湖北中考数学真题

湖北中考数学真题（精选6篇）

1.湖北中考数学真题 篇一

2013年湖北省武汉市中考真题政治

一、选择题

1.“平沙莽莽黄入天，英雄埋名五十年。”感动中国人物林俊德入伍52年，参加了我国全部核试验任务，先后获得30多项科技成果。在癌症晚期，他仍以超常的意志工作到生命最后一刻。林俊德的事迹告诉我们

A.只要有超常的意志，就一定能实现理想 B.人生难免有挫折，历经大挫必有大成就

C.坚强的意志是战胜挫折、实现人生目标的保障

D.自信是人生道路上最宝贵的财富，拥有自信就能成功

解析：林俊德扎根边疆，用超常意志工作到生命最后一刻，就说明他是一个意志坚强的人，他在实现理想的过程中坚守信念，锻炼意志品质，实现人生价值。ABD说法都有片面性，所以选C。答案：C

2.武汉公交新规从今年3月1日起实施。市民普遍反感的车上进餐、带狗入车、青壮年占用老弱病残孕专座、用随身物品占座位等不文明行为，在新规中均被禁止。这表明 A.公民应尊重社会，遵守社会规则，承担对社会的责任 B.公民应尊重自然，维护生态平衡，承担对自然的责任

C.公民选择文明乘车行为主要是因为社会舆论压力和他人监督 D.公民参与公共生活、遵守公共规则，必然会牺牲个人自由

解析：社会生活需要秩序，秩序来自规则。哪里有规则，哪里就有良好的生活秩序，没有规则，就没有良好的生活秩序。BCD均与题意不符，所以应选A。答案：A

3.著名物理学家李政道说：“科学与艺术是一个硬币的两面。为了心情愉快，松弛一下紧张的工作，我有时间就喜欢画画，听听音乐，读读文学。”这说明 A.研究科学就是研究艺术，两者没有区别。B.科学家的生活都很单调，缺乏情趣

C.高雅的生活情趣有益于个人的身心健康。D.只有科学家才有高雅的生活情趣

解析：高雅情趣有益于个人的身心健康，对个人的发展有促进作用，能够形成乐观自信、活泼开朗的健康心理，使人更加热爱生活。ABD说法都有错误，所以选C。答案：C

4.第30届夏季奥林匹克运动会在伦敦召开。奥运赛场既是精彩的竞技舞台，又是宽广的交流与合作的平台，参与盛会的各方，无论胜负都会有不菲的收获。这启示我们[来 A.竞争与合作是相互对立的

B.在竞争中合作的真谛是取长补短、战胜对手 C.在竞争中合作的目标是形成团队精神 D.在竞争中合作，应该体现“双赢”的原则 解析：题目中说奥运赛场上既有竞争也有交流与合作，就告诉我们在这里每个人都要有竞争

意识，勇敢地和他人一争高下，激励自己不断前进，但竞争并不排斥交流合作，在竞争交流合作能增进友谊，促进自身的提高，最终的结果是“双赢”，所以选D。答案：D

5.读下图漫画《网络反腐》。下列说法正确的是

A.网络反腐是依法治国的前提 B.网络反腐是惩治腐败的唯一途径

C.公民可在法律允许的范围内通过网络行使监督权 D.依法治国的中心环节是网络监督

解析：公民有依法对国家机关及其工作人员进行监督、批评建议的权利，行使这一权利的途径也多种多样，网络反腐是随着社会的进步发展起来的，但是不管公民用什么样的手段反复都必须遵守国家法律，否则就是违法。ABD说法均有错，所以应选C。答案：C

6.A市某电信服务商推出手机上网“流量提醒定制化”服务，通过发送免费短信等方式快速准确的向用户提示上网流量消费情况，让用户明明白白消费，避免无意的超额消费。这一服务措施主要维护了消费者的 A.安全权 B.知情权 C.智力成果权 D.生命健康权 解析：“让用户明明白白消费”，就是在消费过程中，消费者知道自己消费了哪些商品或服务，有利于及时维护自己的合法权益。ACD的权益均与此无关，所以选B。答案：B

7.近几年来，围绕形成和完善中国特色社会主义法律体系的目标，我国立法机关制定或修改了刑法修正案、刑事诉讼法、个人所得税法等上百部法律和有关法律问题的决定，这说明 A.加强立法是我们国家的根本任务 B.刑法是国家的根本大法

C.中国特色社会主义法律体系已经尽善尽美 D.我国正在努力建设社会主义法治国家

解析：依法治国，建设社会主义法治国家的前提就是要有法可依，就是要立法。ABC说法都不对，所以选D。答案：D

8.为创建平安校园，武汉市各中小学校积极开展消防演习、疏散演练、安全教育讲座等活动，并开设心理健康课程，加强对学生的心理健康教育。这些举措体现了对未成年人的 A.家庭保护 B.学校保护 C.社会保护 D.司法保护 解析：本题考查学生对《未成年人保护法》中四种保护的理解运用。家庭保护的主题是家长、监护人，学校保护的主体是学校、教师，比较明显，司法保护实施的主体必须是司法机关，所以应选B。答案：B

9.12岁花样年户的何玥，在得知自己的生命只剩三个月时，毅然决定将自己的器官捐献给需要的人。小何玥去世后，她的两个肾和一个肝被分别捐给了三个人。她的事迹启示我们 ①不计较代价与回报的奉献精神，是社会责任感的集中表现 ②要热心公益，在风险中提升自身的价值

③在社会生活中，不同的社会身份均负有的相同的责任 ④参与社会公益活动，是公民义不容辞的法律义务 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解析：何玥大爱无私关爱他人、奉献社会，不仅向我们生动地诠释了“生命有限、精神无限”的人生真谛，同时也向我们展示了新时期党培育下的青少年形象。③④句意与此无关，所以选A。答案：A

10.2013年4月11日，“书香江城——分享阅读、放飞梦想”主题读书活动在武汉市民之家活动。该活动旨在让爱读书、勤读书、读好书、善读书成为武汉市民的一种生活，一种习惯，一种追求。建设“书香江城”

A.有利于丰富武汉人民文化生活，推动社会主义精神文明建设 B.目的在于发展武汉教育事业，促进教育公平的实现 C.是为了增强市民民主意识，推进武汉政治文明建设

D.表明武汉坚持以文化建设为中心，致力于增强城市综合实力

解析：通过读书培养良好生活习惯，健康情趣，提升个人素质，是加强社会主义精神文明建设的重要渠道。BC与此无关，D说法错误，所以选A。答案：A

11.武汉市今年继续加大对教育、医疗卫生、社保和就业等方面的投入，并将继续办好涉及群众切身利益的十件实事，以提升群众的幸福指数。这体现了 A.政府维护社会公正，努力实现同等富裕 B.政府关注民生，努力解决民生问题

C.武汉今年将从根本上消除社会的主要矛盾 D.武汉全面建成小康社会的目标已经实现

解析：政府是公共利益的提供者和守护者，要让人民群众共享社会发展成果，共同富裕是社

会主义的根本原则。A“同等富裕”说法错误，CD说法均有错，所以选B。答案：B

12.2012年10月25日，随着第16颗北斗导航卫星进入预定轨道，我国北斗导航工程区域组网顺利完成。这一具有自主知识产权的重大科技成果表明 A.科技创新是我国取得一切成绩的根本原因 B.我国科技总体水平已居世界前列 C.我国正努力建设创新型国家 D.我国不再需要引进国外先进技术

解析：近年来我国在高科技领域取得重大进展，以航天、潜水、北斗导航为代表的高科技成就逐渐打破西方垄断，这是我国自主创新战略和科教兴国战略的成果。ABD说法都有错误，所以选C。答案：C

13.在我国，一切权力属于人民。人民通过选举代表组成各级人民代表大会，组成国家权力机关。再由国家权力机关产生行政、审批、检查等机关，分别行使管理国家、维护社会秩序的各项权力。这表明 A.公民直接行使一切权力

B.人民代表大会制度是我国的根本政治制度 C.国家的最高权力机关是行政机关 D.人民代表大会直接行使审判权

解析：人民代表大会的制度的运作过程，就是人民当家做主行使国家权力的过程，人民代表大会制度是实现人民当家做主的根本政治制度。ACD说法都错误，所以选B。答案：B

14.2012年12月7日，时值邓小平南方讲话20周年之际，中共中央总书记习近平来到当年邓小平南方视察的第一站——深圳，进行视察活动。中共中央新领导集体通过这一行动表达了坚持改革开放的决心。这事因为，改革开放是 A.兴国之要，是科学发展的政治保证

B.强国之路，是我们党、我们国家发展进步的活力源泉 C.立国之本，是我们党、我们国家生存和发展的政治基石 D.党和国家的生命线，是我国的基本方针

解析：党在初级阶段基本路线的核心内容是一个中心两个基本点，经济建设是兴国之要，四项基本原则是立国之本，改革开放是强国之路，基本路线是党和国家的生命线。所以选B。答案：B

15.李克强总理在答台湾记者问时说，大陆和台湾是我们共同的家园，我们要把它一道维护好、建设好、使其花团锦簇。他这样展望两岸关系的前景：“我想花好总有月圆时。”推进两岸关系和平发展，实现两岸“花好月圆”，必须坚持的政治基础是 A.全面实行社会主义制度 B.民族平等、团结和共同繁荣原则 C.“和平统一、一国两制” D.一个中国原则

解析：世界上只有一个中国，大陆和台湾同属一个中国，这是解决台湾问题的政治基础。祖

国统一是中华民族复兴的标志，是包括台湾同胞在内的全国各族人民的心愿。AB说法错误，C是完成祖国统一大业的的方针，所以选D。答案：D

二、非选择题

33.【积累正能量】(4分)从“最美妈妈”吴翠萍、“最美教师”张莉莉、“最美司机”吴斌到“最美战士”高铁成、“最美女法官”后莉······当前频频出现在媒体上的“最美”任务，传达者国人对真善美的渴求，传递着求真向善臻美的正能量。

某社区正在开展“向‘最美’看齐，积聚正能量”系列宣传教育活动，以增强居民采纳与社区生活的公德意识。加入你是该社区居民，请你参与。

(1)你认为该社区开展的这一活动属于社会主义精神文明建设哪一方面的内容？(2分)(2)“最美”催动正能量，社会呼唤正能量。在社区公共生活中，你打算通过哪些具体行动为社会积聚正能量？(2分)解析：发展先进文化要以科学的理论武装人，正确的舆论引导人，高尚的精神塑造人，优秀的作品鼓舞人，通过对最美人物的宣传学习，社区居民形成良好的社会公德，家庭美德，职业道德，个人品德，形成爱国守法，明礼诚信，团结友善，勤俭自强，敬业奉献的基本道德规范，有利于加强思想道德建设，这是发展先进文化的中心环节。答案：(1)思想道德建设。

(2)答案多元化，凡符合题意(属于社区公共生活中的真善美行动)，言之有理即可。如：在社区内义务植树；爱护花草树木；帮助他人；见义勇为；尊敬长辈；团结邻里；参加捐书捐款等捐赠行动；参加学雷锋活动；参加公益活动；参加志愿者活动等等。

34.【实现中国梦】(6分)★中国梦·富强梦 2012年汉字盘点，“梦”被列为汉字。建成富强民主文明和谐的社会主义现代化国家，实现中华民族伟大复兴的中国梦，就是要实现国家富强、民族振兴、人民幸福。(1)实现国家富强，就是要把______摆在首要地位。(2分)★中国梦·武汉梦 武汉市长指出，2013年武汉将打理推进生态文明建设，加快打造“美丽江城”。加快建设“幸福武汉”。

(2)推进生态文明建设，打造“美丽江城”，我们应该坚持什么样的发展战略和基本国策？★中国梦·我的梦

2012年圆梦舞台：刘洋，我国首位进入太空的女航天员，坚持理想，勇于奉献，实现航天梦；陈晨，我国首位登上珠穆朗玛峰的在校女大学生，不畏艰险，勇攀高峰，实现登顶珠峰梦；孙杨，伦敦奥运会游泳冠军，脚踏实地，顽强拼搏，实现奥运金牌梦；莫言，我国首位荣获诺贝尔文学奖的作家，博采众长，开拓创新，实现“诺奖”梦；罗阳，用生命托举歼-15战机，勇担重任，鞠躬尽瘁，实现航母梦······

(3)某中学九(1)班拟举行“中国梦·我的梦”主题班会活动。加入你是该班学生，请你说说“我的梦”。并简要说明自己如何圆梦。(2分)我的梦：___________________________________________ 我圆梦：___________________________________________ 解析：第一问，实现中华民族伟大复兴，建设有中国特色社会主义现代化国家就要坚持党在

社会主义初级阶段的基本路线，即一个中心两个基本点，以经济建设为中心是兴国之要，各项工作都必须服从和服务于经济建设。

第二问我的梦：答案多元化，只要是向上向善的梦或愿望或理想即可。

我圆梦：要结合理想与现实的的关系，说明实现理想必须要艰苦奋斗，积极实践，在困难面前不低头。

答案：(1)集中力量发展社会生产力。或经济建设。或以经济建设为中心，集中力量发展生产力。

(2)可持续发展战略；保护环境和节约资源的基本国策。

(3)我的梦：答案多元化，但要求必须是向上向善的魅惑愿望或理想。

我圆梦：结合材料，归纳出圆梦必须具备的一些品质，再结合实现“我的梦”，来具体组织答案。答案多元化，言之有理均可。

2.湖北中考数学真题 篇二

【作文题目】

在芸芸众生中，有经天纬地、万人景仰的强者，但更多的是怀揣理想、从容淡定的平凡者。拒绝平庸，回归平凡，将是社会生活的新常态。会审视欣赏平凡，能体味感悟平凡，有平和的心态，耐得住平凡，生活会被演绎得一样精彩。与平凡而有个性的人相伴，做平凡而有意义的事儿，体验平凡而有味道的生活……请以“与平凡相伴”为题，写一篇不少于600字的文章。

要求：

①书写规范，卷面整洁。

②大胆选择你最能驾驭的文体进行写作。

③文中不得出现真实的人名、校名、地名。

【范文】

我平凡但我快乐

我是一个平凡的学生，没有气焰的`身世，也没有庞大的势力，更也没有无数的财富!我是一个平凡而且渺小的人!我没有天生聪慧的头脑，我没有很好的成绩!我只有无限的付出和努力!但我也是值得快乐的。因为最起码，我能正视眼前的现实而没有逃避生活。若我能克服眼前的一切，那我就会有新的收获。

在平凡的生活中，需要保持一颗平凡的心，那么我就不会有很多的烦恼，也就可以尽情地享受生活。在平凡的生活中，想到我同样为祖国创造着无尽的物质财富，那么我心中就会充满无比的快乐。

雷锋是一名平凡的战士，但他是一颗不平凡的“螺丝钉”;李素丽是一名平凡的公共汽车售票员，但她却成为了劳动模范……在平凡的岗位上，只要我付出努力，同样可以做出一番业绩。

舒婷曾说：“我简单，所以我快乐;我平凡，所以我丰富。保持一颗平凡的心，做出不平凡的事业。”是的，平凡的生活是丰富的。在平凡的生活中，我们可以尽情地品味幸福，可以不用有太多的压力，可以心平气和地去为更美好的生活而奋斗。

3.湖北中考数学真题 篇三

语文答案

一、积累与运用（12分）

1.（2分）下面加点字注音完全正确的一项是（D）

A.竦峙（shì）

崎岖（q）

莽莽榛榛（zhn）

浅草才能没马蹄（mò）B.磬石（pán）

崔巍（wi）

千山万壑（hè）

著我旧时裳（zhù）C.山麓（lù）

峰峦（luán）

山崩地裂（bng）

金樽清酒斗十千（dóu）D.巉岩（chán）

峥嵘（zhng）

山肴野蔌（sù）

楚国都城郢（Yng）2.（2分）下列词语书写完全正确的一项是（B）

A.清冽

进溅

水波粼粼

海枯石滥 B.涟漪

澄澈

海誓山盟

沧海桑田 C.澎湃

狂澜

浩瀚无垠

一页孤舟 D.凫水

潋滟

九曲连环

鸿浩之志 3.（2分）下面语段横线上填入的词语，最恰当的一组是（B）

自从有了书籍，就有了读书方法。梁启超强调不动笔墨不读书，抄录或笔记，这种______________的办法笨是笨极了，真正做学问的人却总也高不了；陈寅恪读书，习惯将自己的考证、注释、心得写在书眉上，这种___________的方法使他成为“最有识见，最能用材料的人”；胡适主张“大胆假设，小心求证”，这种_________ 的读书方法同时适用于科学与人文学科；朱自清则主张______________，特别推崇姚鼐的“放声疾读，久之自悟”。A.博览

质疑

诵读

精读 B.精读

博览

质疑

诵读 C.诵读

精读

博览

质疑 D.质疑

诵读

精读

博览 4.（3分）下列各项中，有语病的一项是（A）

A.核心技术是国之重器，是国家经济安全、国防安全。B.核心技术、关键技术，化缘是化不来的，要靠自己拼搏。

C.加强核心技术攻关，是我国加速迈向制造强国刻不容缓的必然选择。

D.核心技术攻关，要打开大门，吸纳全球智慧，在与世界的开放融通中实现创新。5.（3分）下列关于文学常识的说法正确的一项是（D）

A.《左传》是一部记载春秋战国时期各诸侯国主要历史人物活动的传记文学名著。B.《名人传》是一部记载名人丰功伟绩，讲述名人精彩人生和巨大贡献的传记作品。C.《水浒传》是我国第一部歌颂农民起义，宣扬豪侠仗义、除暴安良英雄壮举的传记。D.《史记》是我国第一部纪传体通史，被鲁迅称为“史家之绝唱，无韵之《离骚》”。

二、古诗文阅读（24分）望岳杜甫

岱宗夫如何？齐鲁青未了。造化钟神秀，阴阳割昏晓。荡胸生曾云，决眦入归鸟。会当凌绝顶，一览众山小。

愚公移山（节选）《列子》

太行、王屋二山，方七百里，高万仞。本在冀州之南，河阳之北。

北山愚公者，年且九十，面山而居。惩山北之塞，出入之迂也，聚室而谋曰：“吾与汝毕力平险，指通豫南，达于汉阴，可乎？”杂然相许。其妻献疑曰：“以君之力，曾不能损魁父之丘，如太行王屋何？且焉置土石？”杂曰：“投诸渤海之尾，隐土之北。”遂率子孙荷担者三夫，扣石垦壤，箕畚运于渤海之尾。邻人京城氏之孀妻，有遗男，始龀，跳往助之。寒暑易节，始一反焉。河曲智叟笑而止之曰：“甚矣，汝之不惠。以残年馀力，曾不能毁山之一毛，其如土石何？”北山愚公长息曰：“汝心之固，固不可彻，曾不若孀妻弱子。虽我之死，有子存焉；子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙。子子孙孙，无穷匮也。而山不加增，何苦而不平？”河曲智叟亡以应。

愚公移山赋（节选）〔唐〕丘鸿渐

世人始知愚公之远大未可测矣夸娥之神力何其杜哉。倘若不收遗男之助，荷从智叟之辨，则居当困蒙，往必遇蹇，终为丈夫之浅。今者移山之功既已成，河冀之地又以平，则愚公之道行。客有感而叹曰：事虽殊致，理或相假。注释：〔困蒙〕困于蒙昧。〔遇蹇〕遇到艰难。

6.（2分）下列各组句子中加点词意思相同的一项是（B）A.年且九十

且焉置土石 B.曾不若孀妻弱子

曾不能损魁父之丘 C.汝心之固，固不可彻

吾义固不杀人

D.河曲智叟亡以应

今亡亦死，举大计亦死 7.（2分）下列句子中“之”的用法不同的一项是（C）A.惩山北之塞

B.予独爱莲之出淤泥而不染 C.虽我之死

D.邻人京城氏之孀妻有遗男

8.（2分）下面对《望岳》赏析不正确的一项是（D）

A.首二句远望泰山。大笔勾勒泰山横亘绵延之势，亦显惊叹仰慕之情。B.三、四句近看泰山。细笔描写泰山神奇秀丽景色和巍峨高大的形象。C.五、六句细赏泰山。工笔描摹山中云气升腾，林中群鸟还巢的美景。D.末两句登山感怀。诗人登临绝顶俯视群山，顿生壮志凌云之慨叹。

9.（2分）《愚公移山》中多用对比衬托手法，下面说法不正确的一项是（D）A.愚公似愚而智，智叟似智而愚。这样写，加重了对比色调，增强了讽刺效果。B.遗男“助之”与智叟“止之”对比鲜明，更显示出智叟目光短浅、态度消极。C.写太行、王屋二山之高大，运土路程之遥远衬托出愚公的过人胆识与气魄。D.其妻献疑与智叟讥笑形成对比，凸显愚公之妻支持移山的坚定立场和决心。10.（2分）下面对《愚公移山赋》理解正确的一项是（C）

A.如果不是邻人京城氏之子的热心帮助，愚公移山恐怕终究是难以成功的。B.智叟的辩论客观上起到提醒愚公的作用，有时候反面意见更具有建设性。C.愚公移山的故事虽然很神奇很特别，但其反映的道理却具有普遍的意义。D.文章高度赞扬了夸娥的神力愚公移山最终还是要归功于神力相助。11.（3分）用“/”给《愚公移山赋》中划线句子断句。（限三处）世人始知/愚公之远大未可测矣/夸娥之神力何其壮哉 12.（3分）用现代汉语翻译下面的句子

甚矣，汝之不惠！以残年余力，曾不能毁山之一毛，其如土石何？

答：你太不聪明了。凭你的余年剩下的力气，还不能毁掉山上的一根草，又能把泥土和石头怎么样? 13.（8分）联系学过的经典诗文将下面文段补充完整。诗人多流连于山水之间，山水也就走进了诗文之中。“山气日夕佳，”写山间美景；“人家在何许，云外一声鸡。”写山居人家；“山回路转不见君，雪上空留马行处。”写山以表送别之情；“行到水穷处，坐看云起时。”则借山以达人生之悟；“正入万山圈子里，一山放过一山拦。

”写山犹如说理；“醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。

”游山意在言志；“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层。”显示出高瞻远瞩的胸襟；“山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高”抒发了创建伟业之抱负。山，是诗意的栖所，亦是抒情之意象。

三、现代文阅读（24分）最后一堂语文课

对于我们这些家电专业的学生，语文课颇有点儿像火锅边放的瓜子，可有可无。但黄老师并不这么看，他说：“即使你今后是一个修电视机收音机的，多知道一点儿祖先传下来的文字之美，也是没有坏处的！” 这句话与其说是开导学生，倒不如说是在开导自己——作为一位老语文教师，他像一个上错了船的游客，明明是要到上海，却被拉到了湖北，那种不安与不甘可想而知。

黄老师上课，可以用一个“酷”字来形容。他通常是左手捻一本语文书，右手揣在裤兜里，上半身最常穿的，是一件蓝底却洗得灰白，看着旧却很齐整的中山装，头发散着灰白的光泽。老师年轻时，应该是帅气的，这种帅气，穿透岁月，留在他的眉眼、言词和举手投足之间。黄老师上课，通常是不怎么看课本的。他要讲的课文早已烂熟于心，张口即吟，抬手即写，举手投足间，有一种不容阻断的气韵，即使平常最不喜欢学习的同学，在那抑扬顿挫的诵读和讲解中，也体会到了文字的美感与魅力。

然而，走得最急的总是最美的时光。当我们度过漫长的暑假升到二年级的时候，我们发现，我们喜爱的语文课，已离开了课程表。

关于语文课的取消，有多种传说。有说是因为新近要开电工基础等专业课程，有说是因为黄老师的语文课有喧宾夺主之嫌，还有阴谋论说学校教导主任原来也是教语文的，想来接手过把瘾。不管哪一种原因，都指向了我们并不情愿的结果。于是我们展开了一场有声的反抗，开学第一堂课，不知是谁发起，整个教室里哼起了国际歌的旋律，就像某电视剧里苏联战俘们在德国军官视察时的场景，不动嘴，只是让声音在喉头低沉地哼。这种声音整齐地汇聚在一起，其震撼和共鸣的感覺可想而知，无怪乎电视里那位不可一世的德国将军，感到了无比的恐惧。

我们那位无辜的不知就里的电工基础老师，神经当然没有将军那么粗，被墙一样厚重的歌声一挡，仿佛头撞在岩壁上的小鹿，负痛仓皇逃去。不一会儿，班主任、教导主任、副校长闻风而来，消防车一般匆忙而焦急。

从校领导到班主任，一个个轮番上阵，从学校的办学宗旨，到专业课程设置的紧迫性，再到黄老师的健康等，都做了苦口婆心的解释。为了增加可信度，还特意安排黄老师回学校一趟。那天，黄老师依旧穿着那件熟悉的旧衣服，只是头发和脸上的皱纹似乎更白更深了些。9月的阳光，在他身后，把他镀成了一个披满金光的雕塑。他几乎是以背诵的样式，重述了学校希望我们的一二三四。同样的内容，被他一说，我们毫无排斥感地完全接受了。接下来，他又说：“同学们，听到你们为挽留语文课……所做的，我感到……万分……荣幸。我很荣幸，你们通过我，看到了文字之美文化之美。但我的学养有限，只给你们开了一扇小小的窗，你们通过这扇窗，看到一点一滴的星空与苍穹，那是一个你完全想象不到的广阔世界。一辈子很长，有很多东西需要坚持！即使你是一个修收音机的师傅……” 11 那是黄老师最后一次在讲台上说话，也是我的最后一堂语文课。但那又是一个新的开始，是让我把语文和写作，不再当成一门课程，而是将它当成望向世界的小窗的开始。从那天起，三十多年时间，没有一天止息。（作者：曾颖，选自《小小说选刊》，有删改）

14.（2分）小说分两个部分写黄老师的课，请分别概括其特点。

平时的课：

气定神闲，娓娓道来

。最后一课：

奉命疏导，语重心长

。15.（2分）下面两个句子特别有趣味，请选择一句简要赏析。

对于我们这些家电专业的学生，语文课颇有点儿像火锅边放的瓜子，可有可无。不一会儿，班主任、教导主任、副校长闻风而来，消防车一般匆忙而焦急。

答：用比喻的手法，生动、形象的写出了家电专业语文课的可有可无，很有画面感，让人易于理解接受。也使用了比喻修辞，幽默、风趣，又形象生动的把各级领导的心急火燎，焦急“灭火”的心态描摹的栩栩如生，淋漓尽致。

16.（2分）如果对第段作如下批注，请摘录出与之对应的句子。

写出了黄老师的不安：_______________________________________________。看得出黄老师的不甘：_______________________________________________。

答：那天，黄老师依旧穿着那件熟悉的旧衣服，只是头发和脸上的皱纹似乎更白更深了些。他几乎是以背诵的样式，重述了学校希望我们的一二三四 17.（3分）读完全文，你觉得黄老师是一个怎样的人？ 答：黄老师是一个热爱自己本职工作，热爱语文的普通老师。他希望自己的学生不论干什么，都能感受语文的魅力，却又不得不接受无法改变现实的残酷。

18.（3分）下面是小说结尾删减的一段，请结合对小说的理解，接着写几句。

我的同学里，多年以后，他们有人成了央视主持，有的成了书法家或画家，还有的成了公务员、商人或工人，不管当下在做什么，_____________________________。

答：语文都是我们最好的朋友。只要你不忘却她，时不时和她有个亲密接触，她就会和你分享快乐，排解忧伤；陪伴你成长，帮助你翱翔！

面相与品相

人啊，露得最多的是这张脸，最爱遮掩的，也是这张脸。击剑运动员训练比賽，先得把脸罩起来。江洋大盗与窃贼，都爱扮成蒙面人，只露两眼。人害臊，不好意思，失态掩饰的也都是脸。可见，人在面孔这张脸之外还有一张脸，一张显露道德和觉悟、自尊和自律的脸。如此说来，人就有了两张脸，一张面孔的脸，一张德行的脸。面孔脸是爹妈给的，不可改变，他人不能说三道四，我叫它面相；德行脸是后天自修来的，可以改变，可予以道德褒贬和舆论监督，我称其为品相。

若再谛视，发现人们对两张脸的重视程度大不一样。具体分三种情况：一曰“面相与品相并重”；二曰“面相第一，品相第二”；三曰“为了面相，不惜品相”。以当今某些成年人的基本倾向而言，若说“重面相，轻品相”，至少不离大语。

个人愚见，第一、第二种情况都属可以理解，第三种若不危害社会不违法也管不着。但若就“重面相，轻品相”说道说道，该不算“狗拿耗子”。

有种说法叫“读书是女性的深度美容”，是从提高修养、改变气质意义上讲美的塑造的，说的主要就是品相。其实，不只女性，男性也如此。可无论人数还是程度上，人们往往更注重表层，不大关注“深度”。不信睁眼看看，没病也动刀，无恙也花钱，还有种种膜、霜、膏、素、水儿……投入的就是这张脸。可你若问问她（他）们在“深度美容”上投入了多少，恐怕自己都脸红。或许，这是个别，可一谈表层美容就津津乐道就来神，一说“深度美容”就打不起精神就犯困，一本书捧一年读不完，却断不是个别的现象。现实中，“重面相，轻品相”以至“有面相，无品相”的活剧不时上演。莫看西装革履，珠光宝气，人五人六，照样脸拾掇得很光鲜，事做得很难看。他们不讲公义、不讲公德、不讲规则，损人利己、贪占便宜，不尽义务、只享权利。像某些人，洋溢着满满的优越感，啥事都“抢”字。抢倒是抢到了，可脸却没有了。

《左传·襄公二十四年》载：“太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此之谓不朽。”后来，曹丕在《与王朗书》中进一步阐发：“人生有七尺之形，死为一棺之土。唯立德扬名，可以不朽。”无疑，这里说的是人的品相，且是事关身后的品相。现今有句时语叫“喜欢一个人，始于颜值，陷于才华，终于人品”，说脸决定了会否第一眼就喜欢这个人，才华决定了能否让人佩服得五体投地，然而，最终起决定作用的则是人品内涵。古言时语，何其一致。

（作者：于文岗，选自《广州日报》）

19.（2分）揣摩第段划线句子，品析这句话的语言表达效果。

答：该不算“狗拿耗子”。这句话引用俗语，看似自贬或戏谑，但却引人深思，发人深省。20.（2分）研读第段，指出文段最主要的一种论证方法并简析其作用。

答：对比论证。文段通过现实中比比皆是的“重相貌”和“轻品相”进行对比，论证了社会中“重面相”“轻品相”已经成了一种普遍的社会现象，应该引起我们的重视。21.（2分）如果将下面的材料放到文中作为论据，你认为放到哪一段合适？

某女明星长相漂亮，拥有众多“粉丝”，拿着巨额片酬，却很少承担社会責任，偶尔参加公益活动，也只是蹭蹭热点，还弄出诈捐、逃税的丑闻。

答：应该放到第段合适。这一段是从反面举例，所以此事例合适。22.（3分）第段引用“古言”“时语”，想要表达的观点是：_____________________________。

答：一个人面相再好，都是一时的；只有品相好，才是永远的，不朽的。（或者：人生只有注重品相，才能真正立足社会，被人认可。）

23.（3分）有人从文中发现了商机，准备开一家“深度美容院”，请你为这家美容院写一句广告词。

示例：深度美容，美到你心灵深处！

四、综合性学习（10分）

家家有老人，人人都会老。关心、爱护、孝敬老人，是我们应尽的责任、应有的美德。班上开展“孝亲敬老，从我做起”活动请你参与。【材料一】新闻

2018年4月28日，荆州广播电视台《好人开讲》之“以孝传家”节目播出，最后开讲的是11岁的小女孩覃可欣。去年5月，可欣的妈妈被诊断为急性髓系白血病，需要造血干细胞移植，可遗憾的是，与家人的多次配型都失败了。这时候，可欣站了出来，希望能用自己的造血干细胞救妈妈。可欣身高一米七，体重只有84斤，为了顺利移植，她5个月增重18斤。今年3月，可欣成功进行了造血干细胞采集，4天的时间，每天都要采集三到四个小时，但坚强的可欣从没叫过一次苦。可欣的故事感动了万千观众。【材料二】漫画

24.（2分）将【材料一】改写成一句话新闻。答：11岁的小女孩覃可欣为救妈妈增重捐髓。

25.（3分）班上准备依据上面的漫画创作一幕情景剧请你完成下面的对话。小皮球得知奶奶病了，急忙赶到医院。爸爸：妈，快站好，一会就轮到你了！

奶奶：___________________________________________________________________。小皮球：_________________________________________________________________。示例：奶奶：我站不了，你能扶我一下吗？

小皮球：奶奶，我来扶你。爸爸，你这样对奶奶，是在教我怎样对待父母吗？

26.（5分）班上准备举行“孝亲敬老从我做起”演讲赛，请你写一段演讲词。（不少于100字）

示例：孝亲敬老，是我们中华民族传统美德，孝亲敬老，从身边的小事做起，从我做起。我们生活中的点滴行动，都是我们形成良好传统和习惯的关键所在。同学们！敬老爱老是中华民族传统美德长河中一滴闪亮的珍珠；是中华传统美德大花园中一朵鲜艳的奇葩；是中华传统美德星空下的一颗耀眼的星星。让我们用自己的真心和善良来弘扬它。

五、记叙文写作（50分）27.（50分）

还记得《背影》里的“父亲”吗？“他用两手攀着上面，两脚再向上缩；他肥胖的身子向左微倾，显出努力的样子……”；还有《走一步，再走一步》里的“我”，“我小心翼翼地伸出左脚去探那块岩石，而且踩到了它。我顿时有了信心。”在我们的生活中，“攀爬”是最美的姿态，有时候为别人，那是付出；有时候为自己，那是成长。或许是身体的苦旅，或许是心灵的跋涉。

4.历年安徽中考数学真题分类 篇四

2001-2012年安徽省中考数学试题分类解析汇编（12专题）

专题5：数量和位置变化

1.选择题

1.（2003安徽省4分）函数 中自变量x的取值范围是【 】

A：x≠0 B：x≠1 C：x>1 D：x<1且x≠0

【答案】B。

【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二分式分母不为0的条件，要使 在实数范围内有意义，必须。故选B。

2.（2003安徽省4分）点P（m，1）在第二象限内，则点Q（－m，0）在【 】A：x轴正半轴上 B：x轴负半轴上 C：y轴正半轴上 D：y轴负半轴上

【答案】A。

【考点】平面直角坐标系中各象限点的特征。

【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）。因此，∵点P（m，1）是第二象限内，∴m＜0。∴－m＞0。

5.眉山市中考数学真题及答案 篇五

注意事项：

1. 本试卷分A卷和B卷两部分，A卷共100分，B卷共20分，满分120分，考试时间120分钟.

2. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

3. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号;答非选择题时，必须使用0?5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上;所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

4. 不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值.

5.凡作图题或辅助线均用签字笔画图.

A卷(共100分)

第Ⅰ卷(选择题共36分)

1.绝对值为1的实数共有

A.0个 B.1个 C.2个 D.4个

答案：C

2.据相关报道，开展精准扶贫工作以来，我国约有65000000人摆脱贫困，将65000000用科学记数法表示为

A.65×106 B.0.65×108 C.6.5×106 D.6.5×107

答案：D

3.下列计算正确的是

A.(x+y)2=x2+y2 B.(-xy2)3=-x3y6

C.x6÷x3=x2 D.=2

答案：D

4.下列立体图形中，主视图是三角形的是

答案：B

5.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是

A.45° B.60°

C.75° D.85°

答案：C

6.如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于

A.27° B.32° C.36° D.54°

答案：A

7.某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的

A.众数 B.中位数 C.平均数 D.方差

答案：B

8.若α，β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，则+的值是

A. B.- C.- D.

答案：C

9.下列命题为真命题的是

A.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

B.相似三角形面积之比等于相似比

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形

答案：A

10.我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是

A.8% B.9% C.10% D.11%

答案：C

11.已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是

A.≤a<1 B.≤a≤1 C.

答案：A

12.如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案：D

第Ⅱ卷(非选择题共64分)

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分?请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上?

13.分解因式：x3-9x=.

14.已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在直线y=kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1

15.已知关于x的分式方程-2=有一个正数解，则k的取值范围为 .

16.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是

17.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这

些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= 2 .

18.如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原

点，A点坐标为(-10，0)，对角线AC和OB相交于点D且

AC·OB=160.若反比例函数y= (x<0)的图象经过点D，并与

BC的延长线交于点E，则S△OCE∶S△OAB= 1：5

三、解答题：本大题共6个小题，共46分?请把解答过程写在答题卡相应的位置上?

19.(本小题满分6分)计算：(π-2)°+4cos30°--(-)-2.

解：

20.(本小题满分6分)先化简，再求值：(-)÷，其中x满足x2-2x-2=0.

解：

21.(本小题满分8分)在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：

(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标;

(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标;

6.湖北中考数学真题 篇六

（含答案解析）

一、解

答

题（共60小题）

1．（2015•遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延伸线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

2．（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．

（1）如图1，连接BD，AF，则BD　　　　　　AF（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．

3．（2015•镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延伸OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．

（1）求证：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=　　　　　　°时，四边形BFDE是正方形．

4．（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．

（1）求证：四边形DEFG为菱形；

（2）若CD=8，CF=4，求的值．

5．（2015•玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延伸线于点C，E为的中点，连接DE，EB．

（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；

（2）已知图中暗影部分面积为6π，求⊙O的半径r．

6．（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E点，使DE=AB．

（1）求证：∠ABC=∠EDC；

（2）求证：△ABC≌△EDC．

7．（2015•营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若PD=，AC=8，求图中暗影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．

8．（2015•徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．

（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=

时，四边形BFCE是菱形．

9．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延伸与AD的延伸线相交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

10．（2015•湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）求证：四边形BFDE为矩形．

11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

12．（2015•咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．

13．（2015•梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．

（1）求证：HF=AP；

（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．

14．（2015•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．

（1）求证：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

15．（2015•铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延伸交BC的延伸线于点E，EF=FD．

求证：AD=CE．

16．（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．

17．（2015•铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．

（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．

18．（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：

（1）AC•PD=AP•BC；

（2）PE=PD．

19．（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

20．（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．

（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；

（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．

21．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延伸线于点E．

（1）求证：BD+2DE=BM．

（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=　　　　　　．

22．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延伸线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．

23．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延伸线上，且OE=OB，连接DE．

（1）求证：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．

24．（2015•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．

求证：四边形ABCD是矩形．

25．（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．

（1）当AB=2时，求△GEC的面积；

（2）求证：AE=EF．

26．（2015•青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．

27．（2015•钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接OC，如果OC恰好弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．

28．（2015•黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．

（1）求证：PN与⊙O相切；

（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．

29．（2015•潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延伸线交于点M，∠COB=∠APB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．

30．（2015•盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延伸线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；

（2）求证：直线BF是⊙O的切线；

（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延伸线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

31．（2015•内江）如图，将▱ABCD的边AB延伸至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．

（1）求证：△ABD≌△BEC；

（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

32．（2015•南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求证：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．

33．（2015•南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延伸线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．

（1）求证：∠BAD=∠BDC；

（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（到0.01）

34．（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延伸线与AD的延伸线交于点E，且DC=DE．

（1）求证：∠A=∠AEB；

（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．

35．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

36．（2015•南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的地位，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的外形为

A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形

（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的地位，拼成四边形AFF′D．

①求证：四边形AFF′D是菱形．

②求四边形AFF′D的两条对角线的长．

37．（2015•梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．

（1）求证：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．

38．（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．

（1）求证：AE=DC；

（2）已知DC=，求BE的长．

39．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．

（1）求证：AB=AC；

（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．

40．（2015•辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延伸线于点F．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线；

（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．

41．（2015•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．

（1）求证；∠EDB=∠EBD；

（2）判断AF与DB能否平行，并阐明理由．

42．（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的外形，并阐明理由．

（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．

43．（2015•酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延伸线与BC的延伸线交于点F，连结CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AE=　　　　　　cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE=　　　　　　cm时，四边形CEDF是菱形．

（直接写出答案，不需求阐明理由）

44．（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延伸线上一点，且∠ODB=∠AEC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE2=EH•EA；

（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．

45．（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．经过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．

类比扇形，我们探求扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其运用．

（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；

（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积，面积是多少？

46．（2015•黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．

（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ能否成立？请阐明理由．

47．（2015•黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延伸线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN

（2）求证：=．

48．（2015•湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：BE=CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

49．（2015•葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延伸线于点E，与⊙O相交于G、F两点．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？

50．（2015•呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．

51．（2015•呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延伸线交直线l于点C．

（1）求证：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半径．

52．（2015•贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）．

53．（2015•贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8．

（1）求证：AF=EF；

（2）求证：BF平分∠ABD．

54．（2015•河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延伸BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．

（1）求证：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，则四边形AOPD的面积为　　　　　　；

②连接OD，当∠PBA的度数为　　　　　　时，四边形BPDO是菱形．

55．（2015•桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．

（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；

（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．

56．（2015•贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延伸线相交于点M，连接AC，CM．

（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）

（2）求证：四边形ABMC是菱形．

57．（2015•甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．

（1）求证：CF=CH；

（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

58．（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延伸EF交边BC于点G，连接AG．

（1）求证：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的长．

59．（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．

（1）证明：AB=CD；

（2）证明：DP•BD=AD•BC；

（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．

60．（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延伸线交于点D，DE⊥PO交PO延伸线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：PB是的切线．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．

2015年全国中考数学证明题60例

参考答案与试题解析

一、解

答

题（共60小题）

1．（2015•遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延伸线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

考点：

菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；

（2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；

（3）由直角三角形ABC与菱形有相反的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．

解答：

（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．

∵DB=DC，∴AF=CD．

∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；

（3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的运用，菱形的面积计算，次要考查先生的推理能力．

2．（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．

（1）如图1，连接BD，AF，则BD　=　AF（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；

（2）根据类似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．

解答：

（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．

由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．

在△ABF和△DFB中，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；

（2）证明：如图：

MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF．

在△BMH和△FNG中，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，类似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．

3．（2015•镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延伸OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．

（1）求证：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=　20　°时，四边形BFDE是正方形．

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又由于BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF；

（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只需∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．

解答：

（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE与△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）；

（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，∴只需∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．

故答案为：20．

点评：

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF．

4．（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．

（1）求证：四边形DEFG为菱形；

（2）若CD=8，CF=4，求的值．

考点：

翻折变换（折叠成绩）；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；

（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．

解答：

（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；

（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．

点评：

本题次要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．

5．（2015•玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延伸线于点C，E为的中点，连接DE，EB．

（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；

（2）已知图中暗影部分面积为6π，求⊙O的半径r．

考点：

切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由∠BOD=60°E为的中点，得到，于是得到DE∥BC，根据CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；

（2）连接OE，由（1）知，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．

解答：

解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E为的中点，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形；

（2）连接OE，由（1）知，∴∠BOE=120°，∵暗影部分面积为6π，∴=6π，∴r=6．

点评：

本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明是解题的关键．

6．（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E点，使DE=AB．

（1）求证：∠ABC=∠EDC；

（2）求证：△ABC≌△EDC．

考点：

全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；

（2）根据“边角边”证明即可．

解答：

（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS）．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．

7．（2015•营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若PD=，AC=8，求图中暗影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．

考点：

切线的判定；扇形面积的计算．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；

（2）证明△ADP∽△PDA，得到成比例线段求出BC的长，根据S阴=S⊙O﹣S△ABC求出答案；

（3）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．

解答：

（1）证明：如图1，连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD•DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD为△的中位线，∴BC=6，OD=6，AB=10．

∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；

（3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵点E是的中点，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB•cos45°=5，∴EM==4，则CE=CM+EM=7．

点评：

本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和类似三角形的判定和性质，灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键．

8．（2015•徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．

（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=　4

时，四边形BFCE是菱形．

考点：

平行四边形的判定；菱形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；

（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．

解答：

（1）证明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF

∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；

（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴当BE=4

时，四边形BFCE是菱形，故答案为：4．

点评：

此题考查了类似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，留意数形思想的运用，留意掌握辅助线的作法．

9．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延伸与AD的延伸线相交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

考点：

平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；

（2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．

解答：

（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC与△FED中，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是边CD的中点，∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；

②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四边形BDFC的面积=3×=3；

③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；

综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．

10．（2015•湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）求证：四边形BFDE为矩形．

考点：

矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；

（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．

解答：

证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS）；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．

点评：

此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，纯熟掌握矩形的判定方法是解本题的关键．

11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

考点：

根的判别式；解一元二次方程-公式法．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；

（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．

解答：

（1）证明：△=（m+2）2﹣8m

=m2﹣4m+4

=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；

（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．

点评：

本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的运用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．

12．（2015•咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．

考点：

切线的性质；菱形的判定与性质；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；

（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC•AF，进而求出AD．

解答：

（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．

∵BC与⊙O相切于一点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE=AO=0D，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AODE是菱形．

（2）解：设⊙O的半径为r．

∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．

∴，即10r=6（10﹣r）．

解得r=，∴⊙O的半径为．

如图2，连接OD、DF．

∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC•AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．

点评：

本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及类似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．纯熟掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．

13．（2015•梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．

（1）求证：HF=AP；

（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；

（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．

解答：

（1）证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．

∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．

在Rt△APB与Rt△HFE中，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；

（2）解：由勾股定理得，BP===4．

∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2×=．

由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．

点评：

本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．

14．（2015•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．

（1）求证：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

考点：

类似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；

（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用类似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．

解答：

（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；

（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．

点评：

本题考查了类似三角形的判定与性质：在判定两个三角形类似时，应留意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻觅类似三角形的普通方法是经过作平行线构造类似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．

15．（2015•铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延伸交BC的延伸线于点E，EF=FD．

求证：AD=CE．

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．

解答：

证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：

则∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等边三角形，∴AD=GD，∴AD=CE．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；纯熟掌握等边三角形的判定与性质，并能进行推理论证是处理成绩的关键．

16．（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．

考点：

全等三角形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．

解答：

解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）．

点评：

本题次要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

17．（2015•铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．

（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．

考点：

矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）首先根据矩形的性质可得AB平行且等于CD，然后根据DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形；

（2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．

解答：

解；（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AE=CE，设DE=x，则AE=，CE=8﹣x，则=8﹣x，解得：x=，则菱形的边长为：8﹣=，周长为：4×=25，故菱形AFCE的周长为25．

点评：

本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质．

18．（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：

（1）AC•PD=AP•BC；

（2）PE=PD．

考点：

切线的性质；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判断出=，即可判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可．

（2）首先根据△AEP∽△ABC，判断出；然后根据PE=PD，可得，据此判断出AC•PD=AP•BC即可．

解答：

解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴=…①，又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴===…②，由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD．

（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴，∵PE=PD，∴，∴AC•PD=AP•BC．

点评：

（1）此题次要考查了切线的性质和运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于切点的半径．②圆心且垂直于切线的直线必切点．③切点且垂直于切线的直线必圆心．

（2）此题还考查了类似三角形的判定和性质的运用，要纯熟掌握．

19．（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

考点：

全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）延伸DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；

（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．

解答：

证明：（1）延伸DE交AB于点G，连接AD．

∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．

∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．

∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．

又BF=BC，∴BF=DE．

∴在△AED与△DFB中，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；

（2）设AC与FD交于点O．

∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．

∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DOE+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．

点评：

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

20．（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．

（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；

（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．

考点：

切线的判定与性质；弧长的计算；作图—基本作图．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，根据角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；

（2）首先证明△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．

解答：

解：（1）作图如右图，连接OA，过O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切线；

（2）∵PA、PC是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°=

∴OA=

∴==．

点评：

本题考查了尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及弧长的计算，求出圆心角和半径长是处理成绩的关键．

21．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延伸线于点E．

（1）求证：BD+2DE=BM．

（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=　　．

考点：

类似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）过点M作MP⊥BC交BD的延伸线于点P，首先证明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到结论；

（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的长．

解答：

（1）证明：过点M作MP⊥BC交BD的延伸线于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形

∴BP=BM

∴BD+2DE=BM．

（2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴

设正方形边长为a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2

∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=．

故答案为：．

点评：

本题次要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、类似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形类似求出正方形的边长是处理第2小题的关键．

22．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延伸线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据题意得出BD=CD=BC，由SSS证明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可；

（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根据弧长公式求出、的长度，即可得出结果．

解答：

（1）证明：根据题意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；

（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC为等边三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的长度=的长度==；

∴、的长度之和为+=．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算；纯熟掌握全等三角形和等边三角形的判定与性质，并能进行推理计算是处理成绩的关键．

23．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延伸线上，且OE=OB，连接DE．

（1）求证：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．

考点：

类似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；

（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．

解答：

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD

∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．

点评：

本题考查了类似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．

24．（2015•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．

求证：四边形ABCD是矩形．

考点：

矩形的判定；函数图象上点的坐标特征．版权一切

专题：

证明题．

分析：

首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．

解答：

证明：作EF⊥AB于点F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相反，∴AB∥CD∥x轴，∴m﹣2=4，m=6，将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4，△AEB的面积是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形．

点评：

本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．

25．（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．

（1）当AB=2时，求△GEC的面积；

（2）求证：AE=EF．

考点：

全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）首先根据△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，从而求得GC=即可求得S△GEC；

（2）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF；

解答：

解：（1）∵AB=BC=2，点E为BC的中点，∴BE=EC=1，∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB：EC=BE：GC，即：2：1=1：GC，解得：GC=，∴S△GEC=•EC•CG=×1×=；

（2）证明：取AB的中点H，连接EH；

∵ABCD是正方形，AE⊥EF；

∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°

∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF；

点评：

此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解（2）题的关键是取AB的中点H，得出AH=EC，再根据全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．

26．（2015•青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．

考点：

菱形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

首先根据平行四边形的判定方法，判断出四边形ADCE是平行四边形；然后判断出AE=CE，即可判断出四边形ADCE是菱形，据此解答即可．

解答：

证明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．

点评：

此题次要考查了菱形的判定和性质的运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

27．（2015•钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接OC，如果OC恰好弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．

考点：

切线的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由AB为⊙O的直径，可得∠D=90°，继而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，则可证得BC是⊙O的切线；

（2）根据点O是AB的中点，点E时BD的中点可知OE是△ABD的中位线，故AD∥OE，则∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出结论．

解答：

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；

（2）∵点O是AB的中点，点E时BD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．、∵由（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC=，∴tan∠ABD===，解得BD=6，∴AB===3．

点评：

本题考查的是切线的判定，熟知半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键．

28．（2015•黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．

（1）求证：PN与⊙O相切；

（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．

考点：

切线的判定与性质；弧长的计算．版权一切

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，利用AAS得到三角形PEO与三角形PFO全等，利用全等三角形对应边相等得到=OE，即可确定出PN与圆O相切；

（2）在直角三角形POE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，∠EOB度数，利用弧长公式即可求出劣弧的长．

解答：

（1）证明：连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，∵PM与圆O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，则PN与圆O相切；

（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，则的长l==．

点评：

此题考查了切线的判定与性质，弧长公式，纯熟掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

29．（2015•潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延伸线交于点M，∠COB=∠APB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．

考点：

切线的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据切线的性质，可得∠MAP=90°，根据直角三角形的性质，可得∠P+M=90°，根据余角的性质，可得∠M+∠MOB=90°，根据直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根据切线的判定，可得答案；

（2）根据类似三角形的判定与性质，可得==，根据解方程组，可得答案．

解答：

（1）证明：∵PA切⊙O于点A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°．

∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB直径的外端点，∴PB是⊙O的切线；

（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴==，=

①，=

②

联立①②得，解得，当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2．

点评：

本题考查了切线的判定与性质，（1）利用了切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质；（2）利用了类似三角形的判定与性质，解方程组．

30．（2015•盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延伸线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；

（2）求证：直线BF是⊙O的切线；

（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延伸线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

考点：

圆的综合题．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据垂径定理求得PC，连接OC，根据勾股定理求得即可；

（2）求得△PBC∽△BFA，根据类似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可证得结论；

（3）经过证得AE=BF，AE∥BF，从而证得四边形AEBF是平行四边形．

解答：

（1）解：CD⊥AB，∴PC=PD=CD=，连接OC，设⊙O的半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r，在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=．

（2）证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直线BF是⊙O的切线；

（3）四边形AEBF是平行四边形；

理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P，∴当点P与点O重合时，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O的切线，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位线，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．

∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位线，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四边形AEBF是平行四边形．

点评：

本题考查了切线的判定，勾股定理的运用，三角形类似的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定等，纯熟掌握性质定理是解题的关键．

31．（2015•内江）如图，将▱ABCD的边AB延伸至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．

（1）求证：△ABD≌△BEC；

（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

考点：

矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；

（2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC=ED．

解答：

证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．

又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD=EC．

∴在△ABD与△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SSS）；

（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．

∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．

又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．

32．（2015•南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求证：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；

（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证．

解答：

证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB（ASA）；

（2）作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四边形EBFD为平行四边形，∴FD=EB，∴DA=DF．

点评：

此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，纯熟掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．

33．（2015•南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延伸线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．

（1）求证：∠BAD=∠BDC；

（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（到0.01）

考点：

切线的性质；解直角三角形．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；

（2）根据三角函数进行计算即可．

解答：

证明：（1）连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；

（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半径为．

点评：

此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行分析．

34．（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延伸线与AD的延伸线交于点E，且DC=DE．

（1）求证：∠A=∠AEB；

（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．

考点：

圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；

（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．

解答：

证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB；

（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．

点评：

此题次要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．

35．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；

（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．

解答：

证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B

在△AEF与△CEB中，∴△AEF≌△CEB（AAS）；

（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．

点评：

本题次要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．

36．（2015•南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的地位，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的外形为　C

A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形

（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的地位，拼成四边形AFF′D．

①求证：四边形AFF′D是菱形．

②求四边形AFF′D的两条对角线的长．

考点：

图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定；平移的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据矩形的判定，可得答案；

（2）①根据菱形的判定，可得答案；

②根据勾股定理，可得答案．

解答：

解：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的地位，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的外形为矩形，故选：C；

（2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴AE=3．

如图2：，∵△AEF，将它平移至△DE′F′，∴AF∥DF′，AF=DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF===5，∴AF=AD=5，∴四边形AFF′D是菱形；

②连接AF′，DF，如图3：

在Rt△DE′F中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF===，在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′===3．

点评：

本题考查了图形的剪拼，利用了矩形的判定，菱形的判定，勾股定理．

37．（2015•梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．

（1）求证：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．

考点：

全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）利用SSS定理证得结论；

（2）设BE=x，利用角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．

解答：

（1）证明：在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）；

（2）解：设BE=x，∵∠BAC=30°，∴∠ABE=60°，∴AE=tan60°•x=x，∵△ABC≌△ADC，∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，∵∠BCA=45°，∴∠BCA=∠DCA=45°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CE=BE=x，∴x+x=4，∴x=2﹣2，∴BE=2﹣2．

点评：

本题次要考查了全等三角形的判定及性质，角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．

38．（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．

（1）求证：AE=DC；

（2）已知DC=，求BE的长．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF≌△DCE，可证得AE=DC；

（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长．

解答：

（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=DC；

（2）解：由（1）得AE=DC，∴AE=DC=，在矩形ABCD中，AB=CD=，在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，∴BE=2．

点评：

本题次要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，在（1）中证得三角形全等是解题的关键，在（2）中留意勾股定理的运用．

39．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．

（1）求证：AB=AC；

（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．

考点：

切线的性质；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据弦切角定理和圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；

（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．

解答：

证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；

（2）作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH．

点评：

本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，留意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．

40．（2015•辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延伸线于点F．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线；

（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．

考点：

切线的判定；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）首先判断出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根据DG⊥AC，可得∠DGC=90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判断出直线FG是⊙O的切线．

（2）首先根据类似三角形判定的方法，判断出△ODF∽△AGF，再根据cosA=，可得cos∠DOF=；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少．

解答：

（1）证明：如图1，连接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴∠ODG=∠DGC，∵DG⊥AC，∴∠DGC=90°，∴∠ODG=90°，∴OD⊥FG，∵OD是⊙O的半径，∴直线FG是⊙O的切线．

（2）解：如图2，∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径，∴OA=OD=10÷2=5，由（1），可得

OD⊥FG，OD∥AC，∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，在△ODF和△AGF中，∴△ODF∽△AGF，∴，∵cosA=，∴cos∠DOF=，∴=，∴AF=AO+OF=5，∴，解得AG=7，∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，即CG的长是3．

点评：

（1）此题次要考查了切线的判定和性质的运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确切线的判定定理：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）此题还考查了三角形类似的判定和性质的运用，要纯熟掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形类似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形类似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形类似．

41．（2015•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．

（1）求证；∠EDB=∠EBD；

（2）判断AF与DB能否平行，并阐明理由．

考点：

翻折变换（折叠成绩）；平行四边形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由折叠和平行线的性质易证∠EDB=∠EBD；

（2）AF∥DB；首先证明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根据三角形内角和与等式性质可证明∠BDE=∠AFE，所以AF∥BD．

解答：

解：（1）由折叠可知：∠CDB=∠EDB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDB=∠EBD，∴∠EDB=∠EBD；

（2）AF∥DB；

∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，由折叠可知：DC=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，∴DF=AB，∴AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，∴2∠EDB+∠DEB=180°，同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°，∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA，∴AF∥DB．

点评：

本题次要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合运用，运用三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是处理成绩的关键．

42．（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的外形，并阐明理由．

（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，由于G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；

（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．

解答：

（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°

∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；

（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；

∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．

点评：

本题次要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．

43．（2015•酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延伸线与BC的延伸线交于点F，连结CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AE=　3.5　cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE=　2　cm时，四边形CEDF是菱形．

（直接写出答案，不需求阐明理由）

考点：

平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．版权一切

专题：

证明题；动点型．

分析：

（1）证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可；

（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定推出即可；

②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE，根据菱形的判定推出即可．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG=∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG=DG，在△FCG和△EDG中，∴△FCG≌△EDG（ASA）

∴FG=EG，∵CG=DG，∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC中，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5；

②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD=5，AE=2，∴DE=3，∵CD=3，∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：2．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的运用，留意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．

44．（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延伸线上一点，且∠ODB=∠AEC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE2=EH•EA；

（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．

考点：

圆的综合题．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；

（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；

（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．

解答：

（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；

（2）证明：连接AC，如图1所示：

∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；

（3）解：连接BE，如图2所示：

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．

点评：

本题是圆的综合标题，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、类似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需求经过作辅助线证明三角形类似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．

45．（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．经过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．

类比扇形，我们探求扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其运用．

（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；

（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积，面积是多少？

考点：

圆的综合题．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据扇形公式之间的关系，已知条件推出结果即可；

（2）求出l1+l2=40﹣2h，代入（1）的结果，化成顶点式，即可得出答案．

解答：

（1）S扇环=（l1﹣l2）h，证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=，得R=，r=

所以图中扇环的面积S=×l1×R﹣×l2×r

=l1•﹣l2•

=（l12﹣l22）

=（l1+l2）（l1﹣l2）

=••（R﹣r）（l1﹣l2）

=（l1﹣l2）（R﹣r）

=（l1+l2）h，故猜想正确．

（2）解：根据题意得：l1+l2=40﹣2h，则S扇环=（l1+l2）h

=（40﹣2h）h

=﹣h2+20h

=﹣（h﹣10）2+100

∵﹣1＜0，∴开口向下，有值，当h=10时，值是100，即线段AD的长h为10m时，花园的面积，面积是100m2．

点评：

本题次要考查了扇形面积公式，弧长公式，二次函数的顶点式的运用，能猜想出正确结论是解此题的关键，有一定的难度．

46．（2015•黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．

（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ能否成立？请阐明理由．

考点：

类似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；

②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；

（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．

解答：

（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；

②延伸AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：

∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；

（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：

∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．

点评：

本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、类似三角形的判定与性质；纯熟掌握旋转的性质，并能进行推理论证是处理成绩的关键．

47．（2015•黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延伸线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN

（2）求证：=．

考点：

切线的性质；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．

（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论．

解答：

（1）证明：∵AC为⊙O直径，∴∠ANC=90°，∴∠NAC+∠ACN=90°，∵AB=AC，∴∠BAN=∠CAN，∵PC是⊙O的切线，∴∠ACP=90°，∴∠ACN+∠PCB=90°，∴∠BCP=∠CAN，∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，∴∠PBC=∠AMN，由（1）知∠BCP=∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴．

点评：

本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，类似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是纯熟掌握定理．

48．（2015•湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：BE=CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

考点：

旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．版权一切

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；

（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．

解答：

（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；

（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．

点评：

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．

49．（2015•葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延伸线于点E，与⊙O相交于G、F两点．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？

考点：

切线的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD即可；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，则四边形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解．

解答：

解：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O与AC相切于点D．

∴OD⊥AC，∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等边三角形，∴∠DAO=∠NAO，∴OM=OD．

∴AB与⊙O相切；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．

∵O是BC的中点，∴OB=2．

在直角△OBM中，∠MBO=60du6，∴OM=OB•sin60°=，BM=OB•cos60°=1．

∵BE⊥AB，∴四边形OMBN是矩形．

∴ON=BM=1，BN=OM=．

∵OF=OM=，由勾股定理得NF=．

∴BF=BN+NF=+．

点评：

本题考查了切线的性质与判定，以及等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是处理本题的关键．

50．（2015•呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF；

（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴AE=AB，CF=CD，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：

解：由（1）可得BE=DF，又∵AB∥CD，∴BE∥DF，BE=DF，∴四边形BEDF是平行四边形，连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF∥AE，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∴EF∥AD，∵∠ADB是直角，∴AD⊥BD，∴EF⊥BD，又∵四边形BFDE是平行四边形，∴四边形BFDE是菱形．

点评：

本题次要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中点是解题的关键．

51．（2015•呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延伸线交直线l于点C．

（1）求证：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半径．

考点：

切线的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；

（2）延伸AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，根据AB=AC推出52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出=，代入求出即可．

解答：

证明：（1）如图1，连接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；

（2）如图2，延伸AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=．

∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质和判定，类似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的地位关系等知识点的运用，次要培养先生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．

52．（2015•贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）．

考点：

切线的判定；类似三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠，推出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线判定推出即可；

（2）首先求得线段AO的长，然后证△AOE∽△ACD，得出比例式，代入求出即可．

解答：

（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∴∠ADC=∠OCF，∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，∴∠OCF=90°，∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线．

（2）∵OE⊥AC，∴AE=AC=cm，在Rt△AOE中，AO===4cm，由（1）得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，∴△AOE∽△ACD，∴，即，∴DC=cm．

点评：

本题考查了类似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，平行线性质和判定，等腰三角形性质，切线的判定的运用，次要考查先生的推理能力．

53．（2015•贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8．

（1）求证：AF=EF；

（2）求证：BF平分∠ABD．

考点：

翻折变换（折叠成绩）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）先根据翻折变换的性质得出ED=CD，∠E=∠C，故ED=AB，∠E=∠A．由AAS定理得出△ABF≌△EDF，故可得出结论；

（2）在Rt△BCD中根据sin∠CBD==可得出∠CBD=30°，∠EBD=∠CBD=30°，由直角三角形的性质可知∠ABF=90°﹣30°×2=30°，所以∠ABF=∠DBF，BF平分∠ABD．

解答：

（1）证明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，∵△BED是△BCD翻折而成，∴ED=CD，∠E=∠C，∴ED=AB，∠E=∠A．

在△ABF与△EDF中，∵，∴△ABF≌△EDF（AAS），∴AF=EF；

（2）在Rt△BCD中，∵DC=DE=4，DB=8，∴sin∠CBD==，∴∠CBD=30°，∴∠EBD=∠CBD=30°，∴∠ABF=90°﹣30°×2=30°，∴∠ABF=∠DBF，∴BF平分∠ABD．

点评：

本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

54．（2015•河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延伸BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．

（1）求证：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，则四边形AOPD的面积为　4　；

②连接OD，当∠PBA的度数为　60°　时，四边形BPDO是菱形．

考点：

菱形的判定；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可证△CDP≌△POB；

（2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有面积，依此即可求解；

②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解．

解答：

（1）证明：∵PC=PB，D是AC的中点，∴DP∥AB，∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，∵BO=AB，∴DP=BO，在△CDP与△POB中，∴△CDP≌△POB（SAS）；

（2）解：①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有面积，（4÷2）×（4÷2）

=2×2

=4；

②如图：

∵DP∥AB，DP=BO，∴四边形BPDO是平行四边形，∵四边形BPDO是菱形，∴PB=BO，∵PO=BO，∴PB=BO=PO，∴△PBO是等边三角形，∴∠PBA的度数为60°．

故答案为：4；60°．

点评：

考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，解题的关键是SAS证明△CDP≌△POB．

55．（2015•桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．

（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；

（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；

（2）根据平行四边的性质：平行四边形的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判定，可得答案．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．

∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形；

（2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN与△CDM中，∴△ABN≌△CDM

（ASA）．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．

56．（2015•贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延伸线相交于点M，连接AC，CM．

（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）

（2）求证：四边形ABMC是菱形．

考点：

切线的性质；菱形的判定；弧长的计算．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OB，由E为OD中点，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，进而求出∠AOE与∠AOB的度数，设OA=x，利用勾股定理求出x的值，确定出圆的半径，利用弧长公式即可求出的长；

（2）由问得到∠BAM=∠BMA，利用等角对等边得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM与三角形OBM全等，利用全等三角形对应边相等得到CM=BM，等量代换得到CM=AB，再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角相等，进而确定出CM与AB平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABMC为平行四边形，由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

解答：

（1）解：∵OA=OB，E为AB的中点，∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，∵OE⊥AB，E为OD中点，∴OE=OD=OA，∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，设OA=x，则OE=x，AE=x，∵AB=4，∴AB=2AE=x=4，解得：x=4，则的长l==；

（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，∴∠BAM=∠BMA=30°，∴AB=BM，∵BM为圆O的切线，∴OB⊥BM，在△COM和△BOM中，∴△COM≌△BOM（SAS），∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，∴CM∥AB，∴四边形ABMC为菱形．

点评：

此题考查了切线的性质，菱形的判断，全等三角形的判定与性质，以及弧长公式，纯熟掌握切线的性质是解本题的关键．

57．（2015•甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．

（1）求证：CF=CH；

（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

考点：

菱形的判定；全等三角形的判定与性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）要证明CF=CH，可先证明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；

（2）根据△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形．

解答：

（1）证明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．

在△BCF和△ECH中，∴△BCF≌△ECH（ASA），∴CF=CH（全等三角形的对应边相等）；

（2）解：四边形ACDM是菱形．

证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°．

∵∠E=45°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，又∵∠A=∠D=45°，∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．

点评：

菱形的判别方法是阐明一个四边形为菱形的理论根据，常用三种方法：

①定义；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需求根据已知条件来确定．

58．（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延伸EF交边BC于点G，连接AG．

（1）求证：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的长．

考点：

翻折变换（折叠成绩）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；

（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；

解答：

解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，设BG=FG=x，则GC=6﹣x，∵E为CD的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，∴BG=2．

点评：

此题次要考查了勾股定理的综合运用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．

59．（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．

（1）证明：AB=CD；

（2）证明：DP•BD=AD•BC；

（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．

考点：

类似三角形的判定与性质；圆周角定理．版权一切

专题：

证明题．

分析：

（1）利用平行线的性质圆周角定理得出=，进而得出答案；

（2）首先得出△ADP∽△DBC，进而利用类似三角形的性质得出答案；

（3）利用类似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，进而求出AB2=DB•PB，再利用（2）中所求得出答案．

解答：

证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴=，∴AB=BC；

（2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°，∴∠BCD=∠APD，又∵∠ADB=∠CBD，∴△ADP∽△DBC，∴=，∴DP•BD=AD•BC；

（3）∵∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA，∴△ABP∽△DBA，∴=，∴AB2=DB•PB，∴AB2+AD•BC=DB•PB+AD•BC

∵由（2）得：DP•BD=AD•BC，∴AB2+AD•BC=DB•PB+DP•BD=DB（PB+DP）=DB2，即BD2=AB2+AD•BC．

点评：

此题次要考查了类似三角形的判定与性质以及圆周角定理，纯熟运用类似三角形的判定与性质是解题关键．

60．（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延伸线交于点D，DE⊥PO交PO延伸线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：PB是的切线．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．

考点：

切线的判定与性质．版权一切

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB类似，利用类似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；

（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．

解答：

（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD==10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．

点评：