二项式定理应用

二项式定理应用（精选18篇）

1.二项式定理应用 篇一

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例谈正弦定理、余弦定理的应用

作者：姜如军

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

答：渡轮实际行驶的速度约为13.5 km/h，实际行驶方向与水流方向约成105°.点评根据平行四边形法则作图，从而构造数学模型，集中了实际问题中的条件与目标，将实际问题转化为求解三角形问题.先由余弦定理确定AC的长，再用正弦定理求出∠ACB，最后过渡到∠BAC.运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，关键是根据题意构造适当的三角形.如果知道两边和夹角，则可先由余弦定理求出角的对边，再由正弦定理求出另外两个角.如果已知两边及其中一边的对角，则先由正弦定理求出另一条边的对角，再由三角形的内角和为180°求出第三个角，最后用正弦定理可以求出第三条边（当然也可用余弦定理求解，但正弦定理更为直接）.上述求解过程说明，求解三角形，一定要注意已知什么；由已知可以求得什么；目标是什么；要求出目标值需要知道什么；搞清楚这些问题后，就可以确定求解的“序”了.另外，在运用正弦定理、余弦定理的同时，还应该结合面积关系灵活选择解决途径.如果建立适当的直角坐标系，与解析法有机结合，或运用向量的有关性质，可能带来更为简便的求解方案，应予重视.

2.二项式定理应用 篇二

一、二项式定理的发展历史

我国古代时期对于数学的研究,是中华民族的骄傲。二项式定理的学习可通过讲杨辉三角故事引入。早在我国南宋时期的1261年,数学家杨辉所著的《详解九章算法》就已经出现过二项式系数表,这一表被称为杨辉三角。二项式定理在中国被称为“杨辉三角”,它记载于杨辉的《详解九章算法》之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算数之钥》中也给出了一个二项式定理系数表,他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲,德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算数书的封面上刻有此图,但一般称之为“帕斯卡三角形”,因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何,二项式定理的发现,我国比欧洲至少早300年。1665年,这一年牛顿23岁。当时瘟疫流行,学校停课,牛顿在家中学习两年。他思想自由驰骋,在此期间把二项式定理推广到n位分数和负数的情形,给出了展开式。牛顿利用二项式展开这一重要工具,发明了微积分。

二、二项式定理的应用

二项式定理在组合理论、解决整除及余数等方面有广泛的应用。。这个公式所表示的定理称为二项式定理。其右边的多项式称(a+b)n的二项展开式,每一项系数(r=0,1,2…n)称为二项式系数;称为二项展开式的通项,用Tr+1表示,即展开式的r+1项,。

二项式系数性质如下:

(1)二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。(2)二项式系数的和等于2n。(a+b)n中分别令a=1,b=1,即可得。(3)如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等且最大。(4)二项式展开式中,偶数项系数和等于奇数项系数和,即。

了解二项式定理及其性质后,中职学生要学会如何应用二项式定理解决一些实际问题。下面介绍一些二项式定理在数学题及生活中的应用。

1. 用二项式定理求展开式

例1:求二项式(3x+2y)5的展开式。

解:由二项式定理可得

2. 用二项式定理求展开式中系数

例2:求(x2-1)(x+2)10展开式中含x10的系数。

解:由题可知,因式(x2-1)取x2和因式(x+2)10展开式中取x8可得含x10的项是,因式(x2-1)取(-1)和因式(x+2)10展开式中取x10可得含x10的项是,故(x2-1)(x+2)10的展开式中含x10项的系数为。

3. 用二项式定理求展开式中指定项例3:求展开式中常数项。

解:由题可知,因式展开式中取,因式(x2+2)取x2,展开式中有常数项;因式展开式中取-1,(x2+2)取2,式展开式中有常数项,所以展开式中常数项项为5+(-2)=3。

4. 二项式定理在整除问题中的应用

例4:用二项式定理证明32n+3-24n+37可被64整除。

证明:32n+3-24n+37=27(8+1)n-24n+37

因为括号内每一项都是自然数,和为自然数,所以上式是64的倍数,即32n+3-24n+37可被64整除。

5. 二项式定理在解决余数问题中的应用

例5:求5012除以7的余数。

解:。它的展开式中除末项外均能被7整除,其末项为1,故5012除以7的余数为1。

6. 二项式定理在计算近似值中的应用

例6:求0.9986的近似值(精确到0.001)。解:0.9986=(1-0.002)6

其中从第三项开始小于0.001,舍去。所以0.9986≈1-0.012=0.988.

7. 二项式定理在不等式证明中的应用

例7:,其中(n∈N*),n>1。证明:。

通项。

所以,。

8. 二项式定理在生活中的应用

例8:今天是星期一,再过290天是星期几?

解:依题可得。即290除以7的余数为1,所以,再过290天是星期二。.

三、结束语

二项式定理是中职数学教学的重要内容,但要在引起学生的兴趣上下功夫。中职学生的数学功底差,因而给学生上好二项式定理至关重要的。教师要以鼓励为主,增强学生的信心,以微笑的方式传达一种二项式定理不是很难学的感觉给学生。这样,在教师引领下,学生有了学习兴趣,就一定能学好二项式定理,提高中职学生的数学素养。

参考文献

[1]张建业,田志良.二项式定理的一个应用[J].河北工程技术高等专科学校学报.2005(01).

[2]刘淑霞,李元凤.关于二项式定理教学的研究[J].职业,2010(02).

3.例析二项式定理的应用 篇三

一、求展开式中的指定项和特定项

在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是公式[Tr+1=Crnan-rbr][（0≤r≤n，r∈N*，n∈N*）]的正确应用.

例1 已知在[x3-3x3n]的展开式中，第6项为常数项.

（1）求[n]；

（2）求含[x2]的项的系数；

（3）求展开式所有的有理项.

分析 先根据第6项为常数项，求出[n]的值，再写出其通项公式，根据指定项的特点确定[r]的取值.

解 通项公式为[Tr+1=Crnxn-r3（-3）rx-r3][=（-3）rCrnxn-2r3].

（1）∵第6项为常数项，

∴[r=5]时，有[n-2r3=0]，解得[n=10].

（2）令[10-2r3=2]，得[r=12（10-6）=2]，

∴[x2]项的系数为[C210]（-3）2=405.

（3）由题意知，[10-2r3=2∈Z，0≤r≤10，r∈Z.]

令[10-2r3=k][（k∈Z）]，则[10-2r=3k]，即[r=5-32k]，

∵[r∈Z]，∴[k]应为偶数.

∴[k=2，0，-2]，即[r=2，5，8].

∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为[405x2]，-61236，[295245x-2].

点拨 （1）[（a+b）n]与[（b+a）n]虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，应用二项式定理时，其中的[a]和[b]是不能交换的.（2）通项[Tk+1=Crnan-kbk]是[（a+b）n]的展开式的第[k+1]项，而不是第[k]项，这里[k=0，1，…，n]. （3） 展开式中第[r+1]项的二项式系数与第[r+1]项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错.

二、求展开式中各项系数的和

例2 在[（1x+1x35）n]的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项系数是（ ）

A.330 B.462

C.682 D.792

解析 ∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为[2n]，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等.

∴[2n-1=1024]，∴[n=11]，

∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为[C511=C611=462].

答案 B

例3 [（1+ax+by）n]展开式中不含[x]的项的系数绝对值的和为243，不含[y]的项的系数绝对值的和为32，则[a，b，n]的值可能为（ ）

A.[a=2，b=-1，n=5]

B.[a=-2，b=-1，n=6]

C.[a=-1，b=2，n=6]

D.[a=1，b=2，n=5]

解析 不含[x]的项的系数的绝对值为[（1+|b|）n]=243=35，不含[y]的项的系数的绝对值为[（1+|a|）n=32=25]，

∴[n=5]，[1+|b|=3，1+|a|=2.]

答案 D

点拨 求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1，-1，等.

三、求展开式中系数最大项问题

例3 已知[f（x）=（x23+3x2）n]展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项.

分析 先建立方案求出[n]，再确定所求项. 写通项公式时，由[Tr+1≥Tr，Tr+1≥Tr+2，]得[r=4]，求最大项.

解 （1）令[x=1]，则二项式各项系数和为[f（1）]=[（1+3）n=4n]，

展开式中各项的二项式系数之和为[2n].

由题意知[4n-2n=992].

∴[（2n）2-2n-992=0]，

∴[（2n+31）（2n-32）=0]，

∴[2n=-31]（舍）或[2n=32]，∴[n=5].

由于[n=5]为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是

[T3=C25（x23）3（3x2）2=90x6，]

[T4=C35（x23）2（3x2）3=270x223.]

（2）展开式的通项为[Tr+1=Cr53r?x23（5+2r）].

假设[Tr+1]项系数最大，则有[Cr53r≥Cr-15?3r-1，Cr53r≥Cr+15?3r-1.]

[∴5！（5-r）！r！×3≥5！（6-r）！（r-1）！，5！（5-r）！r！≥5！（4-r）！（r-1）！×3.]

[∴3r≥16-r，15-r≥3r+1.]

∴[72≤r≤92]，∵[r∈N]，∴[r=4].

∴展开式中系数最大项为[T5=C25x23（3x2）4=][405x263].

点拨 1. 求二项式系数最大的项： 如果[n]是偶数，则中间一项[第[（n2+1）]项]的二项式系数最大； 如果[n]是奇数，则中间两项[第[n+12]项与第[（n+12+1）]项]的二项式系数相等且最大.

2.求展开式系数最大的项，如求[（a+bx）n][（a，b∈R）]的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为[A1，A2，…，An+1]，且第[r]项系数最大，应用[Ar≥Ar-1Ar≥Ar+1]解出[r]来，即得系数最大的项.

1. [（x-y）10]的展开式中，[x7y3]的系数与[x3y7]的系数之和等于 .

2. 已知[（x3+x2）2n]的展开式的二项式系数和比[（3x-1）n]的展开式的二项式系数和大992，求[（2x-1x）2n]的展开式中：

（1）二项式系数最大的项；

（2）系数的绝对值最大的项.

1. -240

2. （1）[-8064] （2）[-15360x4]

4.二项式定理应用 篇四

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第 5 课时：§1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；

2.体会数学建摸的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。

3.了解常用的测量相关术语（如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义）；综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；

4．能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力

5．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰。

二、过程与方法

通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，熟练运用。

三、情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 【教学重点与难点】：

重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；

（2）掌握求解实际问题的一般步骤． 难点：根据题意建立数学模型，画出示意图 【学法与教学用具】：

1.学法：让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

总结解斜三角形的要求和常用方法

（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题： ①已知两角和任一边，求其它两边和一角；

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题： ①已知三边求三内角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角

二、研探新知,质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P18例1）如图1-3-1，为了测量河对岸两点A,B之间的距离，在河岸这边取点C,D，测

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

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得ADC85，BDC60，ACD47，BCD72，CD100m.设A,B,C,D在同一平面内，试求A,B之间的距离（精确到1m）.解：在ADC中，ADC85，ACD47，则DAC48.又DC100，由正弦定理，得

DCsinADC100sin85AC134.05m.sinDACsin48在BDC中，BDC60，BCD72，则DBC48.又DC100，由正弦定理，得 DCsinBDC100sin60BC116.54m.sinDBCsin48在ABC中，由余弦定理，得

图AB2AC2BC22ACBCcosACB134.052116.5422134.05116.54cos7247

3233.95，所以 AB57m 答A,B两点之间的距离约为57m.本例中AB看成ABC或ABD的一边，为此需求出AC，BC或AD，BD，所以可考察ADC和BDC，根据已知条件和正弦定理来求AC，BC，再由余弦定理求AB.例2（教材P18例2）如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以

9nmile/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min）.解：设舰艇收到信号后xh在B处靠拢渔轮，则AB21x，BC9x，又AC10，ACB45180105120.由余弦定理，得ABACBC2ACBCcosACB，2即21x109x2109xcos120.222222化简，得36x9x100，解得xh40min（负值舍去）.32图1-3-2

BCsinACB9xsin12033由正弦定理，得sinBAC，所以BAC21.8，方位角为

AB21x1

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4521.866.8.答：舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A到B与渔轮从C到B的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB和BC；再根据正弦定理求出BAC.例3 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C,D两处，测得烟囱的仰角分别为3512和4928，CD间的距离是11.12m，已知测角仪高1.52m，求烟囱的高。

四、巩固深化，反馈矫正

1．在四边形ABCD中，已知ADCD,AD10,AB14,BDA600,BCD1350，求BC的长 2.在四边形ABCD中，ABBC,CD33,ACB300,BCD750,BDC450,求AB的长 3.四边形ABCD中，ABBC,ADDC，且EAF600,BC5,CD2，求AC

4.我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C、D，已知ACD为边长等于a的正三角形。当目标出现于B，测得CDB450,ACD750（A、B在CD两侧），试求炮击目标的距离AB。

5.把一根长为30CM的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且ABC120，如何锯断木条，才能使第三边AC最短？

0

五、归纳整理，整体认识

1.解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

2．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.3．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略）

八、课后记：

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5.说课稿——勾股定理的应用 篇五

—— 蚂蚁怎么走最快（初中数学八年级）

学情分析：在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理及其逆定理的内容并能运用它们解决一些数学问题。同时也已具备有一定的合作交流意识和能力。但探究问题的能力有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，还不能抽象出相应的数学模型，自主学习能力尚有待加强。

教学内容分析：本节课是在学习了勾股定理及其逆定理之后以“蚂蚁怎么走最近”为思考内容，用勾股定理及其逆定理解决实际问题的一种应用，同时，“对蚂蚁怎样走最近”这个问题不仅是勾股定理的应用，而且体现了二、三维图形的转化，对发展空间观念很有好处，蚂蚁从棱柱下地面上的一点要爬到与之相对的上底面上的一点，且要求所走的距离最短，看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上可通过棱柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题.教学目标

教学知识目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.能力训练要求：

1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求：

1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.教学重点难点：

重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题。

难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。

教学过程

一、创设问题情境，引入新课：

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？

根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.所以至少需13米长的梯子.二、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．

（1）学生可以自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，思考哪条路线最短呢？

（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么? 3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).不难发现，学生可能想到的走法：(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A—→B.哪条路线是最短呢？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.变形： ②、在一个外长30cm、宽40 cm、高50 cm的木箱的外底部A处有一只蚂蚁,它在外壁上绕行了一周半最终到达上端顶点B处,试探蚂蚁爬行的最短路程.练习题：

如图所示的木箱中，如果在箱外的A处有一只蚂蚁.（1）它要在箱壁上爬行到箱内的D处，至少要爬多远？（2）它要在箱壁上爬行到箱内的C处，至少要爬多远？

结束语：本节课的教学设计，依据了《新课程标准》的要求，立足于学生的认知基础来选择身边的素材进行教学，使教学内容充满趣味性和吸引力，使学生在轻松愉悦的学习氛围中理解了用勾股定理解决际问题的方法，体现数学与生活的紧密联系。

1.经历探索蚂蚁爬行的最短路径，培养学生解决实际问题的能力。2.在空间立体几何图形的展开中培养学生的实际动手能力和数学建模思维。

6.《 勾股定理的应用方法小结》 篇六

绵竹市紫岩雨润中学

岳关芬

谈到勾股定理及它的逆定理，它是中学数学中最重要的定理之一，是几何学中的明珠，充满了魅力，我国把它又称为毕达哥拉斯定理。这是由于，他们认为最早发现直角三角具有“勾²+股²=弦²”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯。勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系。具体内容就是：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理揭示了从三角形三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形。具体的内容是：在三角形中，如果较小两边的平方和等于第三边的平方，那么三角形是直角三角形。它们不但是解直角三角形的重要依据，是每年中考的必考知识点之一，而且在实际生活中的应用十分的广泛。

我国伟大的数学家华罗庚将勾股定理称为茫茫宇宙星际交流的“语言”因为数学是一切有智慧生物的共同语言，所以我们有更多的理由要学好它。学习勾股定理时，应抓住三大关键，一是勾股定理及其逆定理的证明方法，二是勾股定理及其逆定理的应用，三是怎样寻找勾股数。对于第二个问题，又应抓住四个方面，一：是勾股定理在几何计算中的应用。二：是勾股定理在几何证明中的应用。三：是勾股定理及其逆定理的综合应用。四：是勾股定理在代数证题中的应用。在初中数学中常常提到的数学思想方法有数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、方程思想、整体思想.在勾股定理的应用中，渗透了上述四种数学思想。

作为一名长期从事中学数学教学工作的教师，在教学的过程当中，我经常发现有许多学生在涉及到计算直角三角形中线段的长以及判断三角形的形状等问题时，还是不明白该如何入手解决问题。在此，我主要想谈谈在这两类问题上，怎样正确快速的应用勾股定理和它的逆定理解决问题。所以把自己总结的一些经验与大家一起分享，共同学习。一：怎样应用勾股定理在直角三角形中求线段的长： 1：

直接把勾股定理变式计算线段的长

已知两条边的具体的值，求第三边。例1：已知：在⊿ABC中:∠C=90°

(1)AC=4, BC=3 , 求AB的长。

(2)AB=13，AC=12，求BC的长

分析：根据题意可知：ACBCAB,直接带值进行计算就可以了。小结：像这个题，他就是勾股定理的一个直接的应用。

变式训练：

已知：在⊿ABC中:∠C=90°AB=13，AC=12，求以阴影部分的面积。

2：

结合勾股定理设未知数计算线段的长

已知一条边具体的值，同时已知另外两边的关系，求边长。例2：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，(1)AC + BC= 7, AB=5 ,求AC ,BC的长。

222(2)AB –AC =8, BC=12，求AB ,AC 的长

分析：以（1）为例，设AC = x, 则 BC=7-x.又因为x+(7-x)= 25, 就可以找出线段的值。

小结：像这两个小题，它可以根据勾股定理再结合已知条件，把它转化成带有一个未知数的方程来解决问题。变式训练：

已知：小红用一张矩形纸片进行折纸。已知该纸片的宽AB为8厘米，长BC为10厘米，当小红折叠时，顶点D落在边BC上的点F处（折痕为AE）。想一想，此时CE有多长?

3: 应用三角形面积的不同表示方法求线段的长

已知两直角边的长，求斜边上的高。

例3：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，AC =3, BC=4，求AB边上的高CD。

分析：先根据ACBCAB，求出AB的长，再根据三角形的面积

2222211ACBCABCD,就可以计算出斜边上的高CD 22

小结：这个题目先利用勾股定理求出斜边，再结合三角形面积不同的表示方法就可以求出斜边上的高。

变式训练

已知；在⊿ABC中:∠C=90°，AC=7，BC=24，点P是⊿ABC内的一点，并且点P到三角形三边的距离相等，求这个距离。

4：两次应用勾股定理构建等式计算线段的长

已知两个直角三角形有一条公共边或相等边，求线段的长

例4：已知：铁路上A,B两点相距25㎞，C, D为两村庄，已知：AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,已知：AD=15㎞，BC=10㎞。现在要在铁路AB上修建一个土特品收购站E，使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多远处？

小结：这个题目单独利用直角三角形ADE没有办法解决问题，恰好⊿ADE和⊿BCE都是直角三角形，并且有相等的边DE和CE,于是设AE=x,BE=25-x,根据DE=CE222215+x=10+(25-x).即可找出线段的长。

变式训练：

已知：在正方形ABCD中，E为BC的中点，折叠正方形，使点A与点E重合，压平后折痕为MN,则梯形ADMN与BCMN的面积之比为________.5：应用全等三角形的知识计算线段的长

在一个直角三角形已知边和其它相等的角，计算线段的长

例：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求：AC的长？

分析：首先构造直角三角形，过点D向AB边做垂线DE，再结合条件得出CD=DE ,AC=AE,找出BE的长，最后利用Rt⊿ABC中ACBCAB解决问题.二：怎样应用勾股逆定理判断三角形的形状及计算图形的面积

1：判断三角形的形状

例：已知：在三角形中，a, b, c分别是它的三边，并且a+b=10, ab=18, c=8.判断三角形的形状。

分析：首先根据条件结合完全平方公式得出a+b的值，再检验a+b与c的大小，就可以得出结论。变式训练：

已知：在⊿ABC中: AB=13，BC=10, BC边上的中线AD=12.求证：⊿ABC是等腰三角形

22222

得2:与勾股定理结合计算图形的面积

例：已知：在四边形ABBCD中，∠ABC=90°，AB=3, BC=4, AD=12,CD=13.求：四边形ABCD的面积

分析：由于这种图形是不规则的四边形，所以要通过构造直角三角形再利用三角形的面积的和或差进行计算。

7.动量定理的应用 篇七

一、用动量定理解释现象

例1.如图, 把重物G压在纸带上, 用一水平力缓慢拉动纸带, 发现重物会随着纸带运动, 若迅速拉动纸带, 重物几乎不动, 解释这些现象的正确说法是: (CD)

A.缓慢拉动纸带时, 重物和纸带间的摩擦力大

B.迅速拉动纸带时, 重物和纸带间的摩擦力小

C.缓慢拉动纸带时, 纸带给重物的冲量大

D.迅速拉动纸带时, 纸带给重物的冲量大

解析:在缓慢拉动时, 两物体之间的摩擦力是静摩擦力, 在迅速拉动时, 它们之间的作用力是滑动摩擦力, 静摩擦力小于滑动摩擦力, 因此一般情况是:慢拉摩擦力小, 快拉摩擦力大。A、B错。缓拉纸带时, 摩擦力虽小, 但作用时间很长, 故重物获得的冲量很大。迅速拉动纸带时, 摩擦力虽大, 但作用时间很短, 故重物获得的冲量很小。C、D正确。

评析:用动量定理解释的现象一般分为两类:一类是物体的动量变化一定, 此时力的作用时间越短, 力就越大;力的作用时间越长, 力就越小。另一类, 作用力一定, 力的作用时间越长, 动量变化越大;力的作用时间越短, 动量变化越小。分析问题时, 要把哪个量一定、哪个量变化搞清楚。

二、用动量定理解决变力问题

例2.在强度为B的匀强磁场中, 一个电量为q的粒子 (重力不计) , 以速度v在垂直于磁场方向上做半径为R的圆周运动, 则粒子在运动的二分之一周期内, 洛仑兹力的冲量大小为: (B)

解析:粒子在做圆周运动过程中, 由洛仑兹力提供向心力, qv B=m v2/R根据动量定理, I=△P=m v- (-m v) =2m v=2q BR, 因此B正确。

评析:用I=Ft求的是恒力的冲量, 本题中洛仑兹力是变力, 因此I=Ft不能用, 变力的冲量只能通过动量定理求解。

三、用动量定理求解平均力问题

例3.质量为60K g的建筑工人, 不慎从高空跌下, 由于弹性安全带的保护作用, 最后使人悬挂在空中, 已知弹性安全带缓冲时间为1.2s, 安全带原长5m, 求安全带所受的平均作用力。 (g=10m/s2)

解析:人开始下落为自由落体运动, 下落到弹性安全带原长时的速度为:v02=2gh, 得:vo=10m/s。取人为研究对象, 在人和安全带作用的过程中, 人受到重力m g和安全带的平均冲力F, 取力F方向为正方向, 由动量定理得: (F-m g) t=0- (-m v0)

F=m g+m v0/t=1100N (方向竖直向上) , 安全带所受的平均作用力F'=1100N (方向竖直向下) 。

评析:弹性安全带的作用力实际是一个变力, 若求一段时间内的平均值, 则按恒力来处理, 可按动量定理求解。

四、用动量定理解决图像问题

例4.水平推力F1和F2分别作用于水平面上原来精致的、等质量的a、b两物体上, 作用一段时间后撤去推力, 物体将继续运动一段时间停下, 两物体的v-t图像如图所示, 已知图中线段A B∥CD, 则 (A C)

A.F1的冲量小于F2的冲量

B.F1的冲量等于F2的冲量

C.两物体受到的摩擦力大小相等

D.两物体受到的摩擦力大小不相等

解析:由v-t图像可知, 撤去F后, 只受摩擦力的作用, 因为A B‖CD, 说明ab加速度相同, 所以fa=fb。由图像可知:F1>F2但t1<t2, 用I=Ft无法计算F1和F2的大小关系。但根据动量定理I=△PF1t1-μm gt B=0 F2t2-μm gt D=0, 因为t B<t D, 所以F1t1<F2t2, 故选A C。

评析:本题是图像问题, 既考查了对图像的认识, 也考查了动量定理应用的妙处。

五、用动量定理解决光学问题

科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际宇宙飞船, 按照近代光的粒子说, 光由光子组成, 飞船在太空中张开太阳帆, 使太阳光垂直射到太阳帆上, 太阳帆面积为S, 太阳帆对光的反射率为100%, 设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子, 每个光子的动量为p, 如飞船总质量为m, 求飞船的加速度的表达式。

解析:

设经过时间为t, 则时间t内的光子数为:N=nst (1)

对光子由动量定理:Ft=N p- (-N p) (2)

对飞船:F=m a (3)

由 (1) (2) (3) 联立:a=2nsp/m

评析:动量定理不仅适用于宏观低速的运动, 对于微观现象和高速运动仍然适用。

摘要：应用动量定理比应用牛顿定律解题有独到的优越性, 并且应用非常广泛。

8.二项式定理应用 篇八

分析

根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性，确定二项展开式中系数最大的项.

解

T6=C5n（2x）5， T7=C6n（2x）6，依题意有C5n25=C6n26，解得n=8.

设第r+1项系数最大，则有Cr8·2r≥Cr-18·2r-1,

Cr8·2r≥Cr+18·2r+1①，解得5≤r≤6.

因为r∈{0， 1， 2， …， 8}，所以r=5或r=6，即系数最大的项为T6=1792x5， T7=1792x6.

说明

求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需考虑各项系数的正、负变化情况，一般采用解不等式的方法先求得r的取值范围，然后再由0≤r≤n，确定r的取值.如果r有两个值，则说明这两项的系数相等且同时为最大值.

思考

上述方法不愧是求系数最大项的好方法，然而此方法能处理所有求系数最大项的问题吗？答案是否定的.因为由①易得0≤r-1≤8且0≤r+1≤8，即1≤r≤7.若系数最大项为第一项或最后一项，便无法求得，也就是说上述方法只能求中间7项的系数最大项，显然该方法是不完善的.

变题 试求（4x+1）3展开式中系数最大的项.

解 设第r+1项系数最大，则有Cr3·43-r≥Cr-13·44-r，

Cr3·43-r≥Cr+13·42-r

①，解得0≤r≤4[]5.

又r∈{0， 1， 2， 3}，所以r=0，即系数最大的项为T1=64x3. 

评析

乍一看，上述解法没有任何问题，但细看，我们会发现1≤r≤2，也就是说r根本不能取到0，显然上述解法是有问题的.当然修正很简单，因为1≤r≤2， 0≤r≤4[]5，所以系数最大项不在中间，而应该在两端，易得系数最大项为T1=64x3.

例2 利用二项式定理证明：32n+2-8n-9是64的

倍数.

分析

64是8的平方，问题相当于证明32n+2-8n-9是82的倍数，为了使问题向二项式定理靠近，变形32n+2=9n+1=（8+1）n+1，将其展开后各项均含有8k，以此将其与82的倍数联系起来.

解 32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9=8n+1+C1n+1·8n+

…

+Cn-1n+1·82+Cnn+1·8+1-8n-9=

8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·

82+8（n+1）+1-8n-9=8n+1+C1n+1·

8n+…+Cn-1n+1·82=（8n-1+C1n+1·

8n-2+…+Cn-1n+1）·64，

所以32n+2-8n-9是64的倍数.

说明

解本题的方法和技巧不仅可以用来证

明整除问题，还可以求一些复杂的指数式除以一个

数所得的余数，但在具体应用时，也存在着一种习惯

性错误，请看如下变题.

变题 已知Sn=2n+C1n·2n-1+…+Cn-1n·2+1（n∈N*）.求证：当n为偶数时，Sn-4n-1能被6 4整除.

解 Sn=2n+C1n·2n-1+…+Cn-1n·2+1=（2+1）n=3n.

因为n∈N*且n为偶数，所以可设n=2k （k∈N*），则Sn-4n-1=32k-8k-1=（8+1）k-8k-1=8k+C1k·8k-1+…+Ck-2k·82，所以Sn-4n-1能被64整除.

评析

乍一看，本题的解法也很完善，但细看，我们会发现，因为n∈N*且n为偶数，当设n=2k后，易得k∈N*， k≥1，而由Sn-4n-1=8k+C1k·8k-1+…+Ck-2k·82，易得k∈N*， k≥2，遗漏了k=1的情况.修改依旧很简单，首先说明题中解法是当k≥2时的情况；然后再

补充“当k=1时，易得n=2， Sn-4n-1=32-8-1=0，显然能被64整除”；最后再说“综上所述，当n为偶数时，Sn-4n-1能被64整除”即可.

9.勾股定理的应用的教学反思 篇九

勾股定理的应用的教学反思

本节课是人教版数学八年级下册第十七章第一节第二课时的内容，是学生在学习了三角形的有关知识，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件的基础上学习勾股定理，加深对勾股定理的理解，提高学生对数形结合的应用与理解。本节第一课时安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程；第二课时是通过例题分析与讲解，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生解决问题的意识和应用能力。

针对本班学生的特点，学生知识水平、学习能力的差距，本节课安排了如下几个环节：

一、复习引入

对上节课勾股定理内容进行回顾，强调易错点。由于学生的注意力集中时间较短，学生知识水平低，引入内容简短明了，花费时间短。

二、例题讲解，巩固练习，总结数学思想方法

活动一：用对媒体展示搬运工搬木板的问题，让学生以小组交流合作，如何将木板运进门内？需要知道们的宽、高，还是其他的条件？学生展示交流结果，之后教师引导学生书写板书。整个活动以学生为主体，教师及时的引导和强调。

活动二：解决例二梯子滑落的问题。学生自主讨论解决问题，书写过程，之后投影学生书写过程，教师与学生一起合作修改解题过程。

活动三：学生讨论总结如何将实际生活中的问题转化为数学问题，然后利用勾股定理解决问题。利用勾股定理的前提是什么？如何作辅助线构造这一前提条件？在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习惯；体会勾股定理的应用价值，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中去，在学习的过程中体会获得成功的喜悦，提高了学生学习数学的兴趣和信心。

二、巩固练习，熟练新知

通过测量旗杆活动，发展学生的探究意识，培养学生动手操作的能力，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受。

在教学设计的实施中，也存在着一些问题： 1.由于本班学生能力的差距，本想着通过学生帮带活动，使学困生充分参与课堂，但在学生合作交流是由于学习能力强的学生，对问题的分析解决所用时间短，而在整个环节设计中转接的快，未给学困生充分的时间，导致部分学生未能真正的参与到课堂中来。

2.课堂上质疑追问要起到好处，不要增加学生展示的难度，影响展示进程出现中断或偏离主题的现象。

10.二项式定理应用 篇十

生态系统演化模型有着重要的应用.首先定义了一类生态演化模型,然后给出了时间趋向于无穷大时,系统的总人口数的.期望是爆炸(即为无穷大),还是灭绝(即为有限)的充分必要条件.并且作为一个应用,证明了系统的总人口数的期望有限等价于一类随机游动具有一个正速度.

作 者：王华明 WANG Hua-ming  作者单位：北京联合大学,商务学院,北京,100025 刊 名：北京联合大学学报（自然科学版） 英文刊名：JOURNAL OF BEIJING UNION UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES) 年，卷(期)： 23(3) 分类号：Q141 关键词：生态模型   数学期望   爆炸   随机游动  

11.动量定理的应用 篇十一

关键词：动量定理；应用；变力问题；图像问题；光学问题

合外力的冲量是动量变化的原因，合外力的冲量是对时间的积累，与物体的初末动量无关。应用动量定理比应用牛顿定律解题有独到的优越性，且应用广泛。

一、用动量定理解释现象

例1.如图，把重物G压在纸带上，用一水平力缓慢拉动纸带，发现重物会随着纸带运动，若迅速拉动纸带，重物几乎不动，解释这些现象的正确说法是：（CD）

A.缓慢拉动纸带时，重物和纸带间的摩擦力大

B.迅速拉动纸带时，重物和纸带间的摩擦力小

C.缓慢拉动纸带时，纸带给重物的冲量大

D.迅速拉动纸带时，纸带给重物的冲量大

解析：在缓慢拉动时，两物体之间的摩擦力是静摩擦力，在迅速拉动时，它们之间的作用力是滑动摩擦力，静摩擦力小于滑动摩擦力，因此一般情况是：慢拉摩擦力小，快拉摩擦力大。A、B错。缓拉纸带时，摩擦力虽小，但作用时间很长，故重物获得的冲量很大。迅速拉动纸带时，摩擦力虽大，但作用时间很短，故重物获得的冲量很小。C、D正确。

评析：用动量定理解释的现象一般分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小。另一类，作用力一定，力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小。分析问题时，要把哪个量一定、哪个量变化搞清楚。

二、用动量定理解决变力问题

例2.在强度为B的匀强磁场中，一个电量为q的粒子（重力不计），以速度v在垂直于磁场方向上做半径为R的圆周运动，则粒子在运动的二分之一周期内，洛仑兹力的冲量大小为：（B）

A.πqBR B.2qBR ?摇C.■BR D.qBR

解析：粒子在做圆周运动过程中，由洛仑兹力提供向心力，qvB=mv2/R根据动量定理，I=△P=mv-（-mv）=2mv=2qBR，因此B正确。

评析：用I=Ft求的是恒力的冲量，本题中洛仑兹力是变力，因此I=Ft不能用，变力的冲量只能通过动量定理求解。

三、用动量定理求解平均力问题

例3.质量为60Kg的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中，已知弹性安全带缓冲时间为1.2s，安全带原长5m，求安全带所受的平均作用力。（g=10m/s2）

解析：人开始下落为自由落体运动，下落到弹性安全带原长时的速度为：v02=2gh，得：vo=10m/s。取人为研究对象，在人和安全带作用的过程中，人受到重力mg和安全带的平均冲力F，取力F方向为正方向，由动量定理得：（F-mg）t=0-（-mv0）

F=mg+mv0/t=1100N（方向竖直向上），安全带所受的平均作用力F'=1100N（方向竖直向下）。

评析：弹性安全带的作用力实际是一个变力，若求一段时间内的平均值，则按恒力来处理，可按动量定理求解。

四、用动量定理解决图像问题

例4.水平推力F1和F2分别作用于水平面上原来精致的、等质量的a、b两物体上，作用一段时间后撤去推力，物体将继续运动一段时间停下，两物体的v-t图像如图所示，已知图中线段AB∥CD，则（AC）

A.F1的冲量小于F2的冲量

B.F1的冲量等于F2的冲量

C.两物体受到的摩擦力大小相等

D.两物体受到的摩擦力大小不相等

解析：由v-t图像可知，撤去F后，只受摩擦力的作用，因为AB‖CD，说明ab加速度相同，所以fa=fb。由图像可知：F1>F2但t1

评析：本题是图像问题，既考查了对图像的认识，也考查了动量定理应用的妙处。

五、用动量定理解决光学问题

科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际宇宙飞船，按照近代光的粒子说，光由光子组成，飞船在太空中张开太阳帆，使太阳光垂直射到太阳帆上，太阳帆面积为S，太阳帆对光的反射率为100%，设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子，每个光子的动量为p，如飞船总质量为m，求飞船的加速度的表达式。

解析：

设经过时间为t，则时间t内的光子数为：N=nst ①

对光子由动量定理：Ft=Np-（-Np） ②

对飞船：F=ma ③

由①②③联立：a=2nsp/m

12.动能定理的具体应用 篇十二

动能定理:物体受到的合力做功, 等于物体动能的改变量。合外力对物体做正功, 物体的动能就增加, 物体动能的增加量等于合外力对物体所做的功。合外力对物体做负功, 物体的动能就减小, 物体动能的减少量等于物体克服合外力所做的功。

当物体受到的各个力均为恒力时, 且每个力都自始至终作用在物体上时, 利用上述方法比较方便, 但如果物体受到了变力的作用, 所受力当中有一个或几个不是自始至终作用在物体上的时候, 上述作题的方法就存在着一定的局限性。所以动能定理还有另外一种叙述。

动能定理:物体所受各个力做功的代数和, 等于物体动能的变化量

作题的方法与步骤:

1、在物体运动的过程中选取两个状态, 一个是初状态, 一个是未状态。这两个状态不是任意选的, 一般是题目给出一定条件的某一位置和题目要求计算的另一位置。

2、分析物体在初、未状态之间运动时都受到了哪些力, 将这些力全部列出来。

3、根据这些力的特点, 采取不同的方法将它们做的功求解出来。我们常见到的力有以下几种: (1) 恒力做的功——恒力做的功只与恒力与恒力方向上的位移有关, 跟物体运动的具体路径无关, 它等于恒力的大小与恒力方向上位移的大小的乘积。

(2) 方向不变, 大小跟物体的位移成正比或成线性关系的力所做的功, 可用这个力的平均值乘以物体的位移来求解。

(3) 利用力和位移的关系图象和位移轴所围成的面积来求功。

(4) 大小不变、方向始终跟物体运动的速度方向在一条直线上的变力所做的功, 可用这个力的大小跟物体运动的路程相乘来求解。

(5) 做功功率恒定的变力所做的功, 可用功率和做功时间相乘来求解。

(6) 无能量损失的碰撞中, 弹力做的总功为零。

(7) 无法求解的功, 可以先表示出来。

4、将所有做功的代数和等于物体动能的改变量。要注意功的正、负, 动能的改变量等于未动能减去初动能。

例1:物体从斜面上的A点由静止开始滑下, 进入水平面后滑行到B点静止, 已知物体于接触面间的动摩擦因数为μ, A、B之间的水平距离为L, 求物体下滑时的高度?

分析:物体运动过程中受到重力、弹力和摩擦力的作用, 其中重力做正功, 摩擦力做负功, 弹力不做功, 它们做的功分别为:

WG=mghWf=- (μmgcosθs1+μmgs2) =-μmgL

根据动能定理知:WG+Wf=0

所以h=μL

该题中涉及到两种性质的力做功, 一个是恒力做的功, 另一个是大小不变方向始终和物体运动方向相反的摩擦力做的功。

例2:物体从高为h处由静止释放, 和地面发生无能量损失的碰撞, , 若物体运动过程中受到的空气阻力恒为物体所受重力的k倍, 求物体运动的总路程是多少?

分析:物体在运动过程中受到三个力的作用, 分别是重力、空气阻力和地面的弹力, 已知物体受到的重力做正功, 阻力做负功, 地面的弹力做的总功为零。而重力是恒力, 所做的功只与竖直高度有关, 阻力是一个大小不变, 方向始终跟物体运动方向相反的力, 所以由动能定理知:

WG+Wf=mgh-kmgs=0

undefined

例3:质量为m的物体从固定在地面上的轻质弹簧上端h高处, 由静止释放, 将弹簧压缩x而到达最低点, 求弹簧的倔强系数是多少?

分析:物体在运动过程中受到三个力的作用, 分别是重力、弹力, 在整个过程中重力和弹力做的功是:

WG=mg (h+x)

undefined

由动能定理知undefined

undefined

例4:物体沿竖直放置的, 半径为R=0.8m圆型轨道的内侧做圆周运动, 当质量这m=1kg的物体在最低点的速度v0=7m/s时, 它恰好能通过最高点, 求在这半个圆周上运动时阻力对物体所做的功?

分析:物体从圆周的最低点向最高点运动的过程中, 受到三个力的作用, 分别是重力、弹力和阻力, 弹力对物体不做功, 由动能定理知:

undefined

undefined

例5:质量为M=500t的机车, 以恒定的功率从静止开始运动, 经t=5min, 在平直轨道上行驶了s=2.25km, 速度达到最大值vm=15m/s, 试求:

(1) 机车的功率

(2) 机车运动过程中所受的平均阻力

分析:机车在运动过程中受到四个力作用, 分别是重力、支持力、牵引力、阻力。重力和支持力对运动的机车不做功, 牵引力是一个做功功率不变的力, 它做的功等于功率和做功时间的乘积。所以:

undefined

又因为机车运动的最后阶段是匀速, 所以:undefined

联立求解得:

13.二项式定理应用 篇十三

在拓扑空间中利用某些特殊的.技巧得到了一些Browder型的不动点定理.作为应用,研究了Ky Fan截口定理和抽象拟变分不等式解的存在性.

作 者：冀小明 黄建华 JI Xiao-ming HUANG Jian-hua  作者单位：冀小明,JI Xiao-ming(西南民族大学预科教育学院,成都,610041)

黄建华,HUANG Jian-hua(福州大学数学与计算机学院,福州,350002)

14.二项式定理应用 篇十四

FC-空间中广义KKM定理及对广义向量平衡问题的应用

在非紧FC-空间中证明了一些新的广义KKM型定理.作为应用,在非紧FC-空间中我们确立了一些新的对于广义向量平衡问题解的`存在性定理.这些结果推广了文献中巳有的结论.

作 者：唐古生 TANG GUSHENG 作者单位：湖南科技大学数学系,湘潭,411201刊 名：应用数学学报 ISTIC PKU英文刊名：ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA年，卷(期)：31(3)分类号：O177.91关键词：FC-空间 KKM型定理 广义向量平衡 伪单调性

15.动能定理的应用探究 篇十五

一、求解未知力的功 —— 跳伞运动做功问题

如果物体所受的外力中有未知力, 有恒定的已知力, 且恒力的功容易计算, 物体动能的变化量也容易求解, 可由动能定理求解未知力的功.

例1总质量为80 kg的跳伞运动员从离地500 m的直升机上跳下, 经过2 s拉开绳索开启降落伞, 如图1 所示是跳伞过程中的v - t图, 试根据图象求: ( g取10 m/s2) ( 1) t = 1s时运动员的加速度和所受阻力的大小. ( 2) 估算14 s内运动员下落的高度及克服阻力做的功.

解析: (1) 从图1中可以看出, 在t=2 s内运动员做匀加速运动, 其加速度大小为

设此过程中运动员受到的阻力大小为Ff, 根据牛顿第二定律, 有mg - Ff= ma. 得Ff= m ( g - a) = 80× ( 10 - 8) N = 160 N.

(2) 从图1中估算得出运动员在14 s内下落了h=39.5×2×2 m=158 m.根据动能定理, 有.所以有

评析: 未知力的功和不均匀变化力的功只能用动能定理求解.

二、求解物体的速度 —— 滑雪运动的速度问题

如果物体在已知力的作用下运动, 物体的位移和初速度已知时, 可用动能定理求解物体的速度.

例2滑雪者从A点由静止沿斜面滑下, 经一平台后水平飞离B点, 地面上紧靠平台有一个水平台阶, 空间几何尺寸如图2 所示, 斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为 μ. 假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动, 且速度大小不变, 求: 滑雪者离开B点时的速度.

解析: 设滑雪者的质量为m, 斜面倾角为 θ, 斜面长为s, 滑雪者在斜面上的受力如图3 所示, 则滑动摩擦力Ff1= μFN1= μmgcosθ.

滑雪者在平台上的受力如图4 所示, 则滑动摩擦力Ff2= μFN2= μmg .

滑雪者由A到B过程, 由动能定理可得: mg ( H -h) - μmgscosθ - μmg ( L - scosθ) = mv2/2 , 所以滑雪者离开B点的速度

评析: 在涉及摩擦阻力和路程时, 优先考虑动能定理. 需注意滑动摩擦力的功应是滑动摩擦力和路程的积, 凡是有机械能损失的过程, 都应该分段来计算摩擦力的功.

三、求解物体的位移 —— 轮船运动的位移问题

如果物体在已知恒力和功率恒定的变力作用下运动, 物体的运动时间和初、末速度已知时, 可由W = Pt先求出变力所做的功, 再由动能定理求解物体的位移.

例3一艘质量为m = 400 t的轮船, 以恒定功率P = 3. 5 × 106W从某码头由静止起航做直线运动, 经t0= 10 min后, 达到最大速度vm= 25 m / s. 此时船长突然发现航线正前方x0= 520 m处, 有一只拖网渔船正以v = 5 m/s的速度沿垂直航线方向匀速运动, 且此时渔船船头恰好位于轮船的航线上, 船长立即采取制动措施 ( 反应时间忽略不计) , 附加了恒定的制动力, 结果轮船到达渔船的穿越点时, 拖网的末端也刚好越过轮船的航线, 避免了事故的发生. 已知渔船连同拖网总长L = 200 m, 假设轮船所受阻力不变. 求: ( 1) 发现渔船时, 轮船已离开码头多远? ( 2) 轮船减速时的加速度多大? ( 3) 附加的制动力多大?

解析: (1) 设轮船已离开的位移为x1, 所受阻力为f, 由动能定理得, 又, 解得x1=1.41×104m.

( 2) 设轮船减速的时间为t, 则t = L /v, x0= vmt +at2/2, 解得a = - 0. 6 m / s2, 大小为0. 6 m/s2.

( 3) 设附加的恒定制动力为F, 由牛顿第二定律得- ( F + f) = ma. 解得F = 1. 0 × 105N.

评析: 求解机车等动力装置起动问题时应注意: ( 1) 公式P = Fv中的F仅是机车的牵引力, 而非车辆所受的合力, 这一点计算时及易出错. ( 2) 机车由静止开始以恒定功率P起动时间t后, 达到最大速度v, 则机车在时间t内的位移x ≠ v2/ ( 2a) . ( 3) 公式vt= v0+ at, x = v0t + at2/2, vt2- v02= 2ax等仅适用于匀变速直线运动, 而机车以恒定功率起动过程是变速直线运动, 故公式应用范围有限. 针对变加速直线运动问题应从动能定理来确定其位移.

动能定理内涵丰富, 解决问题简洁、实用, 是其他物理规律和定理无法比拟的, 应熟练掌握.

参考文献

16.动量定理应用题型归类分析 篇十六

力有三大效应，即力的瞬时效应、力随空间累积效应以及力随时间累积效应，三大效应分别对应着牛顿第二定律、动能定理及动量定理.力的三大效应是解决力学问题的三大基本途径（对应于动能定理与动量定理的还有两大守恒定律，即机械能守恒定律与动量守恒定律）.本文试就对其中的力随时间累积效应——动量定理的理解与应用做一小结，以期能对高中物理教与学起到一点微薄之作用.

1 动量定理的理解

动量定理的表达式为I合=ΔP或F×Δt=ΔP.对该表达式主要掌握以下五个方面内容：一是注意公式的矢量性，表达式中冲量、动量、动量的变化量以及力均是矢量，其运算法则遵守平行四边形定则，特别需要提醒的是关于ΔP的计算.二是注意方程左边是合外力冲量，强调“合”与“外”，应用动量定理解题时注意“内”“外”有别.三是注意方程右边是动量的变化量而非动量；四是如果把冲量写成F合=ΔpΔt=mΔvΔt=ma，则必须要求F是恒力或者是平均力，变力的冲量只能写成I；五是通过公式的变形 ，由此不难看出动量定理是牛顿第二定律的微元表达式再通过累加求和而来.

2 动量定理的应用题型归类分析

2.1 求解匀变速曲线运动中的动量变化量

求解Δp一般有两种方法，一是根据Δp的表达式Δp=pt-p0求解.因动量是矢量，故上述表达式为矢量之差，需根据平行四边形定则求解，一般较繁；二是根据动量定理Δp=I合，如能求出合外力的冲量，则可简单快捷地求出动量的变化量Δp.特别是当合外力为定值时更是如此，因为此时的I合就等于F合t，求解合外力冲量将变得非常简单.

例1 把一个质量为1 kg的物体以10 m/s的初速度水平抛出，不计空气阻力，求抛出后第2 s内物体的动量变化了多少？（g取10 m/s2）

解析 题中要求动量的变化量，如果直接根据Δp=pt-p0也能做，但因为涉及到矢量计算，比较麻烦.根据动量定理，物体动量的变化量等于合外力的冲量，因本题中的合外力是重力，为恒力，故其冲量计算非常简单，IG=mgt，故Δp=mgt=1×10×1=10 kgm/s方向竖直向下.

2.2 求解变力冲量

变力的冲量不能直接套用公式I=Ft（类似于功的计算式W=Fxcosθ）求解，要求解变力冲量（类似于求解变力做功）可选择的方法有：平均值法，即求出变力的平均力，再代入公式I=t求出变力的冲量.只是平均力能否应用公式=F1+F22一定要注意其使用条件，千万不能乱套公式.F-t图象法：画出F-t图象，算出该图象与横坐标（时间轴）包围的面积就是所求的冲量.另外还有微元法等等不一而足，只是这些方法都有相应的条件，只有符合这些特定的条件才能使用上述这些方法，有较大的局限性，故求解变力冲量的基本方法是应用动量定理求解.

例2 用長为l的细绳拴住一个质量为m的小球在光滑的水平桌面上做速度大小为v的匀速圆周运动，求小球运动半周过程中细绳拉力的冲量.

解析 小球受三个力作用，其中重力与支持力相平衡，绳子拉力提供小球做圆周运动所需的向心力，其大小等于mv2l保持不变，但方向不断变化，故绳子拉力属于变力，其冲量千万不能应用I=Ft=mv2l×πlv=πmv计算.正确的求解应该列动量定理方程，由动量定理（规定末速度方向为正方向）得：I=Δp=mvt-mv0=mv-m（-v）=2mv，方向与末速度方向相同.

2.3 应用动量定理解释实际生活中的现象

动量定理在实际生活中有着广泛的应用，实际生活中的许多现象都可用动量定理加以解释，具体可分为两类.

2.3.1 物体的动量变化量Δp基本为定值，相互作用时间Δt不同，相互作用力大小不一样，Δt大，力就小；Δt小，力就大.这类问题在实际生活中是最普遍的.如体育比赛中的一系列保护措施都可概括为通过延长相互作用的时间来达到减小相互作用力，从而达到保护人体不受伤害的目的.如跳高比赛中垫上柔软的海绵垫、跳远比赛中的沙坑、接篮球时手应该随球往后退缩、从高处跳落到地面时要双腿弯曲等等.除此以外还有如钉钉子时要用铁锤而不用橡皮锤（减小相互作用时间，增大相互作用力）、貼大理石地面时要用橡皮锤而不用铁锤（增大作用时间，减小相互作用力）等等不一而足.

2.3.2 物体受力基本为定值，相互作用时间不同，其Δp不同，即物体运动状态变化不一样.

例3 如图1所示，物块B叠放在木板A上，若缓慢拉动木板A，则B将随着A一起向前运动；若快速拉动A，则物块B几乎停落在原处，试解释此现象.

解析 物块B受到的重力与支持力平衡，水平方向上只受A对B的摩擦力.如果缓慢拉动A，则A和B之间相互作用时间长，冲量较大，故其运动状态变化较大，B物块跟随A一起运动.如果快速拉动A，由于A和B之间作用时间短，冲量小，故B物块的运动状态变化较小，所以B物块几乎仍然静止在原处.

例4 如图2所示，小球用两根完全相同的细线悬挂在天花板上，现对B线施加竖直向下的拉力F，若缓慢增大F，则A、B线中哪根线先断？若快速拉动B线，则情况又如何？

解析 若缓慢增大拉力F，则细线B中的拉力就等于F，而细线A中的拉力为F+G（G为小球重力），显然A中拉力大于B中拉力，故线A先断；若快速向下拉动B线，则B线先断，因为快速拉B时，球A的冲量很小（时间很短），其Δp也很小，即球的运动状态几乎不变，仍然处于静止，故A线中的拉力几乎仍然等于原来的值不变，所以快速拉动时先断的是B线.

2.4 碰撞过程中平均冲击力的计算

所谓平均冲击力就是在较短时间内相互撞击物体间的弹力，因作用时间很短，所以一般该力较大，且一般是变力，故求解的是其平均值.

例5 质量为1 kg的小球从距地面高为H=5 m处由静止开始下落，小球与地面碰撞后能反弹到距地面h=3.2 m高处.若小球与地面相互作用时间为0.1 s，求小球对地面的平均冲击力多大？不计空气阻力，g取10 m/s2.

解析 所谓的平均冲击力实际上就是小球对地面的压力，只是因为过程时间很短，力较大，故取名为冲击力.设小球下落到地面时的速度为v1，则由v1=2gH得v1=10 m/s.反弹后的速度设为v2，则由v2=2gh=8 m/s.小球与地面碰撞过程中受两个力，如图3所示（强调一：应用动量定理解题同样需要受力分析，本题典型错误就是丢掉重力，误以为平均冲击力就是物体的合力）.以竖直向上为正方向（建立正方向是提醒注意动量定理的矢量性），

则（F-mg）×Δt=mv2-m（v1）=mv2+mv1，

代入数据解得F=190 N.

注：本题也可应用动量定理的全程应用：设下落时间为t1，则t1=2Hg=1 s，反弹时间设为t2=2hg=0.8 s.从下落开始到反弹到最高点全程应用动量定理有

FΔt=mg（t1+t2+Δt）=0-0，

解得F=mgt1+t2+ΔtΔt=190 N.

2.5 连续作用体问题的处理

所谓的连续作用体是指作用对象是连续不断的无数个微粒，如风或者水流等，解决此类问题的关键是找到相互作用的研究对象，进而对其列出相应的动量定理方程即可.

例6 用高压水枪水力采煤，假设水枪的横截面积为S，水流喷出的速度为v，并假设水流冲击煤层后顺着煤层流下，不考虑水在空中的速度变化，求煤层受到的水的平均冲击力，设水的密度为ρ.

解析 在t秒内能与煤层撞击的水距煤层的水平距离应为vt（水在空中做匀速直线运动），如图4中阴影部分，这部分水的质量为m=ρSvt，根据题意水与煤层撞击后将沿煤层流下，说明撞击后的水不会反弹，即撞击后水在水平方向上的速度为零，根据动量定理有

-Ft=0-mv=-ρSvtv，

所以F=ρSv2.

2.6 匀变速运动中时间问题的求解

解决匀变速运动问题的方法最多，力学的三大效应对应的基本规律均可解决此类问题，其中又以应用牛顿运动定律结合运动学公式求解最为广泛，主要是因为高中物理学习过程中先学运动学公式，紧接着学习牛顿定律，且花较长时间进行相关习题的训练，学生印象较深.实际上在解题过程中为快速解题应该是先守恒（机械能守恒、动量守恒）、再定理（动能定理、动量定理）、最后再考虑牛顿运动定律，当然这只是一般解题顺序并不能绝对化，不过在匀变速运动问题中如果涉及到时间问题（已知或待求），不涉及加速度这一物理量（已知或待求），则应优先选用动量定理求解.

例7 A、B两物体以相同的动能在动摩擦因数相同的水平地面上滑动，A的质量大于B的质量.则其滑行时间大小关系正确的说法是：

A.A滑行时间长 B.B滑行时间长

C.两者滑行时间相等D.无法比较滑行时间的长短

解析 A、B兩物体在水平面上均做匀减速直线运动，因不涉及加速度，故采用动量定理求解比较方便，根据动量定理有

-μmAgtA=0-PA=-2mAEk，

所以tA=1μg2EkmA，

从式中可看出滑行时间与物体质量的根号成反比.因A的质量大，故A的滑行时间短，答案选择B.

注：本题还有若干变化，比如把动能相等改成动量相等，把动摩擦因数相同改成所受到的摩擦力相等，所求问题还可以比较它们的滑行位移大小等等.

例8 如图5所示，光滑水平面上有一质量为M的木板处于静止状态，一质量为m的物块（可看作质点）以初速v0滑上木板，物块与木板之间的动摩擦因数为μ，设木板足够长，求：（1）木板最快的速度；（2）物块相对木板滑行的时间.

解析 对木板与物块组成的系统而言合外力为零，故整体满足动量守恒，其中木板从静止开始做匀加速直线运动，而物块做匀减速直线运动，直到两者速度相等，所以两者速度相等时为木块的最快的速度.由动量守恒得：mv0=（m+M）v，所以v=mv0m+M.对木板（也可对物块运用动量定理，但物块的动量变化要比木块复杂，故选取木板为研究对象，这就是物理解题中通过恰当选择研究对象，从而使解决物理问题变得更简单快捷）运用动量定理得μmgt=Mv-0，解得t=Mv0μ（m+M）g.

2.7 动量定理的整体（对象与过程）应用

通常情况下动量定理是用来研究单个物体的，但也能应用于多个物体组成的系统，而且恰当的运用这种“整体法”，往往更加简便、快捷，解题的优越性显得更为突出.此时动量定理的方程为：系统受到的合外力的冲量（强调“外”）等于系统内每个物体的动量增量的矢量和，即I合外=Δp1+Δp2+…

例9 如图5所示，设质量为M的木板静止在动摩擦因数为μ的水平面上，质量为m的木块以初速v0滑上木板，设经过时间t物块与木板刚具有共同速度，求此速度是多大？

解析 以初速度方向（水平向右）为正方向，整体受到的合外力就是地面对木板的摩擦力（物块与木板之间的摩擦力为系统的内力，且物块与木板之间动摩擦因数未知），对整体应用动量定理有

-μ（m+M）gt=（m+M）v-mv0，

解得v=mv0m+M-μgt.

例10 质量为M的铁块与质量为m的木块用细线相连，在水中从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动.如图6所示，经过时间t1细线突然断了，又经过时间t2，木块停止下沉，求此时铁块的速度.不计水的阻力.

17.二项式定理教学反思 篇十七

汾口中学

叶轶群

《二项式定理》这节内容我采用以知识点 “问题串”的形式引导学生自主探究的教学方法，在循序渐进中以小问题带动大问题，环环相扣，将知识点落实。而学生在自主讨论中，初步认识二项式定理是初中多项式乘法的继续，初步掌握展开式的规律，充分而有效地训练了学生的思维。

整节课在学生讨论探究中进行，通过一连串层层递进的问题，引导学生掌握展开式形成的规律，比如：(问题1：请在多项式中圈出能得到(a+b)4展开式中的项a4 b0的单项式a：(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)---------问题2：请在多项式中用不同颜色的笔标出得到(a+b)4展开式中的项a3 b的单项式a和b(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)------------问题3：请你用组合的观点来探究(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)展开式中的项a2 b2的系数)以上三个问题由浅入深，由简单到复杂，引导学生体验(a+b)4展开式中的特殊项得来的过程，通过学生自己用笔动手圈注和问题“你是如何做到标注时不重复无遗漏的？”的引导，让学生自己体验的到这些特殊的项需要两个步骤：先取b再取a，进而可以轻而易举的把对特殊项的探究的方法转移到计数原理上来。然后马上引

导学生完成问题4：类比以上探究项a4b0和a3b 及a2b2构成规律的方法，请你写出(a+b)4 二项展开式的每一项（把展开式按照a的降幂,b的升幂进行排列）(a+b)4 ＝ ____。

在这个过程中非常具有挑战性问题的引入能使学生产生新奇感，激发了学生的学习兴趣和积极性．进一步把这一研究方法推广到展开式的每一项，从而得到(a+b)4二项展开式，又把这一问题往前推进了一步，引导学生找出展开式的通项，进而推广到一般情形。

教学中我特别注重运用通项意识，凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式，然后再据题意进行求解。但也有意外出现，对于二项式定理的逆运用，上课过程中重视不够，以为学生在推导展开式的同时也能够推导它的逆公式，所以在上课过程中一笔带过，导致作业中的问题比较多，基于此，在另一个班级的教学中，我决定把这个知识点跟展开式的推导融为一体来落实知识点。

本节课的亮点：

1、从“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法，带给学生积极的情感体验和无尽的思考．数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现．

2、课堂小结顺其自然地引导学生把握知识之间的内在本质联系，引导学生用扩展、深化等方式提出新问题，并用问题链引向课外或后续课程。

3、掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理

有机结合起来，教学过程中，学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发他们发现一般性问题的解决方法

4、本节课教学，我采用“问题――探究”的教学模式，以“问题链”组织课堂教学，让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课不足之处：

1、我认为在师生互动环节中再多一些效果会更好。但是我认为这样面对学生的展示课,难以操作.因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错.否则,对于有一定难度的数学课。

2、本节课教学过程中还不够生动有趣。正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？

18.勾股定理应用优秀教案 篇十八

教学课题：勾股定理的应用

教学时间(日期、课时)：

教材分析：

学情分析：

教 学目标：

能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.

在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化” 思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值.

教学准备

《数学学与练》

集体备课意见和主要参考资料

页边批注

教学过 程

一. 新课导入

本课时的教学内容是勾股定理在实际中的应用。除课本提供的情境外，教学中可以根据实际情况另行设计一些具体情境，也利用课本提供的素材组织数学活动。比如，把课本例2改编为开放式的问题情境：

一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑0.5m，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流 .

创设学生身边的问题情境，为每一个学生提供探索的空间，有利于发挥学生的主体性;这样的问题学生常常会从自己的生活经验出发，产生不同的思考方法和结论(教学中学生可能的结论有：底端也滑动 0.5m;如果梯子的顶端滑到地面 上，梯子的顶端则滑动8m，估计梯子底端的滑动小于8m，所以梯子的顶端 下滑0.5m，它的底端的滑动小于0.5m;构造直角三角形，运用勾股定理计算梯子滑动前、后底端到墙的垂直距离的差，得出梯子底端滑动约0.61m的结论等);通过与同学交流，完善各自的想法，有利于学生主动地把实际问题转化为数学问题 ，从中感受用数学的眼光审视客观世界的乐趣 .

二. 新课讲授

问题一 在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米?

组织学生尝试用勾股定理解决问题，对有困难的学生教师给予及时的帮助和指导.

问题二 从上面所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗?与同学交流.

设计问题二促使学生能主动积 极地从数学的角度思考实际问题.教学中学生可能会有多种思考.比如，①这个变化过程中，梯子底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大;②因为梯子顶端 下滑到地面时，顶端下滑了8m，而底端只滑动4m，所以这个变化过程中，梯子底端滑动的距离不一定比顶端下滑的`距离大;③由勾股数可知，当梯子顶端下滑到离地面的垂直距离为6m，即顶端下滑2m时，底端到墙的垂直距离是8m，即底端电滑动2m等。教学中不要把寻找规律作为这个探索活动的目标，应让学生进行充分的交流，使学生逐步学会运用数学的眼光去审视客观世界，从不同的角度去思考问题，获得一些研究问题的经验和方法.

3.例题教学

课本的例1是勾股定理的简单应用，教学中可根据教学的实际情况补充一些实际应用问题，把课本习题2.7第4题作为补充例题.通过这个问题的讨论，把“32+b2=c2”看作一个方程，设折断处离地面x尺，依据问题给出的条件就把它转化为熟悉的会解的一元二次方程32+x2=(10—x)2，从中可以让学生感受数学的“转化”思想，进一步了解勾股定理的悠久历史和我国古代人民的聪明才智.

三. 巩固练习

1.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km，乙往南走了6km，这时甲、乙两人相距__________km.

2.如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程( 取3)是( ).

(A)20cm (B)10cm (C)14cm (D)无法确定

3.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m.求这块草坪的面积.

四. 小结