证明垂直的方法

证明垂直的方法（10篇）

1.证明垂直的方法 篇一

广州艺术学校美术绘画专业3708855611-09-09

用向量的方法来处理线线垂直

异面的线线垂直通常都要化成线线垂直，但是很多学生不清楚应该找哪一个线面垂直，用向量的方法就避免了找的过程。

1、在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC

证明：（1）建立向量：设ABa，ACb，AVc

1VA=VC：（2）翻译条件：○VCVAACcb，得

|c||cb|化简得：___________________________________

AB=BC：BCBAACba，得○

_____________，化简得_______________________________________

（3）翻译结论：VB⊥AC：VBVAABca，要证明：(ca)b0

计算过程：

2、（同上题）在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC

证明：设BAa，BCb，BVc3、在三棱锥A—BCD中，AB⊥平面BCD，DC=DB，E为BC中点，求证：AC⊥DE；

证明：（1）建立向量：设BDa，BCb，BAcAB⊥平面翻译条件：○BCD：ca,cb，得ca0,cb0DC=DB：○DCDBBCab，得：|ab||a|

化简得：_______________________________E○11为BC中点：BEECBCb 2

2翻译结论：AC⊥DE：ACABBCcb

1DEDBBEab 21要证明：(cb)(ab)0 2

计算过程：

4、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD．证明：PABD；

证明：设设DAa，DCb，DPc

1底面翻译条件：○ABCD为平行四边形：ABDCb

02DAB60：ADAB|AD||AB|cos60= ○

3○AB2AD：|b|2|a|

4PD底面ABCD：_________________________________________ ○

翻译结论：

5、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º

证明：AB⊥PC6、如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；

7、如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，PAPDE是BCC的中点.证明：（1）AD⊥DE（2）AD⊥PB8、已知在三棱锥S--ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥SB

证明：（1）建立向量：设CAa，CBb，CScBC⊥平面SAC：_______________________________ 翻译条件：○



2AD⊥SC：ADACCDakc（不知道D点位于SC什么位置）○

得：___________________________________

翻译结论：AD⊥SB：SBSCCBcb

要证明： ______________________________________

2.证明垂直的方法 篇二

一、准备知识

立体几何中的垂直问题通常有三类:证线与线垂直、线与面垂直、面与面垂直.在解决这些问题之前首先要熟记三个定理:

定理1如果平面外一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直, 那么这条直线垂直于这个平面. (简称:线线垂直, 线面垂直)

定理2如果一条直线与一个平面垂直, 那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直. (简称:线面垂直, 线线垂直)

定理3如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直. (简称:线面垂直, 面面垂直)

其次, 要证明垂直问题就要熟知常用于推导垂直关系的条件, 除了题目直接告知的垂直关系, 还有以下几种常用来推导垂直的条件: (1) 等腰 (或等边) 三角形底边上的中线垂直于底边; (2) 正方形 (或菱形) 的对角线互相垂直; (3) 三边满足勾股数a2+b2=c2的三角形是直角三角形, 等等.

最后, 明确一个基本原则:在推理过程中如果要寻找某条直线, 总是优先考虑已有垂直关系的线.

二、实例分析

1. 证线面垂直

例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1, O是底ABCD对角线的交点, 求证:A1C⊥平面AB1D1.

从结论出发, 我们可以作出如下分析:

步骤1:要证线面垂直, 只要证线线垂直.首先在平面AB1D1的平面内找出两条相交直线与A1C垂直.我们的原则是优先考虑已有垂直关系的线, 在正方形中隐含着对角线互相垂直的关系, 平面AB1D1的三条边又都是正方形的对角线, 所以任选一条边, 其他的边只要同理证明就可以了, 这里我们选B1D1.

步骤2:下面证A1C⊥B1D1, 只要让B1D1垂直于一个平面, 这个平面要包含A1C, 又要包含它已经垂直的线A1C1, 很容易得到是平面A1C1C.

(记作:A1C⊥B1D⇐B1D1⊥平面A1C1C)

步骤3:重复步骤1, 要证B1D1⊥平面A1C1C, 只要证明B1D1与平面里两条相交直线垂直.已知B1D1与A1C1垂直, A1C是需要证明与之垂直的线, 那么只剩下CC1.恰好CC1是正方体的侧棱, 它垂直于面A1B1C1D1, 易证CC1⊥B1D1.

以上推理的思维流程图:

2. 证线线垂直

例2如右图, 已知矩形ABCD, 过A作SA⊥平面AC, 再过A作AE⊥SB交SB于E, 过E作EF⊥SC交SC于F.求证:AF⊥SC.

分析步骤1:要证线线垂直, 只要证线面垂直.AF和SC中先选出一条线, 让其垂直一个面.本着优先考虑已有垂直关系的线这一原则, 我们选择SC.下面寻找SC垂直的平面, 它要包含SC已经垂直的线EF, 也要包含它需要垂直的线AF, 那么就算不看图, 我们也能找出这个平面AEF.

(记为:AF⊥SC⇐SC⊥平面AEF)

步骤2:下面证线面垂直, 只要证线线垂直.欲证SC⊥平面AEF, 只要在平面里找出两条相交直线与SC垂直.已知SC已经垂直于EF, 而AF是需要证明与SC垂直的线因此不能用, 所以只剩下AE.

步骤3:重复步骤1, 要证明SC⊥AE, 就要确定其中一条线, 让其垂直一个面.由于SC的垂直关系在前面用过了, 所以这次选AE.AE所垂直的平面要包含它已经垂直的直线SB, 还要包含它需要垂直的直线SC, 所以可确定平面SBC.

(记为:SC⊥AE⇐AE⊥平面SBC)

步骤4:重复步骤2, 要证AE⊥平面SBC, 只要在平面里找出两条相交直线垂直于AE.AE已经垂直于SB, 而SC是需要证明和AE垂直的线, 不能选, 那么只剩下BC可能与AE垂直.

步骤5:重复步骤3, 要证AE⊥BC, 先确定一条线.由于AE的垂直关系前面已经用过, 所以这次选BC.BC所垂直的平面要包含AE, 还要包含它已经垂直的线AB.所以BC⊥平面ABE, 即BC⊥平面SAB.

(记为:AE⊥BC⇐BC⊥平面SAB)

步骤6:重复步骤4, 要证BC⊥平面SAB, 只要在平面里找出两条相交直线垂直于BC.BC已经垂直于AB, 平面里与AB相交的直线有AE和SA, AE是需要证明的线不能用, 只剩下SA.而题目已知SA⊥平面ABCD, 易证SA⊥BC.

以上推理的思维流程图:

3. 证面面垂直

例3如图, 已知AB$平面ACD, DE∥AB, △ACD是正三角形.求证:平面BCE$平面CDE.

分析要证明面面垂直, 只要在其中一个面里找出一条直线, 使它垂直于另一个面.但是题目中的垂直关系都集中在平面ACD中, 等腰△ACD的中线AF⊥CD, 同时AF⊥AB.因为AB∥DE, 所以AF⊥DE.易证AF⊥平面CDE.因此只要将AF移到平面BCE中就可以了.取CE中点G, 连接BG, 易证BG∥AF, 命题得证.

思维流程图:

三、一点感悟

证明垂直问题是立体几何中的重要内容, 通过垂直的性质和判定定理, 可以实现线面关系的转化.让学生学会从结论出发逆向推理, 会减少思维混乱, 无从下手的状况, 使思维更具条理性.本文所述的方法不以理解为技法, 而是对垂直关系的源头探求, 探求的依据就是性质和定理.

3.证明垂直的方法 篇三

【关键词】塔式起重机；垂直度；测量

1、引言

塔式起重机属于臂架型起重机的一种，由于其臂架铰接在较高的塔身上，可回转，臂架长度较大、结构轻巧，安装拆卸运输方便，适于露天作业，大多数用于工业与民用建筑几安装施工，被称为建筑用塔式起重机。现今的建筑工程施工这，塔式起重机是应用极为频繁的一种运输机械，塔式起重机也因其起升高度大、起重质量大、作业幅度大的显著优点，在建筑施工中的应用愈加频繁。目前广泛使用的塔式起重机多为上回转、水平臂、固定自升式[1]。使用塔机的建筑物多在50～60m以上，100m以上的也不少。塔式起重机的塔身越高，塔身的垂直度就容易受到影响，同时影响塔式起重机的安全可靠的作业。如果塔式起重机的垂直度出现大超标准的偏差，再加上稍受外力作用，在工作过程中，便极易发生倒塌、倾翻、断臂等较严重的事故，这不仅极大的危害工作人员的人身安全，也会给施工企业造成极大的经济损失，影响企业经济效益最大化的实现。

2、塔式起重机垂直度的技术要求

在GB5144-1994《塔式起重机安全规程》中，塔式起重机垂直度的定义为：塔式起重机安装后，特别是新塔机出厂到工地立塔验收时，在塔帽处于平衡状态下，塔身实际轴线在被测高度上被测平面内对理论轴心线的最大垂直误差。垂直度是塔式起重机各零部件制造、装配和安装。在整机上综合误差的反映。而塔式起重机垂直度的测量必须是在塔式起重机塔顶无载荷的前提下进行测量；同时必须使平衡臂-大臂轴线垂直于被测平面[2]。在此情况下，分别作用于大臂和平衡臂的不平衡力矩的影响就不会反映到所测量的平面。

塔式起重机的安装质量几乎决定了塔式起重机工作过程中的安全性，在钢筋混凝土的制作和养护工作结束之后，就能开始实施塔式起重机的安装工作，塔式起重机安装到工程要求的高度后，不仅要保证塔式起重机的运转机构和安全装置与标准一致，塔身垂直度在垂直臂架纵向轴线平面内，不得大于被测高度的4/1000。

3、塔式起重机垂直度的测量检验与控制

3.1塔式起重机垂直度的测量检验

3.1.1塔式起重机垂直度的测量与检验方法，主要使用的工具是两台经纬仪和两根刻度直尺。将标尺固定在被测高度上，与地面平行，座标原点位于塔身中心线，将臂架旋转到使其纵向轴线与塔身截面中心线重合的位置，经纬仪镜筒轴线与臂架纵向轴线重合，经纬仪对准塔身底部中心，向上仰起镜筒到标尺位置。经线与标尺座标原点在纬线上的距离，即垂直度误差。对此误差，还要用塔身支承面坡度去修正，以排除坡度的影响。

3.1.2测量与检验结果满足不大于被测高度的4/1000的规定后方可开始施工。在塔机制造和安装投入使用的全过程中，有关单位都要给予足够的关注，要精确保证塔式起重机的垂直度，这样才能保证后续各项工作进行的顺利度。塔式起重机在安装完成后，有关标准规定要求无载后倾力矩，存在的这个力矩可能会使塔式起重机的上半部分向后方产生一定的倾斜，因此，塔式起重机在无载的条件下并不要求和支承的水平面垂直，这一要求便会给塔式起重机垂直度的检验工作增加很多难度。

3.2塔式起重机垂直度的控制

3.2.1塔身基础的制作安装、底架的精度、安装的精度以及塔身发生倾斜等都对影响起重机的垂直度，在施工现场进行塔机安装工作时，其精度要求几乎已无法满足，所以必须从基础、底架、标准节、塔帽等几个方面来把握垂直度。

3.2.2塔机基础强度大不到标准的要求，承载力不够可能会造成塔机基础不均匀沉降，甚至还会使塔身发生很大的倾斜，如果该倾斜使得塔身的垂直度远不能满足有关标准，塔身在强大的外力作用下便可能发生倒塔事故。

3.2.3当今的建筑施工中，越来越多的运用到高层建筑深基坑施工技术，这一技术的应用对塔机基础也有了更高的要求。相关施工企业一定要仔细依照塔机附带的说明书规定来安装地基承载力的塔机基础。在整个深基坑施工过程中，还要掌握好塔机基础的受力面，避免塔机基础出现“半软半硬”或侧向受力等情况。除此之外，在塔机基础上进行平浇筑之前也需要用经纬仪精确测量水平度，还应认真做好排水设施。

3.2.4塔式起重机的底架常用的有十字梁式、预埋牛腿式。底架十字梁和预埋螺栓配合固定，浇注基础前一定要用水准仪找测好基础标高，放好垫钢板，保证八块钢板在同一水平面内，可以采取临时点焊的方法和基础钢筋固定，保证最大水平偏差20mm。混凝土浇注时会对垫板产生影响，所以十字梁安装前必须进行二次调整，底架的水平和调整是个繁琐的过程，往往要反复拆卸、反复调整多次，同时，即是塔机安装垂直度控制的关键项目，也是对塔机垂直度产生影响最重要的环节[4]。

3.2.5在塔机安装期间，一定要精确把握好塔机的垂直度，最好在这一期间进行随机、不定时的抽查。塔机垂直度的控制主要应做好以下几点：进行第一个标准节安装前的基准面调整工作、安装期间对每个细节的调整、附墙杆件安装的调整。如果混凝土浇筑工作中的预埋牛腿环节受到影响，就会影响塔机安装的水平度，最终导致预埋的牛腿与施工要求不一致。塔机安装单位最好还要生产调整垫铁，这样能保证调整基准面以及节间调整的质量。在进行第一个标准节的安装工作之前，还要将所安装的基准面的水平误差控制在千分之一。做到以上几点，才能控制所安装的塔机基础与工程要求的塔机基础之间的误差，防止外界各种因素对塔机的垂直度造成影响。

在检验塔式起重机的过程中，常用上述控制方法，检查塔式起重机的垂直度，能使塔式起重机的垂直度保持在千分之四的范围内，也能及时修正某些塔机中存在的较大的误差，使塔式起重机更加安全的工作。

4、总结

本文论述了塔式起重机垂直度的要求及测量检验方法对塔式起重机安全运行的影响，同时为了保证塔式起重机的安全运行，详细阐述了塔式起重机垂直度的控制方法，确保检验质量，确保塔式起重机的安全可靠运行。

参考文献

[1]田立勇，张兰芬，孙聚涛，李鸿键.塔吊支架垂直度检测装置的研究[J].北京：软件，2011.11.17.

[2]江文.塔式起重机垂直度之我见[J].成都：建筑安全，2011.01.28.

[3]陈德荣.塔式起重机垂直度的检验[J].廊坊：建筑机械，1997.09.09.

4.直线与平面垂直的证明题 篇四

2．如图2－39：已知ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD 求证：BD⊥

AC

3．如图2－40：P是△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H是垂足。

求证：H是ABC的垂心。

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD中心，求证：B1O⊥平面PAC。

5.如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面

ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

6、如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD

．

7、如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面

ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：

平面AEF⊥平面PBC．

8.空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD

5.立体几何中平行与垂直的证明 篇五

姓名

2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.D

1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;

例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．

求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法：

AD

C1

BC【变式一】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

【反思与小结】1．证明线线垂直的方法：

1． 谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2． 比较正方体、正四棱柱、长方体

【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩

形，且AF

D

1A

E

B

C

C

AD2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？ 【变式二B】.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AB8，AC6，BC

（Ⅰ）求证：

10，D是BC边的中点.ABA1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？ 【变式三】如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比．

【反思与小结】

1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。

2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会

【变式四】如图，四边形ABCD

为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？ _P【变式五】如图5所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。

（1）证明：平面PAB平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

【反思与小结】1．探讨球与正方体、长方体等与球体之间的关系。

2．结合前面几组图形的分割变化规律，说明正方体、正四棱

柱、长方体、直三棱柱、四棱锥、三棱锥的变化联系。

3．总结立几中证明“平行与垂直”的思路和方法

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD；

（II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD

为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点

（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

P1． 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点．（1）求证：CDAE；

A

D（2）求证：PD面ABE．

2． 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=_A_M_B_C1AD.2B

（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若

存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.5.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB

2，SBSD底面ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论． D【课后记】1．设计思路（1）两课时； C（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系；

（3）掌握探寻几何证明的思路和方法；

（4）强调书写的规范性

2．实际效果：

（1）用时两节半课；

6.证明垂直的方法 篇六

一、空间向量及其数量积

1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用AB或a表示，其中向量的大小称为向量的长度或

或a。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A坐标为（x1，y1，z1）,点B坐标为（x2，y2，z2）则向量AB=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是终点坐标减起点坐标。222在空间，知道向量=（x，y，z

xyz 

2、空间向量数量积

① 已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则角∠AOB叫向量a与b的夹角，记作＜a，b＞规定，若0≤＜a，b＞≤，若＜a，b＞=

⊥。

② 已知空间两个向量a、b

COS＜a，b＞叫向量a、b的数量积，记作ab

COS＜，＞若⊥a＝０

③ 若已知空间向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）则ab＝x1x2+y1y2+z1z2，COS＜a，，称a与b垂直，记作a2

x1x2y1y2z1z

2x1y1z1x2y2z2222222

例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900,D1、E1分别为A1B1、A1C1中点，若BC=CA=CC1，求向BD1与AE1所成角的余弦值。

B

D1 1Ｃ

6练习：已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=

F

C1B

1C

DB

二、利用向量证线线垂直与线面垂直

A1B

1，求向量BE1与DF1所成角的余弦值。

4例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证A1C⊥平面AB1D1

CC

练习：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P为DD1的中点，求证：B1O⊥平面PAC。

A

例3 如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M, N分别是AB ,PC中点（1）求证：MN⊥CD

（2）若∠PDA=45，求证：MN⊥平面PCD

6N M

B

C

练习：正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱D1D中点，N是AD中点，P为棱A1B1上任一点。求证：NP⊥AM

作业：

A1

C1

M C 1.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BB1中点，O是底面ABCD中心，求证：OE⊥平面D1AC.2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O ,M分别是BD1, AA1中点，求证：OM是异面直线AA1和BD1的公垂线.DA13、如图，直三棱柱ABC-—A1B1C1中，∠ACB=90，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两

条对角线交点为D，B1C1的中点为M。求证：CD⊥平面BDM

6AB B1

4在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，M为棱B1B

上任一点，当

B1M

值为多少时能使D1M⊥平面EFB1 MB

A

E5、如图，ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F为BE中点，求证：AF⊥BD

C

A6、如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中B1C1=A1C1，A1B⊥AC1。求证：A1B⊥B1C

Ａ

7.证明垂直的方法 篇七

考点解说

了解线线垂直、线面垂直、面面垂直的概念;能正确利用有关定理解决垂直问题的证明题和探索性问题.一、基础自测

1.若,a,Pa,Q,Qa,则PQa是PQ的条件.2.已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“⊥”是“m⊥”的条件

3.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.4.平面的斜线AB交于点B,过定点A的动直线与AB垂直,且交于点C,则动点C的轨迹是5.,是两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同的直线,给出四个论断:(1)mn;(2);(3)m;(4)n

以其中三个论断作条件,余下的一个论断作结论,写出你认为正确的一个命题:.6.设、、为平面,m、n、l为直线,则m的一个充分条件是.(1),l,ml

(3),,m(2)m,,(4)n,n,m

7.三个平面两两互相垂直,它们的交线交于一点O,且点P到三个平面的距离分别是3,4,5,则OP.二、例题讲解 例1.如图,已知棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,且AA1面ABCD,F为棱AA1的中点,M为线段BD1的中点.(1)求证:MF//面ABCD;(2)求证:MF面BDD1B1.例2.多面体ABCDE中,ABBCACAE1,CD2,AE面ABC,AE//CD.(1)求证:AE//面BCD;(2)求证:面BED面BCD

例3.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB//DC,BAD90,PA平面ABCD,AB1,AD2,CD4.(1)求证:BDPC;(2)求证:面PAC面PBD

.例4.四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB60的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:ADPB;

(2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.板书设计

教后感



三、课后作业

班级姓名学号等第1.关于不同直线a,b,l及不同平面,,下列命题中

(1)若a//,b//,则a//b;

(2)若a//,ba,则b;

(3)若a,b,la,lb,则l;

(4)若a,a//,则.假命题的序号是.2.在四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个命题中

(1)BC//平面PDF;

(2)DF平面PAE;

(3)平面PDF平面ABC;

(4)平面PAE平面ABC.真命题的序号是.3.设a,b是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列四个命题中

(1)若ab,a,则b//;

(2)若a//,,则a;

(3)若a,,则a//;

(4)若ab,a,b,则.其中真命题的个数是.4.已知PA正方形ABCD所在的平面,垂足为A,连结PB,PC,PD,AC,BD,则互相垂直的平面有对.5.设a,b是两条直线,,是两个平面,则ab的一个充分条件是.(1)a,b//,;(2)a,b,//;

(3)a,b,//;(4)a,b//,.6.如图,PA平面ABCD,则当PC时ACBD;当

DC时,PDDC.7.对于直线m,n和平面,,的一个充分条件是.(1)mn,m//,n//;(2)mn,m,n

(3)m//n,n,m;(4)m//n,m,n.8.已知平面,和直线m,给出条件:

(1)m//;(2)m;(3)m;(4);(5)//.当满足条件时,有m//;当满足条件时,有m.9.如图,M,N,K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.(1)求证:AN//平面A1MK;(2)求证:平面A1B1C平面A1MK

.10.正三棱柱ABCA1B1C1中,点D是BC的中点,BC1,设B1D BC1

F.(1)求证:AC1//平面AB1D;(2)求证:BC1平面AB1D

.11.已知三棱锥PABC中,PC平面ABC,ABBC,D,F分别为AC,PC的中点,DEAP于点E.(1)求证:APBE;(2)求证:平面BDE平面BDF

.12.如图,在直三棱柱ABCA的中点,点D在B1C11B1C1中,E,F分别是A1B,AC1

上,A1DB1C.求证:(1)EF//平面ABC;(2)面A1FD面BB1C1C

.13.（选做题）将ABE沿AE折起,使二面角BAEC成直二面角,连结BC,BD,F是CD的中点,P是棱BC的中点.(1)求证:AEBD;(2)求证:平面PEF平面AECD;

8.证明线段相等的方法 篇八

三角形中：

①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。

③④有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。

过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

（三）四边形中：

①平行四边形对边相等，对角线相互平分。

②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。

③等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

证明角相等的方法

（一）相交直线及平行线：

①二直线 相交，对顶角相等。

②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。

③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角

都相等。

④角的平分线分得的两个角相等。

⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行

（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另

一角的右边，则此二角相等

（二）三角形中：

①同一三角形中，等边对等角。（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等）

②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。

③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三

内角都相等）

④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角

形

证明直线垂直的方法

（一）相交线与平行线：

①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。②两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。

（二）三角形：

①直角三角形的两直角边互相垂直。

②三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。

证明直线平行的方法

（一）平行线与相交线：

①在同一平面内两条不相交的直线平行。

②同平行、或同垂直于第三直线 的两条直线平行。

③同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补的两条直线平行。

证明直角三角形的方法

①有一个角为90°，则这个三角形为直角三角形

②∠A:∠B:∠C=1:1:2，则这个三角形为直角三角形

9.均值不等式的证明方法 篇九

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。一般的均值不等式我们通常考虑的是AnGn: 一些大家都知道的条件我就不写了

x1x2...xn

n



x1x2...xn

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

二维已证，四维时：

abcd(ab)(cd)2ab2cd4八维时:

(abcd)(efgh)4abcd4efgh8abcdefgh

abcd

4abcd

这样的步骤重复n次之后将会得到

x1x2...x2n

n



n

x1x2...x2n

令x1x1,...,xnxn;xn1xn2...x2

n

x1x2...xn

n

A

由这个不等式有

A

nA(2n)A

nn



n

x1x2..xnA

2n

n

(x1x2..xn)2A

n

1

n2

n

即得到

x1x2...xn

n



n

x1x2...xn

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

n

若0ai1(i1,2,...,n)证明

i1

11ai



n

1(a1a2...an)n

例2：

n

若ri1(i1,2,...,n)证明

i1

1ri1



n

1(r1r2...rn)n

这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：

给出例1的证明：

当n2时11a1



11a2



(1

a1a2)2(1a1)(1a2)

设pa1a2,q

(1q)(2p)2(1pq)

p2qpq2qp(1q)2q(q1)p2q，而这是2元均值不等式因此11a1



11a22

n



11a3



11a4



此过程进行下去

n



因此

i1

1ai

1(a1a2...a2n)2

n

令an1an2...a2n(a1a2...an)nG

n

有

i1n

11ai

11ai

(2n)

n

11G



n

n2n

n



n

1(GG



n1G

n)

n

1G

即

i1

例3：

已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都1(1in),记RT

n

1n

n

r,S

ii



1n

n

s

i

i

1n

n

t,U

ii



1n

n

u

i

i,V

1n

n

v，求证下述不等式成立：

ii



i1

（risitiuivi1risitiuivi1)（RSTUV1RSTUV1)

n

要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式

其实由均值不等式，以及函数f(x)ln因此

e1e1

x

x

是在R上单调递减

RSTUV



（RSTUV1RSTUV1)

n

我们要证明：

n

(rstuv

i1

iii

i

risitiuivi1

i

1)

证明以下引理：

n

(x

i1

xi1

i

x21x21

n

1)

n2时，(令A

x11x11)（）2

A(x1x21x1x2)(x1x21x1x2)

2A(x1x2x1x21)A(x1x21x1x2)(1x1x2x1x2)2A(x1x21x1x2)

(A1)(x1x21)2A(x1x21)显然成立

2n

n

n

因

此（i1

xi1xi1

n)（G1G1)

2n

n

（GGGG

n

n

n

n

11

2n2

n)，G

n

（G1G1

n)

因此（i1

xi1xi1

n)

所以原题目也证毕了

这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:

f(x1)f(x2)

f（x1x2)，则四维：

f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)2f（x1x2)2f（x3x4)4f（x1x2x3x4)

一直进行n次有

f(x1)f(x2)...f(x2n)

n

f（x1x2...x2n

n),令x1x1,...,xnxn;xn1xn2...x2

n

x1x2...xn

n

n

A

有

f(x1)...f(xn)(2n)f(A)

n

n

f（nA(2n)A

n)f(A)

所以得到

f(x1)f(x2)...f(xn)

n

f（x1x2...xn

n)

所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明

而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少

其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明

10.证明垂直的方法 篇十

1、点线面位置关系判定问题

解题方法与技巧：在判定点线面的位置关系时，通常有两个切入点（1）集合：点、线点、面的位置关系从集合的从属关系来判定；线、面都是点集，所以在考虑线面关系时从集合与集合的包含关系或者集合与集合的交、并、补关系来判定；（2）几何：把集合与几何关系结合来判定线线，线面，面面关系

例1、设是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若，则；

②若l上两点到的距离相等，则；

③若

④若

其中正确的命题是

（）

A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

解析：

①由面面垂直关系已知不成立，可能垂直也可能相交平行。错误；②由点到面距离易知直线还可能和平面相交；③因为所以在平面β内一定有一直线垂直α所以正确④根据平行关系易知正确

答案选D

练习1、设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）

（A）若，则

（B）若，则

（C）若，则

（D）若，则

练习2、给定下列四个命题：

（）

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；.④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是

A．①和②

B．②和③

C．③和④

D．②和④

练习3.（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

练习4．顺次连接空间四边形各边中点所成的四边形必定是（）

A、平行四边形

B、菱形

C、正方形

D、梯形

练习题答案：练习1：B；练习2：

D；练习3：

C；练习4：

A；

2、空间中线面的平行垂直证明

例1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面

解析：

证明PC平行于面EBD，只需在面EBD内找一条直线和已知直线平行即可

E为中点，首先考虑构造等腰三角形中位线，取AC中点O连接EO即可

证明：取AC的中点O,连接EO，例2：三棱柱—中，为的中点，为的中点，为的中点，证明：平面∥平面

解析：面面平行的证明定理，证明两平面内两组相交直线平行，即把面面

平行问题转化为线线平行问题，按解决线线平行的思路即可解决问题

证明：连接BC1,EF

分别为BC、B1C1、BB1、CC1的中点，例3：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，为的中点，⊥，证明：⊥

解析：线线垂直的证明分同平面直线垂直证明和异平面垂直证明，在处理异平面垂直证

明问题时，优先考虑证明一直线垂直于另一直线所在平面，转化为线面垂直证明问题

即证明PD垂直于面BEF即可

证明：点

例4：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，证明：平面⊥平面

练习1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面

练习2：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面

练习3：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面

练习4：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习5：如图：三棱柱—中，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习6：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习7：如图：三棱柱—中，为的中点，为的中点，证明：∥平面

练习8：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是梯形，∥，，为的中点，证明：⊥

练习9：如图：直三棱柱—中，，、分别为、的中点，为的中点，证明：⊥

练习10：如图：四棱锥—中，⊥平面，⊥，，⊥，⊥，为的中点，证明：⊥

练习11：如图：四棱锥—中，底面是矩形，平面⊥平面，证明：平面⊥平面

练习12：如图：五面体中，是正方形，⊥平面，∥，证明：平面⊥平面

练习13：如图：四棱锥—中，⊥平面，是菱形，为的中点，证明：平面⊥平面