一题多解物理

一题多解物理（共14篇）（共14篇）

1.一题多解物理 篇一

一题多解方法巧

做数学应用题, 老师要求我们一题多解.开始, 我想: 把题做出来就行了, `多解'不是`自找麻烦'吗?

但是, 当我按照老师的要求去做了一段时间以后, 我才感到这不但不`麻烦', 而是挺有趣.如一道比例分配应用题, 我曾找出了`归一'、`分数'、`比例分配'、`比例'四种解法.

一次数学考试, 有一道题: `黄铜中, 锌和铜的比是3∶7, 现在有87.5 公斤铜, 应加入多少公斤锌才能炼出这种黄铜? '我马上就想到: 第一步先求黄铜总重量, 第二步根据锌占的比例数求出锌的重量.除此之外, 还有没有别的解题方法呢? 我很快又想出了另一种方法: 设锌重为x 公斤, 3∶7=x∶87.5, 这样, 一步就算出了锌的重量是多少.用后一种解法, 速度快, 算得准, 能`挤'出时间来检查、验算其它的.答题.

北京市三里河三小六 (4) 班 刘燕讲 峦予记

聪聪学会了`假定法'

时钟敲了九下.

爷爷: 该睡觉了.

聪聪: 这道题还没做完, 用`逆推法'和`图示法'分析都不行.爷爷, 您说怎么办呢? 爷爷戴上老花眼镜, 仔细看题目: 甲乙两种戏票共20 张, 共用去4 元5 角.甲种票3 角, 乙种票2 角, 两种票各买了多少张?

爷爷: 这道题可以用`假定法'来分析.假定每张票价都是3 角, 20 张应付多少元?

聪聪: 一共付6 元.

(0.30x20=6.00)

爷爷: 比原来的总钱数多了多少元?

聪聪: 多了1.50 元.

(6.00-4.50=1.50)

爷爷: 为什么多算了1.50 元?

聪聪沉思了一会儿, 回答: 因为把票价是2 角的票都多算了1 角.爷爷: 2 角的票有多少张?

聪聪高兴地蹦了起来: 我会了! 我会了! 2 角的票15 张.〔1.50÷(0.30-0.20) =15〕3 角的票就是5 张. (20-15=5)

爷爷又提了一个新问题: 假定20 张票都是2 角的, 你能按上面的过程分析吗?

聪聪很快列出了算式.少年朋友, 你能用`假定法'来分析解答吗?

湖南津市二完小 文德训

2.一题多解物理 篇二

一、原题再现

例1如图1所示,质量为M倾角为α的斜面体( 斜面光滑且足够长) 放在粗糙的水平地面上,底部与地面的动摩擦因数为μ,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度L为的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为m的物块. 压缩弹簧使其长度为3 /4L时将物块由静止开始释放,且物块在以后的运动中,斜面体始终处于静止状态. 重力加速度为g.

( 1) 求物块处于平衡位置时弹簧的长度;

( 2) 选物块的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向建立坐标轴,用x表示物块相对于平衡位置的位移,证明物块做简谐运动;

( 3) 求弹簧的最大伸长量;

( 4) 为使斜面始终处于静止状态,动摩擦因数应满足什么条件( 假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力) ?

试题介绍: 本题为2013年安徽高考理综第24题,也就是物理的最后一题( 压轴题) ,本题的难度系数为0. 12,此题的重点是第二问简谐运动的证明,突破第二问,前三问基本上就能拿到分数了; 此题的难点是第四问,此问是区别中等生和优等生的一问,下面我用三种方法来重点解决第四问.

点评: 此方法应该是绝大部分学生首选的解题思路,但是此过程较为复杂,要通过受力分析,找到地面对斜面体的静摩擦力的一般表达式,再进行极值的计算.

下面我将会用另外两种方法,重新对第四问μ的范围进行计算.

二、整体和隔离结合的思想,以下简称整体法

方法2: 整体法

思路: 找到物块在简谐运动的最大加速度的两个位置( 即为简谐运动的两个最大位移处) ,从而找到斜面所受到的最大静摩擦和最小支持力,分解加速度然后整体写出力学方程,计算过程较为简单!

步骤: 1. 根据简谐运动的对称性,m的加速度最大的两个位置分别在简谐运动的正向和负向最大位移处,分解加速度如图4所示.

2. 对整体受力分析,如图 5 所示.

分析: 地面对斜面体的静摩擦力提供了系统在水平方向的加速度,f = max( M在水平方向没有加速度)

于是地面对斜面的最大静摩擦力的位置,应该是ax最大的位置,也就是刚才所说的最大位移处,此时

点评: 此方法较为简单,要利用简谐运动的对称性,找到斜面体受到的静摩擦力的最大时物块的位置,对整体进行受力分析,利用系统牛顿第二定律写方程求解

三、摩擦角法

方法3: 摩擦角法

先介绍一下摩擦角的概念: 当物体即将要滑动或者已经滑动时,物体所受到的支持力和摩擦力的合力与支持力的夹角的正切等于动摩擦因数,如图6所示

先判断m在负向最大位移处,斜面体具有最大的静摩擦力f,和最小的支持力Fn,此时斜面体依然静止,合外力为零,斜面体所受到的力可以构成一个封闭的矢量图形,如图7所示: 求出tanθ即可.

3.一题多解“四要” 篇三

一题多解是手段,不是目的,目的是开拓学生的解题思路,发展学生的智力,培养学生的创新能力。在同课异构的观摩教学中,听了两位教师执教“按比例分配”一课,他们不同的教学,引发了我对一题多解的思考。

A教师在引导学生理解题意后,放手让学生用多种方法解决例题1,然后汇报解法。在教师不断“还有哪些解法”的追问下,师生绞尽脑汁罗列了6种解法。此时的解法汇报演变成了教师与尖子生的对话,大多数学生成了陪衬,且听得是云里雾里的。随后的例题2教学也如出一辙。当下课的铃声响了,课堂练习还没开始。

B教师在学生理解题意后,提出两个问题让学生思考:“这道题分配什么?按什么比例分配?”指导学生按比例分配法的解题步骤与书写格式,再放手让学生完成“做一做”。在此基础上观察例题1、“做一做”,引导学生总结按比例分配法的解题步骤。随后的例题2教学,教师放手让学生独立解决,并完成了大量的课堂练习,包括一些变式题,教学效率高,教学效果好。

课后访谈:A教师说,我是根据解决问题策略多样化的理念设计这节课的,没想到大部分学生却不领情,教学效果这么不理想。B教师说,我是这样思考的,学生第一次接触按比例分配的问题,这节起始课我不考虑让学生进行一题多解训练,而是重点让学生掌握好按比例分配解题的思路,夯实基础后,第二节练习课再进行一题多解训练。

比较两位教师的设计意图与教学实施情况,启示我们一题多解不能盲目进行训练,尤其是知识的起始课。那么,进行一题多解教学时要注意什么呢?

一、要针对学生实际

一题多解要因材施教。学生基础好,思维活跃,放手探究;学生基础差,思维水平一般,引导点拨。案例中的A教师忽视学生的实际,又不善于引领,课堂出现冷场也在情理之中。任凭教师“还有哪些解法”的呼唤,绝大多数的学生仍是无动于衷,课堂理所当然就演变成了教师与尖子生的对话,而大多数陪衬生对这些解法也是外行看热闹,更不用说是学困生了。那么,追求这样的一题多解有什么意义呢?

二、要夯实主要解法

笔者很赞成B教师的观点,学生第一次学习按比例分配问题,应让学生先掌握好按比例分配解题的思路及书写格式,在夯实主要解法后,再发散其他解法。也就是先让每个学生都掌握这一主要解法,再在理解主要解法的基础上触类旁通、举一反三,这才是进行一题多解的前提。

三、要梳理解题思路

一题多解不是罗列各种解法。因此,对于一道可以多解的题,教师不能只是简单地提出“这题还可以怎样解”,坐等学生的多种解法自然而然地“爆”出来,而应积极启发学生从不同角度看问题,从不同地方入手,通过不同途径找到题目的多种解法。当学生杂乱地提出多种解法后,教师不能就此止步,而应引导学生将这些解法进行整理归纳,从中进一步明确这些解法是通过哪些思路得到的,这样就可不断拓宽学生的解题思路。如,按比例分配问题的解题思路不外乎有归一思路、分数乘法思路(即按比例分配思路)、分数除法思路与分数除法相对应的方程思路。而案例中的A教师只是把一题多解理解成罗列出各种解法,忽视了引导学生梳理解题思路,纯粹是为一题多解而一题多解。

四、要比较多种解法

4.一题多解教学方法浅谈论文 篇四

通过研究发现只有10%的学生在做题中会思考用不同的方法解答并写出来，15%左右的学生想到其他方法但不会写出来，75%左右的学生只是按常规思维方法写出一种解法，根本不去考虑是否还有其他解法。分析原因：一方面是学生思维长期受到束缚；由于一些升学压力是教师在教学时只重视结果而忽略了学生的思维过程，教师在讲题时也大部分只讲一种方法并要求全班记住。这样学生的思维长期处于一种封闭状态。另一方面忽略了一题多解的意义。部分教师和学生由于对一题多解的作用和意义认识不深刻，导致在平时的教学和学习中就不注意这方面的发展。

二、在教学中注重培养学生一题多解的能力。

在教学中具体怎样才能更好地培养学生一题多解的能力？怎样才能更有效地开发他们的思维潜力？通过几个月的调查、分析、试验，我认为首先要激发学生学习兴趣；兴趣是最好的老师，是培养学生创新思维的前提。有的学生并不是不聪明，也不是思维能力差，而是由于对数学这门学科缺乏兴趣而使他们的潜力没有挖掘出来。部分学生认为做题纯属是为了完成老师布置的任务，在做题时只要能做出来就很满足了，从不考虑其他方法。针对这种情况教师应该在平时的教学中除了讲授数学知识外，还应该让学生了解一些数学学科的意义及作用，使学生从思想上重视数学这门学科，逐渐产生兴趣。并且对在做题中能用多种方法解答的学生要及时表扬鼓励，让这些同学能向更好的方向发展。其次，用以下方法逐渐培养。

1.提示引导法。

2.提问引导法。

有的习题可能学生用多种方法做有些吃力，教师可以用提问的方法一步步问下去，到一定的步骤学生会豁然开朗。时间长了，学生会把这种思考方法转化成自己的思维能力。

3.操作引导。

在教学可操作的习题时可以让学生动手操作，能很直观地帮助学生分析题的特点，从不同角度去解决问题。

如：一个长方体的礼品盒的侧面是边长为2分米的正方形，高1.5分米，制作这个礼品盒要用多少纸板？（接头处忽略不计）学生很快用长方体的表面积公式计算出来了，（2×1.5+2×2+2×1.5）×2=20（平方分米）。我让学生做这样一个学具并观察它的特点，学生很快发现长方体有两个面是正方形时，其他4个面相等。

本次研究还得出培养学生一题多解时应把握以下几点：

（1）让学生明白不是所有的题都能用几种方法，有些题方法是唯一的。

（2）不是所有的学生都能在做题时用多种方法解答，极个别学困生用一种方法都困难，教师不能做统一要求。

（3）培养学生一题多解能力不是一朝一夕的事情，渗透在平时的教育教学当中，教师要持之以恒，慢慢培养。

5.一题多解物理 篇五

发散思维也叫辐射思维、求异思维 , 其特点就是对一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系去启发诱导同学 , 通过不同的思路去解答同一个问题，引导同学讲述各自解题思路和算理，沟通解与解之间的联系，促进思维发展，从而得出某一问题的大量答案。在平时的教学活动中，对于同一道应用题，由于考虑的角度不同，解题的思路和方法也各异。此时，教师有意识地激发同学思维的发明性、灵活性，使同学在积极主动的状态下探索，为同学的思维发散提供情景、条件和机会。进行一题多解的训练，是培养同学思维的敏捷性，提高同学的变通能力与综合运用数学知识的行之有效的`方法 , 能促进同学智能和思维的发展，起到意想不到的教学效果。

所谓一题多解，主要体现在没有唯一的、固定的模式，而是以其多样化的答案为明显的特征。可以通过纵横发散、知识串联、综合沟通，达到举一反三、融会贯通的目的。是培养同学发散思维的好方法。解题时，教师引导同学从一个问题动身，根据所给条件，突破固有的解题思路和思维定势，去寻找不同的解题方法，才干达到预期效果。下面分别举出同学在练习中出现的几种解题思路。

例题：两箱茶叶共重 176 千克，已知甲箱比乙箱多 12 千克，两箱茶叶各多少千克？

［解法一］从疏理解题思路入手 , 善于抓住解题关键，根据问题，理解甲箱比乙箱多 12 千克 ，反之乙箱就比甲箱少 12 千克 。

甲箱：（ 176 ＋ 12 ）÷ 2 ＝ 94 （千克）

乙箱：（ 176 － 12 ）÷ 2 ＝ 82 （千克）

［解法二］将总重量减去甲箱多的 12 千克 后求平均 , 得出乙箱重量 , 再加 12 千克 求出甲箱重量。

176 － 12 ＝ 164 （千克）

乙箱： 164 ÷ 2 ＝ 82 （千克）

甲箱： 82 ＋ 12 ＝ 94 （千克）

［解法三］对数量关系进行逆考虑：将总重量求出平均数，甲箱加 6 千克和乙箱减 6 千克后，得出甲箱比乙箱多 12 千克。

176 ÷ 2 ＝ 88 （千克）

甲箱： 88 ＋ 6 ＝ 94 （千克）

乙箱： 88 － 6 ＝ 82 （千克）

通过多角度、多方面的变化问题，可提高同学分析问题，灵活运用已有知识，全面观察问题的能力。以上的解法，同学认识到：解应用题最关键是找出己知条件，要求的问题，弄清解题思路，对各步算式表示的意义准确地写出来，并结合学过的知识进行多种考虑，就会找到不同的解法。在这些解法中，有的比较具体，有的比较笼统。凡遇到复杂应用题时，可应用假设法、分析法、逆转法、代换法进行转化，化难为易，化繁为简，化生为熟，然后找出合理、简捷的解题途径。这样可以大大提高同学解题的速度和能力。

可见发散思维是多角度、多层次、多结构的。它对探究问题和解决问题可能提供多种多样的思路和方法。模糊的思维方式通过反复练习可以转变为清晰的有序的思维，分析能力就会加强。发散思维思路广阔，同学处在一个积极主动的探索状态，体现了一种发明精神。

6.一题多解物理 篇六

记者今日从长沙市普通高校招生考试工作会上获悉，今年我省高考取消了外语科“一题多卷”作法，降低考务操作难度;取消了徒手画和空乘类专业的省级统考，改由招生学校自己组织考试或提出相关要求。今年高考将于6月7日、8日举行，长沙市设置9个考区，31个考点(六区15个，二县一市16个)，其中岳麓区新增麓山国际实验学校考点。

高招政策七大变化增加高中阶段具有边远、贫困、民族地区县及县以下中学连续三年学籍并实际就读、具有农村户籍且家庭在农村的学生方可报考具有自主招生资格的本科一批高校安排的“农村学生单独招生”计划;增加了具有本省农村户籍的考生方可填报我省省属本科一批高校的“农村学生专项计划”志愿。“贫困地区定向计划”和“农村学生专项计划”录取分数不低于招生学校所在批次录取控制分数线，如按“学校服从”志愿投档后仍生源不足时，省内省属高校可按我省高校招生相关规定，适当降分投档录取(最多降20分，降分投档以考生第一次填报的志愿为依据)，志愿和提前批同时填报。优惠加分政策有较大调整，今年增加的项目有“三独”比赛获奖加分，获一等奖加10分、获二等奖加5分。要明确的是，“三独”比赛加分属特长加分，报考艺术类专业、艺术特长生的考生不能享受此类加分。取消的项目有：取消了健美操、网球、体操和定向越野等四项(省级比赛体育加分限田径、篮球、足球、排球、乒乓球、武术、游泳、羽毛球);取消市州级体育比赛获奖加分;取消了奥赛省级分赛区获奖的加分资格;取消中学生奥林匹克学科竞赛、科技类竞赛等项目获奖的高校保送资格;取消省内高校招收体育、艺术特长生的政策。往年报考省内高校体育特长生和艺术特长生的考生，高考文化成绩可降低到我省二本控制线的65%，今年取消了这一政策。调整的项目有：体育加分和奥赛、科技类竞赛获奖的加分分值标准一般相应降低了5分以上。这些优惠加分政策在2016年也有新的变化，相关文件已经下发。明确了华侨预科班招生要求。华侨预科班只招收归侨、归侨子女、华侨子女和台湾省籍考生，录取时可在学校所在批次录取控制线下30分以内按考生志愿投档录取。进一步加大了高职院校单独招生的力度，2014年全省有64所高职院校(去年31所)试行单独招生，全省单独招生已录取2.7万余人。根据高考考务的实际情况，取消了外语科“一题多卷”作法，降低了考务操作难度。取消了徒手画和空乘类专业的省级统考。往年我省每年高考结束后组织了徒手画和空乘类专业的省级统考，现改由招生学校自己组织考试或提出相关要求。

链接

特殊考试时间节点

体育加分统一测试：考生凭身份证、测试证(两证缺一不可)于6月14日到湖南师大体育学院报到，15日参加测试。

军事院校面试复检：军事院校(包括报考国防生)的面试、复检一般安排在7月2-3日，具体时间和地点另行通知。

小语种口试：凡外语科考试语种为日语、俄语等小语种的考生，如报考外语专业或对外语口语有要求的相关专业，须参加全省统一组织的日、俄等小语种口试。7月5日，口试地点设在湖南师范大学外国语学院。

长沙城区考点

芙蓉区

长铁一中

长沙市实验中学

(原长沙市田家炳实验中学)

天心区

长郡中学

长沙市明德中学

长沙市天心区第一中学

岳麓区

师大附中

长沙市20中

麓山国际实验学校(新考点)

开福区

长沙市一中

长沙市七中

雨花区长沙市雅礼中学湖南省地质中学长沙市第21中学望城区望城一中

雷锋学校

7.一题多解学数列 篇七

例1等差数列{an}的前n项的和为Sn, 且Sn=m, Sm=n, (m≠n) , 求Sm+n的值?

分析常规思路是利用等差数列的前n项和公式列出方程组, 求得首项a1和公差d, 从而求出Sm+n, 思路简单, 但运算较繁.可利用等差数列的性质来简化运算, 下面给出三种简便方法.

解法一思路:设Sn=an2+bn, 要求Sm+n=a· (m+n) 2+b· (m+n) , 利用函数思想, 等差数列前n项的和Sn是关于n的二次函数.

解设等差数列{an}的前n项的和为

解法二思路:若{an}是等比数列, 则ak, ak+m, ak+2m, …也是等比数列.

8.求异思维、一题多解 篇八

一、正向思维和逆向思维

例题1. 汽车以20的初速度做匀减速运动，5s末停下来，求汽车2s末至4s末通过的路程？

（1）按照正向思维的方法，其解是：

a = = = –4

汽车前4s通过的路程s= vt +at=20×4–×4×4=48m

汽车前2s通过的路程s= vt +at=20×2–×4×2=32m

所以，2s末至4s末汽车通过的路程为：

= s- s= 48m -32m = 16m

（2）按照逆向思维的方法，其解是：

把汽车的运动反向看成是初速度为零的匀加速直线运动，根据s：s：s… = 1：3：5… 可得：

s=at=×4×1=2m

故2s末至4s末汽车通过的路程为：

=（3+5）s= 8×2 =16m

例题2. 一列火车进站做匀减速运动，某人站在月台上，他测得进站火车的第一节车厢从他身旁经过历时t，当火车最后停下来时，火车的第九节车厢末端刚好与该人平齐，求这九节车厢从该人身旁经过共历时多少？

（1）按正向思维的方法，其解：

设每节车厢的长度为L，九节车厢共历时为t

由 v=v+at 和v=0 得到：

v= -at ……

由 s=vt + at 得到：

第一节车厢 L=vt +at……

全部九节车厢 9L= vt +at……

由解得 t=（9+6t）

（2）按照逆向思维的方法，其解是：

把火车的运动逆向看做初速度为零的匀加速运动，则：

L=at-a（t -t） ……

9L=at ……

由解得 t=（9+6t）

由以上两例可知，逆向思维有其独特性，有时它比正向思维解题更加简便易行。

二、单向思维和多向思维

例题3. 做匀加速直线运动的物体，从某时刻起，在第3s内和第4s内的位移分别为21m和27m，求加速度a和某时刻的速度v。

本题解法较多，这里给出四种

解法（1） 设前2s、前3s、前4s的位移各为s、s、s 则有：

s=2v+a×2

s=3v+a×3

s=4v+a×4

再设第3s内、第4s内的位移分别是s、s 则有：

s= s- s= v+2.5a = 21 ……

s= s- s= v+3.5a = 27 ……

由解得 ：a = 6 v = 6

解法（2）：根据s=at得：

a == 6

设2s末的速度为v，则s= vt+at

即 21`= v×1+×6×1 ∴ v= 18

根据v=v+at 得v=18-6×2=6

解法（3）： 设2.5s末、3s末的速度为v、v 则：

v==21 v==24

又根据v=v+at 得 ：24= v+3a ……

21= v+2.5a ……

由解得： a = 6 v = 6

解法（4）：初速度v≠0的匀变速直线运动可视为一个速度等于v的匀速直线运动和一个初速度为零、加速度为a的匀变速直线运动的合运动。这样初速度为零的匀变速直线运动的特殊规律便可直接应用了。于是有：

==

解得：v = 6

由s=at得 a = 6

比较可知，解法（1）依赖于单向思维模式s=vt + at ，思维狭窄。而解法（2）、（3）、（4）善于从不同的方向和角度系统的分析考虑，尽所有可能寻求解决问题的各种方法和答案，摆脱了单向思维的单一化。多向思维是培养学生能力、发展学生智力的重要途径。

9.一题多解，妙趣横生 篇九

而一道几何证明题往往有着多种不同的证法.方法的寻找也是有规律可循的. 下面以一道证明题为例，介绍几种解决方法，供同学们学习参考.

方法四是几种证法中最简捷的，通过利用“角平分线+垂线”构造相等的线段与直角三角形斜边上的高，再利用射影定理消去平方项，以基本的相似形证明题中的常用方法转化，最后推出要求证的比例式，这是相似中非常典型的方法.

10.一题多解 开拓解题思路 篇十

分析:两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离.

解法一 (常规法) :如图1, 连结A′D, DC′, DO′, 作OE⊥DO′于E,

∵A′C′⊥面BB′D′D, ∴A′C′⊥OE.

又OE⊥DO′, ∴OE⊥面A′C′D.

因此OE即为直线A′D与AC的距离.

在Rt△OO′D中, OE·O′D=OD·OO′,

可求得${\rm O}E=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

解法二 (体积相等法) :如图2, 连结AC′.

AC到面A′C′D的距离等于点A到面A′C′D的距离.

设点A到面A′C′D的距离为h,

由VA-A′C′D=VC′-AA′D得

$\begin{array}{l}\frac{1}{3}\times S{}_{△A^{\prime }{C}^{\prime }D}\times h=\frac{1}{3}\times S{}_{△A{A}^{\prime }D}\times C^{\prime }{D}^{\prime }.\\ \therefore h=\frac{S{}_{△A{A}^{\prime }D}\times C^{\prime }{D}^{\prime }}{S{}_{△A^{\prime }{C}^{\prime }D}}\\ =\frac{\frac{1}{2}\times A{A}^{\prime }\times AD\times C^{\prime }{D}^{\prime }}{\frac{1}{2}\times A^{\prime }D\times A^{\prime }C\times \sin 60°}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\end{array}$

解法三 (向量法) :如图3, 建立空间直角坐标系B′-xyz,

则A′ (1, 0, 0) , C′ (0, 1, 0) , D (1, 1, 1) , A (1, 0, 1) ,

$\therefore \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(-1‚1‚0)‚\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0‚1‚1)‚\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0‚0‚-1).$

设面A′C′D的法向量为n= (x, y, z) ,

由

$\{\begin{array}{l}\mathit{n}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=0‚\\ \mathit{n}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }D}=0‚\end{array}$

得

$\{\begin{array}{l}-x+y=0‚\\ y+z=0‚\end{array}$

解得

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=1‚\\ y=1‚\\ z=-1.\end{array}\\ \therefore \mathit{n}=(1‚1‚-1).\end{array}$

而AC到面A′C′D的距离等于点A到面A′C′D的距离.

设点A到面A′C′D的距离为d,

$\therefore d=\frac{|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}=\frac{|(0‚0‚-1)\cdot (1‚1‚-1)|}{\sqrt{1{}^2+1{}^2+(-1){}^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

11.浅议高中数学的“一题多解” 篇十一

一、一题多解, 实战演练

例题:直线M被两条直线所截, 所得的一条线段的中点为坐标原点, 试求直线M的方程。题中的两条直线为:

思路1:假设直线方程为M:y=kx, 把M与M1和M2的交点分别求出来, 即:再把上述条件中的中点为原点的知识用上去, 就可以了, 求得, 所以直线M的方程为:

思路2:假设M与M1的交点为: (t, p) , 则它与M2的交点为: (-t, -p) , 则有 (1) 4t+p+6=0, 且 (2) -3t+5p-6=0, 解得

思路3:前面与思路2基本相同, 只需要将 (1) + (2) =t+6p, 将p, t分别用x, y代入即得:x+6y=0, 因为这条直线不仅经过点 (t, p) , 又经过原点 (0, 0) , 所以方程即是所要求的方程。

方法1与方法2都是属于常规解法, 都是用的待定系数法, 这是基于学生的基本技能而应有的解题能力, 学生在解题时应当向这个方向去努力。方法3里面就含有一个技巧, 那就是化定元为变元, 充分体现了数学当中设而不求的思想, 但由于其特殊性, 不能也不应当要求所有学生去理解, 只能让那些数学特长生去体会去理解。

二、以点带面, 用一题多解来构建知识网络

数学里面的概念、判断、推理成分很多, 具有很强的逻辑思维能力要求, 对学生知识网络全面性、系统性有着很高的要求, 不是靠一知半解就能达到这个要求的。而要帮助学生构建全面的知识网络, 除了做一些典型的习题、大量的习题之外, 还要对同一道数学题目进行多方面的解剖, 用发散性思维思考问题, 这样便可以帮学生形成系统性的知识网络。

上道数学题目, 如果再加以细致的研究, 再加以深刻的思考, 可能会有第四种、第五种方法解决, 是不是把这些方法都教给学生呢?答案是否定的。原因在于学生的能力有限, 精力有限, 能把一些常规的解法融会贯通就很不错了, 如果一味地教学生多种多样的方法, 既浪费了老师的时间, 也浪费了学生的时间, 容易把学生搞糊涂, 所以滥用过多方法不可取。而且并非所有学生的接受能力都是一样的, 老师要注意引导学生自主探究, 并有选择地把几个典型的例题重点讲解给学生, 把那些典型的方法教给学生, 关键让学生融会贯通, 并且有针对性地对那些有特长的学生进行辅导, 起画龙点睛作用。

前面的两种方法属常规解法, 基于基础, 根于基础, 对于学生的理解力提高、知识点强化有很大的作用, 还可以帮助学生对这个知识点有深刻的理解, 以点带面, 构建系统的知识网络。所以, 在倡导一题多解的时候, 不能为方法而方法, 不能滥用方法, 要注意对典型例题的研究, 典型例题往往具有综合性和概括性, 对于学生知识网络的形成具有不可估量的作用。

三、“一题多解”并不是抛弃常规, 投机取巧

在新《数学课程标准》当中, 明确提出的教学目标就是帮助学生掌握基本的数学知识, 形成基本的解决实际问题的能力。所以, 在数学教学当中, 万不可为了追求更多的方法去解决问题, 而抛弃常规的思维、常规的解题方法, 如果一味地寻求巧方法、巧技能, 最后的结果可能是舍本求末, 很容易形成投机取巧的心理。

所以, 方法要精, 切勿滥用。如上题, 思路3:前面与思路2基本相同, 只需要将 (1) + (2) =t+6p, 将p, t分别用x, y代入即得:x+6y=0, 因为这条直线不仅经过点 (t, p) , 又经过原点 (0, 0) , 所以方程即是所要求的方程。这个方法, 如果学生没有一定的基础, 没有一定的知识积累, 懂也只是懂得皮毛, 也只是对这个题目一知半解。如果我们只是盲目地进行多解, 反而对学生理解不利, 这个题目可能还会有其他的不同方法, 但在所有方法当中, 方法1和方法2, 不仅学生易懂、易于理解, 而且体现了能力上的灵活性要求。

12.一题多解灵活运用 篇十二

1 运用不同的定律和定理

例1 质量为M的长木板，正以速度v0沿倾角为θ的斜面匀速下滑.现将一质量为m的木块，无实速度地放到木板的前端，经一段时间后，如图1所示，木块与木板以某一共同速度沿斜面匀速下滑.设木块与木板间滑动摩擦系数为μ1.问：（1）木块从放到木板上到相对木板静止所经过的时间？（2）木块相对木板滑行的最大距离？

分析 这类题型常常是出现在解决问题时所应用不同的定律和定理之间存在内在关系，下面列出学生平时容易解错的答案.

错解分析 ①（2）式中的am应改为am=gsinθ+μ1gcosθ.受结论的影响产生“负迁移”，所以没有认真分析M和m的受力情况.②没有分别算出两物体对同一惯性系的位移，再对两物体分别列动能定理，因此错误的得到式（4）.

正确解法1 应用牛顿第二定律和运动学公式求解.由放m之前木板匀速下滑可知.

①μ=tanθ.其中μ是木板和斜面间的摩擦系数.②放m之后，m和M重力下滑分量的和与木板与斜面间的摩擦力相等.所以m和M体系的总动量是守恒的.

由于达到共同速度之前m慢于M向下滑，因此m受到的摩擦力沿斜面向下，它给M的摩擦力沿斜面向上.所以am=gsinθ+μ1gcosθ （2）.此加速度am的方向沿斜面向下.由于M最初匀速下滑，所以可判断放m以后，M减速下滑.故aM的方向沿斜面向上.

正确解法3 应用相对运动求解.设沿斜面向上为正方向，选M为参照物，m的相对初速度为v0，相对末速度为零（因为两者达到共同速度），相对加速度为a=-（am+aM）负号表示与正方向相反，设相对位移为Δs，则

2 借助图象运用分析法解题

题目2 如图3，杆1和杆2的夹角为θθ，各沿垂直于杆自身的方向分别以速度v1和v2匀速平动.求交点O的速度.

解法2 分步法.

（1）设杆1不动，杆2以速度v2垂直于杆2自身平动，杆1和杆2交点速度v2′方向沿杆1向右，此速度可看成两速度的合成，一是沿垂直于杆2的速度v2，另一速度杆2向上，如图5，则交点速度v2′=v2/sinθ.

（2）设杆2不动，杆1以速度v1垂直于杆1自身平动，如图6，仿照第一步可求出交点速度v1′=v1/sinθ.

（3）杆1和杆2都动时，交点速度v是v1′和v2′的合成，如图7所示.

13.一题多解题型的基本教法 篇十三

一、收集基本图元, 储备表象知识, 筹建基体线框

从构形设计的角度看, 任何一个复杂的组合体, 都可看成是由基本几何体通过叠加或切割而形成的 (便于分析) , 而基本几何体又可看成是点、线、面的集合 (便于作图) , 所以组合体的画法最终可归纳为点、线、面的求解。而对于一题多解类题型, 其实质是面的不确定性。在教学过程中, 教师可结合点、线、面的投影性质, 以基本几何体为切入口, 有层次、有坡度地适当引入并收集一题多解的基本图元。这是因为学生要想学好制图, 首先必须建立由三维立体到二维图形的关联, 即形象思维与抽象思维的对应。我让学生对基本体进行观察, 熟悉三维空间体系向二维平面图形的变化、发展、运行与变化过程, 并掌握其投影规律, 认识它们的特征, 理解空间的形体在平面图形的表达。

如图1所示:主、左视图为两个圆、两个矩形线框、两个等腰三角形等, 那么俯视图的答案可能是什么呢?我通过预留习题、小组讨论、切制模型、学生讲解等多种形式, 让学生分析可能出现的答案, 启迪学生的思维, 开拓解题思路, 并让学生制作模型进行验证强化, 经过多次的渐进式的拓展训练, 筹建并掌握建模法的基体线框, 使思维的广阔性得到不断的发展。

在此阶段, 教师应注重强化学生轴测图的草绘能力, 将轴测图作为构思形体的主要工具。具体作法是将现代三维设计分析和制造理念引入到课堂教学过程中, 先运用Solidworks三维设计软件, 向学生直观演示基本体的成形方法, 如拉伸、旋转、放样、扫描、布尔运算等, 让学生理解特征图形的重要性, 并形成一定的空间立体感, 再在平时教学进程中, 通过徒手绘制轴测图, 让学生从基本体轴测图的绘制入手, 耳濡目染, 能迅速建立各种类型的基体线框, 从而为下一步作好铺垫。

二、纵向深入, 横向拓展, 创建线框模型

掌握了建模法的基体线框, 接下来便是分部分依次创建线框模型, 如图2所示, 已知主、左视图, 补画第三视图。

首先根据外围矩形框构造基本体, 创建线框模型, 并纵向深入, 具体操作如下:

1.以四棱柱作为外围线框建模, 并作出轴测图。

2.在轴测图对应主、左视图部位预画投影, 即将平面构形直接放至三维空间。

3.分析各封闭面的相对位置。

常用的方法有:

(1) 将面进行拉伸;

(2) 将面进行旋转或倾斜;

(3) 用一般位置平面进行切割;

(4) 用两相交平面进行切割。

4. 结合轴测图, 画出俯视图, 并分析正确性。

在此阶段, 应将典型的切割方法 (投影面的垂直面、投影面的平行面、一般位置面、单一面、复合面) , 结合空间直线、平面的投影规律, 向学生渗透轴测图作图技巧, 如沿轴测轴进行尺寸度量、充分利用平行线投影的性质、投影面的平行面优先画出等, 让学生学会用轴测图来表达构形过程, 理解贯通轴测图的构形过程与三视图的作图过程是相一致的。由于使用线框建模分析, 将本来需结合主、左两平面视图构思空间形体 (空间想象能力要求高) , 转化为由空间平面线框直接构思各面位置 (由三维立体到三维立体) , 从而使构形难度明显下降且直观性强, 易于画出第三视图。

5.进行横向拓展, 矩形框可能是三棱柱、部分柱面, 依次深入。

如图4, 将三棱柱作为基体来分析中间三个面的相对位置, 思路一, 多次切割, 即将面内压;思路二, 依次叠加, 即将面外拉, 最后还可将上述两种思路进行合并处理。

6.纵横交错, 可取各自的典型结构相叠加, 并分析其可能性。

老师在讲授过程中, 主要依靠轴测图分析, 也可以用Solidworks三维建模功能进行动画演示。如下图所示, 已知主、俯视图, 试构思组合体, 并画出左视图。如果熟悉矩形线框构形的几种类型, 只需将几种结构相叠加, 相关答案便能很快作出。

现代教育学和心理学的研究成果表明, 人才的创新能力取决于人的发散思维与集中思维能力的协调发展, 其中起关键作用的往往是发散思维。发散思维是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式, 它表现为思维视野广阔, 思维呈现出多维发散状, 它是在给出条件及资料不充分的情况下, 从多方面寻求答案的思维方法。发散思维的培养是需要一定条件、讲究一定方法的。一题多解类题目正好为学生创设了这样的条件, 教会了学生一定的方法。因为它一方面提高了学生的学习兴趣, 使学生的思维更流畅、更新颖, 另一方面帮助学生总结出这类问题的出发点和规律, 进一步拓宽了发散思维的路径, 提高了空间思维的灵活性, 激发了创新潜能。尤为重要的是这种以构型设计为主线, 从立体出发, 遵循了学生由三维到二维的认知规律, 辅以先进的三维设计软件, 为培养学生的现代工程素质和创新设计创设了条件和可能, 而这正是现代制图教学的改革方向。

总之, 我在多年的教学探索中, 体会到利用线框建模法解答一题多解类题目好处很多, 特别值得一提的是解题思路清晰, 并通过草绘轴测图, 将二维平面想象直接转化为三维线框构形, 达到了所想即所见的效果。在一题多解的求变中, 通过多方面、多角度的思考, 得到多个结论, 引导学生透过现象看本质, 培养了思维的深刻性和分析问题的完整性, 从而为本课程和后续专业课的学习打下了良好的基础。

参考文献

[1]陈锦昌.基于构型设计的工程图学教学体系的探讨.工程图学学报, 2006, (5) :131-132.

[2]张菊.制图教学中贯穿三维设计的思想.辽宁高职学报, 2002, (4) :59.

14.一题多解 巧求逆矩阵 篇十四

例求矩阵A=21201的逆矩阵

分析一：矩阵A对应一个几何变换，只要找出它的逆变换，就可以根据逆变换写出逆矩阵．

解1：矩阵A对应的几何变换为：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，而将横坐标变为原横坐标的2倍并依纵坐标的12增加，即(x,y)→(2x+12y,y)的几何变换，因此它的逆变换为：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的12并依纵坐标的14减少，即(x,y)→(12x－14y,y)，∴A－1=12－1401

点评：利用几何变换法求解逆矩阵，首先要找准逆变换，再写逆矩阵，该题中的逆变换易认为是：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的12减少，再变为原来的12．导致求解错误，故对几种基本几何变换要熟练掌握，需谨慎对待．

分析二：设矩阵A的逆矩阵为A－1=abcd，由矩阵乘法并根据可逆矩阵定义得到一个方程组，进而解出a,b,c,d的值．

解2：设矩阵A的逆矩阵为A－1=abcd，

所以AA－1=2a+12c2b+12dcd

=1001

∴2a+12c=12b+12d=0c=0d=1,

∴a=12b=－14c=0d=1

∴A－1=12－1401

点评：这种利用方程组方法求解逆矩阵，是求解二阶逆矩阵的基本方法，主要理论依据是可逆矩阵的定义．

分析三：利用行列式求解逆矩阵，首先求出|A|的值，然后套用结论即可解决．

解3：|A|=2,∴1|A|=12，

∴A－1=1|A|

1－1202=

12－1401

点评：一般地：若二阶可逆矩阵A=

abcd

(ad－bc≠0),它的逆矩阵为A－1=1|A|d－b－ca．

分析四：在原二阶矩阵A的边上傍一个二阶单位矩阵对二阶矩阵施行变换的同时，单位矩阵也施行同样变换，当矩阵A化为单位矩阵时，右边单位矩阵转化的结果即为所求矩阵A的逆矩阵．

解：21201

1001

第二行乘以－12加到第-行

2001

1－1201

第一行乘以12

1001

12－1401，

∴矩阵A的逆矩阵为A－1=12－1401．

点评：这种利用行变换求逆矩阵方法，特别要注意两个矩阵必须同时施行同样变换．

对于上述几种求解逆矩阵的方法，在学习过程中，请同学们注意比较，做到能根据具体问题选择较为合适的解决问题方法．