总结16种方法求极限

总结16种方法求极限（共4篇）

1.总结16种方法求极限 篇一

2012考研数学高数求极限的几种方法

极限是研究变量的变化趋势的一个基本工具，在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数y=f(x)在x= x0处导数的定义、定积分的定义、偏导数的定义、二重积分和三重积分的定义、无穷级数收敛的定义等等。这些高数中最重要的概念都是用极限来定义的。极限是贯穿高等数学的一条主线，它将高等数学的`各个知识点连在一起。实际上，极限的思想和方法产生于某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用，因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点。下面我们来介绍几种考研试题中经常出现的求极限的问题。

・ 1. 利用两个重要极限法

・    2.洛必达法则与等价无穷小替换结合法

・  3. 夹逼定理法

・     4. 泰勒展开法

5. 利用定积分的定义求极限法

・6. 利用极限的四则运算法求极限

・・  7. 利用导数的定义求极限

以上介绍了一些考研数学中求极限问题的几种特殊的方法，当然了求极限不止这几种方法，比如还有换元法和级数法等等。要想学好求极限，熟练掌握高等数学中求极限的方法非常重要，同时这也是学好高等数学必备的知识，同学们在复习过程中一定要注意这些方法的综合运用。

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2.总结16种方法求极限 篇二

求初等函数在其定义区间内某点的极限,只需求初等函数在该点的函数值,即

2利用无穷小与无穷大的关系求极限

在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

由无穷小与无穷大的关系,得

3利用无穷小的运算性质求极限

(1)有界函数与无穷小的乘积为无穷小 ;

(2)常数与无穷小的乘积为无穷小。

4利用无穷小因子分出法求极限

当自变量趋于无穷大时,分子和分母的极限都是无穷大,此时可采用所谓的无穷小因子分出法,即以分母中自变量的最高次幂除分子和分母,以分出无穷小,然后再求极限。

5分子分母先约分,再求极限

在自变量的某个变化过程中,分子和分母的极限都是零。此时,应先约去不为零的无穷小的因子,然后再求极限。

6利用两个重要极限求极限

7利用等价无穷小求极限

设为同一过程中的无穷小,且存在,则。

设α,α′,β,β′为同一过程中的无穷小,且

8无理根式有理化法求极限

在自变量的某个变化过程中,分子、分母的极限都为零,而且分式中含有无理根式,通常把分子、分母同乘以一个式子,使得无理根式转化为有理代数式,进而求极限。

9利用洛必达法则求极限

洛必达法则 :

设(1)当x→a时,f(x) 与g(x)都趋于0;

(2)在点a的某个去心邻域内,f′(x)及g′( x)都存在,且g′(x) ≠0

3.求极限方法 篇三

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先对极限的总结如下

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！）

一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

4.幂指函数求极限 篇四

这是“幂指型”函数极限求解最普遍、最一般的方法，利用的是幂指型通过取对数可以转化为复合函数的特点。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)。由于指数函数的连续性，求解幂指型f(x)g(x)的`极限的问题就归结为求g(x)lnf(x)的极限问题。

方法二：等价代换法

利用等价无穷小(或无穷大)作代换是很重要并且有技巧性的一种求极限的方法。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，如果f(x)～?(x),g(x)～ψ(x)，自然有g(x)lnf(x)～ψ(x)ln?(x)，于是f(x)g(x)～?(x)ψ(x)。由此我们可以得到：如果f(x)>0,?(x)>0,f(x)～?(x),g(x)～ψ(x)，而limf(x)g(x)存在，那么lim?(x)ψ(x)=limf(x)g(x)。

方法三：配凑法

一般来说，配凑法往往利用重要极限limx→0(1+x)1x=e，所以一般用于求解“1∞”型极限。若α(x)>0，α(x)是无穷小量，那么

如果α(x)β(x)的极限存在，那么就达到配凑法求解极限的目的了，因此我们可以考虑先求α(x)β(x)的极限。

上述三种方法为幂指型函数求极限的主要方法，最常规的方法是取对数法，后面两种方法有一定技巧性，不过也可以归结为取对数的方法。掌握好它们，我们在遇到这类问题的时候就不再会感到非常吃力了。

幂指函数