分式不等式放缩、裂项、证明

分式不等式放缩、裂项、证明（共11篇）

1.分式不等式放缩、裂项、证明 篇一

例谈“放缩法”证明不等式的基本策略

江苏省苏州市木渎第二高级中学母建军 21510

1近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例

1、已知an21(nN).求证：n*an1a1a2...n(nN*).23a2a3an

1ak2k11111111k1.,k1,2,...,n, 证明： ak12122(2k11)23.2k2k2232k

aa1a2n1111n11n1...n(2...n)(1n), a2a3an1232222322

3an1aan12...n(nN*).23a2a3an1

2若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k2，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例

2、函数f（x）=4x

14x，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+12n11(nN*).2证明：由f(n)= 4n

14n=1-111 nn1422

221得f（1）+f（2）+…+f（n）>11

122211

22n

111111n(1n1)nn1(nN*).424222

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进

行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

例

3、已知an=n，求证：∑ 证明：∑

k=

1nn

nk=1ak

k

n

＜3．

(k－1)k(k＋1)

=1k2n

ak

2=∑

k=

1n

＜1＋∑

k=2

＜１＋∑

k=2

(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k

－1)

=1＋ ∑（k=2

n

－)

(k－1)

(k＋1)

1=1＋1＋－ ＜2＋＜3．

(n＋1)2

2本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；

n

1.例

4、已知数列{an}满足an1a,0a1,求证：(akak1)ak2322k

1n

证明 0a1

n

11112,an1an,a2a12,a3.当k1时,0ak2a3, 2416161n11(akak1)(a1an1).16k116

32(akak1)ak2

k1

本题通过对因式ak2放大，而得到一个容易求和的式子

5、逐项放大或缩小

(a

k

1n

k

ak1)，最终得出证明.n(n1)(n1)

2an例

5、设an2234n(n1)求证 22122n1

2证明：∵ n(n1)nnn(n1)(n)

2n

1n(n1)(n1)213(2n1)

∴ 123nan，∴

an

222

2n1

本题利用n，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的∴ n

n(n1)

数列，达到化简的目的。

6、固定一部分项，放缩另外的项； 例

6、求证：

11117 2222123n

4证明：

1

2nn(n1)n1n



11111111151171()().22222123n223n1n42n4

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

7、利用基本不等式放缩

例

7、已知an5n

41对任何正整数m，n都成立.1，只要证

5amn1aman因为 amn5mn4，aman(5m4)(5n4)25mn20(mn)16，故只要证

5(5mn4)125mn20(mn)16 即只要证

20m20n37

因为aman5m5n85m5n8(15m15n29)20m20n37，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由aman放大即可.8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩

例

8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：nAim＜mAin；(2)证明：(1+m)＞(1+n)

i

i

n

m

证明：(1)对于1＜i≤m，且Aim =m·…·(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi1ni

1，,同理ii

mmmnnnmn

由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有

nkmk，

nm

AinAim

所以ii,即miAinniAim

nm

(2)由二项式定理有：

2n2n

(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知

mAin

i

＞nAim

i

(1＜i≤m＜n)，而

Cim

∴miCin＞niCim(1＜m＜n)

AimiAin

= ,Cni!i!

00222211

∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，…，mmm+1m1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2n222n1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.

2.分式不等式放缩、裂项、证明 篇二

证题中经常用到的放缩方法有:

1.“添舍”放缩:对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果.

2.分式放缩:分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果.

3.利用重要的不等式或结论放缩:把欲证不等式变形构造,然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩,例如,均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等.

4.单调性放缩:挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数,利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩.

二、常见的放缩控制

当我们选择了正确的放缩方法后,却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控,导致放缩的过大或过小,达不到欲证的目标.那么如何控制好放缩的尺度.

例1求证:

分析1:不等式左边不能直接求和,我们希望通过合适的放缩后可以求和.若采取的方法向右端放大,

则左边

很明显,放得有点大了,导致传递性失败,不等式链中断,放缩失败.那怎么办呢?

1.调整放缩的“量”的大小

分析2:分析1中“放”的有点过大,因为放大了放大了,…所以可以通过调整放大的“量”来控制放缩的效果.在分母减少了n,我们可以把分母只减少1,即这样放的量就少了。

证明1:左边

2.调整放缩的“项”的起点

分析3:分析1中从第二项开始放缩,放的最终有点大.可以调整放缩的项数,从第三项开始放缩.

证明2:左边

由此可见,调整成功.显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小些.以此类推,当放缩的项数越少,放缩后的结果就会越来越精细,越来越逼近目标.

除此之外,还可以调整放缩的次数,通过多次放缩的调整来达到效果;有时也可以根据欲证式子的结构特点,把相邻的项分组捆绑后进行放缩,也可以达到控制放缩合理和尺度的效果.

三、常见的问题类型

数列型不等式的一边常与求和有关,所以可以通过放缩后求和(或求和后放缩)来达到欲证的目标.下面我们通过典型例题来体会常见问题的处理手法.

1.放缩与“公式法求和”

选择恰当的放缩方法,通过“通项”的适度放缩使之转化为等差或等比数列,从而求和达到简化证题的目的.

例2设

证明:因为所,即

说明:分别利用“添舍项”和“均值不等式”把通项放缩为等差数列,然后求和得证.

2.放缩与“裂项法求和”

在例1中,不等式的左边无法求和,但通过放缩产生裂项相消的求和效果后,使问题解决.例2的右边也是利用放缩产生了裂项的效果,然后求和.下面我们再通过例题的证明体会裂项求和效果的运用.

例3求证

证明:因为

所以因为

所以

说明:例1分式、例3根式的放缩后裂项相消求和的处理手法是很多灵活题目的原型,值得体会.

3.放缩与“并项法求和”

例4求证

分析:观察分母的变化规律,把若干项“捆绑”并为一项后进行放缩,然后求和就很容易实现欲证的目标.

证明:左边

4.利用递推关系式放缩

利用递推关系式本身蕴含的不等关系或放缩产生的不等关系,在很多题目中可以起到很好的放缩效果.

例5已知求证:.

分析:根据欲证不等式的结构特点,通过递推关系式构造关于1+ak的不等式,然后实现对通项的放缩.

证明:因为且

所以所以

所以左边

5.构造和数列后进行放缩

如果数列不等式没有直接的求和的形式,很多时候可以间接的构造和数列,然后进行放缩处理.

例6已知正数列满足证明:

分析:根据已知构造关于的递推关系式,然后利用“累加法”把不等式的左边转化为和数列的形式.

证明:因为所以.所以

所以所以

总之,运用放缩法进行数列不等式的证明,要认真分析条件和结论的结构特征,明确方向,防止盲目放缩.同时还要多总结、多思考,多掌握一些常用的放缩技巧,以提高分析问题和解决问题的能力.

摘要：放缩法证明数列不等式,不仅需要学生掌握常用的放缩方法和技巧,控制好放缩的目标和尺度,同时也需要熟悉常见的问题类型.为了帮助更多的学生突破这一难点,本文对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析.

3.浅谈用放缩法证明不等式 篇三

山东省 许 晔

不等式的证明是中学数学教学的重点，也是学生接受时感到头痛的难点。不等式的证明方法很多。如：比较法（比差商法）、分析法、综合法、数学归纳法、反证法和放缩法等。限于篇幅，下面仅就用放缩法证明不等式的问题加以证明。

所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，似达到证明结果的方法。但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。比如：证a＜b，可先证a＜h1，成立，而h1＜b又是可证的，故命题得证。

利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。现举例说明用放缩法证明不等式的几种常用方法。

一、运用基本不等式来证明

①求证：lg8·lg12＜

1证明：∵lg8＞0，lg12＞0，而 lg96＜lg100=2 ∴lg8·lg12＜1.说明：本题应用对数函数的单调性利用不等式平均值，不等式两次放大，使不等式获证。

说明：本题采用了与基本不等式结合进行放缩的有关解题技巧。

解：

∵a2b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）同理a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时，等号成立）b2＋c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立）

∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（当且仅当a=b=c时，等号成立）∵由已知可得a2+b2＋c2=ab＋bc＋ac，说明：此题完全使用了不等式的基本性质便可解此题。

二、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的证明：

说明：本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。

证明：

本题说明采用了分别把各项的分母换成最大的2m或最小的m＋1的技巧。③求证：

证明：

本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。

④求证：

证明：

本题说明，此题采用了通项放缩，使放缩后能拆项相消的技巧。⑤若a、b、c为不全相等的非实数 求证：

证明：

∵a、c、b不全为零，上述三式不能全取等号，相加得

说明：本题考虑到是齐次对称式，应用不舍弃非负项缩小的技巧。⑥求证：

证明：

当a＋b=0时，不等式显然成立。

当a＋b≠0时，∵0＜｜a＋b｜≤｜a｜+｜b｜，即：左边≤右边.说明：本题是运用了放大分母而缩小一个正分数的技巧。

三、放缩法在数学归纳法和数列中的应用

证明：当n=k+1时，则得

本题采用放缩法和数学归纳法相结合的解题方法。

证明：由递推公式有：

∴x100＞45.本题采用了数列的递增和放缩法相结合的解题技巧。

4.分式不等式放缩、裂项、证明 篇四

例 1已知,求证：

分析 由把可想到二项式系数的和为，由可想到二项式定理，利用放缩法构造出二项式定理公式，从而得出结论。转化成证明设且。

对任意，有

将上述各式叠加：

例 2 求证：

分析左式是n个因式连乘的形式，应把各因式化为分式，通过放缩，使之能交替消项，达到化简的目的。由于右式是，因此所放缩后的因式应与有关。证明

例

分析左式很难求和，可将右式拆成n项相加的形式，然后证明右式各项分别大于左式各项，叠加得出结论。

证明

5.数列不等式结合的题的放缩方法 篇五

2011-4-6 11:51 提问者：makewest | 悬赏分：20 | 浏览次数：559次

2011-4-6 11:53 最佳答案

放缩法一般来说是高考的难点 要求又比较强的观察力计算能力分析能力等 个人感觉高考压轴题出个放缩法再结合构造函数估计就是难倒一片了

放缩法的规律性说有也有 比如说常见的数列的裂项相消可以说是一种放缩

需要掌握一些比较简单的放缩 具体的我在下面会为你提供一个百度文库的资料 专门讲放缩的

其实个人感觉放缩难点一是是否能够正确地寻求提供放缩的不等式 基本不等式应用要熟练 二是要放得合适 放缩范围大了小了就都得不出答案 三是观察能力 通过合并拆项 舍弃部分项（这个二项式定理用的多 不过近几年二项式定理证明的比较少 我们这边的模拟题倒是有几份出了）等等 再就是由过硬的计算了

这些在这个文档中都有提到 你参考下http://wenku.baidu.com/view/c42786eb6294dd88d0d26bf1.html

下面就这这个题我给你讲下我的思路

第一问没问题吧 一个简单的配凑

第二问的关于b(k+1)-根2 大于0的证明也好办 关键是右边的小于的那个证明

b(k+1)-根2>(3-2根2)(bk-根2）/（2bk+3)分母上尽量不要有bk 因为你证明的b(k+1)-根2>a(4k+1)-根2 所以右边就必须去分母 而且要把bk换成与ak有关的

注意到数学归纳法要用上归纳假设 我们已经假设 bk>根2 你最好看着这个题答案同时再看我的说明

bk>根2 那么分母中2bk+3就大于2根2+3 所以b(k+1)-根2就小于

(3-2根2）^2（bk-根2）而bk-根2 又可以换成n=k时我们假设的 bk<=a(4k-3)原式化为(3-2根2）^2【a(4k-3)-根2】 这两个式子的积

下面要求一定的观察能力 注意到(3-2根2）^2=（根2-1）^4

你会问了 怎么会想到它呢？

因为你看 题目中要证明的与ak有关 而它的通项公式与根2-1有关系 而且后面出了【a(4k-3)-根2】这个因式 因此必定要寻求要证明的式子与数列通项的关系 观察出这一点了(3-2根2）^2=（根2-1）^4 那么把它再换上 要证明的就是 b(k+1)-根2<=（根2-1）^4【a(4k-3)-根2】

到了这一步 接下来的事就好办多了 你把a(4k-3)换成数列an的通项表示出来 就会发现(根2-1）^4【a(4k-3)-根2】=根2乘以（根2-1）的4k+1次幂 结合an的通项 你可以看出这个就是a(4k+1)-根2 所以原式b(k+1)-根2<=a(4k+1)-根2就得到了证明 即n=k+1 时 也成立 综上 要证明的就成立

不知道我这样你看明白没有 没法编辑公式讲起来只能用语言加数字叙述比如（根2-1）^4 看起来怪费劲的总之这个题要比单纯的放缩法还稍要来得简单 因为有数学归纳法帮助你寻求解题的突破口 因为你必定要用上归纳假设 否则就不是数学归纳法了 这样一来它还是给你提供了一定的思路的本题的难点可能在观察不出来(3-2根2）^2=（根2-1）^4 卡住

本人做这个题用了30分钟做出来

后来对照答案看的差不多 但是估计在考场上就做不出来了 因为最后很可能没有这么多时间 加上紧张啊等等可能思路就得受限制

6.常用均值不等式及证明证明 篇六

这四种平均数满足HnGn

AnQn

、ana1、a2、R，当且仅当a1a2

an时取“=”号

仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用

均值不等式的变形：

(1)对实数a,b，有a

2b22ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a,b02ab

(4)对实数a,b，有

aa-bba-b

a2b2

2ab0

(5)对非负实数a,b，有

(8)对实数a,b,c，有

a2

b2c2abbcac

abcabc(10)对实数a,b,c，有

均值不等式的证明：

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则ABAnnAn-1B

n

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0(用数学归纳法)。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即

那么当n=k+1时，不妨设ak1是则设

a1,a2,,ak1中最大者，kak1a1a2ak1 sa1a2ak

用归纳假设

下面介绍个好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数fx,x1,x2,,xn是函数fx在区间(a,b)内的任意n个点，设fxlnx，f

7.不等式的证明 篇七

教学目标

1.知识与技能

（1）.理解绝对值的几何意义并能用其证明不等式和解绝对值不等式.（2）.了解数学归纳法的使用原理.（3）.会用数学归纳法证明一些简单问题.（4）.了解证明不等式的常用方法.2.过程与方法

通过自主学习、课上讨论、提问、分析点评，让学生更加熟练解决有关不等式证明有关的问题.3.情感、态度和价值观

（1）培养学生分析、探究问题的能力，进一步培养学生学习数学的兴趣及综合运用基本知识解决问题的能力.（2）培养他们合作、交流、创新意识以及数形结合、抽象理解能力,使学生学会数学表达和交流，发展数学应用意识.学法与教具

（1）学法：课下自主复习、课堂上合作探究.（2）教具：教学案、多媒体.一、【知识梳理】

不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容.1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：、放缩法、反证法、函数单调性法、、数形结合法等.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.(1)反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；(2)放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意

放缩的适度。常用的方法是：

131

①添加或舍去一些项，如：a1a，n(n1)n，aa

242

②将分子或分母放大（或缩小）如：

1n



n(n1)n

ab),2



1n(n1)

③真分数的性质：“若0ab，m0,，则

ambm(lg

④利用基本不等式，如：lg3lg5（n(n1)

lg3lg

2)(lg

2)

(lg4)

lg4；

n(n1)

.⑤利用函数的单调性

⑥利用函数的有界性：如：sinA1,AR；2x0,xR.⑦利用常用结论： Ⅰ、1K1K

2K2K1k(k1)1k

K



2K

2K1k

K1K

12(K1K)(kN,k1)

*



K

2(KK1)(kN,k1)

*

Ⅱ、1k



1k

1 ；

1k



1k(k1)

1k1



1k



1k1

（程度大）

Ⅲ、1k





1

(k1)(k1)



2k1

（)；（程度小）

⑧绝对值不等式：ababab；

nn1n1

⑨应用二项式定理.如：2(11)1CnCn12(n1)(n4)

3构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.二、【范例导航】

例1.设不等式2x11的解集为M.（I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．

解：（I）由2x11解得0x1.所以Mx0x1（II）由（I）可知aMbM，故0a1,0b1 所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0故ab1ab

例2.已知a、b、c∈R+，且abc1求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c).剖析：在条件“abc1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“abc”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证

明

：

∵

a,b,cR且abc

1



∴要证原不等式成立，即证

(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c

也就是证

(ab)(ca)(ab)(cb)(ac)(bc)8(bc)(ca)(ab)1

∵(ab)(bc)2(ab)(bc)0，(ac)(bc)2(ac)(bc)0(ab)(ac)2(ab)(ac)0，三式相乘得①式成立.故原不等式得证.例3．证明不等式1

1213

1n



2n(nN)

证：对任意nN，都有： 1k

2k12k13

2k

k11n

2(kk1),2)2(n

n1)2n.因此122(21)2(3

例4.证明

：(1)(1)(1

112n1)

2n12n1



75

2n12n1



2n1

3

2n1

2证明方法

一、1

(1

13)(1

512n

1

2n2n1)

43

65

(2n1)(2n1)2n12n1



2n2n1





53)(1

5476

2n176

证明方法

二、设B则AB又因为所以A

435465

2n2n

12n1



2n

2n12n，2n1

32n2n1

2n12n

2n1

4,A

2n1

2AB

2n13

例5.已知：a,b,c都是小于1的正数；求证(1a)b,(1b)c,(1c)a中至少有一个不大于.证明：假设(1a)b

14,(1b)c

14,(1c)a

1232,14，则有

12,(1c)a

∵a，b，c都是小于1的正数，(1a)b从而有(1a)b

(1b)c

(1c)a

(1b)c



1bc



1ca

32

但是(1a)b(1b)c(1c)a

1ab

故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确．

【说明】反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法．

三、【解法小结】

1.综合法就是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.4.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等，在放缩法中一定要注意放缩的尺度问题不能过大也不能过小.四、【布置作业】

必做题：

1.不等式x3x1a3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）

A．,14,2.设an

sin1

2sin22

B．,25,C．1,2D．,12,

sinn2

n

, 则对任意正整数m,n(mn), 都成立的是（）

mn2

A．anam

mn2

B．anam C．anam

n

D．anam

n

3.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)设

1ba

()()1，那么()222

A.aaabbaB.aabaabC。abaabaD.abbaaa

4．(2012,四川文)设a,b为正实数,现有下列命题:

① 若a2b21,则;ab1 ②若③若

1b1a

1,则ab1;

ab1,则ab1;

④若a3b31,则ab1.其中的真命题有___________（写出所有正确的题号）必做题答案:

1.A解析:因为x3x1a3a对任意x恒成立，又因为x3x1最大值为4所以 a3a4解得a4或a

sinn12

n

12.C

anam



sinn22

n2



sinm21

m



sin(n1)2

n1



sin(n2)2

n2



sinm2

m



n1



n2



m



n1



n2



m

12

n1



m1



n



m



n

1

故应选C

16.答案C17、①④

选做题：（辽宁2011理21）已知函数f(x)lnxax2(2a)x．（I）讨论f(x)的单调性；（II）设a0，证明：当0x

1x

时，f（1a

x)f（1a

x)；

（III）若函数yf(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f(x0)0． 解：（I）f(x)的定义域为(0,), f(x)

1x

2ax(2a)

(2x1)(ax1)

x

）（i）若a0则f(x)0,所以f(x)在（0，单调增加.（ii）若a0则由f(x)0得x

1a

且当x(0,)时，f(x)0,当x

a

11a

时，f(x)0,1单调增加，在(,)单调减少.所以f(x)在（0）a

a

（II）设函数g(x)f（a1ax

1x

1a

x)f（1a

x)则g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax

1a

g(x)

a1ax

2a

1a

2ax

1ax

1a,当0x时，g(x)0,而g(0)0,所以g(x)0.故当0x时，f（x)f（x)

（III）由（I）可得，当a0函数yf(x),的图像与x轴至多有一个交点，11

,且f0不妨设aa

1ax

2故a0，从而f(x)的最大值为f

A(x1,0)B(x20),0x1x2,则0x1

2a

1a

1a

由（II）得f（x1)f（

x1)f(x1)0从而x2

2a

x1,于是x0

x1x2



1a

由（I）知，f(x)0

五、【教后反思】

8.几何法证明不等式 篇八

^2<(a^2+b^2)/2

(a,b∈R，且a≠b)

设一个正方形的边为C,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为A,另一条直角边为B,(B>A)A=B,刚好构成,若A不等于B时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(B-A)^2,经化简有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因为(A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因为A不等与B,所以不取等号

可以在直角三角形内解决该问题

=^2-(a^2+b^2)/2

=<2ab-(a^2+b^2)>/4

=-(a-b)^2/4

<0

能不能用几何方法证明不等式，举例一下。

比如证明SINx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)

做出一个单位圆，以O为顶点，x轴为角的一条边

任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x

那个角另一条边与圆有一个交点

交点到x轴的距离就是SINx

因为点到直线，垂线段长度最小，所以SINx小于等于x，当且尽当x=0时，取等

已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;

能给出其他方法的就给分

(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)

一个是算术，一个是几何。人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^

搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证

(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0

我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)

我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出

a1=a2=……=an

再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。

要的是数学法证明也就是代数法不是用向量等几何法证明.....有没有哪位狠人帮我解决下

【柯西不等式的证明】二维形式的证明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

一般形式的证明

求证：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

证明：

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立

令A=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2

当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0

构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，展开得：

f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

9.最值证明不等式 篇九

ln x(2)证明：f(x)＝>x－1(x>0，x≠1)x

18．证：令g(x)＝x－1－f(x)，原不等式等价于 g(x)>0(x>0，x≠1)．

g(x)满足g(1)＝0，且

x－1＋ln xg′(x)＝1x当0

2当x>1时，x－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．

所以g(x)>g(1)＝0(x>0，x≠1)．

10.基本不等式与不等式基本证明 篇十

第一部分：基本不等式变形技巧的应用

基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。

技巧一：加减常数

例

1、求函数yx

点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。

技巧二：巧变常数

例

2、已知0x

点评：形如f(x)x(1ax)或f(x)x2(1ax2)等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。

技巧

三、分离常数

例

3、已知x

5452121x1(x1)的值域。，求函数y＝x（1－2x）的最大值。，则f(x)x3x32x4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。

技巧

四、活用常数

例

4、若x,yR且满足

点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。

技巧

五、统一形式

例

5、已知a,b,cR，求(abc)(4x16y1，求x＋y的最小值。1

ab1

c)的最小值。

点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数yxx2(0x1)可变形为y第二部分：均值定理证明不等式的方法技巧

。x(1x)等）

1．轮换对称型

例1 若a,b,c是互不相等的实数，求

证：abc

222

abbcac.点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代换型

111

已知a,b,cR,且 abc1,求证 9.abc例2

点评：做“1”的代换。

.3.逆向运用公式型

a,bR,ab1求证： a



b

2.例3已知

点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，a

12,b

将

11

转换成 1a,1b,然后逆向运222

用均值不等式： 若

a,bR则 ab



ab2

.4．挖掘隐含条件证明不等式

111

a,bR,ab1求证：11.ab9 例4 已知

a,bR,ab1

12

ab说明a,bR,ab1的背后隐含ab

4ab

2点评:由于

着一个不等式ab

.5．用均值不等式的变式形式证明不等式

ab例5已知a,b,cR,求证：



bc

ca



2abc.点评：本题的关键在于对ab,bc,ca的处理，如果能找出

ab与ab间的关系，问题就可以

222222

解决，注意到



ab2ab2ab





ab2

2ab

ab 其中a,b,cR即可。解题时要注意a

b2ab的ab

变式应用。常用



ab2

11.分式不等式放缩、裂项、证明 篇十一

学习目标：

1．复习巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；

2．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想。

重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。难点：正确串根。一．基础知识

1.分式不等式解法

f(x)

g(x)0f(x)g(x)0f(x)

g(x)0f(x)g(x)0f(x)

0

f(x)g(x)0g(x)g(x)0

f(x)0

f(x)g(x)0g(x)

g(x)0

2.高次不等式解法：数轴标根

二．典型例题

例1解下列不等式

（1）x－

32x＋7

＜0（2）3＋x ＜0

（3）4x－3＞2－x3－x

－3（4）3

x ＞

1例2 解下列不等式：

（1）(x+1)(x-1)(x-2)>0（2）（-x-1)(x-1)(x-2)<0

(3)x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0（4）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0

（5）2x3x215x0（6）(x4)(x5)2

(2x)3

0．

（7）32

x24x1x21

x2（8）1

3x27x2

三．课堂练习

1.不等式2x1

3x1

0的解集是（）

A.{x|x13或x12B.{x|13x111

2C.{x|x2D.{x|x3

2.不等式

x1

x

≥2的解集为（）A.[1,0)B.[1,)C.(,1]D.(,1

](0,

3．（04重庆）不等式x

2x1

2的解集是（）A．(1,0)(1,)B．(,1)(0,1)C．(1,0)(0,1)D．(,1)(1,)4．（04天津）不等式x1

x

2的解集为（）

A．[1,0)B．[1,)C．(,1]D．(,1](0,)

(x1)25.不等式(2x)

x(4x)≥0的解集为

6,(1)不等式x3x3

x2>0的解集是;(2)不等式x2

≥0的解集是;

(3)不等式

x21x≥0的解集是;(4)不等式-2<1

x

≤3的解集是;(5)不等式(x2-x+1)(x+1)(x-4)(6-x)>0的解集是.x2

7．不等式x－1

>x＋1的解集是.8.解下列不等式：(1)2x1

x

4≥0(2)x22x1x1≥0

(3)x22x3

x2

x6

<0(4)(x1)2(x1)(x2)(x4)0(5)x1x3x41x<0

(6)

xx2x37x28x≥0;(7)4x20x18x2

5x4

≥3;(8)x-3≥4

x;

（9）(x2-x+1)(x+1)(x-4)(6-x)≥0；（10）(x2-x+1)(x+1)(x-4)2(6-x)>0.9．解关于x的不等式xa

xa2

0(aR).10已知不等式ax

x1

<1的解集为{x|x<1或x>2},求a.11思考题：

解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.四、小 结

1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为

f(x)f(g(x)>0(或x)

g(x)

<0)的形式，转化为：

f(x)g(x)0g(x)0(或f(x)g(x)0

