直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练

直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练（精选8篇）

1.直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练 篇一

5.1平行关系的判定

---直线与平面平行的判定

高一朱丽珍

【教学目标】

1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理

2.把线面平行关系（空间问题）转化为线线平行关系（平面问题）

3.了解空间与平面互相转换的思想，激发学生的学习兴趣

【教学重点】

直线与平面平行的判定定理；线面平行关系与线线平行关系的转换

【教学难点】

线面平行关系与线线平行关系的转换

【教学方法】

启发诱导与自主探究

【教学过程】

（一）复习引入

一条直线与一个平面有哪些位置关系？

①直线a在平面内②直线a与平面相交③直线a与平面平行 提问：如何判定一条直线与一个平面平行？

（二）新课讲解

实例探究：①门扇绕着门框转动观察另一边与门框所在平面位置关系②转书过程观察书沿与桌面的位置关系

归纳出线面平行的判定定理:若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

符号表示：若a,b,a∥b，则a∥

简述为：线线平行线面平行

（三）例题选讲

例

1、空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，证明:直线EF与平面BCD平行

例

2、在长方体ABCD-A1B1C1D1各面中，(1)与直线AB平行的平面有：

(2)与直线AA1平行的平面有：

（四）反馈训练

正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，证明BD1∥平面AEC

（五）归纳总结

1、直线与平面平行的判定定理：线线平行线面平行

2、应用判定定理时,应当注意三个不可或缺的条件

（六）布置作业：课本P 31 练习第3题

2.直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练 篇二

立体几何中的直线和平面的平行关系, 作为平行关系的核心, 是学习立体几何推理论证的开始, 也是研究空间特殊位置关系的一个重要方面, 学生在学习过程中感到比较困难的是如何构造图形 ( 作辅助线) , 寻求“线线平行”与“线面平行”的相互转化. 为了使学生能够尽快学会“用图形语言进行交流”, 我们可以在学生有了一定的感官认识的基础上, 给学生总结出几种常见的模型, 要求学生连同“直线与平面平行的判定定理和性质定理”一起记住, 在处理相关问题时, 最初可以先学会对号入座, 符合哪一种模型就模拟哪一种进行构图、推理. 经过训练, 学生就能更快地学会、理解、掌握空间几何中的推理论证方法.

总结平行关系中的构图方法和证明方法, 我们会发现, 最有代表性的是以下四种模型:

模型一如图1 ( 为便于区别, 图1、图2、图3把新作出或寻找到的线画成虚线) , 已知: 线段EA交平面α于点B, B为EA的中点, 要证EF∥平面α, 只需连接AF交平面α于点C, 考查BC与EF是否平行. 显然, 证明点C是线段AF的中点, 则BC就是三角形AEF的中位线, 就有BC∥EF, 利用直线与平面平行的判定定理即可得到结论.

例1如图1 - 1, 已知: 在底面是平行四边形的四棱锥P - ABCD中, 点E是PD的中点. 求证: PB∥平面EAC.

分析观察图形, 结合已知条件, 可以看到, 在线段PB与平面EAC之间的诸多联系中, 最为特殊、与已知条件联系比较紧密的是线段PED, 注意到PD交平面EAC于点E且点E是PD的中点, 联系PB, PD与平面EAC的位置关系, 不难发现: 只要找出线段BD的中点即可, 符合模型一. 故连接BD交AC于点O, 连接EO ( 如图1 - 2) , 只要证明EO∥PB问题就迎刃而解. ( 证明略)

评析观察图形时, 尤其要关注一些特殊的部位, 平行问题中, 找 ( 作) 平面内的直线与平面外的直线平行的依据是直线与平面平行的判定定理, 找线段中点, 构造三角形中位线来解决是个好途径好方法, 同时如果在分析问题过程中把考察的对象从空间图形中“抽取”出来 ( 所要考察的直线和平面, 本例如图1 - 3) , 注意它们之间的联系, 局部分析, 整体考虑, 那么更容易对号入座, 寻求方法.

模型二如图2, 已知: 平面α外一点A及平面α内一点B, E为线段AB的中点, 要证EF∥平面α, 只需连接AF并延长交平面α于点C, 考查EF与BC是否平行. 显然, 证明点F是线段AC的中点, 则EF就是三角形ABC的中位线, 就有BC∥EF, 利用直线与平面平行的判定定理即可得到结论.

例2如图2 - 1, 已知有公共边AB的两个平行四边形ABCD和ABEF不在同一平面上, P, Q分别是对角线AE和BD的中点. 求证: PQ∥平面EBC.

分析观察图形, 在经过点P或点Q的所有线段中, 线段APE与平面EBC的关系恰好符合模型二的特征, 结合平行四边形的性质, 连接AC ( 如图2 - 2) , 因为点Q是平行四边形ABCD的对角线BD的中点, 所以点Q在AC上且为AC的中点, 故PQ是三角形AEC的中位线, 问题得以解决. ( 证明略)

评析和模型一相比, 模型二也利用了寻找中点构造三角形中位线的方法解决问题, 但二者之间还是有着微妙的差异的. 例2在分析过程中如果把所考察的直线和平面从复杂的原图形中“抽”出来 ( 如图2 - 3) , 就能很清楚地看出如何添加辅助线, 从而使问题迎刃而解. 从复杂图形中“抽”出我们的研究对象, 使问题的特征更凸显更直观, 是分析空间问题的一个有效的技巧和方法.

模型三如图3, 已知: 平面α外的一条线段EF, A为平面α内一点, 要证EF∥平面α, 只需过点F作FB∥EA交平面α于点B, 判断四边形ABFE是否是平行四边形. 事实上, 在四边形ABFE中, 已经有FB∥EA, 只需证明FB = EA就可以了.

例3如图3 - 1, 已知: 在正方体ABCD - A'B'C'D'中, M, N分别是DD', BC'的中点, 求证: MN∥平面ABCD.

分析观察图形, 结合正方体的特征, 注意线段MN与平面ABCD的关系, 可以发现MD是它们之间比较好的一个联系, 线段的中点又是一个非常有效的分析问题的着手点, 显然符合模型三的特征, 所以只需取BC的中点E, 连接NE, DE ( 如图3 - 2) , 只要能证明MD∥NE且MD = NE, 则四边形MNED是平行四边形. ( 证明略)

评析有些图形中可能不涉及线段的中点, 无法像前两个模型那样利用三角形的中位线解决, 但我们可以体会到, 只要有相同的比例关系, 总可以构造出平行线来, 方法可以类比, 可以迁移. 本例虽然有中点出现, 也可以利用模型二解决问题: 取BC中点为E, 连接D'N并延长, 交DE延长线于点F, 证明MN是三角形D'DF的中位线即可 ( 图形略) . 但是这种方法的图形扩展到了形外, 图形构造比较复杂, 而且证明过程也相对烦琐. 对照模型三, 只要“抽”出主要元素 ( 如图3 - 3) , 构图、证明思路就一目了然.

模型四如图4, 已知: 平面α外的一条线段EF, 要证EF∥平面α, 寻找过EF的平面β, 如果平面α与平面β 平行, 那么利用“两个平面互相平行, 则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面”就可以证明直线EF∥平面α.

例4 ( 同例2, 如图2 - 1)

分析再次观察图2 - 1, 联系平面与平面平行的特征, 可以看到, 只要过PQ构造一个平面与平面EBC平行, 利用两个平面平行的定义就可解决问题, 考虑到点P, Q分别是线段AE, BD的中点, 所以可以取AB的中点R, 连接PR, QR ( 如图4 - 1) , 很容易能够证明平面PQR∥平面BEC. ( 证明略)

评析1. 观察图形时, 尤其要关注一些特殊的部位, 平行问题中, 找 ( 作) 面内的线与面外的线平行的途径是取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等, 找中点解决是个好途径好方法, 这是立体几何论证平行问题, 培养逻辑思维能力的重要思想方法, 同时要在分析问题过程中把考察的对象从空间图形中“抽取”出来 ( 所要考察的直线和平面) , 注意它们之间的联系, 局部分析, 整体考虑.

2. 一般来说, 一组线面平行关系的证明可以用上述若干种模型来证明 ( 比如例2和例4, 还可以用模型三的方法解决) , 具体使用哪一种模型, 要考虑证明过程是否简洁, 同时也要考虑是否有利于后续问题的解决. 一题多解的变式训练, 多角度考虑问题, 变换方法解决问题, 有利于培养学生思维的广阔性和深刻性, 有利于提高学生的学习效率.

3. 如果已知条件中给出直线和平面平行, 一般要利用直线和平面平行的性质定理寻求直线与直线平行, 关于线面平行的性质的应用, 同样也可以利用上述四种模型来分析构图, 从而找出“线线平行”. 这里限于篇幅, 不再举例说明.

3.直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练 篇三

本节教材在高中立体几何中占有很重要的地位，因为它与前面所学习的平面几何中的两条直线的位置关系以及立体几何中的线线关系等知识都有密切的联系，而且其本身就是判定直线与平面平行的一个重要的方法;同时又是后面将要学习的平面与平面的位置关系的基础，因此学好本节内容知识，不仅可对以前所学的相关知识进行加深理解和巩固，而且也为判断直线与平面平行增添了一种新的方法，同时又为后面将要学习的知识作了很好的铺垫作用。

教学目标

知识与技能

理解并掌握直线与平面平行的判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。

过程与方法

学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。

情感态度与价值观

学生在发现中学习，增强学习的积极性，同时让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。

教学重点

通过直观感知、操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用

教学难点

直线和平面平行的`判定定理的探索过程及其应用。

教学流程

问题引入—实例探究—抽象概括—定理讲解—例题讲解—反馈练习—归纳总结—布置作业

课 型 新授课

教学过程

1、复习引入：

问题1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面 有哪几种位置关系?

①直线a在平面内，记作a

4.证明两个平面平行 篇四

(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

2.两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面

与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3.两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。

1.两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：

(1)平行—没有公共点;

(2)相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。

2.两个平面平行的判定定理表述为：

4.两个平面平行具有如下性质：

(1)两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为：“若面面平行,则线面平行”。

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简述为：“若面面平行,则线线平行”。

(3)如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。

(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等

用反证法

A平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为p

B平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为Q

假设A和B不平行，那么一定有交点。

设有交点R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180

5.直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练 篇五

【教学目标】 1.知识与技能：

（1）通过实例，了解平面与平面平行的特点；（2）理解平面与平面平行的性质；

（3）会用平面与平面平行的性质解决实际问题.2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：

（1）平面与平面间的位置关系的判定与证明的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想 【重点难点】

1.教学重点：理解平面与平面平行的性质

2.教学难点：利用直线与平面平行的性质解决实际问题.【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题

复习：两个平面平行的判定定理：a,b,abP,a//,b////。相关性质：

1、若两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行。

2、平行于同一个平面的两个平面平行。

问题1：若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？

学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。

问题2：分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？（共面）问题3：长方体中，平面ABCD内哪些直线会与直线BD平行？怎么样找到这些直线？

（平面ABCD内的直线只要与BD共面即可）

（二）研探新知

（1）求证：BC // l；

（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论。

（三）课堂训练

1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是()A．相交

B．异面

C．平行

D．平行或异面

2．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线3.下列命题正确的是（）

A.两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合

B.若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 C.若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D.若两个平面平行，则其中的一个平面与另一个平面内的无数条直线平行

4.已知α∥β，AB交α，β于A，B，CD交α，β于C，D，AB∩CD=S，SA=6，AB=9，求CD.（四）归纳小结

1、平面与平面平行的几条性质：

（1）性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号语言：//,a,ba//b。

（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。

（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。

2、通过对性质定理的学习，大家应注意些什么？

3、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？

（五）布置作业：

课本第63页习题2.2 [B组] 第3题

，-3-

6.直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练 篇六

1.(2014·陕西高考理科·T17)(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形.(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.【解题指南】(1)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.(2)利用已知正确建立空间直角坐标系,求得平面EFGH的法向量,代入公式即可得解.【解析】(1)因为BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH, 所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG, 所以四边形EFGH是平行四边形.又由三视图可知AD⊥面BDC,所以AD⊥BC,所以EF⊥FG, 所以四边形EFGH是矩形.(2)如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),设平面EFGH的法向量n=(x,y,z), 因为EF∥AD,FG∥BC, 所以n·=0,n·=0.=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).得取n=(1,1,0), 所以sinθ=|cos<,n>|===.2．(2014·陕西高考文科·T17)(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积.(2)证明:四边形EFGH是矩形.【解题指南】(1)先利用三视图推得线线垂直,进而得AD垂直于面BDC,确定四面体的高后再求其体积.(2)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.【解析】(1)由该四面体的三视图可知, BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1, 又BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.所以四面体ABCD的体积V=××2×2×1=.(2)因为BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH, 所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG, 所以四边形EFGH是平行四边形.又因为AD⊥平面BDC,所以AD⊥BC,所以EF⊥FG, 所以四边形EFGH是矩形.3．（2014·安徽高考文科·Ｔ19）如图，四棱锥PABCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC//平面GEFH.(1)证明：GH//EF;

(2)若EB2，求四边形GEFH的面积.【解题提示】（1）由线面平行得出BC平行于线线EF、GH；

（2）设BD相交EF于点K，则K为OB的中点，由面面垂直得出GK^EF，再由梯形面积GH+EF.GK计算求解。2【解析】（1）因为BC//平面GEFH,BCÌ平面PBC，且平面PBCÇ平面GEFH=GH，所以GH//BC,公式S=同理可证EF//BC，因此GH//EF。

7.直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练 篇七

（二）1．选择题

（1）a∥，b∥，a∥b，则与的位置关系是（）

（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）一定垂直

（2）以下命题中正确的是（）

（A）在一个平面内有两个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行

（B）在一平面内有不共线的三个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面

平行

（C）在一平面内有无数个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行

（D）在一平面内的任意一点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行

（3）已知直线a，b，平面，，①a，b，a∥b；

②a，b，a∥，b∥；

③a⊥，b⊥；

④a∥b，a⊥，b⊥.以上条件中能推出∥的是（）

（A）①②（B）②③（C）①④（D）③④

2．填空题

（1）当∥时l⊥，则l与的关系是；

（2）当∥，∥，则与的关系是

8.直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练 篇八

·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.理解以下性质定理，并能够证明：

·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.·如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.·垂直于同一个平面的两条直线平行.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.一、直线与平面平行的判定与性质

1．直线与平面平行的判定定理

文字语言

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行⇒线面平行

图形语言

符号语言

a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α

作用

证明直线与平面平行

2．直线与平面平行的性质定理

文字语言

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行⇒线线平行

图形语言

符号语言

作用

①作为证明线线平行的依据．

②作为画一条直线与已知直线平行的依据.二、平面与平面平行的判定与性质

1．平面与平面平行的判定定理

文字语言

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.简记为：线面平行⇒面面平行

图形语言

符号语言

a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α⇒α∥β

作用

证明两个平面平行

2．平面与平面平行的性质定理

文字语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.简记为：面面平行⇒线线平行

图形语言

符号语言

作用

证明线线平行

3．平行问题的转化关系

三、常用结论（熟记）

1．如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

2．如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．

3．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．

4．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

5．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

6．如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．

7．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．

8．如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．

考向一

线面平行的判定与性质

线面平行问题的常见类型及解题策略：

(1)线面平行的基本问题

①判定定理与性质定理中易忽视的条件．

②结合题意构造图形作出判断．

③举反例否定结论或反证法证明．

(2)线面平行的证明问题

判断或证明线面平行的常用方法有：

①利用线面平行的定义(无公共点)；

②利用线面平行的判定定理()；

③利用面面平行的性质()；

④利用面面平行的性质().(3)线面平行的探索性问题

①对命题条件的探索常采用以下三种方法：

a.先猜后证，即先观察与尝试，给出条件再证明；

b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；

c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．

②对命题结论的探索常采用以下方法：

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.典例1

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列命题：

①若m∥α，n∥α，则m∥n；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，m∥β，则α∥β；

④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.其中正确的有________．（填序号）

【答案】④

1．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是

A．

B．

C．平面

D．平面

典例2

如图，四棱锥中，，，分别为线段，的中点，与交于点，是线段上一点.（1）求证：平面；

（2）求证：平面.学#

（2）如图，连接，∵，分别是，的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面.又∵是的中点，是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.又∵，∴平面平面，又∵平面，∴平面.2．如图，在四棱锥中，平面是的中点.（1）求证:平面;

（2）求三棱锥的体积.考向二

面面平行的判定与性质

判定面面平行的常见策略：

(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．

(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．

(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．

(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).典例3

如图，直角梯形与梯形全等，其中，且平面，点是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面的距离．

易知，由，得，即，∵平面平面，∴平面与平面间的距离为．

3．如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面中心，⊥底面ABCD，.（1）证明：平面∥平面；

（2）求三棱柱的体积．

1．已知直线和平面，满足，则“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．平面α与平面β平行的条件可以是

A．α内的一条直线与β平行

B．α内的两条直线与β平行

C．α内的无数条直线与β平行

D．α内的两条相交直线分别与β平行

3．平面与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与的位置关系是

A．异面

B．相交

C．平行或相交

D．平行

4．下列命题中，错误的是

A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行

B．平行于同一个平面的两个平面平行

C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行

D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

5．如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则HG与AB的位置关系是

A．平行

B．相交

C．异面

D．平行和异面

6．设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是

A．，则

B．，则

C．,则

D．，则

7．在长方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是

A．矩形

B．菱形

C．平行四边形

D．正方形

8．如图,正方体中,分别为棱的中点,则在平面内且与平面平行的直线

A．有无数条

B．有2条

C．有1条

D．不存在9．正方体的棱长为3，点E在上，且，平面α∥平面（平面α是图中的阴影平面），若平面平面，则AF的长为

A．1

B．1.5

C．2

D．3

10．在正方体中,分别是棱的中点,是与的交点,平面与平面相交于,平面与平面相交于,则直线的夹角为

A．

B．

C．

D．

11．如图，直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形的内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为

A．

B．

C．

D．

12．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．

13．如图,在长方体中，E,F,G,H分别为CC＇,C＇D＇,D＇D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH内运动,则M满足　　　　　　　　　　时,有MN//平面B＇BDD＇．

14．下列四个正方体图形中,为正方体的两个顶点,分别为其所在的棱的中点,能得出平面的图形的序号是

．

15．如图,已知空间四边形ABCD,E,F,G,H分别是其四边上的点且共面,AC∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当EFGH是菱形时,=.16．如图，棱长为2的正方体中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________.17．如图，三棱柱的侧棱⊥底面，E是棱的中点，F是AB的中点，.（1）求证：CF∥平面；

（2）求三棱锥的高．

18．如图,四边形与均为平行四边形，分别是的中点.(1)求证:

平面;

(2)求证:平面平面.19．如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?

(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.20．如图,四边形中,===分别在上，现将四边形沿折起,使.(1)若,在折叠后的线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;

(2)求三棱锥的体积的最大值,并求出此时点到平面的距离.1．（2016浙江理科）已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足

则

A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

2．（2016新课标全国Ⅱ理科）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有

.(填写所有正确命题的编号）

3．（2018江苏节选）在平行六面体中，．

求证：．

4．(2017新课标全国Ⅱ理科节选)如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点．

（1）证明：直线平面PAB.5．（2017北京理科节选）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（1）求证：M为PB的中点.6．（2016山东理科节选）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（1）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.7．（2016新课标全国Ⅲ理科节选）如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（1）证明MN∥平面PAB.8．（2016四川理科节选）如图，在四棱锥中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．

（1）在平面PAB内找一点M，使得直线平面，并说明理由.变式拓展

1．【答案】C

2．【解析】（1）取PB中点M,连接AM,MN.∵MN是△BCP的中位线,∴MN∥BC,且MN=BC.∴三棱锥N−ACD的体积是.#网

3．【解析】（1）由题设知，BB1DD1，∴四边形是平行四边形，∴.又BD⊄平面，⊂平面，∴BD∥平面.∵BC，∴四边形是平行四边形，∴.又⊄平面，⊂平面，【名师点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——割补法、等体积法．

①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．

②等体积法：应用等体积法的前提是几何体的体积通过已知条件可以得到，利用等体积法可以用来求解几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计算得到高的数值．

考点冲关

1．【答案】A

【解析】若，由线面平行的判定定理可得，若，则与可以是异面直线，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A.2．【答案】D

【解析】若两个平面α,β相交,设交线是l,则有α内的直线m与l平行,得到m与平面β平行,从而可得A是不正确的;而B中两条直线可能是平行于交线l的直线,所以也不能判定α与β平行;C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线,因此也不能判定α与β平行.由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的.3．【答案】D

【解析】在中，因为，所以，又平面，平面，所以平面，选D．

4．【答案】C

【解析】如果两个平面平行，则位于这两个平面内的直线可能平行，可能异面．

8．【答案】A

【解析】如图所示,延长D1F交直线DC于点P,连接PE并延长,交DA的延长线于点R,连接RD1,交AA1于Q,则QD1是平面与平面的交线,在平面内,与直线QD1平行的直线有无数条,由直线与平面平行的判定定理可知,这无数条直线与平面都平行,故答案为A．

9．【答案】A

【解析】因为平面α∥平面，平面平面，平面平面，所以.又，所以四边形是平行四边形，所以，所以.10．【答案】D

【解析】如图所示，∵E，F分别是棱的中点,∴EF∥AC，则平面即平面EFCA与平面相交于,即直线m；由CF∥OE，可得CF∥平面OD1E，故平面与平面相交于n时，必有n∥CF，即m//n,则直线的夹角为0.11．【答案】A

【解析】因为AC,所以平面.取中点N,因为,所以平面，从而平面平面,即动点的轨迹为线段HF,因此长度为4，选A．

12．【答案】平行

13．【答案】M在线段FH上移动

【解析】当M在线段FH上移动时,有MH//DD＇.而HN//BD,∴平面MNH//平面B＇BDD＇.又MN⊂平面MNH,∴MN//平面B＇BDD＇.14．【答案】①④

【解析】对于①,该正方体的对角面平面得出平面;

对于②,直线与平面不平行;

对于③,直线与平面不平行;

对于④,直线与平面内的直线平行.15．【答案】

【解析】∵AC∥平面EFGH,AC⊂平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EF,∴AC∥EF.∴.①

由四边形EFGH是菱形知EH∥FG,EH⊄平面BCD,FG⊂平面BCD,∴EH∥平面BCD．

而EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴EH∥BD,∴.②

由①②得.又EF=EH,AC=m,BD=n,所以.学#

16．【答案】

17．【解析】（1）如图，取的中点G，连接EG，FG．

（2）∵三棱柱的侧棱⊥底面ABC，∴⊥平面ABC．

∵AC⊂平面ABC，∴，∵，∴，∵平面平面，∴AC⊥平面，∵平面，∴，18．【解析】(1)连接,则必过与的交点,连接,则为的中位线,所以,#网

又平面平面，所以平面.(2)因为分别为平行四边形的边的中点,所以,又平面平面,所以平面.又为中点,所以为的中位线,所以,又平面平面,所以平面,又与为平面内的两条相交直线,所以平面平面.【名师点睛】在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定定理.（1）应用判定定理证明线面平行的步骤：

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．

（2）利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤:

第一步：在一个平面内找出两条相交直线；

第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；

第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．

19．【解析】(1)如图所示,取D1为线段A1C1的中点,此时=1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,得BC1∥D1O,∴.又平面AB1D1∩平面ACC1A1=AD1,平面BDC1∩平面ACC1A1=DC1,∴AD1∥DC1,∴AD=D1C1,DC=A1D1,∴=1.20．【解析】(1)线段上存在一点,使得平面,此时.在中,由余弦定理得===,学@

∴=,==,设点到平面的距离为,由于,即=,∴=,即点到平面的距离为.直通高考

1．【答案】C

【解析】由题意知，．故选C．

【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，也可借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．

2．【答案】②③④

【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线面位置关系.3．【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．

因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．

4．【解析】（1）取的中点，连接，．

因为是的中点，所以∥，由得∥，又，所以，即四边形是平行四边形，所以∥．

又平面，平面，故平面．

5．【解析】（1）如图，设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为四边形是正方形，所以为的中点，所以为的中点.6．【解析】（1）设的中点为,连接,7．【解析】（1）由已知得.取的中点，连接，由为中点知，．

又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面．