浅谈中学数学解题方法

浅谈中学数学解题方法（精选9篇）

1.浅谈中学数学解题方法 篇一

龙源期刊网 http://.cn

浅谈小学数学教学中的几点解题方法

作者：严雪花

来源：《现代教育实践与研究》2013年第04期

小学数学是学生数学学习的重要阶段之一，也是进一步学习数学的基础。小学数学基础打得是否扎实，在一定程度上决定初中数学学习是否轻松。小学阶段的教学主要培养学生的计算、观察、分析、思考以及解决问题的能力。但也不是单纯的教与学，而是引领学生发生知识的迁移，利用先前的知识结构省时省力、有理有据地解决问题，形成类似题型的解答模式。常言说：“授之以鱼，不如授之以渔”，而数学中的“渔”，就是各种各样的解题方法。但在众多的解法中，有的方法轻松省时，有的方法却费时费力，有时学生往往会做，但因步骤繁琐而粗心大意计算错误了。因此，在解答数学题时，通过一个解题方法就能看出一个人的数学知识素养程度。同时，选择一种好的解题方法往往能达到事半功倍的效果。下面就我在数学教学中总结的几种解题方法做以浅谈：

如果比的前后项都是整数时，我们可用短除法进行化简，最后把互为质数的两个商对应地写在比号的前、后即可。

转化法也是计算小数乘法时的一种简便方法。我们可以利用积随因数扩大或缩小而变化的规律，先根据两个因数的小数位数，适当扩大一定的倍数（10、100、1000……倍）转化为整数后再运算，再把积缩小（两因数扩大倍数之积）倍，即为原算式运算结果。

小学六年级上册数学的教学重难点就是分数或百分数应用题的解法，而分数应用题在毕业升学考试卷中也占了很大的比例。因此，只要教师授之的“渔”简单、易理解和掌握，学生对分数应用题可说是迎刃而解，节时又省力。这个“渔”就是下面我所浅谈的算数方法：

解题步骤，先弄清要解决什么问题；再找到单位“1”，看单位“1”具体是多少是否已知（根据单位“1”是否已知，将确定最后的运算方法）；然后根据已知条件确定分量与标准量相应的分数关系；最后，根据分数乘法的意义求未知量。具体公式如下：

分量=标准量×分率

标准量=分量÷分率

在小学高年级数学教学中，除了常规的套用公式解答的一般应用题外，还有许多较复杂的分数应用题。只要我们仔细分析题意，选对解法，不但省去了列方程的繁琐步骤，还省事省力。尤其是部分计算题，如果正确运用一些简便方法，计算起来既简单且正确率又高，大大缩短了解题时间，可利用节约的时间去解决更多的问题。

2.浅谈中学数学解题方法 篇二

一、善于观察问题

感觉和知觉是认识事物的最基本形式, 而观察则是知觉的高级状态, 是一种有目的、有计划、比较持久的知觉.观察是认识事物最基本的方法, 它是了解问题、发现问题和解决问题的前提.任何一道数学题, 都包含一定的条件和关系.要想解决它, 就必须依据题目的具体特征, 对题目进行深入的、细致的、透彻的观察, 然后认真思考, 透过表面现象看其本质, 这样才能确定解题思路, 找到解题方法, 即“想在算之前”.

例1已知a, b, c, d都是实数, 求证:

思路分析从题目的外表形式观察到, 要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似, 而左端可看作是点到原点的距离公式.根据其特点, 可采用下面巧妙而简捷的证法, 这正是思维变通的体现.

证明不妨设A (a, b) , B (c, d) , 如图所示, 则

在△OAB中, 由三角形三边之间的关系知:|OA|+|OB|≥|AB|, 当且仅当O在AB上时, 等号成立.

二、善于联想

联想是问题转化的桥梁, 稍具难度的问题和基础知识的联系都是不明显的、间接的、复杂的.因此, 解题的方法怎样、速度如何, 取决于能否由观察到的特征, 灵活运用有关知识, 作出相应的联想, 将问题打开缺口, 不断深入.

例2若 (z-x) 2-4 (x-y) (y-z) =0, 证明:2y=x+z.

思路分析此题一般是通过因式分解来证.但是, 如果注意观察已知条件的特点, 不难发现它与一元二次方程的判别式相似.于是, 我们联想到借助一元二次方程的知识来证题.

证明当x-y≠0时, 等式 (z-x) 2-4 (x-y) (y-z) =0可看作是关于t的一元二次方程 (x-y) t2+ (z-x) t+ (y-z) =0有等根的条件, 再进一步观察这个方程, 它的两个相等实根是1, 根据韦达定理就有:

若x-y=0, 由已知条件易得z-x=0, 即x=y=z, 显然也有2y=x+z.

三、善于将问题进行转化

数学家G·波利亚在《怎样解题》中说过, “数学解题是命题的连续变换”.我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的在解题时, 不仅要先观察具体特征, 联想有关知识, 而且要将其转化成我们比较熟悉的、简单的问题来解.恰当的转化, 往往使问题很快得到解决, 所以, 进行问题转化的训练是很必要的.

例3已知 , 求证:a, b, c中至少有一个等于1.

思路分析结论没有用数学式子表示, 很难直接证明.首先将结论用数学式子表示, 转化成我们熟悉的形式.a, b, c中至少有一个为1, 也就是说a-1, b-1, c-1中至少有一个为零, 这样, 问题就容易解决了.

于是 (a-1) (b-1) (c-1) =abc- (ab+ac+bc-1) + (a+b+c) =0.

∴a-1, b-1, c-1中至少有一个为零, 即a, b, c中至少有一个为1.

思维障碍很多学生只在已知条件上下工夫, 左变右变, 还是不知如何证明三者中至少有一个为1, 其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子, 把陌生问题变为熟悉问题因此, 多练习这种“翻译”, 是提高转化能力的一种有效手段.

四、提倡一题多解, 培养变通思维

由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同, 因而, 同一问题可能得到几种不同的解法, 这就是“一题多解”.通过一题多解训练, 可使学生认真观察、多方联想、恰当转化, 提高数学思维的变通性.

思维变通性的对立面是思维的保守性, 亦即思维定式思维定式是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后, 往往会用同样的思维方法解决以后的问题.它的表现就是记类型、记方法、套公式, 使思维受到限制, 它是提高思维变通性极大的障碍, 必须加以克服.

3.浅谈高中数学教学中的解题方法 篇三

关键词：审题；基础知识；解题方法

在高中数学教学过程中，学生普遍存在这些现象：在学习上“一听就懂，一做就错”、考试时“解题思路和老师分析的一样，但没有做出来，或者考试时没有思路，老师在评讲时，一分析就知道如何解题”、“考试粗心”等。以上这些问题导致学生在考试中没有取得理想的成绩，对此问题，我不断思考，努力去寻找解决此问题的方法，最终得出结论：“这不是偶然，而是学生没有掌握高中数学的解题方法”。以下将从审题和基础知识这两个方面做深入的分析。

一、理解题目

著名数学教育家G·波利亚在《怎样解题》一书中，把数学解题分为四个步骤：（1）弄清问题；（2）拟定计划；（3）实施计划；（4）检验回顾。而不少学生在这四个步骤中的“弄清问题”存在问题，对题目难以理解，导致解题困难。

审题时存在问题的原因主要有：（1）肤浅阅读。读题时，就以读题而读题，只限于字的认识，不会去思考、去挖掘题目条件暗含怎样的数学基础知识；（2）心理障碍。当学生看到题目的文字多、关系式子较复杂，或者新题时，便会产生畏惧心理，变得紧张起来，在读题时就会出现读不懂，认为有一定难度，便选择放弃；（3）节省时间。采用阅读的方式，加快读题的速度，争取更多解题时间，但往往适得其反，遇到不清楚的地方再重复读，导致没有思路，结果是更加浪费时间。

例如，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足Sn2-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N*. 求数列的能项公式an。此题解题的基础知识是用数列的前n项和Sn求解数列的通项公式an，即当n=1时，a1=s1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1。此题难度属于中偏下，但是学生拿到试卷，晃眼一看到题目中的方程“Sn2-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0”就感觉到此题定会很难，此时解此题心里有障碍，对解决此问题就极大阻碍，然而学生自然不能顺利解题。其实，对于此题，只要学生认真审题，容易找到解题的突破口，阅读题目时，对每个细节加以分析，如“各项为整数，还有关于Sn的一元二次方程：Sn2-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0”关键点是关于Sn的一元二次方程，目的是求解Sn的表达式，只要能解方程，问题就得已解决。此时就应思考，如何求解一元二次方程？根据解一元二次方程的方法有：公式法、配方法、分解因式法等，观察方程特点，应用分解因式法，方程Sn2-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0可化为（Sn+3）[Sn-（n2+n）]=0，解方程得Sn=-3或Sn=n2+n，因为各项为正，即Sn>0，所以Sn=-3舍，则Sn=n2+n，当n=1，a1=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n，检验n=1时，a1=2，所以a1=2，满足an=2n所以数列{an}的通项公式：an=2n。

审题能力的培养：（1）理解题目。学生首先要把题目读懂，能够把题中每一个条件经过转换、化简等方法把其隐藏的基础知识点挖掘出来。再根据条件逐一联想所学知识、方法、类似的题目、注意点和关键点。这样才能发现题目中条件与结论的联系，从而逐步入题，找到解题的关键点、突破口；（2）树立自信。帮助学生建立正确的人生观、世界观和价值观。遇到困难，相信自我，挑战困难，战胜困难，以提高他们勇于消除心理障碍、克服学习困难的心理素质；（3）稳定沉着。读题时要慢、要细心，边读边想边理解，逐字逐句分析。若读一遍找不到解题思路，多读几遍，读清楚题目内容，会从题目中找到解题的思路。读懂题，理解题是解题的基础，然而在理解题意基础之上结合知识与技能联系题目相关的知识、方法，进而深入理解题目的本质，为下一步的解题做好基础准备。

二、理解概念，掌握基础

要想学好高中数学，必须先理解概念，就像设计师在设计房屋时，首先要知道什么是房子；同时数学基础知识是学好数学最基本的，就像建房子一样，房基就不可少，只有坚固的根基，你才能建设出更牢固、更有特色的房子，所以学好数学，理解概念，掌握数学基础知识是学好数学必不可少的要素，只有理解概念，掌握基础知识才能灵活运用。

理解概念，可以让学生感觉到学数学是轻松、容易的，学习数学离不开数学概念的学习，在数学中的概念是核心，把数学中各个知识点特有属性及之间的关系联系起来。在数学学习中，学生经常会遇到一些形似而质异的易混问题，如果概念不清，这样的题是非常容易错的。

例如，在高中数学学习遇到的交点、零点、极值点，若没有理解其定义，极易混淆。

例如，函数f（x）=x3-12x，求函数与x的交点，零点，极值点。

解答此题，首先要理解交点、零点和极值点的定义，方能解题。

（1）根据题意f（x）=x3-12x，x3-12x=0，x（x2-12x）=0，解得x1=0，x2=2和x3=-2所以函数f（x）=x3-12x的图象与x轴交点坐标（0，0），（2，0）和（-2，0）。

（2）函数f（x）=x3-12x的零点是0，2和-2。

（3）又因为f′（x）=3x2-12，3x2-12=0，解得x1=2或x2=-2；当f′（x）>0时，函数在区间（-∞，-2）、（2，+∞）上是单调递增函数；当f′（x）<0时，函数f（x）在区间（-2，2）上是单调递减函数，所以x=2是函数f（x）的极大值点，x=2是函数f（x）的极小值点。

只有把数学基础知识正确地掌握好，才有可能做到思路清晰，条理分明，容易找到解决问题的突破口，顺利解题。而每一个题目都是由多个知识点综合而得，于是要解决它就必须掌握数学基础知识。

总之，想学好高中数学，必须具备较强的解题能力，掌握解题方法。审题是解题的前提，基础知识是解题的基础，在此基础上解决问题。只有掌握基础，才谈得上创新。在以后的教学中，加强培养学生的审题能力、理解能力，同时注重基础知识掌握和应用，让学生掌握解题的方法，对学习数学达到事半功倍的效果，爱学、乐学数学。

参考文献：

[1]朱华伟.数学解题策略[J].科学出版社有限责任公司，2009.

4.高一数学解题方法 篇四

高中数学考试中涉及的公式概念图形不完全是课本中涉及的，有相当一部分内容需要通过做题不断的补充总结，那么概念公式怎么学习呢?

1.概念的学习：注重概念的内含和外延的把握(如奇偶函数等)，对于抽象的概念尽可能用自己的语言理解(如极值等)，同时注意概念的相似，关联，正反对比。

2.公式的归纳学习：熟记课本公式，并在运用中简化公式以及归纳推导新公式

3.图形的学习;掌握基本图形以及基本图形的扩展图形。

二.基础篇之突破运算

运算的重要性不用我多说，运算怎么提高呢?

1.归纳图形运算。

2.归纳各类方程和不定方法计算如指对数方程，三角方程，根式方程等。

3.掌握特殊式子变形处理以及一般的式子处理思路如分式，根式等处理策略。

4.在平时计算时归纳容易忽视的细节运算以及一些快速特殊计算方法。

三.解题篇之选择题

选择题从四个方面进行归纳学习:

1.快速计算策略

2选项特征.

3题目信息暗示及一般处理方法如涉及抽象问题我们该怎样处理呢，遇到图形又怎样处理呢等

5.高中数学解题基本方法 篇五

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；

a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；

a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]

a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；

x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2

；……

等等.Ⅰ、再现性题组：

1.在正项等比数列{a}中，asa+2asa+aža=25，则

a＋a＝_______.2.方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____.A.

B.k<或k>1

C.k∈R

D.k＝或k＝1

3.已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______.A.1

B.－1

C.1或－1

D.0

4.函数y＝log

(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____.A.（－∞,]

B.[,+∞)

C.(－,]

D.[,3)

5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____.【简解】

1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方（a＋a）易求.答案是：5.2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B.3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解.选C.4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解.选D.5小题：答案3－.Ⅱ、示范性题组：

例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____.A.2

B.C.5

D.6

【分析】

先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得.【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：.长方体所求对角线长为：＝＝＝5，所以选B.【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式.例2.设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围.【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,()+()＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥

.又

∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根，∴

△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2

综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－

或者

≤k≤.【注】

关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式.假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视.例3.设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋()

.【分析】

对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω

（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab

.则代入所求式即得.【解】由a＋ab＋b=0变形得：()＋()＋1＝0，设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝＝1.又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab，所以

()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2

.【注】

本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开.【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()＋()＋1＝0，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，完成后面的运算.此方法用于只是未联想到ω时进行解题.假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算.二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域.为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要.如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题.均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等.我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大.如上几例中的t>0和α∈[0,].Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________.2.设f(x＋1)＝log(4－x)

（a>1），则f(x)的值域是_______________.3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________.4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________.5.方程＝3的解是_______________.6.不等式log(2－1)

·log(2－2)〈2的解集是_______________.【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；

2小题：设x＋1＝t

(t≥1)，则f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log4]；

3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；

4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；

5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

6小题：设log(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2

例1.实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5

（①式），设S＝x＋y，求＋的值.【分析】

由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值.【解】设代入①式得：

4S－5S·sinαcosα＝5，解得

S＝；

∵

-1≤sin2α≤1

∴

3≤8－5sin2α≤13

∴

≤≤

∴

＋＝＋＝＝

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1.这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”.【另解】

由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，则xy＝±代入①式得：4S±5=5，移项平方整理得

100t+39S－160S＋100＝0

.∴

39S－160S＋100≤0

解得：≤S≤，∴

＋＝＋＝＝

【注】

此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题.第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t，减少了元的个数，问题且容易求解.另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法.和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式.本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5，求得a∈[0,]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值.例2．

△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值.【分析】

由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得

；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设，再代入可求cosα即cos.【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得,由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：

＋＝＋＝＋＝＝＝－2,解得：cosα＝，即：cos＝.【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°.所以＋＝－＝－2，设＝－＋m，＝－－m，所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝.【注】

本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练.假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°.所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和积互化得：2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－cos(A-C)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,解得：cos＝

y，－

x

例3.设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值.【解】

设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝

∴

f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋

（a>0），t∈[-,]

t＝-时，取最小值：－2a－2a－

当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－；

当0<2a≤时，t＝2a，取最大值：

.∴

f(x)的最小值为－2a－2a－，最大值为.【注】

此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解.换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-,]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错.本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论.一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究.例4.设对所于有实数x，不等式xlog＋2x

log＋log>0恒成立，求a的取值范围.【分析】不等式中log、log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法.【解】

设log＝t，则log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t，代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以，解得

∴

t<0即log<0，0<<1，解得0

(②式)，求的值.【解】

设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得：

＋＝＝

即：＋＝

设＝t，则t＋＝,解得：t＝3或

∴＝±或±

【另解】

由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋3＝0，∴t＝3或，解得＝±或±.【注】

第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数.第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形.两种解法要求代数变形比较熟练.在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低.例6.实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围.【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，于是实施三角换元.【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，即

代入不等式x＋y－k>0得3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)，所以k<-5时不等式恒成立.【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围.一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”.本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0

(a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分.此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域.即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时.当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立.y

x

x＋y－k>0

k

平面区域

三、待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：

①

利用对应系数相等列方程；

②

由恒等的概念用数值代入法列方程；

③

利用定义本身的属性列方程；

④

利用几何条件列方程.比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程.Ⅰ、再现性题组：

1.设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____.A.,－2

B.－，2

C.,2

D.－，－2

2.二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____.A.10

B.－10

C.14

D.－14

3.在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____.A.－297

B.－252

C.297

D.207

4.函数y＝a－bcos3x

(b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____.5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________.6.与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________.【简解】1小题：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；

2小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；

3小题：分析x的系数由C与(－1)C两项组成，相加后得x的系数，选D；

4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案；

5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；

6小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1.Ⅱ、示范性题组：

例1

已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式.【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”.【解】

函数式变形为：

(y－m)x－4x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0

∴

△＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0

即：

y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0

①

不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，代入两根得：

解得：或

∴

y＝或者y＝

此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y.【注】

在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n.两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解.本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程.例2.设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程.【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了.设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程.【解】

设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a

y

B’

x

A

F

O’

F’

A’

B

∴

解得：

∴

所求椭圆方程是：＋＝1

也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式，更容易求出a、b的值.【注】

圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式.在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.例3.是否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论.【分析】是否存在，不妨假设存在.由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立.【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c.整理得：,解得，于是对n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：

假设对n＝k时等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；

当n＝k＋1时，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10)

＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，也就是说，等式对n＝k＋1也成立.综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立.【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到.此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行.本题如果记得两个特殊数列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立.例4.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？

【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究.【解】

依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm.∴

盒子容积

V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x，显然:15－x>0，7－x>0，x>0.设V＝(15a－ax)(7b－bx)x

(a>0,b>0），要使用均值不等式，则

解得：a＝，b＝，x＝3

.从而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576.所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm.【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求.本题解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx

或

(15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”.四、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来.定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念.定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点.简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象.用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去.Ⅰ、再现性题组：

1.已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______.A.2≤n≤9

B.7≤n≤9

C.5≤n≤9

D.5≤n≤7

2.设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____.A.MPB.OMC.AT<

D.OM

3.复数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z|<

|z|，则实数a的取值范围是_____.A.－1

B.a>1

C.a>0

D.a<－1或a>1

4.椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____.A.8

C.7.5

C.D.3

5.奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____.A.T

B.0

C.D.不能确定

6.正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____.【简解】1小题：利用并集定义，选B；

2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；

3小题：利用复数模的定义得<，选A；

4小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A；

5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－)，选B；

6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2.Ⅱ、示范性题组：

例1.已知z＝1＋ｉ，①

设w＝z＋3－4，求w的三角形式；

②

如果＝1－ｉ，求实数a、b的值.【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答.【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）；

由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ.由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；

根据复数相等的定义，得：，解得.【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解.利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的.例2.已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)上的单调性.【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断.【解】

解得：，∴

f(x)＝－x＋x

解f(x)>0得：0

设

x+x>，x+x>

∴

(x+x)（x+x)〉×＝1

∴

f(x)－f(x)>0即f(x)在(,1)上是减函数

∵

<1

∴

y＝logf(x)

在(,1)上是增函数.【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题.本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法.例3.求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程.【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2.抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程.y

M

F

A

x

【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y.根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：，消m得：（x－1）＋＝1，所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋＝1.【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到.本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程.在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义.一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用.五、数学归纳法

归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法.归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的.完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限.这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”.由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题.运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等.Ⅰ、再现性题组：

1.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1)

（n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____.A.2k＋1

B.2(2k＋1)

C.D.2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋

(n>1)时，由n＝k

(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____.A.2

B.2－1

C.2

D.2＋1

3.某个命题与自然数n有关，若n＝k

(k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立.现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______.A.当n＝6时该命题不成立

B.当n＝6时该命题成立

C.当n＝4时该命题不成立

D.当n＝4时该命题成立

4.数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____.A.3n－2

B.n

C.3

D.4n－3

5.用数学归纳法证明3＋5

(n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________.6.设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________.【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为，选B；

2小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C；

3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C.4小题：计算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，选B；

5小题：答案（3＋5）3＋5（5－3）；

6小题：答案k－1.Ⅱ、示范性题组：

例1.已知数列，得，…，….S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明.【解】

计算得S＝，S＝，S＝，S＝，猜测S＝

(n∈N).当n＝1时，等式显然成立；

假设当n＝k时等式成立，即：S＝，当n＝k＋1时，S＝S＋

＝＋

＝

＝＝,由此可知，当n＝k＋1时等式也成立.综上所述，等式对任何n∈N都成立.【注】

把要证的等式S＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1.这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向.本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到.假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密.必须要进行三步：试值

→

猜想

→

证明.【另解】

用裂项相消法求和：由a＝＝－得，S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝.此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现＝－的裂项公式.可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性.例2.设a＝＋＋…＋

(n∈N),证明：n(n＋1)

(n＋1)

.【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明.n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a＝a＋,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上，再与目标比较而进行适当的放缩求解.【解】

当n＝1时，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2，∴

n＝1时不等式成立.假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)

(k＋1)，当n＝k＋1时，k(k＋1)＋k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，所以(k＋1)(k＋2)

用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法.本题中分别将缩小成(k＋1)、将放大成(k＋)的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立的关键.为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则.本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明.主要是抓住对的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小.解法如下：由>n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由要证明{a}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：a＝a＋(n－1)d

.命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明.【解】

设a－a＝d，猜测a＝a＋(n－1)d

当n＝1时，a＝a，∴

当n＝1时猜测正确.当n＝2时，a＋(2－1)d＝a＋d＝a，∴当n＝2时猜测正确.假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a＝a＋(k－1)d，当n＝k＋1时，a＝S－S＝－，将a＝a＋(k－1)d代入上式，得到2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，因为k≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1时猜测正确.综上所述，对所有的自然数n，都有a＝a＋(n－1)d，从而{a}是等差数列.【注】

将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题.在证明过程中a的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S＝、数列中通项与前n项和的关系a＝S－S建立含a的方程，代入假设成立的式子a＝a＋(k－1)d解出来a.另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的条件是k≥2.【另解】

可证a

－a＝

a－

a对于任意n≥2都成立：当n≥2时，a＝S－S＝－；同理有a＝S－S＝－；从而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a

－a＝

a－

a，从而{a}是等差数列.一般地，在数列问题中含有a与S时，我们可以考虑运用a＝S－S的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的S求a一类型题应用此关系最多.六、参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题.直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证.换元法也是引入参数的典型例子.辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律.参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系.参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支.运用参数法解题已经比较普遍.参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题.Ⅰ、再现性题组：

1.设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________.2.（理）直线上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是________.（文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________.3.点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________.4.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______.5.设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数.(填“增”或“减”)

6.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是_____.A.3

B.C.D.2

【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；

2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±时，即(-4,5)或(0,1)；

（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝，所以e＝－；

3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；

4小题：设三条侧棱x、y、z，则xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4.5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；

6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选C.Ⅱ、示范性题组：

例1.实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值.【分析】由a＋b＋c＝1

想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求.【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0，∴

a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥，所以a＋b＋c的最小值是.【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧.本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥.两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力.例2.椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点.连OP、OQ，若k·k＝－，①求证：|OP|＋|OQ|等于定值；

②求线段PQ中点M的轨迹方程.【分析】

由“换元法”引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P、Q两点，先计算k·k得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得.【解】由＋＝1，设，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),则k·k＝＝－，整理得到：

cosθ

cosθ＋sinθ

sinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0.∴|OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，即|OP|＋|OQ|等于定值20.由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为，所以有()＋y＝2＋2(cosθ

cosθ＋sinθ

sinθ)＝2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1.【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究.本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ＋

cosθ）＋（sinθ＋sinθ），这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步.一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程.本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：

设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：，消y得(1＋4k)x＝16,即|x|＝；，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；所以|OP|＋|OQ|＝()＋（）＝＝20.即|OP|＋|OQ|等于定值20.在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的长.七、反证法

与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论

→

推导出矛盾

→

结论成立.实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.Ⅰ、再现性题组：

1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0

______.A.至多一个实根

B.至少一个实根

C.一个实根

D.无实根

2.已知a<0,－1ab>

ab

B.ab>ab>a

C.ab>a>

ab

D.ab>

ab>a

3.已知α∩β＝l，a

α，b

β，若a、b为异面直线，则_____.A.a、b都与l相交

B.a、b中至少一条与l相交

C.a、b中至多有一条与l相交

D.a、b都与l相交

4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____.(97年全国理)

A.150种

B.147种

C.144种

D.141种

【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；

2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；

3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；

4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C－C×4－3－6,选D.Ⅱ、示范性题组：

S

C

A

B

O

例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.【证明】

假设AC⊥平面SOB，∵

直线SO在平面SOB内，∴

AC⊥SO，∵

SO⊥底面圆O，∴

SO⊥AB，∴

SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.【注】否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根.试求实数a的取值范围.【分析】

三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根.先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案.【解】

设三个方程均无实根，则有,解得,即－

(其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；

②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像.【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设.【证明】

①

设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x,假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x，∵x≠x

∴

a＝1，这与已知“a≠1”矛盾，因此假设不对，即直线MM不平行于x轴.②

6.初三数学常用解题方法 篇六

合理安排学习时间，避免劳累感：数学的学习完全可以是零碎时间的利用。没有必要特意安排整块的时间去学习。我建议同学们这样去做：早上八点到九点。看完课本的一小节内容。完成书中的练习和习题。下午四点到五点，可以做一做练习册上的题目。中午或者晚上。可以花上一刻钟左右的时间看看辅导资料。

明确目标，稳扎稳打：在有限的时间内学得更可能多的知识固然是好事。可是如果不扎实。还不如去旅游去放松。同学们可以选择两个单元或者三个单元。先仔细读完课本。看懂课本中的例题以及讲解自我回顾：例如在学完圆以后，在学习二次函数或者解角三角形的时候，可以选取一两个小时。完成已经学完的单元的单元测试。测验一下自己的能力如何。有没有遗忘学会的知识点。在初三数学的学习当中，如果能够运用上面三个方法，再结合自己的学习情况进行调整，那么数学成绩提分就是很简单的事情了。

7.浅谈中学数学解题方法 篇七

一、初中物理解题中数学知识的应用现状

目前国内教学中,越来越多的物理教师开始注重将数学知识和物理知识融会贯通,在物理解题过程中融入数学方法.当前我国对于物理学科教育的重点在于解题,所以重要的还是如何运用各种知识去解题.由于物理和数学有着明显的学科相关性,很多教师发现在解题过程中运用数学知识和物理知识相结合进行解题比单纯的运用物理知识解题要方便快捷的多.特别是单纯运用物理知识有时会很繁琐,运用数学知识来解题则将难度降低了很多.所以,在初中物理解题教学中,运用数学知识能够简化物理解题过程.

二、数学方法在初中物理解题中应用的意义

数学方法是研究物理学的工具,可以很好的对物理学中的相关符号和关系进行综合性的表示.例如,速度、密度、功率等物理概念往往用数学符号以及公式表示.此外,数学方法也可以将物理学上的问题通过抽象和推理组织起来,进而演化成规律性定律,并且在物理学习的实验、实践等环节中也可以加入数学方法帮助学生进行理解吸收.在初中物理教学过程中,学生往往是因为对概念和规律把握不准而造成对解题思路的难以理解.而数学能够锻炼学生的逻辑思维能力和解题能力,合理利用数学知识可以更好的理解掌握物理的解题原理.

三、数学知识在初中物理解题中应用的优势

1. 拥有共同区间

数学与物理都强调逻辑缜密结果唯一,所以在物理和数学解题过程中每个解题步骤都和上一步有着密切关联,且每一步推导出下一步的结果也具有唯一性,此外,数学与物理在解题中都有着殊途同归的特点,即不管运用多少种解题方法手段,得到的最终答案一定是唯一的.由于具有以上特点,就使得一些数学方法可以运用到物理解题当中.

2. 数学更倾向于解决问题

物理学科和数学学科之间虽然有着很多的相似性、共通性,但是两者之间也有着明确的界限.物理注重的是解决问题的过程和思路,而数学则更强调解决问题得出结果.所以运用数学知识来解答物理问题,可以达到的解题更准确明晰.

四、数学方法在初中物理解题中的应用

在物理解题过程中可以利用函数、不等式、方程、比例关系、数形结合、几何等各种数学方法进行解题,在物理题中令学生困惑的凸透镜成像问题就可以利用数学中的相似三角形、以及对称关系进行巧妙的转化解决.此外函数作为一种常见的解决物理问题的工具,可以将物理中的各种变量及其之间的关系表现出来.可以直观地表达抽象的物理过程,使混乱的动态过程明晰化,从而大大简化了冗长的分析过程.利用方程或者方程组则需要学生全面理解变量以及变量关系,构建等式,对变量在一个方程中统一合并梳理,并得出最终结果,这种方法在物理解题中属于较难的一种处理方法,考察了学生综合处理问题的能力.

在长期的实践运用过程中发现,在初中物理解题时,也不能一味的应用数学知识,这些很可能会导致学生分不清数学和物理之间的界限[2].教师必须要明确一些基本问题,从而为学生未来的学习奠定基础.在具体的运用过程中,要注意以下几个问题:第一,数学思维与初中物理概念之间的关系.在教学的过程中,教师要让学生意识到,数学只是解决物理问题的一种工具,要明确数学方法应用的原则,了解数学知识在运用的过程中所存在的局限性.在引导学生理解相关的物理概念时,要重视学生对抽象性概念的理解,了解物理定律在实践应用中的原则,分析数学公式和物理概念之间的差异性,避免学生死记硬背公式,而忽略了对物理概念的分析;第二,在运用数学知识解决初中物理问题时,还要注重物理单位的运用,提高学生对各个物理单位之间联系的理解,巩固学生的物理知识.一旦发现学生在解题时混淆了物理概念和数学概念,要及时加以纠正,这样,才能保证学生能够分清数学和物理之间的联系和区别,从而提高初中物理的教学质量.

当然,数学和物理毕竟属于不同的学科,学科与学科之间的交汇点有限,如何掌握学科间的交汇处,分清学科的特点,在磨合中将两者进行融合并运用到解题当中去,成为数学在物理解题运用中的关键.

五、如何将数学知识运用到初中物理解题中

1. 正确引导学生

初中生是在进入初中后才刚刚接触物理这一学科,之前很少涉及这一领域,思维几乎是完全空白.而数学学科则是从学生幼年时就开始学习并且不断深入的,对于数学的学习方法较为熟悉,并且由于数年来的不断学习深入,运用数学解题较为熟练.由于学生在面对新的领域新的课程总会胆怯而无法接受,这就需要我们物理教学工作者的引导.鼓励学生将熟悉的数学知识运用到物理解题当中来,降低物理解题难度和陌生感,从而做到对物理的高效学习.

2. 处理好学科间的交叉

物理和数学之间有重合但也有极大的不同,有一部分数学知识无法应用到物理解题当中来.所以,教师需要将能否运用到物理解题中来的数学知识进行梳理和分类,让学生明确物理和数学还是有差别的,不能完全依靠数学来解决物理问题.物理教师应当将无法运用于物理中的数学知识及时的清除出教学课程,避免学生在学习运用数学知识解决物理问题中处处碰壁,丧失学习兴趣.

3. 注重物理实验教学

物理是一门实践性的学科.物理学科注重实验教学,数学学科注重理论教学.如果仅仅强调数学在物理中的应用,则会使学生过多的脱离生活实际,只重视用理论解决问题,而严重缺乏解决实际问题的思维和能力,从而与我们新课标要求的教学目标背道而驰.所以,笔者认为,在初中物理教学中,教师应当使学生充分认识到虽然物理和数学相结合有其重要的意义但也有其局限性和差异性,数学也仅仅是解决一部分物理问题的工具,物理同样重视实践.在物理教学中也同样需要重视解题方法和解题思路,经常带领学生进行物理实验,培养他们的动手能力,在实践中体会物理学科的真谛.

综上所述,物理和数学的结合已受到越来越多教师的重视,数学知识在物理中的运用对于物理教学来说意义重大,需要进一步推进.数学因为其缜密的逻辑性和解决问题的实用性,给物理解题带来了极大的便利.希望本文对于运用数学方法进行物理解题上能给广大教学工作者的教学工作以创造性的启发,合理发挥数学的解题功能,提高学生的物理解题的创新性和灵活性的思维,实现初中物理教学开展的创新性发展.

摘要：随着课程改革的逐步深入和发展,在中学教学中越来越重视素质教育的发展.初中物理教学要求重视培养学生的多种能力,数学作为一门考察逻辑思维能力的综合性学科,在初中物理教学中发挥着不可忽视的作用.本文从数学方法在初中物理解题中的应用出发,深入探究数学方法在初中物理解题中的应用,引导学生通过数学方法对于一些物理问题进行巧妙的解答,提高学生分析解决复杂物理问题的能力.

关键词：初中物理,数学方法,教学目标

参考文献

[1]王文红.运用数学解决物理问题的能力培养[J].技术物理教学,2011,10(01):111-113.

8.中学数学解题方法与技巧欣赏 篇八

数学本身就是一个解决问题的工具，针对不同的问题需要不同的解题方法与技巧，但对于每个学生来说，是否具有良好的解题方法与技巧，决定了他解题的速度与正确性。因此，选择正确的解题方法与技巧就显得非常重要。

在中学数学教学过程中，通过不断地观察、交流与总结，我发现学生在中学数学解题过程中的许多方法与技巧非常值得欣赏，很具有借鉴意义。现将发现与总结的内容罗列如下：

1.认真阅读题目，对已经条件和问题要求进行认真梳理。通过这种做法，学生把题目中的已经条件进行了清晰的掌握，对问题的要求进行了很好的确认，为后续的知识点的寻找与联系做好初步准备。

在具体的教学过程中，我们教师总能发现许多学生错题与漏题的原因很简单，即没有认真阅读题目而产生了理解偏差与错误，而这种情况是我们教师指导学生最应该避免的。

2.准确理解概念。对于概念的学习，不仅仅是对它的阅读、理解与记忆，而是深入地发掘它的内涵，把概念需要的条件进行清晰的罗列，对概念的外延进行不断地拓展。通过不断地做题来加强对概念的熟练程度和认知程度，从而可以加快自己的解题速度，提高自己的思想认识水平。

3.对教师的点拨内容进行及时地归纳与练习。这是许多学生常常忽略的一点。通常情况下，教师都是在非常必要的情况下进行讲解，而讲解的知识点与方法具有特别强的指导意义，是非常重要的。如果一个学生能够在教师进行重要内容的讲解时非常用心地留下笔记进行归纳梳理，同时不断地反思，加强练习，那么他对问题的认识将会更深入，更准确，解题速度也会更快，思想认识会更上一个新台阶。而思想认识的提高对于学生的发展来说是最本质的东西。

4.对教学内容、教师点拨不断地进行反思。如果一个学生能够做到对教学内容与教师点拨内容进行不断地反思，那么这个学生一定会在自己原来的基本上不断地进步，而且这种进步的速度会非常地快。一个不善于思考的学生想要提高自己的学习水平，提高自己的学习效果几乎是不可能的。所以，在我们的教育教学中，引导学生进行不断地思考才是重中之重。也许一个学生一开始的思维是受到局限的，但当他不断地进行思考与联系，可以想像，他总会有顿悟的一天的。如果没有这样的思考习惯，那就会局限在一个非常低的水平，这不是我们教育的目的。

5.反复练习。在学生的解题中，我们总是发现了这个反复练习的特点。反复练习是符合学习的规律的。对任何事物与方法的掌握都是由不熟悉到熟悉的一个过程，也是一个不断地加深了解的一个过程。经过反复的练习，一方面可以提高对题目的解题速度，另一方面可以加强对题目的内涵与外延的理解，特别是对外延的拓展显得非常重要。

在具体实践中，我们教师总是能够发现一些头脑聪明而懒于动手的学生往往笑在开始而输在最后，但是也总能够发现一些踏实勤奋而善于练习的学生往往是笑到最后取得成功的学生。所以，给学生时间与空间，让他们在适度的题海中畅游也是非常必要的。

6.交流讨论。在学生学习的过程中，交流与讨论是我常常看到的一个技巧。在许多时候，学生对事物或题目的认真会不太全面，不太深入，而通过这种交流讨论的方式，学生可以更全面、更深入地了解了题目，理解了概念，掌握了完整的解题方法，提高了思想认识水平。

7.数形结合思想的运用。在许多题目中，如果单独地运用代数方法或几何方法都不能够很好地发现事物之间的联系，或者对于表达方式的清晰都造成了阻碍。但学生们却能够运用数形结合的思想把这一个问题解决掉。例如，为了求一个圆中最大的正方形的边长，可以通过设未知数的方法来进行解题。为了求二次函数的问题，可以把二次函数画到平面直角坐标系中来解决，等等。通过数形结合的方法，一方面可以更清晰地呈现解题过程，另一方面也可以让学生认真到解决问题的方法是多种多样的。

8.分类讨论。在许多时候，一些题目并没有给出一个确切的答案，而是需要进行不同角度的思考。例如，在一个直角三角形中，已经两条边的长度分别是5和7，求第三条边的长度。在教学过程中，我发现，许多学生进行了分类讨论。他们将已经的两条边分成了都是直角边和一条是直角边而另一条是斜边的情况。经过分类讨论，学生对问题有了一个全面而准确的认识。为学生其他内容的学习也会产生非常大的影响，因为他们在以后的学习中会进行多角度的考虑问题，会对问题进行分类讨论。同时，学生培养了良好的逻辑思想，拓展了知识面。

9.转化思想的运用。在解题过程中，发现许多学生能够正确而熟练地运用转化思想。例如，为了求证不在同一条直线上的两个线段相等，常常考虑到可以运用三角形相等来进行解决。例如为了求不在同一直线上的两个线段的最小值，常常考虑到运用对称或代换的方法把他们联系在同一条直线上来解题问题。转化的原则就是将不熟悉的和难的问题转化为熟知的、易于解决的问题，将抽象的问题转化为具体和直观的问题，将复杂的转化为简单的问题，将一般的转化为特殊问题，将实际问题转化为数学问题等等。而我的学生在解决具体的问题时很好地运用了这种思想方法。

10.在具体的解题中，他们常常运用到以下几种转化方法：

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径。

（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的。

（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题。

（6）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。

（7）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径。

9.数学考前复习解题方法 篇九

对数学知识的考查，既要全面又突出重点。注重学科的内在联系和知识的综合性，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点设计试题。主要体现在：1.数列与函数、不等式;2.三角函数、三角变换与平面向量;3.空间图形与平面图形;4.解析几何与函数、向量;5.计数与概率。

二、坚持能力立意，专题复习应对

数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心。数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。如：1.充分与必要;2.存在与唯一;3.运动与变换;4.开放与探究;5.定值与最值;6.应用与创新。

三、回归课本，让课本习题焕发新活力

高考万变不离其宗，其中的“宗”和“本”指的都是课本。很多高考题都源自课本中的定理或定理中的思想方法，或是例题、习题的重新组合等。课本题大多蕴涵着丰富、深刻的背景。实践证明，以课本为素材组织高考复习不仅不会影响高考成绩，而且是提高成绩非常有效的途径。平时学习要用好课本，到了高三复习阶段，更要以课本为主，充分发挥教材的作用。应在深入研究的基础上充分感悟教材的编写意图，积极开发课本的潜在功能，创设问题链情境，通过改变问题的某一“属性”，探索问题的引申、推广、拓展、变通，开展高考复习中的研究性学习。这不仅能跳出“题海”，又能巩固基础知识，掌握数学思想方法，深化数学的本质内涵，更为重要的是能激发问题意识，培养综合素养。

高考数学提高成绩方法

每次考试结束试卷发下来，要认真分析得失，总结经验教训。特别是将试卷中出现的错误进行分类，可如下分类：

第一类问题——遗憾之错。就是分明会做，反而做错了的题;比如说，“审题之错”是由于审题出现失误，看错数字等造成的：“计算之错”是由于计算出现差错造成的：“抄写之错”是在草稿纸上做对了，往试卷上一抄就写错了、漏掉了：“表达之错”是自己答案正确但与题目要求的表达不一致，如角的单位混用等。出现这类问题是考试后最后悔的事情。

第二类问题——似非之错。记忆的不准确，理解的不够透彻，应用得不够自如;回答不严密、不完整;第一遍做对了，一改反而改错了，或第一遍做错了，后来又改对了;一道题做到一半做不下去了等等。

第三类问题——无为之错。由于不会，因而答错了或猜的，或者根本没有答。这是无思路、不理解，更谈不上应用的问题。

制订策略：将问题各个击破

建议策略是：分步打好三个战役，即：消除遗憾;弄懂似非;力争有为。

第一战役：消除遗憾。要消除遗憾必须弄清遗憾的原因，然后找出解决问题的办法，如“审题之错”，是否出在急于求成?可采取“一慢一快”战术，即审题要慢、答题要快。“计算错误”，是否由于草稿纸用得太乱，计算器用得不熟等。建议将草稿纸对折分块，每一块上演算一道题，有序排列便于回头查找。练习计算器使用技巧以提高使用的准确率。“抄写之错”，可以用检查程序予以解决。“表达之错”，注意表达的规范性，平时作业就严格按照规范书写表达，学习高考评分标准写出必要的步骤，并严格按着题目要求规范回答问题。

第二战役：弄懂似非。“似是而非”是自己记忆不牢、理解不深、思路不清、运用不活的内容。这表明你的数学基础不牢固，一定要突出重点，夯实基础。你要建立各部分内容的知识网络;全面、准确地把握概念，在理解的基础上加强记忆;加强对易错、易混知识的梳理;要多角度、多方位地去理解问题的实质;体会数学思想和解题的方法;当然数学的学习要有一定题量的积累，才能达到举一反三、运用自如的水平。

第三战役：力争有为。在高三复习的第一轮中，不要做太难的题和综合性很强的题目，因为综合题大多是由几道基础题组成的，只有夯实了基础，做熟了基础题目，掌握了基本思想和方法，综合题才能迎刃而解。在高三复习时间较紧的情况下，第一阶段要有所为，有所不为，但平时考试和老师留的经过筛选的题目要会做，要做好。

巩固成果：不断调整目标