应用概率统计习题集

应用概率统计习题集（精选12篇）

1.应用概率统计习题集 篇一

概率论与数理统计考研复习题（5）

大数定理与中心极限定理

1． 设随机变量X的数学期望E（X）=, 方差D（X）=，则由切比雪夫不等式PX3_____________.2．设X1,X2,,Xn是n个相互独立同分布的随机变量，E(Xi),D(Xi)8（i=1，2，．．．，n）.对于X2Xi 写出所满足的切比雪夫不等式____________，并估计ni1n

P{|X|62____________.n

3．设随机变量X，Y的数学期望分别为2，2，方差分别为1，4，而相关系数为0.5,根据切比雪夫不等式，P{|XY|6}____________.4．甲、乙两个戏院竞争1000名观众，假定每一个观众随意地选择一个戏院，且观众之间的选择是相互独立的，问每个戏院应设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%.5．在n次独立试验中，设事件A在第i次试验中发生的概率为pi(i1,2,,n)，试证明A发生的概率稳定于概率的平均值.6．假设一条自动生产线生产的产品合格率是0.8，要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，稳这批产品至少要生产多少件？

7．某餐厅每天接待400个顾客，设每位顾客消费额（元）服从[20，100]上的均匀分布，顾客的消费是相互独立的，试求：

（1）该餐厅的日平均营业额；

（2）日营业额在平均营业额上下不超过760元的概率.8．一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费。已知一年内投保人死亡率为0.006，如死亡，公司付给家属1000元，求：

（1）保险公司年利润为0的概率；

（2）保险公司年利润不少于60000元的概率.9．设Xn表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则P{aXnb}__________.10．投掷一枚骰子，为了至少有95%的把握使点向上的频率之差在（-0.01, 0.01）的范围内，问需要掷多少次？

11．假设以批种子的良种率为1/6，在其中任选600粒，求这600粒种子中，两种所占的比例值与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率.

2.应用概率统计习题集 篇二

【名师箴言】

成功给每个人的机会是均等的. ———章晓东

学习解题的最好方法之一就是研究例题. ———许新

数学要“品”“做”“悟”. ———诸广平

学会数学反思,让自己更具理性头脑. ———孙伟刚

会用数学公式,并不说明你会数学. ———万志建

数学概念的学习,离不开数学举例;会恰当的举例,是正确理解数学概念的助推器.数学概念且学且举例. ———程军

3.概率统计在经济领域的应用探究 篇三

概率统计经济领域应用概率统计是采用随机抽样方法对某一现象本质规律进行研究的方法。在经济领域范畴，投资决策、收益期望、成本分析、风险预测、财务分析等行为均离不开概率统计知识的应用。由此可见，概率统计在经济领域的重要作用。数理统计法最早被应用与人口统计活动中，但近年来已逐渐得到企业和个人的认可，并将其作为经济分析的重要工具。

一、概率统计在经济模型构建中的应用

第一，经典单方程在经济学分析中的应用，其模型主要为一元线性回归模型。一元线性回归模型简单易懂，但只能进行一个变量的解释，其数学表达式为：y=ax+b。在一元线性回归模型中，将解释变量变假设为确定变量，然后在取固定值进行样品抽取。如果随机干扰项均值为零，则具有不序列和同方差序列性。在数学中为一次函数，阐述函数中的自变量与因变量之间的关系。随机干扰数据呈现出正态分布、零协方差、零均值同方差的影响。第二，多元线性回归模型的构建。在现实生活中，经济活动行为受到多种因素影响，简单的一元线性回归模型并不能解释所有的经济现象，因此必须用到多元方程进行表达。第三，基本假设放宽模型的构建。确定性是经济学原理的基本特征，因此一项经济活动很难满足两种假设，且一旦两种假设相违背，其随机干扰项的数值就会呈现序列相关性和异方差性。在数理统计活动中，必须对项目变量进行随机性的抽取，而一旦出现假设违背现象，则表示随机干扰项和解释变量之间一定存在某种固定的关系。由此，可以看出在概率统计理论下的经济模型构建呈现出明显的多样性，而多种模型构建的根本目的在于解释多变的经济现象，而不是完全依赖于纯理论的数学知识。所以，在经济模型构建中常见计量方式为主的模型，即企业或者个人以过去某一特定时间范围内的财务数据作为随机干扰项为基础而构建起来的经济模分析模型，为企业或个人下一阶段的经济活动提供战略帮助。

二、概率统计在经济风险决策中的应用

风险决策是经济领域的重要专业术语，主要是指在影响因素不确定的情况下，对两种或两种以上的经济方案做出决策。风险决策主要分为概率性决策和不定型决策两种类型，其中影响因素可知的为概率型决策，反之为不定型决策。随着社会主义市场经济的而不断发展和体制改革的不断深入，我国市场经济逐渐趋于完善。在项目的投资分析经济活动中，风险决策成为不可或缺的重要环节。但是投资有风险，在任何一项投资活动中，都会存在一定量的不确定因素。在做出投资决策之前，存在众多随机因素，任何一种投资决策都面临着一定的风险，也就是我们常说的风险性决策。在随机因素影响下，只有科学合理的决策方案，才能以最小成本和风险获得最大收益和保障。所以，在经济决策活动中，企业和个人都应当充分利用数理统计知识，进而制定出科学合理的经济方案。

以个人投资行为为例，假设某人准备在房产、地产、商业三个领域进行投资，其投资收益和市场动态直接相关。假设市场动态呈现出好、中、差三个状态，且其概率分别为0.2、0.7、0.1。通过市场调查，在市场动态好、中、差的背景下，投资房产行业的收益分别为11、3、-3，投资地产行业的收益分别为6、4、-1，投资商业的收益分别10、2、-2。通过计算可得出如下数据：

根据上述计算结果来看，其投资房产行业的预期收益最大。此外，通过计算可知三个行业的投资房差分别为：D房产=15.4，D地产=3.29，D商业=12.96，方差越大代表收益波动越大，相应的投资风险也大。所以，投资房产风险最大。综合投资风险与投资收益，该投资者最好选择地产项目进行投资。

三、概率统计在经济保险中的应用

保险制度是我国社会保障制度的重要组成部分，随着人们对社会保障期望的提升，保险行业得到迅速的发展，但是社会转型和市场改革的不断推进，保险行业逐渐暴露出了种种弊端，保险行业的发展亟需规范。目前，保险公司针对企业和个人推出了各种各样的基本保险和商业投资保险。从本质上来看，购买保险本身也是一种经济投资行为，在购买保险之前，人们都会对保险预期收益进行估算，以确认自己的购买行为是获利还是亏本。下面以概率论极限中心定理的应用，说明概率统计在经济保险中的应用。

某县城平安人寿保险2015年某一险种的的参保人数为2500人，而参保人数的死亡概率为1‰。已知每人每年的参保费用为12元，如果参保人死亡，则家属可领取2000元的保险金。

那么，该公司2015年获利一万元以上的概率是多少？该公司2015年亏本的概率又是多少呢？计算方法如下：

根据计算可知，该保险公司在此险种上的亏本概率几乎为零，所以这也是当前保险公司乐于开展各项小险种业务的主要原因。

四、经济亏损估计总概率统计的应用

任何企业都不能完全避免经济亏损的发生，如何有效减少亏损是企业不得不思考的问题。所谓经营亏损，主要是指企业在日常经营过程中扣除纳税之后的经济损失。企业经营亏损的出现既有内部经营不善的原因，也有市场大环境波动的影响，如金融危机、国外市场冲击等。所以，企业必须在增强内部预防能力的同时，提高对外部环境的预见性。而统计数理知识的应用能帮助经营者有效降低经营风险，从而有效控制经营亏损。

五、概率统计在商品营销中的应用

如何处理好市场需求与库存之间的关系是在企业生产经营活动面临的重要问题。对企业而言，产量控制在何种范围内获利最大是企业要考虑的主要问题。概率统计相关知识的应用，可以轻松计算出企业的最优生产量。因为并不是产量越高，企业的收益就越大。相反，过高的产量会导致库存产品积压，占用流动资金。在产品销售环节，概率统计知识的应用对产品价格制定也具有一定的指导意义。总的来说，概率统计在产品生产销售过程中，可以促使企业合理利用资金，一方面确保客户所需的货源，一方面节约货物购进成本，以免造成资源和资金浪费，影响企业的经济效益获得。

六、结语

在经济活动领域，经济模型构建、风险决策、亏损估计等都是必不可少的重要环节。在市场经济日趋激烈的当下，完全依靠管理人员的工作经验是行不通的。实际上，概率统计相关知识在经济领域的应用是十分广泛的，只是人们在利用其相关知识的时候忽视了其背后的数学理论。概率统计是数学的有机组成部分，具有明显的规律性，时发现和解决经济问题的重要手段，利用概率统计学模型的构建来分析经济活动中的影响因素并进行描述，可以让经济决策更加合理，最终提高企业的管理效率。

参考文献：

[1]熊传霞.经济问题中的概率统计模型及应用[J].经营管理者，2015，（05）：230-231.

[2]贾子超.概率统计在风险决策中的应用[J].新西部，2014，（14）：36.

4.应用概率统计习题集 篇四

【摘要】介绍了我院《概率论与数理统计》教学现状，针对此现状提出三点改进概率论与数理统计的教学措施。

【关键词】概率论与数理统计 教学现状 改革措施

【Abstract】This paper analyzes the current teaching status of probability theory and mathematica statistics of Jingchu university of technology and several methods to improve it.【Keywords】probability theory and mathematical statistics； the current teaching status； reform suggestions

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）22-0140-02

《概率论与数理统计》是研究和探索随机现象统计规律的一门学科，是理工科院校的学生的一门公共基础课，和社会经济生活实际联系非常紧密。著名的数学家拉普拉斯说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题”。应用是概率论与数理统计最大的特色，改变传统的数学教学模式，针对该学科应用特点来组织教学过程，才能激发学生学习热情，调动学习数学的积极性，在理论联系实际中体会到学习的乐趣、知识的价值。

一、《概率论与数理统计》课程教学现状

目前我校的《概率论与数理统计》工科类教学时数为32学时，由于课时的限制，在教学中更注重理论知识的讲授，并且讲授内容以抽象的概率论为主，这大大降低了我校学生学习的积极性，这与我校的办学模式强调校企合作，突出特色优势专业；课程设置上强化实训，提高学生的实践应用能力相矛盾，而如何革新教法，强化实践，突出概率论与数理统计课程特色可以考虑从以下几点入手。

二、以实践与应用为导向的教学改革措施

1.案例教学，激发学生的学习兴趣

概率论与数理统计中的很多概念都来源于实际生活，因此教师在教学中，切忌定义、定理和证明的堆垒，而是在教学中可以从每个概念的直观背景入手，精心选择有趣的实例激发学生的兴趣。比如，在讲授频率稳定性时，我们可以考虑把26个英文字母出现的频率作为案例进行讲解，在课前让每位同学找一篇长度超过千个字符的英文文章进行统计，把统计的结果反馈给老师，老师通过多媒体演示大家统计的结果，对于统计的结果老师要引导学生观察思考为什么同一个字母在不同文章中出现的频率有微小的区别，但每个字母发生的频率区别又不大的原因；在讲解古典概型时，可以利用估计池塘鱼的数量进行讲解，这样既应用古典概型解决实际问题，又对参数估计的思想有所了解[1]；讲解全概公式的应用时，可以利用敏感性问题的调查作为案例讲解，这样既对全概公式的应用有所创新，又对抽样调查有一定的了解；在讲解贝叶斯公式时，利用“狼来了”作为案例讲解，既从数量的角度如何刻画了孩子的信任度，同时也说明了概率是可以看作信任程度的度量；讲解正态分布时可以考虑公交车门的高度应该如何设计作为实例；在讲解期望的概念时，利用验血新技术作为案例进行教学，让学生了解我们只需要抓住变量的特征（部分信息），就得到了我们所需的信息，这是从数据到模型的转换，是数理统计研究的主题；讲解方差的概念时，借助信号-噪声模型，说明进行重复观察得到观察值并对它们作平均，可以降低噪声的方差，从而大大的提高了信号对噪声的功率比，可以实现强噪声背景下的弱信号的接受，这就和物理专业、电子专业联系起来，和学科之间联系得更加紧密，进而促进学生学习的主动性和目的性。最好能够通过和学生交流，了解学生的专业需求，获得和学生专业相关的案例，总而促进学生将概率论与数理统计的知识应用到自己的研究领域，激发学生的学习动力。通过案例教学，可以把理论与实践结合起来，充分发挥学生的主体意识，促使他们做出分析与决策，变被动听课为积极思考，启发了学生的思维[2]。

2.授课形式的多样化，优化教学效果

现今是“互联网+”时代，《概率论与数理统计》在线网络视频课程非常得多，合理利用学校的在线网络教学平台，通过上传的各种图片、视频、文字教学文件，包括授课教师基本情况、课程标准、教学实施计划等，此外上传一些国内外名校的课件网页链接以及可供下载的统计软件、自测习题，学生根据自己的课堂学习情况，有选择地参与网络教学活动，为学生深入学习该门课程搭建桥梁，从而极大地提高了学生学习兴趣，学生在学习中可以根据自己的学习能力选择学习方式、学习时间、学习层次，学习完全可以根据自己课堂学习的具体情况安排网上学习。借助已有的网络教学平台来组织教学，既能帮助学生总结方法、拓宽思路的学习方式，拓展学生学习的时间和空间，同时又能节约大量的教学时间，体现学生学习的自主性、主动性和参与性，有利于学生个性的发展，同时也促进了教师的教学改革[4]。

我们也可以通过和每个学院的教学科沟通联系，利用学生的课程实训时间让学生做一些调查实践活动，比如泊松分布可以描述单位时间服务机构服务过的人数，可以让学生亲自调查、收集及整理数据，让学生在实践中学习，也可以让学生调查自习时间和学习成绩之间的关系，自己建立统计模型，锻炼学生解决问题的能力，还可以让学生利用概率与数理统计解决自己专业的相关问题，锻炼实践和应用能力，培养了学生创新能力。

3.将数学史融入教学，增强学习的趣味性

将数学史融入教学内容中，有助于学生了解某些理论产生的背景、过程，便于学生更好的掌握概率论与数理统计的概念、思想方法及其发展过程。比如讲解期望的概念时，可将“赌资分配”的历史娓娓道来，一方面让学生体会这门课是因为解决实际问题产生的，另一方面也可以让学生明白今天相对完整和独立学科体系是经历了许多曲折才形成的[5]。比如讲解频率稳定性时还举例高尔顿板，同时可以讲解高尔顿的生平和其在生物统计上的研究成果，高尔顿是第一次将概率统计等数学方法应用于生物学，将生物进化、返祖、遗传、自然选择、随机交配等问题，用回归和相关工具，系统地将生物进化数量化；讲解伯努利分布时，可以介绍贝努利家族的非凡成就，概率中提出了有名的贝努利大数定律和彼得堡问题。在教学中讲述一点历史起源以及学科演变过程，将帮助学生认识其发展过程，可以开阔眼界、增长见识，意会数学中的美，让学生浸润在数学文化氛围中。

4.改革课程考核方式

传统的考核方式为期末一次性考试，教师按照教学大?V命题，这种考核方式不利于形成学生的应用概率统计解决问题的能力，可以尝试改革传统的考核方法，把对学生的考查分为平时考查，学期论文和期末考试三部分。平时考查主要考查学生在平时的学习情况，包括作业，课堂思考等，学期论文考查学生是否对这门课程有系统的理解和掌握，能否提出问题，思考问题，解决问题；期末考试考查学生对知识的综合掌握，扎实的理论基础，是创新的保证。分清主次，控制好基础理论比例，传统题和创新题共存，着重考查学生分析问题和解决问题的能力。教师根据这三方面的内容综合评定学生的学科成绩[6]。

三、结束语

总之，概率论与数理统计是一门应用性很强的课程，因此在教学过程中，教师应注重理论与实际相结合进行教学，提高自身的科研和教学技能，改革教学方法，调动学生学习的积极性。只有不断进行长期试验、总结和提高，才能推动教学改革的发展，才能培养出社会所需要的创新性人才[5]。

参考文献：

[1]邱松强.在概率论教学中融入统计思想的几点尝试[J]，吉林教学学院学报，2017，9：42-44

[2]周洪伟，崔凤琴.案例法在概率论与数理统计课程教学中的应用和研究[J]，科教导刊，2014，10：04-05

[3]佟孟华.网络课程在概率论与数理统计教学中的应用[J]，宁波职业技术学院学报，2007，3：01-02

[4]刘超.概率统计教学的问题和思考[J]，高等数学研究，2013，04：69-71

[5]马金凤，汤烨.将数学史及实际案例融入概率论与数理统计课程的教法研究[J]，当代教育理论与实践，2013，（5）：135-136

[6]郭长军，庞彦军.以应用为导向的《概率论与数理统计》教学研究[J]，河北工程大学学报，2014，2：8-101

作者简介：

5.概率统计教案1 篇五

概率论的基本概念

1.确定性现象: 在一定条件下必然发生的现象.2.统计规律性: 在个别试验或观察中可以出现这样的结果，也可以出现那样的结果，但在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性.3.随机现象: 在个别试验中其结果呈现

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第1页

共51页-----出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象.§1.1 随机试验 1.随机试验: ①可以在相同条件下重复进行；

②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

③进行一次试验之前不能确定哪一个结

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第2页

共51页-----果会出现.§1.2 样本空间、随机事件

1.随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.2.随机试验E的每个结果称为样本点.例1.写出下列随机试验的样本空间.①考察某一储蓄所一天内的储款户数.S0 , 1 , 2 , .-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第3页

共51页-----②10件产品中有3件是次品，每次从中任取一件(取后不放回)，直到将3件次品都取出，记录抽取的次数.S3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10.③在②中取后放回，记录抽取的次数.S3 , 4 , 5 , .④一口袋中有5个红球、4个白球、3个蓝球，从中任取4个，观察它们具有哪

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第4页

共51页-----几种颜色.S={(红)，(白)，(红、白)，(红、蓝)，(白、蓝)，(红、白、蓝)}.3.样本空间S的子集称为随机事件，简称事件.4.对于事件A，每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时称事件A发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第5页

共51页-----5.由一个样本点组成集合称为基本事件.6.在每次试验中总是发生的事件称为必然事件，即样本空间S.7.在每次试验中都不发生的事件称为不可能事件，即空集.例2.抛掷两枚骰子，考察它们所出的点数.写出这一随机试验的样本空间及下列

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第6页

共51页-----随机事件.①“两枚骰子点数之和为5”.②“两枚骰子点数之和为2”.③“两枚骰子点数之和为1”.④“两枚骰子点数之和不超过12”.解: 对两枚骰子编号为1、2.用(I , J)表示第1枚骰子出I点，第2枚骰子出J点.S={(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第7页

共51页-----(1, 6)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)，(4, 4)，(4, 5)，(4, 6)，(5, 1)，(5, 2)(5, 4)，(5, 5)，(5, 6)，(6, 1)，3)，(6, 4)，(6, 5)，(6, 6)}.① {(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，②{(1, 1)}.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第8页

共51页-----，(6, 2)(5, 3)，(6,(4, 1)}.③Ø.④S.8.事件间的关系与运算: ①事件A发生必导致事件B发生，称事件B包含事件A，记为AB.②事件AB{xxA或xB}称为事件A与事件B的和事件.当且仅当A与B至少有一个发生时，事件AB发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第9页

共51页-----k1Ak为n个事件A 1，A2，…，An的和事件.Ak为可列个事件A 1，A2，…的和事件.nk1③事件AB{xxA且xB}称为事件A与事件B的积事件.当且仅当A与B同时发生时，事件AB发生.AB也记作AB.k1Ak为n个事件A 1，A2，…，An的积事件.n

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第10页

共51页-----k1Ak为可列个事件A 1，A2，… 的积事件.AB{xxA且xB} ④事件

称为事件A与事件B的差事件.当且仅当A发生、B不发生时，事件AB发生.⑤若AB，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的.即事件A与事件B不

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第11页

共51页-----能同时发生.⑥若ABS且AB，则称事件A与事件B互为逆事件，或互为对立事件.即对每次试验，事件A与事件B中必有一个发生，且仅有一个发生.A的对立事件记为A，即ASA.9.事件的运算定律: ①交换律:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第12页

共51页-----ABBA，ABBA.②结合律: A(BC)(AB)C，A(BC)(AB)C.③分配律: A(BC)(AB)(AC)，A(BC)(AB)(AC).④德∙摩根律:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第13页

共51页-----ABB A，ABBA.§1.3 频率与概率 1.在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.nA比值称为事件A发生的频率，记为fn(A).n2.频率的基本性质: ①0fn(A)1.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第14页

共51页-----②fn(S)1.③若A 1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则

.fn(AA)f(A)f(A)1kn1nk3.当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn(A)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数，这种统计规律性称为频率稳定性.4.设E是随机试验，S是它的样本空间.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第15页

共51页-----对于E的每一事件A赋于一个实数，记为p(A)，称为事件A的概率，且关系p满足下列条件:

①非负性: p(A)0.②规范性: p(S)1.③可列可加性: 设A 1，A2，…是两两互不相容的事件，则

P(A1A2)P(A1)P(A2).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第16页

共51页-----5.概率的性质: ①p()0.②(有限可加性)设A 1，A2，…An是两两互不相容的事件，则 P(AAn)P(A)P(An).1

1③若AB，则

P(BA)P(B)P(A)，P(B)P(A).④p(A)1p(A).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第17页

共51页-----

⑤p(A)1.⑥(加法公式)P(AB)P(A)P(B)P(AB)，P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC).§1.4 等可能概型(古典概型)1.具有以下两个特点的试验称为古典概型.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第18页

共51页-----①试验的样本空间只包含有限个元素.②试验中每个基本事件发生的可能性相同.2.古典概型中事件概率的计算公式: 样本空间S{e1 , e2 ,  , en}，事件A{ei , ei ,  , ei}，12kk

P(A).n

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第19页

共51页-----例1.抛掷两枚均匀的硬币，求一个出正面，一个出反面的概率.解: S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.A={(正，反)，(反，正)}.例2.抛掷两枚均匀的骰子，求点数之和不超过4的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第20页

共51页-----

21p(A).42解:

S={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，…，(6，6)}.A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}.61p(A).366例3.从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件产品.求恰有一件次品的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第21页

共51页-----

CC解: p(A)30.253.C50例4.袋中有5个白球3个黑球.从中按

15245下列方式取出3个球，分别求3个球都是白球的概率.①同时取.②不放回，每次取一个.③放回，每次取一个.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第22页

共51页-----解: ①p(A)C3053CC30.179.8②p(B)A35A30.179.8③p(A)53830.244.例5.某班有23名同学，求至少有同学生日相同的概率(假定1年为天).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第23页

共51页-----

名

2365(23)!C493.解: p(A)230.(365)p(A)1p(A)0.507.23365例6.从一副扑克牌(52张)中任取4张牌，求这4张牌花色各不相同的概率.14(C13)解: p(A)40.105.C52例7.甲项目和乙项目将按时完成的概率为0.75和0.90，甲、乙项目至少有一

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第24页

共51页-----个项目将按时完成的概率为0.99.求下列事件的概率.①两项目都按时完成.②只有一个项目按时完成.③两项目都没有按时完成.B表解: 设用A表示“甲项目按时完成”、示“乙项目按时完成”，则p(A)0.75，p(B)0.90，p(AB)0.99.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第25页

共51页-----①p(AB)P(A)p(B)p(AB)

0.750.90.99 0.66.②

p[(AB)(AB)]p(AB)p(AB)

0.990.66 0.33.③p(AB)p(AB)

1p(AB)

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第26页

共51页-----

10.99 0.01.例8.将一枚骰子连续掷5次，求下列各事件的概率.①“5次出现的点数都是3”.②“5次出现的点数全不相同”.③“5次出现的点数2次1点，2次3点，1次5点”.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第27页

共51页-----④“5次出现的点数最大是3点”.⑤“5次出现的点数既有奇数点，又有偶数点”.§1.5 条件概率

例1.抛掷一枚均匀的骰子.设A表示“出现的点数不大于3”，B表示“出现偶数点”，求: ①“出现偶数点”的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第28页

共51页-----②已知“出现的点数不大于3”的条件下，“出现偶数点”的概率.解: S={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，4，6}.31①p(B).62②用“BA”表示已知事件A发生的条件下，事件B发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第29页

共51页-----AB{2}，1P(AB)16p(BA).33P(A)6

1.设A、B是两个事件，且p(A)0，称

P(AB)p(BA)P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第30页

共51页-----

例2.一批零件100个，其中次品10个，正品90个.从中连续抽取两次，做非回臵式抽样.求: ①第一次取到正品的概率.②第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率.解: 设A表示“第一次取到正品”，B表示“第二次取到正品”.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第31页

共51页-----

909①p(A).10010289C90②p(AB)2，C100110P(AB)89.p(BA)P(A)992.乘法定理: 设p(A)0，则

p(AB)p(BA)p(A).设p(AB)0，则

p(ABC)p(CAB)p(BA)p(A).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第32页

共51页-----例3.一批零件100个，次品率为10%.从中接连取零件，每次任取一个，取后不放回.求第三次才取到正品的概率.解: 设用A i表示“第i次取到正品”(i1 , 2 , 3).由于次品率为10%，所以次品10个，正品90个.P(A 1 A 2A 3)P(A 1)P(A 2 A 1)P(A 3A 1 A 2)

10990 1009998

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第33页

共51页-----

0.0083.3.样本空间的一个划分: ①

BiBj , ij , i , j1 , 2 ,  , n.②B1B2BnS.称B1 , B2 ,  , Bn为样本空间的一个划分(或完备事件组).4.全概率公式: 若B1，B2，…，Bn为样本

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第34页

共51页-----空间的一个划分，且P(Bi)0(i1 , 2 ,  , n)，A为某一事件，则 P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)

P(A Bn)P(Bn).5.贝叶斯公式: 若B1，B2，…，Bn为样本空间的一个划分，A为某一事件，且P(A)0，P(Bi)0(i1 , 2 ,  , n)，则

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第35页

共51页-----，P(BiA)nP(ABj)P(Bj)j1P(ABi)P(Bi)(i1 , 2 ,  , n).例4.两台机床加工同样的零件.第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件堆放在一起.已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，从中任取一个零件，求:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第36页

共51页-----①这个零件不是废品的概率.②如果已知取出的这个零件不是废品，那么，它是第一台机床生产的概率.解: 设用A表示“此零件不是废品”，用Bi表示“此零件由第i台机床加工”(i1 , 则

P(B21 1)3，P(B 2)3，P(A B 1)0.97，P(A B 2)0.98.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第37页

共51页-----

2)，①

P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)

210.970.98 330.973.②

P(AB1)P(B1)P(B1A)P(AB1)P(B1)P(AB2)P(B2)

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第38页

共51页-----

20.973 210.970.98330.664.例5.有5个盒子，分别编号1、2、3、4、5.第1及第2号盒子各有5个球，其中3个白球，2个红球.第3及第4号盒子也各有5个球，其中1个白球，4个红

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第39页

共51页-----球.第5号盒子有4个白球，1个红球.现随机地选一个盒子并从中任取一球，求: ①它是白球的概率.②如果已知取出的是红球，那么，它是来自第5号盒子的概率.解: 设用A表示“任取一球是白球”，用，用Bi表示“第A表示“任取一球是红球”i个盒子被选中”(i1 , 2 , 3 , 4 , 5)，则

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第40页

共51页-----

1P(B 1)P(B2)P(B3)P(B4)P(B5)，53P(A B 1)P(A B 2)，51P(A B 3)P(A B 4)，54P(A B 5)，52P(A B 1)P(AB 2)，54P(A B 3)P(A B 4)，5-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第41页

共51页-----

1P(A B 5).5①P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)P(A B3)P(B3)P(A B4)P(B4)P(A B5)P(B5)3131111141 555555555512.25

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第42页

共51页-----②P(B5A)P(ABi)P(Bi)i15P(AB5)P(B5)

1155 1(22441)5555551.136.先验概率: P(Bi).7.后验概率: P(BiA).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第43页

共51页-----例6.有一个袋内装有3个白球，2个黑球.有甲、乙、丙三人依次在袋内各摸一球.求: ①在有放回情况下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.②在不放回情况下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.解: 设用A、B、C分别表示“甲、乙、-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第44页

共51页-----丙摸到黑球”，用A、B、C分别表示“甲、乙、丙摸到白球”.2①P(A)P(B)P(C).52②P(A).5P(B)P(BA)P(A)P(BA)P(A)

1223 45452.5-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第45页

共51页-----P(C)P(CAB)P(AB)P(CAB)P(AB)

P(CAB)P(AB)P(CAB)P(AB)P(CAB)P(BA)P(A)

P(CAB)P(BA)P(A)P(CAB)P(BA)P(A)P(CAB)P(BA)P(A)

121321232230 453453453452.5

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第46页

共51页-----§1.6 独立性

1.设A与B是两事件，如果 p(AB)p(A)p(B)，则称A与B相互独立，简称A与B独立.2.设A与B是两事件，且p(A)0，如果A与B相互独立，则

p(BA)p(B).3.设A与B相互独立，则下列各对事件也

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第47页

共51页-----相互独立.A与B，A与B，A与B.证: P(A)P(B)P(A)[1P(B)]

P(A)P(A)P(B)

P(A)P(AB)

(AAB)P(AAB)P(AB)，所以A与B相互独立.同理可证A与B，A与B相互独立.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第48页

共51页-----4.设A、B、C是三个事件，如果

p(AB)p(A)p(B)，p(AC)p(A)p(C)，p(BC)p(B)p(C)，p(ABC)p(A)p(B)p(C)，则称A、B、C相互独立.例1.用一支步枪射击一只小鸟，击中的概率为0.2.问3支步枪同时彼此独立地

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第49页

共51页-----射击，击中小鸟的概率.解: 设用A i表示“第i支步枪击中小鸟”，则(i1 , 2 , 3)，用B表示“小鸟被击中”

P(B)P(A 1A 2A 3)

1P(A 1A 2A 3)1P(A 1 A 2 A 3)

1P(A 1)P(A 2)P(A 3)10.80.80.8

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第50页

6.《统计与概率》教学反思 篇六

“统计与概率”是义务教育《数学课程标准》中四大学习领域之一。《课标》也首次将“统计观念”作为重要的目标之一，提出要使学生“经历运用数据描述信息，做出推断的过程，发展统计观念。”这样做的最主要原因是“统计与概率”和人们的日常工作和社会生活太密切相关了，在以信息和技术为基础的现代社会里，人们面临着更多的机会和选择。常常需要在不确定情境中，根据大量的数据，做出合理的决策，这是新时代公民都应当具备的基本素质，统计正是通过对数据的收集、整理和分析，为人们更好地制定决策提供依据和建议。

一、如何理解统计观念：

以前我就认为：统计不就是计算平均数，画统计图吗?这些事情计算器、计算机就能做得很好，还有必要从小就开始学习吗?确实，在信息技术如此发达的今天，计算平均数，画统计图等内容不应再占据学生过多的时间，事实上它们也远非统计学习的核心。在义务教育阶段，学生学习统计的核心目标是发展自己的“统计观念”。一提到“观念”，就绝非等同于计算、画图等简单技能，而是一种需要在亲身经历的过程培养出来的感觉，于是也有些人将“统计观念”标为“数据感”或“信息观念”。无论用什么词汇，它反映的都是由一组数据所引发的想法，所推测到的可能结果，自觉地想到运用统计的方法解决有关的问题等等。

二、统计的解释：

《现代汉语词典》中关于“统计”的解释有两条：(1)指对某一现象有关的数据的收集、整理、计算和分析等;(2)总结地计算。不难看出，第一种解释把“统计”描述成为一个过程，在这个过程中，包括一系列的活动，有收集数据、整理数据和对数据进行计算，以及最后通过数据进行分析等等。这种解释为我们进行简单统计的教学提供了依据，也就是说，我们不应该把统计知识的教学拆成一个一个的知识点，而要注重统计的过程性知识，即谈到统计必然会涉及到一个统计的全过程：发现并提出问题——运用适当的方法进行收集和整理数据——运用合适的统计图、统计量来展示数据——分析数据做出决策——对自己的结果进行交流、评价与改进等。

学生在这个过程中学会如何统计，为什么要统计等知识。因此，可以这样说，统计是一个过程。

第二种解释让我们看到“统计”也是一种方法，一种解决问题的策略。在信息社会中，数据无疑是重要的信息之一，如何面对数据，从数据中获取信息，这就需要用到统计的方法。例如，我们在学《我们的姓》时，我要学生统计一下全班有几种姓，各有几人时，学生在班级内进行了一次小统计，先写出人名，然后进行统计。

《数学课程标准》中有关“统计”的描述是这样的“统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人人做出合理的推断和预测。”这句话也突出了统计的过程中它的价值。

三、统计观念的体现：

1、认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题。

培养学生“统计观念”的首要方面是，要培养他们有意识地从统计的角度思考有关问题，也就是当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据。

举个例子来说，当你无事出去溜弯时，就会看见许多车人你身边走过，问你这条街哪种车经过的多时，你不能因刚才看到的就下结论，而要进行长时间的观察，收集一定的数据同时进行整理分析，这样才能判断出哪种车经过的多。

2、能通过收集、描述、分析数据的过程，作出合理的决策。

学生不但要具备从统计的角度思考问题的意识，而且还要亲身经历收集，描述和分析数据的过程，并能根据数据作出合理的判断。

还以“经过哪种车”为例，学生不仅意识到解决这个问题需要收集数据，而且还要讨论需要收集哪些数据，采取什么样的办法进行收集，还要把收集的数据进行整理，使之清晰，这样才能进行合理的判断。

四、实施时应注意的问题：

数学课程标准第一学段总目标指出：对数据统计过程有所体验，掌握一些简单的收集、整理和描述数据的方法，能根据统计结果回答一些简单的问题，初步感受事件发生的不确定性和可能性。

本学段学生关注事物的新奇性和趣味性，所以对统计与概率的学习应侧重于初步的感受和体会，避免处理成单纯计算而不重视学生的体验和活动。

1、对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验。

第一学段的学生很难理解统计的全过程，为此，教学时教师要有意识地设计一些统计活动，比如：“我们班要举行特长培训，应设几个组，每个组有几人?”为了回答这个问题，孩子们就会想做一个调查，就产生了统计的必要，然后再思考具体的统计方法，只有这样孩子们才能接触越来越多需要统计才能解决的问题，不会出现只重教知识而忽略体验的情况了。

2、根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，能和同伴交流自己的想法。

教学时，教师应通过问题促进学生分析和解释数据。具体包括如下三个方面：

第一，判断统计图表能否表达原始问题。如通过统计图能否判断出有几个特长班，参加哪个特长班的人多，参加哪个特长班的人少。

第二、判断统计图表是否还能显示出其他的信息。主要引导学生回答两个方面的问题：①描述性问题，如“参加美术班的有多少人?”②比较性问题，如“参加美术班的人数比参加书法班的人数少几人?”

第三、根据统计图表作出合理推断，引导学生交流读图表的心得。

7.概率统计在解决实际问题中的应用 篇七

1 贝努里概型在保险业中的应用

在现实生活中我们经常会接触到社会保险, 出于对自身利益的考虑, 有些人可能会问:保险公司和投保人谁是最大受益者呢?如果你了解概率统计知识, 不防自己算一下。

例:假设有2500个同一年龄和同一社会阶层的人参加了某一保险公司的人寿保险。在1月1日这一天, 每个参加保险的人支付12 0元保险费给公司, 那么其死亡时, 家属就可以从公司里领取20000元保险金。设在一年里每个人死亡的概率为0.002, 问:“保险公司亏本”的概率是多少?

分析:假设“一个人在一年内死亡与否”为一次试验, 则有2500人参加了这一保险, 于是以上问题就转化为一个2500重的贝努里概型, 同时, 若将每人在一年内死亡的概率假定为P=0.002。设参加保险的人每年的死亡记录为X, 则:

设“保险公司亏本”为事件A, x为死亡人数, 则公司应支出20000x (元) , 而公司的总收入为2500×120 (元) 。我们知道, 如果公司的支出大于其总收入, 即"20000x>2500×120"则公司亏本。

现在解"20000x>2500×120"这一不等式, 不难得出x>15

于是P (A) =P (X>15) =Ck25000.002k (1-0.002) 2500-k≈0.000069

由此得出保险公司“受益匪浅”, 基本上不会亏本。

2 正态分布在选择出行路线上的应用

正态分布有着极其广泛的实际背景, 它普遍存在于数学、物理、医学及工程等领域, 所以实际问题中很多随机变量的概率分布都服从正态分布。比如物理学中测量同一物体的随机误差;医学中红细胞数、血红蛋白量等;教育统计中, 学生的智力水平, 包括学习能力, 实际动手能力等;在生产条件一定的情况下, 产品的强力、口径、长度等指标都近似地呈正态分布。下面是正态分布在选择出行路线上的一个具体应用。

例:某人从北京某地乘车前往北京站搭车, 可供选择的路线有两条: (1) 乘坐市内公交车。优点:路程较短;缺点:交通拥挤, 所需时间 (单位:分) 服从正态分布N (50, 102) 。 (2) 乘坐地铁。优点:交通阻塞少;缺点:路线较长, 所需时间服从正态分布N (60, 42) 。

问题:若可用时间为68分钟, 应选择哪条路线?若可用时间为62分钟, 应选择哪条路线?

为了能及时赶到车站, 按原计划出行, 此人运用正态分布知识提前作了以下分析:

如果实际问题满足给定的标准正态分布N (1, 0) , 设P (ξ

(1) 68分钟内第一条路线及时赶到的概率为:

第二条路线及时赶到的概率为:

所以应走第二条路线。

(2) 62分钟内第一条路线及时赶到的概率为:

第二条路线及时赶到概率为:

所以应走第一条路线。

生活无形中会涉及到很多概率统计知识, 如果我们留心身边的数学知识, 会惊奇的发现在这平凡的生活中数学发挥着多么大的作用。

3 数学期望在求解最大利润问题中的应用

数学期望是研究随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征。实际问题中尤其是经济决策中, 数学期望为决策者获取最大利润提供了重要的理论依据。下面就是一个应用期望进行经济决策的的问题。

例:某人投资100万元, 期限为一年, 可供选择的投资方案有两种:一是购买股票;二是存入银行获取利息。如果买股票, 经济形势好可获利40万元, 形势中等可获利10万元, 形势不好损失20万元。如果存入银行, 假设利率为7.6%, 可得利息76000元。已知经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%, 试问哪一种投资方案可使投资者的收益较大?

分析:从问题的已知条件可知, 当经济形势好和中等时, 购买股票是收益较大;但如果经济形势不好, 那么采取存银行的方案收益较大。由于我们无法预料经济形势, 因此需要比较两种投资方案获利的期望大小。

先来计算购买股票的获利期望E1=4 0×0.3+10×0.5+ (-20) ×0.2=1 3 (万元)

再计算存入银行的获利期望是E2=7.6 (万元)

因为E1>E2, 所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大, 应采用购买股票的方案。

可见对于带有一定的随机性的风险投资, 正确运用数学期望这一随机变量的总体特征来预计收益或决策投资是比较客观的。

4 结语

作为数学的一个非常重要的分支——概率与数理统计, 在知识产业化的今天也正在或将要发挥它应有的作用, 而且在很多领域已经取得了突破性的发展。因此, 将概率统计知识应用于学习、工作及日常生活中, 能够帮助我们获得可靠性的结论。

摘要：概率统计是研究自然界中随机现象统计规律的数学方法。随着科学技术的发展, 概率统计知识越来越受到人们的重视, 它被广泛应用到工农业生产、国民经济以及我们日常生活中。本文主要围绕贝努里概型, 正态分布, 数学期望的有关知识, 探讨概率统计在解决实际问题中的应用。

关键词：贝努里概型,正态分布,数学期望

参考文献

[1]魏宗舒.概率论与数理统计[M].北京:高级教育出版社, 2004.

[2]程靖.概率统计教学方法的几点体会[J].巢湖学院学报, 2012 (3) .

8.应用概率统计习题集 篇八

【关键词】概率统计；数学期望；风险决策

面对随机现象，优化决策的正确通常是指随机变量的均值，面对决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。如果知道任意方案Aj（j=1，2…，m）在每个自然状况（影响因素）Si（i=1，2…n）发生的情况下，实施方案Aj所产生的盈利值P（Si，Aj），及各自然状况发生的概率P（Si），则可以比较各个方案的期望盈利：EP（Aj）=选择其中期望盈利最高的为最佳方案。

一、风险决策问题

例1、某商场要根据天气预报来决定节日是在商场内还是场外开展促销活动。统计资料表明，每年国庆节商场内促销可获经济效益2万元，场外促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，无雨可获得经济效益10万元，9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是40%，商场应该选择哪种促销方式？

二、投资决策问题

例2：某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元。如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%和20%，试问选择哪一种方案可使投资的效益较大？

三、方案决策问题

例3、某冷饮店需要制定某种冷饮在七、八月份的日进货计划。该品种冷饮的进货成本为每箱30元，销售价格为每箱50元，当天销售后每箱可获利20元，但如果当天剩余一箱，就要因冷藏费及其他原因而亏损10元。现有前两年同期共120天的日销售量资料，其中日销售量为130箱有12天，日销售量为120箱有36天，日销售量为110箱有48天，其余24天的日销售量也达100箱。请对于进货量分别为100箱、110箱、120箱、130箱四个方案给予决策。

根据前两年同期日销售量资料，进行统计分析，可确定不同日销售量的概率。

四、求职决策问题

中国社会市场化进程越来越快，用人单位在招聘人才时，除了明确所招人员的学历条件和能力之外，一般还会重点申明所招不同岗位人员的年薪值.而当今社会的价值取向主流是，劳动者尽其所能付出劳动后，希望获得尽可能大的薪酬回报，我们认为这是推动社会向前发展的重要因素.现在大学毕业生以年薪期望值作为择业决策的主要依据正是这种价值取向主流的具体体现. 大学生在求职面试多个机会过程中，其年薪期望值是一个动态数据，只有在其择业决策做出后才能相对确定下来，因此，做出好的择业决策就显得相当的重要.以下为了说明问题，通过一个已简单化了的实例，通俗说明如何把握这个动态的年薪期望值来准确做出择业决策的方法.。

例4：有三家公司都为硕士毕业生李宏提供了就职面试的机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A、B、C，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位，每家公司将根据面试情况决定给予求职者何种职位或拒绝提供职位，若规定求职双方在面试以后要立即决定提供、接受或拒绝某种职位，且不容许毁约。咨询专家为李宏的学业成绩和综合素质进行评估后认为，他获得极好、好、一般职位的可能性分别为0.2、0.3、0.4。三家公司的工资数据如下：

五、试验决策问题

例5：某新工艺流程如投产成功可收益300万元，但投产之前，必须经过小型试验和中型试验，试验经费分别需2万元和36万元，小型试验的成功率为0.7，如果连做两次小型试验，则成功率可提高到0.8，在小型试验基础上的中型试验的成功率为0.7，如果直接搞中型试验的成功率为0.5，应该如何决策，才能获利最多？

共有三种决策：

参考文献

[1]谈祥柏.乐在其中的数学[M].北京：科学出版社，2005.

[2]中央电视台《百家讲坛》栏目组.相识数学[M].北京：中国人民大学出版社，2006.

[3]吴建国.数学建模案例精编[M].北京：中国水利水电出版社，2005.

[4]孙荣恒.趣味随机问题[M].北京：科学出版社，2004.

[5]梁之舜.概率论与数理统计（上册）[M].北京：高等教育出版社，2005.

作者简介

1.李桂范（1963--），女，黑龙江哈尔滨人，副教授。

2.苏敏（1963--），女，黑龙江哈尔滨人，副教授。

9.高二数学概率习题(个人整理) 篇九

P(A)121。24210．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色恰有两次同色；（2）三次颜色全相同；（3）三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。

答案：（红红红）（红红白）（红白红）（白红红）（红白白）（白红白）（白白红）（白白白）（1）311（2）（3）44211．已知集合A{0,1,2,3,4}，aA,bA；

（1）求yax2bx1为一次函数的概率；（2）求yax2bx1为二次函数的概率。答案：（1）44（2）

52512．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m,n为点P(m,n)的坐标，设圆Q的方程为x2y217；

（1）求点P在圆Q上的概率；（2）求点P在圆Q外的概率。答案：（1）113（2）181813．设有一批产品共100件，现从中依次随机取2件进行检验，得出这两件产品均为次品的概率不超过1%，问这批产品中次品最多有多少件？ 答案：10件

5.设随机变量X的分布列为P(Xi)i,i1,2,3，则P(X2)（）2aA.B.19111 C.D.63426.设随机变量X~N(,)，且P(XC)P(XC)，则P(XC)（）A.0 B.1 C.D.与和的取值有关 27.甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为P1,乙射中目标的概率为P2，两人各射击1次，那么至少1人射中目标的概率为（）

A.P1P2)1P2 B.P1P2 C.1P1P2 D.1(1P1)(8.对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为（）

A.B.80，则此射手的命中率为8113211 C.D.3459.一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为（）（假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的）A.1112 B.C.D.432310.某种灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2，有3个相互独立的灯泡在使用1000小时以后，最多只有1个损坏的概率是（）

A.0.008 B.0.488 C.0.096 D.0.104 CDBBD 2.从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（）

3311(A)20(B)10(C)20(D)10

3.15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是

．

5.甲、乙、丙3人一起参加公务员选拔考试，根据3 人的初试情况，预计他们被录用的概率依次为0.7、0.8、0.8.求:(Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被录用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被录用的概率.6.对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套；②B：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论．

7.从1，2，„，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（A）5 9（B）9（C）21（D）()21

2210.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m、n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x+y＝17外部的概率应为（）

121113（A）（B）（C）（D）

33181816.甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是

3，甲、丙两人都做错4的概率是11，乙、丙两人都做对的概率是.124（Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；

（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率.34A3C12C842.A 3.5.(Ⅰ)0.38;(Ⅱ)0.416+0.448=0.864.55C15C106.(Ⅰ)①PA1,②PB1;(Ⅱ)P99AB63,PAPBPAB,故A与B是不独立的．

7.C10.D 16.（Ⅰ）32,83（Ⅱ）

325、有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有（A）A、2880 4 B、3080 C、3200 D、3600

2346．若1xa0a1xa2xa3xa4x，则a1a2a3a4的值为(B)A．0 B．15 C．16 D．17 7．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有(A)A．9种 B．10种

C．12种

D．20种

8．三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为(B)A． 36

9、B．40

C．44

D．48 x3x12展开式中含x的正整数次幂的项共有（C）（A）1项（B）2项（C）3项（D）4项

10、从6人中选4人分别去北京，上海，广州，重庆四个城市游览，每人只去一个城市游览，但甲，乙两人都不去北京，则不同的选择方案有（B）A、300种 B、240种 C、144种 D、96种

二、填空题（每小题4分，共20分）

11、在(xa)的展开式中，x的系数是15，则实数a=-0.5 ； 10712、(1x)(1x)的展开式中，x 的系数是 207 ；（用数字作答）13、3名老师带领6名学生平均分成三个小组到三个工厂进行社会调查，每小组有1名老师和2名学生组成，不同的分配方法有 540 种。（用数字作答）310514、体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有____10____种。

15、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于8分的取法有__66__种(用数字作答).条件概率练习题

2．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=（）A.1111 B.C.D.23484．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是.５．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则

（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？（2）先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？

６．某种元件用满6000小时未坏的概率是

13，用满10000小时未坏的概率是，现有一个42此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率

7．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表

（1）求这个代表恰好在第一小组内的概率（2）求这个代表恰好是团员代表的概率（3）求这个代表恰好是第一小组内团员的概率

（4）现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率

8．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占30％，甲厂产品合格率是95％，乙厂合格率是80％，则(1)市场上灯泡的合格率是多少？

(2)市场上合格品中甲厂占百分之几？（保留两位有效数字）

9．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率？（每个小孩是男孩和女孩的概率相等）

10．在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少？

例1 设50件产品中有3件次品，从中任意抽取2件，若已知取到的2件产品中至少有1件次品，求2件都是次品的概率。

例2 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%；甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%。买到一个产品是甲厂的，问它是合格品的概率？P(B|A)95%

【实例1】3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？若第一个同学没有抽到中奖奖券，则最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？

【实例2】有5道快速抢答题，其中3道理科题，2道文科题，从中无放回地抽取两次，每次抽取1道题，两次都抽到理科题的概率是多少？若第一次抽到理科题，则第二次抽到理科题的概率是多少？

⒈已知5％的男人和2.5％的女人是色盲，现随机地挑选一人 ⑴此人是色盲患者的概率是多少？

⑵若此人是色盲患者，则此人是男人的概率是多少？

⒉盒子里有7个白球，3个红球，白球中有4个木球，3个塑料球；红球中有2个木球，1个塑料球.现从袋子中摸出1个球，假设每个球被摸到的可能性相等，若已知摸到的是一个木球，问它是白球的概率是多少？

⒊（选做题）对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为95％，而当机器发生某种故障时，其合格率为55％，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为98％，试求：

(Ⅰ)某日早上第一个产品合格的概率是多少？

10.《统计与概率》六年级教案 篇十

教学内容

教科书第119~120页例2和第121页课堂活动，练习二十三的第5~7题。

教学目标

1．通过复习使学生能进一步熟练地判断简单事件发生的可能性。

2．通过复习使学生能熟练地用分数表示事件发生的概率，并且会用概率的思维去观察、分析和解释生活中的现象。

3．通过复习使学生进一步感受、了解数学在生活中的实际应用，以提高学生学数学、用数学的意识。

教学过程

一、导入

教师：在老师的盒子里有5个球，从中摸出1个球，如果摸到的球是红色就可获得奖品。你希望里面的球是些什么颜色，为什么？如果你是老师你会装些什么颜色的球？为什么？刚才的活动涉及我们学过的什么知识？这节课我们一起来复习可能性。

板书课题：概率复习。

二、回顾整理有关可能性的知识

（1）教师：有关可能性的知识你还记得哪些？请在小组内交流。

（2）请学生汇报，并请其他同学补充。

学生：事件发生的可能性是有大小的。

学生：有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。

学生：有些事件的发生是一定的，有些事件的发生是有可能的，还有些事件的发生是不可能的。

三、教学例2

1．复习体会简单事件发生的三种可能性

教师出示一副扑克，当众从中取走J，Q，K和大小王。

教师：现在从中任抽一张，请你判断下面事件发生的可能性。

（1）抽到的牌上的数比11小。

学生：一定发生，因为剩下的所有扑克点数都比11小。

（2）抽到的牌是黑桃Q。

学生：不可能发生，因为所有的Q都被拿走了。

（3）抽到的牌是方块2。

学生：有可能发生，因为方块2还在老师手中。

2．复习体会事件发生的可能性有多少种

教师：从老师手中的扑克中任意抽取一张，会有哪些可能的结果呢？

教师：按照花色分有黑桃、红桃、方块和梅花四种可能性。

教师：按照数字分有1到10共十种可能性。

3．用分数表示事件发生的概率

教师：抽到各种牌的可能性究竟是多少呢？请大家独立完成第120页算一算的.5道题。

学生独立完成之后全班交流。

学生：抽到黑桃的可能性是14，因为一共只有四种花色的扑克；还可以这样理解，一共有40张扑克，其中有10张黑桃，所有抽到黑桃的可能性是14。

学生：抽到5的可能性是110，因为按照数字分只有1到10这10种可能，5占其中的一种，所以抽到5的可能性是110；也可以这样理解，40张扑克中有4张5，抽到5的可能性是110。

学生：抽到梅花A的可能性是140，因为在40张扑克中只有1张梅花A。

学生：抽到A和抽到梅花A的可能性不一样大，因为抽到A的可能性是110，抽到梅花A的可能性是140。

学生：在40张牌中任意抽1张抽到5的可能性是110，在10张黑桃中任意抽1张抽到5的可能性也是110。

四、完成课堂活动

（1）学生独立完成，如果有困难可以先让学生说一说1到20的奇数、偶数、质数、合数分别是哪些？

（2）集体交流。

学生：摸到奇数的可能性是12，摸到偶数的可能性是12，摸到质数的可能性是25，摸到合数的可能性是1120。

五、全课小结

教师：通过这节课的复习有什么收获？有什么疑问？有什么要提醒大家需注意的地方？

六、课堂练习

11.应用概率统计习题集 篇十一

例1 （2016·四川巴中）下列说法正确的是（ ）

A.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件

B.审查书稿中有哪些学科性错误适合用抽样调查法

C.甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.4，s乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定

D.掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为[12]

【策略方法】本题涉及随机事件与必然事件、普查与抽查、方差的意义、概率计算等相关知识，由随机事件和必然事件的定义得出A错误，由统计的调查方法得出B错误，由方差的意义得出C正确，由概率的计算得出D错误，即可得出结论.

【解答】A.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上不是必然事件，应该是随机事件，选项A错误；

B.审查书稿中有哪些学科性错误适合用全面调查法，选项B错误；

C.甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.4，s乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，选项C正确；

D.掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为[14]，不是[12]，选项D错误.

【方法总结】本题考查了求概率的方法、全面调查与抽样调查、方差的性质以及随机事件与必然事件，熟悉方法和性质是解决问题的关键.

例2 某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：

请你根据上述内容，解答下列问题：

（1）该公司“高级技工”有 名；

（2）所有员工月工资的平均数[x]为2500元，中位数为 元，众数为 元；

（3）小张到这家公司应聘普通工作人员.请你回答上图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；

（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资[y]（结果保留整数），并判断[y]能否反映该公司员工的月工资实际水平.

【策略方法】本题涉及的知识点有中位数、众数、平均数的意义和特殊数值对平均数的影响，根据相关知识就可以解决上述问题.

【解答】（1）16.

（2）因表中数据是按照从大到小顺序排列，共有50个数据，第25和第26个数据分别为1800和1600，二者的平均数为1700，则所有员工月工资的中位数为1700元，众数则易判断为1600元.

（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平，用1700元或1600元来介绍更合理些.

（4）[y]=[2500×50-21000-8400×346]≈1713（元）.[y]能反映该公司员工的月工资实际水平.

【方法总结】本题考查众数、中位数、平均数的计算及意义，要了解它们在实际应用中的表述方式.

例3 某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与民主测评，结果如下表：

规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；综合得分=演讲答辩得分×（1-a）+民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）.

（1）当a=0.6时，两人的综合得分分别是多少？

（2）分别求出两人的综合得分关于a的函数表达式；

（3）倘若让甲做班长，请你确定a的取值范围.

【策略方法】本题涉及的知识点是加权平均数的计算，利用加权平均数确定得分.

【解答】（1）甲的答辩得分=（90+92+94）÷3=92（分），甲的民主测评分=40×2+7=87（分），

甲的综合得分=92×0.4+87×0.6=89（分）；

乙的答辩得分=（89+87+91）÷3=89（分），乙的民主测评分=42×2+4=88（分），

乙的综合得分=89×0.4+88×0.6=88.4（分）.

（2）甲的综合得分关于a的函数表达式为y1=92×（1-a）+87×a=92-5a；

乙的综合得分关于a的函数表达式为y2=89×（1-a）+88×a=89-a.

（3）若让甲做班长，则92-5a>89-a，解得a<0.75，

∴a的取值范围为0.5≤a<0.75.

【方法总结】会用加权平均数公式进行计算，根据实际情况确定在实际问题中的权重.

例4 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；

（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；

（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？

（4）解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.

【策略方法】本题要熟悉概率的意义、概率的计算方法、根据概率估计样本中个体的数目.

【解答】（1）观察表格得摸到白球的频率将会接近0.6；

（2）摸到白球的概率是0.6；摸到黑球的概率是1-0.6=0.4；

（3）∵20×0.6=12，20×0.4=8，∴黑球8个，白球12个；

（4）①先从不透明的口袋里摸出a个白球，都涂上颜色（如黑色），然后放回口袋里，搅拌均匀；②将搅匀后的球从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回袋中，不断大量重复n次，记录摸出黑球频数为b；③根据用频数估计概率的方法可得出白球数为[anb].

【方法总结】概率意义和概率的估算是有区别的，知道概率意义还要了解它在实际问题中的应用，要能在实际问题运用中应用概率相关知识进行解读和估算.

解题策略和方法是我们在解题实践中要仔细感悟的，研读题目，联想知识，思考方法，体会策略，只要我们坚持不懈做下去，我们在解题能力上一定会有很大的提高.

12.类比法在概率统计教学中的应用 篇十二

类比法是根据两个或两类事物在某些属性上相同或相似, 从而推测它们在其他属性上也相同或相似的一种推理方法。著名数学家拉普拉斯说过:“在数学里发现真理的主要工具是归纳和类比。”可见它在数学学习中的重要性。在教学中可以让学生先回顾之前学过的知识, 并由此引出新知识和新概念, 再通过类比法来比较二者的共同点和不同点, 从而起到化陌生为熟悉, 化抽象为具体, 化繁为简的作用, 帮助学生贯通知识间的联系, 使知识体系纵横交融形成系统的知识网络, 从整体上掌握知识。下面我们将浅谈类比法在概率统计的概念教学和习题教学中的应用。

1 类比法在概念教学中的作用

匈牙利数学家玻利亚说:“类比是一个伟大的引路人。”类比作为一种思维方法, 其侧重的不是逻辑性、确定性、严格性, 而是创造性、猜测性、灵活性。概率统计中的许多概念都可以通过类比引出并揭示其本质。此外, 我们可利用原有的认知结构借助类比法, 有效地掌握新知识, 并将这些知识有机系统地统一起来。

1.1 随机事件的关系运算与集合的关系运算的类比

由于事件可以看成由某些样本点构成的集合, 因此可将二者类比学习。例如:集合A∪B表示其中任意一个元素x仅属于A或者仅属于B或者属于A和B的公共部分, 我们可以形象地用韦氏图来表示。此时若将A和B看作是事件, 则事件A∪B表示“事件A和事件B至少有一个发生”, 记作A+B, 即概率论中事件的和等同于集合论中集合的并集。同样的类比方法, 我们可将集合论中集合的交集类比到概率论中事件的积中去。

在教学中可引导学生先回顾集合之间的各种关系运算, 随之再引出相应的事件间的关系运算, 最后归纳总结。此外, 事件运算的性质如交换律、结合律、分配律均可对照集合的相应性质进行类比学习。

1.2 离散型随机变量与连续型随机变量的类比

对于离散型随机变量, 学生感觉较容易, 但对于连续型随机变量, 往往学生感觉抽象难理解。由于分布列在离散型随机变量中的地位与密度函数在连续型随机变量中的地位等同, 因此对于离散型随机变量中的边缘分布列与联合分布列的关系可以过渡到连续型随机变量中边缘密度函数与联合密度函数的关系中去, 此外诸如随机变量的独立性的充要条件以及期望与方差的计算均可轻松过渡。具体我们可通过“把连续的问题离散化”这种方法, 实际是将对离散型随机变量中对分布列的求和变成对连续型随机变量中的密度函数求积分即可。表1我们将对其中的部分性质及计算作一个简要的类比。

1.3 一维随机变量与二维随机变量的降维类比

任何学习都是循序渐进的, 一般来说低维空间的知识相对简单, 容易被学生接受, 所以最好的方法是从低维空间向高维空间过渡学习。降维类比法是将高维空间中的数学对象降低到低维空间中去观察, 利用低维空间中数学对象的性质类比归纳出高维数学对象的性质。

我们知道一维离散型和连续型随机变量的分布函数分别为:

在研究二维离散型和连续型随机变量时, 我们可用降维类比法得到其联合分布函数分别为:

通过上面的类比得知抽象的二维随机变量的分布函数与一维随机变量有着一致的表达式, 从而大大降低了学习的难度。此外, 二维离散型随机变量的联合分布列与连续型随机变量的密度函数的性质与计算均可借助一维随机变量的相关知识引入。

2 类比法在习题教学中的应用

类比法是解题的有力工具。在习题教学中, 教师若常引导学生用类比思维去寻找解题的方法, 会起到事半功倍的效果。我们首先可以利用条件、结论或者结构形式上的类似, 联想与之类似的概念性质从中得到启发。例如, 在概率统计中有这样一题:

分析:此题若由密度函数的性质, 通过积分可求得a=3。但是我们若通过与指数分布的密度函数进行对比, 可知a=3。这样在解题中不需要计算便可得到结果。

总之, 类比法是创造性地表达思维的重要手段, 在概率统计教学中有其特有的地位和作用。在概率论的类比法教学中, 不仅要根据学生已有的知识提供恰当的类比对象, 更为重要的是引导学生在类比中去发现目标对象与类比对象的本质区别, 从而真正地认识和理解目标对象, 否则则可能导致错误的理解与认识。事实上, 类比法在概率统计教学中的应用远不止于上述几个方面, 这里就不一一赘述。在概率论教学中若恰当应用类比法, 可使学生将所学的知识条理化系统化, 有利于提高学生分析问题与解决问题的能力, 培养学生的创新意识和创新精神。

参考文献

[1]G.波利亚.数学与猜想 (第一卷) :数学中的归纳与类比[M].北京:科学出版社, 1984.

[2]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2001.