空间向量及应用

空间向量及应用（共14篇）（共14篇）

1.空间向量及应用 篇一

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

例.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DC=a。

（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。依题意得。

∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则而，∴PA//平面EDB。

（2）依题意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：设点F的坐标为又，故，所以PB⊥平面EFD。，则

从而所以

由条件EF⊥PB知，即，解得

∴点F的坐标为，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小为60°。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

（3）证明面面平行的方法：①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．

（6）证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．【用空间向量求空间角】例.正方形ABCD—

中，E、F分别是，的中点，求：

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨设正方体棱长为2，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值为。

（2）∵

∴

∴，过C作CM⊥AE于M，则二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴设则，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为点评：（1）两条异面直线所成的角（2）直线与平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助这两条直线的方向向量的夹角

主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例.长方体ABCD—求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。解析：（1）方法一：

如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

方法二：，∴

故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距离为（3）设

是平面的某一法向量，则，∵因此可取，由于

∴，那么点M到平面的距离为，故M到平面的距离为。

点评：本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法，供大家参考。

（1）平面的法向量的求法：设联立后取其一组解。，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面所成角的正弦值为。

（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。

②设或其补角。

分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角

（4）异面直线间距离的求法：

是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是

上的任意

两点，则。

（5）点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。

（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。

2.空间向量及应用 篇二

一、空间三大角 (即线线角、线面角、二面角) 用向量法求解的“对接点”

1.线线角a (a∈) 的求法的认识:在这两条线上适当取两个向量, 问题就转化为两个向量的夹角的问题, 即.对这个公式我们还可以这样认识:的单位向量) , 这刚好满足三角函数中余弦的定义:邻边比斜边.

2.线面角θ (θ∈) 的求法的认识:为平面a的一个法向量) , 对这个公式我们还可这样认识:的单位向量) , 这刚好满足三角函数中正弦的定义:对边比斜边.

3.二面角的平面角θ (θ∈[0, π]) 的求法的认识:是两二面角所在平面的法向量) , 对这个公式我们还可这样这刚好满足三角函数中余弦的定义:邻边比斜边.

二、空间向量在立体几何中的应用

例, 如右图, 已知长方体ABCD-A1B1C1D1, AB=2, AA=1, 直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°, AE垂直BD于E, F为A1B1的中点.

(I) 求异面直线AE与BF所成的角;

3.谈谈空间向量应用的四个层面 篇三

利用题目已知向量及其之间的关系来表示未知向量，借助已知向量之间的关系解题.此为空间向量应用的第一层面.

例1 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足•=0，•=0，•=0，则△BCD的形状为___________.

解 因为•=（-）•（-）=•-•-•+•=•=||2＞0，所以∠CBD为锐角.

同理可得∠BCD，∠CDB均为锐角.

则△BCD为锐角三角形.

注 此题直接用余弦定理也是可以解决的，但略显繁了点儿且没有新意.这里借助空间向量把三角形的三条边所在的向量，，全部用已知位置关系的三个向量，，来表示，则轻松易得.

二、 寻找恰当的“回路”

在题目中没有明确地给出向量关系的情况下，往往需要通过寻找恰当的“回路”解题，此法是基底法的前身.“回路”的寻找具有很强的技巧性，这也是培养和提高解题能力的一个好方法.此为空间向量应用的第二层面.

例2 在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心，试用向量，，表示向量.

解法1（只找一条“回路”） 设BC边的中点为N，则A，G，N三点共线，且=2.

所以=+=+=+×（+）=++=+（-）+（-）=++.

解法2（找两条“回路”） 同解法1，设BC边的中点为N，则=+①，=+②.

①+②×2，得3=++2+2=++++=++.所以=++.

解法3（找三条“回路”） =+①，=+②，=+③.

①+②+③，得3=+++++=+++++=+++0.所以=++.

注 这里给出了三种寻找不同“回路”的方法，当然我们还可找到其他“回路”.在一道题目里，我们可以只找一条“回路”，也可以找两条，甚至三条，可见“回路”法解题是很灵活的.所以说“回路”法也是锻炼我们思维的一种好方法，特别在遇到较繁的题目时.

三、 确定合适的基底

根据空间向量基本定理，空间任一向量都可用某三不共面向量唯一表示，故在解题时任找三个不共面向量建立空间基底都是可行的.但为了解题的方便，往往选从同一顶点出发的三个不共面向量作为一组基底，把题目中的所有向量均用此三向量来表示，这样就能解题了.虽然基底法有些机械，但在考试中经常用到.此为空间向量应用的第三层面.

例3 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，各棱长都相等，且∠BAD=90°，∠BAA1=60°，∠DAA1=60°，求证：是平面A1BD的法向量.

解 设a=，b=，c=，则=a+b，=a-c.若|a|=|b|=|c|=1，则a•b=0，a•c=c•b=.因为•=（a+b）•（a-c）=0，所以⊥.

同理可证⊥.

又A1B∩A1D=A，所以是平面A1BD的法向量.

注 这里建立了适当的基底，收到了非常好的解题效果，当然基底法适用于不容易建立空间直角坐标系的情形，具有一般性.而当题目中给出较明显的垂直关系时，我们往往就会建立空间直角坐标系，那样解题就更机械了.

四、 建立空间直角坐标系

当题目中已知条件利于我们建立“墙角”（两两垂直）时，我们往往建立空间直角坐标系，给出题目中各点的坐标.所以运用空间直角坐标系解题的关键是找“墙角”，如没有现成的，就自行创造.只要有了“墙角”，那就成功了.此为空间向量应用的第四个层面.

例4 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1=，D是CB延长线上一点，且BD=BC，求二面角B1-AD-B的大小.

解 如右图，取BC的中点O，连结AO.由题意得平面ABC⊥平面BCC1B1，AO⊥BC，所以AO⊥平面BCC1B1.

以O为原点建立如上图所示空间直角坐标系，则A0，0，，B，0，0，D，0，0，B1，，0，所以=，0，-，=3，-，0，=0，，0.

又因为⊥平面ABD， 所以=0，，0为平面ABD的法向量.

设平面AB1D的法向量为n2=（x，y，z），则n2⊥，n2⊥，即n2•=0，n2•=0，所以x-z=0，3x-y=0，解得x=y，z=x.不妨设n2=，1，.

由cos〈，n2〉===，得〈，n2〉=60°. 故所求二面角B1-AD-B的大小为60°.

注 此类题型是近几年高考中空间向量应用的主打题型，此类题型主要考查空间坐标的正确建立和平面的法向量及一定的计算能力三个方面，没有“回路法”灵活.

1. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB⊥CD，BC⊥AD，则AC与BD的位置关系为______.

2. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，求证：•+•+•=0.

1. 因为AB⊥CD，BC⊥AD，所以•=0，•=0.

则•=（+）•（+）=•+•+•+•=•+•+•=•（++）=•=0，即AC⊥BD.

又因为AC与BD为异面直线，所以AC与BD的位置关系为异面垂直.

4.向量空间证明 篇四

1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题

证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。

证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解：

因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为任意实数

5.空间向量与立体几何的练习题 篇五

1.如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形， ，M为PC上一点，且PA∥平面BDM.

(1)求证：M为PC中点;

(2)求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小.

2.如图，平面平面ABC， 是等腰直角三角形，AC =BC= 4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD BA， , ，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值.

3.如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD， ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点.

(1)证明：PE

(2)若APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的`正弦值.

4.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=AA1=3.

(1)证明：AC

(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

5.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点， AA1=AC=CB=22AB.

(1)证明：BC1∥平面A1CD;

(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.

6.如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径AB=2，C是 的中点，D为AC的中点.

(1)证明：平面POD平面PAC;

(2)求二面角B-PA-C的余弦值.

7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上.设二面角A1-DN-M的大小为.

(1)当=90时，求AM的长;

(2)当cos =66，求CM的长.

8.四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.

6.引导学生利用空间向量求解空间角 篇六

一、注意学生基础知识的储备

(一) 学会建立适当的空间直角坐标系

1. 学生对于立方体、长方体、正四棱柱等空间几何体很熟悉, 可以直接建立 (在此不再强调) 。

2. 对于一些不能直接建立的立体图, 要尽量建立较好求的坐标系, 使更多需要的点落在坐标轴上, 这样的点坐标就相对简单了。

例1:2006年全国二卷第 (19)

如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=BC, D、E分别为BB1、AC1的中点.

(Ⅰ) 证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;

(Ⅱ) 设 , 求二面角A1-AD-C1的大小.

这样的空间几何体应如何建立空间直角坐标系呢?

引导学生观察几何体的特征, 如何构造两两垂直的且交与同一个点的三条线。

首先我们知道直三棱柱的特征是侧棱垂直于底面, 又知道底面中AB=BC, 这是在告诉我们是一个等腰三角形, 再考虑等腰三角形的特征, 取底边中点, 顶点与中点相连, 此线便垂直于底边了。这样就找到了三条两两垂直的且交与同一个点的线, 就可以建立空间直角坐标系了, 以便我们解决问题。

总结一般步骤为:首先, 找到垂直于底面的一条线, 作为Z轴。其次, 在底面上找两条相互垂直的直线, 分别作为X轴和Y轴, 利用现有三条两两垂直的直线;

总结常用方法:找中点 (一般在题中会出现等腰三角形或者等边三角形, 往往找到底边的中点, 顶点与中点相连, 此线便垂直于底边了, 把此线作为其中的一轴) 。

(二) 平面的法向量的求法

在可以建立空间直角坐标系的前提下, 我们就可以求某个平面的法向量了。

法向量指的是垂直于面的向量。在用向量解题的过程中, 只要遇到面便要求出它的法向量。如何求平面的一个法向量, 如例2。

例题2:如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点, 求平面GEF的法向量。

分析:这个几何体是正方体, 可以直接建立空间直角坐标系, 找出需要的三点的坐标即可。

略解:以D为原点建立空间直角坐标系, 则E (1, 1/2, 0) 、F (1/2, 1, 0) 、G (1, 0, 1/2)

由此得:

设平面的法向量为 , 由 及 可得

, 令y=1, 取平面的一个法向量为

评析:因为平面的法向量有无数个, 方向可上可下, 模可大可小, 我们只要求出平面的某一个法向量 (教简单的) 即可。

二、注重解决问题的方法的引导与总结

(一) 求异面直线所成的角 (0°﹤θ≤90°)

求异面直线AB与CD所成角的计算, 可以先转化为计算向量 与 的夹角, 利用向量的数量积公式的变形, 即计算

注意:由于两向量的夹角范围为[0°, 180°], 而异面直线所成角的范围为0°﹤θ≤90°, 若两向量夹角α为钝角, 转化到异面直线夹角时为180°-α, 学生往往会忽略符号的问题, 求出两个向量所成角的余弦值可能会出现负数。学生会直接回答所得的结果, 忽略异面直线所成角的余弦值要去掉负号, 取正值, 忽略了异面直线所成角的范围。

例3:已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F分别是B1C1和C1D1的中点, 求DF与BE所成角度的大小。

引导学生利用空间的向量概念以及向量的计算, 包括夹角问题, 让学生对所学的知识会灵活运用, 将其转化为向量问题来解决。让学生自己去建立空间直角坐标系, 准确找出四点坐标, 并求出两个向量的坐标, 再利用公式计算。

(二) 求直线与平面所成的角

已知AB为平面α的一条斜线, n为平面α的一个法向量, 过A作平面α的垂线AO, 连结OB, 则∠ABO为斜线AB和平面α所成的角, 易知:

特殊情况:当 , 则直线AB与平面α垂直。

例4: (2006佛山模拟卷第17题) 四棱锥P-ABCD中, 侧面PCD是边长为2的正三角形, 且与底面垂直, 底面ABCD是∠ADC=60°的菱形, M为PB的中点, Q为CD的中点。

1.求证:PA⊥CD;2.求AQ与平面CDM所成的角。

分析:第一小问用传统方法比较易证;第二小问用传统方法解有一定难度, 但用法向量就较简捷。用向量法解题关键是建立适当的直角坐标系, 但是这个空间几何体不能直接建立坐标系, 要结合题目所给的条件, 侧面PCD是边长为2的正三角形, Q为CD的中点, 等腰三角形或正三角形要注意利用三线合一的条件, 所以有PQ垂直于CD, 又点Q为CD中点, ∠ADC=60°, 底面ABCD是∠ADC=60°的菱形, 所以△ADC为正三角形, ∴AQ⊥QC。那么就可以以点Q为原点, PQ所在直线为Z轴, QA所在直线为X轴, QC所在直线为Y轴, 如图所示建立空间直角坐标系, 从而使点坐标易找, 解法简便。 (将几何问题转化为代数问题计算, 求出平面CDM的法向量, 就可以转换成求法向量与直线AQ的夹角余弦值即为线面角的正弦值。)

(三) 求两个平面所成的角即二面角

利用法向量求二面角的大小的原enm理。

设n1, n 2分别为平面α, β的法向量, 二面角α-ι-β的大小为θ, 向量 的夹角为φ, 则有θ+φ=π或θ=φ, 基本结论:构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角。

此法是利用两平面的法向量的夹角求角。但要注意两平面的法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补的, 所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小, 然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

例5:在长方体ABCD—A1B1C1D1中, AB=2, BC=4, AA1=2, 点Q是BC的中点, 求此时二面角A—A1D—Q的大小。

分析:一是很好建立空间直角坐标系, 二是空间向量的方法避免了去找二面角的平面角, 可以直接利用求法向量的夹角来求得二面角。

解:如图, 建立空间直角坐标系.

依题意:A1 (0, 0, 2) , D (0, α, 0) .

面AA1D的法向量 .

设面A1DQ的法向量 , 则

二面角的平面角为锐角

∴二面角A—A1D—Q的大小为 .

评析:1.用法向量的方法处理二面角的问题时, 将传统求二面角问题时的三步曲:“找——证——求”直接简化成了一步曲:“计算”, 这在一定程度上降低了学生的空间想象难度, 达到不用作图就可以直接计算的目的, 更加注重对学生创新能力的培养, 体现了课改的精神。

2. 此法在处理二面角问题时, 可能会遇到二面角的具体大小问题。如本题中若令α1=-1, 则 , ∴二面角A—A1D—Q的大小是 的补角 。所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小, 然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

综上所述, 向量方法具有很大的优越性, 但是它并不是万能的, 只有那些适于建立空间直角坐标系的题目才更加适合。即在计算或证明立体几何问题时, 因地制宜地建立空间直角坐标系, 从而将空间问题用坐标运算求解, 这样有助于学生避免较为复杂的空间想象, 通过计算就可以解决问题。空间向量在解决立体几何问题中起了很大的作用, 所以应该让它成为学生解决立体几何求空间角问题的一个有力工具。

参考文献

[1]普通高中数学课程标准 (实验) .

[2]数学 (必修2及选修2-1) .人民教育出版社.

[3]2010年普通高等学校招生全国统一考试说明.

7.神奇的空间向量 篇七

例题在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，棱长为1，[F]为[A1D]的中点，[E]为[AB]的中点.

考查一用空间向量证明立体几何中线﹑面平行的问题

设问一求证：[AF∥]平面[A1EC].

分析用向量证明线、面平行的问题通常有两种方法：（1）向量[p]与两个不共线的向量[a、b]共面的充要条件是存在惟一的有序实数对[(x，y)]，使[p=xa+yb]. 利用共面向量定理可证明线面平行问题；（2）设[n]为平面[α]的法向量，要证明[a∥α]，只需证明[a⋅n=0].

证明建立空间直角坐标系，以[A]点为原点，[AB]所在的直线为[x]轴，[AD]所在的直线为[y]轴，[AA1]所在的直线为[z]轴（以下建立的坐标系相同），则[E12,0,0]、[F0,12,12].

方法1：[AF=0,12,12] ， [EA1=-12,0,1] ，

[EC=12,1,0]，

则[AF=12EA1+12EC].

又[∵][AF⊄]平面[A1EC]，

[∴][AF∥]平面[A1EC].

方法2：设[n]为平面[A1EC]的法向量，设[n][=x,y,z,]

则[n⋅EA1=0，n⋅EC=0，] 有[n=2z,-z,z]，

[∴][AF⋅n=0,12,12⋅2z,-z,z=0].

又[∵][AF⊄]平面[A1EC]，

[∴][AF∥]平面[A1EC].

考查二用空间向量证明立体几何中线﹑面垂直的问题

设问二求证：[AF⊥]平面[A1CD].

分析（1）根据线、面垂直的判定定理，只需证明此直线的方向向量与所证平面的一组基底的数量积为零即可.

（2）设[n]为平面[α]的法向量，只需证明此直线的方向向量与[n]平行即可.

方法1：[A1D=0,1,-1]， [CD=-1,0,0].

[AF⋅A1D=][0,12,12⋅0,1,-1=0]，

[AF⋅CD=][0,12,12⋅-1,0,0=0].

[∴][AF⊥A1D]， [AF⊥CD].

又[∵][A1D⋂CD=D]，

即[A1D]与[CD]是两相交直线，

[∴][AF⊥]平面[A1CD].

方法2：设[m]为平面[A1CD]的法向量，[m][=a,b,c]，

[m⋅A1D=a,b,c⋅0,1,-1=0]，有[b=c].

[m⋅CD=a,b,c⋅-1,0,0=0]，有[a=0].

[∴][m][=0,b,b]，[∴][AF=12bm]，[∴][AF∥m]，

[∴] [AF⊥]平面[A1CD].

考查三用空间向量求异面直线所成的角

设问三求[AF]与[EC]所成的角的余弦.

分析设两异面直线[a、b]所成的角为[θ，a、b]分别是[a、b]的方向向量，注意到异面直线所成角的范围是[0°，90°]，则有[cosθ=cos=a⋅bab].

略解[∵][EC=12,1,0]， [AF=0,12,12]，

[cos=EC⋅AFEC⋅AF=105].

点拨两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角. 异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系.

考查四用空间向量求线面所成的角

设问四求[AF]与平面[A1ED]所成的角的正弦.

分析点[P]在平面[α]外，[M]为[α]内一点，斜线[MP]和平面[α]所成的角为[θ]，[n]为[α]的一个法向量，注意到斜线和平面所成角的范围是[(0°，90°)]，则有[θ=π2-]，结合向量的夹角公式便可求[θ].

解设平面[A1ED]的法向量为[p]，[p][=a，b，c]，

[EA1=-12,0,1]， [ED=-12,1,0]，

[∴][p=2b,b,b]（不妨令[b>0]）.

[cos=p⋅AFp⋅AF]

[=2b,b,b⋅0,12,122b,b,b⋅0,12,12=33].

[∵][AF]与平面[A1ED]所成的角与[]的夹角互余，

[∴][AF]与平面[A1ED]所成角的正弦为[33].

点拨直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系.

考查五用空间向量求二面角.

设问五求二面角[C-EA1-D]的余弦值.

分析如图，[OA、O′B]分别在二面角[α-l-β]的两个面内且垂直于棱，[m、n]分别是[α、β]的一个法向量，则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小：

（1）[]等于二面角的平面角；

（2）<[m，n]>与二面角的平面角相等或互补.

方法1由前面的解题过程可知，

平面[A1EC]的法向量[n=2z,-z,z] （不妨设[z>0]）；

平面[A1ED]的法向量[p=2b,b,b]（不妨设[b>0]）.

[∴] [cosθ=n⋅pn⋅p=23].

方法2作[CM⊥EA1]于[M]，[DN⊥EA1]于[N].

设[Mx1,y1,z1]，[Nx2,y2,z2]，

[A1M=λA1E]， [A1N=uA1E]，

可知[Mλ2,0,1-λ] ， [Nu2,0,1-u]，

[MC=1-λ2,1,λ-1]，[ND=-u2,1,u-1.]

又[∵][MC⋅A1E=0]， [ND⋅A1E=0,]

[∴][λ=65]， [u=45]，

[MC=25,1,15] ，[ND=-25,1,-15].

[∴][cos=MC⋅NDMC⋅ND=23].

点拨直接作二面角的平面角对有些题目来说有点困难，采用法向量可以起到了化繁为简的作用. 这种求二面角的方法应引起我们重视. 需要注意的是两平面法向量的夹角可能与所求的二面角相等，也可能与所求的二面角互补，要注意所求角的范围.

考查六用空间向量求距离

设问六求[F]点到平面[A1EC]的距离.

分析点面距离的求法有两种：

（1）建立坐标系，通过解方程组求解：设[FO⊥]平面[AEC]于[O]，通过[FO⋅AE=0]和[FO⋅CE=0],且[O][∈]平面[AEC]，由[EO=xEA+yEC]，可以求出[O]的坐标，利用两点间的距离求出垂足的坐标，从而求出点到面的距离.

（2）已知[AB]为平面[α]的一条斜线段，[n]为平面[α]的法向量，则[B]到平面[α]的距离为[|AB|⋅|cos|][=|AB⋅n||n|.]

略解

[d=A1F⋅nn=0,12,-12⋅2z,-z,z2z,-z,z][=66].

点拨（1）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解.

（2）两异面直线的距离也可以转化为点面距离.

8.空间向量及应用 篇八

平面向量的数量积及应用教学设计

华罗庚中学 袁劲竹

一、教材分析

向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。《平面向量的数量积及应用》，计划安排两个课时，本节课是第2课时。也就是，在复习了平面向量数的有关概念，坐标表示，以及平面向量数量积的基础知识之后，本节课是进一步去认识、掌握平面向量数量积及平面向量的相关应用。

二、课标要求

1、平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

三、命题走向及高考预测

通过对近几年广东高考试题的分析，向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容。

预测高考：

预测2012年广东高考仍将以向量的数量积的运算、向量的平行、垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向。

四、学情分析

学生已复习了向量的相关概念、线性运算、数量积及初步应用，已较好地理解了向量的概念，比较熟练地掌握向量的运算和性质，已初步体会研究向量运算的一般方法，具有一定的观察、探究能力，这为学生进一步复习数量积数量积及应用做了铺垫。由于本班是普通班，受实数乘法运算的影响，造成不少学生对数量积理解上的偏差，从而出现错误。

五、教学目标

知识目标：

1、掌握平面向量的数量积公式及向量的夹角公式；

2、运用平面向量的知识解决有关问题。

能力目标：

1、通过本节课的学习培养学生观察、分析、化归转化的能力；

2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

六、教学重点、难点

重点：平面向量数量积公式及平面向量的应用。

难点：如何将有关问题等价转化为向量问题。

七、教法、学法分析

教法：采取启发引导、反馈评价等方式；

学法：引导学生积极参与、自主探索，培养探究能力。

八、教学过程

【 基本知识点回顾 】

1、向量的数量积的概念

高效课堂教学模式探讨公开课

b的数量积。

2、数量积的性质(e是单位向量，〈a，e〉＝θ)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与

(1)e·a＝a·e＝__________.(2)当a与b同向时，a·b＝_____；当a与b反向时，a·b＝__________.特别

地，有a·a＝_______或|a|＝________(3)a⊥b⇔__________.(4)cos〈a，b〉＝________.3、数量积的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝______________.2(2)若a＝(x，y)，则|a|＝_______，|a|＝________.→(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|BA|＝____________________.(4)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔_____________________.4、向量的应用

（1）平面向量数量积的运算

（2）利用平面向量数量积解决平行与垂直问题（3）利用平面向量数量积解决夹角问题

（4）平面向量的综合运用

注：本节课是第2课时，重点学习（3）利用平面向量数量积解决夹角问题和（4）平面向量的综合运用，其中平面向量的综合运用主要是在三角函数中的应用，在立体几何、解析几何等方面的应用放在后面学习。

【典例剖析】

应用3：利用平面向量数量积解决夹角问题

11例

1、(2011年广州调研)已知a1，ab，(ab)(ab)，求： 22（1）a与b的夹角的大小;(2)ab与ab夹角的余弦值

思路分析（先提问学生，然后板演解题过程）：利用向量夹角的余弦公式求解

设计意图：让学生分析解题思路以培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。让学生上台板演可以暴露学生存在的问题，老师及时予以纠正，并呈现标准的解答格式，促使学生自我反思，以加强学生答题的规范性，做到“会做的题目得满分，不会做的题目不得零分”。

【巩固练习】

（1）（09重庆理）已知A、6

a

1、b6且a(ba)2，则向量a与b的夹角是（）

 B、C、D、4322

高效课堂教学模式探讨公开课

(2（）2010年高考课标全国卷）则a，b夹角的余弦值等于（）816168 C、D、A、B、65656565a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，答案：（1）C；（2）C；

设计意图：选用的两道题中，一道题向量是非坐标形式的，另一道题向量是坐标形式的，通过练习，让学生学会选用适当的公式解题，巩固所学知识。同时，让学生多参与、多思考、多活动，改变教师大段讲解的倾向，使师生活动交替进行，调节学生的注意力，促进学生各方面的发展。

题后小结：

(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．(2)若已知a与b的坐标，则可直接利用公式 x1x2＋y1y2cosθ＝.2222 x1＋y1·x2＋y2

应用四：平面向量的综合运用

sin)，c(1，例

2、(2009 湖北理)已知向量a(cos，b(cos，sin)，0)．（1）求向量b+c的长度的最大值；

（2）设 π4，且a⊥(bc)，求cos的值．

设计意图：通过典例精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、解决问题的能力。

【自主探究、共同提高】



1、(06天津理)设向量a与b的夹角为，a(3,3)，2ba(1,1)，则cos_____

02、已知两单位向量a与b的夹角为120，若c2ab，dba，试求c与d的夹角的余弦值

3、设02，已知两个向量则向量p1p2长度的最大值是op1(cos,sin)，op2(2sin,2cos)，______ 答案： 1、31010；

2、92142；

3、32

设计意图：要求每位学生自己先做练习，然后对照答案进行自主的学习、同座之间互相探讨，然后听老师或学生进行讲解。本环节尽量留出时间让学生充分地比较，互相学习，共同提高。

高效课堂教学模式探讨公开课

【课堂小结】：

1、向量知识，向量观点有着广泛的应用，本节课主要学习了两方面的应用： 利用平面向量数量积解决夹角问题和平面向量的综合应用（在三角函数中应用）

2、本节课主要学习了化归转化的思想方法

向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系

设计意图：课堂小结由师生共同进行，以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。同时要引导学生学会总结：做完一道题目的总结，学完一课、一章的总结，有总结才有提高，通过：练习—总结—再练习，提高学习效率。

【课堂小测】

A、300

1、(05北京)a1，b2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为（）

2、已知a1，b

000 B、60 C、120 D、150

2，且a(ab)，则向量a与b的夹角是_______.

3、已知向量a(sin,1),b(1,cos)，且22（2）.求ab的最大值(1).若ab,求

答案：

1、C

2、4

3、（1）4，（2）21

设计意图：通过课堂小测快速反馈，既可以把学生取得的进步变成有形的事实，使之受到鼓励，乐于接受下一个任务，又可以及时发现学生存在的问题，及时矫正乃至调节教学的进度，从而有效地提高课堂教学的效率。

思考题、设向量m(cos,sin)和n(2sin,cos),(,2)82且mn,求cos()的值528

【课后作业，分层练习】

必做： 《课时作业本》第4章第3课时

选做：(2009·江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.设计意图：出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考空间。

9.空间向量及应用 篇九

支持向量机在机载设备故障诊断及预测中的应用研究

支持向量机是一种基于统计学习理论的机器学习算法,采用结构风险最小化原则代替经验风险最小化原则,较好地解决了小样本学习问题;采用核函数思想,使非线性空间的问题转换到线性空间,降低了算法的`复杂度;具有良好的泛化能力.针对机载设备故障诊断及预测等工程实际应用中遇到的典型故障样本缺乏、先验知识不足等采用神经网络等其它方法无法解决的问题,提出利用支持向量机应用在机载设备故障诊断及预报中.

作 者：邸亚洲 李宝亭 袁涛 DI Ya-zhou LI Bao-ting YUAN Tao 作者单位：海军航空工程学院青岛分院,山东,青岛,266041刊 名：科技信息(科学・教研)英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)：“”(2)分类号：V2关键词：支持向量机 机载设备 故障诊断及预测 统计学习理论

10.专题立体几何与空间向量 篇十

（2） 当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小.图1图2

（作者：卢杰江苏省丹阳高级中学）

立体几何在高考中占有重要的地位，近几年对立体几何考查的重点与难点趋于稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考查的重点。新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考查的重点一直没有变，常常考查线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和选修中的空间角与距离的计算。

在现有的必修教材中，虽淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，但在理科选修教材中加大了向量的应用。学习空间向量后，立体几何问题大多可以用向量的知识来做，从而使解题更简捷有效。对空间向量的考查主要集中于向量概念与运算，要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用，尤其是求夹角、求距离。

一、 考纲要求

1. 空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体直观图，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法；

2. 空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质.在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法；

3. 空间向量与立体几何：由于有平面向量的基础，空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练。

二、 难点疑点

1. 空间几何体的表面积和体积的计算方法；

2. 平行关系和垂直关系的判定和性质，掌握好平行和垂直关系的证明方法；

3. 空间向量的应用，将立体几何问题转化为空间向量问题的方法。

三、 经典练习回顾

1. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为.

2. 一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.

其中正确的是.

3. 下列命题中，正确命题的序号是.

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.

4. 已知O是△ABC的外心，P是平面ABC外的一点，且PA=PB=PC，α是经过PO的任意一个平面，则α与平面ABC的关系是.

5. 如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK=t，则t的取值范围是.

6. 如下图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为.

四、 例题精析

题型一空间几何体的表面积和体积

【例1】如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.

（1） 求四面体ABCD的体积；

（2） 求二面角CABD的平面角的正切值.

【解法一】（1） 如图1，过D作DF⊥AC垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而

AG=AC2-CG2=22-122=152.

由12AC·DF=12CD·AG得DF=AG·CDAC=

154.

（图1）

由Rt△ABC中AB=AC2-BC2=3，S△ABC=12AB·BC=32.

故四面体ABCD的体积V=13·S△ABC·DF=58.

（2） 如图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE.由（1）知DF⊥平面ABC，

所以DE⊥AB，故∠DEF为二面角CABD的平面角.

在Rt△AFD中，AF=AD2-DF2=22-1542=74，

在Rt△ABC中，EF∥BC，从而EF∶BC=AF∶AC，所以EF=AF·BCAC=78.

在Rt△DEF中，tan ∠DEF=DFEF=2157.

【解法二】（1） 如图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM.因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系Oxyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，-1，0），C（0，1，0）.设点B的坐标为B（x1，y1，0）由AB⊥BC，|BC|=1，有

x21+y21=1，

x21+（y1-1）2=1，

解得x1=32，

y1=12，

x1=-32，

y1=12（舍去）.

（图2）

即点B的坐标为B32，12，0. 又设点D的坐标为D（0，y2，z2），由|CD|=-1，|AD|=2，有

nlc202309010559

（y2-1）2+z22=1，

（y2+1）2+z22=4，

解得y2=34，

z2=154，y2=34，

z2=-154（舍去）.

即点D的坐标为D0，34，154.从而△ACD边AC上的高为h=|z2|=154.

又|AB|=322+12+12=3，|BC|=1.

故四面体ABCD的体积V=13×12·|AB|·|BC|h=58.

（2） 由（1）知AB=32，32，0，AD=0，74，154.

设非零向量n=（l，m，n）是平面ABD的法向量，则由n⊥AB有 32l+32m=0. ①

由n⊥AD，有74m+154n=0.②

取m=-1，由①，②，可得l=3，n=71515，即n=3，-1，71515.

显然向量k=（0，0，1）是平面ABC的法向量，从而

cos〈n，k〉=715153+1+4915=7109109，

故tan〈n，k〉=1-491097109=2157，

即二面角CABD的平面角的正切值为2157.

点拨理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。

题型二点、线、面的位置关系

【例2】如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB=CGCD=23，则（）

（A） EF与GH互相平行

（B） EF与GH异面

（C） EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

（D） EF与GH的交点M一定在直线AC上

解依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH=12BD，FGBD=23，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上.选（D）.

点拨理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

题型二直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

【例2】如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点.

（1） 设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；

（2） 证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.

证明：（1） 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2，且AB∥CD，所以CD

瘙 綊 A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1，又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，

所以直线EE1∥平面FCC1.

（2） 连接AC，在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以CC1⊥AC，因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2，F是棱AB的中点，所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，∠BCF=60°，△ACF为等腰三角形，且∠ACF=30°，所以AC⊥BC，又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC平面D1AC，所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

点拨掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

题型三直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【例3】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，

求证：（1） 直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

解（1） 因为E、F分别是AP、AD的中点，

∴EF∥PD，又∵P、D∈面PCD，E、F面PCD∴直线EF∥平面PCD.

（2） ∵AB=AD，∠BAD=60°，F是AD的中点，∴BF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴BF⊥面PAD，所以平面BEF⊥平面PAD.

点拨掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。

题型四运用空间向量解决空间中的夹角与距离

【例4】如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.

（1） 解如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

nlc202309010559

设E点坐标为（0，2，t），

则BE=（-2，0，t），B1C=（-2，0，-4）.

∵BE⊥B1C，

∴BE·B1C=4+0-4t=0.

∴t=1，故CE=1.

（2） 由（1）得，E（0，2，1），BE=（-2，0，1），

又A1C=（-2，2，-4），DB=（2，2，0），

∴A1C·BE=4+0-4=0，且A1C·DB=-4+4+0=0.

∴A1C⊥DB且A1C⊥BE，

即A1C⊥DB，A1C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE.

即A1C⊥平面BED.

（3） 解由（2）知A1C=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又A1B=（0，2，-4），

∴cos〈A1C，A1B〉=A1C·A1B|A1C||A1B|=306.

∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为306.

点拨利用向量求角：（1）异面直线所成角：向量a和b的夹角〈a，b〉（或者说其补角）等于异面直线a和b的夹角.cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|；（2） 直线和平面所成的角：与平面的斜线共线的向量a和这个平面的一个法向量n的夹角〈a，n〉（或者说其补角）是这条斜线与该平面夹角的余角；（3） 求二面角的大小。（法向量法）m、n分别是平面α和平面β的法向量，那么〈m，n〉（或者其补角）与二面角αlβ的大小相等。

牛刀小试

1.江苏金陵中学一模如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=.

2.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1） 若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

（2） 若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

（3） 设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

（4） 直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.

上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）.

3.（2012年高考（湖南））如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

（1） 证明：BD⊥PC；

（2） 若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥PABCD的体积.

4.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上；

（1） 求证：平面AEC⊥平面PDB；

（2） 当PD=2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

（作者：朱振华江苏省海门高级中学）

11.巧用法向量解决空间几何问题 篇十一

1.斜线与平面所成的角

先将斜线和平面所成的角转化为两直线所成的角, 再转化为向量的夹角.设直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m軖和n軋, 若m軖与n軋的夹角不大于90°时, 直线a与平面α所成的角等于m軖与n軋的夹角的余角;若m軖与n軋的夹角大于90°时, 直线a与平面α所成的角等于m軖与n軋的夹角的补角的余角, 所以直线a与平面α所成的角

例1如图1所示, 四边形ABCD是直角梯形, AD//BC, ∠ABC=90°, SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=1, , 求SC与平面ABCD所成的角.

解:是平面ABCD的法向量, 设的夹角为φ, 选作为空间向量的一组基底.

2.二面角

将二面角的问题转化为求法向量的夹角的问题.设平面α与平面β的法向量分别为m軖和n軋, 则所求的二面角θ与的夹角相等或互补.

当二面α-l-β大于90°时, 则二面角当二面角a-l-β小于90°时, 则二面角

例2在例1中已知条件不变的情况下, 求平面SCD与平面SBA所成的二面角的大小.

解:以A点为坐标原点, BA, AD, AS所在直线分别为x, y, z轴建立如图2所示的空间直角坐标系, 则S (0, 0, 1) , C (-1, 1, 0) , D (0, , 0) ,

设平面SCD的法向量为= (x, y, z) ,

二、求空间距离

1.点到平面的距离

先确定平面的法向量, 再求点与平面上任意一点的连线段在平面的法向量上的射影长.设= (A, B, C) 是平面α的法向量, p0 (x0, y0, z0) 为平面α外的任意一点, p (x, y, z) 是平面α内任意一点, 则p0到平面α的距离为

例3如图3所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的, 其中AB=4, BC=2, CC1=3, BE=1, 求点C到平面AEC1F的距离.

解:建立如图所示的空间直角坐标系, 则D (0, 0, 0) , B (2, 4, 0) , A (2, 0, 0) , C (0, 4, 0) , E (2, 4, 1) , C1 (0, 4, 3) , 设F (0, 0, k) , ∵AEC1F为平行四边形,

2.直线到与它平行的平面的距离

先确定平面的法向量, 再求直线上一点到平面上一点的连线段在法向量上的射影长.设n軋为平面α的法向量, A、B分别为直线和平面上的任意两点, 则直线AB到平面α的距离为

例4如图4所示, 已知边长为4姨2的正三角形ABC中, E、F分别为BC和AC的中点, PA⊥平面ABC, 且PA=2, 设平面α过PF且与AE平行, 求AE与平面α间的距离.

解:设的单位向量分别为作为空间向量的一组基底.易知, ,

3.两平行平面间的距离

类似于直线与它平行的平面间的距离, 设n軋为两平行平面的一个法向量, A、B分别为平行平面上的任意两点, 则两平行平面间的距离为

例5正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N, E, F分别是棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点.

(1) 求证:平面AMN//平面EFDB;

(2) 求平面AMN与平面EFDB的距离.

证明: (1) 建立如图5所示的以D点为坐标原点的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1, 则D (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , A1 (1, 0, 1) , B (1, 1, 0) , B1 (1, 1, 1) , C (0, 1, 0) , C1 (0, 1, 1) , D1 (0, 0, 1) ,

∴MN//EF//BD, AN//EB,

∴平面AMN//平面EFDB.

(2) 略.

12.浅谈向量在几何中的应用 篇十二

宁阳四中 271400 吕厚杰

解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直、两向量所成的角、线段的长度问题。合理地运用向量解决立体几何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了添加辅助线，代之以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。

1.证平行、证垂直

具体方法利用共线向量基本定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，由共面向量基本定理先证直线的方向向量与平面内不共线的两向量共面，再证方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。证明线线、线面垂直则可通过向量垂直来实现。

例1 如图1，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面。

图1 证明：又

所以，且即

可知，与 共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面。

例2.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则ΔABC是___________。分析：显见：

（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1），故ΔABC为直角三角形。

2.求角、求距离

如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。定义：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）异面直线所成的角α，利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问题，但，所以

（2）直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角（或补角的余角）。如图2：。

图

2（3）求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。

求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。例3.（2005年高考题）如图3，已知长方体ABCD�A1B1C1D1中，AB＝2，AA

1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点。（1）求异面直线AE与BF所成的角。

（2）求平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小。（3）求点A到平面BDF的距离。

图

3解：在长方体ABCD�A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），因为直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝0），因为E（，0），D（0，（1）因为

所以

即异面直线AE、BF所成的角为

（2）易知平面AA1B的一个法向量m＝（0，1，0），设n＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，由

所以取

所以

（3）点A到平面BDF的距离即

在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值。

所以

例4.如图4，已知正四棱锥R�ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心。求直线PQ与底面ABCD所成的角。

图

4解：以O为原点，以OR所在直线为z轴，以过O与AB垂直的直线为x轴，与AB平行的直线为y轴建立空间直角坐标系。

因为底面边长为6，高为4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，2），P（0，0，3），（0，－1），面ABCD的一个法向量为n＝（0，0，1），设PQ与底面ABCD所成的角为α，则。

13.空间向量及应用 篇十三

【摘 要】在高中数学教学中，向量是代数形式与几何形式相互结合的点，是高中数学知识的一个重要交汇点，同时也是解决数学问题的重要工具。在高中数学教学中，向量是重要的基础知识。学生学好向量对其后期学习具有重要的影响。就向量教学而言，学生在学习的过程中更侧重于工具的作用性。本文就向量解决高中数学问题的应用进行单独分析，以期能够对高中向量教学有更深了解。

【关键词】向量；高中数学；应用

向量在高中数学中具有代数性质和几何性质。从数学发展历史来看，向量是“数、运算以及量”形式不断发展的表现形式，同时也是高考数学必须考的数学知识。在高中数学教学内容中增添向量的知识点，促使几何和代数紧密相连。在数学问题解决的过程中，向量能够为其提供新的思想和方法。将向量作为解决数学工具，能够将几何问题的逻辑推理性转化为代数的运算，这样就促使数学问题解决得更清晰、简洁。向量是高中数学教学内容的重要基础知识。但是，在解决数学问题的过程中应用向量知识的方面却非常少。其实在数学问题解决的过程中能够应用向量的知识，可以达到快速解题的目的。

一、学习向量的必要性

向量的学习始于高中数学。学生在高中阶段开始学习向量。数学与物理之间的联系主要是通过向量体现出来的。在高中物理学习中，针对位移、速度、加速度以及力等相关知识都需要运用到向量的加减。由此可见，就高中物理问题解决而言，全面学习向量具有一定的必要性。在素质教育实施的过程中，物理学与数学已经获得了应有的重视和发展。学习向量能够为物理问题的解决提供必要的工具，将物理问题引入到向量的学习中能够提升学生学习数学的兴趣。在向量学习中，还有一个空间向量的概念。空间向量对立体几何问题的解决具有重要的意义。立体几何能够应用空间向量，则会对教学方法、教学内容、学生数学思维的培养具有重要的影响。教师在教学活动的过程中通过对空间向量的教学能够培养学生数学逻辑思维的能力。另外，在解析几何学习中应用向量，能够为解析几何提供重要的工具，促使传统的几何和现代的数学知识相互连接。由此可以看出，学生在高中阶段学习向量具有其必要性。无论是从学生的学习而言还是教师的教学质量，都具有一定的必要性。

二、向量在高中代数问题中的应用

在高中数学教学中，代数占有大部分的内容。其主要研究的是数、数量、关系与结构的数学分支。高中代数的内容包括了数列、不等式、方程、统计与概率、基本函数和三角函数等等。在解决代数问题中，向量能够提供多种方法。笔者就对此进行简单的分析。

【例1】[2012年高考]若平面向量 a→，b→满足：丨2 a→-b→丨丨≤3，则 a→×b→的最小值是多少。

【答案】这道高考题的答案是 a→×b→的最小值是-9/8

【解析】

丨2 a→-b→丨≤34a→2+b→2

≤9+4 a→×b→

4a→2+b→2≥4丨 a→丨丨b→丨

=>9+4a→×b→≥-4a→×b→

a→×b→≥-9/8

在本题解析的过程中，其中4a→2+b→2≥4丨 a→丨丨b→丨≥-4a→×b→用的是不等式a→2+b→2=丨 a→丨2+丨b→丨2≥丨 a→丨丨b→丨以及丨 m→丨丨n→丨≥-m→×n→。通过这道高考数学题目我们可以看出，应用这种方法进行推广，也就是在数学题目解决中应用不等式的重要结论，经过几次不同的放缩，就能够得到相应的结果。

【例2】[2011年浙江高考（文）]若实数x，y满足x2+y2+xy=1，那么x+y的最小值是多少。

【答案】这道高考题的答案是x+y的最小值是2√3―/3。

【解析】这道题目有几种解题方法。（解法一）：假设 m→=（1/2x+y，2√3―/2x），n→=（1，1//3），进而可以得出丨 m→丨丨n→丨≥-m→×n→{[（1/2x+y）2+（√3―/2x）2]开根号}{[（1+1/3）]开根号}≥1/2x+y+x/2

x+y≤[（x2+y2+xy）开根号]×2√3―/3=2√3―/3当且仅当存在两种条件，（1/2x+y）×1/√3―=√3―/2x和x2+y2+xy=1。也就是在x+y=√3/3的情况是，x+y存在最大值2√3―/3

（解法二）m→=（x+1/2y，√3―/2y），n→=（1，√3―/3）丨 m→丨丨n→丨≥m→×n→就可以得出x+y≤2√3/3。在解这道题目的过程中，需要应用到不等式丨 m→丨丨n→丨≥m→×n→依据不同的向量m→，n→。在解题的过程中，其关键部分就是向量m→，n→这两种方法都假设了a2+b2=x2+y2+xy=1，ac+bd=x+y。采用待定系数的方法就能够求出c，d的值。应用这种方法解题具有一定的灵活性，在实际操作的过程中那个具有可变通性。

【例3】求函数f（x）=[（x2+2x+2）开根号]-[（x2-2x+2）开根号]的值域

【解析】f（x）=[（x2+2x+2）开根号]-[（x2-2x+2）开根号]={[（x+1）2+1]开根号}-{[（x-1）2+1]开根号}。假设a→=（x+1，1），b→=（x-1，1），a→-b→=（2，0），则f（x）=丨 a→丨-丨b→丨。根据三角不等式-丨 a→-b→丨≤丨 a→丨-丨b→丨≤丨 a→-b→丨以及a→，b→不共线的值域值域（-2，2）。在解题的过程中应用三角不等式-丨 a→-b→丨≤丨 a→丨-丨b→丨≤丨 a→-b→丨以及其等号的条件。

通过这几个例子就可以充分看出向量在解决最值、不等式以及函数值域的过程中具有广泛的应用。并且在解题的过程中方法也不是唯一的，但是其解题思路都是利用向量的相关知识。这样的解题方法非常灵活，需要教师和学生在实践中不断的探索。

三、向量在高中几何问题中的应用

向量具有形的特点同时还具有优良的运算性质。向量的线性运算和数量运算具有较为鲜明的几何背景。因而对于某些需要证明的平面几何命题，可以将向量运用到其中。这样向量就能够为几何证明提供新的途径。有些几何问题的常规解决方法非常繁杂，运用向量进行行和数的转化，能够促使解题过程得到简化。

【例1】已知 D 是△ABC所在平面内一点，AD的中点为E，BE的中点为F，CF的中点为G。证明：使得两点D与G重合的点D是唯一的。

【证明】

AG→=1/2（AF→+AC→）=1/2[1/2（AB→+AE→+AC→]

=1/4AB→+1/8AD→+1/2AC→

因为AD→=AG→ 7/8AD→=1/4AB→+1/2AC→ 所以AD→=2/7AB→+4/7AC→

因为AB→，AC→是确定得向量，所以 AD→是唯一的一个向量，则△ABC所在的平面内使得两点D与G重合的点D是唯一的。在解决此类问题的过程中，其关键部分就在于以一组不共线向量为基底，通过向量运算利用平面向量的基本定理，就能够将基底向量表示出来，再利用向量相等，列出方程，进而得出相应的值。

四、结语

总之，向量作为高中数学学习的重要内容，在实际的应用范围非常广泛。应用向量研究问题能够实现抽象思维和形象思维的相互结合，并能够有效地开发学生的数学思维能力，进一步提高学生解决数学问题的能力。

参考文献：

[1]尚廷武.立体几何中“几何法”与“向量法”的解题功能比较[J].数学通讯，2012，10（8）：56

[2]赵小平.把空间向量融入立体几何教学的一种教学设计[J].数学教学，2013，9（45）：23

[3]王建明.数学课程改革中的向量背景与前景分析[J].数学通讯，2012，7（5）：24

14.如何在立体几何中用好空间向量 篇十四

现在新教材设计得很好, 空间向量作为选修四出现, 《数学课堂标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程, 目的是让学生体会数学的思想方法 (类比与归纳) , 体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题, 并尝试如何解决这些问题。同时在这一过程中, 也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求, 是后续学习的前提。新老课程相比, 该部分减少了大量的综合证明的内容, 重在对于图形的把握, 发展空间概念, 运用向量方法解决计算问题。这样的调整, 将使学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面, 更加注意数学与现实世界的联系和应用, 重在发展学生的数学思维能力, 发展学生的数学应用意识, 提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力, 为学生日后的进一步学习、工作、生活打下更好的基础。

为了让学生在学立体几何时很好地利用空间向量, 下面我就结合自己的教学经验, 谈几点想法。

1. 与平面向量联系起来。

本章从数量表示和几何意义两方面, 把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼, 由浅入深”的认识发展过程。例如, 在平面向量中的一些运算律在空间向量中也可以用, 比如加法的结合律、交换律, 但有些不可以, 比如平面向量的数量积满足交换律, 运算结果是实数, 但空间向量的数量积不满足交换律, 运算结果是向量。这样学生既可以复习平面向量的知识, 又可以很容易理解空间向量。所以, 空间向量的教学要注重知识间的联系, 温故而知新, 运用类比的方法认识新问题, 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

2. 强调用空间向量解决问题的步骤:

(1) 向量法有别于传统的纯几何方法, 而是将几何元素用向量表示, 进行向量运算, 再回归到几何问题。这种“三步曲”式的解决问题过程, 在数学中具有一般性。 (2) 三步曲:空间向量表示几何元素→利用向量运算研究几何元素间的关系→把运算结果翻译成相应的几何意义。 (3) 向量运算时注意其几何意义, 联系几何问题 (如三垂线定理及其逆定理等) 加深对有关运算的认识。

3. 再次提升。

(1) 在高二学习立体几何时中, 已经讨论过空间中直线、平面的平行、垂直等位置关系, 当时没有对相关判定定理进行证明, 只证明了相关性质定理。 (2) 本章以三垂线定理、线面垂直的判定定理为例, 用向量方法对其进行证明, 然后指出运用向量方法可以证明关于线面位置关系的其他判定定理, 并引导学生进行尝试。这样可以加强所学前后知识的联系, 提高对空间位置关系的认识水平, 这就避免了刚开始就用空间向量解决问题而使学生丧失想象力的弊端, 也使学生在高二的基础上提高了一步。

4. 数与形的有机结合。

向量的特征之一是其本身具有数与形两重含义。本章教学中, 除了要关注前面多次提及的知识纵向联系之外, 还要特别关注知识的横向联系, 从不同角度研究同一问题, 认识与运用向量及其运算中数与形的关联。教学中应结合几何图形予以探讨, 特别要重视平行六面体的模型作用, 引导学生借助图形理解它们, 注意避免不联系几何意义的死记硬背。

5. 根据特点选择方法。

重视综合方法、向量方法、坐标方法各自特点的分析与归纳, 综合方法以逻辑推理作为工具解决问题;向量方法利用向量的概念及其运算解决问题;坐标方法利用数及其运算来解决问题, 坐标方法常与向量运算结合起来使用, 我们要根据它们的具体条件和特点选择合适的方法。

6. 注重计算方面的训练。

由于用空间向量解决问题需要的计算量比较大, 计算水平又不高, 所以应在计算方面进行一些必要的训练。