五年级数学上学期试题

五年级数学上学期试题（精选7篇）

1.五年级数学上学期试题 篇一

一、填空(共39分，每空1分)

⒈ 0.3=3()0.17=()1000.011=()()

710=()7100=()71000=()

⒉ 在下面的括号里填上合适的小数。

8角=()元 9分=()元

7角1分=()元 5角7分=()元

4厘米=()米 6分米=()米

29毫米=()米 83厘米=()米

⒊()个0.01是0.1;1个()是0.01。

⒋ 0.5里有()个十分之一;0.027里有()个千分之一。

⒌ 0.61是把()平均分成()份，表示这样的()份。

⒍ 2个

十、5个0.1、7个0.01和9个千分之一组成的数是()。

⒎ 4.705是由4个()、()个0.1和()个0.001组成的。

⒏ 一个数的百位上是7，十分位上是6，其他各个数位上都是0，这个数写作()，读作()。

⒐ 1.3里有()个十分之一，有()个百分之一，有()千分之一。

⒑ 把14698400改成写用“万”作单位的数是()，保留整数是()。

2.五年级数学上学期试题 篇二

每个方格表示1平方厘米, 在方格纸上画画、算算. (8分, 第1题4分, 第2, 3题每题2分)

1.左边图形的面积大约是平方厘米.右边平行四边形的面积是平方厘米.

2.在上面的方格纸上画一个面积是12平方厘米的直角三角形.

3.一个梯形的高是5厘米, 如果把它的上底向一端延长3厘米就成为一个正方形.画出这个梯形.它的面积是平方厘米.

二、阅卷感悟

这是一道五年级数学期末测试题, 主要考查学生的估算、平面图形的面积计算以及动手画图的能力, 从参测的187份试卷看, 学生在第1题估算上失分较少, 而在2, 3题作直角三角形、直角梯形上失分较多, 它观照着学生动手作图能力的缺失, 同时折射出我们数学教学的价值取向上的单一, 即重基础知识教学, 轻动手操作能力培养.影响着小学生数学素养的全面提升.

三、思考与对策

翻阅试卷后, 我及时了解四位授课教师, 他们也感到很失望, 因为期末复习时反复强调此类型题目必考, 而且加强了练习的力度, 但结果不尽如人意, 归根结底是学生的动手画图能力不强所致.但既然说到能力, 就不是一蹴而就所能达到的, 它需要长时间持之以恒的训练, 说到底应该从低年级抓起.但是道理人人都懂, 可落实在行动上就不是那么容易了.而“知易行难”是我国古代知识论中的重要话题, 那么如何做到从低年级起抓好小学生的画图能力培养呢?

(一) 在教学评价操作上, 设立多元的目标体系

过去我们在评价上只重视定量评估, 即平均分、优秀率、及格率、不及格率、成绩分布是否为正态等, 虽然简单易行, 但从学生的数学素养的培养看, 显然是有些偏颇的, 特别是在倡导以人为本的今天, 我们在关注全体学生的同时, 还要考虑每一名学生的数学发展, 达到“不同的人在数学上得到不同的发展”, 因此需要对学生的试卷进行定性评估, 认真查阅学生在哪些方面存在问题, 特别要关注学生在数学的动手能力方面的发展情况, 切不可以分论英雄, 要发现学生在数学学习上的薄弱环节, 有的放矢地加以辅导, 这样才能促进小学生数学学习的全面发展.

(二) 在教学理念的转变上, 尤其关注能力培养

我们要树立为国育人的宏愿, 中国人动手能力弱由来已久, 这不仅表现在基础学科的数学, 同样存在于其他自然科学学科, 已经成了制约着我国科技创新的瓶颈.因此, 作为一线教师, 我们要把培养小学生动手画图能力作为数学教学的第一要务予以落实, 并且从一年级抓起, 从小学抓起, 经过我们共同的努力, 小学生的画图能力一定会增强, 并为今后的学习、工作打下基础.

(三) 在教学的设计上, 要有全局思想、战略的眼光

一是要认真研读数学课程标准, 全面把握各个学段在动手画图等操作性方面的要求, 做到心中有标准, 教学有方法, 切忌有“只见树木、不见森林”的急功近利思想.

二是要认真研读小学数学的全套教材, 准确把握教材的前后联系、编排体系, 从整体出发, 有步骤、有系统地培养小学生动手画图的能力, 切忌只低头拉车, 不抬头望路.

三是要认真研究学生, 切实把握每一名学生在数学学习上存在的问题, 有针对性地在每一节课上予以辅导, 达到“人人都能获得必需的数学”, 它既包含数学的基础知识, 也涵盖数学能力的培养.

3.五年级数学上学期试题 篇三

基础知识百花园

3．成语填空并分类。

( )通( )大

大( )无( )

( )神( )主

若( )若( )

波( )壮( )

蹑( )蹑( )

描写人物的成语：__________

描写景色的成语：______________

4．下面两层意思，能够用“仍然”“果然”两个词中的哪一个连起来，写成一句话，并写下来。

我再次改变了实验步骤。

没有出现想要的现象。

5．写出句子的意思：孰为汝多知乎?

__________________

日积月累菜蜜园

按要求填空

1．名言警句：愿乘风_______ ，面壁_______。

2．歇后语：孔夫子搬家——_______；

3．对对联：上联：四海皆春_______，

下联：_______，

横批：_______ 。

4．把古诗中的千古名句补充完整：

(4)_______，要留清白在人间。

(2)千磨万击还坚劲，_______。

(3)_______，明月何时照我还。

(4)谁言寸草心，_______。

口语交际趣味园

丁丁和冬冬在打电话，请你发挥想象，写上冬冬的话，使他们的对话合理紧凑。

丁丁：你好，冬冬，我是丁丁。你找我有事吗?

冬冬：_____________

丁丁：噢!没问题!

冬冬：_____________

丁丁：还有什么要求?尽管说。

冬冬：_____________

丁丁：不客气，这是应该的。再见!

阅读思考大观园

1．根据课文《凡卡》写一段话，说明凡卡的不幸遭遇，试着用下面的词语，语句要通顺。

痛苦 幸福 欢乐 想念

2．用课文題目填空。

本学期我们学习了素有甲天下之称的《______》，跟随老舍游赏《______》，共同感受大兴安岭的亲切、舒服，又与巴金先生畅游了《______》领略了榕树的大，鸟儿的多。欣赏美景之后，我们的心情不能平静，因为这样的景致，有些已被破坏，看着满目疮痍的地球，我们不由得发自内心地要向全世界呼吁：“保护环境吧，我们人类的《_______ 》。”

请从上面这段话中的三处美景中选择一个，为其写一句保护环境的宣传标语。

3．阅读课文段，回答问题。

大雪整整下了一夜。早晨，天放晴了，太阳出来了。推开门一看，嗬!好大的雪啊!山川、树木、房屋，全部罩上了一层厚厚的雪，万里江山变成了粉妆玉砌的世界。落光叶子的柳树上，挂满了毛茸茸、亮晶晶的银条儿；冬夏常青的松树和柏树，堆满了蓬松松、沉甸甸的雪球。一阵风吹来，树枝轻轻地摇晃，银条儿和雪球儿簌簌地落下来，玉屑似的雪末儿随风飘扬，映着清晨的阳光，显出一道道五光十色的彩虹。

(1)“嗬!好大的雪啊!”这句话应读出怎样的语气?(答案不止一个。)()

A．兴奋B．厌恶C．惊喜D．平静

(2)“蓬松松”给人一种像棉花一样松软、轻飘飘的感觉。“沉甸甸”给人一种像铁块一样沉重的感觉。用这两个词形容同一个事物——雪球，是否矛盾?选择正确答案填在括号里。()

A．矛盾。这两个词是一对反义词，不能同时用来形容同一个事物。

B．不矛盾。从外形上看，堆在松柏上的雪球显得很轻，但是他们堆得很厚，将树枝都压弯了，从这里更能看出雪下得大。

C．说不清楚，不了解作者的意图。

4．阅读短文，回答问題。

迷惑敌人的迷彩服

在现代战争中，侦察仪器越来越先进，部队的行动很容易被对方发现。为了迷惑敌人、保护自己，人们用一种特殊的颜料把军服染成黄一块绿一块的，制成了迷彩服。迷彩服上五颜六色的花纹和周围的自然景物色彩十分相近，反射红外光波的能力也与周围自然景物反射光波的能力相似，所以敌人用肉眼看不见，而且现代化的仪器也不容易发现。

现在，有些国家的军队还根据不同兵种设计了各种不同的迷彩图案，进一步增强了遂，惑敌人的能力。

(1)按要求改写句子。

①有些国家的军队还根据不同兵种设计了各种不同的迷彩图案。

缩句：_____________

②为了迷惑敌人、保护自己，人们用一种特殊的颜料把军服染成黄一块绿一块的，制成了迷彩服。

改成“被”字句：_____________

③敌人用肉眼看不见。

改成反问句：_____________

(2)回答问题：说说迷彩服为什么能迷惑敌人?

毛主席爱读书的故事

毛主席一生特别喜爱读书。

几十年来，毛主席日夜(操劳 操心)党和国家的大事，工作一直是很忙的。可毛主席总是挤出时间来读书，_______在出差的列车上，______不放过读书的机会。

有一年夏天，毛主席出差到武汉，在大“火炉”里，毛主席每天晚上坚持看书，汗水不断地顺着脸颊往下淌。他(有趣风趣)地对工作人员说：“读书、学习也要付出一定的代价，流下了汗水，学到了知识!”

毛主席在床上、办公桌上、饭桌上都放着书。一有(机会 空闲)就手不释卷地看起来，他总是一手拿着放大镜，一手按着书页。每当长时间沉浸在书中的时候，他就忘了吃饭。工作人员催促他。他总是笑着说：“还有一点儿，看完再吃。”

毛主席一生读了多少书，没法估计。除了读马列著作外，古代的和外国的许多哲学家的著作，他也都读过。文学方面的书，毛主席特别喜欢李白、李贺、李商隐的诗和辛弃疾的词。

毛主席有一部解放前出版的《鲁迅全集》，他从延安带到北京，1949年出国时还随身带着。从50年代到60年代，毛主席总是把鲁迅先生的著作放在床边，直到晚年病重，还在随时翻阅。

1．将文章( )里不恰当的词语划去。

2．在文中“_____”处填上合适的关联词。

3．联系上下文，回答问题：

(1)“在大‘火炉’里，毛主席每天晚上坚持看书。汗水不断地顺着脸颊往下淌。”这句话表现毛主席_____________

(2)“每当沉浸在书中的时候，他就忘了吃饭。”这句话说明毛主席_____________

4．读完文章，你有什么想说的?请写下来。

快乐习作园

4.五年级数学上学期试题 篇四

班级： 姓名： 得分：

一、填空题（每空1分，共20分）1、2.955四舍五入保留整数是（），保留一位小数是（）。2、0.123÷0.15＝（）÷11.9÷2.5＝（）÷25

3、在○里填上“＞”“＝”或“＜”。

7.2×0.9○7.23.57×1.04○3.57×10.4 5.24÷0.7○5.20.12÷1.2○0.12 4、4.13×3.67的积是（）位小数，4.05×2.1的积是（）位小数。

5、循环小数2.23535„可以记作（），它的循环节是（）。

6、两个数的商是3.6，如果除数扩大100倍，要使商不变，被除数应该（）

7、有32人出去郊游，每辆车坐15人，需要（）辆车。

8、小军坐在教室的第3列第4行，用（3，4）表示，小红坐在第1列第 6行，用（，）来表示，用（5，2）表示的同学坐在第（）列第（）行。

9、正方形的边长是3.5厘米,它的周长是（）厘米,面积是（）平方厘米。

10、口袋里有2个白球、3个红球、8个黑球，摸到（）的可能性大。

二、判断题。(正确的写“√”错误的写“×”)（每题1分，共5分）

1、一个数乘以小数，积一定小于这个数。

（）2、3.5和3.50的意义相同。（）

3、有限小数都比无限小数小。（）

4、小数0.367367367是循环小数。（）

5、数对（4,2)和(2,4)表示的是同一位置。

（）

三、选择题(把正确的字母编号填括号里)（每题1分，共5分）1、5.4和5.6之间的小数有（）个。A.一

B.二

C.三

D.无数

2、与306÷1.7结果相同的算式是（）。

A.30.6÷17

B.3.06÷17

C.3060÷17

D.306÷17

3、下面哪题的商大于1（）。

A.3.06÷17

B.21×0.0456

C.9.1÷0.7

D.4.56÷21 4、1÷3的商不是（）。

A.循环小数

B.有限小数

C.无限小数

5、做一套西服用布1.5米，25米布最多可以做（）套。A.16.6

B.17

C.16

D.14

四、计算题（42分）

1、直接写得数（8分）

0.3×0.2＝

2.4×10＝

4.2÷0.7＝

3.6÷12＝ 1.2×5＝

9.1÷0.7＝

150×0.6＝

0.8－0.35＝

2、列竖式计算（12分）

0.56×0.04=

12.6÷0.28=

3.42×0.4≈

（保留两位小数）

3、计算，能简算的要简算。（93÷0.31÷

30.7×2.5+9.3×2.516分）

400÷75=

1.25×3.2×8 8.4÷2.1－0.5（商用循环小数表示）

五、按要求完成下面各题。（9分)

1、盒子里有10个红球，6个黄球和1个白球。

(1)摸到的球，可能是（）球，可能是（）球，也可能是（）球。

(2)摸到（）球的可能性最大，摸到（）球得可能性最小。(3)要想摸到白球的可能性增大，应该怎么做?

六、解决问题（每题5分，共25分）

1、重阳节，利民超市的大米每千克3.4元，妈妈买了6.4千克，妈妈要付多少元？

2、每个油桶最多装油0.4千克，要装2.5千克油，至少需要多少个这样的油桶？

3、强强从学校去街心公园，每小时走4.8千米，0.5小时可以到达；如果每小时只走3.2千米，要多少小时才能达到？

4、妈妈去水果店买了香蕉和菠萝各3.6千克，每千克香蕉是2.4元，每千克菠萝是2.6元，一共花了多少元？

5.六年级上学期数学试题 篇五

1,甲乙两人打文稿,甲一分钟能打125个字,乙每分钟能打140个字.合打5/4 分钟后共打了多少个字 ？

2,车间男女工人的人数比是6:4,这车间共有65名工人，车间男女各有多少人 ？

3,杨树有1500棵，柳树棵数是杨树的2/3 ,又是槐树的1.2倍.槐树有多少棵 ？

4,学校运来5600块砖,已用去4200块，1)：用去总数的几分之几？ 2)：剩下的块数是用去的几分之几？

5,从学校到家的时间,原来的25分钟减少到现在的20分钟.现在的时间比原来缩短了几分之几？

6,商店运来120千克苹果,运来的梨比苹果多1/4,运来梨有多少千克？

8,农场每天收割小麦64公顷,比计划每天多收割 3/5,计划每天收割多少？

9,一种药现买216元,比原来降低了1/3 ,原来买多少钱？

10,某工程改进设计后节约了原计划的1/3,正好用了19万.原来投资多少元？

11,一项工程,A单独做要12天完成,B要8天,AB两人合做,A：几天完成这项工程？B：几天完成这项工程的7/8 ？ C：如A先做2天,剩下由B来做,要多少天？

12，两个车间共有150人，如果从一车间调出50人，这时一车间人数是二车间的2/3，二车间原有多少人？

13、幼儿园共有150本图书，其中的2/5分给大班，剩下的图书按4∶5分给小班和中班，小班和中班各分到多少本？

14、生产一批零件，单独完成甲要20小时，乙的工效是甲的4/5。如果两人合做，几小时生产这批零件的9/10？

6.上学期高一年级数学期中考试题 篇六

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集 ， ，则 等于( )

A. B. C. D.

2.函数 的值域为( )

A. B. C. D.

3.已知点 在幂函数 的图象上，则 ( )

A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

4.在下列个区间中，存在着函数 的零点的区间是( )

A. B. C. D.

5.设函数 ， ，则 的值为( )

A. B.3 C. D.4

6.下列各式中，不成立的是( )

A. B. C. D.

7.函数 的图象关于( )

A. 轴对称 B.坐标原点对称 C.直线 对称 D.直线 对称

8.已知偶函数 在区间 上单调递减，则满足 的 的取值范围是( )

A. B. C. D.

9.已知 ，则 的解析式为( )

A. ，且 B. ，且

C. ，且 D. ，且

10.已知函数 ，且 在区间 上单调递减，则 的取值范围是( )

A. B. C. D.

第Ⅱ卷(共60分)

二、填空题(每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上)

11.计算 .

12.已知 ，若 ，则 .

13.若关于 的方程 的两个实数根分别为 ，且满足 ，则实数 的取值范围是 .

14.函数 的单调递增区间是 .

15.若关于 的不等式 在 内恒成立，则 的取值范围是 .

三、解答题 (本大题共5题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16.已知函数 .

(1)求函数 的定义域;

(2)求 及 的值.

17.已知函数 .

(1)判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明其结论;

(2)求函数 在区间 上的最大值与最小值.

18.设 .

(1)判断函数 的奇偶性;

(2)求函数 的单调区间.

19.已知函数 .

(1)若 是定义在 上的偶函数，求实数 的值;

(2)在(1)的条件下，若 ，求函数 的零点.

20.已知函数 .

(1)若 ，求函数 的解析式;

(2)若 在区间 上是减函数，且对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围;

(3)若 在区间 上有零点，求实数 的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5：BDACA 6-10：DBBCD

二、填空题

11. 12.3 13. 14. 15.

三、解答题

16.(1)解：依题意， ，且 ，

故 ，且 ，即函数 的定义域为 .

(2) ，

.

17.(1)解： 在区间 上是增函数.

证明如下：

任取 ，且 ，

.

∵ ，

∴ ，即 .

∴函数 在区间 上是增函数.

(2)由(1)知函数 在区间 上是增函数，

故函数 在区间 上的最大值为 ，

最小值为 .

18、解：对于函数 ，其定义域为

∵对定义域内的每一个 ，

都有 ，

∴函数 为奇函数.

(2)设 是区间 上的任意两个实数，且 ，

则

.

由 得 ，

而 ，

于是 ，即 .

所以函数 是 上的减函数.

19、(1)解：∵ 是定义在 上的偶函数.

∴ ，即

故 .

(2)依题意

.

则由 ，得 ，

令 ，则

解得 .

即 .

∴函数 有两个零点，分别为 和 .

20、(1)解：依题意 ，解得 或 (舍去)，

∴ .

(2)解：由 在区间 上是减函数，得 ，

∴当 时，

.

∵对于任意的 ， 恒成立，

∴ ，即 ，

解得 .

∴实数 的取值范围是 .

(3)解：∵ 在区间 上有零点，

∴关于 的方程 在 上有解.

由 ，得 ，

令 ，

∵ 在 上是减函数，在 上是增函数，

∴ ，即

7.五年级数学上学期试题 篇七

本大题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U=R, A={x|x (x+3) <0}, B={x|x≥-1}, 则∁UB∩A为 ( ) .

(A) {x|x<0} (B) {x|-3<x<0}

(C) {x|x<-1} (D) {x|-3<x<-1}

2.在等差数列{an}中, 若a4=4, 则a2+a6等于 ( ) .

(A) 4 (B) 8

(C) 16 (D) 32

3. (理科) 在复数集内分解成一次因式的乘积:

$\begin{array}{l}x{}^2+2x+3=().\\ (\text{A})(x+1+\sqrt{2}\text{i})(x+1-\sqrt{2}\text{i})\\ (\text{B})(x+\sqrt{2}+\text{i})(x-\sqrt{2}+\text{i})\\ (\text{C})(\sqrt{2}+1+x\text{i})(\sqrt{2}+1-x\text{i})\\ (\text{D})(\sqrt{2}+1+x\text{i}){}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}(\text{文}\text{科})\text{计}\text{算}:\frac{2+3\text{i}}{3-2\text{i}}-\frac{2-3\text{i}}{3+2\text{i}}=().\\ (\text{A})2\text{i}(\text{B})-2\text{i}\\ (\text{C})2(\text{D})-2\end{array}$

4.设实数x , y满足x2+y2≤1, 则点 (x, y) 在区域

$\{\begin{array}{l}-1\le x+y\le 1‚\\ -1\le x-y\le 1\end{array}$

内的概率是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{1}{4}(\text{B})\frac{2}{\text{π}}\\ (C)\frac{3}{\text{π}}(\text{D})\frac{1}{8}\end{array}$

5.已知函数f (x) =asin (πx+α) +bcos (πx+β) , 且f (2009) =8, 则f (2011) 的值是 ( ) .

(A) -1 (B) -2

(C) 8 (D) 1

6.直线y=0和y=x将圆x2+y2=15分成4部分, 用5种不同颜色给四部分染色, 每部分染一种且相邻部分不能染同种颜色, 则不同的染色方案有 ( ) .

(A) 120种 (B) 240种

(C) 260种 (D) 280种

7. (理科) 为调查胃病是否与生活规律有关, 对某地540名40岁以上的人的调查结果如下:

经计算得知, K2≈9.638, 则40岁以上的人患胃病与生活是否有规律 ( ) .

(A) 有关 (B) 无关

(C) 说不清楚 (D) 以上都不对

(文科) 曲线$y=\sqrt{2}\cos x$在$x=\frac{\text{π}}{4}$处的切线方程是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})x+y-\frac{4+\text{π}}{4}=0\\ (\text{B})x+y+\frac{4-\text{π}}{4}=0\\ (\text{C})x-y-\frac{4+\text{π}}{4}=0\\ (\text{D})x+y+\frac{4+\text{π}}{4}=0\end{array}$

8.设l, m, n表示三条直线, α, β, γ表示不同的三个平面, 给出下列四个命题:

①若l⊥α, m⊥α, 则l//m;

②若m⊂β, n是l在β内的射影, m⊥l, 则m⊥n;

③若m⊂α, m//n, 则n//α;

④若α⊥γ, β⊥γ, 则α//β.

其中真命题为 ( ) .

(A) ③④ (B) ①②③

(C) ①②③④ (D) ①②

9.一个几何体的三视图如图1所示, 其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, 则该几何体的外接球的表面积为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})12\text{π}(\text{B})4\sqrt[]{3}\text{π}\\ (\text{C})3\text{π}(\text{D})12\sqrt[]{3}\text{π}\end{array}$

10.函数$y=\sin \left(\frac{1}{2}x+\frac{\text{π}}{3}\right),x\in \left[-\text{π},\text{π}\right]$的单调递增区间为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\left[-\text{π},\frac{\text{π}}{3}\right](\text{B})\left[-\text{π},\frac{2\text{π}}{3}\right]\\ (\text{C})\left[\frac{\text{π}}{3},\frac{2\text{π}}{3}\right](\text{D})\left[\frac{2\text{π}}{3},\text{π}\right]\end{array}$

11.已知圆O:x2+y2=100, 点A (-6, 0) , M为圆O上任意一点, AM的垂直平分线交OM于点P, 则点P轨迹方程为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{x{}^2}{25}+\frac{y{}^2}{16}=1\\ (\text{B})\frac{x{}^2}{25}-\frac{y{}^2}{16}=1\\ (\text{C})\frac{(x+3){}^2}{25}+\frac{y{}^2}{16}=1\\ (\text{D})\frac{(x+3){}^2}{25}-\frac{y{}^2}{16}=1\end{array}$

12. 已知c>0, 设p:函数y=cx在R上单调递减;q:函数g (x) =lg (2cx2+2x+1) 的值域为R, 如果“p∧q”为假命题, “p∨q”为真命题, 则c的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(\frac{1}{2}‚1)(\text{B})(\frac{1}{2}‚+\infty )\\ (\text{C})(0‚\frac{1}{2}]{\displaystyle \cup [}1‚+\infty )(\text{D})(-\infty ‚+\infty )\end{array}$

二、填空题:

本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.将答案填在题中的横线上.

13. (理科) 在数列{an}中, $a{}_1=\frac{1}{3}‚\frac{S{}_n}{n}=(2n-1)a{}_n$, 经计算得$S{}_1=\frac{1}{3},S{}_2=\frac{2}{5},S{}_3=\frac{3}{7},S{}_4=\frac{4}{9},\cdots$, 由此猜想Sn=______.

(文科) 已知数列{an}的通项公式an与前n项和Sn之间满足关系$2\sqrt[]{S{}_n}=a{}_n+1$, 且an>0, a1=1, 则an=______.

14.曲线$y=\frac{1}{x}$与直线x=1, x=4及x轴所围成的区域的面积是______.

15.图2是一个算法程序框图, 则输出的结果为______.

16.下列说法中:

①函数$y=x{}^{\frac{1}{3}}$在 (0, +∞) 是增函数;

②在平面上, 到定点 (1, -2) 的距离与到定直线4x+3y+2=0距离相等的点的轨迹是抛物线;

③设函数f (x) 在R上是奇函数, 在 (0, +∞) 是增函数, 则f (x) 在 (-∞, 0) 是增函数;

④椭圆$\frac{x{}^2}{25}+\frac{y{}^2}{16}=1$的一个焦点到相应准线的距离是5.

其中正确命题的序号是______.

三、解答题:

本大题共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分) (理科) 在△ABC中, a, b, c分别是角A, B, C的对边, 已知b2=ac, 且a2-c2=ac-bc, 求角A的大小及$\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}B}{c}$的值.

(文科) 如图3, 勘探队员朝一座山行进, 在前后A, B两处观察山顶C的仰角分别为45°和30°, 两个观察点A, B之间的距离为200m, 求此山的高度h.

18. (本小题满分12分) (理科) 甲、乙两人参加一项智力测试, 已知在备选的10道题中, 甲能答对6道题, 乙能答对8道题, 规定每位参赛者都从这10道题中随机抽出3道题独立测试, 至少答对两道题才算通过.

(Ⅰ) 求只有1人通过测试的概率;

(Ⅱ) 求甲答对题数ξ的数学期望.

(文科) 已知集合A={x|x2-7x+6≤0, x∈N*}, 集合$B=\{x||x-3|\le 3‚x\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}\}$, 集合M={ (x, y) |x∈A, y∈B}.

(Ⅰ) 求从集合M中任取一个元素是 (3, 5) 的概率;

(Ⅱ) 从集合M中任取一个元素, 求x+y≥10的概率.

19.如图4, 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a, 点M在边BC上, △AMC1是以角AMC1为直角的等腰直角三角形.

(Ⅰ) 求证:点M为边BC的中点;

(Ⅱ) 求点C到平面AMC1的距离;

(Ⅲ) 求二面角M-AC1-C的大小.

20. (本小题满分12分) 已知圆C方程为x2+y2=4.

(Ⅰ) 直线l过点P (1, 2) , 且与圆C交于A, B两点, 若$|AB|=2\sqrt[]{3}$, 求直线l的方程;

(Ⅱ) 过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m, 设m与y轴的交点为N, 若向量$\overrightarrow{{\rm O}Q}=\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}+\overrightarrow{{\rm O}{\rm N}}$, 求动点Q的轨迹方程, 并说明此轨迹是什么曲线.

21. (本小题满分12分) (理科) 已知函数f (x) =x2-ax-aln (x-1) (a∈R) .

(Ⅰ) 求函数f (x) 的单调区间;

(Ⅱ) 试判断:是否存在实数a (a≥1) , 使y=f (x) 的图象与直线$y=1+\ln \sqrt{2}$无公共点 (其中自然对数的底数e为无理数, 且e=2.71828…) .

(文科) 已知f (x) =x3-3ax2-bx (其中a, b为实数) .

(Ⅰ) 若f (x) 在x=1处取得极值为2, 求a, b的值;

(Ⅱ) 若f (x) 在区间[-1, 2]上为减函数且b=9a, 求a的取值范围.

请考生在第22, 23, 24三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所的第一题记分.

22. (本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲

如图5所示, AB是⊙O的直径, G为AB延长线上的一点, GCD是⊙O的割线, 过点G作AB的垂线, 交AC的延长线于点E, 交AD的延长线于点F, 过G作⊙O的切线, 切点为H .

(Ⅰ) 求证:C, D, F, E四点共圆;

(Ⅱ) 求证:GH2=GE·GF.

23. (本小题满分10分) 选修4—4:坐标系与参数方程

已知直线l经过点${\rm P}(\frac{1}{2},1)$, 倾斜角$\alpha =\frac{\text{π}}{6}$, 圆C的极坐标方程为$\rho =\sqrt{2}\cos (\theta -\frac{\text{π}}{4}).$

(Ⅰ) 写出直线l的参数方程;

(Ⅱ) 设l与圆C相交于两点A、B, 求点P到A、B两点的距离之积.

24. (本小题满分10分) 选修4—5:不等式选讲

(Ⅰ) 已知x, y都是正实数, 求证:x3+y3≥x2y+xy2;

(Ⅱ) 已知a, b, c都是正实数, 求证:$a{}^3+b{}^3+c{}^3\ge \frac{1}{3}(a{}^2+b{}^2+c{}^2)(a+b+c).$

参考答案

1.D.求出∁UB={x|x<-1}, A={-3<x<0}, ∴∁UB∩A={-3<x<-1}.

2.B.由等差数列的性质直接求解即可.a2+a6=2a4=8.

3. (理科) $\text{A}.x{}^2+2x+3=(x+1){}^2+2=(x+1){}^2-(\sqrt{2}\text{i}){}^2=(x+1+\sqrt{2}\text{i})(x+1-\sqrt{2}\text{i}).$

(文科) A.分别对分母有理化, 得原式

表示的区域是单位圆及其内部, 区域

$\{\begin{array}{l}-1\le x+y\le 1‚\\ -1\le x-y\le 1\end{array}$

表示的是正方形及其内部, 根据几何概型的求解方法可知, 概率为相应的面积比.

5.C.函数f (2009) =asin (2009π+α) +bcos (2009π+β) =8, 则f (2011) =asin (2009π+α+2π) +bcos (2009π+β+2π) =f (2009) =8.

6.C.由题可知, 四部分最多用四种颜色, 最少两种颜色, ∴ A${}_5^4$+A${}_2^1$A${}_5^3$+A${}_5^2$=120+120+20=260种.

7. (理科) A.K2=9.638>7.879, 可知40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关.

(文科) $\text{A}.y^{\prime }=-\sqrt{2}\sin x,\therefore y^{\prime }=-1$, 切点$\left(\frac{\text{π}}{4},1\right)‚\therefore$切线为$y-1=-\left(x-\frac{\text{π}}{4}\right)$, 即$x+y-\frac{4+\text{π}}{4}=0.$

8.D.逐一判断命题的正确性.对于①, l⊥α, m⊥α, 则l//m, 正确;对于②, 可由线面垂直的判定定理和性质定理依次判定, 正确;对于③, n与α的关系可能是n⊂α, 也可能是n//α, 错误;对于④, α⊥γ, β⊥γ, 则α与β平行或相交, ∴错误, 故选D.

9.C.几何体为一四棱锥S-ABCD, ABCD为正方形, SA⊥面ABCD, SA=AB=AD, 外接球半径

$\begin{array}{l}r=\frac{\sqrt{3}}{2}‚\therefore S=3\text{π}.\\ 10.\text{A}.\because -\frac{\text{π}}{2}+2k\text{π}\le \frac{1}{2}x+\frac{\text{π}}{3}\le \frac{\text{π}}{2}+2k\text{π},k\in \mathbf{{\rm Z}}‚\therefore -\frac{5\text{π}}{3}+4k\text{π}\le x\le \frac{\text{π}}{3}+4k\text{π},k\in \mathbf{{\rm Z}}‚\therefore \end{array}$

当k=0时, $-\text{π}\le x\le \frac{\text{π}}{3}.$

11.C.∵点P在线段AM的垂直平分线上, |PA|=|PM|, 故|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=10.由椭圆的定义知, 动点P的轨迹是以A, O为焦点的椭圆, 中心为 (-3, 0) , 长轴长为10, 故P的轨迹方程为$\frac{(x+3){}^2}{25}+\frac{y{}^2}{16}=1.$

12.A.对于p, 若p为真, 则0<c<1;对于q, 若q为真, 则c=0或即$0\le c\le \frac{1}{2}.$

∵“p∧q”为假命题, “p∨q”为真命题, 则p, q一真一假, 只能p真q假 (反之不成立) , $\therefore \frac{1}{2}<c<1.$

13. (理科) $\frac{n}{2n+1}.$

方法1:$\because \frac{S{}_n}{n}=(2n-1)a{}_n$, 又n≥2时,

an=Sn-Sn-1, ∴Sn=n (2n-1) (Sn-Sn-1) ,

即$S{}_n=\frac{n(2n-1)}{n(2n-1)-1}S{}_{n-1}(n\ge 2).$

经计算得$S{}_1=\frac{1}{3},S{}_2=\frac{2}{5},S{}_3=\frac{3}{7},S{}_4=\frac{4}{9},\cdots$,

由此猜想$S{}_n=\frac{n}{2n+1}.$

$\begin{array}{l}\text{方}\text{法}2:\because \frac{S{}_n}{n}=(2n-1)a{}_n,\therefore S{}_n=n(2n-1)a{}_n,\\ \therefore S{}_{n+1}-S{}_n=a{}_{n+1}=(n+1)(2n+1)a{}_{n+1}-n(2n-1)a{}_n,\\ \therefore n(2n-1)a{}_n=(2n+3)na{}_{n+1},\\ \therefore \frac{a{}_{n+1}}{a{}_n}=\frac{2n-1}{2n+3},\\ \therefore a{}_{n+1}=\frac{a{}_{n+1}}{a{}_n}\cdot \frac{a{}_n}{a{}_{n-1}}\cdot \cdots \cdot \frac{a{}_2}{a{}_1}\\ =\frac{2n-1}{2n+3}\cdot \frac{2n-3}{2n+1}\cdot \frac{2n-5}{2n-1}\cdot \cdots \cdot \frac{3}{7}\cdot \frac{1}{5}‚\\ \therefore a{}_{n+1}=\frac{3\times 1}{(2n+3)\times (2n+1)}a{}_1\\ =\frac{1}{(2n+3)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right).\\ \therefore S{}_n=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)+\cdots +\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]\\ =\frac{n}{2n+1}.\end{array}$

$\begin{array}{l}(\text{文}\text{科})2n-1.\\ \because 2\sqrt[]{S{}_n}=a{}_n+1,\\ \therefore S{}_n=\frac{(a{}_n+1){}^2}{4},S{}_{n-1}=\frac{(a{}_{n-1}+1){}^2}{4}‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{当}n\ge 2\text{时}‚a{}_n=S{}_n-S{}_{n-1}\\ =\frac{1}{4}\left[(a{}_n+1){}^2-(a{}_{n-1}+1){}^2\right]‚\end{array}$

化简得 (an+an-1) (an-an-1-2) =0.

∵an+an-1≠0, ∴an-an-1=2,

∴an=2n-1.

$\begin{array}{l}\text{当}n=1\text{时}\text{也}\text{成}\text{立}‚\therefore a{}_n=2n-1.\\ 14.2\ln 2.{\displaystyle {\int }_1^4\frac{1}{x}}\text{d}x=\text{l}\text{n}x|{}_1^4=2\ln 2.\\ 15.\frac{5}{11}.\\ S=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 11}=\frac{1}{2}\cdot \left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{11}\right)=\frac{5}{11}.\end{array}$

16.①③.②在平面上, 到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹是抛物线, 这个前提条件是定点不在定直线上, 而但点 (1, -2) 在直线4x+3y+2=0上, ∴②错误;④显然错误.

$\begin{array}{l}17.(\text{理}\text{科})\text{解}:\text{由}b{}^2=ac‚a{}^2-c{}^2=ac-bc‚\\ \therefore a{}^2-c{}^2=b{}^2-bc,\\ \therefore b{}^2+c{}^2-a{}^2=bc,\\ \therefore \cos A=\frac{b{}^2+c{}^2-a{}^2}{2bc}=\frac{1}{2}.\\ \because 0°<A<180°,\therefore A=60°.\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{由}\text{正}\text{弦}\text{定}\text{理}\text{知}‚\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B},\therefore \sin B=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}A}{a}‚\\ \therefore \frac{b\text{s}\text{i}\text{n}B}{c}=\frac{b}{c}\cdot \frac{b\text{s}\text{i}\text{n}A}{a}=\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}.\\ \because A=60°,\therefore \frac{b\text{s}\text{i}\text{n}B}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$

(文科) 解:如图, ∠BCA=15°,

$\begin{array}{l}\therefore \frac{AC}{\sin 30°}=\frac{AB}{\sin 15°}=\frac{200}{\sin (45°-30°)}‚\\ \therefore AC=\frac{200\times \frac{1}{2}}{\sin (45°-30°)}=\frac{100}{\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}}\\ =\frac{400}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}‚\\ \therefore h=\frac{\sqrt{2}}{2}\times AC=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{400}{\sqrt{2}\times (\sqrt{3}-1)}\\ =100(\sqrt{3}+1)‚\end{array}$

即此山的高度h为$100(\sqrt{3}+1)\text{m}.$

18. (理科) 解: (Ⅰ) 设甲、乙两人通过测试分别为事件A、B, 则

$\begin{array}{l}{\rm P}(A)=\frac{\text{C}{}_6^2\text{C}{}_4^1+\text{C}{}_6^3}{\text{C}{}_{10}^3}=\frac{2}{3}‚\\ {\rm P}(B)=\frac{\text{C}{}_8^2\text{C}{}_2^1+\text{C}{}_8^3}{\text{C}{}_{10}^3}=\frac{14}{15}.\end{array}$

∵A、B相互独立,

∴甲、乙两人中只有1人通过测试的概率

$\begin{array}{l}{\rm P}={\rm P}(A)\cdot [1-{\rm P}(B)]+[1-{\rm P}(A)]\cdot {\rm P}(B)\\ =\frac{16}{45}.\end{array}$

(Ⅱ) 甲答对题数ξ的所有可能值为

$\begin{array}{l}\xi =0,1,2,3.\\ \because {\rm P}(\xi =0)=\frac{\text{C}{}_4^3}{\text{C}{}_{10}^3}=\frac{1}{30},{\rm P}(\xi =1)=\frac{\text{C}{}_6^1\text{C}{}_4^2}{\text{C}{}_{10}^3}=\frac{3}{10},\\ {\rm P}(\xi =2)=\frac{\text{C}{}_6^2\text{C}{}_4^1}{\text{C}{}_{10}^3}=\frac{1}{2},{\rm P}(\xi =3)=\frac{\text{C}{}_6^3}{\text{C}{}_{10}^3}=\frac{1}{6}.\end{array}$

∴甲答对题数ξ的数学期望为$E\xi =0\times \frac{1}{30}+1\times \frac{3}{10}+2\times \frac{1}{2}+3\times \frac{1}{6}=\frac{9}{5}.$

(文科) 解:集合$A=\{x||1\le x\le 6‚x\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}\}=\{1‚2‚3‚4‚5‚6\}$, 集合B={x|0≤x≤6, x∈N*}={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

(Ⅰ) 设从M中任取一个元素是 (3, 5) 的事件为B, 则${\rm P}(B)=\frac{1}{36}$,

所以从M中任取一个元素是 (3, 5) 的概率为$\frac{1}{36}.$

(Ⅱ) 设从M中任取一个元素, x+y≥10的事件为C,

有 (4, 6) , (6, 4) , (5, 5) , (5, 6) , (6, 5) , (6, 6) ,

则${\rm P}(C)=\frac{1}{6}$,

所以从M中任取一个元素x+y≥10的概率为$\frac{1}{6}.$

19.解: (Ⅰ) ∵△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形, ∴AM⊥C1M且AM=C1M.

∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,

∴CC1⊥底面ABC.

∴C1M在底面内的射影为CM, AM⊥CM.

∵底面ABC为边长为a的正三角形,

∴点M为BC边的中点.

(Ⅱ) 过点C作CH⊥MC1.

由 (Ⅰ) 知, AM⊥C1M且AM⊥CM,

∴AM⊥平面C1CM.

∵CH在平面C1CM内, ∴CH⊥AM,

∴CH⊥平面C1AM.

由 (Ⅰ) 知, $A{\rm M}=C{\rm M}=\frac{\sqrt{3}}{2}a‚C{\rm M}=\frac{1}{2}a$且

$\begin{array}{l}CC{}_1\perp BC.\\ \therefore CC{}_1=\sqrt{\frac{3}{4}a{}^2-\frac{1}{4}a{}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a.\\ \therefore C{\rm H}=\frac{C{}_{1}C\times C{\rm M}}{C{}_1{\rm M}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a\times \frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{\sqrt{6}}{6}a.\end{array}$

∴点C到平面AMC1的距离为$\frac{\sqrt{6}}{6}a.$

(Ⅲ) 过点C作CI⊥AC1于I, 连结HI.

∵CH⊥平面C1AM,

∴HI为CI在平面C1AM内的射影,

∴HI⊥AC1,

∠CIH是二面角M-AC1-C的平面角.

在直角三角形ACC1中,

$\begin{array}{l}C{\rm I}=\frac{CC{}_1\times AC}{AC{}_1}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a\times a}{\sqrt{a{}^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}a){}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a‚\\ \sin C{\rm I}{\rm H}=\frac{C{\rm H}}{C{\rm I}}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{6}a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}‚\therefore \angle C{\rm I}{\rm H}=45°‚\end{array}$

∴二面角M-AC1-C的大小为45°.

20.解: (Ⅰ) ①当直线l垂直于x轴时, 则此时直线方程为x=1, l与圆的两个交点坐标为$(1‚\sqrt{3})$和$(1‚-\sqrt{3})$, 其距离为$2\sqrt[]{3}$, 满足题意.

②若直线l不垂直于x轴, 设其方程为y-2=k (x-1) , 即kx-y-k+2=2.

设圆心到此直线的距离为d, 则

$\begin{array}{l}2\sqrt[]{3}=2\sqrt[]{4-d{}^2}‚\text{得}d=1‚\\ \therefore 1=\frac{|-k+2|}{\sqrt{k{}^2+1}}‚k=\frac{3}{4}‚\end{array}$

故所求直线方程为3x-4y+5=0.

综上所述, 所求直线为3x-4y+5=0或x=1.

(Ⅱ) 设点M的坐标为 (x0, y0) (y0≠0) , Q点坐标为 (x, y) , 则N点坐标是

$\begin{array}{l}(0‚y{}_0).\\ \because \overrightarrow{{\rm O}Q}=\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}+\overrightarrow{{\rm O}{\rm N}}‚\\ \therefore (x‚y)=(x{}_0,2y{}_0),\text{即}x{}_0=x‚y{}_0=\frac{y}{2}.\end{array}$

又$\because x{}_0^2+y{}_0^2=4‚\therefore x{}^2+\frac{y{}^2}{4}=4(y\ne 0),$

∴Q点的轨迹方程是$\frac{x{}^2}{4}+\frac{y{}^2}{16}=1(y\ne 0)$, 它表示的轨迹是一个中心在原点, 焦点在y轴上的椭圆, 除去短轴端点.

21. (理科) 解: (Ⅰ) 函数f (x) =x2-ax-aln (x-1) (a∈R) 的定义域是

(1) 若a≤0, 则

上恒成立,

∴a≤0时, f (x) 的单调递增区间为 (1, +∞) .

②若a>0, 则$\frac{a+2}{2}>1$, 故当$x\in (1,\frac{a+2}{2}]$时, $f{}^{\prime }(x)=\frac{2x(x-\frac{a+2}{2})}{x-1}\le 0$;

当$x\in [\frac{a+2}{2},+\infty )$时,

$\begin{array}{l}f{}^{\prime }(x)=\frac{2x(x-\frac{a+2}{2})}{x-1}\ge 0.\\ \therefore a>0\end{array}$

时, f (x) 的单调递减区间为$(1,\frac{a+2}{2}],f(x)$的单调递增区间为

$\begin{array}{l}[\frac{a+2}{2},+\infty ).\\ (\mathrm{Ⅱ})a\ge 1\text{时}‚\text{由}(\mathrm{Ⅰ})\text{可}\text{知}‚\end{array}$

f (x) 在 (1, +∞) 上的最小值为$f(\frac{a+2}{2})=-\frac{a{}^2}{4}+1-a\ln \frac{a}{2}.$

设$g(a)=f(\frac{a+2}{2})=-\frac{a{}^2}{4}+1-a\ln \frac{a}{2}(a\in [1,+\infty )),$

$\begin{array}{l}\text{则}{g}^{\prime }(a)=-\frac{a}{2}-\ln \frac{a}{2}-1\le g^{\prime }(1)=\\ -\frac{1}{2}-\ln \frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}+\ln 2<0,\\ \therefore g(a)=-\frac{a{}^2}{4}+1-a\ln \frac{a}{2}\text{在}[1,+\infty )\text{上}\text{单}\text{调}\text{递}\text{减}‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\therefore g(a){}_{\max }=g(1)=\frac{3}{4}+\ln 2.\\ \because g(a){}_{\max }-1-\ln \sqrt{2}=\frac{3}{4}+\ln 2-1-\ln \sqrt{2}=\ln 2-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\ln \frac{4}{\text{e}}>0,\end{array}$

∴存在实数a (a≥1) 使f (x) 的最小值大于$1+\ln \sqrt{2},$

故存在实数a (a≥1) , 使y=f (x) 的图象与直线$y=1+\ln \sqrt{2}$无公共点.

(文科) 解: (Ⅰ) 由题意可知,

即解之, 得$a=\frac{4}{3},b=-5.$

此时f (x) =x3-4x2+5.

经检验, 在x=1处有极小值.

故$a=\frac{4}{3},b=-5$符合题意.

(Ⅱ) 若f (x) 在区间[-1, 2]上为减函数, 则

f ′ (x) ≤0对x∈[-1, 2]恒成立,

即3x2-6a-9a≤0对x∈[-1, 2]恒成立,

解之, 得a≥1, ∴a的取值范围是a≥1.

22.证明: (Ⅰ) 连结BC.

∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°.

∵AG⊥FG, ∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC, ∴∠ABC=∠AEG.

又∠FDC=∠ABC, ∴∠FDC=∠AEG.

∴∠FDC+∠CEF=180°.

∴C, D, F, E四点共圆.

(Ⅱ) ∵GH为⊙O的切线, GCD为割线,

∴GH2=GC·GD.

$\begin{array}{l}\text{由}C‚D‚F‚E\text{四}\text{点}\text{共}\text{圆}‚\text{得}\angle GCE=\angle AFE‚\\ \angle GEC=\angle GDF.\\ \therefore △GCE\backsim △GFD‚\therefore \frac{GC}{GF}=\frac{GE}{GD}‚\end{array}$

即GC·GD=GE·GF, ∴CH2=GE·GF.

23.解: (Ⅰ) 直线的参数方程是

(Ⅱ) 因为点A, B都在直线l上, 所以可设它们对应的参数为t1和t2, 则点A, B的坐标分别为

$A\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t{}_1,1+\frac{1}{2}t{}_1\right),B\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t{}_2,1+\frac{1}{2}t{}_2\right).$

将直线l的参数方程代入圆C的方程并整理得

$t{}^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}=0.①$

因为t1和t2是方程①的解, 从而$t{}_{1}t{}_2=-\frac{1}{4}.$

所以$|{\rm P}A|\cdot |{\rm P}B|=|t{}_{1}t{}_2|=|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}.$

24.证明: (Ⅰ) 证法1:∵ (x3+y3) - (x2y+xy) 2=x2 (x-y) +y2 (y-x)

证法2:∵x2+y2≥2xy, x, y∈R+,

展开得x3+y3+x2 y+xy2≥2x2 y+2xy2,

移项, 整理得x3+y3≥x2 y+xy2.

(Ⅱ) ∵a, b, c∈R+, 由 (Ⅰ) 知,

将上述三式相加, 得2 (a3+b3+c3) ≥ (a2b+ab2) + (b2c+bc2) + (c2 a+ca2) ,