概率论与数理统计说课

概率论与数理统计说课（共12篇）（共12篇）

1.概率论与数理统计说课 篇一

概率论与数理统计

一、随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验

考试要求

1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．

2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．

3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.二、随机变量及其分布

考试内容

随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考试要求

1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．

2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布 及其应用．

3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为

5．会求随机变量函数的分布．

三、多维随机变量及其分布

考试内容

多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布

考试要求

1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质.理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．

2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．

4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.四、随机变量的数字特征

考试内容

随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质

考试要求

1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会

运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．

2.会求随机变量函数的数学期望.五、大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli)大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列维－林德伯格（Levy-Lindberg）定理

考试要求

1．了解切比雪夫不等式．

2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)．

3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)．

六、数理统计的基本概念

考试内容

总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩分布分布分布 分位数 正态总体的常用抽样分布

考试要求

1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为：

2．了解 分布、分布和 分布的概念及性质，了解上侧 分位数的概念并会查表计算．

3．了解正态总体的常用抽样分布．

七、参数估计

考试内容

点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

考试要求

1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．

2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．

3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．

4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.八、假设检验

考试内容

显著性检验 假设检验的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

考试要求

1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．

2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验．

数学大纲和去年相比变化之处

从拿到大纲的情况来说，今年的大纲和往年是没有什么变化，这一点和我前面所预测的是基本上一致的。当然大纲没有变化，对大家也有一个好处，也就是大家可以按照原先的计划，按步就班的走，不用考虑有一些计划

调整等等这样一类的东西。

2011年考试的难度是有一个怎样的趋势

至于难度，咱们要说2011年的难度，可以看一下这几年的难度水平。数一2008，2009年的难度水平基本上是一致的，2010年的考试难度有一定的上升，我认为2011年难度水平应该有所下降。大纲没有变，而考研是一个选拔性的考试，要求有一定的稳定性。所以，数一的同学，2011年的考试试题难度可能有所下降，水平和2008，2009是一致的。对数二和数三来说，水平应该和往年基本上是一致的。

2011年的考察重点会在哪个方面

由于今年考研大纲没有变化，我们可以根据考试的一些要求，还有历年考试真题的情况，咱们可以看一下历

年考试的重难点。

咱们看高等数学部分，高等数学部分第一部分函数、极限连续这一块，重点要求掌握两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换，这样一些东西，还有一些极限存在性问题，间断点的类型，这些东西在历年的考察中都比较高，而我上课的时候一直给大家强调，考极限的话，主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换，特别针对

数三的同学，这儿可能出大题。

第二部分是一元函数微分学，这块大家主要处理这几个关系，连续性，可导性和可微性的关系，掌握各种函数的求导方法。比如隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。

一元函数微分学涉及面非常广，题型比较多，而且这一部分还有一个比较重点的内容，就是出证明题。咱们知道中值定理是历年经常考的一个考点，所用的主要方式就是构造辅助函数的方法进行证明。当然，这里还包含

一部分等式和不等式的证明，零点问题，以及极值和凹凸性。

多元函数微分学，这一块内容实际上也是按照一元函数微分学的形式进行考察的，比如咱们求偏导数，先固定一个变量，给另一个变量求导数，归根到底还是考察一元函数微分学。对多元函数微分学，大家还有一个内容

要掌握，连续性、偏导性和可微性，特别是抽象函数求二阶导数和二阶混合偏导这一类的题。

当然，还有一个问题，多元函数微分学的应用，主要牵扯两方面，一个是条件极值，一个是最值问题。这两

块。

积分学包含两块，也就是一元函数积分学和多元函数积分学，对于一元函数积分学一个是不定积分和定积分的计算，对不定积分一定要非常熟练掌握基本运算，对于定积分除了掌握用不定积分计算的方式，还要注意用定

积分的性质，比如定积分的奇偶性，周期性，单调性等等。

还有一块，定积分应用，主要考察面积问题，体积问题，或者说这块和微积分的结合等等。对于数一的同学来说，咱们还牵扯到一块，三重积分，曲线和曲面积分这两块，对于三重积分来说，大家主要掌握一些基本的，比如对球体、锥体、圆柱的积分，对于曲线和曲面积分主要掌握格林公式和高斯公式，利用格林公式把第二类曲线积分转化成二重积分，利用高斯公式把曲面积分转化成三重积分进行运算，这里有一个比较常考的知识点，曲

线积分与路径无关，这个要作为一个主要的知识点进行掌握。

第四部分，就是微分方程，微分方程有两个重点，一个是一元线性微分方程，第二个是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程，对第一部分，大家掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的公式就行了。对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的结构。另一块对于非齐次的方程来说，大家要注意它和特征方程的联系，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征

方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。这一类问题就是逆问题。

对于二阶常系数非齐次的线性方程大家要分类掌握。当然，这一块对于数三的同学来说，还有一个差分方程的问题，差分方程不作为咱们的一个重点，而且提醒大家一下，学习的时候要注意，差分方程的解题方式和微方

程是相似的，学习的时候要注意这一点。

第五个，级数问题，主要针对数一和数三，有两个重点，一个是常数项级数的性质，包括敛散性。

第二块，牵扯到幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间的计算，收敛半径与和函数，幂级数展开的问题，要掌握一个熟练的方法来进行计算。对于幂级数求和函数它可能直接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一

个常数项级数让咱们求它的和，要转化成适当的幂级数来进行求和。

关于线性代数这一块，有这样几个重点的内容，一个是逆矩阵和矩阵的秩。第二个，向量的线性相关性和向量的线性表示。向量组合的相关性，这一块极有可能考的类似于计算的证明题。比如让咱们证明几个向量线性无关。第三块是方程组的解的讨论，其中还包括有待定参数的解的讨论，这块的问题，往年也考得比较多。

第四块特征值和特征向量的性质，以及矩阵的对角化。

第五块，正定二次型的判断。大家在学线代的时候，还要注意一个方向，就是线性代数各个章节的连贯性是比较强的，我们在复习总结的时候，特别是后期，对于这一块内容要自己有一个总结，然后还可以看一看比如咱

们的复习全书或者复习指南这之类的书，在脑海中对线性参数的知识点要形成一个知识性框架。

概率统计这块（数二不考），概率统计要注重这几块内容，一个是概率的性质与概率的公式，这一块要求咱们非常熟练的掌握，比方说加法公式，减法公式，乘法公式，全概率公式和Bayes公式，这块要非常熟悉的掌握。

还有一部分，古典概率和几何概率，这块大家掌握中等难度的题就可以了。

第二块，一维随机变量函数的分布，这个要重点掌握连续性变量的这一块。这里面有个难点，一维随机变量函数这是一个难点，求一元随机变量函数的分布有两种方式，一个是分布函数法，这是最基本要掌握的。另外是

公式法，公式法相对比较便捷，但是应用范围有一定的局限性。

第三块，多维随机变量的联合分布和边缘分布还有条件分布，多维随机变量的独立性，这块是考试的重点，当然也是一个难点。这块还有一个问题要求大家掌握的，随机变量的和函数和最值函数的分布。

第四块，随机变量的数字特征，这块很重要，要记住一维随机变量的数字特征都要记熟，数字特征很少单独性考察，往往和前面的一维随机变量函数和多维随机变量函数和第六章的数理统计结合进行考察。特别针对数一的同学来说，考察矩估计和最大似然估计的时候会考察无偏性。

第五块，参数估计这一点是咱们经常出大题的地方，这一块对咱们数一，数二，数三的同学，包含两块知识点，一个是矩估计，一个是最大似然估计，这两个集中出大题。数一的同学，咱们特别强调一点，考这个矩估计

或者最大似然估计，极有可能结合无偏性或者有效性进行考察。

2.概率论与数理统计说课 篇二

一概率统计课程现状

长期以来, 概率论与数理统计课堂教学模式单一。教师基本上采用定义+定理+例题的纯形式数学的教学模式, 其特点是非常严谨和抽象, 理论与实际应用之间的距离相距较远。这使学生感觉到概率统计课枯燥无味, 学习兴趣降低, 不能有效地激发学生的创造性思维, 更不利于提高学生分析和解决实际应用问题的能力。

二软件辅助在概率统计教学中的作用

计算机技术的飞速发展使数学研究的方式正在发生一场变革, 为真正解决社会生活中或工程技术中出现的各种实际问题。数学软件的发展还改变概率统计的教学方法, 推动概率统计的教学改革。学生利用数学软件进行自主学习和探索, 教师利用软件技术进行教学方法研究和探索, 将计算机技术作为一种工具, 提高教与学的效率, 改善教与学的环境, 改变传统的教学模式。软件辅助教学提高课堂教学效果、节约板书时间, 加大课堂信息量, 达到课本文字达不到的直观、动态效果, 使难以理解的抽象理论形象化、生动化。

三软件辅助教学条件

独立学院新建教室多为现代化的多媒体教室, 计算机软件和硬件环境完善, 可为软件辅助的概率论与数理统计课程教学提供良好的环境。Matlab统计工具箱几乎囊括了诸如参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等数理统计的所有领域。概率统计课程概率计算、数据处理、参数估计、假设检验、区间估计等复杂计算均可采用软件辅助教学。将Matlab引入概率统计教学后, 数据处理数值计算变得轻而易举, 可集中精力讲处理问题的思想方法, 提高教学效率。

四典型案例

1. 计算事件概率

例1, 某宾馆装有5部电梯, 调查表明, 某时刻各电梯准在运行的概率为0.6, 问在此时刻: (1) 恰有2部电梯在运行的概率是多少? (2) 至少有3部电梯在运行的概率?

解:本题可归结为二项概率问题, 故可调用统计工具箱中的binopdf命令求解。

(1) 求解Matlab程序如下:

>>binopdf (2, 5, 0.6)

ans=0.2304

(2) 求解程序如下:

>>binopdf (2, 5, 0.6) +binopdf (4, 5, 0.6) +binopdf (5, 5, 0.6)

ans=0.6826

表明:恰有2部电梯运行概率为0.2304;至少有3部在运行概率为0.6826。

2. 参数估计

例2, 有一大批糖果。现从中随机地取16袋, 称得重量 (以克计) 如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493496 506 502 509 496。设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求总体均值μ及总体方差σ的0.95的置信区间。

解:Matlab程序如下:

>>x=[506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496506 502 509 496];

>>[mu, sigma, muci, sigmaci]=normfit (x)

结果显示为:

mu=503.7500 sigma=6.2022

muci=[500.4451, 507.0549]

sigmaci=[4.5816, 9.5990]

表明:μ估计值为503.7500, 置信度0.95, 置信区间为[500.4451, 507.0549];糖果重量总体方差σ估计值为6.2022, 置信度0.95, 置信区间为[4.5816, 9.5990]。

3. 假设检验

例3, 某电子元件的寿命X (以小时计) 服从正态分布, μ、σ2均未知。现测得16只元件的寿命如下:159 280 101 212224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170, 问是否认为元件的平均寿命大于225小时?

解:未知σ2, 在水平α=0.05下检验假设, H0:μ≤μ0=225, H1:μ>225

求解Matlab程序如下:

>>X=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250149 260 485 170];

>>[h, sig, ci]=ttest (X, 225, 0.05, 1)

结果为:h=0 sig=0.2570 ci=198.2321 Inf

h=0表示在水平α=0.05下应接受原假设H0, 即认为元件平均寿命不大于225小时。

五结论

将Matlab软件和概率论与数理统计教学进行整合, 可以使教学方法得到改进, 提高教学效率和教学水平, 推进概率论与数理统计的教学改革和课程建设的发展。计算软件的引入既可提高教学内容的科学性、先进性和趣味性, 又可激发学生的学习兴趣, 提高学生的应用能力, 并能解决概率统计学时少与内容多矛盾。从案例可体会到Matlab统计工具箱的快捷与方便, 相信Matlab统计功能能被越来越多的人所接受, 也希望Matlab能够在概率统计教学中发挥越来越大的作用。另外, 这种教学方法体现了以人为本、因人施教的教学理念, 在教学过程中注重培养学生创造性的数学思维能力。

摘要：针对概率论与数理统计教学现状, 阐述了软件辅助在概率统计课程教学中的作用。将Matlab引入概率统计的教学中, 可提高教学效率, 增加学生的学习兴趣, 提高学生的应用能力。最后, 给出软件辅助《概率统计》教学的一些案例与体会。

关键词：概率论与数理统计,软件辅助,Matlab

参考文献

[1]苏金明、阮沈勇.MATLAB实用教程[M].北京:电子工业出版社, 2005

[2]夏传武.MATLAB在概率统计教学中的应用举题[J].潍坊教育学院学报, 2007 (04)

3.谈《概率论与数理统计》的教学 篇三

关键词应用 实践 兴趣 构建 思维

笔者认为，教师在教学观上应坚持以人为本的原则。以人为本的教学观是将学生作为整个教学活动的核心，充分考虑学生的个性需求、情感接受、求知欲望以及对已有的知识的掌握情况等各方面因素，尊重教学规律和认知规律，以直接讲授、情境启发、实例分析等教学方法，将传统板书教学、多媒体教学与实验探索求证相结合，培养学生自主学习能力和知识应用能力，以最终达到促进主体发展的教学目的。同时教师在教学内容上坚持以应用为准则，重视构建理论知识与生活经验之间的桥梁，使学生有更多的机会从周围熟悉的事件中学习和理解知识的现实意义，培养学以致用的能力。当代著名数学家、教育学家、沃尔夫奖获得者H.惠特尼(Whitney,Hasselr)曾指出：“学数学意味着什么？当然是希望能用它，……最好的学习就是用，并且古今皆知仅在你有自己的想法时才有真正的学习。”著名数学教育家H.弗洛登塔尔(Freudenthel,Hans)指出：“数学源于现实，并且用于现实。”所以，读书的实质是将人类已有的智慧结晶内化为自身理解的同时物化于实践中，因此，应用是目的，也是学习的最根本动力因素。

笔者多次执教大学数学基础课程中的《概率论与数理统计》，就结合自身对这门课程的教学经验谈谈本文提出的“以人为本，以用为准”理念的心得体会。笔者认为，书本的理论知识对学生而言是间接经验，生活认识才是直接经验，逻辑严谨的理论知识与学生感性的生活认识有着难以跨跃的鸿沟。因此，要上好这门课，首先应以生活实例和学生熟悉的情境入手，建立数学模型，并借用概率统计知识和分析方法去理性地认识生活，缩短学生认知结构中理论知识与客观实践的距离，消除学生对概率统计的陌生感。所以概率统计教学要以一定的感性认识为基础。只有在这个基础上，学生才能比较容易地将来自书本的间接经验与生活中的直接经验连接贯通，接受、认可教师的课堂讲授。笔者在教材内容讲解中特别注意以下几个环节：

一、介绍新的知识理论时，追本求源，让学生了解和感受知识的原始创新

课程内容要能引起学生的兴趣,要能引人入胜,首先教师要对这门学科的发生和发展的来龙去脉及其对人类社会的功用与影响有着深刻的了解，然后再组织好教学内容，使学生领会其基本线索、概念、原理、规律及其独特的研究方法。笔者上《概率论与数理统计》这门课程时，结合自己的理解，以故事的形式讲述概率论起源于法国中世纪的一场赌博纠纷的历史，吸引学生的兴趣，然后提出不同立场的各种意见，鼓励学生思考辨明，引导学生分析问题的实质，最终确定最合理的方案。当时中世纪的几个数学家，帕斯卡、费马、惠更斯等人就是在这个问题上达成了这个共识，由惠更斯发表了第一篇完整的概率论著作《论机会游戏的计算》，由此开始了将随机性问题作为一门严谨的理论科学而加以研究的学习领域, 最终现在，《概率论与数理统计》已经作为一门完整的学科并广泛应用在生活、生产的各个方面。以问题再现的方式，让学生感受真实情境的困扰，体验前人的原始创新，不仅能够激发学生的学习兴趣，而且培养了学生的应用意识，这样一来学生就不会再把概率当作突如其来的“空降”知识，而是将它理解成为我们探索、解决各种问题的科学工具，在学习过程中摒弃死记硬背，树立研究精神，端正学习态度。

二、对概念、公式、定理的讲解配合通俗举例，让学生发自内心接受

概念、定义，是学习新知识的第一道门槛。数学中的概念、定义都是在理论和实践的千锤百炼中形成的，通常比较简练和抽象，它对应着生活中的某种成熟认识。教师应引导学生体会概念、定义产生的可能性和必要性，感受其产生给思考和解决问题带来的思维上的方便和清晰，然后适时将概念的内容加以应用，通过通俗易懂的例子让学生发现它抽象外表下的简单实用。以条件概率为例，学生常觉得困惑，条件概率和普通概率有什么区别？其实条件概率表示的是范围被约束的一类事件的概率，比如“甲厂的合格率”、“患肺癌的人中吸烟的概率”“担任班委中男生的比例”等都属于受到范围被约束的概率，“产品的合格率”、“男生的比例”等属于普通概率。引入条件概率的定义就可以很清楚地区分两者的差别，使问题的解决显得更便捷。如此一来，学生就明白了概念、定义都是用于解释描述直接或间接认识到的现象时所作出的智力构建，它的实际用途是很明显的。这样，学生就能比较容易被概念的魅力所吸引，从而认可并尝试熟悉应用它。

三、讲解课堂例题时，拓展外延

数学的例题、练习非常多，但题目都是针对定义、定理、公式等展开的验证或解释，做题的目的就是培养熟练计算以及理解运用的能力。有一部分习题是纯粹的复杂计算、逻辑推导，显得很单调、枯燥，学生通常也很排斥厌倦，教师有时候可以根据习题内容适当地构建一些意境，让学生明白解决实际问题除了需要灵活的思维能力还必须具备扎实的计算基础。比如一道很普通的二维随机变量均匀分布类型的题目：随机变量X、Y服从[0，60]均匀分布，求P(X+10≤Y≤X+15) ,运用二重积分即可计算出，但引导启发学生时不妨引申个生活假设：甲、乙两人约下午一点钟到两点钟间会面，甲先到等乙10分钟，乙先到等甲15分钟，他们在一点到两点的任何时刻都可能出现，问他们能够会面的概率。学生的生活经验很容易理解这种生活情境，面对这样的问题就会积极进行思考，这时教师再逐步启发学生运用随机变量来构建数学模型，确定变量间的关系表达式，然后利用数学计算方法得出结论，大部分学生就不会觉得纯数学计算解题的枯燥生涩，同时激发起对知识内容和计算方法的求知欲望，而尖子生们也能够感受到从理论指导到实践应用的途径和技巧，对于他们创新思维能力的培养也有帮助。这种简单的联系教学，在笔者看来很有意义。学习一门自然科学，它的意义并非在于一定要能解决很大的问题，而在于能将这门科学的思维、理念融入自身的认知系统，有所感悟，有所触进。数学应该成为所有学习者能用来解释生活现象、解决社会问题的理性科学，所以教师在讲解例题时，应尽可能地联系生活实际，尽可能地选择简单易懂的日常事例，让学生认识到社会生活本质抽象出来就是数学的问题，运用数学思维方法能清晰有效地认识社会现象，从而达到培养学生数学思维能力的目的。

四、注重思维方法传授，培养学生的应用意识

教学中应该让学生拥有自学的能力和兴趣，不仅只是把知识灌输给学生，而是要教会他们用这种思想方法去分析、解决具体的实际问题。例如在讲到随机变量的数学期望时，这是一个很抽象的概念，它的理论意义表示随机变量的概率平均值，但如果将其用来分析生活生产实践，将会发现它的用途与我们的联系非常的紧密。笔者曾将其设计为一个项目投资的数学模型。项目是否值得投资，关键是考察其回报，但回报是发生在投资进行之后的结果，因此在投资之前，考察这个回报时只能称作预期回报。理性的人们总是希望相同数量的投资能获得最大的预期回报，而这个预期回报实质就是数学期望，它等于这个项目投资的各种可能的获利结果的概率平均值。运用这一知识理论，同学们就可以判断一个项目是否值得投资或者在几个投资项目中确定最有利的选择，拿生活中一个很常见的投资行为----购买体育彩票“36选7”是否选择复式投注为例说明。按游戏规则，16元可以购买7注单式彩票（7个号码）或者1注复式彩票（8个号码），假设特等奖、一等奖、二等奖......六等奖的奖金金额是固定的，将投资16元所能得到的回报看作随机变量X，我们只要计算这两种购买方式的各种结果的概率，则它的期望回报E(X)就可以按数学期望的计算公式确定。当然，事实上特等奖、一等奖等奖金金额是浮动的，因此学生们需要从体彩站、网络等渠道获取信息，用点估计的方法求解出这两个奖项奖金金额的一个估计量，从而比较两种投资方式的期望回报，选择理性的投资方式。客观真实、意义积极、难度适中的课题设计可以培养学生敏锐的洞察能力和系统分析能力，对信息收集分析能力，激发学生强烈的求知欲望以及运用理论指导实践的创新思维。

以上几点是笔者在确立 “以人为本、以用为准” 为自身教学理念时的尝试，以应用为准则侧重对具体知识教学的理解，培养学生学习的兴趣与热情，是学生能够自主学习自我完善的前提；以人为本侧重教学教法，通过以知识为载体的学习，培养学生的思维能力、实践操作能力、创新能力，在学习中形象良好性格、优良品德。笔者仍然在这理念下不断探寻师与生的沟通、教与学的衔接、知识与实践的融合，希望能为高校教育提供一个比较优的教学模式。

4.学习概率论与数理统计感想 篇四

作者：丁彦军

学号：1130610816

班级：1306108 摘要：概率论与数理统计是一门与生活息息相关的学科，在生活中很多方面都有很广泛的应用，通过本学期对于这门课程的学习，我更加深刻的体会到了这一点。同时，了解一些概率论的发展历史和现状有助于我们更好的理解和学习这门课程的研究对象和方法，也有助于我们掌握这门课程的精髓。

关键词：概率论

起源

发展

应用

通过这学期对概率论与数理统计这门课的学习，我认识到，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。

了解这些后，我对概率论和数理统计的起源和发展历史以及它目前的发展情况产生了浓厚的兴趣。英国数学家格雷舍(Galisber,1848一1928)曾经说过“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来:,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大。”了解和研究概率论发展的历史,有助于我们加深对这门课程研究对象、研究方法的了解;有利于总结成功经验和失败教训,启迪我们更好地学习这门课程。

下面介绍概率论的起源和发展历史: 1.古典概率时期（十七世纪）

概率论的早期研究大约在十六世纪到十一七世纪之间。这段期间,欧洲进入文艺复兴时期,工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题,伴随航海事业发展产生的天气预报问题,伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等,加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题,急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。概率论应社会实践的需要出现了。在这个时期,意大利著名物理学家伽俐略(GalileiGalileo,1564.2.18一1642.1.8)就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究,把误差作为一种随机现象,并估计了他们产生的概率。十七世纪末,瑞士数学家伯努利对惠更斯没有解决的问题给出了解答,并第一次用到了母函数概念。伯努利的成就主要是从理论上证明了大数定理。伯努利的另一重大贡献是研究了独立重复试验概型。由于这种概型研究的是只有两个可能结果的试验,并经多次重复的结果。因此具有很普遍的意义。至今,在许多概率论专著中仍把独立重复试验概型称为“伯努利概型”。2.初等概率时期(十八世纪)

十八世纪,概率论发展很快,几乎初等概率的全部内容都在这个期间形成。法国杰出的数学家德莫哇佛尔(AbrahamDeMoiver,1667--1754)最早研究了随机变量服从正态分布的情形,发现了正态概率分布曲线。接着,他又发现,许多分布的极限正态分布,并证明了二项分布当p=q=的情形。这种证明某一分布的极限是正态分布的各种定理,以后发展成概率论的一个重要组成部分—中心极限定理。英国数学家辛普松(TnomasSimpson,1710一1761)所研究的问题中有一个对产品剔12废及检查很重要的问题:设有n件等级不同的产品,n1件属于第一级,n2属于第二级,„„,我们任意取其中的m件,试求其中取得m1件第一级, m2件第二级,„„的概率。这就是现在常用到的多项分布的情形。法国博物学家蒲丰(CometDeBuffon,1707一1788)提出了用投掷小针计算值的著名“蒲丰问题”:将一根长2l的小针投掷在距离为2a(a>l)的若干等距平行线上,可以证明针与任一直线相交的概率是p=用p≈（n为投掷次数,为针与直线相交次数),则得3.分析概率时期(十九世纪)

拉普拉斯1812年在巴黎出版了他的经典著作《分析概率论》，这部著作对十八世纪概率论的研究成果作了比较完美的总结,内容包括几何概率、伯努利定理、最小二乘法等。他还明确了概率的古典定义,证明了中心极限定理中的德莫哇佛尔—拉普拉斯形式,发展了概率论在观察和测量误差方面的应用。法国数学家泊松通过研究,发现了在概率论中占重要地位的一个分布—泊松分布。他还推广了大数定律,在1837年他的《关于民型审判的概率研究》著作中,第一次提出了“大数定律”这一名称。泊松还是第一个把概率论用到解决射击问题上的数学家。德国数学家高斯(CareFriedriehGauss）首次叙述了在统计学中十分重要的最小二乘法原理。切比雪夫(TellbllllBe）提出的不等式：p：｛|X-E(X)|｝D(X)2l,若an2nl。a2。给出了在未知分布情况下,随机变量与其期望之间差别概率的估计。同时,他作为基础知识在概率论和数理统计中起着十分重要的作用。4.现代概率时期(二十世纪)

二十世纪以来,美籍南斯拉夫数学家费勒(WillamFeller,1906--1970)及法国数学家列维(P·Lvey,1886一1971)在极限理论方面开展了一系列有益的研究工作。1935年,费勒找到了满足中心极限定理的充要条件,后来数学界称这个条件（limmaxnk=0）为费勒条件。英国数学Bn家费歇尔(R·A·Fihser.1890--)以医学、生物实验为背景,提出了似然方法;开创了试验设计、方差分析;确立了统计推断的基本方法（二、三十年代)。原籍波兰的美国数学家奈曼(J·Nycmna)和皮尔逊,从1928年起,建立了严格的假设检验理论。四十年代末,美国数学家瓦尔德创立了统计判决理论。由于概率论中极限理论的发展,正态分布作为统计量的地位越来越明显,统计中的大样本理论由此而得到迅猛的发展,参数估计中的极大似然估计,稳健统计,自适应估计,随机逼近、非参数统计等都发展较快。另外,贝叶斯(Bayes)统计学派在这个时期复兴并发展。

5.概率论与数理统计课程结业论文 篇五

学院：生命科学与技术学院 专业：生物工程

班级：生工5班

姓名：学号：1401410536

摘要：《概率论与数理统计》课程已经结束，通过本学期的学习，了解了该课程其它课程的联系以及其在生活中的应用。清楚了概率在生活中的重要意义。同时也使我掌握了一种新的学习方法，让我在之后的学习中更加游刃有余。关键字：课程简介 实际应用 学习心得 课程建议 正文：

一、课程简介

随着学习的深入，我们在大一下学期开了《概率论与数理统计》这一门课。概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论与方法的应用非常广泛，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产、国民经济以及我们的日常生活。学习这门课，不仅能培养我们的理论学习能力，也能在日后给科研及生活提供一种解决问题的工具。说实话，这门课给我的第一印象就是它可能很难很抽象，很难用于实际生活中，并且对于这门课的安排与流程我并没有太确切的认识。但在第一节课上听了老师的讲解我才理出了一些头绪。这门课分为概率论与数理统计两个部分，其中概率论部分又是数理统计的基础。我们所要课程就是围绕着这两大部

分来学习的。

二、在实际中的应用

1、抽奖问题 生活中抽奖的越来越多。商场中，各种活动，各种抽奖令人眼花缭乱；各种彩票更是层出不穷。通过学习《概率论与数理统计》这门课程，我们能够计算出中奖的的概率，同时在一些问题的处理中，我们也可以通过计算某一事件发生的概率进而个人或企业的决策。

2、保险问题

目前,保险问题在我国是一个热点问题。保险公司为各企业、各单位和个人提供了各种各样的保险保障服务,人们总会预算某一业务对自己的利益有多大, 会怀疑保险公司的大量赔偿是否会亏本，我们可以通过中心极限定理说明它在这一方面的应用。

3、经济管理学问题

在经济管理决策中的应用 在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应。

4、经济损失估计问题

在经济损失估计中的应用 随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方

法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。可以通过参数估计说明它在这一方面的应用。

5、在经济中的应用

在求解最大经济利润问题中的应用 如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。比如课本中期望一节中例四，通过计算家用电器收费Y的期望来预测商家的收入。

三、学习心得： 如今经过了一学期的学习，在收获了不少知识的同时也颇有些心得体会。首先，它给我们提供了一种解决问题的的新方法。我们在解决问题不一定非要从正面进行解决。在某些情形下，我们可以进行合理的估计，然后再去解决有关的问题。并且，概率论的思维方式不是确定的，而是随机的发生的思想。其次，在这门课程学习中，我意识到其实概率论与数理统计才是与生活紧密相连的。它用到高数的计算与思想，却并不像高数那样抽象。而且老师所讲例题均与日常生产和生活相关，让我明白了日常生产中如何应用数学原理解决问题，我想假设检验便是很好的诠释。最后，概率论与数理统计应该被视为工具学科，因为它对其他学科的学习是不可少的。它对统计物理的学习有重要意义，同时对于学习经济学的人在探究某些经济规律也是十分重要的。总之，通过学习这门课程，我们可以更理性的对待生活中的一

些问题，更加谨慎的处理某些问题。最后，感谢老师半学期来的辛苦教学与谆谆教导。

四、对本课程的建议 《概率论与数理统计》课程已经结束了，在学习期间我们学习到了很多了的知识和一些新的学习方法，胡老师的板书既漂亮又工整。下面是我对老师您和该课程的建议。

1、让我们轻松接受知识。虽然大学是学生自学为主，老师为辅，不过还是希望老师能够在上课多多和我们交流，虽不能说是谈笑风生，但是还是希望老师能够多笑点，这样课堂气氛才更加活跃，我们才能更好的学习。

2、师生互动，一同学习，一起进步。老师在授课的过程中，多和我们交流，了解我们的学习情况，根据我们的学习进展并结合自己设计的进度，协调性的授课。

3、主次分明，重点多讲，难点简化。对于重点的知识点，要进行重点的讲，同时在授课的过程中，不断的与同学进行交流，重点可以多讲几遍的。对于难点，适当的进行简化，使之成为简化的、易懂的知识。

6.怎么学好概率论与数理统计学习 篇六

如何掌握做题技巧?俗话说“孰能生巧”，对于数学这门课，用另一个成语更贴切——“见多识广”。对于我们自考生而言，学习时间短，想利用“孰能生巧”不太现实，但是“见多识广”确实在短时间内可以做到。这就是说，在平时不能一味的多做题，关键是多做一些类型题，不要看量，更重要的是看多接触题目类型。同一个知识点，可以从多个角度进行考察。

有些学员由于选择辅导书的问题，同类型的题目做了很多，但是题目类型却没有接触多少。在考试的时候感觉一落千丈。那么应该如何掌握题目类型呢?我想历年的真题是我们最好的选择。

7.概率论与数理统计教学方法初探 篇七

一、概率论与数理统计课程教学中存在的问题

概率论与数理统计是一门非常抽象的学科，它是研究随机现象统计规律性的学科，是一门很有特点的学科.它的内容非常丰富，概念和公式多且杂，容易混淆;基本概念抽象复杂、难以理解;涉及的知识点太多，需要用到高等数学、线性代数中的许多知识.一直以来，学生学习的都是确定性的内容，突然来研究随机问题，往往感到处理问题的方法与其他数学课程有很大的差异，普遍不适应，觉得习题难做，方法难于掌握.

学生在学习概率论与数理统计的过程中，常常有两种感觉：

一是学好不会用.掌握了相关知识，除了应付考试，却不知道在实际中灵活应用所学知识，遇到实际问题时，往往无从下手.

二是学后容易忘记.学生常常反映，概率论与数理统计的公式、定理特别多，不容易记住，学起来很枯燥，即使记住了，只要几天不看，就忘记了好多.

二、概率论与数理统计课程教学方法研究与实践

为了解决这些问题，在教学中，我们着重于对基本概念、基本理论和思想方法的讲解，尽量淡化定理的严格证明，紧密结合实际背景，注重知识连贯性和系统性，从而加深对相关数学概念的理解.

1. 关于概率的公理化定义

在讲解概率的定义的时候，我们在介绍了概率的统计定义、古典概型定义、几何概型定义之后，还介绍了公理化定义若是简单的讲述，前面三种概率定义，存在种种局限性，不够严谨，为了更严谨地定义概率，从而提出公理化定义.这样的讲授，学生必然不会有什么深刻的印象，若是能结合相关实际背景，讲讲著名的贝特朗奇论，说明正是它推动了概率定义公理化的进程，则学生必然印象深刻.

19世纪，科学界普遍存在一种乐观情绪.不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以用古典概型或几何概型给概率问题以唯一的解答.然而，1899年，法国数学家贝特朗提出了所谓“贝特朗奇论”(亦称“贝特朗悖论”)：在圆内任取一条弦，求该弦的弦长大于圆的内接正三角形边长的概率.更具体的描述为：在半径为R的圆内任意取一条弦AB，问其长度超过该圆内接等边三角形边长的概率p等于多少?

对于这个问题，贝特朗给出了三种不同的解答.

解法一：由于对称性的原因，可先确定弦的一个端点A，以此点为顶点作圆的内接等边三角形，然后弦的另一端点B绕着圆周旋转.显然，只有当另一端点B位于上方的圆弧时，弦AB的长度才会超过三角形的边长，而这段圆弧占整个圆周的，由几何概型可知，.

解法二：同样由于对称性的原因，弦长只跟它到圆心的距离有关，与方向无关.我们可以先确定弦的方向，再作垂直于此方向的直径，则弦被此直径垂直平分.此时，弦由它的中点唯一确定，很容易算出，只有中点到圆心距离小于时，其长才大于内接正三角形的边长.故符合要求的弦的中点只能取直径中间的长度为R的一段，由几何概型可知，.

解法三：由于弦由它的中点唯一确定，很容易算出，当且仅当其中点属于半径为的同心圆时，其弦长才大于, 由几何概型可知,

从而导致同一事件有不同概率，因此称为奇论或悖论.同一事件的概率不应该是唯一的吗?为什么有三种答案呢?其实这三种答案都是正确的.它们的结果之所以不同，只是因为它们各自对问题的理解不同，采用了不同的等可能性假定.在解法一中，实际上是假设“弦的端点在圆周上是均匀分布的”;在解法二中，实际上是假设“弦的中点在直径上是均匀分布的”;在解法三中，实际上是假设“弦的中点在圆内是均匀分布的”三种不同答案针对三个不同随机试验，对各自的随机试验来说，它们都是唯一的，是正确的.正是贝特朗奇论的产生，导致了概率论公理化的研究，在1917年前苏联数学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系，1933年柯尔莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率论的公理结构.

通过贝特朗奇论的介绍，必然使得学生对概率定义的公理化过程印象深刻，提高了对理论思想的理解程度，能清楚地了解各种概型与公理化定义之间的关系，增强了教学效果.

2. 关于大数定律

大数定律是阐明大量随机现象平均结果的稳定性的理论，是概率论中的核心问题之一.它是极限问题，需要极限的思想和任意小的概念.在讲大数定律的时候，只靠泛泛的语言叙述、定理证明是很难理解它们的.我们在教学中淡化定理的证明，着重于定理的分析理解，结合实际背景，使大数定律的思想在学生头脑中留下鲜明的印象.

伯努利在他的著作《推测术》的第四部分，介绍了大数定律.伯努利建立了一个缶中抽球的模型：缶中有a白球，b黑球，.有放回地从缶中抽球N次，记录得抽到白球的次数为X，以去估计p.这个估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一.此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a+b个球的每一个有同等机会被抽出.

伯努利企图证明的是：用估计p可以达到事实上的确定性(他称为道德确定性)，即

其确切含义是：任意给定两个数ε>0和η>0，总可以取足够大的抽取次数N，使事件的概率不超过η.这意思很显然：表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小.

伯努利对事实上确定性的数学理解，有一个很值得赞赏之点，即他在概率论的发展刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法.因为，既然我们想要证明的是当N充分大时，和p可以任意接近，则一个看来更直截了当的提法是

而这不可能实现.因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时总为1，不能收敛于p<1.或者退一步：要求上式成立的概率为l，这个结论是对的，但直到1909年才由波莱尔证明，其难度比伯努利的提法大得多.假如当时伯努利就采用这个提法，他不一定能在有生之年完成这一工作.波莱尔的结论比伯努利强，故现今把他们的结论分别称为强大数律和弱大数律.

这样讲授，能让学生对伯努利大数定律印象深刻，并能深刻理解伯努利大数定律为什么要采取这样的描述形式.

总之，我们在教学中注重对基本概念、基本理论和思想方法的讲解，尽量淡化定理证明，紧密结合实际背景，适当补充相关内容，注重知识连贯性和系统性.通过教学中的反馈信息及考试成绩分析，取得了良好的教学效果.

摘要：本文针对概率论与数理统计课程教学中, 学生普遍“学不好、学好不会用、学后易忘记”的现状, 结合概率论与数理统计课程的特点, 深入分析学生实际, 介绍了教学方法改革的一些尝试.

关键词：教学方法,教学改革,概率论与数理统计

参考文献

[1]陈希孺.数理统计学简史[M].长沙:湖南教育出版社, 2002.

8.概率论与数理统计的MES教学 篇八

摘 要：本文通过分析工科概率论与数理统计的学科特点，针对现在的社会需求和学生的学习情况，从概率论与数理统计模块教学的方式进行探索，来提高学生学习的积极性、有效性及课堂效果。

关键词：模块教学；概率论与数理统计

中图分类号：O211 文献标识码：C 文章编号：1673-9132（2016）21-0260-33

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.21.020

概率论与数理统计是对随机现象的统计规律进行分析和归纳的科学，概率统计思想在金融、保险、医学等领域有广泛的应用。然而我校的《概率论与数理统计》课时较少，只有48学时。因此，在基本教学内容不变的情况下，如何提高概率论与数理统计课程的教学质量，增强工科学生对概率统计思想方法的理解和应用成为每位概率统计教师应该思考的问题。

模块教学（简称为EMS）是在汲取模块化思想方法的基础上，将课程知识分解成一个个知识点，再将知识点按其内在逻辑组合成相对独立的单元，然后根据不同专业方向将相关的单元组合成教学模块。这种教学模式，可以增强内容的灵活性，便于实现不同层次教学阶段的内容衔接，促进知识之间、知识与技能之间的沟通，并可以通过模块的合理组合，便于形成职业所需人才的合理的知识和能力结构。

本文在模块教学的基础上，针对概率论与数理统计学科特点，对《概率论与数理统计》的模块教学内容进行探讨。

经过与多位老师探讨，初步将概率论与数理统计分成四大模块：基础知识模块、分析方法模块、统计思想模块、应用技能模块。

一、基础知识模块

该模块主要包括概率论的基本概念，主要涉及随机事件概念、符号化、运算，以及概率的概念、独立性、性质等，这是以后学习的基础。

二、分析方法模块

该模块是概率论学习的重点，主要包括一维、二维随机变量的分布、数字特征以及大数定律、中心极限定理。本课程的难点在于一维、二维连续型随机变量的分布，借助高等数学中函数形态的研究方法，通过单调性、凹凸性等描述概率密度函数，并应用一元函数微分及多元函数微分讨论一维、二维连续型随机变量的分布。大数定律和中心极限定理是本门课程的理论基础，引入的依概率收敛推广了高数中的收敛性。在教学过程中，要特别注意强调离散型随机变量和连续型随机变量的区别及计算方法，重视数学期望和方差的概念并渗透依概率收敛的概率思想。

三、统计思想模块

该模块主要涉及的内容有统计量和抽样分布、参数估计、假设检验，也是本门课程的应用基础，此三部分是数理统计的重要研究思想步骤。在工程技术、医学、生态学、经济学等方面得到越来越广泛的应用，主要研究包括：

（1）实验的设计及数据的收集整理，主要应用数理统计中统计量和抽样分布的思想；

（2）统计量未知参数的情况的假设；

（3）统计推断，主要应用采集的数据，通过数理统计的假设检验思想对先前所作假设进行推断。

四、应用技能模块

在数理统计的分析中，数据的整理是关键步骤，因此相关数学软件，如MATLAB，MATHMATIC等软件的学习就变得尤为重要。MATLAB和MATHMATIC数学软件可用于数值计算、信号处理、数据分析等。在本门课程的教学过程中，通过一些实际问题进行数学建模，并应用数学软件进行处理，培养学生的应用能力和动手能力。

9.概率论与数理统计说课 篇九

概率部分

1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式：

P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|Bn)P(Bn)

其中B1,B2,,Bn是空间S的一个划分。贝叶斯公式：P(Bi|A)P(Bi)P(A|Bi)P(B)P(A|B)jjj1n

其中B1,B2,,Bn是空间S的一个划分。

2、互不相容与互不相关

A,B互不相容AB,P(AB)0

事件A,B互相独立P(AB)P(A)(B);两者没有必然联系

3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。

X~b(1,p),即二点分布，则分布律为P{xk}pk(1p)1k,k0,1.kkX~b(n,p),即二项分布，则分布律为P{xk}Cnp(1p)nk,k0,1,...,n.X~(),即泊松分布，则分布律为P{xk}kek!,k0,1,......1,x(a,b)X~U(a,b),即均匀分布，则概率密度为f(x)ba.0,其它x1e,x0X~E(),即指数分布，则概率密度为f(x).0,其它X~N(,2),即正态分布，则则概率密度为f(x)

12ex22,x.连续性随机变量X分布函数性质：（i）F()1，F()0,(ii)分布函数连续 对连续性随机变量X，已知概率密度f(x)，则分布函数为F(x)已知分布函数为F(x)，则概率密度f(x)F(x).对连续性随机变量X，已知概率密度f(x), 区间概率P{xL}

4、连续函数随机变量函数的概率密度

设连续随机变量X的概率密度为fX(x),Yg(X)也是连续型随机变量，求Y的概率密度 求法

(i)利用以下结论计算：如果函数g(x)处处可导，且恒有g(x)0（或g(x)0），则Y概率密度为：

xf(t)dt；

f(x)dx

LfX[h(y)]|h(y)|,y fY(y)0,其他g(),g()}.其中，h(y)是g(x)的反函数，且有min{g(),g()},max{(ii)利用分布函数计算：先求yg(x)值域，再在该值域求Y的分布函数

F(y)P{Yy}P{g(X)y}P{XB}则有fY(y)F(y).常用求导公式

(y)xBfX(x)dx

fY(y)F(y)(y)f(x)dxf((y))(y)f((y))(y)

5、二维随机变量分布律

对于二维连续性随机变量(X,Y)，其联合概率密度为f(x,y),其联合分布函数为F(x,y), 则F(x,y)xyf(u,v)dvdu，概率密度性质：（i）f(x,y)0,(ii)

f(u,v)dvdu1

已知概率密度f(x,y),求区域概率有P{(x,y)D}边缘分布函数为FX(x)边缘概率密度为fX(x)f(x,y)dydx，Dyxf(u,v)dvdu,FX(y)f(u,v)dudv，f(x,y)dy,fY(y)f(x,y)dx.条件分布函数为FX|Y(x|y)xyf(x,v)f(u,y)du,FY|X(y|x)dv，fY(y)fX(x)条件概率密度为fX|Y(x|y)f(x,y)f(x,y),fY|X(y|x).fY(y)fX(x)对于离散情形，设联合分布律为P{Xxi,Yyj}pij 边缘概率密度为P{Xxi}pj1ijpi.，P{Yyj}pijp.j

i1条件概率密度为P{Yyj|Xxi}

6、二维随机变量函数的分布

pijpi.，P{Xxi|Yyj}pijp.j

设二维随机变量(X,Y)概率密度为f(x,y)，分布函数为F(x,y)(i)Z=X+Y, 则Z的概率密度为

fZ(z)f(zy,y)dyf(x,zx)dx

fX(zy)fY(y)dyfX(x)fY(zx)dx

当X,Y相互独立时，fZ(z)(ii)M=max{X,Y}与N=min{X,Y} 当X,Y相互独立时，FM(z)FX(z)FY(z)，FN(z)1(1FX(z))(1FY(z))

7、数学期望

(i)求法：连续随机变量X概率密度为f(x)，则E(X)xf(x)dx；若Yg(X), 则E(Y)g(x)f(x)dx.离散随机变量分布律为P{xxk}pk，则E(X)xk1kpk;若Yg(X), 则E(X)g(xk)pk.k1若有二维的随机变量(X,Y),其联合概率密度为f(x,y)，若Yg(X,Y), 则E(Y)g(x,y)f(x,y)dydx.(ii)性质：E(C)C,E(CX)CE(X),E(XY)E(X)E(Y)

E(k1X1k2X2knXn)k1E(X1)k2E(X2)knE(Xn)X,Y相互独立，则有E(XY)E(X)E(Y).8、方差

定义：D(X)E[XE(X)]2，标准差（均方差）：D(X).计算：D(X)E(X2)[E(X)]2

性质：D(C)0,D(XC)D(X),D(CX)C2D(X).D(XY)D(X)D(Y)2E[(XEX)(YEY)].常见分布的数学期望和方差：两点分布：E(X)p,D(X)p(1p).X~b(n,p),即二项分布，则E(X)np,D(X)np(1p).X~(),即泊松分布，则E(X),D(X).ab(ba)2,D(X).X~U(a,b),即均匀分布，则E(X)212X~E(),即指数分布，则E(X),D(X)2.X~N(,2),即正态分布，则E(X),D(X)2.9、协方差与相关系数

定义：协方差: Cov(X,Y)E{[XE(X)][YE(Y)]}E(XY)E(X)E(Y).相关系数：XYCov(X,Y)D(X)D(Y).则有Cov(X,Y)XYD(X)D(Y).性质：Cov(X,Y)Cov(Y,X),Cov(X,X)D(X),Cov(X,a)0

Cov(aX,bY)abCov(X,Y),Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)

D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)

如果X,Y相互独立，则有D(XY)D(X)D(Y)

|XY|1,且|XY|1a,b,使P{YabX}1.10、独立与不相关关系

XY0X,Y不相关Cov(X,Y)0E(X,Y)E(X)E(Y)X,Y相互独立F(x,y)F(x)F(y)f(x)f(y)E(X,Y)E(X)E(Y)

F为分布函数，而f为概率密度

一般情况下，X,Y相互独立X,Y不相关，但反之不成立；

2特殊情况，当(X,Y)~N(1,2;12,2;)时，X,Y相互独立X,Y不相关

2并且此时E(X)1,E(Y)2;D(X)12,D(Y)2;XY,Cov(X,Y)12.11、切比雪夫(Chebyshev)不等式：设随机变量X的期望与方差为E(X),D(X)2，则对任意正数0，有

P{|XE(X)|}D(X)22, 即P{|X|}2.D(X)进一步有：P{|XE(X)|}1

12、两个中心极限定理

22,即P{|X|}12.定理1（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X1,X2,,Xn,相互独立，服从同一分布，有相同的数学期望和方差：E(Xk),D(Xk)20,k1,2,，则

当n充分大时，YnXk1nkE(Xk)k1nnXi1nkn~~~~~~~~D(Xk)k1n近似N(0,1).定理2（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量n,n1,2服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则当n充分大时，nnpnp(1p)~~~~~~~~近似N(0,1)

统计部分

1、常用统计量

设X为总体，X1,X2,Xn是来自总体X的样本，定义

1n样本平均值：XXi，ni1n1n12样本方差：S(XiX)(Xi2nX2)，n1i1n1i12样本标准差（均方差）：S1n(XiX)2 n1i11nk样本k阶矩：AkXi,k1,2,

ni

12、常用正态总体相关的统计量（1）2分布

定义：设Xi~N(0,1),i1,2,n，则性质(i)可加性：设X~222X~(n)，特别Xi2~2(1).ii1n2(n1),Y~2(n2),则XY~2(n1n2).(ii)设X~(n),则EXn,D(X)2n.(iii)特例：设Xi~N(,),则(2)t 分布

定义：设X~N(0,1),Y~(n), 且X,Y相互独立，则统计量t性质

(i)概率密度为偶函数，关于y轴对称；当n趋于无穷大，该统计量趋于标准的正态分布；(ii)对于分位点有：t1(n)t(n).(3)F分布 定义：设U~212(Xi1ni)2~(n).XY/n~t(n).(n1),V~(n2), 且U,V相互独立，则统计量F1.F(n2,n1)Un1~F(n1,n2).Vn2性质(i)对于分位点有：F1(n1,n2)

3、正态总体样本均值与样本方差分布

单个总体情形：设X为总体，且服从X~N(,),X1,X2,Xn是来自总体X的样本，X,S分别是样本均值与样本方差，有以下结论： 22D(X)2,E(S2)D(X)2, 而且有(i)E(X)E(X),D(X)nnCXii1ni~N(Cii,Ci2i2).i1i1nn(ii)X~N(,2n), 即

X/n~N(0,1)；且

12(Xi1niX)2(n1)S22~2(n1)

两个正态总体情形：设X1,X2,Xn1是来自X~N(1,12)的样本，Y1,Y2,Yn2是来22自Y~N(2,2为两样本方差，)的样本, 且两样本相互独立，X,Y为两样本均值，S12,S2则有

(i)XY~N(12,12n122n2).2(ii)当1222时，XY(12)Sw11n1n2~t(n1n22)，2(n11)S12(n21)S2 Swn1n222S12/S2(iii)2~F(n11,n21)21/24.点估计(1)矩估计法

设概率密度f(x;1,2,k)或分布律P{Xx}p(x;1,2,k)中含1,2,k个参数需要估计。

(i)求总体前k阶矩

1E(X)1(1,2,,k)22E(X)2(1,2,,k)E(Xk)(,,)k12kk(ii)由以上方程解得

11(1,2,,k)(,,,)2212k kk(1,2,k)(iii)以样本i阶矩Ai代替i,i1,2,,n 即得估计量ii(A1,A2,Ak).(2)最大似然估计

定义：给定一组样本观测值(x1,x2,xn)，使该观测值概率取最大的参数值为所求参数估计值。

两种求法：I 直接用最大似然法估计计算

(i)写出似然函数 连续情形：L()f(xi;)，离散情形：L()p(xi;)

i1i1nn(ii)求使似然函数取最大值的参数

两种方法：取对数，求导数，令导数为0解出估计值；若求导不行，则用直接分析法(iii)由上写出估计值，再表示出估计量 II 利用不变性计算

若求函数uu()的最大似然估计，其中u是单调函数，可先求最大似然估计，然后利用不变性知u()是u()的最大似然估计。5.估计量评价标准

无偏性：是的估计量，如果E(), 则是的无偏估计量；

ˆˆˆ更有效； 有效性：1,2是的无偏估计量，如果D(1)D(2)，则1较2一致性：是的估计量，当样本容量趋于无穷大，依概率收敛于.6.置信区间 基本的重要概念：

置信水平：是参数落在置信区间(,)的概率，即P()1,,两统计量

1为置信水平。分别为双则置信下限与置信上限，例如置信水平为95%，则10.95.置信区间几种情形： 单个总体情形

当已知，的置信区间，枢轴量Z2X/n~N(0,1)

双侧置信区间：(XnZ),双则置信上、下限：X2nZ,X2nZ.2单侧置信区间：(XnZ,)，(,XnZ)单侧置信上、下限：XnZ,XnZ.当未知，的置信区间，枢轴量t2XS/n~t(n1)

双侧置信区间：(XSnt(n1))，2双则置信上、下限：XSnt(n1),X2Snt(n1).2单侧置信区间：(XSnt(n1),)，(,XSnSnSnt(n1))

单侧置信上、下限：Xt(n1)，Xt(n1)

当未知，的置信区间，枢轴量22(n1)S22~2(n1)

(n1)S2(n1)S2(n1)S2(n1)S2双侧置信区间：(,),双则置信上、下限：,(n1)(n1)(n1)(n1)212122(n1)S2(n1)S2单侧置信区间：(0,)，(,)

1(n1)(n1)(n1)S2(n1)S2单侧置信上、下限：.,1(n1)(n1)两个总体情形：

2S12/S2当1,2未知，/的置信区间，枢轴量F2~F(n11,n21)21/22122S12S121双侧置信区间：(2,2S1F(n11,n21)S2F211)，(n11,n21)2S12双则置信上、下限：2S2F1S1211,2，(n11,n21)S2F(n11,n21)22S12S1211单侧置信区间：(0,2),(2,).F(n1,n1)F(n1,n1)S211S2122S12S1211单侧置信上、下限：2,2.S2F1(n11,n21)S2F(n11,n21)在求解置信区间时，先分清总体属于那种情况，然后写出置信区间，再代数值。7.假设检验

假设检验的基本原理：小概率事件在一次观测实验中几乎不可能发生

显著性水平：小概率事件发生的概率，也是拒绝域对应事件概率，显著性水平越大，拒绝域越大。

两类错误：对原假设H0，备择假设H1，第一类错误H1不真，接受H1，第二类错误H0不真，接受H0，为减少两类错误，需增加样本容量。

假设检验的基本步骤：(i)提出假设；(ii)选取检验统计量；(iii)确定拒绝域；(iv)计算观测值(v)并作出拒绝与接收原假设判断

P值检验：计算p值，与显著性水平比较，p值小于拒绝原假设，否则就接收原假设；p值计算方法是将观测值作为拒绝域临界点，代入拒绝域事件计算其概率。假设检验的情形：

10.概率论与数理统计说课 篇十

《概率论与数理统计》课程考试范围

教材：李博纳，赵新泉《概率论与数理统计》/陈文灯、杜之韩总主编，高等教育出版社ISBN：9787040193749

第一章 随机事件与概率

§1.1 随机事件，§1.2 概率的公理化定义，§1.3 等可能概型（几何概型除外），§1.4 条件概率与全概率公式，§1.5 独立性

第二章 随机变量及其概率分布

§2.1 随机变量，§2.2 离散型随机变量，§2.3 随机变量的分布函数，§2.4 连续型随机变量，§2.5 随机变量函数的分布

第三章 多维随机变量及其分布

§3.1多维随机变量，§3.2 二维离散型随机变量，§3.3 二维连续型随机变量（条件分布除外），§3.4 二维正态分布（只要求结论），第四章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望（条件数学期望除外），§4.2 方差，§4.3 协方差、相关系数（性质及例4.25不要求证明；矩除外）

第五章 大数定律中心极限定理

§5.1大数定律（重点为切比雪夫不等式），§5.2中心极限定理

第六章 数理统计的基本概念

§6.1 随机样本和统计量，§6.3 抽样分布（定理6.4、6.5除外）

第七章 参数估计

§7.1点估计（矩估计除外），§7.2点估计量的评选标准（一致性除外），§7.3 参数的区间估计（两个正态总体的均值差和方差比的区间估计与单侧置信区间除外）

第八章 假设检验

§8.1 假设检验的基本概念，§8.2 一个正态总体参数的假设检验

卷面分布

概率论部分约占65分；统计学部分约占35分

考试题型

11.概率论与数理统计说课 篇十一

关键词：概率论与数理统计；教学改革；教学方法

当今素质教育与创新教育已成为高等教育的主流。进行教育创新，主要是通过改革，不断完善教育体制和教育理念。教育创新的主要目标是要推进素质教育，提高教育的质量。当前素质教育和创新教育的主要方法是要通过教学改革对现行的教育方式、教育内容等进行创新，而概率论与数理统计作为一门重要的基础课程，对其进行教学改革是十分必要的。

一、转变教学观念和教学思想

教师在概率论与数理统计教学改革中起着主导作用。教师的教学思想和教学观念在教学改革中十分重要，转变教育思想和更新教育观念是进行一切改革的前提。所以，必须转变教育观念和教学思想，用正确的教育思想指导改革和实践才能在教育改革中取得大的突破。

教师要引导学生从知识的被动接受者转为主动参与者和积极探索者，改变实际教学体系中的不足。把讲解概率论与数理统计概念、思想方法以及它们的应用背景当作当前教学的重点，引导学生了解概率论与数理统计思维的特点，理解概率论与数理统计的思想，并试着利用它解决实际问题，以达到学以致用的目的。

二、教学改革的主要内容

1.教学内容的改革

进行教学改革，首先要精简和更新教学内容，优化课程内容结构。教学改革主要是对人才培养模式、课程体系和教学内容的改革，由此可以促进教学方法、教学手段等的改革。但应看到，我们用的教材的例题、习题都与实际缺少联系，或都是经过了编者加工的，并非真正的实际问题。要解决这个问题，可做如下改革：淡化复杂的理论推导，注重介绍概率论与数理统计方法在实际中的应用，特别是介绍概率论与数理统计在物理、力学、经济学、生物学等现代科学技术中的应用实例。这样可以增强学生的学习兴趣，提高学生的概率论与数理统计的应用能力。

2.教学方法的改革

知识传授型是以往主要的教学方式。教学的主体是教师，而教学过程中往往只重视教的过程，而忽视教学是一种教与学互动的过程，教师在课堂上方法单一，不能充分调动学生学习的主动性，不能立足于培养学生的学习能力和不同学生的个性发展，仅仅重视学生知识的积累，对学生少于启发，疏于引导。久而久之，使学生满足于机械地接受所授知识，而惰于思考、懒于动手。要改变这种状况，必须对传统的教学方法进行改革。

在教學过程中强调培养学生的积极性、主动性与自学能力，也要对学生兴趣的培养给予足够的重视。概率论与数理统计的内容抽象、枯燥，这就需要想办法培养学生学习的兴趣。在教学过程中要注重理论联系实际，让学生充分认识到所学的知识在现实中的应用价值。在学习理论的同时，要注意介绍所学理论的实际背景。这样可以充分调动学生的学习积极性，使其对所学知识产生浓厚的兴趣。在教学中，要重视教学信息的反馈，对学生普遍反映难度较大的知识，尽量用简单的语言描述，用具体实例引入，使学生能明白其中的道理，这样学生对所学的知识就不会再感到枯燥乏味。

3.教学手段的改革

在教学手段方面，长期以来，大多都是以课堂教学为主。普遍存在着填鸭式地将概念、定义、定理、证明和例题灌输给学生的现象，很少注重发挥学生的主观能动性。为了改变传统的教学模式，应着手将现代化科技手段尤其是多媒体计算机技术引入概率论与数理统计教学中。由于方便、快速、生动形象、信息量大的优势，多媒体教学越来越受到欢迎与普及。然而，目前我们大部分的教学仍是采用传统的“粉笔+黑板”的模式，难以调动学生的学习兴趣。用多媒体教学，可以节约大量的教师的板书时间。对于较容易理解的题可直接解题，而对于较难的题目，教师详细讲解解题过程，将多媒体与板书相结合，更有助于提高课堂的教学效率，同时也可以进一步达到更好的教学效果。

参考文献：

[1]项立群.提高一般本科院校学生学习数学积极性初探[J].大学数学，2003，19（1）.

[2]朱全新.《概率统计》课程的教学探讨[J].中山大学学报论丛，2006（6）.

[3]张驰.概率统计课程应重视统计和统计思想的教学[J].高等教育研究，2006（3）.

[4]范庆祝.概率论与数理统计课程的教学改革[J].统计与咨询，2008（2）.

基金项目：中国矿业大学教改项目（2014QN31）；中国矿业大学中央高校基金项目（项目编号：2015QNA50）。

12.概率论与数理统计课程的教学探讨 篇十二

1.1 教材分析

概率论与数理统计是一门研究随机现象客观规律的学科, 由随机现象的普遍性决定了该学科应用的广泛性。在工业、农业、医学、科技、经济等领域得到广泛应用。在国外一些发达国家, 几乎所有大学生都必须学习该学科。我国也越来越重视该学科的学习。

调查发现:概率论与数理统计所采用的教材, 多为茆诗松、程依明、濮晓龙编写的教材。该教材前四章为概率论部分, 主要叙述各种概率分布及其性质, 后四章为数理统计部分, 主要叙述各种参数估计与假设检验。该教材编写从实例出发, 图文并茂, 通俗易懂, 注重讲清楚基本概念与统计思想, 强调各种方法的应用, 适合初次接触概率统计的读者阅读。

1.2 调查结果分析

笔者对周口师范学院数学与统计学院2011 级、2012级、2013 级应用统计学专业学生进行了关于该课程教学情况的抽样调查问卷:共发放问卷100 份, 回收100 份。调查结果发现:本课程在应用统计学专业占有重要地位, 学生很重视对该课程的学习;授课教师在上课时着重全讲细讲, 忽略培养学生的能动性和参与性, 忽略培养学生解决实际问题的能力, 导致学生只知道重要, 而不知道如何重要;目前该课程重视理论推导、知识的传授、课堂教学, 不重视应用能力培养和课外实践, 学生在学习过程中普遍感觉困难。因此, 如何提高教学效果, 培养学生的各方面能力成为了当今地方高校教育改革的重点课题。

1.3 教师面临的问题

对于授课教师来说, 也面临很多问题:教师讲课思路沿袭传统的教学方法, 注重逻辑推理;教材中理论部分比重多, 相对实用的方法少;实验条件差, 教学远离计算机, 不能配合相应的统计软件进行教学;新进教师专业素养不够高, 不能很好的在传授知识的同时, 传授概率统计思想, 对教学造成困难。

2.教学改革及效果

2.1 依据专业特点, 精选教材及教学内容

通过对各种概率论与数理统计教材对比发现其内容大都包括如下三部分:概率论基础、数理统计、辅助软件。教师在选取教材时应从教材内容、例子、习题着手。其中, 内容应由浅入深, 便于理解;例子和习题应接近生活。

2.2 联系实际, 提高学生学习兴趣

爱因斯坦有句名言“:兴趣是最好的老师。”因此, 激发学生学习该课程的兴趣, 消除学生对学习该课程的恐惧心理至关重要。首先, 开好第一节课可以通过向学生介绍概率论与数理统计的起源、发展及现状, 激发学生学习兴趣。其次, 在教学中引入一些实例进课堂, 帮助学生了解问题的实际背景, 便于他们理解抽象的理论概念。不仅提高学生对该课程的兴趣, 而且培养了学生解决实际问题的能力。

2.3 结合多媒体和网络平台, 拓宽教学空间和时间

“黑板+粉笔”的传统教学方法已过时, 不利于培养学生的思维能力和创新意识。多媒体和网络技术开始进入课堂教学。多媒体教学使教学生动形象、丰富多彩、直观易懂。同时, 建立网络课程平台, 实现资源共享。教师在课下应该建设该课程的课程网页, 连接相关知识和参考资料, 了解最新发展和动态。通过课程主页、web、E-mail等, 把教师的讲授从课堂拓展到课外, 把学生的学习从黑板拓展到网络, 把教学的方式从课堂的面对面拓展到网络的心对心。要重视统计软件包的使用, 特别要注重概率论与数理统计的思想与计算机实验的有机结合。这不仅有助于学生理解概率统计思想和快速实现论证计算, 而且拓宽了教学空间和时间。

2.4 将数学建模思想融入教学过程, 提高学生解决实际问题的意识和能力

数学建模作为数学与其它学科交叉组合产生的一个新兴学科, 随着计算机在生活中的广泛应用而日益重要。由于随机现象的普遍性, 在该课程中的很多地方可以融入数学模型, 例如体育彩票、保险精算、投资理财等问题。

近几年, 地方院校越来越重视全国大学生数学建模竞赛。分析近些年的题目, 竞赛涉及的概率统计知识越来越多。由此可见, 要使学生更好的掌握概率统计知识, 提高解决实际问题的能力, 将数学建模思想融入概率论与数理统计的教学过程非常重要。

2.5 改进考核方法, 提高学生学习主动性

公正合理的考核机制, 有利于准确评价学生对课程的掌握程度。笔者所在院校采用的考核方法已由纯考试成绩改为:学生成绩=平时成绩 (30%) +考试成绩 (70%) 。其中, 学生平时成绩包括作业情况 (20%) 、出勤情况 (30%) 、上课提问情况 (50%) ;这种考核方法可以全面考核学生的学习情况, 并客观给出成绩, 提高学生学习主动性。

2.6 教学效果

通过各方面的改革, 笔者所在学院的学生在全国大学生数学建模比赛中, 表现出很高的兴趣并取得不错的成绩。更有一些学生, 不仅掌握了知识, 而且通过自己进一步整理和深化, 写出了很多优秀毕业论文。

3.结语

如何开设好概率论与数理统计课程是一个长期而又复杂的系统工程, 需要教师从不同角度和方面去积极地探索。本文通过对概率论与数理统计的教学现状、教学改革及效果进行探讨, 给出笔者的一些浅薄观点, 并将在实践过程中不断修正完善, 希望能够给各位同仁们提供一些参考。

摘要：概率论与数理统计是统计学专业重要的基础课程。抽样调查发现学生普遍认为该课程很重要, 但难以理解, 不易接受。文章从多个角度分析造成这种现象的原因, 结合地方院校的教学现状及实践, 提出改进的建议和措施, 对该课程的讲授有一定的借鉴作用。

关键词：概率论与数理统计,抽样调查,教学改革

参考文献

[1]茆诗松, 程依明, 濮晓龙.概率论与数理统计教程 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2011

[2]彭君.概率统计教学改革探讨[J].数学理论与应用, 2011.31 (3) :103-105