小学英语单复数练习

小学英语单复数练习（精选16篇）

1.小学英语单复数练习 篇一

可数名词变复数形式的规则

1一般情况，在词尾加-s.desk---desks 书桌

girl---girls 女孩

boy---boys

pen---pens 2以-s,-x,-ch,-sh 结尾的词，在词尾加--es

bus---buses

box--boxes

brush--brushes watch--watch 3以辅音字母加-y结尾的词，变y为i，加-es baby-bab婴儿

family--families家庭

4以-f或-fe结尾的词，变f或fe为v，再加-es

knife---knives刀

leaf---leaves树叶

5以辅音字母加-o结尾的词，一般情况下，在词尾加-es tomato---tomatoes西红柿

potato--potatoes马铃薯

6可数名词变为复数形式的不规则变化如下： foot---feet脚

mouse---mice老鼠

goose---geese鹅

ox---oxen公 牛

man---men男人

woman---women女人

child---children孩子

Chinese--Chinese中国人

deer---deer鹿

sheep---sheep绵羊

fish---fish鱼同步练习题 把单数变成复数：

box__________

pencil________ watch________

star__________ door__________ window__________ bag__________

bowl_________ rabbit__________snake___________

animal_________frog____________

shoe____________

knife____________fan______________

glass____________rose____________

brush__________bear___________

son__________uncle____________

aunt___________eraser____________

book_________

dog_______

plane___________ cat__________

flower__________-

tree_________

chair________________people_______

girl_________________man_________

woman______________policeman_____

policewoman_________tooth_________

goose________________doctor_______

teacher______________child_________

student______________eye___________

ear________________photo__________

map_______________picture_________

desk_______________life____________

leaf_______________half____________

shelf_______________wolf___________

bird_____________panda____________

lion______________fish_____________

deer____________sheep_____________

candy_____________family__________

baby_____________toy_____________

car_____________bus____________

cup_____________bottle_____________

lake______________hill_____________

wall_____________stamp____________

Chinese__________festival___________

mountain____________floor__________

noodle______________fruit__________

dumpling___________apple__________

pear________________vegetable______

grape_______________banana________

cherry______________watermelon_____

orange______________ox____________

foot_______________arm____________

leg________________necklace________

game______________computer_______

mouse_____________dish____________

tomato____________potato___________

onion_____________cabbage_________

kite______________ship_____________

chopstick_________spoon____________

cloth_____________pant_____________

shirt____________hat______________

cap_____________sweater___________

sock____________gift_______________

present_________lantern____________

sister__________brother____________

light__________key______________

monkey________tiger____________

2.小学英语单复数练习 篇二

现代汉语中人称代词可以分为第一人称、第二人称、第三人称和其他代词。在言语交际中, 说话者是第一人称, 听话者是第二人称, 说话者与听话者以外的为第三人称。

英语的形态在音义结合中有形式上的对应, 即单数为原形, 复数加s或es, 为量范畴。而汉语的形态则是用虚词和语序来表示, 人称代词没有形态, 所谓的人称代词单复数是指意义层面上表示数量的语义范畴, 即1 个为单数, 多于1 个为复数。

“不对称”这一概念首次提出是在沈家煊先生的《不对称和标记论》一书中, 该书认为“凡是有一一对应关系的就是对称”, “凡不是一一对应的关系就是不对称”。

在日常言语交际及书籍的阅读中, 我们不难发现, 人称代词在使用时用单数形式表示复数意义、用复数形式表示单数意义的情况时有发生, 这就是本文要研究的人称代词形式与意义上的对称与不对称。人称代词在实际的言语交际中表达的意义与其传统形式的语法意义相对比, 一致则对称, 不一致则不对称。我们可以概括为形式上单数对应意义上单数、形式上复数对应意义上复数为对称现象, 形式上单数对应意义上复数、形式上复数对应意义上单数为不对称现象。

二、研究成果综述

吕叔湘在《现代汉语八百词》中论述人称代词的变换类型时将这种现象概括为第一、二人称代词之间的变换, 如“我”变成“我们”, “你”或“你们”变成“我”。

孙汝建 (1981) 将这一现象归为人称代词活用的三个类型之一, 主要阐述了第一、二人称代词的单复数变换现象, 没有说明该现象的原因。

张炼强 (1982) 从“数”和“人称”两个方面总结了22 个变换类型, 并分为扩大式、缩小式、转移式、扩大转移式、缩小转移式五种。

刘月华在《实用现代汉语语法》一书中将该现象称为“人称代词的灵活用法”, 并论述了第一、二人称代词的灵活用法。

沈志刚 (1993) 将这种现象总结为“固有的‘个体’‘群体’意义临时互换”, 并论述了“我们”换成“我”、“我”换成“我们”、“你”换成“你们”的三种意义临时互换现象。

李艳 (2010) 将人称代词变换的表现形式概括为“数的变换”、“人称的变换”及“数与人称共同变换”三种类型。

三、人称代词单复数不对称的表现形式及意义

(一) 第一人称

第一人称的单复数不对称现象最为突出, 分为“我实指我们”、“我们实指我”两种。

1.“我”实指“我们”

(1) 我国的教育学是研究如何把学生培养成为德智体全面发展的社会主义建设者和接班人的科学。 (《教育学》)

(2) 针对上述情况, 建议我省应按照国务院颁发的《粮食收购条例》的有关规定执行。 (《中国农民调查》)

(3) 本报讯1993 年, 我市工业生产继续保持快速增长的势头。 (《1994 年报刊精选》)

以上三个例句中的“我国”、“我省”、“我市”都是在单数人称代词后搭配表示非个人所有的名词, 即属于全体公民的国、省、市等, 在这种情况下, 单数形式“我”表示复数意义“我们”。这种情况通常在书面语中运用, 口语中则直接使用复数形式。

2.“我们”实指“我”

(1) 对这些特殊规律, 我们将在本书有关章节中具体加以阐述。 (丁锦宏《教育学》)

(2) 我们可以给历史学——中国特色的历史学——的定义作如下确定和简要说明…… (《历史》)

以上二个例句中的“我们”都是用复数形式表示单数意义, 这种情况一般出自报告人作报告而非被提问时、论文行文中、科研成果或专业性教材、书籍中。在陈述得出的结论或给出的定义时往往用“我们”代替“我”, 利于被倾听、阅读者接受, 避免生硬。既显示出说话者或写作者的谦虚, 也是一种学术规范。

(二) 第二人称

第二人称的不对称情况只有“你实指你们”这一种, 具体分为两类。

第一类:

1. 听说你校正在举办微机培训班, 我想先回家参加培训, 然后再来广东打工。 (1995 年人民日报二月份)

2.“我是榆树交警队, 你校王锐同学在今天晚上遇到了车祸, 伤势很重, 昏迷不醒, 正在市医院抢救, 请设法通知家长。” (1998 年人民日报)

3. 我省还存在着各种各样的缺点, 那么你省有哪些缺点? (《读者》合订本)

这一类的单数形式表示复数意义与第一人称原因相同。

第二类:

4. 心理学家Maslach指出:“当你的全部世界仅仅是你的工作而无其他时, 那么当你的工作出现问题时, 你的整个世界就会彻底地陷落。” (《中小学教师心理问题及其对策开发》)

5. 事实上, 批判功能和辩护功能是密不可分的, 关键在你为谁辩护。 (《马克思主义哲学》)

这一类单数形式人称代词表示复数意义的情况通常出现在告知类文章中, 这里的“你”一般指的是与作者相对的所有阅读该文章的读者, 是泛指而非特指, 表达复数意义。通常具有传授、说教、讲道理的意味。

(三) 第三人称

第三人称单复数不对称的现象只有“他/ 她实指他们/她们”这一种。

1.“这老师教哪班?”“教他班。”

2.“谁家移民了?”“她家移民了。”

这一组语料是笔者在日常言语交际中遇到并记录下来的, 该现象通常出现在口头的言语交际中, 其中对话中的“他/ 她”一定在言语交际的现场。原因与第一、二人称单数形式表示复数意义相同。

(四) 使用条件不对称

3.小学英语单复数练习 篇三

【关键词】励志演讲 复数第一人称指示语 语境

人称指示现象普遍使用于各种语言中，但其用法及功能却不尽不同。目前对其已有从词汇语法角度、文体分析角度、社会语境角度和系统功能语言学这四个角度做出的研究。本文则试图在前人研究基础上，借鉴语用学及社会语言学的相关知识来阐释英语励志演讲中第一人称复数指示语we的活用现象。

一、英语励志演讲中的复数第一人称指示语探微

在英语励志演讲中第一人称代词单复数形式的使用有其独特的语用功能，并常常隐含着说话者与听话者之间微妙的人际关系。诚如陈辉指出的说话者在人际交往过程中往往站在不同的视角，根据与听话者的亲疏关系及地位关系进行称谓选择，以突显出称谓背后的语用涵义。

本文对英语励志演讲中第一人称复数指示语的研究分为两大类，即确指和虚指。确指指的是复数第一人称代词使用的固定性一面，在大多数情况下都是来确定指代包括说话人在内的一群人。虚指指的是确指以外的其他灵活用法，主要是依据上下文语境及人际关系而定，通常指代不特定的人或某些组织等。在英语中甚至还可用来指代说话对象也即第二人称。

1.英语励志演讲中复数第一人称代词的确指。根据有其所指范围的大小，英语励志演讲中的复数第一人称代词的确指，可归纳为三个小类别。

（1） 用于包含第一人称单复数和第二人称单复数在内的确定群体。

例1： “…I believe that we have a righteous wind at our backs and that as we stand on the crossroads of history，we can make the right choices，and meet the challenges that face us…”

“…我相信我们深厚有正义之风，我相信今天的我们就站在历史的十字路口，我们可以做出正确的选择，迎接面前的挑战…”

在这里，奥巴马总统在感谢上苍赐予他们最好的礼物的同时，他们相信最好的东西尚未出现，更好的日子就在明天。这里，用了代词we，这个we不仅包括了他自己，也包含了听话者在内，这是一个典型的确指。

（2）用来指代包括第一人称单数和除第二人称外的一个或多个第三人称在内的群体。

例2： “…This year，in this election，we are called to reaffirm our values and commitments，to hold them against a hard reality and see how we are measuring up，to the legacy of our forbearers，and the promise of future generations.And fellow Americans - Democrats，Republicans，and Independents - I say to you tonight： we have more work to do…”

“…在今年的大选中，我们民主党特别重申了我们主张的价值和承诺，以此来应对当下的艰难现实，并更好的秉承前辈的遗产，实现对子孙的承诺。诸位美国同胞们，无论你是民主党人，还是共和党人，抑或是无党派人士，今晚我想对大家说的是：我们需要做的事情还有很多…”

这里参加会议的有各党派人士，所以这里的“我们”是不全部包含听者在内的。但其隐含说话者及其他的一类群体。

（3）用来指包括第一人称单数和第二人称及第三人称单复数在内的群体

例3： “...Our pride is based on a very simple premise，summed up in a declaration made over two hundred years ago，"We hold these truths to he self-evident，that all men are created equal.That they are endowed by their Creator with certain inalienable rights.That among these is life，liberty and the pursuit of happiness…”

“…我們的自豪和荣耀来自于一个非常简单的前提，两百多年前，它在一个著名的宣言中得到了高度的概括：“我们坚信以下真理不言而喻：人人生而平等，造物者赐予他们某些不可被削夺得权利，比如生命，自由，和对幸福的追求。”

这里引用了一则宣言，通过联系上下文可发现，原文中的we 既包含了该话轮中说话者、听话者，也囊括了所有不在场的第三者。

2.英语励志演讲中复数第一人称代词的虚指。相对于确指，虚指用法也有以下三种类型：

（1）第一人称复数we指代说话者I。在英语励志演讲中我们经常能读到某些政治人物用复数第一人称we 来指代单数I 这种语言现象，当然这种现象的产生是有其语用含义及社会语境含义的，不仅可以表示说话者的谦逊、亲切，又可拉近说话者与听话者之间的距离，在特殊的语境下，指示语可以被赋予特殊含义。

例4：“ …Now we are engaged in a great civil war testing whether that nation so conceived and so dedicated can long endure...shall not perish from the earth…”

“…当前，我们正在进行一次伟大的内战，我们在考验，究竟这个国家，或任何一个有这种主张和献身精神的国家，是否能长久存在…不致从地球上消失。”

在演说中人称代词we的使用具有较高的描述价值，其出现频率颇高，仅在所选的段落中就出现了9次，we在此语篇中有其深刻的语用目的性，表明Lincoln通过使用we降低自己的身份和地位以增加语言的说服力或将自己归于听话人之列以增加语言的亲和力，把自己和民众为挽救国家这一共同目标紧紧地联系在了一起，如果用I无疑是把自己推上一个权威者或领导者的地位从而与人民隔离开来，而we的使用是演说取得成功的语用策略之一。

随着社会的沿革，we 在指自己时就带有一种权威的色彩，其人际功能表现为与听话人的关系疏远也就不难理解了。英国首相Thatcher的儿媳妇要生产时，在今唐宁街十号的台阶上曾讲“We are a grandmother.”，这种用法排除听者，专指自己。Thatcher在谈论自己个人的事情时使用we 引起公众反感，这是因为we 表示出“权威”的功能，Thatcher 虽然说的是事实，但用这个we复数代词形式指称自己使得她与公众的关系疏远了。Lakoff评论此问题时指出，we的这种用法寓意在于： 不仅我自己这样说，我们都这样说，所以你最好相信。

（2）第一人称复数活用为第二人称。第一人称复数还可用来指代第二人称，即不包含说话者，专指听话者。通常情况下，复数第一人称的活用有其特殊含义，为了达到某种交际目的，说话者采取该手段以实施一定的言语行为。何自然、冉永平将这种人称代词活用现象归纳为移情。

例5： “…if we do what we must do，then I have no doubt that all across the country，from Florida to Oregon，from Washington to Maine，the people will rise up in November…”

“…如果我们都能行动起来，做我们应该做的事，那么我相信，从佛罗里达到俄勒冈，从华盛顿到缅因州，全国人民将会在11月积极行动起来…”

奥巴马为了鼓舞大家积极行动的士气，故意在说话时把自己摆到听话人一边，听起来特别有亲切感，还带有劝说的语用效果。向亲密、谦逊方向过渡，以此增加双方的共同点，缩短双方的心理距离。

（3）“let’s”用法及含义。在英语中let us 和let’s用法的不同可以通过反义疑问句的形式来体现，let us是will you，而let’s通常是shall we。故前者通常不包含说话者在内，而后者包含说话者和听话者双方，当然这也要结合具体的情景语境加以判断。

夸克等人合著的《当代英语语法》中的解释说，let’s 在非常通俗的口语中有时可用单数，这就是说它可以不包括谈话的对方即听话者，意为“让我”，相当于“let me”。因此，究竟是we–exclusive 还是we–inclusive 的用法要视具体语境而定。

例6：“… Let us not wallow in the valley of despair，I say to you today，my friends.And so even though we face the difficulties of today and tomorrow，I still have a dream.It is a dream deeply rooted in the American dream…”

“…朋友们，今天我要对你们说，千万不要沉沦在绝望的深谷里。尽管眼下困难重重，但我依然怀有一个梦想。这个梦想深深根植于美国梦之中…”

例7：“…Tonight is a particular honor for me because，let's face it，my presence on this stage is pretty unlikely…”

“…今晚我很荣幸，我们得承认，我能站在台上是多不容易…”

例6中，let us 是马丁.路德金对黑人同胞们说的所说，当然排除了他自己在内，这种用法則属于we–exclusive 的性质，排除了听话者的用法。例7中，let’s 既包括说话者，也包括听话者在内，因此属于we–inclusive的范围。

二、结语

英语励志演讲中人称指示语丰富多彩，生动形象。本文旨在研究英语励志演讲中复数第一人称代词的实指与虚指情况，试图通过语用学及社会语言学中的相关指示来阐释语言的活用现象。

参考文献：

[1]Analysing Discourse[M].Chester man，London and New York：Routledge.2003.

[2]Halliday M A K， Hason R.Cohesion in English [M]Britain： Longman.1976.

[3]Levison.Pragmatics [M].Oxford： Cambridge University Press.1983.

[4]方振宇.100年26篇最原声名家励志演讲[M]北京：海豚出版社.2012.

4.数学复数的练习题 篇四

1.从标有1，2，3，4的四张卡片中任抽一张。

(1)抽到卡片1的可能性是( )。

(2)抽到卡片2、4的可能性是( )

(3)抽到数字小于4的卡片的可能性是( )

2.(1)指针停在这三个数字区域上的可能性各是多少?

(2)如果转动指针90次，估计大约会有多少次指针是

停在数字1区域呢?

3.6名学生玩掷骰子的游戏。小红在一个正方体的各面公别写着1、2、3、4、、6。每人选一个数，然后任意掷骰子，朝上的数是几，选这个数的.人就唱一支歌，你认为小强设计的方案公平吗?

4.口袋里有大小相同的6个球，1个红球，2个白球，3个黄球，从袋中任意摸出一个球。

(1)摸出什么颜色的球的可能性最大，是多少?

(2)摸出什么颜色的球的可能性最小，是多少?

(3)摸出不是红球的可能性是多少?

5.盒子中装有3个红色的小正方体，4个黄色小正方体。从中任意摸出1个正方体。小芳和小豪约定，摸出红正方体，小芳赢。摸出黄正方体，小豪赢，想一想，谁赢的可能性大些?

6.请将下面各题中给出的数进行+、、、( )运算，使结果为24。

① 2 3 7 11

② 9 7 5 4

5.小学英语单复数练习 篇五

一、名词复数规则

1．一般情况下，直接加-s，如：book-books，bag-bags，cat-cats，bed-beds

2．以s.x.sh.ch结尾，加-es，如：bus-buses，box-boxes，brush-brushes，watch-watches

3．以“辅音字母+y”结尾，变y为i，再加-es，如：family-families，strawberry-strawberries

4．以“f或fe”结尾，变f或fe为v，再加-es，如：knife-knives，leaf-leaves

5．不规则名词复数： man-men，woman-women，policeman-policemen，policewoman-policewomen，mouse-mice child-children foot-feet，tooth-teeth fish-fish，people-people，Chinese-Chinese，Japanese-Japanese 练习：写出下列各词的复数.I ________ him _______ this _______ her ______ watch _______

book_______child _______ photo ________ diary ______ day________ foot________ dress ________ tooth_______ sheep ______ box_______

strawberry _____ thief _______yo-yo ______ peach______ sandwich ______ man______ woman_______ paper_______ people________

二．动词第三人称单数的变化规则

1．一般情况下，直接加-s，如：cook-cooks，milk-milks

2．以s.x.sh.ch.o结尾，加-es，如：guess-guesses，wash-washes，watch-watches，go-goes

3．以“辅音字母+y”结尾，变y为i，再加-es，如：study-studies

6.高一英语单复数知识点 篇六

意义一致原则

有or ,either…or ,neither…nor, whether…or…..not only …but also…，not……but……连接时;

在there be…./here be……连接并列主语时,采取就近原则.E g(1)Not only his children but also he himselfwants to go there.(2)Either my wife or I am going towork there.就近原则的使用情况：

当作主语的两个名词或代词由or ,either…or ,neither…nor, whether…or…..not only …but also…，not……but……连接时;在there be…./here be……句型中

有together with, with, as well as , but(除了）, except ,besides,rather than, including ,along, along with, like.连接并列主语时,采取从前原则.由and 或both----and 连接两个人（事物）时谓语动词用复数。

如果and 连接的两个词是指同一个人，同一事物或同一概念，则两个名词共用一个冠词，谓语用单数。两个经常出现在一起的食物可以合为一体：刀叉

every…and(every)……;each …and(each)…;no …and(no)…;many a …and(many a)…连接两个单数名词作主语时，谓语动词用单数。

one/every one / each/ either/ neither/the other/another anybody/ anyone/ anything/ somebody/ someone/something/ everybody/everyone/everything/nobody/ no one/ nothing/ the number+of +复数名词作主语或是独立充当主语时，谓语动词用单数

some(of), plenty of, a lot of ,most(of), the rest of ,all(of), half(of), part(of), the majority of,分数或百分数+of +名词等短语作主语时，谓语动词与of 后的名词或则和其替代的名词保持数的一致。none 有时作单数看待，有时作复数看待，主要根据说话人的意思决定。

eg.None of the books are easy enough for us.None of us has a camera.None of the moneypaid to me.one and a half做主语时，谓语动词用做单数。One and a half years has passed.One and a half apples has rotted away

和＋单数名词的意义相同，均表示“不只一个”，但前者用作复数，后者用作单数。more than + 两个以上的数字+名词复数做主语时，谓语动词用复数。

More students than one were punished.＝More than one student was punished.表示时间，数目，距离，价格，度量衡，学科等名词的复数作主语，并作为整体看待时，谓语动词用单数。

以s 结尾的词，但表示学科、国家、机构、书籍、报刊等名称作主语，谓语用单数。非自然景观！

由山脉、群岛、瀑布、运动会等s 结尾的专有名词作主语谓语用复数。自然景观！与运动会！表示成双成套的名词，如：trousers, shorts, shoes ,socks, scissors, glasses, compasses,等做主语时，谓语动词用复数。

集合名词class , family, army, enemy, team , group , government, staff , audience , crowd, public ,committee 等作主语时，若强调整体，谓语用单数，若表示组成该集体的成员，谓语用复数。有些名词本身表示复数概念，其谓语动词用复数形式，如people, police ,cattle, goods, youth, clothes等

“定冠词+adj/分词”表示一类具体的人或物时，谓语一般用复数，一个不定式，动名词，从句作主语时，谓语要用单数形式。

两个或两个以上的不定式，动名词或是从句做主语时，谓语用复数。

但是如同这两个结构指一个概念，仍然用单数。

clothing, furniture, traffic, jewellery, baggage, equipment, luggage 等无生命的集合名词作主语时，谓语动词用单数。

在定语从句中，谓语动词总是与先行词保持一致。

7.复数模问题的求解策略 篇七

一、复数问题实数化

例1在复数范围内解方程(i为虚数单位).

解:原方程化简为.

所以原方程的解是

点拨:本题主要考查复数方程等知识,一般是设出复数的代数形式,利用复数相等的充要条件转化为实数方程.

例2已知z、ω为复数,(1+3i)z为纯虚数,,且,求ω.

分析:设z=a+bi(a、b∈R),利用复数为纯虚数的充要条件求得z,再代入求ω.

解法1:设z=a+bi(a、b∈R),则

(1+3i)z=a-3b+(3a+b)i.

由题意,得a=3b≠0.

因为,

所以.

将a=3b代入,解得a=±15,b=±5.

故.

解法2:由题意,设(1+3i)z=ki,k≠0,且k∈R,则

再由,可得k=±50.

故ω=±(7-i).

二、取模法

例3已知.

解:由题设知,两边同时取模,得

点拨:显然,上述两边取模的方法从整体的角度来处理,比利用复数相等的充要条件来处理要简捷得多.

三、数形结合

例4若|z1|=|z2|=1且,求|z1-z2|的值.

分析:由已知条件不难联想到本题所隐含的“形”:Iz1+z2|和|z1-z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.

解:如图1所示,由|z1|=|z2|=1,知四边形为正方形,故另一条对角线长

点拨:这样巧妙地以形译数,数形结合,不需要计算就解决了问题,充分显示了数形结合的思想方法在解复数题中的作用.

例5若复数z满足|z-3il=5,求|z+2|的最大值和最小值.

分析:利用复数的几何意义求最值.

解:如图2,满足|z-3i|=5的复数z所对应的点Z在以C(0,3)为圆心,5为半径的圆上.|z+21表示复数z所对应的点Z和点A(-2,0)的距离.而此圆周上的点Z到点A距离的最大值与最小值是过点A的圆的直径被点A所分成的两部分的长.

又,

所以

点拨:利用复数的几何意义解题,形象而直观.提高数形结合的解题能力很有必要.

四、整体运算

运用设出z=a+bi的方法来解答复数题,往往带来烦琐的运算.能否不设而解?实际上,如能恰当地运用复数的一些特有性质,还是可以实现不设而解的.如:

z是实数,z是纯虚数

例6已知z的值.

解:.

(2)当|z|=2时,再结合|z-2|=2,画图(图3)易见两圆的交点A、B表示的复数是和.

图3综上,z=4或z=1或.

练习题:设复数z满足|2-4|=|z-4i|且,求z的值.

8.小学英语单复数练习 篇八

第一章词类第一节词类

名词(Noun)

硕士研究生考试有关名词的试题主要涉及名词的可数与不可数、名词的单复数形式、集体名词在数上的主谓一致和单数名词以复数形式出现及名词单复数同形的问题。

一、名词的单复数

(一)不可数名词

a little/some/much/considerable/a great (good) deal of/a lot of (lots of) /plenty of/a large amount of/a large quantity of/a wealth of(大量)/heaps of (大量的) +不可数名词

例句： The Portuguese give a great deal of credit to one man for having promoted sea travel, that man being Prince Henry the navigator, who lived in 15th century.

(1995年第14题)

分析： 该句是复合句，其中that man...navigator是一个独立主格结构，进一步解释说明one man; who lived...是非限制性定语从句，解释说明Prince Henry。

译文： 葡萄牙人给了这位促进海上旅行的人很多荣誉，此人便是15世纪的航海家亨利王子。

例句： If humanity has made some headway in realizing that the ultimate value of every institution is its distinctively human effect we may well believe that this lesson has been learned largely through dealings with the young.(选自Part C)

分析： 该句是复合句。主句we may well believe...中带有that引导的宾语从句， if引导的条件状语从句中包含that引导的从句作realizing的宾语，短语made headway in...的.意思是“在某方面取得进展”。

译文： 每个机构的最终价值在于其对人类的独特影响，如果人类在对此的认识上已有所进展，那么我们也许完全可以相信这种经验已在与年轻人打交道的过程中学会了。

(二)复数可数名词

some/a lot of (lots of) /plenty of/a large quantity of/a wealth of/heaps of/a few/the number of/a number of/quantities of/a great many (of) +复数可数名词

例句： Plenty of other species are able to learn, and one of the things they?ve apparently learned is when to stop. (选自20Use of English)

分析： 该句是并列句，在第二个句子中they?ve apparently learned是一个省略关系代词的定语从句，修饰things。

译文： 许多别的物种能够学习，而且它们已经明显学会的东西之一就是何时停止学习。

例句： But a number of anthropologists in the early 1900s also rejected the particularist theory of culture in favor of diffusionism. (选自年Part B)

分析： 该句是简单句。其中短语“in favor of ”的意思是“赞成,支持;有利于”。

译文： 但在20世纪初，许多人类学家也反对文化特殊论，转而支持文化传播论。

(三)单复数形式相同的名词

meansseriesspeciessheep

deerfishgrouse(松鸡)plaice(鲽鱼)

swine(野猪)Vietnamese(越南人)Viennese(维也纳人)Japanese

ChinesePortugueseSwisscraft

aircraftspacecrafthovercraft(气垫船)

例句： The data received from the two spacecraft whirling around Mars indicate that there is much evidence that huge thunderstorms are occurring about the equator of the planet. (第18题)

分析： 该句是复合句，主干是the data...indicate that...， 其中received...Mars作定语修饰the data;that huge...the planet是evidence的同位语从句。

译文： 环绕火星的两艘宇宙飞船接收到的数据表明, 有充分的证据表明该行星的赤道附近正下着大暴雨。

例句： Crisis would be the right term to describe the decline in many animal species. (第33题)

译文： 许多动物物种日渐减少， 用危机一词来描述再恰当不过了。

(四)下列两类名词只有复数形式， 与动词复数连用

表示由两部分组成的物体名词，如：

calipers(卡钳)glasses scales(磅秤)pants

pliers(钳子)scissors trousers shoes

jeans shorts(短裤)

这些名词作主语时谓语动词用复数形式，前有a pair of修饰时，谓语的单复数由pair的单复数决定。

例句： I?m going to weigh my luggage: are there any scales?

译文： 我想把行李过一下磅，有磅秤吗?

例句： The girl wears sun glasses, which were bought from the glasses? line, and a pair of old ones has been broken.

译文： 姑娘戴着从眼镜行买来的太阳镜，而那副旧眼镜已经折断了。

另外还有： arms goodsclothes

contents headquarters minutes(会议记录)

regards(敬意) wages respects(敬意，问候)

thanks fireworks(烟火)archives(档案)

例句： My wages are the principle source of my income.

译文： 薪金是我收入的主要来源。

(五)有些名词虽以s结尾，却表示单数概念，谓语动词用单数形式

1. 学科名称：

politics linguistics

physics economics

mathematics ethics

electronics informatics

mechanics(力学) statistics

acoustics(声学)athletics

phonetics(语音学)

例句： Talk to anyone in the drug industry, and you?ll soon discover that the science of genetics is the biggest thing to hit drug research since penicillin was discovered. (第8题)

分析： 该句是复合句，talk to anyone in the drug industry是祈使句，that引导宾语从句，since引导时间状语从句。

译文： 与从事药品工业的人一交谈，你就会发现自从盘尼西林被研制出以后，遗传学是对药品研究最大的冲击。

2.游戏名称，如： checkers(跳棋)、darts(投镖游戏)、billiards(弹子戏)、cards(纸牌)以及专有名词，如 Naples(那不勒斯)，the United States，the New York Times等，但表示瀑布、山脉、岛屿的以s结尾的专有名词常表复数。

例句： Today, the snooker billiards becomes an international sports activity that the people of various countries like.

分析： 该句是复合句，that the people of various countries like作定语修饰sports activity。

译文： 今天，斯诺克台球已经成为各国人民普遍喜爱的一项国际性的体育活动。

例句： Naples is an important seaport of the southwest in Italy.

译文： 那不勒斯是意大利西南部的一个重要海港。

(六)集体名词数的问题

1. 有些集体名词后接单数动词，如：

merchandisepoetry machinery furnitureluggage

baggage foliage(树叶)

例句： Modern machinery has been installed in the company.

译文： 公司已经安装了现代化的机械。

例句： This class of merchandise is usually sold on D/P(documents payment) basis.

译文： 这种商品通常在付款交单的基础上出售。

2.有些集体名词后接复数动词，如：

people police poultry clergy(教士)

vermin(害虫)cattle militia(民兵)

例句： These vermin are harmful to the plants, so they must be got rid of.

译文： 这些害虫对庄稼有害，应该尽快把它们消灭掉。

例句： All the poultry in Hong Kong were destroyed to stop the threat.

译文： 为了消除威胁，香港屠杀了所有家禽。

3.有些集体名词，如：

audience boardfamily class couple crew

committeegovernment jury party team public

company

做整体讲时，谓语动词用单数;当看做集体的各个成员时，谓语动词用复数。

例句： My family are fond of playing bowls, so they never miss the program involved.

译文： 我家人都喜欢顶碗的游戏，所以很少错过相关节目。

例句： My family is a big one, and so it is called extended family by neighbors.

译文： 我们家是一个大家庭，于是邻居们常称我们家为大家庭。

注： 需要强调个体时，集体名词一般应使用单位词，如：

three heads of cattle 三头牛

a piece of luggage 一件行李

(七)有些名词单复数形式不同，词义也发生变化

例如： air(空气)――airs(样子，摆架子)

anxiety(焦虑)――anxieties(令人忧虑的事)

brain(大脑)――brains(智力)

custom(风俗)――customs(海关)

damage(损坏)――damages(赔偿金)

delicacy(微妙)――delicacies(山珍海味)

disorder(混乱)――disorders(小病，病痛)

9.英语复数表示方法 篇九

以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。在这5个字母(字母组合)后面的后缀es的e发元音[i的音，所以es的s发[z]。懂复数发音规则的前提是，能区分什么是清辅音、浊辅音和元音。

一辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。读音变化：加读[z]。因为辅音字母加y结尾的词，y常发元音所以后缀es的s发[z]。

以-f或-fe结尾的名词，多为将-f或-fe改变为-ves，但有例外。读音变化：尾音[f]改读[vz]。可以这样加深理解：变复数时[f]后如果跟[s]，这样读会听不清，所以浊化[f]为，之后，s的发音变成z]。

以O结尾的词，许多加es构成复数，特别是一些常用词。但下面几类词只加s：1.以“元音+o如:videos,radios,studios,,zoos,bamboos,kangaroos,(参照步骤三，可知元音+y结尾的名词，加-s，和哲里类似) 2.一些外来词，特别是音乐方面的词，如：pianos, 3.一些缩写词和专有名词，如：kilos,photos

2英语中名词复数变化

一般加s：清辅音s读{s}丝

浊辅音s读{z}恩

元音s读{Z}

例;black街区canal运河actor演员

以{s}{z}{ʃ}{tʃ}结尾：加es

例;brush刷子coach长途汽车

以y结尾;前为辅音字母变y为i加es，

例;country国家lorry卡车lady女士dictionary字典

前为元音字母变y为i加s

例;boy男孩key钥匙

以f/fe结尾;变f/fe为v加es读{vz}例;shelf架子loaf一条面包

直接加s读{s}roof房顶safe保险箱proof证据

以上两种都可行例;scarf围巾handkerchief手帕

以o结尾;o前为辅音字母加es读{z}each回音 negro黑人

辅音字母加s读{z}例;kilo千克piano钢琴

元音加s读{z}例;radio收音机studio工作室

有生命加es例potato马铃薯tomato西红柿

无生命加s例piano钢琴

以s，x，sh ，ch结尾加es例;class课

3英语可数名词复数形式变化

一般情况，可数名词的复数形式直接在词尾加s。例如：river---rivers

以-ch,-sh,-s,-x结尾的名词直接在词尾加es。例如：class---classes

以“辅音字母+y”结尾的名词，变y为i,再加es;以“元音字母+y”结尾的名词，直接在词尾加s。例如：boy---boys

以“辅音字母+o”结尾的名词(多数情况下)加es;以“元音字母+o”结尾的名词，直接在词尾加s。例如：piano---pianos

以f或fe结尾的名词，变f或fe为v,再加es。例如：life---lives

10.复数概念教学应关注的问题 篇十

一 复数教学的定位与教育价值

复数是高中生必备也是高考必考的的基础知识, 文理科内容相同, 要求一致。复数不像实数, 具有实在感, 复数是纯理论的创造, 无法直接感知。数的产生是生产实践的需要, 是用来记数或丈量的, 但复数是为了解方程而产生的。

数系的扩充对学生来说并不陌生, 学生已学习了负数、分数、无理数, 复数的引入, 实现了中学阶段数系的最后一次扩充。当然, 数系扩充必须满足的原则是:“ (1) 从数系A扩充到数系B必须是A真包含于B, 即A是B的真子集; (2) 数系A中定义了的基本运算能扩展为数系B的运算, 且这些运算对于B中A的元来说与原来A的元间的关系和运算相一致; (3) A中不是永远可行的某种运算, 在B中永远可行; (4) B是满足上述条件的唯一的最小的扩充。”

数学概念是数学这座大厦的基石, 是数学体系的起点。因此, 掌握复数的基本概念是学好复数的关键。复数的学习能强化学生分类讨论、类比以及数形结合的思想, 能激发学生勇于探索、创新的精神, 让学生感受数学发展过程的美。

二 处理教材应关注的几个问题

第一, 为什么引入复数;第二, 怎么引入;第三, 什么是复数;第四, 复数怎么分类;第五, 如何判断两个复数相等;第六, 复数的几何意义。建议对本节课的教时设定为一个课时, 因内容较多, 抽象不易理解, 加之在关键地方规定较多, 未讲清为什么要规定, 为什么这样规定。因此处理以上六个问题, 是帮助学生正确理解与掌握复数概念的关键, 也是上好本节课的重要线索。

三 教学的关键

复数比之前学过的数更抽象, 尤其是虚数单位“i”的引入, 引发学生认知上的冲突、心理上的排斥。因此本节课的关键是帮助学生理解虚数单位“i”, 并理解复数的代数形式。

四 对教学过程安排的建议

首先, 从学生已有的学习经验和知识背景出发, 提问所学过的数的分类, 以及常用数集的表示及其之间的关系。

紧接着, 解五个方程:x+1=2;x+2=1;5x=3;x2=2;x2=a。

从前四个方程的求解中, 学生间接回顾数系的扩充, 了解数系扩充的历史。第五个方程, 高二学生须具备一定的分类讨论思想, 当a≥0时能解, a<0时就解不了。学生感知已有的数集不够用, 数系自然就要扩充了。

问题1:能不能创造一类数使它的平方是负数呢?

大量实例表明任何一个负数都可以表示成-1与一个正数的乘积。因此, 要解决谁的平方是负数这一问题, 只需要解决谁的平方等于-1即可。这就说明引入虚数单位“i”的必要性及合理性了。

问题2:引入“i”能将原有的数系扩充吗?

从以往数系扩充的经验出发, 引导学生将虚数单位“i”与实数进行四则运算, 通过实数与“i”的基本的乘法与加法运算自然就产生了复数。于是, 学生对数的认识从实数域扩充到一个更大的领域——复数域。

解决完以上问题, 趁热打铁, 抽象概括复数的概念, 构建复数的表示形式:Z=a+bi (a, b∈R) 。

事实证明, 学生对复数概念模糊, 相当程度上是因为对复数代数形式的理解不到位。因此要强化实部与虚部的概念。学生常易在虚部的概念上出错, 要特别举例说明。

既然实部、虚部共同决定复数, 学生很自然地就可以想到根据实部、虚部的取值的不同, 对复数分类。通过对复数分类, 加深对复数代数形式的认识, 与此同时还能使学生体会复数和实数的区别与联系。

一个复数a+bi (a, b∈R) 有实部有虚部, 就可确定一组有序实数对 (a, b) , 同时, 一组有序实数对确定一个复数, 因此它们是一一对应的。帮助学生理解好了这个对应关系, 对于两复数相等的问题以及复数的几何意义问题, 学生就能轻松理解。因此复数的代数形式是关键, 后面三个问题都是复数代数形式的深化。

例题1:说出下列三个复数的实部、虚部, 并指出它们是实数还是虚数, 如果是虚数, 请指出是否为纯虚数: (1) 3+4i; (3) -7。以此例理解巩固复数的基本概念及分类。

例题2:设x, y∈R, 且 (x+2) -2xi=-3y+ (y-1) i, 求x, y的值。以此例理解巩固当且仅当实部与虚部都相等时, 两个复数相等。同时指出, 虚数一般不比较大小。

复数与点的一一对应关系, 引导学生联想向量的知识, 同时类比实数与数轴上点的一一对应关系, 帮助学生理解复数与平面内点的一一对应关系, 引出复数的几何意义以及复数模的概念。通过例题3, 在复平面内表示下列复数, 并分别求出它们的模: (1) -2+3i; (3) 3-4i; (4) -1-3i。对学生进一步渗透数形结合思想。

随后, 根据学生在处理课本上的练习产生的问题, 及时纠正并加强概念的理解。

最后, 师生共同小结, 一是以符号或图形的形式表示扩充后的数集, 二是总结复数的代数形式及相关概念。

11.英语句子单数变复数方法 篇十一

英语句子单数变复数方法

1．主格人称代词要变成相应的复数主格人称代词,即I→we, you→you，she,he,it→ they。如：She is a girl.→They are girls.2．am，is要变为are。如： I’m a student.→We are students.3．不定冠词a，an要去掉。如： He is a boy.→They are boys.4．普通单数名词要变为复数形式。如：It is an apple.→They are apples.5．指示代词this，that要变为these，This is a box.→These are boxes.those。如：

12.英语语法：country的复数 篇十二

country做农村用时，只能是单数，且其前面要加定冠词the。如：

They live ahappy life in the country.

他们在乡村里过着幸福的生活。

country 做国家用时，是可数名词。country的复数形式是countries。如：

Japan is an Asian country.

日本是亚洲国家。

Japan, China, and India are Asian countries.

13.高考中复数常考题型归类 篇十三

一、考查复数的基本概念

例1 (2006年福建理科卷)设a,b,c∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是().

(A) ab-bc=0

(B) ac-bd=0

(C) ac+bd=0

(D) ad+bc=0

解:因为(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i为实数,所以ad+bc=0.

故选D.

[评注]此题主要考查复数为实数的充要条件,另外复数为虚数和纯虚数,实部、虚部、共辆复数等概念在高考也常常会涉及到.

二、考查复数的代数运算

例2 (2006年安徽理科卷)复数等于().

(A) i (B)-i

(C)(D)

故选A.

[评注]此题主要考查复数的代数运算中的除法运算,若按除法的运算规律运算也可以,但运算量大,易出错.因此如可能我们也常适当运用技巧,先化简,再计算.如上解中先在分母中提取了-i后出现了与分子相同的式子,从而可以约分,简化了解题过程.

三、考查复数的几何意义

例3 (2005年浙江理科卷)在复平面内,复数对应的点位于().

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

解:因为

所以根据复数的几何意义得对应的点位于第二象限.

故选B.

[评注]此题主要考查复数的几何意义,体现了数形结合的思想.

四、考查复数的常用性质

例4 (2006年陕西理科卷)复数等于().

(A) 1-i (B) 1+i

(C)-1+i (D)-1-i

答案:C.

[评注]复数学习时,有如下常见结论:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈Z;(1±i)2=±2i;ω3=1,,.对这些结论的考查是常见的,有时结合代数运算进行综合考查.

五、考查复数方程的解法

例5 (2005年上海文科卷)在复数范围内解方程为虚数单位).

解:原方程可化简为,设z=x+yi(x、y∈R),

代人上述方程,得x2+y2+2xi=1-i,

所以x2+y2=1,且2x=-1.

所以.

所以原方程的解为.

[评注]在复数范围内解方程,一般需设z=x+yi (x、y∈R),然后综合运用复数的知识,结合复数相等条件,求出x,y,写出所求复数z.

14.小学英语单复数练习 篇十四

2.以s、sh、ch、x结尾的名词，加es，如：bus-buses(公车),class-classes(班级),fish-fishes(此时的fish当“鱼的种类”讲),watch-watches(手表),box-boxes(盒子),fox-foxes(狐狸)

3.以元音字母+y结尾的名词，直接加s，如：boy-boys(男孩),toy-toys(玩具)

4.以辅音字母+y结尾的名词，去y改ies，如：family-families(家庭),strawberry-strawberries(草莓)

5.以f或fe结尾的名词，去f或fe改ves，如：wife-wives,knife-knives,wolf-wolves，life-lives(这三个词的记忆口诀---“妻子”拿着“小刀”杀了“狼”)

6.以”o“结尾的名词：（1）有生命的，加es，如：potato-potatoes,tomato-tomatoes,hero-heroes(这 三个词的记忆口诀---”英雄“爱吃”土豆“和”西红柿“)（2）无生命的，加s，如：photo-photos(照片),radio-radios(收音机)

7.将“oo”改为“ee”的名词，如：tooth-teeth(牙),foot-feet(脚),goose-geese(鹅)

8.单复同形的名词：（1）fish-fish(此时fish当“同类鱼的很多条”讲),sheep-sheep(绵羊),paper-paper(纸),Chinese-Chinese(中国人),Japanese-Japanese(日本人),people-people(peoples表示“民族”)

（2）不可数名词，如：water(水),rice(米饭),milk(牛奶),juice(果汁),bread(面包),tea(茶),orange(橙汁)

9.不规则变化的名词：（1）man-men,woman-women(记忆方法---“男人”“女人”将a改e)

延伸：policeman-policemen,policewoman-policemen

（2）child-children（孩子）

（3）mouse-mice(老鼠）

（4）根据中文意思变化的名词，如：I-we(我-我们),you-you(你-你们),he/she/it-they(他/她/它-他们),this-these(这个-这些),that-those(那个-那些）

同学们，快来看看自己做的怎么样吧！

小学英语可数名词单数变复数规律总结

写出下列名词的复数形式：

I this that

watch

child

photo

diary(日记)day(天)foot book dress(连衣裙)tooth

sheep

box

strawberry

wolf peach yo-yo(悠悠球)

sandwich

man woman paper water juice tea

mouse There are 56

(people)in China.答案：we

these those

watches

children

photos

diaries days

feet books

dresses

teeth

sheep

boxes

strawberries wolves

peaches yo-yos(悠悠球是“无生命”的，另外含有-符号的词是一个词，因此在结尾加s)

sandwiches

men women paper

water juice tea mice

15.英语名词的单复数与一致性 篇十五

1.并列结构作主语时与谓语的一致关系

a)由and连接两个名词或者代词作主语时

A and B分为以下四种情况：

i.A、B表示不同的人、物或者观念的时候，谓语动词要用复数形式

Li Ming and Zhang Hua are good students./ Both the parents and the children are here.ii.A、B表示同一个人、物或者观念的时候，谓语动词要用单数形式

A journalist and author lives in the sixth flat.The turner and fitter is under twenty-five.iii.And连接几个单数主语，主语由each、every、no、many等词修饰的时候，谓语动词要用单数

Each boy and each girl is invited./ Every boy and girl is invited./ No boy and no girl is there now.iv.A、B为两个不可分的东西时，谓语动词用单数

A law and rule about protecting environment has been drawn up.Bread and butter is nutritious.b)由or, not only...but also..., either...or..., neither...nor...连接主语时，谓语的人称和数与靠近的主语一致（注意，叙述句和疑问句随语序不同而不同）Either you or I am mad.Neither you nor he is naughty.Not only the farmer but also his family were friendly to me.c)当主语后跟有with, along with, together with, besides, except, like, including, as well as, rather than等词的时候，谓语动词不受词组的影响，仅和主语保持一致

All but one were here just now.A library with five thousand books is offered to nation as a gift.2.单一主语的情况

a)以复数形式结尾的名词作主语时，例如physics, maths, economics, news, means, works, 等一般在谓语动词中用单数形式, 当然，若表示复数的意思则另当别论

Physics is very important./ Every means has been tried.b)表示双部分工具的名称，衣服名称等作主语时，例如trousers/pants, shoes, glasses, scissors, goods, clothes等，谓语用复数形式；如果这些词由Pair(suit, piece, series, kind)+ of修饰的时候，谓语动词要用单数

My trousers are white and his clothes are black.A pair of scissors is lying in that drawer.但是在these/those pairs(…)of + 复数名词之后，谓语动词则用复数形式 These kinds of glasses are popular this summer.3.动名词，不定式，从句作主语的时候，谓语动词一般要用单数

To see is to believe./ Swimming is a good way to keep health.Who is her father is not known.4.集体名词作主语时

a)mankind/humanity/man（人类）作主语的时候，谓语动词一般用单数形式 Only man is knows how to cook.b)由people, police, cattle, youth等集体名词作主语的时候，谓语动词用复数形式

The cattle are grazing in the field.c)Family, crowd, class, public, enemy等集体名词作主语的时候

i.若当整体看，则谓语动词用单数形式 Our class is very diligent.ii.若他们表示的人或者事物当作若干个个体来看，谓语动词则用复数形式 When I came into the room, his family were watching TV.iii.A family/group/class作主语时，谓语动词用单数

families/groups/classes作主语时，谓语动词用复数

A group is coming to the zoo.5.其他情况

a)主语为表示距离、时间、长度、价值、金额、重量等复数名词的时候，谓语动词用单数形式 kilometers is not very far.Three times three makes nine.b)one, every/each one, each, anyone, either, neither + of + 复数名词

谓语动词一般用单数形式，因为of之后的复数名词不是主语而是介词of的宾语，of前面的one, every one … 才是主语

Neither of them is right.Each of them has a slide.c)none of + 不可数名词——谓语动词用单数形式

none of + 可数名词 ——谓语动词单复均可

None of that money in the desk is his.None of his classmates knows the truth.d)分数或百分数 + of + 词组

分数或百分数+ of +词组作主语时，谓语动词的数取决于of后的名词或者代词的数；若名词或代词是复数，谓语动词用复数，若名词或代词是单数，则谓语动词用单数

Three-thirds of the surface of the earth is sea.Tens of tons of waste goes into the air with the smoke every day.e)more than one +(单数名词)+单数动词

more than two +(复数名词)+复数动词 More than one white rose has bloomed.More than two white roses have bloomed.f)a(great)number of + 复数名词 ——用复数动词

the number of + 任何名词 —— 用单数动词

A great number of tourists have been to the Great Wall.The number of students in the computer class is limited to ten.g)the + 形容词，表示一类人 ——谓语动词用复数

the + 形容词，表示一类物 ——谓语动词用单数

The rich are for the decision but the poor are against it.The beauty is here.h)every, any, some, no 构成的复合词 everyone, everybody, everything anyone, anybody, anything

这些复合词作主语的时候，谓语动词用单数形式

someone, somebody, something

16.巧用复数运算求一类函数迭代式 篇十六

首先给出定义, 把形如h (x) =的函数组成的集合记为H, 即

[引例]若h1 (x) , h2 (x) ∈H, 则h1 (h2 (x) ) ,

h2 (h1 (x) ) ∈H, 且h1 (h2 (x) ) =h2 (h1 (x) ) .

证明:设则

且有h1 (h2 (x) ) =h2 (h1 (x) ) .

引例可以推广到任意个H型函数, 即若h1 (x) , h2 (x) , …, hn (x) ∈H, 则h1 (h2… (hn (x) ) , 且h1 (h2… (hn (x) ) ) =h1′ (h2′… (h1′n (x) ) ) , 这里h1′ (x) , h2′ (x) , …, h′n (x) 是h1 (x) , h2 (x) , …, hn (x) 的任一个排列.

从引例证明过程中得到启发:若h1 (x) =对应复数a+bi, h2 (x) =对应复数c+di, 则

对应复数 (ac-bd) + (ad+bc) i, 且 (ac-bd) + (ad+bc) i恰好等于它们的乘积 (a+bi) (c+di) .

由此可得到解法:要求由任意个H型函数迭代式所确定的函数表达式, 首先将已知函数所对应的复数写出, 然后写出乘积复数所对应的H型函数即为所求.

【例1】已知f (x) =试求f (g (h (x) ) ) , g (f (h (x) ) ) .

解:因为f (x) =对应的复数分别为2+3i, 4-i, 3-2i, 且 (2+3i) · (4-i) (3-2i) =53+8i, 写出H型函数

所以f (g (h (x) ) ) =

由引理可知g (f (h (x) ) ) =

【例2】已知f (x) =, 求g (x) =