概率论文

概率论文（精选9篇）

1.概率论文 篇一

数学高考复习名师精品教案

第86课时：第十章 排列、组合和概率——随机事件的概率

一．课题：随机事件的概率 二．教学目标：

1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；

2．掌握等可能事件的概率公式，并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率问题；

三．教学重点：等可能事件的概率的计算． 四．教学过程：

（一）主要知识：

1．随机事件概率的范围 ； 2．等可能事件的概率计算公式 ；

（二）主要方法：

1．概率是对大量重复试验来说存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的； 2．等可能事件的概率P(A)m，其中n是试验中所有等可能出现的结果（基本事n件）的个数，m是所研究事件A中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算m,n的关键是抓住“等可能”，即n个基本事件及m个基本事件都必须是等可能的；

（三）基础训练：

1．下列事件中，是随机事件的是（C）

（A）导体通电时，发热；（B）抛一石块，下落；（C）掷一枚硬币，出现正面；（D）在常温下，焊锡融化。2．在10张奖券中，有4张有奖，从中任抽两张，能中奖的概率为（C）

(A)1124(B)(C)(D)23353．6人随意地排成一排，其中甲、乙之间恰有二人的概率为（C）

(A)1111(B)(C)(D)345104．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两个数之和为偶数的概率为（C）

(A)11n1n1(B)(C)(D)22n2n12n

1（四）例题分析：

例1．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率：

（1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色；

解：基本事件有3327个，是等可能的，3A32（1）记“三次颜色各不相同”为A，P(A)；

279（2）记“三种颜色不全相同”为B，P(B)2738； 279232315；（3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为C，P(C)279例2．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。解：掷两次骰子共有36种基本事件，且等可能，其中点数之和为6的有

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5种，所以“所得点数和为6”的概率为

5。36例3．某产品中有7个正品，3个次品，每次取一只测试，取后不放回，直到3只次品全被测出为止，求经过5次测试，3只次品恰好全被测出的概率。

5解：“5次测试”相当于从10只产品中有序的取出5只产品，共有A10种等可能的基本事件，“3只次品恰好全被测出”指5件中恰有3件次品，且第5件是次

224C7C3A41品，共有CCA种，所以所求的概率为。5A1020272344

例4．从男生和女生共36人的班级中任意选出2人去完成某项任务，这里任何人当选的机会都是相同的，如果选出的2人有相同性别的概率是，求这个班级中的男生，女生各有多少人? 解： 设此班有男生n人(n∈N,n≤36)，则有女生(36-n)人，从36人中选出有相同性别的2人，只有两种可能，即2人全为男生，或2人全为女生.从36人中选出有相同性别的2人，共有(Cn2+C36-n2)种选法.22CnC36n因此，从36人中选出2人，这2人有相同性别的概率为 2C36221CnC36n依题意，有＝ 22C3612经过化简、整理，可以得到 n2-36n+315＝0.所以n＝15或n＝21，它们都符合n∈N，n<36.答：此班有男生15人，女生21人；或男生21人，女生15人.五．课后作业：

1．100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品.以上四个事件中，随机事件的个数是()(A)3(B)4(C)2(D)1 2．5人随意排成一排，其中甲不在左端，且乙在中间的概率为（）

(A)3334(B)(C)(D)5201025

3．抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于()(A)1131(B)(C)(D)

3842

4.将8个参赛队伍通过抽签分成A、B两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为()(A)4123(B)(C)(D)

7725

5.袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为()(A)1245(B)(C)(D)

33331133

6．将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是()(A)111(B)(C)(D)97

3694

７.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号

码1、2、3，现在从中任取三面，它们的颜色和号码均不相同的概率为。

8.9支球队中，有5支亚洲队，4支非洲队，从中任意抽2队进行比赛，则两洲各有一队的概率是.9.接连三次掷一硬币，正反面轮流出现的概率等于.10.在100个产品中，有10个是次品，若从这100个产品中任取5个，其中恰有2个次品的概率等于.11.4位男运动员和3位女运动员排成一列入场；女运动员排在一起的概率是 ；男、女各排在一起的概率是 ；男女间隔排列的概率是.12.从1，2，3，……，9这九个数字中随机抽出数字，如依次抽取，抽后不放回，则抽到四个不同数字的概率是 ；如依次抽取，抽后放回，则抽到四个不同数字的概率是.13．20个零件中有3个次品，现从中任意取4个，求下列事件的概率：（1）4个全是正品；（2）恰有2个是次品。

14.从1，2，3，4，5这五个数字中，先任意抽取一个，然后再从剩下的四个数字中再抽取一个，求下列事件的概率：

（1）第一次抽到的是奇数；（2）第二次抽到的是奇数；（3）两次抽到的都是奇数；（4）两次抽到的都是偶数；（5）两次抽到的数字之和是偶数．

15．6名同学随意站成一排，求下列各种情况发生的概率：

（1）甲站左端；（2）甲站左端，乙站右端；（3）甲、乙两人相邻；（4）甲、乙两人不相邻；（5）甲不站排头、排尾；（6）甲站在乙的左边（可以相邻，也可以不相邻）．

2.概率论文 篇二

关键词：EXCEL,概率统计,概率分布

Excel是美国微软件公司office办公套装中的重要组件之一, 不仅具有强大的表格处理功能而且还具有完善的统计功能。它使得原本需要复杂的统计运算才能得出的结果, 却由计算机快速而准确地计算完成, 本文介绍如何运用EXCEL来处理统计学中的概率及概率分布的相关问题。

一、概率及概率分布的基本知识

概率, 又称或然率、机会率或机率、可能性, 是概率论的基本概念, 是一个在0到1之间的实数, 是对随机事件发生的可能性的度量。表示一个事件发生的可能性大小的数, 叫做该事件的概率。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试, 某件事发生的可能性是多少, 这都是概率的实例。如果一件事情发生的概率是1/n, 不是指n次事件里必有一次发生该事件, 而是指此事件发生的频率接近于1/n这个数值。什么是概率分布呢, 简单的说, 概率分布是用以表述随机变量取值的概率规律, 由随机变量的取值 (x) 及其相应的P (x) 概率构成。

(一) 两个重要参数介绍。

在我们分析概率及概率分布时, 必须要计算出二个参数值。一是均值, 在数值上等于随机变量的各个取值与其相应的概率的乘积, 二是方差, 它是随机变量的各个取值与均值E (x) 之间离差平方的均值。按随机变量取值的特点, 概率分布可分为离散型随机变量的概率分布和连续型随机变量的概率分布。

(二) 常见的概率分布的介绍。

在数理统计中, 概率分布有很多种, 本文只介绍三种最常见的分布形态:

1. 二项分布。

它是描述随机现象的一种常用概率分布形式, 因与二项式展开式相同而得名。在概率论与统计学中, 二项分布属于离散概率分布, 它用于计算在n次相同条件的试验中, 出现k次“成功” (或“失败”) 的概率P (x=k) 。

2. 泊松分布。

泊松分布也是属于概率论与统计学里常见的离散型概率分布, 它适合用于描述单位时间内随机事件发生的次数, 如某一服务设施在一定时间内到达的人数, 电话交换机接到呼叫的次数, 汽车站台的候客人数, 机器出现的故障数等。

3. 正态分布。

正态分布在统计学与概率论中是非常重要的一个概率分布, 属于连续型随机变量的分布, 在自然界和社会现象中, 大量随机现象都服从或近似于正态分布, 它具有几个重要特征:一是正态分布是个对称分布, 对称轴为x=μ。二是当x=μ时, 正态概率的密度最大。三是当σ为定值时, μ的变化引起正态概率密度曲线在横轴平行移动。四是当μ为定值时, σ的变化将引起正态概率密度曲线的形状变得尖峭或偏平。

二、用EXCEL计算概率及概率分布实例

在EXCEL中, 运用各种函数能够轻松地对概率及概率分布进行计算, 下面通过几个实例来进行证明。

(一) 二项分布概率的计算。

例:假定某一足球队员在12码线罚球的命中率为75% (即P=0.75) , 求罚球4次命中2次的概率。

解:操作步骤如下:

一是打开Excel的“插入”菜单, 选择“函数”选项, 打开“粘贴函数”对话框。

二是在“函数分类”列表中选择“统计”, 在“函数名”列表中选择二项分布函数BINOMDIST。单击“确定”按钮, 打开二项分布函数对话框。

三是根据题意得知, 成功次数为2, 试验次数为4, 成功概率为0.75, 使用概率分布函数 (False) , 将这些已知资料填入对话框中, 单击“确定”按钮, 得知罚球4次命中2次的概率为0.21。

(二) 泊松分布的概率计算。

例:假定某电话总机每分钟收到的呼唤次数服从参数为3的泊松分布, 求在1分钟内恰有2次呼唤的概率是多少?

解:操作步骤如下:

一是选中计算结果所在的单元格。

二是单击“插入函数”按钮, 选择“POISSON”函数, 在弹出“函数参数”的对话框中依次输入参数2, 3, false, 如图2所示:

X:事件出现的次数;

Mean:期望值 (λ) ;

Cumulative:如果为“true”, 函数POISSON返回P{X≤k (X) }的概率;如果为“false”函数POISSON返回P{X=k (X) }的概率。

三是单击“确定”按钮, Excel计算的泊松分布概率为:0.224。

(三) 正态分布概率的计算。

例:设随机变量ξ～N (1, 4) , 求P (0≤ξ≤1.6) 。

解:操作步骤如下:

一是选中计算结果所在的单元格。

二是单击“插入函数”按钮, 选择“NORMDIST”函数, 在弹出“函数参数”的对话框中依次输入参数1.6, 1, 2, true, 如图3所示。

X:输入需要计算概率的数值;

Mean:分布的期望;

Standard_dev:分布的标准偏差;

Cumulative:如果为“true”, 函数EXPONDIST返回累积分布函数;如果为“false”函数EXPONDIST返回概率密度函数。

三是单击“确定”按钮, Excel计算的P{ξ≤1.6}的概率为:0.617911。

四是按上述操作用Excel算出P{ξ≤0}的概率为:0.309374, 所以得出P{0≤ξ≤1.6}=0.308538。

三、结语

EXCEL是目前最适合辅助统计学教学的一款软件, 它虽然在功能上不及专业统计软件强大, 但完全能满足教学的需要, 最重要的是EXCEL易学易懂, 普及化程度高。EXCEL在教学中的使用, 不仅节省了大量时间, 而且丰富了教学内容, 使一些比较抽象的问题具体化, 复杂的运算简单化, 使繁琐、枯燥、难学的统计课程变得更加有趣。

参考文献

[1].申兆光.Excel在统计学教学中的应用探讨[J].现代商贸工业, 2008

[2].刘博雷, 刘叔才, 葛利荣.浅谈Excel2007统计功能在经济预测决策中的应用[J].经济师, 2010

3.概率中的故事　故事中的概率 篇三

1. 掷骰子引起的争论

有一天，小聪在用两个骰子做抛掷游戏.小聪是个喜欢动手、动脑的孩子，他想摸索出掷出的点数的规律.

大家都知道，两个骰子掷出的点数之和最多可以是“12点”.小聪不断地试验着，抛了一次又一次，并把结果记了下来.他发现，要抛到点数和为“12点”实在是太难了，有将近有一半的时候抛到的点数和都是“6点”、“7点”或“8点”.

这时小明从外面急匆匆地走了进来，他看到小聪在不停地掷两个骰子，便不加思索地说：“好啦！明天我做一个大骰子让你慢慢扔，怎么样？还不比你一次用两个小骰子强啊？！”

“一个大骰子？”小聪一时没弄清小明的意思.

“用正十二面体，各面标上数字1到12不就得啦！”小明得意洋洋地解释说，“用这样的大骰子替这两个小骰子嘛！”

小聪陷入了沉思.他总感到小明的主意有点不对劲，但一时又找不出什么理由.

“怎么不行？！”小明急忙分辩说，“正十二面体，各面机会均等，每个数字扔到的可能性都是十二分之一.”

小明的话使小聪感到眼前一亮，他想到了一个很重要的论据.于是他反问道：“数字1！你的大骰子可以扔出‘1点’，我的两个小骰子能扔出‘1点’吗？！”

小明语塞，但他很快又有了新的点子：“我们不会改做一个正十一面体啊？！各面标上数字2 到12！”

“可根本不可能有正十一面体！” 小聪说.

小聪的话是对的，看来他的知识面比小明更广一些.这场关于掷骰子的有趣争论，自然以小明的认输而告终.但小明输的主要原因不在于正十一面体的不存在，而在于两个小骰子掷出各种“点数和”的机会并不均等.小聪已经从自己的试验中隐隐约约地察觉到了这一点，只是还没来得及深入地探讨下去.这正是我们下面需要进行的工作.

大家都知道，掷一个骰子，出现的点数有6 种可能；而掷两个骰子时，由于对第一个骰子的每种点数，都可以搭配第二个骰子的6 种点数，因此共有6×6＝36（种）可能的搭配.很明显，这36种“搭配”出现的机会是均等的，也就是每种“搭配”出现的概率都是136.但一种“点数和”的出现，往往有不止一种的搭配方式，因此这种“点数和”出现的概率就应当等于136的若干倍.通过统计各种“点数和”的搭配方式.可以得出，出现点数和为“6 点”、“7点”或“8 点”的概率为P(6)+ P(7)+ P(8)=536+636+536=49，几乎占了一半.而出现“2点”、“12点” 的概率，各都只有136，都极不容易出现.这跟小聪在试验中观察到的情况是一致的.

上面的结论意味着：即使存在正十一面体，这场争论中小明也是注定要失败的.

2．有趣的求π的方法

大约在公元1904 年，R·查理斯做了下面的实验：他让50名学生，每人随机地写出5 对正整数，然后他检查了一下，在得到的250对正整数中，互素的有154对，得互素的整数对出现的频率为154250.而理论上两个随机正整数互素的概率为 ，用频率估计概率，代入计算，得π≈6×250154≈3.12.

这实在太出人意料了！随机写下的正整数竟会与圆周率π发生联系.这50 位学生被震惊了！为什么π竟会在这样的场合出现呢？当你看下面的一个类似的结论之后，就会明白.

这个有趣的结论是：随机地写出两个小于1的正数x和y，它们与1在一起，正好可作为一个锐角三角形的三边长的概率为1-π4.

这个结论和前面的R·查理斯的实验中用到的结论极其类似.然而，它的证明却无需动用很多的知识，也不必花费很大的气力.

事实上，由于x和y都是在0与1之间随机选取的，所以点（x，y）随机地落在在单位正方形I的内部(如图1).假设符合条件的点（x,y）落在阴影区域G内（显然有GI），那么根据机会均等的原则，所求的概率应为P =G的面积I的面积.

现在假设以x，y，1 为三边长的三角形是△ABC，且其中∠C为最大的内角，则∠C的对边长为1.为使x，y，1能作为三角形的三边长，注意到x，y均为小于1的正数，则x+y＞1；又要使∠C为锐角，故x2+y2>1.满足前面两式，且在单位正方形I内的阴影区域G如图2所示.

由于G的面积为1-π4，而I的面积为1，这就证明了前面的结论.

有了这个结论，同学们便可以仿效R·查里斯去设计你的实验了.

设想，你请来许多同学和朋友（人越多越好）后或在某次集会时，宣布由你主持表演“科学魔术”.办法是：让大家各自随意写下两个小于1 的正数，顺便请大家各自检查一下所写的两个数，看它们与1一起是否能构成一个锐角三角形.作为主角的你，可以比较轻松的预言，他们中间大约有多少人所写的数与1能构成锐角三角形.表演的出色和成功是可以预料的.

3. 高明的“摸彩”骗局

免费摸彩——诱人的广告，规则如下：6个白、6个黑的围棋子放在一个口袋里.凡愿摸彩者，每人一次从袋中摸出6个棋子，按下面的规则给“彩”：①若摸出的6个棋子恰好全白或全黑，则奖励摸彩者100元；②若摸出的6个棋子恰好5个白色、1个黑色或5个黑色、1个白色，则奖励摸彩者2元；③若摸出的6个棋子恰好4个白色、2个黑色或4个黑色、2个白色，则奖励摸彩者1元；④若摸出的6个棋子恰好3个白色、3个黑色，则摸彩者给摊主5元.

值得注意的是，这种摸彩游戏有两个诱人之处：一是免费，二是“很多”情况下可以得到奖金.

事实是这样吗？不是.稍加计算，我们就可以得出下面的结论（同学们如果一时弄不清计算的方法，可以只看结果）：

实际上，按照规则，平均每摸924（就是C612）次，得到100元的结果有2次，得到2元的结果有72次，得到1元的结果有450次，而要付出5元的结果有400次.这样，平均每摸924次，摊主大约能得到5×400-100×2-2×72-1×450=1206（元）.那么，平均每摸一次，摊主能得多少钱呢？

我想，看了以上的分析，同学们一定不会再怀着好奇和侥幸的心理，用自己的钱，去填塞“摸彩”摊主那永填不满的腰包了吧！

二、 故事中的概率

上述故事都涉及到不确定性或可能性.在掷骰子的游戏中，每次掷出的两个骰子的点数之和是不确定的.假设掷了5次，如果你“运气好”的话，有可能每次掷出的点数之和都为12，但也有可能没有一次掷出的点数之和为12.在求π的方法的实验中，随机取出的x，y与1是否能作为锐角三角形的三边是不确定的.当然，有可能每次取出的x，y与1都能或都不能作为锐角三角形的三边.同样，在“摸彩”游戏中，你一样也不能确定会摸出什么颜色的棋子.

对概率论而言，两个最主要的概念就是独立和随机.概率论是从研究古典概型开始的，它所研究的对象是大量的独立随机过程.通过对这些过程中出现的问题的研究，概率理论体系逐渐地建立了起来.

事实上，对独立随机过程的研究和利用早在原始社会就已经存在.那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具，将一个或多个趾骨投掷出去，趾骨落地后的不同形状指示着“神”对人或事的不同意见.投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性，而每次投掷的结果也互不影响，这与我们今天投掷骰子的游戏的基本原理是一样的.

上述故事不仅涉及到不确定性或可能性，还涉及到每种可能的结果的可能性的大小.每次掷出的两个骰子的点数之和为6的可能性要大于点数之和为2的可能性；随机地写出两个小于1的正数x和y，它们与数1一起，构成一个锐角三角形三边的可能性为1-π4；从6个白、6个黑的个棋子中摸出6个同色棋子的可能性为1462.

而得到这些结论又是基于等可能性的一些原则.实际上，掷一个骰子时，各个数字向上的可能性是相等的；随机地写出两个小于1的正数x和y，相当于在单位正方形内取点，每一个点被取到的可能性也是相等的.这一点在很久以前，甚至在概率论产生以前就被人们认识到了.例如，在对骰子的研究中，发现了一些有趣的现象：在考古出土的骰子当中，有一些被证明是用于赌博的工具，它们的形状规则而质地却不均匀，也就是说，骰子的重心并不在其几何中心.可以想像，如果骰子的某一面较重，则其对面朝上的机会就会增大.这种骰子明显是在赌博时用来作弊的.而从另一个角度看，如果古代人知道质地不均匀的骰子掷出各个点数的可能性不同，那么他们必定清楚质地均匀的骰子掷出各个点数的机会是相等的.

可能性及其大小，即随机事件及其概率，是概率理论研究的中心问题.

4.概率教案 篇四

一、教学目标：1.知识与技能

2.情感态度与价值观：

二、教学重点：能够运用概率的定义求简单随机事件发生的概率，并阐明理由。

三、教学难点：正确地理解随机事件发生的可能性的大小。

四、教学过程：

（一）创设情景、复习引入

判断下列这些事件是随机事件、必然事件还是不可能事件？ 1.明天会下雨 2.天上掉馅饼 3.买彩票中奖

4.一分钟等于六十秒

问题1 分别从1，2，3，4，5的5张扑克牌中随机地抽取一张，抽到5的这个事件是随机事件吗？抽到5个数字中任意一个数字的可能性的大小一样吗？

问题2 抽出的可能的结果一共有多少种？每一种占总数的几分之几？ 设计意图

通过以抽签的方式回答问题，让学生自己的亲身体验，这样容易激发起学生学习兴趣。这样安排一方面复习了必然事件、随机事件和不可能事件的内容，而且还加深了对三种事件的理解；另一方面也为过渡到本节课的教学作了一个很好的铺垫。

（二）、引申拓展，归纳总结 概率定义

一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率 表示方法：

事件A的概率表示为P（A）

1.从1，2，3，4，5的五张扑克牌中抽取一张，抽到4的概率是多少？ 2.抛一枚硬币，正面向上的的概率是多少？ 提问：以上两个事件有什么共同特点？

特点1

每一次试验中，可能出现的结果只有有限个 特点2

每一次试验中，各种结果出现的可能性相等

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等。事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝m/n 请3名同学上台来参与模拟抽扑克牌游戏，分三次进行 第一次

红色扑克牌里抽黑色扑克牌 第二次

红色和黑色扑克牌里抽红色 第三次

红色扑克牌里抽红色扑克牌 从此可以看出：

不可能事件A的概率为0，即P(A)=0 必然事件A的概率为1，即P(A)=1 随机事件A的概率 0

图1是中国象棋棋盘的一部分，图中红方有两个马，黑方有三个卒子和一个炮，按照中国象棋中马的行走规则（马走日字，如下图2中的箭头方向走），红方的马现在走一步能吃到黑方棋子的概率是多少？

图1

图2 分析：红方的马走一步可能的走法有m=14种(如图)，其中有3种情况吃到了黑方棋子n=3种。

解：设红方的马现在走一步吃到了黑方棋子为事件A 所以PAm3n1

43答：红方的马现在走一步吃到了黑方棋子的概率是14

(四)试试伸手，找找不足

1.一共52张不同的纸牌（已去除大小王），随机抽出一张是A牌的概率；

2.（2010哈尔滨，5）一个袋子里装有8个球，其中6个红球2个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（）

1113A.8

B.6

C.D.4

设计意图

巩固学生对概率定义的理解和认识及对概率的计算公式的简单运用技能。以达到及时学习、及时应用，让学生从中找一成功的感觉，从而提高学生对学习数学的兴趣。

（五）交流反思，课时小结

如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且他们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m/n。0≤m≤n，有0 ≤ m/n≤1 因此

0 ≤P(A)≤1 P(必然事件)=1

P(不可能事件)=0

（六）课后作业，拓展升华

1.在1~10之间有五个偶数2、4、6、8、10，将这5个偶数写在纸片上，抽取一张是奇数的概率；

2.在1~10之间3的倍数有3，6，9，随机抽出一个数是3的倍数的概率；

5.概率统计教案1 篇五

概率论的基本概念

1.确定性现象: 在一定条件下必然发生的现象.2.统计规律性: 在个别试验或观察中可以出现这样的结果，也可以出现那样的结果，但在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性.3.随机现象: 在个别试验中其结果呈现

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第1页

共51页-----出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象.§1.1 随机试验 1.随机试验: ①可以在相同条件下重复进行；

②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

③进行一次试验之前不能确定哪一个结

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第2页

共51页-----果会出现.§1.2 样本空间、随机事件

1.随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.2.随机试验E的每个结果称为样本点.例1.写出下列随机试验的样本空间.①考察某一储蓄所一天内的储款户数.S0 , 1 , 2 , .-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第3页

共51页-----②10件产品中有3件是次品，每次从中任取一件(取后不放回)，直到将3件次品都取出，记录抽取的次数.S3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10.③在②中取后放回，记录抽取的次数.S3 , 4 , 5 , .④一口袋中有5个红球、4个白球、3个蓝球，从中任取4个，观察它们具有哪

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第4页

共51页-----几种颜色.S={(红)，(白)，(红、白)，(红、蓝)，(白、蓝)，(红、白、蓝)}.3.样本空间S的子集称为随机事件，简称事件.4.对于事件A，每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时称事件A发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第5页

共51页-----5.由一个样本点组成集合称为基本事件.6.在每次试验中总是发生的事件称为必然事件，即样本空间S.7.在每次试验中都不发生的事件称为不可能事件，即空集.例2.抛掷两枚骰子，考察它们所出的点数.写出这一随机试验的样本空间及下列

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第6页

共51页-----随机事件.①“两枚骰子点数之和为5”.②“两枚骰子点数之和为2”.③“两枚骰子点数之和为1”.④“两枚骰子点数之和不超过12”.解: 对两枚骰子编号为1、2.用(I , J)表示第1枚骰子出I点，第2枚骰子出J点.S={(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第7页

共51页-----(1, 6)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)，(4, 4)，(4, 5)，(4, 6)，(5, 1)，(5, 2)(5, 4)，(5, 5)，(5, 6)，(6, 1)，3)，(6, 4)，(6, 5)，(6, 6)}.① {(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，②{(1, 1)}.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第8页

共51页-----，(6, 2)(5, 3)，(6,(4, 1)}.③Ø.④S.8.事件间的关系与运算: ①事件A发生必导致事件B发生，称事件B包含事件A，记为AB.②事件AB{xxA或xB}称为事件A与事件B的和事件.当且仅当A与B至少有一个发生时，事件AB发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第9页

共51页-----k1Ak为n个事件A 1，A2，…，An的和事件.Ak为可列个事件A 1，A2，…的和事件.nk1③事件AB{xxA且xB}称为事件A与事件B的积事件.当且仅当A与B同时发生时，事件AB发生.AB也记作AB.k1Ak为n个事件A 1，A2，…，An的积事件.n

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第10页

共51页-----k1Ak为可列个事件A 1，A2，… 的积事件.AB{xxA且xB} ④事件

称为事件A与事件B的差事件.当且仅当A发生、B不发生时，事件AB发生.⑤若AB，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的.即事件A与事件B不

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第11页

共51页-----能同时发生.⑥若ABS且AB，则称事件A与事件B互为逆事件，或互为对立事件.即对每次试验，事件A与事件B中必有一个发生，且仅有一个发生.A的对立事件记为A，即ASA.9.事件的运算定律: ①交换律:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第12页

共51页-----ABBA，ABBA.②结合律: A(BC)(AB)C，A(BC)(AB)C.③分配律: A(BC)(AB)(AC)，A(BC)(AB)(AC).④德∙摩根律:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第13页

共51页-----ABB A，ABBA.§1.3 频率与概率 1.在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.nA比值称为事件A发生的频率，记为fn(A).n2.频率的基本性质: ①0fn(A)1.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第14页

共51页-----②fn(S)1.③若A 1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则

.fn(AA)f(A)f(A)1kn1nk3.当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn(A)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数，这种统计规律性称为频率稳定性.4.设E是随机试验，S是它的样本空间.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第15页

共51页-----对于E的每一事件A赋于一个实数，记为p(A)，称为事件A的概率，且关系p满足下列条件:

①非负性: p(A)0.②规范性: p(S)1.③可列可加性: 设A 1，A2，…是两两互不相容的事件，则

P(A1A2)P(A1)P(A2).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第16页

共51页-----5.概率的性质: ①p()0.②(有限可加性)设A 1，A2，…An是两两互不相容的事件，则 P(AAn)P(A)P(An).1

1③若AB，则

P(BA)P(B)P(A)，P(B)P(A).④p(A)1p(A).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第17页

共51页-----

⑤p(A)1.⑥(加法公式)P(AB)P(A)P(B)P(AB)，P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC).§1.4 等可能概型(古典概型)1.具有以下两个特点的试验称为古典概型.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第18页

共51页-----①试验的样本空间只包含有限个元素.②试验中每个基本事件发生的可能性相同.2.古典概型中事件概率的计算公式: 样本空间S{e1 , e2 ,  , en}，事件A{ei , ei ,  , ei}，12kk

P(A).n

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第19页

共51页-----例1.抛掷两枚均匀的硬币，求一个出正面，一个出反面的概率.解: S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.A={(正，反)，(反，正)}.例2.抛掷两枚均匀的骰子，求点数之和不超过4的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第20页

共51页-----

21p(A).42解:

S={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，…，(6，6)}.A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}.61p(A).366例3.从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件产品.求恰有一件次品的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第21页

共51页-----

CC解: p(A)30.253.C50例4.袋中有5个白球3个黑球.从中按

15245下列方式取出3个球，分别求3个球都是白球的概率.①同时取.②不放回，每次取一个.③放回，每次取一个.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第22页

共51页-----解: ①p(A)C3053CC30.179.8②p(B)A35A30.179.8③p(A)53830.244.例5.某班有23名同学，求至少有同学生日相同的概率(假定1年为天).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第23页

共51页-----

名

2365(23)!C493.解: p(A)230.(365)p(A)1p(A)0.507.23365例6.从一副扑克牌(52张)中任取4张牌，求这4张牌花色各不相同的概率.14(C13)解: p(A)40.105.C52例7.甲项目和乙项目将按时完成的概率为0.75和0.90，甲、乙项目至少有一

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第24页

共51页-----个项目将按时完成的概率为0.99.求下列事件的概率.①两项目都按时完成.②只有一个项目按时完成.③两项目都没有按时完成.B表解: 设用A表示“甲项目按时完成”、示“乙项目按时完成”，则p(A)0.75，p(B)0.90，p(AB)0.99.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第25页

共51页-----①p(AB)P(A)p(B)p(AB)

0.750.90.99 0.66.②

p[(AB)(AB)]p(AB)p(AB)

0.990.66 0.33.③p(AB)p(AB)

1p(AB)

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第26页

共51页-----

10.99 0.01.例8.将一枚骰子连续掷5次，求下列各事件的概率.①“5次出现的点数都是3”.②“5次出现的点数全不相同”.③“5次出现的点数2次1点，2次3点，1次5点”.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第27页

共51页-----④“5次出现的点数最大是3点”.⑤“5次出现的点数既有奇数点，又有偶数点”.§1.5 条件概率

例1.抛掷一枚均匀的骰子.设A表示“出现的点数不大于3”，B表示“出现偶数点”，求: ①“出现偶数点”的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第28页

共51页-----②已知“出现的点数不大于3”的条件下，“出现偶数点”的概率.解: S={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，4，6}.31①p(B).62②用“BA”表示已知事件A发生的条件下，事件B发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第29页

共51页-----AB{2}，1P(AB)16p(BA).33P(A)6

1.设A、B是两个事件，且p(A)0，称

P(AB)p(BA)P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第30页

共51页-----

例2.一批零件100个，其中次品10个，正品90个.从中连续抽取两次，做非回臵式抽样.求: ①第一次取到正品的概率.②第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率.解: 设A表示“第一次取到正品”，B表示“第二次取到正品”.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第31页

共51页-----

909①p(A).10010289C90②p(AB)2，C100110P(AB)89.p(BA)P(A)992.乘法定理: 设p(A)0，则

p(AB)p(BA)p(A).设p(AB)0，则

p(ABC)p(CAB)p(BA)p(A).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第32页

共51页-----例3.一批零件100个，次品率为10%.从中接连取零件，每次任取一个，取后不放回.求第三次才取到正品的概率.解: 设用A i表示“第i次取到正品”(i1 , 2 , 3).由于次品率为10%，所以次品10个，正品90个.P(A 1 A 2A 3)P(A 1)P(A 2 A 1)P(A 3A 1 A 2)

10990 1009998

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第33页

共51页-----

0.0083.3.样本空间的一个划分: ①

BiBj , ij , i , j1 , 2 ,  , n.②B1B2BnS.称B1 , B2 ,  , Bn为样本空间的一个划分(或完备事件组).4.全概率公式: 若B1，B2，…，Bn为样本

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第34页

共51页-----空间的一个划分，且P(Bi)0(i1 , 2 ,  , n)，A为某一事件，则 P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)

P(A Bn)P(Bn).5.贝叶斯公式: 若B1，B2，…，Bn为样本空间的一个划分，A为某一事件，且P(A)0，P(Bi)0(i1 , 2 ,  , n)，则

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第35页

共51页-----，P(BiA)nP(ABj)P(Bj)j1P(ABi)P(Bi)(i1 , 2 ,  , n).例4.两台机床加工同样的零件.第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件堆放在一起.已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，从中任取一个零件，求:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第36页

共51页-----①这个零件不是废品的概率.②如果已知取出的这个零件不是废品，那么，它是第一台机床生产的概率.解: 设用A表示“此零件不是废品”，用Bi表示“此零件由第i台机床加工”(i1 , 则

P(B21 1)3，P(B 2)3，P(A B 1)0.97，P(A B 2)0.98.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第37页

共51页-----

2)，①

P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)

210.970.98 330.973.②

P(AB1)P(B1)P(B1A)P(AB1)P(B1)P(AB2)P(B2)

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第38页

共51页-----

20.973 210.970.98330.664.例5.有5个盒子，分别编号1、2、3、4、5.第1及第2号盒子各有5个球，其中3个白球，2个红球.第3及第4号盒子也各有5个球，其中1个白球，4个红

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第39页

共51页-----球.第5号盒子有4个白球，1个红球.现随机地选一个盒子并从中任取一球，求: ①它是白球的概率.②如果已知取出的是红球，那么，它是来自第5号盒子的概率.解: 设用A表示“任取一球是白球”，用，用Bi表示“第A表示“任取一球是红球”i个盒子被选中”(i1 , 2 , 3 , 4 , 5)，则

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第40页

共51页-----

1P(B 1)P(B2)P(B3)P(B4)P(B5)，53P(A B 1)P(A B 2)，51P(A B 3)P(A B 4)，54P(A B 5)，52P(A B 1)P(AB 2)，54P(A B 3)P(A B 4)，5-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第41页

共51页-----

1P(A B 5).5①P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)P(A B3)P(B3)P(A B4)P(B4)P(A B5)P(B5)3131111141 555555555512.25

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第42页

共51页-----②P(B5A)P(ABi)P(Bi)i15P(AB5)P(B5)

1155 1(22441)5555551.136.先验概率: P(Bi).7.后验概率: P(BiA).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第43页

共51页-----例6.有一个袋内装有3个白球，2个黑球.有甲、乙、丙三人依次在袋内各摸一球.求: ①在有放回情况下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.②在不放回情况下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.解: 设用A、B、C分别表示“甲、乙、-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第44页

共51页-----丙摸到黑球”，用A、B、C分别表示“甲、乙、丙摸到白球”.2①P(A)P(B)P(C).52②P(A).5P(B)P(BA)P(A)P(BA)P(A)

1223 45452.5-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第45页

共51页-----P(C)P(CAB)P(AB)P(CAB)P(AB)

P(CAB)P(AB)P(CAB)P(AB)P(CAB)P(BA)P(A)

P(CAB)P(BA)P(A)P(CAB)P(BA)P(A)P(CAB)P(BA)P(A)

121321232230 453453453452.5

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第46页

共51页-----§1.6 独立性

1.设A与B是两事件，如果 p(AB)p(A)p(B)，则称A与B相互独立，简称A与B独立.2.设A与B是两事件，且p(A)0，如果A与B相互独立，则

p(BA)p(B).3.设A与B相互独立，则下列各对事件也

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第47页

共51页-----相互独立.A与B，A与B，A与B.证: P(A)P(B)P(A)[1P(B)]

P(A)P(A)P(B)

P(A)P(AB)

(AAB)P(AAB)P(AB)，所以A与B相互独立.同理可证A与B，A与B相互独立.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第48页

共51页-----4.设A、B、C是三个事件，如果

p(AB)p(A)p(B)，p(AC)p(A)p(C)，p(BC)p(B)p(C)，p(ABC)p(A)p(B)p(C)，则称A、B、C相互独立.例1.用一支步枪射击一只小鸟，击中的概率为0.2.问3支步枪同时彼此独立地

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第49页

共51页-----射击，击中小鸟的概率.解: 设用A i表示“第i支步枪击中小鸟”，则(i1 , 2 , 3)，用B表示“小鸟被击中”

P(B)P(A 1A 2A 3)

1P(A 1A 2A 3)1P(A 1 A 2 A 3)

1P(A 1)P(A 2)P(A 3)10.80.80.8

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第50页

6.教概率统计有感 篇六

“概率与统计初步”被纳入到初中数学教学内容年限不长。并因为这些内容本身的一些特点以及学生学习这些知识时的特殊性导致我教这两章内容费了不少功夫—先自学后教学，终结经验再学习再教学；自然，这块教学给我留下了不浅的印象。

在次我仅围绕我教统计学时课堂上发生的一件事为例谈谈自己的感想。

那是我第一次给学生讲简单立体图形的三视图的一节课（说实话那时我也刚刚自学完没过几天）。具体是这样：我按照课本所安排讲完了所谓的立体图形的三视图内容后，课后有道练习题就是画出以下图形 1的三视图：

图形 1

主视图

仰视图

图 2

图3

我留给学生一点练习时间以后因为快到下课了，所以就开始自己在黑板上领着学生们画了起来 ……当我熟练地画完如上所示主视图和仰式图以后却怎么也画不出来左视图；说来真让同行们笑话，当时脑子里乱成一团 — 我既没想起图2，也没想起图3，心里很着急，可越急越是什么也想不起来（虽然我上课以前备过这道题）！幸亏有一名学生站起来“救”了我：他说：“老师我会画左视图”然后他就出来在黑板上很快画好了如图2的左视图，紧接着下课铃就响了……

“数学建模”有助于数学教学

当了17年的数学教师关于“数学建模”的概念性问题我懂得很少，我也几乎没有专门设计过“数学建模”问题来教过我的学生。然而这个寒假我有幸在网上学习到了有关 “数学建模”的系统性的一课以后对此才有了初步的认识和体会；也发现了之前在教学活动当中有意无意利用过“数学建模”的教学过程。

比如当我给学生上完平面直角坐标系的内容后布置过“画好自己现在所住房屋的平面图”这项作业。因为有一部分学生是住校生，所以我就让他们分组画好学校校园的平面图。刚开始布置的时候我没指导学生该怎么去画，所以第一次收回来时的作业效果很不理想。当然也有几位同学的作品很让我出乎意外！他们画的竟然比我画的还好（我也跟学生一起完成了这两项作业）！批改完后我把作业发下去，同时我把那几件优秀作品连同我自己的展览给大家看；然后让同学们也做了所展览作品的讨论和评价与学习。次日我重新布置这项作业，告诉他们这一次可以互相帮忙，当然了有信心独立完成好的更棒我说。结果可想而知 ……

我想通过这次的作业同学们的脑子里一定都形成了一种“模型”从而对“直角坐标系”这块掌握的也比较灵活！

总之“数学建模”在初中阶段跟实际，跟教学内容一定要紧密结合，跟学生的发展水平更应该有着密切联系！

已知如下图：平行四边形形ABCD中，E、F 是对角线BD上的两点，BE =DF．

① 请找出图上所有三角形并把它们一一表示出来。

② 图上有几对全等三角形？把它们写出来，并选一对加以证明。③ 求证：四边形AECF是平行四边形．

④

当以上给定条件上再加什么条件时四边形AECF变成棱形？

请加一个条件，把相应图画好，再证明四边形AECF为棱形。

B A F E C D 教“概率统计”有感

“概率与统计初步”被纳入到初中数学教学内容年限不长。并因为这些内容本身的一些特点以及学生学习这些知识时的特殊性导致我教这两章内容费了不少功夫—先自学后教学，终结经验再学习再教学；自然，这块教学给我留下了不浅的印象。

在此我简单谈谈教“统计”内容时的一些经验和感想与大家共享！

1.收集材料：为了调动学生们的积极性我一般在课堂当场和学生们一起收集一组简单的数据：比如全班同学的身高，出生月，爱好的体育项目，喜欢看的课外书种类等等，等等……

2.整理数字：为锻炼同学们的自主学习能力我平常让他们自己画好统计表并把课堂上收集好的数据填进去（包括填写各小段的频率，百分比以及扇形统计图中各小段对应的圆心角）。

3.绘制统计图：为了培养好学生们的团体合作精神和协作能力，我把全班同学按他们的实际情况均匀的分成四个小组，把画圆柱统计图，扇形统计图，折线统计图和条形统计图的任务分别交给每一个小组来完成，然后让他们互相交流，互相讨论以致更加完善各自的作品。4.分析数字感悟事物：这里就给同学们一个充分发表自己独特意见的机会和空间。通过这一步培养他们的发散思维，提高他们的观察事物的能力以及发现规律提出合理建议的能力等。

7.概率论文 篇七

关键词：概率论,计算,概率模型

概率论是一门研究随机现象统计规律的学科, 它是各种数理统计方面的理论基础。在自然界存在着两类不同的现象——确定性现象和随机现象。若一个试验在可以相同的条件下重复进行, 且试验的所有可能结果是已知的, 但无法预言每次试验的具体结果, 则称此试验为随机试验。随机试验的结果称为事件。

概率内容中新概念较多, 相近概念易于混淆。

一、等可能事件和互斥事件

等可能事件的前提是:一次试验可能出现的结果 (基本事件) 只有有限个, 并且每一中结果出现的可能性都相等。互斥事件的前提是:同一试验中两个事件不可能同时发生。等可能事件的出发点是两个事件所含结果出现的机会是否相等, 互斥事件只要求不同时出现, 而不要求出现的机会是否相等。

例1:甲袋中有10个白球, 6个黑球, 乙袋中有6个白球, 10个黑球。现在从中各取一球。求事件“A=两球同色”的概率。

解析: (从等可能角度考虑) 从中各取一球的基本事件的总数为C161C161=265个, 而两球同色共有C101C61+C61C101=120取法, 由等可能事件概率的计算公式知 (从互斥事件角度考虑) 记A1=“两球为白球”, A2=“两球为黑球”, 则事件A1与A2互斥, 故

二、互斥事件与对立事件

互斥与对立都表示两个事件之间的关系, 互斥事件是指同一试验中不可能同时发生的两个事件。而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外, 还要求这两个事件中有且只有一个发生。因此对立事件一定是互斥事件, 且是互斥事件的特殊情况, 而互斥事件不一定是对立事件。从本质上说“互斥”是“对立”的必要而非充分条件。

例2.两个射手向同一目标射击, 判断下列每组事件是否互斥事件, 是否对立事件。

(1) “甲击中目标, 乙未击中目标”与“甲未击中目标, 乙击中目标”;

(2) “甲乙至少有一人击中目标”与“甲乙都未击中目标”。

解析:记A=“甲击中目标”, B=“乙击中目标”

(2) 由于前一个事件意味着“目标被击中”, 后者意味着“目标未被击中”所以它们既是对立事件又是互斥事件。

三、互斥事件与相互独立事件

互斥事件强调在同一事件中两个事件不能同时发生, 即同时发生为不可能事件;相互独立事件则强调试验下两个事件互不影响, 它们都描绘了两个事件的关系, 但其所描绘的本质不同, 相互独立的两个事件不一定互斥, 有可能同时发生。

例3.甲乙丙三人独立的同解一道题, 他们单独解出此题的概率分别为0.5, 0.6, 0.7

(1) 求有人没解出这道题的概率;

(2) 求恰有一任解出此题的概率。

解析:记甲乙丙单独解出此题的事件分别为A, B, C, 则A, B, C是相互独立的事件, 而不是互斥事件。

(1) 记D=“有人没解出此题”, 则D与ABC是对立事件, 并且P (ABC) =0.5×0.6×0.7=0.21, 那么P (D) =1-P (ABC) =1-0.21=0.79

(2) E=“恰有一人解出此题”, 则而是互斥事件, 那么

注:概率问题的求解实现应正确理解各种“事件”, 并分清它们之间的联系, 然后用数学式子来描述这些关系。

四、等可能事件与相互独立事件

等可能事件强点一次试验中两个事件出现的机会是否均等, 而相互独立事件强调不同试验下的两个事件互不影响.有些相互独立事件的概率问题可以借助于等可能事件的概率求解。

例4.同时掷出两枚筛子, 记A=“第一个骰子的点数为偶数”, B=“第二个骰子的点数为奇数”, C=“两个骰子的点数同时为偶数, 或同时为奇数”, 判断事件A, B, C是否相互独立。

解析:同时掷出两枚骰子的基本事件的总数为C61C61=36个, 由等可能事件概率的计算公式可知于是P (ABC) ≠P (A) P (B) P (C) , 故事件A, B, C不相互独立。

注:众所周知, 事件A1, A2……An中任意两个互斥, 则A1, A2……An彼此互斥, 但是通过本题可见, “互斥”不可能类比到“相互独立”上来, 即对于A1, A2……An中任意两个相互独立, 则未必有A1, A2……An相互独立。

五、相互独立事件与n次独立重复试验

n次独立重复试验有3个特征:

(1) 实验次数不止一次, 而是多次, 每次试验相互独立, 试验的结果互不影响, 即事件A在各次试验中的概率保持不变;

(2) 次试验的条件是相同的, 是重复性的试验序列;

(3) 次试验只有且只有两个事件A与并且这两个事件互斥。

因此在相同多次的试验中, 只要任意两次的结果不但相互独立而且只有事件A与出现, 那么相互独立事件问题就可以上升为独立重复实验来求解。

例5.某人射击依次命中目标的概率为0.5, 求射击6次恰有3次命中且无两次的概率。

解析:由于恰有3次命中目标且无两次连续命中目标共有C43=4个互斥事件, 而每个互斥事件是若干个相互独立事件的积, 所以恰有3次命中目标且无两次连续命中目标的概率为P6 (3) =4×0.53 (1-0.5) 3=116

注:在独立重复试验中, 事件A发生k次试验为Cnk互斥事件之和, 每个互斥事件是n个相互独立事件的积。事件发生k次, 其对立事件A发生了n-k次, 即每个互斥事件的概率为pk (1-p) n-k

六、古典概型和贝努里概型

(1) 古典概型的特征:

(1) 样本空间的元素 (即基本事件) 只有有限个, 不妨设为n个, 并记它们为, w1w2……wn

(2) 每个基本事件出现的可能性是相等的, 即有P (w1) =P (w2) =P (w3) =……P (wn)

(2) 贝努里概型的特征:试验E只有两个可能的结果A及, 并且 (其中0<p<1) , 把E独立的重复n次的试验构成了一个试验, 这个试验称作重贝努里试验或贝努里概型。

例6.在盒子中有10个相同的球, 分别标号为1, 2, 3, ……10, 从中任取一球, 求此球的号码为偶数的概率。

解:令i={所取球的号码为i}, i=1, 2, ……10, 则Ω={1, 2, ……10}故基本事件总数n=10, 又令A={所取球的号码为偶数}显然A={2}={4}={6}={8}={10}所以A中含有nA=5个基本事件, 从而

例7.某人有一串m把外形相同的钥匙, 其中只有一把能打开家门, 有一天该人酒醉后回家, 下意识地每次从m把钥匙中随便拿一只去开门。问该人在第k次才能打开家门的概率是多大?

解:因为该人每次从m钥匙把中任取一把试用后不做记号又放回, 所以能打开家门的一把钥匙在每次试用中被选中的概率为, 易知这是一个贝努里试验, 在第k次才把门打开, 意味着前面的k-1次都没有打开。于是由独立性即得:

P (第k次才把门打开)

七、全概率公式与贝叶斯公式

(1) 设B1, B2……是一列互不相容的事件, 且有则对任一事件A, 有这个公式称为全概率公式。

(2) 若B1, B2, ……为一列互不相容的事件, 且则对任一事件A有P (Bi|A)

例8.某工厂有四条流水线生产同一种产品, 该四条流水线的产量分别占总产量的15%, 20%, 30%, 35%, 又这四条流水线的不合格品率依次为0.05, 0.04, 0.03, 及0.02, 现在从出厂产品中任意取一件, 恰好抽到不合格品的概率为多少?

解:令A={任取一件, 恰好抽到不合格品}

Bi={任取一件, 恰好抽到第i条流水线的产品} (i=1, 2, 3, 4)

于是由全概率公式可得:

例9.用甲胎蛋白法普查肝癌,

令C={被检查者患肝癌}

A={甲胎蛋白检查结果为阳性}

C={被检查者未患肝癌}

A={甲胎蛋白检查结果为阴性}

由过去的资料已知, P (A|C) =0.95

P (A|C) =0.90

已知某地居民肝癌的发病率为P (C) =0.0004, 在普查中查出一批甲胎蛋白检查结果为阳性的人, 求这批人中真的患有肝癌的概率P (C|A) 。

解:由贝叶斯公式可得:

参考文献

8.“概率”试题归类赏析 篇八

一、 随机事件及其概率

例1 （1） 如果某种体育彩票中奖的概率为1500，那么买500张该彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释.

解析 不一定能中奖.因为买500张体育彩票相当于做500次试验，而每次试验的结果都是随机的，所以做500次试验的结果也是随机的.即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此500张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一、两张乃至多张中奖.

（2） 在一场足球比赛前，裁判员利用抛硬币来决定由哪一队先发球，请用概率的知识解释其公平性.

解析 这个规则是公平的.因为随意地抛出的硬币落地后，正面朝上与反面朝上的概率均是0.5，所以任何一方猜中的概率都是0.5，也就是两队取得先发球权的概率都是0.5，而只有使双方取得先发球权的概率都是0.5的规则才是公平的.

二、 古典概型

题型一 枚举法求随机事件所含的基本事件数及随机事件发生的概率.

把所有的基本事件一一列举出来再计数，这样的方法叫做枚举法.

例2 （2007年高考广东卷）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）

A. 310

B. 15

C. 110

D. 112

解析 “随机取出2个小球”的试验中所含的基本事件较少，可用枚举法.等可能的基本事件（取到1，2号球用（1，2）表示）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.其中“取出的小球标注的数字之和为3或6”这一事件包含3个基本事件：（1，2），（1，5），（2，4）.故其概率P=310.

点评 用枚举法要做到不重复、不遗漏.

题型二 有序性与无序性抽样的概率.

有序抽样与无序抽样的试验中的基本事件的总数是不一样的，特别要注意“一次抽取”与“依次抽取”的区别，前者无顺序要求，后者有顺序要求.

例3 袋子中有红、白、黄、黑四个颜色不同大小相同的小球.

（1） 从中任取两个球，求取出的是一个红球和一个白球的概率；

（2） 从中先后各取一个球，求取出的分别是红球、白球的概率.

思路分析 “从中任取两个球”和“从中先后各取一个球”是两种不同的试验，前者无顺序的要求，后者有顺序的要求，两种试验的基本事件是不一样的.

解析 （1） 设“取出的两个球是一个红球和一个白球”为事件A，在“从中任取两个球”这个试验中等可能出现的结果有6种：（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）.所以P（A）=16.

（2） 设“先后分别取出的球是红球、白球”为事件B，注意“先后各取一球”这个试验有顺序性，如（红，白），（白，红）表示两种不同的试验结果，所以在这一试验中等可能出现的结果有12种：（红，白），（白，红），（红，黄），（黄，红），（红，黑），（黑，红），（白，黄），（黄，白），（白，黑），（黑，白），（黄，黑），（黑，黄）.

所以P（B）=112.

点评 从四个球中“任取两球”有4×3÷2种取法；“先后各取一球”有4×3种取法.注意这两个结果的区别与联系，可简化很多解题步骤.

题型三 有放回和无放回抽样的概率.

有放回抽样和无放回抽样是完全不同的两种抽样方法.有放回抽样，每次抽样时，总体容量不改变，每一次抽取都不影响其下一次抽取.无放回抽样，每次抽样时，总体容量会不断减少，所以每一次抽取对其下一次抽取都有影响.

例4 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.

（1） 如果从中取出一件，然后放回，再取出一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

（2） 如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.

思路分析 （1） 为有放回抽样，（2） 为无放回抽样.

解析 （1） 有放回地抽取3次，按抽取顺序记录结果（x，y，z），则x，y，z都有10种可能，所以该试验的基本事件有10×10×10=103（个）.

设事件A为“连续3次取出的都是正品”，则其包含的基本事件共有8×8×8=83（个），故P(A)=83103=0.512.

（2） 解法一 可以看作不放回有顺序地抽样3次，按抽取顺序记录结果（x，y，z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以该试验的所有基本结果有10×9×8=720（种）.

设事件B为“3件都是正品”，则其包含的基本事件的总数为8×7×6=336，

所以P(B)=336720=715.

解法二 可以看作不放回无顺序地抽样3次，如何体现“无顺序”呢？可先按抽取顺序记录结果（x，y，z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，再将（x，y，z），（x，z，y），（y，x，z），（y，z，x），（z，x，y），（z，y，x）看作是相同的结果，所以该试验的所有基本结果有10×9×8÷6=120（种）.

同样的方法，事件B包含的基本事件的总数为8×7×6÷6=56，因此P(B)=56120=715.

点评 关于不放回抽样，计算基本事件的个数时，其抽样方式既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的.但不论选择哪一种方式，算基本事件总数和事件A包含的基本事件数时，角度必须一致，否则会导致错误.

三、 几何概型

题型一 测度为长度的几何概型.

例5 （磁带问题）乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话,然而谈话却被监听录音机记录了下来，

共计30分钟.联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他俩犯罪的信息，然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了.该工作人员声称她完全是无意中按错了键，将从即刻起往后的所有内容都擦掉了.试问:如果这10秒钟长的内容开始于磁带记录后的半分钟处，那么这含有犯罪信息的内容被部分或全部擦掉的概率是多大？

图1

解析 将30分钟的磁带表示为长度为30的线段D，设“10秒钟的谈话被擦掉部分或全部”的事件为A，则A发生等价于按错键（即“被擦掉”开始）的时间位于录音的开始到12+1060=23（分钟）处之内，则A对应的区域d的长度为23，如图1所示.

因此P（A）=d的测度D的测度=2/330=290=145.

题型二 测度为面积的几何概型.

例6 （2007年高考宁夏卷）设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.

若a是从区间［0,3］上任取的一个数，b是从区间［0,2］上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

图2

思路分析 设事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”.而取a,b的随机试验的全部结果所表示的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.由Δ=4a2-4b2≥0,知事件A所对应的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}，如图2所示.

所以P（A）=3×2-（1/2）×223×2=23.

题型三 测度为体积的几何概型.

例7 在线段［0，1］上任意选三个点，问：由0到三点的三条线段能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中，哪一个事件的概率大.

解析 设0到三点的三条线段长分别为x，y，z，即相应线段的右端点的坐标为x，y，z，显然0≤x,y,z≤1.这三条线段能构成三角形的充要条件是：x+y＞z,x+z＞y,y+z＞x.

图3

随机试验“在线段［0,1］上任意选出的三点x，y，z”的所有基本结果与立方体“0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1”（记为T）中的点(x,y,z)一一对应.

可见“三条线段能构成三角形”的概率，等于在该立方体中随机地取点，而点落在满足“x+y＞z,x+z＞y,y+z＞x”的区域中的概率，也就是落在图3中的由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所围成的区域G中的概率.

由于V(T)=1，V(G)=13-3×13×12×13=12,所以P=V(G)V(T)=12.

由此得，能与不能构成三角形这两个事件的概率一样大.

四、 互斥事件及其发生的概率

互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个两个事件叫做对立事件；如果事件A与B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A和B分别发生的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P（B），对立事件A与A必有一个发生，故A+A是必然事件，从而P（A+A）=P（A）+P（A）=1.

例8 将两颗骰子投掷一次，求：

(1) 向上的点数之和是8的概率；

(2) 向上的点数之和不小于8的概率.

思路分析 骰子共有六个面，各个面上分别标有1，2，3，4，5，6，投掷两颗骰子共有6×6=36（种）基本结果.分清“点数之和为8”以及“不小于8”各包含那些基本结果，然后利用等可能事件的概率及互斥事件至少有一个发生的概率公式进行计算.

解析 将两颗骰子投掷一次，共有36种基本结果，向上的点数之和共有11种不同的值.

(1) 设事件A为“两骰子向上的点数之和为8”，事件A1为“两骰子向上的点数分别为4和4”，事件A2为“两骰子向上的点数分别为3和5”，事件A3为“两骰子向上的点数分别为2和6”，则A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1+A2+A3，故P(A)=P(A1+A2+A3)=136+236+236=536.

(2) 设事件S为“两骰子向上的点数之和不小于8”，事件A为“两骰子向上的点数之和为8”，事件B为“两骰子向上的点数之和为9”，事件C为“两骰子向上的点数之和为10”，事件D为“两骰子向上的点数之和为11”，事件E为“两骰子向上的点数之和为12”，则A，B，C，D，彼此互斥，且S=A+B+C+D+E，P(A)=536.

用与算P（A）类似的方法，可得P(B)=19，P(C)=112，P(D)=118，P(E)=136，故P(S)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=536+19+112+118+136=512.

点评 （1） 解题规律：两个骰子向上的点数之和为各种不同的值的概率分别为(P(n)表示两点数之和为n的概率)：

9.概率论分析 篇九

默认分类 2008-06-09 10:14:12 草稿 字号：大中小

概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却肇事于所谓的“赌金分配问题”.1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题:在一场赌博中,某一方先胜6局便算赢家,那么,当甲方胜了4局,乙方性了3局的情况下,因出现意外,赌局被中断,无法继续,此时,赌金应该如何分配?帕西奥尼的答案是:应当按照4:3的比例把赌金分给双方.当时,许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理.因为,已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金,而另一方则需要胜3局,并且只少有2局必须连胜,这样要困难得多.但是,人们又找不到更好的解决方法.在这以后100多年中,先后有多位数学家研

究过这个问题,但均未得到过正确的答案.直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通

信,他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题.甲甲甲甲甲甲乙乙甲乙乙乙

甲甲甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙

甲甲乙甲甲乙乙甲

乙乙

甲乙

甲乙甲甲乙乙甲甲乙乙乙甲

帕斯卡和费马以“赌金分配问题”开始的通信形式讨论，开创了概率论研究的先河.后来荷兰数学家惠更斯（1629－1695）也参加了这场讨论,并写出了关于概率论的第一篇正式论文《赌博中的推理》.帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人.事至今日,概率论已经在各行各业中得到了广泛的应用,发展成为

一门极其重要的数学学科.乙甲甲甲乙甲乙甲乙乙乙乙

乙甲甲乙

甲方胜乙方胜

在这16种排列中,当甲出现2次或2次以上时,甲方获胜,这种情况共有11种;当乙出现3次或3次以

上时,乙方胜出,这种情况共有5种.因此,赌金应当按11:5比例分配.大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研

究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。

数理统计中方法应用的选取

数理统计是应用数学学科之一，其应用十分广泛。随着研究随机现象规律性的科学——概率论的发展，应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料，通过对某些现象的频率的观察来发现该现象的内在规

律性，并做出一定精确程度的判断和预测；将这些研究的某些结果加以归纳整理，逐步形成一定的数学概

型，这些组成了数理统计的内容。

数理统计在自然科学、工程技术、管理科学及人文社会科学中得到越来越广泛和深刻的应用，其研究的内容也随着科学技术和经济与社会的不断发展而逐步扩大。在学习了应用数理统计这门课程后，我了解了统计推断检验等方法，能够应用这些方法对研究对象的客观规律性做出一定的估计和判断。我认为在使用统计进行实际数据分析时，统计方法应用的正确与否至关重要。下面我就对于在本门课程中学习到的一些统计变量、方法等的应用做一个归纳阐述。

一、描述统计应用

描述统计是数理统计的初级阶段，反映所收集数据的某些现象的内容做出的统计加工。在处理实验数据或采样数据时，经常会遇到对相同采样或相同实验条件下同一随机变量的多个不同取值进行统计处理的问题。在数理统计学中，作为描述随机变量总体大小特征的统计量有算术平均值、几何平均值和中位数

等。在应用中应根据要根据随机变量的分布特征确定合适的均值。如表1:

随后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在1919～1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限理论问题也在实际中不断产

生。

中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是

数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。

[编辑]林德伯格－列维定理

林德伯格－列维（Lindburg-Levy）定理，即独立同分布随机变量序列的中心极限定理。它表明，独立同分布、且数学期望和方差有限的随机变量序列的标准化和以标准正态分布为极限：

设随机变量X1, X2,...,Xn独立同分布，且具有有限的数学期望和方差E(Xi)= µ，D(Xi)= σ²

≠ 0(i=1,2,...n)。记

$bar=fracsum\_\{i=1\}^X\_$

则

$lim\_\{nrightarrowinfty\}Pleft(frac\{bar-mu\}\{sigma/sqrt\}leq\; zright)$

=Phileft(zright)

其中Φ(z)是标准正态分布的分布函数。

[编辑]棣莫佛－拉普拉斯定理

棣莫佛－拉普拉斯（de Movire-Laplace）定理，即服从二项分布的随机变量序列的中心极限定理。

它指出，参数为n, p的二项分布以np为均值、np(1-p)为方差的正态分布为极限

大数定律（laws oflarge number)

概率论历史上第一个极限定理属于贝努里，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算

术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一。又称弱大数理论

1733年，德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。贝努里是第一个研究这一问题的数学家，他

于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。

【举例说明】