数学变式思想（共13篇）（共13篇）
1.数学变式思想 篇一
浅谈数学变式教学
在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。在学校做了几年的数学教师，下面我结合自己的教学对数学变式教学谈几点看法。
一、变式教学的原则
1.1 针对性原则： 数学课通常有新授课、习题课和复习课，数学变式教学中遇到最多的是概念变式和习题变式。对于不同的授课，变式教学服务的对象也应不同。例如，新授课的习题或概念变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系。1、2可行性原则：选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量；难度“变”大的变式习题易挫伤学
生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心，因此，在选择课本习题进行变式时要变得有“度”。
1.3 参与性原则：在变式教学中，教师不能总是自己变题，然后让学生练，要鼓励学生主动参与变题，然后再练习，这样能更好锻炼学生的思维能力。
二、变式教学的方法 2、1一题多变，培养思维的灵活性
一题多变，是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。2、2一题多解，培养思维的发散性：一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、不同方位思考问题，探求不同的解答方案，从而拓广思路，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。
例：正方形ABCD中，M为CD中点，E为MC中点。
求证：∠BAE=2∠DAM
证法1：如图1：取BC中N，延长AN、DC交于F，易证：∠1=∠DAM=∠F，CF=BA 设正方形边长为4，则AD=CF=4，DE=3，EC=1 ∴EF=5 根据勾股定理，AE=■=5=EF 得∠2=∠F ∠1=∠2=∠DAM，即：∠BAE=2∠DAM
证法2：如图1，再连NE，易证：∠1=∠F=∠DAM，AN=FN∵EC/NC=NC/FC=1/2，易证：△NEC∽△FNC，得∠3=∠F ∵∠F+∠CNF=90∴∠3+∠CNF=90°EN⊥AF ∴∠2=∠F即
证
证法3：如图2，取BC中点N，连AN，延长EN、AB交于F 易证：∠1=∠DAM，BF=EC 同证法1，一样根据勾股定理AE=5，AF=5∴△FAN≌△EAN 即证：∠BAE=2∠DAM 2、3多题一法，培养思维的深刻性
数学有很多问题，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同的，因而它们可用同一种方法去解答，让学生演作这样的题组并作比较，可使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，从而培养思维的深刻性。
1、当m取何值时，一元二次方程2x2-（m+1）x-4=0的两根中，一根大于1，另一根小于1？
2、如果二次函数 y=2x2-（m+1）x-4的图像与x轴的两个交点分别在点（1，0）的两侧，试求m的取值范围。
以上两题表面上一个是一元二次方程的内容，另一个是二次函数的问题。但它们的分析和解答过程完全一样，即m的取值范围均需满足：
教师应请注意引导学生进行对比、消化，促使学生对相通的知识归纳成体系。避免“只见树木不见森林”的现象。
三、变式教学在数学教学中的作用
3.1 运用变式教学能促进学生学习的主动性。课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有学习的主动性，有了学习主动性才能积极参与学习。增强学生在课堂中的主动学习意识，使学生真正成为课堂的主人，是现代数学教学的趋势。变式教学使一题多用，多题重组，给人一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与学习的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情
3.2 运用变式教学能培养学生的创新精神。创新，即通过旧的知识，新的组合，得出新的结果的过程。“新”可以是与别人不一样的，也可以是自己新的提高，它突出与众不同。创新学习的关键是培养学生的“问题’意识，学生有疑问，才会去思考，才能有所创新。在课堂中运用变式教学可以引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力。
3.3 运用变式教学能培养学生思维的深刻性。变式教学变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面。使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容。
变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无
穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善好“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。
四、习题变式教学应注意的问题 4、1源于课本，高于课本
在中学数学习题变式教学中，所选用的“源题”应以课本的习题为主，课本习题均是经过专家学者多次筛选后的题目的精品，我们没有理由放弃它。在教学中我们要精心设计和挖掘课本的习题，编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解以提高学生灵活运用知识的能力。4、2循序渐进，有的放矢
在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要循序渐进，有的放矢。4、3纵向联系,温故知新
在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要注意纵向联系，要紧密联系以前所学知识，让学生在学习新知识的同时对旧知识也得到复习、巩固和提高，从而提高学习效率，让学生明白“任何事物都是相互联系的”这一哲学道理。4、4横向联系，开阔视野
数学学科不是独立的学科，它跟很多其它学科是紧密相联系的；在中学数学习题变式教学中，要注意跟其它学科的联系，注
意培养学生的发散思维，让学生的思维得到迁移，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。4、5紧扣《考试说明》，万变不离其宗
在中学数学习题变式教学中，习题的变式要紧扣《考试说明》，要以考纲为“纲”进行“变”；不要“变”出一些偏离考纲的“繁、难、杂”题目来浪费学生的宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣。
总之，在课堂教学中，通过种种训练引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维的完备性、深刻性和创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力。创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达不竭的动力。21世纪是知识经济时代，需要创新知识和创新性的人才，自然也需要创新教育。作为灵魂工程师的我们背负着重大的责任。“尺水可以兴波”，三尺讲台就是创造的天地。我们应在理论和实践中努力地探索，勇于进取，努力使创新教育不断走向深入，走向成功。
2.数学变式思想 篇二
【原题】如图1, 已知点A (1, 1) 、B (3, 4) , P为直线l:x-y+2 =0上的点, 求|PA|+|PB|的最小值.
解:作点B关于直线的对称点B′, 连接AB′交直线l于点P, 则l⊥BB′且l平分BB′.
【点评】变式教学应取材于简单、普遍的问题, 学生都能接受.原题目不宜过难, 重视通性、通法, 重在激活学生思维, 体现学生的主体地位.
【变式1】已知点A (1, 1) 、点B (3, 4) , P为直线l: x-y+2=0上的点, 求|PB|-|PA|的最大值.
【点评】变式1由原题产 生, 改变对原题的问法, 把求和的最小值自然过渡为求差的最大值.通过改变结论, 教师有的放矢地进行引导, 有助于提高学生的数学思维能力.
【点评】变式2在原题的基础上把在直线上找一点到两定点的距离之 和最小演 变成在抛 物线 (曲线) 上找一点到两定点的距离之和最小.“变式”结合教学内容, 符合学生的认知规律, 符合教学目标.如果变式脱离学生实际, 偏离了教学目标, 那么这样的变式就显得毫无意义. 2 2
3.数学变式教学初探 篇三
图1【原题】如图1，已知点A（1，1）、B（3，4），P为直线l：x-y+2=0上的点，求|PA|+|PB|的最小值.
解：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，则l⊥BB′且l平分BB′.
设B′（x，y），则y-41x-3×1=-1
x+312-y+412+2=0x=2
y=5，故B′（2，5）.
所以，|PA|+|PB|的最小值为|AB′|=（2-1）2+（5-1）2=17.
【点评】变式教学应取材于简单、普遍的问题，学生都能接受.原题目不宜过难，重视通性、通法，重在激活学生思维，体现学生的主体地位.
【变式1】已知点A（1，1）、点B（3，4），P为直线l：x-y+2=0上的点，求|PB|-|PA|的最大值.
图2解：如图2所示，连接BA并延长BA交直线于点P，则|PB|-|PA|的最大值为|AB|=（3-1）2+（4-1）2=13.
【点评】变式1由原题产生，改变对原题的问法，把求和的最小值自然过渡为求差的最大值.通过改变结论，教师有的放矢地进行引导，有助于提高学生的数学思维能力.
【变式2】设点P是抛物线C：y2=4x上任意一点，点F为抛物线的焦点.已知点A（4，1），求|PA|+|PF|的最小值.
图3解：如图3，过A作AD⊥准线l，交准线l于点D，当A、P、D三点共线时，|PA|+|PF|=|AP|+|PD|=|AD|=5（最小）.
【点评】变式2在原题的基础上把在直线上找一点到两定点的距离之和最小演变成在抛物线（曲线）上找一点到两定点的距离之和最小.“变式”结合教学内容，符合学生的认知规律，符合教学目标.如果变式脱离学生实际，偏离了教学目标，那么这样的变式就显得毫无意义.
【变式3】已知双曲线x219-y2116=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A（9，2），P为双曲线上一动点.求：
（1）|PA|+|PF2|的最小值.
（2）|PA|+315|PF2|的最小值.
图4解：（1）由题意可知a2=9，b2=16，c2=25，F1（-5，0），要使|PA|+|PF2|最小，显然点P要在双曲线的右支上.
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a，即|PF2|=|PF1|-2a，
所以|PA|+|PF2|=|PA|+|PF1|-2a=（|PA|+|PF1|）-2a.
当P、A、F1共线时，|PA|+|PF1|取得最小值|AF1|=142+22=102.
连接AF1交双曲线的右支于点P1，即当A、P1、F1共线时，（|PA|+|PF2|）min=102-6.
（2）设l为双曲线的右准线，过点P作PH⊥l于H，
由双曲线的第二定义有|PF2|1|PH|=513得|PF2|=513|PH|，即315|PF2|=|PH|，
∴|PA|+315|PF2|=|PA|+|PH|≥|AH|.
当且仅当P为AH与双曲线右支的交点时，即A、P2、H共线时，|PA|+315|PF2|取得最小值|AH|=9-a21c=9-915=3615.
【点评】在学过的曲线中，除了抛物线外，还有双曲线和椭圆，通过改变条件，把上面的问题进一步变式.把在直线上找一点到两个定点的距离之和最小的问题，转化成在曲线上找一点到两个定点的距离之和最小的问题.通过改变条件，找出不同知识之间的联系与规律，加深对问题的理解能力.
4.初中数学变式训练的应用研究 篇四
摘要：新课程改革以来，越来越多的中学数学教师经常用到“变式”练习，这是一种数学教学中的变换方式，通过变式练习可以让学生准确地掌握数学解题方法。同时使学生多角度地理解数学方法，使学生从“知识型”向“智力型”转换。变式训练源于课本，高于课本，循序渐进，有的放矢，纵向联系，温故知新。
关键词：变式训练；课本；分层教学
有些初中学生遇到题目就做，而不注重归纳解题的方法、解题规律，致使在问题解答过程中不能很好地将知识点纳入自己的知识体，日后一遇到复杂题目和图形也就无法从中分离出其熟悉的题型。因此，纯粹地将每个知识点以习题形式让学生翻来覆去训练，虽然也能收到一定的效果，但终究还是囿于同样类型的题目，无法跳出做题的灵活性与拓展性。通过变式训练能使学生多角度地理解数学方法，也是切实提高初中学生数学能力的重要一环，在教学过程中必须渗透，并且多多益善。
一、变式训练遵循的原则
（一）立足于课本
观察近几年的数学中考题我们可以发现，有不少题目的命题范围立足于课本，有些试题的原型来自课本。因此在教学中，教师要以传授课本上的知识为基础，有目的地以课本习题为主线，从不同角度、不同层次、不同背景对概念、性质、定理、公式以及基础问题做出变化，使其条件或结论的形式或内容发生变化，而我们要面对的很多问题虽然存在不同的层次，但其中的解题方法总有其内在的必然联系。作为初中数学教师要让学生把蕴含在教材中的数学思想与方法运用到问题解决的全过程，以期达到做一题通一类的教学效果，善于“类比”“转化”，实现最优化的学习效果。
（二）适度和梯度
在几何变式训练的过程中，既要注意由简单到复杂，由具体到抽象，有一定的梯度，同时又要有一定的深度，否则变式训练就会降格为一种低水平的重复。但又不能一味地拔高，否则大多数学生无法理解和掌握，那么就失去教学的意义。
（三）基于学生的认知规律
变式训练应用要结合教与学的需要，基于学生的认知规律而设计，从学生的认知基础出发，在一系列的变式训练中拓展思路，形成解题技能，完成“知识-应用-理解-形成技能-培养能力”的认知过程，最终达成知识向能力迁移的实现。总之，变式训练要根据学生掌握的情况，制定变式训练的目的。
二、变式训练在教学中的应用
（一）变式教学诠释概念，突破难点
在教学中有许多概念，因内容相近致使学生在学习中发生混淆，也有些知识点比较抽象难以理解。通过变式教学让学生抓住概念的本质，理解掌握相关的概念和突破难点。
（二）变式教学挖掘例题，触类旁通
教学中，如果静止地、孤立地只解答某个题目。那么题目再好，充其量也只不过是解决了一个问题而已；如果对它深入研究，通过变式教学，可以开阔学生的解题思路，培养学生思维的灵活性和深刻性，具有较好的教学价值。例如：在讲授一元一次方程应用题时，我把一道有关两车相遇的行程问题的应用题设计成七种变式的题目，在一次次变式的练习中，学生找到了不同的解决方法，呈现了一个广阔有趣的数学世界。通过一个题解决了一类问题，同时归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而机械、辛?谇业托А?
（三）变式教学拓展习题，开拓学生思维
初中数学习题课要坚持因材施教，根据学生的情况制定教学目标和教学的方式和内容。恰当的变式教学起点难度低，逐步实现知识螺旋式上升，既满足中下层学生的需求，也能培养优秀生良好的思维品质。在习题教学时，教师要充分预估学生解题过程中可能遇到的各种困难，对知识的关键点、重难点都要有针对性地进行铺垫、变式、拓展以及延伸，使学生解题过程更能水到渠成。
例如，原题：已知二次函数y=x2-4x-12，求x=0和x=4时的函数值，试比较这两个函数值的大小。
变式1：将例题的“x=0和x=4”改为“x=0和x=6”呢？若不通过计算你可否直接比较？
变式2：已知二次函数y=x2+bx+c的对称轴是x=2，试比较x=0和x=5时的函数值的大小。
分析：第一个变式中函数值的大小虽然经过计算获得解答，不过若是不经计算则就需要学生利用函数对称性加以解决了。在x>2时，函数值y随x的增大而增大，x=0和x=4的函数值是相同的，所以，问题转化为比较x=4和x=5时的函数值的大小。第二个变式中的函数已经不是一个具体的函数了，要比较x=0和x=5时的函数值的大小，就需通过函数的对称性来解决。在教学中，数学教师应依据学生需求的层次性对原型题目进行适度或梯度的变式，这样既充分调动了学生的思维，又拓展了学生的比较思维空间，也促进了学生的个性和潜能的发展。
（四）变式教学梳理知识点，形成知识网络
根据初中学生数学学习的特点、认知规律和心理特征，数学课程分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”四大部分。新课程标准在各学段中，都安排了四部分的课程内容，而这四部分课程内容分别穿插在3个学年中，数字中考复习就是要让这些零散的知识系统化，内化成学生自己的知识，形成知识网络。变式教学就是通过一组例题把多个知识点串联起来。
（五）变式教学体现数学思想
中考数学除了着重考查基础知识外，还十分重视数学思想方法的考查。比如动点问题、数形结合、折叠问题，数学问题工具化等，而这些题目一向是学生最为头疼的题目。为此通过一些体现数学思想方法的题目变式练习挖掘其隐含的数学思想，提高综合运用所学知识求解问题的能力。
折叠问题是这两年中考的热点和难点，如果学生能找出折叠隐含的条件，题目迎刃而解。如果找不到，题目就无法解决。在平时的教学中，不但让学生动手折叠纸片，找相等的角和线段，而且通过改变题目的背景，引导学生思考。
通过变式训练的形式，由浅入深，循序渐进、层层推进的方式把题目隐含的数学条件让学生“主动”的发掘出来，启发学生寻找解题思路，同时也满足不同层次学生的需求。
参考文献：
[1]赵晓楚，周爱东.如何在数学课堂中实施变式教学.中小学教学研究[J].2015（8）.[2]张俊.新课标视野下的变式教学.中学数学研究[J].2014（5）.[3]芦霞.变式训练在初中数学中的应用研究，小作家选刊[J].2015（32）.作者简介：
5.中学数学中变式教学的设计 篇五
姓名：郑丽朋
江泽民主席指出:“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力，一个民族缺乏独创能力，就难以屹立于世界民族之林”。人才的培养，已成为民族振兴的关键。学校教育是以课堂教学为主，教学过程既是学生在教师指导下的认知过程，也是学生自我获得发展的过程，同时它还是培养学生创造力的过程。因此，教师如何通过课堂教学，渗透创新教育思想，激发学生的创造欲望，培养学生创造思维能力就成了教学的一个关键。数学正是一门培养创造思维能力的基础课，在数学教学中培养学生的创造思维能力，发展创造力是时代对我们教育提出的要求。为实现这个目标，必须在教学过程中，进行变式教学，让学生从不同的角度，多方位，多层次，去观察、去分析、探索。
所谓变式教学，即教学中变换问题的条件和结论、变换问题的形式，而不换问题的本质，并使本质的东西更全面，使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题。另一方面，在平时的教学中，教师过分强调程式化和模式化，例题教学中给学生归纳了各种类型，并要求按部就班地解题，不许越雷池一步，要求学生解答大量重要性练习題，减少了学生自己思考和探索的机会。这种灌输式的教学使学生的思维缺乏应变能力，表现出思维僵化及思维的惰性，变式教学可使学生注意从事物之间的联系和矛盾上来看问题，在一定程度上可克服和减少这一现象。
现从以下几种方法阐述，本人在教学过程中如何利用变式教学，培养学生思维的灵活性。
(一)一图多变
例：如图，在以AB为直径的半园内有一点P，AP、BP的延长线交半园于C、D，求证：AP•AC＋BP•BD为定值。
分析：过P作PM⊥AB，P、D、A、M及P、C、M、B共圆 据割线定理知：
AP•AC＝AM•AB，BP•BD＝BM•BA 两式相加得：
AP•AC＋BP•BD＝AM•AB＋BM•AB＝AB(AM＋MB)＝AB2(定值)变題1：当P点落在半园上，原结论是否成立？
分析：由于AP与AC重合，BP与BD重合，故原结论成立。
变题2：当P点落在半圓外，且夹在过A点，B点的切线内，原结论是否成立？
分析：由C、M、B、P共圓知 AP•AC＝AM•AB„„(1)由A、M、D、P共圓知 BP•BD＝BM•AB„„(2)由(1)＋(2)得AP•AC＋BP•BD＝AB2(AM＋BM)＝AB2定值 变题3：如右图，当P点落在半圆外，且在过A或B的半圆切线上，原结论是否成立？
分析：如右图，显然有AB⊥BP、BC⊥AP易证AC•AP＝AB2。变題4：当P点落在半圓外，且在过点A点B的两切线之外时，原结论是否成立？
分析：这时BP的延长线在以AB为直径的另一个半圓上连 结BC、AD且过P作PM⊥AB 由P、C、B、M及P、A、D、M两个四点共圓，这时有 AP•AC＝AM•AB，BP•BD＝BA•BM ∴AP•AC＋BP•BD＝AM•AB＋BA•BM＝AB(AM＋BM)≠AB2不成立，但若把式子改为： AP•AC－BP•BD＝AM•AB－BA•BM＝AB(AM－BM)≠AB2，(定值仍为AB2)从本題的延伸过程中，使学生看到某些因素的不断变化，从而产生一个个新的图形，从这些图形的演变过程中，学生可以找出他们之间的联系与区别，特殊与一般的关系，从而可以使学生收到触类旁通的效果，(二)一题多解
一题多解，实质上是发散性思维，也是一种创造性思维，教师若能在授课中引导学生多角度、多途径思考，纵横联想所学知识，以沟通不同部分的数学知识和方法，对提高学生思维能力和探索能力大有好处，防止学生的思维惰性。
例：设a、b、c为△ABC的三条边，求证：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)除教学参考书中介绍的一种证法外，我们可以引导学生用以下几种方法。证法1：∵a、b、c为△ABC的三条边 ∴a＜b＋c b＜a＋c c＜a＋b
∴a2＋b2＋c2＜a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(b＋a)即a2＋b2＋c2＜2(a b＋b c＋c a)证法2：∵ a、b、c为△ABC的三条边 ∴∣a－b∣＜c a2－2ab＋b2＜c2
同理b2－2bc＋c2＜a2 c2－2ca＋a2＜b2 以上三式相加得
2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＜a2＋b2＋c2 即a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)证法3：据余弦定理：
∴a2＋b2－c2＜2ab
同理a2＋b2－c2＜2bc a2＋b2－c2＜2ca 以上三式相加得：
a 2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)方法4：构造以a＋b＋c为边长的正方形，在此大正方形内分别作边长为a、b、c的小正方形各两个(右图中阴影部分)显然大正方形面积大于６个小正方形的面积和 即(a＋b＋c)2＞2(a2＋b2＋c2)即∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＞2a2＋2b2＋2c2 ∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)通过一题多解的训练，不仅能开阔学生的视野，拓宽思路，而且可以加强了知识的纵向发展和横向联系，可以沟通代数、几何、三角各个方面的知识，克服学生单向思维的定势，使学生感受到数学美的存在，真正体验到“题小天地大，勤思办法多”的乐趣，从而培养了学生创新思维的能力。
(三)一题多变 “变题” 即改变原来例题中的某些条件或结论，使之成为一个新例题．这种新例题是由原来例题改编而来的，称之为“变题”． “变题”已经成为中学数学教学中的热点，每年的“高考”试题中都有一些“似曾相识题”，这种“似曾相识题”实际上就是“变题”
例：已知双曲线两个焦点的坐标为F1(－5，0)F2(5，0)双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为 b2x2－a2y2＝a2b2(a＞0，b＞0)∵a＝3，c＝5 ∴b2＝52－32＝16 所以所求的双曲线的标准方程为16x2－9y2＝144 本题是在已知坐标系下，根据双曲线的定义解决的，而双曲线上任意一点，(顶点除外)与两焦点連线均形成一个三角形，因而我们可将问题与三角形联系起来，把题设条件作如下改变。
变题1：在△ABC中，已知│BC│＝10且∣AB∣－∣AC∣的绝对值等于6，求顶点A的轨迹方程
解:以BC所在直线为X轴,BC的中垂线为Y轴,建立直角坐标系 设A点坐标为(x,y)(y≠0),则
││AB│-│AC││=6 a=3 c=5 则b2 =c2-a2 =16 故所求的双曲线方程为16x2 –9y2＝144(y≠0)在变题1的基础上,再将题设条件与方程有关知识联系起来,可以得到相应的变式如下： 变题2：在△ABC中,a.b.c是角A.B.C所对的边,a=10,且方程x2 –(b-c)x=9=0有两个相等的实数根,求△ABC的顶点A的轨迹方程。
变题3：在△ABC中,a.b.c是角A.B.C所对的边,a=10, 且│Sin B-SinC│=3/5SinA 求顶点A的轨迹方程
上面几种变式是将双曲线的定义与三角形、二次方程的知识有机结合而形成的，如将其与平面几何知识结合，则又有相应的变式：
变题4 ：已知动圆P与定圆F1：x2 +y2+10x+16=0 F2：x2 +y2-10x-56=0都内切，且圆F1、圆F2都在圆P内，求点P的轨迹方程。
解：已知定圆F1：x2 +y2+10x+16=0 圆心F1(-5,0),半径 r1=3 定圆F2：x2 +y2-10x-56=0 圆心F2(5,0),半径 r2=9 则│F1 F2│=10 设动圆P与圆F1、F2都分别相切于A.B，则
│PF1 │-│PF2 │=(│PA│-│F1 A│)-(│PB│-│F2 B│)= │F2 B│-│ F1 A│ =9-3 =6<10= │F1 F2│
∴点P的轨迹是以F1 F2为焦点的双曲线的右支 ∵2a=6,2c=10, b2 =c2-a2 =16 ∴点P的轨迹方程为16x2 –9y2＝144(x≥3)将此题与2001年高考题第14题：双曲线16x2 –9y2＝144的两个焦点F1、F2点，点P在双曲线上，若P F1⊥PF2则点P到X轴的距离为＿＿＿＿，进行组合可得一个综合性问题：
22变题5：已知双曲线16x –9y＝144的右支上有一点P，F1、F2分别为左、右两焦点，∠F1PF2＝θ，S△F1PF2＝S(1)若已知∣PF1∣·∣PF2∣＝32试求θ(2)S＝16试求θ
(3)设△F1PF2为钝角三角形，求S的取值范围
由上述例题可见，一题多变，由浅而深，由易入难，学生们的课堂气氛紧张而又活跃。在平时的教学中，可以说有较多的题型都可以创改，如条件的改变、结论的延伸、语言的变化等等。若能充分挖掘例、习题的潜在功能，定能提高学生综合应用知识能力及解题的技巧和能力，培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性，减轻学生学习负担。(四)多题一解：
平时常碰到一些题目，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同，因而它们可用同一种方法去解答。让学生训练这样的题组，可使他们不迷恋表面现象，而是透表求里，自觉地注意到从本质上看问题，必然导致思维向深刻性发展。题1：已知是等腰三角形BCD的底边CD的延长线上一点，求证 ：AC·AD＝AB2－BC2
分析：在△ABC和△ABD中由余弦定理 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA ∵BC＝BD ∴AC、AD是方程x2－(2AB·cosA)＋AB2－BC2＝0的两个根，据韦达定理知AC·AD＝AB2－BC2
题二：设P是正△ABC外接圆弧上
任意一点
求证：PB＋PC＝PA PBPC＝PA2－PB2 分析：∵∠BPA＝∠APC＝60º 在△ABP和△APC中，由余弦定理知
AB2＝PA2＋PB2－2PA·PB·cos60º AC2＝PA2＋PC2－2PA·PC·cos60º
∵AB＝AC∴知PB、PC是方程x2－PA·x＋PA2－PB2＝0的两根椐韦达定理PB＋PC＝PA PB－PC＝PA2－PB2 题三：设P为定角∠BAC的平分线上一点，过A、P两点任作一圆交AB、AC于M、N，求证AM＋AN为定值
证明：设∠PAM＝∠PAN＝a 在△AMP和△ANP中，由余弦定理 PM2＝AM2＋PA2－2AM·PA·cosa PN2＝AN2＋PA2－2AN·PA·cosa 由于PM＝PN 所以AM、AN是方程x2－(2PA·cosa)x＋PA2－PM2＝0的两根,由违达定理得: AM＋AN＝2PA•COSa(定值)以上三例是用同一种解法，从 实践了从事物之间同与异矛盾的统一中认识事物的本质，因而培养了学生思维的深刻性。
(五)一题多问
在立体几何的教学中，对正方体A B C D－A′B′C′D′提问题，可以有以下九个问题： ① Ａ到ＣＢ的距离。
② Ｂ与平面AB′C间的距离。③ A′D到B′C的距离。④ A′B′与AC′间的距离。⑤ AB与平面A′CD之间的距离。⑥ AC与A′D所成角的大小。
⑦ AB与平面AB′C所成角的大小。
⑧ 截面A C C′A′与B D D′B′所成角的大小。⑨ 面AB′C与平面A′B′C所成角的大小。
6.浅谈初中数学课堂中的变式训练 篇六
摘 要：“变式训练”是创新的重要途径，也是一种有效的数学教学途径，因而教师利用“变式训练”，引导学生对数学问题多角度、多方位、多层次地进行讨论和思考，使学生更深刻地理解数学知识，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，最终提高学生的思维能力和创新能力。
关键词：变式训练；类型方法；应用举例
在初中数学教学中，常常会发现许多学生做题往往停留于机械模仿，不会独立思考，当问题的形式或题目稍加变化，就束手无策。变式训练类型方法应用举例培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。如何培养学生良好的数学思维呢？经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。
中国所谓变式训练就是保持原命题的本质不变，不断变换原命题的条件、或结论、或图形等产生新的情境，引导学生从不同的角度、用不同的思维去探究问题，采用变式方式进行技能与思维的训练叫变式训练。“变式训练”是创新的重要途径，也是一种有效的数学教学途径，因而教师利用“变式训练”，引导学生对数学问题多角度、多方位、多层次地进行讨论和思考，使学生更深刻地理解数学知识，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，最终提高学生的思维能力和创新能力。
当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。从教学实践中摸索，归纳、总结，我认为变式训练主要有以下三种类型： 一、一题多变，举一反三
教学中重视对例题和习题的“改装”或引申，通过对这类习题的挖掘，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，也有利于知识的建构。
例如：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。
由上面证明知道，当A，B在MN的同侧时，有DE=AD+BE，当A，B在MN的异侧时，有DE=AD-BE，DE=BE-AD此题表面上是证明三条线段的数量关系，实质上是证明两个直角三角形全等这个不变的结论，就可以猜想到三条线段DE，AD，BE的大小关系了。
以上只是结合教学实例简单地介绍了“变式训练”的应用，其实在我们教学中处处存在变式，利用“变式训练”提升教学实效性。极大地拓展了学生解题思路，提高了数学解题能力和探究能力。
二、多题一解，求同存异
许多数学练习看似不同，但它们的内在本质或者说是解题的思路，方法都是一样的，教师在教学中重视对这类题目的收集，比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成解题的数学思想方法。
例如：已知二次函数的图像经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式。
变式1：已知二次函数的图像经过一次函数y=-x-3的图像与x轴、y轴的交点A、C，并且经过点B（1，0），求这个二次函数的解析式。
变式2：已知抛物线经过两点B（1，0）、C（0，-3）。且对称轴是直线x=-1，求这条抛物线的解析式。
变式3：已知一次函数的图像经过点（1，0），且在y轴上的截距是-1，它与二次函数的图像相交于A（1，m）、B（n，4）两点，又知二次函数的对称轴是直线x=2，求这两个函数的解析式。
变式题的教学，先让学生议练，教师在知识的转折点上提出一些关键性的问题进行点拨，在思路上为学生扫除障碍。三、一题多解，殊途同归
一题多解是从不同的角度思考分析同一道题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。适当的一题多解，可以沟通知识间的联系，帮助学生加深对所学知识的理解，促进思维的灵活性，提高解决问题的能力，让学生品尝到学习成功的快乐。
例1：证明一条线段是另一条线段的2倍时，有如下一些途径：
（一）作短线段的二倍线段，证明二倍线段等于长线段；
（二）取长线段的一半，证明一半的线段等于短线段；
（三）如果长线段是某直角三角形的斜边是，取斜边上的中线，证明斜边的中线等于短线段；
（四）有四个以上的中点条件时，考虑能否通过三角形中位线定理来证明等等，当然对这些途径，都应通过具体的例子来寻找。
这一题的设计体现了过程教学，体现了解决问题方法的多样化，教师应充分利用教材进行有目的的教学。既可巩固强化解题思想方法，又让学生通过一解多题，抓住本质，触一通类，培养学生的变通能力，收到以少胜多的效果。
总之，在初中数学教学中，教师通过变式训练，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个有规律可循的系列，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。同时，通过变式练习，学生不再需要大量、重复地做同一样类型的题目，真正达到了教育界所倡导的“轻负高质”，同时让学生领略到数学的和谐，奇异与美妙，收到极好的学习效果。
参考文献：
1.张乃达.数学思维教育学.南京：江苏教育出版社，1990
2.程松青，黄萍.中学数学.北京：人民教育出版社，2006
3.李玉琪.数学教育概论.北京：中国科学技术出版社，1994
7.初中数学变式教学浅析 篇七
1、数学变式教学的理论基础
作为任何一种教学方式, 其理论基础是运行的关键, 从这一点上来看, 数学变式教学也有着基本的理论基础。我们可以根据逻辑学当中“运算”的概念, 针对人类的生长周期, 将人的智力成长分成四个阶段, 感触规律阶段、规律探索阶段、运算作用规律阶段、运算规律操作阶段。从这一点我们可以看出, 学习是有准备的阶段。任何抽象知识的学习都需要有充足的准备以及探索。根据以上四个智力形成阶段来看, 初中生正完成了第三阶段, 处于第三阶段开始向第四阶段过度时期, 并且这一情况不算稳定, 有些学生甚至还停留在第二阶段, 所以总体来说, 我们可以将学生成长看做是二、三阶段不稳定发展时期, 在这一时期当中, 数学的理解能力就成为了要点, 数学符号以及文字符号带来的理解能力太过抽象, 无法使学生正确的形成认知能力。但是现有教师在初中教学的过程当中, 大部分的采用文字讲义辅助数学符号的模式教导学生, 导致学生无论从自身智力成长还是外界吸收, 都无法得到最有效的保障, 从而失去了教学“先机”, 所以变式教学的根本目的在于, 给予学生最大的吸收能力, 是数学教学变成一种“运用教学”。
2、变式教学的意义
理论基础应当作用于根本的教学当中, 在得知“运用教学”这一概念后, 将其作用于实际成为了变式教学的根本意义。变式教学的根本方法在于, 如何了解一题多变、一法多用、一题多法的根本模式, 将提升效率作为根本方向。在教学过程当中, 我们不在去针对某一教学理念或者是教学公式展开“死记硬背”而是靠多种不同的题型阐述一种公式原理, 通过做题不仅能够丰富学生的实践能力, 更能够将题型和公式紧密结合, 最终的目的是没无论题型怎么变, 都能保障学生在最大程度上完成对“母公式”的认知能力, 从而“以不变应万变”。在这里要注意一点, 变式教学并不等同于“题海战术”, 其主要的目的是让学生讲枯燥的公式和有趣多变的数学题紧密的结合起来, 充分的发挥学生的“运算规律操作”, 由此我们可以讲数学变式教学分成以下四点:
(1) 定理公式和概念永远是变式教学的基础, 而基础的应用永远是变式教学的总纲。通过学习应用, 我们可以将定理、概念、知识点、运用手段等等一切以数学符号形成的文字表述从抽象当中解放出来, 使其具体化, 还可以从特殊的问题出发通过变式练习推广到一般性问题, 以普遍存在的思想方式引导学生讲公式“简单化”, 将其运用到具体的可认知的领域, 然后分析归纳出一般结论, 便于学生深刻理解问题。
(2) 数学变式教学能培养学生的思维品质。变式训练可以揭示概念的实质属性, 掌握其本质, 可以培养学生思维的深刻性;通过变式进行构造反例, 揭示问题实质, 可以培养学生思维的批判性;数学变式教学通过一题多法, 一法多用, 一题多变等变式训练, 又可以培养学生思维的全面性和灵活性。
(3) 变式教学能培养学生的能力。比如:从多边形的一个顶点作所有对角线 (如图)
(1) 四边形有1条对角线、五边形有2条对角线、六边形有3条对角线、七边形有______条对角线、n边形有________条对角线;
(2) 以上对角线将四边形分成2个三角形、五边形分成3个三角形、六边形分成4个三角形、……、n边形分成_______个三角形;
(3) 由 (1) 继续探索:从多边形的各个顶点作所有对角线 (重复的除外) 。n边形一共有__________条对角线。
学生通过这样的变式引导逐步思考, 慢慢养成多角度对比的思考问题, 培养了学生辩证的思维能力。
(4) 变式教学能调动学生的学习兴趣, 培养学生的创新能力。变式往往从简单而具体的问题出发, 逐步加深问题的广度和深度来强化知识提高能力。学生对前面简单问题的解决可以增强自身的学习信心, 进而产生学习兴趣, 另外学生在解决变式问题的过程中通过对问题的分析、归纳、总结, 很容易产生智慧的火花、激发灵感, 发现新的问题或解决方法, 从而培养了学生的创新能力。通过变式教学, 教师能深刻理解教材, 推动教师进行教学理论研究;学生能
通过变式训练巩固基础知识和技能, 增强训练的实效, 进而升华知识提高解题技能, 培养数学思维和能力。变式教学已经成为现今实施素质教育和研究性学习的重要手段之一。
结束语:对于数学教学来说, 应用显得更为实际, 无论是何种变式教学, 最终的目的在于促进教学的实际操作性能。所以笔者认为, 真正地数学变式教学应当符合以下五点: (1) 变式要有“度”。 (2) 变式要注意“量”。 (3) 变式训练要有区别。 (4) 变式要适时地归纳总结。 (5) 鼓励学生进行变式。这五点正是针对数学这一工具性学科的重要理论方向, 将“用”发挥到极致, 摆脱原有的只停留在思考上的模式, 如此才能真正地开发变式教学。
参考文献
[19]谢景力, 数学变式教学的认识与实践研究[D], 长沙:湖南师范大学, 2006
[20]陈在瑞, 路碧澄。数学教育心理学[M], 北京:中国人民大学出版社, 1999:228
[21]陶贵斌, 例谈变式教学应遵循的五个原则[J], 数学教学研究, 2006 (9) :5-8
8.高中数学变式教学探究 篇八
高三数学教学中教师多采用套题进行题海战术，这既增加了学生的学习负担，也阻碍了学生创新思维的发展和课堂效能的提高，而变式教学以“选题引入，激发思维—变式引申，合作探究—归纳总结，反思提高”的教学环节启迪了学生的思维，注重了有价值的变式思维训练，使学生创新思维和应变能力得到训练。
一、变式教学的界定和意义
变式是指相对与某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式，就是不断变更问题的情景或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质特征不断迁移的变化方式。
变式教学是以现代教育理论为指导，以精心设计创设问题情境、启发引导学生积极探索发现，展现数学知识的形成过程，注重数学知识在学生头脑中的构建，深入分析挖掘和体现数学教材中蕴涵的变式因素，从而培养学生的思维的流畅性、变通性和独创性。
二、变式教学的意义
1.运用变式教学可以激发学生兴趣
变式教学是一种教学思想，在数学教学活动中合理地运用这种方式，能够给学生提供一个求异、思变的空间，激发学生学习数学的兴趣，启发引导学生学会透过问题的现象抓住问题的本质，探索问题的规律和不同知识点之间的内在联系。
2.运用变式教学可以促进学生思维训练
变式教学是对学生进行数学技能和数学思维训练的重要方式，通过对数学问题进行多层次、多角度的变式探索研究，有意识地启发引导学生积极地参与到数学课堂教学活动中，在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，能从“变”的现象之中发现“不变”的本质，从“不变”的木质中来探索“变”的规律，进而培养学生良好的思维方式。
三、变式教学的原则
1.目标导向原则
数学教学是师生围绕既定目标而进行的双向活动。因此，教师首先要根据教学内容和学生实际制定出具体明确、切实可行的教学目标，然后，在课堂教学过程中，采用数学变式教学模式，学生在教师启发、引导下完成既定的教学目标。做到教师为目标而教，学生为目标而学，教学目标是教学活动的出发点和归宿。教师应明确变式的根本目的。变式是为了突出本质特征排除无关特征，变式教学要有助于让学生更好掌握数学知识的本质。变式选题应注意具有代表性，教学的成效不取决于运用的数量，而是看运用是否具有广泛意义的典型性，能否使学生在理解概念时有助于克服感性经验片面性的消极影响，能否有助于问题解决。
2.启迪思维原则
数学教学是思维活动的教学。学生思维的积极性和主动性依赖于教师的循循善诱、精心启发。运用变式教学模式教学，教师必须精心设计问题情境，“把问题作为教学的出发点”，“让问题处于学生思维水平的最近发展区”，引导学生逐步发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。通过创设思维情境，设置思维障碍，添设思维阶梯等手段激发学生的好奇心，唤起学生的求知欲。在具体设计教学过程时，教师应精心设计问题，要尊重思维发展的规律，按照思维发展的规律组织教学。
3.暴露过程原则
数学教学是数学思维活动过程的教学。让学生看到思维过程，主动参与知识的发现，是提高学生学习积极性和发展其数学能力的有效措施。运用变式教学模式教学，应特别强调暴露数学思维过程，即注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在这些“过程”中展开思维，从而发展他们的能力。因此运用变式教学应引导学生重新剖析问题的本质，在将问题由个别推向一般的过程中使问题逐渐深化，从而使思维的抽象程度不断提高。
4.探索创新原则
要使学生自主能动地学习，养成积极探索、勤于思考、勇于创新的良好学习习惯，就必须为学生创设自主学习、探索创新的激励氛围。教学民主是学生探索创新、发展创造性思维的土壤，只有构建良好的课堂人际关系，形成民主和谐的教学氛围，实施全员参与的合作学习策略，才能激发学生的学习兴趣，培养他们积极的学习动机，提高他们的求知欲望，增强他们的探索精神和创新意识，使他们的创造性思维最大限度地活跃起来。
5.量力而行原则
变式教学的变化深度、广度和难度应考虑学生的承受能力、适应能力，因此实施数学变式教学时，作为教师应该牢牢把握三个“度”：一是题目的变式难度，要有“梯度”，要循序渐进，不可“一步到位”；否则会使学生产生畏难情绪，影响问题的解决，降低学习“效率”；二是题目变式的数量要“适度”，不能多多益善，否则造成题海，必然会引起学生的反感；三是要创设变式情境，提高学生的“参与度”，唤起学生的求知欲，否则会导致“高投入，低产出”事倍功半的教学结果。
9.数学变式思想 篇九
【摘要】 课堂教学的教学方式和模式呈现多式多样化，变式教学仅是提高数学课堂效率的有效途径之一.本文就理解数学概念、巩固运用公式、数学思想方法的切换及学生对开放性问题的自主探索、合作探索等方面加强变式教学，提升课堂学习有效性
【关键词】变式；变式教学；互动；有效性；开放性
教学研究和实践表明，在数学教学中，恰当合理的变式，可以优化学生的知识结构，提高学生分析解题能力，避免反复的机械训练．能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开拓学生视野，激发学生的思维，有助于培养学生的探索精神与创新意识，进一步提升数学课堂的教学效果.一、深化理解数学概念的变式
案例1 双曲线第一定义概念的教学
在双曲线概念教学中，对于第一定义：“平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线”，通过多媒体的演示，起到很好的直观效果，但对具体处理问题时，若对定义中出现的“绝对值”、“小于F1F2”、“常数”等关键词的理解不透，解题中将会出现思路受阻，漏洞百出．因此对定义的理解是非常重要的，教学中我设计了一系列变式：
变式1 将“小于F1F2”改成“等于F1F2”，其余条件不变，则点的轨迹是什么？（两条射线）变式2 将“小于F1F2”改成“大于F1F2”，其余条件不变，则点的轨迹是什么？（无轨迹）变式3 将“绝对值”去掉，其余条件不变，则点的轨迹是什么？（双曲线的其中一支）
变式4 令“常数”等于零，其余条件不变，点的轨迹是什么？（线段F1F2的中垂线）（让学生认识双曲线定义中的常数应大于零）
经过以上变式的讨论与探索，学生对双曲线第一定义的中的“绝对值”、“小于F1F2”、“常数”等条件的内涵有了更深刻的理解，利用这样的问题系列，点拨知识间联系与区别，有助于学生在新情境下进一步识辨问题的本质．
二、巩固运用定理公式的变式 在利用基本不等式“ab2ab(a0,b0)求最值”的问题教学中，公式的掌握和理解相对容易，但具体涉及运用，则需要对基本不等式本质的理解．从了解学生的认知心理出发，我设计了这一问题的阶梯式变式训练：
案例2 求函数yx4x0的最小值 x强化概念的运用，利用“一正二定三相等”求出最小值
x24x0的最小值 变式1 求函数yxx24x244x，变“生”学生先思考，教师再引导观察本题与例2结构上的异同：yxxxx为“熟”.x22x4x0的最小值 变式2 求函数yxx22x4x242x4x2以变式1为基础，解决变式2就变得容易多了，可变形为yxxxx求之，同时教师要求学生对变式1和变式2的解法进行小结归纳，从而再引申出变式3.x22x5x1的最小值 变式3 求函数yx1
例如在复习《数列》中有关递推关系求通项问题，可以创设变式情境，让师生共同参与其中.案例4 已知数列an中，a11,an4an11,n2，写出数列的前5项.2先让大家思考回答这是数列中哪一类题型，并动手做完后教师提出：条件不变，如何求a2010？即 变式1 已知数列an中，a11,an4an11,n2，求a2010.2T: 这题能否像例4的方法，根据首项直接求出a2010？（学生开始七嘴八舌）
S1:(开玩笑似的说）只要给我充分的时间，能行.（引得全班同学哄堂大笑）T:这位同学话说的没错，学习数学也需要这份毅力和自信，但面对有限的时间，求出a2010不切实际;那一般的方法该怎么做呢？（促使学生思考通项an的求法），即
变式2 已知数列an中，a11,an4an11,n2，求an.2让学生独立思考，自主探究，完成后同学间相互交流，发表各自的意见和看法，用宽松和谐、平等交流、亲密合作、知无不言、言无不尽代替了往日的紧张、严峻、沉闷的氛围．从学生的解法中得到了好几种不同的构造解法，学生思维的火花在这种宽松的氛围中得到了绽放．
S2:老师，如果将递推关系式的常数“1”改成关于n的函数式，如何求通项an.老师给以热情的鼓励，同学们各抒己见给出了一系列的变式：
1,an4an1n1,n2，求an.21n变式4 已知数列an中，a1,an4an13,n2，求an.21n变式5 已知数列an中，a1,an4an13n1,n2，求an.2变式3 已知数列an中，a1„„„„„„
学生探讨解法，老师给予点评，视时间可以留给学生课后作业，这样的问题变式情境中，学生不怕冒尖，不怕说错，即便错的荒唐，也决无往日的尴尬和沮丧，使学生潜藏的智能可以发挥到极致，这样的课堂也大大拓宽了师生的知识空间、能力空间、思维空间和情感空间.五、培养学生思维开放性的变式
将问题进行开放性变式，将变式教学与研究性学习有机地结合起来，让学生学会探索，并在探索中由“学会”变为“会学”.案例5 点Mx,y到两定点M1,M2的距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？（考虑m1和m1两种情形）
解答分析例5后，将该题改编成一道开放题：
变式 在ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c，其中边长c为定值，请你建立适当的直角坐标系，并添加适当条件，求出顶点C的轨迹方程.通过大家主动探求，大胆创新，所添加的条件丰富多彩，展示其中的一部分： 1）添加条件：C是直角；
2）添加条件：abmmc；
3）添加条件：abm0mc；
4）添加条件：顶点C和两定点A,B连线的斜率之积为定值kk0；
5）添加条件：ABC的面积是定值mm0
10.数学变式思想 篇十
[摘要]将变式教学法应用于初中数学教学中能够有效帮助学生解决其在知识理解上的问题，并且能够激发学生学习的兴趣，提高学生的思维能力和创新能力。在代数知识教学、几何教学及提高学生思维能力方面都可以应用变式教学法。
[关键词]变式教学法初中数学教学
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）090025
数学是一门工具课程，变式教学法在初中数学课堂中的应用较为广泛，也能取得较好的效果。
一、在代数知识教学中应用变式教学法
在初中代数教学中，教师一般会通过与学生原来具有的认知结构来对比，让学生能够更加容易构建新知识，这种方法是变式的一种，称为对比变式。变式教学法在代数教学中可分为对比变式、巩固变式和辨析变式。辨析变式是指教师在进行教学时，在将需要学习的新概念引入后，通过分析概念的意义及引申设计出一些能够引导学生进行理解的辨析型问题，让学生对这些问题进行分析和探讨，以便学生更好地明确所学概念的本质，更加深刻地理解概念。
如教师在进行正数、负数的教学时，可以结合概念的内容来设置一个问题，让学生思考：某天的天气预报报道大连的最高温度是8℃，最低温度是零下8℃，这两个温度是一样的吗？若不一样，又该用怎样的数字来进行表达？这种方式能够在引入概念前引起学生探究的兴趣，从而提高学生上课时的注意力，在学习之后，学生也能够利用新学到的概念来解决上课前提出的问题。巩固变式指教师在向学生引入新的代数概念并帮助其理解时，应同时让学生熟悉新学概念的应用，让学生能够更加深刻地理解，并学会应用所学的概念来解决问题，同时达到对所学的代数概念进行巩固的目的。如教师可以设计一些应用概念的练习题，让学生相互讨论并解决，让学生能够更加熟悉概念，提高学生解决数学问题的能力。
二、在几何教学中应用变式教学法
学生在学习具体的概念前，脑中的科学概念大都是从日常生活中抽象发展得来的，但这些概念具有多义性、宽泛性等，并且其在学生的认知中已根深蒂固，因此学生在学习一些抽象概念的时候容易理解错误。教师在教学中应当注意学生学习的模式，引导学生在实际生活中积累一些正确的概念，同时也应合理利用学生的生活经验，来辅助学生理解概念。随着学生的不断成长，其获得概念的能力也不断增强，并且更加依靠自己已有的一些经验。但实际生活中的一些经验也有可能对学生的几何概念学习产生不利的影响，因此教师在进行几何概念的教学时应当适当采用变换反映几何概念的图形来帮助学生更加准确地理解概念的含义。几何概念很多都与图形相关，有时根据图形可直观地理解几何概念的含义。但教材中提供的图形比较有限，因此，教师应当对图形进行变式，让学生能够更好地掌握概念的多种延伸，从而掌握概念的本质。几何概念还具有一定的逻辑判断性，在进行几何教学时，教师要让学生掌握概念及其引申概念的意义，同时熟悉由定义变换得来的命题，并在具体的应用中使用一些定义的性质，进行判定。
如平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。教师在向学生解释这个定义时，可以对平行四边形的概念进行语言变式（如平行四边形的两组对边分别平行），然后引导学生将其他图形与平行四边形进行比较，让学生意识到正方形、长方形、菱形等也有相同的特征。教师在进行几何教学时，还应注意学生学习的系统性，让学生能够循序渐进地构建系统的知识概念，让学生能够将学到的知识整合起来。教师应当引导学生通过变式来将所学的相关概念整合成一个完整的概念体系，让学生能够进行几何概念的对比和总结，从而更好地理解和掌握几何概念的本质属性。
三、在提高学生思维能力方面应用变式教学法
变式教学法能够让学生在学习中做到对知识的活学活用，并能够引导学生更加深刻地理解问题。并且变式教学法能够有效揭示概念的本质，可以使学生的思维更加深刻，还能够提高学生学习的积极性，培养学生的创新能力，有利于培养学生思维的灵活性和全面性。同时，采用变式教学法能够提高学生的归纳思维和抽象思维能力。归纳思维是指通过个别事物来归纳出一般规律的思维。归纳思维对学生的学习来说是很重要的一种思维方式，掌握这种思维方式有利于学生对概念的理解。抽象思维是指通过事物的表象，更加深入事物内部，从而发现事物的本质。其中变式教学法对培养学生的抽象思维有着很大的作用。
如通过加强或减弱一个概念的条件来表示概念变式后的内在联系。例如在全等三角形的概念中去掉“面积相等”的条件就可以得出相似三角形的概念，若去掉“形状相似”的条件就可以得到等面积的三角形的概念。相反，在等面积三角形和相似三角形的概念中加入适当的条件就能得出全等三角形的概念。这种变换方式能够有效揭示相关概念之间的联系，并且能够增强学生的抽象思维能力，还很实用。
总之，将变式教学法应用于初中数学教学中能够有效帮助学生解决其在知识理解上的问题，并且能够激发学生学习的兴趣，提高学生的思维能力和创新能力。
11.寻找变式平衡 拓展数学思维 篇十一
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）05A-
0086-01
数学是一门抽象的基础性学科，其本质是要培养学生思维的灵活性，最终达到熟练运用的目的。这就需要数学教师给学生提供一个广阔的空间，帮助学生自主探索，让学生在合作交流中掌握数学基础知识和基本技能，积累基本数学活动经验，掌握并运用数学思想方法。笔者认为，数学教学要注重培养学生的思维意识，使学生能够运用所学知识解决生活中的问题，而这一切都需要变通转化。为此，在教学中教师要培养学生变通转化的思维意识，引导学生在变与不变中寻找变式平衡，实现灵活转变，拓展思维空间。
一、找准变量要素，抓住问题关键
在数学教学中经常会遇到这样的情形：一道题学生明明做了很多遍，也都做得非常熟练了，但一旦改动某一个条件要素，学生便陷入困境，不知道怎么办才好。为何会出现这样的情形？学生到底是掌握了题目，还是对问题所涉及的数学概念不理解？究其原因，很显然这与教师对习题的引导和机械化训练有关。学生常常做惯了一个习题模式，思维形成了固定的框架和模式，遇到“新面孔”难免会有不适应，导致思维暂时性“短路”。为突破这一困境，教师要在教学中加强引导，找准变量要素进行变式训练，让学生抓住问题的关键，寻找变式平衡。
如在教学苏教版四年级数学下册《混合运算解决问题》时，教材中有这样一道习题：“6名学生参观书画展出，一共付了门票30元，每个人乘车用2元，平均每人花了多少钱？你还能提出什么问题？”此时展开引导设计：想一想，如果仿照原有问题的思路，你会想到什么问题？学生提出了这样的问题：每个人乘车的费用比参观展出的门票少多少元？根据这样的思维模式，笔者继续追问，让学生变式：如果不从平均这个角度呢？还有哪个角度？学生提出：这6个人参观展出的费用和乘车的费用一共是多少元？
通过对问题的两次变式训练，学生能够抓住问题的关键，培养了从不同角度、多个方向思考问题的能力，使其在进行数学思维时学会把握变量要素，提升数学思考能力。
二、结合生活思考，拓展思维空间
在数学学习的过程中，学生一方面将生活中的经验与数学思考有机结合，另一方面则能够利用所学的理论知识，通过自主探究和发现，将原来头脑中不成熟的经验及似是而非的概念，逐步建构调整到抽象的理论体系层面，从而建构新知。
如教材中有这样一道题：“岭南小学六年级有45个同学参加运动会，其中男运动员占，那么女运动员有多少人？”针对这道题，笔者并没有急于告诉学生要怎么解答，而是激励学生自主探究：你想怎么解答？学生根据自己的体会，列出了如下三种解答方案：第一种方案：45÷9=5（人），5×5=25（人），45-25=20（人）；第二种方案：45×（1-）=20（人）；第三种方案：45×=25（人），45-25=20（人）。根据教材大纲的编排，并没有提出要学生做出多种解答方案的要求。但学生通过自主探究获得的三种方案，是非常宝贵的变式训练资源。基于此，笔者引导学生将思路整理出来，说说自己为什么要这样思考。
通过课堂中的探究和交流，学生将已有的经验与所学新知结合，思路逐渐清晰，并通过纵横发散、知识串联等形式，在知识积累、整体改造的过程中，将各种解法进行分析和优化，最终实现了变式平衡，将知识前后串联，达到融会贯通，有效地拓展了数学的思维空间。
三、抓住本质规律，提升思维品质
面对数学教学中的很多难题，教师要善于引导，让学生抓住主干，牵一发而动全身，找到属于“1”的那个数学本质规律，抓住简单的数学要素，从不变中找变化，从变化中找不变，培养学生的变通思维，寻找变式平衡。
如在教学苏教版六年级数学下册《稍复杂一些的百分数应用题》后，笔者做了这样的习题变式训练：学校有足球60个，（），学校有排球多少个？设学校有排球x个。（1）比排球多20%，60+60×20%；（2）排球的个数比足球多20%，x-x×20%=60；(3)排球的个数比足球少20%，x+x×20%=60.
在这道题目中将条件进行改变，算式也因此有了变化，但问题的关键并没有变。学生只要抓住主干，即单位“1”的量，便可以根据已知和未知的关系运用方程来解答，既能够让学生将知识建立联系，又能够提升思维品质。
总之，在数学教学中，加强变式练习，寻找变式平衡，让学生变通和转化，这是数学教学面临的一个新课题，对于培养学生举一反三的思维能力具有较为重要的意义。
12.高中数学变式教学研究 篇十二
一、变式教学的原则
变式教学是指教师通过采用科学合理的手段, 有目的、有计划地对命题进行转化.通过不断变换问题中的非本质条件, 保留本质因素, 从而使学生能够掌握数学对象的本质属性.变式教学有三个原则, 一是针对性原则.即根据数学课堂学习的内容进行针对性的变式, 如在授新课时针对概念进行变式, 在习题课针对本章内容适当渗透数学思想与方法, 在复习课进行横纵向的联系变式.二是适用性原则.即根据课本的内容以及学生的接受程度, 对题目进行适当的变式, 不能过于简单或复杂, 过于简单会增加学生做题的疲劳度, 使其对数学学习失去新鲜感.过于复杂则会降低学生对数学学习的自信心.三是参与性原则.即在数学变式教学中, 教师要积极鼓励学生参与变题后再进行练习, 锻炼学生的创造性思维能力.
二、变式教学的方法
1.变换条件或结论.在高中数学的学习过程中, 教师要将一道题进行多种变形, 让学生掌握知识点的本质, 学会运用这些知识解答其他问题.比如在学习“函数的单调性”时, 可以这样讲解这道题:判断函数y=x2+2, x∈ (0, +∞) 的单调性.将该题的条件进行变换, 则有以下两种变式.变式一:判断函数y=x2+2, x∈ (-∞, 0) 的单调性.变式二:判断函数y=x2+2的单调性.学生通过练习原题与变式一, 基本能掌握函数的单调性, 再进行变式二的练习时, 学生就会发现该函数不是单调函数.如果要判断该函数的单调性, 则要分段进行讨论, 让学生对函数的定义加以重视.并能有效地培养学生的创造性思维能力.再如三角函数中的一道题:已知cosθ=3/5, 0<θ<π, 求θ的其他三角函数值.由于这道题给出了θ的取值范围, 因此解题相对简单, 但是经过变式后, 该题变为:已知cosθ=3/5, 0<θ<π, 求θ的其他三角函数值.此时教师就要引导学生对θ的取值范围进行分类讨论.采用这样的变式教学方法, 有助于学生更全面地掌握知识, 培养学生的创新思维.
2.将条件一般化.数学理论的形成过程就是从一般到特殊、从特殊到一般的归纳推理.因此, 在高中数学课堂教学中, 要先将特殊的条件一般化, 改成具有普遍性的条件, 进而归纳出特定的解题思路与方法, 帮助学生在做题时准确而快速地找到解题的技巧.例:已知抛物线的方程是y2=4x, 在曲线上求一点A (x0, y0) , 使它到原点的距离最短.教师可引导学生将该题进行变式.变式一:已知抛物线的方程是y2=4x, 在曲线上求一点A (x0, y0) , 使它到点M (m, 0) 的距离最短.变式二:已知抛物线的方程是y2=2px, 在曲线上求一点A (x0, y0) , 使它到原点的距离最短.通过这样的变式, 将特殊的条件一般化, 符合学生的认知规律, 学生会更容易接受.更能有效地培养学生的数学思维, 使学生在进行数学学习时不停留在知识的表面, 而是能够自觉地从本质看问题, 从而全面、深刻地理解课堂内容, 学好高中数学.
3.联系生活实际.数学知识与我们的日常生活联系十分紧密.因此, 在高中数学课堂教学的过程中, 也要联系生活实际, 将数学问题与生活中常见的问题通过一定的手段联系起来, 在课堂中创设教学情境, 引导学生进行联想, 并学会构建数学模型解决实际问题.比如, 已知抛物线的焦点是F (0, 8) , 准线方程是y=8, 求抛物线的标准方程.这完完全全是数学问题, 但我们可以将这道题变式为:桥洞是抛物线拱形, 当水面宽4米时, 桥洞高2米, 当水面下降1米后, 水面的宽是多少?变式后引导学生在做题时要先根据日常生活的实际情况, 构建相应的数学模型, 然后再利用数学知识进行求解.这样的变式练习不仅能够有效地提高学生对数学学习的兴趣, 还能够让学生在无意间提高应用数学的意识, 从而有助于他们更好地学习数学.
总之, 在高中数学课堂教学中进行变式教学, 教师先要引导学生积极地进行自主思考, 帮助学生找出现象的本质规律, 让学生对所学的数学知识能够融会贯通, 提高学生学习数学的兴趣, 从而提高数学成绩.在新课标的教学要求下, 教师要不断创新, 用新的教学手段与方法完善变式教学, 因材施教, 全面培养学生的能力, 最终达到提高教学质量的目的, 并促进学生全面健康地发展, 使学生成为适应未来社会发展的人才.
摘要：随着新课标的不断深入, 高中数学的教学模式也随之进行创新.高中数学不仅要让学生掌握知识与技能, 还要让学生运用数学的思维解决生活中遇到的实际问题.这就要求教师在教学的过程中要进行变式教学, 使学生能够做到举一反三.
关键词：高中数学,变式教学
参考文献
[1]高敏.高中数学变式教学实践研究[D].东北师范大学, 2010.
13.数学变式思想 篇十三
泉州六中
林江文
【摘 要】
在课堂教学改革中，通过例题、习题的变式与重组，可以锻炼学生的逻辑思维，提高课堂教学的有效性。通过编写由浅入深的题组或变式题组让学生尝试解决或合作解决并互动生成。这样既可以使数学教学满足不同学生的不同需求，又可以保持学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。
【关键词】 变式
重组
一题多变
多题一法
课程标准指出，数学教育要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。因此，在初中数学课堂上，通过设计例习题的变式与重组，既有利于提高课堂效率，又有利于激发学生思维，提高学生思维能力，让每个学生都能获取知识。以下是笔者在实际教学中，对例习题的变式与重组的实践探索：
一、通过一题多变设置变式题组
“一题多变”是从多角度、多方位对例题进行变化，引出一系列与本例题相关的题目，形成多向导问，使知识进一步精化的教学方法，可以培养学生的探究能力，它不仅可以沟通知识的内在联系；还可以使基本题向深度和广度发展，从而看到较复杂题的来龙去脉。案例1：如图1，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG。求证：（1）BG=CE（2）BG⊥CE GEFDABAGEGFFBGEDFDDCC
BABCAC
E
图1 图2 图3 图4 变式
1、正方形ABDE绕点A顺时针方向旋转，使AE与AG重合时，如图2，上述两个结论是否成立？请说明理由。
变式
2、继续旋转正方形ABDE到如图3的位置，上述两个结论是否成立？请说明理由。变式
3、如图4，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，EG，AB＝5，AC＝7，求BC2EG2的值。
通过变式题组的形式，培养学生对问题的观察、分析以及探索归纳的能力，让不同层次的学生在同一时间都有思考的空间，真正实现全员参与，设置“一题多变”的题组，有助于启发引导学生分析比较其异同点，抓住问题的实质，加深对本质特征的认识，促进和增强探究能力，达到做一题通一类的目的，提高了学生分析、解答应用题的能力。
二、通过多题一法设置变式题组
建立数学模型，将结构相同或方法类似的几个题目放在一起以题组的方式出现，这样有利于引导学生思维的收拢。在教学中教师需要将多题有目的地串联起来，编成一组，引导学生进行观察分析，引导学生对多题一解进行反思，从而提高学生的化归能力，体会通性通法在解题中的作用。
题组：
1、如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点D、E与点C共线，连结BD，（1）、求证BD=CE
（2）、求∠BAE的度数 [1] 福建省教育科学“十二五”规划2014年度常规课题“初中数学例习题的重组与变式的教学实践”（2014CG1282）
EADEBABFCDC
图5
图6
图7
2、如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=2x-2经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点．（1）求点A坐标；
（2）若点P为x轴上一动点．点Q的坐标是（a,a/4），△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．求出a的值并写出点Q的坐标；
3、（2016年泉州市质检）如图，∠ABC=90°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，顶点A、D分别在∠ABC的两边BA、BC上滑动（不与点B重合），△ADE的外接圆交BC与F，O为圆心。（1）、直接写出∠AFE的度数（2）、当点D在点F的右侧时 ①、求证：EFDF2AF
②、若AB42,82BE413,求eo的面积S的取值范围。
设置本题组的依据的数学模型是“手拉手模型”，即由两个有公共顶点的两个等腰直角三角形，可以找到或构造两个旋转型全等的三角形，再利用全等三角形的性质去解题。通过题组的训练，培养学生的系统思维及敏锐观察力，感受学科模型建立的重要性，大大提升解题能力。
三、围绕某个知识点进行例习题的变式与重组
例习题的变式题组源于课本又不拘泥于课本，教师不断探究教材中例题的多种联系和功能，深化习题教学，发挥习题的内在潜能，使它们的解决能启发学生对问题的本质规律的探究，以此培养学生学习、探究精神，数学教育发挥其锻炼思维、开发智力的功能。案例3：华东师大版七年级下册《平移的特征》
题组：
1、如图8，在方格纸中，画出将图中的△ABC向右平移4格后的△A1B1C1，然后再画出将△A1B1C1向上平移3格后的△A2B2C2．△A2B2C2能否可以看成是△ABC经过一次平移而得到的呢？________（填“能”或“不能”），如果能，那么平移的距离和方向分别是________（方向在图中画出）
PD
Q BBB BACCAA
CA
图8
图9
图10
图11
图12
2、如图9，将△ABC沿边AB方向平移2cm，画出平移后的图形。
3、如图10，将△ABC沿BD方向平移2cm，画出平移后的图形。
4、如图11，将△ABC沿PQ方向平移2cm，画出平移后的图形。ABCC5、如图12，将△ABC沿北偏东60°方向平移2cm，画出平移后的图形。
此题组的设计从教科书的“试一试”开始，设计出一组由浅到深的变式题组，对于第1题这种有方格的图形，学生很容易入手，比较直观。学生可以独立思考，便于让每个同学都能在自己的探索过程中找到一定的成就感，从而获得进一步探索的信心和勇气。第2题学生可以借助自己手中的三角板进行探索，比较形象。对于第4题，是由书本练习3改编的。
总之，在初中数学课堂上，通过设计例习题的变式与重组，并把它作为一种教学方法，能使教师更加关注学生的学习习惯，重视学生的主体作用的发挥，对教师提出了更高的要求，有利于教师的业务能力的提升。通过设置这样的习题组，让学生通过自主的讨论、探究解决这些问题，并且在这些问题的解决过程中，获得数学学习的乐趣和数学思维的形成，而实现每一个层次的学生在课堂的同一时间段里都拥有自己自主探索或解决问题的时间与空间，实现不同的人在数学上得到不同的发展的美好愿望。参考文献：
[1] 许灵飞
变式教学在初中数学教学中的应用 《数学学习与研究》，2010.3 [2] 郑毓信
变式理论的必要发展
《中学数学月刊》 2006.1 [3] 聂必凯
数学变式教学的探索性研究
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