立体几何题证明方法

2024-11-22

立体几何题证明方法（共17篇）

1.立体几何题证明方法篇一

立体几何平行证明题常见模型及方法证明空间线面平行需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

平行转化：线线平行线面平行面面平行；

类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）

（1）方法一：中位线法以锥体为载体

例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：PB∥平面AEC；

变式1：若点M是PC的中点，求证：PA||平面BDM；

变式2：若点M是PA 的中点，求证：PC||平面BDM。EAB变式3如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，(2)以柱体为载体

例2在直三棱柱ABCA1B1C1,D 为BC的中点，求证：AC1||平面AB1D

变式1 在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式2在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式 3如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=，AC=BC=2，∠C=90°，点D是A1C1的中点.求证：BC1//平面AB1D；

方法2：构造平行四边形法

例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，E、F

分别为AB,SC的中点．证明○1EF∥平面SAD○2BF∥平面SDE S

变式1：若E、F分别为AD,SB的中点．证明EF∥平面SCD

变式2若E、F分别为SD,AB的中点．证明EF∥平面SCB

例2如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC

1E1E

AD1

方法3：面面平行法（略）

举一反三

1如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点.(1)求证：AF//平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；

2如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；

(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB中点．

(1)求证EF∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF的体积。

2.立体几何题证明方法篇二

常州市中考试题中有这样一题:

【例】 (本小题满分7分) 已知:如图1, △ABC和△ECD都是等腰直角三角形, ∠ACB=∠DCE=90°, D为AB边上一点.

求证: (1) △ACE≌△BCD;

(2) AD2+AE2=DE2.

无独有偶, 徐州市中考也出现这样一题:

【例】如图2, 圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起, OA=3, OC=1, 分别连结AC、BD, 则图中阴影部分的面积为 ( ) .

A.π B.π

C.2π D.4π

这两题形式不同, 但实质相同, 它们都脱胎于《数学》 (苏科版) 八年级 (上) 习题1.5第12题:

如图3, △ABC和△CDE都是等边三角形, 且点A、C、E在一条直线上.度量并比较AD与BE的大小, 你能对所得的结论说明理由吗?

容易证明, △ACD与△BCE全等, 所以AD=BE.

我们可以将△DCE看成是由△ACB绕C点旋转120度并进行等比例放缩得到, 其中点A与点D、点B与点E分别是对应点.可以看到, 对应点连线长度相等.那么是否一定要旋转120度呢?我们将条件弱化后再进行分析.

[变题1]将等边△ACB绕C点旋转任意角度并进行等比例放缩得到△DCE, 将对应点A与D、B与E分别连结, 证明:AD=BE.

当然两个三角形还可能部分重合, 如图5:

因为EC=DC, AC=BC,

易证∠ACD=∠BCE, 所以△ACD≌△BCE,

所以AD=BE.

是否一定要是等边三角形呢?我们再将条件进一步弱化.可以看到△ACD与△BCE全等的关键在于两边对应相等, 夹角相等, 而与△ABC和△DCE是否是等边三角形无关.

[变题2]将等腰△ACB绕其两腰交点C旋转任意角度并进行等比例放缩得到△DCE, 将对应点A与D、B与E分别连结, 证明:AD=BE.

当然两个等腰三角形还可能部分重合, 如图7:

在这里要注意, 等腰三角形一定要绕其两腰交点旋转并等比例放缩.

如果将等腰三角形特殊化为等腰直角三角形, 又会出现什么情形呢?

[变题3]将等腰直角△ACB绕其两腰交点C旋转任意角度并进行等比例放缩得到△DCE, 将对应点A与D、B与E分别连结, 证明: (1) AD=BE; (2) AD⊥BE.

证明: (1) ∵AC=BC, CD=CE

又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+∠BCD,

∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+∠BCD,

∴∠ACD=∠BCE.

∴△ACD≌△BCE,

所以AD=BE.

(2) ∵△ACD≌△BCE,

∴∠1=∠2.

∴∠CAB+∠CBA=∠PAB+∠1+∠CBA=∠PAB+∠2+∠CBA=∠PAB+∠PBA=90°.

∴∠APB=180°- (∠PAB+∠PBA) =90°.

∴AD⊥BE.

当然两个等腰直角三角形还可能部分重合, 如9图:

此时AD与BE仍是相等且垂直的.

推而广之, 等腰△ACB绕其两腰交点C旋转任意角度并进行等比例放缩得到△DCE, 将对应点A与D、B与E分别连结, 则有∠APB=∠ACB=∠DCE, 如图10:

同理, 当等边△ACB绕其顶点C旋转任意角度并进行等比例放缩得到△DCE, 将对应点A与D、B与E分别连结, 则线段AD、BE的交角即为60度. (证明略)

现在, 再回过头来看常州与徐州市中考题, 便能发现它们的本质是相同.如果再做些变换, 此题就变成了一道竞赛题.

[变题4]以△ABC的边AB、AC为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC, M是BC的中点, 求证MP=MQ, MP⊥MQ. (新课标数学竞赛通用教材)

思考:在这一题中, 三角形ABC是假的, 中点M也是假的, 我们考虑到等腰三角形一定要绕其两腰交点旋转并等比例放缩, 所以我们可以将三角形ABP、ACQ补形为以A为顶点的等腰直角三角形.

证明:延长CQ到F, 使QF=CQ, 延长BP到E, 使PE=BP, 则△BAE、△CAF都是等腰直角三角形.

显然, △ABF≌△AEC,

∴EC=BF, EC⊥BF,

而PM∥EC, PM=EC, MQ∥BF, MQ=BF,

∴MP=MQ, MP⊥MQ.

可以看到, 一道复杂的竞赛题可归结为一个最简单的模型:将等腰三角形绕其两腰交点旋转任意角度并进行放缩, 变换前后对应点连线相等且其交角等于等腰三角形的顶角.

3.一道几何证明题思路剖析篇三

从命题者提供答案看，是由条件BA=BA′联想到等腰三角形，进而想到证明BD为底边AA′的高，思路是顺畅的，也无可厚非，但证明用了3次三角形相似，显然超过了课程标准要求.这促使笔者深思、细研，思索着有没有其它解法？

解题是由条件出发，运用已有定义、定理、法则，通过运算、推理得到结论的过程.因此，题干条件是什么、能得到什么结论、需要什么条件、条件与结论之间用什么方法打通、有哪些思路，这是解题者必须思考的问题.那么该题有其它通性通法吗？

结合本题，结论是证明D为AA′的中点，那么，遇到中点问题（已知中点或证明中点）我们还可以想到什么呢？从另一角度考虑，是否可以构造“8”字型或“A”字型或其他思路，这难道不是通性通法呢？

3解题反思

3.1关注解题通法，增强学生的解题能力

优秀的几何题一般存在多种解法，而辅助线通常是解决问题的桥梁，巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”，与标准答案不同的上述几种解法，其巧妙之处在于添加了辅助线，辅助线使未知与已知有了更紧密的联系，无需通过证明3次相似，证明过程大为简洁，体现了数学方法的多样性，同时也从侧面说明这是一道难得的好题，是训练学生数学思维的好素材.由此可见，通过一题多解，可以加深和巩固学生所学知识，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系，掌握各部分知识的转化关系，从而达到培养思维广阔性的目的.

3.2重视学会解题，拓展学生的思维空间

在解题教学中，题目是载体，解题是过程，方法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的，因此，解题教学切忌就题论题，片面追求容量，忽视教学功能的发掘、开发.引导学生学会解题层面的回顾与反思：如解题中用到了哪些知识？解题中用到了哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法、更一般的方法或更特殊的方法、沟通其他学科的方法、更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？

3.3关注模型思想，强化学生的识模能力

拿到一道试题，在理解题意后，立即思考问题属于哪一主题、哪一章节？与这一章节的哪个类型的问题比较接近？解决这个类型的问题有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了，这就是解题中的模式识别.运用模式识别可以简洁回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？我们说就从辨认题型模式入手，向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进.正如本文中所提到的构造“A字型”、“8字型”或“共点双垂直型”等基本模型，因此在平时的教学中，教师要引导学生从习题中提炼出常用的基本模型，再推广模型，并通过典型问题帮助学生认识模、用模，从而强化学生对基本模型的理解.

参考文献

[1]钱德春.对数学解题“繁”与“简”的辨析与思考[J].中学数学杂志，2015

（10）：17-21

[2]沈岳夫.对一道“新定义”型折叠题的解法探析[J].数理化学习（初中版），2015（11）：2-3

4.高三立体几何证明题训练篇四

班级姓名

1、如图，在长方体

ABCDA1B1C1D1中，AA1ADa，AB2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．（Ⅰ）求证：DE平面BCE；（Ⅱ）求证：AF//平面BDE．

ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且AA1面ABCD

ADAA1，F为棱AA1的中点，1的中点，M为线段BD

（1）求证：MF//面ABCD；（2）求证：MF面BDD1B1；

2、如图，已知棱柱，DAB60，

1B1

A3、如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中点，F为ED的中点。（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；（II）求证：CF//平面BAE。

4、如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。

（2）求三棱锥D

D1BC//平面C1DE；

（1）求证：BD15、如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BAABCD，E为PC的中点。PA＝AD＝AB＝1。

AD，CDAD,CD2AB,PA 底面

（1）证明：EB//平面PAD；（2）证明：BE平面PDC；（3）求三棱锥B-PDC的体积V。

6、如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，∠

1ABC = ∠BAD = 90，PA = BC =AD．(Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面PCD；

2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB ？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

D7、已知ABCD是矩形，AD4,AB2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA面ABCD.P

(1)证明：PF⊥FD；(2)在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD.A E

ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF1,M的中点。(Ⅰ)求三棱锥ABDF的体积；(Ⅱ)求证:AM//平面BDE；

8、如图，已知正方形

9、如图，矩形

是线段EF

为CE上的点，且

ABCD

中，AD平面ABE，AEEBBC2，F的体积.BF平面ACE。Ⅰ）求证：AE平面BCE；

（Ⅱ）求证；

AE//平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥CBGF

B10、如图，四棱锥P—ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．

(I)求证：平面PDC平面PAD；(II)求证：BE//平面PAD．

11、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=BC．（1）证明FO//平面CDE；（2）设BC=CD，证明EO⊥平面CDF．

C12、如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥C－BEP的体积．

13、如图，在矩形ABCD中，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′

（Ⅰ）求证：平面AC′D

⊥平面ABC′；

（Ⅱ）若AB=2，BC=1，求三棱锥C′—ABD的体积。

14、如图,在四棱锥P

ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD，且

PAPD

(Ⅰ)

AD，若E、F分别为PC、BD的中点。2

5.几何证明题篇五

姓名：_________班级：_______

一、互补”。

二、证明下列各题：

1、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠D，求证：DB//EC.E D

3ACB2、如图，已知AD//BC，∠1=∠B，求证：AB//DE.AD BCE3、如图，已知∠1+∠2=1800，求证：∠3=∠4.EC

A1 O

D F4、如图，已知DF//AC，∠C=∠D,求证：∠AMB=∠ENF.E DF

AC B5、如图，在三角形ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC上的点且DE//BC、EF//AB，求证：∠ADE=∠EFC.C

AB D6、如图，已知EC、FD与直A线AB交于C、D两点且∠1=∠2，1求证：CE//DF.CE

2B7、如图，已知∠ABC=∠ADC，BF和DE分别是∠ABC和∠ADC的平分线，AB//CD，求证：DE//BF.FDC

A E8、如图，已知AC//DE，DC//EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED.B

AC9、如图,AB⊥BF,CD⊥BF, ∠A=∠C,求证: ∠AEB=∠F.CFBDE10、如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求证：DG//AB.A

EGBCDF11、在三角形ABC中，AD⊥BC于D，G是AC上任一点，GE⊥BC于E，GE的延长线与BA的延长线交于F，∠BAD=∠CAD，求证：∠AGF=∠F.F

BCDE12、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5，求证：CE//DF.F

E 4G1AD 5 2B13、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B+∠D.A

CBED14、如上图，已知∠BCD=∠B+∠D，求证：AB//CD.15、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B-∠D.BA

C16、如上图，已知∠BCD=∠B-∠D，求证：AB//CD.17、如图，AB//CD，求证：∠B+∠D+∠BED=3600.BA

6.初中几何证明题篇六

求证:BD+CE≥DE。

1.延长EM至F,使MF=EM,连BF.∵BM=CM,∠BMF=∠CME,∴△BFM≌△CEM(SAS),∴BF=CE，又DM⊥EM，MF=EM,∴DE=DF

而∠DBF=∠ABC+∠MBF=∠ABC+∠ACB<180°，∴BD+BF>DF，∴BD+CE>DE。

2.己知M是△ABC边BC上的中点，,D,E分别为AB,AC上的点，且DM⊥EM。

求证:BD+CE≥DE

如图

过点C作AB的平行线，交DM的延长线于点F;连接EF

因为CF//AB

所以，∠B=∠FCM

已知M为BC中点，所以BM=CM

又，∠BMD=∠CMF

所以，△BMD≌△CMF(ASA)

所以，BD=CF

那么，BD+CE=CF+CE……………………………………………(1)

且，DM=FM

而，EM⊥DM

所以，EM为线段DF的中垂线

所以，DE=EF

在△CEF中，很明显有CE+CF>EF………………………………(2)

所以，BD+CE>DE

当点D与点B重合，或者点E与点C重合时，仍然采用上述方法，可以得到BD+CE=DE

综上就有：BD+CE≥DE。

3.证明因为∠DME=90°，∠BMD<90°，过M作∠BMD=∠FMD，则∠CME=∠FME。

截取BF=BC/2=BM=CM。连结DF,EF。

易证△BMD≌△FMD，△CME≌△FME

所以BD=DF，CE=EF。

在△DFE中，DF+EF≥DE，即BD+CE≥DE。

当F点落在DE时取等号。

另证

延长EM到F使MF=ME，连结DF，BF。

∵MB=MC，∠BMF=∠CME，∴△MBF≌△MCE，∴BF=CE，DF=DE，在三角形BDF中，BD+BF≥DF，即BD+CE≥DE。

分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：

(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

7.初中几何常用的直角证明方法小结篇七

1.利用高线或垂直得到直角。

这是最简单的直角证明方法, 学生需要注意的是图形中的高线或垂直带来的往往不止一个直角, 结合题意合理判断究竟该使用哪一个直角才是更应该掌握的。

2.在△ABC中, 如果∠A+∠B=90°, 那么∠C=90°。

从角度出发, 在△ABC中, ∠A+∠B=90°的条件结合三角形的内角和定理可以很轻易地得到另一个角是直角。

3.在△ABC中, 如果a2+b2=c2, 那么△ABC是直角三角形。

从边出发, 使用勾股定理的逆定理也能帮助我们证明一个三角形是直角三角形, 从而得到直角。

例1: (2011·湛江) 如图1, 抛物线y=x2+bx+c的顶点为D (-1, -4) , 与y轴交于点C (0, -3) , 与x轴交于A、B两点 (点A在点B的左侧) 。

(1) 求抛物线的解析式。

(2) 连接AC、CD、AD, 试证明△ACD为直角三角形。

(3) 若点E在抛物线的对称轴上, 抛物线上是否存在点F, 使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在, 求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在, 请说明理由。

此题也是贵州省安顺市2011年的中考试题, 在第二问中结合二次函数考查了利用勾股定理的逆定理证明直角三角形这一知识点。

解:在第一问中可轻易求出A (-3, 0) , 利用勾股定理可以很快求出AC2=18, CD2=2, AD2=20。

因为在△ACD中, AC2=18, CD2=2, AD2=20,

所以AC2+CD2=AD2,

所以△ACD是直角三角形。

4.若两直线平行, 那么产生的一对同旁内角的角平分线互相垂直。

例2:如图2, 已知AB//CD, AE、CE分别是∠BAC、∠ACD的平分线, 直线AE⊥CE吗?

证明:因为AB//CD,

所以∠BAC+∠ACD=180°,

因为AE、CE分别是∠BAC、∠ACD的平分线,

所以 $∠ 1 = \frac{1}{2} ∠ B A C ‚ ∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ A C D$ ,

所以 $∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ B A C + \frac{1}{2} ∠ A C D = \frac{1}{2} (∠ B A C + ∠ A C D) = 90 °$ ,

所以AE⊥CE。

掌握好这个模型, 那么处理其他相关的这一类型的题目就能事半功倍了。

5.一对邻补角的角平分线互相垂直。

例3:如图3, 已知:AB、CD相交于O, OE、OF分别平分∠AOC, ∠AOD,

求证:OE⊥OF。

证明:因为OE平分∠AOC, OF平分∠AOD,

所以 $∠ A Ο E = \frac{1}{2} ∠ A Ο C ‚ ∠ A Ο F = \frac{1}{2} ∠ A Ο D$ ,

因为∠AOC+∠AOD=180°,

所以 $∠ A Ο E + ∠ A Ο F = \frac{1}{2} (∠ A Ο C + ∠ A Ο D) = 90 °$ ,

所以OE⊥OF。

据我观察, 这一模型特别容易出现在证明矩形的题中。

例4: (2010·安顺) 如图4, 在△ABC中, AB=AC, AD⊥BC, 垂足为点D, AN是△ABC外角∠CAM的平分线, CE⊥AN, 垂足为点E,

(1) 求证:

四边形ADCE为矩形;

(2) 当△ABC满足什么条件时, 四边形ADCE是一个正方形?并给出证明。

如果大家对这个模型掌握得好, 相信不用我多说第一问就能很快做出解答, 同时中学平面几何中矩形的证明方法学生也能得以加强和巩固。

6.在△ABC中, 如果一边上的中线等于这条边的一半, 那么△ABC是直角三角形。

例5:如图5, 在△ACD中CD平分AB, 且CD=AD=BD,

求证:△ABC是直角三角形。

证明:因为AD=CD,

所以∠A=∠1。

同理∠2=∠B。

因为∠2+∠B+∠A+∠1=180°,

即2 (∠1+∠2) =180°,

所以∠1+∠2=90°,

即∠ACB=90°。

所以△ABC是直角三角形。

8.巧用图形变换思想证明几何题篇八

请看下面的例子.

例1如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E是BC上的点，且∠DAE=45°.试证明：以BD、DE、EC为边构成的三角形是直角三角形.

1.运用轴对称变换进行证明

证法1将△ABD、△ACE分别以AD、AE为对称轴翻折到△AFD、△AF′E.（如图1）

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，AB=AC，

∴∠BAD+∠CAE=45°，

∴ AB、AC翻折后重合于AF.

又∠DFE=∠AFD+∠AFE=∠B+∠C=90°，

∴△DFE是直角三角形.

又DF=BD，EF=EC.

∴BD、DE、EC为边构成的三角形是直角三角形.

2.运用旋转变换进行证明

证法2如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，D点落到点F处.连接EF.

∵△ACF≌△ABD，∴ AF=AD，FC=BD.

在△AEF和△AED中，∠EAF=∠EAC

+∠CAF=∠EAC+∠BAD=45°=∠EAD， AF=AD，AE为公共边，∴△AEF≌△AED.

∴EF=DE，于是在△FEC中，∠FCE=∠FCA+∠ACE=45°+45°=90°.

∴△FCE是直角三角形.

∴BD、DE、EC为边构成的三角形是直角三角形.

3.运用平移变换进行证明

例2如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，且∠B+∠C

=90°，E、F分别是AD、BC的中点，求证：EF=■（BC-AD）.

证明：将AB沿AE方向平移到EG，将DC沿DE方向平移到EH.（即过E作EG∥AB，EH∥DC，交BC于G、H）.

∵AD∥BC，∴四边形ABGE和四边形EHCD都是平行四边形.

∵E是AD中点，∴BG=AE=ED=HC.

∵F是BC中点，∴GF=BF-BG=FC-HC=FH.即F是GH的中点.

∵∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，

又∠B+∠C=90°，∴∠EGH+∠EHG=90°，∴△GEH是直角三角形.

∴ EF是直角三角形斜边GH上的中线，∴ EF= GH.

而GH=BC-BG-HC=BC-（AE+ED）=BC-AD.

∴ EF= （BC-AD）.

说明：本题也可以对图形作以下平移（如图4）：过A作AH∥DC，AG∥EF，交BC于H、G，然后证明AG是Rt△BAH斜边BH上的中线.

图形的轴对称变换、旋转变换、平移变换过程中，保持的是图形的全等，它与全等三角形的性质、判定有着密切的联系.

9.初中几何证明题思路篇九

几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的“因为”、“所以”逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等

三、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。

五、证明线段的和、差、倍、分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明角的和、差、倍、分

1.作两个角的和，证明与第三角相等。

2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。

3.利用角平分线的定义。

4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

七、证明两线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

八、证明两角不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。

4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

九、证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

5.与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。

6.利用比利式或等积式化得。

10.切线在圆几何证明题中的作用篇十

一、锁定切线与直径垂直关系，寻找解题方法

切线是圆中非常重要的一个知识点，在解有关题目时用到的知识点比较多，难度比较大，灵活性比较强。教师在分析问题的过程中要反复强调重点，归纳总结思维方式，从而加深学生的印象。在题目中如果有切线，就会有垂直，进而勾股定理在解题过程中是运用比较多的。

例1：已知：如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE。

（1）求证：∠CAD=2∠D；（2）若AB=5，AD=4，求AC的长。

分析：（1）由切线的性质得CA⊥AB，即∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得到∠1=∠AOC。由同弧所对的圆周角相等知∠D=∠ABE，由外角等于不相邻的两个内角和知∠AOC=2∠ABE故∠CAD=2∠D；

（2）连接BD，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由勾股定理求得BD=3。

由△OAC∽△BDA得OA︰BD=AC︰DA，从而求得AC的值。

解：（1）证明：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O直径，

∴AB⊥AC。则∠1+∠2=90°，又∵OC⊥AD，∴∠2+∠AOC=90°，∴∠1=∠AOC，∵OE=OB ∴∠OBE=∠OEB ∵∠AOC=∠OBE+∠OEB=2∠OBE ∴∠1=2∠OBE；∵∠D=∠ABE ∴∠1=2∠D即∠CAD=2∠D；

（2）解：连接BD，∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=90°，∵AB=5，AD=4 ∴BD=3，∵∠CAO=∠ADB=90°，∠2=∠C ∴△OAC∽△BDA，∴OA︰BD=AC︰DA，即2.5︰3=AC︰4，∴AC=10/3 。

这是一条综合性很强的题目，在本题的解题过程中我们用到了很多知识点，有切线的性质，勾股定理，同角的余角相等，相似三角形的判定，同弧所对的圆周角相等。这就要求在分析问题的过程中老师仔细讲解分析，强调重点，分解难点，使学生能把新旧知识融汇贯通，灵活运用。

二、利用切线巧建直角三角形，解决相应问题

圆是初中数学中非常重要的一块内容，而切线又是圆中一个重要的知识点，熟练掌握切线的性质，能为解题带来很大的帮助。有切线就有垂直，所以勾股定理是解决切线问题必不可少的工具，教师在讲解过程中应加以强调。

例2：已知如图，⊙O的直经为4，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上任意一点，PQ是⊙O的切线，切点为Q，求PQ的最小值是多少·

分析：因为PQ为

切线，由于切线与半径

垂直，所以△OPQ是直

角三角形。又OQ为半

径是确定的，所以在直角三角形中当一直角边确定，斜边最小时，另一直角边也最小。根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小。所以运用勾股定理即可解答。

解：作OP⊥l于P点，则OP=3。

∵OQ=2

在Rt△OPQ中，

由勾股定理得PQ=

√32-22 = √5。

这条题目看似简

单，实则很有难度。动点问题一直是学生感觉难以下手的题型，教师在分析问题时要作适当的引导，并强调在运动的过程中寻找不变的量。切线与半径垂直是切线最重要的特征，学生在解题过程中要结合勾股定理灵活解答。

三、利用直角关系，巧判切线存在

切线的判定是切线性质的逆运用，判定方法的归类可以参照性质得到，有切线就有直角，反之有直角才有切线。教师需强调证明的方法有多种，但只要抓住本质，那就万变不离其中。

例3：已知如图，AB是⊙O的直径，D是圆周上一点，连接BD并延长至点C，连接AC，过点D作 DE⊥AC于点E，请你补充一条件，求证DE是⊙O的切线。

分析：连接AD，若DE为⊙O的切线，则D为切点，所以只需证到∠EDO=90°即可。根据现有的已知条件，最简单的方法是补充AC∥OD，根据两直线平行，内错角相等可得∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线。还可补充D是BC中点，由中位线性质定理可得AC∥OD，即得到∠EDO=90°。也可补充AB=AC利用圆周角定理和三线合一可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°。

解：当AC∥OD时，∠CED=∠EDO

∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°

∴∠EDO=90°

∴DE是⊙O的切线。

当D是BC中点时，

∴CD=BD。

∵AO=BO

∴OD是△ABC的中位线

∴OD∥AC

∴DE是⊙O的切线。

当AB=AC时，如图：连接AD

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴CD=BD

∵AO=BO∴OD是△ABC的中位线，

∴DE是⊙O的切线。

本题是一条灵活性极强的综合题，它考查了如何判定切线，根据切线的判定定理，一条直线只要过半径的外端点且与半径垂直，即为圆的切线。由此可见当切点明确时，只要找到夹角为直角即可。这题介绍了三种补充条件的方法，用到了平行线的判定，中位线性质定理，三线合一等知识点。教师在讲解的过程中重点是对解题的思维方式的总结，利用一题多解锻炼学生的思维，而不是简单给出结果。

11.初中数学证明题解题方法探讨篇十一

关键词：初中数学,证明题,解题方法

一、证明题解题中“读题”的处理方法

“读题”是解证明题的第一个步骤, 它非常重要, 决定着解题“分析”的思路方向, 如果方向不明确, 或是方向错误, 就会严重降低解题的速度, 甚至得出错误的解题结果。“读题”之所以打引号, 是因为它不只是“阅读问题”这么简单, 在“读题”过程当中除了要弄清楚到底需要证明什么之外, 还应当抓准问题中所有可用的信息, 因为这些信息一般都是解题的关键[1]。

第一, 细心“读题”。在“读题”过程当中, 首先要做到细心, 不能被题目当中的陷阱迷惑, 更不要“犯经验主义”, 因为有的学生在“读题”的时候, 或觉得和曾经做过的练习题一样, 于是就直接开始写证明过程, 岂知自己连问题都没有真正弄清楚, 这是非常低级的错误。所以“读题”必须要细心、严谨, 要从头读到尾, 弄清楚到底要证明什么, 又有哪些条件和信息是可以使用的。

第二, “读题”时要记。这里的“记”包含两个方面的含义, 一个是标记, 另一个是记忆。例如:在几何证明题当中, “读题”时所获得一切条件、信息都应当在图中标记出来, 比如:读题的过程当中, 给出了直接的条件对边相等, 就可以在图中用边相等的符号将其标记出来, 这在解题“分析”过程当中非常有用, 可以直接通过看图来获得信息, 而不需要再次“读题”, 降低解题速度;同时, 还要将一些不能在图中标记出来的信息记录在大脑中, 加强记忆, 以提高解题速度。

第三, “读题”时注意引申。很多证明题解题所需的关键条件都不是直接给出的, 而是以一种更加隐晦的方式存在于问题中, 所以在“读题”的时候必须要对已知的条件进行引申, 从而获得关键的解题条件、基础信息。例如:在下面这个题当中, 平行四边形ABCD中 (图1) , 以CA为斜边作直角三角形ACE, 连结BE和DE, 若∠BED=90°, 求证:四边形ABCD都是矩形。根据四边形ABCD是平行四边形进行引申, 可得到隐含条件O是线段AC和BD的中点, 而线段AC和BD分别是直角三角形AEC和直角三角形BDE的斜边, 连结OE, 线段OE是直角三角形AEC和直角三角形BDE的斜边上的中线, 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可完成求证解题。

二、证明题解题中“分析”的处理方法

“分析”是证明题解题的核心步骤, 它和最终的解题结果正确与否直接相关。在实际的证明题“分析”过程当中, 应当掌握3种不同的思维方法。

第一, 正向思维。这是一种较为常规的思维方式, 即根据已知的条件, 逐步推论, 最终得出结果。

第二, 逆向思维。逆向思维是一种和正向思维完全相反的思维方式, 它不是根据已知的条件进行逐步推论, 而是从结论往源头进行反方向思考与分析, 看要证明结论需要哪些条件, 这些条件又要怎么获得, 然后逐步解决这些问题, 获得条件, 直到得出最后的证明结果。例如:有证明题需要证明三角形全等, 利用逆向思维就是先思考一个全等三角形具有哪些必须要的条件, 然后再看已知条件中还缺少什么条件才能证明三角形全等, 这些缺少的条件又需要怎么获得, 是否需要做辅助线……一直这样逆流而上的进行思考、分析, 就能够找到解决问题的途径, 从而证明三角形全等[2]。

第三, 正逆结合思维。正逆结合思维是一种将正向思维和逆向思维结合起来的思维方法, 在实际的解题过程当中, 可以将已知条件与需要证明的结论结合起来进行分析, 找出要证明结论所缺失的一环, 然后再想办法得出这一环, 从而得到最终的证明结果, 在现实的证明题解题中, 正逆结合思维往往是运用得最多得一种思维, 所以学生必须要掌握这种思维方法。

三、证明题解题中“书写”的处理方法

“书写”是证明题解题的最后一个环节, 它对数学符号与数学语言的应用要求较高, 任何的“因为、所以”在书写时都要符合公理、定理、推论或与已知条件相吻合。所有的表述都要有根有据, 已知条件要表达清楚, 未知条件要写清楚求得过程, 不能无中生有。证明过程书写完后, 对证明过程的每一步进行检查是非常重要的, 这是防止证明过程出现遗漏的关键。

总之, 在初中证明题的解题过程当中, 掌握正确的解题方法非常重要, 教师不仅要重视对学生基础知识的教学, 更要重视对学生证明题解题方法的传授, 这样才能让学生快速、正确的完成解题。

参考文献

[1]张绿平.分析初中数学证明题的解题策略[J].数理化解题研究 (初中版) , 2014, 11:16.

12.几何证明题的技巧篇十二

1）证明线段相等，角相等的题，通常找到线段所在图形，证明全等

2）隐藏条件：比如特殊图形的性质自己要清楚，有些时候几何题做不出来就是因为没有利用好隐藏条件 3）辅助线起到关键作用

4）几何证明步骤：依据—结论—定理切记勿忽略细微条件 5）遇到面积问题，辅助线通常做高，遇到圆，多为做半径，切线 6）个别题型做辅助线：

通过连结，延长，作垂直，作平行线等添加辅助线的方法，构造全等三角形。2遇到有中点条件时，常常延长中线（即倍长中线），或以中点为旋转中心，使分散的条件汇集起来。

3遇到求边之间的和，差，倍数关系时，通常采用截长补短的方法，求角度之间的关系时，也一样。

要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。*12.两圆的内（外）公切线的长相等。13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等。

三、证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。*11.利用半圆上的圆周角是直角。

四、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

五、证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分线的定义。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

七、证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。

八、证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。

*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。5.全量大于它的任何一部分。

九、证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。6.利用比利式或等积式化得。

十、证明四点共圆

*1.对角互补的四边形的顶点共圆。*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。

*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。*5.到顶点距离相等的各点共圆基本图形的辅助线的画法 1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰

（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线

（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。常见的辅助线做法

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

所谓“倍长中线”，就是加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

说简单一点，倍长中线就是指：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，构造全等三角形。

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边

截长:1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

13.初二上几何证明题004 篇十三

1．C如图，BD是△ABC的一条角平分线，AE∥BD，交CB的延长线于点E，F为AE的中点．求证：BD⊥BF．

EBC

2．C如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC．求证：AC垂直平分BD．

3．C如图，已知AE∥BF，AE＝BF，AC＝BD．你能判断ED与CF相等吗？请说明你的理由．

4．C如图，AB＝CD，AE＝FD，BF＝EC．求证：AF＝ED． F B

E C

5．C如图，PA＝PB，PC是△PAB的中线，∠A＝55°，求：∠B的度数．

C6．C如图：在△ABC中，AD = AE，点D、E在BC上，CE = BD，写出AB = AC的说理过程．A

14.立体几何题证明方法篇十四

【关键词】初中数学几何推理图形证明方法

【中图分类号】G633.63 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）34-0233-01

一、初中数学几何推理与图形证明教学中的缺陷

现阶段，我国的初中数学教学过程中，几何推理与图形证明是难点和重点内容之一。学生在对这部分知识进行学习的过程中，需要具备较强的抽象性思维和空间想象力。然而，现阶段我国部分初中数学教师在教学过程中，仍然沿用传统的教学模式，即在详细讲解课程重点理论知识的基础上，通过大量的习题，引导学生内化知识内容。这种教学模式在应用过程中，教师是课堂主体，学生作为客体，只能够对理论知识进行死记硬背，然而较强的理论性和逻辑性知识，不仅导致学生在记忆过程中难度较大，同时学习兴趣大大下降，在长时间的知识学习过程中，很容易产生对各种理论的混淆，学生的几何推理思维和图形证明能力无法得到有效培养。由此可见，传统以教师为主的教学模式不利于提升初中数学教学质量，新时期，教师必须从以下两方面入手，切实提升学生的解题能力，才能够为培养学生的數学素养奠定良好的基础。

二、抓住题干要素正确解题

初中数学几何推理与图形证明教学中，教师应将各种类型的例题引入课堂，帮助学生对知识点进行消化和理解才能够提升教学效率和质量。在例题的讲解中，首要任务就是培养学生正确的“读题”能力。事实上，题干看起来短小，但是其中包含了大量的关键要素，是解题和证明的关键，在读题中，教师应引导学生拆解题干，将其中的重要要素提取出来，并挖掘隐含的条件，从而为构建清晰的解题思路奠定良好的基础。如果题设相对复杂，学生更应当具备抽丝剥茧的能力，将题设中的各个要素提取出来，在对各个要素进行排列的过程中，应结合图形进行，并将这些要素应用于证明问题的过程当中。读题的能力需要教师在教学过程中长期对学生进行引导，才能够促使学生在解题的过程中，不受其他因素的干扰，做出正确的判断，并提升解题速度。

三、几何推理与图形证明教学中引入定理和重要概念

在几何推理中，根本性因素是定理，在对定理进行推广的过程中，可以演变出更多的几何推理与图形证明知识。在这种情况下，教师在实际教学过程中，应积极引进各种定理和概念。同时，较高的概括性是定理的主要特点，如果一味的要求学生进行死记硬背，不仅不利于提升学习效率和质量，甚至还很容易打击学生的学习积极性，因此定理和相关概念的引入，必须注重应用科学的方法。在反复应用相关定理的基础上，多数几何推理题都能够迎刃而解。

例如，在以下例题中，教师就可以适当的引入定理，帮助学生对理论知识进行掌握和深入理解的同时，提升学生实际解题的能力。“已知三角形ABC如图一所示，边BC的中点为D，连接AD，E为AD上任意一点，并连接、延长BE，F是AC与BE的交点，此时AC=BE，那么证明EF=AF。”单纯的解读题干可以发现，题目内容相对复杂，然而，在对题干进行深入挖掘的过程中学生就能够意识到，该题干描述的是等腰三角形，而所涉及的定理是“等边对等角”。在这种情况下，学生通过对“中点”、“三角形”等基础知识的联想，就会意识到需要对HG和DG等辅助线进行构建，接下来，在进行角与角之间的转换过程中，需要对平行线段性质以及等腰三角形相关性质进行应用，最后在完成证明的过程中，对“等角对等边”的理论进行应用。

在这种情况下，实际证明过程如下：连接EC，G为EC中点，H为AE中点，接下来，分别对HG和DG进行连接，那么可知DG=GH。因此角1和角2相等，由于角2、角3、角5是相等的，而角1同角4是相等的，那么则说明角4同角5相等，因此可以得到AF=EF。

由该例题可以看出，在实际的几何推理与图形证明教学中，要求学生能够对各种定理进行充分的了解，并提升学生灵活应用定理的能力，才能够顺利解答任何题型。

结束语：

15.几何证明题及其答案1 篇十五

（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG：GC的值．

例2：已知如图2-4-28，BE是⊙O的走私过圆上一点作⊙O的切线交EB的延长线于P．过E点作ED∥AP交⊙O于D，连结DB并延长交PA于C，连结AB、AD．

（1）求证：ABPBBD．

（2）若PA=10，PB=5，求AB和CD的长．

例3：如图2-4-29，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，圆心O1在2E

图2-4-27

图2-4-28

⊙O2上，连心线O1O2与⊙O1交于点C、D，与⊙O2交于点E，与AB交于点H，连结AE．

（1）求证：AE为⊙O1的切线．

（2）若⊙O1的半径r=1，⊙O2的半径R

3，求公共弦AB的长．

2（3）取HB的中点F，连结O1F，并延长与⊙O2相交于点G，连结EG，求EG的长

．

例4如图2-4-30，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H,BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线交于点D．（1）求证：DA=DC

（2）当DF：EF=1：8且

ABAC的值．

（3）将图2-4-30中的EF所在的直线往上平移到⊙O外，如图2-4-31，使EF与OB的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF于点D．试猜想DA=DC是否仍然成立，并证明你的结论．

图2-4-30

【提高训练】

1．如图2-4-32，已知在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连结DE并延长与AC的延长线相交于点F．若DE=EF，求证：BD=CF．

B E

图2-4-

322．点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，如果DEFG能构成四边形．（1）如图2-4-33，当O点在△ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形．（2）当点O移动到△ABC外时，（1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由．（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由．

FBC

图2-4-3

33．如图2-4-35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=450．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8，求：（1）BE的长．（2）∠CDE的正切值．

图2-4-3

400

4．如图2-4-35，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=2，∠ABC=120，∠ACB=45，连结OB交AC于点E．（1）求AC的长．（2）求CE：AE的值．（3）在CB的延长上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并加以证明你的结论．

图2-4-3

55．如图2-4-36，已知AB是⊙O的直径，BC、CD分别是⊙O的切线，切点分别为B、D，E是BA和CD的延长线的交点．（1）猜想AD与OC的位置关系，并另以证明．（2）设ADOC的值为S，⊙O的半径为r，试探究S与r的关系．（3）当r=2，sinE长．

时，求AD和OC的3图2-4-36

答案

例1.分析与解答（1）∵四边形 ABCD是正方形，∴∠BCF+∠FCD=90，BC=CD．

∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE．

∴∠ECD+∠FCD=90．∴∠BCF=∠ECD．∴△BCF≌△DCE

（2）在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90． ∴

4．

∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90． ∴DE∥FC．∴△DGE∽△CGF．∴DG：GC=DE：CF=4：3．

例2.分析与解答（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠1=∠2． ∵ED∥AP，∴∠P=∠PED．

BD．而∠3=∠BED，∴∠3=∠P．∴△ABD∽△PBA．∴ABPB

（2）连结OA、AE．由切割线定理得，PAPBBD．即1025(5BE)，∴BE=15．又∴△PAE∽△PBA，∴

AEPA

2，即AE=2AB． ABPB

在Rt△EBA中，152AB2(2AB)2，∴ABAB、PB代入ABPBBD，得BD=9．又∵∠BDE=90，ED∥AP，∴DC⊥PA．∴BC∥OA．∴∴BC

BCPB

． OAPO

515

3．∴CD=12 25

例3.分析与解答（1）连结AO1．∵O1E为⊙O2的直径，∴∠O1AE=90．又∵O1A为⊙O1的半径，∴AE为⊙O1的切线．

（2）∵O1A=r=1，O1E=2R=3，△AO1E为Rt△，AB⊥O1E，∴△AO1E∽△HO1A．∴O1AO1HO1E． ∴O1H

1．．AB2AH

3（3）∵F为HB的中点，∴

HF=HF

1AB，4∴O1F

．

∵HO1FGO1E． ∴Rt△O1HF∽Rt△OGE．∴1

O1FHF

． 

O1EEG

HF

O1E

 ∴EG，即EGO1F例4.分析与解答（1）连结OC，则OC⊥DC，∴∠DCA=90-∠ACO=90-∠B．

又∠DAC=∠BAE=90-∠B，∴∠DAC=∠DCA．∴DA=DC．

（2）∵DF：EF=1：8，DF

EF=8DF= 又DC为⊙O的切线，∴DC2DFDE18．

∴DC

∴ADDC

AFADDF

AEEFAF

∴ABACAEAF24．

（3）结论DA=DC仍然成立．理由如下：如图2-4-31，延长BO交⊙O于K，连结CK，则∠KCB=90．

又DC是⊙O的切线，∴∠DCA=∠CKB=90-∠CBK．

又∠CBK=∠HBA，∴∠BAH=90-∠HBA=90-∠CBK． ∴∠DCA=∠BAH．∴DA=DC．提高部分：【答案】1．过D作DG∥AC交BC于G，证明△DGE≌△FCE2．（1）证明DG∥EF即可

（2）结论仍然成立，证明略

（3）O点应在过A点且垂直于BC的直线上（A点除外），说理略．33．（1）BE=5（2）tanCDE

4．（1）AC（2）CE:AE，PB=2BC，∴CE：AE=CB：PB． 2

（3）∵CE:AE

∴BE∥AP．∴AO⊥AP．∴PA为⊙O的切线

5．（1）AD∥OC，证明略

（2）连结BD，在△ABD和△OCB中，∵AB是直径，∴∠ADB=∠OBC=90．又∵∠OCB=∠BAD，∴Rt△ABD∽Rt△OCB．

∴

ADAB

．SADOCABOB2rr2r2，

16.高考几何证明题篇十六

高考几何证明题

输入内容已经达到长度限制

∠B=2∠DCN

证明：

∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;

又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;

∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;

于是∠B=2∠DCN。

输入内容已经达到长度限制

∠B=2∠DCN

证明：

∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;

又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;

∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;

于是∠B=2∠DCN。

12、

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。

如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行;二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。

以下用向量法求解的简单常识：

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得或对空间一定点O有

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： (其中x+y+z=1)，则四点P、A、B、C共面.

3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 (k∈R).

4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 .

5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题.

6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： .

7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标.

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。

以下用向量法求解的简单常识：

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得或对空间一定点O有

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： (其中x+y+z=1)，则四点P、A、B、C共面.

3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 (k∈R).

4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 .

5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题.

6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： .

7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标.

首先该图形能建坐标系

如果能建

则先要会求面的法向量

求面的法向量的方法是 1。尽量在土中找到垂直与面的向量

2。如果找不到，那么就设n=(x,y,z)

然后因为法向量垂直于面

所以n垂直于面内两相交直线

可列出两个方程

两个方程，三个未知数

然后根据计算方便

取z(或x或y)等于一个数

然后就求出面的一个法向量了

会求法向量后

1。二面角的求法就是求出两个面的法向量

可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积

如过在两面的.同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交

那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角

如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交

那么上面两向量的夹角就是所求

2。点到平面的距离就是求出该面的法向量

然后在平面上任取一点(除平面外那点在平面内的射影)

求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1

17.几何证明推理入门篇十七

一、熟记文字语言、符号语言、图形语言间的相互关系

几何证明题，体现的是文字语言、符号语言、图形语言三种语言之间的相互转化与应用。在学习几何图形的有关概念、公理、定理、性质、判定等时，不仅要理解命题中文字语言所蕴含的本质，还要熟记命题对应的符号语言和图形语言。只有将三者紧密结合，才能对几何图形的有关概念、公理、定理、性质、判定等灵活运用，进而比较顺利地写出几何证明题的推理过程。

例1：学习平行线的判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（简单说成：同位角相等，两直线平行。）我们要明确其三种语言及其本质和作用：

二、关注图形已知

有一类知识点，依托图形出现，只要有图就有其身影存在，这类知识我们可以理解为图形已知，在几何证明的推理过程中可以直接应用。例2：

三、学会“走一走，看一看”

在几何证明中常用的方法是演绎推理，演绎推理指的是从已知条件出发，根据已经学过的数学概念、公理、定理、性质等知识，顺着推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论的方法。在具体的证明推理中，我们要学会“走一走，看一看”。所谓“走一走”，就是从“已知”条件出发“走一走”，得“推知”；而“看一看”，则是结合“推知”看“结论”，结合“推知”“结论”看图形。这样，“边走边看”就可以顺利写出推理过程，进而推出求证的结论。

例3：如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N。

■

求证：∠1+∠2=180°。

分析一：从“已知”条件出发“走一走”

由已知AB∥CD，可推知∠1=∠3①；

结合“推知”看“结论”：推知引出∠3，结论含有∠2；

结合“推知”“结论”看图形：图中有∠2+∠3=180°②；

由①②即可推出求证的结论∠1+∠2=180°。

分析二：从“已知”条件出发“走一走”

由已知AB∥CD，可推知∠1=∠4③；

结合“推知”看“结论”：推知引出∠4，结论含有∠2；

结合“推知”“结论”看图形：图中有∠2+∠4=180°④；

由③④即可推出求证的结论∠1+∠2=180°。

分析三：从“已知”条件出发“走一走”

由已知AB∥CD，可推知∠1+∠5=180°⑤；

结合“推知”看“结论”：推知引出∠5，结论含有∠2；

结合“推知”“结论”看图形：图中有∠2=∠5⑥；

由⑤⑥即可推出求证的结论∠1+∠2=180°。

总之，我们在做几何证明推理题时，要做到“心中有已知，眼中有图形，证明有结论”，这样就可以比较顺利地写出几何证明题的推理过程。

参考文献：

上一篇：客房领班技能考核试题下一篇：员工反三违承诺书

立体几何题证明方法

1.立体几何题证明方法篇一

2.立体几何题证明方法篇二

3.一道几何证明题思路剖析篇三

4.高三立体几何证明题训练篇四

5.几何证明题篇五

6.初中几何证明题篇六

7.初中几何常用的直角证明方法小结篇七

8.巧用图形变换思想证明几何题篇八

9.初中几何证明题思路篇九

10.切线在圆几何证明题中的作用篇十

11.初中数学证明题解题方法探讨篇十一

12.几何证明题的技巧篇十二

13.初二上几何证明题004 篇十三

14.立体几何题证明方法篇十四

15.几何证明题及其答案1 篇十五

16.高考几何证明题篇十六

17.几何证明推理入门篇十七

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