数列求和方法及例题

数列求和方法及例题（精选14篇）

1.数列求和方法及例题 篇一

数列的求和

一、教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式．

二、教学重点：特殊数列求和的方法．

三、教学过程：

（一）主要知识：

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22na1(q1)n（2）等比数列的求和公式Sna1(1q)（切记：公比含字母时一定要讨论）

(q1)1q2．公式法： k2122232k1nn2n(n1)(2n1)

62kk1n3123333n(n1) n233．错位相减法：比如an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：1111111()；

n(n1)nn1n(n2)2nn21111()nn!(n1)!n!

(2n1)(2n1)22n12n15．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6．合并求和法：如求10029929829722212的和。7．倒序相加法：

8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等

（二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；

（三）例题分析：

例1．求和：①Sn111111111 n个 ②Sn(x)2(x21x1212n)(x)x2xn ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和Sn 思路分析：通过分组，直接用公式求和。

111010210k解：①ak11k个1k(101)911Sn[(101)(1021)(10n1)][(1010210n)n]99110(10n1)10n19n10[n] 9981②Sn(x211142n2)(x2)(x2)242nxxx111)2n x2x4x2n(x2x4x2n)(x2(x2n1)x2(x2n1)(x2n1)(x2n21)（1）当x1时，Sn2n2n 222n2x1x1x(x1)（2）当x1时,Sn4n ③ak(2k1)2k(2k1)[(2k1)(k1)]

k[(2k1)(3k2)]523kk222Sna1a2an

5235n(n1)(2n1)3n(n1)(122n2)(12n)2226221n(n1)(5n2)6总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q1或q1讨论。2．错位相减法求和

例2．已知数列1,3a,5a2,,(2n1)an1(a0)，求前n项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列a0,a,a2,,an1对应项积，可用错位相减法求和。解：Sn13a5a2(2n1)an1aSna3a25a3(2n1)an1 2

12:(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an

2a(1an1)n当a1时,(1a)Sn1 (2n1)2(1a)1a(2n1)an(2n1)an1 Sn(1a)2当a1时,Snn2 3.裂项相消法求和

2242(2n)2例3.求和Sn 1335(2n1)(2n1)思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:(2k)2(2k)2111111ak11()

(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)22k12k1111111112n(n1)Sna1a2ann[(1)()()]n(1)23352n12n122n12n1n(n1)(a1)123n2练习:求Sn23n 答案: Sn

a(an1)n(a1)aaaa(a1)n2a(a1)4.倒序相加法求和

012n例4求证：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2n mnm思路分析：由Cn可用倒序相加法求和。Cn012n证：令SnCn3Cn5Cn(2n1)Cn(1)

mnm(2)CnCnnn1210则Sn(2n1)Cn(2n1)Cn5Cn3CnCn012n (1)(2)有:2Sn(2n2)Cn(2n2)Cn(2n2)Cn(2n2)Cn012nSn(n1)[CnCnCnCn](n1)2n 等式成立

5．其它求和方法

还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5．已知数列an,an2[n(1)n],求Sn。

思路分析：an2n2(1)n，通过分组，对n分奇偶讨论求和。解：an2n2(1)，若n2m,则SnS2m2(1232m)2n(1)k12mk

Sn2(1232m)(2m1)2mn(n1)

若n2m1,则SnS2m1S2ma2m(2m1)2m2[2m(1)2m](2m1)2m2(2m1)

4m22m2(n1)2(n1)2n2n2

(n为正偶数)n(n1)Sn2nn2(n为正奇数)预备：已知f(x)a1xa2x2anxn,且a1,a2,a3,an成等差数列，n为正偶数，又f(1)n2,f(1)n，试比较f()与3的大小。

12(a1an)nn2aa2nf(1)a1a2a3annn2解： 1nd2f(1)a1a2a3an1anndn22aa1(n1)d2n1a11an2n1

d2f(x)x3x25x3(2n1)xn

11111f()3()25()3(2n1)()n2222212可求得f()3()n2(2n1)()n，∵n为正偶数，f()3

（四）巩固练习：

1．求下列数列的前n项和Sn：

（1）5，55，555，5555，…，(10n1)，…；（2）12121259111，,132435（3）an,1,n(n2)；

1nn1；（4）a,2a2,3a3，nan,；

（5）13,24,35，n(n2),；（6）sin21sin22sin23解：（1）Sn555555sin289．

n个5555(9999999(10n1)]

n个999)

5[(101)(1021)(1031)95[101021039（2）∵

10nn]50n5(101)n． 8191111()，n(n2)2nn2111111[(1)()()232435111111()](1)． nn222n1n2∴Sn（3）∵an∴Sn1nn1n1nn1n(nn1)(n1n)1

n1n112132(21)(32)（4）Sna2a23a3(n1n)n11．

nan，当a1时，Sn123…nn(n1)，2 当a1时，Sna2a23a3…nan，aSna22a33a4…nan1，两式相减得(1a)Snaaa…ana23nn1a(1an)nan1，1anan2(n1)an1a∴Sn． 2(1a)（5）∵n(n2)n22n，∴ 原式(122232…n2)2(123…n)（6）设Ssin21sin22sin23 又∵Ssin289sin288sin287 ∴ 2S89，Sn(n1)(2n7)．

6sin289，sin21，89． 26n5(n为奇数)2．已知数列{an}的通项ann，求其前n项和Sn．

2(n为偶数)解：奇数项组成以a11为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以a24为首项，公比为4的等比数列； 当n为奇数时，奇数项有

n1n1项，偶数项有项，22n1n1(16n5)4(142)(n1)(3n2)4(2n11)2∴Sn，21423当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有

n项，2nn(16n5)4(142)n(3n2)4(2n1)2∴Sn，21423(n1)(3n2)4(2n11)23所以，Snnn(3n2)4(21)23

(n为奇数)．

(n为偶数)

四、小结：1．掌握各种求和基本方法；2．利用等比数列求和公式时注意分q1或q1讨论。

2.数列求和方法及例题 篇二

一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式是数列求和的最基本最重要的方法.

1. 等差数列求和公式:

2. 等比数列求和公式:

例1设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.

(1)求数列{an}的等差数列.

(2)令bn=lna3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前n项和.

解:(1)由已知得

解得

设数列{an}的公比为q,由a2=2,可得b

又

解得q1=2,.由题意得q>1,所以q=2.

所以a1=1.故数列{an}的通项为an=2n-1.

(2)由于bn=lna3n+1,n=1,2,…,由(1)得a3n+1=23n.

所以bn=ln23n=3nln2.

又bn+1-bn=31n2,

所以{bn}是等差数列.

所以Tn=b1+b2+…+bn

练习:设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.

解:由等差数列求和公式得

所以

所以当,即n=8时,.

二、错位相减法

设数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,则数列{anbn}的前n项和Sn均可用错位相减法求解.

例2在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.

解:(Ⅰ)由an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),λ>0,可得,

所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.

当λ≠1时,①式减去②式,

这时数列{an}的前n项和

当λ=1时,这时数列

例3设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且

(Ⅰ)求

(Ⅱ)求数列的前n项和Sn.

解:(Ⅰ)设

解得

所以

三、逆序相加法

把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)

例4设函数的图象上有两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),,且点P的横坐标为.

(Ⅰ)求证:P点的纵坐标为定值,并求出这个定值;

(Ⅱ)若,n∈N*,求Sn.

解:(Ⅰ)因为,且点P的横坐标为.

所以P是P1P2的中点,且x1+x2=1.

所以yP=1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=1,且.

又

所以.

四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:

(1)

(2)

(3)等.

例5求数列

解:设

则

五、分组求和法

所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并.

例6数列{an}的前n项和Sn=2an-1,数列满b1=3,bn+1=an+bn(n∈N*).

(Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;

(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn.

解析:(Ⅰ)由Sn=2an-1,n∈N*,所以Sn+1=2an+1-1,

两式相减得:an+1=2an+1-2an,所以an+1=2an,n∈N*.又a1=1,知{an}是首项为1,公比为2的等比数列.

(Ⅱ)an=2n-1,bn+1=2n-1+bn,bn+1-bn=2n-1.故有b2-b1=20,b3-b2=21,b4-b3=22,…,bn-bn-1=2n-2.

等式左、右两边分别相加得:

点评:分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.

六、利用数列的通项求和

3.初探等比数列求和的几种方法 篇三

关键词：等比数列；求和；方法

数列求和作为高中数学教学中的难点和重点，是高考考核的重要部分之一，作为教师应加强关注学生，结合学生的个性特征，构建和谐、平等的教学环境，引导学生分析、总结数列之间的关系，进而让学生自主探究、解证，凸现课堂教学中学生的主体性作用，鼓励学生创新，探索多种等比数列求和的方法。

所谓等比数列指的是：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。其中，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。注：q=1时，an为常数列。在此，笔者结合自己多年的教学经验，谈一下如何在等比数列求和教学中，引导学生总结多中解题方法。

一、恒等变形法

所谓恒等变形法指的是：在保持原式结果恒等的情况下，优化、改变原题的表现形式。这样一来，原式就具有明显的共同点，便于更好地解决问题。对于此方法的运用，可以首先师生共同分析、总结，改变原式；之后引导学生自主解题；最后，引导学生拓展思维，找出不同的变形式来解题，可以是自主地也可以是小组合作进行，锻炼和培养学生思维能力的同时提高学生的动手实践能力，深化学生对数学的认知。如：

解题：a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1。

1.师生共同分析、总结变形后的式子为：a1（1+q+q2+……+qn-1）之后，引导学生自主解决可以得出：a1（1+q+q2+……+qn-1）.分解因式等于：1-qn=（1-q）（1+q+q2+……+qn-1）.因此，a1（1+q+q2+……+qn-1）=a1（1-qn）/1-q，最后得出：sn=a1（1-qn）/1-q.

2.拓展学生思维空间，给予学生足够的自主权，让学生自主地或者小组合作找出其他的变形式，并解决问题，提高学生的数学素养。高中生已经具备了一定的独立思考能力，有了一定的思维结构，很快学生就得出了不同的变形式。即：

a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn-a1qn=a1+（a1q++a1q2+…+a1qn-1+a1qn）-a1qn=a1+q（a1+a1q+…a1q2+…+a1qn-1）-a1qn=a1+qsn-a1qn，因此，a1+qsn-a1qn=sn，所以同样得出：sn=a1（1-qn）/1-q，还可有：a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1=a1q+a1q2+……+a1qn-1+a1qn/q=sn-a1+a1qn/q，因此sn=sn-a1+a1qn/q最后也得出：sn=a1（1-qn）/1-q.这样的方法还多种多样，其关键在于教师的引导，数学本身属于实践性、探究性较强的学科，作为数学教师，应抓住一切机会，给予学生自主权，培养学生积极探究的兴趣和欲望，从而提高学生的综合技能。

二、比例性推理法

所谓比例性推理法指的是：根据等比数列的本质特征和性质公式，实施推理，得出结论，能够有效地锻炼学生的逻辑思维能力。如：等比数列的概念指出：a2/a1=a3/a2=……=an/an-1=q；通过等比定理可以推出：a2+a3+…+an/a1+a2+…+an-1=q；因此得出：sn-a1/sn-an=q；其中an=a1qn-1，将其带入化简式可以得出：sn（1-q）=a1（1-qn），最后得出：sn=a1（1-qn）/1-q.同样可以引导学生通过分比定理来自主解决问题，即：通过分比定理推出：a2-a1/a1=a3-a2/a2=…=an-an-1/an-1=q-1/1；之后，运用同样的道理，运用等比推理换化、得出化简式：-a1+an/sn-an=q-1，进而将an=a1qn-1带入，得出最后的结果。

三、总结推理法

所谓总结推理法指的是：对原式进行分解，逐一验证得出结果，根据其分解式的结果进行推理、总结，得出最后结论。等比数列有一定的规律性，那么其分解因式的结果也肯定有一定的规律性，这样，根据结果的规律性可以直接推导出最终结果。如：首先假设n=3，可以得出：s3=a1+a1q+a1q2=a1（1+q+q2）=a1（1-q3）/1-q；进而，继续假设，当n=4时，原式为：s4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1（1+q+q2+q3）=a1（1-q4）/1-q；通过这两组的确切数字分解可以直接得出：sn=a1（1-qn）/1-q.对此，教师还可以打破教材的束缚，拓展学生的思维，让学生在不断的探究过程中尝到成功的喜悦，进而增强自己学习数学的自信心。解决等比数列的问题时，只需引导学生寻找规律，进行推理即可。因此，在教学中，教师要大胆鼓励学生创新，并对创新的同学进行表扬，激励学生自主创新的意识。就上述等比数列的例题，教师可让学生自主探究，当n=k时，结论是什么？当n=k+1时，结论又是什么？详细分析、总结推导过程，丰富学生的解题方式。

四、结语

总之，等比数列求和的方法是多种多样的。作为教师，应创设情境，引发学生自主的深入探究，同时还可以举办“创新评比大赛”等活动，激励学生深入探究的积极性和欲望，鼓励学生大胆拓展思维，升华学生对数学知识的认识，全面提高学生的数学素养。

参考文献：

［1］郑毓信．数学教育：从理论到实践［M］．上海：上海教育出版社，2001．

［2］涂荣豹，王光明，宁连华．新编数学教学论［M］．上海：华东师范大学出版社，2006．

［3］马复．设计合理的数学教学［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［4］魏清．中学有效教学策略研究［M］．上海：上海三联书店出版社，2005．

4.高三等差数列求和七大方法 篇四

1.公式法

2.错位相减法

3.求和公式

4.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

5.裂项相消法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意：余下的项具有如下的特点

1、余下的项前后的位置前后是对称的。

2、余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

(1)证明当n取第一个值时命题成立;

(2)假设当n=k(k≥n的第一个值，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：

求证：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明：

当n=1时，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立，于是：

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

7.并项求和法

(常采用先试探后求和的方法)

例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

方法一：(并项)

求出奇数项和偶数项的和，再相减。

方法二：

(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

方法三：

构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。

5.数列求和公式证明 篇五

数学归纳法可以证

也可以如下做 比较有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^

2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/

3所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前后消项]

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？

设n为奇数,1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=

=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)

=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)

=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)

=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)/3

设n为偶数,请你自己证明一下！

所以，1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

设an=n×（n+1）=n^2+n

Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）

=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)/3

数列求和的几种方法

1.公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)

3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn=（a1+an)n/

24.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例如：an=2^n+n-1

5.裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。常用公式：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

[例] 求数列an=1/n(n+1)的前n项和.解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂项）

则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)=

[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明： 当n=1时，有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1)= 2×3×4×5×6/5假设命题在n=k时成立，于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

8.并项求和：

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n（并项）

6.等差数列求和教案 篇六

等差数列求和教案

知识与能力：通理解等差数列的前 项和定义，理解倒序相加的原理，记忆两种等差数列求和公式。

过程和方法：让学生学会自主学习和合作学习，体会特殊到一般的数学方法。情感态度与价值观：形成严谨的逻辑推理能力，引导对数学的兴趣。

二、教学重点：教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，已知其中三个量，求另两个值。

教学难点：获得公式推导的思路

三、教学过程 1.新课引入

故事提出问题：泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，位于印度，是国王为他心爱的妃子而建，传说泰姬陵中有一个三角形图案，以相同大小圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共有多少颗宝石吗？

（板书）“

2.讲解新课

（板书）等差数列前 项和 公式推导（板书）

问题1“S=1+2+3+4+、、、、+n（倒序相加法）分小组讨论

问题2：

”，两式左右分别相加，得，，于是.于是得到了两个公式： 和

3、知识巩固：（1）；

（2）

4、课堂小结

1.等差数列前 项和公式；

（结果用 表示）

7.数列求和的几种有效方法 篇七

一、分组求和:根据所给式子的特点, 进行适当分组, 然后分别求和.

例1求Sn=-1+3-5+7-…+ (-1) n (2n-1)

解:按n为奇偶数进行分组, 连续两项为一组.当n为奇数时,

当n为偶数时

例2数列{an}, 若an的通项公式an=2n+2n+1, 求此数列的前n项和Sn.

分析:由通项公式可以发现此数列是由三部分构成, 2n, 2n, 1也就是构成了三个数列的求和一个等比, 一个等差, 一常数列.

点评:在直接运用公式法求和有困难时, 常将“和式”中“同类项”先合并在一起, 再运用公式法求和.

二、倒序相加:把数列倒写和正写再相加, (即等差数列求和公式的推导过程和推广)

例3求证Cn0+3Cn1+5Cn2+…+ (2n+1) Cnn=2n (n+1) .

分析:由于等差数列{2n+1}中与首末两端等距离的两项之和相等, 数列{Cnk}中与首末两端等距离的两项之和相等, 因此可采用倒序相加法.

解:设Sn=Cn0+3Cn1+5Cn2+…+ (2n+1) Cnn

则Sn= (2n+1) Cnn+ (2n-1) Cnn-1+ (2n-3) Cnn-2+…+Cn0

所以2Sn= (2n+2) (Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn) = (2n+2) ×2n

所以Sn= (n+1) 2n

点评:关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加.等差数列的求和公式也是通过倒序相加的方法求出来的, 但此方法应用范围有些窄.

三、错位相减

如果数列的每一项可分解成两个数列的乘积, 各项的第一个因子成公差为d的等差数列, 第二个因子成公比为q的等比数列, 可将此数列的前n项和乘以公比q, 然后进行错位相减, 从而求出前n项和.

例4求数列a, 2a2, 3a3, 4a4…nan (a为常数) 的前n项和.

解: (1) 若a=1, 则.

点评:数列{nan}是由数列{n}与{an}对应项的积构成的, 只有此类型的才适合用错位相减, (课本中的等比数列的前n项和公式就是用这种方法推导出来的) , 但要注意应按以上两种情况进行讨论, 最后再综合成两种情况 (注意:一般错位相减后, 其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一”!)

四、绝对值类型求和, 求一个数列的各项的绝对值之和, 一般是等差数列的各项绝对值之和, 重点要找出哪些项是正的, 哪些项是负的

例5数列{an}中, a1=8, a4=2, 且满足an+2-2an+1+an=0 (N+)

(1) 求数列{an}的通项公式, (2) 求Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|

分析: (1) 由条件可知数列{an}为等差数列, 由定义写出通项公式. (2) 注意到n≤5, |an|=an, n>5时, |an|=-an.应分为n≤5和n>5两种情况进行分类讨论.

解: (1) 由an+2-2an+1+an=0知an+2-an+1=an+1-an, 所以{an}为等差数列.

又因为a4=a1+3d所以d=-3所以an=a1+ (n-1) d=8+ (n-1) × (-2) =10-2n.

当n>5时, Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+a5-a6-a7-…-an=S5- (Sn-S5) =2S5-Sn=40-9n+n2

8.数列求和奥数训练题 篇八

1.按规律填空

(1)2，5，8，( )，( );

(2)2，7，12，17，22，( )，( );

(3)5，10，15，20，( )，( );

(4)( )，( )，13，19，25，31，37;

(5)1，3，4，7，11，( )，( );

(6)2，6，18，54，( )，( );

(7)( )，4，9，16，25，( );

(8)1，3，2，4，3，5，( )，( );

(9)4，21，6，18，8，15，10，( );

(10)5，20，13，52，3，12，( )，60;

2.(1)有一数列：1，4，7，10，13，16，……。这个数列中第100个数是几?

(2)有一数列：1，5，9，13，17，……，这数列的第300项是几?305是这个数列中的第几项?

(3)数列5，8，11，14，……，179，182，一共有几项?

3.计算下列各式的和

(1)1+2+3+4+……+98+99+100

(2)1+3+5+7+……+197+199

(3)21+23+25+……+143

(4)21+23+25+……+1000

4.一辆汽车作加速运动，在第1分钟内行驶了300米，从第2分钟开始，每分钟都要比前一分钟多行驶50米，照这样计算，当汽车的速度达到每分钟1200米时，这辆汽车一共行驶了多少分钟?

5.一个剧院，第一排有20个座位，以后每排总比前一排多2个座位，一共是’25排。这个剧院共有多少个座位?

6.(1)求自然数中所有三位数的和。

(2)求自然数中所有两位数中的奇数之和。

(3)计算 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0. 11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+……+0.99

7.有一数列：1，2，4，8，16，……

(1)这数列中的第11个数是几?

(2)这数列的.前10个数的和是几?

8.若干人围成8圈(一圈套一圈)，从外向内各圈人数依次少4人。

(1)如果最内圈有32人，共有多少人?

(2)如果共有672人，最外圈是几个人?

9.在8与56之间插入3个数，使这样5个数成等差数列。

9.数列求和方法及例题 篇九

基础教育一直是最受学校和家长关注的，最为基础教育重中之重的初等教育，更是得到更多的重视。查字典数学网小升初频道为大家准备了小学数学毕业总复习，希望能帮助大家做好小升初的复习备考，考入重点初中院校!小学数学毕业总复习：数列求和考点 数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an = a1+(n-1)d;通项=首项+(项数一1)公差;数列和公式：sn,=(a1+ an)n 数列和=(首项+末项)项数

第 1 页 项数公式：n=(an+ a1)项数=(末项-首项)公差+1;公差公式：d =(an-a1))(n-1);公差=(末项-首项)(项数-1);关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式;小升初考试是小学生进入初等重点初中院校的一次重要考试，希望大家都能够认真复习，同时也希望我们准备的小学数学毕业总复习能让大家在小升初的备考过程助大家一臂之力!

10.数列求和的几类常见方法 篇十

类型1: 直接用等差数列或等比数列的求和公式求和

例1求和

分析数列1,a,a2,a3,…,an - 1的通项公式为an=an - 1,因此数列是等比数列,用等比数列求和方法求之.

相关试题: 已知数列7,77,…,777…7( n个7) ,求sn.

类型2: 若数列{ an} 是等差数列或等比数列,{ bn} 是等差数列或等比数列,求{ an±bn} 的前n项和sn. ( 用重新分组法)

例2已知数列,求 sn.

分析数列1,2,3,…,n是等差数列,数列是等比数列,求和时用重新分组法.

类型3: 若数列的通项公式,求其前n项和. ( 用裂项相消法)

例3已知数列的通项公式,求 sn.

分析数列的 通项公式具有的特点求其前n项和用裂项相消法.

相关试题: 设数列{ an} 是等差数列且an≠0,求和

类型4: 若数列{ an} 是等差数列,{ bn} 是等比数列,求数列{ cn} 的前n项和. ( 其中cn= an·bn,用错位相减法)

分析数列1,3,5,…,2n - 1是等差数列,是等比数列,因此求和用错位相减法.

类型5: 在数列{ an} 中,若,…具有相同的特点,求数列{ an} 的前n项和. ( 用倒序相加法)

摘要：数列求和在高考中具有极其重要的地位,是高考必考内容之一,而数列的求和主要看数列的通项公式的特点,数列的通项公式具有什么样的特点数列的求和就有相应的方法.

11.用放缩法证明数列求和中的不等式 篇十一

近几年，高考试题常把数列与不等式的综合题作为压轴题，而压轴题的最后一问又重点考查用放缩法证明不等式，这类试题技巧性强，难度大，做题时要把握放缩度，并能自我调整，因此应加强此类题目的训练。

高考题展示：

（2006年全国卷I）设数列an的前n项的和

Sn412an2n1，n1,2,3, 333

n32n

，证明：Ti（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn，n1,2,3,2Sni1

nn解：易求an42（其中n为正整数）

4124122Snan2n14n2n2n12n112n13333333

nn232311Tnn1Sn2212n122n12n11

所以：

T22ii1n3113112n112（2006年福建卷）已知数列an满足a11,an12an1(nN*).（I）求数列an的通项公式；（II）证明：an1a1a2n...n(nN*).23a2a3an12解：（I）易求an221(nN*).ak2k12k11k1,k1,2,...,n,（II）证明：ak1212(2k1)22aaan12...n.a2a3an12ak2k11111111k1.,k1,2,...,n, ak12122(2k11)23.2k2k2232kaaan1111n11n112...n(2...n)(1n), a2a3an12322223223an1aan12...n(nN*).23a2a3an12

111115S，证明：nn2122232n23点评：两个高考题向我们说明了数列求和中不等关系证明的两种方法：1.每一项转化为两项差，求和后消去中间项（裂项法）与放缩法的结合；2.用放缩法转化为等比数列求和。题1.已知数列an中an

放缩一：1111(n2)2nn(n1)n1n

***()()222222222123n123455667n1n***238924005111.＝136400n36400360036003Sn

点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。需要保留前5项，说明放大的程度过大，能不能作一下调节？ 放缩二：111111(),(n2)n2n21(n1)(n1)2n1n1

***()()122232n2122222435n2nn1n***5()().4223nn142233Sn

点评：此种方法放大幅度较

（一）小，更接近于原式，只需保留前2项，从第3项开始放大，能较容易想到，还能再进一步逼近原式？ 放缩三：1111111()2(),(n1)211111n2n12n1n2(n)(n)nn42222

Sn111111111111512()12()122232n235572n12n132n13本题点评：随着放缩程度的不同，前面需保留不动的项数也随着发生变化，放缩程度越小，精确度越高，保留不动的项数就越少，运算越简单，因此，用放缩法解题时，放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。

n2n

题2.已知数列an中ann，求证：ai(ai1)3.21i1

2i12i2i111方法一：ai(ai1)i.iiiii1i1i2121(21)(22)(21)(21)2121

ai(ai1)

i1n

211111111()()()33.121223n1nn(21)21212121212121

方法二：

2i1111ai(ai1)i.(i2)(21)22i22i22i2i22i1

2i22

11111ai(ai1)22n12(1n1)3n13.22222i1

点评：方法一用的是放缩法后用裂项法求和；方法二是通过放缩转化为等比数列求和，从数值上看方法二较方法一最后结果的精确度高(3

明的结果3。

同类题训练：

1.已知数列a

n中an，Sn是数列的前n

12.数列求和方法及例题 篇十二

【摘要】本文以应用C语言循环结构解决等差数列求和问题作为微课主要内容，阐述了对微课设计进行的研究与探索。

【关键词】C语言；循环结构；微课

当今，信息化高速发展，数字技术正在影响和改变着我们生活中的各个领域，其中也包括教学模式的改变。微课作为数字时代的一种新型课程表现形式，以其主题明确、短小精悍、交互效果好等优点，在各个学科的教学中正被积极地推广和应用。在我院的C语言课程教学中，微课设计被应用于很多较难理解的知识点讲解中，经过实践发现教学效果良好。本文以应用C语言循环结构解决等差数列求和问题作为微课主要内容，对微课设计进行研究与探索。

一、微课的介绍

1.微课的定义。

微课是以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点难点疑点）或技能点的教学环节开展的精彩教与学活动全过程，具有目标明确、针对性强和教学时间短的特点。

2.微课的组成。

（1）围绕某个知识点或技能点的教学视频和微课设计脚本；

（2）微课教学相关的教学设计方案和教学课件；

（3）微课相关素材、练习题、测试题、教学反思等辅助性教学资源。

3.微课的主要特点。

（1）教学时间较短：时长一般为8―10分钟。

（2）教学内容较少：主要是突出课堂教学中某个知识点，内容十分精简。

（3）资源容量较小：学生可以在线观看视频学习，也可查看相应教学资料。

（4）主题突出：一个微课就只包含一个主题任务，内容明确。

（5）自主学习为主：学生可以使用微课完成自主的、一对一的学习。

二、应用C语言循环结构解决等差数列求和问题微课设计

1.微课名称：应用C语言循环结构解决等差数列求和问题。

2.所属专业：软件技术专业。

3.所属年级：高职一年级。

4.所属课程：C语言。

5.知识点。

（1）掌握while循环语句的格式和执行过程；

（2）学会分析循环结构程序的设计思路；

（3）熟练应用while循环语句来编写程序。

6.技能点：能够通过while循环语句编写程序来解决实际问题。

7.教学类型：讲授型。

8.设计思路。

（1）微课设计目标：通过微课交代出课程的基本知识点（包括理论部分与实践部分）、课程的整个教学环节以及所实现的具体任务。

（2）教学情境设计：在现实生活中，我们会遇到很多需要重复操作的事情。比如，在数学课中曾经接触过的等差数列求和问题。因为等差数列中的数据都是有规律的，而且加法的计算也是重复的，所以完全可以用循环程序来帮助我们完成这个看似复杂的计算。

（3）微课基本思路：在微课设计中，通过教学情境的引入，向学生交代本次课的主要内容是用循环结构程序来解决等差数列求和问题，学生首先聆听教师讲解有关循环结构的相关知识点，教师做好相关的技术指导，之后教师将学生带入到具体任务的实现过程中，包括本次课中主要学习的while循环结构的特点、语法格式、流程图和执行过程，再根据等差数列的特点分析出用程序解决该问题的设计思路和所需变量，然后结合while循环的语法格式将循环语句书写出来。在具体编程设计工作之前要将整个程序的流程分析清楚，再动手写出具体程序，这样才能避免问题的产生，还能够培养学生良好的程序设计书写习惯。学生在分组完成具体任务后要进行讨论，能够总结出while循环应用于实际问题中的设计思路和分析方法，之后能够举一反三合理解决其它问题。本次课程结束前，要求各项目组对项目成果进行演示和阐述，并进行评分。最后总结归纳本次课的主要内容。

9.教学过程。

（1）片头（20秒以内）

通过画面展示“微课”名称、“微课”所支持的课程名称、“微课”教学内容简介、“微课”主讲教师简介。可以添加适当的背景音乐。

（2）正文（8分钟）

①画面1：通过课件展示教学情境，引入具体研究任务。（30秒）

具体展示内容：各位同学，在现实生活中，我们会遇到很多需要重复操作的事情。比如，在数学课中曾经接触过的等差数列求和问题。因为等差数列中的数据都是有规律的，而且加法的计算也是重复的，所以完全可以用循环程序来帮助我们完成这个看似复杂的计算。

②画面2：讲解循环结构的特点、while循环的语法格式和执行过程。（220秒）

具体技术指导内容：学生首先聆听教师讲解有关循环结构的相关知识点，教师做好相关的技术指导，之后教师将学生带入到具体任务的实现过程中，包括本次课中主要学习的while循环结构的特点、语法格式、流程图和执行过程。

③画面3：分析等差数列求和问题中所使用的变量、设计流程，并进行程序编写。（300秒）

具体操练内容：向学生交代本次课的主要内容是用循环结构程序来解决等差数列求和问题，再根据等差数列的特点分析出用程序解决该问题的设计思路和所需变量，然后结合while循环的语法格式将循环语句书写出来。在具体编程设计工作之前要将整个程序的流程分析清楚，再动手写出具体程序，这样才能避免问题的产生，还能够培养学生良好的程序设计书写习惯。

（3）小结（20秒）

通过画面展示总结本微课重点。

（4）片尾（10秒）

通过画面展示“微课”制作者信息、相关“微课”信息、“微课”应用信息和必要的内容注解。

三、结语

本微课在C语言教学中已经应用，并取得了较好的教学效果，学生通过微课的学习对C语言循环结构的理解更加深刻了。张一春教授认为，对于老师而言，最关键的是要从学生的角度去制作微课，而不是在教师的角度去制作，要体现以学生为本的教学思想。因此，在今后的微课设计中，我们还要不断地探索，真正使微课成为学生自主学习的重要资源。

参考文献：

13.二年级看图写话的方法及例题 篇十三

孩子们的写话中暴露的问题有：

1、审题不清。一般看图写话题目要求是：图上画的是谁？在什么地方？干什么？请用几句话写下来。孩子们基本能把前三个问题回答出来，但是对“几句话”这个问题忽略不计了，大部分孩子都只有一句话，写话还停留在一句话的层面上。而题目这里要求的“几句话”必须是“三句话”以上才能叫几句话，这就要求孩子不但会描写图画内容，还要会正确地使用标点符号进行断句。

2、观察能力薄弱。观察不细致，缺乏深入的观察。不能发现图中的一些重要信息，包括图中各种事物的特点及不同事物之间存在的联系。

3、学生表达时缺少条理，（也就是没有顺序）前后内容不连贯，（句子没有连续性）一句话与一句话之间缺乏前后联系，写话时东拉西扯，一会儿写天上，一会儿写地下。这个现象这次考试暴露得尤为严重，同时这也是低段学生在写话过程中普遍存在的问题，也是写话的难点。

4、不能根据图画内容，进行合理的想象。孩子们只是干巴巴地把画面上的景物凌乱地写出来，没有很好地根据画面进行想象。而这一点对于低段的孩子很重要，因为它是体现孩子思维能力的一个重要的环节。只有根据画面进行了合理的想象，写出画面背后无声的东西，才会有话可说。

5、不会正确使用标点符号。这个现象，我已在造句时感受到了。有些孩子写了很大一段话，但全文只有末尾一个标点——句号。还有些孩子，中间会用逗号，但是不会在短文中间用“句号、感叹号。”

鉴于以上这种情况，要针对孩子的实际，进行一些专项的“看图写话”的训练。

小学低年级看图写话是作文最初步的训练，是培养初入学儿童向观察客观事物过渡的一个桥梁和凭借，是培养儿童提高认识能力、形象思维能力和表达能力的良好途径。

面对单幅图或多幅图，能写上几句话或写一段话，并非是一件很容易的事。滔滔的江河就是发源于这涓涓的细流，这可以说是作文当中的一项基本功。就是中、高年级的学生也应该经常进行这方面的训练。那如何写好看图作文呢？我认为可以从以下几个方面去训练：

一、看看，训练观察能力。

看图写话，看图是基础，但是低年级学生还缺乏观察能力，特别是刚入学的孩子，观察事物无目的、无顺序，这就要求教师要在指导看图上下功夫。让学生掌握看图的方法，让学生通过仔细看图，判断事物发生的时间、地点、了解画面所反映的主要内容，我在引导学生观察图时：（1）从整体入手，初步感知图画的主要内容，即这幅图的内容是什么，或谁在干什么。这样做的目的在于培养学生对事物的认识能力和概括能力。（2）细致观察，合理想象，叙述图意。看图和观察客观事物一样，要有一定的顺序，使学生做到言之有序，如方位或空间顺序观察，可以由上而下，由近及远，由内到外；按主次观察，可以先主后次；按事物发展先后顺序观察，可先怎么样，再怎么样。观察后引导学生叙述图意，然后，再根据画面引导学生联想它的前因、后果，人物的心理活动、语言等，使整幅图或多幅图画变成一个完整的、连贯的事物，使人物形象更加丰满逼真，故事情节更加曲折动人。

二、想想，培养想象能力。

看图写话虽然是从训练学生的观察能力入手，但它的目的之一还在于培养学生的想象能力。有的学生在观察后，还是把作文写得很平淡，其原因就是没有发挥想象力的作用，只是就物写物，就事论事，为了培养学生的想象能力，我重视了“想想”这一环节。

“想想”，一是指老师提出的问题怎样回答；

二是指想象，想象是重点，老师提出的问题，给学生提供了思维的支点，学生借助老师提出的问题进行观察想象，理解图画内容，启迪开拓学生的思维。根据学生的年龄特点，我主要从以下二方面进行想象力的培养。

1、看图想象，即用贴近儿童生活的形象直观的图画，启发学生开展合理的想象。

2、看图编童话故事。

培养学生创新意识和创新精神，是现代教育的主旋律。看图编故事要从“异”字着手，培养学生求异思维能力和灵活运用语言的能力。指导学生说话时，要力避“鹦鹉学舌”，要鼓励学生与他人想得不同，说得不同。

三、说说，培养表达能力

低年级学生好奇、天真，求知欲强，善于模仿，好提问题，喜爱表达，思维形象具体，但表达起来缺乏条理性和连贯性，说起话来常是前言不达后语或重复罗唆，有时带有语病。在教学过程中，我注意了以下三点：（1）要求说得有头有尾，要遵循一定顺序；（2）要有基本内容，不要丢掉重点；（3）鼓励在语言表达上有独到之外的学生，表扬他们说得细，说得好。在说写训练中。要求学生准确、有中心、有合理的看图，启发学生大胆思维、想象、发言（表达），还要注意启发学生的求异思维。每次在指导学生看图说话、写话时，要注意发展学生的创造性思维。使他们兴趣盎然，劲头越来越高。在说话课上，我经常这样对他们说：“谁能和大家说不一样？”那个同学比刚才那个同学说得更具体、更生动些？”以此鼓励同学说话的兴趣，因为“兴趣是最好的老师”，学生一旦有了说话的顺序，他们就会积极地表达，久而不厌，心情愉快。有时看单幅画面说话，学生可以说出十多个不相同的开头，有的学生还有自己的创见，在说的基础上再指导写，就容易多了。

低年级同学主要是形象思维，而且跳跃性很大，因此，他们表达事物时常常杂乱无章，所以在引导学生观察图画时，要教会他们按顺序的分层次，一部分一部分地看，教他们看“细”，看“全”，看“深”。在观察中除训练他们有序地看，还要训练他们有根据地想，有条理地说。

总之，说话训练要有层次地进行，要大面积练习，图意清楚的让班里语文成绩，表达能力较强的学生说，随后大面积展开。这时，还要重点指导和帮助中、差等生，最后安排同桌对说，促使每个学生都能写出好语句来表达图意。

四、写写，发展思维能力。

1、写完整

低年级写话是为高年级写作打基础的。因此，在低年级的写话训练中，就要教学生把握住时间、地点、事情的起因、经过、结果，把话写完整。

2、写具体

学生到了二年级，已经具备了写完整活的能力，其观察、想象能力都有了发展提高。这时，就要在写具体如下功夫，指导学生重点写事物的主要情节，写与主要情节有关的人物动作、语言、神态、心理活动等，要抓住细节判断人物可能说什么，有什么心理活动，人与人之间有怎样的联系，使画面上的人物活起来。

14.高一数学 数列求和教案 篇十四

教材：数列求和

目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。

过程：

一、提出课题：数列求和——特殊数列求和

常用数列的前n项和：123nn(n1)2135(2n1)n2

n(n1)(2n1)

6n(n1)2132333n3[]

2122232n2

二、拆项法：

例

一、（《教学与测试》P91 例二）

11114,27,310,,n1(3n2),的前n项和。aaaa1 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 ann1(3n2)

a111Sn(12n1)[147(3n2)]

aaa求数列11,(13n2)n3n2n当a1时，Snn

221n(13n2)nan1(3n1)na

当a1时，Sn nn1122aa1a1

三、裂项法：

例

二、求数列6666，,，前n项和 122334n(n1)116()

n(n1)nn1解：设数列的通项为bn，则bn

11111Snb1b2bn6[(1)()()]223nn16(116n)n1n1 例

三、求数列111，，前n项和 1212312(n1)12112()

12(n1)(n1)(n2)n1n211111111n)()()]2() 2334n1n22n2n2 解：an Sn2[（四、错位法：

1}前n项和 n21111 解：Sn123nn ①

2482111111Sn123(n1)nnn1 ② 248162211(1n)1111112n 两式相减：Snnnn1212248222n1121n1nSn2(1nn1)2n1n

2222例

四、求数列{n例

五、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn(求数列{an}的前n项和

解：取n =1，则a1(an12)(nN*)，2a112)a11 2又： Snn(a1an)n(a1an)a12(n)

可得：222an1(nN*)an2n1

Sn135(2n1)n2

五、作业：《教学与测试》P91—92 第44课 练习3，4，5，6，7 补充：1.求数列1,4,7,10,,(1)(3n2),前n项和

n3n1n为奇数2(Sn)

3nn为偶数22n32n1 2.求数列{n3}前n项和(8n3)3.求和：(1002992)(982972)(2212)(5050)4.求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)(5.求数列1，(1+a)，(1+a+a)，……，(1+a+a+……+a

22n(n1)(n5))

3n

1)，……前n项和

a0时，Snn a1时，Snn(n1)2