八年级数学平行四边形教案

八年级数学平行四边形教案（共16篇）

1.八年级数学平行四边形教案 篇一

第十九章 四边形

单元要点分析

教材内容

本单元教学的主要内容：

现实世界中，四边形在我们的生活中，随处可见，如宏伟的大厦，各种地砖，别具一格的窗棂、各种型号的电视机、风扇、电冰箱等，处处都有着四边形的身影，在本单元，我们将着重研究这些特殊的四边形，分析它们的联系与区别，探索并证明它们的性质及判定方法，从而进一步提高分析问题、解决问题的能力．

本单元知识结构图：

本单元教材分析：

四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在小学，我们已经学过一些特殊的四边形，如长方形、正方形、平行四边形和梯形等，这些特殊的四边形与我们的生活联系的较为紧密，本单元探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，为今后学习“立几”与图形等内容打下坚定的基础，教材通过平行线、三角形、图形变换等几何知识，推得平行四边形性质，将梯形问题的研究用“化归”思想转化为平行四边形和三角形问题上来研究；而平行四边形的性质的学习又丰富与发展了平行线和三角形的性质，教材安排上围绕着从“特殊→一般”的思想展开讨论．以观察、分析、探究的方法，辅以简单的情理推进研究．

本单元为学生提供了生动有趣的现实情境，安排了观察、动手操作、合作交流等活动，推进学生对四边形性质的理解、识图、作用等操作技能的理解与掌握．积累数学思维的活动经验，形成合情推理能力，提高学生分析问题与解决问题能力．

教学目标（三维目标）

知识与技能：

了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系；探索并掌握它们的有关性质和判别方法．

过程与方法：

经历特殊四边形性质的探索过程，掌握合情推理能力，以及几何说理的基本方法，了解多边形的有关概念．

情感态度与价值观：

丰富学生数学经验，增强学生的简单逻辑推理能力．体验本单元知识在实际生活中的应用价值．

重难点、关键

重点：理解和掌握平行四边形的性质与判定．

难点：几种特殊四边形的联系与区别．

关键：应用观察、识图、判断的思想，采用合作探究的形式使学生把握住几何推理的思路．

单元课时划分

19．1平行四边形 4课时 19．2 特殊的平行四边形 5课时 19．3 梯形 1课时 19．4 重心（课题学习）1课时

复习与交流 1课时

单元自测优化设计 1课时

教学活动设计

19．1平行四边形

第一课时平行四边形的性质

（一）教学目标

知识与技能：

探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质．

过程与方法：

经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，发展学生的探究意识和合情推理的能力．

情感态度与价值观：

培养学生严谨的思维习惯和勇于探索的思想意识，体会几何知识的内涵与实际应用价值．

重难点、关键

重点：理解和掌握平行四边形的性质．

难点：平行四边形性质的应用．

关键：把握平行线、三角形等有关知识，应用于平行四边形的探究之中．

教学准备

教师准备：投影仪，收集有关生活中的平行四边形图案制成投影片．

学生准备：复习近平行线性质，判定；三角形有关性质；预习本节课内容，收集生活中的有关平行四边形的图片．

学法解析

1．认知起点：对几何中的平行线、•三角形以及小学中的四边形有关知识的积累，以此为起点来认识平行四边形．

2．知识线索：

3．学习方式：观察形象、突出概念，合作交流．

教学过程

一、创设情境，导入新知

【活动方略】

教师提问：上一节布置大家收集有关平行四边形的图片（相片），现在你们将自己所收集的图片与同伴交流．

学生活动：分四人小组，拿出收集的图片进行交流，观察其特征．

教师活动：请各组派代表将你们组收集、讨论的情况向全班进行交流．

媒体使用：学生上讲台利用实物投影或直接展示，来汇报自己的材料．

学生活动：通过观察图片、交流心得，丰富联想，得到平行四边形的特征：是有两组对边分别平行的四边形．

教师归纳：定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作“”，如下图a、b，记作“ABCD”．（板书）

【设计意图】采用让学生课前收集现实生活中的平行四边形并通过合作交流来引入平行四边形定义自然流畅，激发了学生兴趣． 

二、情理推导，认识性质

【问题牵引】

操作探究：请同学们用两块三角板画出一个平行四边形，观察下面问题． 1．平行四边形边之间有何关系？请证明． 2．平行四边形角之间有何关系？请证明．

【活动方略】

学生活动：分四人小组进行探讨，在探讨中采用观察、度量的方法，很快发现平行四边形具有以下性质：

性质一：平行四边形的对边相等；

性质二：平行四边形的对角相等．

教师活动：在学生通过观察、度量的体验，发现了平行四边形性质之后，引导学生进行证明．

学生活动：证明平行四边形性质一、二，并踊跃上台演示．

思路点拨：对于四边形的问题通常可以转化为三角形来解决，如性质一、二，可通过连结对角线AC或BD（如下图c、d）的方法将平行四边形切割成两块三角形，然后利用三角形全等证明．

【设计意图】采用学生动手画图感知得到平行四边形的两个性质，然后再应用“化归”的数学思想解决性质的严格证明，并渗透一题多解的发散思维．

三、范例点击，提高认知

例1（投影显示）如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？

思路点拨：这个实际问题首先通过周长36m的平行四边形这个条件，•利用已知一条边AB=8m，很容易求出AB=DC=8m，AD=BC=10m，•这是平行四边形性质中的对边相等的应用．

【活动方略】

教师活动：操作投影仪，分析例1，引导学生正确应用平行四边形的性质一，•并板书，教会学生如何书写几何语言．（见课本P93）

学生活动：参与教师分析，弄清解题思路．

【课堂探究】（投影显示）

探究题：如图，已知ABCD中，∠A：∠B=2：3，求∠C，∠D的度数． 

思路点拨：本题首先应明确ABCD中，由于AD∥BC，因此∠A+∠B=180°，•根据已知条件∠A：∠B=2：3，可以求出∠A=72°，∠B=108°，然后再用平行四边形性质过渡得到∠D=∠B=108°，∠C=∠A=72°．

【活动方略】

教师活动：操作投影仪，提出问题后，组织学生训练，关注“学困生”的学习，在巡视中发现解题中的问题，可通过让这样的学生（代表性）上台演示，发动学生纠正．

学生活动：先独立思考，从已知条件中分析出思路：要求∠C，∠D，•只要能求出∠A，∠B，这样就把问题转化成熟悉的思路上来，通过两个式子：∠A+∠B=•180 ①，∠A：∠B=2：3 ②用代数的代入法求得结果．

【设计意图】补充这道探究题的目的是让学生有一个独立思考问题的素材．同时也是对课本例题的充实．

四、随堂练习，巩固深化

1．课本P93 “练习” 1、2、3． 2．【探研时空】

（1）如图，从ABCD的顶点D和C，分别引对边AB的垂线DE和CF，交AB和它的延长线于E、F，求证：△AED≌△BFC．

（2）求证：平行四边形ABCD中，顶点B、D与对角线AC的距离相等．

（提示：证出Rt△AED≌Rt△BFC）



五、课堂总结，发展潜能

本节课主要通过情境引入平行四边形定义：两驵对边分别平行的四边形叫做平行四边形，同时引入表达符号“”；接着利用观察和度量以及证明得到平行四边形两个性质：（1）平行四边形对边相等；（2）平行四边形对角相等．

本节课除了弄清上述概念之外还应该学会严谨的书写表达，注意其完整性，同时应领悟平行四边形化归成三角形的思想，这是添加辅助线的方向．

六、布置作业，专题突破

1．课本P99习题19．1 1，2，6，11． 2．选用课时作业优化设计

七、课后反思

第一课时作业优化设计

【驻足“双基”】

1．已知ABCD的周长为20cm，且AD-AB=1cm，则AD=______，CD=______． 2．平行四边形内角和等于________．

3．平行四边形周长为50cm，两邻边之比为2：3，则两邻边分别为_____．

4．如图，在ABCD中，∠ADB=40°，∠ABD=85°，则∠C=_____，∠ABC=_______．  5．已知一个平行四边形的两对角和为214°，则这个平行四边形相邻的两内角的度数分别为_________．

6．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB=5cm，D为BC边上任意一点，DF∥AC，DE∥AB，求ABCD的周长．  【提升“学力”】

7．连结平行四边形对边中点的线段是否能将对角线二等分？与同伴交流．

8．如图，已知ABCD，AD、BC的距离AE=15cm，AB、DC的距离AF=30cm，且∠EAF=30°，求AB、BC、ABCD面积． 

【聚焦“中考”】

9．（2003年安徽省中考题）如图，在ABCD中，AC=4，BD=6，P点BD上的任一点，过P•作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F．设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为（）



10．（2003年北京市中考题）如图所示，在ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF，请你以下为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，•猜想并证明它和图中已有的第一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．

（1）连结：__________．

（2）猜想：________=________．

（3）证明．



答案： 1．5.5cm，4.5cm 2．360° 3．10cm，15cm 4．55°，125° 5．107°，73° •6．10cm

27．EF能将AC二等分 8．30cm，60cm，900cm 9．A 10．（1）BF，（2）BF=DE，（3）•提示：证△BCF≌△DAE．

2.八年级数学平行四边形教案 篇二

一、问题的提出

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》明确提出“减轻中小学生课业负担，要求减少作业量”．近年来，学生的家庭作业成为备受关注的话题，家庭作业是教学的重要环节之一．它是学生对所学内容的巩固、加深的重要途径，对培养学生独立思考能力和学习的自觉性、责任感有非常重要的作用．但是很长一段时间以来，学生的家庭作业几乎是课堂教学内容的翻版．教师在家庭作业的布置上，更多注重的是基础知识、基本技能的训练，忽略了课程目标三个维度中的“过程与方法、情感态度与价值观”．当前学生家庭作业质量存在的问题主要体现在：习题形式单调、重复，习题中缺乏应用、合作，练习欠缺层次性和灵活性；学生没有形成严谨的作业习惯和态度；个别教师的作业批改具有一定的随意性，评价方式跟不上课改的要求．

因此，有必要依据新课改的要求，重新全面认识家庭作业的意义，研究改善数学家庭作业的方法，改革和探索新的家庭作业模式，充分发挥家庭作业对巩固知识，培养和提高学生能力的重要作用，提高教学效率和学生的学习质量．笔者针对贵阳市八年级学生对数学家庭作业的有关问题进行了关于“八年级学生对数学家庭作业的感知问卷调查”研究并做了“八年级数学家庭作业的教师调查问卷”．

二、问卷调查的数据显示

（一）家庭作业的形式及来源

1．家庭作业形式的调查数据统计（学生卷）结果：

教师平时布置的家庭作业形式具有趣味性的占16%，生活性占30.3%，开放性占11%，合作性占15.1%.

2．家庭作业的来源（教师卷）统计结果：

教师布置家庭作业的来源其中教师精心设计的占15.7%，课后习题及配套资料占75%，教研组教师共同设计的占5%，网络以及其他占4.3%.

从数据显示可知，教师布置的数学家庭作业虽然具有一定的趣味性、生活性、开放性和合作性，但是百分比都比较低，总体上形式比较单调；其中贵阳市八年级学生的数学家庭作业内容教师精心设计和教研组共同设计的只占一小部分，大部分来源于教科书的课后习题及统一配套的教辅资料，而且布置的作业内容具有随意性．

（二）家庭作业的要求和完成情况

1．学生家庭作业的完成情况（学生卷）统计结果：

学生家庭作业全部完成的占86%，完成大部分的占11%，完成小部分的占3%.

2．教师对学生家庭作业的要求（教师卷）统计结果：

教师对学生家庭作业内容要求一样的占87%，对作业要求具有选择性的占13%；教师对作业要求全部完成的占80%，不要求全部完成，只要求完成会的占20%.

从数据显示可知，学生大部分都完成了数学家庭作业，大部分教师对学生家庭作业的内容的要求一样，学生自主选择家庭作业内容的机会很少，而且大部分教师要求学生全部完成家庭作业．

（三）学生对待家庭作业的态度

学生对待家庭作业的态度（学生卷）统计结果：只有9%的学生很认真完成数学家庭作业，45%的学生对待作业较认真，有30%的学生在应付，甚至有16%是在完全应付．

从数据显示及结合学生家庭作业的完成情况（学生卷）统计结果可知，大部分学生都完成了教师布置的家庭作业，但是认真完成作业的人数占的百分比比较低，可知学生对待家庭作业态度不够端正，只是如数完成，质量却难以保证．

（四）教师家庭作业的批改情况

1．家庭作业批语的使用情况统计结果：

教师在批改作业时经常使用批语的占21%，不经常使用批语的占57.3%，基本上不使用的占21.7%.

2．家庭作业的批改方式统计结果：

家庭作业教师批改占59.3%，小组长批改占25.6%，学生之间互改占10.1%，家长批改占5%.

从数据显示可知，教师在批改作业时批语的使用频率不是很高，而且教师批改还是占绝大部分，学生和学生之间以及和家长之间互动比较少．

三、结论

通过调查分析，关于贵阳市数学家庭作业调查有值得肯定的地方．但是，由于受长期传统教育方式的束缚，教师在家庭作业这方面思想还没有完全扭转过来，还存在着一些问题与不足，这就需要一线的教师在教学实践的过程中进一步地探索与完善．

（一）家庭作业形式单调，有很大的随意性

根据现行教科书，学生基本上都会有统一配套的教辅资料，教师一般把教辅资料上的内容布置成家庭作业．所以，不再去为学生精心设计家庭作业，把重心放在课堂教学上．

（二）家庭作业具有要求的划一性及完成的强制性

教师没有顾及学生会了还是不会，也不顾及学生完成时是轻而易举还是困难很大，对每个学生做家庭作业的数量和完成的要求一视同仁，学生没有选择的权利．

（三）学生对家庭作业重视程度不够，应付现象严重，作业习惯不良

学生对家庭作业重视程度不够，有相当多学生对作业的认识还只停留在“是学生应完成的一项任务”这一程度，没有从根本上认识到写作业是落实“三基”、培养和提高能力的重要途径，表现出完成作业的自觉性和主动性较差，甚至部分学生认为是为老师而完成作业．

（四）教师生硬批改多，人文评价少

大部分数学教师都认为家庭作业的批改很重要，从中可以有许多收获，包括：了解学生数学学习近况、检查教学效果，及时调整教学计划，准确把握教学指向，取得最佳效率的一个有力手段．通过批改作业，能使师生双方保持信息畅通，达到教与学同步．所以，作业批改是非常重要的一项工作．但是，由于受传统教育观念的影响，部分教师批改作业的方式生硬，仍然采用传统的批改符号，不够重视批语的使用．

四、几点建议

（一）精选家庭作业内容

布置家庭作业时，不能够随心所欲，也不能临时应急，更不能够随意草率．学生对家庭作业喜新厌多，憎恶一些脱离学生实际的偏怪难繁练习题．因此，要求教师在选配作业题时应从学生的知识和能力的实际水平出发，依据培养目标精选材料，善于挖掘数学本身所蕴含的吸引力，让学生体会到数学就在身边，感受到数学的作用．如，某单位将沿街的一部分房屋出租，每年房屋的租金第二年比第一年要多500元，所有房屋的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元．根据这一情境你能提出哪些问题？选择你提出的问题中的一个写出详细的解答过程．这种开放性题型，不但有利于培养学生的应用意识和能力，而且可以使学生在解决问题的过程中形成积极探索和力求创新的心理态势，给学生一个充分施展才华的机会．同时它也符合《数学课程标准》中强调的数学学习要结合学生已有知识，设计探索性、开放性问题的要求．

（二）家庭作业应具有弹性，让学生自主选择

每个班的学生的认知水平必然存在一定的差异．因此，教师应根据班级学生的实际情况，在布置家庭作业时应具有一定的弹性，可提出不同的作业要求供学生自主选择，来满足各层次学生的学习需要．这样布置家庭作业，既针对了学生的实际情况，又体现了学生的自主意识，有利于发挥学生学习的主体精神．

（三）家庭作业批改方式应具多样性

应鼓励教师批改作业时体现个人特色，体现对学生的激励，让学生自觉地完成作业，养成良好的习惯．这样做有利于激发学生的学习积极性，增强他们的自信心．教师还可以多采用“书面对话”，可以采用鼓励性评语，如“这次作业做得很认真”；还可以采用期待性评语，如“今天的作业比前几天有进步，如果你上课再能专心听讲，那样你会更优秀的”；也可以用商榷性的评语，如“作业写得不够认真，能不能再仔细检查一下呢”．这样便于学生知道自己作业中的优缺点，几句简单的评语，是师生心与心的交流，有利于加强师生间的互动，调控学生心态，吸引并打动他们，同时也很好地调动了学生学习的积极性．

参考文献

[1]顾明远,石中英.《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020)年》解读[M].北京:北京师范大学出版社,2010.

[2]张福宾.关于高中生对作业的态度和心理的调查研究[J].数学教育学报,2000(4).

[3]欧阳新龙,肖川.《义务教育数学课程标准(2011年版)》解读[M].武汉:湖北教育出版社,2012.

3.八年级数学检测题 篇三

1.下列计算不正确的是（ ）

A．-■+■=-2B.-■2=■

C.-3=3D.■=2■

2.下列图案是几种名车的标志，请指出在这几个图案中是轴对称图形的有（ ）

■

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.直线y＝kx＋b经过第一、二、三象限，那么（ ）

A．k>0，b>0B．k>0，b<0C．k<0，b>0D．k<0，b<0

4．如图1所示，AB=AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ）

A．∠B＝∠C

B. AD=AE

C．∠ADC＝∠AEB

D. DC=BE

5.把代数式mx2-6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是（ ）

A．m（x+3）2B．m（x+3）（x-3）

C．m（x-3）2D．m（x-4）2

6.已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列4个数中，第三条边的长是（ ）

A．8B．7C． 4D．3

7.如图2，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和■，若点A关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为（ ）

■

A．2■－1B．1＋■C．2＋■D．2■＋1

8.甲、乙两人准备在一段长为1 200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4 m/s和6 m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两地之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图像是（ ）

■

9．如图3，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（ ）

A.100°B.80°C.70°D.50°

10.目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水。据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升。小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（ ）

A．y=0.05xB．y=5xC．y=100xD．y=0.05x+100

二、填空题

11.按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是________。

■

12.先找规律，再填数：

■+■-1=■，■+■-■=■，■+■-■=■，■+■-■=■，

则■+■-________=■。

13．如图4，直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），关于x的不等式kx+b＞0的解集是__________。

14.将直线y=2x-4向上平移5个单位后，所得直线的表达式是_________。

15.如图5，在△ABC中，AD⊥BC于D。请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形。你添加的条件是_________。

■

16.如图6，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处。若∠CDE=48°，则∠APD等于________。

17. 如图7，C为线段AE上的动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ。以下五个结论：

①AD=BE； ②PQ∥AE； ③AP=BQ；

④DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°。

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）。

三、解答题

18.求值：-■-（2 011）0+4÷（-2）3。

19．先化简，再求值：

（2x+y）2+（x+3y）·（x-3y）-x（5x+8y），其中x=1.5 y=-■。

20.如图8，点A、E、B、D在同一条直线上，AE＝DB，AC＝DF，AC∥DF。

请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由。

■

21．如图9，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC。

（1）试判定△ODE的形状。并说明你的理由。

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程。

22．如图10是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出图中阴影部分的面积。

■

23.我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%，90%。

（1）若购买这两种树苗共用去21 000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？

（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？

（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买的树苗的费用最低？并求出最低费用。

24. 已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，

（1）如图11，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。

（2）若E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论。

一、选择题

1.A2.C3.A4.D5.C6.B7.A8.C9.A10.B

二、填空题

11.2612.■13．x＜314.y=2x+1

15.BD=CD（或∠BAD=∠CAD）16.48°17.①②③⑤

三、解答题

18.解：原式=■-1+4÷（-8）=■-1-■=0。

19．原式=-8y2-4xy=-4y（x+2y），将x=1.5，y=-■代入得：原式=0。

20.解：BC∥EF。理由如下：因为AE＝DB，所以AE＋BE＝DB＋BE，即AB＝DE。因为AC∥DF，所以∠A＝∠D。又因为AC＝DF，所以△ACB≌△DFE，则有∠FED＝∠CBA，所以BC∥EF。

21.（1）△ODE是等边三角形,其理由是：

因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°。

因为OD∥AB，OE∥AC，所以∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°。

所以△ODE是等边三角形。

（2）BD=DE=EC，其理由是：

因为OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，所以∠ABO=∠OBD=30°。

因为OD∥AB，所以∠BOD=∠ABO=30°。

所以∠OBD=∠BOD，所以DB=DO。

同理，EC=EO。

因为DE=DO=EO，所以BD=DE=EC。

22.解：整体考虑，图中的阴影面积正好等于两个大正方形的面积，即64个平方的单位。

图中的对称轴共有两条（如图12）。

■

23.解：（1）设购买甲种树苗x株，乙种树苗y株，则列方程组

x+y=800，24x+30y=21 000。

解得：x=500，y=300。

答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株。

（2）设购买甲种树苗z株，乙种树苗（800－z）株，

则有85%z＋90%（800－z）≥88%×800。

解得：z≤320。

（3）设甲种树苗m株，购买树苗的费用为W元，

则W＝24m＋30（800－m）＝－6m＋24 000

因为－6＜0，

所以W随m的增大而减小。

因为0＜m≤320，

所以当m＝320时，W有最小值。

W最小值＝24 000－6×320＝22 080元。

答：当选购甲种树苗320株，乙种树苗480株时，总费用最低为22 080元。

24.证明：（1）如图13，连接AD，

因为AB=AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，

所以AD⊥BC，BD＝AD，

所以∠B＝∠DAC＝45°。

又BE＝AF，所以△BDE≌△ADF。

所以ED＝FD，∠BDE＝∠ADF。

所以∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°。

即△DEF为等腰直角三角形。

（2）若E、F分别是AB、CA延长线上的点，如图14所示，连接AD。

因为AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，

所以AD＝BD，AD⊥BC，∠DAC＝∠ABD＝45°。

则有∠DAF＝∠DBE＝135°，又AF＝BE，

所以△DAF≌△DBE。所以FD＝ED，∠FDA＝∠EDB。

所以∠EDF＝∠EDB＋∠FDB

＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°。

即△DEF仍为等腰直角三角形。

4.八年级数学平行四边形教案 篇四

《平行四边形》单元测试

一．选择题（每题3分，共30分）

1．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（）

A．100°

B．160°

C．80°

D．60°

2．中，已知，则等于（）

A．140°

B．40°

C．80°

D．50°

3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（1，2），则菱形OABC的面积是（）

A．

B．

C．2+1

D．2﹣1

4．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为点E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为（）

A．3对

B．4对

C．5对

D．6对

5．如图，在矩形中，，则（）

A．6

B．

C．5

D．

6．已知菱形的两条对角线长分别为和8cm和10cm,则菱形的面积为（）

A．

B．40

C．

D．

7．如图，在中，，垂足为点，点是的中点，若，则的长为（）

A．10

B．12

C．13

D．11

8．如图，已知矩形ABCD中，DE＝AD，则S矩形ABCD＝（）S△EBC．

A．2

B．3

C．4

D．5

9．根据下列条件，能作出平行四边形的是（）

A．两组对边长分别是3cm和7cm

B．相邻两边的边长分别是2cm和4cm，一条对角线长是7cm

C．一条对角线长为6cm，另一条对角线长为10cm，一条边长为8cm

D．一条边长为7cm，两条对角线长为6cm和8cm

10．矩形ABCD中，E在AD上，AE＝ED，F在BC上，若EF把矩形ABCD的面积分为1：2，则BF：FC＝（）（BF＜FC）

A．1：3

B．1：4

C．1：5

D．2：9

二．填空题（每题4分，共20分）

11.如图，在平行四边形中，，于，则

．

12.菱形中，、分别是、的中点，且，那么等于

．

13.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于________．

14.如图，正方形中，是对角线的交点，过点作，分别交于，若，则

15.如图，l1∥l2，菱形ABCD的顶点A、B分别在直线l1、l2上，直线l1过CD的中点E，AB⊥l2，AB＝4，则AE＝

．

三．解答题（每题10分，共50分）

16．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．

（1）求证：①△ABG≌△AFG；

②BG＝GC；

（2）求△FGC的面积．

17．如图所示，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上的一点且AF＝AD，求证：

①CE平分∠BCF；

②判断△CEF的形状；

③CF＝AF+AB．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．

（1）求证：△ADC≌△ECD；

（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．

19．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．

（1）求证：OE＝OF；

（2）求证：四边形AFCE是菱形．

20．如图，E、F是平行四边形的对角线所在直线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形．

21．已知：正方形的对角线交于点，是线段上的一动点，过点作交，交于．

（1）若动点在线段上（不含端点），如图（1），求证：；

（2）若动点在线段的延长线上，如图（2），试判断的形状，并说明理由．

22．如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tanB＝2．

（1）求证：AD＝AE；

（2）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF，求证：；

（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF垂直直线DP，垂足为点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．

23．在平行四边形ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．

（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）如图2，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，若AG＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与CF相等的线段．

参考答案

一．选择题

1．D

2．B

3．B

4．A．

5．A．

6．B．

7．A．

8．A．

9．A．10．C

二．填空题（共5小题）

11.【答案】

【解析】∵四边形是平行四边形

∴

又∵

∴，∴

又∵，∴

∴．

12..【答案】

13.【答案】　【解析】设BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四边形PQMN为正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的边长为a，正方形AEFG的对角线AF＝BD＝a，∵正方形对角线互相垂直，∴S正方形AEFG＝×a×a＝a2，∴＝＝.14.【答案】

15.2．

三．解答题（共5小题）

16．解：（1）证明：①在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝∠C＝90°，又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G

∴∠AFG＝∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，即有∠B＝∠AFG＝90°，AB＝AF，AG＝AG，在直角△ABG和直角△AFG中，∴△ABG≌△AFG；

②∵AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，∴DE＝FE＝2，CE＝4，不妨设BG＝FG＝x，（x＞0），则CG＝6﹣x，EG＝2+x，在Rt△CEG中，（2+x）2＝42+（6﹣x）2

解得x＝3，于是BG＝GC＝3，（2）∵＝，∴＝，∴S△FGC＝S△EGC＝××4×3＝．

17．①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E是AB的中点，AF＝AD，∴AE＝BE＝2AF，AB＝BC＝CD＝AD＝4AF，设AF＝a，则FD＝3a，DC＝BC＝4a，AE＝EB＝2a，由勾股定理得：EF＝＝a，CE＝＝2a，CF＝＝5a，∵，，∴，∴△CEF∽△CBE，∴∠ECF＝∠BCE，∴CE平分∠BCF；

②解：△CEF是直角三角形；理由如下：

∵EF2+CE2＝25a2，CF2＝25a2，∴EF2+CE2＝CF2，∴△CEF是直角三角形；

③证明：作EM⊥CF于M，如图所示：

则BE＝ME，∠EMC＝90°，在Rt△BCE和Rt△MCE中，∴Rt△BCE≌Rt△MCE（HL），∴BC＝MC，同理：Rt△AEF≌△MEF，∴AF＝FM，∵CF＝FM+MC，∴CF＝AF+AB．

18．证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；

∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；

又∵AB＝AC（已知），∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；

∵在△ADC和△ECD中，∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），∴AE∥CD；

又∵BD＝CD，∴AE＝CD（等量代换），∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC＝90°，∴▱ADCE是矩形．

19．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，∴∠EAO＝∠FCO，∵AC的中点是O，∴OA＝OC，在和中，，∴OE＝OF；

（2）∵OE＝OF，AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．

20证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形．

21．（1）证明：∵四边形为正方形，∴，∴∠OBE+∠OEG＝90°，∵于点，∴，∴∠OAF+∠OEG＝90°，∴，在和中，∴，∴；

（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：

∵四边形为正方形，∴，∴∠OBE+∠OEG＝90°，∵于点，∴，∴∠OAF+∠OEG＝90°，∴，在和中，∴

∴；

又∵，∴是等腰直角三角形．

22．（1）证明：∵tanB＝2，∴AE＝2BE；

∵E是BC中点，∴BC＝2BE，即AE＝BC；

又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD＝BC＝AE；

（2）证明：作AG⊥AF，交DP于G；（如图2）

∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DPC；

∵∠AEP＝∠EFP＝90°，∴∠PEF+∠EPF＝∠PEF+∠AEF＝90°，即∠ADG＝∠AEF＝∠FPE；

又∵AE＝AD，∠FAE＝∠GAD＝90°﹣∠EAG，∴△AFE≌△AGD，∴AF＝AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF＝DG；

∴FG＝AF，且DF＝DG+GF＝EF+FG，故DF﹣EF＝AF；

（3）解：如图3，①当EP在线段BC上时，有DF+EF＝AF

②当EP≤2BC时，DF﹣EF＝AF，解法同（2）．

③当EP＞2BC时，EF﹣DF＝AF．

23．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF＝AD，EC＝BC，∴AF＝EC．AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．

（2）与CF相等的线段有：AF，DF，AE，BE．EC．

理由：如图2中，连接AC．

5.八年级数学平行四边形教案 篇五

在本节课的教学中，我按照课本上的思路，在实际过程中，学生作图、观察这个环节比较顺利，多数学生能得出对边相等，对角相等这两个结论，在进一步追问下，学生可以理解用全等知识来证明这两个结论的正确性。板书证明过程这个环节是由教师完成的，因为这个时候学生需要的是规范的证明格式与思路，我的重点放在引导学生将证明思维转化成具体的证明书写，课本上用箭头表示的思路过程非常清晰，但与中考的证明格式要求不同，所以在这个步骤上，花费时间较多。

在教师和学生共同完成定理证明后，再引导学生观察这两个全等三角形之间的旋转变换关系，加深对前一章旋转变换的理解。课后的习题讲解时，我采取先让学生说，再书写过程的方式，虽然费时较多，但个人认为对几何证题思路还是有帮助的，从中也发现了不少学生容易出错的地方，部分学生在说思路的时候跳跃性太大，写作证明过程的时候有掉条件的情况，比如证全等的条件，题目并未直接给出条件，有学生未经证明就用来证明全等。整节课书写证明过程花费的时间较长，课后习题未能处理完，留给学生课后完成。

其实无论采取哪种方式进行本节课的教学，最关键的是让学生理解平行四边形的性质，并会利用性质进行简单的应用，这里需要对学生进行严格的证明书写训练，从几何整体教学来看，公理化体系有助于学生理解后继的特殊平行四边形的性质、判定定理。

6.八年级数学：平行线的判定 篇六

一、素质教育目标

(一)、知识教学点

1、了解：推理、证明的格式

2、理解：平行线判定公理的形成，第一个判定定理的证法

3、掌握：平行线判定公理和第一个判定定理

4、应用：会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理证

(二)、能力训练点

1、通过模型演示，即“运动——变化”的教学思想方法的运用，培养学生的“观察——

分析”和“归纳——总结”的能力。

2、通过判定公理的得出，培养学生善于从实践中总结规律，认识事物的能力。

3、通过判定定理的推导，培养学生的逻辑推理能力。

(三)、德育渗透点

通过“转化”及“运动——变化”的数学思想方法的运用，让学生认识事物之间是普遍联系相互转化的辩证唯物主义思想。

二、教学重点与难点

重点：在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导

难点：判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式

三、教学方法

启发示引导发现法

四、教具

多媒体计算机、实物投影仪

五、教学步骤

(一)创设情境，复习引入

利用上节课所学的平行线的定义及垂直的定义，让学生对下列语句做出判断，并说明道理：

1、两条直线不相交，就叫做平行线；（错）

2、如果测得两条直线相交，所成角中的一个角是直角，能判定这两条直线垂直吗？根据什么？（能，根据垂直的定义）

接着让学生思考：垂直的定义可以作为判断两条相交直线是否垂直的方法，那么平行线的定义能否作为判断两条直线是否平行的方法呢？如果能的话，我们用平行线的定义来判断两条直线平行要满足什么条件？（①、在同一个平面内；②、不相交）

给出下面两种两条直线的位置情况，引导学生观察发现，当我们不能用定义来判断两条直线平行时，就要寻找另外一些判定两直线平行的方法。由此引出课题：平行线的判定。

下面我们将以两条直线被第三条直线所截的图形为基础研究判定两直线平行的方法。

(二)探索新知，讲授新课

1、平行线判定公理

（1）动画演示：给出像课本第79页图2-22的两条直线被第三条直线所截的模型，转动直线b，让学生观察，当直线b转动到不同的位置时，从1的大小变化说出这两条直线的位置关系。

在这个过程中，存在着一个平行的位置关系，那么1多大时，这两条线平行呢？也就是说我们若判定两条直线平行，需要寻找角的关系。

（2）进行观察比较，得出初步结论

进一步启发学生，能否由平行线的画法找到判断两直线平行的条件，并让学生回忆平行线的画法，而后用计算机演示作图的过程：（过已知直线a外一点p画a的平行线b）

由刚才的动画演示发现：画平行线仍借助了第三条直线，但是要用与a、b都相交的第三线，根据“三线八角”的名称，在画平行线的过程中，实际上是保证了同位的两个角都是450，从而得出“平行线的判定公理”：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。可以简单说成：同位角相等，两直线平行。

（3）及时巩固，及时反馈。

用变式图形，让学生完成如下两个练习题：

练习1：如图，∠1=150°，∠2=150°，a//b吗？

练习2：如图，∠C=31°，当∠ABE=度时，就能使BE//CD？

2、平行线判定定理

（1）首先以简单的实例表明需要，引出新问题（“内错角相等，两直线平行”的判定）：

如图1，如何判断这块玻璃板的上、下两边平行？添加出截线后（图2），比照判定公理图，发现无法定出∠1的同位角，再结合图3，让学生思考、试答。直至发现内错角相等的条件后，让学生说明道理，而后师生共同修改。

然后，用计算机显示出完整的“推理”过程，并作详细的解释，（如图3）如果13，那么a//b吗？

13已知

12等量代换23对顶角相等

a//b同位角相等,两直线平行

得到平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。可以简单说成：内错角相等，两直线平行。

（三）知识的应用

练习：课本第80页的1、2、3题

补充习题：

1、错例分析：

已知已知：如图12

AB//CD内错角相等,两直线平行

2、如图，说出下列各对角是哪两条直线被哪一条直线截得的什么角？并指出这些角具有怎样的数量关系时，可以判定哪两条直线平行。

(1)A和ACG

(2)ACF和CED

(3)AED和ACB3、如图，已知AEMDGN，12，试问EF是否平行GH，并说明理由。

（四）归纳总结

1、概括判定两条直线平行方法：，两直线平等判定公理：同位角相等，两直线平等判定定理：内错角相等

2、结合判定定理的证明过程熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式。

六、布置作业

7.八年级数学平行四边形教案 篇七

1. 熟练掌握课本上的概念、定理、性质、判定、推论等,在开始做题前,做到对课本上知识心中有数.

2. 认真读题,审题,弄清题目给出的已知条件和问题;

3. 把题目涉及到的性质、判定,已知的直接条件,隐含条件,全部标注在图上,可以选择不同颜色线或符号来标注;

4. 逆向推理出题目结论需要些什么样的条件,一环扣一环的打开题目的面纱,最后直指已知条件.

三角形的角( 多边形的角)

1. 知识点

1三角形的内角和等于180°.

2三角形的外角和等于360°.

3多边形( n边) 的内角和为( n - 2) 180°.

4多边形( n边) 的外角和为360°.

5三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

6三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

7正多边形每个内角都相等

8直角三角形的两个锐角互余.

2. 例题讲解与方法归纳

例1如图. 已知∠BDC = 142°,∠B =34°,∠C = 28°,求∠A的度数.

分析: 要求∠A的度数,我们可以利用四边形的内角和为360°来进行求解,已知∠B、∠C与∠BDC,但是要弄清楚∠BDC不是四边形ABCD的内角,它是一个凹四边形,我们首先得找到四个内角,如图分别是∠A、∠B、∠C与∠1

解: ∵∠BDC = 142°∠B = 34°∠C = 28°

又∵∠1 + ∠BDC = 360°

∴∠1 = 360° - ∠BDC = 360° - 142° = 218°

在四边ABCD中有∠A + ∠B + ∠C + ∠1 = 360°

∴∠A = 360° - ∠B - ∠C - ∠1 = 360° - 34° - 28° - 218° = 80°

方法归纳: 充分利用多边形的内角和定理( n - 2) 180°,多边形的任一个内角与它相邻的外角互补.

巩固与提高:

( 1) 如右图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的四个外角,若∠A = 120°,则∠1 + ∠2 +∠3 + ∠4 =____.

( 2) 如右图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1 + ∠2 =_______.

( 3) 三角形的三个内角之比为1∶3∶5,那么这个三角形的最大内角为_______.

( 4) 在△ABC中,∠C = 60°,∠A - ∠B = 20°,则∠B =____ .

例2如图,求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数 .

分析: 初看此图,很多同学要把它想成一个多边形,然后就想用多边形内角和来求解,这样本题就走了歪路. 此题刚开始接触时,对我们大多数同学来说是陌生的,而我们要把陌生的问题转化成熟悉的问题来解决,把这个五角星的五个角转化到一个三角形中,利用三角形性质求解:

解: 如图在以B为顶点的三角形中标出∠1与∠2,可知∠1是以C、E为顶点的三角形的一个外角,∠2是以A、D为顶点的三角形的一个外角,根据三角形一外角等于以它不相邻的两个内角之和,有:

∠1 = ∠C + ∠E ∠2 = ∠A + ∠D

∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = ∠B + ∠1 + ∠2 = 180°

方法归纳: 把陌生的问题转化成熟悉的问题来解决,把这个五角星的五个角转化到一个三角形中,利用三角形性质求解.

巩固与提高:

( 1) 如图,求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数.

( 2) 如图求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数.

例3若一个正多边形的内角和与一个外角的和为1300°,则这个多边形的边数是多少? 这个外角的度数是多少?

分析: 内角和不知,外角不知,有两个未知数,只有一个等量关系,显然要直接求出来,有难度.

思路: 这个外角有一个取值范围,大于0°,小于180°,可以此作为突破口.

解: 设此多边形为n边形,设角度数为X°

则有0° < X° < 180°

∴ ( n - 2) 180° + X = 1300°

即( n - 2) 180° = 1300° - X

而1300÷180° = 7……40°

∴ n - 2 = 7 X = 40°

∴ n = 9 X = 40°

方法归纳: 多边形( n边) 的内角和为( n - 2) 180°. 多边形( n边) 的外角和为360°.

正多边形每个内角都相等

巩固与提高:

( 1) 一个九边形所有内角的度数都相等,则每个内角的度数是_____.

( 2) 一个多边形的内角和与外角和之比为9∶2,求此多边形的边数.

例4AF,AD分别是△ABC的高和角平分线,且∠C > ∠B,求∠DAF与∠C、∠B的关系?

证明∵∠CAB = 1800 - ∠B - ∠ACB

又∵AF,AD分别是△ABC的高和角平分线,

∴∠CAD =1/2∠CAB = 900 -1/2∠B -1/2∠C

在直角三角形CAF中

∠CAF = 900 - ∠C

方法归纳: AF,AD分别是△ABC的高和角平分线,△ABC同一边上的高和角平分线的夹角∠DAF =1/2( ∠C - ∠B) ,( ∠C > ∠B) .

巩固与提高:

如图,AF,AD分别是△ABC的高和角平分线,且∠B = 44°,∠ACB = 68°,求∠DAF的度数.

例5如图,已知AB∥CD,∠C = 125°,∠A = 45°,那么∠E的大小为____.

解: 如图∵AB∥CD,∠C = 125°,∠A = 45°

∴∠1 = ∠C = 125°

∠1 = ∠A + ∠E

∴∠E = 125° - 45° = 80°

方法归纳: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

巩固与提高:

( 1) 如图,在△ABC中,∠A = 80°,点D是BC延长线上一点,∠ACD = 150°,则∠B =_______.

( 2) 如图,用“> ”连接∠1,∠2,∠3,∠4为______.

( 3) 如图7,D,E分别在BC,AC上,AD,BE交于F,试说明:

∠AFB = ∠CAD + ∠C + ∠EBC

二、三角形的边

1、知识点:

1三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;

2三角形三条高交于一点( 这一点可在内部、外面、顶点上) ;

3三角形三条中线交于三角形内一点;

4三角形三条角平分线交于三角形内一点.

2、例题讲解

例1如图AD是△ABC中线,AB = 4,AC = 6.

求AD的取值范围.

分析: 已知AB = 4,AC = 6,求AD,三边不在同一个三角形中,无法应用两边之和大于第三边性质.

思路: 把三边归到一个三角形中.

解: 如图延长AD到E,使DA = DE

又∵AD是中线,∴BD = CD

在△ABD与△ECD中.

∴ AB = EC

在△ACE中,AC = 6,AE = 2AD,EC = AB = 4

6 - 4 < AE < 6 + 4

AD =1/2AE

∴ 1 < AD < 5

例2若△ABC的三边长分别为a,b,c,则| a - b - c | - | b + a - c |=____ .

分析: 要化简这个式子,就要打开绝对值,而打开绝对值,就要知道绝对值里面的式子是正还是负,然后,打开、合并就行了.

解∵三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

∴ a - b - c < 0 b + a - c > 0

∴ | a - b - c | - | b + a - c | = - ( a - b - c) - ( b + a - c)= - a + b + c - b - a + c= 2c - 2a

例3若等腰三角形的两边分别为5和10,则它的周长为_____.

分析: 两边分别为5和10,因为是等腰,第三边可能是5. 也可能是10.

解: 1当5为腰时,底为10,三边分别为5、5、10

5 + 5 = 10,不满足两边之和大于第三边,因此这种情况构不成三角形,不成立.

2当10为腰时,底为5,则三边分别是10、10、5成立

∴周长为10 + 10 + 5 = 25.

方法归纳: 三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;

巩固与提高:

1. 下列长度的各级线段中,能组成三角形的是( )

A. 1,2,4 B. 4,5,6

C. 6,2,3 D. 6,8,15

2. 最大角小于90°的三角形是____三角形.

3. 若等腰三角形的两边长分别为2,4则它的周长为 ____.

4. 若一个三角形的两边长分别是2和5,第三边长X为奇数,则X的值为_____ .

5. 一个等腰三角形的周长是36cm,

( 1) 已知腰长是底边长的2倍,求各边长.

( 2) 已知其中一边长为8cm,求其他两边长.

6. 已知a、b、c为三角形三边,化简

| a + b - c | - | a - b + c | - | b - a - c |

7. △ABC为一等腰三角形,D是AC中点,BD把△ABC的周长分12和15两部分,求三角形各边长.

数学八年级( 上) ( 人教版) 练习题参考答案( 一)

一、三角形的角( 多边形的角)

例 1 ( 1) 300° ( 2) 270° ( 3) 100° ( 4) 70°

例2 ( 1) 解: 如图连接AC

∠1 = ∠D + ∠E = ∠2 + ∠3

∠2 + ∠A + ∠B + ∠3 + ∠C = 1800

∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 1800

( 2) 解如图∠1 = ∠A + ∠B

∠2 = ∠C + ∠D

∠3 = ∠E + ∠F

∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = ∠1 + ∠2 + ∠3 = 3600

例3 ( 1) 解: 设这个内角为X,则有

( 2) 解: 设此多边形边数为n,则有

( n - 2) ·180°∶ 360° = 9∶ 2

( n - 2) ∶ 2 = 9∶ 2

∴ n - 2 = 9 n = 11

例 4 ∠DAF =1/2( ∠C - ∠B) = 12°

二、三角形的边

1、B; 2、锐角三角形; 3、10; 4、5; 5、( 1) 7. 2 ( 2 ) 8 14 14; 6、- a + 3b- 3c

7、解分两种情况讨论:

1当上半部分为12时,下半部门为15

设 AD = X,则 AB = 2X

则有3X = 12,X = 4

BC + CD = 15 BC + X = 15 BC = 11

三边分别是8、8、11成立.

2当上半部门为15时,下半部分为12

设 AD = X,CD = X,AB = 2X

则有3X = 15,X = 5

BC + CD = 12,BC + 5 = 12 BC = 7

则三边分别为10、10、7成立.

( 二)

三角形全等证明及角平分线性质应用方法归纳

一、全等三角形证明:

1. 知识点

1“边边边”“SSS”; 2“边角边”“SAS”;

3“角边角”“ASA”; 4“角角边”“AAS”;

5“斜边直角边”“HL”.

填出下面的判定

( 2) 已知一边一角

例1如图,点E,F在AC上,AB∥CD,AB = CD,AE = CF,

求证: △ABF≌△CDE.

证明分析: 直接条件AB = CD

间接条件AE = CF,可得AE + EF = CF + EF

即 AF = CE

AB∥CD可得∠A = ∠C

在△ABF和△CDE中

AB = CD,∠A = ∠C,AF = CE,

△ABF≌△CDE( SAS) .

例2如图,为修公路,需测量出被大石头阻挡的∠A的大小,为此,小张师傅在直线AC上取点D,使CD = AC,在BC的延长线上取点E,使CE = BC,连接DE,则只要测出∠D的度数,就知∠A的度数,请说明理由.

[分析]只要构造出△ABC≌△DEC即可,由题意可知所给条件满足全等三角形的判定条件“SAS”,

证明: 由题意知AD,BE交于点C,所以

∠ACB = ∠DCE( 对顶角相等)

∴△ABC≌DEC( SAS) ∴∠A = ∠D

因此,只要测出∠D的度数,就知道∠A的度数了.

例3已知: 如图,AB = AE,∠1 = ∠2,∠B = ∠E,求证: BC = ED.

证明分析,要证BC = ED

只需要证△ABC≌AED

直接条件有AB = AE,∠B = ∠E

间接条件∠1 = ∠2,可得∠1 + ∠BAD = ∠2 + ∠BAD

∴∠EAD = ∠BAC

∴在△AED与△ABC中

∴△AED≌△ABC( ASA)

BC = ED

例4如图,在△ABC中,∠C = 900,点D是AB边上的一点,DM⊥AB且DM =AC,过点M作ME∥BC可得∠B = ∠MED

证明在△ABC与△MED中

∠MDE = ∠ACB,∠B = ∠MED

DM = AC,∴∠ABC = ∠MED( AAS)

3、巩固练习

1、如图,AB = AE,∠ABC = ∠AED,BC = ED,点F是CD的中点. 求证: AF⊥CD.

2、如图,点B,C,D,F在同一条直线上,已知AB = EC,AD = EF,BC = DF,探索AB与EC的位置关系,并说明理由.

3、如图,点E,F在BC上,AE⊥BC,DF⊥BC,AC = DB,BE = CF,求证: AC∥DB.

4、如图,在△ABC中,AB = CB,∠ABC = 900,F为AB延长线上一点,点E在BC上,AE = CF.

( 1) 求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;

( 2) 若∠CAE = 300,求∠ACF的度数.

5、如图,AB = AC,∠BAD = ∠CAE,AD = AE,求证: △ABE≌△ACD

6、如图,已知AB = AD,BC = DC,求证: OB = OD

二、应用三角形特殊性质证明类题型的方法与技巧

1. 知识点

1角平分线性质,角平分线上的点到角两边距离相等

2角平分线的判定,在角的内部到角两边距离相等垢点在角平分线上

3垂直平分线性质,垂直平分线上的点到线段两端距离相等

4等腰三角形性质: 等边对等角,底边上三线合一

5直角三角形性质: 30 度角所对直角边等于斜边一半,斜边上的中线等于斜边的一半.

2. 例题讲解与方法疏理

角平分线类的题型可以按事下步骤进行

1、作出角平分线的点到角两边的距离

2、根据角平分线的性质可知,所作两条线段相等还有一个直角相等,还有一条公共边可以利用HL判断两个三角形全等

例1如图四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠A + ∠C = 180°求证:AD = CD

分析: 要证AD = CD,通常是利用三角形全等或者角平分线性质,垂直平分线的性质来完成,显然; 图中两个现成的三角形不全等,而已知条件告诉我们BD平分∠ABC,那么我们就可以充分利用角平分线性质,先作出角平分线到角两边的垂线,过D点作BA、BC垂线分别定于E. F两点.

证明: 如图过D作BA、BC垂线定于E、F两点

∵BD平分∠ABC DE⊥BA DF⊥BC

∴ DE = DF ∠DEA = ∠DFC = 90°

又∵∠A + ∠C = 180°即∠BAD + ∠C = 180°

又∵∠BAD + ∠DAE = 180°

∴∠C = ∠DAE

在△DFC与△DEA中

∴ AD = CD

例2如图在△ABC中,∠ABC的平分线与∠BAC的补角的平分线交于点D,求证: CD平分∠CAN

分析: 已知条件BD平分∠ABC,就充分与利用角平分线的性质,过D作BM、BD垂线,证全等而题目求证CD平分∠CAN,就要利用角平分线的判定,也需要过D点作CA与CN的垂线才能利用判定.

证明: 过D作DE⊥BM DF⊥BN DG⊥AC

∵BD平分∠BAC DE⊥BM DF⊥BN

∴ DE = DF

又∵AD平分∠MAC DE⊥AM DG⊥AC

∴ DG = DE = DF

又∵DG⊥AC DF⊥CN点D在∠CAN内部

∴CD平分∠CAN

例3已知,如图: 四边形ABCD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上

求证: BC = AB + CD

分析: 要求证: BC = AB + CD,简单的证明三角形全等无法达到题目的要求,而应用角平分线的性质也不能解决问题,因为这类题型对于大多数同学来说,就比较复杂了,要求比较高,多数人找不到从何“下手”,因为现有的认知,不能满足问题的需要,问题比较陌生; 这就需要我们把问题进行转化,把它化成我们熟悉的已知的类型,可以作以下转化:

1、把BC边截短,在BC上找一点G使BE = BA那么问题就能化成只需要证明GC = CD,问题就解决了.

证明: 方法一: 如图,在BC上取一点F,使BF = BA,连接EF.

∵EC,EB分别平分∠BCD和∠ABC

∴∠1 = ∠2∠3 = ∠4

在△ABE和△FBE中

∴∠A = ∠5,∵AB∥CD,∴∠A + ∠D = 180°

而∠5 + ∠6 = 180°,∠6 = ∠D

在△FEC和△DEC中

∴ FC = CD,∴ BC = BF + CF = AB + CD

2、把短边AB或CD补长,如图延长BA到F,使AF = CD问题就转化成求证: BC = BF.

方法二: 如图,延长BA、CE交于点F

∵EC,EB分别平分∠BCD和∠ABC

∴∠1 = ∠2∠3 = ∠4

∠2 = 1 /2∠ABC,∠3 = 1 /2∠BCD

又∵AB∥CD,∴∠ABC + ∠BCD = 1800

∴∠2 + ∠3 = 1 /2( ∠ABC + ∠BCD) = 900∠BEC = 900

在△BEC与△BEF中

∠BEC = ∠BEF = 90°

∴△BEC≌△BEF( ASA) ,

∴ BC = BF,EC = EF

∵AB∥CD,∴∠EAF = ∠D,∠F = ∠4

在△EAF和△EDC中

∴ CD = AF,∴ BC = BF = BA + AF = AB + CD.

3、巩固练习

1、如图,在△ABC中,BD = DC,ED⊥DF,求证: BE + CF > EF

2、如图,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB于点F,EG⊥AC的延长线于G,则BF = CG,为什么?

3、如图,在△ABC中,∠B = 90°,AD为∠BAC的平分线,DF⊥AC于点F,DE = DC,那么BE与CF相等吗? 请说明理由:

4、. 如图,已知AB = AC,BD = DC,DE⊥AB且交AB的延长线于点E,DF⊥AC且交AC的延长线于点F,求证: DE = DF

数学八年级( 上) ( 人教版) 巩固练习参考答案( 二)

一、全等三角形证明

1、证明: 如图,连接 AC,AD

∴在△ACF和∠ADF中,

∴△ACF≌△ADF( SSS) ,∴∠AFD = ∠AFC

又∵∠AFD + ∠AFC = 1800,∴∠AFD = ∠AFC = 900,∠AF⊥CD,

2、解: AB与EC的位置是AB∥EC

理由如下: ∵BC = DF,∴BD = CF

∴△ABD≌△ECF( SSS) ,∴∠B = ∠ECF,,∴AB∥EC

3、∵ BE = CF,∴ BE + EF = CF + EF,即 BF = CE

∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠AEC = ∠DFB = 900

在 Rt△AEC 和 Rt△DFB 中

∴∠ACE = ∠DBF,∴AC∥DB

4、( 1) 证明: ∠ABC = 900,∴∠CBF = ∠ABE = 900,

在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中,∵ AF = CF,AB = BC,

∴ Rt△ABE≌Rt△CBF( HL) .

( 2) 解: ∵AB = BC,∠ABC = 900,∴∠CAB = ∠ACB = 450

∴∠BAE = ∠CAB - ∠CAE = 450 - 300 = 150,

由( 1) 知Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF = ∠BAE = 150

∴∠ACF = ∠BCF + ∠ACB = 150 + 450 = 600

5、证明: ∵∠BAD = ∠CAE,∴∠BAD + ∠DAE = ∠CAE + ∠DAE

∴∠BAE = ∠CAD,在△ABE和△ACD中,

∴△ABE≌△ACD( SAS)

6、

∴△ABC≌△ADC( SSS) ,∴∠BCO = ∠DCO

∴△BCO≌△DCO( SAS) ,∴OB = OD

1证明: 延长FD到C,使DG = DF,连接BC,EG

∴△BDG≌△CDF( SAS)

∴ BG = CF

∵ ED⊥DF,

∴∠EDG = ∠EDF = 90°

∴△EDG≌∠EDF( SAS) ,∴EG = EF

在△EBG中,BE + BG > EG,∴BE + CF > EF

2、解: 连接BE和CE

∵ EF⊥AB,EG⊥AC,

∴∠BFE = ∠G = 90°

∴△BED≌△CED( SAS) ,∴BE = CE

∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,∴EF = EG,

∴ Rt△EBF≌Rt△ECG( HL) ,∴ BF = CG,

3、解: BE = CF,理由:

∵AD为∠BAC的平分线,

∵DF⊥AC,∴∠AFD = ∠B = 90°.

∴ BD = DF,

∴ Rt△EBD≌Rt△CFD( HL) ,∴ BE = CF

∴△ACD≌△ABD ( SSS )

∴∠CAD = ∠BAD

又∵DE⊥AB,DF⊥AC,

8.八年级数学期末检测题 篇八

1.在代数式-、、x+y、、中,分式有 ()。

A. 2个B.3个 C.4个D.5个

2.反比例函数图像经过点P(2,3),则下列各点中,在该函数图像上的是()。

A.-,3 B.9, C.6,-1 D.-9,

3.成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000 007 245 m,保留三个有效数字的近似数,可以用科学记数法表示为()。

A.7.25×10-5 m B.7.25×106 m C.7.25×10-6 mD.7.24×10-6 m

4.已知:如图1,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6 cm,则OE的长为()。

A.6 cmB.4 cm

C.3 cm D.2 cm

5.已知样本数据为5、6、7、8、9,则它的方差为()。

A.10B.C.2D.

6.将一张平行四边形的纸片折一次,使得折痕平分这个平行四边形的面积。则这样的折纸方法共有 ()。

A.1种 B.2种C.4种D.无数种

7.在下列说法中,正确的个数有 ()。

①已知直角三角形的面积为2,两直角边的比为1:2,则斜边长为;

②直角三角形的最大边长为,最短边长为1,则另一边长为;

③在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:5:6,则△ABC为直角三角形;

④等腰三角形面积为12,底边上的高为4,则腰长为5。

A.1个 B.2个 C.3个D.4个

8.在同一坐标系中,一次函数y=kx-k和反比例函数y=的图像大致位置可能是下图中的()。

9.如图2,已知动点P在函数y=x>0的图像上运动,PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB:y=-x+1交于点E、F,则AF•BE的值为 ()。

A.4 B.2 C.1D.

10.在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上高AD=12,则BC的长为()。

A.25B.7 C. 25或7D.不能确定

二、填空题

11.若分式的值为零,则x的值是。

12.已知y与x-3成正比例,当x=4时,y=-1;那么当x=-4时,y=。

13.已知样本x、 99、100、101、y的平均数为100,方差是2,则x=,y=。

14.将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线。

15.如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=33°,DE是线段AB的垂直平分线,交AB于D,交AC于E,则∠EBC= 。

16.如图4,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的 。

三、解答与证明题

17.解方程:+=2。

18.(1)如图5,在△ABC中, P是△ABC内任意一点,∠BPC与∠A有怎样的大小关系?证明你的结论。

(2)①如图6,△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O,∠A=40°,求∠BOC的度数。②已知∠A=n°,求∠BOC的度数。

19.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内的气压P(kpa)与气体体积V(m3)成反比例函数,其图像如图7所示,当气球内的气压大于140 kpa时,气球将会爆炸,为了安全起见,请你求出气体体积的范围。

20.某公司在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书。每施工一天,需付甲工程队工程款1.5万元,付乙工程队工程款1.1万元,工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,形成下列三种施工方案:①甲队单独完成此项工程刚好如期完工;②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天;③若甲、乙两队合作4天,剩下的工程由乙队单独做也正好如期完工;如果工程不能按预定时间完工,公司每天将损失3 000元,你觉得哪一种施工方案最节省工程款,并说明理由。

21.某公司从某大学应届毕业生中招聘公司职员,对应聘者的专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项进行测试或成果认定,三项的得分满分均为100分,三项的分数分别按5∶3∶2的比例记入每人的最后总分,有4位应聘者的得分如下表所示。

(1)写出4位应聘者的总分;

(2)就表中专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项的得分,分别求出三项中4人所得分数的方差;

(3)由(1)和(2),你对应聘者有何建议?

22.如图8,把长方形ABCD沿BD对折,使C点落在C′的位置时,BC′与AD交于E,若AB=6 cm,BC=8 cm,求重叠部分 △BED的面积。

23.如图9,已知反比例函数y=的图像与一次函数y=k2x+b的图像交于A、B两点, A(2,n)、B(-1,-2) 。

9.沪教版八年级数学四边形知识点 篇九

1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分。

3.平行四边形的判定:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

6.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

7.矩形的性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。AC=BD

8.矩形判定定理:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;有三个角是直角的四边形是矩形。

9.菱形的定义：邻边相等的平行四边形。

10.菱形的性质：菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

11.菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四条边相等的四边形是菱形。

S菱形=1/2×ab(a、b为两条对角线)

12.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

13.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。

14.正方形判定定理：1.邻边相等的矩形是正方形。2.有一个角是直角的菱形是正方形。

15.梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

16.直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形

17.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。

18.等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等。

19.等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

初中数学多项式概念知识点

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数的项的次数，叫做这个多项式的次数。

快速提高数学成绩的方法

1掌握正确做题方法

数学学习离不开做题，对于大多数学生来说很难做到举一反三，既然做不到我们就需要用用大量的题来弥补，但是做题也不能盲目的去做。第一，做题要由易到难，第二，做题要先专题后限时模考，第三，做题要学会整理错题，第四，做题要学会分析试题，第五，做题要会猜题。

2巩固基础知识

掌握初中数学知识点是由浅入深的，只有在掌握了基础知识的前提下，识记理解公式、定理，运用公式、定理分析解决问题，才能对数学问题进一步深化与提高。

3发现规律

在做题的过程中要多发现规律，不要总是硬套公式，可以尝试一下思维的转换，这样可能给自己带了不一样的转机，其实数学和其他的科目是一样，可以用其他的话代替，但是意思并没有转变，数学的公式也是一样，最终的答案是一个。

4保持好心态

心态问题是影响考试的最重要的原因。走进考场就要有舍我其谁的霸气。要信心十足，要相信自己已经读了一千天的初中，进行了三百多天的复习，做了三千至四千道题，养兵千日，用兵一时，现在是收获的时候，自己会取得好成绩的。反过来，如果进考场就底气不足，必定会影响自己的发挥。

5总结梳理，提炼方法

10.八年级数学平行四边形教案 篇十

3.一架飞机向北飞行，两次改变方向后，前进的方向与原来的航行方向平行，已知第一次向左拐50°，那么第二次向右拐

A.40°;B.50°;C.130°;D.150°.

4.如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1);(2);(3)中正确的个数为()

A.0;B.1;C.2;D.3.

5.用A、B、C分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东25,小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35，则∠BAC=()

11.浅谈八年级数学兴趣教学 篇十一

一、要充分把握起始阶段的教学

“好的开端是成功的一半”是新教材编写者的指导思想。八年级学生翻开刚拿到的数学课本后，一般都感觉新奇、有趣，想学好数学的求知欲较为迫切。因此，教师要不惜花费时间，深下功夫，让学生在学习的起始阶段留下深刻的印象，产生浓厚的兴趣。

二、求新、求活以保持课堂教学的生动性、趣味性

八年级数学比较贴进生活实际，具有很强的知识性、现实性和趣味性。因此，它以丰富的内容提供教学中诱发学生情趣和动机的酵母。新教材还抓住了八年级学生情绪易变、起伏较大的心理、生理特点，要求以“活的东西去教活的学生”（陶行知先生语），来培养学生持久的学习兴趣，全面提高他们的素质和能力。

三、注重学习方法指导，培养良好的学习习惯

注重学习方法指导，培养良好的学习习惯，让学生树立学好数学的自信心，确实提高他们的数学成绩。那么学习成绩不理想的学生怎样才能提高成绩呢？

（1）自己要有决心提高成绩，树立“成绩差只是暂时的”的信念，这是根本的内在动力。

（2）要有恒心和耐力，不要三分钟热度。“滴水穿石”绝不是一时之功。

（3）要有明确的学习目的和正确的学习态度，克服学好学坏无所谓，混一天算一天，得过且过的想法。

（4）改善学习方法。要找到适合自己的学习方法，这样就像勇士手中有了锐利的武器一样。

（5）确定一个竞争对手或确定一个名次，作为追赶的目标，逐步靠近，不要想着一下子提高到第一名。

（6）循序渐进，一步一个脚印，踏踏实实、持之以恒。

我经过多年教学实践发现了许多学生提高数学学习成绩的案例——中学生应不断探索适合自己的数学学习方法。

案例1：任静在初三以前数学从未及格过，因此她爸让老师辅导她。其实她也没做什么，只是每周到老师家讲一次课，让她把课堂上学的东西讲给老师听，直到老师满意为止。半年下来，她的数学成绩取得了突飞猛进的进步。高三毕业那年，她参加的二次模拟考试，一次得了148分，一次得了149分。后来保送进北大了。进北大不到一年，又考取了美国的一所大学，去美国念书了。去年她给老师发E-mail说，她的美国同学说她是数学天才，可是美国同学根本就不知道她在初三以前数学是多么的差啊！

案例2：一個老师带着一个数学成绩很差的初一班，他每周都测验他的学生，而且公开告诉他的学生，考题全部是他上课讲的例题。学生开始一片哗然，但90%的学生却有了信心拿满分，只有班上几个较差的学生不敢这么说，很快第一次测验结果出来了，及格率48%，满分率不到8%，第二次情况有所好转，初一时这个班数学成绩与同年级数学特长班平均分相差12.5分。初二时与数学班只差1.5分，比年级平均分高10分。初三毕业，这个班几乎与数学特长班没有区别。所以，学会例题、学好例题才能举一反三，这是学好数学的一条捷径。

案例3：中学生应不断探索适合自己的数学学习方法。以下五种是具有可操作性的、行之有效的、适合中学阶段的学习方法：（1）培养彻底掌握基础知识的方法与习惯；（2）培养吃透典型例题的方法；（3）培养课堂记忆的良好习惯；（4）培养运算准确性的自信心；（5）培养研究分析的方法和习惯。

沙文华同学觉得5种方法中，“运算准确性”最适合自己。在平时，他很容易犯马虎的问题，不是数抄错，就是加号看成减号，期中数学考试就出现了此类问题。于是我将如何解决“计算准确性”的各种措施告诉他，他就按着方法一步一步地做，不但不马虎了，而且做题的时间还缩短了，考试成绩有了较大的提高。

四、开辟第二课堂，展示闪光点，激活学生的求知欲

12.八年级数学平行四边形教案 篇十二

一、利用学习活动群体特性, 让学生在平行四边形合作 探知中形成团结合作精神

教学实践证明, 学生在学习活动中, 需要借助于教师或其他学习个体的帮助和指导, 进行扬长补短, 实现学习效能的有效提升。因此, 教者在平行四边形章节教学活动中, 有意识地创设融洽、生动的学习氛围, 抓住学生好奇质疑的心理, 设置启示性的平行四边形问题案例, 引导学生开展合作探析活动, 让学生在合作探析、解答问题过程中, 掌握解答精髓, 并引导他们体会互助合作的功效, 逐步培养起初中生团结合作的学习精神。

如在“平行四边形的性质”教学活动中, 教师利用初中生对现实生活问题“感兴趣”的认知特定, 抓住平行四边形和现实生活问题的“衔接点”, 利用教学课件, 设置出“小明手里有一个这样的图形, 他现在向测量一下这个图形是不是平行四边形, 可以采用什么样的方法?”启示性问题。这样, 就能一下子抓住初中生情感发展的“兴奋点”。此时, 教师引导学生组成小组开展合作学习活动, 结合所掌握的平行四边形性质, 进行合作探析活动, 实现该问题案例的有效解答, 从而使初中生能够亲身感受“合作”的功效, 形成“团结合作” 的意识和品质。

二、利用学生能动探究特性, 让学生在平行四边形探析 解答中形成勇于探究精神

新实施的初中数学课程标准中, 对学生探究能力的培养有着具体的要求。同时, 学生在探究、分析、解答问题过程中, 能够形成敢于面对困难, 勇于探究的精神。因此, 在平行四边形问题案例教学活动中, 教师有意设置探究性问题案例, 引导和鼓励学生开展探究问题案例活动, 指导初中生进行解题策略和方法的探究过程, 让学生在探析、解答问题案例中形成勇于探究、敢于面对困难, 战胜困难的精神。

问题:如图, 已知E、F分别是的边BC、AD上的点, 且BE =DF. (1) 求证 :四边形AECF是平行四边形; (2) 当BC=10, ∠BAC=90°, 且四边形AECF是菱形时, 求BE的长。

在该问题案例教学中, 教师采用合作探究教学策略, 先让初中生组成探析小组, 对问题条件内容及要求进行小组探析活动, 学生个体在探析过程中认识到: (1) 首先由已知证明AF∥EC, BE=DF, 推出四边形AECF是平行四边形。 (2) 由已知先证明AE=BE, 即BE=AE=CE, 从而求出BE的长。

此时, 学生明确该问题解答的策略, 教师进行适当指导, 学生解题过程如下:

最后, 教师与学生进行双边互动, 就问题案例解答规律方法进行探析, 教者结合解题过程引导学过进行总结归纳, 得出解题规律。

上述解题过程中, 教师引导学生进行探究问题条件及解答策略活动, 并经过有针对性的只奥和辅导, 让学生逐步领会解题策略运用的“原因所在”, 领悟到了进行该类型问题案例解答的“精髓”, 逐步感知到了探究能力素养形成的重要性, 切实提升了初中生勇于探究的学习品质。

三、利用知识内涵联系特性, 让学生在平行四边形发散 问题中形成乐于创新精神

数学学科是一门知识点相互独立有密切联系的有机整体, 教师在平行四边形案例教学活动中, 可以在学生解答思考分析、解答问题基础上, 利用数学学科知识内涵深刻联系特性, 设置一题多变、一题多问、一题多解等开放性问题案例, 鼓励和指导初中生探寻解答问题的不同方法, 进行不同内容问题的分析活动, 实现思维活动更加灵活、更加全面, 培养和树立乐于创新的学习品质。

如在“平行四边形问题课”阶段性练习活动中, 教师为培养和锻炼初中生对平行四边形问题案例解答的灵活性, 在学生解答“已知平行四边形ABCD的周长为28, 对角线AC、BD, 相交于一点O, 且△AOB的周长比△BOC的周长大4, 则AB、BC的值是多少?”活动后, 向学生设置“E是正方形ABCD的对角线BD上一点, EF⊥BC, EG⊥CD, 垂足分别是F、G, 求证:AE=FG”、“如图二, 的两条对角线AC、BD相交于点O. (1) 图中有哪些三角形是全等的? (2) 选出其中的一对全等三角形进行证明。”等不同形式的问题案例, 要求学生进行思考分析活动, 进行问题的有效解答。初中生在这样过程中, 思考分析能力得到了有效锻炼, 同时, 创新思维、灵活思维的能力水平得到了有效实践, 逐步掌握和领会了平行四边形问题案例解答的不同方法, 既提高了思维活动的灵活性, 又培养了创新求特的学习精神。

以上是本人在平行四边形教学中, 对培养学生学习品质所采取的举措和点滴思考, 在此还望同仁指正, 为培养全面发展的学习人才贡献才智。

摘要：初中数学教师在教学活动中, 要善于运用现有数学教材, 实施有效合作探析新知及解答问题, 鼓励学生创新思维, 让学生形成团结协作、勇于探究、乐于创新的学习品质。本文作者结合平行四边形章节教学, 对培养初中生学习品质进行了简单介绍。

13.八年级数学平行四边形教案 篇十三

掌握平行四边形的意义及特征．

教学难点

理解平行四边形与长方形、正方形的关系．教学过程

一、复习准备．

我们已经学过一些几何图形，观察一下这些图形有什么共同特点？

在明确它们是由四条线段围成的基础上概括出：由四条线段围成的图形是四边形．

教师提问：我们学过哪些四边形呢？

学生举例．

说说哪些物体表面是平行四边形？

教师出示下图，让学生初步感知平行四边形．

二、学习新课．

1．理解平行四边形的意义．

首先出示一组图形．

教师提问：这些图形是什么形？它们有什么特征？

（1）看到这个名称你能想到什么？（板书：平行、四边形）

教师提问：你认为什么是四边形？你学过的什么图形是四边形的？

（2）动手测量．

指名到黑板上用三角板检验一下，每个图形的对边怎样．

（3）抽象概括．

根据你测量的结果，能说说什么叫平行四边形吗？

小组先讨论，再让到黑板上测量的同学说出检验与测量的结果，从而引出平行四边形的确切定义．（板书：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．）

教师强调说明：只要四边形每组对边分别平行就能确定它的两组对边相等，因此平行四边形的定义是“两组对边分别平行的四边形”．

（4）反馈：判断下面图形哪些是平行四边形？【演示课件“平行四边形”，出示反馈练习】

2．平行四边形的特征和特性．

（1）教师演示．

教师拿一个长方形木框，用两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉．引导学生观察两组对边有什么变化？拉成了什么图形？什么没有变？

学生明确：两组对边边长没有变，变成了平行四边形，四个直角变成了锐角和钝角．

（2）动手操作．

学生自己动手，把准备好的长方形框拉成平行四边形，并测量两组对边是否还平行．

（3）归纳平行四边形特性．

根据刚才的实验、测量，引导学生概括出：平行四边形具有不稳定性．（板书：易变形）

（4）对比．

三角形具有稳定性，不容易变形．平行四边形与三角形不同，容易变形，也就是具有不稳定性．

这种不稳定性在实践中有广泛的应用．你能举出实际例子来吗？

（如汽车间的保护网，推拉门、放缩尺等．）

3．学习习近平行四形的底和高．

（1）认识平行四边形的底和高．

教师边演示边说明：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高．这条对边叫做平行四边形的底．

（2）找出相应的底和高．【继续演示课件“平行四边形”】

引导学生观察：图中有几条高？它位相对应的底各是哪条线段？

使学生明确：从B点画高，它的底是CD；从D点画高，它的底是BC．

（3）画平行四边形的高．【继续演示课件“平行四边形”】

教师说明：平行四边形高的画法与三角形画高的方法基本相同，都用过直线外一点画已知直线的垂线的方法．从一条边上任意一点都可以向它的对边画高，但通常是从一个角的顶点向它的对边画高．这里高要画在平行四边形内，不要求把高画在底边的延长线上．

①教师利用长方形框，拉动长方形的边，使其变成不同的平行四边形．（还可以把平行四边形变成长方形）

引导学生比较长方形和平行四边形的异同点，使学生明确：

相同点是两组都分别平行，所以长方形也具有平行四边形的特征，也属于平行四边形．不同点是长方形的四个角都是直角，所以把长方形看作是特殊的平行四边形．

②引导学生比较正方形和平行四边形的相同点和不同点．

使学生明确：正方形也是两组对边分别平行，四个角也是直角，正方形也可看作是特殊的平行四边形．因为长方形和正方形都有两组对边分别平行，四个角是直角的共同点，而正方形还有四条边相等的这一特征，因此正方形可看作是特殊的长方形．

③这三种图形之间的关系可以用集合图来表示【继续演示课件“平行四边形”】

三、巩固练习．【继续演示课件“平行四边形”】

1．判断下列图形哪些是平行四边形？

2．指出平行四边形的底，并画出相应的高．

3．在钉子板上围出不同的平行四边形．

4．数一数下图中有（）个平行四边形．

四、教师小结．

1．提问：通过今天的学习，你都学会了什么？（平行四边形的意义，特征及特性）

2．组织学生对所学知识提出质疑，并解疑．

14.八年级数学平行四边形教案 篇十四

学习目标: 知识目标：通过观察，认识平行四边形，在小组合作中掌握将平行四边形面积转化求长方形的面积思想方法，知道计算平行四边形的面积公式并进行简单的运用。

能力目标：通过动手操作将平行四边形转化成以前学过的能求面积的图形，学会自己独立推到求平行四边形面积公式。

情感目标：在推导平行四边形面积公式中体验转化思想，在小组合作学习中培养学生的探索能力。学习重点：

体验将平行四边形面积转化为长方形的思想方法 学习难点：

理解求平行四边形面积推导过程 学习过程：

一、复习旧知

1、我们学过的平面图形有哪些？（长方形、正方形、三角形、梯形、圆形、平行四边形）

2、你会计算哪些图形的面积？（长方形=长×宽、正方形=边长×边长）

3、请依据下面的数据计算长方形的面积。（课件4）（1）长：10cm 宽：5cm（2）长：22cm 宽：4cm(3)长12.5cm 宽：8cm

3、这是什么图形?什么叫平行四边形?它有什么特征？找出平行四边形的底和高。（课件5）

二、情境引入

同学们，喜欢喜羊羊的动画片吗？据说羊村的牧草越来越少，村长决定把草地分给各个羊自己管理和食用。美羊羊分到的是一块长方形地，喜羊羊分到的是一块平行四边形地，它们认为自己的草地更少，争了起来。同学们，你们想帮助他们解决这个问题吗？你们准备怎样解决？

三、自主探究

1．出示长方形、平行四边形。

你们知道这个长方形与平行四边形谁大谁小呢？（你很会猜想，在数学学习中我们不仅需要大胆的猜想，还需要去验证我们的猜想）

怎样来比较出他们的大小？（要计算出它们的面积）

同学们回忆一下，我们在研究长方形的面积时，用到了什么方法？（数格子的方法）

同样的，研究平行四边形的面积，我们也可以用数格子的方法，请大家在方格纸上数一数，平行四边形、长方形的面积各是多少呢？一个方格代表1m，不满一格按半格计算。

2平行四边形和长方形的面积各是多少？你是怎样数的？你发现了什么？（平行四边形和长方形的面积都是24m，长方形的面积和平行四边形的面积相等，长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽与平行四边形的高相等）

数方格的方法似乎有点麻烦，不数方格，能不能计算平行四边形的面积呢？

三、合作交流

我们有这样的经验：在研究一个不知道的新问题时，我们可以把它转化成以前学过的知识，利用旧知识来解决新问题。今天要研究平行四边形的面积，我们是不是可以借助这个经验把它转化成学过的图形？

请同学们根据前面的经验，以小组为单位，借助你们手中的平行四边形纸，可以画一画，剪一剪，拼一拼，看看能不能找到转化前后图形间的联系，并把你找到的联系在纸上写一写，让别人一眼就能看出你是如何推导出平行四边形面积计算方法的。

小组交流：

谁愿意说说你们是怎么想的？

方法1：先沿高剪开，把三角形向右平移，再拼成长方形。

方法2：先沿高剪开（没有经过定点的高），分成两个梯形，在把梯形向右平移，拼成长方形。追问：为什么你们都是沿高剪开？能不能用其他的方式？（只有沿高剪开，才能将平行四边形拼成我们学过的长方形）

观察原来的平行四边形和拼成后的长方形，你发现他们之间有哪些等量关系？（平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等）

怎么计算平行四边形的面积？平行四边形的面积=底×高

追问：为什么平行四边形的面积等于底乘以高？（平行四边形的面积和长方形的面积相等,平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，长方形的面积=长×宽，平行四边形的面积=底×高）

平行四边形的面积＝底×高

如果用S表示平行四边形的面积，用a表示平行四边形的底，用h表示平行四边形的高，平行四边形的面积计算公式可以写成：

S＝ah

总结：我们是如何得到平行四边形的面积的？

我们都是沿着平行四边形的高把它分成了两部分,然后通过平移把平行四边形拼成一个长方形,平行四边形的底和长方形的长相等,平行四边形的高和长方形的宽相等,推导出平行四边形的面积等于底乘以高。

四、拓展运用

1、例一：平行四边形花坛的底是6m，高是4m，它的面积是多少？

S＝ah ＝6×4 ＝24（m）

2、巩固练习

练习十五的第一题

3、计算下面平行四边形的面积。2

正解：S＝ah ＝3×1.6 ＝4.8cm

错解：S＝ah ＝3×2.4 ＝7.2cm

出示两种解法，你赞同哪一种，为什么？你会提醒大家注意什么？（平行四边形的底和高相对应）

3.用木条做成一个长方形框，长18cm，宽15cm，它的周长和面积各是多少？如果把它拉成一个平行四边形，周长和面积有变化吗？ 课堂小结

今天你有什么收获？

15.八年级数学平行四边形教案 篇十五

1. 下列各数中没有平方根的是().

A. -22B. 0

C. D. (-4)2

2. 一个数的算术平方根是 ,这个数是().

A. 9B. 3

C. 23D.

3. 下列四种说法正确的是().

①8的立方根是2;

②的立方根是与-;

③-27无立方根;

④互为相反数的两个数的立方根互为相反数.

A. ①④B. ①②

C. ①③D. ②④

4. 实数3.14,,π,- ,0.121 121 112…,中,无理数的个数为().

A. 2B. 3

C. 4D. 5

5. 下列从左到右的变形是分解因式的是().

A. (x-4)(x+4)=x2-16

B. x2-y2+2=(x+y)(x-y)+2

C. 2ab+2ac=2a(b+c)

D. (x-1)(x-2)=(x-2)(x-1)

6. 下列运算正确的是().

A. (a-b)2=a2+2ab+b2

B. (a-b)2=a2-2ab+b2

C. (-a+b)2=a2+b2

D. (-a+b)2=a2-b2

7. 如图1,在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B,在AB间建一条直水管,则水管的长为().

A. 45 m B. 40 m

C. 50 mD. 56 m

8. 下列多项式不能用平方差公式分解因式的是().

A. a2 -(-b)2 B. (-a)2-(-b)2

C.-a2-b2D.-a2+b2

9. 下面各组数是三角形的三边长,其中为直角三角形的是().

A. 8,15,17 B. 5,6,8

C. 8,12,15 D.10,15,20

10. 计算结果为a2-3a-18 的是().

A. (a-2)(a+9)

B. (a-9)(a+2)

C. (a-6)(a+3)

D. (a+6)(a-3)

11. 下列说法中,错误的有().

①Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边的长为5;

②三角形的三边分别为a､b､c,若a2+c2=b2,则∠C=90°;

③若△ABC中,∠A∶∠B ∶∠C=1 ∶ 5 ∶ 6,则这个三角形是一个直角三角形;

④若(x - y)2+M=(x+y)2成立,则M=4xy.

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

12. (ambn)3 = a9b15,则m､n的值分别为().

A. 9､5B. 3､5C. 5､3D. 6､12

二､仔仔细细填,记录自信!(每空3分,共24分)

13. -27的立方根是.

14. 比较大小:7 .

15. 如图2,在数轴上,A､B两点之间表示整数的点有个.

16. 若(x+1)(2x-3)=2x2+mx+n,则m=

,n=.

17. 因式分解:2a2b+ab2 =.

18. 一长方形的长是宽的两倍,其对角线长是cm,那么它的长是cm,面积是cm2.

19. 有两棵树,一棵树高8 m,另一棵树高2 m,两树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了m.

20. 若x + y = 2,xy = - 2,则(1 + x)(1 + y)的值为.

三､平心静气做,展示智慧!(共60分)

21. (每题3分,共12分)计算:

(1)2x2y·(-3xy) ÷ (xy)2.

(2)(-2a)·(3a2-a+3).

(3)(x+3)(x+4)-(x-1)2.

(4)2a3x2·(a-2x)-a2x2÷(-ax)2.

22. (5分)已知x + y 的算术平方根是3,x-y的立方根是3,求2x-5y的平方根.

23.(每题4分,共8分)因式分解:

(1)4x2+4xy+y2. (2)4a2-16b2.

24. (10分)阅读理解:

(1)计算后填空:(x+1)(x+2)=;(x+3)(x-1)= .

(2)归纳､猜想后填空:(x+a)(x+b)=x2+()x+().

(3)运用(2)的猜想结论,直接写出计算结果:(x+2)(x+m)=.

(4)根据你的理解,分解下列因式:x2-3x-10=()().

25. (8分)如图3,已知∠C=90°,BC=3 cm,BD=12 cm,AD=13 cm.△ABC的面积是6 cm2.

(1)求AB的长度.

(2)求△ABD的面积.

26. (9分)已知a､b､c是△ABC的三条边.

(1)判断(a - c)2 - b的值的正负.

(2)若a､b､c满足a2 + c2 + 2bc(b - a - c) = 0,判断△ABC的形状.

27. (8分 )如图4,将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,已知CE=3,AB=8,计算:(1)BC的长.(2)图中阴影部分的面积.

16.小学四年级数学“认识平行”教案 篇十六

平行是几何概念，在认识直线以后教学。启东蔡宏圣老师的教学实录，常州赵智敏老师的教学设计，都先让学生在熟悉的活动中提取已有经验，再观察、比较、分类，由表及里地体会概念的本质属性，然后识别生活里的平行现象，加强对概念的理解。这些安排，尊重学生的数学现实，符合认知原理，较好地体现了教材的意图。我们能够看到蔡老师厚实的教学功底和先进的教学理念。表现在：一是课的导入细致，处处为学生着想。从两支铅笔掉在地上的情境，思考可能出现哪些情况，引导学生利用经验充分想象；用两条直线表示掉在地上的两支铅笔，让学生画出可能出现的各种情况，感受数学知识与方法能表达生活现象，为认识平行积累感知材料；为学生提供点子图，便于画出不相交的直线，初步感知不相交的含义。二是课中交流有深度，时时和学生互动。如，教师指着图形问：这两条直线相交吗？学生异口同声回答：不相交。他一边板书不相交，一边说：我们没有看到相交，但不知把两条直线画得长一些，是什么结果？这句启发性的话语，引导学生用直线概念分析现象，画出或想出这两条直线是相交的，纠正了原来的认识偏差。再如，教师指着图形问：这两条直线也相交吗？引导学生通过多种方法进行验证，确认这两条直线不相交赵老师对教材的使用比较充分，教师努力理解教材设计的教学线索和主要活动，尽量把教材意图落实到教学之中。为了使学生理解直线的相交与不相交，引导学生摆小棒、画直线，对大量感知材料进行分类、比较；为了突出平行是两条直线的位置关系，结合实例及时板书互相平行，还让学生说说谁是谁的平行线。教师还精心安排教材中试一试想想做做的教学，从安排时间看，有利于及时巩固概念、形成技能；从教法看，预设了交流、反馈与评价研究两位老师的教学，联想许多教师在教学中存在的困惑，有几点想法和大家交流。第一，教材第87页例题有三层内容，首先联系现实情境，教学两条直线相交与不相交；然后利用两条直线不相交，教学平行的概念；最后说一说生活中常见的平行实例，用数学知识描述、解释生活现象。本单元的教学重点是平行和垂直。以前教材的单元标题为平行与垂直或垂线与平行线。本单元的标题为什么用平行和相交？为什么先教学直线的相交与不相交？这些问题都应在钻研教材时弄明白。可以从三个方面来回答上面的问题。首先，同一平面内的两条直线，可能相交，可能不相交，还可能重合。相交与不相交是常见的位置关系，学生在生活中已有经验积累，而重合不适宜小学生学习。先教学直线的相交与不相交，能把生活经验提升成数学概念。其次，同一平面内不相交是平行概念的内涵，两条直线相交成直角称互相垂直。可见，同一平面内不相交与互相平行具有同一性，而相交与垂直是属种关系，后者是前者的真子集。先教学直线的相交与不相交，能形成关于平行、垂直的上位观念。这样，全单元的重点就不会是孤立的，而是有结构的。再次，先认识直线的相交与不相交，就能通过下位学习，理解平行与垂直。这是公认的、比较好的认知线索与方式。既然认识两条直线相交与不相交是例题的一个教学层次，那么其教学过程就需要有相应的完整性。尽管两位教师都引导学生收集丰富的感知材料，开展扎实的感知活动，认识两条直线相交或不相交，但总感觉还缺了一点。蔡老师的一句话经过一番分析，看来画在点子图上的两条直线或者相交，或者不相交，可以作为这一段教学的小结。如果改造成学生的回顾及小结，变成学生主动的知识建构，就能更充分发挥上位观念对后继学习的积极意义，为理解平行、垂直构建认知平台。赵老师在联系感知材料，指出两条直线相交、不相交后，立即从不相交引出平行，显得有点仓促。适时安排学生回顾、再认学习过程，是《数学课程标准（实验稿）》对教学活动的要求。第二，在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。不相交是概念的内涵，在同一平面内是不可或缺的前提。学生在感知两条直线的常见位置关系时，对不相交已有感受，因而建立互相平行这个概念时，会关注不相交，疏忽在同一平面内。为此，两位教师都力求解决这个矛盾。数学概念是严密的。概念的严密性要求概念教学也必须是严谨的。两条异面直线虽然不相交，但不一定平行。所以，教学直线互相平行，必须指出它们在同一平面内。数学概念的建立可以分阶段，学生对概念中的某一内容，如果受基础知识、思维发展水平的制约，暂时不能透彻理解，应允许他们先知道，再逐渐深刻领会。在缺乏条件的状况下，勉强让他们理解异面直线，恐怕很难达到要求，即使教学投入大量时间和精力，也未必有效。教学中怎样妥善处理同一平面内呢？首先，教材与教学给学生提供的感知材料，如掉在地面上的两支铅笔，摆在桌面上的两根小棒，画在纸上的两条直线，都在同一平面上。因此，揭示互相平行的含义时，可以联系具体材料，先指出铅笔、小棒、直线都在同一平面内。其次，可以适当举出浅显的实例，如桌面上的一条直线与地面上的一条直线，它们不在同一平面内，即使不相交，也不一定互相平行。以此提醒学生注意，我们说的互相平行指的是在同一平面内的直线。并可进一步告诉学生，到中学数学的学习中将会更明白。再次，不要把在同一平面内作为练习与考查的知识点。可以让学生判断画在试卷上的几组直线，哪些互相平行，哪些不平行，不必让他们判断两条不相交的直线互相平行这句话是对还是错。我赞同蔡老师在反思中说的：同一平面内是绕不开的坎，不能不讲讲得过于深，也没必要。他选择立交桥上、下汽车行驶路线作例子也是可以的。赵老师把同一平面内作为教学难点，力求在长方体上突破，无论对教还是学，要求都偏高了。两位老师首次讲互相平行，都只突出不相交，把在同一平面内留到后面补充说明，似乎把有关平行的两个重点逐一教学。其实，他们首次讲的互相平行并不严密，在学生建立新概念的最佳时刻，给予不完整的信息，应该是教学的缺陷。第三，教材里有关画平行线的内容也比较多。第88页例题先让学生自己找工具想办法画一组平行线，再沿着直尺平移三角尺，画出一组平行线。第89页第2题，把长方形纸对折两次，折痕是平行线。编排画平行线的目的，一是进一步体验两条直线互相平行的含义。互相平行的直线永不相交，为了画出不相交的两条直线，可以借助有平行对边或有平行线的物体为工具，沿着平行的对边或平行的线画，物体平移前、后，相对应的线段互相平行，可以通过平移有直边的物体画出平行线；把长方形纸连续对折，折痕在两条对边之间，互相平行且长度相等，有助于体会长方形的两条对边也是平行的。二是培养初步的画图能力，在生活和学习中，经常需要画一组平行线，或者画已知直线的平行线。直尺与三角尺是画平行线的工具，掌握了画平行线的方法，既能方便地画出平行线，还能用来检验两条直线是不是平行。蔡老师在反思中说：技能与知识本是同根，有了知识的支撑，技能完全可能是学生心智生长的结晶，技能的学习过程完全可以富有生命成长的气息。他是这样想的，也是这样做的。教学的抽象阶段，课件演示小旗沿直尺平移的情境，在平移前后的图形中寻找平行线，渗透了画平行线的方法。教学的操作阶段，学生在徒手移动直尺画平行线时，自发需要另一根直尺作轨道帮助平移，不仅知道了可以怎样画，还明白了为什么这样画。画平行线的方法不再是机械的程序知识，不再是缺少思维含量的纯粹模仿。这一段教学是该课的亮点，值得大家借鉴。教材里的想想做做，蔡老师的实录中没有看到，也许受篇幅限制删去了。赵老师把想想做做分两段进行，在教学互相平行的概念后，安排第1～3题；在教学画平行线后，安排第4、5题，这样安排是可以的，如果把部分题目二次使用，就更好了。如第1题，在初步理解互相平行之后凭观察、想象做出相应的判断。在教学画平行线以后再练习这道题，用画平行线的工具与方法验证。又如第2题也可以二次使用，第一次直观判断，第二次操作验证。像这些习题二次使用，既有助于及时消化、巩固新知识，又有助于知识与技能有机融合。第四，数学教学讲究语言准确，尤其是几何知识的教学，稍不留心，就会用词不妥当。两位教师都有这种情况。距离是两点之间线段的长度。点到直线的距离，是这点到这条直线的垂直线段的长度，即点与垂足之间的距离。两条互相平行的直线的距离，是夹在两条直线之间、垂直于两条直线的线段长度，即两个对应的垂足间的距离。这些距离都是数学概念。两条相交的直线，虽然从一条直线上任取一点，能够画出另一条直线的垂直线段，但画成的垂直线段的长度在区间无限长与0之间，是不稳定的。数学里把两条相交直线之间的距离定义为0。蔡老师用生活概念两条直线间的宽度，引导学生度量、比较两条直线间的宽度，体会图形 里的两条直线相交，图形里的两条直线不相交。这一环节的设计，对学生理解平行概念可能会起到一定的作用，但仔细斟酌，其实不够妥当，也没有必要。首先，生活概念是日常生活中积淀的与数学有关的认识，这种认识经常不系统、不深刻，甚至不准确。生活概念有时支持数学概念，有时干扰数学概念。教学中，指出相交直线有宽度，还要度量和比较，这样处理显然是不妥当的。其次，本节课是认识平行的第一课时，只要求在直观情境中，通过观察和想象，判断两条直线是不是互相平行，也可以利用画平行线的方法帮助判断。给学生的直观情境，两条直线的位置关系比较明显，几乎一眼就能看出。对图形里的两条直线，学生的交流画长一些会相交，那条直线斜过来了，表明他们已经看出这两条直线的位置关系，确信两条直线相交。对图形里两条直线不相交，例题只要求学生直观判断，不要求解释或验证。再次，结合教学垂直，学生还有深入认识平行的机会，如第45页第2题两条平行线之间的垂直线段都相等。可见，教学两条直线相交或不相交，没有必要使用两条直线间的宽度。直线与线段是两种几何图形，它们有联系，更有质的区别，赵老师在教学设计里有些疏忽。如把每个图形中的两条直线都向两端无限延长，结果会怎样？直线是没有端点、无限长的，怎么向两端无限延长呢？这句话要改成把图形中的直线画长一点，看看会怎样？又如学生根据小棒画成的图形，看成直线还是看成线段？同一平面内两条直线或是相交、或是平行，而同一平面内两条线段还可能既不平行，又不相交。教学中把图形里的线一会儿说是直线，一会儿说是线段不大好。