给点时间问题轻松解决六年级作文

给点时间问题轻松解决六年级作文

1.给点时间问题轻松解决六年级作文 篇一

1. 解题的指导思想:分类加法, 分步乘法;有序排列, 无序组合

2. 解题的原则:特殊元素 (或特殊位置) 优先法

3. 解题的方法:选法 (直接法) 和抛法 (间接法)

4. 常见题型及解题策略:

题型一:特殊元素或特殊位置优先法 (即先解决特殊元素或特殊位置)

例1:甲乙等6人站成一排, 其中甲不能站在最左端, 乙不能站在最右端, 则共有多少不同的站法?

解析:方法一 (选法) :

第一类:甲站在最右端共有A55种;

第二类:甲站在中间4个位置有C14C14A44种;

综上, 共有A55+C14C14A44=504种。

方法二 (抛法) :即抛去甲在最左端的情况和乙在最右端的情况。共有A66-A55-A55+A44=504种。

题型二:相邻问题用捆绑法 (捆相邻元素, 且注意其有序性)

例2:7个人站成一排, 甲、乙、丙三人相邻, 共有多少种的站法?

解析:把甲、乙、丙3人看成1人与其余4人站成一排共有A55种站法, 再把甲、乙、丙3人进行排列有A33种站法, 此两步完成之后共有A55A33种不同站法 (分步乘法, 有序排列) 。

题型三:不相邻问题用插空法 (谁不相邻谁去插空, 每空最多插入一个元素)

例3:6人站成一排, 甲、乙不相邻且甲、丙也不相邻的站法共有多少种?

解析:方法一 (抛法) :6人全排列, 再抛掉甲、乙相邻和甲、丙相邻的情况, 则共有A66-2A22A55+A22A44=288种不同的站法。

方法二 (选法) :把其余3人先排好有A33种方法, 再让甲、乙去插空, 有A42种方法, 最后丙再去插空, 但不能站在甲的左右两端, 共有A41种方法, 完成这件事共有A33A42A41=288种站法。

题型四:顺序不变问题用除法或定位法

例4:6人站成一排, 要求甲在乙前面, 乙在丙前面, 则共有多少种不同的排法?

解析:方法一 (除法) :6人全排列有A66种方法, 其中有甲、乙、丙所有顺序的共A33种, 而我们只要其中一种情况, 甲—乙—丙符合, 则共有种。

方法二 (定位法) :从6个位置中选出3个位置有C63种选法, 此时, 甲、乙、丙顺序不变, 他们3人只有一种坐法, 其余3人在剩余3个位置站好有A33种站法, 则一共有C63A33=120种方法。

题型五:不回原位置问题 (每个元素从自己位置出来, 再回到位置上去, 但不能回到原来的位置)

记住以下3种不回原位置情况即可:

(1) 2人不回原位置:只有两人交换位置, 即1种方法;

(2) 3人不回原位置:其中每人都有2个位置可去, 共有2种方法;

(3) 4人不回原位置:先安排其中1人有3种方法, 再安排被占位置的那个人也有3种方法, 此时剩余2人只有一种方法, 故共有3×3=9种方法。

题型六:涂色问题用分类的方法 (以用的颜色的多少去分类, 这样不重不漏。注意先选颜色再涂颜色)

例6:有5种不同颜色的鲜花, 要种植在图中的5块区域内, 每个区域只能种一种颜色的花, 相邻区域不能种同一种颜色的花, 则共有多少种不同的种植方法?ABCED解析:此题以用的鲜花颜色的多少分类

第一类:用5种颜色的鲜花, 有A55种方法;

第二类:用4种颜色的鲜花, 但要先选择颜色再种植, 共有C54·2A44种方法, (此时, AD或BE必植同一颜色的鲜花) ;

第三类:用3种颜色的鲜花 (同上) :有C53A33种方法 (此时, AD和BE分别种一种颜色) ;

综上, 共有A55+C54·2A44+C53A33=420种不同的种法。

题型七:平均分配问题用除法 (要注意平均分配问题的有序性)

例7: (1) 6人平均分成3组有多少种不同的分法?

(2) 把6人平均分到甲、乙、丙3个单位共有多少种不同的分配方法?

解析: (1) 6人平均分组是与顺序无关的问题, 则有种不分法。 (注:C62C42C22本身为排列, 即与顺序有关的)

(2) 把6人平均分到3个不同的地方是与顺序有关的问题, 则有种。另解:可以让甲、乙、丙3个单位派人来领6人中的2人, 即C62C42C22=90种。

题型八:档板法 (适用范围是把n个相同元素分配到m (m<n) 个不同的地方去, 每个地方至少有一个元素, 则共有Cnm-1-1种不同的方法。即用m-1个板去插n个相同元素组成的n-1个空, 每个空只放一个板, 两端不能插板)

例8:我校有某高校的10个自主招生名额, 要分配给高三的7个班, 每班至少一个名额, 共有多少种不同的分配方案?

解析:方法一:分类解决, 即以名额的分配多少分类:

第一类:有一个班4个名额, 其余班各有一个名额, 有C71种

第二类:有一个班3个名额, 一个班2个名额, 其余班各一个名额有C72A22种。

第三类:有3个班2个名额, 其余班各1个名额, 则有C73种

综上, 共有C71+C72A22+C73=84种 (若把名额改成20, 此法不可取)

方法二:用档板法。即把10个名额摆好, 用6个板把10个名额分成7份, 每个板只能进9个空中的一个空, 且一个空最多进一个板, 则共有C96=84种。

二、高考真题及模拟试题训练

1. 一排9个座位坐了3个三口之家, 若每家人坐在一起, 则不同的坐法总数为 ()

A.3×3!B.3× (3!) 3 C. (3!) 4 D.9!

解析:第一步:3个家庭的全排列有A33=3!;

第二步:家庭内部3人的全排列有3!, 共有3个家庭有 (3!) 3故总数为 (3!) 4 (相邻问题捆绑法) 。

2. 将字母a, a, b, b, c, c排成三行两列, 要求每行的字母互不相同, 每列的字母也互不相同, 则不同的排列方法共有 ()

A.12种B.18种C.24种D.36种

解析:方法一:先排列第一列有A33种方法, 再排第二列, 即每个字母不回原位有2种方法, 共有2 A33=12种方法;

方法二:先排第一列有A32种排法, 则另一字母在第二行有C21种排法, 其余位置则确定了故共有A32C21=12种方法;

3. 现有16张不同的卡片, 其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张, 从中任取3张, 要求这3张卡片不能是同颜色, 且红色卡片至多1张, 不同取法的种数为 ()

A.232B.252C.472D.484

解析:第一类:不取红色卡片:C312-3C43或C41C41C41+C31C42C21C41

第二类:取红色卡片1张:C41 (3C42+C32C41C41) 或C41C212

则共有C312-3C34+C41C212=472种 (分类方法) 。

4. 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色, 并使同一条棱上的两端异色, 如果只有5种颜色可供使用, 求不同的染色方法总数。

解析:第一类用5种颜色:有A55种;

第二类用4种颜色:必有两个顶点同色 (A与C或B与D) , 共有2A44种;

第三类用3种颜色:则A与C、B与D必同色, 共有A53种

综上, 共有A55+2A44+A53=420种方法。

5. 某排座位共有7个, 现有甲、乙、丙、丁四人入座, 要求三个空座中有两个空座必须相邻, 而与另外一个空座不相邻, 则不同的坐法共有多少种?

解析:第一步, 让4人全排列有A44种