数列的知识点总结

数列的知识点总结（精选6篇）

1.数列的知识点总结 篇一

1. 一次函数的性质在数列中的应用

在“等差数列的通项公式”的教学中, 教师主要是引导学生用常规的方法 (通项公式法) 求一些与数列有关的量.此外, 由于等差数列{an}的通项公式为n=a1+ (n-1) d (n∈R) , an可以看作n的一次函数, 它的图象是一次函数图象上的离散点, 所有表示 (n, an) 的点都在同一条直线上.

例1 (1) 求等差数列8, 5, 2……的第20项;

(2) -401是不是等差数列-9, -5, -1……的项?如果是, 是第几项?

解: (1) 因为 (1, 8) 、 (2, 5) 、 (20, a20) 是同一条直线上的点, 所以, 解得a20=-49.

(2) 略.

小结:以上问题的常规解法是通过解方程组求出特征参数, 之后再代入公式求解, 计算较为繁杂这里我们从函数的角度观察这些问题, 得出了新的解法, 这些解法新颖、简单, 学生很容易接受, 同时还揭示了等差、等比数列特性的另一面.

2. 二次函数的性质在数列中的应用

等差数列{an}的前n项和是首项, d是公差) .当公差d≠0时, Sn=An2+Bn, 可以看成是关于n的一元二次函数, 其图象是过点 (0, 0) 且对称轴在S轴右侧的抛物线, 开口方向取决于d的符号.而点 (1, S1) 、 (2, S2) 、 (3, S3) …… (n, Sn) 是其图象上的一些孤立点.利用一元二次函数图象及其性质解决一些与等差数列前n项和相关的问题可以大大简化计算过程.

例2在等差数列{an}中, 已知a1=25, S17=S9, 求n为第几项时Sn取得最大值.

分析:根据已知条件可得d<0, 再由二次函数图象的性质可知Sn的图象开口向下, 又S17=S9, 故关于n的二次函数的对称轴是n=13, 所以当n=13时, Sn最大.

3.导数在数列中的应用

导数, 作为高中数学的新增内容之一, 为解题教学和教学研究注入了新的活力, 更是解决函数单调性问题的有力工具.由于数列可看作是特殊的函数, 所以对形式为某一函数的导数的数列, 可以通过构造该导数的原函数, 然后用导数法求解问题.

例3已知函数f (x) =x2+x-1, α, β是方程f (x) 的两个根 (α>β) , f′ (x) 是f (x) 的导数, 设

(1) 求α, β的值;

2.高二数学等差数列知识点 篇二

an=a1+(n-1)d (1)

前n项和公式为：

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.

在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项.

且任意两项am,an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式.

从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1

Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.

和=(首项+末项)*项数÷2

项数=(末项-首项)÷公差+1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

项数=(末项-首项)/公差+1

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,这个数列就叫做等比数列(geometric progression).这个常数叫做等比数列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示(q≠0).注：q=1时,an为常数列. (1)等比数列的通项公式是：An=A1*q^(n-1)

等比数列通式

若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点.

(2)求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)

等比数列求和公式

(前提：q≠ 1) 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m);在运用等比数列的前n相和时,一定要注意讨论公比q是否为1.

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

(4)等比中项：aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项.

记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的. 等比中项定义：从第二项起,每一项(有穷数列和末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中 项.

等比中项公式：An/An-1=An+1/An或者(An-1)(An+1)=An^2

(5)无穷递缩等比数列各项和公式：无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列,当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和.

(6)由等比数列组成的新的等比数列的公比： {an}是公比为q的等比数列 1.若A=a1+a2+……+an B=an+1+……+a2n C=a2n+1+……a3n 则,A、B、C构成新的等比数列,公比Q=q^n

2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2 B=a2+a5+a8+……+a3n-1 C=a3+a6+a9+……+a3n 则,A、B、C构成新的等比数列,公比Q=q编辑本段性质

(1)若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;

(2)在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.

(3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.

(4)若{an}是等比数列,公比为q1,{bn}也是等比数列,公比是q2,则 {a2n},{a3n}…是等比数列,公比为q1^2,q1^3… {can},c是常数,{an*bn},{an/bn}是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2.

(5)等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比.

(6)若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数.

(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)

(8) 数列{An}是等比数列,An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列, 在等比数列中,首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方.

(9)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列.编辑本段求通项公式的方法

3.数列求和的解题方法总结 篇三

数列通项与数列求和

二. 教学要求：

掌握数列的通项公式的求法与数列前n 项和的求法。能通过转化的思想把非等差数列与非等比数列转化为两类基本数列来研究其通项与前n项的和。

三. 教学重点、难点：

重点：等差数列与等比数列的求和，及其通项公式的求法。

难点：转化的思想以及转化的途径。

四. 基本内容及基本方法

1、求数列通项公式的常用方法有：观察法、公式法、待定系数法、叠加法、叠乘法、Sn法、辅助数列法、归纳猜想法等;

(1)根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.

(2)由Sn求an时，用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件，a1应由a1=S1来确定，最后看二者能否统一.

(3)由递推公式求通项公式的常见形式有：an+1-an=f(n)，

=f(n)，an+1=pan+q，分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).

2、数列的前n项和

(1)数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序求和法等。

求数列的前n项和，一般有下列几种方法：

(2)等差数列的前n项和公式：

Sn= = .

(3)等比数列的前n项和公式：

①当q=1时，Sn= .

②当q≠1时，Sn= .

(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.

(5)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

(6)裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列.

方法归纳：①求和的基本思想是“转化”。其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式;其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和。

②对通项中含有(-1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性。

③倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视。

【典型例题】

例1. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n.

(1)求证：{an}为等差数列;

(2)求S n的最小值及相应的n;

(3)记数列{

}的前n项和为Tn，求Tn的表达式。

解：(1)n=1时，a1=S1=-8

n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10

∴ an=2n-10 an+1-an=2

∴ {an}是等差数列.

(2)Sn=n2-9n=(n-

)2-

∴当n=4或n=5时，Sn有最小值-20.

(3)an=2n-10 ∴ | an |=| 2n-10 |

令an≥0

n≥5 ∴ 当n≤4时，| an |=10-2n

Tn=

，当n≥5时，

Tn=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+an

=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=Sn-2S4

=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40

4.行测数列总结 篇四

数列形式：等差数列、等比数列、和数列、积数列、多次方数列、（及其变式）、分式数列、组合数列、整数拆分数列、创新数列。

一、等差数列

1、定义：前后项之差等于常数。，二级等差数列：一次作差。三级等差数列：两次作差。

2、变式：持续作差，含减法运算的递推数列；两项分别变换后相减得第三项；两项变换后相减得第三项。

3、特征：数列中出现质数、含0、单调增减或增减交替。

二、等比数列

1、定义：相邻项作商后呈规律。二级等比数列: 一次作商。三级等比数列：二次作商。

2、数列变式：二级等比数列变式。

前项倍数+常数（基本数列）=后项。

3、特征：良好的整除性，单调递增（减）、先增后减。

三、和数列

1、定义：项与项间作和，寻求规律。两项和数列：前两项之和等于第三项。三项和数列：前三项之和等于第四项。,，2、数列变式：（第一项+第二项）×常数（基本数列）=第三项。

第一项+第二项+常数（基本数列）=第三项。第一项×常数+第二项×常数=第三项。

3、特征：数项偏小，数列整体趋势不明，非单调。

四、积数列

1、定义：项与项之间作积，寻求规律。两项积数列：前两项乘积等于第三项。三项积数列：前三项乘积等于第四项。

2、变式：相邻项作积后变化得后项。

两项积+常数（基本数列）=第三项。两项积构成基本数列。

3、特征：两项积数列:1，A，A〃〃〃〃，数列递增（减）明显。

五、多次方数列

1、定义：数列呈多次方数，底数、指数各具规律。

平方数列：数列逐项可改为平方数，底数呈规律。立方数列：数列逐项可改为立方数，底数呈规律。

多次方数列：数列各项可以改为指数、底数均不同的数列，底数、指数分别具有规律。

2、变式：多次方数+常数。

多次方数×常数（基本数列），通常会有0。第一项的平方（立方）±第二项=第三项。

要点：对各项进行多次方改写，并加入常数后运算得原数列。

数字1为非零数的0次方，分数可写成-1次方

3、特征：数列增幅明显、选项数字大。数列中有三项不加变化的多次方数。

六、分数数列

定义：分数本身可以通分和约分。

分子分母分别变化型：有意识的构造简单变化数列。

分子分母与原数列的分子分母整体增减趋势一致。分子分母关联变化型：

（1）依次变化型：分子分母依次排列，得基本数列。

（2）交错变化型：两基本数列在分子、分母位置交错排列（类似分子分母分别变化型）。

（3）递推变化型：各项分子（分母）是前一项的分子分母简单运算结果。

七、组合数列

定义：

1、间隔组合数列。

奇偶项分别构成某个基本数列及变式。奇偶

2、分组组合数列

相邻数字分为独立的几组，以两项为一组居多，增减不定。

3、数位组合数列：

各项对应位置上的数组成一个简单数列，数位对应型。

数列的每项分成几部分有联系，数位关系型。

八、整数拆分数列

定义：每项数字拆分为两部分，简单运算后得到该项数字。乘积拆分：整数拆为两个数字的积。

和差拆分：整数拆为两个数字的和差。

九、创新数列

5.高中数学数列公式及结论总结 篇五

一、高中数列基本公式：

1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(其中a1为首项、ak为已知的第k项)当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1(是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn=Sn=

三、高中数学中有关等差、等比数列的结论

1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4mS3m、……仍为等比数列。

5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、、仍为等比数列。

7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d，a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)

11、{an}为等差数列，则(c>0)是等比数列。

12、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn}(c>0且c 1)是等差数列。

13.在等差数列 中：

（1）若项数为，则

（2）若数为 则，14.在等比数列 中：

（1）若项数为，则

6.数列的知识点总结 篇六

已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。

一、an1anf(n)型数列，（其中f(n)不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为an1anf(n)，从而就有

a2a1f(1),a3a2f(2),,anan1f(n1).将上述n1个式子累加，变成ana1f(1)f(2)f(n1)，进而求解。例1.在数列{an}中,a12,an1an2n1,求an.解：依题意有

a2a11,a3a23,,anan12n3

逐项累加有ana1132n3而ann22n3。

注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.(12n3)(n1)(n1)2n22n1，从

2类似题型练习：已知

{an}满足a11，an1an1n(n1)求{an}的通项公式。

二、an1anf(n)型数列，（其中f(n)不是常值函数)此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为

an1f(n)，从而就有 anaaa2f(1),3f(2),,nf(n1)a1a2an1将上述n1个式子累乘，变成anf(1)f(2)f(n1)，进而求解。a1例2.已知数列{an}中a112n3,anan1(n2)，求数列{an}的通项公式。32n1 1

aa21a33a452n3,,,,n,将这n1个式子累乘，a15a27a39an12n1a131113得到n，从而an，当n1时，2(2n1)(2n1)34n1a1(2n1)(2n1)111aa，所以。1n224n134n1解：当n2时，注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.类似题型练习：在数列{an}中, an>0,a12,nan2(n1)an12an1an,求an.提示：依题意分解因式可得[(n1)an1nan](an1an)0，而an>0,所以，即(n1)an1nan0an1n。ann

1三、an1panq型数列

此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设

an1mp(anm)，展开整理an1panpmm，比较系数有pmmb，所以mb，所以ab是等比

np1p1数列，公比为p，首项为a1b。二是用做差法直接构造，an1panq，p1anpan1q，两式相减有an1anp(anan1)，所以an1an是公比为p的等比数列。

例3.在数列{an}中，a11，当n2时，有an3an12，求{an}的通项公式。解法1：设anm3即有an3an12m，对比an3an12，得m1，(an1m)，于是得an13(an11)，数列{an1}是以a112为首项，以3为公比的等比数列，所以有an23n11。

解法2：由已知递推式，得an13an2,an3an12,(n2)，上述两式相减，得an1an3(anan1)，因此，数列{an1an}是以a2a14为首项，以3为公比的等比数列。所以an1an43n1，即3an2an43n1，所以an23n11。

类似题型练习：已知数列an满足a11,an12an1(nN*).求数列an的通项公式.注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.四．an1panfn型数列（p为常数）此类数列可变形为

anan1anfn，则n可用累加法求出，由此求得an.n1nn1pppp 2

例4已知数列an满足a11,an13an2n1,求an.解:将已知递推式两边同除以2n1得

an13anan1b,设,故有nn1nn2222353n1n1n1bn12(bn2，)bn2,从而.a532nn22注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.若f(n)为n的一次函数,则an加上关于n的一次函数构成一个等比数列;若f(n)为n的二次函数, 则an加上关于n的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5．已知数列an满足a11,当n2时,an1an12n1,求an.2解:作bnanAnB,则anbnAnB,an1bn1A(n1)B代入已知递推式中得:bn1111bn1(A2)n(AB1).22221A20A42令 B61A1B10221bn1且bnan4n6 233显然,bnn1,所以ann14n6.22这时bn注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.类似题型练习：

（1）已知an满足a12,an12an2n1，求an。

（2）已知数列{an}，Sn表示其前n项和，若满足Snann23n1，求数列{an}的通项公式。

S1n1提示：（2）中利用an，把已知条件转化成递推式。

SS,n2n1nan

五、AanBanC型数列（A,B,C为非零常数）

这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利 3

地转化为an1panq型数列。

例6．已知数列an满足a12,an12an,求an.an2解:两边取倒数得:

2111n111,所以(n1)，故有an。

nana122an1an22n1an类似题型练习：数列{an}中，an1n1,a12，求{an}的通项。

2an六.an2pan1qan型数列（p,q为常数）