《三角形中位线》教案

2024-12-19

《三角形中位线》教案(精选10篇)

1.《三角形中位线》教案 篇一

22.3三角形的中位线教案冀教版

22.3三角形的中位线教案冀教版教学目标:   申柱芳  知识与技能 理解并掌握三角形中位线的概念、性质,会利用性质解决有关问题. 过程与方法 经历探索三角形中位线性质的过程,感受三角形与四边形的联系,培养学生分析问题和解决问题的能力. 情感态度价值观 通过对问题的探索研究,培养学生大胆猜想、合理论证的科学精神 教学重点、难点 : 重点:探索并运用三角形中位线的性质 难点:从三角形中位线性质的探索过程中抽象出三角形中位线的性质 教学方法:活动――观察――探索相结合 通过自己实际操作从图形中观察出结论并利用结论解决问题。 教学过程:     导入新课   你还记得吗?以前学过的三角形的重要线段有哪些?   A 三角形的角平分线、高线、中线   它们各有几条?3条 观察与思考   F E 在三角形ABC中,D是中点,AD是三角形 ABC的.中线     C D   B E 、F是AB、AC 的中点,EF是三角形的中位线   1.如何用语言表述三角形的中位线? 2.一个三角形有几条中位线?请指出来 1、定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线           一个三角形有3条中位线 观察猜想 三角形中位线是连结三角形两边中点的线段,那么它与第三边具有怎样的数量关系和位置关系呢?如图: DE为△ABC的中位线,DE与BC具有怎样的数量关系和位置关系呢? 做一做 方法一:1、、取AB、AC的中点D、E,连接DE 2、量一量DE与BC的长度,∠ADE和∠B的度数 3、猜一猜:线段DE与BC的大小关系,位置关系 方法二:1、剪一个三角形记为△ABC; 2、分别取AB、AC的中点D、E,连接DE; 3、沿DE将△ABC剪成两部分,将△ADE绕点E旋转180°,得四边形BCFD,如图下图   探索推证 四边形DBCF是平行四边形吗?如果是,那么DE和BC之间的位置关系和数量关系如何? 结果:DE∥BC且DE=1/2 BC 结论:三角形的中位的性质 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.     A     D F   B  C   E 例题讲解:如下图,在△ABC中,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点,AC=12,BC=16,求四边形DECF的周长?   解:(略)         练习1.如图1:在△ABC中,DE是中位线   (1)若∠ADE=60°,  则∠B=  度,为什么?(2)若BC=8cm,则DE=  cm,为什么?   2.如图2:在△ABC中,D、E、F分别是各边中点,AB=6cm,AC=8cm ,BC=10cm,  则△DEF的周长= cm 小结:本节你学到了什么? 作业:教材68页2题 教 学 反 思 本节课的内容是三角形中位线定理,在讲课过程中我注重启发引导学生经过探索、猜想得到结论后再去证明,注重引导学生用不同的方法探索三角形中位线定理,开阔了学生的视野,培养了学生的思维能力,而且在授课过程中尽可能创设一些问题情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再去证明,从而使推理成为探索活动的自然延续和必要发展,让学生经历“猜想―探索――发现―-推理”的过程,体会合情推理与演绎推理在获得结论中各发挥的作用,并且注重培养学生的合作交流共同研讨的习惯.   教学过程的不足之处是整个教学过程前后联系不够紧凑,学生在证明思路和方法上理解的不够透彻,并且在辅助线的制作上出现思维停滞,学生对老师的依赖心理过重,自主探索的勇气欠佳,在解题的步骤中说理过程不充分,在以后的教学过程中还有待于完善和培养.   总的来说,本节课既有成功之处,又有欠缺不足,在三维目标的指导下,我将继续努力,培养学生自主探索,合作交流的好习惯,真正达到师生互动,融会贯通.

2.《三角形中位线》教案 篇二

三角形中位线定理是初中几何的一个重要知识内容, 中考试题中经常出现与其它知识组合构成各种类型的几何证明题.落实三角形中位线定理的教学, 培养学生灵活运用三角形中位线的思维能力十分重要.下面笔者谈一下个人的一些想法, 供参考.

1 落实教学目标中考要求

教材对三角形中位线的教学目标是:1) 了解基本知识及基本技能;2) 能通过观察、猜测、实验等活动探索三角形中位线在新情境中的实际应用.显然三角形中位线的应用才是教学重点, 在实际教学中学生对三角形中位线的“双基”是很容易理解和掌握的, 只是在应用过程中相对灵活, 由于学生间几何应用能力的差异, 会显示出解题策略选择的优劣.

中考对三角形中位线的要求 (根据宁波市的考纲要求) 要达到:能探索并掌握三角形中位线的性质;能在理解的基础上, 把三角形中位线运用到新的情境中, 能综合运用知识、灵活合理地选择与运用三角形中位线定理及有关的知识方法, 通过观察、实验、推理等活动完成特定的数学任务.

显然不论是教学目标还是中考要求, 对三角形中位线应用的要求是非常高的, 也是具体教学过程中必须重视的, 需要研究的.

2 关注生成突出数学思想

1) 选择最有效率的生成过程.新课标指出课堂教学要重视知识的形成过程, 包括渗透知识的文化背景、实际应用背景等, 这些能大大激发学生对知识的好奇性, 并积极主动地参与数学活动;要重视学生的合作交流过程, 教师课堂教学设计中的预设要达到自然生成, 必须要通过师生、生生间的有效交流活动.前者能加深知识学习印象, 给学生的知识网络建立坚固的“桩基”, 是知识的再生点;后者是激化思维、开拓思维视野、探索知识内涵外延的一个重要过程.在三角形中位线的教学中, 笔者认为要考虑中位线定理生成的多种途征、多种思想方法, 让学生有比较, 有选择, 重点突出某种生成过程, 加强中位线知识形成印象.

2) 例题教学应突出数学思想.三角形中位线定理的应用主要是中位线的直接应用和转化应用.对那些直接告诉中位线的题型, 学生能直接应用中位线定理, 没有什么困难;而有些题型只告诉中点或只告诉部分中点, 没有指出中位线的题目, 有些同学有时不会往中位线定理应用的角度去思考, 需提示转化思想在解题中的作用, 把中点转化为中位线, 再把中位线转化构成三角形或其它图形解决.如例1就是一个利用现有中点, 通过转化思想构造新图形的一个题例.

例1 (2007年湖南省株洲市) 如图1, 在四边形ABCD中, AB=CD, M, N, P, Q分别是AD, BC, BD, AC的中点.求证:MN与PQ互相垂直平分.

分析与说明 已有4条线段的中点, 因此第一思维应考虑应用三角形中位线定理, 探求中位线间关系, 再探4条中位线构成的图形与MN, PQ间的关系, 只要能说明四边形PNQM是菱形即可说明MN与PQ互相垂直平分.

本题通过现有中点, 通过转化思想构造相应四边形, 这是比较常规的思想方法.

3 注重应用中的思维开拓

在很多几何综合题中三角形中位线定理的应用具有一定的隐蔽性, 其主要原因是题目中不但没有中位线, 而且已知的中点也极少, 有时很难想到可以用三角形中位线定理作为桥梁, 结合其它知识解决问题, 这类题目需要开拓思维, 把隐藏的中位线重新显示出来, 把各知识点的联结网展现出来, 通过构造图形、运用转化等数学思想, 让学生的思维活起来、飞起来, 从中找到解决问题的方法.如例2, 条件中只有一个中点, 如何利用这个中点的价值是思维开拓的一个重要体现.

例2 (2007年广州市) 已知Rt△ABC中, AB=BC, 在Rt△ADE中, AD=DE, 连结EC, 取EC中点M, 连结DM和BM.

(Ⅰ) 若点D在边AC上, 点E在边AB上且与点B不重合, 如图2, 求证:BM=DM且BM⊥DM;

(Ⅱ) 如图2中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角, 如图3, 那么 (Ⅰ) 中的结论是否仍成立?如果不成立, 请举出反例;如果成立, 请给予证明.

分析 由特殊情形第 (Ⅰ) 问的引导可知BM, DM之间关系;对第 (Ⅱ) 问可考虑构造全等三角形方法解决, 利用三角形中位线构造三角形, 因现有中点不足, 故可以选择新中点G, F, 如图3, 构造2个全等△DGM与△MFB.再考虑这2个三角形对应边的夹角关系即可.

证明 如图3, 取线段AC, AE的中点F, G, 连结DG, GM, BF, FM.

因为在Rt△ABC, Rt△ADE中, AB=BC, AD=DE,

DG⊥AE, BF⊥AC, 且DG=12AE, BF=12AC.

由点M为EC中点, 得

GM//AC, MF//AE, 且GΜ=12AC, FΜ=12AE.

所以GM=BF, DG=MF,

∠EGM=∠EAC, ∠CFM=∠EAC.

所以∠DGM=90°-∠EGM=90°-∠EAC=90°-∠CFM=∠MFB,

故 △DGM≌△MFB.

所以DM=BM, ∠DMG=∠MBF.

由GM//AC, BF⊥AC, 得GM⊥BF.∠DMB=∠DMG+∠BMG=∠MBF+∠BMG=90°,

所以BM=DM, 且BM⊥DM.

说明 本题最大特点是三角形中位线定理的应用具有隐蔽性.题目中中点数量不足, 如何利用一个有效中点展开题目分析, 这是对学生思维开拓的一个锻炼;若对三角形中位线定理有过一定的研究, 有一定发散思维的学生, 就会考虑与中点有关的知识, 如中线、中位线, 就会考虑如何使中线、中位线在具体的证明过程通过“转化”, 搭建桥梁, 把各知识点、已知条件与所要求的结论之间的关系联系起来。就如本题可以采用中位线、中线作用构造2个全等三角形解决, 把问题转化为二个全等三角形之间的问题, 可以说, 三角形中位线的这种“桥梁”作用是三角形中位线定理运用的灵魂.

4 中位线定理教后的感悟

1) 不以三角形中位线定理内容的简洁, 而淡化其基本生成过程.很多学生在中考前复习时, 因很长时间没接触三角形中位线, 个别学生只能画出三角形中位线的基本图形、写出结论, 对中位线定理生成的证明思想方法却一时无法展开.显然这与三角形中位线定理内容浅显易懂, 大家只重视其应用, 对中位线知识的形成教学没有落实到位而引起的.

2) 注重三角形中位线在实际问题中的运用.三角形中位线定理的一个重要作用就是解决实际问题, 如解决测河宽、建筑物高宽等难题, 通过实际问题让学生认识中位线定理的现实意义, 加深对中位线定理的理解, 让数学模型与生活实例挂钩, 促进学生主动为解决问题而探索三角形中位线运用原理.

3) 数学思想、数学方法在例题中的渗透, 是学生进一步运用三角形中位线定理的一个关键因素.数学教学的最终目的就是培养学生良好的数学品质和数学综合能力, 知识是死的, 而应用知识的思想方法是活的, 现实生活中极少有与书本一模一样的数学模型, 因此要培养灵活应用数学思想, 合适选择解题方法解决问题, 要做到这一点, 平时的习题训练中应加强数学思想方法的渗透, 让学生的数学视野更开阔, 思维更有创新活力.

3.利用梯形中位线解题 篇三

例1 (2012年四川省达州市中考题)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,则下列结论:

①EF∥AD;②S△ABO=S△DCO;③△OGH是等腰三角形;④BG=DG;⑤EG=HF。其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

解析 由梯形中位线性质,可知EF∥AD∥BC,则可得G、H分别是BD、AC中点,因此①、④、⑤正确,由同底等高可得S△ABC=S△DBC,则②正确,若③成立,则可推出梯形是等腰梯形,而梯形ABCD并不是等腰梯形。故答案选D。

点评 本题涉及梯形中位线的性质、三角形中位线判定及性质、同底等高三角形面积的变换等知识点,考查了同学们简单的推理能力及逻辑思维能力。

例2 (2012年贵州省六盘水市中考题)如图2,已知:AA′//DD′,B、C是AD的四等分点,B′、C′是A′D′的四等分点,AA′=28 cm,DD′=36 cm,求BB′和CC′的长度。

分析 根据已知条件,要求BB′和CC′的长度,需要找到BB′、CC′与已知条件的关系,注意到B、C是AD的四等分点,B′、C′是A′D′的四等分点,联想到梯形的中位线,可取AD的中点E和A′D′的中点E′,连接EE′,则EE′是梯形ADD′A′的中位线,且EE′的长度易求出。由于B′B和C′C分别是梯形AEE′A′和梯形EDD′E′的中位线,从而可以根据梯形中位线的性质求出BB′和CC′的长度。

解 取AD的中点E和A′D′的中点E′,连接EE′,则EE′是梯形ADD′A′的中位线,所以EE′= (AA′+DD′)= (28+36)=32 cm。

又BB′是梯形AEE′A′的中位线,CC′是梯形EDD′E′的中位线,

所以BB′= (AA′+EE′)= (28+32)=30 cm,

CC′= (EE′+DD′)= (32+36)=34 cm。

点评 解答本题要构造梯形中位线,熟练掌握梯形的中位线的性质是解题的关键。

例3 (2012年山东省滨州市中考题)我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”。类似的,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E、F分别是AB、CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线。通过观察、测量,猜想EF和AD、BC有怎样的位置关系和数量关系?并证明你的结论。

分析 连接AF并延长交BC的延长线于点G,则△ADF≌△GCF,可以证得EF是△ABG的中位线,利用三角形的中位线定理即可证得。

结论为:EF∥AD∥BC,EF= (AD+BC)。

证明 如图4,连接AF并延长交BC的延长线于点G。

因为AD∥BG,所以∠DAF=∠G,

在△ADF和△GCF中,∠DAF=∠G,∠DFA=∠CFGDF=CF。,

所以△ADF≌△GCF。所以AF=FG,AD=CG。

又因为AE=EB,所以EF∥BG,EF= (BC+CG),

即EF∥AD∥BC,EF= (AD+BC)。

点评 梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决。常用添加辅助线的方法有:(1)平移一腰;(2)过同一底上的两个顶点作高;(3)平移对角线;(4)延长两腰。

例4 (2012年江苏省南京市中考题)如图5,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

(1)求证:四边形EFGH是正方形;

(2)若AD=2,BC=4,求四边形EFGH的面积。

分析 利用三角形中位线定理来证明四边形EFGH是正方形;借助梯形中位线得到EG的长,可求出四边形EFGH的面积。

解 (1)因为E、F分别是AB、BC的中点,

所以EF是三角形ABC的中位线,所以EF∥AC,EF= AC,

同理可得,EH∥BD,HG= AC,EH=FG= BD,

所以EH=FG=EF=HG,所以四边形EFGH为菱形。

因为EF∥AC,EH∥BD,AC⊥BD,所以∠EHG=90°。

所以菱形EFGH为正方形。

(2)在梯形ABCD中,因为E、G分别是AB、CD的中点。

所以EG为梯形ABCD的中位线,所以EG= (AD+BC)=3,四边形EFGH的面积等于 EG2= ×9=4.5。

4.三角形的中位线的 篇四

2、三角形中位线定义

3、三角形中位线定理证明

4、做一做

5、练习

6、小结

四、课后反思

5.6.3 《三角形的中位线》说课 篇五

今天我说课的题目是“三角形的中位线”。本节课选自北师大版八年级下册。下面我就从以下四个方面——教材分析、教材处理、教学方法和教学手段、教学过程的设计向大家介绍一下我对本节课的理解与设计。

一、教材分析

分析本节课在教材中的地位和作用,以及在分析数学大纲的基础上确定本节课的教学目标、重点和难点。首先来看一下本节课在教材中的地位和作用。

1、“三角形的中位线”,是初中几何的一个非常重要的知识点,它具有计算和证明等多种灵活的运用;它是继四边形,尤其是前一阶段刚学的特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等)之后的又一个非常重要的几何知识。初中阶段要培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力以及让学生根据一些现实模型,把它转化成数学问题,从而培养学生的数学意识,增强学生对数学的理解和解决实际问题的能力。逻辑思维能力的培养主要是在初二阶段完成的。“三角形的中位线”作为几何计算和推理论证的重要一环,是初中几何的一个基础环节,它直接关系到学生对几何计算、几何论证等内容的进一步学习。

2、“三角形的中位线”是本章的一个重点。因为在三角形中或多边形中,当证明的某一命题的题设中出现两条线段的中点时,总要想到是否应用三角形中位线定理来试一试。

从以上两点不难看出它的地位和作用都是很重要的。接下来,介绍本节课的教学目标、重点和难点。

教学大纲是我们确定教学目标,重点和难点的依据。因此根据教学大纲的要求,确定了本节课的教学目标。(1)掌握三角形中位线的概念及性质定理,能进行有关的计算与证明。(2)通过分析连接各种四边形各边中点所得到的四边形,归纳其中的规律,提高学生分析归纳数学问题的能力。(3)渗透由特殊到一般的辩证唯物主义思想:培养学生严谨的思维品质。重点难点:分析归纳连接各种四边形各边中点所得到的四边形的规律。

二、教材处理

本节课是在前面学习了平行四边形的基础上进行的,学生已经比较牢固地掌握了平行四边形的性质和判定,因此我没有把时间过多地放在复习这些旧知识上,而是利用学生的观察和操作,让学生先得出三角形中位线的结论,再引到学生利用来证明三角形中位线定理。通过例题让学生自己探究连结各种四边形各边中点所得到的四边形的规律。达到培养学生分析归纳数学问题的能力的目的。这些我将在教学过程的设计中具体体现。而且在探究过程中让学生互相合作,使课堂在学生的参与下积极有序的进行。

三、教学方法和教学手段

在教学过程中,我注重体现教师的导向作用和学生的主体地位,。本节是新课内容的学习,。教学过程中尽力引导学生成为知识的发现者,把教师的点拨和学生解决问题结合起来,不断激发学生的求知欲望和学习兴趣,使学生轻松愉快地学习不断克服学生学习中的被动情况,使其在教学过程中在掌握知识同时、发展智力、受到教育。

四、教学过程的设计

1、复习提问:平行四边形的判定,注重新旧知识的互补和融合。

2、新课引入:已知:△ABC的周长等于20cm,D、E、F分别是AB、AC、BC边上的中点。求:△DEF的周长。

(学生进行猜测,动手测量,得出结论)

1)请叙述三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2)证明猜测的结论,得到三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。

3、讲解例题:已知:四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证:四边形EFGH是平行四边形。

证明:{ 分析辅助线添法,板书证明过程(略)} ** 得出结论:连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形。

4、探究连结各种四边形各边中点所得到的四边形的规律。

(发下印有各种四边形的练习纸,连结各边中点,以小组为单位进行讨论并探究其中的规律,师生共同归纳)

(在探究归纳过程中,对于由特殊四边形:如矩形、菱形、等腰梯形、正方形等,连结各边中点得到特殊的平行四边形,进行简单的口头证明)

5、小结:

1)这节课我们主要学习了三角形的中位线,知道了它的定义和定理。

2)运用三角形中位线定理,我们探究了连结任意四边形各边中点所得四边形的规律,即: ①连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形; ②连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是菱形; ③连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形;

④连结对角线既相等又互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形 是正方形。

6、巩固练习(附练习纸)

7、布置回家作业

6.三角形中位线的教学设计 篇六

教学目标: 1.知识与技能

让学生通过动手操作,画出三角形的中线及中位线从而体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别,掌握三角形中位线定理;通过三角形中位线定理的证明,渗透数学学习中的转化思想,培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力,并能应用所学的知识解决问题。

2.过程与方法

通过问题串引导猜想三角形的中位线与第三边的关系,进而用推理论证的方法证明猜想是否正确。

3.情感态度与价值观

通过变式练习,小组讨论、交流等活动,培养良好的学习态度以及自主意识和合作精神.

教学重点、难点

重点:三角形的中位线定理以及定理的证明过程,应用三角形中位线定理解决问题。

难点:证明三角形中位线定理如何添加辅助线是本节的教学难点。

教学过程

第一环节:动手操作,情景引入

动手操作:

我们已学过三角形的有关线段,请同学们在图中,画出△ABC的中线.

问题1、:三角形有几条中线? 问题2、它们是什么点间的连线?

在图中,若D、E、F分别是AB、AC、BC中点,请同学们在图中,连结DE、DF、EF,(稍等片刻,让学生完成操作)

问题3:这三条线段都是什么点间的连线?

问题4、这三条线段称为△ABC的中位线.你能否根据刚才的画图,写出三角形中位线的定义呢?

(学生直接将定义写在练习纸上,然后交流、板书)我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;(上图中的D、E分别是边AB、AC的中点,则线段DE就是△ABC的中位线)

问题5、说说三角形的中线和三角形的中位线的异同?(都是线段,都有三条,一个是顶点与对边中点的连线,一个是两边中点的连线)

第二环节:问题引领,猜想交流

如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,(边口述,边板书)

那么请同学们观察一下,猜一猜:

问题:中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系?

为了猜想中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系,我们做一个拼图活动:

我们把三角形沿中位线DE剪一刀.

试一试:你能不能把△ADE和四边形BDEC拼接成一个平行四边形呢? 你也可以与同桌合作,共同探索,一起来拼.(教师要巡视,对完成的学生教师可提问:你拼成的图形是平行四边形吗?为什么?要求同桌一起讨论)

我们把刚才拼接好的平行四边形画在练习纸上,请同学们打开,然后小组讨论一下,请把你猜测得的结论写在纸上.(学生独立观察并猜想结论,然后同桌交流,最后集体交流,并板书结论)

第三环节:交流推理,尝试论证

1.问题1:刚才同学们交流了利用我们所提供的图形,得到了中位线DE与BC在位置和数量上的关系,你能否用语言叙述这一结论呢?

(学生尝试归纳结论,并互相补充完整后,板书)

命题:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 问题2、你能证明这个命题吗?(板书)

已知:如图,在△ABC中,AD=DB,AE=EC. 求证:DE∥BC,DE=1/2 BC

(经过交流、分析后,学生独立写出证明过程)

通过了同学们的证明,可以知道你们猜想的结论是正确的.我们把这个结论称为三角形中位线定理,(把命题改写成三角形中位线定理)

三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半. 已知:如图所示,在△ABC中,AD=DB,AE=EC 求证:DE∥BC,证明:延长DE到F,使EF=DE,连结CF,∵AE=CE,∠AED=∠CEF(对顶角相等),ED=EF ∴△ADE≌△CFE(SAS)

AD=CF(全等三角形的对应边相等)∠ADE=∠F(全等三角形的对应角相等)∴AD∥CF(内错角相等,两直线平行)∵AD=DB,∴CF=DB

所以四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

于是DF∥BC,DF=BC,即DE∥BC,DE=1/2 BC。2.学生自学课本,看看书上是如何推理证明的?利用了什么方法?(先独立思考,再合作交流,掌握多种证明方法)3.练习1

已知:如果,点D、E、F分别是△ABC的三边的中点.(1)若AB=8cm,求EF的长;(2)若DE=5cm,求BC的长.

(3)若增加M、N分别是BD、BF的中点,问题

1、MN与AC有什么关系? 问题2、为什么?

(学生口答,教师板书结论,并请学生说明理由)

三角形中位线定理不仅有三角形的中位线与第三边之间的位置关系,而且还有它们之间的数量关系.另外,从第(3)题可知:当题设中出现中点时,要考虑应用三角形中位线定理来解决.

第四环节:巩固定理,初步运用

1、求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。(解答见课本)已知:如图,在△ABC中,AD=DB,BE=EC,AF=FC 求证:AE、DF互相平分 证明:连结DE、EF ∵AD=DB,BE=CE

∴DE∥AC(三角形中位线定理)同理EF∥AB

∴四边形ADEF是平行四边形

∴AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分)第五步变式练习,迁移提升

2、求证:顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形。已知:如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 求证:四边形EFGH是平行四边形。

[分析]考虑到E、F是AB、BC的中点,因此连结AC,就得到EF是△ABC的中位线,由三角形中位线定理得,EF∥=,同理GH∥=,则EF∥GH,EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形。

证明:连结AC

∵E、F是AB、BC的中点 ∴EF=,EF∥AC 同理,GH=,GH∥AC ∴EF∥GH,EF=GH

∴四边形EFGH是平行四边形。第六环节:总结反思,情意发展

活动内容:围绕三个问题,师生以谈话交流的形式,共同总结本节课的学习收获。

问题1:本节课你认为自己解决的最好的问题是什么? 问题2:本节课你有哪些收获?

问题3:通过今天的学习,你想进一步探究的问题是什么?

7.《三角形中位线》教案 篇七

《三角形中位线》是华师大版数学九年级 (上) 第2 4章《相似三角形》中的第5节。在学习本节课前, 学生已经学习了相似三角形的性质和相似三角形的判定。本节课的内容正是相似三角形性质和判定的延伸与应用。电子白板的教学特征是使教师对教育媒体的操作行为逐渐变为学生全方位参与的认知行为。基于此, 我把这节课设计成“以教师为主导、以学生为主体”的自主学习模式, 突出体现学生的主体性, 培养学生的思维品质和对知识的构建, 促进学生综合能力的发展。从这个意义上来说, 电子白板不失为促进学生发展的理想选择之一。

一、学生板演, 实现生生互动

数学新课程标准指出, 要让学生经历数学知识的形成与应用的过程, 从而更好地理解数学知识, 更好地应用数学知识。电子白板具有丰富多彩的互动功能。学生可以在电子白板上板演、平移、旋转、画线, 实现与白板、与教师的互动, 培养积极探索、主动建构的意识和能力。此外, 在学生板演后通过其他同学的观察、修改, 学生彼此间碰撞出思维的火花, 激发起进一步参与数学活动的愿望, 实现学生与学生间的互动。

在证明三角形中位线定理时, 我先让学生独立思考, 再请一名学生到电子白板上书写证明过程, 随后请其他同学观察、检查, 让找出错误的学生到电子白板上给予改正, 最后我进行适当的点评。在整个活动中, 学生热情高涨, 参与很积极, 许多原本需要教师讲解、修改的地方已被学生修改好了。这样的活动不仅促成了白板与学生、白板与教师、教师与学生、学生与学生之间的互动, 而且突出体现了学生的主体地位。

二、一图多变, 培养思维品质

数学新课程标准要求学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会, 具有初步的创新精神和实践能力。这就要求学生具备良好的思维品质。思维品质包括思维的广阔性、深刻性、独创性、灵活性和批判性。利用电子白板可以创设问题情境, 通过一题多变、一题多解、辨析区别、鼓励质疑、巧思妙解、练习开放题等活动, 学生在认知冲突中逐渐调整认知结构, 构建新的认知体系, 培养良好的思维品质。

图1是本节课的基本图, D E是△A B C的中位线, 则D E//B C, 且D E=B C, 这是三角形中位线定理的内容。从图1开始, 我利用电子白板中图片前置功能不断地对图1进行变形, 相继得到图2、图3, 同时对相应的题目也进行相应的变形, 得到一系列的新题, 但每道新题都要应用三角形中位线定理, 且问题的难度逐渐加大。在这个活动中, 由于题目的难度有梯度, 每个学生都有挑战自我的可能性。通过这样的活动, 学生对三角形中位线定理的理解逐步加深, 认识了数学知识结构, 形成了正确的推理, 培养了思维的灵活性和深刻性。

三、引入画板, 促进整合升华

电子白板在各门学科中都有广泛的应用, 但从数学学科的角度来看, 电子白板定性不定量, 即不能准确地表示图形之间的相互关系, 不能进行准确的度量。要想实现定量, 需要引入几何画板。几何画板能对线段的长度、角的大小等进行准确的量度, 对于图形之间的相互关系也能进行准确的表示。若将几何画板合理地融入到电子白板中, 能同时发挥几何画板和电子白板的教学优势, 促进信息技术与数学学科整合的升华。

三角形中位线教学中, 需要研究中点四边形 (即四边形四条边的中点组成的四边形) 的形状与原四边形形状的关系, 当改变原四边形的形状, 则中点四边形的形状也会发生相应改变。要让学生观察到这种变化仅靠电子白板是很难实现的, 使用几何画板就可以轻松完成。在几何画板中, 我先让学生证明矩形的中点四边形的形状 (即菱形) , 再找出规律 (即菱形的形状与矩形的对角线有关) , 再将原四边形的对角线变为垂直但不相等, 让学生证明中点四边形的形状 (即矩形) 。原四边形的形状不断发生变化, 而相应的中点四边形的形状也跟着变化, 学生觉得很有意思, 从而激发学习的兴趣, 提高课堂教学效率。

四、巧借生成, 优化课堂教学

课堂教学是动态的, 是千变万化的, 生成与预设一般是不同的, 教师需要根据生成随时修改预设, 以满足课堂教学的需要。电子白板是师生交流的信息化平台, 它的预设不是线性的, 而是能从容捕捉课堂上的进展情况即时生成, 调整预设, 在丰富多彩的呈现方式上进行精彩的互动。

在三角形中位线教学中, 我让学生思考练习题:如图4, △A B C中, A D是B C的中线, E为A D的中点, 求证F C=2 A F。我预设的方法是:如图5, 过D作D G//A C交B F于G, 先利用△A E F≌△D E G得到A F=D G, 再利用三角形中位线定理得到F C=2 D G, 从而得到F C=2 A F。然而, 大多数学生的做法却是如图6, 过D作D G//B F交A C于G, 利用平行线性质分别得到A F=F G、F G=G C, 从而得到F C=2 A F。我先利用电子白板中的直尺和钢笔功能在图4上添加平行线D G, 得到图6进行分析;再按照图5的方法进行分析。通过这样的调整, 不仅没有打击学生学习的积极性, 还让他们多学了一种解法, 平添了成就感。

五、妙用白板, 提高教学效率

电子白板还有许多其他功能, 比如聚光灯、拉幕、标注、资源库等等。在每节课中要想最大程度地发挥电子白板的优势, 需要找准最佳作用点和最佳作用时机。最佳作用点是指在实现课堂教学目标的过程中, 最适合发挥电子白板优势的教学环节;最佳作用时机是指能够较好地发挥电子白板的优势, 以帮助学生保持良好的学习心理状态, 或将不良的学习心理状态转化为良好的心理状态, 以保证教学目标实现的时间与机会。抓住了最佳作用点与最佳作用时机, 电子白板的应用就会事半功倍。

教学中, 在证明了三角形中位线定理后, 需要学生认识、熟悉三角形中位线定理内容, 这也是本节课的教学目标之一。我使用聚光灯“聚光”到三角形中位线定理上, 让学生的注意力都集中到定理的内容上, 从而提高了教学效率, 实现了教学目标。又如, 在分析中点四边形形状与原四边形形状的关系时, 我就使用了不用颜色的笔进行标注, 既辅助了我讲得更清楚, 又帮助学生听得更明白, 使他们保持一种良好的学习状态。

参考文献

[1]鲍寅初.行走在教育信息化前[M].南京:江苏教育出版社.2009.

8.构造三角形中位线证明线面平行 篇八

2、如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB5,AA1=4,点D是AB的中点,(1)求证:

AC⊥BC1;(2)求证:AC 1//平面CDB1;

3、如图,已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形, PA平面ABCD, 点F为PC的中点.(1)求证:PA//平面BDF;(2)求证:平面PAC平面BDF.P

F

D

B C4、已知矩形ABCD中,AB=2AD=4,E为 CD的中点,沿AE将AED折起,使DB=

O、H分别为AE、AB的中点.

(1)求证:直线OH//面BDE;

(2)求证:面ADE面ABCE.C

B5、如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

C

1A1 B1

Q

C

A B6、如图所示,已知S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,SG为△SAB上的高,D、E、F分别是AC、BC、SC的中点,试判断SG与平面DEF的位置关系,并给予证明.7、(本小题满分15分)在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.

P(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积V;

(Ⅱ)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;

(Ⅲ)求证CE∥平面PAB. E

F AD

B

9.《三角形中位线》教案 篇九

教学设计

23.4中位线

教学目标:

1、经历三角形中位线的性质定理形成过程,掌握定理,并能利用它解决简单的问题.2、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它解题.3、进一步训练说理的能力.4、通过学习,进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯;进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点;转化的思想.教学重点:

经历三角形中位线的性质定理形成过程,掌握定理,并能利用它解决简单的问题.教学难点:

进一步训练说理的能力.教学过程: 一、三角形的中位线

(一)问题导入

在23.3中,我们曾解决过如下的问题:

如图24.4.1,△ABC中,DE∥BC,则△ADE∽△ABC.由此可以进一步推知,当点D是AB的中点时,点E也是AC的中点.现在换一个角度考虑,图24.4.1

如果点D、E原来就是AB与AC的中点,那么是否可以推出DE∥BC呢?DE与BC之间存在什么样的数量关系呢?

(二)探究过程

1、猜想

从画出的图形看,可以猜想: DE∥BC,且DE=

1BC. 2教学资料

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教学设计

图24.4.2

2、证明:如图24.4.2,△ABC中,点D、E分别是AB与AC的中点,∴ ADAE1. ABAC2∵ ∠A=∠A,∴ △ADE∽△ABC(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似),∴ ∠ADE=∠ABC,DE1(相似三角形的对应角相等,对应边成比例),BC21∴ DE∥BC且DEBC.2思考:本题还有其他的解法吗?

已知: 如图所示,在△ABC中,AD=DB,AE=EC.BC.21分析: 要证DE∥BC,DE =BC,可延长DE到F,使EF=DE,于是本题就转化为证明

2求证: DE∥BC,DE=DF=BC,DE∥BC,故只要证明四边形BCFD为平行四边形.还可以作如下的辅助线作法.3、概括

我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,并且有三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.介绍三角形的中位线时,强调指出它与三角形中线的区别.教学资料

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(三)应用

例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.图24.4.3

已知: 如图24.4.3所示,在△ABC中,AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证: AE、DF互相平分.证明 连结DE、EF.因为AD=DB,BE=EC,所以DE∥AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半).同理EF∥AB.所以四边形ADEF是平行四边形.因此AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分).例2 如图24.4.4,△ABC中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于G.求证: GEGD1.CEAD3 图24.4.4

证明 连结ED,∵ D、E分别是边BC、AB的中点,∴ DE∥AC,DE1(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半).AC2∴ △ACG∽△DEG,∴ GEGDDE1.GCAGAC2教学资料

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∴ GEGD1.CEAD3 图24.4.5

小结:

如果在图24.4.4中,取AC的中点F,假设BF与AD交于G′,如图24.4.5所示,那么我们同理有GDGF1GDGD1,,所以有即两图中的点G与G′是重合的.ADBF3ADAD3于是,我们有以下结论:

三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的1.3[同步训练] 如图,在△ABC中,AB=AC,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点.求证:四边形ADEF是菱形.三、小结与作业

小结:谈一下你有哪些收获?

作业:P79 练习1,2习题23.4 1,3,4

教学资料

10.《三角形中位线的应用》教学设计 篇十

沧县树行中学 赵志玲

教学内容:三角形中位线的应用

课型:复习习题课

教学目标:

(1)掌握三角形中位线的性质,会应用三角形的中位线性质解决简单的问题。

(2)理解模型的思想,能从具体情境中还原出几何模型,并能合理进行迁移运用。教学重点:以三角形的中位线定理为主线,建立几何模型。

教学难点:应用几何模型解题——即模型识别。

教学过程:

导入:由学生在复习过程中出现的困难——即2009年绥化的一个中考题入手,引导学生分析问题,寻找解题路径。(附原题如下)

(2009•绥化)如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE(不需证明).

(温馨提示:在图1中,连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.)问题一:如图2,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断△OMN的形状,请直接写出结论;

问题二:如图3,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明.

复习:三角形中位线性质的内容。

解决问题:

1、如图4,在四边形ABCD中,P是对角线AC的中点,E,F分别是BC,AD的中点AB=CD,判断△PEF的形状?

做后思考:本题用到了哪些知识点?

设计意图:温习教材习题,建立几何模型,为解决下面的问题做铺垫。

2、如图1,把1题BA、EF、CD分别延长,BA与EF的延长线交于点M,EF与CD的延长线交与点N。求证:∠BME=∠CNE。

设计意图:2题是1题经过变式后中考题的第一问,引导学生怎样利用1题的模型解决此问题是关键,让学生体会用好模型的实惠。

3、如图2,在四边形ADCB中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF,分别交DC,AB于M,N,判断△OMN的形状。

设计意图:3题是中考题的第二问,它是在第一问的基础上又进行了一次变式,即把四边形中的一组对边相等变为两条对角线相等,根据已知条件添加辅助线,构造三角形的中位线解决问题。

4、如图3,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明.

设计说明:4题是中考题的第三问,题目层层递进,难度增加,这也是大多数学生存在问题的地方,通过演示教具的方法引导学生利用图1的模型解决问题。此题不要求学生自己能独立解决,但通过此题的解决让学生体会几何模型的魅力,让学生在心灵深处有所触动,有所感悟,加深几何建模的思想。

5、在3题的基础上,(1)若再取AC、DB的中点P、Q。顺次连接PF、FQ、QE、EP,所得四边形PFQE是怎样的四边形?

(2)若把条件AB=CD,改为AB ┴ CD,则四边形PFQE是怎样的四边形?

(3)若在添加AB ┴CD,四边形又是怎样的四边形?

设计说明:由图2把问题在向外展开,利用三角形的中位线性质判断四边形的形状。

6、(1)如图5,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形?说明理由。

(2)如图6,若把图5中△CEB顺时针旋转一个角度(小于180度),此时四边形PQMN为怎样的三角形?说明理由。

设计意图:当不明确给出四边形的对角线存在什么关系时,判断顺次连接四边形四边中点得到四边形的形状。这里又用到前边的一个几何模型,再一次引导学生做好平时积累,用好模型事半功倍。

7、如图7,△ABE和△CDE都是等腰直角三角形,P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点,四边形PQMN是怎样的四边形?

设计说明:在上一题的基础上,继续变式训练,把上一题的等边三角形变式为等腰直角三角形,再次强化学生的模型意识。

课堂小结:(1)遇有中点构造三角形的中位线是解决问题的途径之一

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