初中数学分式

初中数学分式（精选20篇）

1.初中数学分式 篇一

分式的概念与意义(即了解分式的形式 (A、B是整式)，并理解分式概念中的一个特点：分母中含有字母;一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零.)

设计意图：分式概念是《分式》这一章学习的起点和基础，因此分式的概念是教学的重点。

学习难点：理解和掌握分式有无意义、分式值为零时的条件

设计意图：由于分式的分母中含有字母，即分式的分母并不像分数的分母那样是某个确定的常数，在具体解题中，学生极易将分式无意义的情形与分式值为零的情形相混淆，因此，理解和掌握分式值为零时的条件，便成了本节课的教学难点。

2.初中数学分式 篇二

一、把假分式化成正是和真分式之和

化简求值技巧:遇到这种题型不要直接通分计算, 因为过于繁琐。可以将每个假分式化成整式和真分式之和的形式, 之后再进行化简求和将会简便很多。

说明:是否能正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式是本题的关键所在。教师在对这种类型题目进行讲解过程中, 首先可以引导学生直接进行通分计算试一下, 学生很快就会发现直接通分, 几乎上就是无从下手, 然后再让学生对各个分式进行变形, 化成整式和真分式之和, 即可继续进行化简。这样学生在一拿到题目的时候, 就不会先盲目的进行通分, 就会先想一下有没有简便的方法, 促使学生去学习一定的解题技巧。这一类型题目在解析过程中, 所使用的是逆向思维, 其也被称为是求异思维, 简单来说, 就是已经司空见惯的、形成一定定论的事物或者是观点, 从其相反方面进行思考的一种思维方式。

二、对平方差公式进行使用

分式化简求值技巧:直接通分比较麻烦, 先化简再求值的过程中注意平方差公式:a2-b2= (a+b) (a-b) 。教师在讲题过程中, 可以先让学生对平方差公式进行复习, 然后在引导学生对公式和题目进行分析, 尝试着自己进行解题, 最后再由老师对这种类型题目的特点以及解题方法进行讲解。这样不但可以让学生复习一次平方差公式, 还可以加深学生对这类题型的记忆。

可以通过分步通分的方式对其通分, 每一步只用对左边两项进行通分。

三、巧妙使用“拆项消分”法

四、利用整体代入法

关于初中数学中分式化简求值的题型还有很多, 本文主要列举了其中最为常见的类型及相应的化简求值技巧。学生在做题时必须要认真审题, 根据不同类型的题型选择不同的解题方法和技巧, 这样才能更快地提高解题的效率和正确率。同时在平常练习中, 也要自己对解题技巧进行一定的总结。

摘要：在初中数学教学中, 分式化简求值是一项重要的学习内容。但是由于分式化简求值的解法种类比较多, 从而导致学生在学习过程中, 很难将其不同的解法进行适当的应用。为了能够帮助学生掌握一定的分式化简求值解法, 下面本文就对初中数学分式化简求值技巧进行一定的总结。

关键词：初中数学,分式化简求值,技巧

参考文献

[1]林西成.分式化简与求值的几个技巧[J].中学生数理化 (八年级数学) , 2013 (1) :428-429

[2]庄亿农.分式求值新“试”点[J].中学生数理化 (八年级数学华师大版) , 2009 (1) :367-368

[3]朱家海.分式化简求值的若干方法[J].数理化学习 (初中版) , 2010 (18) :60-61.

[4]饶敏.分式的化简及求值技巧[J].初中生辅导, 2010 (11) :257-258

[5]邵伟.分式化简求值中的数学思想[J].中学生数理化·教与学, 2011 (12) :155-156.

3.谈谈分式和分式方程的复习 篇三

从卷面来看，分值控制在3%~8%左右，所占的比值不大，有些老师就疏忽大意了。其实，我们老师如果对此引起足够的重视，基本上前80%的学生能得到满分。我在复习过程中，发现我的学生在分式和分式方程这版块的内容掌握的不好。有很多同学连增根是什么也不知道，更别说是分式方程根的检验，这让我很吃惊。我马上翻阅了浙教版《数学》七年级下册的教材，发现分式方程只在两、三课时，学习时间不长，致使遗忘比较快。下面，就我从教学中出现的一些状况，以及中考中要引起重视的地方粗步的概括了一下：

1.分式的取值范围

例1使分式 有意义的自变量x的取值范围。

分析：学生易与二次根式√x-1的取值范围相混淆，不过能意识到分母不能为零，会出现x＞1的错误结果。

2.注意分式的隐含条件

例2若分式 的值为0，则x的值等于。

分析：若要使分式的值为零，必须要从分子、分母两方面考虑，即分子为零而分母不为零。于是解方程x2-x-2=0，得x1=2,x2=-1。但很多学生会很快把答案写上去，忘记把其中一个使分母为零的根舍去。

3.分式的化简求值

例3

分析：分式的化简基本上出现两种错误：一种是在解题中把分母变没了；还有一种是误认为公分母是（x-1）（１-x），使得计算过程复杂化，从而导致出错。

先将代数式 ÷ 化简，再从-３＜x＜３的范围内选取一个合适的整数x代入求值。

解：原式＝== =x-1

当x=2时，原式=1。

分析：对于复杂的分式运算，要弄清楚运算顺序，用好运算法则，注意运算符号。若有括号的，应先算出括号中的结果，再进行分式的乘除运算。此题在选具体的数值时还需注意隐含条件，其中±1不能选学生知道，但还有一个0会误选，其实合适的整数x只能是２或-２。

4.分式方程的解

例4已知关于x 的方程 的解是正数，则m的取值范围为。

分析：本题将分式方程与一元一次不等式结合在一起考查。去分母，得2x+m=3（x-2），解得x=m+6。因为x为正数，所以m+6＞０，得m＞-6。很多学生就直接把答案写上去，而忽略了当m=-4时，x=2，此时分式方程无解，从而把m≠-4漏掉。故正确应填m＞-６且m≠-4。

若关于x的分式方程 -=1无解，则a= 。

分析：本题主要考查分式方程的增根，增根对于学生来说比较陌生，所以要加强这方面的练习。去分母，得x（x-a）-3（x-1）=x(x-1)，注意每一项都要乘，不要漏乘。化简得，（a+2）x=3。若x=0或x=1时，则是增根，应舍去，此分式方程无解。因此，当x=0时，a不存在；当x=1时，a=1。故正确填a=1。

总之，在分式的解题过程中，注意分式的运算顺序和里面的隐含条件，不能随便去掉分母；在分式方程的计算中，去分母时应把各项都乘遍，验根是必不可少的步骤。

4.初中数学分式方程应用综合练习题 篇四

3、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。

4、陈明同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，求原定的人数是多少？

5、甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队完成此工作时间比是2:3,求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?

6、市政工程公司修建6000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快速度，工效比原来提高了20%，工程恰好比原计划提前5天完成。求该公司完成这项工程实际的天数。

8、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?

9、A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车同时从A地开往B地，大汽车比小汽车晚到4小时30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.12、A、B两地距80千米，一公共汽车从A到B，2小时后又从A同方向开出一辆小汽车，小汽车车速是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地，求两车速度。

13、某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%。问原计划这项工程用多少个月。

14、.某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？

16、某人在公路上匀速行走，环路公共汽车每隔4分钟就有一辆与之迎面相遇；每隔6分钟就有一辆从后越过此人；汽车站每隔几分钟双向各发一辆车？

17、甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲走8米后两人第一次相遇，然后甲继续向前到B立即返回，乙继续向前走到A立即返回，两人在距离B地6米处第二次相遇，求A、B两地的距离。

18、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值。

20、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。

21、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一台乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

22、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。

23、甲有25元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱？

24、某甲有钱400元，某乙有钱150元，若乙将一部分钱给甲，此时乙的钱是甲的钱的10%，问乙应把多少钱给甲？

25、我部队到某桥头狙击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。

26、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

27、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？

28、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。

29、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。

32、某项紧急工程，由于乙没有到达，只好由甲先开工，6小时后完成一半，乙到来后俩人同时进行，1小时完成了后一半，如果设乙单独x小时可以完成后一半任务，那么x应满足的方程是什么？

33、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？

34、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？

35、某种商品价格，每千克上涨1/3，上回用了15元，而这次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格。

36、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？

37、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。

38、某商品每件售价15元，可获利25%，求这种商品的成本价。

39、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元，为了促销，现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克？

40、两地相距360千米，回来时车速比去时提高了50%，因而回来比去时途中时间缩短了2小时，求去时的速度

41、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？

42．某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产25%，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？

43．现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.44．某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的21倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操2作方法后每小时各加工多少个螺丝？

45．打字员甲的工作效率比乙高25%，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？

46．某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？

47.某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少.48.供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.49.轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度.51.一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.52.大小两部抽水机给一块地浇水，两部合浇2小时后，由小抽水机继续工作1小时完成.已知小抽水机独浇这块地所需时间等于大抽水机独浇这块地所需时间的1

5.初二数学上册分式知识 篇五

2.有理式：整式与分式统称有理式。

3.对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义;(2)若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零;注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义。

4.分式的基本性质与应用：

(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变;

(2)注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变;

(3)繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单。

5.分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分;注意：分式约分前经常需要先因式分解。

6.最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式;注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式。

(1)公式： a0=1(a≠0), a-n= (a≠0);

(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;

(3)公式： (-1)-2=1， (-1)-3=-1。

7.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分;注意：分式的通分前要先确定最简公分母。

8.最简公分母的确定：系数的最小公倍数?相同因式的最高次幂。

9.同分母与异分母的分式加减法法则。

10.含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数。

11.公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形;注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0。

12.分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程。

13.分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根;注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根。

14.分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母)，若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解;若值不为零，求出的根是原方程的解;注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根。

6.八年级数学教案示例：分式 篇六

一、教学目标

1.使学生理解并掌握分式的概念，了解有理式的概念;

2.使学生能够求出分式有意义的条件;

3.通过类比分数研究分式的教学，培养学生运用类比转化的思想方法解决问题的能力;

4.通过类比方法的教学，培养学生对事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点的再认识.二、重点、难点、疑点及解决办法

1.教学重点和难点 明确分式的分母不为零.2.疑点及解决办法 通过类比分数的意义，加强对分式意义的理解.三、教学过程

【新课引入】

前面所研究的因式分解问题是把整式分解成若干个因式的积的问题，但若有如下问题：某同学分钟做了60个仰卧起坐，每分钟做多少个?可表示为，问，这是不是整式?请一位同学给它试命名，并说一说怎样想到的?(学生有过分数的经验，可猜想到分式)

【新课】

1.分式的定义

(1)由学生分组讨论分式的定义，对于“两个整式相除叫做分式”等错误，由学生举反例一一加以纠正，得到结论：

用、表示两个整式，就可以表示成的形式.如果中含有字母，式子就叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.(2)由学生举几个分式的例子.(3)学生小结分式的概念中应注意的问题.①分母中含有字母.②如同分数一样，分式的分母不能为零.(4)问：何时分式的值为零?[以(2)中学生举出的分式为例进行讨论]

2.有理式的分类

请学生类比有理数的分类为有理式分类：

例1 当取何值时，下列分式有意义?

(1);

解：由分母得.∴当时，原分式有意义.(2);

解：由分母得.∴当时，原分式有意义.(3);

解：∵恒成立，∴取一切实数时，原分式都有意义.(4).解：由分母得.∴当且时，原分式有意义.思考：若把题目要求改为：“当取何值时下列分式无意义?”该怎样做?

例2 当取何值时，下列分式的值为零?

(1);

解：由分子得.而当时，分母.∴当时，原分式值为零.小结：若使分式的值为零，需满足两个条件：①分子值等于零;②分母值不等于零.(2);

解：由分子得.而当时，分母，分式无意义.当时，分母.∴当时，原分式值为零.(3);

解：由分子得.而当时，分母.当时，分母.∴当或时，原分式值都为零.(4).解：由分子得.而当时，分式无意义.∴没有使原分式的值为零的的值，即原分式值不可能为零.(四)总结、扩展

1.分式与分数的区别.2.分式何时有意义?

3.分式何时值为零?

(五)随堂练习

1.填空题：

(1)当时，分式的值为零

(2)当时，分式的值为零

(3)当时，分式的值为零

2.教材P55中1、2、3.八、布置作业

教材P56中A组3、4;B组(1)、九、板书设计、(3).(2)

课题 例1

1.定义例2

7.初中数学分式 篇七

一、调整好学生心态, 注意知识间的内在联系

初中生已经掌握分数基本性质, 并能应用它进行分数计算, 教师要因势利导, 让学生明白不要畏惧困难, 分数即具体数值, 而分式即为能成立的字母, 只不过数的范围扩大而已, 实质相同, 也是找到分母的“公分母”, 没有想象中的那么复杂, 他们之间即为孪生兄弟, 没有不可逾越的鸿沟。

二、注重学生计算能力的培养

“异分母分式加减法”的关键是找到最简公分母。教师可将它分解为两层含义讲解: (1) 数字找到最小公倍数; (2) 字母中分为相同字母取最高次数, 不同字母 (含字母本身指数) 可直接作为最简公分母积的一项。通过分组练习, 让学生充分认识到基础知识的重要性。比如计算, 首先找到数字3与5的最小公倍数15;相同字母xy找到x2y, 最后把z作为最简公分母积的一项, 因此, 这个分式的最简公分母是15x2yz, 然后依据分式基本性质, 将两个分式的分子、分母同时扩大相同的倍数, 变为同分母分式, 得到最后结论, 即

三、通过观察分析, 找到解题技巧

平方差公式、完全平方公式和两个数互为相反数, 在异分母分式加减法中应用最广, 首先将分式中的分母因式分解, 即化难为易, 找到本质, 才能做到有的放矢。比如 (x+y) / (x-y) (y-z) + (x+z) / (y-x) (y-z) 。通过观察两个分式的分母有公分母 (y-x) , 表面看来 (x-y) 与 (y-x) 没有关系, 实际上它们互为相反数, 即x-y=- (y-x) , 可把+ (x+z) / (y-x) (y-z) 化为- (x+z) / (x-y) (y-z) 这样达到通分目的。

四、循序渐进, 逐步提高学生分式分析问题及其计算能力

教师要让班内每一位学生自己准备好2张卡片 (难易程度自选, 但要切合自身实际) , 比如3ab与6a2b2;x2y与xy2z等, 全班54名同学共108张卡片, 循环使用, 利用课堂前5分钟进行口算练习, 让学生形成良好的学习习惯, 坚实的基础。通过不懈的努力, 使学生掌握找到分式公分母的方法, 不仅准确找到, 而且正确的计算出结果。通过例题的讲解学生豁然开朗, 原来数学就在身边, 只要细心观察就会发现, 就能用学过的知识解决实际问题, 达到学以致用, 并且能够加深印象, 喜欢上数学。

8.分式测试题 篇八

1． 分式有意义的条件是（）

A． x≠±1B． x≠1C． x≠－1D． x为任意实数

2． 若当x＝3时，分式＝0，且当x＝1时，该分式无意义，则（）

A． a＝3，b＝3B． a＝－1，b＝2C． a＝－3，b＝3D． a＝1，b＝－2

3． 下列运算中结果正确的是（）

A． ·＝ B． （）3＝C．（）2＝ D． ·＝

4． 分式，的最简公分母是（）

A． （x2－4）（4－2x）B． x2－4C． 2（x＋2）（x－2）D． 2（x2－4）（x－2）

5． 若x＝300，则－＋的值为（）

A． 0 B． C． D．

6． 一件工作甲单独做a h完成，乙单独做b h完成，则甲、乙两人合作完成这件工作需要的时间是（）

A． （＋） h B．h C．hD．h

二、填空题（每小题3分，共30分）

7． 化简分式的结果为 ．

8． 在分式，－，，中，与相等的有 个．

9． 若÷有意义，则x的取值范围为 ．

10． 计算：·5（a＋1）2＝ ．

11． 计算：＋＝．

12． 已知ab＝1，则＋＝．

13． 若x＝3，计算：－＋＝ ．

14． 当x＝时，＝．

15． 一项工程，甲需6天完成，乙需4天完成．若两个人合作需x天完成，求x．本题所要列的方程是．

16． 若关于x的方程－2＝有增根，则k＝ ．

三、解答题（17～19题每题8分，20～21题每题9分，22题10分，共52分）

17． 若a、b为正数，令分式中字母a、b的值分别扩大到原来的2倍，试判断分式的值的变化情况．

18． 已知m m布料可做n件上衣，2m m布料可做3n条裤子．求一件上衣的用料是一条裤子用料的几倍．

19． 已知ab＝1，求＋的值．

20． 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙每小时多生产8个．现要求甲生产出168个这种零件，要求乙生产出144个这种零件，他们谁先完成任务呢？请讨论．

21． 若关于x的方程＝1有增根，求a的值．

22． 某班周末组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一段路所用的时间之比为2∶3．

（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比．

（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1．2 km，试问：山脚到山顶的路有多远？

9.初中分式方程应用题解法小议 篇九

教初中的数学教师都会有同感，学生在学习分式方程解应用题时会遇到通分问题，而多数学生因为找不准最简公分母或因为漏乘等因素导致解错。而且在中考中必有一题为列分式方程解应用题，这就要求我们必须为学生找到一条简洁易掌握的解题方法，以下题为例谈一下个人感想。

例题：有一段工程为4500米，在施工600米时因工期需要剩下的工程效率为原来的13/5倍，这样一共用了10天完成任务，求原来施工速度？

这样的一道应用题对于一般学生来说列出方程不成问题，即：

600/x+(4500-600)/13/5x=10，但关键在于解这个方程，其中13/5x作为分母，按常规解法必须乘以它，然后再解整式方程，这里就出现了系数同样有分母的现象，对于学生来说稍不留意便会出现计算上的错误。如果采用先将第二个式子变成3900*5/13做为分子，只以x为分母就简便多了，这样原方程就化为：600/x+1500/x=10，这样的同分母分式方程口算都可以得出结果了。

10.初中数学分式 篇十

2、在WORD公式里ye有

单击要插入公式的位置，

在“插入”菜单上，单击“对象”，然后单击“新建”选项卡。

单击“对象类型”框中的“Microsoft公式3.0”选项。

如果没有Microsoft“公式编辑器”，请进行安装。

单击“确定”按钮。

从“公式”工具栏上选择符号，键入变量和数字，以创建公式。在“公式”工具栏的上面一行，您可以在150多个数学符号中进行选择。在下面一行，可以在众多的样板或框架(包含分式、积分和求和符号等)中进行选择。

如果需要帮助，请单击“帮助”菜单中的“EquationEditor‘帮助’主题”。

若要返回MicrosoftWord，请单击Word文档。

也可以下载一个数学公式编辑器

MathTypeV6.0汉化版

其实，除了公式编辑器以外，在Word中还有一个编辑公式的利器：域。有了这个工具，应付一般的数学公式编辑还是绰绰有余的。我仔细地查看了一下同事的数学试卷，大部分内容还是可以直接输入的，比如公式中的上下标、一些常用数学符号，这些同事已经输入完成了。他所遇到的困难基本上也就是分式的输入、平方根号的输入及向量符号的输入。

一、分式的输入

如果用域来解决的话，那么分式的输入还是很简单的。比如我们要输入数字四分之三，只要在相应位置按下“Ctrl+F9”快捷键，就会产生一个空域(一对大括号)。将鼠标定位于大括号内，然后输入“eq f(3,4)”，然后再点击右键，在弹出的菜单中点击“切换域代码”命令，就可以得到标准的分式四分之三了，如图1所示。其它的分式可以模仿来写，不用担心分式中的那条横线，它会根据分子、分母的长度自动调节长度的。需要注意的是，域代码必须在英文的半角状态下完成输入，此外，那对大括号不能手工输入，只能用快捷键来完成。

“插入”→“域”→“域代码”→“高级域属性”中填入“EQ F(*,*)”

(没有“”);(在“,”号前面的*是分子，“,”号后面的*是分母)

“插入------域-------域代码--------高级域属性填EQF(*,*)

,号前的是分子,号后的是分母

二、带根号的分式

同事的试卷中有类似于二分之根号二这样的数据，

分式我们会输入了，那么如何完成这个带根号的分式呢?

先说一个单纯的三次根下二这样的数字输入吧。还是先按下“Ctrl+F9”快捷键，然后在大括号内输入域代码“eq r(3, 2)”，选中代码中的数字“3”，将它的字号调小，然后按下右键菜单中的“切换域代码”命令，就可以得到数字三次根下二了

显然，如果要得到二次方根，那么只要将代码中的数字“3”改成“2”就可以了。不过，通常我们的习惯是二次方根的数字“2”是忽略不写的，所以，域代码中的第一个数字我们也可以直接略掉的，直接写代码“eq r(, 2)”就行。

至于带根号的分式，那就简单了。只要把分式和根式的代码结合起来，在相应的位置改换一下就可以了。因此二分之三次根下二这样的数字，其域代码应该是“eq f(r(3,2),2)”。按下“切换域代码”后，得到的效果还可以吧?看图2就知道了。

三、输入向量符号

向量符号是在英文字母的上方加一个箭头符号。用域功能也可以很容易实现这个要求。

在大括号中输入域代码“eq o(→,a)”，其中，箭头符号可以使用“插入→符号”的方法来实现。如果我们这时点击右键菜单中的“切换域代码”命令的话，您会发现，得到的结果只是箭头与字母重叠在一起，并不是我们希望的结果。那么，如何使箭头向上移动呢?

选中域代码中的箭头，点击右键，然后在弹出菜单中点击“字体”命令，打开“字体”对话框。点击“字符间距”选项卡，然后点击“位置”下拉列表，选择“提升”，并用其后的“磅值”微调按钮设置提升值为“5磅”，

确定后就可以使箭头符号向上移动5磅的位置，这样，就可以移动到字符的上方了。现在，再选中域代码，然后点击“切换域代码”命令，就可以得到预期的效果了，如图4所示。

如果您觉得这样子操作比较麻烦的话，还可以直接在域符号中输入代码“eq o (sup5(→),a)”，这样，同样可以实现将箭头向上提升5磅的效果。如上图4所示。

11.生活中的分式 篇十一

[一][购物中的分式]

例1某学校准备用一笔钱买奖品，如果以1支钢笔和2本笔记本为1份奖品，则可买60份；如果以3支钢笔和1本笔记本为1份奖品，则可买30份奖品.请问：用这笔钱全部买钢笔或笔记本，则可分别买多少？

解析：根据方程思想，面对此题我们自然会想到这样求解：可设钢笔每支x元，笔记本每本y元，则可知这笔钱有60（x + 2y）元或30（3x + y）元，于是得到方程60（x + 2y） = 30（3x + y），化简得x = 3y.

因此，全部用于买钢笔可买 == 100（支），全部用于买笔记本可买 == 300（本）.

点评：设未知数是问题解决的突破口，进行分式的运算、化简、求值是问题解决的关键，设而不求是问题解决的技巧.

[二][司机加油中的分式]

例2甲、乙两人都是出租车司机，他们每天都要分白天和夜间到同一加油站各加一次油.加油站白天的价格与夜间的价格是不一样的，有时白天高，有时夜间高.但不管价格如何变化，甲、乙两人采用固定的加油方式，甲不论是白天还是夜间每次总是加10 L油，乙则不论夜间还是白天每次总是花30元钱加油.试判断甲、乙两人的加油方式哪种较合算.

解析：加油方式是否合算取决于各人每天所加油的平均价格高低.设白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元.则甲两次所加油的平均价格是 = （元/升），乙白天所加的油为 L，夜间为 L，两次所加油的平均价格为60 ÷

+

= （元/升）.因此，哪个较合算取决于与的大小.

因为 -=== ，而a ≠ b，a ＞ 0，b ＞ 0，所以 ＞ 0，从而 -＞ 0，即 ＞ .这说明甲两次所加油的平均价格比乙高，所以乙的加油方式较合算.

点评：从表面上来看，两人每次所加油的价格相同，两次的平均价格也一样，可事实并非如此.可见懂不懂数学是不一样的，能不能用数学那就更不一样了.

[三][行程中的分式]

例3一只小船从甲码头顺水航行到乙码头需要5 h，返回时需要6 h，这只小船从甲码头顺水漂流到乙码头需要几小时？

解析：设船在静水中的速度是x km/h，水流速度是y km/h，则甲、乙两码头的距离可表示为5（x + y） km，也可表示为6（x - y） km，因此，5（x + y） = 6（x - y），化简得x = 11y.

这只小船从甲码头顺水漂流到乙码头所需时间是 == 60（h）.

点评：本题解法与例1十分相似，都是采用设而不求的技巧进行分式的约分、化简、求值.

12.解分式方程常见错误 篇十二

一、忽视分母为零分式没有意义

例1 解方程undefined

错解:去分母原方程转化为:x2-x-2=0,

∴ (x-2) (x+1) =0.

∴x-2=0或x+1=0.

∴x1=2, x2=-1.

∴x1=2, x2-1是原方程的解。

诊断:通过去分母把原方程化为整式方程时, 方程两边同乘以 (x+1) (x-1) ;所得的整式方程与原方程不一定同解, 所求得的根会使原方程的分母为零而无意义;因此解分式方程必须验根。

正解:去分母原方程化为:x2-x-2=0,

∴ (x-2) (x+1) =0.

∴x-2=0或x+1=0.

∴x1=2, x2=-1.

经检验x=2是原方程的根,

∴x=2是原方程的解。

二、不该约分时约分

例2 解方程:undefined

错解:方程两边通分得:

undefined

方程两边约去-x+5得:

undefined,

去分母得:x2-7x+12=x2-3x+2.

解上方程得:x=2.5.

经检验x=2.5是原方程的解。

诊断:本题受方程两边同乘或除以同一个不为零的整式和数使方程的值不变的影响;两边约去了-x+5缩小了未知数的取值范围引起失根。

正解:方程两边通分得:

undefined

移项提取公因式得:

undefined

∴x-5=0或undefined

解上方程得:x=5或x=2.5.

经检验x=5, x=2.5是原方程的解。

三、不能正确用完全平方公式

由于同学们对 (a±b) 2=a2±2ab+b2中的2ab这一项不加以重视, 误认为a2+b2= (a±b) 2而出现解题中的错误。

例3 解方程:undefined

分析:本题如果我们用常规方法来解会出现高次方程, 把问题复杂化, 因此要解决这个问题只有用换元法来解。

错解:设undefined, 则undefined

∴原方程转化为y2+y=0.

∴y (y+1) =0.

∴y1=0, y2=-1.

当y1=0时, undefined

∴去分母后转化为x2+1=0,

∴x2=-1.

∴此方程无解。

当y2=-1时, undefined

∴去分母后转化为x2+x+1=0.

∵△=-3<0,

∴此方程无解。

诊断:在换元中将“undefined”误用而错。

正解:设undefined, 则undefined

∴原方程化为:y2+y-2=0.

∴y+2=0或y-1=0.

∴y1=-2, y2=1.

当y1=-2时, undefined

∴去分母后转化为x2+2x+1=0.

∴ (x+1) 2=0.

∴x1=x2=-1.

当y2=1时, undefined

∴去分母后转化为:x2-x+1=0.

∵△=-3<0,

∴此方程无解。

经检验x1=x2=-1是原方程的解。

四、忽视题设条件

例4 已知x为实数, 且undefined, 那么x2+3x的值是多少?

错解:设x2+3x=y, 则原方程可化为undefined,

即y2+2y-3=0,

∴y1=-3, y2=1.

∴x2+3x=-3或x2+3x=1.

诊断:本题如果用常规方法来解会出现高次方程, 因此可用换元法来解之, 但若忽视“实数”这个题设条件, 求得的值若不加检验直接写出, 则前功尽弃。

正解:设x2+3x=y, 则原方程可化为undefined,

即y2+2y-3=0,

∴y1=-3, y2=1.

∴x2+3x=-3或x2+3x=1,

13.初中数学分式 篇十三

1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

A

B

叫做分式。2.分式有意义、无意义的条件：

分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3.分式值为零的条件：分式A

B

=0的条件是A＝0，且B≠0.（首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。）

4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为AAC

AAC（其中A、B、C是整式C0），5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异BBC

BBC分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；

（2）如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。6.分式的约分：

和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分；（2）找公因式的方法：

① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。7.分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用式子表示是：ac

bdacbd;abcadaddbcbc分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；

③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

(ananb)b

n用式子表示是：（其中n是正整数）

分式的加减法则：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示为：ab± cb＝ a±c

b

异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

用式子表示为：ab± cd＝adbcad±bc

bd±bd＝bd

注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；

（3）运算时顺序合理、步骤清晰；wwW.x kB1.c Om（4）运算结果必须化成最简分式或整式。分式的混合运算:

分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。8.整数指数幂：

（1）a01(a0)（2）a －n＝1an（n是正整数，a≠0），（3）同底数的幂的乘法：amanamn；

（4）幂的乘方：(am)n

a

mn

;（5）积的乘方：(ab)nanbn

n

（6）同底数的幂的除法：am

an

a

mn

(a≠0)；（7）商的乘方：(ab)nab

n ；(b≠0)

9.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的解法：去分母

（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 －－－－－→ 整式方程.（2）解分式方程的一般方法和步骤：

转化

①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；

②解这个整式方程；

③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。

注意：① 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项； ② 解分式方程必须要验根，千万不要忘了！

列分式方程解应用题的步骤是：(1)审：审清题意；(2)找: 找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。

10.科学记数法：把一个数表示成a10n的形式（其中1a10，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．

用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式,其中1≤︱a︱＜10,n为原整数部分的位数减1；wwW.x kB1.c Om

14.初中数学分式 篇十四

初二数学上册知识点总结：

全等三角形的对应边、对应角相等

2边角边公理（SAS）

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

推论（AAS）

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

边边边公理（SSS）

有三边对应相等的两个三角形全等

斜边、直角边公理（HL）

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

定理1

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

定理2

到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合10

等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两个底角相等

（即等边对等角）

推论1

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合13

推论3

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

推论1

三个角都相等的三角形是等边三角形

推论

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

定理

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

逆定理

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合22

定理1

关于某条直线对称的两个图形是全等形

定理

如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

24定理3

两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

25逆定理

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

26勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

27勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形

28定理

四边形的内角和等于360°

29四边形的外角和等于360°

30多边形内角和定理

n边形的内角的和等于（n-2）×180°

31推论

任意多边的外角和等于360°

32平行四边形性质定理1

平行四边形的对角相等

33平行四边形性质定理2

平行四边形的对边相等

34推论

夹在两条平行线间的平行线段相等

35平行四边形性质定理3

平行四边形的对角线互相平分

36平行四边形判定定理1

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

37平行四边形判定定理2

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

38平行四边形判定定理3

对角线互相平分的四边形是平行四边形

39平行四边形判定定理4

一组对边平行相等的四边形是平行四边形

40矩形性质定理1

矩形的四个角都是直角

41矩形性质定理2

矩形的对角线相等

42矩形判定定理1

有三个角是直角的四边形是矩形

43矩形判定定理2

对角线相等的平行四边形是矩形

44菱形性质定理1

菱形的四条边都相等

45菱形性质定理2

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

46菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

47菱形判定定理1

四边都相等的四边形是菱形

48菱形判定定理2

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

49正方形性质定理1

正方形的四个角都是直角，四条边都相等

50正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

51定理1

关于中心对称的两个图形是全等的52定理2

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

53逆定理

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

54等腰梯形性质定理

等腰梯形在同一底上的两个角相等

55等腰梯形的两条对角线相等

56等腰梯形判定定理

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

57对角线相等的梯形是等腰梯形

58平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

推论1

经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

推论2

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

梯形中位线定理

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

L=（a+b）÷2

S=L×h

初二数学分式知识点总结汇总

初二数学分式知识点总结：

（一）运用公式法：

我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：

a2-b2=（a+b）（a-b）

a2+2ab+b2=（a+b）2

a2-2ab+b2=（a-b）2

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式

1.平方差公式

（1）式子：a2-b2=（a+b）（a-b）

（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解

1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式

（1）把乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：

a2+2ab+b2=（a+b）2

a2-2ab+b2=（a-b）2

这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点

①项数：三项

②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法

我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组（am+an）和（bm+bn），这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=（am+an）+（bm+bn）

=a（m+n）+b（m+n）

做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式（m+n），因此还能继续分解，所以

原式=（am+an）+（bm+bn）

=a（m+n）+b（m+n）

=（m+n）?（a+b）.这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.（六）提公因式法

1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2.运用公式x2+（p+q）x+pq=（x+q）（x+p）进行因式分解要注意：

1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于

一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：

①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；

②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成（x+q）（x+p）的形式.（七）分式的乘除法

1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-（y-x），（x-y）2=（y-x）2，（x-y）3=-（y-x）3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.（八）分数的加减法

1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据：分式的基本性质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。

8.异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.9.同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号.10.对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分.11.异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化.12.作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式.（九）含有字母系数的一元一次方程

1.含有字母系数的一元一次方程

引例：一数的a倍（a≠0）等于b，求这个数。用x表示这个数，根据题意，可得方程ax=b（a≠0）

在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。

15.§5.1分式(1)的教案 篇十五

1.经历分式的形成过程 ,理解分式的概念 ,能辨识分式 。

2.经历对 “人群密度 、几何面积 、球赛均分 ”等情景问题的探索,感知数学来源于生活,且用于生活。

3.通过有关问题的讨论和例题的解答 , 会求分式有无意义,有意义,值为零的字母的取值。

4.经历 “ 思考 、 辨析 、 小结 ” 等环节的探讨交流 , 初步形成合作学习的意识及运用数学语言的能力。

【教学重点 】

分式的有关概念

【教学难点 】

理解并能确定分式何时有意义,何时无意义。

【教学过程 】

(一)创设情境,激发兴趣

情景1:教师出示上海踩踏事件。

在90平方米的区域内有233人,那么该区域的人群密度是多少?

若该区域再进入P人,那么该区域的人群密度是多少? (人群密度=某区域的总人数÷某区域的面积)

TIP:当人群密度每平方米超过5.5人时易发生踩踏事件 。

2.一个长方形的面积S平方米,长是5米,那么宽是多少米?

若把这个长方形的长减少x米,那么宽多少米?

3.林书豪在过去的一个赛季中参加了y场篮球比赛,其中投进2分球a个,3分球b个,罚球罚进了29个,则他平均每场得几分?

教师出示上题答案:

设计说明: 通过创设情境, 让学生感受到分式来源于实际,激发学生学习兴趣。

(二)类比思考,形成新知

请将刚才得到的五个代数式按照你认为的共同特征进行分类,并说明理由?

让学生比较说出这些代数式与过去学过的整式有什么不同? (可能学生只讲出有分母,教师应适当引导。 )

设计说明:让学生自己感悟分式与整式的不同,培养学生的归纳和表达能力。

(板书 )分式 :把这些分子 、分母都是整式且分母中含有字母的代数式叫做分式。

(三)辨析练习,巩固新知

做一做:

1.下列代数式中 ,哪些是整式 ? 哪些是分式 ?

2.从1、2、a、b、c中选取若干个 ,组成一个代数式 ,其中一个是整式、一个是分式。

3.填空

同学们在填表的过程中发现了什么问题? 你认为这个问题该怎么处理?

总结得出分式的意义: 分式中字母的取值不能使分母为零,当分母的值为零时,分式就没有意义。

设计说明:通过与整式比较突出对分式概念的理解。 通过讨论,加深学生对分式意义的认识。

(四)应用巩固,掌握新知

例1:对分式

(1)当x取什么数时 ,分式有意义?

(2)当x取什么值时 ,分式的值为零 ?

(3)当x=1时 ,分式的值是多少 ?

解后反思:(最好由学生主讲)

(1)因为当分母等于零时 , 分式无意义 , 所以只有当分母不等于零时,分式有意义。

(2)强调当分子等于零且分母不等于0时分式的值为零 。

(3)求分式的值的格式 。

设计说明:这是课本中的例题,一则是应用新知,二则是经历解题过程,三则是让学生体会解本题的关键。

练一练:(课内练习1)填空:

(1)当_____时 ,分式1/x无意义。

(2)当______时 ,分式有意义。

(3)当______时 ,分式值是零。

设计说明:给学生展现身手的机会,加强学生对什么情况下分式有意义,无意义,值为零的理解。

做一做:

例2:甲、乙两人从一条公路上某处出发,同向而行,已知甲每时行a千米,乙每时行b千米,a>b,如果乙提前1时出发,那么甲追上乙需要多少时间? 当a=6,b=5时,求甲追上乙所需的时间。

分析 : 此题是行 程问题中 的追及问 题 ,列出分式 。

第二问题是求分式的值,注意解题格式。

想一想:若取a=5,b=5,分式有意义吗? 它们表示的实际意义是什么?

(当a=5,b=5时 ,分式无意义,它表示甲永远也追不上乙。 )

解后反思:在用分式表示实际问题时,字母的取值一定要符合实际。

变式:甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地出发,相向而行,已知甲的速度为a千米/时,乙的速度为a千米/时,若甲先出发1时,问乙出发后几时与甲相遇?

(五)合作探究,延伸提高

探究题:口袋里装有若干个白球和黑球,这些球除颜色外均相同,设黑球的个数为n,白球的个数为(18-m)个,p表示从口袋中摸出一个球是白球的概率。

(1)你能用关于m、n的代数式来表示p吗 ? 它是哪一类的代数式。

(2)这个代数式在在什么条件下有意义 ?

(3)p有可能为0吗 ? 有可能为1吗 ? 如果有可能 ,请解释它的实际意义。

设计说明:通过合作探究,让学生体会到(1)分式的应用很广,(2)在用分式表示实际问题时,字母的取值一定要符合实际。

(六)谈谈自己的收获与体会

1.分式的概念 。

2.什么情况下分式有意义 、无意义 ,分式的值为零 。

3.在实际问题中应注意什么 ?

设计说明:为了避免学生毫无目的、流于形式地随意讲, 由教师根据本节课的教学目标开出清单,可使学生有的放矢。

(七)作业

课后作业题及备选练习或作业本。

设计思路:

16.解答分式问题的技巧 篇十六

一、巧用整体

例1 已知-=4，则＝_________。

分析注意到=，要求其值，应将a-b和ab各视为一个整体，找到它们之间的关系。

解 由-=4，得a-b=-4ab。

原式＝＝＝6。

二、巧用分组

例2 计算：+--。

分析 原式首尾两个分式和中间两个分式的分母分别相乘正好可巧用平方差公式，且它们的分子相同。

解 原式＝-+-＝-＝。

三、巧用拆项

例3 已知M＝的值为整数，则满足条件的整数a的值等于______。

分析M的分子是分母的a倍加3，因此，M可变形成a与另外一个与M同分母的分式的和。

解 不难发现，M＝＝a+。

因为M、a都是整数，

所以也为整数。

所以a-4＝±1，或a-4=±3。

所以a＝5，3或7，1。

所以满足条件的整数a的值为1，3，5，7。

例4 实数a、b满足ab≠0，且+=，求a＋b的值。

分析 把等式右边的分式变形成两个分式的和，再把分子同为a和同为b的两个分式分别移到等式的两边，问题就可获解。

解 原等式化为-=-。

所以=-。

因为ab≠0，1+a+b≠0，

所以=-，1+b=-（1+a）。

所以a+b＝－2。

四、巧用消元

例5 如果a+＝１，b+＝１，那么c+等于（）。

A.1B.2C.3D.4

分析 第一个等式说明的是a与b的关系，第二个等式说明的是b与c的关系，那么a和c都可用b的代数式表示。

解 由a+＝１，b+＝１，得a=，c=。

所以原式＝+==2，故选B。

五、巧用倒数

例6 已知a、b、c、d都是正数，且＜，则A=-与0的大小关系是（）。

A.A＞0B.A≥0C.A＜0D.A≤0

分析A的两个分式的分子正好是已知不等式的两个分式的分母，要比较A与0的大小关系，可先比较与的大小。

解由＜，得＋1＜＋1，即有＜。

因为＞0，＞0。

所以＞。

所以A＝－＞0，故选A。

六、巧用化积

例7 计算：++。

分析原式中第一个分式和第三个分式的分子相同，且分母中有一个相同的公因式，应考虑将这个相同的公因式先提取出来。

解原式=++=+=+

＝。

例8 设a、b、c都为实数，abc≠０，a＋b＝c，则＋＋的值为（）。

A.-１B.0C.1D.2

分析直接通分计算非常麻烦，应考虑将原式的三个分母分别化为积的形式。

解由a＋b＝c，得a＝c－b。

所以b2+c2-a2=b2+c2-（c-b）2=2bc。

同理c2+a2-b2=2ca，a2+b2-c2=-2ab。

原式＝++=1，故选C。

七、巧用换元

例9 当a＜b＜c时，S=++，则（）。

A.S＞0B.S＜0C.S≥0D.S≤0

分析 由于c－a＝-[（a-b）+（b-c）]，那么a-b和b-c在S的表达式中重复出现。

解 设a－b＝x，b－c＝y，那么c－a＝－（x＋y）。

所以S＝+-=。

因为a＜b＜c，所以x＜0，y＜0，xy＞0，x＋y＜0。所以x2+xy+y2＞0，xy（x+y）＜0。

17.初中数学分式 篇十七

上一周刚刚讲完分式的运算这部分知识，感受很深。

学生们在刚学习这部分内容时，并不顺利，一方面是来自对因式分解知识的遗忘，另一方面是不掌握算理。要想更好得让学生掌握这部分知识，除了引导学生解决以上的问题之外，作为一个教师还必须做到心中有数：分式的四则运算是分式这一章的重点，主要是会进行基本的运算，而不是计算的繁和难，教学时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法则。但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题、习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度。

关键是让学生通过基本的练习，掌握算理，弄清运算依据，做到步步有据，减少计算的错误率。

18.八年级数学分式方程教学反思 篇十八

本节课本着“三为主，五环节”的教学模式，主要突出了学生的主体地位，教师的主导作用，学生学会学习为目的，数学落实训练为主线。

2、题目的设计与处理

以问题串的形式抛出问题，从易到难，分解了难点，让学生在独立思考和合作交流中及解决了问题又实现了对新知的学习。重视学生的学习过程，教师注重方法点拨，策略知道，规律型的东西的总结。

3、课堂氛围的转变

整节课以“流畅、开放、合作、‘隐’导”为基本特征，教师对学生的思维减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征。整节课学生与学生，学生与教师之间以“对话”、“讨论”为出发点，采用独立思考，以互助合作，讲台展示，屏幕讲解，等手段以解决问题为目的，让学生在一个比较宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。

4、对学生做出正确的评价

对于学生的回答给予正确的评价，鼓励语言到位。

5、学生亮点

整堂课，学生的表现非常优秀，在一位女生讲解问题二的之前，我还担心她说不清，但是却把每个空都用等量关系先表达出来，然后又用分式或整式的形式填写，做到了“空空有等量，步步有依据”，她的回答太精彩了，同学们给了她热烈的掌声，所以我们一定要放开手，不要吝啬自己的“三尺讲台，让这块宝地变成学生的地盘。

师生关系：通过这节课，发现和学生的关系更亲近了，在课上老师和学生就像朋友，教师要走到学生中，聆听她们想法，并参与其中。征求她们的意见。

6、应急处理恰当

在这节课上，学生的积极性超出了课前设想，在处理“捐款问题”中，很多同学都直接站起来要回答问题，因为这节课，他们表现的太优秀了，于是我征求其中一位同学的意见，问他可不可把这样的机会让他其他同学，他欣然的答应了，而且是让给了我们班最羞涩的一位男生，这时候我看着他怯生生的看我的眼神，我面带微笑说“李斐同学是比较羞涩的，但他学习认真刻苦，请同学们给他加油”这时候，教师想起了一片掌声，当他还是有点不好意思的将问题讲完的时候，我顺势说“他说的好吗”同学们都说好，于是又是一片掌声。当他回到座位要坐下的时候，我及时问了一句“有信心了吗”这次他的声音很响亮“有了”这样我和我的学生就完成了一次对性格胆怯的学生的信心教育，同时这样的处理方式又培养了同学们谦虚，谦让，团结互助的精神。

7、不足

19.分式错解归类例析 篇十九

一、分式化简求值

分式化简是初中数学基础知识中的重要组成部分,学好分式化简,可以帮助同学们打好数学基础,提高逻辑思维的能力.但在进行分式化简的过程中,有些同学总会出现一些高频性的解题错误,因此,对此进行探究、总结和分析很有必要.

误区一:违背运算顺序.

误区二:通分时误去分母,与解方程时去分母混淆.

【反思与总结】本题主要考查基本计算能力,涉及的知识有因式分解、分式的乘除、倒数、约分、通分等. 一道好的例题,一定蕴含着若干个闪光点,聪明的你发掘出来,解决问题的功力就会大大增强. 这个例题旨在告诉我们,分式化简不能忽视以下几点:

1. 注意分式的混合运算的顺序:先进行乘方运算,其次进行乘、除运算,再进行加、减运算,遇到括号,先算括号内的. 如果分式的分子或分母中含有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分的先约分,再进行运算.

2. 分式化简每一步变形用的都是分式的基本性质,通分要保留分母,而不是去分母.

3. 不能忽视分数线的双重作用,当分母不变分子相减时要关注符号.

【错解分析】上面计算的结果,分子、分母还有公因式(x-2)可约分,应继续化简.分式化简的结果要化为最简分式.

二、解分式方程

解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程. 这种转化的具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,

误区一:最简公分母不是最简.

【错解1】原方程两边同乘(x-2)(3x-6),得(5x-4)(3x-6)=(4x+10)(x-2)-(x-2)·(3x-6).

误区二:等式基本性质的使用时漏乘常数项.

【错解2】方程两边同乘3(x-2),得

3(5x-4)=4x+10-1.

误区三:解完方程没有验根.

【错解3】方程两边同乘3(x-2),得

3(5x-4)=4x+10-3(x-2).

解得:x=2.

所以,原分式方程的解为:x=2.

【反思与总结】这个例题告诉我们,解好分式方程不能忽视三点:

第一,最简公分母一定要做到最简;

第二,等式基本性质的使用一定要公平;

第三,解完方程一定要验根.

20.例析中考分式创新题 篇二十

一、判断正误题

例1对于试题“先化简，再求值：－，其中x=2”，某同学写出了如下解答：

解：－=+=+=x－3+(x+1)=x－3+x+1=2x－2。

当x=2时，原式=2×2－2=2。

她的解答正确吗？如不正确，请你写出正确解答。

解析本题是一道与分式运算有关的探索解题过程正误题，观察所给出的解题过程可知，前两步的通分是正确的，但到第三步出现了错误，错误的原因是把分式的分母去掉了，违背分式加减运算中通分的法则。

正确解答过程是：－=+=+=。

当x=2时，原式==。

点评本题主要考查对分式运算的理解和掌握，分式的运算不能等同于解方程中的去分母。

二、开放性问题

例2先化简代数式÷－1，然后选择一个使原式有意义的a，b值代入求值。

解析这是一道开放型试题，开放的是最后的结果。如若求值，需先将求值式化简，然后选择一个使原式“有意义”的a，b值代入求值即可。但一定要注意这里的“有意义”，即所取的a，b值不能使原分式的所有分母及第二个分式的分子为零，即a≠－2b且a≠b；另外，所取的a，b的值应使运算越简单越好。

÷－1=×－1

=－==。

当a=2,b=1时，原式==。（答案不唯一，只要所取的a，b的值满足a≠－2b且a≠b即可）

例3请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式。

a2－1 ab－bb+ab

解析要求从三个代数式中任选两个构造一个分式，这样就有六种组合，只要任选一种即可，本题是开放题，答案不唯一，例如：a2－1和ab－b就有两种情况：

==，或==。

点评开放性问题的答案一般是不唯一的，它重点考查同学们的创新意识和能力。这种题型是近几年来中考题的新亮点，它通过“一题多变”与“一题多解”来考查同学们的发散思维能力。

三、阅读理解题

例４解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题。例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等。

（１）设A＝－，B＝，求A与B的积；

（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题。

解析 （1）A×B=－×=×

=3x+6-x+2=2x+8；

（2）从提供的素材中可见“逆向”问题就是将原问题的结论、结果反过来作为题设。因此，根据（1）的结果，可得（1）的一个“逆向”问题是：设B＝，A与B的积是2x+8，求A。

A=（2x+8）÷B=（2x+8）÷=（2x+8）×=。

点评本题是一道定义性的阅读理解题，问题解决的关键在于通过阅读题目提供的素材，理解“逆向”问题与原问题的关系。要想正确提出原问题的一个“逆向”问题，首先必须正确解决好原问题。

四、说明理由题

例５已知y=÷－+1，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变。

解析初看本题，感觉较难，实际上，本题是一道分式化简题。解决本题首先要按顺序进行运算，先算除法，再算加减，根据最后的结果说明y的值与字母x的值无关。

因为y=÷－+1＝÷－+1

＝×－+1＝－+1＝1。

所以，在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变。

点评分式运算的关键在于掌握分式的运算顺序、分式通分、约分的方法。解答和分式化简有关的说理型试题，应理解其解决的方法是先化简，后说理。

五、探索规律题

例6由==1-，==-，==-，…

你能总结出=？（n为正整数）

并试着化简+++…+。

解析可利用已知条件找出式子中的规律，即=－。然后利用这一规律化简、计算即可。

因为=－，

所以+++…+

=-+-+-+…+-=-=。

点评规律探索题是近几年来中考命题的热点，主要考查同学们的观察能力、归纳能力和合情猜想能力。解答这类题的关键是找出规律，对于分式而言，主要观察分子和分母的特征与变化规律。

六、生活应用题

例７a克糖水中含b克糖（a>b>0），则糖的质量与糖水的质量比是多少？若再添加c克糖（假定添加的糖全部溶解），则糖的质量与糖水的质量比是多少？生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及生活常识，猜想出一个不等式，并运用所学知识加以证明。

解析糖的质量与糖水比为，当添加c克糖后，糖的质量与糖水的质量比是，生活常识告诉我们糖水更甜，那就是添加糖后，糖水中糖的含量增加了，即>。利用数学知识证明如下：

∵ a>b,c>0，∴ ac>bc，∴ ac+ab>bc+ab，即a(c+b)>b(c+a)。

又∵ a(a+c)>0，∴ >，即>。