二次函数图象之教学反思

二次函数图象之教学反思（12篇）

1.二次函数图象之教学反思 篇一

二次函数y=ax2+k的教学反思

——香江中学黄布发老师

一、教学设计反思

1、教学目标有偏差，本节重点在描点法掌握函数，我自己把重点放在应用上

2、抬高了本节课的高度，要依据学生的基础而进行相关的教学设计

二、教学过程反思

1、在布置前置作业，学生挺配合，都把自己的想法写出来，为上课提供较好的平台

2、学生在展示的同时，鼓励学生多说，台下同学多观察，对比，这点有待提高

3、在习题巩固中，要多给时间思考和小组合作

三、存在问题反思

1、时间分配上，要把握好度

2、在进度分配上，要把握重难点突破

3、在师生关系中，要平等，和谐

四、改进措施反思

1、多听课，多与备课组集体备课

2、充分了解学情，让自己的课堂教学提高一个台阶

3、听了教研员张老师的点评受益匪浅，希望能多上公开课，多交流，多学习。

2.二次函数图象之教学反思 篇二

函数y=ax2+bx+c (a≠0, a, b, c是常数) 叫做二次函数.二次函数是七年级—九年级数学知识的重要组成部分, 其解析式中的a, b, c对图象的形状和位置、一元二次方程的根及二次三项式值的情况起着重要作用.现归纳如下:

1.a决定抛物线的开口方向:a>0↔开口向上;a<0圮开口向下;|a|决定抛物线的开口大小, |a|的值越大, 开口越小.

2.b与a共同决定着对称轴的位置:a, b异号, 对称轴在y轴右侧;a, b同号, 对称轴在y轴左侧;b=0时, 对称轴为y轴.

3. (1) c决定抛物线与y轴交点的位置:c>0↔↕交点在y轴正半轴;c<0↔↕交点在y轴负半轴;c=0↔↕交点在原点.

(2) 是抛物线与x轴的交点坐标;横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根.

4.△ (△=b2-4ac) 决定抛物线与x轴是否有交点及交点的个数:△>0↔↕与x轴有两个交点;△=0↔↕与x轴有一个交点;△<0↔↕与x轴没有交点.

5.是抛物线的顶点坐标, 其中, 是抛物线的对称轴方程, 是抛物线的最值:a>0时, y有最小值;a<0时, y有最大值.

6.是抛物线与x轴两个交点之间的距离:d=|x1-x2|.

7.当a≠0, b=0, c=0时, 抛物线顶点在原点, 对称轴为y轴;当a≠0, b=0, c≠0时, 抛物线顶点在y轴上, 对称轴为y轴;当a≠0, b≠0, c=0时, 抛物线过原点, 一元二次方程有一零根.

例1:如左图所示, 二次函数y=ax2+bx+c的图象为图中抛物线, 则下面不等式中能成立的个数有 () .

(1) abc>0; (2) b

(4) 2c<3b; (5) c>2b.

A.1个B.2个C.3个D.4个

解:∵抛物线开口向下, ∴a<0.

∵抛物线与y轴交于正半轴, ∴c>0.

∵抛物线的对称轴在y轴右侧,

∵当x=-1时, 对应的函数值y=a (-1) 2+b· (-1) +c=a-b+c.而由图象可知, x=-1时, y<0, ∴a-b+c<0, ∴b>a+c, ∴ (2) 不成立.

当x=1时, 对应的函数值y=a·12+b·1+c=a+b+c.又由图象可知, 当x=1时, y>0, ∴a+b+c>0, ∴ (3) 不成立.

∵2c<3b, b>0, ∴, ∴c<2b, ∴ (5) 不成立.

∴本题中不等式成立的只有 (4) , 故选A.

例2:求证:不论m取何值, 二次函数y=x2- (m+4) x+2 (m+1) 的图象与x轴都有两个交点.

证明:∵△=[- (m+4) ]2-4×1×2 (m+1) =m2+8>0, ∴不论m取何值, 此抛物线与x轴都有两个交点.

例3:抛物线y=x2+nx+n-2与x轴的两个交点间的距离是____.

分析:可设两交点的横坐标分别为x1, x2, 从而两点间的距离

例4:已知抛物线y=x2+ (k-4) x-k与x轴交于A, B两点, 关于y轴对称, 求抛物线的解析式.

解:抛物线y=x2+ (k-4) x-k关于y轴对称

3.§3.5 二次函数的图象和性质 篇三

主要知识点

1. 二次函数的概念

一般地，称y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）表示的函数为二次函数.

2. 二次函数的图象和性质

（1） 二次函数的顶点式为y=a（x-h）2+k（a≠0），它的图象是对称轴平行于y轴的抛物线.

（2）图象特征：① 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.② 对称轴为直线x=h.③ 顶点坐标为（h，k）.

（3） 增减性：当a＞0时，如果x≤h，那么y随x的增大而减小；如果x≥h，那么y随x的增大而增大.当a＜0时，如果x≤h，那么y随x的增大而增大；如果x≥h，那么y随x的增大而减小.

（4） 最值：若a＞0，当x=h时，y最小值=k；若a＜0，当x=h时，y最大值=k.

练习题

1. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，并且经过点 （-1，2），（1，0）.下列结论正确的是（）.

A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大

B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小

C.存在一个负数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大

D.存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大

2. 当-2

3. 二次函数y=x2-2x-3的最小值是?摇 ?摇?摇.

4. 求二次函数y=x2-2x-1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标.

第2课时二次函数与一元二次方程

主要知识点

一、二次函数的解析式

1. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）.

2. 顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）.

如果已知二次函数的图象经过一般的三点，可设解析式为一般式y=ax2+bx+c；如果所给条件中有顶点（或对称轴、最值等），应设解析式为顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）.

二、二次函数图象的平移

任何抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）都可转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）.这时，抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，因此任何抛物线都可由抛物线y=ax2经适当平移得到，具体平移方法如图：

三、 二次函数图象与一元二次方程

1. 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0就有两个不相等的实数根x1，x2.

2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系.

（1） 如果图象与x轴有两个不同的公共点，那么对应的一元二次方程有两个不相等的实数根.

（2） 如果图象与x轴只有一个公共点，那么对应的一元二次方程有两个相等的实数根.

（3） 如果图象与x轴没有公共点，那么对应的一元二次方程没有实数根.反之，根据一元二次方程的根的情况，可以知道二次函数的图象与x轴的位置关系.

3. 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解的步骤.

（1） 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象.

（2） 根据图象确定抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在哪两个相邻整数之间.

（3） 利用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似解.

经典例题

例 1 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，-4），且抛物线在x轴上截得的线段长为4，求抛物线的解析式.

解析：由于抛物线是轴对称图形，因此抛物线在x轴上截得的线段被抛物线的对称轴垂直平分，从而可求得抛物线与x轴的两个交点坐标.

∵ 抛物线的顶点为（1， 4），

∴ 设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4.

∴ 抛物线的对称轴为直线x＝1.

又∵ 抛物线在x轴上截得的线段长为4，

∴ 抛物线与x轴的交点为（-1，0），（3，0）.

将点（-1，0）或（3，0）代入，得0＝4a-4.解得a＝1.

∴ 抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

评注：函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要运用.本题通过形（图象及其位置）的条件得出数（相等和不等关系）的结论.同学们在复习时要加强对这种思想方法的理解和运用.

例 2 若抛物线y=a（x-h）2+k向下平移一个单位后，再向左平移3个单位，所得到新抛物线的顶点坐标为（-2，0），且a+h+k=4.求原抛物线的解析式.

解析：抛物线平移，主要抓住顶点的平移，由于平移中a不变，只要变动顶点就行了.对于这类已知平移后的顶点坐标，求原顶点坐标的问题，采用逆推法更易获解.

原抛物线顶点坐标（h，k）向下平移1个单位后为（h，k-1），再向左平移3个单位后为（h-3，k-1）.依题意，得h-3=-2，k-1=0，所以h=1，k=1.又a+h+k=4，所以a=2.所以y=2（x-1）2+1，即y=2x2-4x+3.

评注：二次函数的图象是对称轴平行于y轴的抛物线，只要a值相同，抛物线的开口方向、大小和形状完全相同，只是位置不同，而且抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）都可通过配方转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，其图象可以由y=ax2（a≠0）经过适当的平移得到.

例 3 已知二次函数y=x2+ax+a-2，求证：不论a取何值，总有抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q在x轴下方.

分析：要说明抛物线的顶点在x轴下方，由于抛物线的开口向上，只要说明Δ＞0即可.也可以验证顶点纵坐标小于0.

方法1：由Δ=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，且抛物线的开口向上，可知抛物线与x轴有两个交点，所以顶点恒在x轴的下方.

第3课时二次函数的应用

主要知识点

1. 二次函数的应用常见题型

（1） 求最值.解决这类题要根据题意建立数学模型，利用二次函数性质求解，但应注意自变量的取值必须在实际生活中有意义.

（2） 与几何图形相结合的问题.运用几何图形的性质建立变量间的函数关系式，借用函数的性质求解.

2. 利用二次函数解决实际问题的步骤

（1） 找出等量列出等式.

（2） 引入变量，将等式转化为函数关系式.

（3） 利用二次函数的图象画出草图.

（4） 结合实际，找出符合实际问题的那部分图象.

（5） 抓住图象与坐标轴的交点、最高点或最低点这些特殊点，求出最后结果.

3. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好.某一天小迪有20 min时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间x（单位：min）与学习收益量y的关系如图5所示，用于回顾反思的时间x（单位：min）与学习收益y的关系如图6所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.

（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式.

（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式.

（3）小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20 min的学习收益总量最大？

4.函数图象的教学反思 篇四

广厚中心学校 石立军

本节内容的知识目标是探索具体问题中的数量关系和变化规律，运用函数的图象的知识进行描述和解决；能力目标是能选择、处理数学信息，并做出合理的推断或大胆的猜测，能结合具体情境发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效解决问题；能初步具有数形结合、分段函数的数学思想；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。情感目标是乐于接受生活中的数学信息，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，能从交流中获益。

本节的教学重点是通过创设探索情境，体现数学与现实生活的联系，进一步培养学生从函数的角度解决问题。考虑到函数教学较难进行之处在于学生第一次接触函数相关内容，其抽象性不易理解与掌握，所以采取的教学策略是从学生感兴趣的欣赏图片引出探讨对象，容易引起学生兴趣，从而进入探索过程。课堂组织形式采用引导探究模式，充分调动学生积极性，引导学生作出其图像。但是分段函数毕竟对学生提出了较高层次的要求，学生做函数图像比较困难，函数关系式的得出相对来说困难不大，因为在本章的开头已经多次遇到过类似的问题情景，函数图像可由教师直接给出：作出图象如下： 分析图象：

1、横纵轴分别

代表的含义；

2、起点；

3、交点：；

4、转折点；

5、图象上各点坐标的实际意义。

作为对分段函数的初步认识，对图象中的各个“点”分析透彻有助于对图形的理解。在函数解析式及图像得出的情况下，展开如下讨论：

1、“两车相遇”在图象上如何表示？

2、如何在图象上看出函数值的大小？

通过对问题一较为仔细和深入的探讨，学生对函数的解析式及图像有了更深层次的理解。这个问题一的设置与教学，基本上适合学生的认知情况，但难度较大，其探讨比较适合层次比较高的学生，或者教学可设置为课前学生预习，尝试作图象，这样在课堂教学时可降低难度几学生思考的时间。

解题点拨：，我们并不知道x 和 y是什么函数关系。将这些数值所对应的点在坐标系中作出，我们发现，这些点大致位于一条直线上，可知 x 和 y近似地符合一次函数关系。我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相贴近，求出近似的函数关系式。解答：利用几何画板过其中两点作直线。可以看到，其他点也在这条直线上。求出这条直线所表达的解析式，则我们得到了反映x和y的函数关系式。在解决本题的最后，引导学生做了一个反思：在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，作图进行观察和计算，从而确定接近的函数关系式来研究这些

实际问题。在解这种与函数有关的题后，有一点很重要就是及时进行回顾与反思，这样将有助于学生函数思想的升华。

函数另一重要之处在于对函数图像的理解与应用，所以在问题二之后安排了阅读图像回答问题的问题三。【变式二】阅读函数图象，并根据你获得的信息回答问题：（1）折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；（2）根据你给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标；

对于函数图像的理解与应用，是本章内容的重点与难点。从图像获取信息也是学习函数之后学生应该具有的能力与技巧。探究思路：

1、从图象获取直观认识，由折线特征结合生活实际构造应用背景；

2、注意折线特点，OA、OB段“坡度”的差异；

3、起点、终点的含义，在应用背景中的体现；

4、转折点对应用背景的影响；

5、注意所编应用题的合理性。此题为开放题型，引导学生根据以往学习经验进行创造性学习，教会学生如何识图，用图，将图象反应于文字。最后对本堂课内容作一个课堂小结：

1、函数可以用来解决很多生活的实际问题；

2、如何理解分段函数及其图象；

3、观察图象，从图象获取信息；

4、创造性自编题如何体现函数思想。

函数教学历来是初中数学教学的一个重点和难点，如何突破，本节课作了一个尝试。所选用的三个问题均是精心挑选和设计的学生较易接受的题目背景，这样在教学中学生容易产生亲切感，有利于教学

5.二次函数图象之教学反思 篇五

《反比例函数的图象和性质》教学反思1

在本节授课过程中，教学环节展开是顺畅的，学生在教师引导下，能够说出一次函数的图象特征及性质，并通过类比一次函数的研究方法，按照列表、描点、连线三个步骤画出反比例函数图象，通过观察所画出的反比例函数图象，得出该图象的“特征”和函数的“性质”。

但因为学生刚接触反比例函数图象，图象外在形式(双曲线)与一次函数图象(直线)之间存在较大的差异，学生还缺乏对反比例函数图象“整体形象”的把握。一方面，当反比例系数的绝对值较大时，部分学生画出的图形，不能完整地反映其图象“渐近”的特征;另一方面，在应用反比例函数(增或减)的性质，比较反比例函数的.两个函数值大小时，学生不能有意识地从“自变量的正负”来考虑问题，这导致学生课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差。

此外，展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比”。在教学过程中，教师极力引导学生“类比一次函数学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”因素，以确保学习知识的“正迁移”效应，实际也会带来一些负面的影响，学生往往对属于一次函数和反比例函数“共性”的结论印象比较深刻，而对于反比例函数“个性”的结论，理解上反而会受到一些干扰。

《反比例函数的图象和性质》教学反思2

反比例函数的图像与性质是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。为此应该有意识地加强反比例函数与正比例函数之间的对比。对比可以从以下几个方面进行：

（1）两种函数的关系式有何不同？两种函数的图像的特征有何区别？

（2）在常数相同的情况下，当自变量变化时，两种函数的函数值的变化趋势有什么区别？

（3）两种函数的取值范围有什么不同，常数的符号的改变对两种函数图像的变化趋势有什么影响？

从这些方面去比较理解反比例函数与一次函数，帮助学生将所学知识串联起来，提高学生综合能力。此外，在学习反比例函数图像的性质（k大于0双曲线的两个分支在一、三象限，k小于0双曲线的两个分支在二、四象限）时，学生由画法观察图象可知；而增减性由解析式y等于k比x（k不等于0），学生也容易理解，但从图象观察增减性较难，借助计算机的动态演示就容易多了。运用多媒体比较两函数图像，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别。从而使学生加深对两函数性质的理解。

通过本案例的教学，使我深刻地体会到了信息技术在数学课堂教学中的灵活性、直观性。虽然制作起来比较麻烦，但能使课堂教学达到预想不到的效果，使课堂教学效率也明显提高。在评价学生的学习时应关注以下几个过程：

1、关注学生学习过程，进行形成性评价

教师应以学段教学目标为背景，以本章教学目标为标准来考察学生的.学习状况。在教与学的过程中，了解学生数学活动中情感与智力的参与程度和目标达到的水平，及时进行归因分析，不断积极引导和激励。同时利用诊断结果不断改进自己的教学。

2、知识技能的评价，注重学生对函数概念及反比例函数的理解水平。

本部分内容中，对知识技能的评价包括：能否理解反比例函数的概念，了解函数及其图象的主要性质；能否根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题等。对这些知识技能的评价，应当更多的关注其在实际问题情境中的意义理解。如对于反比例函数的概念及其性质，关键是体会它们在不同情境中的应用，只要学生能在具体情境应用它们解决问题即可，而不要过于关注其具体运用的熟练程度，如可以要求学生举例说明反比例函数在显示生活中的应用等。

3、发展性评价，关注数学活动引起人的变化

观察反比例函数图象获取函数相关性质的信息有较大空间，考察学生能否对信息作出灵敏反应，应用时，能否善于分析和决策，灵活支配运用知识有效的解决问题。关注并追踪这些活动所引起的学生的持久变化。

《反比例函数的图象和性质》教学反思3

这一课主要的教学任务是探究反比例函数的比例系数k的几何意义，研究与反比例函数有关的面积问题。

课堂设计程序是：例题1研究从双曲线上任意一点P作坐标轴的垂线，围成的长方形PQOR的面积与k的关系，进而进行题目的变化，得到从双曲线上任意一点P作x、y轴的垂线三角形PQO的面积与k的关系，得到从双曲线上任意一个动点P作坐标轴的垂线，围成的`长方形S1、S2、S3的面积总有S1=S2=S3；例题2揭示了正比例函数的图象与反比例函数的图象两个交点的关系（关于原点对称），过两个交点并且垂直于坐标轴的直线围成的矩形的面积（等于k的绝对值的4倍），进而进行题目的变化，得到几种三角形的面积和平行四边形的面积，由学生及时进行相应的练习；例题3把一次函数与反比例函数相结合，进行了比较简单的综合应用，让学生进行面积的和差组合，培养学生分析问题解决问题的能力。

在学生进行到反比例函数的研究时，数形结合的思想就能够应用自如了，学生的学习情况还是比较好的。回想起来，还是结合个方面的知识内容，用待定系数法求函数的解析式的题目类型学生的达成率不够好，要加强这方面的训练。

《反比例函数的图象和性质》教学反思4

这一课主要的教学任务是探究反比例函数的比例系数k的几何意义，研究与反比例函数有关的面积问题。

课堂设计程序是：

例题1研究从双曲线上任意一点P作坐标轴的垂线，围成的长方形PQOR的面积与k的关系，进而进行题目的变化，得到从双曲线上任意一点P作x、y轴的垂线三角形PQO的面积与k的关系，得到从双曲线上任意一个动点P作坐标轴的垂线，围成的长方形S1、S2、S3的面积总有S1=S2=S3；

例题2揭示了正比例函数的图象与反比例函数的图象两个交点的关系（关于原点对称），过两个交点并且垂直于坐标轴的直线围成的矩形的面积（等于k的绝对值的`4倍），进而进行题目的变化，得到几种三角形的面积和平行四边形的面积，由学生及时进行相应的练习；

例题3把一次函数与反比例函数相结合，进行了比较简单的综合应用，让学生进行面积的和差组合，培养学生分析问题解决问题的能力。

在学生进行到反比例函数的研究时，数形结合的思想就能够应用自如了，学生的学习情况还是比较好的。回想起来，还是结合个方面的知识内容，用待定系数法求函数的解析式的题目类型学生的达成率不够好，要加强这方面的训练。

利用待定系数法求反比例函数的解析式是学生必会内容，本课教学有一次函数的基础，所以学生学习起来并不感到有多困难的。因此，本课在学习用待定系数法求函数的解析式的前面安排函数性质的复习，学习和巩固“在每个象限内”的反比例函数的增减情况的有关应用问题，例如第4小题，A(a，b)，B(a-1，c)在反比例函数y=k/x(k<0)的图象上，探究a的各种不同的取值情况下，b与c的大小关系。

用待定系数法求反比例函数的解析式，安排了两个例题两个练习，题量不多重在使学生自主学习，这里着重加强对数形结合思想的应用，培养学生通过图形研究问题的习惯，另外，例题2需要学生结合三角形全等的几何知识解决点的坐标的探究，去年期末考试的最后一道试题也是在平面直角坐标系下几何问题的研究，学生不是很熟悉的，因此，培养学生各种背景下数学问题的研究很有必要。

6.二次函数y=ax2的图象 篇六

一、素质教育目标

(一)知识教学点

1.使学生知道二次函数的意义;

2.使学生会用描点法画出二次函数 的图像，并结合 的图像，初步理解抛物线及其有关概念。

(二)能力训练点

1.进一步培养学生用描点法画函数图像的能力;

2.向学生进行数形结合的数学思想方法的教育。

(三)德育渗透点

通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。

(四)美育渗透点

通过本节课的教学，渗透二次函数图像的对称美，曲线的平滑美。

二、学法引导

教师采用引导发现法，观察法，讲解法

本节的主要内容是理解二次函数的定义，知道二次函数解析式 中字母的意思，在画 的图像时，要知道图形是抛物线，是轴对称图形、列表时，自变量x的值的选取，应以0为中心，对称地选取两对(或三对)互为相反数，最好x取整数值。

三、重点・难点・疑点及解决办法

1.教学重点：二次函数的意义及二次函数 的图像的画法。因为它们是研究二次函数的重要基础。

2.教学难点：正确画出二次函数 的图像。因为它的图像是一条曲线，画起来较复杂，而且学生在画图之前，尚不清楚二次函数 的图像的具体形状和变化趋势，所以不易把握。

3.教学疑点：(1) ;(2) 的图像的反性质。

4.解决办法：(1)关于二次函数的定义，关键要注意：自变量的最高次数定义，二次项系数 ;(2) 的图像和性质，不可死记硬背，要结合图像理解和掌握二次函数 的几个主要特征，如开口方向，顶点坐标(或位置)，对称轴，最大值最小值等。

四、教学步骤

(一)教学过程

首先，我们来看两个实验问题：(出示幻灯)

1.圆的半径是R，它的面积为S，你能否写出S与R之间的函数关系式?

这个问题由学生举手回答，可找层次较低的学生完成，培养他们的参与意识和自信心。然后把答案写在黑板上留用。

2.已知一个矩形场地的周长是60，一边长为l，请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式。

这个问题其实就是13.2中的例1，可由学生得出结论，若学生给出的是 ，再继续提问：你能否把函数关系式中的括号去掉?然后把所得的结论写在黑板上。

提问：比较 与 这两个函数，都是用自变量的几次式来表示的?

用这个问题，引出二次函数，在学生回答之后，教师加以总结，板书：

一般地，如果 (a、b、c是常数， )，那么，y叫做x的二次函数。

提问：1.上述概念中的a为什么不能是0?

2.对于二次函数 中的b和c可否为0?若b和c其一为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样?你认为它们还是不是二次函数?

3.由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么?

由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例： ; ; ，使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0.

4.二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似?

通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学

做好铺垫.

练习一：P108中1、2 口答，注意第1题要让学生说明不是二次函数的原因

提问：根据我们所学知道，一次函数的图像是条直线，那么二次函数的图像又是什么样的呢?

这个问题主要是为了引起学生的兴趣，不必回答，教师也不用给出答案.

我们研究任何问题都最好由最简单的入手，根据刚才对二次函数的介绍，你认为最简单的二次函数是什么?

这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究 .另一方面也使同学认识到研

究问题要由简到繁的基本方法.

所以第三个问题是，由我们学习的画函数的图像方法与步骤，我们应怎样画二次函数 的图像呢?

可由学生先回答画函数图像的三个步骤：(1)列表;(2)描点;(3)连线.然后分步骤来研究这个图像的方法.

(1)列表：①自变量x的取值范围是什么?

②要画这个图，你认为x取整数还是取其他数较好?

③看 ，它是一个数的平方形式，它的结论与x的值有什么关系?

学生可能有多种答法，引导学生回答：当x取互为相反数时， 的值相同.

④若选7个点画图，你准备怎样选?

通过这4个问题可以使学生很顺利地想到为什么要先取书上给出的这7个点，而且也使

学生初步学会画二次函数图像时选点的技巧.

(2)描点：①在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长?

②怎样画就可以了呢?

答：x轴的正、负半轴画的一样长，y的正半轴画的较长，负半轴画的较短就可以.

通过这两个问题可培养学生的作图技巧.

(2)连线：①观察这7个点的位置，它们是否在一条直线上?

②我们应怎样连接这7个点?

让学生先连一次试试，然后教师演示。关于原点附近的变化趋势，最好能用动画演示，增强学生的直观认识，或看书也可以.

注意：我们所画的只是近似图像.

接下来，让学生观察这个函数图像提问：

1.函数 的图像有什么特点?

答：是轴对称图形.

2.你是怎样判断函数 的图像有上述特征的?

这个问题，按不同的层次，有三种得出方法：(1)观察图;(2)看列表;(3)直接根据解析式，看学生层次定讲解的深度.

学生回答完上面的问题之后就可指出：函数 的图像是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图像都是抛物线(板书)

在此处，可大致解释一下抛物线是由物理中的问题而来的，不要深讲。

再结合图像指出：抛物线 是开口向上的，y轴是它的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即(0，0)点。

关于抛物线的顶点，可按不同层次的学生进行不同层次的解释：

从图像上直观得到：抛物线 的顶点是图像的最低点：从解析式上看，当 时， 取得最小值0，(0，0)就是抛物线 的顶点坐标。

(二)总结、扩展

教师提问，学生思考回答：

1.你能否说清二次函数的意义?

注意总结：(1)函数解析式关于自变量是整式;(2)自变量的最高次数是2。

2.二次函数 的图像是什么形状的?它的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么?

五、布置作业

教材P114 1、2、3

7.二次函数图象之教学反思 篇七

1、使学生进一步理解二次函数的基本性质;

2、渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想.培养学生发现问题解决问题，及逻辑思维的能力.

3、使学生参与教学过程，通过主体的积极思维，体验感悟数学.逐步建立数学的观念，培养学生独立地获取知识的能力.

教学重点：初步理解数形结合的数学思想

教学难点：初步理解数形结合的数学思想

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程：

例1、已知：抛物线y=x2-(m2-1)x-2m2-2

⑴求证：无论m取什么实数，抛物线与x轴一定有两个交点

⑵m取什么实数时，两交点间距离最短?是多少?

解：

△ =(m2-1)2+4(2m2+2)

=m4-2m2+1+8m2+8

=m4+6m2+9

=(m2+3)2

m2≥0

∴m2+3>0

∴△>0

∴抛物线与x轴有两个交点

问题：为什么说当△>0时，抛物线y =ax2+bx+c与x轴有两个交点.(能否从数和形两方面说明)

设计意图：在课堂上创设让学生说数学的机会，学会合作学习，以达到①经验共享，在思维的碰撞中共同提高.②学会合作，消除个人中心.③发现自我，提高参与度.④弘扬个体的主体性，形成健康，丰富的个性.

数：点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程.反之，曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点，既在抛物线上，又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式，也满足x轴的解析式.设交点坐标为(x，y)

∴

这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y =0，消去y，转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识，当△>0时， ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.∴y =ax2+bx+c

y =0

有两个不等的实数解

∴抛物线与x轴交于两个不同的点.

形：顶点在x轴上方，且开口向下.或者顶点在x轴下方，且开口向上.

设计意图：渗透解析几何的基本思想

使学生掌握转化思想使学生在解题过程中，感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合，分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维.

转化成代数语言为：

小结：第一种方法，根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题，转化成求方程组的解的问题.

第二种方法，借助于图象思考问题，比较直观.发现规律后，再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法，也是探索解数学问题的一般方法.

思考：试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别 式的符号的关系.

设计意图：数学学习是一个再创造的过程，不能等同于数学知识的汇集，而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体，揭示出蕴涵于其中的数学思想方法，逐步形成数学观念.

⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?

解：设二次函数与x轴的两交点为(x1,0)，(x2,0)

解法㈠ 由⑴可知m为任何实数时, 都有△>0

解①

∴ x1+x2=m2-1

x1·x2=-2(m2+1)

∴│x2-x1│=

=

=

=

=m2+3

∴当m =0时,两交点最小距离为3

这里两交点间距离是m的函数

设计意图：培养学生的问题意识.在解题过程中，发现问题，并能运用已有的数学知识，将其一般化，形式化，解决问题，体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想

8.二次函数图象之教学反思 篇八

教学目标(一)教学知识点

1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性． 2．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题．(二)能力训练要求

1．通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力． 2．通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力．(三)情感与价值观要求

1．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．

2．初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 教学重点

运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题． 教学难点

把数学问题与实际问题相联系的过程． 教学方法 讲解法． 教具准备 投影片三张

第一张：(记作§2．4．2A)第二张：(记作§2．4．2B)第三张：(记作§2．4．2C)教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]上节课我们主要讨论了相关函数y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象的有关性质，特别练习了求函数的对称轴和顶点坐标．我们知道学习的目的就是为了应用，那么究竟有什么用处呢？本节课将学习有关二次函数的应用．

Ⅱ．新课讲解

一、1．例题

[师]前几节课我们研究了不同形式的二次函数的图象，形如y＝ax2，y＝ax2＋c，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k．并对它们的性质进行了比较．但对于二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)，它是属于上面形式中的哪一种呢？还是另外一种，它的对称轴和顶点坐标是什么呢？下面我们一起来讨论这个问题．

投影片：(§2．4．2A)例：求二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标． 解：把y＝ax2＋bx＋c的右边配方，得 y＝ax2＋bx＋c

bcx)aabb2b＝a[x2＋2·x＋()＋－()2] 2a2a2ab24acb2＝a(x＋)＋．

2a4a＝a(x2＋[师]大家看配方以后的形式属于前面我们讨论过的哪一种形式呢？ [生]属于y＝a(x－h)2＋k的形式．

[师]在y＝a(x－h)2＋k的形式中，我们知道对称轴为x＝h．顶点坐标为(h，k)．对比一下，y＝ax2＋bx＋c中的对称轴和顶点坐标是什么呢？

bb4acb2[生甲]对称轴是x＝，顶点坐标是(，)．

2a2a4a[师]确定吗？大家再讨论一下．

b24acb2b[生]在y＝a(x－h)＋k中是x－h，而y＝a(x＋)＋中是x＋，2a2a4ab2b24acb2它们的符号不同，应把y＝a(x＋)＋()进行变形得y＝a[x－(－)]

2a2a4ab4acb2＋．再对照y＝a(x－h)2＋k的形式得对称轴为x＝－，顶点坐标为

2a4ab4acb2(，)． 2a4a2[师]这位同学回答得非常棒．

至此，所有的二次函数的形式我们就都讨论过了． 下面我们来研究一些实际问题．

二、有关桥梁问题 投影片：(§2．4．2B)下图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y＝0.225x2＋0.9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称．

(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？(3)你是怎样计算的？与同伴进行交流．

分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，即顶点式．

解：y＝0.0225x2＋0.9x＋10 ＝0.0225(x2＋40x＋

4000)9＝0.0225(x2＋40x＋400－400＋＝0.0225(x＋20)2＋1．

4000)9∴对称轴为x＝－20．顶点坐标为(－20，1)．(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1米．(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20＝40米．

(3)是用配方法求得顶点坐标得到的．也可以直接代入顶点坐标公式中求得． [师]从上面的例题我们可知，抛物线在现实生活中的应用很广，因此大家要学好并运用好它，对于给出的问题要认真思考，把实际问题转化为数学问题，从而用数学知识解决实际问题．

在上面的问题中，大家能否求出右面的抛物线的表达式呢？请互相交流． 解：因为左右两条抛物线是关于y轴对称的，而关于y轴对称的图形的特点是，所有的对应点的坐标满足横坐标是互为相反数，纵坐标相等，我们可以利用这个特点，在原有的左面的抛物线的表达式的基础上，得到右面抛物线的表达式，即把y不变，x换为－x代入y＝0.0225x2＋0.9x＋10中，得

y＝0.0225(－x)2＋0.9(－x)＋10 ＝0.0225x2－0.9x＋10．

三、补充例题 投影片：(§2．4．2C)如下图，一边靠校园院墙，另外三边用50m长的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的边长为x m．

(1)写出长方形场地面积y(m2)与x的函数关系式；(2)画出函数的图象；

(3)求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少？ 解：(1)垂直院墙的边长为x m，另一边长为(50－2x)m．则 y＝x(50－2x)＝－2x2＋50x＝－2(x－(2)图象略．(3)由(1)得，当x＝

25625时，y最大＝． 22252625)＋． 22所以当边长为2562

52m时，长方形面积最大，最大面积为m． 22Ⅲ．课堂练习1．随堂练习2．补充练习

确定下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标．

39x＋； 21611(2)y＝x2x－5．

6639解：(1)y＝－x2＋x＋

21639＝－(x2－x－)216399＝－(x2－x＋－)2161639＝－(x－)2＋．

48(1)y＝－x2＋开口方向向下，对称轴为x＝(2)y＝＝121x－x－5 66339，顶点坐标为(，)． 44812(x－x－30)6111＝(x2－x＋－30)64411211＝(x)2－． 6224开口方向向上，对称轴是x＝Ⅳ．课时小节

11121，顶点坐标为(，－)． 2224本节课学习了如何用配方法把二次函数的一般形式化成顶点式，并能根据顶点式解决一些问题．

Ⅴ．课后作业习题2．5 Ⅵ．活动与探究 利用Z＋Z智能教育平台(新世纪版)研究二次函数的图象．

利用Z＋Z智能教育平台(新世纪版)可以探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图象变化之间的关系．

先考察二次函数y＝ax2的系数a对图象的影响．

利用Z＋Z智能教育平台(新世纪版)在计算机上作出二次函数y＝ax2的图象，其中系数a可以通过鼠标拖动y轴上标识为a的点而变化．图1和图2是a取不同值时得到的两个图象：

板书设计

§2．4．2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象(二)

一、1．例题(投影片§2．4．2A)2．有关桥梁问题(投影片§2．4．2B)3．补充例题(投影片§2．4．2C)

二、课堂练习

1．随堂练习2．补充练习

三、课时小结

9.二次函数教学反思 篇九

龙泉一中：张珂

我们已经学习过了正、反比例、一次函数的性质和图像，并且学习过了一元二次方程之后，现在要学习二次函数的图像和性质，从课本和教学大纲的体系来看，二次函数是初中数学的重中重，怎样让学生们学好二次函数?掌握好二次函数的图像和性质?让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。为此我们三年级数学组把李进有李校长请到数学组里，李校长说要想教好二次函数开始时一定要让学生们动手画图，画不同情况的图形，通过画图让学生观察、理解、掌握所学的内容，并能总结出各个图像的相同点和不同点，通过李校长指点，我们在学习y=a(x-h)2的图像和性质时，首先让同学们开始画y=x2、y=(x-2)2、和y=(x+2)2.通过对比，观察发现它们之间是通过y=x2向左或向右平移得到y=(x-2)2、和y=(x+2)2，但是好多同学对着图形还是不理解加2为什么向左平移？？这时我想到李校长说的不要害怕费时间，一定要让同学画图，我又让同学画一组，终于同学们在学习二次函数y=a（x-h）2的图象和二次函数y=ax2的图象的关系时，解决了向左或向右平移引出了加减问题，解决了学生在此容易混淆的难点，让学生结合图象十分明确地看到在x后面如果是加上h就是向左平移h个单位，反之就是向右平移ｈ个单位，其次就是在看如何平移时关键是看顶点的平移，顶点如何平移那么图象就如何平移。先由解析式求出顶点从标，再看平移的问题。

10.《二次函数》教学反思 篇十

昨天我们学习了用函数的观念看一元二次方程，我通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系，并结合具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系，然后介绍了用图象法求一元二次方程近似解的过程。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

由于九年级学生已经具备一定的抽象思维能力，再者，在八年级时已经学习了一次函数与一元一次方程的关系，因而，采用类比的方法在学生预习自学的`基础上放手让学生大胆地猜想、交流，分组合作，同时设定一定的问题环境来引导学生的探究过程，最后在老师的释疑、归纳、拓展、总结的过程中结束本节课的教学。在知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。本节课的知识障碍，本节课的主要目的在于建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想，而不仅仅是利用函数的图象求一元二次方程的近似解。

总之，在教学过程中，我始终遵循着“有效的数学学习活动不能单独地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”这一《新课程标准》的精神，注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得了一定的教学效果，我再次认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题。

11.二次函数复习教学反思 篇十一

本节课重点是，结合图象分析二次函数的有关性质，查缺补漏，进一步理解掌握二次函数的基础知识。要想灵活应用基础知识解答二次函数问题   ，关键要让学生掌握解题思路，把握题型，能利用数形结合思想进行分析，与生活实际密切联系，学生对生活中的“二次函数”感知颇浅，针对学生的认知特点，设计时做了如下思考：一、按知识发展与学生认知顺序，设计教学流程：首先通过复习本章的知识结构让学生从整体上掌握本章所学习的内容，从而才能在此基础上运用自如，如鱼得水；二、教学过程中注重引导学生对数学思想应用基础知识解答，然后小组进行交流讨论， 老师点评，起到很好的效果。这堂课老师教得轻松，学生学得愉快，每个学生都参与到活动中去，投入到学习中来，使学习的过程充满快乐和成功的体验，促使学生自主学习，勤于思考和于探究，形成良好的学习品质。

数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，促使学生主动地学习，不断提高发现提出问题、分析问题和解决问题的能力；设计教学方案、进行课堂教学活动时，应当经常考虑如下问题：（1）如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？（2）如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？ （3）如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质疑？ （4） 培养学生合作学习的互助精神和独立解决问题的能力。

 

12.二次函数图象之教学反思 篇十二

摘要：对于二次函数的最值问题，我们在初中就开始接触，而且也是初中的重要教学内容，但也只是注重基础，涉及的也是简单的二次函数。随着知识的加深，二次函数的最值问题涉及的内容越发的广泛与深奥。作为二次函数中最基本的问题――最值问题，本文将从简易到复杂的知识进行剖析。

关键词：二次函数；最值

对于二次函数图象的最值问题，重点关注的主要是图象的对称轴和所给自变量的区间（即定义域）的界定。而且掌握二次函数的最值问题，首先需要将二次函数的图象形象的画出来。然后根据图象以及问题的条件界定来进行最值问题的求解。一、二次函数的图象

对于二次函数的图象，我们需要找到二次函数的对称轴，顶点以及开口方向，有时还需要界定某一到两个特殊的线与x-y轴的交点，才能较为准确的描绘出图象。

二次函数的的表达式有顶点式，交点式以及三点式，其一般的表达式为y=ax?+bx+c（a≠0），此图象的对称轴，开口方向以及顶点都取决于这一般表达式中的a、b、c三个系数。最重要的是求解对称轴，对称轴的计算公式为x=-b/2a。

其一般图形为： 二、二次函数图象的最值

1、二次函数在界定区间上的最值问题（最简单，直接的最值问题）

此类问题基本就是明确给定二次函数以及定义域区间的情况下，求最值的。解决方案就是找到此函数的对称轴，看其与定义区间的关系，在判断在此区间上函数的增减性，进而求出答案。

例如：已知二次函数y=x2-2x，求在区间[0，4]上的最值。

根据二次函数可以画出图象，对称轴为x=1，草图如下：

从图中可以看出在区间[0，4]上，y值先递减后递增，在对称轴x=1处取得最小值y=-1，在x=4处取得最大值y=8.2、二次函数在不定区间上的最值问题（相对上一个，有些复杂，需要分类）

此类问题是在明确给定二次函数，但是其自变量的定义区间是变动的（存在未知数）情况下求解最值的。然而此类问题的解决方法就是通过明确给定的二次函数画出图象，再根据对称轴与自变量的关系界定进行分类讨论，最后分别判断在此区间上的增减性，求得最值。

例如：已知二次函数y=x2/2-x-5/2，求在[t，t+1]上的最小值。

根据二次函数y=x2/2-x-5/2可以得出对称轴x=1，图象开口向上，再分类，画草图。

第一类：当对称轴x=1在所给区间的左侧，即t?R1，草图如下：

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上，函数递增，最小值为x=t时，y=t2/2-t-5/2。

第二类：当对称轴x=1在所给区间的右侧，即t+1?Q1→t?Q0，草图如下：

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上，函数递减，最小值为x=t+1时，y=t2/2-3。

第三类：当对称轴x=1在所给区间的内，即t<1

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上函数先减后增，最小值为x=1时，y=-3。

若是还需求最大值，前两种可以直观的看出，而最后一种需要对比在x=t以及x=t+1时y值得大小。此时t的范围还需划分。

当x1=t时，y1=t2/2-t-5/2，当x2=t+1时，y2=t2/2-3

y1-y2=1/2-t，从式子中可以看出当0

3、不确定的二次函数在固定区间下的最值问题

此问题是在明确给出定义域而二次函数存在未知系数（图象不确定）的情况下，求最值的问题。此类问题可以先将二次函数有一般形式转换为顶点式，找出其对称轴，开口方向以及区间位置。最重要的是找到其对称轴，然后根据未知系数分类进行求解，最后判断增减性，求最值。

例如：已知二次函数y=bx2+4bx+b2-1，求在区间[-4，1]上的最大值。

根据二次函数y=bx2+4bx+b2-1，写成顶点式y=b（x+2）2+b2-4b-1，可以看出对称轴为x=-2，在区间[-4，1]上，只需根据图象开口方向来判断区间的最大值。

第一类：当b=0时，y=-1，无最大最小值之说

第二类：当b<0时，图象开口向下，草图如下：

从图中可以看出，在区间[-4，1]上函数先增后减，最大值为当x=-2时，y=b2-4b-1。

第三类：当b>0时，图象开口向上，草图如下：

从图中可以看出，在区间[-4，1]上函数先减后增，最大值为区间的临界点，需要判定。

当x1=-4时，y1=b2-1

当x2=1时，y2=b2+5b-1

因为b>0，可以看出y1=b2-1

4、二次函数已知区间和最值求未知函数的系数（此类最为复杂，分类情况较多）

此类函数是在明确给出自变量区间，以及在区间内最值得一个（最大或最小），求解未知函数的系数。此类问题通常不会给定对称轴，因此需要进行分情况进行判定来求解，再根据其给出的最值来求出位置系数，此类问题通常的解有时会与条件分类的情况不相符，因此不要因为求出一个就大意，要注意情况与解的一致性。

例如：已知二次函数y=x2-2ax-1，已知函数在区间[0，2]上的最小值为-2，求a的值。

根据二次函数y=x2-2ax-1，写成顶点式y=（x-a）2-a2-1，对称轴为x=a，图象开口向上，然后进行分类

第一类：当a?Q0时，画出草图如下：

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是递增的，最小值为当x=0时，y=-1，与题中最小值为-2不相符。此分类舍弃。

第二类：当a?R2时，画出草图如下：

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是递减的，最小值为当x=2时，y=3-4a，因为题中给出最小值为-2，所以3-4a=-2求得a=5/4<2与条件不符的，舍弃。

第三类：当0

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是先减后增的，最小值为当x=a时，y=-a2-1因为题中给出最小值为-2，所以-a2-1=-2求得a=1或者-1，再根据分类条件0

综上得出a=1。

还存在第二种情况，图象的开口方向与未知参数有关，则划分情况求解释更需注意。

例如：二次函数y=ax2-2ax-1，已知函数在区间[0，2]上的最小值为-2，求a的值。

先根据二次函数y=ax2-2ax-1，将其换算成顶点式为y=a（x-1）2-a-1，可以得知对称轴为x=1，但开口方向不确定，需要分类进行求解。

第一类：当a=0时，y=-1与已知条件不相符，舍弃。

第二类：当a>0时，可以画出草图：

从图中可以看出，在区间[0，2]函数先减后增，最小值为对称轴即x=1时的y=-a-1，由已知条件最小值为-2，得出a的值为1，符合条件a>0。

第三类：当a<0时，可以画出草图：

从图中可以看出，在区间[0，2]上函数先增后减，最小值为区间端点值，需要进行比较。当x=0时，y=-1；当x=2时，y=-1，而此种情况下，最小值只能是-1，与已知条件相违背，舍弃。

所以综上得出a=1。

对于这两道题相对来说简单，要么给定了开口方向，要么给定了对称轴而且区间端点关于对称轴对称。但是有时题中既不会给定对称轴也不给定开口方向，就需要结合这两道题综合考虑未知系数的值，题目就会相对复杂。你只需要找准全部的区间，并且针对分类情况，将所有的值求出即可。

通过剖析二次函数图象的最值问题，可以看出关键点在于图象的对称轴以及区间的界定，以及在分情况求解中条件的限定。其实对于二次函数图象的最值问题，能画出大概的草图会有利于对于最值的把握，但是也不能一概而论，毕竟是草图，不能主观判断。记住这几点，然后在求解二次函数的图象的最值问题时就会显得游刃有余。

参考文献：

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[2]冯法.浅谈二次函数在高中数学中的重要作用[A].2015年9月现代教育教学探索学术交流会论文集[C].2015

[3]吴选根.26.3实际问题与二次函数（4）[A].2012年河北省教师教育学会教学设计主题论坛论文集[C].2012

[4] 史建军.一道最值问题的推广、完善与另解[J].中学数学研究.2016

[5] 施伦.轨迹法求一类线段的最值[J].中小学数学（初中版）.2016