规划证明

规划证明（精选11篇）

1.规划证明 篇一

实习证明

兹有山东建筑大学学校 建筑学 专业同学于年 月日至月日在 山东建大建筑规划设计研究院 实习

该学生实习期间工作认真,在工作中遇到不懂的地方,能够虚心向富有经验的前辈请教,善于思考,能够举一反三.对于别人提出的工作建议,可以虚心听取.在时间紧迫的情况下,加时加班完成任务.能够将在学校所学的知识灵活应用到

具体的工作中去,保质保量完成工作任务.同时,该学生严格遵守我公司的各项规

章制度.实习时间,服从实习安排,完成实习任务.尊敬实习单位人员.并能与公司

同事和睦相处,与其一同工作的员工都对该学生的表现予以肯定.特此证明.实习单位盖章)

2012年1月19日

2.直接证明与间接证明 篇二

综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.

1. 综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.

用[P]表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，[Q]表示所要证明的结论，则综合法可表示为：

[[P⇒Q1]→[Q1⇒Q2]→[Q2⇒Q3]→…→[Qn⇒Q]]

说明 （1）综合法格式：从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出待证的结论. 它的常见书面表达形式为“因为……，所以……”或“[⇒]”.

（2）综合法是“由因导果”，此法的特点是表述简单，条理清晰.

（3）在解决数学问题时，往往先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把题目中隐含的条件明确地表示出来.

例1 设[x、y、z]均为正实数，且[xyzx+y+z][=1]，求证：[x+yy+z2].

分析 本题需先将条件变形，再利用基本不等式证明.

证明 ∵[xyzx+y+z=1]，∴[x+y+z=1xyz].

∴[x+y+zy=1xyz⋅y=1xz].

即[xy+y2+yz=1xz]，

∴[xy+y2+yz+xz=1xz+xz2]，

即[x+yy+z2].

点拨 这个问题有点巧妙，为了应用均值不等式，不仅从已知条件和要证的结论中发现它们内在的联系，而且灵活地添项，使得证明过程格外简洁.

2. 分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.

用[Q]表示要证明的结论，则分析法可表示为：

[[Q⇒P11]→[P1⇒P2]→[P2⇒P3]] →…→得到一个明显成立的条件

说明 （1）分析法的思维特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步推理实际上是寻求它的充分条件. 分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫做逆推证法或执果索因法.

（2）分析法格式：“要证……，只需证……”或“[⇐]”.

例2 已知[ΔABC]的三个内角[A、B、C]成等差数列，记[A、B、C]的对边分别为[a、b、c].求证：[1a+b+1b+c=3a+b+c].

分析 从待证等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证等式出发，分析其成立的充分条件.

证明 要证[1a+b+1b+c=3a+b+c]，

只需证[a+b+ca+b+a+b+cb+c=3]，

即证[ca+b+ab+c=1]，

也就是证[cb+c+aa+b=a+bb+c]，

即证[c2+a2=ac+b2].

∵[ΔABC]的三个内角[A、B、C]成等差数列，

∴[B=60∘].

由余弦定理，有[b2=c2+a2-2cacos60∘]，

即[b2=c2+a2-ca]，亦即[c2+a2=ca+b2].

因为[c2+a2=ca+b2]成立，

所以[1a+b+1b+c=3a+b+c]成立.

点拨 分析法是思考问题的一种基本方法，可以减少分析问题的盲目性，容易明确解决问题的方向.分析法证明的步骤是：未知→需知→已知，在表述中“要证”“只需证”“即证”这些常用词语是不可缺少的.

3. 分析综合法

在解决问题时，我们经常把分析法和综合法结合起来使用. 根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论[Q]；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论[P].若由[P]可以推出[Q]成立，就可以证明结论成立.

用[P]表示已知条件、定义、定理、公理等，用[Q]表示要证明的结论，则上述过程可表示为：

[ [P⇒P1→P1⇒P2→⋯→Pn⇒P]

[⇓]

[Q⇒Q1→Q1⇒Q2→⋯→Qm=Q]]

说明 分析综合法一般有两种方式：一种是先以分析法为主寻求证题思路，再用综合法有条理地表述证题过程.这是因为，就表达过程而言，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法表述简单，条理清晰.因此，分析法利于思考，综合法宜于表达.另一种是将分析法与综合法结合起来使用，用来证明某些更复杂的问题.

例3 设[a、b、c]均为大于1的实数，且[ab=10]，求证：[logac+logbc4lgc].

证明 要证[logac+logbc4lgc]，

只需证[lgclga+lgclgb4lgc]，

又[c>1]，∴[lgc>0].

∴只需证[1lga+1lgb4]，

即证[lga+lgblgalgb4].

又∵[ab=10]，∴[lga+lgb=1].

∴只需证[1lgalgb4].

又∵[a>1]，[b>1]，∴[lga>0]，[lgb>0].

∴[0

∴[1lgalgb4].

因为[1lgalgb4]成立，所以原不等式成立.

点拨 粗略一看，这里好像纯粹是分析法，其实不然，中间还同时使用了综合法. 一般地，证题时每一步到底使用何种方法没有明确的规定，主要是看证题的需要，有时是综合中带分析，有时是分析中带综合，或者综合与分析相互渗透.

例4 在两个正数[x]、[y]之间插入一个实数[a]，使[x]、[a]、[y]成等差数列，插入两个实数[b]、[c]，使[x]、[b]、[c]、[y]成等比数列.求证：[a+12b+1c+1].

分析 本题主要考查联合运用分析法和综合法来证明问题.解题的关键是同时从已知条件与结论出发，寻求其间的联系.

证明 由条件得，[2a=x+y,b2=cx,c2=by.]消去[x]、[y]，

即得[2a=b2c+c2b]且有[a>0,b>0,c>0].

要证[a+12b+1c+1]，

只需证[a+1b+1c+1]，

又[b+1+c+12b+1c+1]，

∴只需证[a+1b+1+c+12]，

即证[2ab+c].

而[2a=b2c+c2b]，只需证[b2c+c2bb+c]，

即证[b3+c3=b+cb2+c2-bcb+cbc]，

即证[b-c20].

因为[b-c20]显然成立，

所以[a+12b+1c+1]成立.

点拨 比较复杂的问题要求分析法、综合法交互运用，但表述要自然清晰、简洁明了.本题对数列知识、均值不等式的运用和代数式的恒等变形都进行了深入的考查.

二、间接证明

反证法是间接证明的一种基本方法，是数学家最有力的一件“武器”. 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

说明 （1）用反证法证明命题“若[p]则[q]”的过程如下：肯定条件[p]否定结论[q]→导致逻辑矛盾→“既[p]又[¬q]”为假→“若[p]则[q]”为真.

（2）反证法证明的步骤如下：

①反设：假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真.

nlc202309040930

②归谬：从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果.

③存真：由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立.

（3）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.

（4）宜用反证法证明的题型有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④“唯一性”命题；⑤“存在性”命题；⑥“至多”“至少”类的命题；⑦涉及“无限”结论的命题等.

例5 若[a、b、c∈0,2]，则[a2-b,b2-c,][c2-a]不可能都大于1.

分析 命题中的结论就是[a2-b>1,][b2-c>1,c2-a>1]不可能同时成立，即至少存在一个式子小于或等于1，显然命题的结论有多种可能性，而结论的否定只有一种情形：[a2-b,b2-c,c2-a]都大于1，所以宜用反证法证明.

证明 假设“[a2-b,b2-c,c2-a]不可能都大于1”不成立，

即[a2-b,b2-c,c2-a]都大于1成立，

即[a2-b>1,b2-c>1,c2-a>1]，

∴[a2-b⋅b2-c⋅c2-a>1].①

∵[a、b、c∈0,2]，

∴[2-b>0,2-c>0,2-a>0].

∴[0

即[0

同理，[0

∴[0

即[0

①与②矛盾，∴假设不成立，

∴原命题成立.

例6 如图，已知平面[α]∩平面[β][=]直线[a]，直线[b⊂α]，直线[c⊂β]，[b⋂a=A]，[c]∥[a].求证：[b]与[c]是异面直线.

分析 直接证明两条直线异面有困难，可考虑用反证法，否定结论“[b]与[c]是异面直线”时有两种情况：[b]与[c]平行或[b]与[c]相交，通过推理与证明，这两种情况都不成立.

证明 假设[b]、[c]不是异面直线，

则[b]∥[c]或[b⋂c=B].

（1）若[b]∥[c]，∵[a]∥[c]，∴[a]∥[b]，与[a⋂b=A]矛盾，∴[b]∥[c]不成立.

（2）若[b⋂c=B]，∵[c⊂β]，∴[B∈β].又[A∈β]，[A]、[B∈b]，∴[b⊂β].

又[b⊂α]，∴[α⋂β=b].又[α⋂β=a]，∴[a]与[b]重合，这与[a⋂b=A]矛盾，∴[b⋂c=B]不成立.

∴[b]与[c]是异面直线.

点拨 本题除了考查反证法，还需熟练应用立体几何的知识，解题时要注意分类讨论，因为[b]、[c]是异面直线的否定有两种情况：平行或相交，故应分别推出矛盾，问题才得以解决.

3.规划证明 篇三

澳大利亚驻北京领事馆签证处：

兹有我单位＿＿＿＿（姓名）_________（护照号码）申请前往贵国旅行。＿＿＿＿（申请人）为我单位＿＿＿＿（职务），＿＿＿＿（年/月）进入我单位，为单位服务＿＿＿＿年，年收入＿＿＿＿元。我单位同意＿＿＿＿（申请人）于＿＿＿＿（月/日）至＿＿＿＿（月/日）期间休假，在其旅行期间我们将保留他的职位。＿＿＿（申请人姓名）在旅行结束后，将按时回国，继续为我公司服务。

4.历史证明了什么 篇四

《读书》一九九六年第十期所载《加缪与萨特的论战》一文，借评介加缪的小说《堕落》，对萨特和加缪之间的论战作了分析和评判。作者显然是同情加缪的，这本来没有什么不妥，但说萨特同加缪在一九五二年的那场论争是一场大论战，恐怕有些言过其实。史实应该是很清楚的：加缪的小说《反抗者》出版，它的缺陷显而易见。萨特作为《现代》杂志的主编，长期不发表一篇评论说不过去；为顾及友情，他要求评论文章不要说不好的话。《现代》编辑部里没有人愿意揽这个吃力不讨好的活。最后尚松表示愿意写。他用了一种萨特所不希望的激烈语气批评《反抗者》，而这时萨特正在外地度假。梅洛一庞蒂作为代理主编，把这篇文章送给加缪征求意见。加缪看后勃然大怒，写了一封措词十分激烈粗暴的《致<现代>杂志主编的信》，称萨特为“主编先生”。萨特不得不出来应战，写了《答加缪书》，连同加缪的信发表在同一期《现代》杂志上。这就是所谓大论战的全部。此后双方没有再打这种笔墨官司。这里没有“萨特及一些左派团体不能接受加缪的政治主张，纷纷反驳加缪”。

文中说，几十年后历史证明了那场大论战加缪有道理。果真是这样吗？依我看，历史什么也没有证明。个人之间的好恶和恩怨是很难用“谁有道理”来简单加以评判的。一九六○年加缪因车祸去世，萨特获得消息，夜不能寐。他写的纪念文章，情深意切，十分感人，决不是应付之作。细读其意思，正可用两句诗来概括：“度尽劫波兄弟在，相逢一笑泯恩仇。”

5.婚育情况证明(三级证明) 篇五

兹有××省××县××镇××村民（或居民），×××，女，××年××月××日出生（身份证号：××××××××××××××××××），于××年××月××日×××（身份证号：××××××××××××××××××）登记结婚，双方系初婚，至今未生育、未收养、未抱养子女、无违反计划生育现象。特此证明。

村（居）委会（盖章）

****年**月**日

乡镇（街道）计生办（盖章）

****年**月**日

县（区/市）计生办（盖章）

6.收入证明样本资产证明 篇六

____________信用卡中心：

兹证明_________（身份证号）为本单位职工，已连续在我单位工作______年，学历为毕业，目前其在我单位担任____________职业。近一年内该职工在我单位平均月收入（税后）为___________元，（大写：____万____仟____佰____拾____元整）。该职工身体状况____（良好、差）。

本单位谨此承诺上述证明是正确、真实的，如因上述证明与事实不符导致贵行经济损失，本单位保证承担赔偿等一切法律责任。

特此证明。

单位公章

年月日

单位名称：______________________________

单位地址：______________________________

单位电话：______________________________

经 办 人：______________________________

职业、收入证明 ____________信用卡中心：

兹有同志，性别，身份证号码（军官证，护照）号码：，自年月日至今一直在我单位工作，与我单位签订了劳动合同，合同期限为。目前在部门担任职务，税后月工资、薪金所得为人民币___________元，（大写：____万____仟____佰____拾____元整）。

特此证明。

单位公章（或人事劳资章）

年月日

1、单位名称：

2、单位地址：

3、联系电话：邮政编码：

7.海外市场经验证明 篇七

从目前来看，在人民币升值的背景下，中国房地产市场和证券市场无疑都会表现红火。那么我们要问的是，从国际市场的历史经验来看，我们是否也能够找到一些相类似的经济运行轨迹?

从世界经济的范围来看，房地产与经济的关系十分密切，而且反应也十分灵敏。在证券市场，由于房地产股兼具证券和房产两大特性，所以也一直被各个国家和地区视为市场的风向标。对此尹中立博士认为，日本股市在上个世纪的大牛市中，表现最抢眼的是金融、地产类公司，而在过去的两年中日本股市重拾升势，值得关注的板块仍属于经历10余年休息之后准备再展身手的金融、地产等行业。中国香港地区股市和中国台湾地区股市中地产类股票都曾经独领风骚。而过去10年中，美国股市中表现最抢眼的股票也是房屋建造类股(即房地产类公司股票)。在低利率、税务优惠与建筑材料价格调高的背景下，该类股票高涨近6倍。由此也反映出这样一个事实：房地产市场在这些国家和地区都曾有过一段辉煌的历史。

海外市场曾有类似效应

华东师范大学周斌博士对记者说：“从可比性的角度考虑，最具有代表性的就是日本和中国台湾地区。在上世纪80年代，日本也出现了经济快速发展的情况，由此进一步引发了货币升值的压力，中国台湾地区情况也是如此。其带来的结果都是地产和股票价格的大幅上涨，它们与当前中国经济的情况非常接近。中国香港地区虽然在1997年前后也出现过股市、楼市齐升的情况，但中国香港地区实行的是紧盯美元的联系汇率制度，这就与我们当前的情况不太一样了。”

二战以后，日本经历了两次大的汇率变动。第一次是1971年12月的“斯密森协议”，日元对美元的汇率从360上涨到306，涨幅为18％。第二次是1985年12月的“广场协议”之后，令日元汇率在10年间升值近3倍。“广场协议”后10年间，日元币值平均每年上升5％以上，无异于给国际资本投资日本的股市和楼市一个稳赚不赔的保险：即使投资的资产日元价格没有升值，也可以通过汇率变动获得5％以上的收益。而实际上日本国内由于低利率政策刺激了股市和楼市价格的快速上涨，因此国际资本投资日本股市和楼市可以获得双重收益——资产价格的升值和日元的升值。

受日元升值的影响，日本股市逐波上升，出现持续6年的激进繁荣，并且随后一直延续着涨升态势，到1989年底，日经指数创下了38957.44点的历史高点。整个上升过程，从启动到最后结束，延续了整整17年，涨幅高达19倍。可以说日元的升值，引发并强化了日本股市在1970和1980年的历史上最长的一次牛市。另外，日本的两次汇率改革都导致了地价的上涨。1971年底的汇率改革导致了1973年的地价上涨，但因为石油危机的影响，时间只持续了1年。1985年后的日元升值导致了地价连续5年的上涨。我们以1983年为周期计算，到1988年，东京的地价上涨了两倍多。而1988～1990年的3年时间内，大阪、名古屋的住宅地皮价分别暴涨了2.2倍和1.6倍。最高峰的时候，东京23个区的地产市值已经超过整个美国所有资产的市值。

与日本类似，中国台湾地区的汇率改革也导致了岛内的股市和房地产价格的大幅度波动。中国台湾地区1979年2月建立外汇市场，到1985年，汇率基本维持在1美元兑40.6元新台币的水平。但从1986年开始，在美国的压力之下，新台币不断升值，到1992年1美元兑24.52元，升值比例达到近70％。台币的升值导致中国台湾地区房价的上涨。1987年房价开始出现大幅上涨，1987年、1988年和1989年台北市的住宅价格上涨速度分别达到36.8％、96.5％和78.24％。同时股市也是强劲上扬，1985年中国台湾地区股市为600多点，1990年则狂涨至12600点，上涨了近20倍。

但随着货币升值步伐的结束，上世纪90年代后，日本和中国台湾地区的资产开始急剧缩水，日经指数从38957点跌到7600点，创下20年来的纪录，日本的不动产整体跌幅达75％；台股从12682点暴趺至2485点，一年跌掉一万点，房地产则距当年高价重跌了五到六成。

历史经验不会简单复制

不过，虽然当前中国经济的发展状况在海外市场曾有过类似效应，但其经验不会被未来楼市简单复制，反而会表现出独特的运行特征。

尽管历史往往惊人地相似，但是彼市场非此市场。我们参考国际市场的历史，更要考虑我们的实际国情。当年日本和中国台湾地区“暴涨暴跌”行情并不会再次简单翻版。首先，我国的资本市场还没有完全实现与外币的自由兑换，经常项目的兑换还存在着种种限制，这必然影响到外汇流动的速度；其次，房地产市场在经过宏观调控后，其效果已经开始逐渐显现出来。对此周斌博士这样对记者说：“宏观调控可以说是一种提前介入，因为货币升值到一定幅度的时候，就会出现竞争力下降的情况，这个时候获利颇丰的‘游资’就会撤资，所以现在要做的就是使市场能够平稳一些。”

在日本和中国台湾地区由货币升值带来的房地产和股市上升过程中，我们可以看出以下几个共同的特征：

8.直接证明与间接证明 篇八

教学目标：

重点：综合法，分析法与反证法的运用．

难点：分析法和综合法的综合应用．

能力点：能用三种方法解决简单的证明问题及三种证明方法的综合应用．

教育点：体会数学证明的思考过程及特点，提升分析解决问题的能力．

自主探究点：主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时要综合运用数学知识进行推理论证，以及化归与转化的思想．

易错点：① 利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的；

② 不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；

③ 不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范．

学法与教具：

1．学法：自主探究、练习法2．教具：多媒体

一、【知识结构】

二、【知识梳理】

1．直接证明

（1）综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ（其中P表示已知条件，Q表

示要证的结论）．

（2）分析法

①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）．这种证明的方法叫做分析法． ②框图表示：QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件．

2． 间接证明 反证法：假设原命题__________（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出_____，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．利用反证法证题的步骤①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．

三、【范例导航】 例1已知xyz1，求证：x2y2z2

3．【分析】综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明． 综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．由基本不等式x2y22xy,得到关于x、y、z的三个不等式，将三式相加整理变形,然后利用xyz1得(xyz)21从而可证．

【解答】法一：x2y22xy,y2z22yz,z2x22zx,(xy)(yz)(zx)2xy2yz2zx 3(xyz)xyz2xy2yz2zx,即3(x2y2z2)(xyz)21，xyz法二：xyz

1

322

213

．



(3x3y3z1)

222

[3x3y3z(xyz)] 13

[(xy)(yz)(zx)]0

(3x3y3zxyz2xy2xz2yz)

xyz

．

法三：证明：a1,a2,,anR,a1a2an1，则a1a2an

222

构造函数f(x)(xa1)(xa2)(xan)

1n

成立．

nx2(a1a2an)xa1a2annx2xa1a2an．

222

因为对于一切xR，都有f(x)0，所以44n(a1a2an)0,22222222

从而证得：a1a2an

222

1n

222，当n3时，即xyz

成立．

【点评】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确．其基本流程表述如下：

变式训练：设a0,b0,ab1,求证

1a



1b1a



1ab1b

8.1ab

abab

1ab

2ab

【解答】方法一：a0,b0,ab1,又ab1,ab

14,

2ab

2

1，8.方法二：

ab1,

ba

ab

abab

1a



1b



1ab



4aba



abb



abab

112ab

2248 ab2()2

例2（1）用分析法证明：acbd

11（2）已知a0,

1．

ba【分析】（1）由于a,b,c,dR,故要分acbd0或acbd0两种情况，然后用分析法证明．（2）

要证明知条件

1b1a

不等式两边都是整数，可通过同时平方，化为有理式运算，通过化简得出已

1，可得证．

【解答】证明（1）①若acbd0，结论显然成立； ②(ac

若

acbd0，2

要

b

证

ac

d

b成立c，d只需

证

b)2

)c

(adbc)0显

2abcdadbc，即证ac2abcdbdacadbcbd，2222222222

然成立，综上所述acbd（2）要

证

成立，只需证1a

abab

11b1b，只需证(1a)(1b)

1a

1b

1,(b1,即1a

1baab1，abab,只需证1，即1．由已知a0,1成立，

【点评】分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经

成立的定理、性质或已经证明成立的结论等．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．在解答本题时有两点容易造成失分：（1）不去分类，而是直接平方作差判断．（2）在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件说明不到位而失分． 注意解题技巧： 1．逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．

2．在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用“分析-综合法”即两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证． 变式训练： 已知ABC三边a,b,c的倒数成等差数列，证明：B为锐角． 【解答】要证明B为锐角，根据余弦定理，也就是证明cosB

acb

2ac

20，即需证

acb0，由于acb2acb，要证acb0，只需证2acb0，a,b,c的倒数成等差数列，

1a



1c



2b,即2acb(ac)．要证2acb0，只需证b(ac)b0，即

b(acb)0．上述不等式显然成立．B 必为锐角．

2中至少有一个成立．

yx

【分析】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，分析可得本题适合用反证法，从题目中可以看出“至少”这样的存

1x1y

在量词，于是可设2与2结论的反面成立，即两个不等式都不成立．通过推理可得出

yx

2与

xy2的结论，与已知xy2矛盾，所以假设不成立，原命题正确．

例3若x,y都是正实数，且xy2，求证：

1x1y

【解答】假设

1xy

2与

1yx

则有2都不成立，1xy

2与

1yx

因为x0且y0，2同时成立，所以1x2y，且1y2x，两式相加得，2xy2x2y，所以xy2，这与已知xy2相矛盾，因此

1xy

2与

1yx

2中至少有一个成立．

【点评】用反证法证明问题的一般步骤：（1）反设: 假定所要证的结论不成立，即结论的反面（否定命

题）成立；（否定结论）（2）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．（结论成立）． 注意：（1）当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误．（3）反证法中常见词语的否定形式

变式训练：（2011．安徽）设直线l1:yk1x1，l2:yk2x1，其中实数k1,k2满足k

1k

220． 证明：l1与l2相交．

【解答】反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2，代入k1k220，得k1220，这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交．

四、【解法小结】

1．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知． 2．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．

3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来． 4．应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤： 第一步：分清命题“pq”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定q；

第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真．

第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．

五、【布置作业】

必做题：

1．关于x的方程axa10在区间(0,1)内有实根，则实数a的取值范围是__________． 2．设ab0，m

n，则m,n的大小关系是__________．

3．设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若xz，且（填写所有正确条件的代号）yz，则x∥y”为真命题的是________．①x为直线，y,z为平面；②x,y,z为平面；

③x,y为直线，z为平面；④x,y为平面，z为直线； ⑤x,y,z为直线．

．如果a,b应满足的条件是__________________． 5．（1）设x是正实数，求证：(x1)(x21)(x31)8x3；

（2）若xR，不等式(x1)(x21)(x31)8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

必做题答案：1．(,1)2．mn 3．①③④4．a0,b0且ab

35．（1）证明 x是正实数，由基本不等式

知x1，1x2

2x，x1，故

(x1)(x1)x(1)

3x23． 8x（当且仅当x1时等号成立）

（2）解：若xR，不等式(x1)(x21)(x31)8x3仍然成立．由（1）知，当x0时，不等式成立；当x0时，8x30，而(x1)(x21)(x31)(x1)2(x21)(x2x1)

(x1)(x1)[(x

2)

4]0，此时不等式仍然成立．

选做题：

1．若a,b,c为RtABC的三边，其中c为斜边，那么当n2，nN时，anbn与cn的大小关系为____________． 2．下面有3个命题：

x

①当x0时，2

x的最小值为2；



6②将函数ysin2x的图象向右平移个单位，可以得到函数ysin(2x



6)的图象；

③在RtABC中，ACBC，ACa，BCb，则

ABC的外接圆半径r

．类比到空

间，若三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c则三棱锥

S

ABC的外接球的半径R

其中错误命题的序号为________． ．．

．

3．已知f(x)xaxb．（1）求：f(1)f(3)2f(2)；

（2）求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于选做题答案：

1．abc2．①②

3．解f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9，f(1)f(3)2f(2)2．（2）证明假设f(1),f(2),f(3)都小于

n

n

n

．

．则

f(1)

12,

f(2)

12,

f(3)

12,12f(2)1，1f(1)f(3)1．2f(1)f(3)2f(2)2．

9.论诉讼证明对象 篇九

摘 要: 从法律方法论上看,以三段论为逻辑的法律适用过程中,大前提和小前提的建构是十分重要的。小前提建构包括生活事实到法律事实再到证明事实的过程。从生活事实到法律事实的过程形成了诉讼证明的对象。证明对象是法律构成要件所对应的要件事实。证明对象的范围包括实体法事实和程序法事实。

中图分类号: D915

文献标识码: A

文章编号: 10012435(2009)05059705

On Litigation Object

YANG Jinyan (School of Criminal Justice, China University of Political Science and Law, Beijing 100088, China)

Key words: legal approaches; object; essential facts; substantive law; procedural law

Abstract: Seen from methodology, in the application of law based on syllogism as logic, the construction of major premise and minor premise is very important. The building of minor premise includes from facts in life to legal facts to facts proving which brings about the object of litigation, facts in law including facts in substantive law and procedural law.

诉讼证明对象又称待证事实或要证事实,是诉讼证明活动所要证明的案件事实以及有关事实。证明对象是诉讼证明的起点和归宿,在诉讼证明中居于十分重要的地位。但是理论界对诉讼证明对象的认识并不统一,存在“客观事实说”、“要件事实说”、“争议事实说”、“层次说”等不同观点。到底证明对象属于哪一种事实?它包含了哪些范围?不同的观点从不同的视角出发,有着不同的解释。笔者尝试从法律方法论的视角出发,对这个问题进行研究。

一、法律方法论视角下证明对象的定位

(一)法律适用的逻辑模式及其基本步骤

诉讼涉及到法律适用的问题,“法律适用是根据法律秩序对具体纠纷得出裁判并进行说明。”[1]295从法律方法论①

的视角看,法律适用的逻辑模式是“确定法效果的三段论法”:其中一个完全法条构成大前提,将某具体的案件事实视为一个“事例”,而将之归属法条构成要件之下的过程是小前提。结论则意指:对此案件事实应赋予该法条所规定的法效果。简言之,只要构成要件T在某具体案件事实S中实现,对S应赋予法效果R。[2]150这个逻辑推理可以用下面的公式来表示:

TR (对T的每个事例均赋予法效果 R)

S=T(S为T的一个事例)

SR (对于S应赋予法效果R)

法律适用通常包含了以下几个步骤:认定事

实,寻找相关的法律规范,以整个法律秩序为准

进行涵摄②,最后宣布法律后果。但是,应该注意的是上述步骤并不是各自独立且严格区分的单个行为。它们之间界限模糊并且可以互相转换。[1]296297法律适用者的思维是从事实出发依其理解寻找合适于此事实的法律有哪些,然后根据这些法条的构成要件进一步补充事实,如此规范与事实之间来回穿梭,经过多个反复;如果这些法律本身尚不适宜立即作涵摄,还需要对这些法律进行具体化的解释。这个过程是不断的将事实抽象化、类型化,使之向法律的方向拉近;将法律规范进行具体化、具象化的解释,使之更接近事实;最终形成构成要件与案件事实的彼此对应。直到可以确定该事实是构成要件的一个事例(即S=T),建立正确的涵摄关系时,对该事实赋予法效果。

(二)作为大前提的法律规范的结构

法律规则是以“如果……那么……”模式来规定人们的事务和行为。面对丰富多彩的社会生活现实,立法者对性质相同或相似的生活关系,以特定法律价值原则为核心,选取一些共同的事实特征进行抽象化、一般化处理后作为事实构成要件,形成一个类型概念、一个法概念,并赋予该法概念特定的法律效果而形成一个法律规范。[3]一个完整的规则由两部分组成:构成要件+法律效果。根据拉伦茨的法条理论,法条可以分为完全法条和不完全法条。完全法条是指结合了构成要件与法效果的法条。完全法条在逻辑上意指:只要构成要件T在某具体案件事实S中被实现,对S即应赋予法效果R。法条的构成要件又称为法律要件,是指导致权利义务关系发生变动的必要事实的总称。[4]与完全法条相对应的是不完全法条,它是规定构成要件或法效果、限定法条适用范围或者指示参照法条适用的法条。不完全法条包括说明性的法条、限制性的法条、指示参照性的法条等。[2]132151

在法律适用过程中,并非是单纯的法律条文的文字就可以得到大前提,“大前提建构的核心是使规范具体化”。[5]141每个法律都需要进行解释,如果在没有法律规定的情况下,还需要进行法的续造。大前提的建构不是本文所探讨的核心问题,在此不予详述。

(三)小前提的建构

在小前提建构的过程中,涉及到三种“事实”:生活事实(或称自然事实、原始事实)、证明事实、法律事实。[5]40生活事实是指既存的已发生的事实,它是已经发生的历史。证明事实是指通过证据、自认和推定等手段所证明的生活事实;这是诉讼证明所获得的结果,是证成的事实。法律事实则是为法律的事实构成所规定的事实。[5]41法律适用首先要解决生活事实是否为可以进行法律评价的事实。“是否为法律事实,在从前理解上大体肯定地回答这个问题后,才再去证明生活事实是否存在,因而,在动态上,建构小前提的过程是生活事实-法律事实-证明事实”。[5]86

1贝由活事实到法律事实——评价过程。这是“评价”或“归属”的问题,即生活事实是否符合法律的事实构成。在生活事件发生后,法律适用者通过听取当事人对所发生的具体生活事实的陈述,了解案件发生的实际情况。当事人陈述既包含对法律判断重要的情况,也包含许多最终对法律裁判不产生任何影响的情况。法律适用者必须根据自己对法律的前理解,选择那些在法律上有意义的陈述,去除哪些对法规范适用无意义的陈述,甚至对未陈述的而在法律上重要的情况进行询问,通过这种方式的筛选和勾画,逐渐形成完整法律事实。它是包含了法规范构成要件的对生活事实的陈述。德国学者恩吉施称这一步骤完成了“实际上发生之案件事实的想象”。[6]在这个过程中,法律适用者对法律规范的前理解起着十分重要的作用。“前理解告诉人们,何种生活事实的特点对于法律判断可能是关键的,它起着指引判断者往何方向去查明生活事实和寻找法律规范的作用。”[5]88这个过程解决了事实的可评价性问题。

2庇煞律事实到证明事实——求真过程。由法律事实到证明事实属于求“真”的证明问题,其核心是确认生活事实是否存在。这个过程解决了事实的真实性问题。

但是,值得注意的是,“评价”和“求真”仅是逻辑上的步骤,并非时间上的先后。“时间上,不是形成(作为陈述的)案件事实以后,才开始评断案件事实符合(或不符合)法定构成要素,两者毋宁是同时进行的,因为……在形成案件事实之时,就必须考量个别事实的可能意义。” [2]160161

3苯ü雇瓿伞５笔率档目善兰坌院驼媸敌晕侍饨饩龊,就可以确认所获得的案件事实确实具备作为大前提的法律构成要件的构成要素,可以置于大前提之下了。正如恩吉施所言,此时可以将案件事实作如下评价:其确实具备法律的构成要素,或者更精确地说,具有大前提第一个构成部分(=法律的构成要件)的构成要素。[6]

(四)证明对象的具体定位

从生活事实到法律事实是“评价”或“归属”的问题。事实与规范之间的“归属”关系,是“如果—那么”的关系,不同于自然现象中事实与事实之间的因果关系。这个归属或评价过程并不存在着证明。从法律事实到证据事实的过程才是求真的过程,才涉及到诉讼证明。“求真”与“评价”相辅相成,共同完成小前提的建构。“求真”为“评价”提供可靠的基础,因为进行“评价”时,事实并未得到证明;“评价”为“求真”提供方向指引,因为并非所有的被证明为真实的事实都对法律适用有意义,有些事实在法律上并不重要,“评价”过程正是为诉讼证明裁剪掉那些与法律适用无关的事实。在“生活事实-法律事实-证明事实”的过程中,法律事实起到重要的桥梁中介作用,它向前联系着生活事实,先后联系着证明事实。也就是说并不是直接对生活事实进行证明,而是对生活事实进行法律评价得出法律事实之后,对法律事实进行证明。可见,法律事实是诉讼证明的证明对象。

上文所说的法律事实,在诉讼法上,通常被称为要件事实,即与发生某一法律效果所必需的法律要件之构成要素相对应的具体事实。[7]40诉讼证明的对象是要件事实。诉讼证明对象又称为待证事实、要证事实,是诉讼证明的客体,它关涉的是哪些事实是需要证明的,本质而言是关于证明的必要性问题,或者说是证据要否的问题。[8]177

二、作为证明对象的要件事实

(一)要件事实的含义和特性

要件事实一词,较早用于民法领域,而后也扩展到其它实体法领域。较为通行的定义是:“实体法权利的发生、妨碍、消灭等法律效果是否发生,与是否存在相应的具体事实紧密相关,这些事实就被成为要件事实。”[9]但是,从法律方法论的角度看,法律适用并非仅仅适用实体法,还要适用程序法等其他法律。只要适用法律,就必然涉及到其构成要件所对应的要件事实,所以仅仅从实体法的角度定义要件事实是不全面的。笔者支持许可博士的定义:“要件事实是与发生某一法律效果(权利的发生、妨碍、消灭、阻止)所必须的法律要件之构成要素相对应的具体事实。”[10]

要件事实除了上文所说的“可求真性”和“可评价性”之外,还有一个重要的特征就是,法效果单一性。即事实所引发的法律效果是单一的。就是说,“同一事实,在性质上只能属于产生某一特定法律效果的要件事实。” [11]202固定的要件事实只产生固定的法律效果,反之,也基本成立。如果有多个完全法条被适用,也意味着有多个要件事实需要证明。

此外,将要件事实与相关概念要进行区别,对我们正确理解要件事实的含义,也是很有意义的。

1.要件事实是事实,虽然包含了法律构成要件的构成要素,但区别于法律构成要件。法律与事实二者各不相同。作为法律构成要件相对应的具体事实,要件事实包含了法律构成要件的构成要素,但是要件事实属于事实的范畴,与法律构成要件相区别。要件事实作为事实,是外在的、客观的实在,可感觉,可测度,人们在此领域要回答的是“真”或“假”的问题,对此问题的回答形成知识。法律构成要件是法律规范的构成部分,它的逻辑是规范的逻辑,对法律构成要件的评价是内在的、主观的评价,可体验,可领悟,人们在此领域要回答的是“有效”还是“无效”的问题,对这个问题的回答是规范判断。[12]要件事实“不是构成要件,它只是充分了构成要件要素而已。”[11]202

2.要件事实是可评价的事实,区别于生活事实。生活事实是指人类生活中所发生之自然事项,它是未进行法律评价的事实,它用普通的生活语言进行表述才能为法律适用者所了解。裁判者以法律规范为依据,以所闻的生活事实为出发点,去审酌哪些法条可能对它有适用性,然后取向于这些法条的构成要件,最后形成法律要件事实。[13]要件事实是对生活事实进行法律评价后得出的在法律上有意义的事实,是经过法律规范“格式化”的事实。它的这一可评价性区别于生活事实本身。

3.要件事实是未经证明的事实,区别于证明事实。要件事实处在小前提建构过程的第一阶段,尚未进行证明,其真实性尚未得到确认。证明事实是通过证据所证明的事实,是对生活事实的真实反映。要件事实经过诉讼证明确认真实以后,形成证明事实。

(二)对其他证明对象学说的评价

从法律适用过程来观察证明对象的诸多学说,我们可以发现这些学说的所存在的一些缺陷:

1.客观事实说。这一观点认为,证明对象是必须用证据加以确认的客观事实。因为客观事实是已经发生过的事实,其“基本形象、基本标志、基本过程都随时间的消逝而消逝。正因为如此,它才转化为证明对象,称为待证事实。”[14]这种分析无疑是正确的,要确认已成为历史的生活事实(即客观事实),只有通过证明才能达到。但是,“求真”并不是法律适用的核心,法律适用才是问题的关键。

并不是所有的生活事实都是在法律上有意义的事实,有些事实的真实与否对于法律的适用而言并不重要。客观事实说,仅强调了证明对象指引诉讼证明“求真”的一面,忽略了诉讼证明也服务于法律评价的一面。

2.层次说。这种观点认为,在一个证明链中,肯定存在一个终极的证明对象,也肯定存在一个无需证明的初始对象。前者不会被用来证明其他对象,后者无需其他论据来证明。处于两极中间的事项就具有相对性。相对于前面的事项而言,它是证明对象;相对于后面的事项而言,它是论据。依据他们与终极证明对象关系的远近,可以称之为一级证明对象、二级证明对象,以此类推。[15]

我们知道,证明对象是能够沟通“求真”和“评价”两个环节的那种事实。当处于“求真”流程中的那种事实,虽然它也可能需要其它已知事实来证明,但是它只是作为证据来推出另一个事实而已,并未达到受法律评价的层面。“层次说”的不足在于,它仅从诉讼证明的视角来观察证明对象,将证明对象完全等同于证明中的论题

证明由论题、论据、论证三大要素组成,论题就是真实性需要确定的命题。见黄菊丽、王洪主编:《逻辑引论》,华文出版社1998年版,第366页。,而忽略了证明对象还是一个经法律评价的事实。

3.争议说。这种观点认为,当事人没有争议的事实不需要证明,当事人发生争议的事实才是真伪不明的事实,才需要证明,证明对象应该是争议事实,因为证明的目的是为了阐明诉讼中的争议事实,论证己方的诉讼主张,以便说服作为事实裁判者的法官或者陪审团确认或者接受己方所主张的事实和权益,最终获得于己方有利的判决。[16]

这种观点仅是从真实性的角度去观察证明对象,认为只要没有争议的事实就是真实的,就不需要再证明。首先,从“求真”的角度上说,不同诉讼模式和诉讼类型中,对“真实”的认定是不同的。在有些诉讼模式和诉讼类型下,当事人不争议的事实被认为是真实的事实,而有些诉讼类型、模式则不认可这种事实的真实性,这时对于当事人之间没有争议的事实也需要证明。其次,从“评价”的角度看,并非所有的争议事实,都是法律评价上重要的事实,法律上无意义的争议事实,并不属于证明对象的范围。因此将证明对象认定为争议事实,是不全面的。

三、证明对象的范围

对于证明对象范围的具体确定,向来存在“二事实说”和“三事实说”的争论。“二事实说”认为证明对象包括了实体法事实和程序法事实。[17]264“三事实说”则认为证明对象包括实体法事实、程序法事实和证据事实。[18]

从法律方法论的视角出发,诉讼的过程是法律适用的过程。诉讼是诉讼法和实体法共同作用的“场”,[19]在诉讼中,既适用实体法,也适用程序法。从要件事实“法效果单一性”的特征出发,我们可以发现,诉讼中适用实体法,则必然出现实体上的要件事实与之对应;适用程序法,则必然存在程序法上的事实与之对应。无论是哪种法律适用,想要取得法条规定的法效果,都需以确定法律构成要件相对应的要件事实作为前提。因此,这些程序法事实和实体法事实,都是需要证明的,都属于证明对象。

如果证据法具有独立的意义,那么证据法的构成要件所对应的要件事实,也是证明对象。但是,笔者不同意“证据事实”属于证明对象的说法。

作为证明对象的事实,沟通着“求真”和“评价”这两个步骤。从“求真”的过程我们可以看出,证明对象是真实性尚未得到确认的事实;从“评价”的过程我们可以看出,证明对象的事实一旦得到确认,就可以作出法律评价,赋予法效果。因此,证明对象是一个既可以“求真”,也可以作出法律评价的事实,处于“求真”与“评价”转换的环节之上。如果一个求得真实的事实,是为了推出另一个事实的真实性,那么这个事实仍然处于“求真”的流程之中,并未能达到进行法律评价的层面,那么这个事实不属于证明对象的范畴。

证据事实是指证据本身所记载和反映的事实。[17]266这种事实本身属于已知的事实。证据所包含的已知事实(设为a),通常是为了去推出一个未知的事实(设为x)。在诉讼事件中,这个已知的证据通常也需要其他证据(设为b)来印证。那么我们可以看出,这个过程是b-a-x;已知的证据事实a,仍然仅是“求真”过程中的一个环节而已,并非“求真”到“评价”的转换环节。因此,证据事实并不属于证明对象的范围。

证明对象在小前提建构过程中,所包含的意义,不仅仅在于其真实性的确认,更重要的是,它还服务于法律评价。这赋予了它不仅具有沟通已知与未知的功能,还具有沟通事实与法规范的功能。这些功能与特性对于判断何种事实属于证明对象是十分关键的。将要件事实界定为证明对象,恰当地涵盖了证明对象所应有特征和功能,也更好地发挥了证明对象对诉讼证明的引导作用。

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10.35 直接证明与间接证明 篇十

1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得04，所以c＝4.答案：

4x2．(2010年高考山东卷)若对任意x>0a恒成立，则a的取值范围是________． x＋3x＋

1xx解析：若对任意x＞0≤a恒成立，只需求得a≥的最大值即可． x＋3x＋1x＋3x＋1

x因为x>0，设y，x＋3x＋1

x111所以y＝ 15x＋3x＋11x＋＋32 x＋3xx

1当且仅当x＝ x

1所以a的取值范围是[∞)．

51答案：[)5

1113．设a、b、c都是正数，则ab＋，c＋三个数_______． bca

①都大于

2②至少有一个大于2 ③至少有一个不大于2

④至少有一个不小于2

111111解析：假设三个数都小于2，则a＋＋b＋c，而a＋＋b＋＋c2＋2＋2bcabca

＝6，与假设矛盾．故④正确．

答案：④

1－x4．(2011年盐城质检)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于________． 1＋x

1－x解析：易证f(x)＝是奇函数，1＋x

∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：－b

5．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc小关系为________．

解析：q＝ ab＋＋cd≥ab＋abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大mn

abcd＝p.答案：q≥p

6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)在区间[1，a](a＞2)上单调递增且f(x)＞0，则以下不等式不一定成立的是________．

①f(a)＞f(0)

1－3a③f＞f(－a)1＋aa＋12＞f(a)1－3a④f(＞f(－2)1＋a②f

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又由已知a＞2，∴f(a)＞f(1)＞0＝f(0)，①成立；

1＋a∵a，∴②成立； 2当a＞2时，1－3a＜0，又f(x)为奇函数，1－3a＝－f3a－1，f(－a)＝－f(a)，∴f1＋a1＋a

3a－13a－1＜f(a)⇔3a－1＜a 且1，∴③即f1＋a1＋a1＋a

23a－1－a－1⇔a0，∴③成立； 1＋a1＋a

3a－1＜f(2)⇔3a－1－2a－3<0，对于④，有f1＋a1＋a1＋a

a－3由于a>2时a－3的符号不确定，∴＜0未必成立． 1＋a

答案：④

a2b

27．设0＜x＜1，a＞0，b＞0，a、b为常数，则________． x1－x

2a2b2b2x2a1－x解析：x＋1－x(x＋1－x)＝a＋＋b2 x1－x

≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.答案：(a＋b)

28．(2011年南通调研)如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________． 解析：aa＋bb＞ab＋a⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b

x－y9．若|x|＜1，|y|＜1，试用分析法证明：||＜1.1－xy

证明：因为|x|＜1，|y|＜1，∴|1－xy|≠0，x－y要证|＜1，1－xy

x－y2只需证|＜1.1－xy

⇐|x－y|2＜|1－xy|2

⇐x2＋y2－2xy＜1－2xy＋x2y2

⇐x2＋y2－1－x2y2＜0

⇐(y2－1)(1－x2)＜0

⇐(1－y2)(1－x2)＞0，因为|x|＜1，|y|＜1，所以x2＜1，y2＜1，从而(1－y2)(1－x2)＞0成立．

x－y故|＜1.1－xy

10．如图所示，已知△ABC是锐角三角形，直线SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC，求证：H不可能是△SBC的垂心．

证明：假设H是△SBC的垂心，则BH⊥SC，又∵AH⊥平面SBC，∴SC⊥平面ABH，∴SC⊥AB.∵SA⊥平面ABC，∴AB⊥SA，又AB⊥SC，SA∩SC＝S，∴AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC.即∠A＝90°.这与△ABC为锐角三角形矛盾，所以H不可能为△ABC的垂心．

11．(探究选做)对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈<[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．

(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明．

解：(1)取x1＝x2＝0可得

f(0)≥f(0)＋f(0)⇒f(0)≤0.又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．

证明如下：

显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0；

也满足条件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]

＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]

＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1

11.清白无须证明 篇十一

20年前，他还是青春葱郁的年青人，在一家国有商店卖布，常常将上好的各色丝绸哗啦啦展开，那绵软溜滑的水样丝绸，将他的一双手和一颗心滋润得十分舒服。有时，他也会买一匹时兴的丝绸带回家，小儿子摇摇晃晃地跑来，撞进他的怀里，将热乎乎的气吐在他的脖子里，父子就一起咯咯大笑。妻子含笑端菜上桌，全都是他喜欢的菜肴，香气四溢，正好喝上二两花雕。

他以为这样的幸福会天长地久，可是人生转瞬即变。他莫名其妙地被邻居夫妇指认为强奸犯，说他趁家中无人，“欺负”了他们年仅13岁的侄女。那个小女孩，他只在楼梯口见过一面，蹦蹦跳跳地冲他喊“叔叔好”，他还从口袋里摸出一颗糖给她。

傍晚，他在家里被警察扭转双臂送去公安局，亲口指认他的小女孩就是人证，那张不曾扔掉的糖纸就是物证。虽然他始终不曾认罪，屡次上诉，但仍然被判无期徒刑，并且担负沉重的经济赔偿。他以头撞墙，写血书、绝食，以示清白，却只能得到更严厉的看管。渐渐地，他变成一个老实肯干的犯人，获得几次减刑，终于在15年后重见天日。

一步步迈出大牢，站在没有铁丝网阻隔的蓝天下，看着长出胡子的儿子和消瘦的妻子，他卑微地低下头去。

家在很偏僻的地方，40平方米的房子，非常简陋。那天的晚餐，妻子仍然烧了他最爱吃的红烧肉和清蒸鱼。儿子起身，恭敬地敬他一杯酒：“您回来了就好。”他低下头，把酒和泪，一干而尽。

他在家里的沙发上睡了一晚，便带上随身的衣物离家出走，只给妻子留下一张简短的纸条：“实在对不起你啊，跟着我受了这么大的罪！我一定要找到证人，证明我的清白，让你和儿子从此能光明正大地走出家门——这是我对你们必须尽的责任。”

他什么活儿都干，在建筑工地搬运水泥，在饭店洗盘子，收卖废品，只求糊口。夏天，他拉张席子睡在天桥下；冬天，他卷着破棉絮瑟瑟发抖地躲在地洞里。他没有交流的需要，常常陷入一个人积郁多年的忧愤之中。

在某个城市的工地，他认识了一个年纪相仿的单身汉，有了第一个朋友。他们一起喝酒，他哭诉他的冤屈，朋友跟着落泪。朋友拿出积蓄帮他，并且陪他到电视台纪实栏目寻求线索。

电视台记者费尽周折，让他终于在寻找了5年之后，得以与当年的女孩见面。

他在约好的宾馆等着，神经绷得如根弓弦。

小女孩已变成少妇，见面之后仍一口咬定，当年就是他毁了她的一生。她激动，愤怒，惶恐，在众人面前重提旧事又觉得羞辱，短短几句话之后便拂袖而去。

他埋头哽咽，一直陪着的朋友，含泪拍拍他的肩膀。

一切既成定局，朋友联系他的妻子，询问她的态度。

妻子语气平静，缓缓地对他道：“这么多年过去了，生活大变了，可你送给我的丝绸还在，柜里也一直备着花雕酒。我们等你回来，好好过日子。无论别人说什么，你的清白在我这里无须证明。”他抬起头来，又有泪水滚落。

他经过牢狱之灾，生活卑微贫穷，执著地想要擦净身上的脏水，却不知道，在爱他的妻子那里，清白永远无须证明。

他终于决定回家，每天和家人一起吃早饭，晚上睡到自己的床上，把冤屈和仇恨都忘掉，把热情和关爱，还给妻子那伤痕累累的灵魂。