学生明确,求点(x,y)所在的平面区域,关键是确定区域的边界线,可从去掉绝对值符号入手.
解:(1)已知的不等式组等价于
解得点(x,y)所在的平面区域为所示的阴影部分(含边界)如图1.其中,AB:y=2x-5;BC:x+y=4.CD:y=-2x+1;DA:x+y=1.
(2)f(x,y)=y-ax表示直线l:y-ax=k在y轴上的截距,且直线l与(1)中所求区域有公共点
因为a>-1,所以当直线l过顶点C时,f(x,y)=y-ax最大.
因为C点的坐标为(-3,7),
所以f(x,y)=y-ax的最大值为7+3a.
如果-1
点评:由于直线l的斜率为参数a,所以在求截距k的最值时,要注意对参数a进行讨论,方法是直线l动起来.
二、线性规划与方程交汇
例2已知关于t的方程t2+tx+y=0有两个绝对值都不大于1的实数根,则点P(x,y)在坐标平面内所对应的图形大致是()
分析:这是一道方程根的分布问题,可令f(t)=t2+tx+y,则函数与t轴的两个交点均在区间[-1,1]内,以下由根的分布知识即可解决.
解:f(t)=t2+tx+y,则由已知条件再结合图2,得
作出其可行域即可得图形A.
点评:此题就是线性规划与方程根的分布的交汇性试题,解答的关键有两处:(1)将方程的根转化为对应的二次函数的图象与x轴的交点,然后根据图象的位置建立不等式组,也就确定了点P(x,y)所满足的平面区域,进而作出正确的选择.
三、线性规划与概率交汇
例3若连掷两次骰子,分别得到的点数是m、n,将m、n作为P点的坐标,则P点落在区城|x-2|+|y-2|≤2内的概率是()
(A)(B)(C)(D)
分析:作出不等式|x-2|+|y-2|≤2所表示的区域,由于x、y的取值为:1,2,3,4,5,6.满足条件的P点的个数共11个,而基本事件总数为36个,可求概率.
解:画出满足条件的可行域如图3,基本事件总数为6×6=36,事件点P落在可行域内的事件数为11,根据等可能事件的概率知选(A).
点评:本题把概率问题融入线性规划之中,将问题转化为研究落在可行域内的整点的个数,准确地画出可行域也是解答本题的关键.
四、线性规划与探究性问题交汇
例4如图4所示,给出的平面区域(阴影部分),是否存在唯一的正数a,使函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个?
分析:假设满足条件的正数a存在,则由:=ax+y,知y=-ax+z,要使取得最大值的最优解有无数多个,则直线必须与AB、BC、AC边所在的直线重合,因此只须看a是否可以为三边直线的斜率.
解:假设存在正数a,使函数z=ax+y,取得最大值的最优解有无数多个,由于y=-ax+z,a>0,-a<0,斜率为负值,要想最优解有无数多个,必须让y=-ax+z与BC所在直线重合,即,即a=1,故存在唯一的a=1使得:=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个.
点评:此题是逆向考查最优解取得的条件,要求对约束条件下目标函数取得最值的条件要熟练,关键是理解最优有无穷多个,转化为两直线重合,两斜率相等即可解决问题.
五、线性规划与与向量交汇
例5设,(O是坐标原点),动点P(x,y)满足,则z=x-y的取值范围是()
(A)[-1.5,1] (B)[-1,1.5]
(C)[-2,1] (D)[-1,2]
分析:运用向量的坐标运算把条件不等式转化为线性规划问题.
解:线性约束条件化为画出满足不等式组的点P(x,y)的可行域如图的阴影部分,将z=x-y化为y=x-z形式,因此问题化归为求直线在y轴上的截距的范围.由图5观察知,-z的范围为[-1,1.5],由此得z的范围为[-1.5,1],故选(A).
点评:把目标函数与直线方程联系起来,将求目标函数的最值问题转化为求直线在y轴上的截距范围的问题.
六、线性规划与与开放性问题交汇
例6试写出一个以边长为3的等边三角形内部为可行域的线性约束条件(包括三角形三边).
分析:本题由于没有直角坐标系,因此须建立直角坐标系,根据等边三角形的特点,可以将三角形的一个顶点放在原点,一边与x轴重合,然后确定出顶点坐标,再确定出三边所在直线的方程,再特殊点确定可行域的约束条件.
解:如图6建立直角坐标系,根据图形可知A(0,0),B(3,0),C,AC的直线方程为;AB的直线方程为y=0;BC的直线方程为.取点(1,1)代入三条直线方程判断符号知,满足条件的约束条件为
点评:由于三角形在直角坐标系中的位置没有固定,因此满足边长为3的等边三角形很多,只需写出一个即可,取最特殊的原点,此时B点为(3,0),C点也唯一确定.不论三角形如何放置,其解法与上述的解法类似,但解题过程与结果稍繁.
七、线性规划与匹配型问题交汇
例7给出三个不等式(组):①(x-y+1)(x+y-1)≤0;②|x|+|y|≤1;③;④(|x|-1)(|y|-1)≥0.同时在直角坐标平面内给出四个区域(如图7),则四个不等式(组)与四个区域的对应关系是()(A)①-(a),②-(b),③-(c),④-(d)(B)①-(d),②-(a),③-(b),④-(c)(C)①-(d),②-(b),③-(a),④-(c)(D)①-(d),②-(c),③-(a),④-(b)
分析:只要根据给出的四个不等式(组)分别作出平面区域,对照观察所给的选择支,问题就可顺利作答.
解析:不等式①等价于:;或,分别画出各不等式组的区域,观察易知对应(d);不等式②等价于不等式组:,分别画出各不等式的区域,观察易知对应(b);不等式③等价于,它表示的区域是四条直线x=±1与y=±1所围成的一个正方形,故知对应于(a);不等式④等价于或.分别画出各不等式组的区域,观察易知对应(C).由此可知,选(C).
点评:解答本题时,由于所给的不等式(组)不易得到其平面区域,因此在作图前对不等式(组)进行等价转化、分解为易作出其平面区域的不等式(组).
八、线性规划与几何中距离和面积的交汇
例8如图8,已知点P(x,y)的坐标满足不等式组
,则
(1)x2+y2的最小值是______.
(2)|x+2y-4|的最大值是______.
(3)不等式组表示的平面区域的面积是______.
解:画出可行域如图8阴影部分.
(1)将目标函数化为z=(x-0)2+(y-0)2,问题归结为求可行域内的点(x,y)与原点距离的平方的最值.如图8,点A(1,1)到原点的距离最小,故zmin=|OA|2=2.
(2)将目标函数化为,问题转化为求可行域内的点(x,y)到直线x+2y-4=0距离的倍的最大值.如图8,点B(1,3)到直线x+2y-4=0的距离最大,故zmax=3.
(3)可行域为等腰三角形ABC..
点评:本题(1)、(2)小题,从目标函数联想到两点间的距离公式和点到直线的距离公式,从而将求目标函数的最值问题转化为求距离的最值,注意了数、形、式的联系.
上述几例从线性规划出发,可透视数学中各章节知识间的交汇,反映了数学知识内容的统一与完整.高考作为一种选拔性考试,试题常出常新,我们必须重视知识网络的构建与交汇,才能以“积极”的“不变”去应对“新颖”的“万变”.
练习题:
1. 已知函数f(x)=ax2+bx满足1≤f(-1)≤2,且2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
2. 已知函数f(x)=ax2+(b-1)x+1(a>0)与x轴有两交点A(x1,0),B(x2,0),满足|x1|<2且x1-x2=4,求实数b的取值范围.
3. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且满足b+c≤2a,c+b≤2b,则的取值范围是______.
4. 如果直线y=kx+1与圆2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x+y=0对称,则不等式组,所表示的平面区域的面积是______.
参考答案
1.解:依题意,得.f(-2)=4a-2b,在平面直角坐标系中画出可行域,求得f(-2)的取值范围应为[5,10].
2.解:因为f(x)=0两根之积为,且x1-x2=4,
(1)若0
(2)若-2
由方程根的分布知识,得,
建立平面直角坐标系aOb,作出可行域,根据线性规划知识易得,,所以所求实数b的范围为.
3.解析:设,,则x+y≤2,y+1≤2x,且x>0,y>0,根据三角形三边关系定理得,|b-c|
3.代数的初步知识的复习探讨 篇三
一、进一步理解和掌握用字母表示数的意义与方法，能用字母表示常见的数量关系、运算定律和计算公式。
二、能根据字母所取的值，算出含有字母的式子的值。理解方程，列方程和解方程的联系与区别。理解比、比例的意义和性质以及比例尺的含义。
三、牢固掌握数与字母，字母与字母，相乘时的写法。理解比和比例的区别，正确地求比值和化简比，解比例，能运用比例尺进行相关的应用。
四、进一步理解方程的意义，能熟练地解方程和比例。进一步理解方程和算式的联系和区别，能熟练地分析题中的数量问的相等关系列出方程，解决简单的实际问题。
五、加强与生活实际的联系，增强学生的学习积极性，提高学习兴趣，感受数学的价值。
复习重难点：
1用含有字母的式子表示数量关系，根据题里数量间的相等关系对应的列出方程，解决问题。
2理解并运用等式的性质，会用等式的性质解简单的方程。
3深刻地通过对比理解方程和算式两种解题方法的区别与优劣。
4对求比值和化简比中单位不统一情况的题型的强化训练。
会理县近三年试题简析
2008年考题：
(1)计算题中有10分相关知识。(2)填空题中有8分属于这部分知识，其中包含比例的基本性质，比与除法、分数的关系，化简比，求比值和比例尺的有关知识计算。(3)应用题中有一道列方程解应用题。
2009年考题
(1)列式共10分。包含解方程。解比例，列方程解文字题。(2)判断题和选择题中也出现相关知识。(3)填空题中有9分属于这部分知识。包括写比，化简比，求比值，比例尺的运用，比与分数、除法的关系。写比例。(4)应用题中有一题没有做出明确要求，但列方程解答相对简单一些。
2010年各分值仍重点在填空题，解方程和解比例，列式计算与应用题中。
综上分析，本节知识在检测中所占比例较大，约占20％～30％，检测范围较广，分布在检测题中的各部分类型。
结合实际，易错类型题分析及采取的相应措施：
一、用字母表示数，表示结果与书写规范方面
1判断：a×3可以写成a3，学生由于没有牢固掌握在含有字母的式子中，省略乘号的规定，认为在含有字母的式子中，可以省略乘号是正确的，就没有掌握省略乘号时，应当把数字写在字母的前面，因而要多进行相关方面的练习。
因为b=2时，2b=b2所以2b和b2表示的意义相同，由于学生没有掌握2b~i]b2各自的含义，造成认为只要得数相同，表示的意义也相同的错误。
a+9是方程，学生没能掌握好方程的概念，造成认为含有未知数的式子就是方程的错误，因此复习时要强化方程的概念，帮助学生理解方程必须具备的两个条件，一是等式，二是含有未知数。
2在含有字母的除法中，一般不用“÷”而写成分数的形式，如s÷t写作
二、列式计算。如20比x的3倍少多少，学生易列为20-3x，由于没有理解题意，没有掌握好两数比多少的解答方法，未分清“20比x的3倍少多少”也就是“x的3倍比2 0多多少”所以“x的3倍”是大数，20是小数，求相差多少。
如：一个数加上它的10％正好是405的
，这个数是多少?(列方程解答)
学生易错为x+10％=405X
由于没有找出相等关系，一个数+一个数的10％=405×，还有就是不明晰题里的它指的是谁而出现无从下手解题的困难，这就要加强此类题型的训练。
三、求比值和化简比易混淆
单一理解求比值和化简比。学生能较好解答，但当联系在同一题中解答时，学生出现的错误就较多了。如；1：0.4化成最简整数比()，比值是()，学生混淆乱填情况严重。这就要帮助学生理清把带分数化成假分数，小数化成分数。而且着重还要能区分比值与最简比的相同点和不同点，要明确比是一种关系，比值是一个数的思考过程。
四、解方程和用方程或比例解应用题时，要在多读题，弄清题意的基础上，找出等量关系是解题的关键。用方程解文字题时，要将未知数设为x后参与到题里找出各数间的等量关系，从而正确地列出方程，同时注意典型题的训练。
如：学校买来一些彩色粉笔盒白色粉笔，白色粉笔比彩色粉笔多50盒，已知白色粉笔是彩色粉笔的3倍，两种粉笔各是多少盒?
此题用方程解比较容易。把一倍数设为x，则几倍数用几x表示，然后根据白粉笔比彩色粉笔多50盒而得出相等关系，再用代入法列出方程。
面对考试，我们认为重点对用含有字母的式子表示数量关系，解方程或解比例进行强化训练，同时对化简比，求比值在同一题里解答的知识进行分类型，合作交流巩固，列式计算与解决问题。进行精典题型的分类强化。
4.线性代数知识点 篇四
理解了向量和向量组的定义之后，我们考虑向量有哪些运算。
对于矩阵，我们定义了三种运算：加法、数乘、转置和乘法。这些运算可以应用到向量上得到向量的相应运算。
向量的加法和数乘合起来称为线性运算。通过线性运算，我们可以定义向量的两个核心概念：线性表出和线性相关。
1. 线性表出
线性表出，顾名思义，就是用线性的方式表示出来。何为“线性的方式”，怎么表示出来的?我们看一个例子，对于向量组(1 0)，(0 1)和向量(2 3)，(2 3)如何用前两个向量构成的向量组表示?不难发现是(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。大家看，等式的右端只有线性运算(加法和数乘)，这就是前面提到的“线性的方式”。这样我们称向量(2 3)可以由向量组(1 0)，(0 1)线性表出。注意到等号右面的式子是用线性的方式把向量(1 0)，(0 1)组合起来了，所以我们称之为(1 0)，(0 1)的一个线性组合。
这样我们就对线性组合及线性表出的概念有了个基本认识。这样是否就够了呢?当然不够。我们在学马克思主义哲学时有“由感性认识上升到理性认识”之说。理性认识更深刻，是对事物本质的把握。尽管感性认识、理性认识用在这里未必恰当，但道理是相通的。我们通过例子对概念的理解很难说把握住了概念的本质。要体会其本质，还是要从严格的定义出发。
这里要提醒广大考生：对于考研数学中的一些较难理解的概念，有同学觉得定义太抽象，进而放弃了对定义的理解，而试图通过具体的例子理解概念。觉得弄懂了例子，概念就算是理解了。这是不可靠的。从学知识的角度，弄懂例子谈不上理解了概念的内涵和外延;从考试的角度，考试考查的是考生对概念的理解和运用，某个具体的例子只是一种具体的应用，所以离考试要求有距离。
下面我们看一下线性组合和线性表出的定义：
对于任意一组实数k1，k2，…，kn，称k1乘alfa1+ k2乘alfa2+…+ kn乘alfan为向量组alfa1，alfa2，…，alfan的一个线性组合。
注意到对于同一个向量组，给定一组实数，则得到一个线性组合，可见一个向量组的线性组合有无穷多个。
若向量beta能写成alfa1，alfa2，…，alfan的一个线性组合，则称向量beta能由向量组alfa1，alfa2，…，alfan线性表出。
关于线性表出的定义需注意以下几点：
(1)实数k1，k2，…，kn(或称组合系数)可以全为零，这和线性相关的定义不同。
(2)零向量可以由任何同维的向量组线性表出(把实数k1，k2，…，kn取成全为零即可)。
(3)向量组里任何一个向量可由向量组线性表出(把该向量对应的实数取成1，其余实数取成零即可)。
讨论完线性表出这个核心概念后，我们来讨论向量部分另一个核心概念：线性相关。
我们先看一个例子：
向量组I：(1 0)，(0 1)，(2 3);向量组II：(1 0)，(0 1).
我们观察向量组I，不难发现(2 3)可由其余向量(1 0)，(0 1)线性表出：(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。也可以不太严格地理解成(2 3)为“冗余”向量(它的功能能由其余向量代替)。当然，该等式也能等价变形为2乘(1 0)+3乘(0 1)+(-1)乘(2 3)=(0 0)，也就是能找到不全为零的数2,3，-1把向量组I组合成零向量。我们把这种向量组称为线性相关的.向量组。有三个理解角度：1)存在不全为零的数将其组合起来构成零向量(即定义);2)至少存在一个向量能由其余向量线性表出(对应一个定理);3)向量组中有冗余向量(“朴素的理解方式”)。
再观察向量组II，发现其情况与向量组I正好相反。我们也可以从三个角度理解它：1)不存在不全为零的数将其组合起来构成零向量;2)不存在任何一个向量能由其余向量线性表出;3)向量组中没有冗余向量。另外，第1)点还可以等价地描述成：若用实数将向量组合起来使其为零向量，则这组实数必全为零。我们把这种向量组II这种类型的向量组称为线性无关的向量组。线性无关是和线性相关相对应的一个概念。
5.代数知识复习 篇五
选择题（每题3分，共30分）
1．下列运算正确的是()
22235A.a6a2a3B.5a3a2aC.(a)aaD.5a2b7ab
2的结果是（）
A．－2B．±2C．2D．
43、从2010年4月14日青海玉树地震发生后，截止至4月23日15时，中华慈善总会接收社会各界通过银行捐赠的玉树地震救灾款已达5.95亿元。用科学记数法保留两位有效数字表示“5.95亿”应记为（）
A、5.95×1010B、5.9×109C、6.0×108D、5.9×1074、不等式组2x40的解集在数轴上表示正确的是（）
A
B
CD
5．若抛物线yax22xc的顶点坐标为(2,3)，则该抛物线有()
A.最大值3B.最小值3C.最大值2D.最小值
26.已知关于x的方程2x2－9x＋n＝0的一个根是2，则n的值是()
A．n＝2B．n＝10C．n＝－10D．n＝10或n＝2
7．若关于x的一元二次方程nx22x10无实数根，则一次函数y(n1)xn的图像不经过（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
8．如图，在某中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线
OABC和线段OD，下列说法正确的是（）A、乙比甲先到终点；B、乙测试的速度随时间增加而增大；C、比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇；D、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快
9．如图，边长为4的正方形OABC放置在平面直角坐标系中，OA在x轴正半轴上，OC在y轴正半轴上，当直线yxb中的系数b从0开始逐渐 变大时，在正方形上扫过的面积记为S．则S关于b的函数图像是()
瀚识教育
10．在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）
Ａ．(602x)(402x)2816
Ｂ．(60x)(40x)2816
Ｃ．(602x)(40x)2816
Ｄ．(60x)(402x)2816
一、填空题（每题3分，共18分）
11、不等式–3x25的解集是
12、若二次根式a 与是同类二次根式，则ab = ______________________
13、观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!= 1，2!= 2×1，3!= 3×2×1，4!= 4×3×2×1，„„，那么计算：
14、关于x的一元二次方程 k1xk212009!=__________。2010!6x80 的解为_________________．
15．已知关于的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，则
P＝______ , q＝__．
216、如图为二次函数y的图象，给出下列说法： axbxcx
21，x3xbxc0①ab0；②方程a的根为x；③12
abc01x3；④当x1时，y随x值的增大而增大；⑤当y0时，． 其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）
二、解答题（共72分）
3 x5y1917、（10分）计算：①、2sin60º＋21－(
2010)0–②、4x3y618、（6分）解方程：
19．（8分）先化简，再求值：（20、某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品．已知每件T恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集．
⑴求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元？
⑵有几种购买T恤和影集的方案？
21.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值。
22、（10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单
3x20 x1x(x1)a2a14a1)a.，其中22a2aa4a4a
2价x（元）符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45．
（1）求一次函数ykxb的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
23、（10分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
24、阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如23+=（1+）．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
22∴a=m+2n，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子
=（+
分别表示a、b，得：a=，b=；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+）2；
6.线性代数试卷 篇六
线性代数（考试时间：120分钟）
专业 姓名 层次形式 成绩
一、选择题（每小题4分，共16分）1.A，B为三阶方阵，矩阵X满足AXABXBBXAAXBE则().22111(A)X(AB);(B)X(AB)(AB)(C)X(AB)(AB)(D)以上答案都不对.2.11；
A、B、C为n阶方阵，且ABC,A、B、C的列向量组分别为1,2,,n；1,2,,n(A)；
1,2,,n.若
1,2,,n线性相关，则().1,2,,n线性相关;(B)
1,2,,n线性相关；
(C)（A）与(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.设A,B为三阶矩阵，且r(A3A2E)3，若r(B)2则r(ABB)().(A)1 ；(B)2；
(C)3；(D)无法判断． A22334.设三阶矩阵
B22，3，其中,,2,3均为三维行向量，已知A18，2B2，则AB().(A)1 ；(B)2；
(C)3；(D)4.二、填空题（每小题4分，共16分）
En10ABOB为n阶非零矩阵，5.设A、，且A的阶梯形为1Da1111b1111c1111n00，则矩阵B的秩=.6.已知，则此行列式的所有代数余子式之和i,j1Aij.1
1A0Tx(1,1)7.已知是1a的一个特征向量，则a.8.为已知A是3阶方阵，1,2,3是三维线性无关的向量.若A112，A223，A313，则A的行列式等于.三、计算下列各题（每小题7分，共28分）
01D1110111110111110111110.9.计算n阶行列式
10.若二次型
1f(x1,x2,x3)2x18x2x32ax1x2222正定，求a的取值范围.411.已知(1,1,1),(1,0,1)，且A.求A.TTT
2A02 030110B002010000
12.已知矩阵X满足AX2BBA2X，求X．
四、解答下列各题（每小题14分，共28分）
2x13x23x3ax1x2x313x4x2(a2)x3a1x2xax12313.求a使方程组1与1有公共解，并求公共解.14.已知二次型
f(x1,x2,x3)XAXx1x32ax1x22x1x32bx2x3T22的秩为2，Tf(x1,x2,x3)(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵.3
五.解答下列各题（每小题4分，共12分）
7.线性代数知识点 篇七
知识经济是指以现代科学技术为核心, 是包括人类迄今为止所创造、积累的全部知识, 是建立在知识和信息的生产、分配和使用之上的经济。知识经济的特征之一是知识和经济的一体化, 特征之二是其资源配置以人力为资本, 的智力活动发挥着决定性的作用, 以无形资产为第一要素, 是基于新科技成果和人类知识精华的经济形态, 是以信息为基础的经济。
知识经济是经济形态的变革, 知识管理则是管理理念的提升。知识的初始载体是人脑, 是人类脑力劳动或智力劳动的产物。知识有载体, 且载体是分层次的。知识资本是指一种相对独立的人力或物质资本, 是相对独立地附着于知识资本。
知识的表现形式包括经验、科学、技术、信息等, 在微观信息经济学中, 信息被描述为事前概率与事后概率之差, 信息可分为载有知识的信息和不载有知识的信息, 任何改变原有概率分布的事件都可以看成是信息;
知识的特征表现为知识无重量, 不可触摸, 如同光, 知识具有非排他性, 能够被多人或社会所共有。知识在使用中不会被消耗而只会过时, 即知识使用的非竞争性。知识具有外部性, 知识具有可传播性, 知识传播的范围越广, 其成本和价格就越低;信息是进行判断、决策所需的资料, 知识经济时代的知识更新速度加快, 知识则体现出对信息的推理、验证, 导致产品和服务的知识含量上升, 智能是知识的外在表现, 数据、信息、知识和智能之间联系紧密, 这使知识管理有着广泛的内涵;知识管理的目的即运用信息创造某种行为对象的过程, 知识管理是对信息资源管理的继承、发展和扬弃。识管理是通过对信息和知识的共享, 运用集体智能提高应变和创新能力, 其核心是知识创新和知识共享, 以实现知识资产的保值和增值。
图书馆的功能。传统图书馆的功能表现为图书馆是人类文化的摇篮, 图书馆担当社会知识保障制度, 随着社会需求的变化与发展, 图书馆的职能也在不断扩大;数字图书馆是知识经济时代的产物, 是新一代的超级有序的知识中心, 是宽带多媒体信息利用方式。数字图书馆的知识管理特点表现为:经过知识增值和经验增值的创造后, 知识经济为信息、咨询业注入了新的活力, 图书馆信息咨询是以文献信息为工作对象, 知识经济时代的图书馆知识管理工作是用户的服务要求范围扩大, 使信息人员通过计算机检索获取信息, 调研报告和竞争信息等将取代以查阅为主的传统信息, 信息资源开发和增值将具有越来越大的生存空间和发展潜力, 经过知识管理的信息具有增值性。
二、数字图书馆的基本功能与特征
数字图书馆概念的出现与网络的发展密切相联, 互联网上丰富的信息和先进的通信技术满足了使用者的多种需求并降低了服务成本。数字图书馆解决了这一问题。数字图书馆是一个驱动多媒体海量数字信息组织与互联网应用问题各方面研究的技术领域, 与数字图书馆类似的术语有:电子图书馆、虚拟图书馆、复合图书馆、门户图书馆、未来图书馆、没有围墙的图书馆。
数字图书馆是国家数字文化平台, 数字图书馆是国家数字教育平台, 数字图书馆是国家数字资源中心, 是一个国家文化的传播媒体, 提供科技资料和跨越空间的科技交流场所, 是文化产品的网络商务平台, 向公众提供自学和继续学习的功能, 促进虚拟研究组、研究所和研究院的出现, 是国家数字资源组织、开发和利用的基础, 保存和管理浩瀚的数字资料, 是网络文化中心和网络文化的聚集地。
数字图书馆的特点表现为信息存储数字化、信息传输网络化、信息资源共享化、服务内容智能化和服务手段方便化。
创新是人类社会发展进步的最根本原因, 数字图书馆的出现, 是时代发展的客观需要, 是国家与民族发展壮大的直接动因, 为读者带来了全新的信息利用的理念, 拓展了图书馆学的深度和广度。数字图书馆是知识经济的重要载体, 是知识经济社会的基础设施和知识环境。
数字图书馆在远程教育中的作用表现为使教育突破地理空间限制的全国教育乃至全球教育, 更多地通过远程检索去帮助用户。有助于知识的产业化, 将促进学、研、产的更好结合。将受到公益性和经济性两种机制的综合控制, 通过对信息资源的加工、存贮, 不断获取新信息, 终提高了数字图书馆的社会地位和公众形象。
三、数字图书馆的建设
数字图书馆建设是评价一个国家信息基础设施的重要标志之一, 知识经济由数字技术所引发的信息传输手段的革命性汇流。文化内容的创作和提供成了文化产业的关键, 数字图书馆因而成为“内容革命基础性项目和标志性项目;以数字图书馆建设为中心的文化内容媒介转移, 数字图书馆建设为空前规模的产业整合准备条件;数字图书馆建设涉及国家的“文化安全”, 互联网从技术上引发了文化内容的无障碍流通, 知识经济时代的国际经济格局中, 必须使本民族文化遗产的基本含义发挥;数字图书馆建设使信息应用技术突破, 在数字图书馆领域谋求技术突破与产业升级成为可能, 对信息技术的发展将产生巨大的推动作用;信息社会发展新阶段的产业运行规律使数字图书馆建设蕴藏着信息产业升级的巨大商机。
数字图书馆建设举措。其结构模式包括三角形结构模式、基于代理协作的结构模型、开放体系分布式结构模式;其数字资源包括协同开发与合作建库、统一标准规范、数字资源建设标准包括文献分类标准、数据描述标准、数据压缩标准等;内容检索是数字图书馆的核心业务之一, 作为知识宝库的数字图书馆, 通过对信息内容的组织和加工的自动化, 把资源组织成一个知识系统, 所以开发数字图书馆信息检索技术具有积极的现实意义。
在管理内容上要进行元数据库的知识产权管理, 对象数据库的知识产权管理, 权利管理信息。遵循利益平衡原则, 遵循权限管理原则, 遵循法定许可与集体管理制度原则。建立一个全国数字信息归档系统, 从而保证信息资源的合理开发和利用。
摘要：知识经济的特征是以信息为基础, 是基于新科技成果和人类知识精华的经济形态, 数字图书馆是时代发展的客观要求, 本文分析了数字图书馆的相关内容, 并进行了图书馆数字化建设的探索。
关键词：数字图书馆,知识经济,建设与管理
参考文献
[1]田青:《知识服务与高校图书馆期刊服务》《高校图书馆工作》, 2001, 4、
8.浅谈《线性代数》的有效学习 篇八
关键词：线性代数 矩阵求逆 行列式 线性相关性
中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2012）12（c）-0-01
《线性代数》作为工科院校的一门公共基础课在其课程教学体系中占有重要的地位。但就《线性代数》课程自身来说，其具有一定的抽象性，加之一般教学时间安排较紧，给学生学习造成了一定困难。如何使学生在有限的课程学习时间内，更好地掌握其基本思想和基本方法则显得尤为重要。笔者根据自身教学经验，谈谈自己的一些具体做法，希望和同仁交流，共同提高教学水平和教学质量。
1 了解《线性代数》
《线性代数》作为数学工具，其理论在物理、化学、生物技术、航空航海等领域中有着广泛的应用，但在目前教材中，关于该课程的实际应用的案例是少之又少的，这样的话，在一定程度上会影响学生学习的兴趣。但在课时紧张的情况下，可以在第一堂课首先给出一些实际问题，比如指派问题，生产总值问题等，而对于这些问题真正地解决可以放在相关知识点之后加以分析，让学生在思想上认识到此课程的应用之处。要学习好《线性代数》，除了有兴趣之外，还要了解它的基本体系。行列式和矩阵可以说是学习《线性代数》两个有效的工具，有了这两个作为支撑，在后继学习中，如矩阵求逆、向量线性相关、线性无关的判断，方程组求解以及特征值特征向量的求解就会相对容易许多。刚开始学习《线性代数》可能会觉得抽象念一大堆，甚至分不清行列式和矩阵，弄不清什么是向量的线性相关性，不知道一个方程组到底什么时候有解，解的情况如何，怎么按要求把这些解表示出来。面对这一系列的问题，教师要做到的除了充分的讲解之外，还有一个重要的任务就是在适当的时候进行归纳和总结。经过多次提醒和演练，学生可以慢慢消化和吸收所学知识，并会逐步体会各知识点间的联系，对其以后学习有很大的帮助。
2 掌握恰当方法
恰当的方法可以使学生在学习过程中更加明了知識点及其之间的相互的关系，加深对知识点的理解和运用。矩阵求逆在《线性代数》课程教学中占有重要的地位。如果给定一个实数矩阵，那么在其可逆的情况下求其逆阵方法相对来说比较固定，要么采取伴随矩阵的方法求逆矩阵，或者采用初等行变换法也可以求出逆矩阵。但是在教学中，有一类求逆矩阵是抽象矩阵求逆，而这一类问题的处理方法则需要使用逆阵的概念，例如：设，证明：可逆且其逆阵为.
分析：此题目中矩阵为抽像矩阵，不能人为地去构造一个满足来解决此问题。对于这个题目，需要用到的就是逆矩阵的概念，也就是说只要找到某一个方阵满足则可以说明方阵并且可以得到就是其逆矩阵。
此方法适用于抽象矩阵求逆，可以通过两到三个例子加以巩固，达到举一反三的学习效果。
3 善于归纳总结
对于学生学习的效果，除了自身努力之外，教师的作用也是不可小觑的。在教学过程中，尤其是在复习课中，归纳总结对于学生对已学知识的巩固和掌握发挥着重要的作用。《线性代数》课程很重要的一部分基础知识就是关于行列式的计算，例题不需要多，但是要涵盖足够多的方法，是学生能通过一个例题掌握多种方法对于提高学习效率有很大的帮助，例如：计算行列式.
分析：通过观察，此为三阶行列式，可直接使用对角线法则计算，但是此方法仅适用于二阶、三阶行列式计算，此为方法一。方法二：此题可按照定义降阶，按第一行展开，转化成三个二阶行列式计算也可。方法三：此题使用行列式性质转化为上三角行列式，此方法对于一般行列式均适用。方法四：各行元素之间具有明显特征，此式为范德蒙行列式，可根据范德蒙行列式结论给出结果。解：
.
本例题采用分析中的方法二与方法三结合的方法是问题得到解决，也即是先利用性质使行列式中某行或者某列尽可能多的出现零元素，然后按照定义，选择零元素多的行或者列展开，从而达到降阶的目的，使运算得到简化。
4 维持学习信心
大学课程的学习不可能像高中一样，老师把所有的东西一点一滴地都在课堂上教给学生，这也不符合大学教育的理念。大学教育所培养的人才应该具备良好的个人学习能力，这样才可以在踏上工作岗位以后从容应对，而不是亦步亦趋，影响个人的发展。在学校学习过程中，更要注意维持自己的信心，这里主要是指学习的信心。如果一碰到自己理解不了、不会的知识，就放在那里不管不问，时间久了，问题就会越积越多，这样下去估计自己再也没有学习下去的勇气了。因此，在学习的过程中维持学习信心起到至关重要的作用。学习过《线性代数》大都有这样一个体会，事实上整个课程都可以和方程组求解联系到一起。对于向量的线性相关性，大多数同学在开始学习基本概念的时候就觉得理解起来有点费劲，总是弄不明白线性相关和线性无关不同之处的关键在哪里。事实上，若要判断向量组中各向量的线性相关性，就是看是否可以找到一组不全为零实数使得成立，若能则线性相关，若不能则线性无关。而这里要找的所谓的一组不全为零的实数，就可以看作是在对线性方程组的解的情况的探讨。如果方程组有无穷多解则意味着可以找到不全为零的实数使得定义表达式成立，向量组中各向量是线性相关的。如果方程组有且仅有零解，则意味着向量组中各向量是线性无关。当然关于向量的线性相关性的判断并不是仅仅局限于定义，还有很多其他的方法，这里就不一一总结了。此处，主要是说明其与方程组的解之间存在的关系。方程组的求解还与方阵的特征值、特征向量存在很大的关系，以及矩阵对角化在很大程度上都可以归结为方程组的求解，在一定程度上我们甚至可以认为只要学生能够很好的掌握有关方程组求解的问题，那么对于《线性代数》课程在理论上的学习应该不会出现太大问题了。通过以上几个方面可以看出，要学习好《线性代数》课程，除了做到以上几点以外，还需要学生要具有较强的动手能力，这里主要是计算能力。对于这门课程的考试，大多数时候不是学生没有掌握知识点，而是没有保证正确性。一看题目觉得都会，一动手做就错。我们不提倡题海战术，但是必要的练习还是需要的。勤奋再加上恰当的方法和足够的信心必然可以提高《线性代数》课程学习水平。
参考文献
[1] 张洪斌，杨晋.工科大学生数学能力培养的认识与思考[J].中国高教研究，2003（4）：88-89.
9.线性代数习题2 篇九
线性方程组
练习题
1、已知 1 =(1 , 1 , 0 , 1)T，2 =(2 , 1 , 3 , 1)T，3 =(1 , 1 , 0 , 0)T，4 =(0 , 1 , 1 , 1)T， =(0 , 0 , 0 , 1)T，（1）求向量组 1，2，3，4 的秩，（2）判定 是否可以表为 1，2，3，4 的线性组合，说明理由。（4，可以）
2、设向量组 1 =(1 , 1 , 1)T，2 =(1 , 2 , 3)T，3 =(1 , 3 , t)T，求（1）当 t 为何值时，1，2，3 线性无关？（2）当 t 为何值时，1，2，3 线性相关？此时将 3 表为 1 与2 的线性组合。
（t 5 时，1，2，3 线性无关；t = 5时，1，2，3 线性相关，且 3 = 1 + 2
2）
3、确定 为何值时，向量 =(0 , 1 , )T 可以表为向量组 1 =(1 , 2 , 3)T，2 =(2 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 2)T，4 =(2 , 1 , 1)T 的线性组合，并求出一个具体表达式。
（ =1； = 1 + 2 + 3 + ）
k11k3
4、设 11，2k，31，2，讨论 k 为何值时，（1） 不能由 1，1k122，3 线性表出；（2） 能由 1，2，3 线性表出，且表示法唯一；（3） 能由 1，2，3 线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。
（（1） 2；（2）k 1且 k 2 ；（3）1， = 2 ）
5、已知向量组 1 =(1 , 0 , 2 , 3)T，2 =(1 , 1 , 3 , 5)T，3 =(1 , 1 , a+2 , 1)T，4 =(1 , 2 , 4 , a+8)T 及 =(1 , 1 , b+3 , 5)T，求（1）a、b 为何值时， 不能表示成 1，2，3，4 的线性组合；（2）a、b 为何值时， 有 1，2，3，4 的唯一线性表示式，写出该表示式。
（当 a = 1 且 b 0 时，不可以；当 a 1 时，有唯一的线性表示式
2bab1b1230
4）a1a1a1
6、已知 1 =(1 , 2 , 3 , 1)T，2 =(5 , 5 , a , 11)T，3 =(1 , 3 , 6 , 3)T， =(2 , 1 , 3 , b)T，问（1）a、b 取何值时， 不能由 1，2，3 线性表示？（2）a、b 取何值时， 可以由 1，2，3 线性表示？并写出表示式。
（b 4 时，不能；b = 4 且 a 12 时，唯一表示： = 1 + 0 2 + 3 ； b = 4 且 a = 12 时，表示不唯一： =(12c)1 + c 2 +(13c)3（c 为任意常数））
7、设向量组 1 =(2 , k , 1)T，2 =(k1 , 1 , 2)T，3 =(4 , 1 , 4)T 线性相关，求k 值。（k = 1 或 k = 9 / 4）
8、设 n 维（n > 1）向量组
1 =(0 , 1 , 1 , … , 1 , 1)T，2 =(1 , 0 , 1 , … , 1 , 1)T，…，n =(1 , 1 , 1 , … , 1 , 0)T，试判断该向量组是否线性相关。（线性无关）
9、已知向量组 1，2，…，s（s 2）线性无关，设 1 = 1 + 2，2 = 2 + 3，…，s1 = s1 + s，s = s + 1，讨论向量组 1，2，…，s 的线性相关性。
（s 为奇数时，线性无关；s 为偶数时，线性相关）
10、设向量组 1，2，3 线性无关，问常数l，m满足什么条件时，向量组 l2 1，m 3 2，1 3 线性无关。（l m 1）
11、设向量组 1 =(1 , 2 , 1 , 1)T，2 =(2 , 0 , t , 0)T，3 =(0 , 4 , 5 , 2)T 的秩为 2，求 t 的值。（t = 3）
12、设向量组 1，2，3，4，5，其中 1 =(1, 1, 2, 4)T，2 =(0, 3, 1, 2)T，3 =(3, 0, 7, 14)T，4 =(1, 2, 2, 0)T，5 =(2, 1, 5, 10)T。求（1）向量组 1，2，3，4，
5的秩；
（2）找出向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。
（3；1，2，4 为其一个极大无关组，3 = 31 + 2 + 0 4，5 = 21 + 2 + 0 4）
13、已知向量组 1 =(1 , 1 , 1 , 3)T，2 =(1 , 3 , 5 , 1)T，3 =(3 , 2 , 1 , p+2)T，4 =(2 , 6 , 10 , p)T，问：
（1）p 取何值时，向量组 1，2，3，4 线性无关？试将向量 =(4 , 1 , 6 , 10)T 用 1，2，3，4 线性表出。
（2）p 取何值时，向量组 1，2，3，4 线性相关？求出 1，2，3，4 的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。
（p 2时，线性无关，213p41p234；P = 2 时，线性相关，极大无关p2p2组：1，2，3，且 4 = 0 1 + 22 + 0
3）
kx12x2x30
14、已知齐次线性方程组 x1x2x30 有非零解，求 k 的值。（2 或 3）
2xkx021
15、设 3 4 矩阵 A 为一齐次线性方程组的系数矩阵，且 r(A)= 2，又已知 1 =(1 , 1 , 3 , 1)T，2 =(1 , 1 , 1 , 3)T，3 =(5 , 2 , 8 , 9)T，4 =(1 , 3 , 1 , 7)T 均为该齐次线性方程组的解。试求它的一个基础解系，并将其余解表为该基础解系的线性组合。
37（基础解系：1，2 ；且 312，4 = 1 + 2 ）
16、已知向量组 1 =(1 , 2 , 1 , 0 , 0)T，2 =(1 , 2 , 0 , 1 , 0)T，3 =(0 , 0 , 1 , 1 , 0)T，x1x2x3x4x503x2xxx3x0123454 =(1 , 2 , 3 , 2 , 0)T 都是下面齐次线性方程组的解：，判断
x2x2x6x023455x14x23x33x4x501，2，3，4 是否为该方程组得一个基础解系？若是，说明理由；若不是，在此向量组的基础上进行适当增减后，构成一个基础解系。
（不是。基础解系为：1，2，，其中 =(5 , 6 , 0 , 0 , 1)T）
x412x1x2
17、用基础解系表示下列方程组的全部解 x13x27x34x43。
3x2xxx22341011121（c1c2，c1、c2 为任意常数）
010001 11x111A2a2b2B3X
18、设 x2，试就 a、b 的各种取值情况，讨论线，，x03aa2b33性方程组AX = B 的解，如果有解，求出其解。
（当 a = 0 时，无解；当 a 0 且 a b 时，有唯一解：x11且 a = b 时，有无穷多解：x11
19、已知非齐次线性方程组 AX = B 的增广矩阵A 经初等行变换化为如下形式：
11,x2,x30 ；当 a 0 aa11,x2c,x3c，c 为任意常数）aa10AA,B00写出它的全部解。04120k800120011，讨论 k、t 取何值时方程组无解，有解；当有解时，0t2141122（当 t 2 时，无解；当 t = 2 且k = 8 时，全部解为 c1c2，c1、0100011112c2 为任意常数；当 t = 2 且k 8 时，全部解为 c，c 为任意常数）
0001
x3x40x1x2x22x32x4120、当 a、b 为何值时，线性方程组 无解，有唯一解和无穷多
x(a3)x2xb234x3ax413x12x2解？在方程组有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示出线性方程组的全部解。
（a = 1 且 b 1 时，无解；a 1 时，唯一解；a = 1 且 b = 1 时，无穷多解：111122c1c2，c1、c2 为任意常数）
010001
x1x2kx34
21、讨论k为何值时线性方程组x1kx2x3k2 无解，有唯一解，有无穷多解？在有无
xx2x4231穷多解的情况下，用基础解系表示其全部解。
03（当k = 1时，无解；当k 1且 k 4时，唯一解；当k = 4时，无穷多解：4c1，01c为任意常数）
22、设四元非齐次线性方程组 AX = B 的系数矩阵的秩为 3，已知 1，2，3 为它的三个解向量，其中 1 =(2 , 0 , 5 , 1)T，2 + 3 =(2, 0, 2 , 6)T，试求该方程组的全部解。
2200（c，c为任意常数）
51218
23、已知矩阵 A 是元非齐次方程组的系数矩阵，且 r(A)= 3，1，2，
3是该方程组的三个不同解向量，其中 1 + 22 + 3
=(2 , 4 , 6 , 8)T，1 + 23 =(1 , 3 , 5 , 7)T，试求 4 元非齐次方程组的全部解。（（24、设 A 为 3 4 矩阵，r(A)= 2，且已知非齐次线性方程组 AX = b 的三个解为 1 =(1 , 1 , 0 , 2)T，2 =(2 , 1 , 1 , 4)T，3 =(4 , 5 , 3 , 11)T，求：（1）齐次线性方程组 AX = 0 的通解；（2）用基础解系表示出 4 元非齐次线性方程组 AX = b 的全部解。
（ = c1(2 1)+ c2(3 2)= c1(1 , 2 , 1 , 2)T + c2(2 , 4 , 2 , 7)T，c1、c2 为任意常数； = 1 + =(1 , 1 , 0 , 2)T + c1(1 , 2 , 1 , 2)T + c2(2 , 4 , 2 , 7)T，c1、c2 为任意常数）
25、已知 1 =(1 , 2 , 0)T，2 =(1 , a+2 , 3a)T，3 =(1 , b+2 , a+2b)T， =(1 , 3 , 3)T，当 a、b 为何值时，1，2，3 是 R3 的一组基？并求 在这组基下的坐标。
a11（a 0 且 a + 5b + 12 0；，0）
aa13，1，2)Tc(2,0,2,4)T，c 为任意常数。）22
26、在 R3 中给定两组基：1 =(1 , 1 , 0)T，2 =(0 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 2)T ；1 =(1 , 0 , 1)T，2 =(0 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 4)T，求非零向量 ，使它在上述两组基下有相同的坐标。
（ = c(0 , 1 , 1)T，c 为任意非零常数）
x4x50x1x2x32x50，求其解空间的一组正交基。
27、设齐次线性方程组 x1x2x3x4x50121，1，0)T，(1 , 0 , 1 , 0 , 1)T）（(1 , 1 , 1 , 0 , 0)T，(，333
28、设 1 =(1 , 2 , 2)T，2 =(2 , 4 , 4)T，3 =(1 , 0 , 1)T，4 =(2 , 2 , 3)T，5 =(5 , 3 , 7)T
R3，求（1）R3 的子空间 L(1，2，3，4，5)的维数和一组标准正交基。（2）1，2，3，4，5 在这组标准正交基下的坐标。
222112（dim L(1，2，3，4，5)= 3，,,，,,，333333122,,；(3 , 0 , 0)，(6 , 0 , 0)，(1 , 1 , 0)，(4 , 1 , 0)，(1 , 1 , 9)）
333
29、设向量组 1，2，3，其中
1 =(1 , 1 , 0)T，2 =(1 , 0 , 1)T，3 =(1 , 1 , 1)T，并且 1 与 2 线性无关，3 与 1，2 相互正交，（1）试判断 1，2，3 是否为 R3 上的一组基；（2）如果是，将其化为 R3 上的一组标准正交基。
1,（是；21TTT11,0，,,266T12,，63T13,1）3T
30、证明题
x12x22x30（1）设方程组 2x1x2x30 的系数矩阵为 A，三阶矩阵 B 0，且满足 A B = 0，求3xxx0231① 参数 ；② 该方程组的全部解；③ 证明行列式 B =0。
（1； = c(0 , 1 , 1)T，c 为任意常数）
（2）设实矩阵 Amn（n < m），且线性方程组 A X = B 有唯一解，证明：AT A 是可逆矩阵，并求其解矩阵 X 的表达式。（X =(AT A)1 AT B）
（3）设 A 为 n 阶非零矩阵，求证：若存在一个 n 阶非零矩阵 B，使 A B = 0，则 A = 0。
（4）设 A 为 m n 矩阵，B 为 n m 矩阵（m < n），E 是 m 阶单位矩阵，若 A B= E，求证： A 的行向量组线性无关。
（5）设向量组 1，2，3 线性无关，证明：向量组 1 + 2，32 + 23，1 22 + 3 线性无关。
（6）求证：n 维向量组 1，2，…，n 线性无关的充要条件是 n 维标准向量组 1，2，…，n 可以由 1，2，…，n 线性表示。
（7）设 1，2，…，s 为一组 n 维向量（s 2），且向量组
123s213s，求
s12s1证：向量组 1，2，…，s 线性无关的充分必要条件是 1，2，…，s 线性无关。
（8）设 1，2，…，m 为一个 n维向量组，已知 r(1，2，…，s)= r(1，2，…，s，s+1，…，m)，求证：{ 1，2，…，s } { 1，2，…，s，s+1，…，m }。
（9）已知向量组 1，2，…，m+1（m 1）线性无关，向量组 1，2，…，m 可表为 i = i + t i m+1（i = 1，2，…，m），其中 t i（i = 1，2，…，m）是数。证明：向量组 1，2，…，m 线性无关。
（10）设向量组 1，2，3，…，n 的前 n 1 个向量线性相关，后 n 1 个向量线性无关，证明：① 1 能由 2，3，…， n1 线性表示；② n 不能由 1，2，…， n1 线性表出。
（11）设向量 可由向量组 1，2，…， r 1， r 线性表示，但向量 不可由向量组 1，2，…， r 1 线性表示。试证：向量组 1，2，…， r 1， r 与 1，2，…， r 1， 有相同的秩。
（12）设 1，2，3 是某个向量组的极大无关组，1，2，3 是此向量组的部分组，并且 1 = 1 + 2 + 3，2 = 1 + 2 + 23，3 = 1 + 22 + 33。证明：1，2，3 也是此向量组的极大无关组。
（13）设向量组 1，2，…，m 线性无关，向量 1 可由该向量组线性表示，而向量
2 不能由该向量组线性表示，证明：m + 1 个向量 1，2，…，m，l 1 + 2
（l 为常数）线性无关。
x1x2xx4（14）在线性方程组3x1x3x2x4a1a2中，a1a2b1b2。求证：方程组有解，并用其导出组b1b2的基础解系表示其全部解。（ =(a1 b2 , b2 , a 2 , 0)T + c(1 , 1 , 1 , 1)T，c 为任意常数）
（15）设 1，2，3 是齐次线性方程组 AX = 0 的一个基础解系，证明：1 + 2，2 + 3，3 + 1 也是该齐次线性方程组的一个基础解系。
（16）设 是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，1，2，… , n r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，证明：1，2，… , n r， 线性无关。
（17）设 是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，1，2，… , n r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，且 1，2，… , n r， 线性无关，证明： + 1， + 2，… , + n r， 线性无关。
（18）证明：正交向量组是线性无关的。
AO（19）如果 A 与 B 分别是两个 n 阶正交矩阵，证明：分块矩阵C OB 是正交矩阵。
10.线性代数题库解答 篇十
一、填空（每题2分）
１．设方程组有非零解，则
。
2．线性方程组有非零解，则 。
3．方程组有无穷多解，则
。
4．非齐次线性方程组（为矩阵）有惟一解的的充分必要条件是
____________。
5．设是阶方阵,是齐次线性方程组的两个不同的解向量,
则
。
6．设为三阶方阵，秩，是线性方程组的解，已知
，则线性方程组的通解为
。
7．三元线性方程组的系数矩阵的秩，已知该方程组的两个解分别
为
，，则的全部解可表为
。
8．设，欲使线性齐次方程组的基础解系有两个解向量，
则=
。
9．当
时，线性方程组无解。
10．方程组=的基础解系所含向量个数是___
_1______。
11．若5元线性方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量，
则
3
。
12．设线性方程组有解，则应满足条件。
13．设齐次线性方程组为，则它的基础解系中所包含的向量个数为
n-1 。
14．设是非齐次线性方程组的解向量，则是方程组 的
解向量．
15．设为非齐次线性方程组的一组解，如果也是该方程组的一个解，则 １ 。
16．设矩阵，则齐次线性方程组的一个基础解系为。
17．若方程组有惟一解，则所满足的条件是。
18．设n元齐次线性方程组的一个基础解系中线性无关的解向量个数是n，则为
零矩阵
。
19．设是阶矩阵，如果，则任何 n个线性无关的n维向量 都是
的基础解系。
20．设n阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为n-1，则线性方程组的通解为
。
二、单项选择填空题（每题2分）
1．线性方程组
（
A
）
A.
无解
B.
只有0解
C.
有惟一解
D.
有无穷多解
2．设方程组，
当=（
B
）时，方程组有非零解。
A.0
B.
±1
C.
2
D.
任意实数
3．已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则
（
D
）
A．方程组有无穷多解
B.
方程组无解
C.
方程组有惟一解或无穷多解
D.
方程组可能无解，也可能有无穷多解
4.
若齐次线性方程组有非零解，则的值为（
C ）
A．
B．
C．
D．
5．当（
C
）时，仅有零解。
A．
B．
C．
D．
6．设为矩阵，只有零解的充要条件是 （
D
）
A．的行向量组线性无关
B．的行向量组线性相关
C．的列向量组线性相关
D．的列向量组线性无关
7．设A为m×n矩阵，且非齐次线性方程组有惟一解，则必有（ C ）
A．m=n B．r
(A)=
m C．r
(A)=n
D．r
(A)<
n
8．若方程组存在基础解系，则λ等于 （ Ｄ ）
A．2 B．3 C．4
D．5
9.
设矩阵，，则非齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件是
（
B
）
A．
B．
C．
D．
10．若，则元线性方程组 （
D
）
A．有无穷多解
B．有唯一解
C．无解
D．不一定
11.
设齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组，，是
的解，则下列正确的是
（
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
12．设为矩阵，只有零解的充要条件是 （
D
）
A．的行向量组线性无关
B．的行向量组线性相关
C．的列向量组线性相关
D．的列向量组线性无关
13．设齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组，
，是的解，则下列正确的是 （
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
14．已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则
(
D
)
A．方程组有无穷多解
B．
方程组无解
C．方程组有唯一解或无穷多解
D．方程组可能无解，也可能有无穷多解
15．是n元线性方程组有惟一解的 （ Ｃ ）
A．充分必要条件
B．充分条件
C．必要条件
D．无关条件
16．已知线性方程组无解，则 （ Ａ ）
A.
B.
C.
D.
17．为矩阵，是非齐次线性方程组的导出组，则下列结论正确
的是 （
A
）
A．有无穷多解，则有非零解
B．有无穷多解，则仅有零解
C．仅有零解，则有唯一解
D．有非零解，则有无穷多解
18．设为矩阵，有解，则 （ Ｂ ）
A．当有惟一解时，
B．当有惟一解时，
C．当有无穷解时,只有零解
D.当有无穷解时，
19．线性方程组
有解的充分必要条件是 （ Ａ ）
A.
B.
C.
D.
20．齐次线性方程组，（
Ｃ
）是它的一个基础解系。
A.
B.
C.
D.
三、判断题（每题2分）
1．若是的解，则也是它的解。
（
是
）
2．若是齐次线性方程组的解向量的一个极大无关组，则
是方程组的一个基础解系。
（
是
）
3．若齐次线性方程组有非零解，则线性方程组就一定有解。（
否
）
4．若有无穷多组解，则有非零解。
（
是
）
5．n线性非齐次方程组只要其系数矩阵的A秩,就一定有无穷多组解。
（
否
）
6．齐次线性方程组的基础解系不是惟一的。
7．是方程组的一个基础解系。（
是
）
8．方程组的每个基础解系中只含有一个解向量。
（
是
）
9．线性方程组在时，是有解的。
（
是
）
10．任何齐次线性方程组都有基础解系。
（
否
）
11．是方程组的一般解。
（
是
）
12．方程组的一般解可表示为。
（
否
）
13．时，方程组有解。
（
否
）
14．与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。
（
是
）
15．若是一个线性方程组的解，那么
（其中）也是它的一个解。
（
是
）
16．方程组有非零解。
（
否
）
17．方程组与方程组是同解的方程组。
（
是
）
18．用初等变换解，可以对实行列等行变换。
（
否
）
19．若是的解，是的解，则是的解。
（
否
）
20．给定方程组，当时，方程组有解。
（
否
）
理解能力层次
一、填空（每题2分）
1．已知方程组有无穷多解，则
-1
或3
。
2．设是的解向量，是其导出组的基础解系，则必线性 无关 。
3.
设四阶方阵且，则方程组的
一个解向量为
。
4.
设方程组有解，则其增广矩阵的行列式=
0
。
5．设，且方程组的解空间的维数为2，则 1 。
6．设为n阶方阵，方程组有非零解，则必有一个特征值等于
０
。
7．设，B是三阶矩阵，且，若，则
4
。
8．设为矩阵，，为是矩阵，的列向量是的解，则的最大数为 3 。
9．若齐次线性方程组中的系数矩阵的秩，且的代数余子式，则该方程组的通解可以表示为。
10．已知四元非齐次线性方程组，是它的三个解向量，且
，则齐次线性方程组的通解为
_____________。
11．齐次线性方程组有非零解，则应满足条件。
12．已知四元线性方程组的三个解为，且
，，则方程组的通解是
。
13．已知线性方程组的两个解为
则该方程组的全部解为
。
14．设齐次线性方程组的基础解系中含有三个解向量，其中矩阵，则
2
。
15．设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，且，
，其中是它的的三个解向量，则方程组的通解为
。
16．设，，则齐次线性方程组的解空间的一组基为
。
17．已知是非齐次线性方程组线性无关的解，矩阵，且，若是方程组的通解，则常数须满足关系式
。
18．设是实正交矩阵，且，则线性方程组的解是
。
19．设矩阵，其中
则线性方程组的基础解系含有解向量的个数是
n-1
。
20．设为阶方阵，若齐次线性方程组只有零解，则的解是
只有零解
。
21．设任意一个维向量都是方程组的解，则
0
。
22．设非齐次线性方程组有两个解，，则该方程组的通解为
。
23．已知齐次线性方程组有无穷多解，则
-5或-6
。24．若线性方程组
无解，则常数应满足的条件是 .
25．3元非齐次线性方程组有3个解为，，，则系数矩阵=
。
26．若向量，都是线性方程组的解，则系数矩阵
=
。
27．方程组有解的充分必要条件为
。
28．设元非齐次线性方程组有解，其中为阶矩阵，则
0
。
29.
已知为阶方阵，是的列向量组，行列式，其伴随矩阵，则齐次线性方程组的通解为
是的极大线性无关组
。
30.
设，，，
其中，则线性方程组的解是。
二、单项选择填空题（每题2分）
1．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
（
C
）
A．的任意两个列向量线性相关
B．的任意两个列向量线性无关
C．中必有一列向量是其余列向量的线性组合
D．中任一列向量是其余列向量的线性组合
2．设矩阵，且，则线性方程组
（
D
）
A．可能无解；
B．一定无解；
C．可能有解；
D．一定有解
3．当
=（ Ａ ）时，方程组无解
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
4．为矩阵，秩(A)
=，下列结论正确的是 （ Ｂ ）
A．齐次线性方程组仅有零解
B．非齐次线性方程组有无穷多解
C．中任一个阶子式均不等于零
D．中任意个列向量必线性无关。
5．是个m方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解的 （ Ｂ ）
A．充分必要条件
B．充分条件
C．必要条件
D．无关条件
6．设为矩阵，则齐次线性方程组有结论 （ Ｃ ）
A．时，方程组仅有零解
B．时，方程组有非零解，且基础解系含个线性无关的解向量
C．若有n阶子式不为零，则方程组仅有零解
D．若中所有n
-
1阶子式不为零，则方程组仅有零解
7．n元线性方程组有惟一解的充分必要条件是 （ Ｄ ）
A．导出组仅有零解
B．为方阵，且时，
C.
D．的列向量线性无关，且可由的列向量线性表示
8．设为矩阵，，则方程组
(
A
)
A.
当时，有解
B.
当时，有惟一解
C.
当时，有惟一解
D.
当时，有无穷多个解
9．设为矩阵，且，若的行向量组线性无关，则
（
A
）
A、方程组有无穷多解
B、方程组有唯一解
C、方程组无解
D、方程组仅有零解
10.
设矩阵，且，则线性方程组
（
D
）
A．可能无解；
B．一定无解；
C．可能有解；
D．一定有解
11．若线性方程组有惟一解，则的值为 （
D
）
A．
B．
C．
D．异于与的数
12.设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且，，(C为任常数)，则线性方程组的通
解是
(
C
)
A.
B.
C.
D.
13．设矩阵，齐次线性方程组的系数行列式，而中的元素的代数余子式，则这个方程组的每个基础解系中解向量的个数都是
（
A
）
A．
B．
C．
D．
14.设向量组中是齐次线性方程组的一个基础解系，则向量组
(
D
)
也是的一个基础解系
A.
B.
C.
D.
15．设为矩阵，
，是非齐次方程组的三个不同的解，则正确的结论是
(
D
)
A.
线性相关
B.
是的基础解系
C.
的任何线性组合是的解
D.
当线性无关时，则是的通解,,其中是满足的任何数
16．要使都是线性方程组的解，只要系数矩阵A为
(
B
)
A.
B.
C.
D.
17．设为矩阵，若有解，是其两个特解，的基础解系是，则
(
B
)
A.
的通解是
B.
的通解是
C.
的通解是
D.
的通解是
上述四项中均为任意常数
18．已知是齐次方程的基础解系，那么基础解系也可以是 (
B
)
A．
B．
C．
D．
19．齐次线性方程组
的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则
(
C
)
A．
B．
C．
D．
20．已知，，，
，则齐次线性方程组
的通解为
（
Ｂ
）
A．
B．
C．
D．
三、判断题（每题2分）
1．齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是。（
否
）
2．若非齐次线性方程组系数矩阵的秩小于n，则方程组有无穷多解。（
否
）
3．设为n阶方阵，且，是的两个不同的解向量，则的通解为。 （
否
）
4．设齐次线性方程组的系数行列式，而中的元素的代数余子式
，则这个方程组的每个基础解系中解向量的个数都是1。
（
是
）
5．设为矩阵，若非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则时，
方程组有解。
（
是
）
6．设A，B都是n阶非零矩阵，且，则的秩都小于n。
（
是
）
7．设A为n阶奇导方阵，A中有一个元素的代数余子式，则齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为n
。 （
否
）
8．设为矩阵，只有零解的充要条件是的行向量组线性无关。
（
否
）
9．设为矩阵，只有零解的充要条件是的列向量组线性无关。
（
是
）
10．设为阶方阵，，且是的三个线性无关的解向量，则是的一个基础解系。 （
是
）
11．设为线性无关的n维列向量，，则非齐次线性方程组有惟一解。 （
是
）
12．设是的基础解系，则为的通解。
（
否
）
13．已知为非齐次线性方程组的两个不同的解，为对应的齐次方程组的基础解系，则（其中）是
的通解。 （
是
）
14．设4阶方阵的秩是3，且每行元素的和为零，则方程组的基础解系为
。 （
是
）
15．设为的基础解系，为一n维列向量，若，则可由线性表示。 （
是
）
16．给定方程组，则对任意的，方程组均有解，且有无穷多解。 （
是
）
17．设为矩阵，为维列向量，则当方程组有解时，加入一个方程
后方程组也有解。 （
否
）
18．设为矩阵，为维列向量，则当方程组无解时，加入一个方程
后方程组也无解。 （
是
）
19．设线性方程组，当时，方程组仅有零解。
（
否
）
20．设为矩阵，非齐次线性方程组系数矩阵的秩，则方程组有解。 （
是
）
简单应用能力层次
一、计算题（每题5分）
1．求线性方程组
的一般解．
解：
因为系数矩阵
……3分
所以一般解为：，
其中，是自由未知量。
…….……5分
2．求线性方程组的一般解。
解：因为增广矩阵
…………3分
所以一般解为：
（其中是自由未知量）。
…………5分
3．当取何值时，线性方程组有非零解？并求一般解．
解：
因为增广矩阵
………3分
所以当=
-2时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
是自由未知量)
…………5
4．当取何值时，线性方程组
有解？并求一般解．
解：因为增广矩阵
……3分
当=3时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
是自由未知量)。
…………5分
5．求线性方程组的一般解。
解：
因为系数矩阵
……3分
所以一般解为
（其中，是自由未知量）。
.......................……5分
6．设齐次线性方程组
问取何值时方程组有非零解，并求一般解.
解：因为系数矩阵
A
=
……3分
所以当l
=
5时，方程组有非零解.
且一般解为：
（其中是自由未知量）。
.......................……5分
7．设线性方程组
，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.
解
因为
.......................……3分
所以
r(A)
=
2，r()
=
3.
又因为r(A)
<
r()，所以方程组无解。
.......................……5分
8．求下列线性方程组的一般解。
解：因为增广矩阵
.......................……3分
所以一般解为：
（其中是自由未知量）
.......................……5分
9．设线性方程组讨论当a，b为何值时，方程组无解，有惟一解，有无穷多解。
.......................……3分
所以当且时，方程组无解；
当时，方程组有唯一解；
当且时，方程组有无穷多解。.
......................……5分
10．当取何值时，线性方程组
有解？并求一般解.
解：因为增广矩阵
................…3分
所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
是自由未知量〕。
......................……5分
11．已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为
问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解。
解：当=3时，，方程组有解.
当=3时，..............…3分
一般解为，
其中,
为自由未知量。
.....................……5分
12．当为何值时，方程组有解，并求其通解。
解：
..............…3分
当，同解方程组为令，
令
....................……5分
13.
设线性方程组为，问：、取何值时，方程组无解、
有惟一解、有无穷多解？
在有无穷多解时求出其通解。
解：
..............…2分
当时，方程组有惟一解
当，时，方程组无解
当，时，=＝2<3，方程组有无穷多组解,
其通解为，为任意常数。
....................……5分
14.线性方程组为
，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。
解：
..............…3分
当2时，方程组有唯一解
当2，1时，方程组无解
当2，1时，＝2<3，方程组有无穷多组解,其通解为
(为任意常数)。
....................……5分
15．已知是齐次线性方程组的一个解，试求方程组的一个包含的基础解系。
解：，，..............…2分
令，得方程组的两个解为：，，
从而所求基础解系即为和。
..............…5分
16．求解线性方程组。
解
：将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即
， ..............…3分
因为
，r(`A)
=
r(A)
=
3，所以，方程组有解．
一般解为:
(x4是自由未知量)。
..............…5分
17．设线性方程组
试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。
解：因为
..............…2分
所以当c
=
0时，方程组有解．且
..............…3分
所以，原方程组的一般解为：
（x3是自由未知量）。
..............…5分
18．试讨论a取什么值时，线性方程组有解，并求出解。
解：
..............…3分
当时，方程组有解，解为
..............…5分
19．试讨论a取什么值时，线性方程组有解，并求出解。
..............…3分
当时，方程组有解，解为
..............…5分
20．设为４阶矩阵，且，试问的基础解系所含解向量的个数。
解：，，又因为４阶矩阵，故中至少有一个３阶子式不为０，则中至少有一个非零元素，则，
..............…2分
又，所以，
..............…4分
从而有，故的基础解系所含解向量的个数为4-1=3个。..............…5分
二、证明题（每题5分）
1.
设是的一个基础解系，证明：也是
的一个基础解系。
证明：是的一个基础解系，都是的解，且线性无关，从而都是的解，…………….2分
设
即
由线性无关，得，，
仅有零解，
从而线性无关，
也是的一个基础解系。…………….5分
2．证明方程组有解的充要条件是。
证明：……3分
方程组有解，即，即…………5分
3．设n阶矩阵可逆，
证明：线性方程组
无解。
证明：线性方程组的系数矩阵为，因为矩阵，所以，
…………….2分
又因为该方程组的增广矩阵为，而是可逆的，，
…………….4分
从而系数矩阵的秩<增广矩阵的秩，所以非齐次线性方程组无解。………….5分
4．设实数域上的线性方程组，证明：
（1）如果，则方程组有惟一解；
（2）如果则方程组无解；
（3）如果则方程组有无穷多解。
证明：（1）令，，
因为，，从而方程组有惟一解，由克莱姆法则得其解为：
；
（2），从而方程组无解；
（3），从而方程组有无穷多解。………….5分
5．
证明：含有n个未知量n+1个方程的线性方程组
若有解，则行列式
证明：易知方程组的系数矩阵为矩阵，所以，又因为该非齐次线性方程组有解，所以必须满足关系式：增广矩阵的秩，而增广矩阵为阶方阵，且，。
………….5分
6．设是矩阵，是矩阵，证明线性方程组，当时，必有非零解。
证明：是矩阵，是矩阵，且
，，
，由，得，
而是，所以当时，必有非零解。
……………….5分
7．已知行列式，证明方程组无解。
证明：由题设知方程组的增广矩阵的秩，
……………….2分
而系数矩阵是矩阵，，
……………….4分
故，方程组无解。
……………….5分
8．设是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，
且，证明：向量组是线性无关的。
证明：设有常数，使得，
上式左乘，，得，………….3分
以此类推，分别左第乘，得，
故向量组线性无关。
……………….5分
9．设是矩阵，，且有惟一解，证明：为可逆矩阵，且的解为。
证明：有惟一解，仅有零解，故，
即为可逆矩阵，
……………….3分
于是由，得，所以。
……………….5分
10．设是矩阵，且,若满足,证明:。
证明：设，其中为维列向量，，
，故线性无关，
由于，即=，
……………….3分
所以，由于线性无关，
故，所以。
……………….5分
综合应用能力层次
一、计算题（每题8分）
1.设线性方程组，
讨论当为何值时，方程组无解？有惟一解？有无穷多解？（不必求解）
解：……5分
当时，方程组无解；
当时，方程组有惟一解；
当时，方程组有无穷多解
………….……8分
2.设线性方程组，
讨论当为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？（不必求解）
解：……5分
当时，方程组无解；
当时，方程组有惟一解；
当时，方程组有无穷多解
………….……8分
3.设线性方程组，
讨论当为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？（不必求解）
解：因为对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得：
所以，当时，，方程组有唯一解。……………..5分
而当时，由上面的结果可知：
所以，当且时，，方程组无解；
当且时，，方程组有无穷多解。……….8分
4.
设线性方程组，
讨论当为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？（不必求解）
解：对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得：
，
…………………
5分
当时，因为，所以方程组有唯一解；
当且时，因为，所以方程组无解；
当且时，因为，所以方程组有无穷多解。…….8分
5.
当，为何值时，线性方程组
有唯一解、无解、有无穷多解？（不必求出解）
解：对方程组系数的增广矩阵施行初等行变换：
…….5分
由阶梯形矩阵可见：
(1)当时，，故此时方程组有唯一解;
(2)当且时，，，故此时方程组无解;
(3)当且时，，故此时方程组有无穷多解.…….8分
6当为何值时，线性方程组
有唯一解、无解、有无穷多解？在有解时，求出方程的通解。
解：
设方程组的增广矩阵为,对进行初等变换
=
…….…….4分
当a=－3时，
方程组无解。
当a－3且a2时，
方程组有唯一解。最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为
，
则方程组的解为。
…….…….6分
当a=2时，
方程组有无穷多个解。此时梯形矩阵对应的梯形方程组为
则方程组的解为 （c为任意常数）。 …….…….8分
7.
求线性方程组的全部解(用其导出组的基础解系表示).解：
….……5分
全部解为：…8分
8.
的全部解（用其导出组的基础解系表示）。
解：5分
全部解为：
………8分
9．求线性方程组的全部解（用其导出组的基础解系表示）。
解：对线性方程组的增广矩阵进行行初等变换得：
，
…………………………5分
令自由未知量，，得方程组的一个特解：，
令分别取：，，得到导出组的基础解系为：
；
所以，方程组的全部解为：
（其中、为任意常数）。……8分
10.
求线性方程组的全部解（用其导出组的基础解系表示）。
解：对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得：
，…………..5分
令自由未知量，，，得到一个特解
，
再取分别为，得到导出组的基础解系：
，
所以方程组的全部解为
，（为任意常数）….8分
11.
用基础解系表示线性方程组的全部解。
解：设方程组的系数矩阵为，对其增广矩阵作初等变换，得：
………………..
5分
原方程组同解于，取得方程组一个特解。
导出组的系数矩阵可化为，
导出组与方程组同解，
取，得基础解系：。
故原方程组的全部解为:，（为任意系数）……..8分12．已知方程组(Ⅰ)
的解都是方程组
(Ⅱ)
的解，试确定。
解：=，
于是得方程组(Ⅰ)的全部解：
，…………..3分
将代入(Ⅱ)的导出组得，
将代入(Ⅱ)得，
解此四式得。
…………..8分
13．已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解，
(1)证明此方程组的系数矩阵的秩为2.
(2)求的值和方程组的通解.
解:(1)
设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是的两个线性无关的解.于是的基础解系中解的个数不少于2,即,从而,
又因为的行向量是两两线性无关的,所以,
两个不等式说明.
(2)对方程组的增广矩阵作初等行变换:
…………..3分
由,得出,代入后继续作初等行变换:
…………..5分
得同解方程组,
得到方程组的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,
c1,c2为任常数.
…………..8分
14．设,.讨论为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?
并在有无穷多解时，求出其通解.
解：经计算
因此方程组有唯一解
…..……..2分
时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因
，即时无解。
…..……..5分
时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因，所以时有无穷多解。等价方程组为:
得通解为：，（为任意系数）
…..……..8分
15．已知线性方程组
，试讨论：
(1)取何值时，方程组无解；
(2)取何值时,方程有唯一解，并求出其解；
(3)取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。
解：
(1)时，
，无解；
…..……..2分
(2)时，，唯一解
.……..5分
(3)时，，无穷多解,
通解。
…..……..8分
16．已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关,如果,求方程组的通解。
解：令，则由
得，
将代入上式，整理后得，
由线性无关，知，
…..……..5分
解此方程组得，其中k为任意常数。
…..……..8分17．已知线性方程组解：，讨论取何值时，方程无解；有惟一解；有无穷多解（不必求解）。
解：
…..……..4分
由于方程有解0，1，
故得时有惟一解；
时有无穷多解；
时无解。
…..……..8分
18．设线性方程组为：，试讨论下列问题：
（1）当取什么值时，线性方程组有唯一解？
（2）当取什么值时，线性方程组无解？
（3）当取什么值时，线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解．（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）。
解
：线性方程组的系数行列式为
…..……..2
（1）当，即且时，线性方程组有唯一解；
…..……..4分
（2）当时，，线性方程组无解；….…..
6分
（3）当时
线性方程组有无穷多解，且其通解为。
…..……..8分
19．设线性方程组，已知是该方程组的一个解，求方程组的全部解。
解：将代入方程组中得，
…..……..2分
…..……..4分
当时，方程组有无穷多解，此时
，
方程组的全部解为：（c为任常数），
…..……..6分
当时，，于是，故方程组有无穷多解，
全部解为：。
…..……..8分
20．求一齐次线性方程组，使，构成它的一个基础解系。
解：显然，所求的方程组是一个5元线性方程组，且，
另一方面，由，得，其中，因此的每一列亦即的每一行，都是方程组的解，且该方程组的一个基础解系所含解向量的个数为，故只要求方程组的一个基础解系，则以为系数矩阵的方程组即满足要求，为此对矩阵施行初等行变换，得
，
…..…….
4分
由此得方程组的一个基础解系：，
…..…….
6分
故所求的线性方程组为，即。
…..…….
8分
二、证明题（每题8分）
1．已知三阶矩阵且的每一个列向量都是方程组的解，
求
(1)的值；(2)证明。
(1)解：由得中至少有一非零列向量，
的每一个列向量都是方程组的解，所给齐次方程组有非零解，则它的行列式
，。
………………..
4分
(2)证明：（反证法）若设，则可逆，因此由题意
与矛盾，所以。
………………..
8分
2．已知方程组，若互不相等，证明方程组无解。
证明：由于增广矩阵的行列式是范德蒙行列式，且互不相等，
故，
……....…4分
则,而系数矩阵为矩阵,，，方程组无解…8分
3．设有两个n元齐次线性方程组，。证明：
（1）若的解都是的解，则；
（2）若与同解，则。
证明：（1）由条件知的解空间是的解空间的子空间，因此的解空间的维数不大于的解空间的维数，即，于是；
…………….4分
（2）由条件知的解空间与的解空间是同一空间，因而该空间的维数为
，由此即得。
…………….8分
4．已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解，
（1）证明方程组系数矩阵的秩；
（2）求的值及方程组的通解。
解：（1）设是非齐次方程组三个线性无关的解，
令，则是其导出组的两个解
设即
因线性无关，所以必有，
即由此得线性无关，
因为导出组至少有两个线性无关的解，所以其基础解系至少包含两个解，故，由此得；
另一方面，导出组的系数矩阵
存在2阶不等于零的子式，
所以，，综上所述，即得。
…………….4分
（2）因非齐次方程组有解，故其增广矩阵与系数矩阵的秩相等，
由（1）得,故增广矩阵
的秩也为2，
用初等行变换把上述矩阵化为阶梯形
由此得 ，即
利用上述阶梯形矩阵，可得同解方程组
即
由此得通解为
：，其中为自由未知数。
…………….8分
5．设方程组(1)
及方程组(2)，
其中，证明：方程组(1)有惟一解的充要条件是方程组(2)有惟一解。
证明：记方程组(1)和方程组(2)的系数矩阵分别为，并令，
则有，即有，于是，若方程组(1)有惟一解，则，即，从而，所以方程组(2)有惟一解。 …………….４分
反之若方程组(2)有惟一解，则，即可逆，所以，若，则，从而由的定义知，因此，矛盾，故，所以方程组(1)有惟一解。
…………….8分
发展应用能力层次
一、计算题（每题10分）
1．设有两个四元齐次方程组(Ⅰ);
(Ⅱ)
,
（1）线性方程组(Ⅰ)的基础解系；
（2）求方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解。
解：（1）．方程组(Ⅰ)的系数矩阵，
则得(Ⅰ)的基础解系为：和；..............…3分
（2）．由（1）的结果，方程组(Ⅰ)的一般解为：,
若两个方程组有公共解，将上式代入方程组(Ⅱ)中，必有，得，
所以(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解为：
。 ..............…10分
2．已知非齐次线性方程组，
；
（1）
求解方程组，用其导出组的基础解系表示通解；
（2）
同解，求的值。
解：（1）设组（I）的系数矩阵为，增广矩阵为，对作初等行变换，得：
，
因，故（I）有无穷多解，
且通解为，为任意常数。…………….5分
（2）将通解代入组（II）第一个方程，得到：
，即，
由得任意性，得。
将通解代入组（II）第二、三个方程，分别得到。
因此，。
…….…………10分
3．设非齐次线性方程组有3个解向量，，求此线性方程组的系数矩阵的秩，并求其通解。其中为常数。
解：设所给方程为，由题设可知是的3个解，因此
，是的两个线性无关的解，故，
又中有2阶子式，因此，
所以，
…………….5分
由于，所以，是的基础解系，因此可得线性方程组
的通解为：
（其中为任意常数）。
…….…………10分
4．设四元线性齐次方程组，又已知某线性齐次方程组的通解为
，
（1）求线性方程组的基础解系；
（2）问线性方程组，是否有非零的公共解？若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则加以证明。
解：（1）的系数矩阵为
通解为。
…….…………4分
（2）将的通解代入中，则有，得，当时，则向量满足方程组，，
故方程组，有非零的公共解，所有非零公共解是。
…….…………10分
5．
已知齐次线性方程组
其中
试讨论和b满足何种关系时，
(1)
方程组仅有零解；
(2)
方程组有非零解.
在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。
解：
方程组的系数行列式
=，
…….…………4分
（1）当时且时，r
(A)=
n，方程组仅有零解；
…….…………6分
（2）当b=0
时，原方程组的同解方程组为：，
由可知，不全为零.
不妨设，
得原方程组的一个基础解系为
，，,
当时，有，原方程组的系数矩阵可化为
由此得原方程组的同解方程组为:，，
.
原方程组的一个基础解系为：。
…….…………10分
6．设,
,
,
,
试讨论当为何值时,
(1)不能由线性表示；
(2)可由唯一地线性表示,
并求出表示式；
(3)可由线性表示,
但表示式不唯一,
并求出表示式。
解：设有数使得
(*)
记.
对矩阵施以初等行变换,
有
…….…………2分
(1)当时,
有
.
可知,故方程组(*)无解,
不能由线性表示；
…….…………4分
(2)当,
且时,
有
,方程组(*)有唯一解：,
,
．
此时可由唯一地线性表示,
其表示式为：；……………7分
(3)当时,
对矩阵施以初等行变换,
有
，
,方程组(*)有无穷多解,其全部解为:
,
,
，
其中为任意常数．
可由线性表示,
但表示式不唯一, 其表示式为：
。
…….…………10分
7．设有齐次线性方程组
试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解
解：方程组的系数行列式为
当，即或时，方程组有非零解
…….…………4分
当时，
故方程组的同解方程组为：
由此得基础解系为，
于是方程组的通解为：，其中为任意常数
.…7分
当时，
故方程组的同解方程组为：
，由此得基础解系为
于是方程组的通解为：，其中k为任意常数。
…….…………10分
8．已知3阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵B＝（k为常数），且，求线性方程组的通解
解：（1）如果，则,由知，因此，
所以的通解是：，其中为任常数；
…….……5分
（2）如果k
=9，则,那么，或2
若,则的通解是，其中t为任常数，
若,对，设，
则方程组的通解是，其中为任常数。
…….…………10分
9．已知线性方程组
（Ⅰ）
的一个基础解系为，，，，试写出线性方程组（Ⅱ）的通解。
解：方程组（Ⅰ），（Ⅱ）的系数矩阵分别记为，则由题设可知，于是，可见的n个行向量的转置向量为（Ⅱ）的n个解向量，
由于的秩为n，故（Ⅱ）的解空间维数为，…….…………5分
又的秩为2n与（Ⅰ）的解空间维数之差，即为n，故的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（Ⅱ）的一个基础解系，于是得到（Ⅱ）的通解：
，
其中为任意常数。
…….…………10分
10．求以为解向量的齐次线性方程组。
解：因为，
所以的一个极大无关组是，
…….…………3分
作矩阵，
易得线性的基础解系由决定，
取自由未知量得一基础解系为，6分
于是所求方程组的系数矩阵为，
所求的齐次线性方程组为。
…….…………10分
二、证明题（每题10分）
1．已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为。
证明：必要性：
设三条直线交于一点，则线性方程组
有惟一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，
于是，由于
但根据题设，故；
………….5分
充分性：
由，则从必要性的证明可知，，故秩()<
3
由于
故秩(A)=2，于是，秩(A)=
秩()=2,
因此方程组（*）有惟一解，即三直线交于一点。
………….10分
2．设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，证明：线性无关。
证明：（反证法）假设线性相关，则必存在一组不全为零的数，使，
即有，
设，则，否则由上式知线性相关，因而与基础解系矛盾。所以， ………….5分
于是有，从而与是非齐次线性方程组的一个解矛盾，因此所给向量组是线性无关的。 ………….10分
3．设是齐次线性方程组的基础解系，向量满足，证明：向量组线性无关。
证明：设数，使，
即
…………….3分
假设，则可由线性表示，
即是方程的解，与题设矛盾，
因此，，
…………….7分
然后由线性无关，得，
所以向量组线性无关。
…………….10分
4．设为实矩阵，是维实列向量，证明：
（1）秩；
（2）非齐次线性方程组有解。
证明：（１）先证与是同解方程组，
因为若是的解，即，则，
所以的解都是的解，
当是的解时，即，由，
可知，故的解都是的解，
因此与是同解方程组，
由此，可知它们的基础解系含个解，故秩；….5分
（2）由可知
，
因此，故非齐次线性方程组有解。…………….10分
5．证明：方程组（其中均为整数）只有零解。
证明：方程组的系数行列式为，
若令，则由于均为整数，得也均为整数
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