小学数学方程及其应用题教案

小学数学方程及其应用题教案（精选18篇）

1.小学数学方程及其应用题教案 篇一

教学重点

通过复习，使学生能够准确的找出题目中的等量关系．教学难点

通过复习，使学生能够准确的找出题目中的等量关系．

教学过程

一、复习准备．

1．求未知数．

×＝－＝÷＝

1－＝÷＝1－＝

解方程求方程的解的格式是什么？

2．找出下列应用题的等量关系．

①男生人数是女生人数的2倍．

②梨树比苹果树的3倍少15棵．

③做8件大人衣服和10件儿童衣服共用布31.2米．

④把两根同样的铁丝分别围成长方形和正方形．

我们今天就复习运用题目中的等量关系解题．（板书：列方程解应用题）

二、复习探讨．

（一）教学例3．

一列火车以每小时90千米的速度从甲站开往乙站，同时有一列货车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站，经过4小时相遇，甲乙两站的铁路长多少千米？

1．读题，学生试做．

2．学生汇报（可能情况）

（1）（90＋75）×

4提问：90＋75求得是什么问题？再乘4求的是什么？

（2）90×4＋75×4

提问：90×4与75×4分别求的是什么问题？

（3）÷4＝90＋7

5提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？

（4）÷4－75＝90

提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？

（5）÷4－90＝75

提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？

3．讨论思考．

（1）用方程解这道应用题，为什么你们认为这三种方法都正确？

（等号的左右表示含义相同）

（2）列方程解应用题的特点是什么？

两点：

变未知条件为已知条件，同时参加运算；

列出的式子为含有未知数的等式，并且左右表示的数量关系一致

（3）怎样判定用方程解一道应用题是否正确？（方程的左右是否为等量关系）

4．小结．

（1）小组讨论：用方程解应用题和用算术方法解应用题，有什么不同点？

（2）小组汇报：

①算术方法解应用题时，未知数为特殊地位，不参加运算；用方程解应用题时，未知数与已知数处于平等地位，可以参加列式．

②算术方法解应用题时，需要根据题意分析数量关系，列出用已知条件表示求未知数的量；用方程解应用题时，根据题目中的数量关系，列出的是含有未知数的等式．

（二）变式反馈：根据题意把方程补充完整．

1．甲乙两站之间的铁路长660千米．一列客车以每小时90千米的速度从甲站开往乙站，同时有一辆货车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站．经过多少小时两车相遇？

2．甲乙两站之间的铁路长660千米．一列客车从甲站开往乙站，同时有一辆货车从乙站开往甲站．经过4小时两车相遇，客车每小时行90千米，货车每小时行多少千米？

教师提问：这两道题有什么联系？有什么区别？

三、巩固反馈．

1．根据题意把方程补充完整．

（1）张华借来一本116页的科幻小说，他每天看页，看了7天后，还剩53页没有看．

_____________＝

53_____________＝116

（2）妈妈买来3米花布，每米9.6元，又买来元毛线，每千克73.80元．一共用去139.5元．

_____________＝139.5

_____________＝9.6×3

（3）电工班架设一条全长米长的输电线路，上午3小时架设了全长的21，下午用同样的工效工作1小时，架设了280米．

_____________＝280×3

2．解应用题．

东乡农业机械厂有39吨煤，已经烧了16天，平均每天烧煤1.2吨．剩下的煤如果每天烧1.1吨，还可以烧多少天？

小结：根据同学们的不同方法，我们需要具体问题具体分析，用哪种方法简便就用哪种方法．

3．思考题．

甲乙两个港相距480千米，上午10时一艘货船从甲港开往乙港，下午2时一艘客船从乙港开往甲港．客船开出12小时后与货船相遇．如果货船每小时行15千米．客船每小时行多少千米？

四、课堂总结．

通过今天的复习，你有什么收获？

五、课后作业．

1．师傅加工零件80个，比徒弟加工零件个数的2倍少10个．徒弟加工零件多少个？

2．徒弟加工零件45，比师傅加工零件个数的多5个．师傅加工零

2.小学数学方程及其应用题教案 篇二

圆锥曲线是高中数学课程的重要内容, 教好椭圆的定义及其标准方程尤其重要。现行的人教版高中数学教材是这样引入椭圆:首先在一块画板上, 利用两个钉子、一根绳子和一支铅笔给出椭圆的画法, 让学生从中观察并归纳出椭圆的定义。虽然这样的教学引入方法相当简练, 并且符合数学知识的逻辑体系, 但学生对椭圆定义的接受程度不高, 不利于学生掌握。

研究圆锥曲线的数学史, 可以发现椭圆的历史定义与现行的人教版教材中定义有明显脱节的地方。根据学生的认知水平和实际生活背景, 基于数学史融入模块教学的课题实践, 设计了“椭圆及其标准方程”的教学方案, 并进行市级公开课教学, 取得了超乎预想的效果, 特别是与按人教版教材中的方法设计的教学方案进行比较, 更能激发学生学习椭圆的兴趣, 是一个“亮点”, 效果也更好。

公开课后发放问卷, 调查高二学生对“椭圆就是平面截圆锥的交线”的理解情况, 对“基于Dandelin双球模型引入椭圆的定义”的接受程度, 以及调查对照实验班的师生对“椭圆概念引入的教学设计和椭圆的标准方程的推导的教学方式”的倾向性。通过对204名高中学生 (按教材的方法学过椭圆) 和220名高中学生 (基于数学史融入椭圆定义教学) 以及68名来听课的外校高中数学教师的问卷调查和本校18名高中数学教师的访谈, 得到以下实验数据:

分析以上数据表明: (1) 不论实验班, 还是对照班的学生对椭圆的直观理解程度具有很高 (93.9%) 的相似性, 大部分 (91.0%) 的学生把椭圆看成“压扁的圆”, 能够接受椭圆的历史定义, 但对课本中的引入方式存在普遍的疑惑; (2) 绝大部分 (96.1%) 的学生 (已经学过《立体几何》) 能够正确理解“平面斜截圆锥的交线即为椭圆”, 能够理解基于Dandelin双球的椭圆定义的引入教学; (3) 对椭圆定义的引入和椭圆方程的推导的教学方式选择上, 师生差异很大:87.0%的学生倾向基于数学史的方式, 而只有23.3%教师 (在没有参与实验的68名外校的高中数学教师中, 只有2位教师) 选择基于数学史的方式。基于以上实验数据和教学实践, 笔者给出2个基于数学史融入模块教学片断。

教学设计片断一 (数学史融入椭圆的定义教学) :

1.创设情境, 数学史融入

历史上, 古希腊数学家阿波罗尼奥斯 (Apollonius) 和《圆锥曲线论》最早定义圆锥曲线是“圆锥截面的交线”, 并由多个复杂的命题导出“椭圆的两条焦半径之和等于常数”这一性质, 但这个性质学生理解困难, 不宜进行课堂教学。法国数学家旦德林 (Dandelin) 在工作中发现了“Dandelin双球模型”, 解决了这个问题。

2.实验探究:“Dandelin双球模型”

介绍“Dandelin双球模型”:圆锥内塞紧大小双球, 圆锥与大小双球的交线是两个圆, 某平面斜截圆锥所得交线即为椭圆, 此时, 平面与双球均相切, 切点分别为F1, F2, 定义为椭圆的焦点, 椭圆上任意一点M, 有MF1=MP, MF2=MQ, 且MF1+MF2=PQ定值 (圆台的母线) , 得出椭圆上点的性质:椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于定值。

通过超级画板软件设计出“Dandelin双球”数学实验, 引出教材中的椭圆的画法实验:在画板上, 把细绳的两端拉开一段距离, 绳子两端用钉子固定在两个定点F1, F2上, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出轨迹。从而填补了椭圆的历史定义与现代定义之间的鸿沟, 基于数学史融入课堂教学, 激发了学生学习椭圆的兴趣, 更好掌握椭圆的定义。

教学设计片断二 (数学史融入椭圆的方程的推导) :坐标法:以F1F2所在的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴, 建立平面直角坐标系xoy, 设焦距为2c (c>0) 则F1 (-c, 0) , F2 (c, 0) .设M (x, y) 为椭圆上任意一点, 点M与点F1、F2的距离之和为2a (2a>2c) , 即|MF1|+|MF2|=2a, 代入, “二次平方”, 整理得: (a2-c2) x2+a2y2=a2 (a2-c2) 令a2-c2=b2, 则b2x2+a2y2=a2b2, 类比直线的截距式:x/a+y/b=1 (ab≠0) , 其中直线与坐标轴的交点分别为 (a, 0) , (0, b) , 得焦点在x轴上椭圆的标准方程为x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0) , 且椭圆与坐标轴的交点分别为 (a, 0) , (-a, 0) , (0, b) , (0, -b) 。

用“参数法”推导椭圆的方程运算量不大, 学生易于接受。用教材上的“二次平方”的方法, 运算量偏大, 学生普遍有畏难情绪, 未能很好进行运算能力的培养, 影响了教学质量。因此, 椭圆方程的推导采用法国数学家洛必达的“参数法”进行, 效果更好, 从课后学生的问卷调查的结果看, 也能反映这一点。

基于数学史融入椭圆及其标准方程的教学实践, 学生感受到了数学知识间的普遍联系, 更感受到了创新思维带来的成就感和满足感。基于学生认知水平的课堂活动, 学生体会到知识的形成过程中蕴含着丰富的内容, 自觉改变只重结果和习题演练而轻视过程的功利主义的学习方法, 自觉将目光转移到对知识本身的探求过程中来, 提高数学的素养。

3.动点的轨迹方程及其应用 篇三

一、 求动点轨迹方程的基本方法

求动点的轨迹方程的基本方法是：通过建立适当的坐标系，依据动点的特点，确定动点坐标所满足的等量关系，最终通过化简求出动点的轨迹方程．其解题的基本步骤为：建系、设点、找动点所满足的限制条件、将动点坐标代入限制条件、化简方程，可以简记为：建、设、现（限）、代、化．

例1 （2005年高考江苏卷试题）如图1，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN（M，N分别为切点），使得PM＝2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

图1

分析：（1） 欲求点P的轨迹方程，首先需要做什么？（建立坐标系．）

（2） 如何建立坐标系？（应考虑条件中两圆的对称性，以直线O1O2为x轴、线段O1O2的中点为原点建立直角坐标系，如图2所示．）

图2

（3） 如何建立等量关系？(利用条件PM＝2PN．)

（4） 怎样对等式PM＝2PN进行变形？

（将PM＝PO21-O1M2，PN＝PO22-O2N2代入到PM＝2PN，化简，就得到点P的轨迹方程为(x—6)2＋y2＝33．）

例2 已知动点P(x，y)到坐标原点O的距离的平方与它到直线l：x＝m（m为常数）的距离相等．

（1） 求动点P的轨迹方程C；

（2） 就m的不同取值讨论方程C的图形．

解：（1） 因为动点P(x，y)到原点的距离为PO＝x2+y2，所以(x2+y2)2＝|m－x|，

即x2＋y2＝|m－x|，所以，动点P的轨迹方程C为x2＋y2＝|m－x|．

（2） 由x2＋y2＝|m－x|两边平方，移项并分解因式，得(x2＋y2－m＋x)(x2＋y2＋m－x)＝0，

∴x＋122＋y2＝14＋m或x－122＋y2＝14－m，

① 当14＋m＞0且14－m＞0，即－14＜m＜14时，点P的轨迹方程C表示的图形是两个圆．

② 当m＝14或m＝－14时，点P的轨迹是一个圆和一个点；

③ 当m＜－14或m＞14时，点P的轨迹是一个圆．

例3 （2010年江苏高考试题）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29＋y25＝1的右顶点为B，右焦点为F．设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹．

图3

分析：本题以椭圆为背景，给出两个定点F，B，一是椭圆的右焦点，另一个是椭圆的右顶点．而动点P满足关系PF2－PB2＝4，于是，可利用求轨迹方程的基本方法来解决．

解：（1） 设点P (x，y)，由已知，得F(2，0)，B(3，0)．

由PF2－PB2＝4，得［(x—2)2＋y2］－［(x－3)2＋y2］＝4，

化简，得x＝92．故所求点P的轨迹为直线x＝92．

说明：要注意区分轨迹和轨迹方程这两个概念．轨迹是指动点运动所留下的痕迹，是一种几何表示；而轨迹方程，则是研究动点坐标所满足的代数方程，是一种代数表示．

二、 动点轨迹方程的应用

对于研究动点的轨迹问题，在高考命题时，不仅会命制像例1、3这类直接求动点轨迹方程的试题，还会出现一些较为“隐蔽”的求轨迹问题，请看下面的例题．

例4 （2008年江苏高考题）满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值．

分析1：本例的基本解法是：直接构造三角形ABC面积的目标函数S△ABC＝12AB•BC•sinB．即首先设出BC的边长（不妨设为x），就可以得到AC＝2x，并通过三角形中“两边之和大于第三边”确定自变量x的函数；然后，将sinB转化成cosB，由余弦定理用x表示cosB，从而用x的函数f(x)表示三角形ABC面积关于，最终求出函数f(x)最大值．

解法一：设BC＝x，则AC＝2x，由三角形三边关系，得2x+x＞2x+2＞2x,解得22－2＜x＜22＋2．

根据面积公式得S△ABC＝12AB•BC•sinB＝x1-cos2x，

根据余弦定理，得cosB＝AB2+BC2-AC22AB•BC＝4+x2-2x24x＝4-x24x，代入上式，得

S△ABC＝x1-4-x24x2＝-x4+24x2-1616＝-(x2-12)2+12816，

故当x＝23∈(22－2，22＋2)时，S△ABC取最大值22．

问题：上面的这一种解法，比较多地利用“形”来研究问题，通过构造三角形面积目标函数来解决问题．除了这种解法之外，还有其他的解法吗？

分析2：我们知道：在研究解决具体的数学问题时，我们通常可以通过“数”与“形”这两个角度来研究问题．我们还可以通过研究动点C的特点——直接求出动点C的轨迹方程，从而通过求出动点C到AB距离的最大值，来求出三角形面积的最大值．

解法二：以线段AB的中点为原点、建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，由AC=2BC，得(x＋1)2＋y2＝2［(x－1)2＋y2］,整理得(x－3)2＋y2＝8(y≠0)，所以，点C的轨迹为：以M(3，0)为圆心、22为半径的圆（除去x轴上的点）．所以当C在(3，±2)处时，△ABC面积最大，为22．

图4

总结：2008年高考这道题的正确率很低，得分率仅为0.2左右．究其原因，是很多考生直接利用“解法一”求解、未能把所求的问题转化成求点C的轨迹方程问题，因而未能求解出正确答案．可见，巧妙地应用轨迹方程可以简化解题过程．

4.小学五年级数学《方程》教案 篇四

教材第94页例1、“练一练”，练习二十―第1―4题。

二、教学要求：

使学生学会用方程解答数量关系稍复杂的求两个数的(和倍、差倍)应用题，能正确说出数量之间的相等关系;学会用检验答案是否符合已知条件来检验列方程解应用题的方法，提高学生列方程解应用题和检验的能力。

三、教学过程：

一、复习导入。

1、复习：果园里有梨树42棵，桃树的棵数是梨树的3倍。梨树和桃树一共有多少棵?(板演)

2、根据下列句子说出数量之间的相等关系。

杨树和柳树一共120棵

杨树比柳树多120棵

杨树比柳树少120棵

3、出示线段图：梨树：

桃树：

从图上你可以知道什么?如果梨树的棵树用x表示，桃树的棵数怎样表示?

4、出示条件：母鸡的只数是公鸡的5倍。

根据这个条件，你可以知道什么?如果公鸡的只数用x表示，那么母鸡的只数可以怎样来表示?

5、在括号里填上含有字母的式子。(练习二十一第1题)

6、交流：板演，你是根据怎样的数量关系来解答的?

7、导入：在四年级时我们学习了列方程解应用题，谁来说一说列方程解应用题的步骤是怎样的?今天这节课，我们继续来学习列方程解应用题。(出示课题)

二、教学新课。

1、教学例1 果园里梨树和桃树一共有168棵，桃树的棵数是梨树的3倍。梨树和桃树各有多少棵?

(1)齐读。

(2)这道题已知什么条件，要求什么问题?边问边画出线段图。

桃树的棵数是梨树的3倍，把哪个数量看做一份?用线段图来表示我们先画梨树，桃树的棵数有这样的几份?还告诉我们什么条件?这道题的问题是什么?

(3)“梨树和桃树各有多少棵”是什么意思?

这道题要求的数量有两个，你认为用什么方法做比较简便?

(4)下面我们就以小小组为单位进行讨论：这道题用方程来做，学生讨论。

(5)交流。

(6)通过讨论和同学们的交流，你们会解这道题了吗?请做在自己的作业本上。一生板演，其余齐练。

校对板演。还可以怎样求桃树的棵树?

(7)方程解好了，下面要做什么了?你准备怎样检验?(把问题作为已知数进行检验，)生说，师板书，齐答。

2、教学想一想。

现在我们把第一个条件改一下，变成“果园里的桃树比梨树多84棵”，你能列方程解答吗?(出示改编题)

一生板演，其余齐练。

集体订正。提问：设未知数时你是怎样想的?你是根据什么来列方程的?

3、请同学们比较这两道题，在解答上有什么相同的地方?又有什么不同的地方?为什么会不同?因此，你认为列方程解应用题的关键是什么?(找出数量之间的相等关系。)

4、小结。

从刚才的两道题可以看出，如果两个数量有倍数关系，就可以把1份的数看做x，几份的数就是几x;把两部分相加就是它们的和，两部分相减就是它们的差。我们可以根据数量之间的相等关系，列方程来解答。

三、巩固练习。

1、练一练。校对：你是根据哪个条件说出数量之间的相等关系的?

2、只列式不计算。

一个自然保护区天鹅的只数是丹顶鹤的2.2倍。

(1)已知天鹅和丹顶鹤一共有96只，天鹅和丹顶鹤各有多少只?

(2)已知天鹅的只数比丹顶鹤多36只，天鹅和丹顶鹤各有多少只?

3、选择正确的解法。

明明家鸡的只数是鸭的3倍，鸡和鸭一共56只，鸡和鸭各有多少只?

(1)解：设鸡和鸭各有x只。 x+3x=56

(2)解：设鸡有x只，鸭有3x只。 x+3x=56

(3)解：设鸭有x只，鸡有3x只。 x+3x=56

商店里苹果的重量是梨的3.6倍，苹果比梨多26千克。苹果和梨各有多少千克?

(1)解：设梨有x千克，苹果有3.6x千克。 3.6x-x=26

(2)解：设梨有x千克，苹果有3.6x千克。 3.6x+x=26

四、课堂总结。

今天我们一起学习了什么?你感觉到今天学的应用题有什么特点?那你有哪些收获呢?还有什么疑问吗?

老师有个疑问，想请你们帮我解决：为什么今天学的应用题用方程来做比较好，而复习题用算术方法做比较好呢?说明同学们掌握得不错。

五、作业：

5.小学数学方程及其应用题教案 篇五

立仓中学————徐赞

二、教学目标 1.知识与技能

（1）使学生了解如何列一元一次方程求解数字的问题；（2）进一步培养学生分析问题和解决问题的能力． 2.过程与方法

（1）根据具体问题的数量关系，形成方程的模型，初步培养学生利用方程的观点认识现实世界的意识和能力。

（2）通过分组合作学习活动，学会在活动中与人合作，并能与他人交流思维的过程与结果。

3.情感、态度与价值观

通过由具体实例的分析、思考与合作学习的过程，培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想，以及善于分析问题，利用已学知识解决实际问题的良好习惯。

三、教学重点和难点

重点：列方程解数字问题． 难点：正确地表示等量关系．

四、教学手段

引导——活动——讨论

五、教学方法

启发式教学

六、教学过程

（一）、温故而知新

1．（1）一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字是b，用代数式表示这个两位数．

(10b+a)（2）一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别是c，b，a，用代数式表示这个三位数．

(100c+10b+a)２一个两位数，将它的个位与十位上的数字互换，得到一个新的两位数，再把它与原来两位数相加是（）的倍数．相减呢？

结合学生的回答，教师指出，今天我们来学习如何利用一元一次方程求一个整数某一位的数字问题．

（二）、师生共同探讨如何利用一元一次方程求解一个整数某一位的数字问题

例1 有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3.十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的1，求这个两位数？ 4在分析本题时，可提出以下问题：

1．若设十位上的数字是x，则个位上的数字如何表示？十位上的数字与个位上的数字之和如何表示？这个两位数如何表示？

2．本题中的等量关系是什么？依据等量关系如何布列方程？(解答过程，请一名学生口述，教师板演解题过程)解：设十位上的数字是x，则个位上数字是(x+3)，这个两位数是[10x+(x+3)]． 根据题意，得x+(x+3)= 1× [10x+(x+3)] 4解方程，得x=3 所以个位数字为x+3=6，故所求的两位数是36． 答：所求的两位数是36 此时，教师可追问：本题还有其它解法吗？如果有，如何解呢？

然后，教师应指出，如果直接设所求的整数为x，列方程是比较困难的，因此，本题采用间接设未知数的方法解．

例2 有一个三位数，十位上的数比百位上的数大2，个位上的数比十位上的数大2，若将百位上的数与个位上的数调换，则新数较原数的2倍大150，求原来的三位数是多少？

师生共同分析，首先搞清调换的含意，其次找出题中存在的等量关系 新数=原数×2+150．

(由学生自己设未知数，列方程，求答案．教师提问一学生并板演解题过程)解：设原数的百位数字为x，则原数的十位数字为(x+2)，个位数字为(x+4)． 原数为：100x+10(x+2)+x+4，新数为：100(x+4)+10(x+2)+x，根据题意，得

6.小学数学方程及其应用题教案 篇六

教学分析

重点：寻找和、差、倍、分问题的量与量之间的相等关系，列出一元一次方程。难点：寻找和、差、倍、分问题的相等关系。突破：从已知量和未知量之间的关系中找到相等关系。教学过程

一、复习

1、什么是等式？什么叫方程？一元一次方程的标准形式是什么？

2、什么是代数式？

3、列代数式：

（1）x的0.15，（2）比x多0.15，（3）比x的2倍小1。

二、新授

1、导课

在这一单元，我们将进一步学习设未知数列出方程来解应用题，我们将逐渐体会到，用代数方法解应用题，要比算术方法在列式上容易得多，而且可以解出用算术方法不易解出的或无法解出的实际问题。例1（课本P212）

某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩下42500千克，这个仓库原来有多少面粉？ 分析：已知运出面粉为原来面粉的15%，剩余面粉42500千克，未知原来有面粉重量与运出面粉重量。相等关系是：

原来有面粉重量运出面粉重量＝剩余面粉重量

设原来有面粉x千克，则运出面粉重量为15%x千克，这样左右两边都列出了代数式，放入相等关系中，即可得出方程：

x－15%x＝42500 完成求解过程，作出答案，强调4个注意点。解：略

三、练习P216习题：1，2。

四、小结

1、列方程解应用题应分析题中的数量关系，找出一个相等关系。

2、列方程解应用题比算术方法在列式上容易得多。

五、作业

1、P221 4.4A：1，2，3，4，5。

7.小学数学方程思维的建立 篇七

关键词：小学数学,方程思维,未知已知,方程求解

方程是数学中一个重要的思维体系, 可以这样说, 方程思维的出现极大地扩展了数学的应用领域, 大量复杂和含有多元未知量的数学模型我们甚至只能用方程思维才能进行有效的建模和处理, 而当计算机出现之后, 凭借其超强的计算能力, 方程思维的应用范围更是得到了极大的扩充.在这样的背景之下, 数学教育体系中方程思维的建立和发散便成为了数学教育的一个重点和热点分支.

小学数学是我国数学教育的基础性环节, 对基本数学思维的建立具有深远的影响, 所以我国数学教育系统在小学数学中引入了方程思想并作为了一个重要组成部分.另一方面, 小学生理解能力和推导能力较差, 对于方程这一有别于传统思维方式的数学思维在理解上有很大的难度, 而正是由于这个原因, 小学数学方程思维的建立便一直是教学中的一个重点和难点.关于这个问题, 我们可以从以下一些方面进行分析.

1. 建立“未知即已知”的观点

对于小学生而言, x的含义他们往往不能理解, 在这个方面, 我们可以给学生灌输“未知即已知”的观点.具体来说, 可以从简单的应用题入手, 例如:“甲乙两地距离120千米, 一汽车以每小时80公里的速度从甲地开往乙地, 需要多少时间?”题中的未知元素即我们要求的时间, 我们可以设其为x.根据未知即已知的观点, 我们此时告诉学生完全可以将x作为一个已知项, 和距离、时间等已知项没有任何不同, 而我们只需要根据所有的已知条件建立关系式即可.例如:80x=120, 等, 所有的这些关系式我们完全抛开格式和可行性的限制, 只要求学生列出关系式即可.经过一定的训练之后, 再加大难度, 使条件复杂化, 例如:“甲乙两地相距120千米, A, B两辆汽车分别以60千米/小时和70千米/小时的速度从甲乙两地出发, 问:何时两车相遇?”这时关系式变得复杂一些, 可以列出60x+70x=120.通过未知即已知的训练, 可以让学生快速地掌握方程解题思维的入门, 会快速地将未知 (即要求解) 元素设为未知数进而建立起一个关系式.

2. 发散了解较高难度方程

通过上述的训练, 学生虽然能够建立起基本的方程关系式, 但是对方程思维解题的优越性并没有相应的认识, 因为前文所举的简单问题用传统方法也可以非常容易的求解.此时我们需要引入多元方程的概念, 并由此来体现方程思维的便捷性.例如:“笼中有鸡和兔, 共有12个头, 36条腿, 问:鸡和兔分别有多少只?”这样一个简单的二元未知问题用传统算术方法求解显然就具备了较大的难度, 需要用到特定的假设法才能解出.此时我们进一步运用未知即已知的概念, 将鸡和兔分别设为x和y, 接下来要做的不是去考虑如何解题, 而只是单纯的列出关系式即可:

接下来, 我们可以告诉学生, 方程可以通过一系列的规则和技巧解出当中的未知元素.为了提高学生的兴趣, 我们可以给学生传达一个信息, 就是我们只需要列出方程, 通过计算机可以解出任何方程, 也就是说我们采用方程思想, 求出答案只需列出相关等式, 而答案的求解则是水到渠成的事这样的说法未必正确, 却能给学生传达两个有效信息:一是方程思想在解决多个未知数的问题时比一般方法简单得多;二是方程关系式一旦建立, 可以很容易地求出最终值.这两个信息对于学生产生对方程思维的赞同和向往是十分有效的, 通过这样的比较他们可以十分清晰地发现方程思维给他们解题带来的便利.

3. 加大方程求解教学

通过以上的铺垫, 学生对方程思维已经具备了基本的了解和赞同, 此时我们可以告知学生, 计算机虽然可以解出任何方程, 但是我们不可能随时带着计算机在身边, 而一般的方程求解也并不困难, 同学们可以进行尝试, 通过这样的方式, 将学生引导至方程的求解技巧.在这一板块, 我们可以根据教材对学生教授基本的四则运算求解法, 并在此基础之上发散了解加减消元、乘除消元等技巧.通过这样的训练, 学生可以解决大部分常见小学问题的方程求解, 而这可以进一步激发他们对方程思维的赞同和学习热情.

方程思维的建立是小学数学教学的重要环节和组成部分, 虽然难度很大, 但是只要我们能积极结合小学生的实际特点, 一定能为小学数学的方程教学打下坚实的基础.

参考文献

[1]张剑萍.用科学的眼光引导学科的变革[M].济南:山东教育出版社, 2008.

[2]杨启亮.应试与素质[M].上海:上海出版社, 2007.

[3]阎金铎.小学数学教学思维方法论[M].太原:山西人民出版社, 2006.

8.二元一次方程整数解及其应用浅析 篇八

初看这道题目，可能绝大部分学生能比较顺利的列出两个等量关系式：1角硬币数量+5角硬币数量+1元硬币数量=15，1角硬币钱数+5角硬币钱数+1元硬币钱数=7，进而可以列出两个三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多学生所未曾遇到过的。如何求解呢？这儿就不可避免的应用到二元一次方程的非负整数解。

二元一次方程的解有无数组，但在实际应用中，我们往往只需要求出其非负整数解。下面试举几例以供参考：

例1.小虎子有一张面值为10元的人民币，他想换成1元或2元的人民币，请你想一想，可能有几种兑换方法？

解：设可换成1元的人民币x张，2元的人民币y张，则x+2y=10。

∵x、y只能取非负整数。

∴其非负整数解为：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6种兑换方法，分别为5张2元；2张1元和4张2元；4张1元和3张2元；6张1元和2张2元；8张1元和1张2元；10张1元。

例2.如果x、y为不等于0的自然数，且3x·3y=27，试求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根据幂的性质可得x+y=3，再由x、y为不等于0的自然数可确定x、y的值。

解：因为3x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因为x、y为不等于0的自然数，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。综上所得：xy=2。

点评：因为x、y为不等于0的自然数，所以本题实际上是求x+y=3的整数解。

在近几年的中考题目中，也已经出现了类似题型的考查。

例3.（2013·绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位.要求租用的车辆不留空座，也不能超载。有_______种租车方案。

解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，

根据题意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整数，

∴x=1时，y=3，

x=2时，y=1，

x=3时，y=-1（不符合题意，舍去），

所以，共有2种租车方案。

点评：本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数。

由此我们可以看出，二元一次方程虽然具有无数组解，但在特定条件下整数解是可以求出的，从而可以用来解决一些生活中的实际问题。同样，借鉴“消元”思想和二元一次方程整数解我们就可以顺利解出刚才的硬币问题。

我们可以将方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通过消x得到一个二元一次方程：4y+9z=55，利用题目中隐含的x、y、z只能取非负整数解条件，我们可以求出：y=7，z=3，进而求出x=5，至此我们就可以求出该题的答案为：1角硬币5枚、5角硬币7枚、1元硬币3枚。

对于此类题目，我们可以采用以下解题过程：列两个三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整数解→求该实际问题解，通过消元思想和二元一次方程整数解，进而求出该问题的解。

（作者单位 山东省日照市东港区西湖中心初中）

？誗编辑 鲁翠红

在人教版七年级下册数学课本第112页的拓广探索训练中有一个题目为：现有1角、5角、1元硬币各10枚。从中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬币各取多少枚？

初看这道题目，可能绝大部分学生能比较顺利的列出两个等量关系式：1角硬币数量+5角硬币数量+1元硬币数量=15，1角硬币钱数+5角硬币钱数+1元硬币钱数=7，进而可以列出两个三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多学生所未曾遇到过的。如何求解呢？这儿就不可避免的应用到二元一次方程的非负整数解。

二元一次方程的解有无数组，但在实际应用中，我们往往只需要求出其非负整数解。下面试举几例以供参考：

例1.小虎子有一张面值为10元的人民币，他想换成1元或2元的人民币，请你想一想，可能有几种兑换方法？

解：设可换成1元的人民币x张，2元的人民币y张，则x+2y=10。

∵x、y只能取非负整数。

∴其非负整数解为：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6种兑换方法，分别为5张2元；2张1元和4张2元；4张1元和3张2元；6张1元和2张2元；8张1元和1张2元；10张1元。

例2.如果x、y为不等于0的自然数，且3x·3y=27，试求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根据幂的性质可得x+y=3，再由x、y为不等于0的自然数可确定x、y的值。

解：因为3x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因为x、y为不等于0的自然数，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。综上所得：xy=2。

点评：因为x、y为不等于0的自然数，所以本题实际上是求x+y=3的整数解。

在近几年的中考题目中，也已经出现了类似题型的考查。

例3.（2013·绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位.要求租用的车辆不留空座，也不能超载。有_______种租车方案。

解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，

根据题意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整数，

∴x=1时，y=3，

x=2时，y=1，

x=3时，y=-1（不符合题意，舍去），

所以，共有2种租车方案。

点评：本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数。

由此我们可以看出，二元一次方程虽然具有无数组解，但在特定条件下整数解是可以求出的，从而可以用来解决一些生活中的实际问题。同样，借鉴“消元”思想和二元一次方程整数解我们就可以顺利解出刚才的硬币问题。

我们可以将方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通过消x得到一个二元一次方程：4y+9z=55，利用题目中隐含的x、y、z只能取非负整数解条件，我们可以求出：y=7，z=3，进而求出x=5，至此我们就可以求出该题的答案为：1角硬币5枚、5角硬币7枚、1元硬币3枚。

对于此类题目，我们可以采用以下解题过程：列两个三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整数解→求该实际问题解，通过消元思想和二元一次方程整数解，进而求出该问题的解。

（作者单位 山东省日照市东港区西湖中心初中）

？誗编辑 鲁翠红

在人教版七年级下册数学课本第112页的拓广探索训练中有一个题目为：现有1角、5角、1元硬币各10枚。从中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬币各取多少枚？

初看这道题目，可能绝大部分学生能比较顺利的列出两个等量关系式：1角硬币数量+5角硬币数量+1元硬币数量=15，1角硬币钱数+5角硬币钱数+1元硬币钱数=7，进而可以列出两个三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多学生所未曾遇到过的。如何求解呢？这儿就不可避免的应用到二元一次方程的非负整数解。

二元一次方程的解有无数组，但在实际应用中，我们往往只需要求出其非负整数解。下面试举几例以供参考：

例1.小虎子有一张面值为10元的人民币，他想换成1元或2元的人民币，请你想一想，可能有几种兑换方法？

解：设可换成1元的人民币x张，2元的人民币y张，则x+2y=10。

∵x、y只能取非负整数。

∴其非负整数解为：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6种兑换方法，分别为5张2元；2张1元和4张2元；4张1元和3张2元；6张1元和2张2元；8张1元和1张2元；10张1元。

例2.如果x、y为不等于0的自然数，且3x·3y=27，试求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根据幂的性质可得x+y=3，再由x、y为不等于0的自然数可确定x、y的值。

解：因为3x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因为x、y为不等于0的自然数，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。综上所得：xy=2。

点评：因为x、y为不等于0的自然数，所以本题实际上是求x+y=3的整数解。

在近几年的中考题目中，也已经出现了类似题型的考查。

例3.（2013·绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位.要求租用的车辆不留空座，也不能超载。有_______种租车方案。

解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，

根据题意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整数，

∴x=1时，y=3，

x=2时，y=1，

x=3时，y=-1（不符合题意，舍去），

所以，共有2种租车方案。

点评：本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数。

由此我们可以看出，二元一次方程虽然具有无数组解，但在特定条件下整数解是可以求出的，从而可以用来解决一些生活中的实际问题。同样，借鉴“消元”思想和二元一次方程整数解我们就可以顺利解出刚才的硬币问题。

我们可以将方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通过消x得到一个二元一次方程：4y+9z=55，利用题目中隐含的x、y、z只能取非负整数解条件，我们可以求出：y=7，z=3，进而求出x=5，至此我们就可以求出该题的答案为：1角硬币5枚、5角硬币7枚、1元硬币3枚。

对于此类题目，我们可以采用以下解题过程：列两个三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整数解→求该实际问题解，通过消元思想和二元一次方程整数解，进而求出该问题的解。

（作者单位 山东省日照市东港区西湖中心初中）

9.小学数学方程及其应用题教案 篇九

小学数学第九册教案之《简易方程》之《用字母表示数2》

第二课时：用字母表示数(二) 教学内容：教材P47-P48例4做一做，练习十第4-6题 教学目的： 1、使学生进一步理解用字母表示数的意义和作用。 2、能正确运用字母表示常用数量关系。 3、能较熟练地利用公式、常用数量关系求值。 教学重、难点：能正确运用字母表示常用数量关系。 教学过程： 一、复习。 1、用字母表示数，有哪些好处?但要注意什么? 2、用字母a、b、c表示加法结合律、乘法交换律、乘法分配律等。请学生结合字母表示的运算定律说说其含义。 3、用S表示面积，C表示周长，a表示边长，b表示宽，写出长方形、正方形的面积和周长公式。 4、下面各式中，哪些运算符号可以省略?能省略的就省略写出来。 2×3a×714+ba÷7a×a5-x0.6×0.6 二、新授。 1、教学例4(1)： (1)引导学生看书提问：从图、表中你了解到哪些信息? A、爸爸比小红大30岁。B、当小红1岁时，爸爸()岁，…… 师：这些式子，每个只能表示某一年爸爸的年龄。 (2)启发学生：你能用一个式子表示出任何一年爸爸的年龄吗?(可让同桌的.两个同学小声讨论) 结合讨论情况师适时板书： 法1：小红的年龄+30岁=爸爸的年龄 法2：a+30 提问：比一比，你比较喜欢哪一种表示方法，为什么?让学生发表各自意见。 在式子a+30中，a表示什么?30表示什么?a+30表示什么? (a表示小红的年龄，30表示爸爸比小红大的年龄，a+30即表示爸爸的年龄) 想一想：a可以是哪些数?a能是200吗?为什么? (3)结合关系式解答：当a=11时，爸爸的年龄是多少?学生把算式和结果填在书上。 2、小结：用含有字母的式子不仅可以表示运算定律、公式，也可以表示数量。 3、教学例4(2)： 引导学生看书讨论：(可分成四人小组进行讨论) (1)从图、表中你了解到哪些信息? (2)你能用含有字母的式子表示出人在月球上能举起的质量吗? (3)式子中的字母可以表示哪些数? (4)图中小朋友在月球上能举起的质量是多少?请小组派代表回答以上问题。 4、总结：今天你学会了什么?有哪些收获? 三、巩固练习： 1、独立完成P48做一做,集体评议。 2、请学生结合自己的身高、体重情况，算算自己的标准体重，并讨论：比标准体重轻说明什么?如果比标准体重重，又说明什么? 3、独立解答P49第4题展示评议。(问问字母、式子表示的含义) 四、作业： 1、独立完成P50第5题; 2、独立完成P50第6题; 注意巡视指导求式子值的书写格式。即:S=ut=150×30=4500 (注:这里求出来的值不带单位名称) 板书:用字母表示数(二) 例4(1):例4(2)： 法1:小红的年龄+30岁=爸爸的年龄人在月球上能举起的质量是：6a 法2:a+30小朋友在月球上能举起的质量是: 当a=11时，爸爸的年龄是：6a=6×15=90 a=30=11+30=45 课后反思：

10.椭圆及其标准方程教案 篇十

椭圆是生活中常见的图形,通过实验演示,创设生动而直观的情境,使学生亲身体会椭圆与生活联系,有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣;在椭圆概念引入的过程中,改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式,而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式,让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程,有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题,方程的推导过程采用学生分组探究,师生共同研讨方程的化简和方程的特征,可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程,使学生真正了解椭圆标准方程的来源,并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中,使学生体会成功的快乐,提高学生的数学探究能力,培养学生独立主动获取知识的能力。

11.圆极坐标方程的引理及其应用 篇十一

（1） 点弦距公式ρQ=|PQ|=2acosθ1cosθ2；

（2） 点切距公式ρT=|PT|=2acos2θ2；

（3） 垂足坐标公式Q（2acosθ1cosθ2，θ1+θ2），T（2acos2θ2，2θ2）.

证明 已知P1，P2的坐标分别为（2acosθ1，θ1），（2acosθ2，θ2），如图1，易得∠P2PT=∠P2PO=2π-θ2且∠P1PQ=∠P2PT=2π-θ2，所以：

（1）在Rt△P1PQ中，有|PQ|=2acosθ1cosθ2；

（2）在Rt△P2PT中，有|PT|=2acos2θ2；

（3）点Q的极角θQ=θ1-∠P1PQ=θ1-（2π-θ2）=-2π+θ1+θ2，所以点Q的一个极角为θ1+θ2.点T的极角θT=θ2-∠P2PT=θ2-（2π-θ2）=-2π+2θ2.所以点T的一个极角为2θ2.即Q（2acosθ1cosθ2，θ1+θ2），T（2acos2θ2，2θ2）.

为简便计，约定以下题组中的线段均为正值，略去绝对值记号.

题组 已知P为△A1A2A3的外接圆O上一点，作PB1⊥A1A2，PB2⊥A2A3，PB3⊥A3A1，PC1⊥过点A1的切线，PC2⊥过点A2的切线，PC3⊥过点A3的切线，B1，B2，B3，C1，C2，C3均为垂足，若a为△A1A2A3的外接圆半径，求证：

（1） PB1•PA3=PB2•PA1=PB3•PA2；

（2） PB1∶PB2∶PB3=∶∶；

（3） =+；

（4） PA1•PA2=PB1•2a，PA2•PA3=PB2•2a，PA3•PA1=PB3•2a；

（5） 为定值；

（6） PA1•PA2•PA3=2a；

（7） PB2 1=PC1•PC2，PB2 2=PC2•PC3，PB2 3=PC3•PC1；

（8） PB1•PB2=PB3•PC2，PB2•PB3=PB1•PC3，PB3•PB1=PB2•PC1；

（9） PB1•PB2•PB3=PC1•PC2•PC3；

（10） B1，B2，B3三点共线.（西摩松simson定理）

证明 如图2，以P为极点，PO为极轴建立极坐标系，则⊙O的方程为ρ=2acosθ.令顶点坐标按逆时针方向依次为Ai（2acosθi，θi），θi∈（0，2π）（i=1，2，3）.

由点弦距公式，得PB1=2acosθ1cosθ2，PB2=2a

•cosθ2cosθ3，PB3=2acosθ1cosθ3；

由点切距公式，得PC1=2acos2θ1，PC2=2acos2θ2，PC3=2acos2θ3；

由垂足坐标公式，得B1（2acosθ1cosθ2，θ1+θ2），

B2（2acosθ2cosθ3，θ2+θ3），B3（2acosθ3cosθ1，θ3+θ1）.

由点Ai（2acosθi，θi）在⊙O上，所以PA1=2acosθ1，PA2=2acosθ2，PA3=2acosθ3.

（1） PB1•PA3=PB2•PA1=PB3•PA2=4a2cosθ1cosθ2cosθ3，得证.

（2） PB1∶PB2∶PB3=2acosθ1cosθ2∶2acosθ2cosθ3∶2acosθ3cosθ1=∶∶=∶∶，得证.

（3） +=+===，得证.

（4） PA1•PA2=（2acosθ1）•（2acosθ2）=（2acosθ1cosθ2）•2a=PB1•2a，同理可证PA2•PA3=PB2•2a，PA3•PA1=PB3•2a .

（5） 将结论（4）中的三个等式分别相乘，得（PA1•PA2•PA3）2=PB1•PB2•PB3•8a3，即=，为定值.

（6） 因为PC1•PC2•PC3=（2acos2θ1）•（2acos2θ2）•（2acos2θ3）=•64a6cos2θ1cos2θ2cos2θ3=•（PA1•PA2•PA3）2，所以PA1•PA2•PA3=2a，得证.

（7） PB2 1=（2acosθ1cosθ2）2=2acos2θ1•2acos2θ2=PC1•PC2，同理可证PB2 2=PC2•PC3，PB2 3=PC3•PC1.

（8） PB1•PB2=2acosθ1cosθ2•cosθ2cosθ3=2acosθ3cosθ1•2acos2θ2=PB3•PC2，同理可证PB2•PB3=PB1•PC3，PB3•PB1=PB2•PC1.

（9） PB1•PB2•PB3=2acosθ1cosθ2•2acosθ2cosθ3•2acosθ3cosθ1=2acos2θ1•2acos2θ2•2acos2θ3=PC1•PC2•PC3，得证.

（10） 显然，B1，B2，B3三垂足的坐标满足法线式方程ρ=cos（θ-θ1-θ2-θ3）=2acosθ1cosθ2cosθ3，所以B1，B2，B3三点共线.

综上所述，应用上述圆的点弦距公式、点切距公式和垂足坐标公式证明几何问题时，关键在于恰当地选择圆上一点为极点，这点和圆心的连线的延长线为极轴建立极坐标系.然后再运用上述定理中的公式将几何线段数量化，结合代数三角运算使命题获证.此法思路简捷，证题明快，数形结合，饶有趣味，且很少添加辅助线，故值得重视.

12.解初中数学方程应用题简析 篇十二

一、会读题

初中数学方程应用题一般有文字呈现和图形文字合并呈现,读题步骤:一是范读,范读就是明确题目中简单含义,心中有一个大致的了解,其次就是精读,精读是把题中数字画出来,求解什么问题画出来。也就是知道题目中要解决的信息必须读出来,全面了解应用题所叙述的基本的情况。如初一上学期期末考试有一道应用题,是用一元一次方程解应用题。

例题:对某班级学生家里订阅A,B两种报纸情况进行调查,家里订阅A报的有24人,家里订阅B报的有17人,其中家里订阅A报没有订阅B报的人数是只订阅B报没有订阅A报的人数的2倍。

(1)家里订阅A报没有订阅B报的人数比只订阅B报没有订阅A报的人数多多少人。

(2)求家里同时订阅A,B两种报纸的人数。

应用题中简析时,学生心目中家里通常就只订阅一种报纸,所以即订阅A报又订阅B报没有概念,教师需要打消学生固有的思维定式,订阅报纸只是应用题的载体,生活中存在订阅两种报纸可能。范读第一遍时学生心中需了解是订阅A报和B报的问题。精读第二遍时“订阅A报的有24人“”订阅B报的有17人”用单线画出来“,家里订阅A报没有订阅B报的人数是只订阅B报没有订阅A报的人数的2倍” 用双线画出来,然后读本题中需求的问题。 这是分析问题开篇叫做“做到心中有数”。

二、会题意

应用题中数字含义需要学生理解,读题中画出的数字中蕴含意义,这就是会题意。如上题中24人“订阅A报的人数”此数字24蕴含了既订了A报又订了B的人数。“订阅B报的有17”数字17蕴含了既订了B报又订了A报。所以题中隐含“既订了A报又订了B报”条件的理解很重要,是问题的关键。

三、会技巧

分析问题后找到等量关系就要会技巧,设出未知数是解应用题的技巧。有的可以从问题直接设出未知数,有的也可以间接设出未知数。如例题中的第1问,可直接设出未知数。设只订阅B报没订阅A报的人数为x人。另一个问题订阅A报没订阅B的人数可用代数式表示为2x。通常情况下,甲是乙的倍数,设乙为x,甲用代数式表示:当然例题中,也可以间接设既订阅A报又订阅B报人数为x人。

四、会思路

未知数设法不同,列方程得等式思路不同,根据已知条件和所求的问题去变通不同说法,体验一题多解。如例题中的直接设家中只订阅B报没有订阅A的人数为x人,方程的等式为“既订阅了A报又订阅了B报”方程式:24-2x=17-x,若间接设既订阅A报又订阅了B报为x,方程的等式为“订A没订B人数是订B没订A的2倍”方程式:24-x=2(17-x)。

五、会作答

列出了方程接下来是解方程。解方程过程通常是去分母,去括号,移项,系数化为1,最后作答这几个步骤,应用题求解过程中得到未知数,有一个显著特征———未知数不能出现负数。最后作答实际问题须符合实际。如例题中订阅A没订阅B的人数比只订B没订阅A的人数多多少人? 求得x,需将订A没订阅B的代数的值求出来后将订A没订B的代数式的值减去只订B没订A的值。即:求得x=7,最后作答第1问是2x-x=x=7, 第2问作答是将x=7代入等式右边或左边即24-2x=24- 14=10,即家里同时订阅A、B两种报纸的人数是10人。

13.一元一次方程及其解法教案 篇十三

教学目标：

1、经历对实际问题中数量关系的分析，建立一元一次方程的过程，体会学习方程的意义在于解决实际问题。

2、通过观察，归纳一元一次方程的概念。

3、理解等式的基本性质，并利用等式的基本性质解一元一次方程。教学重点、难点

教学重点：对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程。教学难点：对等式基本性质的理解与运用。教学过程： 一：情境导入

今有雉兔同笼，上有三十五头 下有九十四足，问雉兔各几何 二：导入课题

§3.1一元一次方程及其解法 三：问题情境导入 问题1：

在参加2004年雅典奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有18人，比跳水运动员的2倍少4人，参加奥运会的跳水运动员有多少人？

如果设参加奥运会的跳水运动员有x人，则根据题意可列出方程 2x－4=18 问题2 王玲今年12岁，她爸爸36岁，问再过几年，她爸爸的年龄是她年龄的2倍？

如果设再过 x年，则x年后王玲的年龄是 岁 则x年后爸爸的年龄是 岁 由题意可得：（让让学生做，然后交流。）四：想一想

看看式子： 2x－4=18 36＋x＝2(12＋x)

1、它们属于我们小学里学过的什么内容？ 方程：含有未知数的等式叫方程。

2、上面的两个方程的左右两边的式子属于我们学过的代数式中的哪一类式子？

它们都是整式

3、如果方程的两边都是整式，我们就把这样的方程叫整式方程。五：合作探究 观察方程：2x－4=18 36＋x＝2(12＋x)这两个方程有什么特征？（从未知数的个数与未知数的次数两方面去考虑）[ 一元一次方程：象上面的两个方程，只 含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程。六：相信你会判断

判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”。(1)x+3y=4()(2)x2-2x=6()(3)-6x=0()(4)2m +n =0()(5)2x-y=8()(6)2y+8=5y()

七、回顾交流

1:请同学们自己写出几个一元一次方程的例子。2:请同学们回顾一下什么叫方程的解？

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。3:解方程：求方程解的过程叫做解方程。做一估：判断括号里的数是不是方程的解 1.2x－4=18（x=11)2.36＋x＝2(12＋x)(x=12)

3、3x+1=7(x=3)

八、知识导航

我们在小学里已经学过等式的基本性质，谁能告诉老师等式基本性质的内容吗？ 等式的基本性质

1、等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

2、等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

九、做一做

说明下列变形是根据等式的哪一条基本性质得到的？

1、如果5x+3=7，那么5x=4

2、如果－8x=16，那么x=－2

3、如果－5a=-5b, 那么a=b

4、如果3x=2x+1，那么x=1

十、课堂小结

1.通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有哪些疑问？ 作业：

1、课堂作业p91页习题3.1第2题

2、课后预习下一节。预习要点

1、什么叫移项？

14.数学教案-简易方程-教学教案 篇十四

1、使学生进一步认识用字母表示数及其作用，能正确地用含有字母的式子表示数量及数量关系、计算公式，培养学生抽象，概括的能力。

2、使学生加深对方程及相关概念的认识，掌握解简易方程的步骤和方法，能正确地解简易方程。教学过程：

一、揭示课题

我们在复习了整数、小数的概念，计算和应用题的基础上，今天要复习解简易方程，(板书课题)通过复习，要进一步明白字母可以表示数量、数量关系和计算公式，加深理解方程的概念，掌握解简易方程的步骤、方法，能正确地解简易方程。

二、复习用字母表示数

1、用含有字母的式子表示：(1)求路程的数量关系。(2)乘法交换律。

(3)长方形的面积计算公式。

让学生写出字母式子，同时指名一人板演。指名学生说说每个式子表示的意思。提问：用字母表示数有什么作用?用字母表示乘法式子时要怎样写?

2、做“练一练”第1题。

让学生做在课本上。指名口答结果，老师板书，结合提问怎样求式子的值的。

3、做练习十四第1题。

指名学生口答。选择两道说说是怎样想的。

三、复习解简易方程

1、复习方程概念。

提问：什么是方程?你能举出方程的例子吗?(老师板书出方程的例子)这里用字母表示等式里的什么?指出：字母还可以表示等式里的未知数。含有未知数的等式就叫方程。(板书定义)

2、做“练一练”第2题。

小黑板出示，学生判断并说明理由。提问：5x－4x＝2里未知数x等于几，x=2是这个方程的什么?7×0．3＋x＝2．5里未知数x等于几?x=0．4是这个方程的什么?那么，什么叫做“方程的解”?(板书定义)它与“解方程”有什么不同?(强调解方程是一步一步完成的过程)你会解方程求出方程的解吗?根据什么解方程?

3、解简易方程。

(1)做“练一练”第3题第一组题。

指名两人板演，其余学生做在练习本上。集体订正：解第一个方程是怎样想的，检查解方程时每一步依据什么做的。第二个方程与第一个有什么不同，解方程时有什么不同?指出：解方程时先看清题目，根据运算顺序，能先算的就先算出来．不能算的就看做一个未知数。我们现在解方程是一般根据加减法之间、乘除法之间的关系来进行的。(结合板书：解方程：能先算的要先算，再按各部分关系来解)追问：这两题可以怎样检验方程的解对不对?(2)做“练一练”第3题后两组题。

指名两人板演，其余学生分两组，分别做其中的一组题。集体订正，并让学生说说每组两题有什么不同，解方程的过程有什么不同。强调一定要先看清题，按运算顺序能先算的就先算出来，然后根据四则运算之间的关系求出方程的解。(3)做“练一练”第4题。

让学生列出方程。指名口答方程，老师板书。提问列方程的等量关系是什么。

四、课堂小结

今天复习了哪些知识?你进一步明确了什么内容？

五、布置作业

15.小学数学方程及其应用题教案 篇十五

隔板法:相同元素的分配问题可以在其之间插入隔板来达到分配的目的.它强调的是分配之后每组元素的各数, 而与每一组包含哪几个元素无关.

【例】 某市拟成立一个由6名大学生组成的社会调查组, 并准备将6个名额分配给本市的3所大学, 要求每所大学都有学生参加, 则不同的分配方法共有 ( ) .

A.6种 B.8种 C.9种 D.10种

解析:6个名额可视为6个没有区分的 (相同的) 元素, 将6个元素排成一排, 在6个元素之间一共有5个空隙, 将两块隔板插入这些空隙中, 规定由隔板分成的左、中、右三部分的元素的个数分别为分配给三所大学的大学生名额数, 则每一种分隔法都对应了一种分发, 于是分法种数为C${}_5^2$=10种.

变式:将9个完全相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子内, 要求每个盒子内的球数不小于其编号数, 问有多少种不同的方法?

解析:先将编号为2的盒子放入1个球, 编号为3的盒子放入2个球, 然后只需将余下的6个球放入三个盒子内, 要求每个盒子至少再放入1个.余下解法同上引例.

其实上述问题可归结为不定方程x+y+z=6有多少组正整数解的问题, 即将六个完全相同的小球放入编号分别为x, y, z的三个盒子内, 要求每个盒子至少有一个小球, 有多少种不同的方法?如OIOOOIOO, 这就代表了不定方程的一组解x=1, y=3, z=2, 在6个球之间有五个空隙, 所以将两个隔板插入, 共有C${}_5^2$种不同的方法, 即方程有C${}_5^2$=10组不同的正整数解.

推广:不定方程x1+x2+x3+…+xm=n (n≥m, m, n∈N*) 有C${}_{n-1}^{m-1}$组正整数解.

引申:不定方程x1+x2+x3+…+xm=n (n≥m, m, n∈N*) 有多少组非负整数解?

分析:令y1=x1+1, y2=x2+1, …, ym=xm+1, 由x1≥0, x2≥0, …, xm≥0有y1≥1, y2≥1, …, ym≥1, 则原方程有多少组非负整数解的问题就转化成了不定方程y1+y2+…+ym=n+m有多少组正整数解的问题, 结合上述推广, 知原方程有C${}_{n+m-1}^{m-1}$组非负整数解.

应用1:设集合P={1, 2, 3, …, n} (n≥7) , A={a1, a2, a3}是P的子集, 其中a1<a2<a3, 当满足a3≥a2+3≥a1+6时, 求这样的集合A的个数.

分析:由1≤a1<a2<a3≤n, 将1, 2, …, n按从小到大的顺序从左到右排成一排, 不防设由1到a1 (含a1) 有x1个数, 由a1+1到a2有x2个数, 由a2+1到a3 (含a3) 有x3个数, 由a3+1到n (含n) 有x4个数, 则x1+x2+x3+x4=n, 由a3≥a2+3≥a1+6, 有x1≥1, x2≥3.x3≥3, x4≥0.

结合引申的结论, 设y1=x1, y2=x2-2, y3=x3-2, y4=x4+1, 则y1+y2+y3+y4=n-3, 且y1≥1, y2≥1.y3≥1, x4≥1, 即将问题转化成了不定方程y1+y2+y3+y4=n-3有多少组正整数解的问题, 结合上述推广知该方程有C${}_{n-4}^3$组正整数解, 即满足条件的集合A有C${}_{n-4}^3$个.

应用2:若从编号分别为1, 2, 3, …, 9的九张卡片中任意抽取三张, 将它们的编号从小到大依次记为x, y, z, 则“y-x≥2, z-y≥2”的概率为

$\begin{array}{l}().\\ \text{A}.\frac{1}{3}\text{B}.\frac{5}{12}\\ \text{C}.\frac{1}{4}\text{D}.\frac{5}{28}\end{array}$

分析:从九张卡片中任意抽取三张所含的基本事件的个数为C${}_9^3$, 然后不妨设由1到x (含x) 有x1个数, 由x+1到y (含y) 有x2个数, 由y+1到z (含z) 有x3个数, 由z+1到9 (含9) 有x4个数, 则x1+x2+x3+x4=9, 结合y-x≥2, z-y≥2, 知x1≥1, x2≥2, x3≥2, x4≥0.

设y1=x1, y2=x2-1, y3=x3-1, y4=x4+1, 则y1+y2+y3+y4=8, 且y1≥1, y2≥1, y3≥1, y4≥1, 即将问题转化成了不定方程有多少组正整数解的问题.方程的每一组正整数解就对应着一种满足题意的选法, 则满足题意的选法为C${}_7^3$种, 所以所求的概率为$\frac{C{}_7^3}{C{}_9^3}=\frac{5}{12}$.选B.

16.数学教案-方程的认识 篇十六

方 程 的 意 义教学理念：让学生在广泛的探究时空中，在明主平等、轻松愉悦的氛围里，应用已有知识经验，通过自主预习、质疑问难、释疑解惑、合作交流，理解并掌握方程的意义，知道等式和方程、方程的解与解方程之间的关系，并能进行辨析，学会用方程表示简单情境中的等量关系，提高观察能力、分析能力和解决实际问题的能力，数学教案－方程的认识。初步建立分类的思想，进一步感受数学与生活之间的密切联系。教学过程：

一、课前探疑学生课前认真预习课文内容,通过自主探究、合作交流，感知本课内容，提出疑难问题。

二、课始集疑

1、揭题

2、集疑：同学们课前都进行认真的预习，现在请同学们把预习中没有解决的、需要在本节课上请老师、同学们帮助解决的问题提出来。过渡：刚才这些问题都提的非常好，我们这节课就重点解决这些问题。在解决这些问题之前，先请同学们认识一件物体。

三、课中释疑<一>认识天平：课件出示天平，同学们说天平的作用、用法。<二>认识等式

1、演示课件 写出式子在左边放二个40克的物体，右边放一个50克的法码，这时天平怎么样？ 你能用一个数学式子来表示这时候的现象吗？ 40＋50＜100再在左边放一个30克的物体，这时天平怎么样？ 你能也用一个式子来表示这时候的现象吗？ 40+50+30>100把左边的一个30克的物体换成10克的,这时天平怎么样?你能也用一个式子来表示这时候的现象吗？ 40+50+10=100再把左边的10克与50克的物体换成未知的,这时天平怎么样? 你能也用一个式子来表示这时候的现象吗？ 40+X<100再把左边的未知的物体换成另一个未知的,这时天平怎么样? 你能也用一个式子来表示这时候的现象吗？ 40+X=100再把左边的物体换成二个未知的,右边另加上一个50克的砝码,这时天平怎么样? 你能也用一个式子来表示这时候的现象吗？ X + X=1502、分类.刚才我们写出了这么多的式子，大家能把这些式子按照一个统一的标准分类吗？请小组讨论按照什么样的标准分？并把分类结果写在卡片上。展示同学们不同的分类,并说说你们是按照什么标准分的？师：按照不同的标准分类，有不同的结果。刚才同学们的分类都是正确的，为了解决刚才同学们所提出的问题，我们今天就研究这一种分法。（分成等式与不等式两类的）

3、理解概念师：为什么这么分？你们发现了这一类式子有什么特点？ 左右两边相等揭示：像这样表示左右两边相等的式子叫做等式。（板书：等式）谁来举一些例子说说什么是等式？<二>认识方程

1、分类谁能把这些等式再分成两类吗？根据什么标准分？（板书：含有未知数）像这样，含有未知数的等式我们把它叫做方程。谁能举一些方程的例子？这些式子为什么不是方程？谁来说说什么是方程？

2、巩固概念老师这儿也有几个式子，它们是方程吗？ 为什么?出示 3+X=10 17-8=9 6+2X 8X=0 7-X>3 Z÷Y=2通过这几道题的练习，你对方程有了哪些新的认识？（1）未知数不一定用X表示，小学数学教案《数学教案－方程的认识》（2）未知数不一定只有一个。一个方程，必须具备哪些条件？<三>比较辨析师：含有未知数的等式叫方程，那么方程和等式有什么关系呢？谁能用自己的话说说方程与等式的关系？你能用自己的方式来表示方等式和方程之间的关系吗？例如画图或者别的方式，小组合作，试一试。<四>认识方程的解与解方程

1、认识方程的解与解方程的概念师：回忆一下，我们以前见过方程吗，在哪见过？你能求出第一个方程中未知数的值吗？40+X=100 怎么证明你所求的未知数的值是正确的呢？（把这个未知数的值代入方程中能使方程左右两边相等）揭示：像X=60这样能使方程40+X=100左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。师：谁知道方程2X=150的解是多少？你如何证明？通过刚才的学习，现在谁能说说方程的解可以是任意一个数吗？那它是怎样的数？揭示方程的解的概念刚才大家学习了什么是方程的解。谁来说说方程40+X=100的解是怎么求出来的？ 揭示：大家求出方程的解的这个过程叫做解方程。

2、比较辨析方程的解与解方程的区别学到这里，马老师想问大家一个问题：方程的解与解方程是一样的吗？谁能以方程2X=150为例，说说什么是方程的解，什么是解方程？下面请小组讨论：方程的解与解方程的区别

3、巩固概念X=8是下列哪个方程的解X+12=25 33-X=25 3X=21 2X+12=28 42÷X=

5四、课末践疑

1、练习看来同学们对今天学的知识掌握得不错，用方程还可以表示生活中的一些数量之间的关系？（1）马老师暑假带爸爸、妈妈与女儿，四个人一同去青云山浏览，买了四张门票共花了100元钱，你能用方程来表示购买门票的有关数量关系吗？师：这里还有一些有关我们学校的信息，谁来读一读。（2）樟城小学是永泰县最大的小学之一。校园占地总面积8380平方米。三座教学楼占地总面积为1868平方米，平均每座教学楼占地面积为X平方米。校园其它设施占地面积为Y平方米。你能选择其中一些信息列出方程来吗？

2、质疑：你还有什么想说的吗？

17.小学数学方程及其应用题教案 篇十七

教学过程

一、复习

1、列方程解应用题就是从应用题中找出

关系，并把

关系表示成 ；

2、底面半径为30mm,6高为60mm的圆柱体积为

，底面直径为40mm,高为xmm的圆柱体积为。

二、新授

1、导课

列方程解应用题，关键是寻找相等关系，今天我们通过一例来学习如何寻找相等关系，和把相等关系表示成方程的方法。

例（课本P212例2）

分析：讲解图中每个数据的含义，指出○加一“/”是直径的记号。在图上以mm为单位时，就不标单位。

图中哪句话能表达这个应用题的相等关系，这个相等关系是什么？“圆柱（2）的体 积是圆柱（1）的体积的3倍”这句话中表达了这样的相等关系：3×圆柱（1）的体积＝圆柱（2）的体积，或3V1＝V2。

设圆柱（1）的高为xmm,现分析等式的左边和右边。这样左右两边都列出了代数式，放入相等关系中，即可得出方程：

由学生完成求解过程，并作出答案。解：略

三、练习P216习题：3，4。

四、小结

1、列方程解应用题的一般步骤。

2、体会列方程解应用题的优越性。

五、作业

1、P222 4.4A：9，10，11，12。

18.小学数学方程及其应用题教案 篇十八

一、原点式

以原直角坐标系的原点为极点,Ox轴为极轴建立极坐标系.此时,对于平面内任意一点的直角坐标(x,y)与极坐标(ρ,θ)之间有关系式

由此我们可以得到

1.对于直角坐标系中的椭圆(双曲线),其极坐标方程为

即

2.对于直角坐标系中的抛物线y2=2px,化为

例1 (2009年山东)设椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,0为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆e的方程;

(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围;若不存在,说明理由.

解:(Ⅰ)易得.

(Ⅱ)以O为极点,Ox轴为极轴建立极坐标,则椭圆E的极坐标方程为

假设存在满足题意的圆,设点A(ρ1,α),B(ρ2,β),则ρi=|OA|,ρ2=|OB|.

由,知,则

如图1,圆的半径为OD,D为切点,则

故存在圆满足题意.

又

由0≤sin22α≤1,得.

从而得|AB|的取值范围是[].

点评:原标准答案在求圆的方程时,要分AB的斜率存在,不存在,分类求解.在将直线方程与椭圆方程联立,用韦达定理,弦长公式的套路时,运算量颇大;特别是求|AB|的范围时,所用方法不易想到.而本文的解法,转化为极坐标中的问题,巧用ρ的几何意义,简化了运算.涉及到圆锥曲线上的点到其中心(或抛物线的顶点)距离的问题,用极坐标方法来处理,可优化解题.如人教版教科书P156题,十分典型.

二、焦点式

以圆锥曲线的焦点F为极点,Fx为极轴,建立极坐标系.当焦点F在准线l右侧时(如图2),设准线l与直线Fx垂直且交于K,焦点到准线的距离|FK|=p.设M(ρ,θ)是圆锥曲线上任意一点,作MN⊥l于N,MP⊥Fx于P.由圆锥曲线的第二定义知.而|FM|=ρ,|MN|=|FK|+|FP|=p+ρcosθ,所以有.解出.(*)

这就是椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程.几点说明:

1.当0

当e>1时,方程(*)表示双曲线,极点F是它的右焦点;

当e=1时,极点F是它的焦点,方程(*)表示开口向右的抛物线.

2.方程(*)中的p表示焦点到相应准线的距离.在椭圆或双曲线中,

3.当焦点在准线左侧时,它的极坐标方程为;

当焦点在准线上方时,它的极坐标方程为;

当焦点在准线下方时,它的极坐标方程为

推导过程这里从略.

在方程(*)中,由于ρ具有明显的几何意义:表示圆锥曲线上一点到极点(焦点)的距离(焦半径),因此,涉及到焦半径或焦点弦长的问题,运用上述方程求解,将极为方便.

例2 (2009年全国卷II)已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点,若,则C的离心率为()

(A)(B)(C)(D)

解:以F为极点,Fx为极轴建立极坐标系(如图3),设双曲线的极坐标方程是.

由条件,知|FA|=4|FB|,即

又直线AB的斜率为,则知倾斜角,.因此上式化为

解得,故选(A).

例3 (2009年全国I)已知椭圆C:.的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B,若

(A)(B)2 (C)(D)3

解:以F为焦点,Fx为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程形如

又由,b=1,知c=1,则

所以方程为,

即.

如图4,可知|FK|=p=1,则.

又.

由知|FA|=3|FB|,

即.

解得.

则选(A).

点评:从上述两例可以体会到极坐标方程的优越性.这里只要算出cosθ,或p值,再代入极坐标方程中,就可解出所求量.

例4 (2009年湖南)在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d.当点P运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和.

(Ⅰ)求点P的轨迹C;

(Ⅱ)设过点F的直线与轨迹C相交于M、N两点,求线段MN长度的最大值.

解:(I)点P轨迹是由椭圆在直线x=2的右侧部分以及抛物线C2:y2=12x在直线x=2的左侧部分组成的曲线(图5).过程略.

(Ⅱ)易得C,与C2的交点A(2,2),B(2,).以F为焦点,Fx为极轴建立极坐标系.对于曲线C1,有a=6,,c=3,,;对于曲线C2,有e=1,p=6.可得C1与C2的极坐标是,C2:.

设M(ρ1,0),则N(ρ2,θ+π).

(ⅰ)当点M在椭圆弧DE段上时(如图5),则点N在抛物线弧AOB段上,并知.此时,

可见时,|MN|取到最大值.

(ⅱ)当点M在椭圆的AD弧或BE弧上时,点N则在BE弧或AD弧段上,并知.此时,

可见时,|MN|取到最大值是.

综上可知,线段MN长度的最大值是.

点评:本题原标准答案采用直线联立曲线的常规方法,运算极其冗长.而本例解法运算量很小,省时省力,方法优越.

下面是一组相应的高考题,共练习用.

1.(2009年福建省)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB长为8,则p=______.

2.(2008年江西省)过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧),则.