第四册一元二次方程根与系数的关系

第四册一元二次方程根与系数的关系（精选3篇）

1.第四册一元二次方程根与系数的关系 篇一

一元二次方程的根与系数的关系评课

“一元二次方程的根与系数的关系”是初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程的内容，但不是课标要求范围的内容，教学要求是“阅读材料”。由于该内容对学生在高中数学学习中的作用非常重要，初中老师一般都要带领学生认真阅读，对一元二次方程的根与系数的关系产生的背景作一些介绍，最多对其应用适当练习即可。但宋老师考虑到“一元二次方程的根与系数的关系”（韦达定理）是一个很好的数学探究问题，因此，将之定位为定理的探索→再发现→证明→应用，充分展示从问题出发寻找解决问题的途径和对策，定位准确、立意新颖、符合认知规律，宋老师确定的教学目标有三点：一是经历“一元二次方程的根与系数的关系”的探索过程，培养学生观察、归纳、猜想、论证能力；二是掌握一元二次方程的根与系数的关系，能进行简单应用；三是体验归纳猜想思想、特殊与一般思想、整体思想等数学思想方法。

其中前两条是知识与技能、过程与方法层面的，是数学学习的常规要求，也是数学教学呈现在学生面前的显性目标；第三条是隐性目标，从价值观角度看更重要，渗透的是数学的精髓——数学思想方法，对学生后续数学学习作用深远。

本节课自始至终从问题出发，引导学生探讨解决问题的对策，始终围绕问题，寻求问题解决的途径。教学过程高潮不断，亮点纷呈，具体如下：

首先，问题导入：“若x1,x2 是一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实数根，求x1x2,x1x2 的值．”学生都是先求根再代入求值，不仅繁琐，而且易错，教师提出“有没有既简便又不易出错的方法解决此问题？”实际上直奔从问题到对策的主题，充分激发出学生的求知欲望。

其次，教师并没有马上解决以上问题，而是将问题高挂，进入本节课的最重要阶段——让学生通过两个一元二次方程根与系数的观察，猜想它们之间存在什么样的关系，这是本节课的难点之一。学生在观察、归纳、猜想过程中，有的深思，有的兴奋，有的一筹莫展，有的得出了结论，有的甚至得出了其它结论，可见学生思维活跃，发散性数学思维得到很好的发展。

再其次，在教师的带领下，从逻辑上证明结论、用具体方程验证结论，完善问题解决的过程，充分显示出数学研究的特性——严密的逻辑性，培养学生解决数学问题良好习惯。接下来，回到问题导入中的问题，让学生体验一元二次方程的根与系数的关系的价值、体验成功解决数学问题的喜悦。

最后，通过例题与习题学会灵活运用新学的知识和方法解决新问题，达到学以致用的目的。

在整个教学过程中，有几个值得倡导的地方： 1．自主学习、合作交流体现出新课标理念。传统教学是老师讲学生听、老师写学生记、老师问学生答，随处可见的是，师生互动、生生互动的场面，本节课上学生成了真正课堂学习的主人。

2．数学是思维的体操得到充分展示。数学课的特点是思考，本节课上学生一直都地思考问题，一直都在想方设法地探求解决问题的对策，数学思考特色鲜明。

3．创新是课堂教学追求的目标。虽然学生在一节课上不大可能有什么重大发现，但通过对原有的结论进行探究，在探究的过程中让学生学会观察、归纳、猜想、论证，从而对结论再发现就是培养学生创新的重要手段。本节课对“一元二次方程的根与系数的关系”的探究过程就是对学生进行创新思维培养的很好体验。

不足之处分析

课堂应变能力有待提高。有两处：学生得出 的猜想是不严密的需要加绝对值，教师没有注意就过去了；学生对 的另一种解法是一种很好的方法，教师没有肯定，对学生创新思维的培养不利。

改进方案探讨

当一个问题得到解决以后，教师应站在一定的高度简要点评和小结，使解决问题的对策得以显现，让学生更加清晰，解决问题的对策得以升华。

教师在加强教学基本功，特别是应变能力要提高，课堂上思想要高度集中，对学生出现的与自己预设不同的情况要认真思考、正确判断、正面回应。

2.第四册一元二次方程根与系数的关系 篇二

一、基础知识

1. 公式的演变过程

对于一元二次方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) , 当判别式Δ = b2- 4ac≥0时 , 其求根公式为 :若两根为x1, x2, 当Δ≥0时 , 则两根的关系为 :x1+ x2=-b/a , x1·x2=c/a , 根与系数的这种关系又称为韦达定理, 它的逆定理也是成立的.

2. 知识的使用方法

(1) 先把所给的一元二次方程化为一般形式;

(2) 注意二次项系数不等于0这个隐含条件;

(3) 公式的运用要满足Δ≥0这个隐含条件. 使Δ≥0这个条件成立的方法有两种, 一是先解出字母的值后代入原方程检验, 然后舍去不合题意的值. 二是先由Δ≥0确定出字母的取值范围, 然后再做取舍.

3. 三个常用结论

(1) 若系数ac < 0, 方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) 必有一对异号根;

(2) 若系数a + b + c = 0, 方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) 必有一根为1;

(3) 若系数a - b + c = 0, 方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) 必有一根为-1.

二、综合运用

1. 不解方程, 求与根有关的代数式的值

例1已知:α4 + α2- 1 = 0, β2+ β - 1 = 0, 求β - α2 的值.

解由题意可得 (α2) 2 + (α2) - 1 = 0, β2 + β - 1 = 0, 所以α2, β可以看作是方程x2+ x - 1 = 0的两根, 则有α2 + β = -1, α2β = -1, 有 (β - α2) 2 = β2 - 2βα2 + α4 = (β + α2) 2 - 4α2β = (-1) 2- 4× (-1) = 5, 所以

在解题时经常要运用方程根的概念, 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.

2. 利用常用结论解决问题

例2已知:关于x的一元二次方程mx2 - (3m + 2) x + 2m + 2 = 0 (其中m > 0) . 设方程的两个实数根分别为x1, x2 (x1< x2) .若y是关于m的函数 , 且y = x2- 2x1, 求这个函数的解析式.

解因为m + [- (3m + 2) ]+ (2m + 2) = 0, 运用“②若系数a + b + c = 0, 方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) 必有一根为1”可得原方程的一根为1, 根据根与系数关系定理得x1·x2= (2m + 2) /m , 所以另一根为 (2m + 2) /m . 因为x1< x2且m > 0, 得 (2m + 2) / m> 1, 所以得x1= 1, x2= (2m + 2) / m= 2 +2/m , 代入y =x2- 2x1可得y = 2 +2/m- 2×1 =2/m. 即这个函数的解析式为y =2/m.

此题也可利用求根公式求出两根x1, x2, 再代入y = x2- 2x1, 也可得到结果, 但这种方法稍显烦琐且计算容易出错.

3. 利用根与系数的关系构造一元二次方程来解方程

例 3 解方程 (x2+ 3y2 - 7) 2+ |xy - 2| = 0.

解根据非负数性质得x2 + 3y2 = 7且xy = 2, 可得x2·3y2= 12, 故可以构造以x2 和3y2 为根的一元二次方程z2- 7z + 12 = 0, 解得z1= 3, z2= 4, 得, x3 = 2, x4= -2.

所以原方程的解为

巧用根与系数的关系解方程, 关键是将方程变形为“x1+ x2= -p, x1·x2= q”这种模型, 再构造相应的一元二次方程 , 从而求出原方程的解, 达到事半功倍之效.

4. 已知一根求另一根及未知数的值

例4已知一元二次方程x2 - 4x + k = 0的一根为, 求另一根x2 及k的值.

解由根与系数关系得x1+ x2= 4, x1x2= k, 即

此题还有一种方法是将已知的解代入方程之中, 求出未知数k, 然后再把k值代回原方程, 再求解这个方程的两个解, 显然这一方法计算量大, 而且容易出错. 然而运用根与系数的关系来求解, 情况就会截然不同, 很容易得出结果.

5. 由根与系数的关系求待定系数的值

例5已知x1和x2是关于x的方程kx2 + 4x - 3 = 0的两根, 若△ABC的两条边长是该方程的两根, 且这两边长的差为2, 求k的值.

本题除了要考虑未知系数的取值是否使根的判别式为非负数, 还要考虑未知系数的取值是否符合实际问题的意义.

3.第四册一元二次方程根与系数的关系 篇三

一元二次方程（一）

一、素质教育目标

（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．

（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．

（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．

二、教学重点、难点

1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．

2．教学难点 ：正确识别一般式中的“项”及“系数”．

三、教学步骤

（一）明确目标

1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．

2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？

教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．

板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．

（二）整体感知

通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的`地位．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？

（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？

（3）什么叫做分式方程？

问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫．

2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？

引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．

一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的．一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”．“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础．一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的．这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断．

3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；

（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；