高一数学解题方法

2024-11-04

高一数学解题方法（精选9篇）

1.高一数学解题方法篇一

函数导数解题技巧

考点：这种类型的题主要是考大家对导数公式的应用，导数的含义，明确导数可以用来干什么，如果你都不知道导数可以用来干什么，

你还谈什么做题呢。在导数这块，我是希望大家都能尽量的多拿一些分数，因为其难度不是很大，主要你用心去学习了，记住方法了，这个分数对我们来说都是可以小菜一碟的。题型：最值、单调性(极值)、未知数的取值范围(不等式)、未知数的取值范围(交点或者零点)解题思路：

最值、单调性(极值)：首先对原函数求导，然后令导函数为零求出极值点，然后画出表格判断出在各个区间的单调性，最后得出结论。未知数的取值范围(不等式)：其实它就是一种一种变相的求最值问题，不知道大家还记得么，记住我讲课的表情，未知数放在一边，把已知的数放在另外一边，求出相应的最值，咱们就胜利了，这个种看起来很复杂，其实很简单，你说呢。未知数的取值范围(交点或者零点)：这种要是没有掌握方法的人，觉得：哇，怎么就那么难呀，其实不然，很简单的，只是各位你要明确这种题的解题思路哈。首先还是需要我们把要求的未知数放在一边，把知道的数放在一边去，这样去求出已知数的最值，然后简单的画一个图形我们就可以分析出未知数的取值范围了，说起来也挺简单的，如果有什么不了解的，可以马上问我，不要留下遗憾。

2.高一数学解题方法篇二

1揭露

揭露是从正面发掘题设条件中的内涵。首先, 要弄清题中涉及所有概念的真正含义, 它们最主要的特征是什么?用数学的语言或式子如何表示它们?是否要画出相关的图形?其次, 一个数学概念往往包含丰富的内容, 但对解题真正有用的性质、定理、定义等却常常只有一两个。要在复杂的内容中抓住最本质的东西, 切忌眉毛胡子一把抓。再次, 一个题目中常常给出的直接条件, 不能满足解题的要求, 需进一步挖掘对解题有用的隐含条件。因此, 除了先弄清楚题中涉及一些概念、定理外, 还要根据问题的特点进一步探索, 已给出的概念、定理还与哪些定义、公式、法则相关联。根据这些概念、定理可直接引出哪些明显的结论。

例1 设 $f (x) = \frac{x}{a (x + 2)}, x = f (x)$ 有唯一解, $f (x_{0}) = \frac{1}{991} ‚ f (x_{n - 1}) = x_{n} ‚ n = 1, 2, \dots \dots$ , 求x1981

分析:本题的条件很多, 可以十分清楚地看到基本概念糅合的痕迹。只要分别提示出所涉及的一些概念的含义, 应能找到解题的方法。

1) x=f (x) 就是分式方程 $\frac{x}{a (x + 2)} = x$ , 化为二次方程, 即ax2+ (2a-1) x=0

这个方程有唯一解, 它的判别式

$\begin{array}{l} △ = (2 a - 1)^{2} - 4 a \cdot 0 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \\ 2) a = \frac{1}{2} \end{array}$

已揭出, 则 $f (x) = \frac{2 x}{x + 2}$ , 再由条件f (xn-1) =xn, 得 $x_{n} = \frac{2 x_{n - 1}}{x_{n - 1} + 2}$

3) 至此, xn已由一个递归方程表示出来, 下一步只需揭露这个递归方程所隐含的性质就可以了。

$\begin{array}{l} x_{n} = \frac{2 x_{n - 1}}{x_{n - 1} + 2} \Rightarrow x_{n - 1} x_{n} + 2 x_{n} = 2 x_{n - 1} \\ \Rightarrow 1 + \frac{2}{x_{n - 1}} = \frac{2}{x_{n}} \Rightarrow \frac{1}{x_{n}} = \frac{1}{x_{n - 1}} + \frac{1}{2} \end{array}$

4) 上式表明: $\frac{1}{x_{1}}, \frac{1}{x_{2}}, \dots ‚ \frac{1}{x_{n}} ‚ \dots$ 成等差数列, 其公差为 $\frac{1}{2}$ , 首项为 $\frac{1}{x_{1}} = \frac{1}{f (x_{0})} = 991$

5) 这个看似较为复杂的问题在揭露无遗之后, 便转化为下面简单的问题:“一个等差数列的首项为991, 公差为 $\frac{1}{2}$ , 求其第1981项的倒数”。

2发散

解题光靠直接揭露题设概念的一些内涵并不能顺利解决问题。这时, 就要进一步扩大发掘的范围, 想得更远一些。例如, 一个题目中出现数字“1”, 要认识它是“一”并不困难, 但对解题未必有用。如果能联想到1是 $\tan \frac{π}{4} ‚ \sin^{2} a + c o x$ 2a, Ig $10, C_{n}^{0}, \int_{0}^{^{\frac{π}{2}}} \sin x d x ‚ \dots$ , 是最小的正整数, 是不可能事件的概率等等。也就是说, 对一个概念除了要进行一般的揭露之外, 还要进行联想, 即进行发散思维。

发散一般从以下几个方面去联想: (1) 题目中涉及直接概念、隐含概念、相邻概念; (2) 题目的反面情况; (3) 题中概念在不同内容中的含义和表达式; (4) 题中某些特殊条件 (数字、形式、关系等) 可能引起的一些变化;等等。当然, 发散要抓住问题的关键, 有的放矢, 切莫想入非非, 离题万里。

例2 求证:对于任意的自然数n, 分数 $\frac{21 n + 4}{14 n + 3}$ 都不可约。

分析:分数 $\frac{21 n + 4}{14 n + 3}$ 不可约, 就是说两个整数21n+4与14n+3没有大于1的公约数。仅仅根据这点知识要解决问题是不够的, 必须扩大思考的范围。

1) 纵向思考 (分析法) : $\frac{21 n + 4}{14 n + 3}$ 不可约→21n+4与14n+3没有大于1的公因数→找到一种能判定这两个整数不可约的方法→能否利用辗转相除法?

2) 横向思考 (发散法) :

3) 反向思考 (反证法) :若可约21n+4与14n+3有公约数消去n导出矛盾。

3提炼

提炼是与发散相反的思维过程。在许多数学命题中, 命题者故意把一些本来简单的概念, 分散伪装, 用扑朔迷离、五花八门的条件来描述, 把解决问题的关键隐藏起来, 布下迷阵, 以考查学生分析解决问题的能力。这时, 我们必须通过对概念的揭露, 来一个去粗取精的提炼, 把问题简化并集中到某一点来解决。所以, 提炼就是简化的过程, 就是集中的过程。

对条件进行提炼, 常常可以从以下几个方面去考虑: (1) 把条件中隐含着的数字、图形尽可能具体地算出来, 画出来。 (2) 把题中包含的式子尽可能地化简。 (3) 选择尽可能简单的坐标系;用尽可能简单的数字表示待设的量。 (4) 尽可能减少未知数的个数, 减少可以被题中其他元素来表出的元素等等。

例3 英国著名侦探小说家柯南道尔在他的名著《福尔摩斯历险记》中, 特意安排了一个有趣的数学问题:福尔摩斯有一天到他的朋友华生家去做客, 听到外面庭院里有一大群孩子的喧闹声, 便问华生医生有几个孩子, 于是, 主客之间进行了下面一段对话:

主人:那些孩子不全是我的, 是4家的孩子。我的孩子最多, 弟弟的其次, 妹妹的更其次, 叔叔的孩子最少。虽然他们还不够按9人排成两队, 但足以把整个院子闹得天翻地覆。不过说来也巧, 4家孩子数乘起来, 其积正好等于我家的门牌号数, 至于我家的门牌号数, 你是知道的啦!

客人:过去在学校里也学过数学啦!让我试试把每家的孩子算出来吧!不过, 您提供的信息还不能得出结论。请你告诉我, 您叔叔的孩子数是一个呢?还是不止一个?

华医生回答了这个问题之后, 福尔摩斯马上准确地说出了各家孩子的数目。

你能根据上面提供的信息, 在门牌号也不知道的情况下, 算出各家的孩子数吗?

分析:这个问题给出的条件是:设4家的孩子数依次为a、b、c、d, 则医生提供的信息是:

(1) a>b>c>d≥1;

(2) a+b+c+d<18;

(3) abcd=N (N是门牌号数) 。

这些信息比较分散, 需要加以提炼, 找出更直接的信息。

由 (1) 、 (2) 可得出:

(4) 叔叔的孩子数只能是d=1或2。

因为若d≥3, 则由 (1) , c≥4, b≥5, a≥6, 有a+b+c+d≥18与 (2) 矛盾。

(5) 存在满足条件 (1) 、 (2) 、 (4) 的数组 (a、b、c、1) 和 (a′、b′、c′、2) , 使门牌号数N=abc=2a′b′c′。

由条件 (1) 和 (3) 知:

(6) ≥2×3×4×5=120。

(7) 门牌号数一定是N=120。

因为满足条件 (1) 、 (2) 和 (4) 中d=2的四数组, 乘积中除120外, 下一个最小的是2×3×4×6=144, 而满足条件 (1) 、 (2) 和 (4) 中d=1的四数组, 其乘积最大的两个是7×5×4×1=140, 7×6×3×1=126, 余下的都不超过120。

(8) 叔叔有2个孩子。

因为满足条件 (1) 、 (2) 、 (7) 的四数组 (a、b、c、1) 有两种结果:8×5×3×1=6×5×4×1=120 (无法判断)

所以, 由 (6) 、 (7) 、 (8) 可判断4家的孩子数为5、4、3、2。

4分解

有一些数学问题的条件是相互联系的, 包含多个方面, 解题时会遇到很大困难。因此, 审题时就要考虑将问题进行分解, 以便分而治之, 逐一解决。

分解的着眼点可以从多方面来考虑, 如: (1) 对题设条件可能出现的各种情况使用完全归纳法; (2) 对题中的变量或参数取值的范围, 进行分段处理; (3) 对证明的过程、步骤进行分解; (4) 对证明的关键分成几点来讨论, 等等。

例4 解方程connx-sinnx=1, n为任意自然数。

分析:这个方程的形式虽然简单, 但在实际解题过程中将会发现, 一般的方法都很难用上。如:

(1) 分解因式的方法;

(2) 利用倍角公式降次的方法;

(3) 化为复数的方法。

这些方法都不行。另辟途径, 能不能对某一部分自然数解出这个方程?

当n为偶数, 则n=2m, 则con2mx与sin2mx都是非负数。由connx-sinnx=1得cos2mx=sin2mx+1

因为cos2mx≤1, sin2mx≥0, 故欲使上式成立, 当且仅当sin2mx=0, cos2mx=±1, 所以, x=kπ (KEZ) )

当n为奇数, cosnx=1+sinnx≥0, 故cosx≥0, sinnx=cosnx-1≤0, 故sinx≤0,

因而x属于第四象限, 有|cosnx|=cosnx, |sinnx|=-sinnx

故原方程可化为:|cosnx|+|sinnx|=1

若x不是 $\frac{π}{2}$ 的倍数, 则|cosx|<1, |sinx|<1。

当n=1, |cosx|+|sinx|>1, 方程无解;

当n>3, |cosnx|+|sinnx|<cos2x+sin2x=1, 方程也无解。

因此, 若原方程有解, 则x必为 $\frac{π}{2}$ 的倍数, 即x=2kπ或 $x = 2 k π - \frac{π}{2}, (Κ E Ζ)$ , 故原方程的解是:

参考文献

[1]刘电芝.教育与心理研究方法[M].重庆:西南师范大学出版社, 1997.

3.高中数学解题思维方法刍议篇三

一、通过观察法，培养学生的解题能力

数学观察能力是一种有目的、有选择的加工能力，它具体体现为：掌握教学概念的能力，抓住本质特征的能力，发现知识内在联系的能力，形成知识结构的能力，掌握数学法则或规律的能力；这些能力的取得，是数学教学工作中的重要载体，也是思想方法教学中的重要途径.我们大家都知道数学中的式子、图形等都是形式多样、交错复杂的，因此要求观察者要有目的、有选择地去认识解题的整个过程，对数学对象要进行全面的思考，在复杂的式子或者是图形中分析其主要特征，并根据其特点来达到我们解决问题的思路.例如，我在讲解高中数学人教版必修2A《直线与平面平行的性质》的内容时，我提出了这样的问题：如果有一条直线与某一个平面平行，这个平面内的所有直线是不是也与这条直线平行呢？这时同学们议论纷纷，我不失时机拿出一支笔，把这支笔放到和讲桌所在平面平行的位置上，把另外的一支笔放在桌面，这时问题的答案就很明了，可以说观察在问题的解决中起到了重要的作用，比用复杂的证明过程要简单得多、省事得多.当然，数学问题是抽象的也是复杂的，我们不能只看表面的现象，而应该透过事物的本质加以观察.作为教师，在教学过程中，要指导学生观察整个解题的过程，不仅审题、解题过程要观察，而且解题后还要观察，这样学生才能具有多层次观察的能力.事实证明我在教学中的这种做法，不仅激发了学生的学习兴趣和求知欲望，而且对调动学生的学习积极性也起到了一定的作用，更从很大程度上提高了学生的解题能力.

二、通过探索能力，培养学生解题能力

我们大家都知道，求异思维在数学教学中是一种很重要的方法，也是一种创造性思维，它是学生在自己原有知识的基础上，凭借自己的能力，对已有的问题从另外一个角度，从不同的方向去思考的一种方法，从而有创造性地去解决问题.但是我们的学生思维往往以具体形象思维为主，容易产生一定的思维定势.在这种情况下，作为教师应该从以下几点入手：1.培养学生一题多问的能力，对于同一个问题，引导学生从不同的角度，从不同的方位提出问题.2.培养学生学会变通的能力，同学们在解题时，往往受解题动机的影响及局部感知的干扰，从而影响了整个解题的过程.在教学中，我要求学生在掌握数学法则及公式定理的基础上，进行题目的变换，将学生的思维定势进行淡化.3.培养学生一题多解的能力，在数学教学中，我经常引导学生对于某一个问题，要从不同的方面去解决，看看哪种方法是最简洁的，是最好的，从比较之中筛选最佳方案.

三、通過猜想法，培养学生解题能力

心理学家研究表明，学生的创新能力是教师根据一定的教学目的，运用所有的信息来源，使学生开动脑筋，转变思想，产生新颖独特的思维的一种智力品质.在科学技术发展的今天，一个国家的创造水平已关系到这个国家的荣辱兴衰.所以说，没有创新能力是不行的，要想培养具有创新能力的优秀人才，在数学教学中，大胆猜想是一种很好的方法，它起到了事半功倍的效果.牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现.”著名的数学教育学波利亚早在1953年就大声疾呼：“让我们教猜测吧！”“先猜后证──这是大多数的发现之道.”由此可见，在我们的教学实践中，不能只是强调数学的科学性与严密性，而应该通过猜想来培养学生的推理能力，让学生觉得数学是有趣的，不难学的.作为一名高中数学教师，要培养学生通过观察、实验的方法来进行大胆猜想.然后经过对问题的分析，归纳出其中的规律，先通过大体的估算，作出大胆的猜想，再通过严密的数学证明其正确性，这样激励着学生的猜想欲望，使学生觉得数学是有激情的，是与现实相联系的，并且是一门具有情趣的科学.在实际教学中，我经常向学生介绍一些著名的猜想案例，例如，德国数学家哥德巴赫猜想、我国数学家陈景润等人的猜想，使学生明白只要大胆猜想、敢于假设，学生就能从多角度、多层次去思考问题，就能打破传的思维模式，从而产生新的观念、新的思想、新的理论.

作为一名高中数学教师，我很清楚，我们教师是学生的引路人、指导者.教师只有教会学生解决问题的方法，学生才能真正地掌握数学知识及技能，才能真正的具有解决问题的能力.在今后的工作道路上，我一定要勤于思考，努力探索适合自己学生的教学方法，使他们具有坚实的数学功底与解决问题的能力.

4.高一数学解题技巧篇四

排除解题法一般用于解决数学选择题，当我们应用排除法解决问题时，需掌握各种数学概念及公式，对题目中的答案进行论证，对不符合论证关系的答案进行排除，从而有效解决数学问题。当我们在解决选择题时，必须将题目及答案都认真看完，对其之间的联系进行合理分析，并通过严谨的解题思路将不符合论证关系的条件进行排除，从而选择正确的答案。

排除解题法主要用于缩小答案范围，从而简化我们的解题步骤，提高接替效率，这样方法具有较高的准确率。例如，题目为“z的共轭复数为z，复数z=1+i，求zz-z-1的值。选项A为-2i、选项B为i、选项C为-i、选项D为2i。”

5.高一物理的解题方法篇五

因为用高中课本去复习物理基础知识有很多的缺点，速度慢效率也低。所以想要学好高中物理第一步就是要找到一个高效的复习基础知识的工具，那就是知识结构图。大家可以把一本书中所有需要掌握的知识点都画在一张图上，当然如果时间紧迫也可以用现成的，但是不如自己总结的效果好。这样就比较方便快速高效的复习基础知识了。

二、用错题本做好反思总结

在高中做过那么多的练习题，可以发现其实题型都是差不多的，因为高中物理知识点本身数量是有限的。所以，这个时候就需要你多进行反思和总结，要保证之前做过的题目不要再错。因为高考的时候，物理试卷上的题型都是做过不止一遍的。如果真正能够做好反思总结的话，那么学好高中物理也是不难的。

那么，怎么反思总结呢?最好的工具就是错题本。很多学生都在用错题本，但是没有感觉到错题本的效果，那是因为大家没有正确整理和利用错题本。在整理错题本的时候不是只写上正确答案就可以的，还要加上自己的反思总结，有时间就拿出来看看，这样才能起到效果。

高中物理有什么特点

1.知识比较抽象，知识点数量较少

像加速度等等这些东西，都是看不见摸不到的东西，比较抽象，所以不是很容易弄懂。这就需要大家对基础知识不断的去复习。但是高中物理的知识点数量却是比较少的，所以只要自己一个个的去攻克，学好高中物理还是很简单的。

2.题目复杂，变换形式多样

6.数学解题思维方法篇六

第二，要训练归纳能力。很多同学都认为数学难学，具体表现在数学比较抽象，它不像语文那样“写实”，往往用“1”代表总量，用x代表未知数，用a代表各种变量，说到底，同学们头疼的是数学的高度抽象。我们说数学的妙处就在于从特殊中找寻一般，总结归纳出一般情况下的规律，因此，要学好数学必须建立归纳推理能力。这里，我建议对于低年级的同学，多用观察法而不是去记公式，自己主动的探索数学奥秘，哪怕做错了题目也不要紧，通过观察，自己分析问题总结规律，形成自己对问题的认识。对于高年级的同学，我建议适当进行专项训练，在日常习题过程中，要主动培养自己从简单到复杂处理问题的能力，适当的使用“代入数字”的方法，对问题进行简化，对问题进行解析。

第三，要训练“定势”思维。思维定势是解决问题的一种成熟的表现，所谓经典题型有经典解法就是这个意思。一般来说，老师都会归纳总结出一系列经典的解题方法，对不同类型的题目，讲授专项的思维方式方法，也就是所谓的思维定势，如果没有建立思维定势，恰恰说明学生没有掌握住基本的解题方法和技巧。因此，我建议首先要建立解决数学问题的思维定势，运用定势思维来解决数学问题。如何建立“定势”思维呢，很简单，就是多做类型题，建立一个习题本，将同类题目进行归类，每一类题目都做一定量的训练，形成“条件反射”，对不同类型题要组织归纳出一定的“套路”，遇到此类题目可以按“套路”出牌。

7.浅谈数学解题方法的教学篇七

强调能者为师, 才能充分体现和实现学生的主体地位, 让学生畅所欲言, 尽情表述自己对某知识点的理解与想法, 讨论、争论、直至面红耳赤, 教师适时、适当地给予解释或分析, 这不仅不能埋没教师的地位, 更能体现教师把握教材、驾驭课堂的能力。“带着知识走向学生”, 不过是“授人以鱼”;“带着学生走向知识”, 才是“授人以渔”。

学生在学习的过程中, 有时一题有多种解法, 可以采取学生交流, 讲解的方法。通过不同学生的不同解法的展示, 不仅使学生意识到知识的灵活性, 增强一部分学生对数学的兴趣以及另外一部分学生的信心, 而且让学生经历探究解题方法的过程, 优化解题方法, 更会对整个班集体的学习起到一定的推动。

一、探究问题, 形成方法

教师在数学教学中, 要充分尊重学生的创造性实践, “学生是数学学习的主人, 教师是学生学习的组织者引导者”, 教师要努力为学生提供探究的平台, 提供充足的时间和空间, 让学生获得广泛的数学活动的机会。布鲁纳曾说“每个学生都有着一种与生俱来的需要和欲望, 这种欲望和需要是学生产生学习动机的源泉。”如教学分数应用题:某工程队12天完成一项工程的2/7, 完成全部工程要多少天?如果教师只引导学生列出算式12÷2/7=42天, 虽简捷准确但数学价值却大量流失, 应让学生走进数学, 自主探究问题。生1:计算这个问题, 应先求出1天的工作量, 也就是工作效率, 工作总量除以工作效率就是工作时间, 应先计算2/7÷12, 再用总量1÷ (2/7÷12) 。这个学生是从工程问题的角度用工程问题的解题思路来探究形成方法的。生2:可把整个工程看作整体1, 12天完成工程的2/7, 这项工程中有几个2/7, 就用几个12天, (1÷2/7) ×12=42天。这个学生用分单元除法来计算工程问题, 有自己的方法和思考。生3:因为12天完成工程的2/7, 也就是把整个工程看成单位1, 把这项工程平均分成7份, 12天完成了全部工程的2份, 完成1份需要几天, 再乘以7份, (12÷2) ×7=42天。这个学生根据每份工程需要的天数和总工程的份数探究解题方法。生4:可以把整个工程看成单位1, 12天所对应的分率中2/7, 用12÷2/7就能求出全部工程所需的天数。这个学生直接利用分率的方法来解题, 已知一个数的几分之几是多少, 求这个数。相同的问题, 学生思考的角度不同, 得到的方法也不同, 经历的思考过程也不相同, 也就是真实的教学, 让每个学生个性化学习得到充分展示的教学。

二、解决问题, 优化方法

学生在解决问题的过程中, 对所采用的方法进行了深入细致的思考, 探究出自己的方法。如上例分数应用题的求解, 教师面对四种方法, 何去何从呢?这里首先要澄清一个基本认识, 鼓励学生自主探究解决问题的方法, 必然会出现百花齐放的多种解法, 在这多种解法之中没有优劣之分, 教师要针对每种计算方法让学生自己体会、感悟, 使这种方法产生更大的利用价值, 也就是让自己所选用方法优化, 而不是教师在这几种方法之中排出三六九等的计算方法。相对于学让来说, 每一种方法的产生都是在自己的深刻思考之后得出的最为欣赏和擅长的方法。优化方法的过程应当是教师引导学生对自己探究的方法进行自我反思、自我完善, 致力于分析、归纳自己方法的优点和缺点, 及时修正或补充。如上例在学生完成四种方法之后, 教师再引导学生对自己的方法进行反思, 生1的方法从工程问题来优化, 用单位1除以工作效率可以看出工作效率的倒数即这工作天数, 先求2/7÷12=1/42, 1/42的倒数为42, 不必再用1去除。生2的方法先求整体1中有几个12天的工作量, 比较简捷。生3采用的方法可以结合比例求解, 2/7需要12天, 是有2:7=12:x, 这种方法可以和比例求解相互融通。生4的方法按分率求解, 直接简捷。学生对每种方法充分思考之后, 教师要充分尊重学生的比较和选择, 让学生选择使用自己的最合适的方法, 充分激活学生的创造性思维, 让学生充分展示自我, 获得巨大的成功和快乐。

三、拓展问题, 创新方法

学生掌握了一定的方法后, 教师要进一步创设情境, 拓展问题, 充分让学生应用方法, 创新方法, 达到举一反三, 触类旁通的效果。通过上列问题的教学, 学生亲自参与和经历了方法的产生和应用, 教师此时要进一步创设情境, 在此问题的基础上增加深度和难度, 开展深层次的思维训练。教师适时启发点拨, 提供给学生充分探索与发现的时间和空间, 最大限度的让学生从事数学实践, 真正掌握知识技能和思想方法, 从而获得更广泛的活动经验。如完成练习:某粮店上午运来大米和面粉共84袋, 其中面粉占2/7。下午又运来一批面粉, 这时面粉占大米和面粉的2/5, 下午运来面粉多少袋?此题相对前一题来说, 好像复杂好多, 但如果探究得法, 恰当的运用上面的解题方法, 则此题化繁为简。在此问题中尽管单位1或总量发生了变化, 但其中大米的量没有变化, 抓住这一关键来解题。上午运来粮食84袋, 面粉则有84×2/7=24袋, 大米则有60袋。下午运来面粉后, 大米占总量的1-2/5=3/5, 面粉占总量的2/5, 此问题可以变通为:粮店有大米60袋, 面粉24袋运来一批面粉后, 大米占总量的3/5, 面粉占总量的2/5, 又运来面粉多少袋?此问题与前一例如出一辙, 学生会迎刃而解:1÷ (3/5÷60) ; (1÷3/5) ×60; (60÷3) ×5;60÷3/5。计算总量为100袋, 那么下午运来面粉100-84=16袋。综上所述, 教师还可以引导学生列出综合算式, 进一步深化计算方法。首先根据大米量不变求出下午运来面粉后的总袋数, 84× (1-2/7) ÷ (1-2/5) =100袋, 再减原有量84袋即84× (1-2/7) ÷ (1-2/5) =16袋。

8.数学填空题的解题方法篇八

一、常用的解题方法

1. 定义法

例1 若函数[f(x)、g(x)]在共公定义内满足[|f(x)-g(x)|<1100]，则称[f(x)]与[g(x)]可以相互模拟. 若函数[f(x)=2x+1200sin100x]，则[f(x)]在R上的一个模拟函数[g(x)]可以是 .

解析由[f(x)=2x+1200sin100x]可得

[f(x)-2x=1200sin100x≤1200<1100,]

故[g(x)=2x.]

例2 若函数[y=f(x)]在[x=x0]处满足关系：（1）[f(x)]在[x=x0]处连续；（2）[f(x)]在[x=x0]处的导数不存在，就称[x0]是函数[f(x)]的一个“折点”. 下列关于“折点”的四个命题：

①[x=0]是[y=x]的折点；

②[x=0]是[y=1x,x<0x-1,x≥0]的折点；

③[x=0]是[y=-x2+1,x≤01,x>0]的折点；

④[x=0]是[y=e-x,x<0x+1,x≥0]的折点；

其中正确命题的序号是 .

解析由上定义及导数、连续的定义，对上述四个函数逐个检验知，只有①④正确.

2. 直接法

这是解填空题的基本方法，即直接从题设条件出发，利用性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算等直接得到结论. 使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.

例3 将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为 .

解析按每个盒子中所放的球的个数分类：

①[黑: 2, 2, 1白: 1, 1, 2⇒A13]， ② [黑: 1, 1, 3白: 1, 1, 2⇒A13×3]，

∴共有[A13+3A13=12]种不同的放法.

例4 平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是 .

解析设有[k]组共线的点，每组点数不小于3，依次记为[n1,n2,⋯,nk]，则有[(C2n1-1)+][(C2n2-1)+⋯+][(C2nk-1)=C211-48=7]，而[C2ni-1≥3-1=2]，所以[k≤3]，当[k=1,3]时无整数解；当[k=2]时，有整数解[n1=4,n2=3]，因此三角形数为[C311-C34-C33=165-][4-1=160]，由概率的定义，所求概率为[P=160165=3233].

例5 从双曲线[x2a2-y2b2=1a>0,b>0]的左焦点[F]引圆[x2+y2=a2]的切线，切点为[T]，延长[FT]交双曲线右支于[P]点，若[M]为线段[FP]的中点，[O]为坐标原点，则[MO-MT]与[b-a]的大小关系为 .

分析如图，连结[PF,OT]，

∵[FP-FP=2a]，∴[2FM-2OM=2a]，

即[FM-OM=a]，又∵[FM=MT+b]，

∴[MT+b-OM=a]，

即[MO-MT=b-a].

3. 特殊化法

当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论.

例6 在[△ABC]中，如果三边[a、b、c]成等差数列，则[cosA+cosC1+cosAcosC=] .

分析一取特殊值[a＝3,b＝4,c＝5]，则[cosA＝45]，[cosC＝0]，[cosA+cosC1+cosAcosC=][45].

分析二取特殊角[A＝B＝C＝60°,][cosA=cosC][=12]，[cosA+cosC1+cosAcosC=][45].

例7 已知[an]是公差不为零的等差数列，如果[Sn]是[an]的前[n]项和，那么[limn→∞nanSn=] .

解析由题意，不妨取[an=n]，则[Sn=nn+12]，于是有[limn→∞nanSn=limn→∞2n2nn+1=2].

例8 已知[m、n]是直线，[α、β、γ]是平面，给出下列命题：①若[α⊥γ,β⊥γ]，则[α∥β]；②若[n⊥α,n⊥β]，则[α∥β]；③若[α]内不共线的三点到[β]的距离都相等，则[α∥β]；④若[n]⫋[α],[m]⫋[α]，且[n∥β]，[m]∥[β]，则[α]∥[β]；⑤若[m,n]为异面直线，[n]⫋[α]，[n]∥[β]，[m]⫋[β],[m]∥[α]，则[α]∥[β]. 则其中正确的命题是 . （把你认为正确的命题序号都填上）

分析依题意可取特殊模型正方体[AC1]（如图），在正方体[AC1]中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.

例9 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为[h1]、[h2]、[h]，则[h1∶h2∶h=] .

解析由于所求的[h1∶h2∶h]为定值，所以可将三棱柱特殊化为直三棱柱. 又三棱锥、四棱锥的底面边长和侧棱都相等，所以取三棱柱为各棱长都相等的正三棱柱. 设正三棱柱的各棱长为[2]，则[h1=3]，[h2=h=2]，∴[h1∶h2∶h=3∶2∶2].

4. 数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.

例10 设函数[f(x)＝13x3＋12ax2＋2bx＋c]，若当 [x∈(0,1)]时，[f(x)]取得极大值，当[x∈(1,2)]时，[f(x)]取得极小值，则[b-2a-1]的取值范围是 .

解析 [f(x)＝x2＋ax＋2b]，令[f(x)＝0]，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，∴[f(1)<0，f(0)>0，f(2)>0，] 得[a+2b+1<0，b>0，a+b+2>0，]在 [aOb]坐标系中，作出上述区域如图中阴影所示，[b-2a-1]的几何意义是过两点[P(a,b)]与[A(1，2)]的直线斜率，而[P(a,b)]在阴影区域内，由图易知[kPA∈(14,1)].

例11 已知向量[a]=[(cosθ,sinθ)]，向量[b]=[(3,-1)]，则|2[a]－[b]|的最大值是 .

分析因[|2a|=|b|=2]，故向量2[a]和[b]所对应的点[A、B]都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而[|2a-b|]的几何意义即弦[AB]的长，故[|2a-b|]的最大值为4.

例12 设等差数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[S4≥10]，[S5≤15]，则[a5]的最大值为 .

解析由已知得[S4=4a1+4×32d≥10，S5=5a1+5×42d≤15，]

∴[2a1+3d≥5，a1+2d≤3.]

在坐标系[a1Od]中分别作出直线[2a1+3d=5]，[a1+2d=3]，两直线的交点[A1,1]，设目标函数[z=a5=a1+4d]，作直线[l0]：[a1+4d=0]，当平移直线[l0]经过点[A1,1]时，[z]有最大值5，即[a5]的最大值为5.

5. 合理猜想法

由于填空题不要求推证过程，因此，我们也可用归纳、猜想得出结论. 合理猜想，可以从特殊情形中发现规律，得出一般的正确结论. 此法多用于探索规律的一类题.

例13 设[{an}]是首项为1的正项数列，且[(n+1)a2n+1]－ [na2n＋an+1an＝0][(n＝1、2、3、…) ]，则它的通项公式是 .

分析分别令[n=1、n=2、n=3]，可求得[a2=12]， [a3=13]，[a4=14]，归纳可得[an=1n].

例14 方程[x3+lgx=18]的根[x≈] （结果精确到0.1）.

分析由已知，[x∈(2,3)],则[x3>lgx>0]. 而[183=2.62]，又结果需要精确到0.1，所以当[x=2.6]时，[x3+lgx=17.99；]当[x=2.5]时，[x3+lgx=16.02]，故填[x≈2.6].

6. 构造法

根据条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题.

例15 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有种.

分析符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球. 因此可先将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”，然后从4个盒中选出3个盒放1堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有[C24C34=144]（种）.

例16 如图，点[P]在正方形[ABCD]所在的平面外，[PD]⊥平面[ABCD]，[PD=AD]，则[PA]与[BD]所成角的度数为 .

分析根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得[PA]与[BD]所成角为[60°].

例17 在[△ABC]中，角[A、B、C]的对边分别为[a、b、c]，若[c－a]等于[AC]边上的高，则[sinC-A2+cosC+A2] 的值是 .

分析在[Rt△ABC]中，设[c=AB=2]，[a=BC=1]，则[c-a =1]为[AC]边上的高，此时[C=90°]，[A=30°]，

∴[sinC-A2+cosC+A2=sin90∘-30∘2+cos90∘+30∘2][=12.]

7. 分析法

根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.

例18 已知[a、b∈R]，则[a>b]与[1a>1b]同时成立的充要条件是 .

分析按实数[b]的正、负分类讨论：当[b>0]时[⇒a>0]，而等式不可能同时成立；当[b＝0]时，[1a>1b]无意义；当[b<0]时，若[a<0]，则两不等式不可能同时成立，以上三种情况均被淘汰，故只能为[a>0，b<0].

例19 有20张卡片上分别写有数字1，2，…，20，将它们放入一个盒子内，有4 个人从中不放回地各抽取一张卡片，抽到两个较小数字的两人在同一组，抽到两个较大数字的两人在同一组. 现其中有两人抽到5、14，则此两人在同一组的概率等于 (用最简分数作答).

分析由于已有两人分别抽到5和14两张卡片，则另外两人只需从剩下的18张卡片中抽取，共有[A218]种情况，抽到5 和14的两人在同一组，有两种情况:（1）5和14为较小两数，则另两人需从15～20这6张中各抽1张,有[A26]种情况；（2）5和14为较大两数，则另两人需从1～4这4张中各抽1张,有[A24]种情况.

于是，抽到5和14两张卡片的两人在同一组的概率为[P=A26+A24A218=751].

例20 已知三个正数[a]、[b]、[c]满足条件[a≤b+c≤3a3b2≤aa+c≤5b2]，则[b-2ca]的最小值为 .

分析 ∵[a≤b+c≤3a,3b2≤aa+c≤5b2,]

∴[1≤ba+ca≤3,3ba2≤1+ca≤5ba2,]

设[ba=x]，[ca=y]，则[1≤x+y≤33x2≤1+y≤5x2x>0,y>0]，作出该不等式组表示的平面区域（图中的阴影部分[ABCD]），令[z=b-2ca=x-2y]，则[y=12x-z]，它表示斜率为[12]的一组平行直线，易知，当它经过点[D45,115]时，[z]取得最小值，得，

∴[zmin=45-2×115=-185].

9.高中数学解题基本方法篇九

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；

a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；

a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]

a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；

x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2

；……

等等.Ⅰ、再现性题组：

1.在正项等比数列{a}中，asa+2asa+aa=25，则

a＋a＝_______.2.方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____.A.

B.k<或k>1

C.k∈R

D.k＝或k＝1

3.已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______.A.1

B.－1

C.1或－1

D.0

4.函数y＝log

(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____.A.（－∞,]

B.[,+∞)

C.(－,]

D.[,3)

5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____.【简解】

1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方（a＋a）易求.答案是：5.2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B.3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解.选C.4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解.选D.5小题：答案3－.Ⅱ、示范性题组：

例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____.A.2

B.C.5

D.6

【分析】

先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得.【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：.长方体所求对角线长为：＝＝＝5，所以选B.【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式.例2.设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围.【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,()+()＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥

.又

∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根，∴

△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2

综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－

或者

≤k≤.【注】

关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式.假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视.例3.设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋()

.【分析】

对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω

（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab

.则代入所求式即得.【解】由a＋ab＋b=0变形得：()＋()＋1＝0，设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝＝1.又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab，所以

()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2

.【注】

本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开.【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()＋()＋1＝0，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，完成后面的运算.此方法用于只是未联想到ω时进行解题.假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算.二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域.为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要.如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题.均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等.我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大.如上几例中的t>0和α∈[0,].Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________.2.设f(x＋1)＝log(4－x)

（a>1），则f(x)的值域是_______________.3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________.4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________.5.方程＝3的解是_______________.6.不等式log(2－1)

·log(2－2)〈2的解集是_______________.【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；

2小题：设x＋1＝t

(t≥1)，则f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log4]；

3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；

4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；

5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

6小题：设log(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2

例1.实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5

（①式），设S＝x＋y，求＋的值.【分析】

由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值.【解】设代入①式得：

4S－5S·sinαcosα＝5，解得

S＝；

∵

-1≤sin2α≤1

∴

3≤8－5sin2α≤13

∴

≤≤

∴

＋＝＋＝＝

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1.这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”.【另解】

由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，则xy＝±代入①式得：4S±5=5，移项平方整理得

100t+39S－160S＋100＝0

.∴

39S－160S＋100≤0

解得：≤S≤，∴

＋＝＋＝＝

【注】

此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题.第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t，减少了元的个数，问题且容易求解.另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法.和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式.本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5，求得a∈[0,]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值.例2．

△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值.【分析】

由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得

；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设，再代入可求cosα即cos.【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得,由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：

＋＝＋＝＋＝＝＝－2,解得：cosα＝，即：cos＝.【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°.所以＋＝－＝－2，设＝－＋m，＝－－m，所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝.【注】

本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练.假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°.所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和积互化得：2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－cos(A-C)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,解得：cos＝

y，－

例3.设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值.【解】

设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝

∴

f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋

（a>0），t∈[-,]

t＝-时，取最小值：－2a－2a－

当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－；

当0<2a≤时，t＝2a，取最大值：

.∴

f(x)的最小值为－2a－2a－，最大值为.【注】

此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解.换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-,]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错.本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论.一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究.例4.设对所于有实数x，不等式xlog＋2x

log＋log>0恒成立，求a的取值范围.【分析】不等式中log、log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法.【解】

设log＝t，则log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t，代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以，解得

∴

t<0即log<0，0<<1，解得0

(②式)，求的值.【解】

设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得：

＋＝＝

即：＋＝

设＝t，则t＋＝,解得：t＝3或

∴＝±或±

【另解】

由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋3＝0，∴t＝3或，解得＝±或±.【注】

第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数.第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形.两种解法要求代数变形比较熟练.在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低.例6.实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围.【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，于是实施三角换元.【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，即

代入不等式x＋y－k>0得3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)，所以k<-5时不等式恒成立.【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围.一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”.本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0

(a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分.此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域.即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时.当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立.y

x＋y－k>0

平面区域

三、待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：

①

利用对应系数相等列方程；

②

由恒等的概念用数值代入法列方程；

③

利用定义本身的属性列方程；

④

利用几何条件列方程.比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程.Ⅰ、再现性题组：

1.设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____.A.,－2

B.－，2

C.,2

D.－，－2

2.二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____.A.10

B.－10

C.14

D.－14

3.在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____.A.－297

B.－252

C.297

D.207

4.函数y＝a－bcos3x

(b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____.5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________.6.与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________.【简解】1小题：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；

2小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；

3小题：分析x的系数由C与(－1)C两项组成，相加后得x的系数，选D；

4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案；

5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；

6小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1.Ⅱ、示范性题组：

例1

已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式.【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”.【解】

函数式变形为：

(y－m)x－4x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0

∴

△＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0

即：

y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0

①

不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，代入两根得：

解得：或

∴

y＝或者y＝

此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y.【注】

在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n.两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解.本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程.例2.设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程.【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了.设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程.【解】

设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a

B’

O’

F’

A’

∴

解得：

∴

所求椭圆方程是：＋＝1

也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式，更容易求出a、b的值.【注】

圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式.在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.例3.是否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论.【分析】是否存在，不妨假设存在.由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立.【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c.整理得：,解得，于是对n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：

假设对n＝k时等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；

当n＝k＋1时，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10)

＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，也就是说，等式对n＝k＋1也成立.综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立.【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到.此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行.本题如果记得两个特殊数列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立.例4.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？

【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究.【解】

依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm.∴

盒子容积

V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x，显然:15－x>0，7－x>0，x>0.设V＝(15a－ax)(7b－bx)x

(a>0,b>0），要使用均值不等式，则

解得：a＝，b＝，x＝3

.从而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576.所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm.【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求.本题解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx

或

(15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”.四、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来.定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念.定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点.简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象.用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去.Ⅰ、再现性题组：

1.已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______.A.2≤n≤9

B.7≤n≤9

C.5≤n≤9

D.5≤n≤7

2.设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____.A.MPB.OMC.AT<

D.OM

3.复数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z|<

|z|，则实数a的取值范围是_____.A.－1

B.a>1

C.a>0

D.a<－1或a>1

4.椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____.A.8

C.7.5

C.D.3

5.奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____.A.T

B.0

C.D.不能确定

6.正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____.【简解】1小题：利用并集定义，选B；

2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；

3小题：利用复数模的定义得<，选A；

4小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A；

5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－)，选B；

6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2.Ⅱ、示范性题组：

例1.已知z＝1＋ｉ，①

设w＝z＋3－4，求w的三角形式；

②

如果＝1－ｉ，求实数a、b的值.【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答.【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）；

由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ.由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；

根据复数相等的定义，得：，解得.【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解.利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的.例2.已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)上的单调性.【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断.【解】

解得：，∴

f(x)＝－x＋x

解f(x)>0得：0

设

x+x>，x+x>

∴

(x+x)（x+x)〉×＝1

∴

f(x)－f(x)>0即f(x)在(,1)上是减函数

∵

∴

y＝logf(x)

在(,1)上是增函数.【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题.本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法.例3.求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程.【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2.抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程.y

【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y.根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：，消m得：（x－1）＋＝1，所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋＝1.【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到.本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程.在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义.一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用.五、数学归纳法

归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法.归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的.完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限.这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”.由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题.运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等.Ⅰ、再现性题组：

1.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1)

（n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____.A.2k＋1

B.2(2k＋1)

C.D.2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋

(n>1)时，由n＝k

(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____.A.2

B.2－1

C.2

D.2＋1

3.某个命题与自然数n有关，若n＝k

(k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立.现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______.A.当n＝6时该命题不成立

B.当n＝6时该命题成立

C.当n＝4时该命题不成立

D.当n＝4时该命题成立

4.数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____.A.3n－2

B.n

C.3

D.4n－3

5.用数学归纳法证明3＋5

(n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________.6.设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________.【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为，选B；

2小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C；

3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C.4小题：计算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，选B；

5小题：答案（3＋5）3＋5（5－3）；

6小题：答案k－1.Ⅱ、示范性题组：

例1.已知数列，得，…，….S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明.【解】

计算得S＝，S＝，S＝，S＝，猜测S＝

(n∈N).当n＝1时，等式显然成立；

假设当n＝k时等式成立，即：S＝，当n＝k＋1时，S＝S＋

＝＋

＝

＝＝,由此可知，当n＝k＋1时等式也成立.综上所述，等式对任何n∈N都成立.【注】

把要证的等式S＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1.这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向.本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到.假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密.必须要进行三步：试值

→

猜想

→

证明.【另解】

用裂项相消法求和：由a＝＝－得，S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝.此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现＝－的裂项公式.可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性.例2.设a＝＋＋…＋

(n∈N),证明：n(n＋1)

(n＋1)

.【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明.n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a＝a＋,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上，再与目标比较而进行适当的放缩求解.【解】

当n＝1时，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2，∴

n＝1时不等式成立.假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)

(k＋1)，当n＝k＋1时，k(k＋1)＋k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，所以(k＋1)(k＋2)

用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法.本题中分别将缩小成(k＋1)、将放大成(k＋)的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立的关键.为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则.本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明.主要是抓住对的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小.解法如下：由>n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由要证明{a}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：a＝a＋(n－1)d

.命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明.【解】

设a－a＝d，猜测a＝a＋(n－1)d

当n＝1时，a＝a，∴

当n＝1时猜测正确.当n＝2时，a＋(2－1)d＝a＋d＝a，∴当n＝2时猜测正确.假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a＝a＋(k－1)d，当n＝k＋1时，a＝S－S＝－，将a＝a＋(k－1)d代入上式，得到2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，因为k≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1时猜测正确.综上所述，对所有的自然数n，都有a＝a＋(n－1)d，从而{a}是等差数列.【注】

将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题.在证明过程中a的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S＝、数列中通项与前n项和的关系a＝S－S建立含a的方程，代入假设成立的式子a＝a＋(k－1)d解出来a.另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的条件是k≥2.【另解】

可证a

－a＝

a－

a对于任意n≥2都成立：当n≥2时，a＝S－S＝－；同理有a＝S－S＝－；从而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a

－a＝

a－

a，从而{a}是等差数列.一般地，在数列问题中含有a与S时，我们可以考虑运用a＝S－S的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的S求a一类型题应用此关系最多.六、参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题.直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证.换元法也是引入参数的典型例子.辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律.参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系.参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支.运用参数法解题已经比较普遍.参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题.Ⅰ、再现性题组：

1.设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________.2.（理）直线上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是________.（文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________.3.点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________.4.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______.5.设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数.(填“增”或“减”)

6.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是_____.A.3

B.C.D.2

【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；

2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±时，即(-4,5)或(0,1)；

（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝，所以e＝－；

3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；

4小题：设三条侧棱x、y、z，则xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4.5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；

6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选C.Ⅱ、示范性题组：

例1.实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值.【分析】由a＋b＋c＝1

想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求.【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0，∴

a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥，所以a＋b＋c的最小值是.【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧.本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥.两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力.例2.椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点.连OP、OQ，若k·k＝－，①求证：|OP|＋|OQ|等于定值；

②求线段PQ中点M的轨迹方程.【分析】

由“换元法”引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P、Q两点，先计算k·k得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得.【解】由＋＝1，设，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),则k·k＝＝－，整理得到：

cosθ

cosθ＋sinθ

sinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0.∴|OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，即|OP|＋|OQ|等于定值20.由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为，所以有()＋y＝2＋2(cosθ

cosθ＋sinθ

sinθ)＝2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1.【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究.本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ＋

cosθ）＋（sinθ＋sinθ），这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步.一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程.本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：

设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：，消y得(1＋4k)x＝16,即|x|＝；，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；所以|OP|＋|OQ|＝()＋（）＝＝20.即|OP|＋|OQ|等于定值20.在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的长.七、反证法

与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论

→

推导出矛盾

→

结论成立.实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.Ⅰ、再现性题组：

1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0

______.A.至多一个实根

B.至少一个实根

C.一个实根

D.无实根

2.已知a<0,－1ab>

B.ab>ab>a

C.ab>a>

D.ab>

ab>a

3.已知α∩β＝l，a

α，b

β，若a、b为异面直线，则_____.A.a、b都与l相交

B.a、b中至少一条与l相交

C.a、b中至多有一条与l相交

D.a、b都与l相交

4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____.(97年全国理)

A.150种

B.147种

C.144种

D.141种

【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；

2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；

3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；

4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C－C×4－3－6,选D.Ⅱ、示范性题组：

例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.【证明】

假设AC⊥平面SOB，∵

直线SO在平面SOB内，∴

AC⊥SO，∵

SO⊥底面圆O，∴

SO⊥AB，∴

SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.【注】否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根.试求实数a的取值范围.【分析】

三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根.先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案.【解】

设三个方程均无实根，则有,解得,即－

(其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；

②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像.【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设.【证明】

①

设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x,假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x，∵x≠x

∴

a＝1，这与已知“a≠1”矛盾，因此假设不对，即直线MM不平行于x轴.②

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