《有理数的减法》第一课时参考教案

《有理数的减法》第一课时参考教案（9篇）

1.《有理数的减法》第一课时参考教案 篇一

有理数的加法法则

知识技能目标

1．了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性； 2．能运用有理数加法法则，正确进行有理数加法运算．

过程性目标

1．经历探索有理数加法法则的过程，感受数学学习的方法；

2．通过积极参与探究性的数学活动，体验数学来源于实践并为实践服务的思想，激发学生的学习兴趣，同时培养学生探究性学习的能力．

教学过程

一．创设情境

１．问题

一位学生在一条东西向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米？

2．我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答，可是上述问题不能得到确定答案，因为运动的总结果与行走方向有关，请同学们先个人研究，后小组交流．

二．探索归纳

1．全班交流:将研究结果进行整理，得到以下几种情形．为了把这一问题说得明确些，现规定向东为正，向西为负．

⑴若两次都是向东走，则一共向东走了50米，他现在位于原来位置的东方50米处，写成算式就是

（+20）+（+30）= +50．

这一运算在数轴上可表示为如下图：

⑵若两次都是向西走，则他现在位于原来位置的西方50米处，写成算式就是

（-20）+（-30）=-50．

⑶若第一次向东走20米，第二次向西走30米，在数轴上表示如下图：

写成算式是（+20）+（-30）=-10．

我们可以看到，这位同学位于原来位置的西方10米处．

⑷若第一次向西走20米，第二次向东走30米，同样可结合数轴上表示可以看到，这位同学位于原来位置的东方10米处，写成算式是

（-20）+（+30）= +10．

小结指出：后两种情形中两个加数符号不同，通常可称异号．

2．请同学们再来试一试，把下列算式中的各个加数不妨仍可看作运动的方向和路程，完成下列填空：

（+5）+（-3）=（）；（+4）+（-10）=（）；（-3）+（+8）=（）；

（-8）+3 =（）．

3．你能发现得到的结果与两个加数的符号及绝对值之间有什么关系吗？ 4．再看两种特殊情形：

⑸第一次向西走了20米，第二次向东走了20米，写成算式是

（-20）+（+20）=（）；

⑹第一次向西走了20米，第二次没有走，写成算式是

（-20）+0＝（）．

5．从以上写出的算式⑴～⑹，你能探索总结出一些规律吗？由此可推出如下有理数加法法则：

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两个数相加得零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数．

三．实践应用

例1 计算并注明相应的运算法则：(1)(8)(2)；

1(2)(7)(1)；

2(3)(3.5)(4.8)；

(4)1(10)()；

3(5)(6)0；

(6)0(5)．分析 根据有理数加法法则，要求一边做，一边想法则，可以直接写出结果．

解(1)(8)(2)＝10

（同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加）；

11(2)(7)(1)8

22（同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加）；

(3)(3.5)(4.8)(4.83.5)1.3

（异号两数相加，取+4.8的“+”号，并把绝对值相减）；

112(4)(10)()(10)9

333（异号两数相加，取-10的“-”号，并把绝对值相减）；

(5)(-6)0-6

（同0相加，仍得这个数）；

(6)0(5)5

（同0相加，仍得这个数）.学生练习１． 填表：

２． 计算：

(1)10(4)；(2)(9)7；

(3)(15)(32)；（4）（9）0；

(5)100(199)；(6)(0.5)4.4；

111(7)(1)(1.25)；(8)(1)()．

2643． 填空：

（1）（）+（-3）=-8；（2）（）+（-3）=8；

（3）（-3）+（）=-1；（4）（-3）+（）=0.4． 两个有理数相加，和是否一定大于每个加数？

四．交流反思

1．小组交流上面练习的完成情况，评判正误．

2．今天这节课主要学习了什么内容？请哪位同学来小结一下．

3．从上面练习中你能总结出：在进行有理数加法运算时的经验教训吗？

使学生明确⑴运算的每一步都要有根据；⑵两数相加时，先确定和的符号，再确定和的绝对值.五．检测反馈

1．计算：

(1)（-12）+（3）；(2)（+15）+（-4）；(3)（-16）+（-8）；(4)（+23）+（+24）；(5)（-102）+132；

(6)（-32）+（-11）(7)（-35）+0；

(8)78+（-85）.2．计算：

(1)(0.9)(1.5)；

(2)(6.5)3.7；

(3)1.5(8.5)；

(4)(4.1)(1.9)；

111(5)()(1)；

(6)3(2)；

36421(7)2.5(1)；

(8)(4)4.25.34

2.《有理数的减法》第一课时参考教案 篇二

学习目标: 1.理解有理数减法法则, 能熟练进行减法运算.2.会将减法转化为加法,进行加减混合运算,体会化归思想.活动过程: 活动一 情境引入

1．昨天，国际频道的天气预报报道，南半球某一城市的最高气温是5℃，最低气温是-3℃，你能求出这天的日温差吗？（所谓日温差就是这一天的最高气温与最低气温的差）

2．珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度分别是8848米和-155米，问珠穆朗玛峰比吐鲁番盆地高多少？ 活动二 探索新知

（一）有理数的减法法则的探索

1．我们不妨看一个简单的问题：（-8）-（-3）=？ 也就是求一个数“？”，使（？）+（-3）=-8 根据有理数加法运算，有（）+（-3）=-8 所以（-8）-（-3）= _____ ①

2．这样做减法太繁了，让我们再想一想有其他方法吗？ 试一试 ：做一个填空：（-8）+（______）=-5 容易得到（-8）+（___________）=-5 ② 思考： 比较 ①、②两式，我们有什么发现吗？

（二）有理数的减法法则归纳

1．说一说：两个有理数减法有多少种不同的情形？

2．议一议：在各种情形下，如何进行有理数的减法计算？ 3．试一试：你能归纳出有理数的减法法则吗？

由此可推出如下有理数减法法则：_____________________________。字母表示：aba(_____).由此可见，有理数的减法运算可以转化为_______运算。注意：（1）被减数可以小于减数。（2）差可以大于被减数。（3）有理数相减，差仍为有理数；（4）大数减去小数，差为_____数；小数减大数，差为____数；（填“正”或“负”）。你能上述情况分别举例说明吗？ 活动三 尝试运用

例3.计算：①0－（－22）②（－8.5）－（－1.5）

③（－4）－16 ④()121 43少多少？ 457（2）从－1中减去－与－的和，差是多少？

128例4．（1）－13.75比5

活动四 巩固练习

1.、课本P 32练习1、2、3、4 2.求出数轴上两点之间的距离：（1）表示数10的点与表示数4的点；（2）表示数2的点与表示数－4的点；（3）表示数－1的点与表示数－6的点。活动五 提炼总结

1．有理数减法法则 2.有理数减法运算实质是一个转化过程 活动六 检测反馈

1．下列说法中正确的是()A减去一个数，等于加上这个数.B零减去一个数，仍得这个数.C两个相反数相减是零.D在有理数减法中，被减数不一定比减数或差大.2．下列说法中正确的是（）A两数之差一定小于被减数.B减去一个负数，差一定大于被减数.C减去一个正数，差不一定小于被减数.D零减去任何数，差都是负数.3．下列计算中正确的是（）

3.有理数减法教案 篇三

1.知识与技能

使学生会使用计算器进行有理数的加减运算.

2.过程与方法

尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题.

3.情感、态度与价值观

有克服困难和运用知识解决问题的成功体验.

教学重点难点

重点：记清计算器中常用功能键的用法，多进行实际操作，逐步熟悉计算器的用法.

难点：准确地用计算器进行加减运算.

教与学互动设计

观察体验 大家看这样一个算式：-15.13+4.85+(-7.69)-(-13.38)要计算出它的值，你能有什么方法吗?

4.有理数加减法教案 篇四

1、我们已经熟悉正数的运算,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围。例如,足球循环赛中,通常把进球数记为正数,失球数记为负数,它们的和叫作净胜球数。前言中,红队进4个球,失2个球;蓝队进1个球,失1个球。

于是红队的净胜球为4+(-2){怎样计算4+（-2）}

黄队的净胜球为1+(-1)。

2、这里用到正数与负数的加法，下面我们借助数轴来讨论有理数的加法。看下面的问题：

一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正，向右运动5m记作5m.向左运动5m记作-5m。

（1）如果物体先向右运动5m，再向右运动3m，那么两次运动后向右共运动了多少米？ 两次运动后物体从起点起向右运动了8米，写成算式就是

5+3=8...........（用数轴表示）

（2）如果物体先向左运动5m，再向左运动3m，那么两次运动后向右共运动了多少米？ 两次运动后物体从起点起向左运动了8米，写成算式就是

（-5）+（-3）=-8......（用数轴表示）

这两个运算都可以用数轴来表示，其中假设原点O为运动起点。如果物体先向右运动5m，再向左运动3m,那么两次运动向右运动了多少米？（用数轴表示）

3、练习：利用数轴求以下情况时物体两次运动的结果：

（1）先向右运动3m,再向左运动5m，物体从起点向___运动了___米；

（2）先向右运动5m,再向左运动5m，物体从起点向___运动了___米；

（3）先向左运动5m,再向右运动5m，物体从起点向___运动了___米；

这三种情况运动结果的算式如下：

3+（-5）=-2...........

5+（-5）=0...........④

（-5）+5=0.......⑤

如果物体第一秒向右（或左）运动5米，第二秒原地不动，两秒后物体从起点向右（或左）运动了5米，写成算式就是

5+0=5....⑥或（-5）+0=-5....⑦

考虑有理数的运算结果时，既要考虑它的符号，又要考虑它的____

你能从算式--⑦中发现有理数加法的运算法则吗？

4、有理数的加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

进行加法运算时，首先要判断两个加数的符号，是同号还是异号，是否有0，然后再确定用哪条法则，总之，要牢记”先符号，后绝对值”。

5、巩固练习：（第12页例1）

思考：我们以前学过加法交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？

（1）计算：30+（-20），（-20）+30（可以换几个加数试一试）

由此可得我们小学学过的运算律在有理数范围内仍然适用，在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变（加法交换律：）

（2）计算：[8+（-5）]+（-4），8+[（-5）+（-4）]两次所得的结果相同吗？换几个加数再试试

有理数的加法中，三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

加法结合律：（a+b）+c=计算16+（-25）+24+（-35）上式中是怎样使计算简化的？这样做的根据是什么？利用加法交换律、结合律可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义，通常有下列规律：

（1）互为相反数的两个数，可以先相加；（2）符号相同的数可以先相加

（3）分母相同的数可以先相加（4）几个数相加能得到整数可以先相加。

有理数的减法

1、实际问题中有时还要涉及有理数的减法。例如，某地一天的气温是-3℃--4℃，这天的温差（最高气温减最低气温）就是4-（-3），这里用到正数与负数的减法，我们知道减法是与加法相反的运算，计算4-（-3），就是要求出一个数x，使得x与-3相加得4，因为7与-3相加得4，所以x应该是7：

2、即4-（-3）=7.......

3、另一方面，我们知道4+（+3）=7.........

由我们可以得到4-（-3）=4+（+3）.....

从式能看出减-3相当于加哪个数吗？

把4换成0，-1，-5，用上面的方法考虑

0-（-3）；（-1）-（-3）；（-5）-（-3）

这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗？

4、计算： 9-8；9+（-8）;15-7，15+（-7）从中又能有新发现吗？[换几个数试试]

归纳：有理数的减法可以转化为加法来进行。有理数减法法则：减去一个数，就等于加上这个数的相反数。

有理数减法法则也可以表示成：a-b+a+(-b)

计算：（讲第13页例3）练习：

思考：以前只有在a大于或等于b时，我们会做减法a-b(例如2-1，1-1)，现在你会在a小于b时做减法a-b(例如1-2，-1-0)吗？小数减大数所得的差是什么数？

5、下面我们研究怎样进行有理数的加减混合运算。

例6 计算（-20）+（+3）-（-5）-（+7）

分析：这个式子中有加法，也有减法，可以根据有理数减法法则，把它改写为

（-20）+（+3）+（+5）+（-7）

使问题转化为几个有理数的加法。

=[（-20）+（-7）]+[（+5）+（+3）]（这里使用了哪些运算律）

归纳：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算a+b-c=a+b+（-c）__

式子（-20）+（+3）+（+5）+(-7)是-20，3，5，-7这四个数的和，为书写简单，可以省略式中的括号和加号；

把它写为-20+3+5-7这个式子可以读作“负20、正

3、正

5、负7的和”，或读作“负20加3加5减7”所以运算过程也可以简单地写为

（-20）+（+3）-（-5）-（+7）

=—20+3+5-7

=-20-7+3+5

=-27+8

5.《有理数的减法》第一课时参考教案 篇五

新 课 导 入 新 课 导 入

新 课 导 入以前只有在被减数(记作 a)大于或等 于减数(记作 b)的时候,我们会做减法 a-b(例如 2-1 ,1-1)现在,你会在 a 小于 b ,即被减数小于 减数时,做一下减法 a-b(例如 4-8 ,-7-0)吗?小数减去大数,所得的差是什么数? 提示: 4和-4有什么关系? 8-44, 4-8-4, 互为相反数结论:小数减去大数,等于大数 结论:小数减去大数,等于大数 减去小数的相反数减去小数的相反数教 学 目 标 教 学 目 标 教 学 目 标 知 识 与 能 力

知 识 与 能 力理解掌握有理数的减法法则并会进行 有理数的减法运算.过 程 与 方 法

过 程 与 方 法通过把减法运算转化为加法运算,渗 透转化思想;通过有理数减法法则的推导, 发展逻辑思维能力.教 学 目 标 教 学 目 标 教 学 目 标

情 感 态 度 与 价 值 观

情 感 态 度 与 价 值 观 通过揭示有理数的减法法则,渗透事 物间普遍联系、相互转化的辩证唯物主义 思想.教 学 重 难 点 教 学 重 难 点

教 学 重 难 点 重 点 重 点 有理数减法法则的理解和运用难 点 难 点

有理数减法法则的推出.温度计(1)和(2)的 总温度是: 5℃+(-5 ℃)=0℃.温度计(1)比 温度计(2)高出的 部分为10℃是怎么 计算出来呢? 5℃-(-5 ℃)=10℃.口算:(1)(-4)+(-3)_____;-7(-7)-(-4)_______;-3(3)(-8)+(+5)_-__ 3__;-8(-3)-(+5)=_______.减法是加法的逆运算什么数加上-4等于6? 10+(-4)6 相 反 数 6+410 6-(-4)10 相 同 结 果 比较下面的式子,能发现其中的规律 吗? 减 号 变 加 号 ? 15 ? 4 11 +(?15)? 4 减 数 变 相 反 数减 号 变 加 号7 ?(? 5)12 7 + 5 12 减 数 变 相 反 数

归 纳 : 有 理 数 的 减 法 可 以 转 化 为 加 法 来 进 行.知 识 要 点 知 识 要 点

有理数减法法则 减去一个数,等于加上这个数的 相反数.即: a-ba+(-b)注 意 注 意 减法在运算时有 2 个要素要发生变化: 2 两个变化:(1)减号变为加号;(2)减数变为它的相反数.例 计算:(1)(-10)-(-7);(2)5.6-(-3.4);解:(1)(-10)-(-7)=(-10)+7=-3;(2)5.6-(-3.4)=5.6+3.4=9;练 一 练

在括号内填上适当的数.(1)(-4)-(-2)(-4)+();2 5(2)0-(-5)0 +();-9(3)(-7)-9(-7)+();-32(4)2-(+32)= 2+();(5)(-6)-0=().-6全国部分城市天气预报 全国部分城市天气预报 城市 天气 最高温 最低温 温差 7 16 9 西安 多云 10 6 兰州 小雨 4 6.5 3.5-3 哈尔滨 小雪 1 1 0 银川 小雪 6-3 沈阳 小雪 9-2-3 呼和浩特 雨夹雪 1-1.5 11.5 乌鲁木齐 晴 13例:计算: 1 4? 6;2 09;3 2.2? 8.8;? 1 1? 4 45 4 3?减去(-6)等 于加上-6 的相 反数.解 : 1 4? 6? 462;2 090? 9? 9;? 3 2.2? 8.82.28.81 1;? 1 1 1 1 7 4 45? 4? 5? 94 3 4 3 1 2 减去-8.8等于加上-8.8 的相反数.练 一 练 1.计算:(1)(+7)-(-4);(2)(-0.45)-(-0.55);(3)0-(-9);(4)(-4)-0;(5)(-5)-(+3).(1)11;(2)0.1;(3)9;(4)-4;(5)-8.2.填空:(1)温度4℃比-6℃高________ 10 ℃;(2)温度-7℃比-2℃低_________℃;5 187(3)海拔高度-13m比-200m高_______m;60(4)从海拔20m到-40m,下降了______m.10减去一个数,等于这个数的相反数.2 一个数减去0,仍然等于这个数.正数 两正数的和是_______;负数

两负数的和是_______;正数

正数减负数得_______;负数

负数减正数得_______;正数、负数或0 两正数的差数_______;正数、负数或0 两负数的差________;三数直接加减关系

又是怎么样的呢? 例 回顾小学时学过的加减法混合运算的 顺序,并按照从左到右的顺序计算下式(1)(-10)+(+5)-(-4)-(+9)解:(-10)+(+5)-(-4)-(+9)=(-10)+(+5)+(+4)+(-9)= [(-10)+(-9)] +[(+5)+(+4)] =(-19)+(+9)=-10 运用了哪些 运算律?1 3 1 2(2)5 4 4 5 1 3 1 2 解 : 5 4 4 5 1 3 1 2? 5 4 4 5 省略括号 1 3 1 2 和前面的5 4 4 5 “+”号 1 2 3 1? 5 5 4 4 3? 1 添括号和括 5 2 号间”+”的号

5把下式写成省略加号的和的形式,并把它读出来(-4)+(-7)-(-5)+(-6)解:原式=(-4)+(-7)+(+5)+(-6)=-4-7+5-6 读作:负

4、负

7、正

5、负6的和或负4减7加5减6.观察上面式子,你能发现简化符号的规律吗? 观察上面式子,你能发现简化符号的规律吗? 规 律 : 同 号 得“+” , 异 号 得“-”.规 律 : 同 号 得“+” , 异 号 得“-”.规 律 :练 一 练 把下列各式先写成省略加号的和式, 并用两种方法读出:(1)(-6)-(+9)-(-10)+(-4);(2)(-13)-(+7)+(+7)-(-9);(1)-6-9+10-4;读作:负

6、负

9、正

10、负4的和或负6减 9加10减4;(2)-13-7+7+9;读作:负

13、负

7、正

7、正9的和或负13 减7加7加9;练 一 练

1.(+15)+(-19)-(-5)b a +(-b)2.加 减 混 合 运 算 要 以 统 一 成 加 法 运 算 , 即:a+b-c=a+b+(-c).随 堂 练习随 堂 练习

随 堂 练习1.如果两个数的和是负数,关于这两

个数下列说法正确的是(D)A.这两个数都是负数B.两个加数中,一个为负数,一个为

零C.一个加数为正数,另一个为负数, 并且负数的绝对值大于正数的绝对值D.有A、B、C三种可能2.计算.1 ?7 ? ?5?4?10 解: ?7 ? ?5?4?10?75410?6? 3 7 1 2 2 14 2 6 3? 3 7 1 2 解: 14 2 6 33 7 1 2? 1 4 2 6 3 13? 43.计算-1+2-3+4-5+6-??+50

解

:-1+2-3+4-5+6-???-49+50 =(-1+2)+(-3+4)+???+(-49+50)25组=1+1+1+???+1 25个=25 4.一架飞机作特技表演,起飞后的高度

变化如下表:此时飞机比起飞点高了多 少千米? 高度的 上升 下降 上升 下降 上升 4.5km 3.5km 4.4km 3.2km 3.6km 变化

+4.5km-3.5km +4.4km-3.2km +3.6km 记作

解:+4.5+(-3.5)+(+4.4)+(-3.2)+(+3.6)=4.5-3.5+4.4-3.2+3.6 =5.8km 答:此时飞机比起飞点高了5.8km.习题 答 案习题 答 案习题 答 案

1.(1)-4;(2)8;(3)-12;(4)-3;1 1 1 6;7;8 ?4(5)-3.6;5 15 3 12.(1)3;(2)0;(3)1.9;(4)5 3.(1)-16;(2)0;(3)16;(4)0;(8)102;(9)-10.8;(10)0.2.13.(-2)+(-2)-4,(-2)+(-2)

6.《有理数的减法》第一课时参考教案 篇六

[本节课内容]

1．有理数的加法

2．有理数的加法的运算律

[本节课学习目标]

1、理解有理数的加法法则．

2、能够应用有理数的加法法则，将有理数的加法转化为非负数的加减运算．

3、掌握异号两数的加法运算的规律．

4、理解有理数的加法的运算律．

5、能够应用有理数的加法的运算律进行计算．

[知识讲解]

一、有理数加法：

正有理数及0的加法运算，小学已经学过，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围．例如，足球循环赛中，可以把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数．如果，红队进4个球，失2个球；蓝队进1个球，失1个球．

于是红队的净胜球数为4＋(－2)，蓝队的净胜球数为1＋(－1)．

这里用到正数和负数的加法．

下面借助数轴来讨论有理数的加法．

看下面的问题：

一个物体作左右方向的运动；我们规定向左为负，向右为正，向右运动 5m记作 5m，向左运动 5m记作− 5m；如果物体先向右移动 5m，再向右移动 3m，那么两次运动后总的结果是什么？

两次运动后物体从起点向右移动了 8m，写成算式就是：5+3 = 8

如果物体先向左运动 5m，再向左运动 3m，那么两次运动后总的结果是什么？

两次运动后物体从起点向左运动了 8m，写成算式就是(−5)+(−3)= −8

如果物体先向右运动 5m，再向左运动 3m，那么两次运动后总的结果是什么？

两次运动后物体从起点向右运动了 2m，写成算式就是5+(−3)= 2

探究

这三种情况运动结果的算式如下：

3+(—5)=—2；

5+(—5)= 0；

(—5)+5= 0．

如果物体第1秒向可(或向左)走 5m，第二秒原地不动，两秒后物体从起点向右(或向左)运动了 5m．写成算式就是5+0=5 或(—5)+0=—5．

你能从以上7个算式中发现有理数加法的运算法则吗？

有理数加法法则：

①同号的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得零．

③一个数同0相加，仍得这个数．

例题

例

1、计算

(－3)＋(－9)；(2)(－4.7)＋3.9．

分析：解此题要利用有理数的加法法则．

解：(1)(－3)＋(－9)=－(3+9)=－12

(2)(－4.7)＋3·9=－(4.7－3.9)=－0.8．

例2 足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队1：0，蓝队胜红队1：0，计算各队的净胜球数．

解：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数．

三场比赛中，红队共进4球，失2球，净胜球数为(+4)+(—2)= +(4—2)=2；

黄队共进2球，失4球，净胜球数为(+2)+(—4)=—(4—2)=()；

蓝队共进()球，失()球，净胜球数为()=()．

二、有理数加法的运算律

通过这两个题计算，可以看出它们的结果都为10，说明有理数的加法满足交换律，即：两个数相加，交换加数的位置，和不变．用式子表示为：

再请你计算一下，[ 8 +(－5)] +(－4)，8 + [(－5)]+(－4)]．

通过这两个题计算，可以仍然可以看出它们的结果都为－1，说明有理数的加法满足结合律，即：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 ． 用式子表示为：

上述加法的运算律说明，多个有理数相加，可以任意改变加数的位置，也可以先把其中的几个数相加，使计算简化．

例题

例1 计算：16 +(－25)+ 24 +(－35)．

若使此题计算简便，可以先利用加法的结合律，将正数与负数分别结合在一起进行计算．

解： 16 +(－25)+ 24 +(－35)

=(16 + 24)+ [(－25)+(－35)]

= 40 +(－60)

=－20．

例2 每袋小麦的标准重量为 90千克，10袋小麦称重记录如下：

91 91.5 89 91.2 91.3 88.7 88.8 91.8 91.1

10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?10袋小麦的总重量是多少千克？

解： 91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1 = 905.4．

再计算总计超过多少千克

905.4－90×10 = 5.4．

答：总计超过 5千克，10袋水泥的总质量是 505千克．

三、小结：

有理数加法法则：

①同号的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 互为相反数的两个数相加得零．

③一个数同0相加，仍得这个数．

有理数加法运算律：

①加法交换律：a+ b = b + a

②加法结合律：(a+ b)+ c = a+(b +c)

有理数的加减法(二)

学习目标

1、会将有理数的减法运算转化为有理数的加法运算．

2、会将有理数的加减混合运算转化为有理数的加法运算.重点、难点

会进行有理数的减法运算，会进行有理数的加减混合运算．

教学过程

一、有理数的减法法则

实际生活中有很多时候要涉及到有理数的减法．例如：长春某天的气温是―3~4ºC，这一天的温差是多少呢？(温差是最高气温减最地气温，单位：ºC)．显然，这天的温差是4―(―3)．这里就用到了有理数的减法．

我们知道，减法是与加法相反的运算，计算4―(―3)，就是要求一个数，使之与(―3)的和得4，因为与―3相加得4，所以这个数应该是7，即

4―(―3)= 7．(1)

另一方面，我们知道

4+(+3)= 7(2)

由(1)，(2)有

4―(―3)= 4+(+3)(3)

从(3)式能看出减―3相当于加哪个数吗？

用上面的方法考虑：

0―(―3)=___，0+(+3)=___；

1―(―3)=___，1+(+3)=____；

―5―(―3)=___，―5+(+3)=___．

这些数减−3的结果与它们加+3的结果相同吗？

计算： 9－8=___，9+(－ 8)=____；

15－7=___，15+(－7)=____．

上述式子表明：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

于是，得到有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．

用式子可以表示成a−b = a+(−b)

例题

计算：

(1)(－3)―(―5)；(2)0－7；

(3)7.2―(―4.8)；(4)－

3解：(1)(－3)―(―5)=(－3)+5=2；

(2))0－7 = 0+(－7)=－7；

(3)7.2―(―4.8)= 7.2+4.8 = 12；

．

(4)－3=－3+(－5)=－8．

二、有理数加减混合运算

有理数的加减混合运算，可以按照运算顺序，从左到右逐一加以计算，通常也会利用有理数的减法法则，把它写成只有加法运算的和的形式．

例如：(+2)－(－3)－(+4)+(－5)可以写成(+2)+(+3)+(－4)+(－5)

将上面这个式子写成省略加号和括号的形式即为：(+2)+(+3)+(－4)+(－5)= 2+3－4－5

对于这个式子，有两种读法：①读作“2加3减4减 5”；②读作“

2、3、－

4、－5的和”

例1．计算(－20)+(+3)－(－5)－(＋7)

解：(－20)+(+3)－(－5)－(+7)

=(－20)+(+3)+(+5)+(－7)

=－20+3+5－7

=－20－7+3+5

=－27+8

=－19

说明：计算时，可以按照运算顺序，从左到右逐一加以计算

三、加法运算律在加减混合运算中的作用与方法

加法运算律在加减混合运算中的运用，可以使一些计算简便，例如利用加法运算律使符号相同的加数在一起，或使和为整数的加数在一起，或使分母相同或便于通分的加数在一起等等

例2．用两种方法计算：－4.4－(－4)－(+2)+(－2)+12.4

解法1：－4.4－(－4)－(+2)+(－2)+12.4

=－4.4+4+(－2)+(－2)+12.4

=(－4.4+12.4)+4+[(－2)+(－2)]

= 8+[4+(－5)]

= 8+(－1)= 7

此解法是将和为整数、便于通分的加数在一起

解法2：－4.4－(－4)－(+2)+(－2)+12.4

=－4.4+4－2－2+12.4

=(8+4－2－2)+（= 8+(－1)= 7 －－)

此种方法是将整数部分与小数部分分别相加使计算简化

四、小结：

①有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．用式子可以表示成a−b = a+(−b)

7.《有理数的减法》第一课时参考教案 篇七

第一课时

教学内容：

异分母分数加减法（p.107，《作业本》p.63[60]）

教学目标：

使学生理解异分母分数像加减为什么要先通分的道理，掌握异分母分数加减法的法则，并能正确的进行计算。

教学过程：

一、导入新课

出示一块土地，说说各种农作物占整快地的几分之几？

青瓜

茄子

玉米

大豆

青瓜：1/2茄子：1/8玉米：1/8大豆：1/4

任选上面的`两个分数写出加法算式或减法算式。

并把这些式子分成两类。

学生汇报：

同分母分数：异分母分数：

1/8+1/81/2+1/4

1/8—1/81/2—1/4

1/4+1/8

1/4—1/8

1/2—1/8

1/2+1/8

计算：同分母分数的两道题目。并提问为什么同分母分数可以直接相加减。

二、教学新课

那么异分母分数该怎样计算呢？

学生尝试完成1/2+1/41/2—1/4

学生汇报各自的解法。然后统一解法。并完成下面两组题目的计算。

让学生总结异分母分数加减法的计算法则：

先通分再按照同分母分数的计算法则记性计算。

三、独立完成下面几题

5/12+1/46/7—5/6

再学生计算完毕之后，提出要求验算，说说验算的方法。

四、总结

8.《有理数的减法》第一课时参考教案 篇八

王 伟

一、教材分析：

二次根式加减法是新人教版第十六章——16.3小节。主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。本节的基础是学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法。重点是二次根式的加减及混合运算。本课地位，既是第五章相关内容的发展，又是后面将学习的解直角三角形、一元二次方程、二次函数等章节的重要基础，起承上启下的作用。

二、教学目标：

知识技能：会进行二次根式的加减法运算。

数学思考：学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力。解决问题：通过加减法运算，培养学生的运算能力。

情感态度：通过加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。

三、教学重点、难点：

教学重点：合并被开方数相同的二次根式。教学难点：二次根式加减法的实际应用。

四、教学方法：合作、讨论、探究

五、教学媒体：多媒体

六、教学活动过程：

【活动一】复习回顾

1、二次根式的乘法法则及除法法则。

abab abababababab（a≥0，b≥0）

（a≥0，b＞0）

2、最简二次根式概念及练习。下列根式中，哪些是最简二次根式？投影题目 【活动二】情景引题

问题：

1、学校计划在一块长为7.5米，宽为5米的绿草坪上划出两个面积分别为8㎡和18㎡的正方形状地方，分别种上杜鹃花和茉莉花，学校的计划能实现吗？ 师生行为:(1)学生分组讨论，探求方案。

（2）教师倾听学生的交流，指导学生探究。

2、分析818的计算过程

教师关注：学生能否将8和18化成最简二次根式；能否将分配律运用到计算中。

小结：二次根式加减法时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

（设计意图：此题贴近学生生活，易激发学生的学习兴趣。采用分组讨论，自主探究的方式解决问题，提高学生的自主学习能力。）

规律梳理

二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。

注意：对被开方数相同的二次根式进行合并，实质是对被开方数相同的二次根式的系数进行合并。

【活动三】例题讲解例1 计算

（1）16x9x

（2）8045

完成课本P13练习1，2（1）（2）3慧眼识真

下列计算是否正确？为什么？

（1）83=8

3（2）49=49(3)9×16=916(4)32222

(设计意图：使学生掌握被开方数相同的二次根式合并的方法，注意二次根式加减运算与乘除运算的联系与区别，提高解题的准确程度。)典例讲解

例2 计算（1）21261348 3（2）(1220)(35)

学生思考：（1）比较二次根式的加减法与整式的加减，你能得出什么结论？（2）3与5能合并吗？

教师关注：计算中教师要让学生体会到有理式的运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性。

（设计意图：使学生熟练掌握二次根式加减法的运算方法，综合运用新旧知识，使知识能融会贯通，提高课堂效率，培养学生及时发现问题并解决问题的习惯，调动学生的主观能动性。）

【活动4】 理解升华

二次根式加减运算的步骤:(1)“一看”看看各项是否是最简二次根式;(2)“二化”把各个二次根式化成最简二次根式;（3）“三合”再把被开方数相同的二次根式合并.注意:被开方数不相同的二次根式(如 3 与 5)不能合并

探究提高(1)2811183224(2)2412126238反馈纠正（投影对照）

易错警示 下列解答是否正确？为什么？

(1)27532732759331031030(2)7218322326232232922完成课本P13练习2（2）（3）、3 【活动5】

聚焦中考 投影试题

1．（2013．衡阳）下列计算正确的是（A23＝5B23＝23C822＝0D51＝22．（2014．枣庄）下列计算正确的是（AC82＝2））BD2525＝12712＝94＝1362＝3223．（2014．台州）计算：10123 【活动4】反思体会

问题

本节课你的收获有哪些？

2、还有什么疑惑？

3、是否有给老师的建议？

七、课后作业：

9.第一章 有理数教案 篇九

①通过生活实例，了解有理数等知识是生活的需要． ②理解并掌握数轴、相反数、绝对值、有理数等有关概念．

③通过本章的学习，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算． 2．过程与方法

通过全章的学习，培养学生应用数学知识的意识，训练和增强学生运用新知识解决实际问题的能力． 3．情感、态度与价值观

①通过生活实例的引入，通过教师、学生双边的教学活动，激励学生学习数学的兴趣，让学生真正体验到数学知识来源于生活并服务于生活． ②通过本章知识的学习，给学生渗透辩证唯物主义思想． 教学重点难点

重点：有理数的运算，这一章的主要学习目标都可以归结到有理数的运算上，诸如有理数的有关概念、运算法则、运算律、近似数与有效数字等内容的学习，直接目标都是落实到有理数的运算上．

难点：负数概念的建立，对有理数中的有关概念以及有理数法则的理解，绝对值意义和运算中符号的确定． 课时分配 内容 课时

1．1 正数和负数 1 1．2 有理数 4 1．3 有理数的加减法 5 1．4 有理数的乘除法 4 1．5 有理数的乘方 4 单元复习与验收 2 教学建议

教师在教学过程中注意从实际问题（即联系实际生活的典型例子）引入，让学生参与活动，在教师的引导和学生大胆尝试的过程中，使学生自觉地发现问题，分析问题以及解决问题，从而使学生自得知识，自觅规律．在这过程中，训练学生分析问题、解决问题的能力．

1．在进行有理数的有关概念的教学时：

（1）注意从实际问题引入，使学生知道数学知识来源于生活．•如：从温度与海拔高度引入负数，从而得出有理数的概念；借助温度引出数轴，建立数（有理数）与形（数轴上的点）之间的联系．

（2）注意利用数轴的直观性讲述相反数、绝对值，发挥字母表示数的优越性，•使学生对概念的认识能更深一步，并为今后学习整式、方程打下基础．

2．讲解有理数运算时，有理数加法及乘法法则的导出借助数轴更直观形象易理解，并且要着重在符号法则的基础上，进行基本运算训练，提高学生计算准确率．

1．1 正数和负数 教学目标 1．知识与技能

①了解正数与负数是实际生活的需要． ②会判断一个数是正数还是负数． ③会用正负数表示互为相反意义的量． 2．过程与方法

通过正负数的学习，培养学生应用数学知识的意识、训练学生运用新知识解决实际问题的能力． 3．情感、态度与价值观

①通过教师、学生双边的教学活动，激发学生学习的兴趣，让学生体验到数学知识来源于生活并为生活服务．

②通过正负数的学习，渗透对立、统一的辩证思想． 教学重点难点

重点：会判断正数、负数，运用正负数表示相反意义的量，理解0•表示量的意义．

难点：负数的引入．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

课件展示 珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地，由同学感受高于水平面和低于水平面的不同情况．

（二）合作交流，解读探究

1．举出一些生活中常遇到的具有相反意义的量，如温度是零上7℃和零下5℃，买进90张课桌与卖出80张课桌，汽车向东50米和向西120米，等． 想一想 以上都是一些具有相反意义的量，你能用小学算术中的数来表示出每一对量吗？你能再举一些日常生活中具有相反意义的量吗？该如何表示它们呢？ 2．为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量，如零上温度，前进、收入、上升、高出等规定为正的，而把与它相反的量，如零下温度、后退、支出、下降、低于等规定为负的，正的量用算述里学过的数表示，负的量用学过的数前面加上“－”（读作负）号来表示（零除外）．

活动 每组同学之间相互合作交流，一同学任说有关相反的两个量，由其他同学用正负数表示．

讨论 什么样的数是负数？什么样的数是正数？0是正数还是负数？•自己列举正数、负数．

【总结】正数是大于0的数，负数是在正数前面加“－”号的数，0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界．

（三）应用迁移，巩固提高

例1 举出几对具有相反意义的量，并分别用正、负数表示．

【提示】 相反意义的量有“上升”与“下降”，“前”与“后”、“高于”与“低于”、“得到”与“失去”、“收入”与“支出”等．

【点评】 这是一道开放性试题，旨在考查用正负数与相反意义量的表示能力． 例2 在某次乒乓球检测中，一只乒乓球超过标准质量0.02克记作＋0.02克，•那么－0.03克表示什么？

【答案】 表示比标准质量低0.03克．

例3 2001年美国的商品进出口总额比上年减少6.4%可记为-6.4%，中国增长7.5%可记为 ＋7.5% ．

（四）总结反思，拓展升华

为了表示现实生活中具有相反意义的量引进了负数．正数就是我们过去学过（除零外）的数，在正数前加上“－”号就是负数，不能说“有正号的数是正数，有负号的数是负数”．另外，0既不是正数也不是负数．

1．填空-1，2，-3，4，-5，6，-7，-8...第81个数是-81，第2005个数是-2005 ．

【提示】通过观察可见，数字的排列是按正常的大小顺序，符号是负正相间，第奇数个为负，第偶数个为正．

【点评】 本节是对探究问题的训练．

2．表1-1-1是小张同学一周中简记储蓄罐中钱的进出情况表（存入记为“＋”）：表1-1-1星期日一二三四五六（元）＋16+5.0-1.2-2.1-0.9+10-2.6（1）本周小张一共用掉了多少钱？存进了多少钱？ 【答案】 6.8元，31元．

（2）储蓄罐中的钱与原来多了还是少了？ 【答案】 多了．

（3）如果不用正、负数的方法记账，你还可以怎样记账？比较各种记账的优劣． 【答案】 用文字说明，但前者更简洁． 势．

（五）课堂跟踪反馈 1．填空题

（1）如果节约用水30吨记为+30吨，那么浪费20吨记为 －20 吨．（2）如果4年后记作＋4，那么8年前记作-8 ．

（3）如果运出货物7吨记作－7吨，那么＋100吨表示 运进货物100吨 ．（4）一年内，小亮体重增加了3kg，记作＋3，小阳体重减少了2 kg，则小阳增长了 2kg ．

2．中午12时，水位低于标准水位0.5米，记作－0.5米，下午1时，•水位上涨了1米，下午5时，水位又上涨了0.5米．（1）用正数或负数记录下午1时和下午5时的水位；（2）下午5时的水位比中午12时水位高多少？

【答案】（1）下午1时，水位0.5米；下午5时，水位－1米（2）0.5+1=1.5（米）提升能力

3．粮食每袋标准重量是50公斤，现测得甲、乙、丙三袋粮食重量如下：52公斤，49公斤，49.8公斤．如果超重部分用正数表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数和不足数． 【答案】 +2，-1，-0.2．

4．有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？ 【答案】 有，是0．

5．下列各数中哪些是正数？哪些是负数？ －15，-0.02，-，4，-2，1.3，0，3.14，【答案】 正数：，4，1.3，3.14，；负数：－15，0.02，-，-2 1．2 有理数 1．2．1 有理数 教学目标 1．知识与技能 ①理解有理数的意义．

②能把给出的有理数按要求分类． ③了解0在有理数分类的作用． 2．过程与方法

经历本节的学习，培养学生树立分类讨论的观点和能正确地进行分类的能力． 3．情感、态度与价值观

通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育． 教学重点难点

重点：会把所给的各数填入它所在的数集的图里． 难点：掌握有理数的两种分类． 教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

讨论交流 现在，同学们都已经知道除了我们小学里所学的数之外，还有另一种形式的数，即负数．大家讨论一下，到目前为止，你已经认识了哪些类型的数．

（二）合作交流，解读探究

学生列举：3，5.7，-7，-9，-10，0，，-3，-7.4，5.2...议一议 你能说说这些数的特点吗？

学生回答，并相互补充：有小学学过的整数、0、分数，也有负整数、负分数． 说明：我们把所有的这些数统称为有理数．

试一试 你能对以上各种类型的数作出一张分类表吗？有理数说明：以上分类，若学生思考有困难，可加以引导：因为整数和分数统称为有理数，所以有理数可分为整数和分数两大类，那么整数又包含那些数？分数呢？

做一做 以上按整数和分数来分，那可不可以按性质（正数、负数）来分呢，试一试．有理数（3）数的集合

把所有正数组成的集合，叫做正数集合．

试一试 试着归纳总结，什么是负数集合、整数集合、分数集合、有理数集合．

（三）应用迁移，巩固提高

例1 把下列各数填入相应的集合内：，3.1416，0，2004，-，-0.23456，10%，10.l，0.67，-89 正数集合 负数集合 整数集合 分数集合 【答案】

例2 以下是两位同学的分类方法，你认为他们的分类的结果正确吗？为什么？有理数有理数

【答案】 两者都错，前者丢掉了零，后者把正负数、整数、分数混为一谈． 【点评】 以上是对各类有理数的特点及有理数的分类进行的训练，基础性强，需要重视（Ｂ）

①0是最小的正整数 ②0是最小的有理数 ③0不是负数 ④0既是非正数，也是非负数 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

例4 如果用字母表示一个数，那a可能是什么样的数，一定为正数吗？与你的伙伴交流一下你的看法．

【答案】 不一定，a可能是正数，可能是负数，也可能是0．

【点评】 此题开放性较强．同时，要求学生能用分类的思想对a全面认识． 【答案】

（四）总结反思，拓展升华 提问：今天你获得了哪些知识？

由学生自己小结，然后教师总结：今天我们学习了有理数的定义和两种分类的方法．我们要能正确地判断一个数属于哪一类，要特别注意“0”的正确说法． 1． 请你在图1-2-1的圈中填上适合的数，使得圈内的数依次为整数集、•有理数集、正数集、分数集、负数集．

【答案】 答案不唯一，如图1-2-2所示．

2．有理数按正、负可分为 按整数分，可分为

（1）你能自己再制定一个标准，对有理数进行另一种分类吗？（2）生活中，我们也常常对事物进行分类，请你举例说明．

【答案】（1）如将有理数分成大于1的数，小于1的数，等于1的数．（2）例如对人按年龄可分为：婴儿、幼儿、儿童、少年、青年、中年、老年． 3．下面两个圈分别表示负数集和分数集，你能说出两个图的重叠部分表示什么数的集合呢？ 答案 负分数

（五）课堂跟踪反馈

1．把下列各数填入相应的大括号内：-7，0.125，-3，3，0，50%，-0.3（1）整数集合{-7，3，0}（2）分数集合{0.125，-3，50%，-0.3}（3）负分数集合{-3，-0.3}（4）非负数集合{0.125，3，0，50%}（5）有理数集合{-7，0.125，-3，3，0，50%，-0.3} 2．下列说法正确的是（Ｄ）

Ａ．整数就是自然数 Ｂ．0不是自然数 Ｃ．正数和负数统称为有理数 Ｄ．0是整数而不是正数

3．某商店出售的三种规格的面粉袋上写着（25±0.1）千克，（25±0.2千克），（25±0.3）千克的字样，从中任意两袋，它们质量相差最大的是 0.6 千克． 提升能力

4．字母a可以表示数，在我们现在所学的范围内，你能否试着说明a可以表示什么样的数？

【答案】a可以表示正整数，正分数，0，负整数或负分数．

5．某校对初一新生的男生进行了引体向上的测试，以能做5个为标准，•超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中10名男生的测试成绩如下： －2-1 2-1 3 0-1-2 1 0（1）这10名男生有百分之几达标（即达标率）？（2）这10名男生共做了多少个引体向上？ 【答案】（1）50%；（2）5×10-1=49（个）

1．2．2 数轴 教学目标 1．知识与技能

①掌握数轴三要素，能正确画出数轴．

②能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数． 2．过程与方法

①使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意识． ②结合本节内容，对学生渗透数形结合的重要思想方法． 3．情感、态度与价值观

使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点． 教学重点难点 重点：数轴的概念．

难点：从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念． 教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

课件展示 在一条东西方向的马路上，有一个学校，学校东50m和西150m•处分别有一个书店和一个超市，学校西100m和160m处分别有一个邮局和医院，分别用A、B、C、D表示书店、超市、邮局、医院，你会画图表示这一情境吗？（学生画图）

（二）合作交流，解读探究

师：对照大家画的图，为了使表达更清楚，我们把0•左右两边的数分别用正数和负数来表示，即用一直线上的点把正数、负数、0都表示出来．•也就是本节内容──数轴．

点拨（1）引导学生学会画数轴． 第一步：画直线定原点

第二步：规定从原点向右的方向为正（左边为负方向）第三步：选择适当的长度为单位长度（据情况而定）

第四步：拿出教学温度计，由学生观察温度计的结构和数轴的结构是否有共同之处．

对比思考：原点相当于什么；正方向与什么一致；单位长度又是什么？（2）有了以上基础，我们可以来试着定义数轴： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴． 做一做 学生自己练习画出数轴．

试一试：你能利用你自己画的数轴上的点来表示数4，1.5，-3，-，0吗？ 讨论 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位置上？与原点相距多少个单位长度；表示－a的点在原点的什么位置上？•与原点又相距了多少个长度单位？

小结 整数能在数轴上都找到点吗？分数呢？

可见，所有的__________都可以用数轴上的点表示___________•都在原点的左边，______________都在原点的右边．

（三）应用迁移，巩固提高

例1 下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．

【答案】 ①错．没有原点 ②错．没有正方向 ③正确 ④错．没有单位长度 ⑤错．单位长度不统一 ⑥正确 ⑦错．正方向标错

例2 试一试：用你画的数轴上的点表示4，1.5，-3，-，0 【答案】

图中Ａ点表示4，Ｂ点表示1.5，Ｃ点表示-3，Ｄ点表示－，Ｅ点表示0． 例3 如果a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位置上？•表示－a的点在原点的什么位置上呢？

【提示】 由数轴上数的特点不准得到，正数都在原点的右边，负数都在原点左边．

【答案】 所有的有理数都可以在数轴上找个点与它对应，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数．

【点评】 数与数轴上的点结合，这是一种重要的数学思想，数形结合． 例4 下列语句：①数轴上的点又能表示整数；②数轴是一条直线；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的说法有（Ｂ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【提示】 题中，结合数轴上的点与有理数的特点，可见①中错误的；②、③是正确的；④中可以含有0，⑤中应该是所有的有理数都可以在数轴上找出对应的点，但并不是数轴上的点都表示有理数．

例5（1）与原点的距离为2.5个单位的点有 两 个，它们分别表示有理数 2.5 •和-2.5 ．

（2）一个蜗牛从原点开始，先向左爬了4个单位，再向右爬了7•个单位到达终点，那么终点表示的数是 +3 ．

例6 在数轴上表示－2和1，并根据数轴指出所有大于-2而小于1的整数． 【答案】-2，-1，0，1 【点评】 本题反映了数形结合的思想方法．

【提示】分两种情况分析：（1）当线段AB的起点是整点时，•终点也落在整点上，那就盖住2001个整点；（2）是当线段AB的起点不是整点时，•终点也不落在整点上，那么线段AB盖住了2000个整点．

【点评】 本题体现了新课程标准的探索和实践能力．

（四）总结反思，拓展升华

数轴是非常重要的工具，它使数和直线上的点建立了对立关系．它揭示了数和形的内在联系，为我们今后进一步研究问题提供了新方法和新思想．大家要掌握数轴的三要素，正确画出数轴．提醒大家，所有的有理数都可以用数轴上的相关点来表示，但反过来并不成立，即数轴上的点并不都表示有理数．

一条直线的流水线上，依次有5个卡通人，•它们站立的位置在数轴上依次用点M1、M2、M3、M4、M5表示，如图：（1）点M4和M2所表示的有理数是什么？（2）点M3和M5两点间的距离为多少？

（3）怎样将点M3移动，使它先达到M2，再达到M5，请用文字说明；（4）若原点是一休息游乐所，那5个卡通人到游乐所休息的总路程为多少？ 【答案】（1）M4表示2，M2表示3；（2）相距7个单位长度；（3）先向左移动1个单位，再向右移动8个单位长度；（4）17个单位长度．

（五）课堂跟踪反馈

1．规定了 原点、正方向、单位长度的直线 叫数轴，所有的有理数都可从用 数轴 上的点来表示．

2．P从数轴上原点开始，向右移动2个单位，再向左移5个单位长度，此时P点所表示的数是-3 ．

3．把数轴上表示2的点移动5个单位后，所得的对应点表示的数是（C）A．7 B．-3 C．7或-3 D．不能确定 4．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（D）A．正数 B．负数 C．不是负数 D．不是正数

5．数轴上表示5和-5的点离开原点的距离是 5，但它们分别 在原点的两边 ．

6． 1 是最小的正整数，0 是最小的非负数，0 是最大的非正数． 7．与原点距离为3.5个单位长度的点有 2 个，它们分别是 3.5 和-3.5 ．

8．画一条数轴，并把下列数表示在数轴上：+2，-3，0.5，0，-4.5，4，3 【答案】 略 1．2．3 相反数

教学目标 1．知识与技能

①借助数轴了解相反数的概念，知道互为相反数的位置关系． ②给一个数，能求出它的相反数． 2．过程与方法

①训练学生利用数轴应用数形结合的方法解决问题． ②培养学生自己归纳总结规律的能力． 3．情感、态度与价值观

①通过相反数的学习，渗透数形结合的思想． ②感受事物之间对立、统一联系的辩证思想． 教学重点难点

重点：理解相反数的意义．

难点：理解和掌握双重符号简化的规律． 教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

活动 请一个学生到讲台前面对大家，向前走5步，向后走5步． 交流 如果向前走为正，那向前走5步与向后走5步分别记作什么？

（二）合作交流，解读探究

１．观察下列数：6和-6，2和－2，7和－7，和－，并把它们在数轴上标出． 想一想（1）上述各对数之间有什么特点？（2）表示这两对数的点在数轴上有什么特点？（3）你能够写出具有上述特点的数吗？ 观察 像这样只有符号不同的两个数叫相反数．

两个互为相反数的数，在数轴上的对应点（0除外），是在原点两旁，•并且距离原点相等的两个点．即：互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称．我们把a的相反数记为－a，并且规定0的相反数就是零．

【总结】 在正数前面添上一个“－”号，就得到这个正数的相反数，是一个负数；把负数前的“－”号去掉，就得到这个负数的相反数，是一个正数．

２．在任意一个数前面添上“－”号，新的数就是原数的相反数．如-（+5）=•-5，表示+5的相反数为-5；-（-5）=5，表示-5的相反数是5；-0=0，表示0•的相反数是0．

（三）应用迁移，巩固提高 例1 填空

（1）-5.8是 5.8 的相反数，3 的相反数是－（+3），a的相反数是-a，a-b的相反数是-（a-b），0的相反数是 0 ．

（2）正数的相反数是 负数，负数的相反数是 正数，0 的相反数是它本身．

例2 下列判断不正确的有（C）

①互为相反数的两个数一定不相等；②互为相反数的数在数轴上的点一定在原点的两边；③所有的有理数都有相反数；④相反数是符号相反的两个点． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例3 化简下列各符号：

（1）-[-（-2）]（2）+{-[-（+5）]}（3）-{-{-...-（-6）}...}（共n个负号）

【答案】（1）-2（2）5（3）当n为偶数时，为6；当n为奇数时，为-6．

【提示】 化简的规律是：有偶数个负号，结果为正；有奇数个负号，结果为负． 例4 数轴上A点表示+4，B、C两点所表示的数是互为相反数，且C到A•的距离为2，点B和点C各对应什么数？

【答案】 C点表示2或6，则相应的B点应表示-2或-6． 【提示】 画出数轴，结合数轴的特点来分析． 【点评】 经历观察数学活动，发展自己的指导能力．

（四）总结反思，拓展升华

归纳 ①相反数的概念及表示方法． ②相反数的代数意义和几何意义． ③符号的化简．

1．（1）王亮说：“一个数总比它的相反数大”．你认为正确吗？为什么？

（2）若数轴上表示一对相反数的两点之间的距离为26.8，求这两个数． 【答案】（1）不正确，如0的相反数还是0，负数的相反数是正数．（2）其中的一个数到原点的距离为13.4，所以这两个数是＋13.4和－13.4． 2．你若a是不小于－1又不大于3的数，那么a的相反数是什么样的数呢？ 【提示】 结合数轴进行观察比较．

解：由题意知-1≤a≤，而-1，a，3的相反数分别是1，-a，-3． ∴-a在1和-3之间 故-3≤a≤1

∴a的相反数是不小于-3又不大于1的数．

【点评】 在解决问题中，能进行简单的、有条理的思考．

（五）课堂跟踪反馈 1．判断题

（1）-3是相反数（×）（2）-7和7是相反数（∨）（3）-a的相反数是a，它们互为相反数（∨）（4）符号不同的两个数互为相反数（×）

2．分别写出下列各数的相反数，并把它们在数轴上表示出来． 1，-2，0，4.5，-2.5，3 【答案】 相反数分别为：-1，2，0，-4.5，2.5，-3，数轴表示略． 3．若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是（Ｂ）A．正数 B．正数或0 C．负数 D．负数或0 4．一个数比它的相反数小，这个数是（Ｂ）

A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数

5．数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为4，则这两个数是±． 6．比-6的相反数大7的数是 13 ． 1．2．4 绝对值（第一课时）教学目标 1．知识与技能

①能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．

②通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 2．过程与方法

经历绝对值的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力． 3．情感、态度与价值观

①通过解释绝对值的几何意义，渗透数形结合的思想． ②体验运用直观知识解决数学问题的成功． 教学重点难点

重点：给出一个数，会求它的绝对值． 难点：绝对值的几何意义、代数定义的导出． 教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

活动 请两同学到讲台前，分别向左、向右行3米．

交流 ①他们所走的路线相同吗？ ②若向右为正，分别可怎样表示他们的位置？ ③他们所走的路程的远近是多少？

（二）合作交流，解读探究

观察 出示一组数6与-6，3.5与-3.5，1和-1，它们是一对互为________，•它们的__________不同，__________相同．

【总结】 例如6和-6两个数在数轴上的两点虽然分布在原点的两边，•但它们到原点的距离相等，如果我们不考虑两点在原点的哪一边，只考虑它们离开原点的距离，这个距离都是6，我们就把这个距离叫做6和－6的绝对值． 绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作│a│． 想一想（1）-3的绝对值是什么？（2）+2的绝对值是多少？（3）-12的绝对值呢？（4）a的绝对值呢？ 答案略．

交流 同桌间合作交流，每位同学任说五个数，由同桌指出它们的绝对值． 思考 例1 求8，-8，3，-3，－的绝对值．（出示胶片）由此，你想到什么规律？

总结 互为相反数的两个数的绝对值相同．

求+2.3，-1.6，9，0，-7，+3的绝对值．（出示胶片）由此，你想到什么规律？

讨论交流 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0•的绝对值是零．

总结 正数的绝对值是它本身． 负数的绝对值是它的相反数． 零的绝对值是零．

讨论 字母a可以代表任意的数，那么表示什么数？这时a的绝对值分别是多少？

学生活动：分组讨论，教师加入讨论，学生相反补充回答． 归纳 若a>0，则│a│=a 若a<0，则│a│=-a 若a=0，则│a│=0

（三）应用迁移，巩固提高 例题填空：

（1）绝对值等于4的数有 2 个，它们是 ±4 ．（2）绝对值等于-3的数有 0 个．

（3）绝对值等于本身的数有 无数 个，它们是 0和正数（非负数）．（4）①若│a│=2，则a= ±2 ． ②若│-a│=3，则a= ±3 ．

（5）绝对值不大于2的整数是

0，±1，±

2．（6）根据绝对值的意义，思考： ①如果=1，那么a > 0； ②如果=-1，那么a < 0； ③如果a<0，那么－│a│= a ．

【点评】 去绝对值符号，首先要判断绝对值里的正负情况，由此发展自身的合情推理能力．

【

（四）总结反思，拓展升华

本节课，我们学习认识了绝对值，要注意掌握以下两点：①一个数的绝对值是在数轴上表示这个数的点到原点的距离；②求一个数的绝对值必须先判断是正数还是负数．

2．回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3，数轴上表示-2和－5•的两点之间的距离是 3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 4 ；（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离是 │x+1│，如果│AB│=2，那么x•为 1或是-3 ；

（3）当代数式│x+1│+│x-2│取最小值时，相应的x的取值范围是-1≤x≤2 ．

（五）课堂跟踪反馈 1．填空题

（1）-│-3│=-3，+│-0.27│= 0.27，-│+26│=-26，-（+24）=-24 ．

（2）-4的绝对值是 4，绝对值等于4的数是 ±4 ．

（3）若│x│=2，则x= ±2，若│-x│=2，则x= ±2 ．若│-x│=3，则x 不存在 ．

（4）│3.14-｜=-3.14 ．

（5）绝对值小于3的所有整数有 ±2，±1，0 ． 2．选择题

（1）则│a│≥0，那么（D）

A．a>0 B．a<0 C．a≠0 D．a为任意数（2）若│a│=│b│，则a、b的关系是（C）

A．a=b B．a=-b C．a+b=0或a-b=0 D．a=0且b=0（3）下列说法不正确的是（B）

A．如果a的绝对值比它本身大，则a一定是负数

B．如果两个数相等，那么它们的绝对值也必不相等 C．两个负有理数，绝对值大的离原点远 D．两个负有理数，大的离原点近（4）若│x│+x=0，则x一定是（C）A．负数 B．0 C．非正数 D．非负数

（5）已知│a+b│+│a-b│-2b=0，在数轴上给出关于a、b的四种位置关系，•则可能成立的有（B）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

1．2．4 绝对值（第二课时）教学目标 1．知识与技能

会利用绝对值比较两个负数的大小． 2．过程与方法

利用绝对值概念比较有理数的大小，培养学生的逻辑思维能力． 3．情感、态度与价值观

敢于面对数学活动中的困难，有学好数学的自信心． 教学重点难点

重点：利用绝对值比较两个负数的大小． 难点：利用绝对值比较两个异分母负分数的大小． 教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

投影 你能比较下列各组数的大小吗？

（1）│-3│与│-8│（2）4与-5（3）0与3（4）-7和0（5）0.9和1.2

（二）合作交流，解读探究

讨论交流 由以上各组数的大小比较可见：正数都大于0，0都大于负数，正数都大于负数．

思考 若任取两个负数，该如何比较它的大小呢？

点拨 若-7表示－7℃，-1表示－1℃，则两个温度谁高谁低？

【总结】 两个负数，绝对值大的反而小，或说，两个负数绝对值小的反而大．

注意 ①比较两个负数的大小又多了一种方法，即：两个负数，绝对值大的反而小．

②异号的两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑先比较它们的绝对值．

③在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序也就是从小到大的顺序，即：左边的数总比右边的数要小．即：利用数轴来比较有理数的大小．

（三）应用迁移，巩固提高 例1 比较下列各组数的大小（1）－和－2.7（2）－和－

解：（1）∵ ｜－｜＝ │-2.7│=2.7，而＜2.7 ∴ －>-2.7（2）∵｜－｜=＝，｜－｜＝＝，而＜ ∴－＞－ 例2 按从大到小的顺序，用“〈”号把下列数连接起来．-4，-（-），│-0.6│，-0.6，-│4.2│ 解：∵-（-）=，│-0.6│=0.6，-│4.2│=-4.2 而|-4|=4，│-0.6│=0.6，│-4.2│=4.2 且4>4.2>0.6，0.6< ∴-4<-│4.2│<-0.6<│-0.6│<-（-）例3 自己任写三个数，使它大于-而小于-．

【点评】 此题是一个开放型问题，培养学生发散性思维． 例4 已知│a│=4，│b│=3，且a>b，求a、b的值． 【答案】 a=4，b=±3

（四）总结反思，拓展升华

1．本节课所学的有理数的大小比较你能掌握两种方法吗？

（1）利用数轴，在数轴上把这些数表示出来，•然后根据“数轴上左边的数总比右边的数大”来比较；

（2）利用比较法则：“正数大于零，负数小于零，两个负数，•绝对值大的反而小”来进行．

2．（1）阅读下列比较－a与－a的大小的解题过程： 解：∵│-a│=a，│-a│=a 又∵a>a ∴-a<-a 你认为上述解答过程正确吗？与同学们研究，并发表你的看法．

（2）要比较有理数a和a的大小时，因为a的正、负不能确定．所以要分a>0，a=0，a<0三种情况讨论： 当a>0时，a>a． 当a=0时，a=a． 当a<0时，a

【点评】（1）错，-a与-a并不一定是负数，•不可以用比较绝对值方法加以比较，可以用比差法，也可以分类．（2）①当a>0时，2a；当a≤0时，0 ②a>0时，3a>a；a=0时，3a=a；a<0时，3a

（五）课堂跟踪反馈 1．填空题

（1）绝对值小于3的负整数有-1，-2，绝对值不小于2且不大于5的非负整数有 2、3、4、5 ．

（2）若│x│=-x，则 x≤0，若＝1，则 a>0 ．（3）用“〉”、“＝”、“〈”填空：

①-7 <-5 ②-0.1 <-0.01 ③-│-3.2│ <-（-3.2）④-│-│ >-3.34 ⑤-> －

⑥-（-）> 0.025 ⑦-<-3.14

⑧-> －（4）若│x+3│=5，则x= 2或－8 ． 2．选择题

（1）下列判断正确的是（Ｄ）

A．a>-a B．2a>a C．a>-D．│a│≥a（2）下列分数中，大于－而小于－的数是（B）A．－ B．－ C．－ D．－（3）│m│与－5m的大小关系是（D）A．│m│>-5m B．│m│<-5m C．│m│=-5m D．以上都有可能（4）m≠0，则＝（C）

A．1 B．-1 C．±1 D．无法判断

（2）求同时满足：①│a│=6，②-a>0这两个条件的有理数a． 【答案】 a=-6（3）将有理数：-（-4），0，-│-3│，-│+2│，-│-（+1.5）│，-（-3），│-（+2）│表示到数轴上，并用“〈”把它们连接起来． 【答案】 略

（4）甲、乙、丙、丁四个有理数讨论大小问题．甲说：我是正整数中最小的．•乙说：我是绝对值最小的．丙说：我与甲的一半相反．丁说：我是丙的倒数．你能写出它们分别是多少吗？然后按从小到大的顺序排列． 【答案】 甲乙丙丁分别是1，0，-，-2，丁〈丙〈乙〈甲

（5）若a<0，b>0，且│a│<│b│，试用“〈”号连接a、b、-a、-b． 【答案】-b

1．3．1 有理数的加法（第一课时）教学目标 1．知识与技能

经历探索有理数的加法法则，理解有理数加法的意义，初步掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算． 2．过程与方法

①有理数加法法则的导出及运用过程中，训练学生独立分析问题的能力及口头表达能力．

②渗透数形结合的思想，培养学生运用数形结合的方法解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

①通过观察、归纳、推断得到数学猜想，体验数学充满探索性和创造性． ②运用知识解决问题的成功体验． 教学重点难点

重点：有理数的加法法则的理解和运用． 难点：异号两数相加． 教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

课件展示 下午放学时，小新的车子坏了，他去修车，不能按时回家，怕妈妈担心，打电话告诉妈妈，可妈妈坚持要去接他，问他在什么地方修车，他说在我们学校门前的东西方向的路上，你先走20米，再走30米，就能看到我了．于是妈妈来到校园门口．

（二）合作交流，解读探究 讨论 妈妈能找到他吗？

讨论交流 若规定向东为正，向西为负．

（1）若两次都向东，很显然，一共向东走了50米． 算式是：20+30=50 即这位同学位于学校门口东方50米．

这一运算可用数轴表示为

（2）若两次都向西，则他现在位于原来位置的西50米处．

算式是：（-20）+（-30）=-50

这一算式在数轴上可表示成：

（3）若第一次向东20米，第二次向西走30米．•则利用数轴可以看到这位同学位于原位置的西方10米处． 算式是：+20+（-30）=-10（学生试画数轴以下同）

（4）若第一次向西走20米，第二次向东走30米．•利用数轴可以看到这位同学位于原位置的什么地方？如何用算式表示？ 算式是：（-20）+（+30）=+10 对以下两种情形，你能表示吗？

（5）第一次向西走了20米，第二次向东走了20米，•那这位同学位于原位置的什么地方？

这位同学回到了原位置．即：-（20）+（+20）=0．

（6）如果第一次向西走了20米，第二次没有走，那如何呢？-20+0=-20思考 根据以上6个算式，你能总结出有理数相加的符号如何确定？•和的绝对值如何确定？互为相反数相加，一个有理数和0相加，和分别为多少？ 学生活动 小组讨论、试看分类、归纳

观察（1）式，两个加数都为正，和的符号也是正，•和的绝对值正好是两个加数绝对值的和．

观察（2）式，两个加数都为负，和的符号也是负，•和的绝对值是两个加数绝对值的和．

由（1）（2）归纳：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 如：（-7）+（-8）=-15，16+17=+33，（-4）+（-9）=-13 观察（3）式、（4）式可见：两个加数的符号不同，和的符号有的是“＋”号，有的是“－”号，为了更清楚总结规律．可引导学生再举几个类似的例子，从而可总结得到：

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．

观察（5）可知：互为相反的两个数和为0． 观察（6）可知：一个数和零相加，仍然得这个数． 【总结】 有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，•并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0．（3）一个数同0相加，仍得这个数．

（三）应用迁移，巩固提高 例1 计算

（1）（-4）+（-6）=-10（2）（+15）+（-17）=-2

（3）（-39）+（-21）=-60（4）（-6）+│-10│+（-4）= 0（5）（-37）+22=-15（6）-3+（3）= 0

例2 某足球队在一场比赛中上半场负5球，下半场胜4球，•那么全场比赛该队净胜 －1 球．

例3 绝对值小于2005的所有整数和为 0 ．

例4 一个数是11，另一个数比11的相反数大2，那么这两个数的和为（C）A．24 B．-24 C．2 D．-2 例5 下面结论正确的有（B）

①两个有理数相加，和一定大于每一个加数． ②一个正数与一个负数相加得正数．

③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和． ④两个正数相加，和为正数． ⑤两个负数相加，绝对值相减． ⑥正数加负数，其和一定等于0．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

例6 根据有理数加法法则，分别根据下列条件，利用│a│与│b│表示a•与b的和：

（1）a>0，b>0，则a+b= │a│+│b│

（2）a<0，b<0，则a+b=-（│a│+│b│）

（3）a>0，b<0，│a│>│b│，则a+b= │a│-│b│

（4）a>0，b<0，│a│<│b│，则a+b=-（│b│-│a│）

例7 如果a>0，b<0，且a+b<0，比较a、+a、b、－b的大小．

【提示】 由a>0，b<0，且a+b<0，根据加法法则来确定a、b的绝对值的大小再利用数轴来比较大小． 【答案】 b<-a

【点评】 数形结合的思想是解决问题的关键．

（四）总结反思，拓展升华

1．有理数的加法法则指出进行有理数加法运算，首先应先判断类型，•然后确定和的符号，最后计算和的绝对值．特别是绝对值不等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数符号相同，并把绝对值相减，因为正负互为抵消了一部分．2．活动（1）请你在顺序给出的数字2、3、4、5、6、7、8、9•前面添加“＋”或“－”号，使它们的和为10；

（2）把你的答案与同学的答案对一下，有什么不一样？•不同的填写方法共有几种？

（3）若允许出现一位数和两位数（不改变给出的数字的次序，•在某些数字前面不添加“＋”或“－”号，此时把连续的两个数字示为两位数），还能得到10吗？回答是肯定的．例如：2+34+56+7-89，请你试一试，写出几个式子：（4）请你另外约定某个规则，并按规则写出一些式子来． 【答案】（1）-2-3-4+5+6+7-8+9；-2-3+4-5+6-7+8+9；-2+3-4-5-6+7+8+9；-2+3+4+5-6+7+8-9；-2+3+4+5+6-7-8+9；2-3+4-5+6+7+8-9； 2-3+4+5-6+7-8+9；2+3-4-5+6+7-8+9；

2+3-4+5-6-7+8+9；2+3+4+5+6+7-8-9（提示：使得负数之和为17）．（2）共10种（3）如23+4+5+67-89等

（4）在顺次给出的数字2，3，4，5，6，7，8，9前面增加“＋”或“－”号，使它们的和为0．如2+3+4-5+6+7-8-9等．（提示：使得负数和为22）

（五）课堂跟踪反馈 1．填空题

（1）绝对值不小于3且小于5的所有整数的和为 0 ．

（2）已知两数5 和－6，这两个数的相反数的和是 1，两数和的相反数是 1，两数绝对值的和是 12，两数和的绝对值是 1 ．（3）①若a>0，b>0，则a+b > 0． ②若a<0，b<0，且a+b < 0．

③若a>0，b<0，且│a│>│b│，则a+b > 0． ④若a>0，b<0，且│a│<│b│，则a+b < 0．

（4）若│a│=3，│b│=5，则│a+b│= 2或8，a+b= ±2或±8 ．

（5）若a<0，b>0，且a+b<0，则│a│ > │b│（填“>”或“<”）2．计算题

（1）（-15）+27= 12

（2）（-3.2）+（+3.2）=-0.9（3）5.2+（-2.8）= 2.4（4）（-2）+（+1）=－１（5）-8+│-5│=-3（6）-（-7）+（-2）= 5 3．列式计算

（1）求3的相反数与-2的绝对值的和．

（2）某市一天上午的气温是10℃，上午上升2℃，半夜又下降15℃，则半夜的气温是多少．

【答案】（1）-3+│-2│=－（2）10+2+（-15）=-3（℃）

4.若a<0，b>0，且a+b<0，试比较a、b、-a、-b的大小，•并用“〈”把它们连接起来．

【答案】 利用加法法则和数轴结合 a<-b

①能运用加法运算律简化加法运算．

②理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训练． 2．过程与方法

①培养学生的观察能力和思维能力．

②经历对有理数的运算，领悟解决问题应选择适当的方法． 3．情感、态度与价值观 在数学学习中获得成功的体验． 教学重点难点

重点：如何运用加法运算律简化运算． 难点：灵活运用加法运算律．

教与学互动设计

（一）情境创设，导入新课

思考 在小学里，我们学过的加法运算有哪些运算律？它们的内容是什么？能否举一两个例子来？

那这些加法运算律还适于有理数范围吗？今天，我们一起来探究这个问题．

（二）合作交流，解读探究

体验 1．自己任举两个数（至少有一种是负数），分别填入下列□和○中，•并比较它们的运算结果，你发现了什么？ □＋○和○＋□

发现：对任选择的数，都有□＋○＝○＋□，即小学里学过的加法交换律在有理数范围内仍是成立的．

体验 2．任选三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□，○，◇内，并比较它们的运算结果．

（□＋○）＋◇和□＋（○＋◇）

发现都有（□＋○）＋◇＝□＋（○＋◇），这就是说，小学的加法结合律，在有理数范围内都是成立的．

小结 有理数的加法仍满足交换律和结合律．

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．用式子表示成a+b=a+b． 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用式子表示成（a+b）+c=a+（b+c）

（三）应用过移，巩固提高 例1 说出下列每一步运算的依据（-0.125）+（+5）+（-7）+（+）+（+2）

=（-0.125）+（+）+（+5）+（+2）+（-7）（加法交换律）=[（-0.125）+（+）]+[（+5）+（+2）]+（-7）（加法结合律）=0+（+7）+（-7）（有理数的加法法则）=0（有理数的加法法则）例2 利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．（1）（+9）+（-7）+（+10）+（-3）+（-9）

（2）（+0.36）+（-7.4）+（+0.03）+（-0.6）+（+0.64）（3）（+1）+（-2）+（+3）+（-4）+...+（+2003）+（-2004）【答案】（1）0（2）-6.7（3）-1002 例3 某出租司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道进行的，•如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下（单位：千米）+15，+14，-3，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18（1）他将最后一名乘客送到目的地，该司机距下午出发点的距离是多少千米？（2）若汽车耗油量为a公升/千米，这天下午汽车共耗油多少公升？

解：（1）+15+（+14）+（-3）+（-11）+（+10）+（-12）+4+（-15）+16+（-18）=[15+（-15）]+（14+10+4+16）+[（-3）+（-11）+（-12）+（-18）]=0（2）（│+15│+│+14│+│-3│+│-11│+│+10│+│-12│+│4│+│-15│+│16│+│-18│）・a=118a【答案】（1）将最后一名乘客送到目的地，该司机仍在其出发点．

（2）共耗油118a公升．

例4 若│2x-3│与│y+3│互为相反数，求x+y的相反数． 【提示】 两个非负数互为相反数，只有都为０． 解：根据题意，有2x-3=0，y+3=0 则x=，y=-3 x+y= +（-3）=－． 所以x+y的相反数是．

（五）总结反思，拓展升华

本节课我们探索了有理数的加法交换律和结合律．灵活运用加法的运算律使运算简便．一般情况下，我们将互相为相反数的相结合，同分母的分数相结合，能凑整数的数相结合，正数负数分别相加，从而使计算简便． 1．计算＋＋＋...＋

2．如果│a│=3，│b│=2，且a

3．取-56，从该数起，逐次加1，得到一列数．-56，-55，-54，-53，-52，...问：

（1）第10个整数是多少？第56个呢？第100个呢？

（2）依次求出这列数前10个、前56个、前100个整数的和分别是多少？（3）这列数字前n个数的和是否随着n的增大而增大？请说明理由． 【答案】 1． 2．5或1． 3．（1）-47，-1，43（2）-515，-1596，-650（3）不是，当加到第58个数（为1）时，前n个数的和才开始递增．

（六）课堂跟踪反馈

1．运用加法的运算律计算（+6）+（-18）+（+4）+（-6.8）+18+（-3.2）最适当的是（D）

A．[（+6）+（4）+18]+[（-18）+（-6.8）+（-3.2）] B．[（+6）+（-6.8）+（4）]+[（-18）+18+（-3.2）] C．[（+6）+（-18）]+[（+4）+（-6.8）]+[18+（-3.2）] D．[（+6）+（+4）]+[（-18）+18）]+[（-3.2）+（-6.8）] 2．已知│x│=4，│y│=5，则│x+y│的值为（C）A．1 B．9 C．9或1 D．±9或±1 3．有理数中，所有整数的和等于 0 ． 4．（-2）+4+（-6）+8+...+（-98）+100=50．

5．一个加数是绝对值等于的负有理数，另一个加数是－的相反数，•这两个数的和等于

． 6．计算题（1）-16+29（2）（+0.65）+（-1.9）+（-1.1）+（-）+（+5）+（-2）（3）1+（-6.5）+3+（-1.75）+2（4）（+6）+（-5）+（4）+（+2）+（-1）+（-1）【答案】（1）12（2）（3）-0.5（4）5 7．小李到银行共办理了四笔业务，第一笔存入120元，第二笔支取了85元，第三笔取出70元，第四笔存入130元．如果将这四笔业务合并为一笔，•请你替他策划一下这一笔业务该怎样做．

【答案】 ＋120+（-85）+（-70）+（+130）=95（元），所以一次存入95元．

8．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负．•某天自Ａ地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，•+5．

（1）问收工时距Ａ地多远？

（2）若每千米路程耗油0.2升，问从Ａ地出发到收工共耗油多少升？ 【答案】（1）距Ａ41千米（2）13.4升 1．3．2 有理数的减法（第一课时）教学目标 1．知识与技能

①经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则． ②会熟练进行有理数减法运算． 2．过程与方法

①体验把减法运算转化为加法运算，渗透转化思想．

②经历探索有理数减法法则的过程，发展学生的逻辑思维能力． 3．情感、态度与价值观

在数学学习中获得成功的体验，尊重并充分理解他人的见解． 教学重点难点

重点：有理数减法法则和运算． 难点：有理数减法法则的推导． 教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

抢答游戏（1）-7+______=+5，（2）______+（-3）=12，（3）（-72）+______=-30 投影 2．大家看这幅画面，由实物投影仪显示课本第１页引言中的画面，•这是北京2003年11月某天的温度为-3～3℃，它确切的含义是什么？•这一天的最高温差是多少？ 观察、讨论

表明最高温度差为3℃，最低温度为-3℃，这天最高温差为6℃． 思考 能不能列计算式？ 生：3-（-3）

（二）合作交流，解读探究

鼓励学生充分探索，提示减法是加法的逆运算，思考该如何转化． 观察下列两式：（？）+（-3）=4 根据有理数加法法则，有（+7）+（-3）=4 因而为：4-（-3）=7 观察总结 比较下列两式： 4-（-3）=7 4+3=7 因而有：4-（-3）=4+3 你能发现什么吗？

再举一组数：计算（-5）-（+3）=-5+_____ 学生活动 3+（？）=-5 因为3+（-8）=-5 所以（-5）-（+3）=-8 又-5+（-3）=-8 总结归纳：减去一个数，等于加上这个数的相反数，字母表示为：a-b=a+（-b）

（三）应用迁移，巩固提高 例1 计算题

（1）（－）-（+）-（-）

（2）（-0.1）-（-8）+（-11）-（-）

（3）（-1.5）-（-1.4）-（-3.6）+（-4.3）-（+5.2）（4）（5-6）-（7-9）

【答案】（1）－（2）-3（3）-6（4）1 例2 根据题意列出式子计算

（1）一个加数是1.8，和是－0.81，求另一个加数．（2）－的绝对值的相反数与的相反数的差． 解：（1）另一个数为-0.81-1.8=-2.61（2）-｜-|-（-）=-例3 若│a│=8，│b│=3，且a

解：由题知a=±8，b=±3，且a

a-b=-8-3=-11或a-b=-8-（-3）=-5，即：a-b=-11或-5． 例4 若a<0，b>0，则（1）│a-b│= b-a（2）若│a+b│+│a-b│=-2a，则应添加什么条件．

【提示】 去绝对值首先必须考虑绝对值的正负，在（2）中，要使结果为-2a，即前一个绝对值为－a-b，后一个绝对值为b-a，即a+b必须为负，•从而确定成立的条件． 【答案】 a+b<0 【点评】 由结论反过来推导条件，根据结论的特征作推断． 备选例题（2004・浙江绍兴）比-1小1的数是（D）A．-1 B．0 C．1 D．-2 【提示】 即-1-1=－2 【答案】 D

（四）总结反思，拓展升华

总括：有理数减法法则是一个转化法则，减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．可见，引进负数后对加法和减法，可以用统一的加法来解决．

不论是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则，在使用法则时，注意减号变加号的同时把减数变成它的相反数，而被减数不变． 1．已知a<0，b<0，│a│>│b│，试判断a-b的符号． 【答案】 负

（2）a、b是两个有理数，试比较a-b与a的大小．

【答案】 当b>0时，a-ba．

3．已知有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示：

（1）比较a-b与a+b的大小．

（2）化简│b-a│+│a+b│

【答案】（1）a-b>a+b（2）-2b 4．下图是一家饭店楼层的示意图．其中有6层是客房，底楼是接待处，•地下3层是停车场．7客 户654321接待处-1 停 车 场-2-3

（1）客房5楼与停车场2楼相差几层？

（2）一服务员把汽车停在停车场1楼，进入该层电梯，往上7层，又下3层，再下3层，最后上7层，你知道最后他在哪里？

（3）某日，电梯停电，该服务员在停车场1楼停好汽车后，只能走楼梯，他先去客房，依次到了5楼、1楼、4楼，然后去接待处，最后回到停到场1楼，他共走了几层楼梯？

【答案】（1）7层（2）客房7层（3）16层

（五）课堂跟踪反馈 1．填空题

（1）0℃比－10℃高多少度？列算式为 0-（-10），转化为加法是 0+10，•运算结果为 10 ．

（2）减法法则为减去一个数，等于 加上 这个数的 相反数，即把减法转为 加法 ．

（3）比-18小5的数是-23，比-18小-5的数是-13 ．（4）A、B两地海拔高度为100米、-20米，B地比A地低 120 米． 2．下列说法正确的是（C）

A．正数与正数的差是正数 B．负数与负数的差是正数 C．正数减去负数差为正数 D．0减去正数差为正数 3．下列说法正确的个数是（A）

①减去一个数等于加上这个数;②零减去一个数，仍得这个数 ③两个相反数相减得零;④有理数减法中，被减数不一定比减数或差大 ⑤减去一个负数，差一定大于被减数;⑥减去一个正数，差不一定小于被减数 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．计算题

（1）（-7）-（-4）-（+5）;（2）（-9）-[（-10）-（-2）]（3）（-4）-（+5）-（-4）;（4）-8.2-9.2-1.6-（-5）【答案】（1）-8，（2）-1，（3）-5，（4）-14 5．若│a│=5，│b│=7，且│a+b│=-（a+b），求a-b的值． 【答案】 12或2

6．全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组的分数如下：第1组第2组第3组第4组第5组100150-400350-100（1）第一名超出第二名多少分？（2）第一名超出第五名多少分？ 【答案】（1）200，（2）750 1．3．2 有理数的减法（第二课时）

教学目标 1．知识与技能

使学生理解加减法统一成加法的意义，能熟练地进行有理数加减法的混合运算． 2．过程与方法

通过加减法的相互转化，培养学生的应变能力，口头表达能力及计算能力． 3．情感、态度与价值观

敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验．

教学重点难点

重点：把加减混合运算理解为加法算式．

难点：把省略括号的和的形式直接按有理数加法进行计算． 教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课 竞赛活动 比一比，看谁算得快（-20）+（+3）-（-5）-（+7）（-7）+（+5）+（-4）-（-10）

（二）合作交流，解读探究

师：对比上式①，你首先想到将原式如何变形？

生：根据有理数的减法法则把减号统一成加号，即原式变为：-20+（+3）+（+5）+（-7）

师：很好，可见在引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算．用字母可表示成：

a+b-c=a+b+（-c）．

下面：请大家一起来练习计算以上两道题． 学生作业练习

师针对学生做的方法评析，作以下说明．

1．式③表示的是-20，+3，+5，-7的和，为了书写简单，可以省略式中的括号，•从而有-20+3+5-7．

大家要注意到，虽然加号和括号都省略了，但-20+3+5-7仍表示-20，+3，+5，-•7的和所以这个算式可以读作“负20，正3，正5，负7的和”．当然，•按运算意义也可读作“负20加3加5减7”．

学生尝试用两种读法读．同桌间互相出式，并读出两种读法．

2．刚才在大家练习的过程中，我们看到有两种典型的处理方法，•一是将原式按次序计算；二是将原式换成（-20-7）+（3+5）．大家观察比较一下，•你看哪种方法更好，为什么？

生：第二种过程更简便、合理．因为它运用了有理数加法的交换律、结合律． 师：太棒了，在有理数的加法运算中，通常应用加法运算律，可使计算简化，根据刚才过程可见，在有理数加减混合运算统一成加法后，一般应注意运算的合理性，适当运用运算律．大家一起看下面问题：

（三）应用迁移，巩固提高

例1 把（+5）+（－3）-（+7）-（-9）-（+1）写成省略加号的和的形式，并计算．

解：（+5）+（－3）-（+7）-（-9）-（+1）

说明：解题过程由学生口述、教师板演，同时提问每步的根据和目的，并强调书写的规范化．

师：纵观这道题的解答过程，你能总结得到什么？小组同学可作交流． 学生小组交流，并总结．

【总结】 有理数的加减混合运算的计算有如下几个步骤： 1．将减法转化成加法运算： 2．省略加号和括号；

3．运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；

4．按有理数加法法则计算． 例2 比谁算得对，算得快

（1）（+）+（-）-（+）-（-）-（+1）（2）-7-（-8）-（-7）-（+9）+（-10）+11（3）-99+100-97+98-95+96+...+2（4）-1-2-3-...-100 【点拨】 按照正确的运算法则进行运算． 【答案】（1）-1，（2）1，（3）50，（4）-5050 例3 银行储蓄所办理了8件工作业务，取出950元，存进500元，取出800元，•存进1200元，存进了2500元，取出1025元，取出200元，存进400元，这时，银行现款是增加了，还是减少了？增加或减少了多少元？

【点拨】 根据题意把取出记为“－”，存进记为“＋”，列出算式进行运算． 解：每次存款数记为-950，＋500，-800，+1200，+2500，-1025，-200，+400． 则总额为：

－950+500+（-800）+1200+2500+（-1025）+（-200）+400 =1625（元）

答：增加了1625元．

（五）总结反思，拓展升华

回顾一下本节课所学内容，你学会了什么？

说明：在学生思考回答的过程中将本节的重点知识纳入知识系统． 1．若x<0，则│x-（-x）│等于（D）A.-x B.0 C.2x D.-2x

（六）课堂跟踪反馈 1．填空题

（1）式子-6-8+10+6-5读作 负6，负8，正10，正6与负5的和，或读作 负6•减8•加10加6减5 ．

（2）把－a+（+b）-（-c）+（-d）写成省略加号的和的形式为-a+b＋c-d ．（3）若│x-1│+│y+1│=0，则x-y= 2 ．

（4）运用交换律填空：-8+4-7+6=-87.69 + 13.38 =-4.59 演示

（二）15.13 +-+ 4.854.511 2．用计算器计算：

（1）-729+361-（-438）-（-266）

（2）71.89-（-61.03）+（-38.88）-（+63.74）（3）688-319+（-263）-（-399）

（4）-4.71-（-8.92）+（-13.83）-（+21.76）

（5）81.26-293.08+8.74+111.23 【答案】（1）336（2）30.3（3）505（4）-

12、14（5）-91.85 减法也是一样，使用英文minus（减少）的字头m，为了便于速写，逐渐变成了“－”．

在“＋”号出现了100年左右后，•英国的奥特雷德首先使用了“×”作为乘号．后来，莱布尼兹认为“×”容易与x相混淆，建议用“・”作为乘号，这样，•“・”也得到了承认．

除法的符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到推广．除的本意是，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”． 1.4 有理数的乘除法

1.4.1 有理数的乘法（第一课时）教学目标 1．知识与技能

①经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜想、验证的能力． ②会进行有理数的乘法运算． 2．过程与方法

通过对问题的变式探索，培养观察、分析、抽象的能力． 3．情感、态度与价值观

通过观察、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动中的探索性和创造性． 教学重点难点

重点：能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算． 难点：含有负因数的乘法． 教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

做一做 出示一组算式，请同学们用计算器计算并找出它们的规律． 例1（1）（+5）×（+3）=_______;（2）（+5）×（-3）=________（3）（-5）×（+3）=________;（4）（-5）×（-3）=________ 例2（1）（+6）×（+4）=________;（2）（+6）×（-4）=________（3）（-6）×（+4）=________;（4）（-6）×（-4）=________

（二）合作交流，解读探究

想一想 你们发现积的符号与因数的符号之间的关系如何？ 学生活动：计算、讨论

总结 一正一负的两个数的乘积为负；两正或两负的乘积是正数． 两数相乘，同号得正，异号得负．

想一想 两数相乘，积的绝对值是怎么得到的呢？ 学生：是两因数的绝对值的积．

引导 此结论能否用现实来验证呢？请同学们阅读教科书第36页，讨论协作完成问题的解释．

探究交流 阅读课本，小组讨论、总结．

学生甲解释：课本上说蜗牛沿一条直线的跑道，以每分钟2cm•的速度向右爬行了3分钟．那么它现在在什么位置？（即它位于原来位置的哪个方向，•与原位置相距多少米？）式子（+2）×（+3）=+6（+2）表示向右爬行，（+3）表示爬行了3分钟．即小虫位于原位置右边6米． 学生乙解释：（-2）×（+3）=-6表示蜗牛向左从每分钟2m的速度爬行了3•分钟后离开原位置的左边6m的距离．

师：引导学生可否把（-2）看成是蜗牛的速度为每分钟-2m爬行了3分钟． 学生答．

师：你们能否试着把这一情境用数轴来表示呢？

学生代表到黑板作图，运用数轴把刚才的说法结合数轴来讲解． 师：下面问题，涉及到时间为负的情况．这该如何来领会． 学生活动：小组讨论．

学生代表：-3是指蜗牛3分钟前从起点爬到现在的位置的时间，•积的负号是指3分钟前的位置在现在位置的左边表示“－”，6是蜗牛3分钟前与现在的距离． 师：能否用数轴来展现其过程吗？

学生试着画数轴，并请一位同学到黑板演示过程．

师：用负数表示现在之前的一段时间，这是一个创意．在你们的讨论过程中，现在可否作出（-2）×（-3）=+6的解释呢？并用数轴来表示，试一试．

学生回答问题．

课件展示 把刚才的情境设计成多媒体课件，让学生感受形成过程． 师：大家再思考，如果3×0或-3×0，那积为多少？从而可得到什么结论？ 生：任何数和0相乘都得零．

学生活动：一同学任说一数，由另一同学说出它的倒数． 小结 正数的倒数是正数，负数的倒数还是负数，0没有倒数．

（三）应用迁移，巩固提高 例1 判断题

（1）两数相乘，若积为正数，则这两个因数都是正数．（×）（2）两数相乘，若积为负数，则这两个数异号．（∨）（3）两个数的积为0，则两个数都是0．（×）（4）互为相反的数之积一定是负数．（×）（5）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．（∨）【点拨】 根据有理数和乘法运算法则来作出判断． 例2 填空题

（1）（-1）×（-）= 1，（2）（+3）×（-2）=-6，（3）0×（-4）= 0，（4）1×（-1）=-2，（5）（-15）×（-）= 5，（6）-│-3│×（-2）= 6，（7）输入值a=-4，b=，输出结果：①ab=-3，②-a・b= 3，③a・a= 16，④b・（-b）=－

【点评】 乘号“×”也可用“・”代替，或省略不写，但要以不引起误会为原则，如a×b可表示成a・b或ab，而（+2）×（-5）可表示成（-2）（-5）或（-2）・（-5），凡数字相乘，如果不用括号，用“×”为好，例如2×5不宜写成2・5或25．

例3 用正、负数表示气温的变化量：上升为正、下降为负．•某登山队攀登一座山峰，每登高1km，气温的变化量为-6℃．攀登5km后，气温有什么变化？ 【答案】（-6）×5=-30，即下降了30℃．

例4 在整数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个数相乘，所得的积的最大值是多少？•任取两个数相加，所得的和的最小值又是多少？

【答案】（-5）×（-3）×6=90，为最大的积；-5+（-3）=-8，是最小的两数之和．

【提示】 每次销售价的改变都是在改变前的价格的基础上进行的．

（四）总结反思，拓展升华

引导学生从三个方面理解本节课所学内容：1．有理数的乘法法则；2．多个不为0的因数相乘时，积的符号的确定；3．几个相乘的因数中，只要有一个0因数，•则积的确定．

1．自己操作实践、如何应用计算器来计算有理数的乘法、阅读课本P41．并练习用计算器来计算：

（1）74×59 =4366;（2）（-98）×（-63）=6174（3）（-49）×（+204）=-9996;（4）37×（-73）=-2701 2．“⊙”表示一种新运算，它的规则是：a⊙b=-a×b-（a+b）（1）求3⊙5=-23;（2）求（3⊙4）⊙5= 109

（3）请你定义一种新运算“○×”，使其中含有乘法运算，且2○×（-3）=1 【答案】 a○× b=-a×b+（-a+b）

（五）课堂跟踪反馈 1．填空题

（1）若ab>0，则表示a、b的关系是 a、b同号 ．若ab=0，则表示a、b的关系是 a、b中至少有一个为0 ．若ab<0，则表示a、b的关系是 a、b异号 ．（2）（-2）×（-3）= 6，（-）・（-1）= 1，2001×（-2002）×2003×（-2004）×0= 0 ． 2．选择题

（1）若ab>0，则必有（D）

A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a>0，b<0 C．同号（2）若ab=0，则必有（C）A．a=b=0 B．a=0 C．a、b中至少有一个为0 D．a、b中最多有一个为0（3）一个有理数和它的相反数的积（C）

A．符号必为正 B．符号必为负 C．一定不大于0 D．一定大于0（4）有奇数个负因数相乘，其积为（B）A．正 B．负 C．非正数 D．非负数 3．计算题

（1）（-3）×（-4）（2）（-2）×（-3）×（-5）

（3）（-7）×3×（－）（4）（-9.89）×（-6.2）×（-26）×（-30.7）×0

【答案】（1）14（2）-30（3）1（4）0 4．现定义两种运算“○＋”和“○・”对于任意两个整数a、b，有a○＋b=a+b-1，a○・b=ab-1，求4○・[（6○＋8）○＋（3○・5）] 的值． 【答案】 103 1.4.1 有理数的乘法（第二课时）教学目标 1．知识与技能

使学生经历探索有理数乘法的交换律、结合律和分配律，并能灵活运用乘法运算律进行有理数的乘法运算，使之计算简便． 2．过程与方法

通过对问题的探索，培养观察、分析和概括的能力． 3．情感、态度与价值观

能面对数学活动中的困难，有学好数学的自信心． 教学重点难点

重点：熟练运用运算律进行计算． 难点：灵活运用运算律． 教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

想一想 上一节课大家一起学习了有理数的乘法运算法则，掌握得较好．那在学习过程中，大家有没有思考多个有理数相乘该如何来计算？ 做一做（出示胶片）你能运算吗？

（1）2×3×4×（-5）（2）2×3×（-4）×（-5）（3）2×（-3）×（-4）×（-5）（4）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）（5）-1×302×（-2004）×0 由此我们可总结得到什么？

（二）合作交流，解读探究

交流讨论 不难得到结论：几个不为0的数乘，•积的符号由负因数这个数决定．当负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负，并把绝对值相乘．

注意 只要有一个因数为0，则积为0．

（三）应用迁移，巩固提高

例1 计算（-3）× ×（－）×（－）×（-8）×（-1）

【提示】先找出其中负因数的个数为5个，故积的符号为负，再将绝对值相乘．

＝（-3）× ×（－）×（－）×（-8）×（-1）

＝-3××××8×1=-9例2 计算（-1999）×（-2000）×（-2001）×（-2002）×2003×（-2004）×0

【提示】 不管数字有多么复杂，只要其中有一个为0，则积为0． 数学游戏 学生活动：按下列要求探索：

（1）任选两个有理数（至少有一个为负），分别填入□和○内，•并比较两个结果：

□×○＝_________和○×□________

（2）任选三个有理数（至少有一个为负），分别填入□、○和◇中，并比较计算结果：

（□・○）・◇＝_________和□・（○・◇）=__________（3）任选三个有理数（至少有一个为负），分别填入□、○和◇中，•并比较计算结果：

◇・（□＋○）＝________和◇・□和◇・○＝________ 【总结】 有理数的乘法仍满足交换律，结合律和分配律．

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用式子表示为a・b=b・a 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．用式子表示成（a・b）・c=a・（b・c）

乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘． 用字母表示成：a（b+c）=a・b+a・c 例3（投影）计算:（1）-×（8--）（2）19×（-15）

【分析】 ①利用乘法分配律 ②将19换成20-，再用分配律计算． 学生板演、练习．

备选例题（2004・江苏泰州）-1的倒数是（）A． B． C．-D．-【提示】-1化为假分数-，它的倒数为-【答案】 C

（四）总结反思，拓展延伸

本节课我们的成果是探究出有理数的乘法运算律并进行了应用．可见，运算律的运用十分灵活，各种运算律常常是混合应用的．这就要求我们要有较好的掌握运算律进行计算的能力，要寻找最佳解题途径，不断总结经验，使自己的能力得到提高．

一列数a1，a2，a3，...an． 若a=100+（-6）×1，a=100+（-6）×2，a=100+（-6）×3，...则an= 100-6n ；当an=-2002时，n= 351 ． 在这列数a1，a2，a3，...，an中最小的正数＝ 4，最大的负数＝-2 ．

（五）课堂跟踪反馈

（1）两个整数的积为8，它们的和等于 ±9或±6 ．

（2）“a、b同号”用不等式表示为 ab>0 ．“a、b异号”用不等式表示为ab<0 ．（3）3.1416×7.5944+3.1416×（-5.5944）= 6.2832.（4）（-3-+-）×（-36）= 101.（5）（-8）×（-12）×（-0.125）×（-）×（-0.001）=-0.004.（6）（-14）×（+4）=（-15+）×4=-15 ×4+ ×

4=-59（7）已知a>0，b<0，则│ab│＋b│a│= 0 ．（8）若a+b<0，ab>0，则a < 0，b < 0． 2．计算题

（1）（-）××（-）×（-2）=-（2）6.878×（-15）+6.878×（-12）-6.878×（-37）=68.78（3）×-16×（-）×（-1）×8×（-0.25）=8（4）（--+-×（-5）×12 =26（5）（-99）×36=-3599 3．若a、b、c为有理数，且│a+1│＋│b＋2│＋│c+3│＝0．求（a-1）（b+2）（c-3）

4．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算※，定义x※y=xy+1．•根据运算符号的意义完成下列各题．（1）2※4=9（2）求1※4※0=1

（3）任意选取两个有理数（至少一个为负数）分别填入下例□与○内，•并比较两个运算结果，你能发现什么？ □※○与○※□

（4）根据以上方法，设a、b、c为有理数．请与其他同学交流a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用式子把它们表达出来． 【答案】（3）相等（4）a※（b+c）+1=a※b+a※c 1．4．2 有理数的除法（第一课时）教学目标 1．知识与技能

①了解有理数除法的定义．

②经历有理数除法法则的过程，会进行有理数的除法运算． ③会化简分数． 2．过程与方法

①通过有理数除法法则的导出及运用，让学生体会转化思想． ②培养学生运用数学思想指导数学思维活动的能力． 3．情感、态度与价值观

在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，能从交流中获益． 教学重点难点

重点：正确应用法则进行有理数的除法运算． 难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商． 教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

我们在前几节课和大家一起学习了有理数的乘法．并且还由乘法而认识了有理数的倒数问题．那大家知道乘法的逆运算是什么？该如何计算和应用．这就是本节课我们学习的内容．

（二）合作交流，解读探究 试一试（-10）÷2=？

交流 因为除法是乘法的逆运算，也就是求一个数“？”，使（?）×2=-10 显然有（-5）×2=-10，所以（-10）÷2=-5 我们还知道：（-10）×=-5 由上式表明除法可转为乘法．即：（-10）÷2=（-10）× 再试一试：（-12）÷（-3）=？

【总结】 除以一个数，等于乘以这个数的倒数（除数不能为0）．•用字母表示成a÷b=a×，（b≠0）．

（三）应用迁移，巩固提高

例1 计算：（1）（-36）÷9（2）（-63）÷（-9）（3）（－）÷（4）0÷3（5）1÷（-7）（6）（-6.5）÷0.13（7）（－）÷（－）（8）0÷（-5）

提出问题：在大家的计算过程中，应用除法法则的同时，有没有新的发现？ 学生活动：分组讨论．

【总结】 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0•除以任何一个不等于0的数，都得0．

【点拨】 这个运算方法的得出为计算有理数除法又添了一种方法．我们要根据具体情况灵活选用方法．大家试来比较一下，以上各题分别用哪种运算法则更简便．

【讨论】（1）、（2）、（5）、（6）用确定符号，并把绝对值相除．（3）、（7）用除以一个数，等于乘以这个数的倒数．

【引导】 小学里我们都知道，除号与分数线可相互转换．如=-12÷3．•利用这个关系，我们可以将分数进行化简． 例2 化简下列分数

（1）（2）（3）（4）学生活动：口答．

备选例题（2004・福建南平）＋（ab≠0）的所有可能的值有（C）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【点拨】本题含有绝对值符号，故要考虑a、b的正负情况．当a>0时，＝1；当a<0时，＝－1． 【答案】 C 例3 试着用计算器计算

（1）-0.056÷1.4 =-0.04;（2）1.252÷（-4.4）=-0.285（3）（-3.561）÷（-1.96）=1.817

【说明】 让学生练习用计算器进行有理数的除法计算．通过自己的亲身的探索、操作而增强学生的独立意识和动手能力．

（四）总结反思，拓展延伸

本节课大家一起学习了有理数除法法则．有理数的除法有2种方法，•一是根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，二是根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．一般能整除时用第二种．

1．（1）m为负整数，它的倒数，它的相反数为-m，试比较m，和－m的大小．（2）m为正整数，结论又怎样？

（3）m为非零有理数，讨论m，和－m的大小．

【答案】（1）-m>≥m（2）m≥>-m（3）①-1m>，②m≤-1时，-m>≥m，③当0m>-m，④m≥1时，m≥>-m．

（六）课堂跟踪反馈 1．选择题

（1）如果一个数除以它的倒数，商是1，那么这个数是（D）A．1 B．2 C．-1 D．±1

（2）若两个有理数的商是负数，那么这两个数一定是（D）A．都是正数 B．都是负数 C．符号相同 D．符号不同（3）=-1，则a为（B）

A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数（4）若a+b<0，>0，则下列成立的是（B）

A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a>0，b<0 D．a<0，b>0 2．计算题

（1）（-2）÷（－）=6（2）3.5÷÷（-1）=－

（3）－÷（-7）÷（-）=-（4）（-1）÷（+）÷（-）= 3．填空题

（1）若a、b是互为倒数，则3ab= 3 ．

（2）相反数是它本身的数有 0，绝对值等于它本身的数是 非负数，倒数等于它本身的数是 1，-1 ．

（3）若<0，且yz<0，那么x > 0．（填“）”、“〈”〉（4）当 x=2 时，代数式没有意义．

（5）±1 的倒数等于本身，0 的相反数等于本身，非负数 的绝对值等于本身，•一个数除以 1 等于本身，一个数除以-1 等于这个数的相反数． 1.4.2 有理数的除法（第二课时）

教学目标 1．知识与技能

①掌握有理数加、减、乘、除运算的法则、运算顺序，能够熟练运算． ②能解决实际问题． 2．难点：过程与方法