几何证明完成推理

几何证明完成推理（共12篇）（共12篇）

1.几何证明完成推理 篇一

如何解决学生几何证明中推理思路难

阆中中学附属实验学校 杨梅 新学期开始了，学生最先接触到的是《三角形》、《三角形全等》和《轴对称图形》几章几何知识，让我感到头痛的是很多同学对几何证明题，不知从何做起，甚至部分同学知道了答案，但不知道怎么得出，叙述不清楚，说不出理由。对逻辑推理的过程几乎不会写。怎样才能把几何证明题的求解过程叙述清楚呢？是我数学教学中一直探索的问题，现把自己的做法给大家谈谈:

一、严格要求学生掌握必要的公理、定理、性质、判定、推论

公理、定理、性质、判定、推论是过程中讲道理的依据学生要有充足的理论依据，才能准确无误地进行推理论证。因此，必须要求学生掌握必要的公理、定理、性质、判定、推论，但在教学的过程中要让学生理解结合图形记忆，不要死记硬背，否则记住也不会应用。

二、教学生分析方法，培养学生逻辑推理能力。

几何中命题复杂，类型繁多，要培养学生分析与综合的逻辑推理能力，特别要重视对问题的分析，在初中几何中常用的分析方法有：

（1）综合法：就是由命题的题设至结论的定向思考方法，让学生从已知条件出发进行推理，顺次逐步推向结论，达到目标的思考过程。

（2）分析法：就是由命题的结论至题设的定向思考方法，在探究证题途经时，让学生不是从已知条件入手，而是从求证着手进行分析推理，要获得这个结果，需要什么条件，这个条件又由什么可获得，一步一步往前找，直至推究的条件与已知条件相合为止。

三、让学生大胆说过程、说结论

对于一个类型的题，初接触时，学生和我一起分析讨论，得出思路再让“优”学生说过程、说结果，教师做相应的补充、说明，理清整个思路，但不忙写出推理的过程，再让“中、差”生进行说过程，让80%以上的学生都会叙述，让学生根据自己叙述的过程书写推理的过程，向学生说明这就是求解的过程，这时，学生的积极性高涨，也知道这求解的过程原来就是这样简单，从而激发学生学习的兴趣。同时注意学生的发散思维，在教

一题多解的题时，要充分发挥学生的潜能，发散他们的思维，让他们大胆创新，寻找不同的路径进行求解证明，让学生把几何学活、用活。

四、培养学生证题时养成规范的书写习惯。

对于初学几何的学生，先用填充形式来训练学生证题的书写格式和逻辑推理过程，使书写规范，推理有理有据，同时批改作业中帮学生修改，让学生理解为什么添加或删除这步，再让学生互相评阅，时间久了学生就在潜移默化中学会独立书写规范的过程。

2.几何证明完成推理 篇二

学生在解图形证明题时, 应该要有逆向思维, 如果正面不好入手, 就从反面着手。 首先假设该命题结论的反面成立, 依次进行推理。 如果所推导出来的结果与命题中的已知条件、公理、定义等相互矛盾, 或者推导出来的两个结果相互矛盾, 就能说明这个假设的“ 结论反面成立” 是不正确的, 故而证明命题中的结论能够成立, 是正确的。

例:求证图1中圆内不过圆心的两弦 (不是直径) 一定不能相互平分。

已知条件:如图1所示, AB、CD是⊙O内任意两条相交于P的非直径的弦。

求证:AB、CD一定不能相互平分于P。

证明:假设AB、CD相互平分于P, 连结OP

可见, 该结论与已知公理相矛盾, 故该假设不成立。

∴AB、CD一定不能相互平分。

二、面积法

面积法是用面积之间的关系替代题目中需要证明的几何量, 将题目中的几何量用相关图形面积形式表示出来。 相较而言, 面积法更加直观, 更利于表述。

例:△ABC中, ∠ABC的平分线是AD, 求证:AB∶AC=BD∶DC。

证明:如图2所示, 过点D分别作DE⊥AB于E, DF⊥AC于F

则DE=DF

三、割补法

割补法在解平面几何图形问题时比较常用, 将原有的不完整的图形补或者割成比较常用的三角形 (等腰、等边、直角三角形) 、平行四边形、矩形、正方形、梯形、圆形或者其他对称图形等。这样一来, 学生就能将原来不规则的、相对陌生图形转化为规则的、熟悉的图形进行解答。

例: 已知四边形ABCD, ∠A =60° , ∠B、∠D均为90°, 其中AB=2, CD=1, 分别求BC和AD的长。

解:如图3所示, 分别延长BC、AD, 使其延长线相较于E

四、分析综合法

学生在进行几何推理时通常会有两种思维模式, 一种是根据原因推导结果, 另一种则是根据结果推导原因。前者是指学生根据题目已知条件, 运用相关的公理、定义或者定理进行推导, 从而得出结论;后者是一个逆推的形式, 即学生在解题时从结果出发, 依次寻找能够使结论成立的条件。综合性的几个问题通常较为复杂, 仅靠一种方式解决起来相对困难, 所以学生需要将两种方式结合起来使用, 即所谓的综合分析法。

例如:如图4所示, 若点P是菱形ABCD中对角线BD上的一点, 连结AP并延长, 与CD相交于点E, 与BC延长线相较于点F, 求证:PC2=PE·PF。

解题思路分析:

由已知条件中菱形的性质知, ∠BDA=∠CDB, AD=CD,

五、几何变换法

学生经常会在在解某一些平面几何问题时感到束手无策, 因为这些题目中的图形所隐含的几何性质比较分散、晦涩, 不容易发现题目中已知条件与结论之间的关系。此时就要求学生能够巧妙地对图形进行一定程度的变换, 对原有图形中的某一部分进行位移或者做其他较为恰当的变化, 以使图形的几何性质能够凸显出来, 分散的条件能够汇聚起来。 如此一来便能化难为易, 解题思路更加清晰明了。

参考文献

[1]孙金栋.初中数学“图形与几何”中的合情推理研究[D].山东师范大学, 2011.

[2]葛莹.初中数学几何推理与图形证明对策[J].学周刊, 2015 (14) :222.

[3]龙琼.初中生几何证明典型错误及归因研究[D].西南大学, 2013.

[4]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈[J].数理化解题研究:初中版, 2014 (10) :56.

3.初中数学几何推理与图形证明对策 篇三

关键词：初中数学 几何推理 图形证明

几何是要求空间感与立体感相结合的学科，在几何的推理与图形证明过程中，既充满了挑战，又包含了很多乐趣。几何推理与图形证明是数学题目中相对有趣的内容，需要解题人保持清醒的头脑，能正确运用线条来解答题目。初中数学的几何推理与图形证明着力于立体空间，解题方法也以辅助线为主。因此，初中的数学几何一定要在空间教学中做足功夫，这样可以帮助学生更好地解决难题。

一、几何的重要推理过程

在解答几何图形习题时，推理是关键的一步。合理推理的有效方式是借助对比和归类，即在解题时找准点线的关系。分析图形中点线面之间的联系，要大胆地猜想图形中可能存在的关联性，哪些点之间可以连成线，也可从一点或一线入手，或在一面中做出线段，使其分成多面，以求证最后的关系。推理的过程需要仔细研究图形的不同特点，并运用其特点进行推算。在平时的推理中，我们应多看一些必要条件，如平行、相等、相似等字眼，也可以适当地运用“跳跃性”思维。跳跃性思维要求解题者在推理的时候不要用陈旧思维，可以把看似没有关系的线段和面結合在一起，这样往往会得到意想不到的结果。在运用跳跃性思维时也要注意各面和线的关系，只有在同一空间下的线和面才可连接，不可把两个或多个图形相连接。

二、巧用基本图形进行推理

（一）掌握简单图形

初做立体几何题时，学生会分不清几何与代数之间的差别，有时也会用错方式和方法，这时只要巧妙运用基本的几何图形，就能很快找到解题方法。基本的图形在解题中比较常见，通常会在题中出现证明相似、相等这样的字眼时用到。这就要求学生对基本图形有一定的了解，在复杂的图形中找出基本图形。复杂图形都是基本图形组成的，所以学生在做题时不用担心找不到解题方法，只要把基本的图形从复杂图形中挑出来，几何证明就会变得简单了。基本图形有很多种，有的只要稍稍变化就可以成为另一种图形，所以我们在运用基本图形时，可以多变化几种形式，如三角形可以有等腰三角形、等边三角形等，这样学生在进行几何推理时就更加方便了。

（二）图形简单化

由于几何推理是在图形中进行有规则的分析和解答。当图形比较复杂时，我们可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来，一步一步地进行解答，这样有利于学生的进一步思考。对于分离图形，我们可以根据已知条件来进行，这样的分离方式不会遗漏任何条件，并且能使学生对题目有更准确的分析和判断。图形分离的越简单，对学生解题就越有利，所以在分析图形时，积极拆分图形是很有必要的。

三、明确题目中各要素

在几何推理命题中，题目的各个给出条件都是很重要的，通过这些，我们可以知道哪些是已经知晓的，可以直接用来解题，哪些条件能够推出结论，特别是在复杂的命题面前，这些因素都要考虑。在解题中，找到各种条件是很重要的，把握条件和结论之间的逻辑关系也是解题的关键，如从已知条件推出什么样的结论，什么样的结论该由哪些条件推理得出，包括怎样推出。读题是解答几何图形的关键步骤，题中的一些关键字眼可以帮助我们完成几何推理的过程。因此，掌握好各要素，并加以分析，在几何解题中有着不可或缺的意义。

四、正确利用辅助线推理

（一）辅助线的重要作用

辅助线是几何推理中的重要的部分，辅助线可以分解图形，更有利于推理和分析。在分析如何绘制辅助线时，我们要仔细观察图形的特点，比如，三角形的辅助线多以某一顶点开始；而立方体的辅助线多是在空间中体现的，有时甚至是在不同面连接而成。

（二）合理的推理过程

初中数学几何更倾向的是考查学生的推理思维能力，单一的死记硬背不能应用于所有几何推理中，只有找到几何推理的窍门并加以运用，才能在每一种几何推理中取得成功。注重面与面之间的构成关系，以及线与线之间的连接关系是推理的重要步骤。在做好辅助线后，一定要标明各个线面的名称，为后续的推理做铺垫。在几何推理中，面面证明和线线证明是很重要的，我们要理清每一个面之间的合理关系及线与线的相辅关系。

运用辅助线是推理和解答几何题的重要一步。好的辅助线能让学生轻松地解答几何图形题，所以在几何解题中，我们要保持清醒的头脑，知道辅助线的运用及合适的位置，以便顺利完成几何题的推理过程。

参考文献：

[1]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈.数理化解题研究：初中版，2014（10）.

[2]沈定祥.浅谈基本图形在初中数学几何教学中的作用[J].学科科学，2014（104）.

4.推理与证明 篇四

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。推理与证明贯穿于数学的整个体系，它的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。

学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。

《新标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现---猜想---证明”，因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程，发展学生的探究和创新精神。

5.推理证明测试题 篇五

试卷满分100分，考试时间105分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1、下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2、下面使用类比推理正确的是（）.A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

C.“若(ab)cacbc” 类推出“ab

ca

cb

c（c≠0）”

nnnnnnD.“（ab）ab” 类推出“（ab）ab”

3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线

平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误b平面，直线a的，这是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；

(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。

5、在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（）

A.29B.254C.602D.20046、利用数学归纳法证明“1＋a＋a＋„＋a

成立时，左边应该是（）

(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a37、某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk

1时命题也成立.现已知当n7时该命题不成立，那么可推得

A．当n=6时该命题不成立 C．当n=8时该命题不成立（）2n＋10123=1an21a，(a≠1，n∈N)”时，在验证n=1B．当n=6时该命题成立 D．当n=8时该命题成立

8、用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n12(2n1)”（nN）时，从 “nk到nk1”时，左边应增添的式子是

9、已知n为正偶数，用数学归纳法证明1

121314

1n

12（1n

2

1n

4

12n)时，若已假设nk(k2为偶

D．

2k2k1

（）

A．2k1 B．2(2k1)C．

2k1k1

数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证

A．nk1时等式成立 C．n2k2时等式成立

（）

B．nk2时等式成立 D．n2(k2)时等式成立

10、数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（）

A．

21

2n1n

B．

212

n

1n

C．

n(n1)2

n

D．1－

n1

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是。

12、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：ABAC

BC。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两

两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.13、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),„,推广到第n个等式为_________________________.14、设平面内有ｎ条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则f(4)=；

当ｎ＞４时，f(n)＝（用含n的数学表达式表示）。

三、解答题：本大题共6题，共58分。

15、（8分）求证：

(1)a2b23abab);(2)6+7>22+5。

16、设a，b，x，y∈R，且错误！未找到引用源。（8分）

17、若a,b,c均为实数，且错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,求证：a，b，c中至少有一个大于0。（8分）

18、用数学归纳法证明：（Ⅰ）

（Ⅱ）1

121314

12

1n

1

3

3

5

n

(2n1)(2n1)



n(n1)2(2n1)

；（7分）

n；（7分）

19、数学归纳法证明：错误！未找到引用源。能被错误！未找到引用源。整除,错误！未找到引用源。.（8分）

20、已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论。

第四十一中学高二数学选修2-2《推理与证明测试题》答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.DCABBCABBB

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.11、1412、错误！未找到引用源。

13、错误！未找到引用源。

14、5；错误！未找到引用源。

三、解答题：本大题共6题，共58分。

15、证明：（1）∵a2b2

2ab,a3, b3;

2将此三式相加得

2(a2b23)2ab,∴a2b23abab).（2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2>（22+5）2，即证242240。∵上式显然成立,∴原不等式成立.16、可以用综合法与分析法---略

17、可以用反证法---略

18、（1）可以用数学归纳法---略（2）当nk1时，左边(1

（1

2k



k

12

1k)（12

k



k1

1)k



k



k）k2

k

k1=右边，命题正确

2k项

19、可以用数学归纳法---略

20、解：(1)a1＝

158, a2＝

n, a3＝,猜测 an＝2－

(2)①由（1）已得当n＝1时，命题成立；

②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－

k,当n＝k＋1时, a1＋a2＋„„＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋„„＋ak＝2k＋1－ak

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－

k,ak＋1＝2－

k1,即当n＝k＋1时,命题成立.根据①②得n∈N+, an＝2－

n

6.类比推理和证明（推荐） 篇六

一、类比推理

1.什么是类比推理

类比推理是指根据A、B两类对象在一系列属性上的相似，又已知A对象还有其他属性，从而推出B类对象也具有其他相似属性的推理。2.类比推理的公式表示为：

对象A有属性a、b、c、d 对象B有属性a、b、c 所以，对象B也具有属性d 3.类比推理的特点是：

第一，从思维类型上看，类比推理具有跨域性和跳跃性。

第二，从思维进程或思维方向上看，类比推理是从特殊到特殊。

演绎推理是从一般到个别，归纳推理是 从个别到一般。

第三，类比推理的前提和结论的联系具有或然性。第三，类比推理的前提和结论的联系具有或然性。第四，类比推理不同于比较的思维方法。

类比是在比较的基础上进行的推理，而比较是认识两类事物异同点的一种简单逻辑方法。类比推理也不同于语言表达中的比喻。

二、类比推理的基本类型 1．肯定类比

肯定类比(或正类比)是类比推理的最一般形式。它根据两个对象存在某些相似的属性推出它们在另一属性上也是相似的。2．否定类比

否定类比(或负类比)是根据两个对象存在某些属性的相异而推出它们在另一属性上也是相异的。3．中性类比

中性类比是根据两个对象在某些方面的相似而在另外一些方面的差异，在平衡两者之间的相似点和差异点的基础上，依据关键的相似或相异要素，推出两个对象在其他方面的相似或相异的结论。

三、提高类比推理结论可靠性的要求 第一，尽可能寻找类比对象的相似属性。

第二，尽量采取类比对象的本质属性或最接近本质 属性的属性进行类比。

第三，尽可能查证分析两类比对象间的差异性，防止忽视重要差异而犯“机械类比”的错误。

四、类比推理的作用

1．类比推理可以为人们提供认识事物的途径 2．类比推理是科学知识创新的有效方法

3．类比推理是人们进行论证或说明的重要方式

运用类比推理可增强论证的说服力或反驳的效力。

康德说：每当理智缺乏可靠论证的思路时, 类比这个方法往往能指引我们前进。4．类比推理是模拟方法的理论基础

20世纪中叶出现的仿生科学就是运用了模拟类比的方法，专门研究生物系统的构造和功能，并创造出模拟它们的技术系统。

5、运用类比推理，可以培养司法类推能力。

证明与反驳

一、证明的概述 1.何谓证明

证明由三部分组成，即论题、论据和证明方式。

证明是由论题和论据两个部分通过论证方式而组成的。论题是真实性需要加以证明的判断。论据是用来证明论题真实性的那些判断。

二、证明的原则——充足理由原则 1.充足理由原则的要求 第一，作为理由的判断应当是真实的；

第二，理由和推断之间应当具有逻辑上的必然联系。2.违反充足理由原则要求的逻辑错误（1）“虚假理由”：理由本身是虚假的。（2）“推不出”：理由和推断之间没有必然的联系。

三、证明的种类

1.演绎证明和归纳证明

⑴演绎证明,用一般原理确定关于特殊事实命题之真实性的证明。⑵归纳证明,用关于特殊事实的命题确定一般原理之真实性的证明。2.直接证明和间接证明

⑴直接证明就是用论据正面推出论题的证明。

⑵间接证明就是通过证明相关命题的虚假，以迂回的方式确定论题之真实性的证明，又称反证法。常用的间接证明有两种，即归谬法和穷举法。

四、证明的规则 1.关于论题的规则

⑴论题必须明确。相应谬误：“论旨不明”

⑵在同一过程证明中，论题应当保持确定。相应谬误：“转移或偷换论题” 2.关于论据的规则

⑴论据必须是真实的。

⑵论据的真实性不能依赖论题来说明。相应谬误：“循环论证” 3.关于证明方式的规则

论据和论题之间应当有必然的逻辑联系。相应谬误：“推不出”;（1）违反推理规则（无效推论）（2）题论据不相干（无关推论）（3）以相对为绝对（以偏概全）（4）论据不充分

以人为据（人身攻击、诉诸权威、诉诸无知、诉诸感情等）.通常所说的“因人纳言”或“因人废言”就是犯了这种错误。所谓“嘴上无毛，办事不牢”，用“办事者年纪轻”为论据来证明“年轻人办不好事”，也属这类错误。

五、谬误

谬误是指人们在思维和语言表达中所产生的一切逻辑错误。谬误可以分为两大类：形式谬误与非形式谬误。由于形式谬误是指那种由于违反形式逻辑的规则而产生的逻辑形式不正确的各种谬误，这在前面已介绍过，下面我们仅着重介绍一些常见的非形式谬误。1.词语歧义。这是指在确定的语言环境下对同一语词在不同意义下使用(即表达了不同概念)而引起的逻辑错误。

2.语句歧义。这是指在确定的语言环境下，对同一语句作不同意义的解释(即用以表达了不同的判断或命题)而导致的逻辑谬误。3.诉诸无知。

4.诉诸武断。主观作出判断的一种谬误。5.诉诸怜悯。

6.诉诸感情，亦称投从所好。“以人为据”： 7.人身攻击。这是指在论辩中用攻击论敌的个人品质，甚至谩骂论敌的手段，来代替对具体论题的论证。8.诉诸权威。摘引权威人士的言论，以之作为论证论题正确的充分论证的一种谬误。9.因人纳言。

7.高二期末复习推理与证明 篇七

（一）．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

（二）证明

⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

3.数学归纳法

一般的证明一个与正整数n有关的一个命题，可按以下步骤进行：

⑴证明当n取第一个值n0是命题成立；

⑵假设当nk(kn0,kN)命题成立，证明当nk1时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从n0开始所有的正整数都成立。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ②n0的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

注：①证明时，两个步骤，一个都不能少。其中，第一步是递推的基础，第二步则是证明了递推关系成立。，②用归纳法证明命题，格式很重要，通常可以简记为“两步三结论”。两步是指证明的两步(1)(奠定递推基础)和(2)(证明递推关系)；三结论分别是指：步骤(1)中最后要指出当n=n0时命题成立，步骤(2)最后要指出当n=k+1时命题成立，证明的最后要

*给出一个结论“根据(1)(2)可知，命题对任意n∈N(n≥n0)都成立”。

易错点分析：①初始值取值是多少；②第二步证明n=k+1时命题成立需要使用归纳假设；

1111n 2

321111

kkk1共2k项从n=k到n=k+1时，实际增加的项是k

2122232

③由n=k到n=k+1时，命题的变化(增减项)，如：fn1例1.1.当a0,b0时,有

ab

ab成立,并且还知道此结论对三个正数、四个正数均成立2abc当a,b,c0时,有abc成立

abcd当a,b,c,d0时,有成立。猜想，当a1,a2,,an0时，有怎样的不等式成立？

2..观察以下各等式：

①tan10tan20tan20tan60tan60tan101 ②tan5tan10tan10tan75tan75tan5

1分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对你的结论进行证 3．、将下列三段论形式的演绎推理补充完整： 纯虚数的平方是负实数，_______________________，3i的平方是负实数。.例2.设在R上定义的函数f(x)，对任意实数x都)有f(x2)f(x1)f(x),且f(1)lg3lg2,f(2)lg3lg5，试求归纳出f(200

1的值。

例3.1.设SAB的两边SA、SB互相垂直，则SASBBC。类比到空间中，写出相应的结论

2.设A1、B1分别是PAB的两边PA、PB上的点，则

SPA1B1SPAB



PA1PB

1PAPB

四面体猜想：设A1、B1、C1分别是四面体PABC的三条侧棱PA、PB、PC上的点，则有什么结论？

，则3.已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为、cos2cos21。若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式

例4.1.设k0,且k是奇数，求证:方程x2x2k0没有有理根

2.设a,b都是整数，且ab能被3整除，试用反证法证明a,b都能被3整除

例5.1.已知数列an的前n项和为Sn，且a11,Snn2an(nN)，（1）试计算S1,S2,S3,S4，并猜想Sn的表达式;(2)证明你的猜想，并求出an的表达式。

2.设nN,fn52

3

n

n

1（2）你对fn的值2，3，4时，计算fn；1，1当N1，有何猜想，用数学归纳法证明你的猜想

推理与证明

1.从112,23432,3456752中，得出一般性结论是2.已知函数f(x)

xx，则ff....f(x)

n个f

3.f(n)1

111357

(nN)，f(2),f(4)2,f(8),f(16)3,f(32)，23n22

2推测当n2时，有

4.平面上有kk2条直线，其中任何两条不平行，任何三条不交于同一点，则这kk2条直线将平面分成的区域个数是

5.在RtABC中，若C900,ACb,BCa,则三角形ABC的外接圆半径

r

a2b2，把此结论类比到空间，写出类似的结论 2

，则6.已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为、cos2cos21。若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式：7.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：

8.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列的一些性质，①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等．你认为比较恰当的是．

9.下面说法中是合情推理的是1由圆的性质类比出球的性质；（2）某次考试小明的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩是100分；（3）三角形有内角和是180，四边形的内角和是360五边形的内角和是540，由此得凸多边形的内角和是n2180；（4）我







国古代工匠鲁班根据带齿的草叶发明了锯子

10.下面说法中是演绎推理的是（1）由三角形的性质，推测空间四面体的性质；（2）高三有10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人；（3）在数列an中，a11,an

11an1n2，由此可求a2,a3,，即可归纳2an1

出an的通项公式 ；（4）两条直线平行，同旁内角互补，如果A,B是两条平行直线的同旁内角，则AB180



11.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面，直线a平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为错误？

12.用反证法证明“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，正确的反设是 13.用反证法证明“若x2abxab0，则xa且xb”, 正确的反设是14.下列叙述“（1）a2的反面是a2；（2）mn的反面是mn；（3）三角形中最多有一个直角的反面是没有直角；（4）a,b,c不都为0的反面是a2b2c20a,b,cR 15.用数学归纳法证明1



11111111

nN，2342n12nn1n22n

n3n1的第二步中，nk1时的则从nknk1，左边所要添加的项是16.用数学归纳法证明n1n2nn

等式的左边与nk时的等式的左边的差是

17.用数学归纳法证明“52能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用假设的结论，应将5

k1

n

n

2k1变形为

8.推理与证明教案及说明 篇八

人教A版选修2-2 合情推理（第一课时）——归纳推理参评教师：中卫市第一中学俞清华

教案说明

一、授课内容的数学本质与教学目标定位

推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式，它不是数学所独有的，它是人们进行思维活动时对特定对象进行反映的基本方式。思维的基本规律是指思维形式自身的各个组成部分的相互关系的规律，即用概念组成判断，用判断组成推理的规律。它有4条： 即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。

推理通常分为合情推理和演绎推理,本节课所要学习的归纳推理便是合情推理的一种。归纳推理是由个别到一般的推理，前提是其结论的必要条件。首先，归纳推理的前提必须是真实的，否则，归纳就失去了意义。其次，归纳推理的结论超过了前提所判定的范围，因此在归纳推理中，前提和结论之间的联系不是然的，而是或然的，重在合乎情理。

本节课是本章内容的第一课时，按照新课标的要求，结合学生的具体情况，我制定了如下的教学目标： 【知识与技能】

结合生活实例了解推理含义；掌握归纳推理的结构和特点，能够进行简单的归纳推理；体会归纳推理在数学发现中的作用。【过程与方法】

通过探索、研究、归纳、总结等方式使归纳推理全方位、立体式的呈现在学生面前，让学生了解数学不单是现成结论的体系，结论的发现也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识；充分培养学生发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。【情感、态度与价值观】

通过学习本节课培养学生实事求是、力戒浮夸的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培

养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。

二、本节课的地位和作用

学习形式逻辑知识，可以指导我们正确进行思维，准确、有条理地表达思想；可以帮助我们运用语言，提高听、说、读、写的能力；可以用来检查和发现逻辑错误，辨别是非。同时，学习形式逻辑还有利于掌握各科知识，有助于将来从事各项工作。

推理与证明的学习一直贯穿高中数学的过程中，但在旧教材中一直没有集中系统的阐述，随着科学发展对人才思维水平要求的提高，新课改将这部分内容纳入教材是具有积极的现实意义的。高中阶段所学习的推理与证明属于数学思维方法的范畴，即把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，以培养言之有理、言之有据的习惯。

推理不是数学独有的，它广泛地存在于科学发展的过程、生产生活的实践之中，所以在授课时我旁征博引，列举了许多生活中的、科学发展史上的、其他科学中涉及的推理，力求通过学习，使学生架起数学与科学、数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。

三、教学诊断分析

通过大量列举生活、科学中的实例，学生对推理以及归纳推理的含义和结构是很容易理解的，学习过程中可能会在下面几个方面遇到障碍：

1．对归纳推理形式的理解：归纳推理是由个别到一般的推理，那么个别究竟有多少，原则上说能够发现共性并能归纳出一般结论即可，对个体的数目没有严格要求，但是参与归纳的个体的数量越多，归纳得到的结论就越可靠。

2．归纳推理所得结论的或然性可能让学生产生思维上的冲突，归纳推理的结论超出了前提的判定范围，所以必然会导致结果的或然性，但这不是归纳推理的弊端，不能因此否定归纳推理的作用，归纳得到的结论可以有严格的演绎推理来证明。

3．归纳推理的作用：对于归纳推理的作用，不能片面认为“万能”的，也不能由于归纳结论的或然性而否定其在科学中的发现作用，所以通过例题的设置、同学的分析和讨论、教师的必要讲解，要让学生对归纳推理有一个全方位的立体的认识。

四、教法特点与效果分析

在教学过程设计方面根据教学内容我设计了四个教学环节，分别是“创设情境，导入新课”、“合作探究，收获新知”、“课堂回眸，感悟提高”、“布置作业，学以至用”，其中“合作探究，收获新知”是设计的主体，在这里，根据学生的认知能力和认知水平，我又分成四个学习阶段，分别是“形成概念”、“典例分析”、“巩固提高”，“思维拓展”，逐层递进，突出重点，解决难点。

在过程设计方面我很注重两个方面的问题，一是课程的紧凑性和完整性，所选的例练习题具有典型性，环节之间注意递进性，使得整节课能够环环相扣，层层深入；另一个是注重数学问题与现实生活的紧密结合，在每个教学环节、每个教学过程中，我都设计了不同的生活实例，让学生感觉知识的亲切感和实效性，体现数学的实际应用价值。

在教学过程中，我大力倡导学生自主学习、合作学习和探究学习，如在处理欧拉公式时，为了让学生亲身体会归纳推理的全过程，我不惜花费大量的时间让学生之间完成讨论和研究，并展示他们的研究成果，事实证明学生确实在讨论研究过程中思维得到了拓展和深化。这样处理的地方还有很多，如概念的形成，思维拓展等等，总之在整个设计中，我作为教师是情境的创造者，过程的引导者和启发者，学生才是学习的主体，是知识的探究者和发现者，在课堂中，尽量多的体现了“以人为本”的教育理念。

我在《归纳推理》这节课中让更多的学生参与到了课堂中来，使用多种教学辅助手段，多媒体课件、实物展台与板书教学相结合，对学生各种感官进行全方位、多层次、全面立体的刺激，达到了较好的教学效果，完成了既定的教学目标，通过学生的课堂感悟，反映出学生对归纳推理的全面的、正确的认识。

9.推理与证明复习题3 篇九

3A.甲B.乙C.丙D.丁

10．已知直线a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系（）1.用反证法证明命题“已知xR，ax21，b2x2，则a,b中至少有一个不 小

于0”反设正确的是（）

A.假设a,b都不大于0B.假设a,b至多有一个大于0

C.假设a,b都大于0D.假设a,b都小于0

2．下列属于相关现象的是（）Ａ．利息与利率

Ｂ．居民收入与储蓄存款 Ｃ．电视机产量与苹果产量

Ｄ．某种商品的销售额与销售价格

3.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()

A.310B.2779C.8D.9 4．如图所示，图中有5组数据，去掉组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大（）

Ａ．EＢ．CＣ．DＤ．A5、每一吨铸铁成本yc(元)与铸件废品率x%建立的回归方程y

c568x，下列说法正确的是（）Ａ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元 Ｂ．废品率每增加1%，成本每吨增加8% Ｃ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元 Ｄ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元

6．下列说法中正确的有：①若r0，则x增大时，y也相应增大；②若r0，则x增大时，y也相应增大；③若r1，或r1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上（）

Ａ．①②Ｂ．②③Ｃ．①③Ｄ．①②③

7．用数学归纳法证明：“1+a+a

2+„+an+

1=1an2

1a

(a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为

A.1B.1+aC.1+a+a

2D.1+a+a2+a

38.若一个命题的结论是 “直线l在平面内”，则用反证法证明这个命题时，第一步应作 的假设为（）

A.假设直线l//平面B.假设直线l平面于点A

C.假设直线l平面D.假设直线l平面

9.有一天，某城市的珠宝店被盗走了价值数万元的钻石.报案后，经过三个月的侦察，查明作案人肯定是甲．乙．丙．丁中的一人.经过审讯，这四个人的口供如下： 甲：钻石被盗的那天，我在别的城市，所以我不是罪犯.乙：丁是罪犯.丙：乙是盗窃犯，三天

前，我看见他在黑市上卖一块钻石.丁：乙同我有仇，有意诬陷我.因为口供不一致,无法判断谁

是罪犯.经过测谎试验知道，这四人只有一个人说的是真话，那么你能判断罪犯是

Ａ．一定是异面直线Ｂ．一定是相交直线 Ｃ．不可能是平行直线Ｄ．不可能是相交直线 11.已知a+b+c=2，则ab+bc+ca的值()(A)大于

43(B)小于

43(C)不小于43

(D)不大于

12.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn

+yn

能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（）

A.假设n= k（kN*），证明n= k +1命题成立

B.假设n= k(k是正奇数)，证明n= k+1命题成立

C.假设n=2 k+1(kN*),证明n= k+1命题成立 D.假设n= k(k是正奇数)，证明n= k+2命题成立

13．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2

θ－sin2

θ)(cos2

θ＋sin2

θ)＝cos2

θ－sin2

θ＝cos2θ”过程应用了()

A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法

14．要证：a

2＋b2

－1－a2b2

≤0，只要证明()

A．2ab－1－a2b2

≤0B．a2＋b2

－1a4＋b

42C.a＋b2

－1－ab≤0

D．(a－1)(b－1)≥0

15．①已知p

3＋q3

＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2

＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根

x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是()

A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确；②的假设错误

D．①的假设错误；②的假设正确

16、在对吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()

A．若随机变量K2的观测值k>6.635，我们有99%的把握说明吸烟与患肺病有关，则若某人

吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

B．若由随机变量求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病

C．若由随机变量求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，那么有5%的可能性使得推断错误

D．以上说法均不正确

17、以下关于独立性检验的说法中，错误的是()

A．独立性检验依据小概率原理 B．独立性检验得到的结论一定正确

23、列三角形数表

1-----------第一行22-----------第二行343-----------第三行4774-----------第四行 C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异

D．独立性检验不是判定两分类变量是否相关的唯一方法

根据表格提供的数据，估计“成绩与班级有关系”犯错误的概率约是（）

A.0.4B.0.5C.0.75D.0.8

5二 填空题

19用三段论证明f(x)=x

3+sinx(x∈R)为奇函数的大前提是________ 20 已知a,b是不相等的正数，xa

2,yab，则x,y的大小关系是_____用数学归纳法证明1+1+1+„+12

＜2(n∈N,且n＞1)，第一步要证的不等式

2n

1三 解答题

22、.已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12

an·（4-an）（n∈N）.证明：an＜an+1＜2（n∈N）.

51114115

„„„„

„„„„„

假设第n行的第二个数为an(n2,nN*)（1）依次写出第六行的所有数字；

（2）归纳出an1与an的关系式并求出an的通项公式；（3）设anbn1求证：b2b3„bn2

24若两个分类变量X与Y的列联表为：

10.高二文科推理与证明练习题 篇十

增城市华侨中学陈敏星

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.有个小偷 在警察面前作了如下辩解：

是我的录象机，我就一定能把它打开。

看，我把它大开了。

所以它是我的录象机。

请问这一推理错在哪里？（）

A大前提B小前提C结论D以上都不是

2.数列2，5，11，20，x,47,┅中的x等于（）

A28B32C33D27

3.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）

A a,b,c都是奇数B a,b,c都是偶数Ca,b,c中至少有两个偶数Da,b,c都是奇数或至少有两个偶数 4的最小值是（）x

1A2B3C4D5 4.设x1,yx

5.下列命题：①a,b,cR,ab,则ac2bc2；②a,bR,ab0,则ba2；③aba,bR,ab，则

abanbn；④ab,cd,则.cd

A0B1C2D

36.在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（）

A29B254C602D2004 0123

b52，7.已知{bn}为等比数列，则b1b2b929。若an为等差数列，a52，则an的类似结论为（）

A a1a2a929 B a1a2a929C a1a2a929 D a1a2a929

8.已知函a,b,c均大于1，且logaclogbc4，则下列等式一定正确的是（）

AacbBabcCbcaDabc

9.设正数a,b,c,d满足adbc，且|ad||bc|,则（）

AadbcBadbcCadbcDadbc

x(xy)31,例如344,则()(cos2sin)的最大值是（）10.定义运算xy y(xy)24

A4B3C2D1

二、填空题（每小题4分，共16分）

11.对于“求证函数f(x)x在R上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是___________________,小前提是_______________,结论是12.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定是

13.已知数列

an的通项公式

an

(nN)

2(n1)，记

f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出

f(n)_______________._

14.设f(x)

122

x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得

f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是________________.）

三、解答题：

15（8分）若两平行直线a,b之一与平面M相交，则另一条也与平面M相交。16（8分）设a,b都是正数，且ab，求证：abab。

17（8分）若x

18（10分）已知xR，试比较x与2x2x的大小。

19（10分）设{an}是集合{22|0st,且s,tZ}中的所有的数从小到大排成的数列，即a13,a25,a36,a49,a510,a612,，将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下三角形数表：

t

s

abba

51,求证：14x-2。454x56

9101

2__________________

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

⑵求a100.exa

20（10分）设a0,f(x)是R上的偶函数。

aex

⑴求a的值；

⑵证明f(x)在(0,)上是增函数。

参考答案：

11、减函数的定义 ；函数f(x)x在R上满足减函数的定义

12、a≤b13、f(n)

三、解答题：

15、证明：不妨设直线a与平面M相交，b与a平行，今证b与平面M相交，否则，n214、322(n1)

设b不与平面M相交，则必有下面两种情况： ⑴b在平面M内，由a//b,则a//平面M，与题设矛盾。

16、设a,b都是正数，且ab，求证：abab。

ab

ba

aabbabaaabbba()ab,abb

aa

若ab,1,ab0,则()ab1,得aabbabba;

bbaa

若ab,1,ab0,则()ab1,得aabbabba.bb17、略

18、log23log827log927log916log34,log23log34.19、第四行：17182024第五行：3334364048

11.几何证明完成推理 篇十一

n－m

bbn－ambn

比等比数列中的，等差数列中.an－max7.设函数f(x)，观察： x＋

2xxxf1(x)＝f(x)f2(x)＝f(f1(x))f3(x)＝f(f2(x))x＋23x＋47x＋8

xf4(x)＝f(f3(x))15x＋16

根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．

x答案：（2－1）x＋2

解析：观察知四个等式等号右边的分母为x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x

n＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以归纳出fn(x)＝f(fn－1(x))的分母为(2－1)x

x＋2n，故当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))（2－1）x＋238.观察：① sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝ sin26°＋cos236°＋sin 6°

43cos36°＝4

由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

3解：猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°).4

证明如下：

2左边＝sinα＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα]

＝sin2α＋α－1sinαα＋1α 2222313＝sin2α＋22α＝ 444

所以，猜想是正确的．

9.在Rt△ABC中，两直角边的长分别为a、b，直角顶点C到斜边的距离为h，则易证11

1.在四面体S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，hab点S到平面ABC的距离为h，类比上述结论，写出h与a、b、c之间的等式关系并证明．

1111解：类比得到：＋.habc

证明：过S作△ABC所在平面的垂线，垂足为O，连结CO并延长交AB于D，连结SD，∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥AB.∵SC⊥SA，SC⊥SB，∴SC⊥平面ABC，∴SC⊥AB，SC⊥SD，∴AB⊥平面SCD，∴ AB⊥SD.在Rt△ABS中，有

111111中，有＝＋＋.hSDcabc111，在Rt△CDSSDab 2210.老师布置了一道作业题“已知圆C的方程是x＋y＝r，求证：经过圆C上一点

2M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意

思，经过认真思考后大胆猜想出如下结论：若圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则经过圆

2C上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.你认为小明的猜想正确

吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．

解：小明的猜想正确．

(证法1)若x0≠a，y0≠b，则因圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，M(x0，y0)是圆C上

y0－b一点，所以直线MC的斜率为k1＝，设过M(x0，y0)的切线斜率为k，因直线MC与切x0－a

x0－ax0－a1线l垂直，所以k＝－＝－所以过M(x0，y0)的切线l方程为y－y0(x－x0)，k1y0－by0－b

22整理得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝(x0－a)＋(y0－b).又点M(x0，y0)在圆C上，所以有(x0

222－a)＋(y0－b)＝r，故此时过M(x0，y0)的圆C的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)2＝r.若x0＝a或y0＝b(同时成立不合题意)，则切线的斜率不存在或为0，可直观看出：|y0－b|＝r或|x0－a|＝r，此时切线方程分别为y＝y0或x＝x0，适合(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)22＝r.综上所述，过M(x0，y0)的圆C的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.→→→(证法2)设P(x，y)为切线上任一点，则PM＝(x0－x，y0－y)，CM＝(x0－a，y0－b)．又PM

→→→⊥CM，∴ PM·CM＝0，即(x0－x)(x0－a)＋(y0－y)(y0－b)＝0.又(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，化简得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2为所求切线．

11.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出f(5)的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；

1111(3)＋＋„＋的值． f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－1

解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，„，由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4nf(n＋

1)＝f(n)＋4nf(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝„＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋„＋4＝2n2－2n＋1.11111，(3)当n≥2＝

f（n）－12n（n－1）2n－1n

1111所以＋＋„＋ f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－111111111＝1＋(1－＋－„＋)222334n－1n

12.数列与推理证明检测题 篇十二

一 选择题

()

2．已知等差数列an的前项和为Sn，若M,N,P三点共线，O为坐标原点，且ONaOM1

5

aO(P直线MP不过点O)，则S20等于（）6

A．15B．10C．40D．20

3．数列{an}中，a1a21,an2an1an对所有正整数n都成立，则a10等于()A.3

4B.55

C.89

D.100

24．若数列{an}中ann6n

7，则其前n项和Sn取最大值时，n（）

A．3Ｂ．6Ｃ．7

Ｄ．6或7 5．已知数列an

a20=（）

A.0

6．数列an满足：an2an1-an（nN），且a21，若数列的前2011项之和为2012，则前2012项的和等于

A．0B． 1C．2012 7．用正偶数按下表排列

D．201

3则2008在第行第列.（）A．第 251 行第 5 列 B．第 251 行第 1列

C．第 250 行第 3 列

D．第 251 行第 5 列或第 252 行第 5列

8．黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（）块.A.21B.22C.20D.23

9．某个命题与正整数有关，若当nk(kN*)时该命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()

A、当n6时，该命题不成立

C、当n4时，该命题成立 10． 设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn为数列a1，a2，„，an

a1，的“理想数”，已知数列a1，a2，„„，a502的“理想数”为2012，那么数列2，„，a2，a502的“理想数”为（）

A．2010B．2011C．2012D．201

311．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 012个圆中共有●的个数是（）A．61B．6

2【答案】A

C．63D．6

412．已知数列an的通项为an

2n1，Sn为数列

an的前n

数列

bn的前n项和的取值范围为()

A二 填空题

．设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S5S12，则当Sn取得最大值时，n的值为14n项和Sn

15．若{an}是递增数列λ对于任意自然数n,annn恒成立，求实数λ的取值范围是

【答案】λ>－3

15数列a

n中，Snn,某三角形三边之比为a2:a3:a4，则该三角形最大角为

16在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1图，在四面体P—ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则h与PA, PB, PC

有关系式：．

D

O

三解答题

17．（本小题满分12分）

等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n,Sn)均在函数

ybr(b0且b1,b,r均为常数)的图像上.x

（1）求r的值；（2）当b

2{bn}的前n项和Tn.18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形

（Ⅰ）求出f(5)的值；

（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；

.19.（本小题14分）

在等差数列{an}中，a1030,a2050.(1)求数列{an}的通项an；(2)令bn2a

n

10，证明：数列{bn}为等比数列；

（3）求数列{nbn}的前n项和Tn.20

（Ⅰ）求f(x)f(1x),xR的值；

(nN*)，求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）若数列bn满足bn2n1an，Sn是数列bn的前n项和，是否存在正实数k，使不等式knSn4bn对于一切的nN恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．已知数列a

nn项和S

n

（1）求数列an的通项公式；（222．（本小题满分14分）已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前

n项和，且满足an2S2n1，nN*．数列b

n和．

（1）求a1、d和Tn；

Tn为数列bn的前n项

n

（2）若对任意的nN*，不等式Tnn8(1)恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数m,n(1mn)，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有