数列、极限、数学归纳法·数学归纳法

数列、极限、数学归纳法·数学归纳法（精选15篇）

1.数列、极限、数学归纳法·数学归纳法 篇一

数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式·教案

证明：（1）当n=1时，左=2，右=2，则等式成立．（2）假设n=k时（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 当n=k+1时，2+4+6+…+2k+（k+1）

所以n=k+1时，等式也成立．

根据（1）（2）可知，对于任意自然数n，原等式都能成立． 生甲：证明过程正确．

生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设．

师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，所以不能称之为数学归纳法．因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用两个步骤，在证明n=k+1命题成立时，一定要利用归纳假设．

（课堂上讲评作业，指出学生作业中不妥之处，有利于巩固旧知识，为新知识的学习扫清障碍，使学生引以为戒，所谓温故而知新）

（二）讲授新课

师：在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．（板书）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：（1+x）n＞1+nx． 师：首先验证n=2时的情况．

（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．

（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）

2.谈数列极限定义的教学设计 篇二

【中图分类号】O171-4

极限是高等数学最重要的概念之一，它是研究微积分学的必备工具。怎样合理有效地讲授数列极限的定义，才能让学生真正理解和掌握其思想方法，而不只是简单地理解定义和形式地掌握使用方法？重要的是如何引导学生从数列极限的描述性定义向“ ”定义的过渡和转化。下面从七个环节对数列极限定义的教学过程进行设计。

一、无穷数列本质是整标函数

无穷数列 可以看作自变量只取正整数 的一类特殊函数，称为整标函数，即 ，其中 称为数列的通项或一般项。数列作为整标函数，也具有有界性和单调性。

二、从几何问题到代数问题，引出极限思想

先介绍我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法-----割圆术。首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正八边形、内接正十边形…，从数值角度而言，当边数无限增大时，内接正多边形的面积无限接近于圆的面积。再介绍公元前四世纪，我国古代哲学家庄周著作《庄子·天下篇》所引用一句话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，从数值角度而言每天截去一半所余的尺数为一等比数列 ，然后启发学生思考如何从数列 的变化趋势解释“万世不竭”的本质。通过讲授分析得出结论：“当 越来越大时， 越来越接近0，但永远不等于0，即万世不竭。”进而提出问题：对于数列 ，主要研究当 无限增大时，数列 无限接近于哪个数？这就是所谓极限存在性问题。

三、归纳给出数列极限的描述性定义

由第二环节现归纳出数列极限的描述性定义：“如果 无限增大时，数列 无限接近于一个常数 ，则称 为该数列的极限，记作 或 。否则，称 发散。

四、将描述性定义转化为“ ”定义

一般情况下描述性定义容易理解但并不精确，因此必须将“无限增大”、“无限接近”这些定性描述用数学语言转换为定量描述。然后以数列 为例来探究怎样用精确的数学语言来阐述“当 无限增大时， 无限接近于常数1”变化趋势。首先，“ 无限接近于常数1”就是要 可以任意小，也就是可以小于预先任意给定的、无论怎样小的正数；“ 无限增大”就是要 充分大，大到足以保证 小于这个预先给定的、无论怎样小的正数。具体而言，就是对于任意给定的 ，无论怎样小，相应地总能找到一个大于或等于 的正整数 ，即 ，使当 时的一切 都满足 。

由于 的任意性，上述不等式就精确地刻画了数列 随 无限增大（记作 ）而无限接近于常数1这一变化趋势。也就是说，我们用 的数量关系把“当 无限增大时， 无限接近于常数1”的含义作了精确的描述。数列的极限概念就是来源于对数列进行这种变化趋向的研究，而运用 的数量关系就能对极限概念作精确的阐述，于是就给出数列极限的“ ”定义 。

五、几何解释

将“ ”定义的数学语言转化为几何语言：不管 多么小，总能找到一个正整数 從 项开始后面的所有项 都落在点 的 邻域内，而此邻域外最多只有有限项 。通过对极限定义的几何解释，使学生利用数形结合形式进行理解和掌握。

六、“ ”定义的进一步说明

为了更好理解“ ”定义，作以下几点说明。

（1）数列的敛散性与其前有限项的大小无关，而是由后面无限多项的大小而定。

（2） 具有三重性。一是任意性，它不是一个固定的常数，是用来刻画 无限接近于常数 的程度；二是固定性， 一旦给定就固定下来，以便去寻找与之有关的自然数 。三是表达式的多样性，定义中若取 、 、 也可。

（3） 的相应性。 依赖于 ，但并不唯一，因此也不是 的函数。事实上， 未必一定是正整数，若取正数显然也成立。当 给定后，才能找到与之有关的 ，当 满足 时，才有 ，一般情况下寻找到 即可。

（4）不等号的推广。由 的多样性和 的不唯一性，在“ ”定义中，若把“ ”变为“ ”，或把“ ”变为“ ”也成立。

七、举例说明如何使用“ ”定义证明极限

利用“ ”定义证明 ，关键是对于任意给定的正数 ，寻找一个与之有关的正整数 使得当 时恒有 。那么怎么寻找 呢？首先从这个关于 和 的不等式 出发，解出 的形式，其中涉及不等式适当放大的技巧，此时取 即可。事实上，若取 或其他也可，并不唯一。然后利用此方法证明几个常见极限，要求学员达到熟能生巧、举一反三的能力。

以上从七个环节介绍了数列极限定义的教学设计，采用两个学时授课，而收敛数列的性质下次课再讲授。在此教学过程中，将数列极限的“ ”定义内容进行了合理优化，学生充分理解和掌握极限的本质，而不是简单地理解定义和形式地掌握使用方法，同时为函数极限的讲授提供了有力的帮助，并奠定了坚实的基础。

参考文献

[1] 同济大学数学系. 高等数学[M].上册.第六版.高等教育出版社，2007：26.

基金项目：陕西省教育厅科研计划项目（编号：2013JK1098）

3.10专题十数列极限与函数极限 篇三

华中师大一附中孟昭奎

专题十数列极限与函数极限

一、选择题

(1x)mab，则a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(n1

4A．1 111)的值为（）464684682n1111B．C．418D．11 24

x32xa2(x1)3．若函数f(x)15a在点x=1处连续，则实数a=（）(x1)3x

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命题：①发果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x1，那么f(x)=0；③如xx

x22xx,x0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)，那么limf(x)=0，其中真x2x0x2x1,x0

命题是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2bx3cx3bxccxa1，则lim5．设abc≠0，lim的值等于（），limxaxbxbx3cx2a3xbx2c4

419 A．4B．C．D． 944

an1abn126．设正数a, b满足lim(x+ax-b)=4，则lim等于（）nax22b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim等于（）

A．2an1na1n14B．12C．1D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则lim

9．lim(x2Sn=________． nn241)=________． x24x

2专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

anbn

为常数，则limn的值为__________． nabn

ex1,(x0)11．关于函数f(x)(a是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你2ax,(x0)

认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用数字或n的解析式表示）

三、解答题

1x(x0),13．已知f(x) xabx(x0).

（1）求f(-x)；（2）求常数a的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{an}, {bn}都是公差不为0的等差数列，且limanaa2an2，求lim1的值． nbnnbn2n

15．已知数列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中b1=2, bn+1=3bn4, n=1, 2, 3, …．

4.数列极限的计算 篇四

数列极限的计算

极限概念有着深刻的思想性,它包含了事物的无限运动变化过程和无限逼近思想,体现了由有限到无限,近似到精确、量变到质变的`辩证思想,曾对教学发展和促进人类文明发挥过十分重要的作用.极限方法是辩证法在数学上的应用,是初等教学所没有的一套崭新的方法,它解决了“直与曲”,“近似与精确”的矛盾,是客观世界中由量变到质变的一种反映.数列极限是高等数学的重要组成部分,求数列极限的方法很多.本文总结出十余种类型的数列极限方法,讨论的内容涉及数列知识,Stolz定理,子序列的极限与函数的极限的关系,级数理论,上下极限,定积分理论,柯西收敛准则,泰朝展式,黎曼引理等,力求对数列极限的计算做一个总结.

作 者：卜宪敏 作者单位：日照广播电视大学,山东日照,276826刊 名：中国科教创新导刊英文刊名：CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD年，卷(期)：“”(5)分类号：G623.5关键词：极限概念 极限方法 Stolz定理 子列理论

5.关于数列极限的两个定义 篇五

定义1．设有数列an，a 是有限常数。若对任意0N，对任意正整

数nN，有 ana，则称数列an的极限是 a。

定义2．设有数列an，a 是有限常数。若对任意0，对任意正整数

nN，有 ana，则称数列an的极限是 a

定义1 是课本第46面的原文，定义2 是我讲课时用的。这两个定义的区别只在对N的要求：定义1 要求N是正整数，而定义2只要求N是实数，这是很低的要求，故定义2比定义1较便于应用。

由于两个定义对N的要求不同，易使人误认为两个定义界定的对象不一样，即：两个定义不等价。实际上，这两个定义完全是等价的！为说明这两个定义的等价性，我们需要两个显然的命题：

命题1．对于任意实数r均存在正整数n，使得nr。

命题2．对于任意实数r，若正整数n，成立nr，则对于每一个正整数m均有nmr。要证明定义1与定义2等价，我们只需证明这两个定义界定的极限一样即可。证明：设有数列an。

（1）若有限常数a是定义1 界定的极限，由于正整数N是实数，因此，常数a也

是定义2 界定的极限。

（2）若有限常数a是定义2 界定的极限，由定义2，对任意0，存在实数N，对任意正整数nN，有 ana；对于实数N，必有正整数M使得MN（命题1）；当nM时，必有nN；故对于正整数M，当nM时必有ana。因此，常数a也是定义1 界定的极限。

说明：（2）中的正整数M即是定义1 中的N。极限证明中关键是由 nN 保证

ana，而不是N是否是正整数。

6.数列中常见的数学思想 篇六

一、基本量思想

例1.⑴若等差数列 中，，求 ；

⑵等差数列 中，求 的值.

解：⑴由题意，得解得

所以

⑵由等差数列的性质可知，成等差数列，

该等差数列的公差 ，

所以 .

评注：等差（比）数列由首项 和公差 （公比 ）确定，故在解决有关等差（比）数列的问题时，可紧扣基本量 和 （ ）进行.

二、分类思想

例2．⑴已知数列 的前n项的和 ，求通项 ；

⑵求 … .

解：⑴当 时， ，

当 时， ，

而 适合上式，故通项 .

⑵由 … ，①

… ， ②

①-②，得 ….

当 时， ，

当 时， … .

评注：已知 求 时，运用 需对 分类；运用等比数列求和公式时，需对 分类，即当 时， ；当 时， .

三、转化思想

例3．已知数列 的前n项的和为 ，且，求 及 .

解法一：（化和为项）

由 ， ①

， ②

所以当 时，由①-②得

所以 即

而 ，

所以 是从第二项起为等比数列，且 .

而 适合上式，故通项 ， .

解法二：（化项为和）

因为 ，

所以 ，即 .

令 ，则 ，

所以 ，而

所以数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列， ,

所以 ，然后易求通项 .

例4．已知数列 的前n项和为 ，且满足

求 的表达式.

解：当 时，

所以 ，即

所以 ，而

所以数列 是以2为首项，以2为公差的等差数列，

所以 ，即 ，

然后易求通项

评注：1.已知数列的通项 与前n项和为 的关系，通常可化“和”为“项”，也可化“项”为“和”；

2.例4运用化项为和方便，但要借助构造等差数列 以求 的表达式，再间接求 的表达式.

四、函数思想

例5．⑴设 是等差数列 的前n项和，若 ，求 的值；

⑵数列 的前n项和为 ，若 为等比数列，则实数a= .

解：⑴因为 是等差数列 的前n项和，所以设 ，

因为 ，所以 ，解得

所以 .

⑵ .

7.高一数学教案 数列 -数学教案 篇七

教学目标

1．使学生理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（1）理解数列是按一定顺序排成的一列数，其每一项是由其项数唯一确定的．

（2）了解数列的各种表示方法，理解通项公式是数列第 项 与项数 的关系式，能根据通项公式写出数列的前几项，并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通项公式．

（3）已知一个数列的递推公式及前若干项，便确定了数列，能用代入法写出数列的前几项．

2．通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．

3．通过由 求 的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯．

教学建议

（1）为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等．

（2）数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系．在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法．由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法．

（3）由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助．

（4）由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征（整式，分式，递增，递减，摆动等），由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用 来调整等．如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系．

（5）对每个数列都有求和问题，所以在本节课应补充数列前 项和的概念，用 表示 的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析 与 的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调 的表达式是分段的）；之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况．

（6）给出一些简单数列的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的．

教学设计示例

数列的概念

教学目标

1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．

2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．

3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．

教学重点，难点

教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别．

教学用具：电脑，http://jiaoan.cnkjz.com/Soft/Index.html>课件（媒体资料），投影仪，幻灯片

教学方法：讲授法为主

教学过程

一．揭示课题

今天开始我们研究一个新课题．

先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数

（板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．

（板书）第三章 数列

（一）数列的概念

二．讲解新课

要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：

（幻灯片）①

自然数排成一列数：

②

3个1排成一列：

③

无数个1排成一列：

④

的不足近似值，分别近似到 排列起来：

⑤

正整数 的倒数排成一列数：

⑥

函数 当 依次取 时得到一列数：

⑦

函数 当 依次取 时得到一列数：

⑧

请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．

（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．

为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述八个数列为例，让学生练指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．

由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，„„，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．

（板书）2．数列与函数的关系

数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集 的有限子集 ．

于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．

遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．

（板书）3．数列的表示法

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，„„，用 表示第 项，依次写出成为

（板书）（1）列举法

．（如幻灯片上的例子）简记为 ．

一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．

（板书）（2）图示法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式．

（板书）（3）通项公式法

如数列 的通项公式为 ；

的通项公式为 ；

的通项公式为 ；

8.数学数列复习试题 篇八

一、填空：

1、若x=1，则x+= 。

2、平方等于1/16的数是 ，立方等于-27的数是 ，立方后是本身的数有 。

3、当n为奇数时，1+(-1)n= 当n为偶数时，1+(-1)n= 。

4、若︳a-1 ︳+(b+2)2= 0,那么(a+b)2005+a= 。

5、若每人每天浪费水0.32升，那么100万人每天浪费的水为多少升。用科学记数法表示为 升。

6、由四舍五入得到的近似数0.8080有 个有效数字，分别是 ，它精确到 位。

7、3.16106原数为 ，精确到 位。

8、写出3，-9，27，-81，243，这行数的第n个数 。

二、选择：

1、若规定ab=(a+1)b，则13的值为( )

(A)1(B)3(C)6(D)8

2、(-2)11+(-2)10的值是( )

(A)-2 (B)(-2)21 (C)0 (D)-210

3、下列语句中，正确的.个数是( )

①任何小于1的有理数都大于它的平方

②没有平方得-9的数

③若a﹥b,则a2﹥b2

④(m+1)2是非负数

⑤大于0且小于1的有理数的立方一定不大于原数

⑥大于-1且小于0的有理数的立方一定大于原数

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

4、据国家统计局公布的我国第五次人口普查数据，我国现有人口12.95亿，那么这个数据(保留三个有效数字)用科学记数法表示为( )

(A)12.95108 (B)12.9109 (C)1.295109 (D)1.30109

5、用四舍五入法保留三个有效数字得到的近似值是2.15104，则原数可能是( )

(A)215600 (B)21480

(C)21420 (D)21570

三、计算：

1、-72+2(-3)2+(-6)(-1/3)2

2、-14-(1-0.5)3[2-(-32)]

3、-1-{(-3)3-[3+0.4(-1.5)](-2)}

9.高中数学数列的教学策略研究 篇九

关键词：高中数学；数列教学；现状；策略研究

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）19-229-01

高中数学课程教育当中数列是十分重要的课程构成成分，实现数列教学质量的提高，有助于培养学生的的数学问题理解、分析与问题探究的能力，有利于高中阶段学生的综合素质提高与培养。随着我国课程改革工作的不断推进，高中数学教学策略都有了明显的优化与发展，教师应当在新课程改革的要求下不断实现数列教学方式的优化，实现教学水平的不断上升，加强学生学习成绩的上升。

一、当前我国高中数学课程教学中存在的问题

在传统的高中数学教育模式中，教师是课堂的主体，而学生对于知识的吸收处于被动接受的状态，在这样的灌输式教育当中，教师和学生往往会形成管理与被管理的相处模式，学生容易产生逆反心理，失去学习积极性，师生互动的不足，导致教学效果并不理想。另外，在进行教学的过程中，教师的授课内容主要是根据固定的教材大纲按部就班的进行知识教授，教学手法过于古板单一。在学生依靠教师进行知识学习的过程中，教师往往将知识内容作为重点，忽略了启发式教育的重要性，没有引导学生自主进行知识探索，培养学生的自主学习的能力，从而导致高中数学课程教育的学习高效性难以实现。

二、有效的数学数列课程的教学策略

1、建立高效课堂，激发学生的学习兴趣

要实现教学成果的显著上升，提高学生的学习兴趣是十分有必要的，可以依靠高效课堂建立来实现。在传统的高中数学教学中，教师与学生之间的关系是不平等的，主要以领导者与被领导者的关系形式存在，这样的关系难以适应现代化的高效课堂建立的要求，只有当教师与学生之间建立平等互信的关系才能加强学生学习体验共鸣。同时，教师还要在课堂教学过程中，改变原本的枯燥学习环境，实现趣味化教学，让学生在轻松的教学环境中实现数学知识的学习与掌握。例如在实际教学中，教师在进行数列知识引入的时候，可以首先进行数学故事的讲解。例如“国际象棋发明故事”，同样也可以在课堂上开展数列游戏，通过这样的方法可以有效的提高学生的学习兴趣。

2、加强课程教育中多媒体技术的应用

随着现代科学技术的不断发展，多媒体教学设备被广泛运用到了学习当中，是常见的教学方法之一。在进行高中数学数列课程教学时，利用多媒体的技术设备把课程内容和重要知识点进行全面呈现。在多媒体教学中，学生可以脫离数学原本枯燥的教学模式，让学生在学习中产生学习兴趣。例如在数列教学内容“等差数列的前n项和”的课堂教学所提出的数列问题“在进行积木堆积游戏中，最下层积木数量为15，往上每一层一次递减一块积木，最上层积木数量为1，求中共有多少块积木？”的解决时，教师可以通过多媒体技术进行积木堆积动画演示，将原本抽象的数学问题具体化，加强学生的探索兴趣，在解题后教师也可就学生提出的多种解题方案进行多媒体演示，可以实现直接的最简化方案的选择，提高学生的学习效率。

3、加强教学中的小组学习模式

在高中数学的教学中，可以利用小组组合形式来进行学习教材内容中的数列知识，通过这样的方法有利于学生自主学习能力的提高。通过同学间的组合学习，不仅有利于学生积极主动的参与到学习中，还能培养学生的协同互助能力。教师可以根据学生能力进行科学性分组，小组内相互的带动讨论，在交流中发展自主意识，同时开阔思维，从而实现学生的学习效率提高。例如，在进行数列课程内容中“等项数列求和公式”的学习中，首先提出“怎样快速计算1到200之间的所有自然数的总和？”的问题，进行分小组讨论，让学生积极发挥自身想象力与开拓思维进行求和计算。教师在进行分小组的时候要注意小组成员的科学搭配，将学习成绩优异与较差的学生进行合理的交叉搭配，实现学生学习水平的总体上升。另外在小组讨论展开时，为避免小组学习的形式化，教师应当进行监督，并且鼓励组内成员积极发言。在一段时间的讨论之后，教师可以让学生进行求和答案汇报，并分小组进行计算方法的讲解，让学生通过自主探究的方式实现数列知识的发现。提高学生的思维能力与探索能力。

结束语：为加强高中生的数学学习能力以及综合素质的全面提升，教师在进行课程中数列内容教学时，要不断对当前的教育现状进行分析，进行教学策略与方式的不断优化与完善，以人为本地进行教学方案的制定。并通过多种辅助教学手段进行教学，不断加强学生的学习兴趣培养与多种教学方式建立，最终实现学生对数列知识的掌握以及灵活运用到多种数学问题解决当中。

参考文献：

[1] 石 因.多元智能理论教学观下的高中数学数列教学实践与研究[D].苏州大学，2015.

[2] 翟艳芳.高中数学数列教学中的教学策略[J].新课程（中学），2015，03：127.

[3] 张敏妮.高中数学数列教学中的教学策略[J].新课程学习（中），2013，06：100-101.

10.高二数学数列教学反思 篇十

本堂课的教学，在提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等的有机结合中，有序和谐、民主平等地展开。在教学设计中通过丰富的实例引入概念，鼓励学生动脑、动手、动口，经历观察归纳、探索交流、分析问题解决问题的过程，收获新知和方法，提高数学素养。教学过程中通过环环相扣、设置得当的问题链，激活学生的思维、唤起学生的热情、完善学生的知识结构，使学生整堂课始终处在一种积极的学习状态中：看得专心、听得认真、做得投入、说得流畅、合作得愉快。

另外，本节课在指导学生进行反思上也做了一定工作，反思可以说是学生认知水平从低级到高级发展的一个主要环节，所谓反思也是解决问题后自问几个为什么，为下次解决问题获得有用的经验和教训，从而引导学生不断总结经验教训，真正领悟到数学思想方法，以达到优化学生认知结构，促使学生思维升华，由此达到提高学生学习数学能力之目的。

11.高中数学数列知识点 篇十一

数学数列知识点1

等差数列

1.等差数列通项公式

an=a1+(n-1)d

n=1时a1=S1

n≥2时an=Sn-Sn-1

an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b

2.等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷2

3.前n项和

倒序相加法推导前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3+·····+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1

=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

4.等差数列性质

一、任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N--

三、若m，n，p，q∈N--，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq

四、对任意的k∈N--，有

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。

数学数列知识点2

等比数列

1.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

2.等比数列通项公式

an=a1--q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)

an=Sn-S(n-1)(n≥2)

前n项和

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1--q’n)/(1-q)(q≠1)

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=na1

3.等比数列前n项和与通项的关系

an=a1=s1(n=1)

an=sn-s(n-1)(n≥2)

4.等比数列性质

(1)若m、n、p、q∈N--，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;

(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

(4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

(6)任意两项am，an的关系为an=am·q’(n-m)

(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

数学数列知识点3

数列的相关概念

1.数列概念

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N--或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

12.新课标下高中数学数列教学探析 篇十二

关键词： 高中数学 数列 教学策略 教学设计

高中数学中，数列占有很重要的地位，数列在数学领域隶属于离散函数的范畴，是解决现实中很多数学问题的重要工具。数列问题是高二年级数学教学的基础。数列问题学习可以培养学生对数学问题的思考、分析和归纳的能力。并对以后阶段的数学知识有启蒙作用。数学教师必须重视数列教学实践对学生的启发作用。

一、数列教学的有效性策略简析

数列的教学应该遵循有效性原则。我们在教学中应该用先进的教学理念指导教学。数学的思维模式主要是逻辑性思维为主，因此有效的方式方法一旦为学生所领会，那教学过程就会变得相当容易。

1.对比数学问题，归纳共性特点，培养探究习惯和能力。

在认识数列时，应该同时引入函数的动态认识数列的方法，将对函数的研究方法类比到数列问题中。对于数列的表示法的讲解，可通过函数的表示方法引申过来。而对等差数列，等比数列的单调性性质，也可通过以往学过的函数的相关性质类比讲解；在求和问题的最值研究中，可从抛物线等二次函数中的变量演化过程类比讲解求函数最值。等差数列和等比数列的概念、性质、通项等，我们可通过两个类型数列的异同点进行研究。如：从数列的特点来说，前一项与后一项之间的差异对等差数列来说，两项间是加减法的关系，每两项之间都相差一个固定的数值，而对等比数列来说，则是乘除法的关系，每相邻两项之间是倍数的关系。对中项的概念来说，等差中项概念与相邻项的关系同样遵循加减法的规则，而等比数列的中项则是插入一个固定比例的关系。而两个等差数列，仍然为等差数列。两个等比数列的对应项的乘积也为等比数列。这种数列之间的项与项的数量关系的实质要为学生讲解清楚。

2.与其他数学知识相综合，建立数学知识体系的网络化、综合化。

数学中任何一个概念都不是独立的，在整个数学知识体系里，每个知识点都与其他结点有关联性，因此在数列教学中，要把数列、函数、不等式、解析几何等概念有机结合起来进行讲解。数列其实是函数的特殊化，研究函数有普遍性的意义，而研究数列是研究函数的特殊化。因此在数列教学中建立函数的概念，有助于改变学生的静态思维。另外，还有数列与不等式、数列与导数、数列与算法等的综合运用，都要在数列教学中对学生加以讲解。

3.通过练习和小测试巩固课堂教学效果。

传统教学模式中，有一种是“题海战术”，可见习题在数学教学中的作用是不容忽视的。尽管目前的教育模式不支持教师对学生施以题海战术，但选取具有代表性的习题，对于开拓学生的数学思路和知识点延伸，是有极大好处的。首先通过习题，可以巩固学生的基础知识结构，加强知识点之间的有机结合，从而提高学生对数学问题的分析能力。举个简单的例子，求数列a■-n。通过前面的知识的学习，我们知道，这道题目由两部分数列的综合计算而成。前半部分是一个等比数列，而后半部分，我们可以看成负自然数的数列。等比数列的求和公式是合成的，而自然数的和在学习高斯定理时就已学过，通过这样的拆解，为学生解答综合性的问题提供了行之有效的途径。其次，同样一个题目如果有多种方法，应当鼓励学生用更多的方法进行解答，这样可以培养学生的发散性思维，在考试中碰到的问题即使一时做不出来，至少学生能够想到很多种解题方案，这其中说不定就有通往正确答案的途径。第三，公式的变形要加强练习，只有这样，学生才能够触类旁通，同一类问题的解决途径往往稍加变形，但其解法本质上是殊途同归的，通过这种锻炼，学生的解题能力得到很大的提高，知识体系也进一步得到完善。第四，题目解决了，并不是学习的终结，要培养学生“回头看题”的习惯。这种习惯的养成有助于学生对题目的知识点进行全面把握。

二、数列部分课堂教学设计要点

课堂教学设计是高中教学中的重中之重，课堂教学设计的水平在某种意义上决定了课堂教学的效果和学生学习的成果。在课堂教学方案的设计中，笔者通过多年的教学经验和实践认为应该包括以下要素。

1.细致了解学生在数列学习和解决数列问题中的切身体验。

应该说，学生之间对数学问题的认知和理解能力确实存在着差异性。到了高中阶段，学生都经历了近十年的数学学习经历，通过长期的学习会对某一类知识点相当敏感，而对另外一些知识点却认识模糊。有的学生擅长逻辑思维，而另外一些学生对计算情有独钟，对知识点掌握程度的不同会造成学生解题习惯和解题思路的差异。教师在课堂教学设计中应充分考虑学生的群体差异。

2.注重数列部分概念本质的强化记忆和理解，对基础知识的传授要夯实，避免短板。

数学中，不仅仅是数列，其他的概念也如此，其描述的方式，往往通过文字性的描述来说明。这种方式比较抽象，我们在设计课堂教学时，对概念性的东西要注意辅以实例来讲解，以便激发学生的猎奇心理和探索问题的欲望。

3.重视数学史渗透，培养用数学工具解决实际问题的能力。

数学的发展史源远流长，每种数学问题的提出和最后的解决都有其历史背景。数列教学中穿插数学史知识的传授，有利于学生了解知识的来龙去脉。另外数学问题的提出往往有其实践的背景，或者是人民集体智慧的结晶，或者是某一时期特殊问题的解决之道，教师在课堂教学过程中要努力挖掘现实问题的应用，学以致用。当学生认识到学习的数列知识在现实生活中确实能解决很多问题的时候，学习欲望和学习效果自然而然就增强了。

4.重视数列学习中组合学习的魅力。

人以群分，物以类聚。在数学学习过程中，教师应该对不同层次的学生进行分组，这种分组的教学行为可以让学生在相同的起点上进行学习。通过对班级内不同的学生的特点和能力进行分析，对其学习的目标、任务等精心设置，发挥团队学习的效用。

参考文献：

[1]王光明.数学教学效率论[M].天津：新蕾出版社，2006.

[2]愈国良，罗晓璐.教师教学效能感及其相关因素研究[J].北京师范大学学报，2001（1）.

13.高中数学等差数列教案 篇十三

数列是中、高职数学知识的重要内容之一。我选择的课题：《等差数列》是“数列”中的一个重点内容，这部分内容在对口单招高考中的能级要求是理解。通过对生活实例和内容的分析，建立等差数列的模型，引导学生探索并掌握它们的基本性质，感受等差数列模型的广泛应用，并利用它解决实际问题。

二、教学对象分析

我校对口单招学生是在接受了九年制义务教育，经历了中考之后分流到我们学校的，他们的数学学习基础比较薄弱，学习习惯也有待进一步改善和提高，对数学的学习兴趣有待进一步加强，存在畏难情绪等。针对这些情况，我遵循学生的心理特点，关注学生的直觉感受和已有经验，结合生活实例，精选一些典型的、适合学生的生活情境，从实际应用的角度去讲解概念和定理，调动学生的学习积极性和主观能动性，提高教学效率 。

三、教学内容安排

本次参赛内容为一个单元：等差数列;在等差数列中又包括：1. 等差数列的概念(1课时);2. 等差数列的通项公式(1课时);3. 等差中项;4.等差数列的求和公式(1课时)。所选内容来源于教材和数学学案。

四、教学总目标

1.知识与技能

(1)理解等差数列的定义，理解等差数列的通项公式及前n项和公式;

(2)理解等差中项的广义概念，能灵活运用性质巧解相关问题;

2.过程与方法

通过实例，了解数列在实际生活和生产方面的应用，并能利用数列的有关知识解决实际问题。

3.情感、态度与价值观

通过建立数列模型以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。

五、主要教学理念

1.任务引领

任务引领教学法以培养学生专业技能为宗旨，以学生为主体，以任务为中心，把学习过程任务化，让学生在实施任务中训练技能，构建理论知识，激发学习的兴趣，调动学习的积极性，发展创造能力及分析、解决问题的能力，并有充分的机会自行处理实施任务中出现的各种问题，做到“所学即所用”。

2.以生为本

学生是个体独立学习和小组协同学习的积极参与者，也是学习活动的评价者。以学生自主学习为主体，强调学生在学习过程中的自主选择和自我设计。教师以指导者的身份给予适当的建议，并适时进行指导，以发展性评价促进学生的学习与能力的发展。让学生自主探究、协作学习，再通过学生交流展示，教师点评的方式，从而使学生真正获得知识和提高能力。

3.小组合作

小组合作学习是指在课堂教学过程中，作为课堂活动主要参与者的学生，在老师的指导下组成学习小组，小组成员或小组之间相互启发、通力合作、共同提高的一种学习形式。小组合作学习是一种全新的教学理论与策略，是新课程改革所倡导的一种学习方式。这种形式有利于激发学生参与的热情，发挥学生的主动性，培养学生的合作意识与合作技能。

六、主要教学策略

1.做好课前预习沟通，让每位学生都能信心十足的上好数学课;

2.重视课前预习，使教学过程顺畅进行;

3.采用课堂教学结合梯度式任务单的形式完成教学;

4.利用现代化的教学手段，充分调动学生的积极性，活跃课堂气氛;

5.主要采用“任务引领”“自主探究”“小组合作”的教学方法;

6.采用教师评价、同学互评和自我评价相结合的激励性评价机制，促进学生积极进取。

七、资源开发

1.根据学生的认知规律对教材内容进行适当的调整;

2.利用现代教学手段制作教学课件和动画辅助教学。

教案目录

14.函数与数列极限的定义区别 篇十四

最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义

设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质 收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性；（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；

（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；

（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；

（5）保序性，即若，且AN1时an

（1）自变量趋于有限值时函数的极限：-

[论文网 ]函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作

上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为

1对：任意以两直线为边界的带形区域；

2总：总存在（以点x0位中心的）半径；

3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；

4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作

并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质（1）极限唯一性；（2）局部有界性

若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；

（3）局部保号性

若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得时f(x)

利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形：

（1）给定任意小正数ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：

（1）给定任意大正数G；（2）解不等式；（3）取定；（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的（或N）.极限存在准则1．夹逼准则（1）数列极限的夹逼准则

如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件：

1存在N，n>N时，bn≤an≤cn；

则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则

（以x→x0和x→∞为例）如果

1（或|x|>M）时，有

2（或），则（或）

（3）一个重要不等式

时，2．单调有界数列必有极限

3．柯西（Cauchy）极限存在准则

数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。

数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。

计算极限的常用方法1.利用洛必达法则

三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：

注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限

„„

3.利用泰勒公式

4.利用迫敛性

5.利用定积分求和式极限

6.利用数列的递推关系计算极限

7.利用级数的收敛性计算极限

8.利用积分中值定理计算极限

计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出-

[论文网 ]发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义

设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。大全，函数。大全，函数。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质

收敛数列有如下性质：

（1）极限唯一性；

（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；

（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；

（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；

（5）保序性，即若，且AN1时an

（1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在xx0时的极限，记作 上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为 1对：任意以两直线为边界的带形区域； 2总：

总存在（以点x0位中心的）半径；

3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；

4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作

并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质

（1）极限唯一性；

（2）局部有界性

若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；

（3）局部保号性

若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得时f(x)

利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形：

（1）给定任意小正数ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：

（1）给定任意大正数G；

（2）解不等式；

（3）取定δ；

（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.极限存在准则1．夹逼准则

（1）-

[论文网 ]数列极限的夹逼准则

如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件： 1存在N，n>N时，bn≤an≤cn； 2 则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则

（以x→x0和x→∞为例）如果

1（或|x|>M）时，有

2（或），则（或）

（3）一个重要不等式

时，2．单调有界数列必有极限

3．柯西（Cauchy）极限存在准则

数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。大全，函数。

数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。

计算极限的常用方法1.利用洛必达法则

三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：

注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限

„„

3.利用泰勒公式

4.利用迫敛性

5.利用定积分求和式极限

6.利用数列的递推关系计算极限

7.利用级数的收敛性计算极限

8.利用积分中值定理计算极限

15.数列、极限、数学归纳法·数学归纳法 篇十五

关键词：高中数学；数列；差分；专题教学；研究

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2015）04-068-01

高中阶段的数学教学过程中，尤其是“数列与差分”专题教学，可帮助学生有效解决现实生活中的一些问题，实用价值非常的大。

1. 数列与差分关系分析

第一，数列是描述世界客观事物的数学模型。数列是定义在自然数集上的特殊函数，对客观存在的各种离散变量进行描述。实践中可以看到，客观存在的很多变量本身都表现出一定的离散性，比如细胞分裂、股市等，均具有函数关系的离散性特点。同时，还存在着很多连续函数关系，无法用解析式对其进行表示，比如河流的水位变化等，只能通过测得相应数值来得到数列。在不影响研究结果的情况下，为了更加方便分析研究，通常将对连续函数的研究有效地转化成对数列的研究。

第二，差分是对数列变化进行描述的一种工具。比如，△an=an+1.其中，an 代表{an}这一数列中的第n项一阶差分，并将“△”称作差分算子，此时有△（△an）=△2；an=△an+1；其中△an代表{an}这一数列的第n项二阶差分。对于二阶差分△2an而言，其中的2代表差分两次运算。{an}这一竖列的二阶差分，构成了一个新的数列，即{△2an}。事实上，高中数学数列与差分之间存在着一定的关联性，具体表现在以下几个方面：当{an}={2，2，2，2，2}时，一阶差分△an为{0，0，0，0}；此时数列的一阶差分为各项是零的常数列；再如，当{an}={3n-5}时，即{an}={-2，1，4，7，10，13，16，19}；一阶差分△an为常数列 {3，3，3，3，3，3，3}，通项an=3n-5（线性函数）。当{an}这一数列是由线性函数定义的等差数列时，一阶差分即为常数列；当{an}= {n2-3n+5}= {3，3，5，9，15，23}时，一阶差分为{0，2，4，6，8}，二阶差分为{2，2，2，2}，通项an=n2-3n+5（二次函数）。当{an}这一数列由二次函数定义时，二阶差分为常数列。若将上述由二次函数、线性函数或者指数函数定义的不同阶差分结论作为定理，则这些结论对基于数列的一阶和二阶差分，对研究数列遵循变化情况、数列通项，意义重大。

2. 高中数学“数列与差分”教学策略

本文以待定系数法求解差分方程为例，对如何进行数列与差分教学深入分析。所谓待定系数法求解差分方程、常微分方程思想，可以对比分析；在非齐次线性差分方程求解过程中，采用待定系数法应用效果也非常的好。从应用实践来看，采用待定系数法对差分方程进行求解，主要是基于方程自身的特点，设一般模式，然后再根据相关条件，确定解之后将其代入方程之中，从而求得待定系数。比如，当K≠1时，一阶非齐次差分方程可表示为xn+1=kxn+b①，此时得到一个特定解，即xn=A；将xn=A代入公式①中，则可得A=kA+b，A=b/（1-k），此时xn=b/（1-k），一阶非齐次差分方程通解：xn=knc+ b/（1-k），（其中c代表任意常数）；当k=1时，xn+1=xn+b的一阶差分是一个常数，设xn=An特解，然后将其代入原方程之中，此时A（n+1）=An+b，即A=b；xn=bn；方程①的通解：xn=knc+ bn=c+bn（其中，c代表任意常数）。以下可通过具体的例子来说明上述理论分析。

例1：某教室内的座位布设过程中，如果每后一排均比前一排插座数量多出2个，而且已知首排插座数量为30，求以下四个问题的解。

①用yn表示n排插座的数量，试求yn与yn+1的关系；

②试求第九排插座的数量是多少？

③以Sn来表示第n排之前插座的总数，试求Sn与Sn+1的关系？

④若该教室共有20排插座，试问可以同时坐多少个学生？

解：①yn+1=yn+2；其中n=1，2… ②从题目中可知，k=1，b=2，此时yn=2n+c，（其中c代表任意常数）；已知y1=30，则可求出c=28，此时的特解方程为yn=2n+28，即y9=46；③Sn+1=Sn+yn+1= Sn+2（n+1）+28，此时Sn+1= Sn+30，n=1，2… ④通过③可以得到Sn+1-Sn= 2n+30，即Sn=2n+30，此时可得到数列Sn一阶差分表达式二次函数，将这一二次函数设为：Sn=An2+Bn+C，可得Sn= A（n+1）2+B（n+1）+C- An2-Bn-C=2An+A+B=2n+30；A=1，B=29，结合条件可得y1=30=S1，30=A+B+C， Sn=n2+29n，n=1，2… 由此可得S20=980.

3. 结语

总而言之，数学这门学科的实用性非常的强，将数列与差分教学纳入新课改下的高中数学教学过程之中，既是课程改革和教学的需求，又是学科发展的必然，因此应当重视和不断创新教学模式，只有这样才能提高教学质量和效率。

[参考文献]

[1] 姜武.高中数学“数列与差分”专题教学设计研究[J].山西青

年·下半月，2014（01）.

[2] 李昌官.高中数学“导研式教学”研究与实践[J].课程、教材、教