线性代数试题(本科)

线性代数试题(本科)（精选8篇）

1.线性代数试题(本科) 篇一

线性代数综合练习题

（三）一、选择题

1.设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（）.（A）（B）（C）（D）的关系依而定 2.若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（）.（A）（B）（C）（D）

3.值不为零的阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换，则行列式的值（）.（A）保持不变（B）保持不为零

（C）保持有相同的正负号（D）可以变为任何值 4.设和都是阶方阵，下列各项中，只有（）正确.（A）若和都是对称阵，则也是对称阵（B）若，且，则

（C）若是奇异阵，则和都是奇异阵（D）若是可逆阵，则和都是可逆阵

5.向量组线性相关的充要条件是（）.（A）中有一个零向量

（B）中任意向量的分量成比例

（C）中有一个向量是其余向量的线性组合（D）中任意一个向量是其余向量的线性组合

6.设方阵的秩分别为，则分块矩阵的秩与的关系是（）.（A）（B）（C）（D）不能确定

二、填空题

1.设三阶方阵的特征值为1，2，3，则.2.设为正定二次型，则的取值范围为.3.设，则.4.阶行列式.5.设阶方阵的元素全为1，则的个特征值为.6.设是非齐次线性方程组的个解，若也是它的解，则.三、计算题

1.解矩阵方程，其中，.2.求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示：

3.已知矩阵，求.4.向量组讨论取何值时，（1）能由线性表示，且表示式唯一，（2）能由线性表示，且表示式不唯一，（3）不能由线性表示.四、证明题

1.设是阶方阵的两个特征值，是对应的特征向量，证明不是的特征向量.2.设是阶方阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且，证明向量组是线性无关的.线性代数综合练习题

（三）参考答案

一、选择题

1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A

二、填空题

1.6 ； 2.； 3.； 4.； 5.（个），； 6.1.三、计算题 1.解：由，得，为此对矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵，所以.2.解：对施行初等行变换变成行最简形，所以，的前三列是的列向量组的最大无关组，且，.3.解：先求的特征值，=，当时，由得，的对应于2的特征向量是，当时，有得，的对应于的特征向量是，当时，有得，的对应于的特征向量是，取.令，则，所以

.4.解：

（1）当时，可由线性表示，且表示式不唯一；（2）当，且，即时，不能由线性表示；（3）当且时，能由线性表示，但表示式唯一.四、证明题

1.证：假设是的对应于的特征向量，则

因为, 所以，由于是对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而，矛盾！

2.证：因为是线性方程组的解向量，所以.从而（），又由知（）.设，（1）

以左乘上式两边，得，因而必有，以左乘（1）式两边，得，因而必有，类似地，可以证明必有，故是线性无关的.

2.线性代数试题(本科) 篇二

关键词：应用型本科,线性代数,教学改革,数学应用软件

0 前言

“线性代数” 是高等学校理工科各专业开设的一门重要基础理论课, 它的理论不仅渗透到数学的许多分支中, 而且在国民经济、工程技术、生物技术、理论物理、理论化学、航海、航天等领域中都有着广泛的应用。 线性代数具有较强的逻辑性、抽象性[1,2], 是培养学生数学思维能力以及数值计算能力的重要课程.如何在教学中有效引入计算机技术和数学软件来辅助教学[3,4], 让线性代数课程从理论走向应用, 是现今线性代数教学改革的关键环节。 因此, 线性代数教学可以通过转变或丰富教师的教学方式, 建立以培养学生综合分析及创新应用能力为目标的教学体系[5,6,7], 提高学生的学习热情, 培养出适应当今社会应用的创新人才。

1 线性代数的发展历程与现状

1.1 发展历程

20 世纪五六十年代, 我国工科数学基础课程统称为高等数学。 主要是以微积分教学为主, 而线性代数在高等数学的教学却仅占一小部分。 由于科学技术, 特别是计算机与信息科学技术的发展, 我国高等数学教学的理念也逐渐发生了一些变化。 特别是70 年代末、80 年代初开始, 一些大学的工科数学的教学增添了线性代数、概率论与数理统计等教学内容, 但初期也只是把线性代数放在《工程数学》中讲授而已。

80 年代中后期, 一些大学开始把线性代数独立出来, 成为工科数学基础课的一门独立课程。 进入90 年代, 大多数重点大学把线性代数设成工科数学教学的三门主要课程之一。 90 年代中后期, 一些大学又将空间解析几何的内容从微积分教学中剥离出来, 与线性代数融汇在一起, 组成《线性代数与空间解析几何》。

在这几十年里, 线性代数课程的教学发生了三次较大的改革。 一是线性代数成为一门独立的工科数学的教学课程, 二是内容的扩充与重组, 三是注重软件的使用与该课程的实验。 纵观它的整个发展历程, 可看出线性代数的重要性, 并且也给我们今后的教学改革指明了方向。

1.2 线性代数教学现状分析

目前, 普遍的线性代数教学重理论轻应用, 教学方式单一。 一般是老师授课, 学生听课、做好笔记, 期末老师划定考试范围, 学生按考试范围去复习, 这样的教学模式很是枯燥, 不能引起学生的兴趣, 学生为修学分而学习, 不是为学习知识而学习, 他们在实际应用中没有任何的锻炼和提升, 这样的教学模式没有很好的教学效果。

其次, 教材和教案的编写不能与时俱进, 有些课堂教材PPT多年没有更新, 一直用同一套PPT教学多年, 没有随社会需求性改变教学内容。 同时由于线性代数较强的抽象性, 造成诸多学生觉得线性代数概念难以理解, 从而丧失学习线性代数的兴趣。 学生听得很是乏味, 上课玩手机, 课后就借听课的同学笔记抄抄就好了, 完全把自己置身课堂之外, 课堂上老师讲自己的, 学生玩自己的, 没有形成良好的学习氛围。

再者, 就是学校教学缺乏针对性, 专业与非专业学院线性代数的教学内容基本一致, 没有结合专业的特殊性、实际性来教学, 让学生学到适合自己的知识, 以便在实践中可以学以致用。

2 线性代数教学改革几点探讨

2.1 引入Matlab等应用软件进行实验教学, 提高学生的科学计算能力、创新能力

随着信息技术的高速发展, 计算机在我们生活和学习过程中的应用变得日益重要。 但学生的数学体验、推理能力、抽象的构成能力反而变得薄弱, 计算能力也有所下降, 这就要求教师在数学课堂教学上能够与时俱进, 要将课本知识、多媒体技术和计算机应用软件进行有机融合, 从而有效地提高学生学习数学的兴趣, 促进学生数学素质的培养. 如今数学类的应用软件已经发展到比较丰富, 如:Maple、Matlab、Mathematic、Math CAD等.其中Maple和Mathematic比较注重于符号运算, 适用于数学课程领域的研究。

在线性代数教学中适当引入数学软件, 不仅可以加深学生对较为抽象的线性代数内容的理解和掌握, 而且能够有效培养学生的编程能力, 为学生后期应用该软件进行计算、模拟、仿真等打下良好的基础, 使学生在感觉到线性代数课程学有所用的同时, 强化学生的应用能力, 增强学生对理论的理解和掌握.线性代数教学可以考虑以基本概念和推理体系为主, 以计算机为辅的教学方式, 增设数学实验内容。Matlab是一种集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体的数学计算软件, 我们可以利用Matlab作为《线性代数》实验平台软件, 实现理论与实践相结合的教学目标。 Matlab软件还可以求解行列式、方阵的逆、线性方程组、特征值、特征向量等问题, 有效帮助学生解决实际生活问题。 此外, 还可以提高学生的科学计算能力和计算机操作技能等。 这有利于提高学生的学习兴趣, 开发学生的想象力和创造力。

2.2 精选教学内容, 加强代数与几何的结合, 使整个课程形象生动

代数学和几何学有着密不可分的关系, 相互支撑, 相互促进。 代数学的特点是抽象的, 几何学的特点是形象的, 两者结合, 可以借直观形象的几何模型来描述代数的概念和定理, 以降低学习难度, 提高学生的学习热情。 事实上, 线性代数中很多概念是从空间解析几何推广得出的, 比如, n维向量, n维向量的夹角, 正交变换等。 因此, 线性代数课程结合解析几何讲解, 一方面便于一些理论和概念解释, 另一方面便于学生的理解, 使整个课程更加生动形象。 在教学中, 应抓住各知识点之间的内在联系, 精选教学内容, 从矩阵这一重要概念入手, 运用矩阵的初等变换, 重点讲授向量的线性相关性、线性空间、线性变换、矩阵的相似对角化、解线性方程组等内容。 在教学安排上, 应做到博览与精读相结合, 主次分明。

2.3 丰富教学方式, 加强老师与学生教学互动, 激发学生的学习动机

变换单一的教学方式, 可以根据学生的爱好采取“设问阅读-分组讨论-总结归纳”的方式, 或学生提问老师回答, 或学生授课教师听讲等多种教学方式, 以提高学生的学习兴趣, 创造老师与学生互相学习、探讨的良好学习氛围。 可以在班上建立学习讨论组, 可以做到让学生人人参与, 人人有上讲台讲课的机会。 老师可以在每节课后给一个课题以及一些研究方向, 让学生自己回去讨论研究, 在下节课堂上分析课题, 这样做既能培养学生的自主学习能力和团队能力, 又能调动学生的积极性, 给学生锻炼的机会, 对学生的表达能力有很大的帮助。

2.4 精编教材, 满足不同层次与不同专业的需求

我们可以根据学生层次与不同专业的不同需求, 将教材分为两部分:基础部分和提高部分。 基础部分是每个理工科大学生必须掌握的数学知识:包括矩阵及其运算、线性方程组的解、向量组的线性相关性、线性空间和线性变换。 这部分内容主要强化线性代数的思想方法, 弱化推导与技巧;辅之以直观表述, 强调实际应用, 培养学生运用计算机手段进行数据处理等能力。 提高部分是针对将来要考研究生的学生或对数学感兴趣的学生而设置的。 这部分内容, 除了使学生掌握基本概念和理论, 一定的运算技巧外, 应引入现代数学观点和方法, 教学内容应包括同构、向量到子空间的距离、对偶空间等。

2.5 改革考核评价方式, 充分考查学生的科学计算能力、 实践能力、创新能力

对于线性代数的考核从方面体现:如从期末考试、数学实验、作业等方面考核, 它们占总评成绩比例可设为5:3:2。 例如对于实验教学的考查, 可以放在某些章节结束后即可考查, 这样可以避免与期末考试时间相冲突。

3 结束语

线性代数在本科院校中是一门基础学科, 也可以说是一门入门级的数学学科, 因为它的这种地位, 奠定了它在学科中的重要性。 所以我们教师应充分发挥引导作用, 把这些改革具体思想和方法落到实处, 以便培养出符合社会需求的应用型创新人才。

参考文献

[1]王强, 方文波, 等.信息技术条件下代数与几何的整合[J].高等数学研究, 2013, 16 (4) .

[2]谌跃中.探讨线性代数的核心[J].数学理论与应用, 2005 (4) .

[3]黄玉梅.李彦.非数学专业线性代数教学改革探讨[J].重庆文理学院学报, 2009, 28 (5) .

[4]钱林.计算机辅助线性代数教学浅议[J].江苏教育学院学报:自然科学版, 2006 (4) .

[5]鲍培文.线性代数启发式教学改革的新思路[J].湘潭师范学院学报, 2009, 31 (3) .

[6]王静, 魏嘉.应用型创新人才培养模式下高等数学教学改革的探索[J].甘肃联合大学学报:自然科学版, 2013, 27 (3) .

3.线性代数试题(本科) 篇三

【关键词】线性代数 教学改革 应用型本科院校

【Abstract】Linear algebra is a fundamental subject in college， it plays an important role in all areas of natural sciences and social sciences. Based on the characteristic of cultivating talents in application type undergraduate college， the author in this article puts forwards suggestions for the reform in teaching contents and teaching methods. And the ideas that mobilize the enthusiasm and initiative of students are proposed， thus we can obtained better teaching effort.

【Key words】Liner algebra； reform in teaching contents and teaching methods

【基金项目】南京工程学院引进人才科研启动基金项目（YJK201340）。

【中图分类号】O151.2， G420【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）09-0031-02

《线性代数》是当前高等学校中理工科专业，经济管理专业等非数学专业的一门很重要的数学基础课，对培养学生的数学素质和逻辑能力等方面起着不可或缺的作用。瑞典数学家Lars Garding 在其名著《Encounter with Mathematics》曾这样评价到：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多”。但是在应用型指导思想的带领下，给予本课程的课时减少，但概念又多、内容又抽象，学生在学习过程感到困难不少。那么如何让学生在有效的课堂时间理解内容掌握重点，如何才能让学生有兴趣学习相对枯燥的这门课程是我从事教学以来思考的问题。结合我校应用型本科线性代数课程的特点和自身的教学实践提出几点想法，以达到良好的教学效果。

一、在教学内容方面

1.适当加入数学专业英语词汇

随着中外教育交流合作的发展，现在有不少高校开设双语教学，比如我们学校中外合作办学的专业：电力工程，电气工程及其自动化，国际经济与贸易，对于这些专业可以适当加入数学专业英语词汇，有利于学生阅读英文版的书籍。在公共英语的学习中，学生很少接触数学英语词汇，接触的文章大多数是社科类的文章，基本触不到数学类的词汇和文章。因此，适当加入数学专业词汇让学生有所了解，为学生融入国际大环境奠定基础，也为培养国际人才奠定了坚实的基础。从普通专业数学专业英语词汇的引入和一些中外合作办学专业的双语课程的开设是势在必行的。

2.基于实际问题驱动的教学

本着“学以致用”的指导思想，我们从实际问题和示例引入学习内容，逐步分析和比对相关内容引入相关数学概念，再从解决实际问题的需要引入相关数学理论，最后再回归到应用中去。比如：

例1 通过考虑运动会成绩记录和奖金计算问题引入矩阵的概念和矩阵的运算。

例2 通过信息编码和解码问题引入逆矩阵概念和矩阵求逆。

例3 通过传染病问题和生物种群的发展趋势引入特征值和特征向量概念，讨论特征值和特征向量相关的理论。

通过贴近生活的实例引出相关的数学问题，这样能够激发学生浓厚的兴趣，让学生能够看到实际问题是如何和数学概念和理论联系起来的，通过简洁的数学语言表述实际问题，从而对数学的基本概念和应用有一定的了解，培养了学生的创新意识。

在逐渐学习“线性代数”的课程中，很多学生会产生疑问：到底学习线性代数有什么用呢？。学生产生这样的困惑，原因在于我们的教学由于课时的关系只能一味的讲解理论和计算，一味地给灌输考试的内容；忽视了线性代数的产生背景，更缺乏理论与实践相结合的机会，这样课程变成了一门抽象、冗繁而枯燥的课程，根本不利于专业课程后续的深入学习。

各个高校的教师在授课过程中可以根据各个专业的特点，选取一些有特点和针对性的题型或应用在不同的专业讲解，当然这对授课教师有了更高的要求，要了解更多的相关专业知识，这也需要专业老师的配合和协助，这些与生产、生活相关的例子，可以激发学生的学习热情，调动学生学习的积极性，活跃课堂氛围。如四个城市间的单向航线可用矩阵表示；计算机中数据的存储，可以用二维数组——矩阵的方式存储；矩阵乘法在密码中的简单应用等。这些应用内容的引入，使学生了解了数学知识的应用性和重要性，达到“实践—理论—实践”的目的，逐步形成良好的数学思维习惯，增强其学习的兴趣。

二、在教学方法方面。

1.适当改革课程考核方式

课程考核是衡量教学效果的重要措施，也是促进学生学习的一种有效手段。因此，随着教学内容的更新和教学方法手段的创新，考核分为三部分：第一部分为平时考核，包括作业、出勤、提问等；第二部分为基础理论和方法的考核，一般采用闭卷，除常规的传统题型外，还应包括考查学生综合运用所学知识解决实际问题的能力的题型等；第三部分为数学实验考查，采用开卷，主要选择具有实际背景的知识内容，让学生通过讨论、查阅资料等方式以报告或小论文的形式给出解决方法，如物流中车辆、人员、物品等如何规划可以达到最优化，即可以利用线性代数中线性方程组的相关知识来给出解决方案。

2.利用顺口的语句归纳知识要点

众所周知大学数学是极其抽象的，尤以线性代数为代表。尽管我们上课时可以多举一些例子来帮助学生理解那些抽象的概念，但随着这些概念的增加，部分初学者还是不容易系统地掌握它们。因此我们在线性代数教学过程中对矩阵、行列式、线性方程组、向量等章节的内容仿照七言律诗的格式进行了归纳小结。例如：

行列式

众数纵横成方阵，多少玄机藏其中。

行列算尽得一值，却是智取胜强攻。

奇次对换变符号，转置倍加果相同。

妙手巧化繁为简，八仙过海显神通。

线性方程组

欲解线性方程组，需知初等行变换。

矩阵化至最简形，字里行间有答案。

西称高斯消元法，东方古著见九章。

代数文章日月异，真理妙谛永流传。

虽然这些总结达不到律诗那样工整，但是当我们上课时以这样的句子作为一节课的结尾，总是能得到学生热烈的掌声的。

三、如何调动学生的积极性

1.适当加入数学史的相关内容

在大学数学的教学中，适当地穿插数学史的相关内容，可以有效地调动课堂气氛，培养学生的学习热情，同时也可以提高学生的数学修养，提高学生的文化、思想等综合素质。线性代数的内容上仍是一些僵化的，缺乏趣味的理论，因此在教学中渗透数学史有利于加深对重要数学概念的理解；有利于帮助学生感受数学名人的刻苦学习过程和创造过程；有利于丰富大学生的学习内容，理解大学数学的应用价值和文化价值。法国数学家Terquem认为“数学家的传记、轶闻、故事可以启发学生的人格成长，确定数学家那种追求真理的科学精神，不迷信权威的批判精神，敢为人先的创新精神，无疑都是学生在成长中的最好的精神食粮”。数学史能够培养学生学习的热情，学习的热情和快乐的内容体验，确定正确的学习态度，乐观的生活态度，求实的科学态度和宽容的人才态度。

2.建立和谐的师生关系

要和学生建立和谐的关系，用情感教育增进学生的学习兴趣。作为青年教师，我们更容易了解和体会学生的感受，和学生有很多的亲和力，懂得和学生感情的交流，经常关心他们，鼓励他们，热情地帮助他们解决学习和生活中的所遇到的一些困难。另外，我们在严格学生的同时要努力创造一种轻松愉悦的课堂气氛，要提醒走神玩手机不认真听讲的同学，也要善于抓住每位学生的闪光点，并不失时机的给他们鼓励和表扬，以激发学生的自信心，当然也要对一些同学“惩罚”，让他们感受到老师的关心和注意。这样他们的学习兴趣也就会愈加浓厚，学习效果就会显而易见。

3.利用计算机辅助教学

随着信息化程度的加快，学生对新知识的需要增多，教师授课面临知识量的增多与学时减少的两难局面。适当使用多媒体教学，可使讲解更直观，更具吸引力，更容易建立新旧知识之间的联系。但采用多媒体教学，一定要注意把握好授课节奏，给学生以思考的空间和时间。因此，结合多媒体进行教学，保留了传统教学的优点，又增大了课堂容量，提高了教学效率。另外，教学上可以引入计算机，如用Matlab等数学软件解决代数问题，把Matlab渗透到线性代数课堂的教学中去。随着计算机的逐渐普及，线性代数的很多理论可以通过计算机来验证，如矩阵的乘积，求逆矩阵，线性方程组的求解等等，这样不用一味的笔头计算，可以把大量的应用问题留为课程的作业中，这样可以加强它的工程背景，从而转变教学观念，树立新的教学理念，提高学生的科学计算能力、创新能力及理论与实践相结合的能力。

总之，数学的最大特点是抽象、枯燥、繁琐。但是如果能与实际案例相结合，逐步彰显其极强的应用性，就会引起学生极大的兴趣。线性代数课程是众多大学生学习后续专业课程和解决实际问题的理论基础课，同时也可以培养学生的逻辑思维能力。对新时期的学生，每位线性代数教师也需要与时俱进，在明确教学目的、完成教学任务的同时，更要积极激发学生的主动性和创造性，注重丰富活泼的课堂形式，恰如其分的引入生活中的实例，在教学方法上有所变革和创新，努力将应用型本科院校的线性代数课程更好的传达给学生，分享给学生，更好地满足学生当下和以后的需要。

参考文献：

[1]陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后型编. 线性代数[M]. 北京： 科学出版社，2007.

[2]毛立新，咸美新主编. 线性代数[M]. 北京： 科学出版社，2010.

4.线性代数历年考试试题 篇四

一单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

1.设1,2,3,1,2都是四维列向量，且四阶行列式|1,2,3,1|m，|1,2,2,3|n，则四阶行列式|3,2,1，(12)|等于 [ ].(A)mn(B)(mn)(C)nm(D)mn

2.设n阶矩阵A，B，C满足ABCE，则下列一定正确的是 [ ].(A)ACBE(B)BACE(C)CBAE(D)CABE

3.向量组1,2,,r线性相关的充分必要条件是 [ ].(A)向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示；(B)向量组中任一向量都可由其它向量线性表示；(C)向量组中任一向量都不能由其它向量线性表示；(D)向量组中至少有一个向量不能由其它向量线性表示；

4.设1,2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，1,2是其导出组Ax0的一个基础解系，则线性方程组Axb的通解可表示为 [ ].11(12)k11k2(122)(12)k11k2(12)22(A)(B)

(C)(12)k11k22(D)(12)k11k22

5.设n阶矩阵A与B相似，则下列不正确的是 [ ].22(A)AB(B)AEBE(C)AEBE(D)A与B相似

二填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分；将正确答案填在题中括号内。）

2AB1.设A,B都是n阶矩阵，且|A|=2,|B|3，则

1=()。

101aA11a0002的秩R(A)2,则a()。2.设矩阵110212122的过渡矩阵 R3.从向量空间的基，到基，1111为()。

4.设R(A)2，且线性方程组Axb无解，则R(Ab)()。

222f(x,x,x)x2x3x1232tx1x2是正定的，则t满足条件()。5.设二次型1231

2三、计算行列式（10分）D342341341241 23230

1四、设A120，且ABA6ABA，求矩阵B（10分）.003TTTT(1,0,1,1)(1,1,1,1)(1,2,3,1)(1,3,5,1)312

4五、讨论向量组，,的线性相关性，并求其秩和一个极大线性无关组(10分)。六为何值时线性方程组：

x1x2x3x412xx3x2x21234x14x25x43x13x25x35x43

有解？在有解时求该方程组的通解（10分）。设V是RV22上所有对称矩阵组成的线性空间，试求出V的一组基，并求

1212A21在此组基下的矩阵(10分)。2122f(x1,x2,x3)2x12x2x32x2x3化成标准形，并说明上线性变换(A)

八、求一正交变换，将二次型f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面(10分)。

线性代数试题 2008.5

一、计算下列各题(每小题5分, 共30分)

1、设1,2,,都是3维列向量，且行列式|A||1,22,|a，|B||2,1,|b，求行列式C|1,22,|.100*1A2、设的逆矩阵A220, 求A的伴随矩阵A.333TTTT(1,1,3,2)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,0,1,2)31243、设，，求向量组1,2,3,4的秩和一个极大线性无关向量组。

111x11

4、已知线性方程组211x22有解，但解不唯一，求a,b的值。

1a1xb3T100122(A)AR

5、求线性空间的线性变换在基E11,E120000，0000TA,下的矩阵，其中是A的转置矩阵。E21E221001222fxx5x2tx1x22x1x34x2x3是正定二次型。123t6、问为何值时，二次型1a23412a34123a4234a

二、(10分)计算行列式

1三、(10分)求解下面矩阵方程中的矩阵X

010100121100X011102001001134

x1x3x42xx2xx13

4四、(10分)求线性方程组12的通解，并用对应齐次线性方程组基础2x1x2x32x433x1x23x45解系表示通解。

1a1300

五、(10分)已知矩阵Aab0与B030相似，求a,b的值.411001222f(x,x,x)2xxx2x2x3为标准形 xQy12312

3六、12分)求出正交变换，使化二次型

七、(8分)记R是R上所有23矩阵，按矩阵加法、数与矩阵乘法构成的R上的线0Vx3性空间，集合2323x10x2xxx0,x,x,x,xR1241234x4，证明：V是R的线性子空间，并求V的一组基和维数。

八、（10分）证明题：

（1）设向量组1,2,,s线性无关，向量组1,2,,s,线性相关，证明向量可由向量组1,2,,s线性表示且表示式唯一。（2）设A(aij)Ta1b(1,0,0)3311是实正交矩阵，且，向量，证明线性方程组Axb有唯一解xb。

东 北 大 学 期 末 考 试 试 卷2008-2009学年第1学期：线性代数

一、单项选择题（本题4小题，每小题3分，共12分；在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题中括号内）

1、设A,B都是n阶非零矩阵，且ABO，则必有（）.(A)AO或BO；(B)ABO；(C)A0或B0 ；(D)AB0.2、设A是n阶矩阵，A0An1，A是A的伴随矩阵，则

An*

A*=（）

(A)1；(B)；(C)

；(D)A.3、n阶矩阵A具有n个不同的特征值，是A与对角矩阵相似的（）

A 充分必要条件B充分但非必要条件C 必要但非充分条件D既非充分也非必要条件.4、设A是mn阶矩阵，B是nm阶矩阵，则齐次线性方程组(AB)x0（）A当nm时仅有零解B当nm时必有非零解C当mn时仅有零解D当mn时必有非零解

二、填空（本题6个小题，每小题3分，共18分；将正确的答案填在题中括号内）

1、设4阶矩阵A(,2,3,4)，B(,2,3,4)，其中,,2,3,4,均为 4维列向量，已知A4，B1，则AB（）.11111111AA511111111，则 

2、设



3、设P[ij(k)]表示把n阶单位矩阵的第j行的k倍加到第i行的得到的初等矩阵，则(P[ij(k)])1=（）..222f(x,x,x)3x3x9x10x1x212x1x312x2x3的秩是（）.1231234、已知二次型00B005、设矩阵003001020022，矩阵A与B相似，则R(AE)R(A3E)（）

1(A2)

16、设2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵3有一个特征值等于（）.423A110123，求矩阵B n

三、（10）设阶矩阵A与B满足条件ABA2B，已知矩阵

1333332333Dn33333333433333nx1x2kx34,2x1kx2x3k,xx2x431

2四、（10分）计算行列式

五、（12分）已知线性方程组

问k为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？ 并求出有无穷多解时的通解.123，六、（12分）（1）设向量组1,2,3线性无关，证明向量组1,2,3TTTT(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),,1,0)，234(2,1也线性无关.（2）设1试判断该向量组的线性相关性，并给出其一个极大线性无关组。

七、（10分）设AR，记(1)S(A)是Rn×nn×nS(A)B:BRn×n，AB0，证明： 的一个子空间；(2)设秩(A)r，求S(A)的一组基和维数.222f3x3x6x8x1x24x1x34x2x3 12

3八、（16分）用正交变换化二次型

5.线性代数试题(本科) 篇五

1102001．设矩阵A121,B050，问：A是否可逆？若A可逆，求A1B．（15分）223005

解：因为

110100

A121111341„„3分

223243

所以A可逆。利用初等行变换求A1，即

110100110100

121010011110

2

23001

043201



1101001100

0111101

01053

01641

000164

100

431

010531



001641

431

即A1531

„„10分

641

由矩阵乘法得

431

A1B5312008155

05010155„„15分

641

00512205

2．当取何值时，线性方程组

x1x2x42

x12x2x34x43

2x13x2x35x42

有解，在有解的情况下求方程组的全部解．（20分）

解：（1）因为

01 11

1A1

21 0

0

211012

011321431

315201132101211310003

101

当3时，r(A)= r([A  B])，所以方程组AX=B有解．„„5分（2）3时，由

2110110121

011301131

1

00033000000

得AX=B的一般解为： 

x1x32x41，其中x3，x4为自由元„„10分

x2x33x41

令x3= 0，x4= 0，得特解X0 =(1,1,0,0)对应的齐次方程组AX = O的一般解为

x1x32x4，其中x3，x4为自由元 

x2x33x4

令x3=1，x4=0得X1=(1,1,1,0)；

令x3=0，x4=1得X2=(2,3,0,1)．„„17分AX = O的一个基础解系为：{ X1，X2 }．

AX = B的通解为：XX0k1X1k2X2，其中k1，k2为任意常数．„„20分

1，5,2)，3．设向量组1(1，2，4,1)，2(4，8，16,4)，3(3，4(2，3，1,1)，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．（15分）

解：因为

1

2

（1 2 3 4）=

41

48164

3152

23 11

10



00

4000

3571

21

070710

4000

3100

2

1„„8分 20

所以，r(1,2,3,4)= 3．„„10分

它的一个极大线性无关组是 1,3,4（或2,3,4）．„„15分 4．用配方法将二次型f(x1,x2,x3)x12x1x24x1x32x22x2x36x3化为标准型，并求出所作的满秩变换．（15分）解：

f(x1,x2,x3)x12x1x24x1x32x22x2x36x3

(x1x24x32x1x24x1x34x2x3)(x26x2x39x3)7x3(x1x22x3)(x23x3)7x3 令

y1x1x22x3,即得

f(x1,x2,x3)y1y27y3由式解出x1,x2,x3，即得

y2x23x3,y3x3（*）

x1y1y25y3

x2y23y3

xy

33

或写成x1115y1

x2013y2 1x300y3

5．用配方法将二次型f(x1,x2,x3)4x1x22x1x32x2x3化为标准型，并求出所作的满秩变换．（15分）

x1y1y2



解：做线性替换x2y1y2，（*）

xy

33

得f(x1,x2,x3)4(y1y2)2(y1y2)y32(y1y2)y3

4y14y24y1y3 22

1用配方法，得f(x22

1,x2,x3)4(y12

y23)4y2y3

令z1

1y1

y3,z2y2,z3y3（**）即得f(xx2

1,x2,3)4z14z2z3



x11

z1z2z3

由（*）和（**）式解出x 

x11,x2,x3，即得

2z1z22z3

x3z3



1

x1

112或写成1z1x211x2300

1z2 z3

6.试证：设n阶方阵A满足A2I，AAT

I，试证A为对称矩阵．（10分）证明：因为 A2I，AAT

I且

AT

IAT

A2

AT

A(AAT)AIA

所以A为对称矩阵。„„10分7.设A，B同为n阶方阵，I为n阶单位矩阵，且A＝1BI）,若B2＝I,则A2

＝A.（10分）

证明：因为

A2-AA（AI）=1

BI)(BI)

=1

(B2-I)0

则A2

6.线性代数试题(本科) 篇六

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．二阶行列式A．k≠-1 C．k≠-1且k≠3 答案：C 2．设行列式a2A．-3 C．1 答案：D k122k1≠0的充分必要条件是（）

B．k≠3 D．k≠-1或≠3 a1b2=1，a2b1a1c2=2，则a2B．-1 D．3

c1a1b2c2=（）

b1c13x1kx2x304x2x30有非零解,则 k=（）3.如果方程组4x2kx30A.-2 C.1 答案：B a11a12a22a32a13B.-1 D.2

a115a112a12a13a23，则D1的值为（）a334．设行列式D=a21a31A．-15 C．6 答案：C

a23=3，D1=a215a212a22a33a315a312a32B．-6 D．15 5.设3阶方阵A=[1,2,3]，其中i（i=1, 2, 3）为A的列向量，且|A|=2，则|B|=|[132,2,3]|=（）A.-2 C.2 答案：C

B.0 D.6 xx206.若方程组1有非零解，则k=（）

kxx021A.-1 C.1

B.0 D.2 答案：A 01011中元素a21的代数余了式A21=（）7．3阶行列式aij=1110A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：C a11a12a132a112a122a138.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23=（）

a31a32a332a312a322a33A.-24 B.-12 C.-6 D.12 答案：B

01119．行列式10111101第二行第一列元素的代数余子式A21=（1110A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：B xyz2x2y2z10.设行列式4031,则行列式401（）1113111A.23 B.1 C.2 D.83 答案：A 11.已知2阶行列式a1a2b2b,则

b1b21b=m ,b12c1c=n 2a1c=（1a2c2A.m-n B.n-m C.m+n D.-（m+n）

答案：B））3 0 2 0 2.计算行列式 2 10 5 0 0 0 2 02 3 2 3=（）A.-180 B.-120 C.120 D.180

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

12.设A为三阶方阵且|A|=3，则|2A|=___________.答案：24 13.已知=（1，2，3），则|T|=___________.答案：0 1114．行列式答案：-2

14中（3，2）元素的代数余子式A32=____________.234916k15.若答案：1/2 112a1b10,a1b2a2b2a3b2则k=___________.a1b3a2b3=____________.a3b316.行列式a2b1a3b1答案：0 a112a123a13a11a12a22a32a13a23=_______________.a3317．已知3阶行列式2a214a223a316a326a23=6，则a219a33a31答案：1/6 18．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=__________________.答案：-4 21019.若1310,则k_____________。

k21 答案：-1

ababab11121320．若aibi0,i1,2,3,则行列式a2b1a2b2a2b3a3b1a3b2a3b

3=_____________.答案：0 a2121．已知行列式2300，则数a =__________.111答案：3 22．设方程组x12x202x1kx有非零解，则数k = __________.20答案：4 23．已知行列式a1b1a1b1b1a2b2a4，则

a1______.2b2a2b2答案：2 12324.行列式459=_________.6713答案：0 25.行列式***0的值为_________________________.答案;-2

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

11141131121126．求4阶行列式1111的值.4 ***110121解：原式=11111110003***11301066

***．求行列式3412

412312341234解：原式=101341100113141202221123011112341001130044160

0004

3011

1200012028.计算四阶行列式0012的值.2001120200解：原式=012212015

001012111130.计算行列式D=12001030的值.1004111123111解：原式=0420011112342

00302340004

12323331．计算3阶行列式

249499.367677120203解：原式=240409.0

36060721012132．计算行列式D=012的值.解：原式=2221101100201121124 6

******00200133．计算6阶行列式

***00100010020018 06000解：原式=0003123434．计算行列式D=1012的值.311012051解：原式=20220206112222220031414613521739353924

173533335333.35535．计算行列式D=3331333解：原式=141333=14******112

x236.已知3阶行列式aij=x0中元素a12的代数余子式A12=8，求元素a21的代数余子式

514A21的值.解：A12(1)12x0544x8x2

A21(1)2123145

134322052237.求行列式D=427006的值。

1340435985解：原式=40352022=32223002698***8

x111138．计算行列式D1x11111x11的值.111x111111111解：原式x1x1111x11x0x004100x0x

111x1000x234539．计算4阶行列式D=

34564567.567823452345解：原式=34567345645611110

7.线性代数试题(本科) 篇七

大学代数课程主要包括数学专业的《高等代数》、《近世代数》课程及公共课《线性代数》. 这三门课程都具有高度的抽象化和形式化的特征,是被学生公认为比较难学又极其重要而基础的专业课程. 从大学代数课程的教学研究和实践出发,对其教学内容、教材建设、教学手段等方面进行有效的改革,从而提高教学质量,同时培养学生的数学素质与创新能力,使得学生从“知识教育”向“能力教育”逐渐转变,这便是我们对代数课程进行相关探索和研究的主要目标. 如何结合地方院校自身的特点,让学生更容易、更有效率地学好这几门专业课程,并让学生尽量利用所学的代数思想方法应用于实践,从而培养他们形成解决实际问题的能力,这便是我们进行相关探索和研究的重要内容.

目前,已有不少文献探讨了《高等代数》《近世代数》或 《线性代数》课程的一些教学实施与体会,如可参看文献[1 - 4]等. 本文作者将结合自身在广东省精品资源共享课程 《高等代数》《近世代数》及《线性代数》这三门大学代数课程的教学研究及实践的基础上给出一些教学体会.

二、大学代数课程教学的几点尝试与实践

( 一) 始终不渝地把握四个教学原则

1. 体现大学代数学的典型思想方法的原则

培养学生系统地掌握代数研究问题的基本方法是代数课的教学目的之一. 代数中有代表性的典型思想方法包括: 公理化演绎的思想( 如: 向量空间、欧式空间等各类代数系统) ,分类的思想( 如: 矩阵的相似、合同、等价等等各种等价关系) ,相互关联的思想( 如: 同态、同构等各种形式的映射) ,矩阵的方法,初等变换的方法,抽象推理的方法等等. 了解这些思想方法的具体含义和在代数中的具体应用对代数课程教学是十分有益的. 文献[1,4]也结合高等代数课程的教学体会,详细地探究了严格的逻辑推理方法,公理化方法,结构化方法,矩阵表示方法和等价分类方法等在教学中有效实施.

2. 体现与时俱进的原则

参考国内外最新的教材内容,结合我们的教研、科研, 把课程的前沿知识、研究现状和发展趋势,及时贯彻到教学过程中,常讲常新. 例如,我们可以在教学过程中把代数学家的一些故事、代数学界最近的研究现状及所发生的一些事情带入到课堂,介绍给学生,以此激发他们学习数学的兴趣与热情.

3. 体现现代教育理念的原则

适当安排一些探索性内容,扩展性内容,构建终身学习所需要的代数学的基础. 将现代化手段在数学课程教学中的应用将全面铺开; 从教学内容的组织与安排看,课堂教学与课外延伸相结合,将知识传授、能力培养、素质教育融为一体,采用各种形象化的教学手段,使用投影仪和计算机辅助教学,增加教学的直观性,化解数学的抽象和难点,促进教学质量的提高.

4. 突出师范教育的特点

惠州学院的数学与应用数学专业是师范专业,而高师数学专业培养的目标是中小学数学教师,我们努力在《高等代数》与《近世代数》课程的教学之中渗透教育学和数学课程教学论的思想,注重研究代数学课程对中学数学教学的指导,充分体现数学文化和数学美,培养学生的数学文化素养和未来数学教师的综合素质,适应基础教育教学和改革的需要.

( 二) 不断尝试各种教学理念和方法

1. 采用“本原教学法”进行教学

高度的抽象化和形式化是代数学的基本特征,《高等代数》、《近世代数》及《线性代数》这三门大学代数课程是被学生公认为比较难学的数学课程. 所谓“本原教学法”,就是教学中要返璞归真,从源头讲起,讲清楚问题产生和发展的过程,先讲明道理,水到渠成,让学生自己归纳定义或结论, 再讲推理,然后再抽象化和形式化.

例如,在引入同构概念之前,我们可以先让学生回忆三角形全等的概念和判定方法. △ABC与三角形△A'B'C'的全等实际上是建立两个三角形的顶点和边的一一对应. 点的对应可以看成两个集合S和T的元素的一一对应,即A A',边可以看成两个点所作用的结果,从而S和T的边的对应可以是看成保持它们两个点的运算结果. 这样一来,两个代数系统的同构其实就是这两个代数系统间可以建立一个一一映射,并且该映射保持这两个代数系统的所有运算.

再例如在引入向量的线性相关的概念时,我们先从“平面向量的共线”及“空间向量的共面”入手,介绍一些具体的、学生熟悉的例子,最后归纳出线性相关的一般定义. 教学实践证明,这种教学方法学生易于接受,效果明显.

2. 采用“研究性教学法”进行教学

在自身开展科研的同时,我们经常将所授课程的前沿知识,研究现状和发展趋势融入到教学过程中,将自己的研究实践经验、思维创新方法、学科前沿动态介绍给学生,并适时适度提出一些问题供学生研究. 例如我们在《高等代数》或《线性代数》课程教学中,可以提出如下问题给学生探究: 矩阵表示方法的综合体现、等价分类方法的渗透与应用、同构思想的应用、分析学思想在代数学中应用等等. 此外,我们也偶尔可以不从定义出发而从问题出发来组织和展开本课程的教学内容和体系,即从重要的问题出发,根据需要引入概念,并总结出定理,引导学生去探索和发现知识,从而培养学生的创新思维. 这一教学过程的主体是学生,主导是教师.

3. 利用类比法进行各代数系统相关内容的教学

类比法是数学发现中最常用、最有效的方法之一,它在科学发展史上起过重大作用. 法国数学家拉普拉斯指出: 甚至在数学里,发现真理的工具是归纳和类比,这也足以看出类比方法的重要性.

类比是通过两类不同对象A,B间的某些属性的相似, 从而从A具有某种其他属性便猜想B也有这种属性.

本科阶段主要接触的代数系统有向量空间、欧式空间、 群、环和域等. 由于这些代数系统之间具有一些属性的相似,即都是一些带有运算的集合,这即表明类比的数学思想方法可尝试在这些代数课程的学习或教学中去运用.

例如,我们在讲授《高等代数》或《线性代数》时,可以利用类比法来讲解向量空间与欧式空间、矩阵与线性变换的定义与性质、联系与区别等等.

又例如,我们在讲授《近世代数》时,可利用类比法来讲解群环域等代数系统及其子系统的概念,讲解代数系统的同态基本定理,讲解一些特殊环( 整环、除环与域) 之间关系,讲解一些特殊整环( 唯一分解环、主理想环、欧氏环等) 的关系等等. 教学实践证明,该方法教学效果明显,而且可以培养学生如何发现新问题的科研兴趣和能力.

4. 课堂精讲、返讲与自学相结合

我们在代数系列课程的教学中,努力做到课堂精讲、返讲与自学相结合. 课堂上,讲重点,讲知识的背景与形成过程,揭示知识的内在联系; 对难点、重点内容进行返讲,使学生深刻理解抽象的理论,从怕学到爱学; 自学是指有些教材内容则采用学生自学为主,教师给出思考题,课后下班辅导及答疑. 我们采取了一系列措施指导学生自主学习,主要做法是针对不同专业的学生建立不同层次的试卷库,建立自测卷,同时,统一考试标准及要求,保证其公正、公平.

5. 以科技创新活动为突破口,激励学生研究性学习

(1)开发第二课堂

通过讲座,介绍代数发展历史上的典型人物、典型事件、典型的思想方法,代数与相关学科的联系、应用前景,提高学习代数学的兴趣. 指导学生去发现实践中的数学问题, 指导学生使用Matlab分析和解决问题; 指导学生自主式学习、探究式学习,给他们布置一些难度不是很大的研究性问题,让他们课外去找资料解决,并用规范论文的格式打印出来. 这样,一方面,我们可以让所有学生学会如何撰写数学专业论文,另一方面,我们也可以让一部分写得比较好的学生的论文拿去发表,从而达到一举双得的效果.

此外,我们也提倡学生在《数学的认识与实践》、《数学教育学报》、《大学数学》、《高等数学研究》、《数学通报》、 《中学数学研究》等一些专业涉及知识不深的期刊中找适合自己的文章阅读、报告和探讨.

( 2) 以学科竞赛为平台,提高学生协同创新能力

我们的具体做法有: 以全国和国际数学建模竞赛为平台,培养学生的解决实际问题的创新能力; 以全国普通高校信息技术创新活动为载体,培养学生信息技术创新能力.

数学建模对激励学生学习数学的积极性、提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力、 推动大学数学教学内容和方法的改革等方面均有重要意义. 通过“一年两赛”模式参加国内和国际数学建模学科竞赛,努力提高学生的应用能力与创新能力,提倡“以赛促教, 以教育赛”,并将建模融入日常教学中; 以数学建模竞赛为切入点,努力培养学生的创新能力.

( 3) 指导学生申报各类大学生科技创新项目,培养学生研究性学习的能力

在教师的指导下制定研究课题,鼓励学生自主申报并研究国家级、省级、校级大学生创新创业训练项目、暑寒期社会实践项目等各项课题,鼓励学生踊跃向国内外专业期刊投稿,以此来增强学生的科学研究及写作能力.

( 4) 鼓励学生参加教师的课题,提高学生以及教师的科研创新能力

教师是培养大学生科技创新能力的关键因素之一,倡导教师将学生纳入自身的科研工作之中,根据学生的知识阶段,指导学生完成力所能及的研究工作,努力提高学生的科研创新能力.

三、结束语

本文就《高等代数》《近世代数》及《线性代数》这三门大学代数课程的教学原则、教学理念、教学方法、教学研究及实践等方面,给出了一些教学思考与体会. 旨在强调探索和改进传统的教学模式,不断渗透数学思想和方法,对提高教学质量,培养和发展学生数学思维能力具有非常重要的意义. 因此,我们今后需不断地对大学代数课程课堂的教学内容、模式和方法进行有效改革,使得学生既感兴趣地学到必要的数学知识和数学技能,又掌握了其中的数学思想和方法,好为他们将来更好地从事数学方面的相关工作打下良好的基础.

参考文献

[1]侯维民.关于代数学研究问题的基本方法[J].数学教育学报,1999,8(1):94-96.

[2]兰艳,沈艨.高等代数抽象性及其教学的研究[J].数学学习与研究,2011,23(1):11-12.

[3]李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京:科学出版社,2008.

8.2021年《高等代数》试题题库 篇八

一、选择题

1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。

．零多项式

．零次多项式

．本原多项式

．不可约多项式

2．设是的一个因式，则（）。

．1

．2

．3

．4

3．以下命题不正确的是

（）。

.若；.集合是数域；

.若没有重因式；

．设重因式，则重因式

4．整系数多项式在不可约是在上不可约的（）

条件。

.充分

.充分必要

.必要

．既不充分也不必要

5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

.如果，那么

.如果，那么

.如果，那么，有

.如果，那么

6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号,则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有（）。

.甲成立,乙不成立；.甲不成立,乙成立；.甲,乙均成立；．甲,乙均不成立

7．下面论述中,错误的是（）。

.奇数次实系数多项式必有实根；

.代数基本定理适用于复数域；

．任一数域包含；

．

在中,8．设，为的代数余子式,则=（）。

...．

9.行列式中，元素的代数余子式是（）。

．

．

．

．

10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。

.；

.；．；.11.以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。

.；

.；．；

.12.设阶矩阵，则正确的为（）。

..．

.13.设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（）

..．

.14.设为四阶行列式，且，则（）

..．

.15.设为阶方阵，为非零常数，则（）

..．

.16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。

.；.；

．；

.17.设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（）

..．

.18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。

.；

.；

．；

.19.设,为级方阵，则“命题甲：；命题乙：”中正确的是（）。

.甲成立,乙不成立；.甲不成立,乙成立；．甲,乙均成立；.甲,乙均不成立

20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。

..．

.21.若矩阵，满足，则（）。

.或；.且；．且；.以上结论都不正确

22.如果矩阵的秩等于，则（）。

.至多有一个阶子式不为零；

.所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零

23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。

.；.；．；.24.设为阶方阵的伴随矩阵，则=（）

..．

.25.任级矩阵与-,下述判断成立的是（）。

.；

.与同解；

.若可逆,则；．反对称,-反对称

26.如果矩阵,则

（）

.至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．

所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零

27.设方阵，满足，则的行列式应该有

（）。

..．

.28.是阶矩阵，是非零常数，则

（）。

.；

.；

．

.29.设、为阶方阵，则有（）..，可逆，则可逆

.，不可逆，则不可逆

．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆

30.设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。

..．

31.为阶方阵，且，则（）。

.；

.；

．；.32.，是同阶方阵，且，则必有（）。

.；

.；

．

．

33.设为3阶方阵，且，则（）。

.；.；

．；.34.设为阶方阵，且，则（）...或

．

.35.设矩阵，则秩=（）。

．1

．2

．3

．4

36.设是矩阵，若（），则有非零解。

.；

.；

．

.37.，是阶方阵，则下列结论成立得是（）。

.且；

.；

．或；

.38.设为阶方阵，且，则中（）..必有个行向量线性无关

.任意个行向量线性无关．任意个行向量构成一个极大无关组

.任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示

39.设为矩阵，为矩阵，为矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（）。

..．

.40.设是阶方阵，那么是（）

.对称矩阵；

.反对称矩阵；

．可逆矩阵；

.对角矩阵

41.若由必能推出（均为阶方阵），则

满足（）。

..．

.42.设为任意阶可逆矩阵，为任意常数，且，则必有（）

..．

.43.，都是阶方阵，且与有相同的特征值，则（）

.相似于；

.；

．

合同于；

.44.设，则的充要条件是（）

.；

（B）；．

.45.设阶矩阵满足，则下列矩阵哪个可能不可逆（）

..．

.46.设阶方阵满足，则下列矩阵哪个一定可逆（）

.；

.；

．

.47.设为阶方阵，且，则中（）..必有个列向量线性无关；.任意个列向量线性无关；．任意个行向量构成一个极大无关组；.任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示

48.设是矩阵，若（），则元线性方程组有非零解。

..的秩等于

．

.的秩等于

49.设矩阵，仅有零解的充分必要条件是（）..的行向量组线性相关

.的行向量组线性无关

．的列向量组线性相关

.的列向量组线性无关

50.设,均为上矩阵,则由（）

不能断言；

.；.存在可逆阵与使

．与均为级可逆；.可经初等变换变成51.对于非齐次线性方程组其中，则以下结论不正确的是（）。

.若方程组无解，则系数行列式；.若方程组有解，则系数行列式。

．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；

.系数行列式是方程组有惟一解的充分必要条件

52.设线性方程组的增广矩阵是，则这个方程组解的情况是（）..有唯一解

.无解

．有四个解

.有无穷多个解

53.为阶方阵,，且，则

（）。

.；.；．齐次线性方程组有非解；.54.当（）时，方程组，有无穷多解。

．1

．2

．3

．4

55.设线性方程组，则（）

.当取任意实数时，方程组均有解。.当时，方程组无解。

．当时，方程组无解。.当时，方程组无解。

56.设原方程组为，且，则和原方程组同解的方程组为（）。

.；.（为初等矩阵）；．（为可逆矩阵）；

.原方程组前个方程组成的方程组

57.设线性方程组及相应的齐次线性方程组，则下列命题成立的是（）。

.只有零解时，有唯一解；.有非零解时，有无穷多个解；．有唯一解时，只有零解；.解时，也无解

58.设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（）。

..．

.59.维向量组

线性无关的充分必要条件是（）

.存在一组不全为零的数，使

.中任意两个向量组都线性无关

．中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示

.中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

60.若向量组中含有零向量，则此向量组（）

.线性相关；

.线性无关；

．线性相关或线性无关；.不一定

61．设为任意非零向量，则（）。

.线性相关；.线性无关；．

线性相关或线性无关；．不一定

62.维向量组线性无关，为一维向量，则（）..，线性相关；.一定能被线性表出；

．一定不能被线性表出；

.当时，一定能被线性表出

63.（1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组线性无关，可由线性表出，则向量组也线性无关；（3）设线性无关，则也线性无关；（4）线性相关，则一定可由线性表出；以上说法正确的有（）个。

.1

个

.2

个

．3

个

.4个

64．（1）维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基；（2）设是向量空间中的个向量，且中的每个向量都可由之线性表示，则是的一个基；（3）设是向量空间的一个基，如果与等价，则也是的一个基；

（4）维向量空间的任意个向量线性相关；以上说法中正确的有（）个。

.1

个

.2

个

．3

个

.4个

65．设向量组线性无关。线性相关，则（）。

.线性表示；.线性表示；

．线性表示；

.线性表示

66.设向量组Ⅰ（），Ⅱ（）则必须有（）。

.Ⅰ无关Ⅱ无关；

.Ⅱ无关Ⅰ无关；.Ⅰ无关Ⅱ相关；.Ⅱ相关Ⅰ相关

67．向量组:与:等价的充要条件为（）..；

.且；．；.68．向量组线性无关Û（）。

.不含零向量；

.存在向量不能由其余向量线性表出；

．每个向量均不能由其余向量表出；

．与单位向量等价

69.已知则a

=（）..；.；．；..70.设向量组线性无关。线性相关，则（）。

.线性表示；.线性表示；

．线性表示；.线性表示

71．下列集合中，是的子空间的为（），其中

.．.72．

下列集合有（）个是的子空间；；

；；

；

73．设是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（）。

.；

.；

．；..1

个

.2

个

．3

个

.4个

74.是阶实方阵，则是正交矩阵的充要条件是（）。

.；

.；

．；

.75．（1）线性变换的特征向量之和仍为的特征向量；（2）属于线性变换的同一特征值的特征向量的任一线性组合仍是的特征向量；（3）相似矩阵有相同的特征多项式；

（4）的非零解向量都是的属于的特征向量；以上说法正确的有（）个。

.1

个

.2

个

．3

个

.4个

75.阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（）。

.充要条件；.充分而非必要条件；．必要而非充分条件；.既非充分也非必要条件

76.对于阶实对称矩阵，以下结论正确的是（）。

.一定有个不同的特征根；.正交矩阵，使成对角形；．它的特征根一定是整数；.属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交

77.设都是三维向量空间的基，且，则矩阵是由基到（）的过渡矩阵。

..．

.78.设，是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（）。

..．

.二、填空题

1．最小的数环是，最小的数域是。

2．一非空数集,包含0和1,且对加减乘除四种运算封闭，则其为。

3．设是实数域上的映射，若，则=。

4．设，若，则=。

5.求用除的商式为，余式为。

6．设，用除所得的余式是函数值。

7．设是两个不相等的常数，则多项式除以所得的余式为____

8．把表成的多项式是。

9．把表成的多项式是。

10．设使得，且，，则。

11．设使得=____。

12．设使得=___。

13.若，并且，则。

14.设，则与的最大公因式为。

15.多项式、互素的充要条件是存在多项式、使得。

16.设为，的一个最大公因式,则与的关系。

17.多项式的最大公因式。

18.设。，若，则。

19．在有理数域上将多项式分解为不可约因式的乘积。

20．在实数域上将多项式分解为不可约因式的乘积。

21.当满足条件

时，多项式才能有重因式。

22.设是多项式的一个重因式，那么是的导数的一个。

23.多项式没有重因式的充要条件是

互素。

24．设的根，其中，则。

25．设的根，其中，则

=。

26．设的根，其中，则。

27．设的根，其中，则

=。

28.按自然数从小到大为标准次序，排列的反序数为。

29．按自然数从小到大为标准次序，排列的反序数为。

30．排列的反序数为。

31．排列的反序数为。

32．排列的反序数为。

33．排列的反序数为。

34.若元排列是奇排列，则_____,_______。

35.设级排列的反数的反序数为，则=。

36.设,则。

37.当，时，5阶行列式的项取“负”号。

38.。

39．。

40．。

41．。

42._________________。

43．________________。

44.，_________________。

45.,则

______________________。

46.设两两不同,则的不同根为。

47.=______________。

48．,，则=。

49.设行列式中，余子式，则＝__________。

50.设行列式中，余子式，则＝__________。

51.设，则。

52行列式的余子式的值为。

53.设，,则

____________。

54．设，,则____________。

55．设，,则

____________。

56.设，则＝_____________。

57.设，则＝_____________。

58．设矩阵可逆，且，则的伴随矩阵的逆矩阵为。

59．设、为阶方阵，则的充要条件是。

60．一个级矩阵的行（或列）向量组线性无关，则的秩为。

61.设、都是可逆矩阵，若，则。

62.设，则。

63.设，则。

64.设矩阵，且,则。

65.设为阶矩阵，且,则

______________。

66.,则________________。

67.,则________________。

68.已知其中，则_________________。

69.若为级实对称阵，并且，则=。

70.设为阶方阵，且，则，的伴随矩阵的行列式。

71.设，是的伴随矩阵，则=。

72.设，是的伴随矩阵，则=。

73.____________。

74.设为阶矩阵，且,则

____________。

75.为阶矩阵，则=（）。

76.设,则____________。

77.是同阶矩阵，若,必有，则应是

_____。

78.设，则的充要条件是。

79.一个齐次线性方程组中共有个线性方程、个未知量，其系数矩阵的秩为，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为。

80.含有个未知量个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是。

81.线性方程组有解的充分必要条件是。

82.方程组有解的充要条件是。

83.方程组有解的充要条件是。

84.是矩阵，对任何矩阵，方程都有解的充要条件是_______。

85．已知向量组，，则向量。

86.若，则向量组必线性。

87.已知向量组，，则该向量组的秩是。

88.若可由唯一表示,则线性。

89.单个向量线性无关的充要条件是_____________。

90.设为维向量组,且，则。

91.个维向量构成的向量组一定是线性的。（无关，相关）

92.已知向量组线性无关，则

_______。

93.向量组的极大无关组的定义是___________。

94.设两两不同,则线性。

95.二次型的矩阵是____________.96.是正定阵，则满足条件__________________。

.当满足条件，使二次型是正定的。

98.设阶实对称矩阵的特征值中有个为正值，有为负值，则的正惯性指数和负惯性指数是。

99.相似于单位矩阵，则

=

_______________。

100.相似于单位阵。

101.矩阵的特征值是____________。

102.矩阵的特征值是____________。

103.设为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则。

104.满足，则有特征值______________________。

105.设阶矩阵的元素全为，则的个特征值是。

106.设矩阵是阶零矩阵，则的个特征值是。

107.如果A的特征值为，则的特征值为。

108.设是的任意向量，映射是否是到自身的线性映射。

109.设是的任意向量，映射是否是到自身的线性映射。

110.若线性变换关于基的矩阵为，那么线性变换关于基的矩阵为。

111.对于阶矩阵与，如果存在一个可逆矩阵U,使得，则称与是相似的。

112.实数域R上的n阶矩阵Q满足，则称Q为正交矩阵。

113.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此。

114.复数域作为实数域上的向量空间，则_____，它的一个基为____。

115.复数域作为复数域上的向量空间，则____，它的一个基为_____。

116.复数域作为复数域上的向量空间，则___________。

117.设是数域上的3维向量空间，是的一个线性变换，是的一个基，关于该基的矩阵是，则关于的坐标是____________。

118.设是向量空间的一个基，由该基到的过渡矩阵为___________________。

119.设是向量空间的一个基，由该基到的过渡矩阵为__________。

120.设与都是上的两个有限维向量空间，则。

121.数域F上任一维向量空间都却与

。（不同构，同构）

122.任一个有限维的向量空间的基是____的，但任两个基所含向量个数是_____。

123.令是数域上一切满足条件的阶矩阵所成的向量空间，则=。

124.设为变换，为欧氏空间，若都有，则

为

变换。

125.在。

126.在欧氏空间里的长度为__

_

__。

127.在欧氏空间里的长度为_________。

128.设是欧氏空间，则是正交变换。

129.设，则在=。

三、计算题

1.把按的方幂展开.2．利用综合除法，求用去除所得的商及余式。。

3．利用综合除法，求用去除所得的商及余式。。

4.已知,求被除所得的商式和余式。

5.设，求的最大公因式。

6．求多项式与的最大公因式．

7.求多项式，的最大公因式，以及满足等式的和。

8.求多项式，的最大公因式，以及满足等式的和。

9.令是有理数域，求出的多项式，的最大公因式，并求出使得。

10.令是有理数域，求的多项式的最大公因式。

11.设，求出，使得。

12.已知，求。

13.在有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积。

14.应该满足什么条件，有理系数多项式才能有重因式。

15.求多项式的有理根。

16.求多项式的有理根。

17．求多项式的有理根。

18.求多项式的有理根。

19.求多项式的有理根。

20.求多项式的有理根。

21.求一个二次多项式，使得：。

22.问取何值时，多项式，有实根。

23.用初等对称多项式表示元对称多项式。

24.用初等对称多项式表示元对称多项式。

25.请把元对称多项式表成是初等对称多项式的多项式。

26.求行列式的值。

27.求行列式的值。

28.求行列式的值。

29.求行列式的值。

30.求行列式的值。

31.求行列式的值。

32.求行列式的值。

33.求行列式的值。

34.把行列式

依第三行展开然后加以计算。

35.求行列式的值。

36.求行列式的值。

37.求行列式的值。

38.求行列式的值。

39.计算阶行列式

40.计算阶行列式

41.计算阶行列式

42.计算阶行列式

43.计算阶行列式

44.计算阶行列式

45.计算阶行列式

46.计算阶行列式

47.计算阶行列式()

48.计算阶行列式

(其中)

49.计算阶行列式

50.计算阶行列式

51.计算阶行列式

52.计算阶行列式

53.计算阶行列式

54.计算阶行列式

55.解方程。

56.解方程。

57.解方程。

58.解方程。

59.设为矩阵，把按列分块为。其中是的第列。求（1）；（2）。

60.）____________________已知,，试求：①

；②。

61.已知，求

62.设=，求。

63.设=，已知,求。

64.求矩阵的秩。

65.求矩阵=的秩。

66.求矩阵=的秩。

67.求矩阵=的秩。

68.求矩阵=的秩。

69.求矩阵的逆矩阵。

70.求矩阵的逆矩阵。

71.求矩阵的逆矩阵。

72.求矩阵的逆矩阵。

73.设，给出可逆的充分必要条件，并在可逆时求其逆．

74.设矩阵，问矩阵是否可逆？若可逆，求出。

75.设矩阵，问矩阵是否可逆？若可逆，求出。

76.设矩阵，判断是否可逆？若可逆，求。

77.设，请用两种方法（行初等变换，伴随矩阵）求。

78.已知矩阵=,用矩阵的初等变换求的逆矩阵。

79.已知矩阵=，用矩阵的初等变换求的逆矩阵。

80.设为三阶矩阵，为的伴随矩阵，已知=，求(1)的值；

(2)的值。

81.设为阶方阵，判断与是否一定可逆，如果可逆，求出其逆。

82.设矩阵=，求矩阵,使得。

83.用求逆矩阵的方法解矩阵方程。

84.解矩阵方程。

85.解矩阵方程。

86.解矩阵方程

87.解矩阵方程

88.求解矩阵方程）____________________89.判断齐次线性方程组是否有非零解？

90.用求逆矩阵的方法解线性方程组

91.用求逆矩阵的方法解线性方程组

92.用克莱姆法则解线性方程组

（其中

93）____________________444.用克莱姆法则解线性方程组（其中）

94.用克莱姆规则解方程组

95.讨论取何值时，方程组有解，并求解。

96.讨论取什么值时，方程组有解，并求解。

97.选择，使方程组无解。

98.确定的值，使齐次线性方程组有非零解。）____________________5252552298.取何值时，齐次线性方程组有非零解？

99.齐次线性方程组有非零解，则为何值？

100.问，取何值时，齐次线性方程组有非零解？

101.问取何值时，非线性方程组

有无限多个解？

102.齐次线性方程组有非零解，则应满足什么条件？

103.确定的值，使线性方程组无解？有惟一解？有无穷多解？

104）____________________515.取怎样的数值时，线性方程组有解，并求出一般解。

105.问当取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解。

106.问取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解。

107.设线性方程组为讨论为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）。

108.设非齐次线性方程组为试问:取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？有解时请求出解。

109.设非齐次线性方程组为试问:

取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？当有解时请求出解来。

110.求线性齐次方程组的基础解系。

111.求线性齐次方程组的基础解系。

112.求线性齐次方程组的基础解系。

113.求线性齐次方程组的基础解系。

114.求线性齐次方程组的基础解系。

115.求线性齐次方程组的基础解系。

116.求齐次线性方程组的基础解系。

117.求齐次线性方程组的通解。

118.求齐次线性方程组的通解。

119.求非齐次线性方程组的通解。

120.求非齐次线性方程组的通解。

121.问下列向量组是否线性相关？

（1）（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；（2）（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）

122.判别向量组=(0,0,2,3),=(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(1,0,1,0)是否线性相关，并求，,的一个极大线性无关组。

123.求向量组，的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。

124.求向量组，，的极大无关组,并求出组中其余向量被该极大无关组线性表出的表达式。

125.已知向量组（Ⅰ）,(Ⅱ),(Ⅲ)，若各向量组的秩分别为(Ⅰ)

=

(Ⅱ)

=

3,(Ⅲ)

=

4,证明向量组（Ⅳ）：的秩为4。

126.设矩阵，求矩阵的列向量组的一个最大无关组。

127.已知向量，线性相关，求的值。

128.设矩阵,其中线性无关，向量

求方程的解。

129.判断实二次形10是不是正定的。

130.取什么值时,实二次形是正定的。

131.取何值时，实二次型是正定的？

132.取何值时，二次型正定。

133.取何值时，二次型正定。

134.取何值时，二次型正定。

135.求一个正交变换把二次型化为只含有平方项的标准形。

136.求一个正交变换把二次型化为只含有平方项的标准形。

137.将二次型化为规范形，并指出所用的线性变换。

138.用正交线性替换化实二次型为典范形，并求相应的正交阵。

139.已知向量组=(1,1,0,-1),=(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(2,4,2,2)，试求它们的生成子空间(，,)的维数和一个基。

140.求的特征值。

141.求的特征值。

142.求的特征值。

143.求矩阵的特征根和相应的特征向量。

144.设，求一个正交矩阵为对角形矩阵。

145.设，求一个正交矩阵为对角形矩阵。

146.设，用初等变换求一可逆矩阵是对角形式。

147.设，用初等变换求一可逆矩阵是对角形式。

148.设,求可逆矩阵,使是对角形矩阵。

149.设，求一个正交矩阵，使是对角矩阵。

150.设矩阵与相似，求。

151.,，求关于基的坐标。）____________________66152.已知是线性空间的一组基，求向量在基下的坐标。

153.设中的两个基分别为,，（1）求由基的过渡矩阵。

（2）已知向量在基下的坐标为，求在基下的坐标。

154.已知是的一个基，求在该基下的坐标。

155.已知是的一个基，求在该基下的坐标。

156.考虑中以下两组向量；，证明和都是的基。并求出由基到的过渡矩阵。

157.设上三维向量空间的相性变换关于基的矩阵是,求关于基的矩阵。

158.中的两向量组，（1）证明它们都是的基，（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵，（3）如果在基下的坐标为（3，1，2），求在基下的坐标。

159．设在标准欧几里得空间中有向量组，,，求的一个基与维数。

四、判断题

1.判断中的子集是否为子空间。

2.判断中的子集是否为子空间。

3.判断中的子集是否为子空间。

4.判断的向量是否线性相关。

5.判断的向量是否线性相关。

6.判断的向量的线性相关性。

7.若整系数多项式在有理数域可约，则一定有有理根。（）

8.若、均为不可约多项式，且，则存在非零常数，使得

。（）

9.对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。（）

10.若矩阵的所有级的子式全为零，则的秩为。（）

11.若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。（）

12.若向量组（）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。（）

13.若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同。（）

14.若矩阵、满足，且，则。（）

15.称为对称矩阵是指．若与都是对称矩阵，则也是对称矩阵。（）

16.设级方阵、、满足，为单位矩阵，则。（）

17.若

是方程的一个基础解系，则是的属于的全部特征向量，其中是全不为零的常数。（）

18.、有相同的特征值，则与相似。（）

19.若无有理根，则在上不可约。（）

20.两个本原多项式的和仍是本原多项式。（）

21.对于整系数多项式，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数，那么不可约。（）

三、简要回答

1．设，,若,则

成立吗？为什么？

2.设,则当满足何条件时,？

？为什么？

3．若与均相关,则相关吗？为什么？

4．若、均为级阵,且≌,则与的行向量组等价吗？为什么？

五、证明题

1.证明：两个数环的交还是一个数环。

2．证明：是一个数环。

3．证明：是一个数域。

4.证明：,是映射，又令，证明：如果是单射，那么也是单射。

5.若,则,。

6.令都是数域上的多项式,其中且,，证明:。

7.和是数域F上的两个多项式。证明：如果整除，即：，并且，那么。

8.设。证明：如果，且和不全为零，则。

9.设是中次数大于零的多项式，若只要

就有或，则不可约。

10.设，证明：如果，那么对，都有。

11.设是多项式的一个重因式，那么是的导数的一个重因式。

12.设，且，对于任意的，则有。

13.设，试证：（1）；

（2）

14.试证：。

15.设，．（1）计算及；

（2）证明：可逆的充分必要条件是；

（3）证明：当时，不可逆。

16.若阶矩阵满足，证明可逆，并求。

17.若阶矩阵满足，证明可逆，并求

18.设阶方阵的伴随方阵为,证明：若。

19.设是阶可逆矩阵,证明:

(1)；

(2)

乘积可逆。

20.证明:一个可逆矩阵可通过行初等变换化为单位矩阵。

21.证明：1）若向量组线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。

2）若向量组中部分向量线性相关，则向量组必线性相关。

22.已知为阶方阵，为的伴随阵，则的秩为1或0。

23.设为阶阵，求证。

24.设是一个阶方阵，其中分别是阶，阶可逆阵，（1）证明，（2）设，求。

25.设阶可逆方阵的伴随方阵为,证明：.26.已知阶方阵可逆，证明：的伴随方阵也可逆,且。

27.设，均为阶方阵，证明：

28.令是阶矩阵的伴随矩阵，试证：（1）；

（2）。

29．设，，都是阶矩阵，其中并且，证明：。

30.已知方阵满足，试证：可逆，并求出。

31.设是一个秩为的矩阵，证明：存在一个秩为的矩阵，使。

32.证明：设是正定矩阵，证明也是正定的。

33.证明：正定对称矩阵的主对角线上的元素都是正定的。

34.设是一个正交矩阵，证明：(1)的行列等于或；（2）的特征根的模等于；

（3）的伴随矩阵*也是正交矩阵。

35.设是一个正交矩阵，且，证明：①有一个特征根等于。②的特征多项式有形状,这里。

36.设矩阵满足，为阶单位阵，证明是对称阵，且。

37.设向量组线性无关，而向量组线性相关，证明：可以由线性表出，且表示法唯一。

38.证明向量（）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。

39.设向量可由向量组线性表示，证明表法唯一的充要条件是线性无关。

40.设在向量组中，并且每一都不能表成它的前个向量的线性组合，证明线性无关。

41.不含零向量的正交向量组是线性无关的。

42.证明向量（）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。

43.设向量组线性无关,而线性相关,那么一定可以由相性表示。

44.设线性无关，证明也线性无关。

45.设向量组线性无关，且

证明线性无关的一个充要条件是

46.设，，证明向量组线性相关

47.已知，试证向量组能用，线性表示。

48.设是非齐次线性方程组的个解，，…,为实数，且，证明也是它的解。

49.设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明：,线性无关。

50.设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明：,线性无关。

51.设是向量空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间。

52.设是向量空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间。

53.（维数定理）设都是数域上的向量空间的有限维子空间，那么也是有限维的，并且。

54.个变量的二次型的一切主子式都大于零，则是正定的。

55.设是三维欧氏空间的一个标准正交基，试证：

也是的一个标准正交基。

56．设是线性变换的两个不同特征值，x1，x2是分别属于的特征向量，都是非零常数，证明：向量不是的特征向量。

57．设的特征值为，如果可逆，证明：的特征值为。

58.令是数域上向量空间的一个线性变换，如果

分别是的属于互不相同的本征值的本征向量，证明线性无关。

59.令是数域上向量空间的一个线性变换，如果分别是的属于互不相同的特征值的特征向量，那么线性无关。

60.设是维欧氏空间的一个线性变换，如果是正交变换又是对称变换，证明是单位变换。

61.设是维欧氏空间的一个线性变换，如果是对称变换，且是单位变换。证明是正交变换。

62.证明:两个对称变换的和还是一个对称变换,两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.63.设是维欧氏空间的一个线性变换，证明，如果满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i）是正交变换，（ii）是对称变换，（iii）是单位变换。

64.证明，一个正交变换的逆变换还是一个正交变换。