解三角形知识点总结

解三角形知识点总结（精选15篇）

1.解三角形知识点总结 篇一

《解三角形应用》教学反思

应用题教学是培养学生应用数学能力的一个良好途径。数学应用题的教学模式一般是直接给出实际问题的解决方案，再让学生用数学知识去求解.给出的实际问题有很多并不是学生所能感觉到、体会到的，往往是一些文字、符号、事实、事件等，解决方案的单一性也会使学生感到枯燥、被动.因此在大多数情况下，应用题仅是作为理论联系实际和巩固新知识的一种手段，正如谭良军在《浅谈数学应用意识及其培养》一文中指出的，传统的应用题教学中常存在这样的“假象”，即在学生学完某一知识后，就给出一个应用题，要求学生解答。这种所谓的“应用题”，有时是机械的辨别、模仿，强调的是学生解答数学问题的能力。它有助于加深学生对知识的巩固和理解，但对于培养学生的应用意识和应用能力效果甚微。

要说培养学生的应用意识，那本节得设计成一节实践探讨课，教学时先介绍测量工具，让学生清楚工具可以做哪些测量，再根据老师给出的问题自行设计解决方案.接着组织学生探讨方案的实效性.最后对可行的方案，自编数据，完成解题过程.教师只负责引领学生促使问题的探讨层层深入。

问题一：如何测量距离。

1.两点间不可拉线测量，但测量者可以到达两端。比如计算隧道的长度

2.两点中有一点不可到达，比如测量小岛到岸边的距离 3.两点都不可到达。隔河可以看到两目标A、B，但不能到达.求A、B之间的距离。

进一步深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，通过对问题的解决，使每一个参与者都深深地感受到了数学应用的灵活性、开放性。问题二：如何测量高度。

1.底部可以到达。比如操场上旗杆的高度 2.底部不可以到达。比如测酒店的高度 问题三：如何测量角度。比如船的航向。

将生活中的各种不可测的距离由浅入深的引入解决.让学生亲身经历和体验运用解三角形的知识可以变“不可测”为“可以算”.使学生感受到“生活处处有数学”，提高应用数学的意识。在学习过程中鼓励学生深入、开放性地提出测算方案，提倡多元思考。

如此设计改变了封闭的传统应用题解决模式，把学生的学习融入到丰富多彩的生活场景之中.通过对实际问题解决方案的设想与构造，既熟练了数学知识，又使学生发展了想象力和创造力，形成钻研精神和科学态度.另外通过对方案实效性的探讨与编题解题，加强了学生的数学表达和交流能力，同时增强了合作精神

培养学生的数学应用意识是一个循序渐进的长期过程，光靠解一些应用题是很难培养起学生的数学应用意识的。应用意识的培养途径应该有多方面。本文提到的设计实际问题的解决方案就是一种很好的培养手段。

2.解三角形知识点总结 篇二

以上的知识分类体现了数学的一种动态趋势, 当陈述性知识在运用过程中就转化为程序性知识.各种不同类型数学知识的学习, 彼此之间存在比较显著的差异.根据加涅的教学设计原理, 不同的知识类型或者说不同的学习目标具有不同的实施最佳学习条件的程序和教学处方.教师在教学设计中要充分处理好各种知识的合理学习方式, 促进知识的动态转化, 让学生形成清晰的图式和牢固的产生式系统并习得一定的认知策略.下面以《解直角三角形》 (第一课) 为例来说明在知识分类学说指导下如何进行教学设计, 谨对教学设计中的某些环节进行说明.

加涅建议教师使用有如下四种成分的备课表:1.陈述课的目标及其类型;2.列出打算使用的教学事件;3.列出每一个教学事件赖以完成的媒体、材料和活动;4.注明每个所选事件中教师或培训者的作用和各种活动.可以看出教学活动设计是备课的重要组成部分, 本文谨从活动设计方面加以探讨.

《解直角三角形》的知识内容侧重于规则和认知策略的学习, 首先教师要让学生回忆概念和规则, 用言语陈述演示规则, 再演示规则的应用.因此, 在教学活动设计中, 第一个活动可设计为让学生找出直角三角形 (如图1) 中三个角和三条边之间的所有数量关系, 并加以分类整理如下:

三边关系a2+b2=c2

两锐角关系∠A+∠B=90°

这三类关系概括了直角三角形中所有边、角之间的关系, 是本节课解直角三角形的理论基础, 均属于陈述性知识在解直角三角形时, 往往是对边角关系的综合应用, 教师要想办法加强学生对边角关系的理解记忆以形成知识网络 (或图式) .而在具体教学过程中, 解直角三角形就是要让学生把陈述性知识转化为程序性知识以形成产生式或产生式系统, 达到自动化程度以提高解题的速度和准确性.

在解直角三角形的活动设计中, 教师要注重知识的梯度、题目的变式和产生式系统的形成.以如下教学设计为例说明:

活动二:已知两边解直角三角形

如图2所示, 要解决的问题是边b, ∠A, ∠B.引导学生将已知条件与三条陈述性知识对照, 很明显有于是求出b=2, A=60°, 从而B=30°.这个学习过程将三边关系由陈述性知识转化成了程序性知识, 形成了一个产生式:如果a, c已知要求b, ∠A, ∠B, 那么记为P1.如何将这个产生式自动化, 那么就需要一定的变式训练.因此, 可以让学生针对图3和图4给出与图2不同两组边的值进行解直角三角形, 图3只给b, c, 图4只给a, b.通过这样的训练, 可以达到对产生式的巩固.

活动三:

如图5, 当已知b=2, A=30°时, 让学生把条件和陈述性知识对照, 利用∠A+∠B=90°求得∠B=60°, b=2, A=30°必须用三角函数关系加以联系, 可以用:求出已知一个角和一条边要解直角三角形时, 求边长时需要学生选择合适的三角函数关系, 即要把陈述性知识转化为程序性知识.这里, 教师要为学生建立如下产生式:如果要求c, b, B, 是否A已知和边a已知?若A已知, 那么利用∠A+∠B=90°可达到目标求B;若a, A已知, 那么寻找c与a, A的联系可达到目标求c, 记该产生式为P2.

接下来, 让学生进行变式练习图6、图7、图8、图9、图10, 使学生熟练掌握, 形成新的产生式, 在此基础上形成产生式系统.

活动四:当仅知道∠A、∠B时, 请学生说明能否解直角三角形.

上述教学活动完成后, 学生已基本建立产生式及产生式系统, 而学生的解题活动还需要一定的认知策略.因此, 教师需要把在活动中学生习得产生式系统和认知策略知识进行整合, 使学生真正掌握解直角三角形的灵活方法.教师可以引导学生设计如下思维流程图:

上述思维流程图实质上是不同已知条件下的产生式形成的产生式系统, 网络中的每个箭头都会到达一个终点, 它就代表一个产生式.教师要让学生将知识动态化, 形成一系列的产生式, 并通过科学的训练达到自动化程度, 从而有利于学生对知识的学习和掌握, 形成一定的解题策略.

知识分类学说指导下的教学设计注重不同类型知识采用不同的学习方法, 科学的教学设计使学生形成清晰而牢固的图式和一系列自动化的产生式系统, 降低例题学习中的认知负荷, 提高学习效率.从而, 学生在理解的基础上通过科学训练达到熟能生巧, 取得良好的学习效果.

参考文献

[1]吴庆麟, 胡谊, 郝宁.教育心理学[M].上海:华东师范大学出版社, 2009.

[2]皮连生, 杨心德, 吴红耘.学与教的心理学[M].上海:华东师范大学出版社, 2009.

[3]孔凡哲, 曾峥.数学学习心理学[M].北京:北京大学出版社, 2009.

3.初中三角形数学知识点总结 篇三

第一部分： 点 、线 、角

一 、 线

1、直线 2、射线 3、线段

二、角

1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

2.角的平分线

3、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分;1分=60秒。

4. 角的分类：(1)锐角 (2)直角 (3)钝角 (4)平角 (5)周角

5. 相关的角：

(1)对顶角 (2)互为补角 (3)互为余角

6、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。

注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。

7、角的性质

(1)对顶角相等 (2)同角或等角的余角相等 (3)同角或等角的补角相等。

三、相交线

1、斜线 2、两条直线互相垂直 3、垂线，垂足

4、垂线的性质

(l)过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。

(2)垂线段最短。

四、距离

1、两点的距

2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。

五、平行线

1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。

2、平行线的判定：

(1)同位角相等，两直线平行。

(2)内错角相等，两直线平行。

(3)同旁内角互补两直线平行。

3、平行线的性质

(1)两直线平行，同位角相等。

(2)两直线平行，内错角相等。

(3)两直线平行，同旁内角互补。

说明：要证明两条直线平行，用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。

4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角_________________.

5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角_________________.

第二部分：三角形

知识点：

一、关于三角形的一些概念

1、三角形的角平分线。

三角形的角平分线是一条线段(顶点与内角平分线和对边交线间的距离)

三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心)

2、三角形的中线

三角形的中线也是一条线段(顶点到对边中点间的距离)

三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心)

3.三角形的高

三角形的高线也是一条线段(顶点到对边的距离)

注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。

三角形

而图2-3，说明高线不一定在 △ABC内，

三角形

图2—3—(1) 图2—3—(2) 图2-3一(3)

图2-3—(1)，中三条高线都在△ ABC内，

图2-3-(2)，中高线CD在△ABC内，而高线AC与BC是三角形的边;

图2-3一(3)，中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。

二、三角形三条边的关系

三角形三边都不相等，叫不等边三角形;有两条边相等的叫等腰三角形;三边都相等的则叫等边三角形。

等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。

三角形分类

按接边相等关系来分类：

三角形分类

用集合表示

三角形分类

推论三角形两边的差小于第三边。

不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。

例如三条线段长分别为5，6，1人因为5+6<12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。

三、三角形的内角和

定理三角形三个内角的和等于180°

由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。

推论1：直角三角形的两个锐角互余。

三角形按角分类：

三角形分类

用集合表示

三角形

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

三角形

∠1 >∠3;∠1=∠3+∠4;∠5>∠3+∠8;∠5=∠3+∠7+∠8;

∠2>∠8;∠2=∠7+∠8;∠4>∠9;∠4=∠9+∠10等等。

四、全等三角形

能够完全重合的两个图形叫全等形。

两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。

全等三角形

五、全等三角形的判定

1、边角边公理：“SAS”

注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。

2、角边角公理：ASA 3、AAS 4、SSS

3、直角三角形全等的判定：斜边，直角边”或HL

三角形的重要性质：三角形的稳定性。

六、角的平分线

定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点(交于一点)

七、等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。(简写成“等角对等动”)。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

八、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：

4.解三角形知识点总结 篇四

一、三角形及其有关概念

1、三角形：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：

三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：

（1）三角形的任意两边之和大于第三边。（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：

（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：

(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形

等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形

等边三角形

(2)三角形按角分类：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：

（1）三角形的角平分线： 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：

定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：

定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；

8、三角形的面积：

三角形的面积=

二、全等图形：

定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

性质：全等图形的形状和大小都相同。

三、全等三角形

1、全等三角形及有关概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的表示：

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

4、三角形全等的判定：

（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）

（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：斜边和一条直角边对 2 1×底×高

5.解三角形知识点总结 篇五

1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

2、三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，这条边叫做三角形的底。三角形只有3条高。

画高：一靠二过三画线。

3、三角形具有稳定性，不易变形。

4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三 边。两边之差〈第三边〈两边之和。

判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。

5、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形最多有1个直角；最多有1个钝角。

两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。

6、三角形的分类：

按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

按边分：不等边三角形、等腰三角形。

7、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。多边形内角和=180°×（边数-2）。

8、三角形的拼组：

2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。

6.从三个方面把握解三角形问题 篇六

在解三角形时, 首先要能根据题目的条件准确选择用正弦定理还是余弦定理解题, 迅速找到解题的入口, 从而避免繁琐的运算, 优化解题过程;其次, 解题时还要有分析验证的意识, 能够准确把握解题的结果, 既避免增解, 又避免失解;另外, 还应注意运算的合理性, 分清是要单个求值还是整体运算.

一、用正弦定理还是余弦定理

例1 在△ABC中, 已知 b=3, c=1, B=60°, 求 a.

解法1:因为$\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}$,

所以$\sin C=\frac{c\text{s}\text{i}\text{n}B}{b}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$

因为 b>c, 所以B>C, 所以C为锐角,

所以$\cos C=\sqrt{1-\sin {}^{2}C}=\frac{\sqrt{33}}{6}.$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\sin A=\sin (B+C)\\ =\sin B\cos C+\cos B\sin C\\ =\frac{3\sqrt{11}+\sqrt{3}}{12}.\end{array}$

因为$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}$,

所以$a=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}A}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{\sqrt{33}+1}{2}.$

解法2:因为 b2=a2+c2-2accosB,

所以 a2-a-8=0,

解得$a=\frac{1+\sqrt{33}}{2}$或$a=\frac{1-\sqrt{33}}{2}$ (舍去) .

评注: (1) 正弦定理能够解决的解三角形问题有两类:一是已知“两边及其中一边的对角”;二是已知“两角与一边”.

(2) 余弦定理能够解决的斜三角形问题也有两类:一是已知“两边夹一角”;二是已知“三边”.

(3) 已知“两边及其中一边的对角”的问题是一类特别的问题, 对于该类问题, 既可以运用正弦定理, 又可以运用余弦定理, 而且有时运用余弦定理使得问题的解决变得更简捷, 可以避免繁琐的变形推理.

(4) 解斜三角形的问题时, 要能够结合三角函数知识灵活地解决问题, 注意运用“大边对大角”确定解的个数.

二、两解还是一解或是无解

例2 (1) 在△ABC中, $a=4‚c=6‚\cos A=\frac{3}{4}$, 求 b;

(2) 在△ABC中, $C=2A‚a+c=10‚\cos A=\frac{3}{4}$, 求 b.

解: (1) 因为$\cos A=\frac{b{}^2+c{}^2-a{}^2}{2bc}$, 且$a=4‚c=6‚\cos A=\frac{3}{4}$,

所以 b2-9b+20=0,

解得 b=4或 b=5.

(2) 因为$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}$,

所以$\frac{c}{a}=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}C}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{\sin 2A}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=2\cos A=\frac{3}{2}.$

又因为 a+c=10, 所以 a=4, c=6.

因为$\cos A=\frac{b{}^2+c{}^2-a{}^2}{2bc}$, 且$a=4‚c=6‚\cos A=\frac{3}{4}$,

所以 b2-9b+20=0,

解得 b=4或 b=5.

当 b=4时, 又因为 a=4, 所以A=B.

又因为C=2A, 所以C=2A=2B,

所以 A=B=45°,

这时$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 与$\cos A=\frac{3}{4}$矛盾, 故 b=4不成立.

当 b=5时, 经验证, 满足题意.

综上, b=5.

评注:第 (1) 小题是典型的“两边及一角”问题, 因为已知A为锐角, 且 csinA<a<c, 符合条件的三角形有两个, 所以本题有两解.第 (2) 小题化到一定程度好象就是第 (1) 小题, 照理也应该有两解, 但由$\cos A=\frac{3}{4}$及C=2A知, A, C为定值, 那么从而该三角形三个角都为定值, 再加之 a, c 都为定值, 那么符合条件的三角形只有一个, 所以本题只有一解, 另外一解为增解, 需要通过验证舍去.

第 (2) 小题另解:

因为$\cos A=\frac{3}{4}$,

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\sin A=\sqrt{1-\cos {}^{2}A}=\frac{\sqrt{7}}{4}‚\\ \sin C=\sin 2A=2\sin A\cos A=\frac{3\sqrt{7}}{8}‚\\ \cos C=\cos 2A=2\cos {}^{2}A-1=\frac{1}{8}.\end{array}$

所以$\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\frac{5\sqrt{7}}{16}.$

又$\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}=\frac{a+c}{\text{s}\text{i}\text{n}A+\text{s}\text{i}\text{n}C}$,

即$\frac{b}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}=\frac{10}{\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{3\sqrt{7}}{8}}$, 得 b=5.

三、单个求值还是整体运算

例3 已知在△ABC中, $a=\sqrt{7}‚A=60°‚\sin B\sin C=\frac{9}{28}$, 求 b, c 的值.

解:因为$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}$,

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\sin B=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}A}{a}=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}60°}{\sqrt{7}}‚\\ \sin C=\frac{c\text{s}\text{i}\text{n}A}{a}=\frac{c\text{s}\text{i}\text{n}60°}{\sqrt{7}}‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\sin B\cdot \sin C=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}60°}{\sqrt{7}}\cdot \frac{c\text{s}\text{i}\text{n}60°}{\sqrt{7}}\\ =\frac{3bc}{28}=\frac{9}{28}‚\end{array}$

所以 bc=3.

因为 a2=b2+c2-2bccosA

= (b+c) 2-2bc-2bccos60°

= (b+c) 2-3bc,

即7= (b+c) 2-3×3, (b+c) 2=16, 得 b+c=4.

由$\{\begin{array}{l}b+c=4‚\\ bc=3‚\end{array}$解得$\{\begin{array}{l}b=3‚\\ c=1‚\end{array}$或$\{\begin{array}{l}b=1‚\\ c=3.\end{array}$

评注:解三角形是“知三求三”, 即由三个已知的基本量 (至少有一条边) 求另外的三个基本量, 但有些问题需要先成对求出两条边的和与积, 再进一步求出相应的基本量, 如本题中的 b+c 与 bc, 显然, 若先单个求 b, c 是不适宜的.

江苏省海州高级中学

7.解三角形应用举例教案（推荐） 篇七

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、[设置情境]

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。Ⅱ.讲授新课

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

[例题讲解]

(2)例

1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)

启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得

ABsinACB =

ACsinABC

AB = ACsinACB

sinABC = 55sinACB

sinABC =

55sin75 sin(1805175)= 55sin75

sin54 ≈ 65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。解略：2a km 例

2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得

AC = BC =

asin()= asin()

sin[180()]sin()asin = asin sin[180()]sin()计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB =

AC2BC22ACBCcos

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。Ⅲ.课堂练习

课本第13页练习第1、2题 Ⅳ.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅴ.课后作业

8.解三角形知识点总结 篇八

学

学习目标

1、回顾已有的三角形边角知识；

2、通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理；

3、学会运用正弦定理解任意三角形的两类基本问题。

*知识点清单*

正弦定理：在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则

1、正弦定理可解决两类问题：（1）2）abck2、在△ABC中，sinAsinBsinC，研究k的几何意义。(k=2R,R为三角形外接圆半径)

1113、SABCah=r(abc)=absinC(其中r

是内切圆半径)22

2*基础巩固训练* 例题讲解 例

1、在ABC中，已知A30，B45，跟踪练习1 在ABC中，已知A300，B600，c

6cm，解三角形。2 在ABC中，若a=1cm，C30,ccm，解三角形。a6cm，解三角形。

例

2、在ABC中，已知

a

bA45，解三角形。当b，b并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。*创新提高*

1、在ABC中，已知bc8，B30，C45，则b，c．

2、在ABC中，如果A30，B120，b12，那么a，ABC的面积是．

3、在△ABC中，若sinA>sinB,则A与B的大小关系为。

4、在△ABC中，a=12，A=60，要使三角形有两解，求对应b的取值范围。5．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）00000000A．30或60B．45或60C．120或60D．30或150 06、在ABC中，已知A120，a7，c5，求b的值。

高中数学必修五——第一章解三角形

1*高考体验*

1.（2007年重庆卷文13）在△ABC中，AB=1，BC=2，A=60°，则AC＝。

c2．（2007年湖南卷文12）．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a

1，C60，则A．

*学习总结*

在SSA类型中，解有三种情况：

1、无解，①sinB>1②钝角对小边

2、一解，①sinB=1（B为直角）②已知角为直角或钝角③根据大边对大角或等边对等角

3、二解：0

学习目标

1、回顾已有的三角形边角知识；

2、通过“勾股定理”，“向量法”等方法证明余弦定理，熟记余弦定理。

3、理解余弦定理与勾股定理的关系，应用余弦定理解三角形。

学

*知识点清单*

余弦定理：在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则

1、余弦定理可解决两类问题：（1）2）

2、余弦公式的变形：

*基础巩固训练*

跟踪练习例题讲解

00

1在 ABC中：已知b=8,c=3,A=60,求a。60例

1、在△ABC中，已知b=3,c=1,A=,求a。

2在ABC中，已知a=9,b=10,c=15 ,求A。例

2、在△ABC中，已知a＝4，b＝5，c＝6，求

A(精确到0.1°)

*创新提高*

1、在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于________

2、在△ABC中，已知AB=3，AC=4，则边AC上的高为 _________

3、在△ABC中，已知a=2，b=4，C=600，则△ABC是_________A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

4、在△ABC中，已知b

c=3，B=30°，则边长a=_____________

5、在△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则

C=__________________

6、在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，试证明此三角形为锐角三角形

.*高考体验*

1.在ΔABC中，已知 a2b2bcc

2，则角A为（）

A

3B 

6C23D3或2

32．已知：在⊿ABC中，ccosbCcosB，则此三角形为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

3、在ABC中，acosAbcosBc

cosC,试用余弦定理证明：ABC为正三角形.4、在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

5、在△ABC中，求证：a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosC

学

学习目标

1、熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式；

2、充分运用数形结合的思想，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；

3、学会运用正余弦定理解决距离问题，高度问题，角度问题等实际问题。

*知识点清单*

解三角形的应用可大体上把它分成以下三类： I、距离问题

（1）一点可到达另一点不可到达（课本1.2例1）（2）两点都不可到达（课本1.2例2）II、高度问题（最后都转化为解直角三角形）III、角度问题

*基础巩固训练*

例题讲解

例

1、如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD= 6 km，且D位于C的北偏东30°方向上，求AB为多少km。

例

2、如图，一游人由山脚A沿坡角为30的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45，则山高CD为多少





跟踪练习

1、B与C为江边两景点，在岸上选取A和D两个测量点，测得ADCD，AD10km，BDA60，BCD135，AB

1

4km，求两景点B与C的距离（假设A,B,C,D在同一平面内，测量结果保留整数）

2、用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.*创新提高*

1、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α（精确到1），坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)。

2、如图，天空中有一静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°。已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅锤平面上，求气球离地面的高度？（精确到1m）

3、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航67.5 mile后到达海岛B。然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54 mile后到达海岛C。如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，要要航行的距离是多少？（角度精确到1）

/

*高考体验*

1、(2007·山东)如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B

2处，此时两船相距





海里，问乙船每小时航行多少海里？

2、（2009汕头）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架，三角形支架形状如图，要求

ACB600，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短

9.巧构三角形重心 妙解向量难题 篇九

定理1 O是△ABC的重心的充要条件是${\rm O}\overrightarrow{A}+{\rm O}\overrightarrow{B}+{\rm O}\overrightarrow{C}=0.$

定理2 如果O是△ABC的重心, 则△AOB, △AOC, △BOC的面积相等.

证明:如图1、延长AO交BC于D.

∵O是△ABC的重心,

∴AD是BC边中线.

则S△ABD=S△ACD, S△BOD=S△COD.

∴S△ABD -S△BOD=S△ACD-S△C OD.

即S△AOB=S△AOC.

同理, S△AOB=S△BOC.

故S△AOB=S△AOC=S△BOC.

问题:已知点O为△ABC所在平面上一点, 且${\rm O}\overrightarrow{A}+2{\rm O}\overrightarrow{B}+3{\rm O}\overrightarrow{C}=0$, 求△BOC, △AOC, △AOB的面积之比.

分析:由“${\rm O}\overrightarrow{A}+2{\rm O}\overrightarrow{B}+3{\rm O}\overrightarrow{C}=0$”发现, 它是以点O为始点的三个向量和为零向量的等式.联想三角形的重心具有这一特征, 故构造三角形重心来解决.

解:如图2、延长OB到B′, 使$\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}=2{\rm O}\overrightarrow{B}$, 延长OC到C′, 使$\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}=3{\rm O}\overrightarrow{C}$, 连结CB′、AB′、AC′、B′C′.

$\because {\rm O}\overrightarrow{B}+2{\rm O}\overrightarrow{B}+3{\rm O}\overrightarrow{C}=0‚\therefore {\rm O}\overrightarrow{A}+\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}+\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}=0$.则O是△AB′C′重心.

$\begin{array}{l}\therefore S{}_{△A{\rm O}{B}^{\prime }}=S{}_{△A{\rm O}{C}^{\prime }}=S{}_{△B^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}.\\ \because |\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}|=2|\overrightarrow{{\rm O}B}|‚|\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}|=3|{\rm O}\overrightarrow{C}|,\\ \therefore S{}_{△A{\rm O}{B}^{\prime }}=2S{}_{△A{\rm O}B}‚S{}_{△A{\rm O}{C}^{\prime }}=3S{}_{△A{\rm O}C}‚S{}_{△B^{\prime }{\rm O}C}=2S{}_{△B{\rm O}C},\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{于}\text{是}S{}_{△B^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}=3S{}_{△B^{\prime }{\rm O}C}=6S{}_{△B{\rm O}C}.\\ \therefore S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{2}S{}_{△A{\rm O}{B}^{\prime }},S{}_{△A{\rm O}C}=\frac{1}{3}S{}_{△A{\rm O}{C}^{\prime }},S{}_{△B{\rm O}C}=\frac{1}{6}S{}_{△B^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}.\end{array}$

因此, $S{}_{△B{\rm O}C}:S{}_{△A{\rm O}C}:S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{6}:\frac{1}{3}:\frac{1}{2}=1:2:3.$

上述问题通过构造三角形重心, 利用重心与面积关系, 轻易给予解决.其实这个问题还可以做如下推广, 得到一般结论.

推广:已知O是△ABC所在平面内一点, 如果正实数x, y, z满足$x\overrightarrow{{\rm O}A}+y\overrightarrow{{\rm O}B}+z\overrightarrow{{\rm O}C}=0$, 那么S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=x ∶y ∶z .

分析:由条件$x\overrightarrow{{\rm O}A}+y\overrightarrow{{\rm O}B}+z\overrightarrow{{\rm O}C}=0$, 联想到三角形重心具有这样关系.故分别延长OA、OB、OC到A′、B′、C′, 构造以O为重心的△A′B′C′.

证明:如图3, 分别延长OA、OB、OC到A′、B′、C′, 使得$\overrightarrow{{\rm O}{A}^{\prime }}=x\overrightarrow{{\rm O}A}‚\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}=y\overrightarrow{{\rm O}B}‚{\rm O}{C}^{\prime }=z\overrightarrow{{\rm O}C}$, 连结A′B′、B′C′、A′C′、A′B.

$\because x\overrightarrow{{\rm O}A}+y\overrightarrow{{\rm O}B}+z\overrightarrow{{\rm O}C}=0,\therefore \overrightarrow{{\rm O}{A}^{\prime }}+\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}+\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}=0.$

则O是△A′B′C′重心,

$\begin{array}{l}\therefore S{}_{△B^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}=S{}_{△A^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}=S{}_{△A^{\prime }{\rm O}{B}^{\prime }}.\\ \because \overrightarrow{{\rm O}{A}^{\prime }}=x\overrightarrow{{\rm O}A}‚\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}=y\overrightarrow{{\rm O}B}‚\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}=z\overrightarrow{{\rm O}C},\\ \therefore |\overrightarrow{{\rm O}{A}^{\prime }}|=x|\overrightarrow{{\rm O}A}|‚|\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}|=y|\overrightarrow{{\rm O}B}|‚|\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}|=z|\overrightarrow{{\rm O}C}|.\\ \therefore S{}_{△A^{\prime }{\rm O}B}=xS{}_{△A{\rm O}B}‚S{}_{△A^{\prime }{\rm O}{B}^{\prime }}=yS{}_{△A^{\prime }{\rm O}B}\end{array}$

, 从而S△A′OB′=xyS△AOB.

同理, S△A′OC′=xzS△AOC, S△B′OC′=yzS△BOC .

则$S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{xy}S{}_{△A^{\prime }{\rm O}{B}^{\prime }}‚S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{xz}S{}_{△A^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}‚S{}_{△B{\rm O}C}=\frac{1}{xz}S{}_{△B^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}.$

$\therefore S{}_{△B{\rm O}C}:S{}_{△A{\rm O}C}:S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{yz}:\frac{1}{xz}:\frac{1}{xy}=x:y:z.$

应用1:如图4, P是△ABC内一点, 且$A\overrightarrow{{\rm P}}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}A\overrightarrow{C}$, 则△ABP的面积与△ABC的面积之比为多少?

由上述结论可得S△APC∶S△APB∶S△BPC=2∶1∶2.

因此S△APB∶S△ABC=1∶5.

应用2:已知O是△ABC所在平面上一点, A、B、C所对的边分别为a、b、c, 若, 则O是△ABC的 () .

A.重心 B.垂心

C.外心 D.内心

解析:过O分别作BC、AC、AB的边上的高h1、h2、h3, 由, 根据上述结论可得

于是h1∶h2∶h3=1∶1∶1.即h1=h2=h3.

故O到BC、AC、AB距离相等.

O是△ABC内心, 因此答案选D.

【练习】

1.设O在△ABC内部, 且有, 则△ABC的面积与△OBC的面积之比为 () .

2.设O是△ABC内部一点, 且, 若△BOC的面积是8, 求△ABC的面积.

答案:1.D;2.14.

参考文献

[1].王勇.盘活向量条件、破解三类题型[J].数学教学, 2008. (10) .

10.《解直角三角形》教案 篇十

《解直角三角形》教案

【探究目标】 1．目的与要求能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 2．知识与技能能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的.知识解决有关的实际问题． 3．情感、态度与价值观通过解直角三角形的应用，培养学生学数学、用数学的意识和能力，激励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物． 【探究指导】 教学宫殿 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图19―46： 角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B＝90°； 边边关系：勾股定理，即 ； 边角关系：锐角三角函数，即 解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： 把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系． 借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题． 当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解． 在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，如没有特殊要求外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′．

 

11.解三角形知识点总结 篇十一

命

题

者

说

考

题

统

计

考

情

点

击

2018·全国卷Ⅱ·T6·解三角形

2018·全国卷Ⅱ·T15·三角恒等变换

2018·全国卷Ⅲ·T4·三角恒等变换

2018·全国卷Ⅲ·T9·解三角形

1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现。

2.若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上。

3.高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行：

(1)利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点。

(2)利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查。

考向一

三角恒等变换

微考向1：三角函数的定义

【例1】(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边。若tanα

A．

B．

C．

D．

解析　设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得0，所以P所在的圆弧是。故选C。

答案　C

当题设条件中出现直线与单位圆相交问题时，可根据三角函数的定义，求函数的解析式或者判断函数的图象，有时可以简化解题过程。

变|式|训|练

1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝________。

解析　因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，所以cosα＝＝－，即x＝。所以P。所以sinα＝－。所以tanα＝＝，则＋＝－＋＝－。

答案　－

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝()

A．

B．

C．

D．1

解析　由题意知cosα>0。因为cos2α＝2cos2α－1＝，所以cosα＝，sinα＝±，得|tanα|＝。由题意知|tanα|＝，所以|a－b|＝。故选B。

答案　B

微考向2：三角函数求角

【例2】(1)已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________。

(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于()

A．

B．

C．

D．

解析(1)因为α为锐角，cos＝>0，所以α＋为锐角，sin＝，而cos＝cos＝cos＝sin2＝2sincos＝2××＝。所以cos＝。

(2)因为α，β均为锐角，所以－<α－β<。又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝，又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝。所以β＝，故选C。

答案(1)(2)C

(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况。

(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解。

变|式|训|练

1．(2018·全国卷Ⅲ)若sina＝，则cos2a＝()

A．

B．

C．－

D．－

解析　cos2α＝1－2sin2α＝1－＝。故选B。

答案　B

2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________。

解析　因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1　①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0　②，①＋②得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝－。

答案　－

考向二

解三角形

微考向1：利用正、余弦定理进行边角计算

【例3】(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()

A．4

B．

C．

D．2

(2)(2018·陕西二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知＝1－，且b＝5，·＝5，则△ABC的面积为________。

解析(1)因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以c＝4。故选A。

(2)由＝1－及正弦定理可得＝1－化简可得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝，故A＝。又·＝5，即bccosA＝5，故bc＝10，所以△ABC的面积为bcsinA＝。

答案(1)A(2)

利用正、余弦定理解三角形的思路

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到。

(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”。

变|式|训|练

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝()

A．

B．

C．

D．

解析　由＝⇒＝⇒a2＋c2－b2＝ac⇒cosB＝＝。因为0

答案　C

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若bsinA＋acosB＝0，且ac＝4，则△ABC的面积为()

A．

B．3

C．2

D．4

解析　由bsinA＋acosB＝0，得sinBsinA＋sinA·cosB＝0，因为sinA≠0，所以tanB＝－，所以B＝120°，所以△ABC的面积为acsinB＝×4×＝3。故选B。

答案　B

微考向2：几何图形中的边角计算

【例4】如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，∠ADB＝30°，BC＝1，DC＝2，cos∠BCD＝，则BD＝________；三角形ABD的面积为________。

解析　在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×＝4，则BD＝2。在△ABD中，∠BAD＝180°－30°－45°＝105°，sin105°＝sin(45°＋60°)＝×＋×＝，由正弦定理可得AD＝＝＝2(－1)，则S△ABD＝×2(－1)×2×sin30°＝－1，故BD＝2，△ABD的面积为－1。

答案　2　－1

几何图形中的边、角计算一般要把几何图形分解为若干三角形，在三角形中利用正、余弦定理解决。

变|式|训|练

(2018·成都诊断)如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC＝45°，则线段DE的长度为________。

解析　易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中，AC＝，在三角形AEC中，＝⇒CE＝，在直角三角形CED中，DE＝CEsin60°，所以DE＝CEsin60°＝×＝×＝6。

答案　6

微考向3：三角形中的最值与范围问题

【例5】(1)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，且a＝，则b2＋c2的取值范围是()

A．(5,6]

B．(3,5)

C．(3,6]

D．[5,6]

(2)已知点O是△ABC的内心，∠BAC＝60°，BC＝1，则△BOC面积的最大值为________。

解析(1)因为(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，所以由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，可化为b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理可得cosA＝＝＝。因为A∈，所以A＝，又因为a＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以b2＋c2＝(2sinB)2＋2＝3＋2sin2B＋sin2B＝4＋2sin。因为B∈，所以2B－∈，所以sin∈，所以b2＋c2∈(5,6]。故选A。

(2)因为O是△ABC的内心，∠BAC＝60°，所以∠BOC＝180°－＝120°，由余弦定理可得BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos120°，即OC2＋OB2＝1－OC·OB。又OC2＋OB2≥2OC·OB(当且仅当OC＝OB时，等号成立)，所以OC·OB≤，所以S△BOC＝OC·OB·sin120°≤，则△BOC面积的最大值为。

答案(1)A(2)

解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围。

变|式|训|练

在△ABC中，M是BC的中点，BM＝2，AM＝AB－AC，则△ABC的面积的最大值为()

A．2

B．2

C．3

D．3

解析　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。在△ABM中，由余弦定理得cosB＝，在△ABC中，由余弦定理得cosB＝，所以＝，即b2＋c2＝4bc－8，所以cosA＝，所以sinA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝，所以当bc＝8时，S△ABC取得最大值2。故选B。

答案　B

1．(考向一)如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，角β＝α＋的终边与单位圆交于点B(x2，y2)，记f(α)＝y1－y2。若角α为锐角，则f(α)的取值范围是________。

解析　由题意可知y1＝sinα，y2＝sinβ＝sin，所以f(α)＝y1－y2＝sinα－sin＝sinα＋sinα－cosα＝sinα－cosα＝sin。又因为α为锐角，即0<α<，所以－<α－<，所以－

答案

2．(考向一)已知tan(α＋β)＝，tan＝，则的值为()

A．

B．

C．

D．

解析　tan(α＋β)＝，tan＝，则＝＝tan＝tan＝＝＝。故选D。

答案　D

3．(考向二)如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cosA＝()

A．

B．

C．

D．

解析　因为AD＝DB，所以A＝∠ABD，所以∠BDC＝2A。设AD＝BD＝x。在△BCD中，由＝，可得＝①。在△AED中，由＝，可得＝②。联立①②可得＝，解得cosA＝。故选A。

答案　A

4．(考向二)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值范围是________。

解析　因为a2＋b2＝2c2≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)，所以c2≥ab，所以由余弦定理可得cosC＝＝≥＝，又因为C∈(0，π)，所以C∈。

答案

5．(考向二)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝sinC，且c＝2，则a＋b的最大值为________。

解析　因为＝sinC，所以＝sinC＝2cosC，可得tanC＝。由C∈(0，π)，得C＝，所以＝＝＝4，所以a＝4sinA，b＝4sinB，则a＋b＝4sinA＋4sin＝4sin。因为A∈，所以A＋∈，所以sin∈，所以a＋b≤4，当A＝时取等号。

12.解三角形知识点总结 篇十二

笔者拜读文【1】受益匪浅, 但对其中的一些观点不敢苟同, 想与同行们探讨, 不当之处请赐教.

文【1】中写到“虽然图解法比较直观, 但实际上感到很抽象, 求解时可操作性不强”, 事实真的是这样吗?

无论是全日制普通高级中学教科书 (必修第一册下) (即老教材2003年版第131页) , 还是普通高中课程标准实验教科书 (必修5) (即新教材2007年版第8页到第9页) 都详尽地对这一问题给出了准确易懂的解法.下面我们再来看看这个问题:

已知三角形两边和其中一边所对应的角, 判断三角形解的个数.

之所以产生这一问题主要是由于运用正弦定理求解时得出的正弦值在 (0, π) 内可能有两解, 而在三角形中又受到大边对大角及内角和等于π的控制, 因此才可能出现两解、一解及无解等三种情况.其实问题的本质就是圆与不包括端点的射线的交点个数.

已知三角形的两边长分别为m, n, 且长为n的边所对的角为α, 判断这个三角形有几个解?

具体操作过程:作∠EOF=α, 且OE=m, 过点E作EG⊥OF, 则EG=msinα, 现以E为圆心, 半径为n作圆, 则有:

(1) 当n<msinα时, 该圆与射线OF (注意:不包括端点O) 没有交点, 故无解;

(2) 当n=msinα, 或者n≥m时, 该圆与射线OF (注意:不包括端点O) 只有一个交点, 故只有一解;

(3) 当msinα<n<m时, 该圆与射线OF (注意:不包括端点O) 必有两个交点, 故有两解.

以下就以文【1】中的三个原例作为例子来加以说明.

例1 在△ABC中, $A=\frac{\text{π}}{3}‚a=\sqrt{6}‚b=4$, 则满足条件的△ABC ( ) .

A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.不确定

由图1易知选A.

例2 在△ABC中, 根据下列条件, 分别判断解的个数.

分析 (1) 由图2易得一解. (2) 由图3易得一解. (3) 由图4易得两解.

例3 在△ABC中, $a=x‚b=2‚B=\frac{\text{π}}{4}.(1)$若△ABC有两解, 求x的取值范围; (2) 若△ABC只有一解, 求x的取值范围.

分析 (1) 由图5易得$\frac{\sqrt{2}}{2}x<2<x$, 即$2<x<2\sqrt{2}.$

(2) 由图6易得2≥x或$2=\frac{\sqrt{2}}{2}x$, 即0<x≤2或$x=2\sqrt{2}.$

多么简洁!多么易于操作!据此, 笔者愚见在此类问题上还是用图解法 (即数形结合) 为好, 图解法不仅直观、具体、简单, 而且操作性很强.著名的数学家华罗庚曾这样富于哲理地说:“数形本是相倚依, 怎能分作两边飞.数缺形时少直觉, 形缺数时难入微.数形结合百般好, 隔离分家万事休.几何代数统一体, 永远联系莫分离.”

从本质上来说, 数学思维过程, 即解决数学问题过程就是不断地把文字语言、符号语言、图形语言等价切换.这正是新课改所倡导的精髓:让学生自己动手操作, 从中感受简洁美、享受数学美!

参考文献

13.《解直角三角形的应用》教学反思 篇十三

课程分析：

整个教学过程主要分四部分：第一部分是考点整合——复习简单的解直角三角形，直角三角形得边角关系，解直角三角形得类型，解直角三角形得应用；第二部分是归类示例——通过三个类型三个例题讲解解直角三角形的应用；第三部分是课时小结———总结应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤；第四部分是课时作业———巩固本节所学。

与技能”上要求学生掌握其基本性质，和有关线段、面积的计算方法，能按照一定的规则和步骤进

归纳总结：

回顾本节课，虽然我花费了很多的心思合理设计了本课，但在实际教学的环节中，还是出现了一些问题：

1、教学中不能把学生的大脑看做“空瓶子”。我发现按照自己的意愿在往这些“空瓶子”里“灌输数学”，结果肯定会导致陷入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的，所以是不是应该在教学过程中尽可能多的把学生的思维过程暴露出来，头脑中的问题“挤”出来，在碰撞中产生智慧的火花，这样才能找出症结所在，让学生理解的更加到位。

2、教学中应注重学生思维多样性的培养。数学教学的探究过程中，对于问题的结果应是一个从“求异”逐步走向“求同”的过程，而不是在一开始就让学生沿着教师预先设定好方向去思考，这样感觉像是整个课堂仅在我的掌握之中，每个环节步步指导，层层点拔，惟恐有所纰漏，实际上却是控制了学生思维的发展。再加上我是急性子，看到学生一道题目要思考很久才能探究出答案，我就每次都忍不住在他们即将做出答案的时候将方法告诉他们。这样容易造成学生对老师的依赖，不利于学生独立思考和新方法的形成。其实我也忽视了，教学时相长的，学生的思维本身就是一个资源库，他们说不定就会想出出人意料的好方法来。

另外，这一节课对我的启发是很大的。教学过程不是单一的引导的过程，是一个双向交流的过程。在教学设计中，教师有一个主线，即课堂教学的教学目标，学生可以通过教师的教学设计的思路达到，也可以通过教师的引导，以他们自己的方式来达到，而且效果甚至会更好。因为只有“想学才学得好，只有用自己喜欢的方式学才学的好”。因此，本人通过这次教学体会到，教师在备课时，不仅要“备教材、备学生”，还要针对教学目标整理思路，考虑到课堂上师生的双向交流；在教学过程中，要留出“交流”的空间，让学生自由发挥，要真正给他们“做课堂主人”的机会。

无论是对学生还是教师，每一个教学活动的开展都是有收获的，尤其是作为“引导学生在知识海洋里畅游”的教师，一个教学活动的结束，也意味着新的挑战的开始„„

总之，这一堂公开课，让我既收获了经验，又接受了教训，我想这些都将会是我今后教学的一笔宝贵财富。

解决策略：

1、通过复习实际生活中的角度问题，使学生能利用已知条件构造直角三角形；

2、形成“以锐角三角比知识建立数学模型解决复杂实际问题”的方法结构；

14.老师教案12 解三角形 篇十四

一、课前检测

1.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b10，A45，C70

B．a60，c48，B60

C．a7，b5，A80

D．a14，b16，A4

52.在△ABC中，已知B30，b503，c150，那么这个三角形一定是 _________三角形。答案：等腰或直角三角形

|3.在ABC中，已知|AB||AC2且,ABAC1,则这个三角形的BC边的长为 ．答案：6

二、知识梳理

1．角与角关系：A+B+C = π，由A＝π－（B＋C）可得：

1）sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． 2）A22BC2．有：sinA2cosBC2，cosA2sinBC2．

解读：

2．正弦定理

①a:b:csinA:sinB:sinC；

②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC； ③asinAbsinBcsinCabcsinAsinBsinC；

④a:b:csinA:sinB:sinC。

解读：

3．射影定理：

a＝b·cosC＋c·cosB，b＝a·cosC＋c·cosA，c＝a·cosB＋c·cosA．

解读：

三、典型例题分析

例1．在△ABC中，若acosBbcosA，则这个三角形是__________ 三角形 答案：等腰三角形

变式训练

在△ABC中，若答案：等边三角形

小结与拓展：

例2．a:b:c1:3:2，求A，B，C

acosAbcosBccosC，则这个三角形是__________ 三角形

答案：A=30°，B=60°，C=90°

变式训练： a:b:c2:6:(31)，求A，B，C

答案：A=45°，B=60°，C=75°

小结与拓展：

例3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c求角A，C，边a及三角形的面积 答案：A=30°，C=30°，SABC322，b6，B120。

a8，b6，变式训练：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且SABC123，求c

答案：c=8或c=237

小结与拓展：

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.知识：

2.思想与方法：

3.易错点：

15.解三角形知识点总结 篇十五

师:观察黑板上的8个图形, 它们有哪些共同的地方?又有哪些不同呢? (生答略)

师:既然这些三角形有这么多不同, 我们是不是可以考虑把它们分分类?站在数学的角度, 可以按什么标准来分呢? (按边或角的不同分类)

师:如果按角的特征来分。在三角形中可能出现的有哪些角?

生:可能有锐角、直角、钝角。

师:比如 (1) 号三角形, 它的三个角分别是什么角呢?将特征填在下表中。

小组观察其他7个三角形的情况, 并将结论填在表中。[片段2]你发现了什么?

师:看看这个表格, 再看看这些三角形, 你发现了什么?

生:我发现这些三角形中锐角很多, 直角和钝角都很少, 有些没有。

师:锐角多, 多到什么程度?生:最多有3个锐角。

师:少到什么程度?生:有2个锐角。

生:我发现这些三角形中的锐角至少有2个。 (板书:一个三角形中锐角至少有2个)

[片段3]为什么最多只有1个直角?

师:听懂了吗, 她这话是什么意思?

生:三角形都有三个角, 因为钝角和直角最多只有1个, 也可能没有, 所以锐角多了。 (板书:直角或钝角最多只有1个)

生:直角不可能有2个的, 因为三角形内角和是180度, 两个直角就有180度, 哪里还有第三个角。 (该生用手势说明, 教师提供细长的3根小棒让他到黑板前演示)

师:这位同学真是太厉害了, 他借用了我们下节课要学的知识——三角形内角和为180度来说明这个问题, 完全正确。同学们还可以想象一下, 这 (左右) 两条线无限延长, 能合拢吗?

生:不能。更不可能有两个钝角, 这样的话更加不可能合拢了。 (师趁势移动两根棒, 如右图1)

师:那一个直角和一个钝角呢? (见右图2)

……

[片段4]能包括所有三角形吗?

师 (延伸) :我们已经把黑板上的8个三角形完全分类了, 生活中的三角形有很多很多, 任意再拿来一个, 会不会不属于这三类中的任何一类?

生:不可能, 角的类型只有直角、锐角、钝角这三种类型, 内角和只有180度, 直角和钝角最多只有一个, 因此就只能是这三类了。

[思考]

一、把黑板上的八个三角形分完就可以了吗?

渗透分类的数学思想是本节课的重要教学目标。所谓分类思想, 就是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点, 将数学对象分为不同种类的数学思想。

“三角形按内角角度分类, 可以得出三类三角形, 除了这三类之外没有其他的三角形了”, 这是三角形按内角角度分类的结论。但是, 对于这个结论的得出过程, 我们现在使用的方法有缺陷, 因为我们常常借助学生或自己准备好的三角形, 然后对这些三角形进行分类。而借助数量有限的材料得到结果, 这是一种不完全归纳法, 它的缺陷就在于考察的对象是有限的。所以从理论上说, 三角形按内角角度分类完全有可能存在这三种之外的情况。那么, 采用怎样更严密的方法才能让学生清晰地认识三角形内角的特点, 并确信三角形按内角角度分类的确只有这三种情况呢?

无疑, 在片段描述中教师对“一个三角形中, 至少有两个锐角, 最多有一个钝角或直角”的追问和后续的拓展环节, 实现了对“三角形按内角分只有这三类”的认识。这样的设计, 一方面是为了跳出相对简单的不完全归纳法的束缚, 以培养学生初步的演绎能力;另一方面则是通过学生不断地想象、猜测, 来发展学生的空间观念。

1. 如果有两个直角, 学生猜一猜并演示得出:

两个直角有两条平行的线, 不可能围成三角形;内角和只有180度, 两个直角已经有180度了, 不可能存在第三个角了。

2. 如果是一个直角和一个钝角, 学生认为:

这种情况更不可能围成三角形了, 它的开口更大了, 而且两个角度的和已经超过180度了。

3. 学生同理得出两个钝角更不可能了。

以上过程, 是在对话交流中自然生成的, 结合出现的几种情况开展的讨论, 正是完全归纳法中的分类讨论。由于逻辑清晰、论证严密、形象直观, 所以说服力强, 当笔者追问:“我们已经把黑板上的8个三角形完全分类了, 生活中的三角形有很多很多, 任意再拿来一个, 会不会不属于这三类中的任何一类?”学生无论从空间想象, 还是从三角形内角和不变的角度, 都很容易理解三角形按内角角度分类的确只有这三种情况。

根据分类教学的现状和实践, 笔者认为, 教师在分类教学中要严守分类的原则:保证分类标准始终如一, 并且这个标准应当是科学的, 要满足互斥、无漏的要求, 并力求最简。这里的“漏”不仅仅指看到的学习材料, 还指对没有出现的材料中是否还存在一个反例所做的进一步思考。

二、可以先教《三角形的内角和》知识, 再学《三角形的分类》吗?

新课改把“三角形的认识”这部分内容分为三节课上, 足见对学生经历、体验概念形成过程的重视。虽然这节课的起点建立在学生对三类角的认识上, 学生认识三类三角形也是水到渠成的事。为什么三角形按角分有这三种类型, 本质原因是它们的内角和为180度, 一个角大了, 另两个角的和就小了, 三个角之间有相互牵制的关系。

屡次试教中学生在质疑为什么三角形中至少有两个锐角、最多只有一个直角或钝角时, 多次采用内角和为180度的知识来解释, 而且说理严密, 这又引起了笔者的思考。学生的数学学习经验数学学科的知识结构是学生学习的起点。记得在学《小数的初步认识》时, 就充分发挥了学生生活经验的作用, 直接从认商品的价格入手认识小数。这为学生理解小数与分数的关系起到了很好的桥梁作用。其实从四上年级起, 学生就不断地从教材中、配套练习中接触量三角形、多边形内角和的习题, 教师在讲评习题时也会很自然地引导学生得出三角形内角和为180度。所以, 真到学习《三角形的内角和》, 不过是组织引领学生探究个为什么, 既是归纳的过程, 也是演绎的过程。那么在学习《三角形的分类》中, 我们是否可以先借用 (教材编排不变) 内角和为180度的知识来理解三角形确实只有这三种类型呢?