数形结合思想方法（14篇）
1.数形结合思想方法 篇一
如何课堂教学中渗透数形结合的思想方法
数学思想方法很多其中数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合是通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为图形，从图形中直观地发现数量之间存在的内在联系，解决问题。应用数形结合的思想方法，既能培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。下面就我在教学中如何渗透数形结合的思想方法的做法和体会：
一、在观察中渗透数形结合的思想。观察是学生学习活动的基础，是学生获取知识的开始。教师在低年级就应该有意识地让学生观察数与形之间的联系。如：如在教学进位加法时，“42+58= ”我通过演示42根小棒加58根小棒两次满十进一的过程使学生理解相同数位对齐、满十进一的道理。通过演示小棒的方法教学，2和8加起来时10，又是1捆，4捆加5捆再加刚刚的1捆是10捆，可以捆成一大捆即100。学生的整个观察过程展现数与形之间的内在关系，帮助学生理解的进位加法的意义。同时激发了学生的兴趣。
二、在操作中渗透数形结合的思想。小学生思维以具体形象为主，教材为学生提供了许多实践操作的机会，我们要重视学生操作，真正的放手让学生操作。让操作与思维联系起来，让知识在学生操作中产生。比如，低年级有一道题：“小兔从家出发，已经走了52米，这时看到路标上写着离商店还有21米，小兔家离学校有多少米？”我发现有的学生能列出52+21=73（米），但是他们不能清晰地解释为什么要两个数相加。于是教学时，先让学生在作业本上用笔画出整条路线，再用笔尖模仿小兔的行走路线到路边的广告牌时，停下别动。问学生：“离商店还有21米”是那一段？为什么52+21=73（米）的问题就迎刃而解了，重要的是学生在操作中体验领悟到了数形结合的思想。高年级解决问题的题型中，用线段图帮助分析题意。例如：“小强每分钟走65米，小丽每分钟走70米，经过4分钟，两人在校门口相遇，他们两家相距多远？” 我让学生画出线段图，通过画线段图帮助学生分析题中的数量关系，理清解题思路。从线段图中，可以清楚地看到他们两家相距的路程就是小强家到学校的路程加上小丽家到学校的路程。由于小强到学校用了4分钟，即4个65米，就是65×4米。小丽到学校的路程用了4分钟，每分钟70米，即4个70米，就是70×4米，他们两家的路程就是65×4＋70×4米；也可以这样看：他们两个同时走1分钟的路程是（65＋70）米，同时走4分钟的路程是（60＋70）×4米。通过了数形结合的思想方法，能轻松地让学生理解数量关系。我认为老师要分阶段、有目的地培养学生画图分析数量关系。如果从低年级到高年级，教师都注重培养学生分析已知条件和问题，从低年级的看图、说图意、画基本简单的线段图，到中高年级画稍为复杂的线段图、较复杂的线段图。学生的解题方法、解题能力都会得到提高。
通过数形结合，有助于学生对数学知识的记忆。帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。既培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。
2.数形结合思想方法 篇二
一、在直观中理解数
在小学数学教学中,一些概念、性质的内容非常抽象,学生理解起来比较困难,我就借助一些直观的图形将这些抽象的概念、性质形象化,通过分析图形中呈现的数学问题情境,抽象出概念、性质的内涵和外延,最终达到帮助学生理解数学概念、性质的目标。如我在教学“认识几分之一”这节课时,就是把直观的图形和抽象的分数结合起来,帮助学生理解分数的意义的。
教学片断一:
师:今天是羊村老村长的生日,喜羊羊它们准备了一个大大的蛋糕,现在老村长想把这个蛋糕分给4只羊吃,要怎样分才算公平?
生:当然是平均分了。
师:(课件演示平均分,并把其中的一份先给了喜羊羊)喜羊羊分得的这块蛋糕是这个蛋糕的几分之几呢?谁能说说自己的想法。
生:喜羊羊分得的这块蛋糕是这个蛋糕的四分之一,因为老村长把一块蛋糕平均分成了4份,其中的一份就是这块蛋糕的四分之一。
师:(课件继续演示把其中的第二块分给了美羊羊)美羊羊分得的这块是这块蛋糕的几分之几呢?
生:也是这块蛋糕的四分之一。
师:也就是说把一个物体平均分成几份,其中的每一份都是它的几分之一。
生:点点头。
师:如果老村长现在改变主意,想把剩下的2块蛋糕全都分给沸羊羊,那沸羊羊分得的是这块蛋糕的几分之几呢?
生:我觉得应该用四分之二表示,把一个物体平均分成4份,2份就是它的四分之二。
师:吃完蛋糕,上了水果。(出示苹果图,一共4只苹果)
师:这盘苹果还是分给四只羊吃,每只羊分得这盘苹果的几分之几?说说你的理解。
生:也是四分之一,因为老村长还是把这一盘子苹果平均分成了4份的,每只羊分得其中的一份,就是这盘苹果的四分之一。
师:如果把这盘苹果平均分给两只羊吃,每只羊分得这盘苹果的几分之几呢?
生:我觉得可能是四分之二。
师:把这盘苹果平均分给两只羊吃,需要平均分成几份?谁来说说分法。
生:只要平均分成两份,其中一只羊分得的就是这盘苹果的二分之一。
(师用课件展示分法)
师:比较这两种分法,同样是一份,为什么有时用四分之一表示,有时用二分之一表示呢?
生:因为分数的分母取决于平均分的份数。
……
“认识一些物体的几分之一”是认识分数中的一次大的飞跃,学生理解起来非常困难,我在教学中借助分蛋糕、分苹果让学生的具体形象思维悄然过渡到抽象的逻辑思维,学生通过对图形的观察、分析,比较深刻地理解了分数的意义,形象化的图形给枯燥的知识增添了趣味,引发了学生的有意注意,提高了学生数学思维的能力。
二、在计算中建立形
在教学中我们发现,很多的图形推理都离不开抽象的计算,教师在组织教学活动时常常通过计算去帮助学生理解一些图形的知识,如我在教学“等底等高的平行四边形面积相等”时,我就利用了以数想形的方法。
教学片断二:
师:老师有一个问题需要同学们帮助解决,愿意帮助老师吗?
生:愿意。
师:(课件出示问题)小明打篮球时不小心把人家的一个平行四边形的玻璃打破了,想要赔给人家,却只能找到以前买玻璃的票据,上面写着30厘米×20厘米的字样,你能帮忙画出那个平行四边形的样子吗?
生:看完问题后就开始动手画起了图,有的学生还一边画一边在比画着。
这时我发现有的学生画了又擦,擦了又画,还不时皱起了眉头,就轻声问学生:“有什么问题吗?”
生:老师,我发现我能够画好多用这个式子计算的平行四边形呢。
师:这倒是一个不错的发现,继续画画看,看看你画出的这些平行四边形有什么异同点。
生继续画。
生:我发现我画的这些平行四边形因为底和高都一样,所以它们的面积都一样,不同的只是它们的形状。
师:你们真是太有才了,你们的发现就是我们数学书上介绍的平行四边形的一个非常重要的性质。(课件出示:不同形状的平行四边形只要等底等高,它的面积就相等)
生:齐读。
师:那我们仅仅根据这个数据还能不能配上和以前一样的平行四边形的玻璃呢?
生:可能性比较小,要配上完全一样的玻璃还必须提供其他的数据。
师:老师也赞同你们的观点,那我们课后再想想办法。
该片段中,我就是借助数据去引导学生画出图形的模样,这种以数想形的方法有效地帮助了学生理解了平行变形的这一重要性质,可谓是一个良策。
3.关于数形结合思想方法的认识 篇三
一、对数形结合思想的认识
数形结合思想是对数学问题规律的认识，是无数前人在多少年的数学研究和教学过程中总结出来的根本方法。数与形是不可分离的，只有当它们共同存在时，才会使人更加方便地研究数学。我国著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，他还幽默地告诉大家不要“得意忘形”。由此说明，在解决问题的过程中，数形结合是多么的重要。
（一）以“数”化“形”
以数化形，实际上就是根据定理公理把有关数量的问题图形化，一般有以下的几种情况：应用平面几何知识解决问题，应用解析几何知识解决问题，应用立体几何知识解决问题。有些数量是比较抽象的，不容易理解或者运算，例如无理数和一些复杂的有理数。当我们在运算解题的过程中无法算出精确的结果时，就需要借助其他的工具来辅助运算，而这个工具就是图形。而数和形在数学问题中是存在着某种相对应的关系的，我们就根据这些关系转化。因此，在课堂上渗透数形结合思想时，教师可以适当地多准备一些类型题，让学生通过训练把和具体的数相对应的形找出来，再联系之前学过的知识，根据它们之间存在的数量关系解决问题。
（二）以“形”变“数”
我们总说数学是抽象的，是因为它是由具体的事物中提取出来的关于量的方面的属性或关系，而数和形是量的最基本的两个概念。大家都很清楚图形的特点，很直观，能够形象的表达出已知条件，有些小的结论更是显而易见。学生面对复杂的图形，不能一见到图就脑袋疼，更加不能自暴自弃，一定要仔细观察图形的特点，发觉题目中隐含的条件或者结论，再联系之前学过的知识，准确地把图形数字化，最后对问题进行分析运算，这样理清了思路之后，做题才会更加舒畅，也大大地减少了做题的时间。
图形作为一种重要的数学工具，能够生动形象地将抽象问题转化成简单熟悉的问题，使学生对数学本质的把握更加有保障，使我们对问题的解决方法的掌握更加熟练。要想做到胸中有图，就需要教师在日常课堂教学中，逐渐地渗透数形结合思想，锻炼学生应用数形结合思想解决问题，才能发展学生的数学思维，进一步加强解题能力。
（三）“形”“数”互变
实质上就是以数化形和以形变数的结合。学生的创新思维能否广阔的发展，就要看他对数形结合的思想方法是否能够熟练掌握。事实上，数形结合思想背后是符号语言和图像语言在支撑。只有当学生在这方面的词汇积累越加丰富时，解决问题可能产生的思路才会越加广阔，解决方法才会越多，更加灵活。在定量方面，图形并不能帮助我们算出具体的数值，这时就需要借助代数的运算。
从数与形两个方面对问题进行分析，在教师的引导下，学生逐步地探索出解题思路，找到问题的结论。我们把这样的解题思路称为“利用图形探路子，结合图形找式子”。
在日常的教学活动中，教师应该有意识地加强锻炼学生利用几何图形的意义解决问题，熟悉了几何意义才能更加巧妙地把数和形结合起来解决复杂的数学问题。
数形结合的思想方法非常重要，需要我们学习。我们要根据代数、几何各自的独有特点对一些典型的例题进行剖析和归纳。数形结合思想方法的运用帮助学生准确地解决数学问题，有助于学生对解题技巧的把握。
二、对数形结合思想的教学建议
运用数形结合的思想方法教学时，应注意以下几点。
1.教师在课堂上给学生渗透数形结合思想，一定要先把数和形的概念讲清楚，再将方法分成几类来讲。
2.数和形是数学的两大基本概念，我们把它们比作为数学的双翼，没有数与形，失去了双翼，数学的发展也就迷失了方向。
3.把有关几何学的问题通过某种方式的变换，转化成代数的问题，再利用一些代数学的方法对它进行解析、说明，使数与形结合起来，有时可以得出一些重要的结果。
4.把相对应的的数与形统一起来，仔细观察，把曲线与代数方程结合在一起考虑。不要放过任何小的细节，通过已知条件或隐含的知识，找到解题的关键。
总之，只有当代数与几何结合在一起，相互促进地创新发展，羽翼丰富，数学才会显示出强大的生命力和无穷的魅力，才会展现数学的美丽风采，给我们带来美的享受。
4.数形结合思想方法 篇四
１数形结合思想在小学数学教学中的具体应用
数形结合思想就是指在数学学习过程中，可以通过数和形之间的变换来解决一些数学问题，采用这样的方式可以大大降低数学问题的难度。下文将具体介绍一下数形结合思想应用的方法。首先，在小学数学教学过程中应采用数形结合的思想可以将一些抽象的概念直观化，从而使得学生可以更好地理解概念。概念是数学学习的重要内容之一，但在数学中有一些概念是比较抽象的，对于小学生来说理解这样的概念是存在一定难度的。以往，教师为了让学生理解这些概念往往会采用死记硬背的方式，按照教师的观点，先记住概念，随着使用次数的增多自然就会理解了。但是，对于学生而言，光记住概念却不理解概念是难以将其应用于解题过程中的。因此，在教学过程中，教师可以采用数形结合的思想，通过“数”、“形”变换将这些抽象的概念以较为直观的方式表达出来，这样学生才能更好地理解概念，并将其应用于解题过程中。其次，在小学数学教学过程中教师应采用数形结合的思想将一些隐性的数学规律以形象化的方式表达出来，从而培养学生找规律的能力。数学知识的逻辑性比较强，同时也存在很大的规律性。有一些数学规律已经被视为公式，出现在数学教材中。但有一些数学规律则因各种因素的影响没有出现在教材中，而这些隐性的规律是学生难以发现的，但对于理解数学知识和解题来说是比较有用的。
因此，教师应将这些隐性的数学规律告知学生。但在告知学生的过程中应掌握一定的方法技巧，培养学生独立寻找数学规律的能力。采用数形结合的思想，一方面可以更加清晰地展示数学规律，另一方面也更加容易让学生掌握这种寻找数学规律的方法。最后，在小学数学教学过程中教师应采用数形结合的思想来简化问题，从而降低问题的难度。在数学学习过程中，有很多数学问题都存在比较复杂的数量关系，对于处于小学阶段的学生来说他们难以理解这样复杂的数量关系，进而也就不知道该如何解题。在这种情况下，教师应教授学生利用数形结合思想解决问题的方法。采用数形结合思想一方面可以将一些复杂的问题简单化，另一方面也可以使得问题中的数量关系清晰化，更加有利于学生理解题目的含义。在小学数学教学中运用数形结合思想不仅可以提高学生数学学习的效果，同时还可以让学生养成用数形结合思想解决问题的习惯，从而使得学生的空间思维能力得到提升，这对学生以后的数学学习也会有很大的帮助。
２小学数学教学中运用数形结合思想应注意的问题
在小学数学教学中运用数形结合思想对于培养学生的数学思维能力具有重要的作用，但为了充分发挥数形结合教学思想的作用，在运用数形结合教学思想的过程中还应注意下述几方面的问题。首先，教师在小学数学教学的过程中不仅要采用数形结合思想，同时还应让学生养成用数形结合思想解决问题的习惯。准确地说，数形结合是一种数学思想，而不是教学思想。因此，为了提高学生的数学学习能力，在数学教学的过程中教师应有意识地培养学生运用数形结合思想解决数学问题的习惯，这样就会让学生养成一种思维习惯，遇到数学问题时就会想到这种解决问题的方法，这对学生以后的学习和生活都是具有积极作用的。其次，教师在运用数形结合教学思想的过程中应充分利用多媒体技术。正如上文所述，数形结合思想简单来说就是“数”、“形”变换的一种思想。利用多媒体技术可以更好地向学生展示“形”，还可以利用视频、动画、图片等多种方式来展示“数”“形”变换的具体过程，这样更加有助于学生理解数学知识。最后，在小学数学教学中运用数形结合的教学思想时应加强数学知识和现实生活之间的联系，最好用一些学生平时比较熟悉的事物来表现数形变换的过程，这样不仅可以加深学生对相关知识点的印象，同时还可以提高学生数学学习的兴趣。
３总结
总之，相比于传统的教学思想来说，数形结合的教学思想更加符合数学教学的实际情况。在小学数学教学的过程中采用数形结合的教学思想不仅可以将一些抽象的知识具象化，使得学生可以更好地理解数学知识，同时还可以提高学生的数学思维能力，使其更好地掌握数学知识。
参考文献
［１］袁婷．小学数学教学中数形结合思想的渗透研究［Ｊ］．学周刊，２０１５，０６：６０－６１．
［２］曹红涛．数形结合思想在小学数学教学中的渗透研究［Ｊ］．中国校外教育，２０１５，２８：１２９．
5.数形结合思想在中学数学中的运用 篇五
数形结合是中学数学中基本而又重要的思想方法之一,它将数学问题中的教学关系与空间形式结合起来进行思维,从而使逻辑思维与形象思维完美地统一起来.其解题思想直观,优美而准确.下面就针对教形结合思想的`运用作一些介绍.
作 者：张世谦 作者单位：定西市安定区中华路中学,甘肃定西,743000 刊 名：考试周刊 英文刊名：KAOSHI ZHOUKAN 年，卷(期)： “”(18) 分类号：G63 关键词：数形结合思想 形象思维 数量关系
6.数形结合思想方法 篇六
数形结合思想就是其中一种重要的思想。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。在低年级教学中学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学。从人类发展史来看，具体的事物是出现在抽象的文字、符号之前的，人类一开始用小石子，贝壳记事，慢慢的发展成为用形象的符号记事，最后才有了数字。
小学应用题中常常涉及到“求一个数的几倍是多少”，学生最难理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有自己的理解，并内化称自己的东西？我认为用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。就利用书上的主题图。在第一行排出3根一组的红色小棒，再在第二行排出3根一组的绿色的小棒，第二行一共排4组绿色小棒。结合演示，让学生观察比较第一行和第二行小棒的数量特征，通过教师启发，学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：绿色小棒与红色小木棒比较，红色小棒是1个3根，绿色小棒是4个3根；把一个3根当作一份，则红色小棒是1份，而绿色小棒就有4份。用数学语言：绿色小棒与红色小棒比，把红色小棒当作1倍，绿色小棒的根数就是红色小棒的4倍。这样，从演示图形中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。
在利用实物创设问题情境时，教师要特别注意数与形的有机结合，以问题引导学生观察，不仅要用诱导性问题，更要用一些启发性问题，激疑性问题，让学生在观察中发现问题，自己提出问题和解决问题。教师除了提供充分的形象感性材料让学生形成鲜明的表象外，还必须在此基础上，引导学生分析和比较，及时抽象出概念的本质属性，使学生在主动参与中完成概念的建构。
在实际教学中，数和形往往是紧密结合在一起，相互并存的。因此，在实际教学中教师要把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，使数与形相得益彰。
7.数形结合思想方法 篇七
2011年江苏省高考数学学科命题的指导思想清楚表明:“……注重知识内在联系的考查, 注重对中学数学中所蕴含的数学思想方法的考查.”而数形结合的思想方法是中学数学中所蕴藏的重要思想方法之一, 因此我们应把数形结合的思想方法渗透到数学课堂教学之中.所谓数形结合, 就是根据数与形之间的对应关系, 通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.在数学教学中渗透和运用数形结合的思想方法, 可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 可以帮助学生从具体的形象思维向抽象思维过渡, 同时, 又可以用抽象思维来完善形象思维.函数问题是中学数学永恒的主题, 本文以高三函数专题复习课例谈数形结合思想方法在数学课堂教学中的渗透.
一、函数概念问题
例1 (苏教版必修1第29页第6题) 直线x=a和函数y=x2+1的图像的公共点可能有几个?
分析 作出函数y=x2+1的图像和直线x=a的图像数, 形结合可知公共点有且只有一个. (本题当然可以用代数的方法代入求解, 但数形结合更为直观!)
利用坐标系数形结合求解, 使抽象的数学问题直观化!
二、函数定义域、值域 (或最值) 及含参问题
例2 求函数
分析 函数
利用数轴数形结合求解, 使复杂的交集计算问题更直观简洁!
例3 求函数
分析 利用“三角函数的有界性”“判别式法”“不等式法”“导数法”等代数方法可解决, 但较繁琐.若将函数看成为单位圆上的点A (cosx, sinx) 和定点B (-2, 0) 连线的斜率, 将函数最值问题转化为斜率的最值, 只要求出过定点B (-2, 0) 且与单位圆相切的直线斜率即可.
设切线方程为y=k (x+2) , 即kx-y+2k=0.由
联想斜率公式构造斜率, 利用直线与圆相切求出斜率, 数形结合求解, 起到了事半功倍的效果!
例4 求函数
分析 函数
此类函数的最值问题用代数的方法来解决是非常困难的, 利用其几何意义数形结合求解直观、形象!
三、函数图像问题
例5 函数
分析 函数
则易知函数图像为D.
研究较复杂的函数的“图像” (或性质) 必须建立在严谨的“数”的基础上, 数形结合求解直观、形象!
四、函数单调性及含参问题
例6 函数f (x) =x2-2ax+3.
(1) 若函数f (x) 在 (-∞, 0) 上单调递减, 则实数a的范围为. (答案:a≥0)
(2) 若函数f (x) 的单调递减区间为 (-∞, 0) , 则实数a的值为. (答案:a=0)
(3) 研究函数f (x) 在 (1, 2) 的单调性及最小值g (a) .
分析 对于前两问的处理抓住“在区间A上单调递减”和“单调递减区间B”的区别和联系 (A⊆B) , 画二次函数的图像数形结合可求.第 (3) 问是二次函数“轴动区间定”的最值问题, 分类讨论对称轴x=a与区间 (1, 2) 的位置关系 (即a与1和2的大小关系) , 数形结合 (如图1, 2, 3) 可研究其单调性, 并可求出最小值为
此类二次函数“轴动区间定”的最值问题, 数形结合求解直观、形象!
例7 设a为实数, 函数f (x) =x2+|x-a|+1 (x∈R) , 求f (x) 的最小值.
分析 ①当x≤a时, f (x) =x2-x+a+1.
若
f (x) 在 (-∞, a]上单调递减, 从而f (x) 在 (-∞, a]上的最小值为f (a) =a2+1.
若
②当x≥a时, 函数
若
若
综上所述, 当
当
当
求解本题的关键是去绝对值符号, 转化为二次函数, 利用二次函数图像对a进行分类讨论.
五、函数奇偶性及含参问题
例8 若f (x) 是奇函数, 且在 (-∞, 0) 上是增函数.又f (3) =0, 则x·f (x) >0的解集是.
分析 由f (x) 是奇函数且f (3) =0, 可得f (-3) =0.又f (x) 是奇函数, 且在 (-∞, 0) 上是增函数知f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数, 结合草图 (右图) 可知x·f (x) >0的解集是 (-∞, -3) ∪ (3, +∞) .
此类抽象函数的问题, 数形结合求解直观、形象!
六、函数恒成立及含参问题
例9 (2008年江苏高考14) 设函数f (x) =ax3-3x+1对于x∈[-1, 1]总有f (x) ≥0成立, 则a=.
分析 由题f (x) =ax3-3x+1≥0在x∈[-1, 1]恒成立, 即等价转化为ax3≥3x-1在x∈[-1, 1]恒成立.
构造函数法一 设f (x) =ax3, g (x) =3x-1, 则f (x) ≥g (x) 在x∈[-1, 1]恒成立.作出两个函数f (x) =ax3, g (x) =3x-1的图像, 易知a≤0时不合题意, 故a>0.设在P (x0, y0) 处直线g (x) =3x-1与曲线f (x) =ax3 (a>0) 相切, 则
解得a=4.此时直线g (x) =3x-1与曲线f (x) =ax3 (a>0) 还相交于Q (-1, -4) , 若a≠4 (a>0) 时, 数形结合可知不合题意.
构造函数法二 本题易知a≤0时不合题意, ax3≥3x-1还可以等价转化为
本题是含参数的函数恒成立问题, 利用“分类讨论法, 结合导数知识求函数最值”或“分离参数法, 结合导数知识求函数最值”较复杂, 若利用“构造函数法, 结合导数知识数形结合”来求解可使问题迎刃而解!
七、函数交点个数、方程实数根及含参问题
例10 (2008年湖北卷文13) 方程2-x+x2=3的实数解的个数为.
分析 画出y=2-x与y=3-x2的图像, 有两个交点, 故方程2-x+x2=3的实数解的个数为2个.
例11 (2008年上海卷理11) 方程
分析 方程的根显然x≠0, 原方程等价于
或
此类函数的问题, 数形结合来求解可使问题迎刃而解!
美国著名数学教育家波利亚说过, 掌握数学就意味着要善于解题.数形结合是数学的本质特征, 在数学课堂的教学中渗透数形结合思想方法正是充分把握住了数学的精髓和灵魂.数学是思维的科学, 是一个高度抽象的思维王国, 而数形结合是深化思维的有力“杠杆”, 是培养学生解题能力的一种重要手段.在数学教学中, 由数想形、以形助数的数形结合思想, 具有可以使问题直观呈现的优点, 有利于加深学生对知识的识记和理解;在解答数学题时, 数形结合, 有利于学生分析题中数量之间的关系, 丰富表象, 引发联想, 启迪思维, 拓宽思路, 迅速找到解决问题的方法, 从而提高分析问题和解决问题的能力.
数形结合思想方法中数与形被自然地结合在一起, 使它不但成为解决数学问题的方法, 而且作为一种数学思想融于高中数学教学之中, 它是将知识转化为能力的“桥”.这正像华罗庚教授说过的“数缺形时少直觉, 形少数时难入微, 二者结合万般好, 倘若分离万事休”.
抓住数形结合思想教学, 不仅能够提高学生数形转化能力, 还可以提高学生迁移思维能力.因此, 作为一项教学改革, 需要我们在数学教学的每一个教学环节中, 都要重视数形结合思想方法的教学, 要把数形结合思想方法渗透到分析过程中, 让学生体会数形结合思想方法对解决问题的巨大作用, 强化应用意识, 要争取胸中有图, 见数想图, 以开拓学生的思维视野.“授之以鱼, 不如授之以渔”, 方法的掌握, 思想的形成, 才能使学生受益终生.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003.
[2][美]G.波利亚.怎样解题.阎育苏, 译.科学出版社, 1982.
8.数形结合思想方法 篇八
【关键词】数形结合 高中教学 重要地位 意义
1.前言
我们都知道，高中教学在我们的整个的教育阶段中是处于核心位置的阶段，无论是从老师的教学还是从学生的学习、接受知识的能力方面来说都是有一定的挑战和难度的。相对于其他学科来说，高中数学的难度大，知识点多，各个知识点在运用的时候又是相互联系，互为条件的。所以，这就要求老师在教学的过程中寻找到好的，浅显易懂的方法，将抽象简单化，这样学生才能更容易接受并巩固所学到的知识。数形结合法是一种常见的、简单易学的方法，具有简洁性和直接性的特点。它广泛运用在三角函数、三角公式、直线与圆锥曲线、向量、解方程（不等式方程）、求函数值域等知识点中。总之，数形结合法不仅能提高教学质量，而且能让老师的教学和学生的学习有事半功倍的效果。
2.数形结合思想方法的深远意义及优越性在高中阶段的学习中，语、数、英这三门课，是文科和理科学生都要学习的必修课程。相对于理科生来说，大部分文科学生在学习数学方面上就比理科生弱。绝大多数女生在逻辑思维上又弱于男生，所以数学的学习也并不是件简单的事。俗话说，学好数理化，走遍天下都不怕。从中可见高中数学在整个高中教学的地位是很重要的。
2.1高中教学中教师运用数形结合思想的好处高中教学中数形结合的方法就是在教学中把数和形看做成是一种对立统一的关系，在分析数学题目的同时，找出相对应的图形特点，在图形上能直观的反映出题目的解。整个高中阶段的数学知识点多而杂，通过运用这种方法，不仅可以提高教师的教学质量，学生在学习时也能“一目了然”。对于授课老师来说，教师在课堂上通过数形结合的教学方式授课，不仅能使课堂的学习氛围不枯燥，达到课堂生动、活跃的效果，还能调动学生的学习积极性，主动性。通过数形结合的思想，把抽象的数学概念，数学练习题转化为形象、直观的图形，让学生动手动笔把相应的图形画出来，这能让学生更直观的感受到不用通过某些繁杂的公式就能把题目解出来的方法，这样不仅教师的教学难度减小了，也能培养学生的学习热情。现在就拿解决集合的问题来说，不论是子集、交集、并集还是补集，又或者是这些元素的交叉，都可以运用数轴来解题。例如：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3，4，5，6}，B={2，4，6，7，8}，那么A∩B是多少？虽然题目简单，但运用数轴的方式，可以让学生更简洁明了的看到解题的正确答案，A∩B={2，4，6}，在解决较难的集合问题时，老师让学生能动手画数轴解题，这就是数形结合思想上一个重要的体现。当然，高中数学教学中不仅仅是解决集合问题时可以用数形结合的思想，在函数、三角函数、数列、解析几何等问题时都可以大量运用。总之，数形结合的思想是作为一名教师，特别是高中教师所应该具备的， 并且是应多传授给学生的一种良好的教学修养。
2.2数形结合思想对学生学习的意义
对于逻辑思维较差的学生来说，在高中数学的学习时确实会遇到困难。但学生能接受教师在课堂上所讲的数形结合的方法，对解题是大有帮助的。数形结合思想不仅能激发学生的创新意识，还能提高他们的创造能力。高考就是万人挤过独木桥，在高考考试过程中，试卷的题量大，题目新颖，这就要求学生的应对能力要强，解题速度要快，答案要清晰准确。在解三角函数时，通过画出相应的三角函数的单调区间，比较之后获得答案，所以学生在学习时，多运用数形结合方法，能有效提高学生的解题能力，减少错误率，提高分数。学生在运用数形结合思想的过程中获得成就感，這样也就使一些学生减小或者消除对数学的恐惧感，提高学习数学的信心，从而获得自信。分数对于一个考生来说是至关重要的，在高考中，一分之差就有可能名落孙山。所以说，在考试中解题是关键，答对题就是重中之重。学生在遇到问题时，应多主动用笔试在纸上画出所要解答的具体图像，通过观察图形，或者数学式子两者之间的变化关系，得到解题的关键，从而获得最终答案。
3.结语
数形结合思想在整个高中教学中是必不可少的，虽然在现阶段这个思想实行起来还是有困难的，并且数形结合的方法不能说只是教师一个人唱独角戏就能完成的，这是需要教师和学生之间良好的配合。教师多专研，争取在教学时能把数形结合思想有效的教授给学生，学生也要乐于接受新知识，新方法。换句话说，高中数学教学是离不开数形结合思想的，老师要想教得好，学生要想学得快，做题准确，这个方法是非常有用的。高中数学的独立性，多样化等特点就需要数形结合思想这样直观、简洁的方法来分析。在学习数学的过程中，学生不会运用数形结合方法来解题，那么就说明相对于会运用的学生来说，他就落后一截。总而言之，数形结合思想方法在高中教学的地位是非常重要的，并且是灵活有效的一种思想方法。
【参考文献】
[1]卢向敏.数形结合方法在高中数学教学中的应用[D].内蒙古师范大学，2013
[2]张武.对“数形结合”解题误区的认识与思考[J].太原教育学院学报，2014（06）
9.数形结合思想方法 篇九
著名的数学家华罗庚曾说过：“数形本相倚，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数市难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合是数学的一种思想方法,它是在深入理解数学规律的基础上而产生的一种认识。“数”和“形”是一个双边关系，即借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，以实现“以形助数，以数助形，数形互助”的数学思想方法。数形结合变抽象为具体，变复杂为简单，对于启发学生思维有重要的引导性作用；同时，数形结合可以强化学生对于数学知识的掌握，深化课堂教学的有效性。
小学阶段的儿童，特别是小学低段的儿童，依据皮亚杰认知发展理论，初入小学的一年级儿童（6--7岁）处于前运算阶段，思维不可逆，以表象思维为主。儿童的认知发展处于形象思维到抽象思维的转变阶段，从动作表征（实物直观）到表象表征（图形直观）最后到符号表征（符号直观）；同时新课标提出教学中要注重直观教学，鼓励学生自主探究，让学生在活动中获得知识，得到发展。因此对于小学低段学生而言，数形结合思想的有效渗透，对于学生理解掌握知识，以及进一步的学习都有重要意义。教师在教学中要尽可能通过直观的表征，帮助学生理解数学知识，变抽象为具像，变复杂为简单，让课堂教学更有效果，学生不仅能有效的掌握知识，提升能力，同时让数学学习更有趣，增强学生自信心。
一、研究现状
通过文献检索发现数形结合这一数学思想的研究很丰富，且基本都是教研员和一线教师在期刊中发表。通过知网检索和维普资讯检索发现：相比较小学阶段，“数形结合思想”在初高中阶段数学教学中的研究较多，在知网检索中输入“小学+数形结合”，近十年的相关研究共有1779条； 针对小学低段的更少，输入检索词“小学低段+数形结合”只有12篇相关研究，其中2011年有1篇,2013年有3篇，2014年4篇，2015年有4篇，在维普资讯中输入检索词“小学低段+数形结合”，检索结果只有8篇。可见数形结合思想在小学低段的研究较少，而高段较多，初高中最多。从研究内容来看，主要包括数形结合思想在教学中的应用和数形结合思想在教学中渗透方法两个方面。
二、已有研究成果
已有的研究基本都指出小学低段教师，要在教学中有意识的使用数形结合思想，进而实现数形结合思想在小学低段教学中的现实意义。同时，研究者也提出尽管数形结合思想在学数学教学中有很多的好处，但是在已有的研究中在应用的过程中也需要多方位的考虑。
首先，教师要意识到数形结合的重要性，并且在教材认真研读基础上，结合所教学生的实际情况下渗透。吴子林在《数形结合思想在小学数学中的渗透》中指出：数形结合思想的运用，首先应该要数学教材内容进行研究，挖掘出其中所含有数形结合思想的教学内容；其次，要结合学生的自身因素，王晓荣在《数形结合思想在小学数学教学中的渗透》一文中也指出：教师应该在充分研究教材的基础上备课，从数学发展全局考虑，在学生学习数学的各个过程中渗透数形几何的思想，树立学生学习数学的思考方法。最后，因为小学低段学生会经常使用学具，因此如何有效利用学具也是教师必须要认真思考的，教师不仅让学生摆一摆，经历过程，而是要让学生多思考，为什么要摆，通过这样的思考，渗透数形结合思想，进而通过数形结合思想的渗透，实现教学目标，提升课堂教学效果。
关于如何在小学低段数学教学中渗透数形结合思想，已有的研究主要从以下几个方面入手：
（1）从提高数学问题解决能力出发，渗透数形结合思想
数形结合，可以有效的直观呈现数学问题，帮助学生讲文字复杂表达，转化为简单的直观图形，帮助问题解决。例如林德辉在《小学数学教学中数形结合思想的融入与渗透》一文中数形结合思想对于小学生解决数学问题非常有效。例如一年级上册P15 第四题：猜一猜，小兔子采了多少个蘑菇？作为初入小学的学生，在理解“我采的蘑菇比小白兔多，比小灰兔少”时，就不知道如何入手，只是在头脑中思考，很难得到答案。这时候如果采用画图的方式:用圆形表示蘑菇，分别画出小白兔采的蘑菇、小灰兔采的蘑菇数量。最后让学生画出题目中的小兔子所采的蘑菇数量，学生的答案也就很容易得出。
（2）从强化学生逻辑思维能力出发，渗透数形结合思想
数形结合不仅可以有利于学生解决数学问题，还能够通过直观的呈现，让学生学会提出问题，表达问题，提高学生的逻辑思维能力。一年级（上）学习加减法时，数形结合的思想的应用就很重要，特别是在初次认识加减。例如：认识加法一课中，一边又三只熊猫吃竹子，一边又两只熊猫玩球，问有几只小熊？这个问题不仅是让学生得出一个答案，更重要的是数学思考，表达的过程，因此在这一课，可以让学生拿出学具，用小棒表示小熊，一只手拿3根，另一只手拿2根，然后将两只手合到一起，学生即可有效感知3、2的意义，也能理解合起来的意义，更重要的是借助学具，让学生学会表达，强化学生的逻辑思维能力。（3）从拓展解决应用题的思路和方法出发，渗透数形结合思想
数学应用题是帮助学生运用所学知识解决生活中的实际问题，是数学学习的重要目标之一；同时数学应用题的解决不是单一的，而是多样化的，这也是符合教学的多元化目标的，因此在教学中，可以利用数形几何思想拓展解决应用题的思考和方法。例如周增栋《谈“数形结合”在小学低段数学教学中的应用》中谈到在比多比少应用题中，教师可以在教学中通过数与形的对应关系，帮助学生建立起同样多，多的部分，少的部分，大的数，小的数等抽象数学概念，从而理解掌握比较比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分，求小的数用大的数减去少的部分。
（4）从概念意义、算理的理解出发，渗透数形结合思想
小学低段儿童在学习数学概念时，经常会出现理解困难的现象，如何将概念转换为简单直观的表征，帮助学生理解是小学低段数学教师必须要思考的。很多研究者都在自己的研究中提出了利用数形结合，将数学概念直观化。例如李凤云《”数形结合“在小学低段数学教学中的应用》中指出：“教师如果运用数形几何来引入新知，建构概念，就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦，新知识的学习就变得简单。”在二年级（上册），乘法的认识一课中，在ppt上给学生呈现出一个装有4个苹果的篮子，然后再呈现第二个4个苹果的篮子，接下来第三个篮子，第四个篮子。。刚开始的时候学生肯定会用同数相加，列出连加算式计算，但是如果有一百个这样的篮子呢？学生这时候就会产生疑问，这时候就可以在学生的认知冲突基础上，引入乘法的意义。
在数学学习中离不开计算，新课标中提出学生解题多样化，但是在此过程中也不能忽略算理，只有理解了算理才能更好的提高数学能力，因此在低段数学教学中，教师需要利用数形结合思想，将抽象算理直观呈现给学生。袁婷《 小学数学教学中数形结合思想的渗透研究》中以两位数减法为例，提出了数形结合过程将抽象算理直观展示到学生面前，是学生更好地理解算理。例如：24+2=？通过摆小棒，想算理。先摆2捆和4根小棒，每捆10根小棒，2捆4根就表示2个十和4个一；然后再拿出2根小棒，4根小棒加上2根小棒等于根小棒，2个十加上6个一就直观的得到结果，同时在这个过程中学生也直观理解到了，从个位加起。
三、已有研究的不足
已有的研究成果对于实践教学有很强的指导意义，同时为未来的研究也起到了很好的启迪作用，但是也存在一些不足。首先，关于数形结合思想的研究很多，但是针对小学的较少，小学低段的研究更是极少数。其次，研究的取向也只是强调数形结合的重要性及应用渗透的方法，研究基本都是是基于实证的研究，而其中不乏少数是就经验而谈经验，没有理论的支撑。最后，研究中所选择的课例有很多相同之处且数量较少，缺少创新性和多样性。
参考文献：
10.数形结合热点题解析 篇十
数形结合热点题解析
数形结合是一种重要的数学思想.近几年各地中考题中涌现出一类热点题目,这类题都要求学生在相对陌生的情形下应用数形结合思想来解答.因此,在某种程度上,这类题也考查了学生的创新意识、创新能力.
作 者：叶新和 作者单位：江苏省泰州市许庄三星北路44号,225324刊 名：中学教与学英文刊名：TEACHING AND LEARNING IN SECONDARY SCHOOL年，卷(期)：“”(1)分类号：关键词：
11.用“数形结合思想”解决问题 篇十一
一、数形结合思想的重要性
1.数形结合思想的内在含义
数形结合思想就是把数量关系和空间表现巧妙结合，借助于教具或是以数解形的方式，把一些数字文字使用图形或者模型具体表示出来，将数字与图形结合，二者互补促进，让一些抽象的概念更加具体，从而形成一种复杂问题简便解决的思维理念。
2.数形结合思想的重要性
在小学数学教学过程中，数形结合思想究竟有多重要，为何在小学数学教学过程中要渗透进数形结合的思想？
第一，生物研究结果显示，人们的左右两半大脑的思维功能是有较大差异的。右半脑主要负责美术、音乐等形象性的思维活动;左半脑则主要负责词汇、语言等抽象性思维活动。只有二者互相配合，才能够发挥出整个大脑的全部功能，才能够让个体在整体中获得和谐健康的发展。
第二，因为小学生的思维现在正处于从形象往抽象方向的过渡阶段，主要为形象思维。数学教学的抽象思维和小学生这个过程中的思维特点正好冲突，因此，在小学数学教学过程中，对于一些抽象性的数学概念需要使用图形线段等具象的方式直观地呈现。不但能够有效促进学生理解数学知识，而且能够有效提升学生的辩证思维与创新能力，并慢慢地培养起抽象的思维能力。
二、数学思想在数学教学中的作用
1.巧用数形结合思想让数学难题化繁为简
在数学教学过程中，常常会遭遇到一些复杂的数学问题，要是能够更好地利用图形这一工具，可更好地处理教学过程中存在的难点，促进学生思维能力的有效提升。
举个例子，倒推教学过程中有一个例题是：“一杯果汁喝了一半还多10毫升，现在杯子里还剩200毫升，问这杯果汁原本有多少毫升？”这个题目如果直接列式，会出现200×2+10=410（毫升）与（200+10）×2=420（毫升）两种答案，究竟哪个才是正确的呢，这时候光看数字可能难以正确把握，如果画个图使其具象化，理解起来会不会更加容易呢？
由示意图可知，这杯果汁的一半并不是200毫升，而应该是210毫升。所以，在数学解题的过程中使用属性结合的方式，能够把一些复杂的问题简单化，突破数学教学过程中的难点，让学生理解起来更加容易，从而有效地提升学生对问题的解决能力。
2.巧用数学思想具象化隐性数学规律
隐性数学规律往往包含在具象的知识体系之中，一些具象生动的图像会让知识变得更加有趣，借助数形结合的思想，能够让学生在学习的过程中感受到更多的乐趣，并且在学习过程中获得愉悦的情感体验。
例如，找规律这一课，题型为在一段路上种植四棵树，有多少种种植的方式，并且将每种种法与间隔的关系表示出来。使用“#”表示树，“—”表示间隔，画图。两端均种是#—#—#—#，即种树棵树等于间隔数+1;一端栽种是#—#—#—#—或者—#—#—#—#，即种树棵树等于间隔数;两端均不种是—#—#—#—#—，即种树棵树等于间隔数-1。
以上题型，使用直观绘图方式，能够把抽象的数字转化成直观的图形，学生一眼便能够发现种植数与间隔数之间的关系。这样在学生感受数形结合的过程中，能够慢慢地了解数形结合思想的具体使用方式，把一些隐性的数学规律具体化处理，有效提升学生的思维能力。
3.数形结合思想的运用可激发学生的学习兴趣
慢慢地对数学做深入探索的过程中，会更深刻地了解到数学所带来的巨大魅力。数形结合的方式不但能够对一些枯燥的数学文字注入鲜活的生命力，还能够有效地激发学生的学习兴趣。
在低年级的数学教学中，更能够看出数形结合思想的重要性。比如，在学习数数时，可以先让学生数树、数小木棒、数同学等方式了解数和物之间的对应关系，这里所说的物其实就是形，通过对实物的观察，提升学生的学习兴趣，也能够有效突破在教学过程中存在的难点。借助数形结合的教学方式，引导学生了解数学的美，让学生能够对数学产生浓厚的兴趣，克服在数学学习过程中面临的困难。
新课标的实施，为小学数学教学改革指明了全新的发展方向，教师需要不断更新素质教育的观念。为了数形结合思想在小学数学的教学过程中全面广泛地使用，教师需要使用数学发展的眼光看待身边的一切事物，自觉地把所学到的各种数学知识使用到现实活动中;需要不断深入挖掘教材，在教学过程中灵活运用，重视对学生能力的培养，使学生具备更深的数学思想。但是数形结合思想在实际数学问题的解决应用过程中不是一蹴而就的，需要长时间的积累，慢慢地练习才可取得较好的教学效果。◆（作者单位：江苏省东台市五烈镇广山小学）
12.数形结合思想方法 篇十二
学习工具《数形结合思想》的最大特色是动态性,能在变动状态下保持对象之间不变的几何关系。而且涉及的所有图像全部是计算所得,而不是手工绘制,保证了准确性。《数形结合思想》涉及图形的旋转、切割、函数图像的动态交点、移动同时翻转等。
1.页面直观且管理灵活
学习工具最底端是一级菜单,直观形象。另外,可根据课堂需要与学生的水平进行跳跃式自由选择。
2.可即时无限次重复
课堂教学,学生学习层次不同,需要教师分层次教学。传统教学,不可能实现,因为教师面对的是全体学生,不可能各个兼顾,再次重复时间也不允许,尤其是一些步骤很长的讲解,如画图等。而本学习工具可以很轻松地进行重复讲解。在讲解过程中,可以根据需要按“Alt+[、Alt+]”来加速或减速,以配合教学和学习进度。
3.节省了时间
数学课上与图像有关的内容大都是浪费时间而且也不够准确。传统教学课堂容量大大受限,而利用本学习工具,既准确地描绘了图形的特点,也可以在短时间完成操作,效果良好。另外,学生可以利用本学习工具自主学习、探索、再思考,以达到课堂上所不能实现的效果。
4.化抽象为形象,让运动过程一目了然
数学上的平移、旋转、切割等,只能是教师表达出来的“直观”,而学生根本没有看到这个图的运动变化过程,尤其不能全面把握图像的形成转变过程。本学习工具在这些方面做了改进。学生完全可以自己动手解决学习中的疑惑与困难,整个过程没有“盲区”。
5.便于学生自学,利于教师授课
本学习工具能够激发学生自主探讨学习的积极性。让学生不再机械地接受教师的说教,而变成主动地学习,由“要我学”变成“我要学”。当然,本学习工具也给教师的授课提供了便利。可谓教、学皆宜。
制作背景
数形结合思想,将代数式的准确与图像的直观有机地整合到一起,教师使用几何画板,使静态的图形变为动态,抽象的概念变得形象,枯燥的内容变得有趣,使课堂教学生动起来。利用几何画板,可以展示知识发生、发展的过程,更好地提示知识之间的联系。
本节课所选的所有例题均为课堂上曾经讲过的内容,在传统的课堂模式下,讲解只是限于讲解开头,展示结果,中间过程就这样被“忽悠”过去了。尤其是一些图像的运动过程,更是无从谈起,无法展现。因为中间过程是一个抽象的过程,不易表达,更无法显示。这一点一直是很多学生的“死穴”。也是很多教师的无奈。多年来,我一直想解决这一问题。信息技术的介入,使得这一过程变得容易多了。
教学内容分析与教学策略
《数形结合思想》是高三数学的复习专题。主要介绍数形结合法在不同领域的应用及联系。
在选择题目上,为了体现数形结合思想的广泛应用,我选择了一道平面解析几何例题,一道平面几何例题,两道函数例题,三道立体几何例题,另外,还有三道函数方面的练习题,以巩固所学方法,彰显学以致用的要旨。同时也让学生切身体会到方法的重要性。到了高三,绝对不是再简单地重复复习,而是把原本看上去风马牛不相及的内容进行有机整合,把原本一个个原孤立的点,联系到一起,形成一张知识网。
本学习工具在制作的时候选用数形结合思想,而没有选用数形结合法,主要是考虑到数形结合法有些狭隘,这样不利于高三复习,不利于开拓学生的思维,而数形结合思想便于学生领悟数形结合法在不同领域如立体几何、平面几何、平面解析几何、函数等方面的不同应用,使得数形结合思想的内涵更加丰富,真正体现了复习的主旨:复习并不是简单的重复,而是不同内容之间的有效整合。
设计思路及表现手法
《数形结合思想》这一节课是按授课习惯来设计,包括例题讲解、练习巩固、小结作业。整个过程符合教师的授课习惯和学生的认知规律。学习工具的设计分为一级菜单和二级菜单,按钮的功能全部写在按钮上,一目了然,所见即所得,哪怕一个新手也可以轻松操作。图1中最下面一行是一级菜单,而界面中的紫色文字部分(左侧部分)是二级菜单。根据需要也可以收起二级菜单,这样显得界面简单明了。
1.例题讲解,温故知新,一题多解,思维延伸
首先在课堂上简单复习数形结合思想的最初由来以及它的一些简单应用。再通过下面的例题讲解,体现数与形的真正结合,激发学生学习的兴趣与乐趣。下面逐一介绍。
(1)平面解析几何部分
这是一道高考题,此题解法就是运用最简单的几何法,向x轴、y轴引垂线,这样,求出这两个线段的长即得P点横、纵坐标。其实这个解法过于普通,也体现不出不同知识点的相互联系。
在讲解此题时,我讲解完上述方法之后,就给学生即时提了一个思考问题,如果让这个圆继续向右滚动,滚动到一个任意的位置,如图2中的位置C(3.86,1),此时学生会发现,原先方法虽然可用,但是费时。“那么有没有更好的解决办法呢?”这样一个不经意的提问,引导学生进入了另一个思考的空间,拓展了学生的思维空间,使得原本可以结束的思考再度被启动。
讨论之后,学生迫切希望能得一种更新的方法。这时候,教师适时插入一句:“求P点的坐标就是向量的坐标,而向量会随着P点的移动一直在变怎么办?”
在此过程中,学生会不断发现“新大陆”,激发了兴趣,也培养了他们的观察力及创新力。整个课堂气氛活跃而不滞怠,环环相扣,有序进行。
最终,教师点明方法:变化过程中,如果不变得越多,变化就越小,可以本着这个原则,利用,将这个变量转变成一个常量和另一个变量,而这个变量可以平移到原点,利用平面向量、三角函数的知识来进行解决。
在这个过程中,我们不得不说,原本这道题目是一个平面解析几何,但是,经过延伸之后,就巧妙地把平面解析几何的问题转化为平面解析几何、平面向量、三角函数相结合、相联系的问题,一举数得,将连点成线,连线成网。
(2)平面几何部分
看到这个题目时(如图3),我们最容易想到的就是求出S1、S,这样就可以求出S1∶S。但是,本题纯粹利用了图形的分割,通过观察不得不说,数形结合思想应用得非常巧妙而精到。
由图像可知,此法形象直观,不做过多陈述。
(3)函数部分
看到3f(x)=x这个公式(如图4),很容易让人想到要先化简,但是,首先f(x)是分段函数,其实,这是分段函数的第一段还含有一个参数m。
这样首先把3f(x)=x化成f(x)=x/3,而求交点问题就转变成了求函数y=f(x)与y=x/3的交点问题。而由于y=f(x)含有一个参数m,而m会影响图像,故而可以借助于函数的图像来研究交点问题,进一步可以观察m的变化如何影响函数y=f(x)的图像,这样就可以求出参数m的图像了。
如图4所示,当第一次相切时,恰好四个公共点。如图5所示,当第二次相切时,恰好五个公共点。而参数m的变化就会导致半个椭圆拉长还是缩短,故而由图像可知,求出参数m的取值范围。
(4)立体几何部分
本题是立体几何中的最小值问题(如图6),最常见的处理方式就是将一个弯曲或变折的平面铺平在一个平面上(如图7),根据两点间线段最短,求出折线段的和的最小值(如图8)。整个过程非常自然,学生看到整个演示过程,不再有任何疑问。
一个四棱锥五个面,一个四面体四个面,这两个几何体的所有棱长均相等,这样四面体的任何一个面都与四棱锥的侧面全等(如图9),这样当将它们平移(如图10),然后重叠之后(如图11),很容易这样考虑:5+4-2=7。但是,实际如何呢?我让学生根据本学习工具自己动手演示。
学生发现,先把原来的四棱锥向右平移一个,这样显然紫色的平面与红色的平面是在一个平面上(如图12),而中间空出的部分正好是正四面体的形状。根据图示可以发现紫色的平面与绿色的平面实际上是一个平面,这样最终形成的几何体就是5个平面。
看来数学不能只通过眼睛来学习,而要通过眼睛去观察、大脑去思考,全方位的联系才能真正找到答案。在这一过程中,学生的学习兴趣与信心倍增。将一个枯燥的学习过程,变得轻松自然。而且最为主要的是学生自己发现、探讨、解决问题,体现了教师为主导,学生为主体的思想。
教师在讲解这一几何问题时,在黑板上擦了画,画了擦,仅凭教师说,学生完全看不到切割之后的形状。学生根本想象不出,切割完后,到底是一个什么样的几何体。但是,本学习工具把整个切割过程完全展现在学生眼前,拟物性非常强。
原先的几何体(如图13),移开左边的几何体(如图14),移开右边的几何体(如图15),左右两边的几何体手动调整,可以自由拖动(如图16)。这样,最终几何体的表面是什么样,就一清二楚了。
2.自主练习,巩固提高,举一反三,思维提升
练习的设计层层递进,让学生在不知不觉中突破了难点。整个过程跨度自然,由一个层级跃到另一个层级,而不是让学生感到遥不可及,也并不是随意而为,需要思考才能解决问题。思维量增大,学生的学习能力也随之提高。
本题所设计的题目,也是数形结合题型中的“熟面孔”,平常学生只能看到一些固定的程式,但用手拖动“用手拖动改变a的大小”,就可以轻松改变对数函数的底,进一步改变对数函数,这样这两个函数在区间(1,2)上的交点问题就一目了然了,在复习了对数函数的底数变化的同时,也完全可以看到对数函数因为底的变化而改变的过程。学生如果掌握熟练,可以自己点击按钮,如果嫌演示的速度太快,可以手动拖动,直观形象,就好像把这两个函数的图像“玩于股掌之间”(如图17)。
本题目的设置如果用代数法,非常麻烦,因为方程两边的式子中均含有参数a,而且不容易分离,这样,可以代数式与图像并举,让学生观察a的变化如何改变两边函数y=x|x-a|与y=a的位置关系,进一步明确如何改变它们的交点的问题(如图18)。
这是一个函数图像的交点问题。这样,我们就可以很轻松地看出它们的交点,问题迎刃而解(如图19)。
3.提纲挈领,汇总提升,浓缩精华,融会贯通
让学生快速掌握本节课的内容框架,可以让学生复述本节课学习重点内容,使学生能够全面掌握《数形结合思想》的精髓,为课余的复习、练习、巩固、提高做好了知识储备。
内容结构与艺术布局
《数形结合思想》这一节课,完全按照由浅入深、化抽象为具体的思路来进行。利用学习工具节省了大量时间。而且每一个页面都可以根据学生的掌握情况进行重复,使再现讲课过程等成为现实,真正实现了分层施教。
考虑到学生的基础情况、对知识的掌握情况等,学习工具在设计内容上非常灵活,根据课堂内容可以随意选择例题练习,而有些不必要讲或者来不及讲的内容可以直接不用显示。这样不会使整堂课有残缺感。学习工具在制作时也充分考虑了色彩对学生的影响,背影颜色柔和大气,图形颜色也是清晰醒目,调动了学生的多种感官。
组件要素与技术处理
一节课,教师不管讲解得如何详尽,总会有一些学生不太明白,或者是当时有些个别原因(如走神)而不能完全掌握一节课内容。在制作学习工具时,我想到了这一点,随时可以给学生再现刚刚结束的讲解过程。
在讲解《数形结合思想》时,传统的教学方法无法把首尾之间的过程讲解清楚。几何画板把图像的变化过程完全展现出来,而且每一次图形的变化过程,都清晰地显示了它们的相对的位置关系。
在平移加旋转的设计时,我把这个运动过程分解成平移和旋转,各自运动,然后将它们组合到一起,这样就会出现图形一边平移一边旋转的效果,逼真而直观。
评价与反思
决赛的整个过程,我一直在现场,说实话,可以说是高手如云,没有哪个人敢说自己的学习工具是完全优于别人的。因为大家都是各有所长,而且不同软件做的学习工具各有精彩之处。我对我自己的学习工具进行如下总结评价:1学习工具页面管理灵活;2可以无限次重复;3大大节省时间;4化抽象为形象;5运动变化,相对位置不变;6准确率高。
但是,多媒体归根结底是一个辅助工具,在使用过程中,也难免会有这样那样的问题:1学习工具的驻留性差,在使用过程中,用到下一页,就无法看到上一页。尤其是教师授课时,学生有时候无法及时回顾自己不会的内容;2醒目的颜色会刺激学生,也有可能诱使学生转移注意力,把学习工具的展示当成“热闹”而偏离了课堂的主题,达不到预期的效果。3学习工具准备时间太长,有时候很难跟上快节奏的高中课程。
幕前幕后
比赛过程中,选手们显然都做了精心的准备。数学化学习工具,突出的是工具的特点,平时的学习过程中,尤其是现在的高中学习,节奏普遍偏快,这就要要求学习工具不宜做得过大,能够对教育有所辅助,能够激发学生的兴趣,提高教师的授课的科学性,而且能够再次开发利用就足够了,而不是为了比赛而纯粹赶制这个“视频”。
我个人以为,今后在教学过程中,学习工具的制作得考虑到授课的进度和需要,如有些难点不易突破,可以作一个片段,让学习工具也微课化!这样可以节省时间,同样可以解决重点、难点,一举两得。期待下一次会有更好的学习工具“面世”。
评委印象
《数形结合思想》是一节高三复习专题课,数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,它主要是把抽象的数学与直观的图形结合起来,本节课内容对提高学生的思维能力和数学素养很有帮助。在传统的课堂模式下,教师基本是在黑板上绘制一个静态的图像,然后通过手势比划进行讲解,教学效果不好,教学效率不高。展老师用几何画板所制作的《数形结合思想》学习工具,就能很好的突破这个难点。该学习工具有以下的一些优点。
印象一:化抽象为形象,让运动过程一目了然
通过学习工具使学生看到图形的运动变化过程,尤其是图像的形成转变过程。例如,学习工具中将三视图化为直观图,就很好地把图形的变化过程完整的展示在学生眼前,把原本只能“凭空捏造”的过程变得直观形象。
印象二:课堂教学容量大,效率高
在传统教学中,因为在绘制图形的环节就占了课堂的很多时间,所以教师一节课只能讲解4道左右的数形结合习题,这使得课堂的教学容量小、效率低。而本课的例题加练习达到了10道题目,使得课堂容量很大,从而实现高效课堂。
印象三:学习工具使用方便灵活。该学习工具既可以作为教师的课堂展示工具,也可以作为学生一对一的自学学习工具,使用方式非常灵活。
不过,本课也有一些地方值得商榷。例如,课堂容量太大,对学生的要求较高,基础差的学生可能跟不上;课堂比较传统,主要以教师讲授为主,不是很符合新课标中的以学生为主体,教师为主导的要求等。总的来说,无论是对教师还是对学生,《数形结合思想》仍不失为是一个优秀的数字化学习工具。
13.数形结合教案2015年1月 篇十三
教学目标: 1．让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。
2．培养学生通过数与形结合来分析思考问题，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力。教学重点：
借助“形”（面积模型、线段图、等）感受形与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。教学难点是：
让学生体会极限思想。教学过程：
一、导入。
1、同学们好，今天由王老师来给大家上一节数学课，同学们你们上过很多的数学课，你知道，数学是研究什么的科学吗？（数），除了数还有吗？我们来看看数学专家是怎么给数学下定义的。请同学们看前面，读出来。数学是研究数量关系和空间形式的科学。数与形是数学研究的两大主题，两者之间是有紧密联系的。我们在小学阶段学过很多的数，也学过很多的形。还记得老师在讲数的时候总是联系到形。讲图形的时候也会结合到数。数与行结合起来解决问题，可使抽象的问题，变得更直观，复杂的问题变得更简单。
二、新授
1、复习旧知识，理解省略号的含义。1（1）下面我们穿越回低年级，来做个小游戏好吗？
5游戏一：看数想图形。课件出示
1、生：我想到了一个正方形、生2：我想到了一个三角形。生3：我想到了一堆沙子。„„
生4：我想到了画出五个三角形，把其中一个图上红色。
生5：我想到了一条线段，平均分成5分。其中的一份就是五分之一。„„
游戏二：看图写数。生1：二分之一。（老师追问，还能用其他的数表示吗？）生2:
0.5（鼓励）生3：四分之一。生4：
0.25.师：它还可以表示出求二分之一加四分之一的和的计算过程。再次出示：三分之一图。生1: 三分之一，（教师板书）生2：0.33 师：这是一个什么数？ 生：循环小数，师：后面的省略号表示什么意思？
生：后面有无数个3.生：小数的数位有时无限的。后面的3写不完。就用省略号代替了。（教师板书）师：也就是说我不管写到多少位，他的后面总能够再接着写出很多的3来。
师：还有什么意思呢？这里写了两位。我接着写第三位上是几？（3）在写（还是3）我在写我写4不行吗？（不行）为什么？
生：因为前面的都是3，他的规律是3不断地重复出现。
师：看来，在我们的数学里面省略号还有着“以此类推”的意思。（师板书）(2)我们利用形还可以表示一些计算式子。课件出示：0.330.330.33 0.99 出示：三分之一图相加。帮助学生理解原来0.99=1 师：我们利用图形很轻松的就解释了这么一个让很多人费解的难题。
2、学生初步试算。
今天我们继续学习数与形，首先我们来算一道题。（课件出示例题）师：同学们来看，这道题目中也有一个省略号。它表示什么意思呢？ 生：表示“以此类推”
师：那这个“以此类推”的此，我们前面说了就是按照一个规律。这道题有什么规律呀。
生：分子不变，分母乘2.（分母乘了2，他和前一个数比较，也就是，它是前一个数的）二分之一。
师：那以此类推下去。接着写就是„„ 生：„„
师：我们难道就这样写下去吗？
说明它的加数有无数个。那他的结果是多少呢？ 生：根不能没有答案。
方案
一、这位同学你怎么不算呀？生：没有办法算。（你怎么也不算呀？这位同学你怎么算着算着停下来了。）生：算不完，根本没有答案。（真的没有答案吗？真的吗？你怎么就认为没有答案呢？）生：题目后面是省略号。（我明白了。你的意思是说加数有无数个，无限个加数加起来就没有答案了吗？）今天我们就来研究这样你们认为没有答案的问题。
方案
二、有的同学有答案是1.很有想法。他提出了一个大胆的想象。但是这道题的答案真的是一吗？他为什么等于1呢？他说的有什么道理吗？我们是不是需要验证一下。接下来我们就来研究一下这样有的同学认为没有答案的问题。
方案
3、生：假如最后一个加数是16分之一。用简便方法做。你的方法很好。但是你的方法解决的是知道最后一个加数是几的时候用的方法，对于这个不知道他最后加到是几的算式可以怎么办。
3、我们从哪里开始研究呢？孩子们对于这么复杂的问题如果你如从下手的话。不要着急。我们可以请教高人。我的老师曾经给我介绍过一位数学界的高人。今天我也把这个高人介绍给你们好吗？我们来开大屏幕。（课件出示）这是谁？ 他告诉给我们一个非常好的解决问题的方法，那就是“数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。师：你怎么理解？
生：„„
3、数形结合体会极限。
对于这么抽象的数的知识。我们可以请谁来帮忙更加直观的来 解释一下？（画图）有的同学说用画图形的方法。你想画什么什么图形，（线段，圆形，长方形）不管什么图形那你想怎样画来表示出二分之一加四分之一呢？再加八分之一呢？你还能从这幅图中往后接着画吗？
同学们可以用自己喜欢的方式来画出这道题的计算过程。学生上来实物展示。主要说自己如何画的。发现了什么？
师：老师没有用画图的方法，但是老师也借助了形，老师用撕纸的方法。看。老师有两张完全一样的纸。其中一张，对折，然后“刺啦”撕开，就有了二分之一。然后那其中一个再对折，”刺啦“就有了加四分之一。知道老师为什么对折吗？ 生：„„
很好。同学们接着看。
（教师展示情绪激动）同学们快看，看结果愈来愈大越来越大，越来越接近谁，涂满了就是1个图形。他的极限就是1.三、课堂总结
回想一下当我们刚刚看到这个算式的时候很多同学的迷茫。我们通过数形结合的方法我们理解了这么这么抽象的数的知识。这就是数形结合的奇妙，两者之间是相辅相成的。数与行结合起来解决问题，可使抽象的问题，变得更直观，复杂的问题变得更简单。
《数与形》教学设计
14.数形结合思想方法 篇十四
数学课程标准提出了“通过数学学习，掌握数学的基础知识、基本技能和思想方法。”其实在上海二期课改时关于数学基础知识的内容的界定上，也指出数学基础知识不仅指有关的数学概念、性质、公式等，还包括其中隐含的数学思想方法，以及学习数学和运用数学知识解决问题等。所以在教材编写上注重把数学思想方法贯穿在知识领域中，使每部分的数学知识不再孤立、零碎，组成一个有机的整体。
数学思想方法有许多，我们小学一般用到的如符号化、化归、数形结合、极限、模型、推理、几何变化、方程和函数、分类讨论、统计概率等思想。在小学数学教学过程中，有意识地对学生进行数学思想方法的渗透，可以让学生不再感觉数学是一门枯燥的学科，而初步了解数学的价值，从而感受数学思考的条理性、数学结论的明确性以及数学的美。下面就“数形结合”思想在小学数学教学中的应用谈些粗浅的想法。
一、数形结合思想的概念
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，我们中小学数学研究的对象就分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：
1、借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；
2、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法，具体地说就是将抽象的数学语言与直观图形对应起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。
二、数形结合的三种应用方式
一般来说，数形结合的应用方式主要有三种类型：以数化形、以形变数和数形结合。
（1）以数化形
由于“数”和“形”是一种对应的关系，“数”比较抽象，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维。在低年级教学中，我们常常会把数的认识与计算通过形（学具）的演示，让学生初步建立起数的概念，认识数、学习数的加减乘除法；而高年级有些数量也较复杂，我们难以把握，于是就可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。画线段图的方法是每一个数学老师都把它当作学生学习数学的一项基本技能加以训练的，大家都知道，在教学应用题时，常可以借助形象的画线段图的方法，将问题迎刃而解。特别是行程问题的应用题，老师们总是不忘借助线段图进行讲解；还如我们在教五年级“时间的计算”这一课，虽然很多同学通过计算就能解决问题，但知其然还要知其所然，我们就可以把时间点、时间段通过线段图来表示，学生就更容易理解，这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。
（2）以形变数
虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算，最典型的就是二年级教材中的“点图与数”，那正方形点图所表示的就是每行与每列的圆点个数都相同，写成算式是两个相同的因数，于是它们的乘积就是平方数；由此在高年级拓展三角形数时有这么个小故事：古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类，如：1、3、6、10、„„这些数叫做三角形数（如下图）。
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· · · · · · · · · · 那么，判断一下45、456、1830、5050这四个数中，哪一个不是三角形数。中高年级学生通过观察，可以利用等差数列求和的方法可以找出这个数；也可以发现如果把一个三角形数去乘2，就可以写成两个相邻自然数的积，那么高年级的同学就可以利用分解素因数的方法来判断一个数是否是三角形数了。如此以形变数，提高了学生的思维能力。
（3）形数互变
形数互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以数变形或以形变数，而是需要形数互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密，还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的形数互变。一般方法是看形思数、见数想形。实质就是以数化形、以形变数的结合。例如，“近似数”一课中，让学生掌握用“四舍五入法”求一个数的近似数是本节课的教学重点。通常我们会直接告诉学生“四舍五入法”这一概念，然后通过大量的练习强化求近似数的方法。那么我们不妨反思：学生做对了是否表明学生已经很好地理解了“四舍五入法”的含义呢？是否有部分学生的解题活动完全建立在对概念的机械模仿上呢？事实上，这种机械模仿的情况是客观存在的。如何帮助学生从本质上理解“四要舍、五要入”的意义呢？我们可以想到把直观的数轴引进这节课，在数轴上找最近的路，把四舍五入放到数轴上展开学习，利用数形结合帮助学生建立一个形象的数学模型，从而加深了学生对“四舍五入法”的理解。
又如在解决问题过程中，经常要用到“数”与“形”互译的数形结合思想，即把问题中的数量关系转译成图形，把抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步译成算式，以达到问题的解决。最常用的如“鸡兔同笼”一课：鸡兔同笼，有10个头、28条腿，鸡、兔各几只?本课的解决问题教学策略书上采用列表尝试法。如果采用数形互译的画图法解，二年级的学生都能解答，并且可以从画图法引出数量关系，列式解答。有几个头就画几个圆（表示动物的头），然后每个头下加两条腿（表示鸡有两条腿），剩余几条腿就再添在小动物身上，每个添2条（原来的鸡就变成了兔）。这样从图上可知兔有4只，鸡有6只。引导学生理解数量关系：首先假设10只全是鸡，每只鸡身上长2条腿，共10×2＝20（条）腿，还剩余28-20＝8（条）腿，鸡身上再长2条腿变成兔子，直到8条腿长完为止。这样就得到兔子有8÷(4-2)＝4（只），鸡有10-4=6（只）。而对高年级学生借助于画示意图来分析数量之间的关系，是我们经常使用的办法。由此不难看出：“数”“形”互译的过程，既是问题解决的过程，又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使解法变得十分简明扼要且巧妙。
所以，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、数学思维的发展、知识应用能力的增强，使教学收到事半功倍之效。
三、发挥数形结合思想方法对知识获得的引领作用
1、要善于挖掘教材中含有数形结合思想的内容
教师在教学中要有渗透数形结合思想的意识，引导学生主动有效地利用课本中的图形，从图中读懂重要信息并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题，即让学生通过“形”找出“数”。在小学“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”这四个学习领域中，都能应用数形结合思想进行教学，我们通过对教材的分析，初步整理了小学数形结合思想方法在各教学领域的渗透点：（1）“数与代数”：数的认识及计算，都能借助小棒图、计数图来理解算理、法则和方法；（2）“空间与图形”：可以借助数的知识及数量关系进行各平面图形的周长和面积的计算；（3）“实践与综合应用”：从所给问题的情境中辨认出数与形的一种特定关系或结构，运用画线段图、画分析图、画示意图等方法分析理解；（4）“统计与概率”：通过图形演示移多补少来理解平均数的含义。
2、教学时让学生在探索中感受数形结合思想
布鲁纳指出：“掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本的数学思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路’。”在教学中，要让学生自主探索，感受数形结合思想，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形对数学知识形成的意义。如果教师在教学中教师充分利用学生形象思维的特点，大量地用“形”解释、演现，经常引导学生将数与形结合起来，借助形象的图形理解算理，提炼算法，就能降低学习难度，有效地改善突破教学难点的方法，提高课堂教学效率。
3、课后延伸时让学生在解决问题中体验数形结合思想
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，而数形结合思想贯穿于整个数学领域，我们可以将复杂的数量关系和抽象的数学概念通过图形、图像变得形象、直观。同样，复杂的几何形体可以用数量关系、公式、法则等手段，转化为简单的数量关系。在课后的知识延伸中，经常引导学生通过数形结合来解决生活中的实际问题，从而体验数形结合的好处。
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